MATEMATICA FINANCIERA 2.pdf

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática Financiera II MODALIDAD A DISTANCIA

1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES:

1.1. CARÁTULA

1.2. INTRODUCCIÓN

1.2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

1.2.2. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA

1.2.3. RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

1.3. PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

1.4. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES

1.5. BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

1.6. ÍNDICE DE CONTENIDOS

1.7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE

1. TAREA 1

2. TAREA 2

3. TAREA 3

1.8. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE

4. TAREA 4

5. TAREA 5


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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA

Carrera Administración de Empresas

Eje Profesional

Asignatura MATEMÁTICA FINANCIERA II

Número de créditos 4

Curso AE-4

Semestre Septiembre 2015- Febrero 2016

Autor: Ing. Flavio Parra T.


1.2 INTRODUCCIÓN

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CARACTERIZACIÓN DE LA MATERIA

En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a:Tasas

equivalentes, anualidades, amortizaciones, fondos de valor futuro, documentos financieros,

bonos, tasas de interés internacionales, tasa real, análisis de conveniencia de invertir a

través de indicadores como VAN, TIR, Payback, Relación Costo Beneficio, que son

necesarios en las actividades financieras especialmente en el largo plazo, para financiar

compras de bienes inmuebles y muebles, financiamiento, negociación con documentos, y

aseguramiento de todos los bienes; que tienen aplicación en la formación del administrador

profesional.


IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA

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Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones

a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o

a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que

involucran a la Matemática Financiera

En el caso que nos ocupa, la formación en la especialidad profesional de Administración –

Contabilidad, la materia Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al

estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección

en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la

toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional

decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que

necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es

rentable o no una inversión.

En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la

cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones

financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos

conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en

el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas

de la empresa.


RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

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La asignatura es secuencia de Matemática Financiera I, es básica para la comprensión y

asimilación de los contenidos de materias tales como: Contabilidad, Seguros, Administración

Financiera, Administración Tributaria, Evaluación Proyectos, entre otras.


1.3 PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

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Asignatura: MATEMÁTICA FINANCIERA II

Competencia:

El estudiante de Matemática Financiera II, continúa con el

aprendizaje y manejo de las técnicas y herramientas financieras,

orientándolas a la aplicación profesional bien sea en el micro,

pequeñas medianas y grandes empresas así como en

instituciones financieras y el manejo de las finanzas personales

de manera que los recursos económicos sean invertidos

productivamente, sin descuidar el aspecto humano.

Nº UNIDADES DE COMPETENCIA

1

Aplica la capitalización de los intereses y la transformación de tasas.

Conceptualiza, clasifica y aplica el cálculo de anualidades o rentas y

sus variables y su integración en casos.

2

Conceptualiza y aplica la amortización de deudas por los métodos

americano, alemán y francés (gradual), la construcción de tablas, los

fondos de valor futuro y su aplicación en fondos de cesantía, jubilación,

de educación y otros.

3

Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados

en el valor del dinero en el tiempo.

4

Conoce, aprende y se adiestra en el manejo de los Bonos y otros

documentos de renta fija y de renta variable.


6. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES

Unidad No.1: ANUALIDADES O RENTAS

COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDACTICAS

RECURSOS DE APRENDIZAJE

EVALUACION

Conoce y utiliza los mecanismos de cálculo que facilitan la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas. Identifica los tipos de anualidades Calcula el monto y el valor actual de una anualidad Calcula la renta en función del monto y del valor actual Conoce las formas de cálculo de las variables: periodos de pago de la renta y tasas (Interpolación) Aplica las anualidades o rentas a la realidad financiera con casos prácticos

2.1.- Aplicación de interés compuesto tasas equivalentes efectivas y nominales 2.2.- Anualidades o Rentas, concepto, elementos, clasificación 2.3.- El Monto de una anualidad. 2.4.- El Valor Actual de una anualidad. 2.5.- Cálculo de la renta en función del monto y en función del valor actual. 2.6.- Cálculo del tiempo y de la tasa de interés de una anualidad. 2.7.- Anualidades anticipadas. 2.8.- Anualidades Diferidas. 2.9.- Caso General de Anualidades. 2.10.- Gradientes

A través de la presentación de casos resueltos, el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje, mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver; conocimiento que se refleja en el trabajo (2/3) que debe presentar en el primer hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información

El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio, el texto base, los apéndices que constan en la guía, la bibliografía complementaria, la plataforma tecnológica Pizarra, tiza líquida, lecturas, visitas a instituciones financieras y comerciales.

Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. Revisión, observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen, observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros, chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat, llamadas, otros Evaluación presencial

(12 puntos)


8

Unidad No.2AMORTIZACIONES Y FONDOS DE VALOR FUTURO



EVALUACION

Conoce y utiliza el proceso de amortización gradual, así como la formación de fondos de valor futuro. Construye las tablas de amortización gradual. Reconstruye las tablas de amortización gradual. Calcula los reajustes en las tablas por variación en la tasa de interés en los endeudamientos. Construye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización. Reconstruye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.

3.1.- Concepto de Amortización. 3.2.- Cálculo de la renta o pago periódico. 3.3.- Tablas de amortización. 3.4.- El saldo insoluto, fórmula de cálculo 3.5.- Los derechos del acreedor y los derechos del deudor 3.6.- Número de pagos de una amortización. 3.7.- Tasa de interés en una amortización. 3.8.- Casos de amortización. 3.9.- Depósitos a un fondo de amortización, total acumulado, saldo insoluto, número de depósitos y tasa de interés. 3.10.- Comparación entre amortización y fondo de amortización.

A través de la presentación de casos resueltos, el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje, mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver; conocimiento que se refleja en el trabajo (3/3) que debe presentar en el primer hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales, individuales y virtuales.

El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio, el texto base, los apéndices que constan en la guía, la bibliografía complementaria, la plataforma tecnológica Pizarra, tiza líquida, lecturas, visitas a instituciones financieras y comerciales.

Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. Revisión, observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen, observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros, chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat, llamadas, otros Evaluación presencial

(12 puntos)


9

Unidad No.3:TASAS INTERNACIONALES, TASA REAL, VAN, TIR, PAYBACK, IR, COSTO - BENEFICIO



EVALUACION

Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados en el valor del dinero en el tiempo VAN – TIR para determinar la conveniencia o no de invertir en ellos. Adicionalmente el Payback-descontado, y la relación IR Beneficio / Costo

4.1.- Las tasas internacionales. 4.2.- Combinación de Tasas (TMAR) 4.3.- La tasa de interés real, fórmula de cálculo. 4.4.- El Valor Actual Neto ( VAN) 4.5.- La Tasa Interna de Retorno (TIR) 4.6.- Payback, IR, Relación Costo - Beneficio

A través de la presentación de casos resueltos, el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje, mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver; conocimiento que se refleja en el trabajo (1/2) que debe presentar en el segundo hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales, individuales y virtuales.

El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio, el texto base, los apéndices que constan en la guía, la bibliografía complementaria, la plataforma tecnológica Pizarra, tiza líquida, lecturas, visitas a instituciones financieras y comerciales. Utilización de Excel para los cálculos

Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. Revisión, observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen, observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros, chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat, llamadas, otros Evaluación presencial (12 puntos)


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Unidad No.4:BONOS Y DOCUMENTOS FINANCIEROS



EVALUACION

Conoce, aprende y maneja los Bonos y otros documentos financieros, de renta fija y de renta variable, el precio y rendimiento de los mismos.

5.1 Concepto y clasificación de los documentos financieros. 5.2 Los bonos concepto, elementos 5.3 Fórmulas para calcular el precio y el rendimiento, con premio, a la par o con castigo. 5.4 Precio de un bono comprado entre fechas de pago de cupones.

A través de la presentación de casos resueltos, el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje, mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver; conocimiento que se refleja en el trabajo (2/2) que debe presentar en el segundo hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales, individuales y virtuales.

El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio, el texto base, los apéndices que constan en la guía, la bibliografía complementaria, la plataforma tecnológica Pizarra, tiza líquida, lecturas, visitas a instituciones financieras y comerciales. Utilización de Excel para los cálculos

Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. Revisión, observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen, observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros, chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat, llamadas, otros Evaluación presencial (12 puntos)


1.5 BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA Regresar

BIBLIOGRAFIA BASICA

Matemáticas Financieras, Grupo Alfaomega, Tercera edición 2010, MORA ZAMBRANO,

Armando. (Incluye un CD).

Apéndices (incluidos al final de esta guía) de autoría de: KOLB ALVARADO AlfredoDietter

(e-mail: [email protected] ); PARRA TERÁN Flavio Florencio ( [email protected] )

Anualidades o rentas conceptos y aplicaciones,

Interpolación Lineal, Valor Actual Neto VAN, Tasa Interna de Retorno TIR, Payback,

Relación Costo Beneficio, Tasa real. Bonos

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

1. Matemáticas Financieras, McGraw Hill, Cuarta edición 2006, DÍAZ MATA, Alfredo.

2. Matemáticas Financieras, Cegage, Cuarta edición 2008. VIDAURI, Hector.

3. Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, Cuarta edición 2005 PORTUS-

GOVINDEN-LINCOYÁN

4. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos, McGraw-Hill, 2003

AYRES, Frank Jr.

5. Bolsa de Valores de Quito. Guía del Inversionista Bursátil.

6. Ley del Mercado de Valores, Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993.

7. Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Registro Oficial de mayo de 1992.

NETGRAFÍA Matemáticas Financierashttp://www.matematicas-financieras.com/

Interés compuesto. http://www.youtube.com/watch?v=rxGJaLsRfEc

Transformación de tasas de interés.http://www.calameo.com/read/000663385dd9956f48f77

Temas financieros varios.http://www.enciclopediafinanciera.com

Tasas activas, pasivas referenciales, inflación, riesgo país. http://www.bce.fin.ec/

Anualidades.htth?v=9DwiF8Q02EIp://www.youtube.com/watc

Temas relacionados a la materia: www.gestiopolis.com ; www.monografias.com;

www.aulafacil.com; www.eumed.net

mailto:[email protected]

http://www.matematicas-financieras.com/

http://www.youtube.com/watch?v=rxGJaLsRfEc

http://www.calameo.com/read/000663385dd9956f48f77

http://www.enciclopediafinanciera.com/

http://www.bce.fin.ec/

http://www.youtube.com/watch?v=9DwiF8Q02EI

http://www.gestiopolis.com/

http://www.monografias.com/

http://www.aulafacil.com/

http://www.eumed.net/

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA MATERIA -------------------------------------------------------------------- 13

INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA PRIMERA PARTE --------------------------------------------------------- 16 UNIDAD I --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 TÍTULO: Anualidades o Rentas ----------------------------------------------------------------------------------------- 18 Explicaciones y ejemplos: ------------------------------------------------------------------------------------------------ 20 Consultas en el texto ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 25 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 26 Trabajo para entregar y calificar 1de 2. ------------------------------------------------------------------------------- 27 Respuestas Ejercicios Bloque I ----------------------------------------------------------------------------------------- 31 UNIDADII --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 34 TÍTULO: Amortizaciones y fondos de amortización ---------------------------------------------------------------- 34 Explicaciones y ejemplos: ------------------------------------------------------------------------------------------------ 35 Consultas en el texto ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 40 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 40 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41 Trabajo para entregar y calificar 2 de 2. ------------------------------------------------------------------------------ 42 Respuestas Ejercicios Unidad II ---------------------------------------------------------------------------------------- 45 Introducción General de la segunda parte --------------------------------------------------------------------------- 49 UNIDAD III ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 51 TÍTULO: TMAR, Valor Actual Neto VAN, la Tasa Interna de Retorno TIR, Payback, Relación IR Beneficio/Costo y la Tasa Real------------------------------------------------------------------------------------------ 51 Explicaciones y ejemplos: ------------------------------------------------------------------------------------------------ 52 Consultas en el texto ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 55 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 Trabajo para entregar y calificar 1 de 2. ------------------------------------------------------------------------------ 57 Respuestas Ejercicios Unidad III --------------------------------------------------------------------------------------- 61 UNIDAD IV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 64 TÍTULO: Documentos Financieros y Bonos ------------------------------------------------------------------------- 64 Explicaciones y ejemplos: ------------------------------------------------------------------------------------------------ 66 Consultas en el texto ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 67 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 67 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 68 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 68 Respuestas Ejercicios Bloque IV --------------------------------------------------------------------------------------- 70 APÉNDICESAPÉNDICE 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------72

ANUALIDADES o RENTAS ---------------------------------------------------------------------------------------------------73

APÉNDICE 2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------95

INTERPOLACIÓN LINEAL ----------------------------------------------------------------------------------------------------95

APENDICE 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 102 ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO --------------------------------------- 102 GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL ------------------------------------------------------------------------------ 102 GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL --------------------------------------------------------------------- 107 APÉNDICE 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 113

MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Y TOMAR LA DECISIÓN. ------------------ 113 TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo --------------------------------------------------------------------- 116 Entidad ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 118 APÉNDICE 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 128

BONOS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 128

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INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA MATERIA

En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a: anualidades, amortizaciones, fondos de valor futuro, documentos financieros, bonos, tasas de interés internacionales, tasa real, análisis de conveniencia de invertir a través de indicadores como VAN, TIR, Payback, Relación Costo Beneficio, que son necesarios en las actividades financieras especialmente en el largo plazo, para financiar compras de bienes inmuebles y muebles, financiamiento, negociación con documentos, y aseguramiento de todos los bienes; que tienen aplicación en la formación del administrador profesional. La materia tiene relación con otras tales como: Contabilidad en todos sus niveles, Administración Financiera, Estadística, Producción, Proyectos, Seguros, Matemática en todos sus niveles, administración, legislación financiera y bancaria y otras. IMPORTANCIA DE LA MATERIA ¿Para qué sirve esta asignatura? Dentro del mundo de los negocios, se enfrentará muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera En el caso que nos ocupa, su formación en la especialidad profesional de Administración, la asignatura de matemática financiera le permitirá, que en el momento que desempeñe en una empresa un cargo en los niveles de apoyo o de dirección, tenga las herramientas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión. En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa. COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA El estudiante de Matemática Financiera II, continúa con el aprendizaje y manejo delas técnicas y herramientas financieras, orientándolas a la aplicación profesional bien sea en las micro, pequeñas medianas y grandes empresas así como en instituciones financieras y el manejo de las finanzas personales de manera que los recursos económicos sean invertidos productivamente, sin descuidar el aspecto humano.

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MACRO CONTENIDOS DE LA MATERIA

Anualidades o Rentas

Amortizaciones y Fondos de Amortización

Aplicación de flujos descontados y tasas

Bonos y documentos financieros MÉTODOS DE APRENDIZAJE SUGERIDOS

Obligatoria lectura comprensiva

Elaboración de resúmenes

Ejemplificación

Resolución de ejercicios ESTRUCTURA DE LA GUÌA

La guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en su estudio, la misma está conformada por dos partes, que contienen: las competencias, explicaciones conceptuales, ejemplos, autoevaluaciones y ejercicios, Se ha programado en la materia para desarrollarla en una forma sistematizada y ordenada, de modo que puedas adquirir el conocimiento de manera paulatina, aplicando el método científico, que es gradual en el avance, lógico y sistemático, en la utilización de sus procedimientos y, es usado por los estudiosos y hombres de ciencia para, sobre la base de sus resultados, tomen decisiones que conlleven a soluciones de diversa naturaleza. Las dos partes en que se ha dividido esta guía, contienen dos bloques cada una. La primera parte trata los temas que deben verse para la presentación del primer trabajo a entregar, y la segunda parte lo que corresponde para el segundo trabajo. Es importante que lea detenidamente las indicaciones impartidas para que pueda conseguir el objetivo propuesto en cada uno de los bloques.

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TEXTOS BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Matemáticas Financieras, Grupo Alfa & Omega, Tercera edición 2007, MORA

ZAMBRANO, Armando. (Incluye un CD).

Apéndices (incluidos al final de esta guía) de autoría de: KOLB ALVARADO, Alfred Dieter y PARRA TERÁN, Flavio Florencio

- Anualidades o rentas conceptos y aplicaciones - Anualidades con gradiente aritmético y geométrico. - Interpolación Lineal - Valor Actual Neto VAN, Tasa Interna de Retorno TIR, Payback, Relación Costo Beneficio, Tasa real. - Bonos BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Matemáticas Financieras, McGraw Hill, Tercera edición 1999, DÍAZ MATA, Alfredo.

Matemáticas Financieras, Thomson Learning, Quinta edición 2002. HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ, Abraham.

Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos, McGraw-Hill, 2003 AYRES, Frank Jr.

Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, PORTUS-GOVINDEN-LINCOYÁN

Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, Segunda edición 1999, ALVAREZ, Alberto .

Bolsa de Valores de Quito. Guía del Inversionista Bursátil.

Ley General de Instituciones del Sistema Financiero. Registro Oficial 439, Suplemento, de 12 de mayo de 1994.

Ley del Mercado de Valores, Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993.

Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Registro Oficial de mayo de 1992. SITIOS DE INTERES EN LA WEB

www.bce.fin.ec

www.superban.gov.ec

www.bnf.fin.ec

www.gestiopolis.com

www.monografias.com

www.abanfin.com

www.aulafacil.com

www.eumed.net


http://www.superban.gov.ec/

http://www.bnf.fin.ec/

http://www.gestiopolis.com/

http://www.monografias.com/

http://www.abanfin.com/

http://www.aulafacil.com/

http://www.eumed.net/

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Introducción General de la primera parte

El primer bloque trata sobre anualidades su clasificación y aplicaciones en las finanzas. El segundo bloque presenta la elaboración de las tablas de amortización y de fondos de amortización su aplicación a créditos y fondos, además de la reconstrucción de tablas cuando ha ocurrido un cambio de las condiciones iniciales del préstamo sea por pago del capital o reajuste periódico de tasas. Como apoyo en su aprendizaje al final de la guía, tiene un apéndice relacionado a las anualidades, su clasificación y aplicaciones; las tablas de amortización y de fondo de amortización y la reconstrucción de las mismas. Este apéndice reforzará de manera más explícita los conocimientos adquiridos en el texto guía. Importancia de la primera parte Estos dos bloques que conforman la primera parte de la asignatura Matemáticas Financiera II, son parte fundamental para introducirte en el mundo de las finanzas para la negociación de créditos en las mejores condiciones, constitución de fondos para reposición de activos o para la obtención de rentas futuras. Objetivos de la primera parte Al finalizar la primera parte, será capaz de: - Aplicar los diferentes tipos de anualidades y aprovecharlas para la obtención

de recursos financieros que permitan solventar las necesidades de efectivo. - Podrá estructurar las tablas de amortización de préstamos o de fondos de

amortización. Contenidos de la primera parte Bloque 1.- ANUALIDADES O RENTAS Bloque 2.- AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACION Métodos de estudio sugeridos (específicos)



Ejemplificación

Resolución de ejercicios Duración del estudio. Bloque 1: 4 semanas de 16 horas. Bloque 2: 4 semanas de 16 horas.

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Orientaciones específicas.

Para el mejor aprovechamiento de su aprendizaje, le sugiero seguir las siguientes orientaciones:

- Planificar un horario adecuado a sus actividades diarias. - Defina en un lugar apropiado de estudio. -Le recomendamos dedicar1 hora para estudio teórico y 3 horas parael desarrollo de ejercicios prácticos en la semana.

Lea reflexivamente el contenido de la guía. No prosiga en un nuevo tema sino comprendió.

Revise detenidamente los ejercicios resueltos que trae el texto, procurando entender el porqué de los aspectos matemáticos utilizados, su uso, el porqué de la secuencia metodológica de la materia.

Solucione tus inquietudes acudiendo a los tutores de la asignatura, considerando el horario que has destinado para esta actividad.

Cumpla con tus trabajos a conciencia individualmente o en grupo de estudio, pero recuerde que no implica que los trabajos sean iguales.

Recuerde qué es la tutoría? No es esperar la resolución de las tareas a ti asignadas, en la guía de estudios. Es recibir orientaciones, consejos adicionales, pedir te señale el rumbo correcto en la resolución de la guía. En suma, la tutoría es “facilitar el camino para un estudio exitoso”. A través de tutorías vía telefónica, Internet, o asistiendo al ISED. Se efectúa sobre aspectos puntuales y concretos, que a tu criterio están confusos, te generan dudas y, que tú ya has intentado resolver, por lo que requieres explicación aclaratoria por parte de tu PROFESOR – TUTOR. La auto evaluación será permanente durante el desempeño de esta guía

Vinculación con conocimientos anteriores

Tener conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales:

Elementos de álgebra;

Tasas de interés y su equivalencia, Interés Simple y Compuesto

Por eso, le sugerimos que utilice la bibliografía recomendada.

No tema, que podrá contar con nuestra ayuda, adelante!

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UNIDAD I

TÍTULO: Anualidades o Rentas

COMPETENCIAS

Conoce y utiliza los mecanismos de cálculo que facilitan la forma de acumular

capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas.

Identifica los tipos de anualidades

Calcula el monto y el valor actual de una anualidad

Calcula la renta en función del monto y del valor actual

Conoce las formas de cálculo de las variables: periodos de pago de la renta y

tasas (Interpolación)

Aplica las anualidades o rentas a la realidad financiera con casos prácticos

CONTENIDOS

1.- ANUALIDADES O RENTAS

1.1.- Anualidades o Rentas, concepto, elementos, clasificación

1.2.- El Monto de una anualidad.

1.3.- El Valor Actual de una anualidad.

1,4.- Cálculo de la renta en función del monto y en función del valor actual.

1.5.- Cálculo del tiempo y de la tasa de interés de una anualidad.

1.6.- Anualidades anticipadas.

1.7.- Anualidades Diferidas.

1.8.- Caso General de Anualidades.

1.9.- Anualidades con gradiente aritmético

1.10.- Anualidades con gradiente geométrico

TIEMPOS

Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de cuatro semanas

de estudio.

CONCEPTOS PRINCIPALES

Anualidad:

Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos, que cumplen con las

siguientes propiedades:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo.

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3. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final

(Monto = S) de la serie a la misma tasa de interés.

4. El número de pagos es igual al número de periodos.

5. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no

sea anual. Pudiendo ser quincenales, mensuales, trimestrales, etc..

Términos relacionados:

Renta (R): Es el pago periódico.

Periodo o Intervalo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos

periódicos continuos.

Tasa de interés (i): Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas,

el cual puede estar expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva; pero

para el cálculo debe expresarse conforme el periodo de pago de la renta.

Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que media entre el inicio del primer

periodo y el final del último periodo.

Clasificación de las anualidades:

1.- Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará

cada uno de ellos. Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias),

Anticipadas o Diferidas.

1.1.- Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de

interés coincide con el periodo de pago de la renta.

1.1.1.- Vencidas (Ordinaria)

1.1.2.- Anticipadas 1.1.3.- Diferidas

1.2.-Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de

interés no coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de

pagos mensuales con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos

semestrales con una tasa que se capitaliza trimestralmente.

2.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de

inicio del primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un

evento que se sabe que sucederá pero que se desconoce cuándo. Igualmente

pueden ser Vencidas (Ordinarias), Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro

contra incendios, un seguro de vida, etc.

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3.-Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una

anualidad que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad

se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran intereses

periódicamente.

4.- Anualidades con gradiente. Se denomina gradiente a una serie de flujos de

caja (ingresos o desembolsos)periódicos que poseen una ley de formación, que

hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con

relación al flujo de caja anterior, en una cantidad constante o en un porcentaje. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir

lassiguientes condiciones:

Los flujos de caja deben tener una ley de formación.

Los flujos de caja deben ser periódicos

Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro

equivalente.

La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

Explicaciones y ejemplos:

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS

1. Si el problema se enuncia por escrito, léelo cuidadosamente tantas veces como

sea necesario, piensa en los datos que le dan, junto con la cantidad desconocida que debe encontrar.

