MATEMATICA_FINANCIERA

Pamplona Centro de Educacin Virtual y a Distancia

Programas de Educacin a Distancia

Hugo Fernando Castro Silva Jorge Enrique Tllez Pez

43 Aos Formando Colombianos de Bien

lvaro Gonzlez Joves Rector

Mara Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados

Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educacin Virtual y a Distancia

Universidad de

Matemtica Financiera

Tabla de Contenido Presentacin Introduccin Metodologia UNIDAD 1: Conceptos Fundamentales

Horizontes Ncleo Temtico y Problemtico Proceso de Informacin 1.1 CONCEPTOS

1.1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo 1.1.2 Inters 1.1.3 El Tiempo de una Transaccin 1.1.4 Tasa de Inters 1.1.5 Equivalencias 1.1.6 Lineas de Tiempo y Valor 1.1.7 Transacciones

Proceso de Comprensin y Anlisis Autoevaluacin

UNIDAD 2: Inters Simple

Horizontes Ncleos Temticos y Problemticos Proceso de Informacin 2.1 DEFINICIONES 2.2 EQUIVALENCIA ENTRE VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO

2.2.1 Otra Forma de Hallar la Frmula de Valor Futuro 2.3 CLCULO DEL VALOR PRESENTE 2.4 CLCULO DE LA TASA DE INTERS

2.4.1 Otra Forma de Clculo de la Tasa de Inters 2.5 CLCULO DE TIEMPO DE UNA TRANSACCIN

2.5.1 Otra Forma de Calcular el Nmero de Periodos 2.6 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

2.7 INTERS SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL 2.7.1 Tabla para Calcular el Nmero Exacto de Das entre Dos

Fechas 2.7.2 Frmulas Modificadas para el Clculo del Inters Simple


UNIDAD 3: Descuentos Parciales

Horizontes Ncleos Temticos y Problemticos Proceso de Informacin 3.1 DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL 3.2 DESCUENTO BANCARIO

3.2.1 Pagar 3.2.2 Descuento 3.2.3 Valor Lquido de un Ttulo

3.3 TASA DE INTERS COBRADA REALMENTE EN UN CRDITO BANCARIO

UNIDAD 4: Fijacin de Precios a un Producto y Descuentos Comerciales

Horizontes Ncleos Temticos y Problemticos Proceso de Informacin 4.1 FIJACIN DE PRECIO A UN PRODUCTO 4.2 MARGEN DE UTILIDAD BRUTA SOBRE EL COSTO VS MARGEN DE

UTILIDAD BRUTA SOBRE EL PRECIO DE VENTA 4.2.1 Margen de Utilidad Bruta en Porcentaje

4.3 FIJACIN DE PRECIOS A PRODUCTOS PERECEDEROS 4.4 REBAJAS DE PRECIOS

4.4.1 Descuentos Comerciales 4.4.2 Clculo del Descuento y del Precio Neto 4.4.3 Serie de Descuentos 4.4.4 Descuento Equivalente Sencillo 4.4.5 Descuento por Pronto Pago


UNIDAD 5: Inters Compuesto

Horizontes Ncleos Temticos y Problemticos Proceso de Informacin 5.1 DEFINICIONES 5.2 FRMULAS DEL INTERS COMPUESTO

5.3 FRMULA DEL MONTO A INTERS COMPUESTO O VALOR FUTURO 5.4 CLCULO DEL VALOR FUTURO 5.5 COMPARACIN ENTRE INTERS SIMPLE E INTERS COMPUESTO

5.5.1 Modalidad de Inters Simple 5.5.2 Modalidad de Inters Compuesto

5.6 VALOR FUTURO DE LA UNIDAD MONETARIA 5.6.1 Clculo del Valor Futuro Para N Periodos Mayor que 100 5.6.2 Clculos del Valor Fururo con Periodos de Capitalizacin

Fraccionarios 5.6.3 Clculo del Valor Presente o Valor Actual a Inters

Compuesto 5.7 VALOR PRESENTE DE LA UNIDAD MONETARIA

5.7.1 Clculo de la Tasa de Inters 5.7.2 Clculo del Nmero de Periodos

5.8 TASA DE INTERS NOMINAL Y EFECTIVA 5.8.1 Operaciones en Moneda Corriente 5.8.2 Conversin de Tasas de Inters

5.9 RENTABILIDAD 5.9.1 Rentabilidad Neta 5.9.2 Rentabilidad Real

UNIDAD 6: Series Uniformes o Anualidades

Horizontes Ncleos Temticos y Problemticos Proceso de Informacin 6.1 SIMBOLOGIA 6.2 ANUALIDADES VENCIDAS

