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Unidad N º 2

Objetivos : que al terminar las actividades:

- conocer las operaciones básicas que se definen en el conjunto de los números reales a.- Potencia de exponente entero b.- Radicación c.- Potencia de exponente fraccionario d.- Logaritmo

- conocer las propiedades de estas operaciones. - aplicar estas operaciones para resolver cuestiones que las involucran.

Conocimientos previos : el sistema numérico - propiedades de los números 1 Operaciones básicas. Sus propiedades. * Potencia de exponente entero: a n [ a = base ; n = exponente ] La definición comprende 3 casos según el exponente sea entero positivo, negativo o cero.

Sea “a” un número real (a ∈ R) y “n” un número “natural” o “entero positivo” (n.∈ N ); luego, definimos la potencia a n como sigue:

a n = 444 8444 76 vecesn

a....................a.a.a

{

48476 onenteexp

n

base

a a 0 = 1 ; a ≠ 0

a - n = n

a1

; a ≠ 0

Propiedades:

1.- distributiva respecto del producto (a . b) n = an . bn

2.- distributiva respecto del cociente (a : b) n = an : bn 3.- producto de potencias de igual base am . a n = a m + n 4.- cociente de potencias de igual base am : a n = a m - n 5.- potencia de potencia (am )n = a m . n

Ejercicios: indicar verdadero o falso, justificar la respuesta.

1) (a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b2 2) (a + b ) 2 = a2 + b2

3) (a + b ) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 4) (a + b ) 3 = a3 + b3

5) (-a - b ) 2 = (a + b ) 2

Lo importante de estos ejercicios es la forma en que justificas tu respuesta. Controla bien esto.

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Respuestas:

1) (V) ; Justificación: (a +b)2 = (a +b) (a +b) por definición de cuadrado. (a +b)2 = (a +b) . a + (a +b) . b por propiedad distributiva. (a +b)2 = a .a + b .a + a .b + b .b por propiedad distributiva. (a +b)2 = a2 + a .b + a .b + b2 por definición de cuadrado. y propiedad conmutativa (a +b)2 = a2 + 2 a .b + b2 (cuadrado de un binomio).

2) ( F) ; Justificación : un falso se justifica con un ejemplo (llamado “contraejemplo”) a = 2 ; b = 3 (a + b ) 2 = ( 2 + 3) 2 = 52 = 25 a2 + b2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13

Conclusión. 25 ≠ 13 ⇒ (a + b ) 2 ≠ a2 + b2 3) (V ) ; Justificación: (a + b)3 = (a +b) . (a +b) . (a +b) por definición de cubo (a + b)3 = (a2 + 2 a b + b2 ) (a+b) por cuadrado de un binomio (a + b)3 = (a2 + 2 a b + b2 ). a + (a2 + 2 a b + b2 ) .b por……....

si no lo habías hecho bien continúa esta demostración hasta llegar a

(a + b ) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (cubo de un binomio)

4) (F) ; Justificación : un falso se justifica con un ejemplo (llamado “contraejemplo”) Construye un contraejemplo para este caso: a = …… ; b = ……… (a + b ) 3 = a3 + b3 =

Conclusión. 5) (V) ; Justificación: ( - a - b) 2 = [ (-1). (a + b )] 2 {

1.prop

= (-1)2 . (a+b)2 = (a +b)2

Nota: definida la potencia podemos dar sentido a la forma de representar números reales que conocemos con el nombre de “notación científica” , la cual usamos para representar número reales muy grandes o, por el contrario, muy pequeños. Dado x∈ R+ lo podemos escribir como: x = α . 10 n con 1≤ α < 10 ; n ∈ Z. Para realizar operaciones donde los números están expresados en la notación científica debemos acudir a las propiedades de las potencias.

Ejercicios: si x = α . 10 n e y = α . 10 m (n, m ∈ Z), indicar verdadero o falso, justificar la respuesta.

1) x . y = α2 . 10 n + m 2) x . y = α2 . 10 n . m

3) xy

= 10 m - n

4) xy

> 1

5) Si m > n entonces xy

> 1

3

Respuestas : para x = α . 10 n e y = α . 10 m 1) x . y = α2 . 10 n + m (V), justificación: x . y = (α . 10 n ) . (α . 10 m ) reemplazando x . y = α .α .10 n . 10 m por…….(completar) x . y = α 2 .10 n . 10 m por…….(completar) x . y = α 2 .10 n + m por…….(completar) 2) x . y = α2 . 10 n . m (F), justificación: por contraejemplo:

x = 3 .102 = 300 ; y = 3.103 = 3000 x . y = 300 . 3000 = 900.000 = 9 . 10 5 α2 . 10 n . m = 32 10 2 . 3 = 9 . 10 6 Conclusión. 9 . 10 5 ≠ 9 . 10 6 ⇒ x . y ≠ α2 . 10 n . m