2. Denote la cantidad desconocida mediante una letra. ¡Este es uno de los pasos cruciales en la solución!. Las frases que contienen palabras como: “qué, determine, encuentre, cuánto, a que tiempo, o cuando”, nos indican la cantidad desconocida.

3. Realice un dibujo, un gráfico, o un esquema con las anotaciones apropiadas “RECTA TIEMPO VALOR”

4. Haz una lista de los datos conocidos, junto con las relaciones que contienen la cantidad desconocida. Estas relaciones se pueden describir por medio de una ecuación “FÓRMULAS O ECUACIONES DE VALOR”.

5. Despeja de la fórmula básica, la variable desconocida si es necesario y reemplaza con los datos conocidos en el paso 4.

6. Efectúe los cálculos. 7. Verifique las soluciones obtenidas en el paso anterior, refiriéndolas al

enunciado original del problema. “NO SE OLVIDE DE EMITIR TU CRITERIO FINANCIERO”.

8. No se desanime si no puede resolver un problema dado. Se requiere esfuerzo y mucha práctica para adquirir habilidad para resolver problemas aplicados. ¡SIGA INTENTANDO!

21

A continuación le presento algunos ejemplos sobre anualidades e índico el procedimiento para resolver, tendrá que los analizar y posteriormente resolver usted solo sin mirar la solución dada, esto asegurará que ha aprendido. Entonces podrás seguir ejercitándose, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. Ejercicio No. 1 Mercedes Lozada hace depósitos mensuales de $ 300, el primer depósito lo efectúa al cumplir un mes de nacido su hijo; y lo continúa haciendo hasta cuando cumpla la mayoría de edad, (18 años) para hacerle la entrega del monto acumulado. Durante los primeros siete años la cuenta pagó el 28% anual convertible mensualmente; y en los siguientes once años el 2% mensual. ¿Cuánto es el monto acumulado que recibe?

. . . . .

0 1 2 3 84 216

R=300/mes

j=28%a.c.m i=2% mensual

Recuerde la definición de anualidad, para este ejemplo tenemos dos clases de anualidades diferenciadas por la tasa de interés. Para la primera tenemos una tasa de interés del 28% a.c.m que de acuerdo a la clasificación viene a ser una ACGVA y la segunda que tiene una tasa de interés del 2% mensual y es ACSVA.

i =j

m i =

28%

12= 2.33% mensual

S1 = R(1 + i)n − 1

iS1 = 300

(1 + 0.0233)84 − 1

0.0233= 76.252,67

S2 = R(1 + i)n − 1

iS2 = 300

(1 + 0.02)132 − 1

0.02= 189.792,45

X = S1(1 + i)132 + S2

X = 76.252,67(1 + 0.02)132 + 189.792,45 = 1´230.857,17 Ejercicio No. 2 Werner Kolb recibe un préstamo de $ 23.000 a 5 años plazo para la adquisición de un automóvil, comprometiéndose a pagar cuotas mensuales a una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente. Calcular el valor de la cuota a pagar y el total de intereses.

22

. . . . .

0 1 2 3 60

R=mes j=15%a.c.m

23.000

59

Clasificación de la anualidad: ACGVI

𝐢 =𝐣

𝐦 𝐢 =

𝟏𝟓%

𝟏𝟐= 𝟏. 𝟐𝟓% 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥

𝐀 = 𝐑𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧

𝐢 𝟐𝟑. 𝟎𝟎𝟎 = 𝐑

𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)−𝟔𝟎

𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓

𝐑 = 𝟓𝟒𝟕. 𝟏𝟕

𝐈 = 𝐧 ∗ 𝐑 − 𝐀 𝐈 = 𝟔𝟎 ∗ 𝟓𝟒𝟕. 𝟏𝟕 − 𝟐𝟑. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟗. 𝟖𝟑𝟎, 𝟏𝟎 Ejercicio No. 3

Walter Gaibor recibe un préstamo al Bancario a 5 años plazo e indica que su capacidad de pago es de $250 mensuales. Calcular el valor del préstamo que el banco le concedería si le cobra una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente?

. . . . .

0 1 2 3 60

R=250/mes j=18%a.c.m

A

59


𝐴 = 𝑅1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖 𝐴 = 250

1 − (1 + 0.015)−60

0.015

𝐴 = 9.845,07 Ejercicio No. 4

A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $600.000 luego de 15 depósitos semestrales de $12.000.

23

0 1 2 3 4 14 15

R=12.000/semestre i=?

600.000

𝑆 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 600.000 = 12.000

(1 + 𝑖)15 − 1

𝑖

50 =(1 + 𝑖)15 − 1

𝑖

El objetivo es encontrar la tasa i de acuerdo al apéndice 2 “Interpolación lineal” La pregunta? qué valor se da a i. Al ser arbitrario; iniciemos con un valor del 1%.

i 0,01 0,02 0,05 0,1 0,15 0,16

VR 16,097 17,293 21,579 31,772 47,58 51,66

La diferencia entre el 1% y 2%, crece pero un valor pequeño, así mismo arbitrariamente vaya al 5%, así como al 10%. Entre el 5% y 10% la diferencia es prácticamente de 10, podría subir al 15% que sumado al 31, 77 le daría algo como 41,…continúe con el proceso.

Entre 15%(47,58) y 16%(51,56) está el valor buscado (50), utilice la fórmula de interpolación lineal.

Puntos: (47,58 , 0,15)(51,66 , 0,16)

𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑖 = 0.15 +0.16 − 0.15

51.66 − 47.58(50 − 47.58)

𝑖 = 0.1559 𝑖 = 15.59% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝑗 = 𝑖𝑥𝑚 𝑗 = 15.59%𝑥2 = 31.18% 𝑎. 𝑐. 𝑠 El presente cálculo se lo puede realizar con mayor exactitud, utilizando el Excel para encontrar valores más cercanos para realizar la interpolación.

Ejercicio No. 5

Astrid Solano debe cancelar una deuda de $50.000 en dos años para lo cual abre una cuenta de inversión en donde decide hacer doce depósitos bimestrales, la cuenta paga el 4,5% bimestral. ¿Cuál es el valor de los depósitos anticipados que debe realizar?

24

…..

0 1 2 3 11 12

R=bimestral i=4.5% bimestral

50.000

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛+1 − 1

𝑖− 1]

50.000 = 𝑅 [(1 + 0.045)12+1 − 1

0.045− 1] 𝑅 = $3.094,08 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

NOTA: Puede utilizar la formula: 𝑆 = 𝑅 [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] (1 + 𝑖)

50.000 = 𝑅 [(1 + 0.045)12 − 1

0.045] (1 + 0.045)

𝑅 = $3.094,08 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Ejercicio No. 6

Si se compra de contado una cocina se debe pagar $ 800. Se puede adquirir mediante 6 pagos bimestrales, el primero de los cuales debe ser realizado 6 meses después de la adquisición. La tasa de interés es del 3,5% bimestral. ¿Cuál es el valor de los pagos?

0 1 2 3 4 8

$800

R=bimestral i=3.5% bimestral

A

FF

Clasificación de la anualidad: ACGVD

𝑃𝐴𝐺𝑂𝑆 = 𝐷𝐸𝑈𝐷𝐴𝑆 𝑅𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑒: 𝐴 = 𝑅1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

800 = 𝐴(1 + 𝑖)−2 800 = 𝑅1 − (1 + 0.035)−6

0.035(1 + 0.035)−2

𝑅 = $160.83 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

25

Consultas en el texto

Para su mejor comprensión estudie en el texto guía el capítulo 6 páginas 165 a la 185, adicionalmente estudie el apéndice de Anualidades que se encuentra en esta guía.

Ejercicios

a) Resuelva los siguientes ejercicios: 1.- Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado, misma que se encuentra de venta. La Primera consistía en $350.000 de contado. La segunda consistía en $100.000 al contado y $10.200 cada fin de mes durante 30 meses. La tercera oferta era $10.498 al mes durante tres años, sin enganche. Considerando una tasa de interés del 0,6% mensual, ¿cuál de estas oferta le conviene aceptar? 2.- KADA Electronics S.A. ofrece una cámara de video, al contado en $478,50 o en pagos mensuales anticipados de $18,74 cada uno. Determine el número de pagos que se debe realizar, si se carga un interés del 24,6% anual capitalizable mensualmente. 3.- Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos bimestrales de $4.500 si el interés es de 5% trimestral. Utilice el método de tasa equivalente. b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

AFIRMACIÓN V F

Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales X

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de la tasa de interés se trata de una anualidad caso general

X

Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia

X

Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo X

Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una perpetuidad o anualidad perpetua

X

La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa nominal o tasa efectiva.

X

La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal X

Auto evaluación

Hasta el momento cómo te evalúas: Excelente, bien, regular o mal. Si no te evalúas al menos de “Bien”, debes volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, tú lo puedes hazlo con entusiasmo. Si te sientes bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.

26

Consolidación

A fin de que tenga una mejor compresión de lo visto en este bloque

referente a anualidades, estudie el apéndice “Anualidades o Rentas,

Conceptos y Aplicaciones”, el mismo que se encuentra al final de la

guía, seguro que éste será de gran apoyo en su aprendizaje.

27

Trabajo para entregar y calificar 1de 2.

El trabajo debe ser realizado a mano. “Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía, usted debe haber revisado los Apéndices 1 y 2 que se encuentran al final de la guía.” 1. Baje de la web del Banco Central del Ecuador www.bce.fin.ec las “Tasas Efectivas

Referenciales” que se encuentren vigentes a la fecha en que usted realiza su trabajo, (adjunte el impreso)

2. Transforme las tasas indicadas

No. Tasa Transforme a tasa nominal

Transforme a tasa efectiva

Tasas Vencidas

a. 9.5% a.c.t a.c.b. semestral

b. 4.50% cuatrimestral a.c.b cuatrimestral

c. 5.20% a.c.b a.c.t. mensual

d. 8.50% semestral a.c.b. bimestral

NOTA: En los siguientes ejercicios realice la gráfica tiempo-valor correspondiente y reconozca el tipo de anualidad de que se trata conforme el cuadro sinóptico de clasificación de las anualidades. 3. Un equipo industrial cuyo valor de contado es de $19.500 se vende dando $3.500

de cuota inicial y 15 cuotas mensuales, a una tasa efectiva del 10% anual. Determine el valor de la cuota mensual.

4. La CFN, para incentivar el desarrollo de la ganadería lechera, otorga un préstamo

a ser pagado bajo las siguientes condiciones: $8.000 semestrales durante 10 años, debiéndose pagar la primera cuota dentro de 4 años. Determine el valor del préstamo si la tasa activa es del 6% a.c.t..

5. Carlos Terán en el momento que nació su hija, depositó $200 en una cuenta de

ahorros que abona el 9% anual; dicha cantidad la deposita cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus depósitos a $500. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

6. Determine la suma que debe depositar KWAP S.A. a principio de cada año, en

un fondo para sustitución de equipos, que paga el 4.5% a.c.s... El costo los equipos es de $300.000, tienen una vida útil de 6 años, y su valor de salvamento se estima en el 15%.

7. Una mina en explotación tiene una producción anual de $6’500.000 y se estima

que se agotará en 10 años. a) Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del

12% anual.


28

b) Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 30% de la producción.

8. Manuel Collaguazo deposita $100.000 en el Banco del Pacifico, con la intención

de que dentro de 18 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $4.000, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

9. A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $500.000 luego de 15 depósitos semestrales de $10.000.

10. Minera del EXPLORAT adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de

ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 7 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $3.500.000. Se supone que la tasa comercial es del 8% a.c.t. y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación. a) Encuentre el valor futuro de la renta que espera obtenerse. b) Encuentre el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la

adquisición de los yacimientos. 11. Los ex alumnos de la MAD promoción 2014; deciden donar a la institución un

laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $80.000 y el mantenimiento se estima en $5.000 anuales. a) Hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 6% anual.

12. La Junta Parroquial de San Peregrino para mantener en buen estado las carreteras

vecinales, decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6% anual.

13. El Vinicio Estrella compró una casa por la cual dio de enganche $ 20.000 y 84

pagos mensuales de $550,00; si la tasa de interés es del 24% a.c.m: a) ¿Cuál sería el precio de contado de la casa? b) Si el Sr. Estrella omitiera pagar los 15 primeros pagos, c) ¿Cuánto tendría que pagar al vencimiento del mes 16? d) Si el Sr. Estrella omitiera pagar los 20 primeros pagos y quisiera liquidar el total

de la deuda al vencimiento del mes 21, ¿Cuánto tendría que pagar?.

14. Roberto crea un fondo, mediante depósitos mensuales de $250, los depósitos generarán un interés del 4.5% a.c.b.. Determine:

a) El valor que tendrá el fondo dentro de 8 años b) El total de los depósitos a lo largo de los 8 años c) El interés total que se devengo

15. El Comité Pro-Mejoras de Las Colinas del Sur prevé sustituir un equipo de bombeo de agua para riego, mismo que tendrá una vida útil de 20 años su costo será $ 30.000 más $5.000 por instalación. Por esta razón los miembros del

29

Comité han decidido crear un fondo mediante pagos mensuales a una tasa del 9% a.c.b.

a) Establezca el valor de cada depósito que permita el reemplazo e instalación del equipo de bombeo. b) Si el Comité está conformado por 150 socios; cuál es la cuota mensual de cada socio?.

16. Aarón tiene una deuda de $25.000 a cancelarse mediante pagos mensuales

durante 5 años con una tasa del 16,5% a.c.m.. Al finalizar el primer año hace un pago adicional de $2.500. A continuación acorta el periodo de pago en 1 año y renegocia el préstamo, sin modificar la tasa de interés.

a) Calcule el valor de las cuotas R1 y R2. b) Determine la cantidad de intereses que ahorra con el refinanciamiento.

17. En lugar de estar pagando $350 de renta al principio de cada mes, por los próximos 10 años, María López decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor efectivo de los 10 años de renta al 10.6% convertible mensualmente?

18. Constructora PROINMOBILIAR: solicita un préstamo bancario para un proyecto

inmobiliario a 4 años plazo, pagando cuotas bimestrales durante los 2 primeros años y en tiempo restante cuotas mensuales del mismo valor a una tasa de interés del 12%. Para seguridad del crédito el banco le entregara $250.000 ahora y $350.000 después de 14 meses. Determine la cuota a cancelar.

19. Una empresa necesitará reponer una máquina dentro de 6 años, la cual, en ese

momento tendrá un valor de mercado de $ 150.000. De acuerdo a estudios de mercado realizados, se espera que la máquina cueste alrededor de $ 1´150.000 y se decide hacer un fondo para cubrir el costo. Si se puede obtener una tasa de interés del 14% a.c.s, ¿Cuánto se tiene que depositar cada cuatrimestre para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil?

20. Al cumplir 45 años Roberto deposito $1.500 en un fondo que paga el 6%, y

continuo haciendo depósitos similares cada año, el ultimo al cumplir 60 años. A partir de los 63 años, Rafael desea hacer retiros anuales de $3.000. (a) ¿Cuántos de dichos retiros podrá hacer? (b) ¿Con que retiro final, hecho un año después del último retiro completo, se agotara el fondo?

21. FRANCELANA realiza el estudio de un proyecto en que puede pagar 40 cuotas bimestrales de $4.500 y dos cuotas extraordinarias de $15.000, $25.000 y $30.000 en los meses 18, 26 y 42 respectivamente. El estudio es presentado en una institución financiera que cobra como intereses el 9% ¿Cuál será el valor del crédito otorgado por el banco con esas condiciones?

22. La Cadena Hotelera Paraiso contrata hoy servicios de limpieza por un año a la

compañía Mantenimiento y Limpieza. Ambas empresas convienen en que el pago se realice de la manera siguiente: Tres pagos bimestrales de $ 10.000 al final de cada uno de los primeros tres bimestres, 4 pagos mensuales de $10.000 al final de cada mes, y finalmente 4 abonos quincenales vencidos de $7.500 cada uno. Suponga que la tasa de interés es del 15% anual capitalizable mensualmente.

30

a) Cuánto se pagaría al comenzar el año, si en lugar de estos 11 abonos se hiciera un solo pago. b) Cuánto se pagaría si se hicieran 2 pagos iguales, uno al comenzar el plazo de un año y otro a los 6 meses.

23. La Cooperativa de Ahorro Amaguaña, le ofrecen un préstamo de $10.000 sin

pagos durante 6 meses, y después $600 mensuales durante 1 año, y $500 mensuales durante el año siguiente.

a) Determine la tasa efectiva anual que se cobra en este préstamo

24. El valor de un automóvil se cancela en 20 cuotas mensuales, que aumentan cada

mes en $ 2, y el valor de la primera es de $ 600. Si la tasa de interés es del 2% mensual, hallar el valor del automóvil.

25. . Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 24 pagos mensuales

que aumentan cada mes en $ 100, pero el primer pago por valor de $ 2.000 se realizó 12 meses después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 2.5% mensual. Durante los primeros 12 meses se cobró una tasa de interés del 2,0% mensual.

26. Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 85.000, se le

plantea el siguiente plan: 25% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 2,0% mensual, y un abono extraordinario en el mes 16 por valor de $ 10.000, si la tasa de financiación es del 3% mensual, calcular el valor de la primera cuota.

27. Un préstamo de $ 30.000 se cancela con 20 cuotas mensuales que disminuyen en

1,8% cada mes, calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de financiación es del 2,5% mensual.

31

Respuestas Ejercicios Bloque I

a) Resuelva los siguientes ejercicios

1.- Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado,

misma que se encuentra de venta. La Primera consistía en $350.000 de

contado. La segunda consistía en $100.000 al contado y $10.200 cada fin de

mes durante 30 meses. La tercera oferta era $10,498 al mes durante tres años,

sin enganche. Considerando una tasa de interés del 0.6% mensual, ¿cuál de

estas oferta le conviene aceptar?

Solución:

Para poder comparar las tres ofertas, es necesario determinar el valor de

contado equivalente de cada una, esto es el pago inicial si lo hubiese más el

valor actual de la anualidad.

Oferta 1.

Precio de contado = $350.000

Oferta 2.

Precio de contado = 100.000 + 10.200 1-(1+0,006)-30

0,006

Precio de contado = $379.276,71

Oferta 3.

Precio de contado = 10.498 1-(1+0,006)-36

0,006

Precio de contado = $ 338.988,28

Sobre la base de estos valores, tenemos que la oferta 2 es la que más le

conviene.

2.- KADA Electronics S.A. ofrece una cámara de video, al contado en $478,50

o en pagos mensuales anticipados de $18,74 cada uno. Determine el número

de pagos que se debe realizar, si se carga un interés del 24,6% anual

capitalizable mensualmente.

Solución:

Se trata de una anualidad anticipada

32

A = 478,50

R = 18,74

i = 0,246/12 = 0,0205

n = ?

Se debe despejar n de la fórmula de valor actual de una anualidad

anticipada, y se obtiene:

n = 1 - log(1+i –(Ai/R))

log(1+i)

n = 1 – log(1+0,0205-(478,50x0,0205/18,74))

log(1+0,0205)

n = 35,448 meses en teoría; en la práctica el resultado se debe ajustar a un

número entero. Se tienen dos posibilidades: 35 pagos iguales de 18,74 al

principio de cada mes y un último pago menor al inicio del mes 36 o 34

pagos iguales y un último pago mayor. Tomando la primera opción tenemos

que calcular el valor del pago que amortiza toda la deuda, entonces

establezco la ecuación de valor:

478,50 = 18,74 1+ (1-(1+0,0205)-35+1) + X (1+0,0205)-35

0,0205

Despejo X

X = $8,44 es el valor del último pago a realizar.

3.- Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos

bimestrales de $4500 si el interés es de 5% trimestral. Utilice el método de tasa

equivalente.

R = $4.500

i = 5% trimestral

n = 24 depósitos bimestrales

Solución:

Se trata de una anualidad caso general por lo que se debe transformar la

tasa trimestral a bimestral

(1+0.05)4 = (1+i2)6 ; (1+0,05)4/6 – 1 = i2 ; i2 = 0,033062 bimestral

M = 4.500 (1,033062)24 – 1 = $161.000,68

0,033062

33

A = 4.500 1- (1,033062)-24 = $73.755,95 0,033062

b) VERDADERO O FALSO

AFIRMACIÓN V F

Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales X

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de la tasa de interés se trata de una anualidad caso general

X

Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia

X

Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo X

Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una perpetuidad o anualidad perpetua

X

La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa nominal o tasa efectiva.

X

La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal X

34

UNIDADII

TÍTULO: Amortizaciones y fondos de amortización

COMPETENCIAS

Conoce y utiliza el proceso de amortización gradual, así como la formación de

fondos de valor futuro.

Construye las tablas de amortización gradual.

Reconstruye las tablas de amortización gradual.

Calcula los reajustes en las tablas por variación en la tasa de interés en los

endeudamientos.

Construye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.

Reconstruye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.

CONTENIDOS

2.- AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN

2.1.- Concepto de Amortización.

2.2.- Cálculo de la renta o pago periódico.

2.3.- Tablas de amortización.

2.4.- El saldo insoluto, fórmula de cálculo

2.5.- Los derechos del acreedor y los derechos del deudor

2.6.- Número de pagos de una amortización.

2.7.- Tasa de interés en una amortización.

2.8.- Casos de amortización.

2.9.- Depósitos a un fondo de amortización, total acumulado, saldo

Insoluto, número de depósitos y tasa de interés.

2.10.- Comparación entre amortización y fondo de amortización

TIEMPOS

Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de cuatro semanas

de estudio.


Amortización:

Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va cancelando

una deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos.

Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor):

35

Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta, o el valor presente de los

pagos que faltan por hacerse.

Capital Pagado: (Derecho del Deudor=Parte amortizada)

Es la parte de la deuda que a la fecha está cubierta.

Amortización Gradual: (Método Francés de amortización)

En este método la cuota o pago es fijo durante los periodos de pago.

Fondo de amortización o de valor futuro:

Es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos los cuales devengan

un interés de manera que luego de transcurrir un determinado número de periodos

se alcanza una cantidad prefijada.


A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera como se construyen y reconstruyen las tablas de amortización y de fondos de valor futuro, para esto, tendrá que los analizar y posteriormente resolverlos usted solo sin mirar la solución dada, esto asegura que ha aprendido. Entonces podrá seguir ejercitándose, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. Ejercicio No. 1 Sinka S.A. obtiene un préstamo de $ 30.000 a tres años plazo con una tasa de interés del 17,5 % anual capitalizable trimestralmente, que tiene que pagar mediante cuotas trimestrales. Calcular la cuota trimestral y elaborar la tabla de amortización.

……..