6.2.1 Clculo del Valor Futuro 6.2.2 Clculo del Valor Presente

6.3 CLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD 6.4 CLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD 6.5 CLCULO DE LA TASA DE INTERS DE UNA ANUALIDAD 6.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS

6.6.1 Clculo del Valor Presente 6.7 ANUALIDADES DIFERIDAS

6.7.1 Clculo del Valor Presente 6.7.2 Clculo del Valor Futuro 6.7.3 Clculo de la Renta u Cuota

6.8 ANUALIDADES PERPETUAS 6.8.1 Valor Presente de una Anualidad Perpetua Anticipada 6.8.2 Valor Presente de una Anualidad Perpetua por Pagar al Final

de Cierto Nmero de Periodos de Capitalizacin Proceso de Comprensin y Anlisis Autoevaluacin

UNIDAD 7: Gradientes

Horizontes Ncleo Temtico y Problemtico Proceso de Informacin 7.1 VALORES DE LAS ANUALIDADES DE VARIACIN UNIFORME Proceso de Comprensin y Anlisis Autoevaluacin

ANEXO: Instituciones Financieras BIBLIOGRAFA GENERAL


UNIVERSIDAD DE PAMPLONA Centro de Educacin Virtual y a Distancia

1

Presentacin La educacin superior se ha convertido hoy da en prioridad para el gobierno Nacional y para las Universidades Pblicas, brindando oportunidades de superacin y desarrollo personal y social, sin que la poblacin tenga que abandonar su regin para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espritu de las actuales polticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estndares de Calidad en Programas Acadmicos de Educacin Superior a Distancia de la Presidencia de la Repblica, el cual define: Que la Educacin Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por disear ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedaggicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institucin de Educacin Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre s. La Educacin Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo est pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra poblacin, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situacin econmica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educacin y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones y el Centro de Educacin Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participacin activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educacin superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construccin del pas que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visin y misin como reza en el nuevo Estatuto Orgnico: Misin: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visin: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera dcada del siglo XXI, deber ser el primer centro de Educacin Superior del Oriente Colombiano.

Luis Armando Portilla Granados Director CEVDUP



2

Introduccin Con este mdulo se pretende contribuir con la instruccin, que deben recibir los alumnos del programa de Administracion de Empresas, en el rea financiera. Teniendo en cuenta que es el primer curso de la linea de finanzas, en el texto empleamos un lenguaje sencillo y elemental con el propsito de entregar al lector el material, lo ms entendible posible, por supuesto, sin el deterioro del aspecto tcnico propio de las Matemticas Financieras. Tambin, quicimos darle a los temas una orientacin prctica, con el objetivo de motivar a los alumnos a la aplicacin apropiada de los conceptos a casos reales y en asignaturas posteriores del programa, como evaluacin de proyectos y que adems sirva como guia para la solucion de diversos problemas, propios del sector financiero. El mdulo se encuentra dividido en siete unidades, las cuales empiezan con los principios fundadmentales y terminiloga bsica necesaria para comprender las dems unidades, para pasar a un segundo nivel dedicado a los temas de inters simple, descuentos parciales y descuentos comerciales (Unidades II, III y IV), para finalizar con el estudio del inters compuesto, anualidades y gradiantes (Unidades V, VI y VII). Con los temas expuestos se busca que el estudiante domine con propiedad y seguridad, para ello cada unidad cuenta adems de la teora bsica, con el soporte de gran cantidad de ejemplos prcticos y problemas resueltos.