3) xy

= 10 m - n (V), justificación: xy

= (α . 10 m ) / (α . 10 n ) reemplazando

xy

= 10 m / 10 n simplificando

xy

= 10 m - n por…….(completar)

4) xy

> 1 (F), justificación: por contraejemplo:

x = 5 .10 4 ; y = 5.10 2

xy

= (5 .10 2) / (5 .10 4) = 10 2 - 4 = 10 - 2 = 0,01 < 1 ⇒ xy

< 1

5) Si m > n entonces xy

> 1 (V), justificación: m > n ⇒ m - n > 0 ⇒ m-n = k ∈ N

xy

= 10 m - n = 10k > 1 ; pues k es entero positivo.

* Radicación : n a [ n = índice de la raíz ; a = radicando ; b = raíz ] La definición comprende 2 casos según el índice sea par o impar . Sea “a” un número real (a ∈ R) y “n” un número natural (n.∈ N ), entonces definimos la raíz n-ésima n a como sigue:

n impar n a = b b n = a

n par n a = b b ≥ 0 y b n = a (raíz positiva o aritmética)

Nota : la definición de raíz debe dividirse en estos dos casos debido a los problemas que presenta la operación cuando el índice es par. En este caso tenemos que:

- si a es un número real negativo no existe un número real b tal que b2 = a. ( pues b2 >0 , ∀ b )

por ejemplo, si a = -9 ; tanto b = 3 como b = - 3 verifican b2 = 9 ≠ a .

Recordemos que para dar solución a este problema es que se crean los números complejos; así,

i31.39 =−=− ; un ¡número complejo!!. Conclusión: “toda raíz de índice par y radicando negativo no tiene solución en el campo de los números reales”

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- si a es un número real positivo existen dos números reales b tal que b2 = a. (b2 >0 ; ∀ b)

por ejemplo, si a = 9 tenemos que b = 3 ó b = - 3 verifican que b2 = 9.

Luego, como las definiciones no pueden ser ambiguas, debemos establecer cual de estos dos valores (si el positivo o el negativo) tomamos como raíz cuadrada de nueve. Así, convenimos que: “para índice par y radicando positivo la raíz es el número real positivo que verifica la condición”

Si no estableciéramos esta restricción nos encontraríamos en serios problemas para hacer cálculos donde hubiera raíces de índice par, o para aplicar propiedades de los números reales, aún las más simples.

Una expresión “conflictiva”, que incluso aparece en libros de textos, es ±=9 3.

* ¿Porqué es conflictiva?: porque si de esta expresión leemos que 9 = 3 y 9 = -3, entonces cometemos un error que no es “visible” pero que luego interfiere en la resolución de problemas. ** ¿Porqué es un error? : porque, por la propiedad transitiva de los números reales, de 9 = 3 y 9 = -3 se concluye que 3 = - 3 ; lo cual es ¡ABSURDO!!.

Otro error habitual: simplificar raíz y potencia incorrectamente haciendo aa 2 = * ¿Porqué es un error?: porque involucra un absurdo, aunque este no sea “visible” o inmediata la consecuencia de este error. ¿Dónde está escondido el absurdo?, veámoslo en lo que sigue:

2 = { 2)2(4 2

2)2(4

−=−=

−=

⇒ 2 = - 2 ¡¡ ABSURDO !!!

** ¿Cuál es la forma correcta? : ver la propiedad 4 de las propiedades de las raíces. Propiedades de la raíz:

1.- distributiva respecto del producto nnn b.ab.a =

2.- distributiva respecto del cociente n

n

b

anba =

3.- raíz de raíz q.pp q aa =

4.- raíz cuadrada de potencia cuadrada aa 2 = (valor absoluto de “a” )

Ejercicios: indicar verdadero o falso, justificar la respuesta.

1) baba +=+

2) ba)ba( 2 +=+

3) 2)x1()x1( 22 =−++

Respuestas: son todos falsos, luego en cada caso se justifica con un contraejemplo. 1) ( F) ; dar un contraejemplo.

2) ( F) ; Justificación : a = 4 ; b = -7

2)ba( + = ==−=− 9)3()74( 22 3 a + b = 4 – 7 = - 3

distintos

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3) ( F) ; dar un contraejemplo (ayuda: tomar x mayor que 1; por ejemplo, x = 5 ) En un F, si no se encuentra el contraejemplo, también se puede demostrar con propiedades.