0 1 2 3 11 12

j=17.5%a.c.tR=trimestral

30.000


𝒊 =𝒋

𝒎 𝒊 =

𝟏𝟕. 𝟓%

𝟒= 𝟒. 𝟑𝟕𝟓% 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍

𝑨 = 𝑹𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏

𝒊 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹

𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟕𝟓)−𝟏𝟐

𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟕𝟓

36

𝑹 = $𝟑. 𝟐𝟔𝟔, 𝟓𝟎 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍

columna b c d e

N bn=bn-1-e n-1 bxi R=c+e R-c

Período Cap. Insol Inicio Período

Int. Venc Fin Período

Cuota pago

Capital Pagado

1 30.000,00 1.312,50 3.266,50 1.954,00

2 28.046,00 1.227,01 3.266,50 2.039,49

3 26.006,51 1.137,78 3.266,50 2.128,72

4 23.877,79 1.044,65 3.266,50 2.221,85

5 21.655,94 947,45 3.266,50 2.319,06

6 19.336,88 845,99 3.266,50 2.420,51

7 16.913,37 740,09 3.266,50 2.526,41

8 14.389,96 629,56 3.266,50 2.636,94

9 11.753,02 514,19 3.266,50 2.752,31

10 9.000,71 393,78 3.266,50 2.872,72

11 6.127,99 268,10 3.266,50 2.998,40

12 3.129,58 136,92 3.266,50 3.129,58

Total 9.198,03 39.198,03 30.000,00

Otra forma en la que se presenta la tabla de amortización, cuya utilización es más común

Periodo Renta Intereses Capital

Saldo Insoluto

0 30.000,001 3.266,50 1.312,50 1.954,00 28.046,002 3.266,50 1.227,01 2.039,49 26.006,513 3.266,50 1.137,78 2.128,72 23.877,794 3.266,50 1.044,65 2.221,85 21.655,945 3.266,50 947,45 2.319,06 19.336,886 3.266,50 845,99 2.420,51 16.916,377 3.266,50 740,09 2.526,41 14.389,968 3.266,50 629,56 2.636,94 11.753,029 3.266,50 514,19 2.752,31 9.000,71

10 3.266,50 393,78 2.872,72 6.127,9911 3.266,50 268,10 2.998,40 3.129,5812 3.266,50 136,92 3.129,58 0,00

Ejercicio No. 2 Ramiro compra una refrigerador cuyo precio de lista es de $520 con una cuota de entrada del 25% y el saldo a 24 meses plazo, que tiene que pagarse en cuotas mensuales con una tasa de interés del 16.4% anual capitalizable mensualmente., calcular el saldo de la deuda luego de haber pagado 20 cuotas y los derechos del acreedor y los derechos del deudor en dicha fecha.

37

……..

0 1 2 3 23 24

j=16.4%a.c.mR=mensual

390

…..

19 20


𝒊 =𝒋

𝒎 𝒊 =

𝟏𝟔. 𝟒%

𝟏𝟐= 𝟏. 𝟑𝟕% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍

𝑨 = 𝑹𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏

𝒊 𝟑𝟗𝟎 = 𝑹

𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟕)−𝟐𝟒

𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟕

𝑹 = $𝟏𝟗. 𝟏𝟕 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍

𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑶𝑹 + 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑨𝑪𝑹𝑬𝑬𝑫𝑶𝑹 = 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑨 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳

𝑫𝑨 = 𝟏𝟗. 𝟏𝟕𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟕)−𝟒

𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟕 𝑫𝑨 = 𝟕𝟒. 𝟏𝟐

𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑶𝑹 + 𝟕𝟒. 𝟏𝟐 = 𝟑𝟗𝟎

𝑫𝑫 = 𝟑𝟏𝟓. 𝟖𝟖 Ejercicio No. 3 ¿Cuántos pagos mensuales de $125 son necesarios para cancelar una deuda de $ 2.000 si la tasa de interés es del 30% anual convertible mensualmente? ¿Cuál es el valor del último pago (en los dos casos)?

……..

0 1 2 3 n-1 n

j=30%a.c.mR=$125 mes

$2.000

…..


𝑨 = 𝑹𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏

𝒊

2.000 = 1251 − (1 + 0.025)−𝑛

0.025

38

−0.60 = −1.025−𝑛 log 1.025−𝑛 = 𝑙𝑜𝑔0.60

−𝑛 𝑙𝑜𝑔1.025 = log 0.60 − 𝑛 =𝑙𝑜𝑔0.60

log 1.025

−𝑛 = −20.69 𝑛 = 20.69 1. Sería necesario realizar 19 pagos de $ 125 y un pago final mayor

……..

0 1 2 3 19 20

j=30%a.c.mR=$125 mes

$2.000

…..

R20

FF

S+x

2000(1 + 𝑖)19 = 𝑆19 + 𝑥

2000(1 + 0.025)19 = 125(1 + 0.025)19 − 1

0.025+ 𝑥

𝑥 = 204.05

𝑅20 = 204.05(1 + 0.025) = $209,15 2. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago final menor.

2000(1 + 0.025)20 = 125(1 + 0.025)20 − 1

0.025+ 𝑥

𝑥 = 84.15

𝑅21 = 84.15(1 + 0.025) = $86.25

Ejercicio No. 4 Audrey para adquirir su vivienda recibe del Banco de Aarón un préstamo hipotecario de $50.000 a 15 años plazo, a ser cancelado mediante pagos mensuales a una tasa del 17,5% a.c.m. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últimos 5 periodos.

39

……..

0 1 2 3 179 180

j=17.5%a.c.mR=mensual

$50.000

…..


𝒊 =𝟏𝟕. 𝟓%

𝟏𝟐= 𝟏. 𝟒𝟓𝟖% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍

𝑨 = 𝑹𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏

𝒊

50.000 = 𝑅1 − (1 + 0.01458)−180

0.01458 𝑅 = 787.29

𝐴175 = 787.291 − (1 + 0.01458)−𝑛

0.01458𝐴175 = 3.769,96

Período R Interés Amortización Saldo

insoluto

175 787,29 3769,96

176 787,29 54,97 732,32 3.037,64

177 787,29 44,29 743,00 2.294,63

178 787,29 33,46 753,83 1.540,80

179 787,29 22,46 764,83 775,98

180 787,29 11,31 775,98 0,00

Ejercicio No. 5 Kompsys Cía. Ltda. desea acumular un fondo para reposición de activos por un valor de $ 120.000 durante 10 años en una institución financiera que le reconoce una tasa de interés del 14% anual capitalizable mensualmente, calcular el valor del depósito mensual y reconstruir la tabla de valor futuro o de fondos de amortización para los últimos 6 períodos.

Fondo reposición de activos $ 120.000 t = 10 años n = 10x12 = 120 j = 14% a. c. m = i = 1,17% mensual R =? mensual Reconstruir la tabla de valor futuro de fondos de amortización para los últimos 6 períodos

40

R = S (i) . R = 120.000 x 0,0117 (1 + i ) n -1 ( 1 + 0,0117)120 –1

R = 462,08

Saldo Insoluto = Monto - Valor Acumulado

M = 114 SI = 120.000 - 462,08 ( 1 + 0,0117 )114 - 1

0,0117 SI = 120.000 - 109.248,054 = 10.751,95


Para incrementar tus conocimientos y que tengas una mejor comprensión sobre este tema investiga en tu texto guía el capítulo 7 páginas 193 a la 208, adicionalmente revisa el apéndice de Anualidades que se encuentra al final de esta guía.

Ejercicios

1. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa del 8% efectiva anual, y elaborar la tabla de amortización para los dos primeros meses. 2.- Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago. 3.- Se crea un fondo para reposición de un vehículo, depositando $5.000 semestrales, la cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y construya la tabla del fondo.

2. VERDADERO O FALSO

Período Depósito Acum. Int. Total Fondo Fondo Acum.

115 462,08 1.278,20 1.740,28 110.988,34

116 462,08 1298,56 1.760,64 112.748,98

117 462,08 1.319,16 1.781,24 114.530,22

118 462,08 1.340,00 1.802,08 116.332,30

119 462,08 1.361,09 1.823,17 118.155,47

120 462,08 1.382,42 1.844,50 120.000,00

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsa

V

F

El término amortización es sinónimo de fondo de amortización. X

En la amortización la cuota o renta está compuesta por el aporte al capital y los intereses generados

X

http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEM

http://www.monografias.com/Derecho/index.shtml

41

3. CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

Auto evaluación

Hemos terminado de ver la amortización de deudas por el método gradual y la constitución de fondos de valor futuro; el momento que se evalúe llegó. ¿Cuál fue tu calificación? Excelente, buena, regular o mal. Si no te sientes satisfecho con la evaluación, debes volver atrás y revisar los conocimientos o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, hazlo con entusiasmo, TÚ LO PUEDES. Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE Y FELICIDADES.

Consolidación

A fin de que tenga una mejor compresión de lo visto en este bloque

referente a Tablas de amortización y de fondos de amortización, te

he preparado en el apéndice “Anualidades o Rentas, Conceptos y

Aplicaciones”, una explicación respecto a este tema, el mismo que te

será de gran apoyo en el aprendizaje.

Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los periodos.

X

En las primeras cuotas se paga más capital que intereses X

El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto.

X

Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos, los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo

X

DEFINICIONES CONCEPTOS

Derecho del deudor Saldo insoluto

Derecho del acreedor Monto de las cuotas aportadas

Valor acumulado Capital amortizado

42

Trabajo para entregar y calificar 2 de 2. 1. Mayra Corella desea ahorrar $25.000 para dar de enganche para adquirir su nuevo vehículo. Si ahorra $450 mensuales en una cuenta de ahorros que paga el 12% a.c.m. ¿Cuántos depósitos se necesitarán, y cuál será el valor del depósito final menor? Determine:

a) El número de pagos iguales necesarios b) El valor del último pago

2. Marco tiene una deuda de $25.800, la cual debe pagarla en 4 años mediante

cuotas semestrales, la tasa a la que obtuvo el préstamo fue 12,5% anual. Realice lo siguiente:

a) Determine el valor de la cuota. b) Elabore las tablas de amortización (3) por el 1. Método Alemán; 2. Método

Francés “Amortización Gradual”, Método Americano. c) Determine las ventajas y desventajas de cada método.

En los siguientes ejercicios aplique el Método de Amortización Gradual 3. Una propiedad se vende en $450.000, pagaderos así; $50.000 al contado y el

saldo en 20 cuotas iguales trimestrales con interés del 8% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el décimo pago.

6. Fernanda ha programado salir de vacaciones a Holanda en el mes de septiembre,

para lo cual ha venido ahorrando $230,50 cada fin de mes a partir de febrero/2012, en una entidad que paga el 9,2% a.c.s. semestral. Determine:

a) El valor que tiene una vez realizado el depósito de agosto. b) Elabore la tabla del fondo para los últimos 3 depósitos.

7. La Urbanizadora Castro-Parra S.A. compra maquinaria con valor de $ 1.5

millones mediante un crédito bancario a una tasa de interés del 15% simple anual, que liquidará con un pago único a los 3 años. Simultáneamente constituye un fondo con reservas bimestrales que ganan una tasa del 10% a.c.b. (nominal bimestral).

a) De cuánto es cada una de las reservas bimestrales. b) Haga la tabla del fondo en sus primeros tres renglones y el último.

8. Elabore la tabla de amortización de los primeros tres periodos y el último, de un

crédito automotriz que se cancela con 36 mensualidades de $ 800, a una tasa de interés del 12.80% a.c.m.

a) Cuál es el saldo insoluto luego de hacer el pago número 16. b) Cuál es el porcentaje de los derechos transferidos al deudor en ese momento. c) Cuál es el saldo insoluto luego de efectuar el pago número 24 y con cuánto se cancela el crédito automotriz al hacer el pago número 24. d) Determine el valor de los intereses pagados entre el pago 15 y 24.


43

9. Omar Cifuentes, para adquirir su vivienda avaluada en $96.000, contrata un préstamo hipotecario con el Banco del Pichincha, por el valor de $45.000 más la comisión del 9,193% sobre el valor del préstamo. El banco considera como capacidad de pago el 30% de los ingresos familiares que son $2.000 mensuales, la tasa de interés al rato de suscribir el contrato es del 15.2% a.c.m. y se reajusta cada semestre a la tasa vigente a esa fecha.

Determine: a) El valor del pago mensual en las condiciones iniciales. b) El número de cuotas mensuales para cancelar el préstamo considerando la tasa original c) Determine el valor de la renta si la tasa se reajusto al 16.2% a.c.m. d) Construya la tabla del 7 al 12 periodo de pago. 10. Una deuda de $45.000 se va amortizar mediante 7 pagos mensuales vencidos; los

2 primeros de $5.500, los 3 siguientes $10.000, el sexto de $9.000. Calcule el valor del séptimo pago para saldar completamente la deuda si la operación se pactó al 20%a.c.m

11. Silvana ahorró $5.500 mensuales durante un año, el rendimiento para cada trimestre fue del 3.5%, 3.0%, 3.8%, 4.0%.

Realice una tabla de fondo de amortización para determinar el acumulado en el año. Compruebe el resultado obtenido analíticamente.

12. María López tiene un préstamo de $26.500 con AGKL Bank. El préstamo debe ser

cancelado en 4 años al 14% a.c.m.. El contrato estipula una penalización en caso de pago anticipado, igual a tres meses de pago. Luego del pago 20, María concluye que su banco le prestaría el dinero al 13,5% a.c.m.. Determine si le conviene o no refinanciar la deuda. (Compare las dos rentas).

13. Daniel, tiene una deuda de $10.000 al 16,64% anual amortizable mediante pagos

semestrales iguales durante los siguientes 3 años. a) Calcule el valor del pago redondeando al dólar superior. b) Calcule el valor del último pago. c) Construya la tabla de amortización.

14. Ramiro Martínez crea un fondo de $10.000 mediante depósitos de $150 mensuales comenzando el 1ro de octubre del 2005. Si la tasa de interés del fondo es del 1% mensual hasta el 1ro de junio del 2008 y después baja al 10,5% a.c.m.. Calcule la fecha y la cantidad del depósito final reducido.

15. Carlos Clavijo solicita un préstamo de $2.000 a pagar en pagos trimestrales,

durante 2 años, al 2% mensual. a) Determine el valor de la cuota trimestral. b) El saldo insoluto en el periodo K es $1.118,23; determine el valor

de K y construya la tabla de amortización una vez realizado el pago K. c) Determine el valor de los intereses cancelados entre los pagos 3 y 7.

44

16. Jenny Alemán ha conformado un fondo de amortización que paga el 3% anual, con depósitos anuales de $300. Si el fondo tiene $9.161,03 luego de realizar el K-ésimo depósito. a) Cuánto tendrá en los depósitos K-1 y K+1.? b) Construya la tabla para los depósitos K-1, K y K+1.

17. La Constructora PLS Ingenieros desea renovar un equipo para lo que acumula en un fondo $2´500.000 en 4 años, mediante depósitos trimestrales en una financiera que paga el 10% a.c.t..

a) Calcule la cuota trimestral. b) Calcule el saldo por depositar una vez efectuado el depósito 10. c) Construya la tabla una vez efectuado el sexto depósito.

45

Respuestas Ejercicios Unidad II

a) Resuelve los siguientes ejercicios

1.- Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.

Hallar el valor de estos, a la tasa del 8% efectiva anual, y elaborar la tabla de

amortización para los dos primeros meses.

Solución:

(1+0,08)1/12 = (1+ i2)12/12 ; i2 = 6,43 *10-3

20.000 = R 1 - (1 + 0,0064)-12

0,0064

R = 1.737,19

Tabla de amortización del préstamo

Periodo Cuota Interés Amortización Saldo

0 1.737,19 0 0 20.000

1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

12 1.737,19 11,10 1.726,08 0

http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEM

46

2.- Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado

y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible

semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al

efectuarse el quinto pago.

Solución:

300.000 – 100.000 = 200.000 valor financiado

200.000 = R 1 - (1 + 0,05)-8

0,05

R = 30.944,36

M = 30.944,36 (1 + 0,05)5 - 1

0,05

M = 170.987,13

MIC = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

Derecho del Comprador + 84.269,17 = 300.000

Derecho del Comprador = 215.730.83

3.- Se crea un fondo para reposición de un vehículo, depositando $5.000

semestrales, la cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente. Hallar

el valor acumulado en 5 años y construya la tabla del fondo.

Solución:

j = 0,06 a.c.s.

m = 2

i = 0,06/2 = 0,03 semestral

M = 5.000 (1 + 0,03)10 -1 = 57.319,39

0,03


47

Tabla del fondo de amortización

b)VERDADERO OFALSO

Periodo Cuota Interés Valor

agregado al

fondo

Fondo

acumulado

0 0 0 0 0

1 5.000 0 5.000 5.000

2 5.000 150 5.150 10.150

3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN

V F

El término amortización es sinónimo de fondo de amortización. X

En la amortización la cuota o renta esta compuesta por el aporte al capital y los intereses generados

X

Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los periodos.

X

En las primeras cuotas se paga más capital que intereses X

El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto.

X

Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos, los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo

X

48

c) CASAMIENTOS

Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos

correspondientes.


Derecho del deudor Saldo insoluto

Derecho del acreedor Monto de las cuotas aportadas

Valor acumulado Capital amortizado

49

Introducción General de la segunda parte

La segunda parte está conformada por dos bloques a saber: El tercer bloque trata sobre la utilización que se da al descuento de los flujos netos de efectivo futuros de un proyecto de inversión, para evaluar la conveniencia o no de hacer la inversión a través del Valor Actual Neto conocido como VAN ó VPN, la Tasa Interna de Retorno TIR y el cálculo de la Tasa Real. El cuarto bloque presenta el tema Documentos Financieros y Bonos, que son una forma de obligación y que pueden ser de renta fija o variable, y que constituye un instrumento de crédito. Para ayudarte en tu aprendizaje al final de la guía, tienes dos apéndices, el primero de ellos se relaciona al Valor Actual Neto VAN, la Tasa Interna de Retorno TIR, Payback, Relación Costo/Beneficio y la Tasa Real, y el segundo se refiere a Bonos; en estos apéndices encontrarás los conocimientos necesarios respecto a los temas antes mencionados de manera más explícita y sistemática. Importancia de la segunda parte Los dos bloques que conforman la segunda parte de la guía de Matemáticas Financiera II, el primero de ellos es de gran utilidad para el análisis factibilidad financiera de proyectos de inversión, en el segundo tema veremos cómo se puede financiar a través de la emisión de obligaciones de renta fija o variable, Bonos y su negociación posterior, la misma que puede hacerse en el mercado bursátil o extrabursátil. Objetivos de la segunda parte Una vez que concluyas el estudio de la segunda parte, estarás en capacidad de: - Utilizar el VAN, TIR, Payback, Relación Costo/Beneficio como herramientas

para evaluar la conveniencia o no de incursionar en un proyecto, o elegir entre varios, el que sea más beneficioso a los intereses de los inversionistas. Adicionalmente la tasa real te permitirá conocer la medida en que la inflación afecta a la tasa efectiva que se obtiene en una inversión.

- Financiar proyectos a través de la emisión de obligaciones, invertir en bonos y

como negociarlos. Contenidos de la segunda parte Bloque3.- VALOR ACTUAL NETO VAN, LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR, RELACIÓN IR BENEFICIO/COSTO Y LA TASA REAL Bloque4.- DOCUMENTOS FINANCIEROS BONOS

50

Métodos de estudio sugeridos (específicos)



Ejemplificación

Resolución de ejercicios Duración del estudio. Mínimo cuatro horas semanales. Bloque 3: 4 semanas de 16 horas. Bloque 4: 4 semanas de 16 horas. Orientaciones específicas.

Continúa planificando tus actividades diarias de manera que aproveches al máximo el tiempo que asignes al estudio. Para esta materia te recomendamos dedicar1 hora para estudio teórico y 3 horas, para el desarrollo de ejercicios prácticos en la semana.

Lee reflexivamente el contenido de la guía. No prosigas en un tema nuevo sino comprendiste el anterior.

Revisa detenidamente los ejercicios resueltos que trae el texto, procurando entender el porqué de los aspectos matemáticos utilizados, su uso, el por qué de la secuencia metodológica de la materia

.

Soluciona tus inquietudes acudiendo a los tutores de la asignatura, considerando el horario que has destinado para esta actividad y el horario de los tutores de la materia.

Cumple con tus trabajos a conciencia individualmente o en grupo de estudio, pero recuerda que no implica que los trabajos sean iguales.

La auto evaluación será permanente durante el desempeño de esta guía

51

UNIDAD III

TÍTULO: TMAR, Valor Actual Neto VAN, la Tasa Interna de Retorno TIR, Payback, Relación IR Beneficio/Costo y la Tasa Real

COMPETENCIAS

Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados en el valor

del dinero en el tiempo VAN – TIR para determinar la conveniencia o no de

invertir en ellos. Adicionalmente el Payback-descontado, y la relación IR

Beneficio / Costo

CONTENIDOS

3.- VALOR ACTUAL NETO VAN, LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR Y LA

TASA REAL

3.1.- Cálculo del VAN

3.2.- Cálculo del TIR

3.3.- Cálculo del Payback

3.4.- Cálculo de la relación IR Beneficio/Costo

3.5.- Cálculo de la tasa real

TIEMPOS

Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de dos semanas

de estudio.


Valor Actual Neto (VAN):

También es conocido como valor presente neto (VPN).

El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros

del proyecto a una tasa de descuento igual al costo de oportunidad, sumarlas

todas y restar la inversión inicial en tiempo cero.

Criterio de aceptación VAN:

Cuando VAN > 0, el proyecto es atractivo

Cuando VAN = 0, el proyecto es indiferente

Cuando VAN < 0, el proyecto es inconveniente

52

Tasa Interna de Retorno (TIR):

Es la tasa de descuento que hace que la suma de los valores presentes de los flujos

netos efectivo de un proyecto sea igual a la inversión inicial óla tasa que origina un

VAN igual a cero.

La TIR es una característica propia del proyecto, totalmente independiente de la

situación del inversionista, es decir, de su tasa de interés de oportunidad.

Criterio de aceptación TIR:

Si la TIR es mayor que el costo del capital o de oportunidad, aceptase la

inversión; es decir, si el rendimiento de la inversión es mayor al mínimo utilizado

como aceptable la inversión es económicamente rentable.

Payback ó Periodo de Recuperación:

Es el tiempo en el que se recupera el dinero invertido en un proyecto.

Criterio de aceptación del Payback:

Se considera mejor proyecto, en el que la recuperación es más rápida.

Tasa Real:

Se da al relacionar mediante la fórmula de Fisher, la tasa efectiva anual con la tasa

de inflación.

Las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado,

en el ahorro, en los endeudamientos, y en las decisiones de inversión para poder

calcular su verdadera rentabilidad una vez que se ha quitado el efecto de la

inflación.

Si r:

> 0 es positiva entonces se gana

= 0 se mantiene el poder adquisitivo

< 0 es negativa entonces pierde


A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera los temas tratados en este bloque, para esto, tendrás que analizarlos y posteriormente resolverlos tú solo sin mirar la solución dada, esto asegurará que ha aprendido. Entonces podrá seguir ejercitándote, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque.

53

Ejercicio No. 1 Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X. Si

se considera el costo del capital r = 10% y una inversión inicial de $600.000, en el año

cero, calcular el VAN al 10% y la tasa interna de retorno.

AÑO 0 1 2 3 4 5 6 Inversión

Inicial 600 - - - - - -

Ventas - 500 500 500 500 500 500 - Costo de Op. - 350 350 350 350 350 350 - Depreciación - 100 100 100 100 100 100 = Utilidad (sin

Impuestos) - 50 50 50 50 50 50

FLUJO NETO DE CAJA

600 150 150 150 150 150 150

Valores expresados en miles de UD$

VANr% = -II + Σ FNEj donde j va de 1 a n

(1+r)j

VANr% = -600 + 150 + 150 + 150 + 150 + 150 + 150 .

(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 (1+r)6

Se calcula el VAN10% , utilizo inicialmente el costo de oportunidad,

r VANr%

0,10 53,29

VAN10% > 0 entonces es conveniente efectuar la inversión en el proyecto A continuación pasamos al análisis de la TIR para lo cual aplicamos Interpolación (Vea Apéndice Interpolación Lineal) Conociendo que para interpolar:

1. La TIR genera un valor de VAN = 0, y que este valor es el de referencia para interpolar por lo que requiero adicionalmente dos valores de VAN uno + y otro –

2. Que un valor actual es inversamente proporcional a la tasa es decir que si sube la tasa baja el VAN y viceversa.

Procedo a buscar esos valores haciendo VANr%; teniendo como partida el valor de r =10%, VAN10%= 53,29 y aplicando el numeral 2, subo la tasa para acercarme a cero haciendo varias iteraciones, entonces:

54

r VAN r%

0,10 53,29

0,12 + 16,72

0,14 -16,71

Así, obtengo los VAN + y – cercanos a cero, podría seguir intentando acercarme más al valor de cero y obtener mayor precisión en el cálculo. Aplico la fórmula de la TIR.

r1 = 12% y r2 = 14%

TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1 VAN 1 – VAN 2 TIR = 0,12 + (0,14 – 0,12) 16,72 16,72 – (-16,71)

TIR = 0,12 + 0,01 = 0,13

TIR = 13%

Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la inversión podrá ser

ventajosa ya que el costo del capital es 10%.

