Matemática para Ingenieros II

LIC. MAT. YOVANNA HUERTAS LLÚNCOR

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS II

PRESENTACIÓN

La asignatura de Matemática para Ingenieros II está ubicada en el área de

Formación General en el Plan de Estudios de la Escuela Profesional de

Ingeniería Civil y Ambiental, contribuye a la formación del pensamiento

abstracto y formal que es la base fundamental para realizar trabajos de

investigación. El aprendizaje de los contenidos de Matemática para Ingenieros

II sirve como requisito para el estudio de asignaturas de ciclos superiores que

hacen uso de contenidos matemáticos.

En ella se proporciona los conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo

Diferencial e Integral de funciones de varias variables, que es una parte

esencial de la Matemática, de interés para los profesionales en Ingeniería en lo

que concierne a optimización y cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa.

La asignatura de Matemática para Ingenieros II es importante porque brinda las

herramientas necesarias para que el estudiante de Ingeniería desarrolle

habilidades de cálculo, imaginación, intuición, generalización y capacidad de

análisis, referidos a funciones de varias variables y modele, mediante

ecuaciones diferenciales, situaciones de la vida real para resolver problemas

propios de su especialidad.

ÍNDICE

PRESENTACIÓN………………………………………………………………………

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………

CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. Ecuación Diferencial de Primer Orden

1.2. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria

1.3. Ecuaciones de Variables Separables

1.4. Ecuaciones Exactas

1.5. Ecuación Homogénea

1.6. Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado

1.7. ED de Bernoullí

1.8. Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes

1.9. ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados

CAPÍTULO II: TRANSFORMADAS DE LAPLACE

2.1. Tópicos de transformada de Laplace

2.2. Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace.

CAPÍTULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.1. Funciones de dos y tres variables

Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de nivel.

Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel.

3.2. Derivadas parciales

3.3. Derivadas parciales de orden superior

3.4. Regla de la cadena para funciones de varias variables.

3.5. Derivación parcial implícita.

3.6. Derivada direccional.

3.7. Gradiente de una función de dos y tres variables

3.8. Optimización de funciones de varias variables.

3.9. Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables.

CAPÍTULO IV: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

4.1. Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas

4.2. Cambio de orden de integración.

4.3. Jacobiano de una función de dos y tres variables.

4.4. Integrales dobles mediante coordenadas polares.

4.5. Aplicaciones de la integral doble.

4.6. Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas.

4.7. Volúmenes mediante integrales triples.

4.8. Aplicaciones de la integral triple.

4.9. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

ANEXOS

Anexo 1: …………………………………………………..

REFERENCIAS……………………………………………………………………...

INTRODUCCIÓN

Este cuaderno de apuntes para la asignatura de Matemática para Ingenieros II tiene

por finalidad proporcionar un compendio de los contenidos a desarrollarse durante el

presente ciclo académico en la escuela de Ing. Civil y Ambiental a los estudiantes del

III ciclo.

La asignatura de Matemática para Ingenieros II proporciona al estudiante conceptos,

técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de dos y tres

variables, como una parte esencial de la Matemática.

Inicialmente se establece una relación y generalización entre el cálculo de una variable

y el cálculo de varias variables, para luego resolver situaciones de optimización y

cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa.

Se complementa con la aplicación de los tópicos básicos de las ecuaciones

diferenciales y sus métodos.

El desarrollo de contenidos será en forma dinámica con la participación activa de los

estudiantes y con la guía del docente. Se complementa cada unidad con la

presentación y exposición grupal de ejercicios o problemas de aplicación dejados a

través del campus virtual. Se considera el trabajo en equipo como un espacio en el

cual, alrededor de un objetivo común y con el aporte de sus integrantes, los mismos

analizan, sintetizan y argumentan en el pleno sus ideas y propuestas sobre los

ejercicios de aplicación de los temas desarrollados en clase.

El desarrollo de las sesiones en aula incluirá orientación y asesoramiento al

estudiante, lo que le permitirá efectuar sus consultas respecto a los conocimientos o

aplicaciones en los que encuentra dificultades.

CAPÍTULO I

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales representan una de las más importantes y fascinantes

ramas de la matemática que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas

y soluciones de variados problemas en ciencias e ingenierías.