22 )x1()x1( −++ {4.prop

= | 1+ x | + | 1- x | {

.abs.v.prop0x1

1x<−

>

= (1+ x) + [- (1- x)] = 1 + x + (-1+ x ) = 2 x .

* Potencia de exponente fraccionario: qp

a [ a = base ; p/q = exponente ]

Sea “a” un número real ( a ∈ R ) ; “p” y “q” números naturales ( p, q ∈ N);

luego, definimos la potencia de exponente fraccionario, como sigue:

qp

a = q pa

qp

a−

= qp

a

1 ; a ≠ 0

En particular , tenemos que: n aa n1

=

Notas:

- Esta potencia tiene las mismas propiedades que la potencia con exponente entero.

- La raíz n-ésima de un número real la podemos ver como una potencia de exponente fraccionario,

es decir : n1

aan = ; siendo muchas veces esta forma la más conveniente para tratar la raíz .

- Si la base “a” es un número real negativo la potencia de exponente fraccionario existe si y sólo si el denominador de la fracción es impar (pues calcular estas potencias implica calcular una raíz de radicando negativo, la cual no existe si el índice es par). Este hecho tiene una importante consecuencia en el cálculo de potencias fraccionarias: que la propiedad de invertir el orden entre potencia y raíz, no vale siempre. Es decir,

qp

a = q pa = pq )a( vale, sólo si a es positivo ó si a es negativo y q impar .

- ¿ Existen las potencias de exponente irracional ?. Por ejemplo, ¿ podemos calcular π2 ? .

Investigar esta cuestión puede ser un ejercicio muy útil para “crecer” matemáticamente.

Ejercicios:

A) calcular y verificar las siguientes igualdades.

1) 16 0.25 = 2 2 ) 16 - 0.25 = ½ 3) (- 8) 4/ 3 = 16

4) 4132

54

21

=

− 5 ) 5 2)4.4( 4

321

= 2 6) 2)33( 21−

− = 34

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B) En cada caso se indica si la afirmación es verdadera o falsa. Se pide justificar la respuesta.

1) a = 25 ⇒ 5a = ………………………………………….[ V ] 2) x 2 – 25 = 0 ⇒ x = 5 ó x = -5 ……………………………………….….[ V ]

3) 0x.x 52

52

=−

; ∀ x ≠ 0 ; …………………………………….……[ F ]

4) 01x 52

=+ ⇒ x = -1 …………………………………………..[ F ]

5) 01x 52

=+ ; no tiene solución dentro del campo de los números reales. …..[ V ] 6) x 1/ 5 - 10 = 0 ⇒ x = 10 5 ……………………………………….[ V ] 7 ) x p / q - 10 = 0 ⇒ x = 10 q / p ……………………………………….[ V ] 8) 4 x = 2 ⇒ x = ½ ……………………………………….[ V ] 9) 4 x = ½ ⇒ x = - ½ ……………………………………….[ V ] 10) 4 x = 3 ⇒ x = 1/3 ……………………………………….[ F ]

Nota : para justificar el item (10) basta con calcular 4 1/ 3 = 1.58740 ≠ 3 , pero si la consigna fuera , “ hallar x tal que 4 x = 3 ” , ¿cómo se procede?; ¿tiene solución esa ecuación dentro del campo de los números reales?.

La ecuación 4 x = 3 , tiene solución en el campo de los números reales y esta se obtiene aplicando una operación que todavía no hemos introducido: el logaritmo.

En este caso, x = 4log3log = 0.792481. Repasamos entonces esta última operación.

* Logaritmo : bloga [ a = base ; a > 0 ; a ≠ 1 ; b = argumento ]

Dado “b” un número real positivo (b∈ R + ) entonces definimos el logaritmo en base de a de b ,

bloga , según la siguiente regla o ley:

bloga = x a x = b

Propiedades del logaritmo: (en todos los casos la propiedad vale si el logaritmo existe)

1.- logaritmo de un producto log a (b . c) = log a b + log a c 1.- logaritmo de un cociente log a (b / c) = log a b - log a c 3.- logaritmo de potencias log a (b)p = p . log a b 4.- logaritmo de la base log a a = 1 5.- logaritmo de la unidad log a 1 = 0

De estas propiedades básicas se pueden deducir otras igualdades, tales como:

6.- Fórmula del cambio de base: log c b = clogblog

a

a

7.- Logaritmo de una potencia de igual base: log a a x = x

8.- Potencia de un logaritmo de igual base: blogaa = b

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Logaritmos de uso más frecuente.

Logaritmo decimal: a = 10 log b = log 10 b (omitimos la base, esta se sobreentiende)

Logaritmo natural: a = e ln b = log e b ( e es un número irracional, e ≈ 2.71828 )

Estos logaritmos son los que encontramos en las calculadoras.