Detalle de los cálculos del VAN Con r = 12% Con r = 14% Con r = 10% VANr VAN1 VAN2 VAN10% -II = -600 -600 -600 -600 +FNE1 = 150 = 133,93 131,58 136,36

(1+r)1

+FNE2 = 150 = 119,58 115,42 123,97 (1+r)2

+FNE3 = 150 = 106,78 101,25 112,70 (1+r)3

+FNE4 = 150 = 95,33 88,80 102,45 (1+r)4

+FNE5 = 150 = 85,11 77,90 93,14 (1+r)5

+FNE6 = 150 = 75,99 68,34 84,67 (1+r)6

= VANr = + 16,72 - 16,71 53,29 Ejercicio No. 2

55

Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva

es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al

consumidor es 20% ¿Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.000 en

1 año?.

Solución:

r = 100 i – d = 100 0,15 – 0,20 1+ d 1 + 0,20 r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667% da una tasa negativa (pérdida) I = 100.000 -4,1667 = - $ 4.166,67 100 Respuesta.

Pérdida de $ 4.166,67, en términos financieros.


Tú puedes encontrar información respecto a este tema en el texto guía capítulo 8 páginas 238 a la 240, y con mayor profundidad se tratar en el apéndice de Valor Actual Neto (VAN), Tasa Interna de Retorno (TIR), Tasa Real, que se encuentra al final de esta guía.

Ejercicios

a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Kompsys S.A. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = $ 100000,000 Ingreso anual promedio = 30000,000 Costo anual de operación = 5000,000 Depreciación anual = 20000,000 Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años si se considera como costo de capital del 7%. 2.- Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto industrial para lo cual dispone de $2600,000, para invertir, los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán: b) VERDADERO O FALSO


V F

56

c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

Auto evaluación

Terminaste el tercer bloque de la guía. ¿Estas satisfecho con lo que haz aprendido aquí o todavía tienes dificultades? Si no te sientes satisfecho con tu evaluación, debes volver atrás y revisar los conocimientos o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, hazlo con entusiasmo, TÚ LO PUEDES. Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE FELICITACIONES.

Consolidación

A fin de que tengas una mejor compresión de lo visto en este bloque,

he preparado en el apéndice “Valor Actual Neto (VAN), Tasa Interna

de Retorno (TIR), Tasa Real”, donde explico a mayor detalle este

tema; el mismo que te será de gran apoyo en el aprendizaje.

El VAN es igual al valor presente neto. X

Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. X

Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio.

X

La TIR es igual para todos los proyectos. X

La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un préstamo.

X

La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real X


VAN > 0 Conviene el proyecto

Tasa real ( - ) No conviene el proyecto

TIR < Costo de oportunidad Se pierde

57

Trabajo para entregar y calificar 1 de 2.

Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía, usted debe haber revisado los Apéndices 2 y 3 que se encuentran al final de la guía. 1. a) Indique los conceptos:

- Proyectos convencionales, - Proyectos mutuamente excluyentes - Tasa real - TMAR - Costo de oportunidad - Costo de capital Simple y Mixto - Índice de inflación anual - VAN, TIR, Payback Contable y Payback Descontado -Relación IR Beneficio/Costo

2. Baje de la página del Banco Central del Ecuador www.bce.gov.ec , la inflación anual y el riesgo país adjunte al trabajo. Con estos datos calcule la TMAR para una inversión en el país.

3. Calculo de la TMAR

a. Inversiones del Pacifico, está interesado en invertir en algunos proyectos en un país donde la inflación anual es de 3,98% y la tasa de riesgo país se encuentra en 8,29%. Determine la TMAR b. La Corporación WapKolb, para emprender un proyecto requiere una inversión inicial de $900.000, los cuales pueden ser financiados así:

Determine el costo del capital? 4. HIDROPA S.A. está analizando un proyecto de inversión para lo que requiere

financiar $150.000, mismo que está compuesto de la siguiente manera:

Entidad Monto Tasa

Accionistas 57.000 9.36%

Financiera A 41.000 10,60%

Financiera B 52.000 9.80%

Total 150.000

Fuente Cantidad US$.

Tasa

Banco Bolivariano 300.000 10%

Cooperativa Sta. María 250.000 11%

Accionistas 250.000 12.5%

Otros 100.000 12%

Total 900.000

http://www.bce.gov.ec/

58

El proyecto tiene el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo (en miles de $)

-150 70 110 110 40 20

a. Calcule la TMAR (Costo de capital mixto) b. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto? c. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto? d. Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto? e. Calcule el IR e interprete.

5. A un inversionista se le presentan dos proyectos alternativos, A y B, con los

siguientes flujos de efectivo al final de cada año. Cada proyecto requiere una inversión de $200.000. Cuál proyecto se escogería si:

a. La tasa es del 8% anual. Calcule VAN, TIR, PAYBACK, IR b. ¿Qué proyecto es el conveniente?

Año 1 2 3 4

Proyecto A $80.000 $70.000 $60.000 $35.000

Proyecto B $30.000 $40.000 $40.000 $150.000 6. Argus Cía. Ltda. Proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es

rentable: Inversión = $110.000 Ingreso anual promedio = $32.000 Costo anual de operación = $ 7.000 Depreciación anual = $ 22.000

a. Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años y se considera como costo de oportunidad el 9,57% a.c.m. b. Considere una tasa de impuestos del 22%, calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad

7. PETROLEOS Y SERVICIOS Cía. Ltda. ha realizado una inversión por el valor de

$ 2’600.000, los flujos netos de caja generados son:

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo neto de caja (en miles de US$)

-2.600 500 600 1.200 1.000 1.200 1.300

59

a. Calcular el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) e indicar si la inversión es rentable, considerando que el costo de oportunidad del dinero es del 7% semestral. b. Calcular el VAN y la TIR si el costo del dinero se estima en el 12% anual, se presentan cambios o no, en los nuevos resultados, explique brevemente el porqué de cada uno de ellos. c. Calcule el Payback descontado en ambos casos

8. Marina Delgado, 5 años atrás adquirió una casa, por la que pagó $ 95.000 de

contado. Durante este tiempo arrendó su casa, los arriendos anuales ahorrados fueron: 4.800, 6.000, 7.200, 8.400 y 10.200 dólares. Además, al final del quinto año vende su casa, por el valor de $ 105.400. Cuál es la rentabilidad lograda por la Marina en la adquisición de la vivienda?.

9. Un inversionista desea incursionar en un proyecto en el cual debe invertir USD.

130.000,00; además presenta el siguiente flujo de fondos para los próximos 5 años.

Año 1 2 3 4 5

Ventas 50.000 52.000 55.000 58.000 60.000

Costo de operación 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000

Depreciación anual 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

a. Determine si les conviene o no invertir; aplique los métodos del VAN y el TIR en su análisis. Considere el costo de oportunidad del 5% semestral y los impuestos son del 22%. b. Determine el Payback Descontado c. Cuál es su IR?

10. Ramiro Cepeda ha invertido USD. 8.200 a una tasa del 15.2% a.c.m. Cuál es la

tasa real que gana si la inflación promedio anual es 6,3%. Cuánto gana o pierde? 11. Determine la tasa efectiva que se gana en un país donde la inflación es del 9%

anual si la tasa real es -3%. Si se invirtió USD. 10.000. Cuánto gana o pierde? 12. Alfred al invertir $15.000, obtuvo un ganancia real de $1.200: si el país donde vive

tiene una inflación del 8% determine la tasa efectiva anual que le ofrecieron. 13. Inversiones del Pacifico desea conocer la factibilidad de incursionar en un

proyecto industrial para lo cual dispone de $ 2’000.000 para invertir, los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán:

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo neto de caja (en miles de US$)

-2.000 600 850 1100 1.200 1.400

60

Se considera que la inflación promedio en el país será del 9% a. Conviene o no, que realicen la inversión? b. Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o pierde?

61

Respuestas Ejercicios Unidad III

a) Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Kompsys S.A. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión

es rentable:

Inversión = $ 100,000,000

Ingreso anual promedio = 30,000,000

Costo anual de operación = 5,000,000

Depreciación anual = 20,000,000

Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5

años si se considera como costo de capital del 7%.

FORMULA PARA EL CALCULO DEL VAN

VAN = - II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3+.......... + FNE n

(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)n

Primeramente se procede a calcular el FNE para obtener el VAN.

CALCULO DEL VAN, (VAN1 Y VAN2 PARA EL CALCULO DE LA TIR)

i = 7%

VAN7% = 2504.935,90 = VAN1

Como él VAN7% = 2504.935,90 > 0 es atractiva la inversión.

Para calcular TIR

i = 9.0% = r1

VAN9% = -2758.718,42

i = 8.0% = r2

VAN8% = -182.249,07 = VAN2

TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 .

VAN1 - VAN2

AÑO

0

1

2

3

4

5

INVERSIÓN

INICIAL

100,000,000

INGRESO

ANUAL

30,000,000

30,000,000

30,000,000

30,000,000

30,000,000

COSTO ANUAL

OPERACIÓN

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

DEPRECIACIÓN 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000

UTILIDAD SIN

IMPUESTOS

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

FLUJO NETO DE

CAJA

100,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

62

TIR = 0.07 +(0.08 - 0.07) 2504.935,90 . =

2504.935,90 + 182.249,07

TIR = 7,93%

La inversión es rentable ya que el costo de oportunidad del dinero de 7% es

<la TIR de 7,93%.

2.- Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en

un proyecto industrial para lo cual dispone de $2,600,000, para invertir, los flujos

del proyecto estimados para los próximos 5 años serán:

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 AÑO 5

400 750 1.100 1.200 1.400

Valores en miles Se considera que la inflación del país será del 18%.

¿Conviene o no, que realicen la inversión?

¿Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o

pierde? VAN

r = i

0 - 2.600

1

FNE= 400 . ( 1 + i)1

2

FNE= 750 . ( 1 + i)2

3

FNE= 1.100 . ( 1 + i)3

4

FNE= 1.200 . ( 1 + i)4

5

FNE= 1.400 . ( 1 + i)5

VAN

i = 18%

VAN18% = 178.015 = VAN1

Como él VAN18% = 178.015 > 0 es atractiva la inversión.

Para calcular TIR

i = 20,0% = r1

VAN20% = 32,073

i = 21,0% = r2

VAN21% = -36,671 = VAN2

TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 .

VAN1 - VAN2

Calculo la TIR

TIR = 0,20 + (0,21 - 0,20) 32,073 . = 0,20467

32,073 - (- 36,671)

63

TIR = 20,467% Es rentable la inversión ya que la TIR> que la tasa de inflación

del 18% lo que permite mantener el poder adquisitivo de la moneda.

Rentabilidad Real:

Tr = (0,20467 – 0,18)/(1+0,18) = 0,0209 La tasa real de rentabilidad es el 2,09%

gana.

b) VERDADERO O FALSO


V F

El VAN es igual al valor presente neto. X

Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. X

Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio.

X

La TIR es igual para todos los proyectos. X

La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un préstamo.

X

La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real X

c) CASAMIENTOS

Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos

correspondientes.


VAN > 0 Conviene el proyecto

Tasa real ( - ) No conviene el proyecto

TIR < Costo de oportunidad Se pierde

64

UNIDAD IV

TÍTULO: Documentos Financieros y Bonos

COMPETENCIAS

Conoce y utiliza el financiamiento de proyectos a través de la emisión de

obligaciones, en particular bonos y su negociación.

Calcula el precio y rendimiento de estos valores, a cualquier plazo y

circunstancia.

CONTENIDOS

4.- BONOS

4.1.- Definiciones

4.2.- Cálculo del precio de un bono

4.3.- Cálculo del precio de un bono en fecha de pago de cupón

4.4.- Cálculo del precio de un bono entre fechas de pago de cupón

4.5.- Cálculo del interés redituable

4.6.- Cálculo del rendimiento de inversión en bonos

TIEMPOS

Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesita de cuatro semanas

de estudio.


Bono:

Es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o entidad

particular, a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses

pagaderos en períodos regulares.

Valor nominal:

Es el que se hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala

en el bono es el valor nominal.

Valor de redención:

Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redención es

igual al valor nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De

otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal

omitiéndose la palabra por ciento.

65

Cupón:

En la mayoría de bonos, los pagos de interés se los hace contra la presentación de

cupones; éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y

cada uno tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo

son pagarés negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal como

en los intereses, los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan

directamente, a la persona registrada como tenedor del bono.

Precio de los bonos:

El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el

comprador y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes

factores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local

para las inversiones; (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4)

precio de redención; (5) las condiciones económicas imperantes; (6) confiabilidad

en las garantías del emisor. Los bonos pueden venderse a la par, con premio, o con

descuento (castigo),según el precio de venta sea igual, mayor o menor al valor

nominal.

Maduración:

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será

pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.

Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

Tasa interna de retorno (TIR o rentabilidad):

Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el

inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de

redención del bono. Un bono comprado con descuento irá aumentando

gradualmente su valor, hasta igualar el valor de redención en la fecha de

vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de que los

bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio de

compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

Yield:

La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio

que se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de

yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración.

66


A continuación se presenta ejemplos que te permiten comprender de mejor manera los temas tratados en este bloque, para lo que, tendrá que analizarlos y posteriormente resolverlos sin mirar la solución dada; esto asegurará que ha aprendido. Entonces podrá seguir ejercitándote, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. Ejercicio No. 1 Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre. Solución:

A = 5.000 ( 0,06 ) = $ 75 4 En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5.000 al término de 10 años.

Ejercicio No. 2 Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe 5% anual convertible semestralmente. Solución: F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40. Reemplazo en la fórmula P = 1050 + (1000 . 0,0175 – 1050 . 0,025) 1 – (1+0,025)-40

0,025 P = 830,35 Ejercicio No. 3 Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de

tres años, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la

tabla de inversión del bono.

Solución: C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6

P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6

0,03

P = $1.054,17

67

Periodo Valor en libros al inicio del periodo

Intereses sobre la

inversión

Intereses del bono

Variaciones del valor en

libros

Valor en libros al final del periodo

1 1.054,17 31,63 40,0 8,37 1.045,80

2 1.045,80 31,37 40,0 8,63 1.037,17

3 1.037,17 31,12 40,0 8,88 1.028,29

4 1.028,29 30,85 40,0 9,15 1.019,14

5 1.019,14 30,57 40,0 9,43 1.009,71

6 1.009,71 30,29 40,0 9,71 1.000,00

Totales

185,83 240,0 54,17

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redención

es menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En caso de que el

bono se adquiera con descuento, el inversionista registra una utilidad mayor que los

intereses pagados por el bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo

registra el bono.


Tú puedes encontrar información respecto a este tema en el texto guía capítulo 8 páginas 228 a la 234, y con mayor profundidad se trata en el apéndice de Bonos, que se encuentra al final de esta guía.

Ejercicios

a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1.-Calcule el Valor de Redención, el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $ 100.000, 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS ) suscrito el 20 de marzo del 2002, redimible a la par el 20 de marzo del 2009. 2.- Un bono de $15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O), redimible a la par el 15 de octubre del año 2007, es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del 7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación. b) VERDADERO O FALSO


V

F

El bono es una obligación que tiene una entidad para el poseedor de este.

X

Se dice que un bono es a la par cuando F = C X

Un bono negociado a la 105 quiere decir que fue negociado con premio.

X

El valor del cupón es igual al valor de los intereses que se pagan periódicamente.

X

68

c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

Auto evaluación

Culminaste el estudio del cuarto bloque de la guía. ¿Piensas que con los conocimientos adquiridos estas preparado para resolver con solvencia problemas o tienes dificultades? Si tu evaluación, no es satisfactoria y todavía tienes dificultades, debes volver atrás y revisar los conocimientos o elabora un plan remedial para superar las deficiencias, TÚ PUEDES, hazlo con entusiasmo. Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE FELICITACIONES.

Consolidación

Con el fin de ayudarle a que tenga una mejor compresión de los temas

que se tratan en este bloque, he preparado en el apéndice “Bonos”.

Este será de gran apoyo en el aprendizaje.


Interés redituable

Precio del bono entre fecha de

pago de cupón sin considerar el

interés redituable.

Negociación con Castigo Cuando P>C

Bono Sucio Cuando P<C

Negociación con Premio

Valor proporcional del cupón

cuando se negocia un bono entre

fechas de pago de cupón.

69

Trabajo para entregar y calificar 2 de 2.

Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía, usted debe haber revisado el Apéndice 4 que se encuentran al final de la guía. 1. Un bono de $500 que paga el 5% semestral, redimible a la par en 10 años. Calcule

el precio de compra para que rinda el 5% trimestral. 2. Un bono de $100 al 90%, es redimible el 1 de octubre de 2015, paga cupones

semestrales al 10,5%. Calcular el precio de compra el 1 de abril de 2009, para obtener una rentabilidad del 4,50% a.c.b.

3. Un bono de $1.000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2015, paga cupones

semestrales al 9%. El bono fue adquirido el 1 de junio del 2012. a. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros

del bono, si el rendimiento deseado es el 8% a.c.s. y determine el tipo de negociación.

b. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros

del bono, si el rendimiento deseado es el 6% a.c.s. y determine el tipo de negociación.

4. El 30 de junio del 2010, un bono de valor nominal de $1.000,00 es redimible al

115%, devengando intereses de 12% pagaderos a fin de cada mes. Calcule el precio que pagaría por el bono un inversionista el 27 de julio del 2.005, si el rendimiento esperado es de 2.00% mensual.

3. Calcule el valor de redención, el número de cupones y el valor de cada cupón de

un bono de $1.000, 12% (20 Enero – 20 Julio = E.J), suscrito el 20 de enero del 2005, redimible a la par el 20 de enero del 2012.

7. Un bono de $ 15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O)., redimible a la par el 15 de Octubre

del año 2007, es negociado el 15 de Abril del año 2000 a una tasa del 7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.

8. Un bono de $500 al 8% marzo-septiembre (M.S), redimible a la par el 20 de

septiembre del año 2007, se puede negociar el 15 de junio del 2000 a las siguientes tasas de:

a) 7% anual capitalizable semestralmente; b) 8,5% anual capitalizable semestralmente.

9. Calcule la TIR de un bono de $900, 9% EJ, redimible a la par el 1 de julio del 2015,

y cuya compra se lleva a cabo el 20 de octubre de 2009 con cotización de 96%?

70

Respuestas Ejercicios Bloque IV

a) Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Calcule el Valor de Redención, el número de cupones y el valor de cada

cupón de un bono de $ 100.000, 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS )

suscrito el 20 de marzo del 2002, redimible a la par el 20 de marzo del 2009.

F = 100.000Valor de Nominal

C = 100.000 Valor de Redención (es a la par)

Valor de redención x 100

Valor nominal

100.000 x 100 = 100 se dice que es redimible a la par al 100

100.000

Número de cupones

De marzo del 2002 a marzo del 2009 hay 7 años x 2 semestres = 14 semestres o

cupones.

Valor del cupón:

I = Fr . = 100.000 (0,15) = 7,500

m 2

El valor de cada cupón es de $7.500 semestral.

2.- Un bono de $15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O.), redimible a la par el 15 de

octubre del año 2007, es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del

7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la

fecha de negociación.

F = 15.000 precio nominal

r = 0,10/2 =0,05 tasa de interés por periodo de pago del cupón

i = 0,078/2=0,039 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,

rentabilidad)

C = 15.000 precio de redención a la par o al 100

n = 7 (2) = 14 semestres más 1 semestre = 15

P = Precio de compra para obtener un rendimiento.

P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n

i

P = 15.000 + (( 15.000 x 0,05 ) - ( 15.000 x 0,039)) 1 - ( 1 + 0,039 )- 15

0,039

= 15.000 + [(750) – (585)](11,1965) = 15.000 + (165)(8,80792)

71

= 15.000,00 + 1.453,31 = 16.847,31

El bono a la fecha de su negociación es de $ 16.847,43. Se trata de una

negociación con premio.

72

APÉNDICES

73

APÉNDICE 1

ANUALIDADES o RENTAS

Conceptos y aplicaciones

Ing. Alfred Dieter Kolb Alvarado M.B.A. Aspectos preliminares:

GRAFICAS TIEMPO – VALOR

Recuerde: ”Un gráfico habla más que mil palabras”.

Esto se debe a que en el gráfico, se puede visualizar y ubicarse de mejor manera en el tiempo

en el que deben realizarse cobros o pagos o cualquier operación financiera y colocar todas las

variables que intervienen, tales como valores monetarios ($ óu.m.), tiempo (años, semestres,

meses, días, etc.), periodos de tiempo entre fechas, tasas de interés (% efectivas, nominales,

periódicas), indicar si son operaciones a valor presente o a valor futuro. Entendiéndose como:

Valor presente, al valor en una fecha anterior a la de vencimiento o redención incluido el valor

del capital inicial y como,

Valor futuro, al valor calculado en una fecha posterior a la de haberse establecido la

operación financiera.

Notas claves:

Cuando en un ejercicio se da el valor monetario ($), la tasa de interés (%), y el tiempo

(t), por lo general el valor monetario es el capital y debe calcular el monto

Si el ejercicio da el valor monetario ($), y el tiempo (t), por lo general el valor monetario

es el monto que se obtendrá al transcurrir el tiempo en cuestión.

Cuando se negocia una deuda antes del vencimiento, primero calcule el monto al

vencimiento y luego encuentre el valor actual a la fecha que se indique.

Monto (Valor Futuro)

Valor Actual (Valor presente, Capital)

Fecha focal FF, es la fecha que se toma como referencia, a la cual confluyen los montos

o valores actuales en el grafico tiempo valor de una ecuación de valor donde ΣPagos

= ΣDeudas.

Siempre, lea detenidamente el enunciado del ejercicio para que en el gráfico ubique

todas las variables e incógnitas que tiene y sea un modelo representativo del ejercicio,

esto será de gran ayuda para la solución de los problemas.

74

Valor de Contado Valor Futuro

EntradaTasa1 % Monto

Capital Tasa2 %

Valor Actual

($ óu.m.) R R

0 12 n Tiempo

FF(Fecha Focal) (Nº Periodos o

cuotas por pagar o

depositar)

Tasas de interés

Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede mencionar

las siguientes:

Tasa Activa Tasa Efectiva y efectiva periódica

Tasa Pasiva Tasa Flat

Tasa Referencial TASAS INTERNACIONALES

Tasa Libor

Tasa Prime

Tasa E.U.R.I.B.O.R

Tasa Nominal

Tasa Activa

Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias, conocidas

también como de colocación de sus recursos.

Tasa Pasiva

Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus recursos

en dichas entidades.

Tasa Referenciales

Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades

financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones. Estas son presentadas

semanalmente.

Tasa Nominal (j)

Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en

los contratos. Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés compuesto),

presentándose como:

75

xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a.c.”periodo de tiempo”.

xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización)

xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización)

Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año

También se puede decir, que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa que

efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización

multiplicada por su frecuencia de conversión.

Frecuencia de conversión (m).- Es el número de veces que los intereses se convierten en capital

en el año, dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización, así

tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12.

Ejemplo:

j = 24% anual capitalizable mensualmente, entonces m = 12

capitalizaciones mensuales en el año.

De donde se podría encontrar la tasa efectiva periódica, que para el caso del ejemplo

sería la tasa mensual (i) que se esta ganando o pagando; cuyo valor se calcularía

aplicando la fórmula i = j/m; dando como resultado:

i = 0,24/12;

i = 0,02 i = 2,0% mensual

En interés simple, la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que

esto signifique que se den capitalizaciones; como ejemplo podemos decir si un capital de

$1.000, se presta a 180 días a una tasa:

a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa diaria i = 0,12/360; i =0,00033 diario o

0,033% diarios

b) 5% semestral; podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del 5%

semestral o calcular la tasa diaria

i = 0,05/180; i = 0.0278% diario.