3

Metodologa Antes de entrar a efectuar clculos y realizar operaciones, o aplicar frmulas, debemos tener muy claro el significado de algunos conceptos bsicos, los cuales se van a utilizar en la solucin de todos los problemas de Matemticas Financieras, con los cuales nos vamos a encontrar; de ah la necesidad de tener muy bien entendidos los Principios Y Fundamentos, puesto que su aplicacin deficiente conducir a errores. Llamamos la atencin de nuestro estudiantes en el estudio de los temas siguientes, pues aunque son muy sencillos, son fundamentales en el desarrollo de la asignatura. Es costumbre de estudio entre los estudiantes, ante la propuesta de un problema, inmediatamente inician su desarrollo intentanto aplicar frmulas, sin antes realizar un anlisis de la informacin dada, esto es, revisar los datos del problema a la luz de los principios que rigen las Matemticas Financieras, teniendo en cuenta adems, el significado de cada uno de ellos y las implicaciones y consecuencias que se pueden derivar de los mismos.



4

UNIDAD 1 Conceptos Fundamentales Horizontes El objetivo de este captulo es suministrar la terminologa bsica de la Matemticas Financieras y los conceptos fundamentales que la conforman y sustentan el conjunto de practicas.

Interpretar el valor del dinero en el tiempo. Comprender el principio de equivalencia. Definir e interpretar el concepto de tasa de inters. Calcular el nmero de perodos que tiene una transaccin. Diagramar toda transaccin comercial o financiera. Comprender que es una transaccin Ncleo Temtico y Problemtico Conceptos Proceso de Informacin 1.1 CONCEPTOS 1.1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo Cuando se afirma que: para la cancelacin de una obligacin, debemos hacer un pago de $50.000, y no precisamos la fecha en que debe ocurrir, nuestra aseveracin es deficiente, pues intuitivamente cada uno de nosotros llega a determinar que no tiene el mismo efecto econmico cancelar hoy o hacerlo en fecha posterior; ya que los $50.000 tienen diferentes implicaciones econmicas,



5

dependiendo de la fecha en que se haga la transaccin. O sea, que no es lo mismo cancelarlo hoy que dentro de 6 meses o un ao. Lo anterior, debido a que el dinero tiene su valor, dependiendo de la fecha en que se considera. Si lo estudiamos en fecha posterior, la magnitud ser mayor, puesto que en nuestro sistema econmico aceptamos la capacidad que tiene el dinero de aumentar su magnitud, cuando transcurra el tiempo. Es familiar para nosotros, el hecho de que una inversin hoy, debe aumentar su valor en el futuro, y que solo aquellos casos en que permanece igual o disminuye de valor, son considerados particulares y no atractivas para la inversin. Esto nos lleva a la siguiente preocupacin y es la de relacionar en todo momento las magnitudes (cantidades) con la fecha y asi nuestros datos sern completos. Teniendo en cuenta lo anterior, debemos fijarnos como una norma de trabajo la de siempre indicar toda la informacin del valor de un ingreso o un egreso adems de su magnitud, la fecha en la cual, se efecta; o en otras palabras, siempre debemos indicar el cunto y el cundo. Si cumplimos con ste primer concepto, vamos adelantndonos en el correcto manejo de las bases de la Matemticas Financieras y estaremos cumpliendo con el principio de reconocer el valor del dinero en el tiempo. En consecuencia con lo anterior, debemos observar que no podemos sumar pagos de diferentes fechas puesto que no tienen la misma implicacin econmica. Cuando afirmamos que hoy pagamos $5.000, dentro de tres meses otros $5.000 y dentro de seis meses $12.000, no podemos sumar estos tres pagos ($5.000 + $5.000 + $12.000) y decir que cancelamos $22.000 debido a que estamos asignando el mismo valor a los $5.000 de hoy que dentro de tres meses, lo cual es un error; adems cuando afirmamos que cancelamos $12.000, no le podemos asignar una fecha nica por lo cual no estamos aplicando el principio del alor del dinero en el tiempo. 1.1.2 Inters En el punto anterior tratamos el concepto de inters cuando hicimos notar que no tiene el mismo efecto econmico el realizar una operacin en diferentes fechas; ello se debe a la ocurencia del inters, que se debe interpretar como la utilidad que nos produce el capital cuando lo prestamos a alguien. Esto es similar al arrendamiento que cobramos cuando alquilamos un inmueble. La cantidad que vamos a recibir como interses es funcin (o depende) de la cantidad entregada, as cuando esperamos recibir $3.000 al finalizar cada mes, por concepto del uso que hacen de $100.000 nuestros, fcilmente observamos



