Matematica Financiera

Matemática Financieray

Aplicaciones en Excel

Lic. Najhim Cárdenas Rodríguez

Matemática Financiera y Aplicaciones en Excel

La Matemática Financiera es útil en el estudio de las inversiones porque su análisis central se basa en el dinero.

TemarioMatemática Financiera

Esta se puede dividir en dos grandes bloques de operaciones financieras que se dividen en operaciones simples, con un solo capital, y complejas, las denominadas rentas, que involucran corrientes de pagos como es el caso de las cuotas de un préstamo.


Es importante reconocer que un nuevo sol que se reciba en el futuro valdrá menos que un nuevo sol que se tenga actualmente, ya que este último puede ganar un rendimiento cuando es invertido por un cierto periodo.

TemarioValor del

Dinero en el Tiempo


Por consiguiente, el concepto del valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes del tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

La manifestación del valor dinero en el tiempo se conoce con el término:“Interés”

(INGENIERÍA ECONÓMICA, LELAND T. BLANK)

TemarioValor del

Dinero en el Tiempo


Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1 000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.

¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?

TemarioValor del

Dinero en el Tiempo

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

Periodo 0(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1(Año 1)


“La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien la renta que se gana al invertir nuestro dinero”

(RAÚL COSS BU)

NO CONFUNDIR CON TASA DE INTERES

La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERES.

TemarioInterés


Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación:

Interés Simple:

Los intereses se acumulan en una cuenta aparte.

Interés Compuesto:

Los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados.

TemarioClases de Interés


Valor que es calculado sobre el Capital Inicial, el cual permanece constante, y que se sumará al capital final del tiempo establecido.

TemarioInterés Simple

I = P * i * ndonde:I: Interés($)P: Capital Inicial($)i: Tasa de interés por período (%)n: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Año Comercial=360 días

Año Calendario=365 días


TemarioInterés Simple

Mes CapitalInicial ($)

Intereses generados ($)

Capital final ($) Int. Acum. ($)

1 100 000,000 2 000,000 100 000,000 2 000,0002 100 000,000 2 000,000 100 000,000 4 000,0003 100 000,000 2 000,000 100 000,000 6 000,0004 100 000,000 2 000,000 100 000,000 8 000,0005 100 000,000 2 000,000 100 000,000 10 000,0006 100 000,000 2 000,000 100 000,000 12 000,000Final en cuentas 100 000,000 12 000,000Total por cancelar 112 000,000

Capital principal = $100 000,000Tiempo = 6 mesesTasa de interés = 2% mensual

𝑰=𝑷∗ 𝒊%𝟏𝟎𝟎 ∗𝒏(𝒂ñ𝒐𝒔)

𝑰=𝑷∗ 𝒊%𝟏𝟎𝟎 ∗𝒏(𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔)

𝟏𝟐

𝑰=𝑷∗ 𝒊%𝟏𝟎𝟎 ∗𝒏(𝒅 í 𝒂𝒔 )

𝟑𝟔𝟎


Valor que es el resultado de la suma del Capital Inicial mas los Intereses.

TemarioValor Futuro

Monto(S)=Capital(P)+Interés(I)S =P+ P * i * n S=P(1+i*n)

donde:S : Valor FuturoI: Interés($)P: Capital Inicial($)i: Tasa de interés por período (%)n: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Año Comercial=360 días

Año Calendario=365 días


1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 soles invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

2. Calcular el interés simple producido por 30 000 soles durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 euros. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

4. Por un préstamo de 20 000 euros se paga al cabo de un año 22400 euros. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

5. Un capital de 300 000 dólares invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 dólares. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

TemarioProblemas


1. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?Temario

Trabajo Práctico


1. Se prestan 45000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.

TemarioTrabajo Práctico


1. Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

TemarioTrabajo Práctico


1. En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?TemarioTrabajo Práctico


1. Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.Temario

Trabajo Práctico


1. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.Temario

Trabajo Práctico


1. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?Temario

Trabajo Práctico


“El interés compuesto es la operación financiera en la cual el

capital aumenta al final de cada período por adición de los

intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].

TemarioInterés

Compuesto

S = P (1+i)n

P = Capital Iniciali = Tasa de interésn = Período de tiempo en añosS= Monto Final o Valor futuro


TemarioProblemas

Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal mensual del 2%. Si la capitalización es trimestral. ¿Qué monto se habrá acumulado con un capital inicial de S/. 12 000 colocado durante 9 meses?