Fórmula para transformación de tasas:

Para pasar de una tasa nominal con una frecuencia de conversión a otra con diferente

frecuencia de conversión aplicamos la fórmula:

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa equivalente a.c.m (anual capitalizable mensualmente) de una tasa del

10% a.c.s. (anual capitalizable semestralmente)

j1 = 10% a.c.s.

m1 = 2 (capitalizaciones al año)

j2 = ? a.c.m

76

m2 = 12 (capitalizaciones al año)

Entonces aplico la fórmula y despejo j2 :

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

(1+ 0,10/2)2 = (1+j2/12)12

(1+ 0,10/2)1/6 = (1+j2/12)

((1,05)1/6-1) (12) = j2

j2 = 9.80% a.c.m

Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i)

Es la tasa que realmente se esta ganando o pagando durante un determinado periodo de

tiempo. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o tasa

efectiva anual; de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa

efectiva periódica. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto,

Anualidades, TIR, Bonos)

Fórmulas para transformación de tasas:

Como se vio anteriormente si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalizaciónpara pasar

a la tasa efectiva periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula:

i = j/m

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa semestral de una tasa del 10% a.c.s (anual capitalizable

semestralmente).

j= 10%a.c.s.

m= 2 (capitalizaciones al año)

i= ? semestral

Entonces aplico la fórmula

i = j/m i = 0,10/2 = 5% semestral

Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo periodo de

tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la fórmula anteriormente vista.

Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal a.c.t. equivalente a la tasa efectiva periódica del 2,5% trimestral

j= ? a.c.t.


77

i= 2,5% trimestral

Entonces aplico la fórmula

i = j/m j= 0,025 (4) = 10% a.c.t.

Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa:

(1+i) = (1+j/m)m

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa equivalente a.c.s (anual capitalizable semestralmente) de una tasa del

10,25% efectiva anual.

j= ? a.c.s.


i= 10,25% efectiva anual

Entonces aplico la fórmula y despejo i:

(1+i) = (1+j/m)m

(1+0,1025) = (1+j/2)2

((1,1025)1/2 -1) (2)= j

j = 10,0% a.c.s.

Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida la tasa

efectiva anual:

(1+i1)p1 = (1+i2)p2

Dónde:

i1 = Tasa efec. periódica 1 ; p1 = periodo1

i2 = Tasa efec. periódica 2 ; p2 = periodo 2

Ejemplo:

Se desea saber cuál es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral

Dónde:

i1 = 5% semestral ; p1 = periodo1

i2 = ? mensual ; p2 = periodo 2

para conocer los valores de p1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que para el

ejemplo es semestre, y para calcular p1 decimos cuantos semestres hay en un semestre entonces

p1 =1 igual hacemos para p2 cuantos meses hay en un semestre y obtenemos que p2 = 6,

finalmente aplico la fórmula y despejo i2.

78

(1+i1)p1 = (1+i2)

p2

(1+0,05)1 = (1+ i2)6

i2 = (1+0,05)1/6-1 i2 = 0.82% mensual

*** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues en esta

se consideran los valores capitalizados.)

Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por dos

métodos es:

Ejemplo:

Transforme 1.2% mensual a tasa nominal a.c.s.

Método 1:Tranforme a tasa semestral, luego a tasa nominal a.c.s.

i1 = 1.2% mensual ; p1 = 6

i2 = ? semestral ; p2 = 1

(1+0,012)6 = (1+ i2)1

i2 = (1+0,012)6-1 i2 = 7,42% semestral

i = j/m m = 2 i= 7,42% semestral j = 2 (0,0742) = 0,1483 =14,84% a.c.s.

Método 2:Tranforme a tasa a.c.m, luego a tasa nominal a.c.s.

i = j/m m = 12 i= 1,2 mensual j = 12 (0,012) = 0,144 =14,4% a.c.m.

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

(1+ 0,144/12)12 = (1+j2/2)2

(1+ 0,144/12)6 = (1+j2/2)

((1,012)6-1) (2) = j2

j2 = 14,84% a.c.s.

79

Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas

Cuando hablamos de interés por anticipado, el monto de los intereses se paga o se capitaliza

al inicio del periodo. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido se emplea

una ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo, como sigue:

A = X- iaX A= X (1-ia) (1)

A F = X La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto

no aparece al final. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que:

F = A(1+i) considerando que F = X

Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos:

1 = (1-ia)(1+i); (2)

(1-ia) = 1/ (1+i); 1-1/ (1+i) = ia; (1+i-1)/(1+i) = ia:

i/(1+i) = ia

Se considera:

i = Tasa de interés efectiva periódica vencida

ia = Tasa de interés efectiva periódica anticipada

Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de la

anticipada, como sigue:

(1+i) = 1/ (1-ia); 1/ (1-ia)-1 = i; (1-1+ ia)/ (1-ia) = i;

ia /(1-ia) = i

Ejemplos:

1.- Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual

anticipada.

i = ? anual

ia= 4% annual

i = 0,04/(1-0,04) = 0.0417; i = 4,17% annual vencida

2.- Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%.

80

ia= ? anual

i = 9%anual

i = 0,09/(1+0,09) = 0,0826; i = 8,26% anual anticipada

Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas

Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales, para la transformación

tenemos la formula i = j/m; donde en este caso i se convierte en

iay j en ja; manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa

sea del mismo periodo de capitalización.

ia = ja/m

Ejemplos:

1.- Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.c.t. anticipada.

ja = 4% a.c.t.

m = 4

ia= ? trimestral

ia= 0,04/4 = 0,01; ia= 1% trimestral anticipada.

2.- Encuentre la tasa nominal a.c.s. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2,3%

semestral anticipada.

ia= 2,3% semestral

ja = ? a.c.s..

m = 2

ja = 0,023 x 2 = 0,046; ja = 4,6% a.c.s. anticipada.

Para efectuar transformaciones más complejas usted puede utilizar el Esquema para

transformación de tasas de interés efectivas y nominales (vencidas y anticipadas).

En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodologíaque nos ayuda a

visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los conceptos

vistos anteriormente

81

Tasa Flat (f)

Es muy utilizada en el sistema comercial, que financian ventas a plazos, no se aplica el

principio de equivalencia financiera, por lo tanto la tasa que se presenta como costo financiero

del crédito no es el verdadero costo del financiamiento, debido a que los intereses no son a

rebatir (sobre los saldos insolutos).

La cuota uniforme (R) en un sistema de préstamo flat se calcula dividiendo el valor de préstamo

y los intereses simples calculados para todo el horizonte de tiempo, entre el número de cuotas.

R = P(1+fn)

n

por ejemplo una tasa flat del 2%, origina una tasa i = 3,337% que es el verdadero costo sobre

los saldos deudores del préstamo.

Tasa Libor (London Interbank Offered Rate)

Tasa de interés interbancaria de colocación del Mercado de Londres. Tasa de interés base

promedio para la Unión Europea y Japón. A esta tasa los bancos del mercado de eurodivisas

se prestan dinero entre sí. Por lo general, el costo del crédito en euros se establece con un

margen por arriba de la LIBOR. En términos generales, las tasas de los créditos en eurodólares

están entre el 0,5% y 3% sobre LIBOR, con una media aproximada del 1,5%.

Tasa Prime

Tasa preferencial de colocación en el mercado de Estados Unidos (Nueva York); es decir, la

tasa que cobran los bancos a sus mejores clientes. Cabe señalar que esta tasa generalmente se

utiliza para plazos inferiores a u n año.

Tanto la tasa LIBOR como la Prime son utilizadas para préstamos internacionales sea para el

Estado o para empresas privadas que necesitan financiar programas de desarrollo e

inversiones.

E.U.R.I.B.O.R.

Es el costo del dinero en el mercado interbancario europeo a un plazo determinado, es decir,

el costo al que los bancos y cajas se prestan mutuamente.

Anualidades Definición:

Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos, que cumplen con las siguientes

propiedades:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo.

82

3. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final (Monto

= S) de la serie a la misma tasa de interés.

4. El número de pagos es igual al número de periodos.

5. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no sea

anual. Pudiendo ser quincenales, mensuales, trimestrales, etc..

Términos relacionados:

Renta (R): Es el pago periódico.

Periodo o Intervalo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos periódicos

continuos.

Tasa de interés (i): Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas, el cual

puede estar expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva; pero para el

cálculo debe expresarse conforme el periodo de pago de la renta (tasa efectiva

periódica).

Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que media entre el inicio del primer

periodo y el final del último periodo.

Clasificación de las anualidades:

1.- Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará cada uno de ellos.

Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias), Anticipadas o Diferidas.

1.1.- Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés

coincide con el periodo de pago de la renta.

1.1.1.- Vencidas (Ordinaria): Los pagos se realizan al final de cada periodo de

pago.

1.1.2.- Anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo de pago.

1.1.3.- Diferidas: Debe pasar el periodo de gracia para comenzar a pagar la

deuda más los intereses acumulados en el periodo de gracia. Los

pagos pueden ser vencido o anticipados.

1.2.- Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés

no coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos

mensuales con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con

una tasa que se capitaliza trimestralmente.

2.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del

primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que

sucederá pero que se desconoce cuándo. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias),

Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro contra incendios, un seguro de vida, etc.

3.- Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una anualidad que

en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se

coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.

Estudiando las anualidades con mayor detalle cada una de ellas, revisaremos las gráficas

que las representan y ejemplos de problemas.

83

Vencidas (Ordinaria): Los pagos son efectuados al vencerse o final de cada periodo.

Por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo

y luego se realiza el pago. Se representa así:

R RR

0 1 2 3=n

Anticipadas: Los pagos son efectuados al inicio de cada periodo. Por ejemplo el pago

mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y luego se habita en el

inmueble. Se representa así:

R RR

0 1 2 3=n

Cálculo de una anualidad vencida y una anualidad anticipada

Una anualidad tiene dos valores:

Monto (S):

Todos los pagos son traslados al final de la serie de pagos. El monto se representa por el

símbolo S n¬i en el cual la:

S = Monto.

n¬ = Número de pagos.

i = Tasa de interés (periódica)

Otra simbología muy utilizada es (F/A, n, i) que significa valor futuro dada una anualidad

de n periodos a la tasa i .

Para plantear la ecuación de valor, se aplica la fórmula:

M IC= c (1+i)n(monto a interés compuesto= MICo simplemente M)

A cada pago, pero, en cada caso, c = 1. El pago que está en el punto 1 se traslada por n-1

periodos, el que está en 2, por n-2 periodos y así sucesivamente, hasta que se llegue al

pago que está en n el cual no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tiene:

(F/A, n, i)=S n¬i = ((1 + i)n -1)/i el valor de S n¬ipuede encontrar en tablas

𝑺 = 𝑹(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

𝒊 Monto anualidad vencida

84

Ejemplo: 1.

Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años.

Determinar A y S suponiendo un interés del 32% a.c.t..

SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000

a) i = 32%/4 = 8% efectivo trimestral

A = R(1 - (1 + i )-n)/i

A= 80.000* (1 -(1 +0,08 )-24) /0,08

A= 842.301

b) S = R((1 + i )n -1)/i

S= 80.000* ((1 +0,08 )24 -1)/ 0,08

S= 5.341.181

Ejemplo 2.

Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con

una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando

a) la fecha focal hoy y

b) la fecha focal en doce meses.

SOLUCIÓN:

a) A = R(1 - (1 + i )-n)/i 50.000= R (1 - (1 + 0,02 )-12)/0,02

R= 4727,98

b) 50.000 (1,02)12 = R((1 + 0,02 )12 -1)/0,02

R= 4.727,98

Anualidades anticipadas:

Las anualidades anticipadas se representan por la ecuación:

¨S n¬i= S n¬i (1 + i ) Para el monto

S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1) Monto anualidadanticipada

ä n¬i = a n¬i (1 + i ) Para valor presente

A = C = R(1+(1 - (1 + i )-n+1)/i) Valor actualanualidadanticipada

Ejemplo 3.

85

Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto

como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el

2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

SOLUCIÓN:

S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1)

S = 50.000((((1 + 0,02 )12+1 -1)/0,02)-1)

S = 684.016,58

Diferidas: Una anualidad diferida es aquella en que para iniciar la serie de pagos debe

transcurrir un cierto número de periodos donde se gana intereses y no se paga capital

para acumularse y convertirse en el valor a pagar a través de la anualidad; este

periodo se denomina “periodo de gracia”. Una anualidad diferida es aquella en que

el primer pago se efectúa después de transcurrido el periodo de gracia. La parte de

los pagos puede ser realizada a través de pagos vencidos o anticipados.

Se representa así:

Cálculo de una anualidad diferida

Ejemplo 1.

Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno.

Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R

con una tasa del 36% a.c.t.

SOLUCIÓN

**NOTA: En anualidades diferidas decir el primer pago se realiza al año, es equivalente

a decir que tiene 3 trimestres de periodo de gracia.

F n1= 3 FF n = 20

MIC3 = A20

86

En la fecha focal, el monto a interés compuesto MIC3 de VP durante n1 trimestres es igual

al valor actual de la anualidad vencida de 20 pagos trimestrales A20.

Tenemos que el primer pago se lo hace en el periodo 4 que corresponde al final del primer

año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23. Además, si se

toma como fecha focal, la fecha en que termina el periodo de gracia tenemos que en ese

punto el valor adeudado en el tiempo 0 a ganado intereses a interés compuesto durante el

periodo de gracias n1, y su monto es igual al valor actual de los n pagos de la anualidad

La ecuación de valor será:

VP (1+i)n1 = An Valor presente anualidad diferida

Donde: n1= periodo de gracia; An= Valor actual de los n pagos sean anticipados o

vencidos.

800.000(1,09)3 = R ((1 - (1+0,09)-20)/0,09)

R = $113.492,69

2. Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no

coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos mensuales

con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con una tasa que se

capitaliza trimestralmente. La solución para estos casos es pasar a una anualidad

simple para lo cual bien se transforma la tasa al periodo de tiempo de pago de la renta

(método más utilizado), o se calcula la renta equivalente para el periodo de la tasa.

Estas anualidades a su vez pueden ser con pagos vencidos, anticipados o diferidos.

Cálculo de una anualidad general

Este tipo de anualidades puede ser tratado como una anualidad simple, para lo cual

debemos hacer que los periodos de pago coincidan con los periodos de capitalización de

la tasa, existen dos formas como se puede efectuar:

1.- Consiste en calcular pagos equivalentes, que deben efectuarse conforme el periodo de

capitalización de la tasa de interés. Para esto se debe calcular el valor de los pagos que

deben efectuarse al final de cada periodo de capitalización que sea equivalente al valor

del pago único que se hace al final del periodo de pago.

2.- Consiste en encontrar la tasa equivalente, para que coincida el periodo de pago con el

de capitalización de la tasa.

Ejemplo 1.

Hallar el monto (S) de 30 pagos trimestrales de $25.000 cada uno considerando una tasa

del 24% a.c.m.

SOLUCIÓN

Método 1.-

Reemplazar el pago vencido trimestral, por un pago vencido mensual

87

Entonces tenemos una anualidad, pues los pagos son mensuales de $R a la tasa a.c.m.

i = 24%/12 = 2% mensual

SR = 25.000

25.000 = R ((1+0,02)3 -1)/0,02

R = 8.168,87 mensual

El número de pagos mensuales n = 3 x 30 = 90, entonces S

S = 8.168,87 ((1+0,02)90 -1)/0,02

S = 2.018.990,60

Método 2.-

Se busca la tasa a.c.t. equivalente a 24% a.c.m.

(1+0,02)12 = (1 + i)4

i = 6,1208% trimestral

Encontramos el monto

S = 25.000 ((1+0,061208)30 -1)/0,061208

S = 2.018.990,60

B.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del

primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que

sucederá pero que se desconoce cuándo. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias),

Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro contra incendios, un seguro de vida, etc..

88

C.- Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una anualidad

que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando

se coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.

Cálculo de una perpetuidad

Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor final será

infinito, partiendo de la fórmula del valor presente de la anualidad ordinaria llevamos al

límite cuando n -> .

A = C = R(1 - (1 + i )-n)/i

A = Limn-> R (1- 1/(1+i))/i); 1/(1+i) = 0

A = R (1- 0)/i);

A = R/i

Ejemplo 1.

Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000 mensuales, suponiendo que la

tasa de interés es del 33% a.c.m.

SOLUCIÓN

i = 33%/12= 2,75% mensual

A = R/i

A = 10.000/0,0275; A = 363.636,36

Cálculo de la tasa de interés de la anualidad

En el cálculo de la tasa se utiliza interpolación lineal, por esta razón se profundiza este tema

en el Apéndice 2 INTERPOLACIÓN LINEAL donde se expone un ejercicio y las notas claves

referentes a este tema son de suma importancia para el proceso del cálculo.

Tablas de Amortización y Fondos de Amortización

AMORTIZAR: Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va

cancelando una deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos denominados

(abonos = cuotas).

El capital que se debe una vez efectuado un pago se conoce como saldo insoluto y representa

a los derechos del acreedor y se trata del valor del capital que no se ha cancelado a ese

período.

89

La diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto corresponde a los derechos adquiridos

por el deudor; que es la parte que se ha amortizado o pagado y que ya es propiedad del deudor.

Cada abono que se realiza para liquidar la deuda, está compuesta por dos partes. La primera

para cubrir los intereses generados en el período; y la segunda, denominada amortización que

es el aporte al capital que se adeuda haciendo que éste disminuya con cada pago.

Existen varios métodos para amortizar una deuda, sin embargo trataremos los que son de uso

más comunes:

Amortización Gradual (Método Francés).-En este sistema el valor de las cuotas o

abonos permanece constante; pero los intereses se reduce a medida que la amortización de

capital se incrementa, es decir es mayor que la del pago anterior .

Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a

una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización

por el método de amortización gradual.

Período Cuota Intereses Capital Saldo

Insoluto

0 800,00

1 147,68 24,00 123,68 676,32

2 147,68 20,29 127,39 548,93

3 147,68 16,47 131,21 417,72

4 147,68 12,53 135,15 282,57

5 147,68 8,48 139,20 143,38

6 147,68 4,30 143,38 0

Total 886,07 86,07 800,00

Amortización Constante (Método Alemán).-En este sistema, el valor total de la cuota

disminuye con el tiempo, el componente de amortización del capital permanece constante pero

el interés va disminuyendo, lo que da lugar a que cada pago sea menor que el anterior.

Ejemplo: Paulette recibe un préstamo de $ 600,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales

a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización

por el método de amortización constante


Insoluto

0 600,00

1 118,00 18,00 100,00 500,00

2 115,00 15,00 100,00 400,00

3 112,00 12,00 100,00 300,00

4 109,00 9,00 100,00 200,00

5 106,00 6,00 100,00 100,00

6 103,00 3,00 100,00 0

Total 663,00 63,00 600,00

Amortización (Método Americano).-Se caracteriza por tener las primeras n-1 cuotas de

amortización de capital nulas (0). Las cuotas de interés son constantes e iguales a la tasa por

el valor del préstamo. La desventaja es que la última cuota es muy alta, esta incluye el valor

original del préstamo más los intereses del período.

90

Ejemplo: Aarón recibe un préstamo de $ 900,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales

a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización

por el método de amortización americano.


Insoluto

0 900,00

1 27,00 27,00 0 900,00

2 27,00 27,00 0 900,00

3 27,00 27,00 0 900,00

4 27,00 27,00 0 900,00

5 27,00 27,00 0 900,00

6 927,00 27,00 900,00 0

Total 1062,00 162,00 900,00

Método con Renta Variable .-En éste método cada abono y su correspondiente porción

amortizada crece con el tiempo y esto lo hace atractivo para el deudor, ya que los primeros

pagos pueden ser tan pequeños que ni siquiera cubra los intereses del período, dando lugar a

que la deuda crezca en vez de reducirse. Tiene la desventaja de generar más intereses que los

otros sistemas. Los abonos pueden variar uno por uno o en grupos, y hacerlo en forma

aritmética o geométrica.

Cálculo de los derechos del deudor y del acreedor Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor):

Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta, o el valor presente de los pagos que

faltan por hacerse.

Capital Pagado: (Derecho del Deudor = Parte amortizada) Es la parte de la deuda que a la fecha esta cubierta.

Derechos Deudor + Derechos Acreedor = Deuda Original

es igual a Lo amortizado + Saldo Insoluto = Deuda

Original

es igual a Capital Amortizado + Saldo Insoluto = Deuda

Original

Capital Amortizado + A n-k = Deuda Original Donde: n = Número de pagos totales k = Número de pagos efectuados Capital Amortizado = Deuda original - A n-k

DerechosAcreedor = A n-k

Intereses pagados entre dos periodos de pago: Si se desea conocer el valor de los intereses

pagados entre dos periodos se deben restar los derechos del acreedor de los dos periodos y

restarlo del producto de la renta por el número de cuotas que están entre los dos periodos.

91

Aplicando estos conceptos a la reconstrucción de tablas podemos encontrar el Saldo Insoluto

luego de haber realizado el 6to. Pago A 84-6 = R*(1-(1+i)-(n-k))/i A78 = 15.364,30 SALDO INSOLUTO = DERECHOS DEL

ACREEDOR (Ver tabla Periodo 6)

DEUDA ORIGINAL - DERECHOS DEL ACREEDOR = DERECHOS DEL

DEUDOR

16.000,0 - 15.364,30 = 635,70

DERECHOS DEL DEUDOR = CAPITAL

ACUMULADO (Ver tabla Periodo 6 tabla de amortización gradual)

NOTA:

1.- En la práctica las columnas de Intereses Acumulados y Capital Amortizado no se presentan

en la tabla de amortización pero para fines didácticos se las ha incluido para ver lo que se

refieren los Derechos del Deudor.

2.- Si se desea cancelar toda la deuda en un determinado periodo; a la renta del periodo en

cuestión se debe sumar el saldo insoluto correspondiente. Ej: Si deseo cancelar en el periodo

9 sería: 306,63 + 15.003,04 = 15.309,67

Fondo de amortización o de valor futuro:

Fondo de Amortización.-Cuando se desea acumular una cierta cantidad de dinero,

mediante pagos periódicos los cuales ganan intereses para alcanzar un monto previamente

establecido.

Puede darse que el capital o depósito inicial para constituir el fondo sea mayor que los

posteriores y también puede darse que existan varias disposiciones creando un flujo de caja de

entradas y salidas de capital.

Generalmente se crean fondos para reposición de activos, jubilación.

El valor acumulado en un fondo es igual al monto de la anualidad de los k depósitos

realizadosSk(monto de una anualidad)

El valor que falta para alcanzar la suma deseada en el fondo(SI), una vez que se han realizado

k depósitos SI = Suma deseada - Sk

92

Problema de Tabla deAmortización Gradual con reajuste de tasa de interés a los 6 meses Dieter, recibe un préstamo hipotecario de $16.000,00 a 7 años plazo del Banco de Aarón a

una tasa del 16,5% a.c.m. reajustable semestralmente. Sus ingresos familiares mensuales son

$1.100,00, el Banco considera como capacidad de pago el 30% de los ingresos. Calcule el

valor de la primera renta, la se reajusta al 14,66% a.c.m. entonces calcule la nueva renta.

Construya la tabla de los 12 primeros periodos.

Aplicación de Derechos del Deudor y Derechos de Acreedor

Datos

Ingreso Familiar Promedio = 1.100,00

Capacidad de pago = 30% de los ingresos familiares

Pago posible = 330,00

Deuda A = 16.000,00

Tasa j = 16,50% a.c.m. i = 1,3750%

Periodos de pago = 84

Renta 1 = 322,37

Reajuste:

Nueva tasa j = 14,66% a.c.m. i = 1,2217%

Saldo Insoluto al 6to pago = 15364,30

Renta 2 = $ 306,63

Tabla

La columna de capital se obtiene restando de la renta el valor de los intereses generados por

el saldo insoluto del periodo anterior.