1.1. Ecuación Diferencial de Primer Orden

Definición: Es una ecuación en la que interviene una función y una o varias

de sus derivadas.

Tipos:

o Ecuación diferencial ordinaria.

o Ecuación diferencial en derivadas parciales.

Orden: está dado por el orden más alto de su derivada.

Grado: está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

ECUACIÓN TIPO ORDEN GRADO

1.2. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Una función es solución de una ecuación diferencial si la ecuación se

satisface al sustituir en ella y sus derivadas por y sus derivadas respectivas.

Ejemplo:

Muestre que la función es la solución de la ecuación diferencial

.

1.3. Ecuaciones de Variables Separables

Sea la ecuación diferencial:

Donde es continua en y es continua en .

Luego:

Para obtener la solución general:

Ejemplo:

Hallar la solución general de:

1.4. Ecuaciones Exactas

La ecuación diferencial es exacta si Ǝ una función

, con derivadas parciales continuas, tal que:

La solución general es la función

Teorema: la ecuación diferencial es exacta si y

solo si:

Ejemplo:

a) Determinar si la ecuación es exacta:

b) Resolver la ecuación diferencial exacta:

1.5. Ecuación Homogénea

Función Homogénea: la función dada por es homogénea de grado

n si:

Donde n es un número real.

Ejemplo:

Determina cual de las funciones es homogénea:

a)

b)

Definición: una ED es cualquier ecuación de la forma

donde y son funciones homogéneas del mismo

grado.

Solución de una ED Homogénea:

Si es homogénea, se puede transformar en una

ecuación diferencial separable sustituyendo

Donde es una función derivable en .

Ejemplo:

Halla la solución general de la ec. diferencial homogénea:

1.6. Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado

Si la ecuación diferencial no es exacta, puede que

se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado , llamado

factor integrante.

Ejemplo:

Si a la ecuación se le multiplica por el factor integrante

se convierte en la ecuación diferencial exacta

.

Teorema: para la ecuación diferencial :

A. Si

Es una función de x solamente, entonces es un factor

integrante.

B. Si:

Es una función de y solamente, entonces es un factor

integrante.

Ejemplo:

Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

1.7. ED de Bernoullí

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

Se conoce con el nombre de ecuación diferencial de Bernoulli.

Puesto que la ecuación dada no es lineal, para resolverla, se efectúa el

siguiente procedimiento:

1. Se multiplica a la ecuación por , es decir:

2. A la ecuación resultante se le multiplica por :

3. Sea

4. Reemplazando en el paso 2 obtenemos:

que es una ecuación diferencial lineal en de primer orden.

Ejemplo:

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

a)

b)

1.8. Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

son de la forma:

Donde son constantes.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero se considera el polinomio

característico de la siguiente forma:

Como el polinomio característico es de grado entonces se puede

obtener las raíces los cuales pueden ser, reales distintos, reales de

multiplicidad o números complejos.

Para dar solución de la ecuación diferencial se consideran los siguientes casos:

1° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica son reales y

distintas: entonces el sistema fundamental de soluciones de

la ecuación diferencial tiene la forma: , y la solución general de

la ecuación diferencial lineal homogénea es:

2° Caso: Cuando algunas de las raíces de la ecuación polinómica son

de multiplicidad, consideremos y donde es la raíz de

multiplicidad y son las demás raíces y distintas.

Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:

Y la solución general de la ecuación diferencial es:

3° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica alguna de

estas raíces son complejas:

y las demás raíces

supongamos que sean reales y distintas.

Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:

.

La solución general de la ecuación diferencial es:

Ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)

1.9. ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados

Las ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes indeterminados son

de la forma:

Donde son constantes reales.

Para obtener la solución general primero se determina la solución general de la

ecuación lineal homogénea , luego se busca una solución particular

cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea , y la solución general

de la ecuación inicial es:

El problema se reduce a encontrar una solución particular de la ecuación

diferencial línea no homogénea.

Cuando la función tiene la forma

donde son polinomios de grado y respectivamente,

entonces la solución particular de la ecuación inicial es de la forma:

Donde y es el orden de multiplicidad de la raíz ;

y son polinomios en de grado , de coeficientes

indeterminados.

