Matematica Preuniversitaria

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Solucionario del primer parcial del Preuniversitario de Matemáticas

Ing. Diego Sejas Viscarra

15 de enero de 2014

1. Hallar el dominio más grande de

() =

1 +

2

+ 1 −

2

+√

+ 3.

Solución. Para facilitar la resolución del ejercicio empezamos por simplificar y factorizar la expresión dentro del primer radical:

() =

( + 1) + 2 − 2( + 1)

( + 1) +

√ + 3

= 2 + + ✚ ✚ 2 − ✚ ✚ 2 − 2

( + 1) +

√ + 3

=

2 + − 2

( + 1) +√

+ 3

=

( + 2)( − 1)

( + 1) +

√ + 3.

Ahora bien, el dominio más grande de es el conjunto de todos los reales, exceptuando aquellos puntos donde hay operaciones

prohibidas como división entre cero, raíces pares de números negativos, logaritmos de números no positivos, etc. En este caso

particular tenemos

= ∈ R ∶ ≠ 0 y ≠ −1 y ( + 2)( − 1)( + 1)

≥ 0 y + 3 ≥ 0 .

Estudiemos cada una de estas condiciones por separado:

a) ≠ 0: El conjunto que satisface esta condición lo podemos representar gráficamente por

b) ≠ −1: El conjunto que satisface esta condición lo representamos gráficamente por

1



c) (+2)(−1)

(+1) ≥ 0: Para resolver esta desigualdad usamos el análisis basado en puntos críticos:

Los puntos críticos de la expresión anterior al signo de desigualdad, llamémosla (), son de tres tipos:

Extremos del intérvalo donde se define: −∞ y +∞.

Puntos donde () se hace igual a cero: = −2 y = 1.

Puntos donde () no está definida: = 0 y = −1.

Para determinarlos signos de () es suficiente calcular su valor en un punto que no sea punto crítico. Por ejemplo,en = 2,tenemos que (2) =

(2+2)(2−1)

2(2+1) =

4

6 > 0. Por otro lado, observamos que todos los puntos críticos provienen de potencias

impares, de manera que alrededor de ellos hay cambio de signos. Finalmente, vemos que = −2 y = 1 satisfacen la

condición de igualdad, por lo que debemos tomarlos en cuenta. Por tanto, el conjunto de puntos que satisface esta condición

está representado gráficamente por

d ) + 3 ≥ 0: Los puntos críticos de esta expresión, que sin temor de confusión podemos llamar nuevamente (), son:

Extremos del intérvalo donde se define: −∞ y +∞.

Puntos donde () se hace igual a cero: = −3.

Puntos donde () no está definida: No existen.

Para determinar los signos de () basta determinar su valor en punto que no sea punto crítico; por ejemplo, usamos = 0,

de donde (0) = 0 + 3 = 3 > 0. Como = −3 es un punto crítico que proviene de una potencia impar, hay un cambio de

signo alrededor de él. Finalmente, vemos que = −3 satisface la condición de igualdad, por lo que debemos tomarlo en

cuenta. Por tanto, el conjunto de puntos que satisface esta condición lo representamos gráficamente como

El conjunto buscado (el dominio más grande de ()) consiste en la intersección (superposición) de todos estos conjuntos (ver

figura 1).

Figura 1: Representación gráfica del dominio de (azul), correspondiente a la intersección de los conjuntos hallados (rojo).

2



∴ = [−3, −2] ∪ (−1, 0) ∪ [1, +∞) .

2. Graficar

() = ⎧⎪⎨⎪⎩2 sin() , si ∈ [0, ]

2 − 4 − 3 , si ∈ (, 5)

− 1 , si ∈ [5, 6]

Solución. Para poder conocer las formas de las gráficas que forman las partes de (), basta calcular sus imágenes en algunos

puntos de cada respectivo intérvalo (entre más puntos se usen, más exacta será la gráfica), y luego unir esos puntos con una línea

suave:

2 sin()

0 0

2 2

0

2 − 4 − 3

−5,7

3,5 −4,8

4 −3

4,5 −0,8

5 2

− 1

5 4

6 5

Figura 2: El gráfico de (). Azul: 2 sin() para ∈ [0, ]; verde: 2 − 4 − 3 para ∈ (, 5), y rojo: − 1 para ∈ [5, 6].

3



3. Hallar el dominio y el codominio adecuados de manera que () = −32 + 6 − 1 sea invertible (biyectiva). Hallar la inversa.