Problema de creación de un Fondo de Amortización

Periodo Renta Interéses Int. Acum. Capital Cap. Amort. Saldo Insoluto

0 0 0 0 0 0 16.000,00

1 322,37 220 220 102,37 102,37 15.897,63

2 322,37 218,59 438,59 103,77 206,14 15793,86

3 322,37 217,17 655,76 105,20 311,34 15688,66

4 322,37 215,72 871,48 106,65 417,99 15582,01

5 322,37 214,25 1085,73 108,11 526,10 15473,90

6 322,37 212,77 1298,50 109,60 635,70 15364,30

7 306,63 187,70 1486,20 118,93 754,63 15245,37

8 306,63 186,25 1672,44 120,38 875,01 15124,99

9 306,63 184,78 1857,22 121,85 996,86 15003,14

10 306,63 183,29 2040,51 123,34 1120,20 14879,80

11 306,63 181,78 2222,29 124,85 1245,04 14754,96

12 306,63 180,26 2402,55 126,37 1371,41 14628,59

13

14

15

16

17

18

93

1.- El padre de Aarón Kolb al mes nacer su hijo comienza a depositar $300 mensuales en un

fondo que genera un interés del 9% a.c.m. desea saber cuánto recibirá su hijo al cumplir los

18 años.

Renta R = 300 Tasa j = 9,00% a.c.m.

i = 0,75%

mensual

Tiempo = 18 años n = 216 pagos

Tabla

Periodo Renta Intereses Int. Acum. Val. al Fondo Fondo Acum.

0 - - - - 0 1 300 0 0 300 300 2 300 2,25 2,25 302,25 602,25 3 300 4,52 6,77 304,52 906,77 4 300 6,80 13,57 306,80 1.213,57 5 300 9,10 22,67 309,10 1.522,67 6 300 11,42 34,09 311,42 1.834,09 7 300 13,76 47,85 313,76 2.147,85 8 300 16,11 63,95 316,11 2.463,95 9 300 18,48 82,43 318,48 2.782,43

10 300 20,87 103,30 320,87 3.103,30 11 300 23,27 126,58 323,27 3.426,58 12 300 25,70 152,28 325,70 3.752,28 13

….. ….. ….. ….. ….. ….. 215 300 159.409,93 216 300 1.195,57 1495,57 160.905,50

Para calcular el valor acumulado en el fondo a cualquier periodo se saca el

monto de la anualidad que se tiene una vez efectuado el pago del periodo en

cuestión.

Por ejemplo : El valor en el fondo al periodo 8

k = 8 S8= 300*((1+ 0,0075)8 - 1) / 0,0075 = 2.463,95

2463,95 Es el valor acumulado en el fondo en el periodo 8

Si deseo reconstruir la tabla a partir del periodo 8 debería calcular

S 7 = 2147,85

94

tasa i = 0,75%

Periodo Renta Intereses Int. Acum. Val. al Fondo Fondo Acum. 7 - - - - 2.147,85 8 300,00 16,11 - 316,11 2.463,95 9 300,00 18,48 - 318,48 2.782,43

10 300,00 20,87 - 320,87 3.103,30 11 300,00 23,27 - 323,27 3.426,58

NOTA:

En la práctica las columnas de Intereses Acumulados no se presentan en la tabla del fondo pero

para fines didácticos se ha incluido.

El valor que va al fondo está constituido por la renta más los intereses que genera el fondo que

se encuentra acumulado en el periodo anterior.

De esta manera también podría reconstruir la tabla del fondo si se le da el valor acumulado

en el periodo k esto es Sk,, para lo que debe determinar en la fórmula del monto de la

anualidad, el valor de n que viene a ser el número del periodos aportados al fondo.

95

APÉNDICE 2

Ing. Alfred DieterKolb Alvarado M.B.A.

INTERPOLACIÓN LINEAL

Aplicaciones

INTRODUCCIÓN:

Cuando no se dispone de una función que permita calcular directamente el valor de una

variable dependiente llamemos Y en función de otra independiente llamemos X, sino que la

información está distribuida de forma discreta (esto es en puntos concretos) se hace necesario

emplear métodos de interpolación que permitan obtener una aproximación en cualquier punto

del dominio.

Entre los posibles métodos de interpolación podríamos considerar

* Lineal * Exponencial * Logarítmico

No obstante, debido a su sencillez y a que está comúnmente aceptado únicamente se expondrá

el método de interpolación lineal.

Interpolación lineal

Supongamos que queremos estimar el valor Y asociado al punto X. Según el método de

interpelación lineal (ver figura) se supone que la función se comporta como una línea recta

entre los puntos P1 y P2 ( intervalo [x1, x2]) , misma recta que contiene al punto P cuya

coordenada en Y es requerida, pues el valor X es el que tomamos de referencia para

determinarlo.

Valor Y es desconocido

P1(X1, Y1) P(X,Y) P2(X2,Y2)

(Tal que: X1<X < X2, y tender con los valores Y1 y Y2 acercarse lo más posible a X con los valores

de X1 y X2)

X X1 X2

96

Sean dos puntos P1(X1, Y1), P2(X2, Y2), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación

del valor Y, para un valor X“valor de referencia”, tal que X1 < X < X2, lo más cercanos posible

al valor de X. Teniendo en cuenta que la propiedad de la línea recta que dice:

“Si una recta pasa por dos puntos P1 y P2, tiene una pendiente m1y si un tercer punto P

pertenece a la misma recta esta tendrá una pendiente m2, donde se da m1 = m2” , la expresión

matemática de dicha igualdad permitirá calcular el valor de Y.

P(X,Y) P2(X2,Y2)

P1(X1, Y1)

m1 = Y – Y1

X - X1

m2 = Y2 – Y1 De donde al igualar m1 a m2y despejando el valor de Y

X2 - X1obtengo que:

Y= Y1+(X – X1) Y2 – Y1

X2 - X1

En la práctica financiera, este método se utiliza cuando se requiere calcular la tasa de interés

en anualidades y en el cálculo de la TIR y la rentabilidad en bonos.

X X1 X2

m1 = m2

97

Notas Claves:

En anualidades:

a) Al trabajar con la fórmula de Valor Actual “A ó C”, la tasa (i) es inversamente proporcional al Valor

Actual, es decir al bajar la tasa (i) sube el valor actual y al subir (i) baja el Valor Actual.

b) Al trabajar con la fórmula de Monto “M”, la tasa (i) es directamente proporcional al Monto, es decir

al subir la tasa (i) sube el Monto y al bajar (i) baja el Monto.

c) Al tabular los valores “ij y f(i)j”; para aplicar la fórmula de la interpolación considere:

ij = yj ; f(i)j = xjdonde j = 1…2;

Los puntos elegidos como más cercanos serán:

P1(x1,y1); P2(x2,y2) y

P(x,y) = P(valor de referencia, iBUSCADO)

En el cálculo de la TIR:

a) Por concepto la Tir = Tasa Interna de Retorno, es la tasa que hace que el VAN = Valor actual neto,

sea igual a 0 (CERO). Por lo tanto el valor de referencia x será igual a 0 (CERO).

b) Al tabular los valores “ij y f(i)j”; para aplicar la fórmula de la interpolación considere:

ij = yj ; f(i)j = xjdonde j = 1…2;

Entonces los puntos elegidos como más cercanos serán:

P1(x1,y1); P2(x2,y2) y

P(x,y) = P(valor de referencia, TirBUSCADO) = P(0, TirBUSCADO)

En el cálculo de la tasa de rentabilidad en bonos: Es aplicable la interpolación y se considera la fórmula del precio del bono

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO:

1. Elija una tasa de interés de partida, esta puede ser la tasa referencial del BCE para

operaciones activas, o de alguna otra inversión, incluso usted puede poner un valor

cualquiera.

2. Aplique el valor de la tasa elegida en la función; f(i)j = xj donde j = 1…n; ij = yj

Recuerde:

Al trabajar con la fórmula de valor actual en Anualidades. A = R 1-(1+i)-n A/R = X = valor de referencia

; i

1-(1+i) -n = f(i) i

Al trabajar con la fórmula de monto o valor futuro en Anualidades S = R (1+i) n - 1 S/R = X = valor de referencia

; i

98

(1+i)n -1 = f(i) i

Para el cálculo de la TIR aplique el concepto de TIR “Tasa que genera un VAN=0 (cero). X=0 = Valor de referencia.

En caso de Bonos el precio cotizado es el Valor de referencia = X

3. Compare el valor obtenido del cálculo con el valor X de referencia.(Ubique el valor

en la gráfica en este momento usted ha encontrado bien sea X1 ó X2 y tendrá que

decidir si aumenta o disminuye la tasa dependiendo de la fórmula aplicada

conforme el paso siguiente)

P(X,Y=?) P2(X2,Y2)

P1(X1, Y1)

4. Dependiendo de que si la función f(i)j ,se despejo de una fórmula del monto, valor

actual, VAN* o precio en bonos* (* se tratan de valores actuales y tienen la relación

inversamente proporcional con la tasa a la que se evalúa) aplique las notas claves

según sea el caso para acercarse más al valor de referencia X, si tiene que reducir la

tasa hágalo a la mitad, y si tiene que aumentarla hágalo al doble, de esta manera es

posible que encuentre el otro extremo del intervalo X1 X2. Este paso lo repite hasta

encontrar el otro extremo del intervalo.

Recuerde:

Los Valores Actuales sea A o C; VAN o P (Precio en bonos a la tasa i) tienen una relación inversamente proporcional, es decir:

-Si sube el valor actual baja la tasa i

-Si baja el valor actual sube la tasa i

Los Valores futuros Monto S o M mantienen una relación directamente proporcional a la tasa i, es decir van el mismo sentido.

-Si sube el valor futuro sube i -Si baja el valor futuro baja i

X X1 X2

99

5. Una vez que se tiene el valor mayor y el menor a X, se procede a afinar el cálculo; esto

se lo hace sumando las dos tasas que dieron los valores cercanos a X y dividiendo para

2, el valor resultante se aplica en f(i)j y se obtiene un valor más cercano a X. Este paso

se lo repite hasta que el valor mayor y el menor a X prácticamente igual al de X.

6. Con las coordenadas de los puntos más cercanos a los que se considera como P1 , P2 y

P se los aplica en la fórmula de interpolación.

Ejemplo Anualidades:

Aarón Kolb, crea un fondo de $600.000, el mismo se constituirá a través de 15 cuotas

semestrales de $12.000. Determine latasa nominal anual convertible semestralmente.

M = 600.000 M = R ((1+i)n- 1)/ i

n = 15 depósitos semestrales Reemplazandocon valores:

R = 12.000

j = ? (a.c.s.) 600.000 = 12.000 ((1+i)15- 1)/ i

600.000/12.000 = ((1+i)15- 1)/ i

50 = ((1+i)15- 1)/ i entonces f(i) = ((1+i)15- 1)/ i = Xcalculado

50 es el valor de referencia “X” y se debe encontrar eli “Y” que genere 50.

En este caso no se tiene la posibilidad de calcular directamente la tasa i, por lo tanto se

aplica el método de interpolación lineal:

Se da valores a i en f(i), encontrando Xcalculado; se puede partir de una tasa que se de el enunciado del

problema o de un valor de i (arbitrario) que se tome como partida. (VEA TABLA DE VALORES)

Se toma los dos datos de ij “Y1 y Y2” y f( ij) “X1 y X2” que corresponden a los valores más cercanos

a 50, en el caso del ejemplo:

P “Y” : i = ? “X” : = 50 P1 “Y1” : i1 = 0,156 “X1” : f( i1) = 49,9850

P2 “Y2” : i2 = 0,157 “X2” : f( i2) = 50,3982

Aplico la fórmula de interpolación: Donde i = Y (Obteniéndose la tasa efectiva periódica)

Y = Y1 + (X- X1) Y2 - Y1

X2 – X1

Reemplazo con los valores

Y = 0,156 + (50 - 49,9850) (0,157 - 0,156)/(50,3982 – 49,9850)

Entonces

100

i = 0,156036302 semestral = 15,604% semestral. (Tasaefectiva periódica)

Entonces la tasa nominal anual convertible semestralmente (a.c.s.) será :

j = 0,156036302 (2) = 0,312072604 en forma de porcentaje 31,21% a.c.s.

TABLA DE VALORES

Ejemplo TIR

-VAN:

KLWD S.A.

está

analizando un proyecto de inversión con un costo de capital del 10% y el siguiente patrón de

flujos de efectivo esperados.

a. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?

b. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?

a. VAN

VANr = -100 + 25 + 50 + 50 + 25 + 10 .

(1+r) (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5

VAN10% = -100 + 22,73 + 41,32 + 37,57 + 17,08 + 6,21

VAN10% = 24,90 VAN10%> 0, entonces conviene realizar la inversión

b) TIR

Interpolo: Utilizando la fórmula de VANr, voy dando valores a r que me acerquen lo más

posible a 0 por el lado negativo y por el positivo (cero por el concepto de TIR).

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo

(en miles de $)

-100 25 50 50 25 10

Yj = ij Xcalculado=f(ij) Iteración Observación

0,20 72,035 1 Es un valor cercano a 50 pero no lo más cercano menor o mayor que es lo que se desea encontrar

0.10 31,772 2 Como estamos utilizando la fórmula del Monto y el valor encontrado anteriormente fue superior al valor de referencia = 50, entonces aplico la nota clave respecto al monto dividiendo la tasa para 2, bajando así la tasa para que baje f(i).

0,15 47,580 3 Al momento tengo un valor X1 = 31,.772 menor y un X2 = 72,.35 mayor al de referencia; entonces sumo las dos tasas y divido para dos, consiguiendo un mejor valor de i y nos acercamos más a 50. También observamos que el valor de i para que f(i) sea igual a 50 esta entre 0,20 y 0,15, por lo tanto se dará valores a i dentro de este rango para afinar el cálculo. Un truco para hacer más rápido es sacar la diferencia entre las dos tasas, dividir para 3 y el resultado se suma o se resta a la tasa que este dando el valor más cercano, dependiendo si tengo que subir o bajar la tasa. Para este caso 0,15-0,10=0,05; 0,05/3=0,0167 y sumo a la tasa de 0,15 dando 0,0167

0,16 51,660 4 Se realiza el afinamiento entre 0,15 y 0,16 pues estamos bastante cerca de 50; esto lo hacemos para tener una mayor precisión en el cálculo de i, y no crear falsas expectativas.

0,156 49,9850 5 Tenemos un valor de f(i) menor bastante más cercano a 50

0,157 50,3982 6 Tenemos un valor de f(i) mayor bastante más cercano a 50

101

r VANr

y = y1 + (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

0,10 24,90

0,20 0,566 P2(0,566 ; 0,20)

0,21 -1,446 P1(-1,446 ; 0,21)

P (0 ; y)

y = 0,21 + (0 + 1,446) (0,20 - 0,21) = 0,2028 TIR = 20,28%

(0,566+1,446) TIR >Cc ; 20,28% > 10%

Conviene la inversión.

102

APENDICE 3

Preparado por Ing. Flavio Parra T.

ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO

Analicemos una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un

valor uniforme o constante, como también aquellas que aumentan o disminuyen en un valor

porcentual. Es conveniente afirmar, que básicamente la única condición que cambia entre las

anualidades y las anualidades con gradientes aritméticas y geométricas es que el valor de los

flujos de caja varía y las demás condiciones no se modifican, por lo cual, los conceptos de

anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y generales que se trataron anteriormente son

los mismos y se manejaran en idéntica forma.

DEFINICION

Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) periódicos que

poseen una ley de formación, que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar

o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una cantidad constante o en un

porcentaje.

Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las siguientes

condiciones:

Los flujos de caja deben tener una ley de formación.

Los flujos de caja deben ser periódicos

Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.

La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un gradiente

lineal creciente vencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. Si los flujos de

caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente

anticipado. Si el primer flujo se posterga en el tiempo, se presenta un gradiente lineal creciente

diferido. Las combinaciones anteriores también se presentan para el gradiente lineal

decreciente.

En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan

al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido, y si los flujos

ocurren al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado. Se

tendrá un gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos

posteriores a la fecha de realizada la operación financiera. Lo anterior ocurre con el gradiente

geométrico decreciente.

GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL

Es la serie de flujos de caja periódicos, en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado

o disminuido en una cantidad constante y se simboliza con la letra G y se le denomina

variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente

aritmético creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el gradiente

aritmético decreciente.

Valor presente(A) y futuro(S) de un gradiente aritmético o lineal creciente

103

Valor presente.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores presente de una serie de flujos

de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

Valor futuro.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores futuros de una serie de flujos

de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

R

R+

G R+

2G

R+

3G

0 1 2 3 4 n-1 n

R+

(n-2

)G

R+

(n-1

)G

Para calcular el valor presente y futuro de una anualidad con gradiente aritmético utilizamos

las formulas.

𝐴 = 𝑅 [1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖] ±

𝐺

𝑖[1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛] = 𝐴𝑈 ± 𝐴𝐺

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖] ±

𝐺

𝑖[(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑛] = 𝑆𝑈 ± 𝑆𝐺

𝑅 = 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎, 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑖 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠

𝐺 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛), 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐴𝑈 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

𝐴𝐺 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑈 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

𝑆𝐺 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Recuerde la serie de pagos o flujos de caja responden a las series o progresiones aritméticas;

el valor de cualquier cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquier termino.

𝑅𝑛 = 𝑅 + (𝑛 − 1)𝐺

104

Ejemplo 1: El valor de un automóvil se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada

mes en $ 2, y el valor de la primera es de $ 600. Si la tasa de interés es del 2% mensual, hallar

el valor del automóvil.

0 1 2 3 17 18

R=600

i=2%

G=2

𝐴 = 600 [1 − (1 + 0.02)−18

0.02] +

2

0.02[1 − (1 + 0.02)−18

0.02−

18

(1 + 0.02)18]

𝐴 = 8.995,22 + 238.92 = 9.234,14

Ejemplo 2: Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10

cada mes, siendo la primera cuota $ 1.270. Si la tasa de financiación que se cobra es del 1,5%

mensual, calcular el valor de la vivienda y el valor de la cuota 60.

0 1 2 3 119 120

R=1.270i=1.5%

G=10

𝐴 = 1.270 [1 − (1 + 0.015)−120

0.015] −

10

0.015[1 − (1 + 0.015)−120

0.015−

120

(1 + 0.015)120]

𝐴 = 70.483,04 − 23.597,11 = 46.885,93

𝑅60 = 1.270 + (60 − 1)(−10) = 680

Ejemplo 4. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales

que aumentan cada mes en $ 100, pero el primer pago por valor de $ 3.000 se realizó 9 meses

después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 2% mensual. Durante los

primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 1,5% mensual.

105

0 1 2 7 8 9 20191810

X

A

R=3.000G=100

i=1.5%

i=2%

𝑋 = 𝐴(1 + 0.015)−9

Calculo de A por los dos métodos:

𝐴 = 3000 + 3.100 [1 − (1 + 0.02)−11

0.02] +

100

0.02[1 − (1 + 0.02)−11

0.02−

11

(1 + 0.02)11]

𝐴 = 3.000 + 30.339,23 + 4.699,77 = 38.039,00

𝐴 = [3.000 [1 − (1 + 0.02)−12

0.02] +

100

0.02[1 − (1 + 0.02)−12

0.02−

12

(1 + 0.02)12]] (1 + 0.02)

𝐴 = [31.726,02 + 5.567,12](1.02) = 38.039,00

𝑋 = 38.039(1 + 0.015)−9 = 33.268,61

Ejemplo 5: ¿Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes, se cancela el valor

de una obligación de $ 60.000, si la tasa de interés es del 2,8% mensual y la primera cuota es

de $ 2000?¿Cuál será el valor de la cuota 20?

0 1 2 n-1 n

R=2000 G=50

i=2.8%

60000

𝐴 = 𝑅 [1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖] ±

𝐺

𝑖[1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛]

60.000 = 2000 [1 − (1 + 0.028)−𝑛

0.028] +

50

0.028[1 − (1 + 0.028)−𝑛

0.028−

𝑛

(1 + 0.028)𝑛]

Para encontrar n utilizamos interpolación lineal.

106

n (y) 30 31 32 33 34 35 36

VR (x) 52761,38 54248,28 55715,34 57162,55 58589,88 59997,37 61385,01

(59997.37,35)(61385.01,36)

𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 35 +36 − 35

61385.01 − 59997.37(60000 − 59997.37)

𝑦 = 𝑛 = 35.002 𝑛 = 35

𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 20: 𝑅20 = 2000 + (20 − 1)(50) = 2.950

Ejemplo 6: En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 4% semestral,

se hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 130, durante 12 años. Si el

valor del primer depósito es de $ 1.500, calcular el valor acumulado al final del año doce.

0 1 2 242322

R=1500 G=130

j=4%

S

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖] ±

𝐺

𝑖[(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑛]

𝑆 = 1500 [(1 + 0.04)24 − 1

0.04] +

130

0.04[(1 + 0.04)24 − 1

0.04− 24]

𝑆 = 58.623,91 + 49.018,46 𝑆 = 107.642,37

Ejemplo 7: Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15

cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá

acumulado al cabo de 24 meses, si el depósito del primer mes es $ 600.

107

0 1 2 242322

S

R=600i=2.5%

G=15

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖] ±

𝐺

𝑖[(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑛]

𝑆 = 600 [(1 + 0.025)24 − 1

0.025] −

15

0.025[(1 + 0.025)24 − 1

0.025− 24]

𝑆 = 19.409.42 − 5.009,42 = 14.400

GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL

Un gradiente geométrico es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es igual

al anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo (j).

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO

CRECIENTE

VALOR PRESENTE.- es el valor que se ubica en el presente, equivalente a una serie de flujos

de caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

VALOR FUTURO.- es el valor que se ubica en el futuro, equivalente a una serie de flujos de

caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

0 1 3 n-1 n2

A S

R(1

+j)

R

R(1

+j)

2

R(1

+j)

n-1

R(1

+j)

n-2

108

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1+𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 − 𝑗] 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝐴 =

𝑛𝑅

1 + 𝑖

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛

𝑖 − 𝑗] 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑆 = 𝑛𝑅(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑅𝑛 = 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO

DECRECIENTE

0 1 3 n-1 n2

A S

R(1

-j)

R

R(1

-j)2

R(1

-j)n

-1

R(1

-j)n

-2

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1−𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 + 𝑗] 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝐴 =

𝑛𝑅

1 + 𝑖

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − (1 − 𝑗)𝑛

𝑖 + 𝑗] 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑆 = 𝑛𝑅(1 + 𝑖)𝑛−1

𝑅𝑛 = 𝑅(1 − 𝑗)𝑛−1

𝐴 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜.

𝑆 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜.

𝑖 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜

𝑗 = 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑓𝑖𝑗𝑜 (𝑗)𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒

EJEMPLO 1: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un

10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 10.000 y se cobra una tasa de interés del

3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 16.

109

0 1 32

A

23 24

i=2%

R=10.000j=10%

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1+𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 − 𝑗]

𝐴 = 10.000 [1 − (

1+0.10

1+0.03)

24

0.03 − 0.10] = 549.345,11

𝑅𝑛 = 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1

𝑅16 = 10.000(1 + 0.10)16−1 = 41.772,48

EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000, se

le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5%

mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000, si la tasa de financiación

es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota.