P=12 000i=2% mensualn=9 mesesS=¿?

i=2% mensualEntonces i trimestral es:i=0,02 3=0,06Si n=9 mesesEntonces n trimestral es:n=9/3=3

𝑷=𝑺

(𝟏+𝒊 )𝒏

𝒊=𝒏√ 𝑺𝑷 −𝟏𝑺=𝑷× (𝟏+𝒊 )𝒏

𝒏=𝒍𝒐𝒈𝑺−𝒍𝒐𝒈𝑷𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊 )


TemarioProblemas

Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de

interés anual simple.b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de

interés semestral simple.c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de

interés anual compuesto semestralmente.d) Una cuenta de valores que paga 20% de

interés anual convertible trimestralmente.

(𝟏+𝒊 )𝒏

Factor de Capitalizació

n

𝟏(𝟏+𝒊 )𝒏

Factor de Descuento


TemarioProblemas

Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1año.


TemarioProblemas

Determine el interés compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 años con interés capitalizable en forma trimestral.


TemarioTasa de Interés

Es la medida del valor generado por el préstamo o depósito realizado.

𝑖=𝑆−𝑃𝑃

i=Tasa de interésS=Monto finalP=CapitalTambién puede decirse que: S – P = I

𝑖= 𝐼𝑃



Si un banco concede un préstamo de S/. 10000 y cobró S/. 2500 después de 1 año, entonces las tasa de interés en ese año es:

𝑖= 250010000

DatosI=10 000P=10 000

𝑖=0,25

𝑖= 𝐼𝑃

Entonces las tasa de interés es del 25%.



¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 80% anual?

Tasa anual =80%Tasa Mensual = (Tasa anual)/12

Solución



¿Cuál es la tasa de interés simple anual equivalente a una tasa del 75% bimestral?

Tasa bimestral =75%Tasa anual=(tasa bimestral)*12

Solución



¿A que tasa de interés simple anual 3500 dólares acumulan 600 dólares de interés en un año?

P=3500 dólaresI= 600 dólares n=1año

Solución



Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $9000, paga un enganche de $700 y acuerda pagar $3800 3 meses después ¿Qué tipo de interés simple pago?

I=3800 dólaresC= 9000-700=8300 dólares(Capital que genera interés) n=3 meses

Solución



Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1000000, paga un enganche de $500000 y acuerda pagar $150000 2 años después ¿Qué tipo de interés simple pago?



¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 50 % anual?


TemarioProblemas Practicos

- ¿A que tasa de interés simple anual $4000 acumulan $500 de interés en 6 meses?

- Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $6000, paga un enganche de $1500 y acuerda pagar $5000 5 meses después ¿Qué tipo de interés simple pago?

- ¿A que tasa de interés simple anual $5000 acumulan $600 de interés en 5 meses?

- Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $8000, paga un enganche de $2000 y acuerda pagar $2000 5 meses después ¿Qué tipo de interés simple pago?



1. Tasa de Interés Nominal2. Tasa de Interés Efectiva3. Tasa de Interés Convencional Compensatorio4. Tasa de Interés Moratoria5. Tasa de Interés a Rebatir


TemarioTasa de Interés Nominal

Es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.

Se aplica directamente al interés simple que no tiene procesos de capitalización.

Es proporcionable, es decir se puede dividir y multiplicar para que se convierta a otros periodos


TemarioTasa de Interés Nominal

Un bono de S/. 20000 paga una tasa nominal de13% anual y su interés se calcula como un interés simple. ¿Cuál será el interés ganado en 90 días?

SoluciónDatos:P=20000i=13% anual =0,13N=90 díasI=¿?

Calculamos el interés en días:i=0.13/360=0,000361Luego:

I

I

I



Proporcional

También denominada tasa periódica. Es proporcionalizable y dividir su conversión en diferentes períodos, generalmente menores de un año. 𝒊𝒑=𝒊𝒏×𝒎

in=tasa de interés nominal (anual, bimestral, trimestral)m=número de períodos iguales dentro del año (meses=12, días =360)



Proporcional

Para un interés anual del 12%. ¿Cuál será el interés proporcional mensual?

𝒊𝒑=𝒊𝒏÷𝒎

m=12in=12%



Proporcional

Para un interés anual del 12%. ¿Cuál será el interés proporcional diario?

𝒊𝒑=𝒊𝒏÷𝒎

m=360in=12%

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