Para determinar la solución particular de la ecuación no homogénea, se

consideran los siguientes casos:

1° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial inicial es la

función , entonces:

a) Si , no es raíz de la ecuación característica , entonces la

solución particular es:

b) Si , es raíz de la ecuación característica , entonces la


Donde s es la multiplicidad de .

2° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función

, donde es real, entonces:

a) Si , no es raíz de la ecuación característica , entonces la


b) Si es raíz de la ecuación característica , entonces la


Donde es la multiplicidad de .


, donde son polinomios

de grado y respectivamente, entonces:

a) Si no es raíz de la ecuación característica , entonces la


Donde .

b) Si es la raíz de la ecuación característica , entonces la


Donde y es la multiplicidad de la raíz .


, donde son

polinomios de grado y respectivamente, entonces:

a) Si no es raíz de la ecuación característica , entonces

la solución particular es:

Donde .

b) Si es la raíz de la ecuación característica , entonces la


Donde y es la multiplicidad de la raíz .

Ejemplo:

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)

CAPÍTULO II

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Este método permite transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones

algebraicas e incluso incorporar las condiciones algebraicas dadas al problema

algebraico sin necesidad de hacer ninguna consideración especial sobre ellas.

La transformada de Laplace tiene muchas otras aplicaciones además de resolver

ecuaciones diferenciales, tales como la evaluación de integrales y la solución de

ecuaciones integrales.

2.3. Tópicos de transformada de Laplace

Integrales Impropias

Si está definida para , donde es una constante, entonces la

integral impropia está definida como:

si existe el límite. Cuando existe el límite se dice que la integral impropia es

convergente; de otro modo, la integral impropia es divergente.

Definición de Transformada de Laplace

Suponga que sea definida para y sea una variable real

arbitraria. La transformada de Laplace de expresada por o bien

, es

Para todos los valores de para los cuales la integral impropia es convergente.

Convergencia en la transformación de Laplace

No todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Aquí se dan

algunas condiciones que garantizan la convergencia de la integral impropia.

Definición: Una función es de orden exponencial tales que

.

Definición: Una función es continua por intervalos en el intervalo abierto

si:

1) es continua en todos los puntos en con la posible

excepción, como máximo, de un número finito de puntos .

2) En los puntos de discontinuidad, existen los límites a la derecha y a la

izquierda de , respectivamente

y

Definición: Una función es continua por intervalos en el intervalo

cerrado si:

1) es continua por intervalos en el intervalo abierto .

2) El límite a la derecha de existe para .

3) El límite a la izquierda de existe para .

Teorema: Si es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado

, y si es de orden exponencial , entonces la

transformación de Laplace para existe para .

Ejemplo:

a) Determine si la integral impropia es convergente.

b) Hallar

Propiedades de la transformación de Laplace

Definición: si:

1) está definida para todos los .

2) es continua por intervalos en cualquier intervalo cerrado

.

3) es de orden exponencial .

Observación: Si entonces existe para .

Teorema: Si y , entonces para dos constantes

cualesquiera y , y

Teorema: Si , entonces para cualquier constante ,

Teorema: Si , entonces para cualquier entero positivo

Teorema: Si y si existe entonces:

Teorema: Si , entonces:

Teorema: Si es periódico con período , es decir ,

entonces:

Ejemplo:

1) Hallar si .

2) Hallar si .

3) Hallar .

2.4. Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de

Laplace.

Transformaciones de Laplace de la derivadas

La transformación de Laplace se usa para resolver problemas de valor inicial

dados por la ecuación diferencial lineal de orden con coeficientes

constantes:

junto con las condiciones iniciales

Teorema: Denote por . Si y sus primeras derivadas

son continuas para y son de orden exponencial , y si ,

entonces

Luego:

En particular, para y , obtenemos:

Solución del problema de valor inicial

Para resolver el problema de valor inicial dada, se toma la transformación de

Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, obteniendo por tanto una

ecuación algebraica que contiene . Se resuelve la ecuación para y

después se toma la transformación inversa de Laplace para obtener

.

Ejemplo:

1) Resolver .

2) Resolver .