0 1 32

A

23 24

R

17 18

i=2.8%

j=1.5%

65.000-13.000

52.000

5.000

52.000 = 𝐴 + 5000(1 + 𝑖)−18

52.000 = 𝑅 [1 − (

1+0.015

1+0.028)

24

0.028 − 0.015] + 5000(1 + 0.028)−18

52.000 = 20.25𝑅 + 3.041,54 𝑅 = 2.147,70

110

EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el

2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500

0 1 32

R=2.500

i=3%

j=2%

16 17 18

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛

𝑖 − 𝑗]

𝑆 = 2.500 [(1 + 0.03)18 − (1 + 0.02)18

0.03 − 0.02] = 68.546,70

EJEMPLO 4: Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 70.000 a una tasa de interés del

2,5% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en el1,5%. Calcule el saldo

después de cancelada la cuota 60.

0 1 32

R

i=2.5%

j=1.5%

59 60 61 119 120

70.000S60

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1+𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 − 𝑗]

70.000 = 𝑅 [1 − (

1+0.015

1+0.025)

120

0.025 − 0.015] 𝑅 = 1.012,09

Saldo después de cancelada la cuota 60.

Método 1.

𝑆 = 𝑅 [(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛

𝑖 − 𝑗]

111

𝑆60 = 1.012,09 [(1 + 0.025)60 − (1 + 0.015)60

0.025 − 0.015] = 198.022,49

𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 70.000(1 + 0.025)60 − 198.022,49 = 109.962,79

Método 2.

𝑅𝑛 = 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1

𝑅61 = 1.012,09(1 + 0.015)61−1 = 2.472,76

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1+𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 − 𝑗]

𝐴 = 2.472,76 [1 − (

1+0.015

1+0.025)

60

0.025 − 0.015] = 109.962,79

EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada

semestre en el 2,5%, siendo el primer pago de $ 6.500. La tasa de Interés es del 18% a.c.s.

Determine la cuota 12.

0 1 32

A

16 17 18

R=6.500

i=9%

j=2.5%

𝑖 =𝑗

𝑚=

18%

2= 9% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1−𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 + 𝑗]

𝐴 = 6.500 [1 − (

1−0.025

1+0.09)

𝑛

0.09 + 0.025] = 48.925,10

Cuota 12.

𝑅𝑛 = 𝑅(1 − 𝑗)𝑛−1𝑅12 = 6.500(1 − 0.025)12−1 = 4.919,99

112

EJEMPLO 6: Un préstamo de $ 20.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen

en 1,8% cada mes, calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de

financiación es del 2% mensual.

0 1 32

20.000

R

i=2%

j=1.8%

8 9 10 14 15

𝐴 = 𝑅 [1 − (

1−𝑗

1+𝑖)

𝑛

𝑖 + 𝑗]

20.000 = 𝑅 [1 − (

1−0.018

1+0.02)

15

0.02 + 0.018] 𝑅 = 1.750,38

Saldo después de la cuota 9.

𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 20.000(1 + 0.02)9 − 1.750,38 [(1 + 0.02)9 − (1 − 0.018)9

0.02 + 0.018]

𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 43.437,86 − 15.933,32 = 27.504,54

113

APÉNDICE 4

Ing. Alfred Dieter Kolb Alvarado M.B.A.

MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Y TOMAR LA DECISIÓN.

Introducción:

Existen métodos para evaluar la conveniencia o no de un proyecto de inversión, por un lado

tenemos los métodos contables que no consideran el valor del dinero en el tiempo y por otro

los que si lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual Neto VAN, Tasa Interna

de Retorno TIR, Periodo de Recuperación Descontado. Dependiendo de la clase de

proyectos, estos pueden originar que la decisión aplicando los criterios de aceptación de

los métodos mencionados anteriormente no coincida. Así se puede mencionar los siguientes

tipos de proyectos:

Proyecto Convencional.-Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que representa

la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos hasta el final de la

vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono. Los criterios de aceptación

TIR y VAN coinciden.

Proyecto No Convencional.-Cuando la secuencia de los flujos de efectivo es diferente al del

proyecto convencional; estos pueden crear conflicto en los criterios de decisión del VAN y

TIR. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vida para jubilación en donde la

aseguradora recibe una cierto valor, para luego desembolsar una anualidad durante la vida

del jubilado. En estos proyectos se aceptan cuando la TIR es menor que el costo de capital.

Proyectos Independientes.- La selección de emprender un proyecto de un grupo no requiere

ni excluye que se seleccione cualquier otro u otros e inclusive todos.

Proyectos Mutuamente Excluyentes.-Cuando de un conjunto de proyectos se elige un

proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa, por lo que se deja

de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un mayor rendimiento. Puede

generar decisiones contrarias del TIR y VAN.

Proyectos Contingentes.- La selección de un proyecto está condicionada a la elección de

uno o más del resto del grupo.

Los criterios para evaluar proyectos de inversión brevemente se refieren a:

Valor presente neto:Es la suma de los flujos netos de caja actualizados, menos la

inversión inicial. El proyecto de inversión, según este criterio, se acepta cuando el valor

presente neto es positivo, dado que agrega capital a la empresa.

Tasa interna de rentabilidad:Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual

a cero, o tasa que iguala la inversión inicial con la suma de los flujos netos

actualizados. Según la TIR, el proyecto es rentable cuando la TIR es mayor que la tasa

de costo de capital, dado que la empresa ganará más ejecutando el proyecto, que

efectuando otro tipo de inversión.

Período de recuperación o Payback:Es el tiempo necesario para recuperar la inversión

inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente cuando el período de recupero

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es menor que el horizonte económico de la inversión, dado que se recupera la inversión

inicial antes de finalizado el plazo total. Existen dos métodos:

1.- Payback contable:Donde se consideran únicamente los flujos netos de

cada periodo, para determinar el tiempo que se tomará para recuperar el

dinero invertido. El inconveniente de este método es el que no toma en

cuenta el valor del dinero en el tiempo, por lo que es preferible optar por el

siguiente método.

2.- PaybackDiscountó Periodo de Recuperación Descontado:Este método,

para el cálculo del tiempo que se requiere para recuperar el dinero invertido

utiliza los flujos descontados; por esta razón su uso más generalizado.

Para dar inicio a este estudio es importante tener el conocimiento de lo que es la combinación

de tasas, concepto que nos ayudará a explicar lo que es la Tasa Real y posteriormente el cálculo

de la TMAR

Combinación de Tasas.- Si un capital P está expuesto a una tasa i1 y simultáneamente a una

tasa i2 tenemos que esto equivaldría a tener a P con una tasa ie equivalente; como sigue:

P (1+ie) = P (1+i1) (1+i2)

Simplificando,

(1+ie) = (1+i1) (1+i2); ie = (1+i1) (1+i2) – 1;

ie = 1+i1+ i2 + i1 i2 –1;

ie = i1+ i2 + i1 i2

TASA DE INTERES REAL

Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero rendimiento de una operación

financiera, entonces se convierte en una tasa aparente, pues parte del rendimiento es

consumido por la inflación. La tasa real es la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de

interés.

Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente en las

economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en las decisiones de

inversión para poder calcular su rentabilidad.

El economista Irving Fisher, basado en la combinación de tasas,estudió la relación entre la

tasa efectiva aparente (i), la tasa de inflación (d) y la tasa real (r), llegando a obtener la

siguiente fórmula para encontrar la tasa de interés real.

r = Tasa efectiva - Tasa de inflación x 100

1 + Tasa de inflación

115

i – d Fórmula de Irving Fisher

r = 100 (Nota: i, d expresadas en forma decimal, r

1+ d esta expresada en % al multiplicar por 100)

Cuando la tasa real es positiva r >0 indica que se produce una ganancia;

Cuando la tasa real es negativa r <0 indica que se produce una pérdida;

La Ganancia Real o Pérdida Real está expresada por la multiplicación de la tasa real

por la cantidad invertida C.

GR = C.r

Ejemplo:

Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva es 15% y

la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al consumidor es 20% ¿

Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.000.000 en 1 año?.

Solución:

r = i – d 100= 0,15 – 0,20 100

1+ d 1 + 0,20

r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667%

GR = 100.000.000 -4,1667 = - $ 4,166.666,67

100

Respuesta.

Pérdida de $ 4.166.666,67, en términos financieros.

TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR)

A esta tasa también se la conoce como TREMA (Tasa de REntabilidad Mínima Aceptable).

Todo inversionista, sea este una persona natural o jurídica o el estado, tiene en mente obtener

un beneficio al colocar su dinero; en el caso del gobierno si bien no espera lucrar , al menos

espera salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones, para que no haya un subsidio

en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno.

Por lo tanto, cualquier inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse

para hacer sus inversiones; esta tasa de referencia es la base de comparación en las

evaluaciones económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se

rechazará la inversión.

116

Para establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinero crezca

en términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño,

crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se

gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece, sino mantiene su poder adquisitivo.

Entonces, se puede tomar como referencia el índice inflacionario, pero como elinversionista

quiere que su dinero crezca más allá del índice inflacionario, hay otrofactor que influye en la

TMAR; que es el premio al riesgo; que en nuestro caso consideraremos al porcentaje de

riesgo país.

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo

Y nuevamente aplicando la combinación de tasas tenemos:

TMAR = i + f + if

Donde:

i= Tasa de inflación;

f = Tasa riesgo país.

Tanto los valores de la inflación como la de riesgo país a una determinada fecha en el Ecuador

la podemos encontrar en la página del Banco Central del Ecuador www.bce.gov.ec, tabla que

se presenta a continuación.

Siendo así tenemos que:

Si la inflación anual se ubica en el 4,31% en el país y;

El riesgo-país se mide en "puntos básicos" o "basicpoints", siendo 100 puntos básicos

equivalentes a 1% de rentabilidad. Por ejemplo, que el riesgo-país de Ecuadoral 11 de

marzo de 2010 se ubique en 821 puntos básicos, significa que en promedio el

rendimiento para el inversor que adquiere hoy títulos ecuatorianos, debe ser 8,21

puntos porcentuales más alto que el rendimiento de los títulos de Estados Unidos.

http://www.bce.gov.ec/

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Economía Internacional

Actualizado: Marzo-15-2010 09:00

Indice Dow Jones: 10,618.12 -6,57

PESO COLOMBIANO(por USD) 1,899.3000

EURO (en USD) 1.3703

YEN (por USD) 90.7400

LIBRA (en USD) 1.5080

FRANCO SUIZO (en USD) 1.0601

Fuente: Bloomberg

Principales Indicadores

VARIACIÓN DE PIB 2009 0.98 %

PIB 2009 (previsto) (millones)

51,388.5

PIB per Capita 3,668 USD

INFLACION MENSUAL (feb.) 0.34%

INFLACION ANUAL (feb.) 4.31%

SALARIO UNIFICADO 240.00

CANASTA BASICA (feb.) 535.48

CANASTA VITAL (feb.) 383.44

TASA DE INTERES ACTIVA (referencial) (mar.)

9.21%

TASA DE INTERES PASIVA (referencial) (mar.)

4.87%

POBLACION (miles) 14,138.3

TASA DE DESEMPLEO (dic.09) 7.9%

TASA DE SUBEMPLEO (dic.09) 50.5%

OCUPADOS PLENOS (dic.09) 38.7%

RILD (miles de millones) (26-feb.)

3,640.34

INDICE RIESGO PAIS (11-mar.) 821.00

BARRIL PETROLEO (WTI) 79.840 USD

ORO (100 oz) 1,105.700 USD/t oz.

PRECIO CACAO (USD/MT) 2,874.000 USD/MT

Fuente: INEC,SBS,BCE,Bloomberg

TMAR = i + f + if

TMAR = 0,0431 + 0,0821 + 0,0431 . 0,0821

TMAR = 0,1287 TMAR = 12,87%

El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque el

inversionista siempre arriesga su dinero y por arriesgarlo merece una ganancia adicional

sobre la inflación. Como el premio es por arriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece

mayor ganancia.

TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital

Costo de Oportunidad: Se refiere al costo (%), que se deja de percibir o que se sacrifica al

invertir en otra opción o proyecto.

118

Costo de Capital:LaTMAR también se le llama Costo de Capital, nombre derivado del hecho

que estácompuesto por el costo financiero de sus fuentes de financiamiento a largo plazo, la

deuda, el capital preferente y el capital común, El costo del capital se utiliza primordialmente,

para tomar decisiones de inversión a largo plazo, por lo que dicho costo se enfoca hacia el

empleo en los presupuestos de capital.

Cuando una sola entidad, sea esta una persona natural o jurídica, es la única aportadora de

capital para una empresa el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por

invertir o arriesgar su dinero. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Capital

Simple.

Sin embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para

constituir o completar el capital necesario para la empresa, seguramente la institución

financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado, que el rendimiento pedido a la

aportación de propietarios de la empresa.

Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada en parte,

se habla de un costo de capital mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente

ejemplo.

Ejemplo: Kolb A.G. requiere $1,250 milles, Los accionistas aportan sólo cuentan con $700 miles. El

resto se financiara con préstamos a dos Instituciones financieras. El Banco de Aarón aportará $300

miles por los que cobrará un interés del 25% anual. Mientras que, la Cooperativa Pauletty S.A. aportará

$250 millones a un Interés de 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es de 30%, ¿cuál es el costo

de capital o TMAR mixta para esta empresa?

Solución. La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportes de capital de

la empresa.

Entidad Aportación Porcentaje de

Aportación

Rendimiento

pedido

= Promedio

ponderado

Accionistas 700 0.56 0.30 = 0.168 Banco de Aarón 300 0.24 0.25 = 0.060 Cooperativa

Pauletty S.A. 250 0.20 0.275 = 0.055

Suma 1,250 1.0 0.283

La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%.

Entonces ya es momento de poder en base a la TMAR calcular el VAN, la TIR donde se

considera a la TMAR.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

También es conocida como valor presente neto (VPN) de un proyecto de inversión y no es otra

cosa que su valor medido en dinero de hoy, o en otras palabras, el equivalente en unidades

monetarias actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que constituyen el

proyecto.

El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una

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tasa de descuento que puede ser(el costo del capital o financiero, el costo de oportunidad, o

la inflación promedio pronosticada), sumarlas todas y restarlas a la inversión inicial en tiempo

cero.

Ahora será explicada más claramente esta definición, si se quiere representar los flujos netos

de efectivo por medio de un diagrama, este podría quedar de la siguiente manera:

Tómese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco años. Trácese una línea

horizontal y divídase ésta en cinco partes iguales, que representan cada uno de los años.

A la extrema izquierda colóquese el momento en que se origina el proyecto o tiempo cero.

Represéntense los flujos positivos o ganancias actuales del proyecto (empresa) con una flecha

hacia arriba, y los desembolsos o flujos negativos con una flecha hacia bajo de la recta del

proyecto. En éste caso el único desembolso es la inversión inicial en el tiempo cero, aunque

podría darse el caso en que determinado año hubiera una pérdida (en vez de ganancia), y

entonces aparecería en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo.

Proyecto

0 1 2 3 4 5 Tiempo -II FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNE5 + Vs Valores $. Cuando se hacen cálculos de pasar, en forma equivalente, dinero del presente al futuro, se

utiliza una “i” de interés o de crecimiento del dinero; pero cuando se quiere pasar cantidades

futuras al presente, como en este caso, se usa una “tasa de descuento”, llamada así porque

descuenta el valor del dinero en el futuro a su equivalente en el presente, y a los flujos traídos

al tiempo cero se les llama flujos descontados.

La definición ya tiene sentido. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la inversión

inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos los desembolsos

necesarios para producir esas ganancias, en términos de su valor equivalente en este momento

o tiempo cero. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias deberán ser mayores que

los desembolsos, lo cual dará por resultado que el VAN sea mayor que cero. Si para calcular

el VAN se utiliza la tasa inflacionaria promedio pronosticada para los próximos cinco años,

las ganancias de la empresa solo servirían para mantener el valor adquisitivo real que la

empresa tenía en el año cero, siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias.

El cálculo del VAN para el período de cinco años es:

VAN = - I I + FNE1 + FNE2 + FNE3 + FNE4 + FNE5 + Vs -------- -------- --------- --------- -------------- (1+i)1 (1+i) 2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i) 5

Donde: II = Inversion Inicial FNE = Flujo de efectivo Vs = Valor de salvamento o rescate al final de la vida del proyecto i = Tasa efectiva

120

Para tomar la decisión de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN, es

procedente acoger los lineamientos siguientes.

Si i es la tasa de interés utilizada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se financia con

una participación relevante de créditos bancarios).

VAN > 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es mayor que la tasa

de interés i.

VAN = 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es exactamente igual a

la tasa de interés i.

VAN < 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es menor que la tasa

de interés i.

Si la tasa de interés (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en el cálculo del VAN

(cuando el proyecto tiene una participación mayoritaria de recursos propios y por tanto i

interpreta el promedio de rendimiento que arroja el tipo de negocios en el que el inversionista

espera participar. Para una empresa en marcha, que quiere ampliar operaciones, i debe

consultar como mínimo el rendimiento actual sobre la inversión):

Cuando VAN > 0, (aumentará el capital de la empresa, por lo tanto el proyecto es aceptable), el

proyecto es atractivo.

Cuando VAN = 0, ( no aumentará ni disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto el proyecto es

indiferente. Si el proyecto se lleva a cabo, es porque se han priorizado otros

aspectos), el proyecto es indiferente, tiene opciones.

Cuando VAN < 0, (disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto es inaceptable), el proyecto es

inconveniente.

Ventajas del VAN:

Analiza todos los flujos netos de caja, como así también sus vencimientos, al

corresponder a distintas épocas se los debe homogeneizar, trayéndolos a un mismo

momento del tiempo.

Desventajas:

1. La dificultad para determinar la tasa del costo de capital

2. El VAN mide la rentabilidad en valor absoluto, ya que depende de la inversión inicial;

por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta inversión inicial se debe

relativizar el VAN, a fin de obtenerlo por cada unidad de capital invertido

3. El VAN depende del horizonte económico de la inversión; por lo tanto si se deben

comparar proyectos con distinta duración, se debe relativar el VAN a fin de obtenerlo

para cada año;

121

4. La mayor dificultad es el supuesto de que los flujos netos de caja positivos son

reinvertidos a la tasa de costo de capital, y que los flujos netos de caja negativos son

financiados con la misma tasa.

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

La TIR corresponde a la tasa de interés generada por los capitales que permanecen invertidos

en el proyecto y puede considerarse como la tasa que origina un valor presente neto igual a

cero, en cuyo caso representa la tasa que iguala los valores presentes de los flujos netos de

ingresos y egresos. La TIR es una característica propia del proyecto, totalmente independiente

de la situación del inversionista, es decir, de su tasa de interés de TMAR (costo de oportunidad

Co o del costo de capital Cc representada pori, entonces TMAR = i).

En el gráfico se observa que el VAN es una función decreciente convexa que corta al eje x (o

de las ordenadas) en el punto donde su costo es igual a la tasa de rentabilidad TIR.

Adicionalmente la grafica muestraun resumen para la toma de decisiones en el VAN o (VPN)

y la TIR:

Figura: Toma de Decisiones con el VAN (VPN) y la TIR

El criterio para aceptación utilizando la TIR es:

TIR >Cc: El rendimiento supera al costo de capital invertido, por lo tanto el proyecto es rentable. La

inversión aporta dinero para solventar el proyecto y además suministra al empresario una

utilidad, por lo tanto el proyecto es rentable.

TIR <Cc: El rendimiento no alcanza a cubrir el costo del capital invertido, por lo tanto el proyecto no es

rentable.

TIR = Cc: Se cubre exactamente el capital invertido, por lo tanto el proyecto es indiferente.

Ventajas:

122

1. Considera todos los flujos netos de caja, así como su oportunidad; al corresponder a

distintas épocas se deben medir en un mismo momento del tiempo;

2. La TIR mide la rentabilidad en términos relativos, por unidad de capital invertido y

por unidad de tiempo.

Desventajas:

La inconsistencia de la tasa: cuando los FNC son todos positivos, las inversiones se

denominan simples y existe una única TIR. Si existen algunos flujos negativos, las

inversiones se denominan "no simples" y puede existir más de una TIR. O sea que la

TIR es inconsistente.

Para el cálculo de la TIR se utiliza la interpolación tomando como punto de referencia inicial

el costo del capital para posteriormente ir analizando cómo se comporta el VAN al subir puntos

a ésta tasa o bajar a la misma. Con esto lo que se quiere es tener dos tasas que generen VANs

lo más cercanos a cero, siendo el uno positivo y el otro VAN negativo.

𝑇𝐼𝑅 = 𝑟1 +𝑟2 − 𝑟1

𝑉𝐴𝑁1 − 𝑉𝐴𝑁2𝑉𝐴𝑁1

Índice de rentabilidad IR

Se refiere al cociente entre el valor de los flujos de fondos actualizados y la inversión inicial

efectuada. Esta es una medida relativa, que indica cuanto genera el proyecto por unidad

monetaria invertida; es decir mide la repercusión económica del proyecto a través de la

rentabilidad.

Ejemplo: Dieter tiene un proyecto que demanda una inversión de $50.000, ha estimado que los

flujos netos de cajas para los próximos 5 años son $20.000 cada año, considera que su costo

de capital es del 5% anual.

VA = 20.000(1+0,05)-1+20.000(1+0,05)-2+20.000(1+0,05)-3+20.000(1+0,05)-

4+20.000(1+0,05)-5

VA = $86.589,53

IR = 86.589,53/50.000 = 1,73 Esto quiere decir que el proyecto genera $1,73 por cada unidad

monetaria invertida.

Cuando se analizan varios proyectos se decide por el que de un valor mayor en el IR.

123

Relación Beneficio-Costo (B/C)

Es un método complementario, utilizado para evaluar, las inversiones en proyectos de

desarrollo económico de las comunidades, que realiza el gobierno central, los gobiernos

provinciales o locales para lo cual generalmente utiliza una tasa más baja denominada “Tasa

Social”. Además en el campo de los negocios se usa para ver la factibilidad de los proyectos

en base la relación de los beneficios y los costos asociados al proyecto.

La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y bienestar que

un proyecto puede generar a una comunidad.

Cuando los proyectos reciben financiamiento de entidades crediticias internacionales, una

exigencia es que los proyectos sean evaluados con esta razón.

La relación Beneficio/Costo se obtiene al dividir el valor actual de la corriente de beneficios

para el valor actual de la corriente de costos.

B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos)

Los valores que puede tomar esta relación tienen un significado:

B/C > 1 Significa que los ingresos son mayores que los egresos, y consecuentemente el

proyecto es aconsejable.

B/C = 1 Los ingresos son iguales a los egresos, entonces el proyecto es indiferente

B/C < 1 El proyecto no es aconsejable.

Ejemplo:

1) Para comunicar dos poblaciones, se ha previsto la construcción de una carretera alterna

por un costo de $25.000.000, la misma generará ahorros en combustible a los vehículos por

$1.500.000 anuales, por otra parte aumentará el turismo a esa región estimando el aumento

de utilidades en los hoteles, restaurantes y otros en $7.000.000 al año. Sin embargo los

agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de $1.300.000 anuales.

Considerando una tasa del 25%, Determine si es factible el proyecto.

Calculamos los ingresos y egresos esperados: 1.500.000+7.000.000-1.300.000 = 7.200.000

Utilizando la fórmula de una perpetuidad actualizamos el valor al periodo cero:

A = 7.200.000/0.25 = $28.800.000

La inversión en el periodo cero es: $25.000.000

Entonces la relación B/C = 28.000.000 / 25.000.000 = 1,15

Como la relación Beneficio – Costo es mayor que 1, el proyecto es aconsejable.

Si el resultado es mayor que 1, significa que los ingresos netos son superiores a los egresos

netos. En otras palabras, los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios (egresos) y,

124

en consecuencia, el proyecto generará riqueza a la comunidad. Si el proyecto genera riqueza

con seguridad traerá consigo un beneficio social.