Notas .

» La propiedad 6 permite calcular logaritmos de cualquier base usando calculadoras; así,

log 0,2 7 = 2.0log

7log = -1. 20906 ( este resultado: ¿es exacto o aproximado?? )

» El logaritmo es una operación que trasciende los métodos del “álgebra”; es decir, no se puede calcular acudiendo sólo a sumas, restas, multiplicaciones o divisiones; de allí que normalmente el logaritmo de un número real resulte un número “irracional” y, por ende, el resultado de la calculadora (-1.20906) no sea el valor exacto sino una aproximación del verdadero valor. Esta aproximación puede ser por “truncamiento” o por “redondeo”; pero, cualquiera sea el caso al poner la aproximación en lugar del valor exacto, introducimos un error .

*¿Porqué ponemos el valor aproximado?: porque si el número es irracional (infinitas cifras decimales no periódicas) es materialmente imposible escribir el valor “exacto” en forma decimal.

*¿Porqué, si es una aproximación, ponemos un “igual”?, porque escribirlo “bien” (log 0,2 7 ≈ -1. 20906) complicaría mucho los cálculos y la resolución de problemas con logaritmos; así, por conveniencia operatoria y teniendo siempre en cuenta que estamos haciendo algo no válido, introduciendo errores de cálculo, acordamos en escribir el signo igual (aunque no sea lo correcto). Ignorar este hecho (que el igual no es tal), puede tener consecuencias “prácticas” realmente dramáticas, particularmente si la “propagación del error” es muy rápida; como muestra el siguiente ejemplo.

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» Vemos así que la existencia de “calculadoras” no nos exime de “pensar”, de conocer las propiedades de los números y saber aplicarlas al momento de hacer cálculos; más aún conocer estas propiedades y las algebraicas es lo que permite evitar este tipo de error cuando ello es posible.

Por ejemplo, si la consigna es: “ calcular x = e ln7 ”, el valor de x puede obtenerse de dos formas:

* sin pensar y usando la calculadora:

7 ln 7 = 1.94591 [ ]→→ redondeado 1.95 e 1.95 = 7. 02868 ( valor aproximado ).

* pensando (aplicando prop. 8): x = e ln7 = 7 ( valor exacto ).

Ejercicios: 1.- Verificar que la relación entre el logaritmo decimal y el natural es:

xln.4343.0xlog10 =

xlog.3025.2xln = (sugerencia: usar la fórmula del cambio de base) 2.- Indicar Verdadero ó Falso , justificar la respuesta:

a) log 2 8 = 3 b) log 2 16 = 4 c) log 2 32 = 5 d) log 2 64 = 6 e) log 3 3 = 1 f ) log 3 81 = 4 g) log 5 5 = 1 h) log 5 625 = 4 luego, calculando lo que haga falta completar las siguientes expresiones con el signo igual o desigual (según corresponda) e informar en una oración , que se puede concluir de cada una de ellas. 1) log 2 (32 + 32 ) log 2 32 + log 2 32 2) log 2 ( 16 - 8 ) log 2 16 - log 2 8 3) log 3 ( 3 . 81 ) log 3 3 . log 3 81 4) log 5 ( 625 / 5 ) log 5 625 / log 5 5 Respuesta . damos la respuesta al ejercicio (d) y (1), las demás son similares. (d) (V) ; log 2 64 = 6 pues 26 = 64 (1) log 2 (32 + 32 ) = log 2 64 = 6 log 2 (32 + 32 ) log 2 32 + log 2 32 log 2 32 + log 2 32 = 5 + 5 = 10 Conclusión : el logaritmo de una suma no es a la suma de los logaritmos.

≠

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Comentarios La larguísima colección de reglas algebraicas que terminamos de repasar, no sólo deben ser ya de tu conocimiento sino que además, para cursar tu primer año, debes tener un dominio absoluto de ellas. Lo más probable es que hayas tenido muchas dudas, que hayas descubierto cosas insospechadas o que te hayas encontrado con cosas que no sabias cómo resolver. También cabe que te alertemos, pues la empresa no es fácil y que tengas éxito o no requiere que te hagas cargo de la situación, que asumas la responsabilidad, porque para poder “subirte al tren del aprendizaje” vas a tener que animarte a capturar el saber matemático. Para ponerte a prueba, para que vos mismo evalúes tus ganas de aprender, aquí va un consejo: “es fundamental para aprender matemática tener conocimiento de todo lo que se desarrolla en la Unidad Nº 3 de este Módulo. Te recomiendo entonces que lo leas atentamente, consultes todo lo que no entiendas, y alcances el dominio de los términos y conceptos que allí se exponen”.