CAPÍTULO III

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En asignaturas anteriores se ha estudiado funciones de una variable (independiente);

sin embargo, muchas cantidades de uso frecuente son funciones de dos o más

variable. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = F.D) y el volumen de un

cilindro circular recto son funciones de dos variable. El volumen de un sólido

rectangular es una función de tres variables.la notación de estas funciones es

similar a la notación de funciones de una sola variable.

3.1. Superficies Cilíndricas

Recordemos que hay dos tipos de superficies:

a) Esferas:

b) Planos:

Un tercer tipo de superficies en el espacio son las superficies cilíndricas

o simplemente cilindros.

Cilindro: Sea C una curva en un plano y sea L una recta que no se

encuentre en un plano paralelo. El conjunto de todas las rectas paralelas

a L y que intersectan a C se le conoce como curva generatriz (o

directriz) del cilindro y a las rectas se les conoce como rectas

generatrices.

Ejemplo:

Graficar

Se dibuja primero la curva en el plano xy, luego se trazan rectas

paralelas al eje izquierdo de esta curva.

3.2. Superficies Cuádricas

Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado

con tres variables x, y, z. la ecuación general es:

Donde A, B, C,…,J son constantes; pero por traslación y rotación se

puede convertir en una de las dos formas:

ó

Las superficies Cuádricas son la analogía tridimensional de las secciones

cónicas en el plano.

Existen seis tipos básicos de superficies Cuádricas: Elipsoide,

hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico,

paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

Elipsoide

La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de

los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes

coordenados en . La traza del elipsoide

sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una

elipse.

La gráfica se muestra en la figura (1).

Figura (1): Elipsoide

Si cualesquiera dos de los semiejes a, b, c son iguales entre sí, la

superficie es un elipsoide de revolución, si los tres son iguales, la

superficie es una esfera.

Paraboloide elíptico:

La gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales

son elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o son

parábola.

Figura (2): Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico:


es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales

son hipérbolas o dos rectas ( ). Sus trazas sobre planos

verticales paralelos al plano xz son parábolas que abren hacia abajo,

mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz

son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de

una silla de montar, como se observa en la figura (3).

Figura (3): Paraboloide hiperbólico.

Cono elíptico:


es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son

elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a

hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura (4).

Figura (4): Cono elíptico

Hiperboloide de una hoja:


es un hiperboloide de una hoja.

Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas

que se intersecan. Su gráfica se muestra en la figura (5).

Figura (5): Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas:


es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas

separadas. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y

sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura (6): hiperboloide de dos hojas.

3.3. Funciones de dos y tres variables

Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de

nivel.

Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados de números

reales. Si a cada par ordenado en D le corresponde un

único número real , entonces es una función de y . el

conjunto D es el dominio de y el correspondiente conjunto de

valores es el rango de .

Ejemplo:

Halla el dominio de la función:

Gráfica de una función de dos variables

Si es una función de dos variables con dominio D, entonces la

gráfica de es el conjunto de puntos tales que

y está en D.

Ejemplo:

Trace la gráfica de la función

Curvas de nivel

Las curvas de nivel de una función de dos variables son las

curvas con ecuación , donde es una constante (que

pertenece a la imagen de ).

Ejemplo:

Trace las curvas de nivel de la función ,

para .

Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel.

Una función de tres variables , es una regla que asigna a cada

terna ordenada de un dominio un número real

único denotado por .

Es muy difícil visualizar una función de tres variables por su

gráfica, puesto que estaría en un espacio de cuatro dimensiones,

pero obtenemos alguna información de al examinar sus

superficies de nivel, que son las superficies con ecuaciones

, donde es una constante. Si el punto se

mueve a lo largo de una superficie de nivel, el valor de

permanece fijo.

Ejemplo:

a) Encuentre el dominio de , si:

b) Halle las superficies de nivel de la función:

3.4. Derivadas parciales

Definición: Si , entonces las primera derivadas parciales de

respecto a y a son funciones y definidas por:

Siempre que estos límites existan.

Esta definición indica que si entonces para hallar se

considera a constante y se deriva respecto a . De manera similar, para

hallar , se considera a constante y se deriva respecto a .