2)En el siguiente ejemplo se tienen tres proyectos mismos que demandan una inversión inicial

y generaran los flujos como se muestran a continuación:

Año (j)

Flujo

Proyecto A

Proyecto A

VA

Flujo

Proyecto B

Proyecto B

VA

Flujo

Proyecto C

Proyecto C

VA

0 -3000000 -5000000 -4000000

1 1000000 869565,217 1500000 1304347,83 1300000 1130434,78

2 1000000 756143,667 1500000 1134215,5 1300000 982986,767

3 1000000 657516,232 1500000 986274,349 1300000 854771,102

4 1000000 571753,246 1500000 857629,868 1300000 743279,219

5 1000000 497176,735 1500000 745765,103 1300000 646329,756

6 1000000 432327,596 1500000 648491,394 1300000 562025,875

7 1000000 375937,04 1500000 563905,56 1300000 488718,152

8 1000000 326901,774 1500000 490352,661 1300000 424972,306

9 1000000 284262,412 1500000 426393,618 1300000 369541,136

10 1000000 247184,706 1500000 370777,059 1300000 321340,118

VA 5018768,63 7528152,94 6524399,21

B/C 1,67 1,51 1,63

Tasa: 15%

En este caso la interpretación es la del IR y se decide por el proyecto que da un mayor valor,

en el caso del ejemplo es el proyecto A con una relación B/C = 1,67; pues genera $1.67 por

cada dólar invertido.

Ejemplo Completo VAN, TIR, PAYBACK, IR:

Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X. Si se

considera el costo del capital i = 10% y una inversión inicial de $ 600.000, en el año cero,

calcular el VAN y la tasa interna de retorno TIR.

(Valores expresados en miles de USD.)

AÑO 0 1 2 3 4 5 6 Inversión Inicial

600 - - - - - -

Ventas - 500 500 500 500 500 500 - Costo de Op. - 350 350 350 350 350 350 - Depreciación - 100 100 100 100 100 100 = Utilidad (sin Impuestos)

- 50 50 50 50 50 50 FLUJO NETO DE CAJA (UTILIDAD +

DEPRECIACION)

600 150 150 150 150 150 150

Valores expresados en miles de dólares *** Si se requiere, que se calcule con los flujos después de impuestos, a la utilidad gravable, reste el valor causado por los impuestos y sume la depreciación.

Se calcula el valor actual neto para cada tasa, inicialmente utilizo el costo de oportunidad, y

considero como referencia para incrementar la tasa o bajarla de manera de conseguir dos

valores de i que generen un VAN positivo y otro negativo lo más cercano 0, que es la

característica de la TIR; entonces estoy en capacidad de aplicar la fórmula de la TIR.

125

VANi= -600

150/(1+r)1 150/(1+r)2 150/(1+r)3 150/(1+r)4 150/(1+r)5 150/(1+r)6

VAN10% -600

136,36 123,97 112,70

102,45

93,14 84,67

VAN10%

53,29

Al calcular el VAN al costo de capital del 10% se obtiene un valor de 53.29, el cual es mayor

que cero que de acuerdo al criterio de aceptación nos indica que conviene invertir en el

proyecto.

**NOTA: Los flujos descontados a la tasa de costo de oportunidad o costo de capital posteriormente servirán para el cálculo del payback descontado y la relación IR.

Para calcular la TIR, seguimos el procedimiento de Interpolación lineal visto en el Apédice 2,

teniendo en cuenta que por el concepto de TIR, el valor de referencia será igual a cero 0.

J YJ = iJ XJ = f(iJ) = VANiJ

1 0,10 53,29

2 0,20 -101,17

3 0,15 -32,33 P1(-32,33;0,15)

4 0,12 16,72 P2(16,72;0,12)

P (0,Y)

Como se halló un valor positivo y otro negativo, esto significa que la tasa interna de retorno

se encuentra entre los límites:

Aplico la formula:

y = y1 + (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

y = 0,15 + (0+32,33) (0,12-0,15) . TIR = 13,02%

(16,72+32,33)

También puede aplicarse la formula

TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1

VAN 1 – VAN 2

TIR = 0,15 + (0,12-0,15) (32,33) . TIR = 13,02%

(16,72+32,33)

Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la inversión podrá ser

ventajosa ya que el costo del capital es 10%.

Para el cálculo del Payback en sus dos modalidades tenemos:

Inversión Inicial = 600

126

Año 1 2 3 4 5 6

Flujo Neto 150 150 150 150 150 150

Flujo

Descontado

136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67

En el caso del Payback Contable alcanzo el valor invertido a los 4 años esto es (150 x 4 =

600).

Para Payback Descontado, debo sumar los flujos descontados y el último, por regla de tres

simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma invertida.

Calculando se tendría:

(136,36+123,97+112,70+ 102,45+93,14=568,62, saco la diferencia para llegar a los 600

que da -31,38 y establezco la regla de tres

84,67 en 12 meses

31,38 x x = 4,45 meses

Por lo tanto el Periodo de Recuperación Descontado es de 5 años 4,45 meses

Finalmente para calcular el IR, sumo los flujos descontados a partir del año 1y divido para la

inversión inicial.

Año 1 2 3 4 5 6

Flujo

Descontado

136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67

IR = 653,29/600 = 1,09 La interpretación es por cada dólar invertido el proyecto genera 1,09

dólares.

Semejanzas y diferencias entre el VAN y la TIR

Si bien ambos utilizan el mismo flujo de efectivo para determinar el resultado, miden aspectos

diferentes de la rentabilidad de una inversión.

Ambos tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

127

La TIR es una incógnita del proyecto, que emerge de las condiciones propias de este.

Mientras que en el cálculo del VAN, se utiliza el costo de oportunidad del inversor que

es un dato externo.

El VAN es una medida de rentabilidad en términos absolutos, mientras la TIR mide la

rentabilidad en términos relativos (el porcentaje de rendimiento periódico que se

obtiene por unidad monetaria invertida.

El VAN supone la reinversión de los fondos al mismo costo de oportunidad, mientras

que la TIR supone implícitamente la reinversión de fondos a la misma TIR.

Las decisiones en los criterios de evaluación VAN y TIR coinciden cuando es un

proyecto convencional o simple, es decir cuando comienza con un flujote efectivo

negativo que representa el desembolso de la inversión inicial, y luego se presentan una

serie de flujos de efectivo siempre positivos hasta el final de la vida del proyecto.

128

APÉNDICE 5

Ing. Alfred DieterKolb Alvarado M.B.A.

BONOS

Introducción:

En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones industriales

modernas o las grandes obras productivas que emprenden corporaciones o los gobiernos, no

es posible obtener el dinero necesario en préstamo proveniente de una sola compañía; por lo

que es necesario recurrir a las inversiones de varias personas. Para agilizar estas inversiones

se ha creado una forma de obligación que constituye un instrumento de crédito llamado bono.

En los últimos años, la banca privada, la banca nacional y las corporaciones financieras han

creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales, como cédulas y

certificados a término fijo. Estos documentos hacen más atractivas las inversiones, puesto que

ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro.

Por otra parte, con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales, algunos

gobiernos en vías de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y bonos que tienden

a aumentar la utilidad percibida por los exportadores.

DEFINICIONES:

BONO:

1. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporación o entidad

gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. En esencia, el prestatario

recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar después, con interés pagado entre

el momento en que el dinero se prestó y el momento en que es reembolsado. Con

frecuencias, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón.

2. Es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o entidad particular, a

un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en períodos

regulares.

Las leyes de cada país regulan las relaciones entre entidades emisoras y las personas

propietarias o tenedoras de los bonos. Los bonos que pueden transferirse libremente y

129

cambiar de dueño por la simple venta se denominan bonos no registrados y se emiten al

portador. En caso que los bonos sean registrados, solo pueden transferirse mediante endoso

y con consentimiento del emisor.

Bono cupón cero no paga intereses periódicos, de manera que la tasa del cupón es cero.

Debido a ello, éstos se venden con frecuencia con descuentos mayores del 75% de su valor

nominal, de modo que su producto hasta el vencimiento sea suficiente para traer a los

inversionistas.

PAGO DE INTERESES:

En la mayoría de bonos, los pagos de interés se los hace contra la presentación de cupones;

éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y cada uno tiene impresa

su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo son pagarés negociables; en el caso

de bonos registrados, tanto en el principal como en los intereses, los cupones no son necesarios

ya que los intereses se pagan directamente, a la persona registrada como tenedor del bono.

VALOR NOMINAL:

Es aquel valor que se encuentra escrito o impreso en el bono al momento de la emisión, hace

referencia a su denominación el principal o capital que se señala en el bono es el valor nominal,

en general una denominación par que empieza en $100 y más utilizados son de $100, 500,

1.000, 10.000 y 50.000.

El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de

vencimiento.

Con frecuencia, un bono se compra con descuento (menor que el valor nominal) o con una

prima (mayor que el valor nominal), pero solamente el valor nominal, no el precio de compra,

se utiliza para calcular el monto del interés del bono.

El monto del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono

se determina multiplicando el valor nominal del bono por su tasa de interés por período, de la

siguiente manera:

A = F (valor nominal ). r’ ( tasa nominal de interés del bono )

m (Número de períodos de pago al año.)

130

Ejemplo:

Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5.000

al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.

Solución:

A = 5.000 ( 0,06 ) = $ 75

4

En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global

de $ 5.000 al término de 10 años.

VALOR DE REDENCIÓN:

Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redención es igual al valor

nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor de

redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la palabra por ciento.

Por ejemplo, Un bono de $ 1.000 redimible en $ 1.050 se expresa como “un bono de $1.000

redimible a 105”.

El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimiento estipulada pero, en algunos

casos, se deja al prestatario la opción de reintegrar el valor, antes del vencimiento.

Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.

MADURACIÓN:

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado.

La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.

Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

PRECIO DE LOS BONOS:

El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el

vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de interés e

intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local para las inversiones; (3) tiempo que debe

transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de redención; (5) las condiciones económicas

imperantes; (6) confiabilidad en las garantías del emisor. Los bonos pueden venderse a la par,

con premio, o con descuento (castigo), según el precio de venta sea igual, mayor o menor al

131

valor nominal.

TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR O RENTABILIDAD ):

Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el inversionista

debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redención del bono. Un

bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente su valor, hasta igualar el valor

de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En

caso de que los bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio

de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

YIELD:

La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pago y

el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield

ordinario y yield de maduración.

El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de dividir el

pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo compró un bono en $

1.000 y los intereses son del 8 % ($ 80), el yield ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1.000); veamos

otro ejemplo, si compró un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield

ordinario será de 8,89 % ($ 80/$900).

El yield de la maduración, que es más significativo, es el retorno total que se obtiene por tener

el bono hasta su maduración. Permite comparar bonos con diferentes cupones y maduraciones

e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las ganancias o pérdidas.

PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN:

Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses adquiere el derecho a

recibir el pago futuro de los intereses en cada período de pago y el valor de redención del

bono, en la fecha de vencimiento. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de compra.

El valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos

o flujos que compra, o sea:

Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual del principal

Nomenclatura:

C = precio de redención del bono

P = precio de compra para obtener un rendimiento i.

132

F = valor nominal ( o la par del bono )

r = tasa de interés por período de pago del cupón

n = número de períodos de intereses (o número de cupones), hasta la fecha de

vencimiento

i = tasa de interés sobre la inversión por período de cupón (rentabilidad o tasa interna de

retorno TIR).

Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago (cupón) A =

Fr. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P al sumar al valor

anterior el valor presente de C a la tasa i%, se tiene:

P = A . 1 – (1+i)-n + C (1+i)-n

i

Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la fórmula queda:

P = C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

Ejemplo:

Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero del

2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe 5% anual convertible

semestralmente.

F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.

Reemplazo en la fórmula

P = 1050 + (1000 . 0,0175 – 1050 . 0,025) 1 – (1+0,025)-40

0,025

P = 830,35

VALOR EN LIBROS DE UN BONO

Es denominado también valor contable o estimado del bono. Representa la cantidad invertida

en el bono en cualquier fecha o momento, desde la fecha de compra hasta la fecha de redención.

El valor en libros de los bonos comprados con premio o con descuento varía su valor hasta

igualar al de redención, en la fecha de vencimiento. Los, con el transcurso del tiempo. El

cambio de valor durante la vida del bono se observa con claridad al construir una tabla de

inversión.

Ejemplo:

Un bono de $10.000 al 12% redimible a la par en 6 meses. La tasa se la inversión es 1,25%

mensual; elabore la tabla que permita observar el valor en libros del bono.

133

F = 10.000, C = 10.000, r = 0,12/12 = 0.01 mensual, i = 0.0125 mensual, n = 6 meses P = ?

P = 10.000 + (10.000 . 0,01 – 10.000 . 0,0125) 1 – (1+0,0125)-6

0,0125

P = $9.856,35

Periodo Valor en libros al inicio

del periodo (1)

Intereses sobre la

inversión (2)

Intereses del bono

Variación del valor en libros (3)


(4)

1 9.856,35 123,20 100,00 23,20 9.879,55

2 9.879,55 123,49 100,00 23,49 9.903,04

3 9.903,04 123,79 100,00 23,79 9.926,83

4 9.926,83 124,09 100,00 24,09 9.950,92

5 9.950,92 124,39 100,00 24,39 9.975,31

6 9.975,31 124,69 100,00 24,69 10.000,00

Totales 743,65 600,00 143,65

Claves:

(1) En el primer mes o periodo, es el precio de compra, y a partir del segundo

periodo es el valor en libros al final del periodo anterior.

(2) Se obtiene al multiplicar el valor en libros al inicio del periodo por la tasa de

inversión (i) periódica.

(3) Resulta al restar los intereses del bono de los intereses sobre la inversión. Si el

bono es comprado con descuento es positivo; mientras que si es comprado con

premio es negativo.

(4) Es la suma del valor en libros al inicio del periodo más la variación del valor

en libros.

Ejemplo:

Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de tres años,

es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la tabla de inversión

del bono.

C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6

P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6

0,03

P = $1.054,17

134

Periodo Valor en libros al inicio del periodo

Intereses sobre la

inversión

Intereses del bono

Variación del valor en

libros


1 1.054,17 31,63 40,0 -8,37 1.045,80

2 1.045,80 31,37 40,0 -8,63 1.037,17

3 1.037,17 31,12 40,0 -8,88 1.028,29

4 1.028,29 30,85 40,0 -9,15 1.019,14

5 1.019,14 30,57 40,0 -9,43 1.009,71

6 1.009,71 30,29 40,0 -9,71 1.000,00

Totales 185,83 240,0 -54,17

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redención es menor

que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En caso de que el bono se adquiera

con descuento, el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el

bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.

PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DE INTERESES O

CUPÓN

Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio comprende el valor principal

del bono, cantidad que corresponde al valor presente de su precio de redención, más el valor

de los cupones no vencidos, además del ajuste acordado entre el comprador y el vendedor, en

cuanto al cupón del periodo en que se haga la transacción, ya que este pertenece en parte al

comprador y en parte al vendedor. Para designar el precio de un bono, sin el valor acumulado

del cupón, se utiliza la expresión “precio con interés”, en tanto que para expresar el precio

incluido el valor acumulado del cupón, se dice precio efectivo o precio flat. Los corredores de

bolsa, en cada país usan valores distintos para referirse al precio con interés y al precio

efectivo.

Cálculo del precio con interés:

Fije en un diagrama los valores P0 y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses, y sea

P el precio del bono, después de transcurrida la fracción de tiempo k, con relación al

periodo de pago de cupones.

La diferencia P – P0 es una variación que es proporcional al tiempo transcurrido.

O sea :

P – P0 = P1 – P0

135

k 1

de donde, P = P0 + k (P1 – P0)

Ejemplo:

Un bono de $100, con fechas de cupón 1 de mayo y 1 de noviembre (MN), se negocia el

2 de agosto. Calcular el precio con interés, si en el mismo año se tiene:

Precio en 1 de mayo = $96,30 P0

Precio en 1 de noviembre = $96,66 P1

k = días transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 días (si considera meses

de 30 días) de donde k = 91/180, al sustituir los valores, se tiene:

P = 96,30 + 91 (96,66 – 96,30) = $96,46

180

0 k 1

P0 P P1

Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto:

En el diagrama anterior, P0 es el precio del bono en la fecha de cupón, inmediatamente

anterior la fecha de transacción, P el precio en la fecha y P1 el precio del bono, en la fecha

siguiente; sean i la tasa de interés sobre la inversión y k la fracción de periodo medida a

partir de la fecha 0. Al plantear una ecuación de equivalencia para la fecha de transacción,

se tiene que P es el valor futuro acumulado de P0 .

Pe = P0 (1 + i)k

Para el valor de la fracción de k, se acostumbra usar el año de 360 días, con meses de 30

días c/u.

Ejemplo:

136

Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 MS, a un interés del 6%

convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de septiembre del 2021, si se desea una

TIR del 8%, convertible semestralmente.

C = 1.000; F = 1.000; r =3%; i = 4%

Para el cálculo del número de cupones

Bono MS (Marzo –Septiembre) entonces se paga cada semestre

Redime el 1 de Septiembre

Entonces:

MS de marzo a septiembre pasa un semestre

S

Por lo tanto hay que sumar un semestre al número de años por el número de cupones al

año, si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional.

2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51

n = 51

La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 lo que da 75 días

hasta la fecha de negociación y los intereses que puede cobrar el comprador son por 180 –

75 = 105 días.

P0 = 1.000 + (1.000(0,03) – 1.000(0,04) 1 – (1+0,04)-51

0,04

P0 = 783,83

Para

Pe = P0 (1+i)k ; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;

Pe = 783,83 (1 + 0,04)7/12 = 801,97

Cálculo aproximado del precio efectivo a de interés simple:

En la práctica y que es de uso más frecuente este método. Para calcular el valor del bono

en esas fechas, se realiza el siguiente procedimiento:

a) Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses, inmediatamente antes

de la fecha de compra venta.

137

b) Se calcula el monto a interés simple del valor encontrado en a) considerando el tiempo

exacto transcurrido entre la última fecha de pago de intereses y la de negociación 75

días en el caso del ejemplo anterior.

NOTA: como procedimiento alternativo, se considera el número de días comprendido

entre la fecha de negociación y la futura fecha de pago de intereses, y si aplicamos al

ejercicio anterior tendríamos:

P = P0 (1+i)k ; se tienei = 0,04; k = 105/180 = 7/12;

P = 783,83 (1 + 0,04)7/12 = 801,97

Pe = P0 (1+ki)

Pe = 783,83 (1+0,04(7/12)) = 802,12

“Al aplicar interés simple a las fracciones de periodos se obtiene valores más altos”

Pe = P0 (1+ki); se tiene i = 0,04; k = 75/180 = 5/12;

Pe = 783,83 (1 + (5/12)0,04) = 796,89

El precio del bono es $796,89, se lo llama”bono sucio”.

INTERÉS REDITUABLE DE UN BONO IR

Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del cupón.

Se obtiene dividiendo el número de días contados desde la última fecha de pago de un cupón

hasta la fecha de compra, entre el número de días del periodo de capitalización de intereses

y multiplicando por los intereses del periodo completo.

El interés redituable se utiliza para obtener el denominado “bono limpio”.

En el ejemplo anterior:

Con Interés Simple.

P0 = 783,83; Pe = 796,89 k = 75/180

Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30

IR = Cupón x k = 30 (75/180) = 12,5

Precio del bono limpio = 796,89 – 12,5 = 784,39

y es el valor en libros al 15 de mayo.

Con Interés Compuesto.

P0 = 783,83; Pe = 801.97 k = 105/180

Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30

138

IR = Cupón x k = 30 (105/180) = 17,5

Precio del bono limpio = 801,97 – 17,5 = 784,47

y es el valor en libros al 15 de mayo.

Prácticamente por los dos métodos el valor del bono limpio es el mismo, es muy poca la

diferencia existente.

RESUMEN DE FÓRMULAS PARA CALCULAR EL PRECIO CUANDO SE REALIZA UNA

NEGOCIACIÓN ENTRE FECHA DE PAGO DE CUPONES.

n = Número de cupones; F = Valor Nominal; r = tasa de interés del cupón

FPC1 Y FPC2 = Fechas de pago de cupón

FN= Fecha de negociación

PPC = Periodo de pago de cupón = Tiempo entre fechas de pago de cupón = T1 + T2

T1 = Número de días entre FPC1y FN

T2 = Número de días entre FPC2y FN

K = Factor de proporcionalidad de pago de cupón.

Kis = T1/PPC; Kic = T2/PPC; Kisa = T2/PPC

Gráfico de un Cupón:

T1 T2

FPC1 FN FPC2

Método Interés Simple Método Interés Compuesto Método Interés Simple Alternativo

P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

Kis = T1/PPC Kic = T2/PPC Kisa = T2/PPC

Cálculo del precio del bono sucio Cálculo del precio del bono sucio Cálculo del precio del bono sucio

Pe = Po(1+i Kis) Pe = Po(1+i)Kic Pe = Po(1+i Kisa)

Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable

IR = F r Kis IR = F r Kic IR = F r Kisa

Cálculo del precio del bono

limpio


limpio


limpio

PBL= Pe - IR PBL= Pe – IR PBL= Pe - IR

En los tres métodos determinar el tipo de negociación.

139

RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS

Calcular el rendimiento TIR que obtendrán al comprar bonos en el mercado de valores, es

un problema común que se presenta a los inversionistas par determinar su capital. Este

problema no puede resolverse por métodos directos por lo que hay varios métodos que dan

soluciones bastante aproximadas, en nuestro caso veremos únicamente:

Cálculo de la TIR por el método de interpolación:

Este método requiere hallar dos tasas de interés, que correspondan a un precio menor y

uno mayor que el precio de compra. Después de calcular primero una tasa aproximada, se

procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y otra superior, para

posteriormente interpolar entre estos dos precios.

(Revise Apéndice 2. Interpolación lineal)

Ejemplo:

Hallar la TIR de un bono de $1.000 al 18%, con cupones trimestrales, redimibles a la par

dentro de 5 años si se cotizan a 92. Se supone en fecha de cupón.

“Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base 100,

suponiendo que 100 es el valor a la par. Así, un bono redimible a la par y cotizado a 94

significa que se ofrece por $940”

P = 920; F = C = 1.000; Fr = 1.000(0.18/4) = 45; n = 5(4) = 20 trimestres

P = C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

920 = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20

i (a)

CLAVE: La tasa i debe ser mayor que 4,5% para que la cantidad entre paréntesis resulte

negativa. Si hubiese sido a la par 4.5%.

*(Se aplica la propiedad del valor actual respecto a la tasa i)

Aplicando el método de interpolación ya visto en el Apéndice 2 tenemos:

X = 920 que es el valor de referencia

f(i) = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20

i

Mediante la aplicación de las tasas 5,5% y 5,1% trimestral tenemos:

140

P = 880,50 si i = 5,5%

P = 925,86 si i = 5,1%

Por lo tanto tenemos P1(880,50; 0,055), P2(925,86; 0,051) y P(920, Y) y aplico la formula

de interpolación lineal

Y = Y1 + (X – X1) (Y2 – Y1)/(X2 - X1)

Y = 0,055 + (920 - 880,50) (0,051 – 0,055)/(925,86 – 880,50)

Y = 0,0515168 trimestral = 5,152% trimestral

(1+i) = (1+j/m)m

(1,051568) 4 - 1= 1,2228 -1

Tasa efectiva anual = 22,28 %

Nota: “Aquí se presenta el método de interpolación a través de proporciones

Aplicando las tasas 5,5% y 5,1% trimestral en (a) tenemos:

P = 880,50 si i = 5,5%

P = 925,86 si i = 5,1% Se interpola entre estos dos valores:

925,86 0,051 925,86 0,051

880,50 0,055 920,00 X

45,36 es a - 0,004 5,86 es a 0,051 - X

45,36 = 5,86 .

0,004 0,051-X

0,051 – X = 0,004(5,86) = - 0,0515168

45,36

X = 0,0515168 trimestral= 5,152% trimestral

Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola, más fina será la aproximación.

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