Solución. Para poder determinar el dominio y codominio adecuado podemos ayudarnos con el gráfico de la función. Es claro que

el gráfico correspondea una parábola,de manera que completamos cuadrados para llevar la ecuación a la forma = (−ℎ)2 +:

() = −32 + 6 − 1

= −3(2 − 2) − 1

= −3(2 − 2+1 − 1) − 1

= −3(2 − 2 + 1) + 3 − 1

= −3( − 1)2 + 2.

Entonces, tenemos que = −3 < 0, de manera que la parábola se abre hacia abajo, y el vértice tiene coordenadas (ℎ, ) = (1, 2).

La gráfica se puede ver en la siguiente figura. Es claro que esta no es una función ni inyectiva ni sobreyectiva. Para obtener

inyectividad, observamos que es suficiente tomar uno de los brazos de la parábola (por ejemplo, el derecho), eliminando el otro

que impide la inyectividad (ver figura 3). La sombra que este brazo define sobre el eje corresponde al nuevo dominio y la

sombra sobre el eje corresponde al nuevo codominio. La regla de asignación de la nueva función es la misma que la de la

original. Luego, la función invertible está dada por:

∶ [1, +∞)⟶ (−∞, 2]

⟼ −32 + 6 − 1

Para determinar la función inversa, resolvemos la ecuación () = despejando :

() =

−32 + 6 − 1 =

−32 + 6 + (−1 − ) = 0

32 − 6 + (1 + ) = 0.

4



Figura 3: La función redefinida de manera que es inyectiva. El dominio y codominio respectivos se muestran sombreados sobre los ejes

e , respectivamente.

Aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos

1,2

=6 ±

√ 36 − 4(3)(1 + )

6

=6 ±

√ 24 − 12

6

= 1 ±

√ 24 − 12

6

Como hay dos soluciones posibles, descartamos una de ellas. Para ello, observamos que el codominio de la inversa de es

[1, +∞), de modo que la inversa toma valores mayores o iguales a 1 únicamente, por ello, descartamos 1 −

√ 24−12

6 como

inversa, pues esta expresión es menor o igual a 1 en el dominio de la inversa, que es (−∞, 2].

Por tanto, la inversa es

−1 ∶ (−∞, 2]⟶ [1, +∞)

⟼ 1 + √ 24−12

6

4. Resolver una de las siguientes ecuaciones:

a) 35−4 + 35 = 82 .

b) 2(log2())2 − 3 log2

4

− 11 = 0.

5



Solución. a) Recordando que + = , podemos reescribir la ecuación exponencial de la siguiente manera:

35(3−4) + 35 = 82

35

34 + 35 = 82

35

81 + 35 = 82

35 + 81(35)

81 = 82

82(35)

81 = 82

35 = ✚ ✚ 8281

✚ ✚ 82

35 = 81

35 = 34.

Por la inyectividad de la función exponencial tenemos entonces que

5 = 4,

de donde

= 4

5 .

b) Recordando que log(∕) = log − log , podemos reescribir esta ecuación logarítmica de la siguiente manera:

2(log2())2 − 3(log2() − log2(4)) − 11 = 0

2(log2())2 − 3 log2() + 3 log2(22) − 11 = 0

2(log2())2 − 3log2() + 6 − 11 = 0

2(log2())2 − 3log2() − 5 = 0.

Mediante el cambio de variable = log2(), podemos convertir esta última ecuación en una ecuación cuadrática:

22 − 3 − 5 = 0,

la cual resolvemos usando la fórmula general:

1,2 =3 ±

√ 9 − 4(2)(−5)

4

= 3 ±

√ 49

4

= 3 ± 7

4 .

Luego, tenemos que = 5∕2 0 = −1. Consideramos por casos:

Caso 1. = 5∕2: Reemplazando nuevamente = log2(), tenemos

log2() = 52

,

de donde, aplicando la exponencial en base 2 a ambos lados,

2log2() = 25∕2

= 25∕2 = 4√

2.

Si reemplazamos este valor de en la ecuación original, veremos que esta se satisface, por lo que concluimos que esta

es una solución.

6



Caso 2. = −1: Reemplazando nuevamente = log2(), tenemos

log2() = −1,

de donde, aplicando la exponencial en base 2 a ambos lados,

2log2() = 2−1

= 12

= 0,5.

Si reemplazamos este valor de en la ecuación original, veremos que esta se satisface, por lo que concluimos que esta

es una solución.

∴ = 4√

2 o = 1∕2 .

5. Resolver √ 2 − 5 −

√ + 1 − 3 = 0.