Notación para las primeras derivadas parciales:

Dada las derivadas parciales y se denotan:

Y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan:

y

Ejemplo:

Encuentre las derivadas parciales y correspondientes a las

funciones:

a)

b)

3.5. Derivadas parciales de orden superior

Si es una función de dos variables, sus derivadas parciales son

también funciones de dos variables. Luego podemos considerar sus

derivadas parciales que reciben el nombre de

segundas derivadas parciales de .

Si empleamos la siguiente notación:

Ejemplo:

Halle las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones:

a)

b)

Teorema de Clairaut: Suponga que está definida en un disco que

contiene al punto . Si son continuas en , entonces:

3.6. Regla de la cadena para funciones de varias variables.

Regla de la cadena: una variable independiente

Sea donde es una función derivable de y . Si

y , y son funciones derivables en , entonces

es una función derivable en y

Regla de la cadena: dos variables independientes

Sea donde es una función derivable de y .

Si y son tales que todas las primeras

derivadas ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s, ∂y/∂t existan, entonces ∂w/∂s y ∂w/∂t

existen y están dadas por:

Ejemplo:

a) Si , donde y , halle ∂z/∂t

cuando .

b) Si , donde , encuentre ∂z/∂s,

∂z/∂t.

3.7. Derivación parcial implícita.

Si la ecuación define a implícitamente como función

derivable de , entonces:

Si la ecuación F(x, y, z) = 0 define a z implícitamente como función

derivable de x e y, entonces:

Ejemplo:

a) Encuentra y’ si y2 + 3x4 – 5xy - x2 + 4 = 0.

b) Obtener ∂z/∂x y ∂z/∂y, si 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0

3.8. Derivada direccional.

Definición: Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la

derivada direccional de f en la dirección del vector unitario

es:

Ejemplo:

Encuentre la derivada direccional si:

Y u es el vector unitario dado por el ángulo θ = π/6. ¿Cuál es ?

3.9. Gradiente de una función de dos y tres variables

Definición: Si z = f(x, y), entonces el gradiente de f, denotada por

es el vector:

Entonces:

Propiedades:

Sea f una función diferenciable en el punto (x, y)

1) Si

2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por .

El valor máximo de es

3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por - .

El valor mínimo de es -

Ejemplo:

La temperatura, en grados Celcius sobre la superficie de placa metálica

viene dada por:

Midiéndose x e y en pulgadas. Desde el punto (2, -3), ¿en qué dirección

crece la temperatura más rápidamente?, ¿a qué ritmo se produce este

crecimiento?

3.10. Optimización de funciones de varias variables.

Teorema de valor extremo

Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una

región R cerrada y acotada en el plano xy.

1. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor

mínimo.

2. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor

máximo.

Definición de extremos relativos

Sea f una función definida en una región R que contenga a (a, b).

1. La función f tiene un mínimo relativo en (a, b) si:

Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b).

2. La función f tiene un máximo relativo en (a, b) si:

Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b).

Definición de punto crítico

Sea f una función definida en una región abierta R que contenga al

punto (a, b). El punto (a, b) es un punto crítico de f si se satisface

alguna de las condiciones siguientes:

1. .

2. No existe

Teorema: Los extremos relativos se presentan únicamente en

puntos críticos.

Si f tiene un extremo relativo en un punto (a, b) de una región abierta

R, entonces (a, b) es un punto crítico de f.

Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea f una función que tenga segundas derivadas parciales continuas

en una región abierta que contenga un punto en el cual,

Para buscar los extremos relativos de , considere la cantidad

1. Si , entonces tiene un mínimo relativo en

.

2. Si , entonces tiene un máximo relativo

en .

3. Si , entonces es un punto silla.

4. Si el criterio no es concluyente.

Ejemplo:

1. Determine los extremos relativos de

2. Encuentre los extremos relativos de .

3.11. Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables.

Este método permite resolver problemas de optimización donde existen

restricciones.

