Matemática Tema 6 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Versión PDF

7/25/2019 Matemtica Tema 6 Ecuaciones Lineales y Cuadrticas Versin PDF

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MATEMTICA

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORCurso de Refuerzo para

Aspirantes a Nuevo Ingreso


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Universidad de El Salvador, Derechos Reservados

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORCURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANES A NUEVO IN!RESO

"AE"#ICA

CURSO DE MATEMTICA EN LNEA

ContenidoRESOLUCIN DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................ 1

APLICACIN DE ECUACIONES LINEALES .......................................................................................... 2

RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRICAS .............................................................................. !

APLICACIN DE ECUACIONES CUADRICAS ............................................................................... "


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1Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

RESOLUCI$N DE ECUACIONES LINEALES

2Si es una variable, entonces las expresiones tales como 5 0 5 4

se denominan ecuaciones en la variable .

Si al sustituir por el nmero resulta una proposicin verdadera, entonces

diremos

x x x x

x

x r

= =

que es una raz o solucin de la ecuacin.r

Al conjunto formado por todas las soluciones le llamaremos conjunto solucin.

Ecuaciones equivalente son aqullas ecuaciones que tienen el mismo conjunto

solucin.

Para resolver una ecuacin (Calcular su conjunto solucin), utilizamos la ley

cancelativa de la suma y del producto para obtener una serie de ecuaciones

equivalentes, cada una de las cuales ser, en algn sentido ms simple que la

anterior, de tal manera que en la ltima ecuacin equivalente la solucin se obtenga

por simple inspeccin.


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2Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

APLICACI$N DE ECUACIONES LINEALES

( ) ( )

Ejemplo. Clcule el conjunto solucin de:

4 1 9

Solucin:

4 1 9

4 1 1 9 1 (Propiedad de la igualdad)

4 9 1 (Elemento inverso aditivo y elemento neutro y

ley asociativa)

4 8 (S

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ + = +

=

=

( ) ( )

{ }

implificando)

1 14 8 (Elemento inverso multiplicativo y propiedad

4 4

de la igualdad)

8(Ley asociativa y elemento neutro para el producto)

4

2 2

x

x

x s

=

=

= =

Del ejemplo anterior se obtiene dos leyes, muy prcticas, para resolver ecuaciones:

a)

Si en ambos miembros de una ecuacin no existen smbolos de agrupacin (

( ), {},[],- ), entonces si un trmino est sumando (restando) en un miembro

pasa a restar (sumar) en el otro miembro.

b) Si una expresin algebraica divide (multiplica) a todo un miembro de la

ecuacin pasa a multiplicar (dividir) a todo el otro miembro de la ecuacin.


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#Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

{ }


1) 5 6 10 5

Solucin:

5 6 10 5

5 10 5 6

5 10 1

5 10 1

5 1

1

5 1/ 5 1/ 5

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x s

+ = +

+ = +

= +

=

=

=

=

= =

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

2) 3 5 3 8 5 9

Solucin:

3 5 3 8 5 9

3 5 3 8 5 9

3 5 3 8 5 9

3 3 3 9

3 3 9 3

3 3 6

3 3 6

6 6

6

6

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ + = +

+ + = +

+ =

=

=

= +

=

=

=

=

{ }1 1x s= =


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$Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

( )

( )

23) 32 2

Solucin:

Observe que 2 no pertenece al conjunto solucin!

2 3

2 2

2 2 3

2

2 2 3

2 3 6 4 3

3 4

4 4

4

4

1

xx x

x

x

x x

x xx

x x

x xx x

x x

x

x

x

= + +

=

= + +

= +

+

= +

=

=

+ =

=

=

= { }1s =

Ejercicios: Despeje la variable indicada (despejar una variable significa que

dicha variable solo aparece en un miembro con coeficiente uno y no aparece en

el otro miembro)

( )

( )

1) ,

Solucin:

1

1

as a

a p

as

a p

s a p a

sa sp a

sa sp a

sa a sp

s a sp

spa

s

=

=

=

=

= +

=

=

=


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!Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

( )

( )

1 21

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

2 1 2

21 2

2

21

2

2) ,

Solucin:

0

, 0

R RR R

R R

R RR

R R

R R R R R

RR RR R R

RR RR R R

RR R R RR

R R R RR

RRR R RR R

RRR

R R

=+

=+

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

RESOLUCI$N DE ECUACIONES CUADR#ICAS

2La ecuacin de segundo grado tiene la forma 0.

De acuerdo al teorema de las races, la ecuacinde segundo grado tiene

2 races.

Deduciremos una frmula que nos permita calcular las soluciones

ax bx c+ + =

de la

ecuacin de segundo grado.


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%Universidad de El Salvador, Derechos Reservados


"AE"#ICA

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

0, 0

0

0

02 2

2 4

2 4

ax bx c a

ax bx c

a a

b cx x

a a

b b c bx x

a a a a

b c bx

a a a

b c bx

a a a

+ + =

+ +=

+ + =

+ + + = +

+ + =

+ = +

2 2

2

2

2

2

2

2

4

2 4

4

2 4

4

2 24

2 2

4

2

b ac bx

a a

b b acx

a a

b b acx

a ab b ac

xa a

b b acx

a

+ + =

+ =

+ =

=

=


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"AE"#ICA

APLICACI$N DE ECUACIONES CUADR#ICAS

( ) ( ) ( )

( )

2

2

2


1) 4 21 0 Solucin:

) Una manera

1, 4, 21

4

2

4 4 4 1 21

2 1

4 16 84

2

x x

a

a b c

b b acx

a

x

x

+ =

= = =

=

=

+=

{ }

1 2

4 100

2

4 10

2

2 5

2 5 3, 2 5 7

s 7,3

x

x

x

x x

=

=

=

= + = = =

=

( )( )

{ }

2

) Otra forma

4 21 0

7 3 0

7 0 7

7,3

3 0 3

b

x x

x x

x x

s

x x

+ =

+ =

+ = =

=

= =


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"AE"#ICA

( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

2

2) 6 4 0

Solucin:

1, 6, 4

4

2

6 6 4 1 4

2 1

6 36 16

2

x x

a b c

b b acx

a

x

x

+ =

= = =

=

=

=

( )

( ) ( ){ }

1 2

6 20

2

6 4 5

2

6 4 5

2

6 2 5

2

3 5 3 5, 3 5

s 3 5 , 3 5

x

x

x

x

x x x

=

=

=

=

= = + =

= +

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