Solución. Para poder eliminar radicales, los aislamos uno por uno a un lado de la igualdad y elevamos al cuadrado. Por ejemplo,

inicialmente podemos aislar√

2 − 5 y elevar al cuadrado:

√ 2 − 5 = √ + 1 + 3√ 2 − 5

2=√

+ 1 + 32

2 − 5 = ( + 1) + 6√

+ 1 + 9.

Dado que aun queda una raíz (√

+ 1), podemos eliminarla aislándola y elevándola al cuadrado:

2 − 5 − − 1 − 9 = 6√

+ 1

− 15 = 6√

+ 1

( − 15)2 =

6√

+ 12

2 − 30 + 225 = 36( + 1)

2 − 30 + 225 = 36 + 36

2 − 30 + 225 − 36 − 36 = 0

2 − 66 + 189 = 0.

Para resolver esta ecuación cuadrática usamos la fórmula general:

1,2 = 66 ±

√ 662 − 4(189)

2

= 66 ±

√ 4356 − 756

2

=

66 ± √ 3600

2

= 66 ± 60

2 .

Tenemos, por tanto, dos posibles soluciones: = 63 y = 3. Al reemplazar = 3 en la ecuación original (con raíces) se podrá

ver claramente que esta no es una solución (porque no se satisface la igualdad), mientras que al reemplazar = 63 verificamos

que se cumple la igualdad, de manera que esta es solución.

∴ = 63 .

7



6. Descomponer en fracciones parciales:−50

(2 + 1)(2 − 2 + 5).

Solución. La descomposición en fracciones parciales de esta expresión es de la siguiente manera:

−50

(2 + 1)(2 − 2 + 5)

=

2 + 1

+ +

2 − 2 + 5

,

donde , y son constantes a determinar. Para ello, sacamos común denominador, simplificamos y factorizamos:

−50

✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭

✭ (2 + 1)(2 − 2 + 5)

= (2 − 2 + 5) + ( + )(2 + 1)

✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭ ✭

✭ (2 + 1)(2 − 2 + 5)

−50 = 2 − 2 + 5 + 22 + + 2 +

−50 = ( + 2)2 + (−2 + + 2 ) + (5 + ).

Tenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧⎪⎨⎪⎩0 = + 2

−50 = −2 + + 2

0 = 5 +

De la primera ecuación tenemos = −∕2, y de la tercera tenemos = −5. Reemplazando estos dos valores en la segunda

ecuación,

−50 = −2 −

2 + 2(−5)

−50 = −2 −

2 − 10

−50 = −4 − − 20

2

−50 = −25

2 = 4.

De ahí, a su vez, obtenemos = −2 y = −20.

∴ −50

(2 + 1)(2 − 2 + 5)=

4

2 + 1 +

−2 − 20

2 − 2 + 5.

7. Resolver uno de los siguientes problemas:

a) Una empresa de sodas desea distribuir un nuevo refresco en una lata de forma cilíndrica. Un estudio de mercado ha deter-

minado que el volumen adecuado para la lata es de 40 [cm3]. Determinar el costo de fabricación de cada lata en función del

radio si el material para los lados cuesta $6 por cm2 y el material para las tapas cuesta $2 el cm2.

b) Una empresa petrolera desea construir un oleoducto desde el punto hasta el punto pasando por los puntos y en la

orilla opuesta de un río de 100 [m] de ancho. Determinar el costo de construcción del oleoducto en función de si el precio

por metro de agua es de $30 y el precio por metro de tierra es de $10. (Véase la figura.)

8



Figura 4: Datos del problema 7().

Solución. a) Recordemos que el área de un cilindro viene dada por = 2ℎ, mientras que el área de cada una de las tapas

(circunferencia) es O = 2. Así, como cada cm2 de los lados de la lata cuesta $6 y cada cm2 de cada tapa cuesta $2, el

costo total de construcción de la lata está dado por

= 6 + 2O + 2O

= 6 + 4O

= 6(2ℎ) + 4(2)

= 12ℎ + 42. (1)

Sin embargo, este costo está expresado en función del radio y de la altura ℎ, mientras que se pide expresar el costo soloen función del radio. Para lograr esto, debemos expresar ℎ en función de . Usamos entonces el dato del volumen de la lata.

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado por = 2ℎ, de manera que, en este caso particular,

40 = 2ℎ

ℎ = 40

2. (2)

9





= 2

33

15

2619

1151

= 2

33

15

√ 2619

15√ 11

51

15

√ 49

15√ 4

9

= 2

33

15√ 261949

15√

1560

= 2

47

15√

261949

= 2

47

15√

15111449

= ✁ 3

47 ✁

15√

11449

∴

3

4 5

412

5

12123

8

= 3

47

15√

11449 .

11

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