Teorema de Lagrange: Sean y funciones cuyas primeras derivadas

parciales sean continuas y tales que tenga un extremo en el punto

sobre la curva suave de la restricción . Si ,

entonces existe un número real tal que

Método de los multiplicadores de Lagrange

Sean y funciones que satisfagan la hipótesis del teorema de

Lagrange y sea una función que tenga un mínimo o un máximo sujeto a

la restricción . Para hallar el mínimo o el máximo de se

siguen los siguientes pasos:

1. Se resuelven simultáneamente las ecuaciones y

resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

2. Se evalúa en cada uno de los puntos solución obtenidos en el primer

paso. El valor mayor corresponde a un máximo de sujeto a la

restricción el valor menor corresponde a un mínimo de

sujeto a la restricción .

Ejemplo:

Encuentre el valor máximo de donde y ,

sujeto a la restricción: .

Método de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones

En los casos de problemas de optimización en los que intervienes dos

funciones de restricciones y , puede introducirse un segundo

multiplicador de Lagrange, y resolver después la restricción

Donde los vectores gradiente no son paralelos.

Ejemplo:

Sea una función que represente la

temperatura en cada punto de la esfera . Encuentre las

temperaturas extremas sobre la curva formada en la intersección del

plano con la esfera.

CAPÍTULO IV

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

En este capítulo extenderemos la idea de una integral definida a integrales dobles y

triples de funciones de dos o tres variables. Estas ideas se unan para calcular

volúmenes, áreas superficiales, masas y centroides de regiones más generales.

4.10. Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas

4.11. Cambio de orden de integración.

4.12. Jacobiano de una función de dos y tres variables.

4.13. Integrales dobles mediante coordenadas polares.

4.14. Aplicaciones de la integral doble.

4.15. Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas.

4.16. Volúmenes mediante integrales triples.

4.17. Aplicaciones de la integral triple.

4.18. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

ANEXO 1:

REFERENCIAS

Libros

1. Acero, Ignacio; López Mariló. Ecuaciones diferenciales teoría y problemas.

Alfaomega. Edición 1. México, 1999.

Código en Biblioteca 515.35 A17.

2. Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; Hall, Glen R. Ecuaciones Diferenciales.

International Thomson Editores. Edición 1, México, 1998.

Código en Biblioteca 515.35 B57E

3. Borrelli, Robert L.; Coleman, Courtney S. Ecuaciones diferenciales: Una perspectiva

de modelación. Oxford University Press. Edición 1. México, 2002.

Código en Biblioteca 515.35 B74

4. Edwards Jr., Penney, David. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall, Edición 3;

1996.

Código en Biblioteca 515.15/E26 - 003818.

5. Edwards, C. Henry; Penney, David E. Ecuaciones Diferenciales. Pearson Educación.

Edición 4. México, 2001.

Código en Biblioteca 515.35 E26.

6. Espinoza, Eduardo. Funciones de varias variables. Edición 1; 1992.

Código en Biblioteca 515.84/E88 - 002609.

7. Goodman, A.W. Geometría Analítica y Cálculo. Limusa, Edición 1; 1992.

Código en Biblioteca 516.3/G72 - 002641.

8. Heyd, David. Guía de Cálculo. Mc-Graw Hill Interamericana, Edición 1; 1993.

Código en Biblioteca 515/H47 - 016403.

9. Larson, Ron; Hostetler, Robert; y Edwards Bruce. Cálculo II. Pirámide, Edición 7; 2002.

Código en Biblioteca 515.33/L26.

10. Ledder, Glenn. Ecuaciones diferenciales: Un enfoque de modelado. McGraw-

Hill/Interamericana Editores. Edición 1. México, 2006.

Código en Biblioteca 515.35 L36.

11. Leithold, Louis. Cálculo. Alfaomega, Edición 1; 2004.

Código en Biblioteca 519.4/L42 - 028264.

12. Rainville V. Earl D.; Bedient, Phillip E.; Bedient, Richard E. Ecuaciones Diferenciales.

Pearson Educación. Edición 8. México, 1998.

Código en Biblioteca 515.35 R18.

13. Stewart, James. Cálculo multivariable. Thomson, Edición 3; 1999.

Código en Biblioteca 515.84/S79 - 008705.

14. Thomas, George Jr. Cálculo varias variables. Pearson, Edición 11; 2006.

Código en Biblioteca 515.T48.

15. Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. International

Thomson Editores. Edición 8. México, 2006.

Código en Biblioteca 515.35 Z77.

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