6

que si la cantidad prestada hubiera sido el doble ($200.000), debemos recibir $6.000 (el doble ) de interses. A su vez si la cantidad prestada hubiera sido la mitad ($50.000), hubieramos recibido $1.500. Estos dineros (los interses), los vamos a distinguir con I, luego en cada uno de los casos anteriores, vamos a tener I = $3.000, I = $6.000, I = $1.500, respectivamente. Relacionado con lo anterior, tenemos un parmetro muy importante en las Matemticas Financieras y es la tasa de inters, que se conoce como la fraccin entre lo que recibimos como interses I y la cantidad prestada. Si llamamos a sta como VP, vamos a tener que la tasa de inters es igual a los interses devengados sobre el capital prestado, y lo denotamos por i.

JT1 luego VPIi =

En nuestro ejemplo tenemos que recibimos $3.000 de interses (I = $3.000) por el prstamos de $100.000 (VP = $100.000). Luego la tasa de inters es: Lo cual si deseamos expresarlo como porcentaje, lo multiplicamos por 100 y tenemos

i = 0.03 * 100 = 3%

Es importante detenernos un poco en la interpretacin de ste concepto y su notacin, con el fin de buscar claridad y facilidad para su aplicacin. Para el estudiante es frecuente escuchar expresiones de tasas de inters, como porcentaje; por ejemplo afirmaciones tales como:

Caso A: Yo presto mi dinero al cinco por ciento mensual (5 % mensual).

Caso B: Estoy pagando el treinta y seis por ciento anual (36 % anual) Lo que significa en el Caso A que por cada $100 de mi capital recibo mensualmente $5 por interses. En el Caso B, significa que por cada $100 que me presta debo pagar $36 cada ao por concepto de interses. A pesar de que en la transaccin la forma usual de expresarlo es en forma porcentual la tasa de inters, es importante resaltar que en todas las ecuaciones en donde halla que utilizar la tasa de inters (i), sta se deber expresar en su



7

forma decimal. Es por ello que debemos transformar la tasa de inters expresada en forma porcentual a tasa de inters expresada en forma decimal, lo cual obtenemos dividiendo la porcentual entre 100 as:

03,0100

%3 =

En la tabla siguiente podemos observar, la equivalencia entre la tasa de inters en forma porcentual y decimal:

Tasas de Inters Expresada en forma Porcentual

Tasa de Inters Expresada en forma Decimal

2 % 0.02

4 % 0.04

8 % 0.08

16 % 0.16

32 % 0.32

64 % 0.64

128 % 1.28

150 % 1.50

200 % 2.00

La ecuacin de hallar la tasa de inters i = I/VP puede expresarse como I=(iVP), la cual indica que los interses son iguales al resultado de multiplicar la tasa de inters por la cantidad prestada. Ejemplo En el da de hoy, entrego $200.000, esperando recibir al finalizar el ao esta suma, ms los interses. Si la tasa de inters es del 24% anual. Cunto recibir por concepto de interses?. Solucin Identifiquemos las Variables Conocidas y Desconocidas. Sabemos que la cantidad prestada es igual a VP, luego VP=$200.000



8

Que la tasa de inters es del 24% anual, pero de acuerdo con lo explicado anteriormente, debemos expresarla en forma decimal o sea, i = 0.24 anual Lo que nos pregunta el problema es el valor de los interses que lo hemos llamado I = ? Pero sabemos que I = iVP, al reemplazar los valores conocidos,tenemos,

I = (0.24)($200.000) I = $24.000 Se entiende que al finalizar el ao, recibir $24.000 por concepto de interses causados por los $200.000 que entregu como prstamo. Hasta este punto conocemos que la tasa de inters es el porcentaje que se debe pagar cuando utilizamos un prstamo, ahora consideremos el concepto de inters en forma amplia, y veamos que tambin se puede expresar como los rendimientos de una negociacin, como la tasa de inters que se obtuvo por los dineros invertidos. No todas las actividades comerciales se limitan al prstamo de dinero sino a la inversin de una determinada cantidad, esperando recibirla aumentada a medida que pasa el tiempo. La relacin entre los pesos ganados y los pesos invertidos, es desde luego, la tasa de inters que se obtiene en esa inversin. Cada persona en particular, dependiendo de la actividad a que se dedique, obtendr un mayor o menor rendimiento (inters), debido a factores tales como naturaleza del negocio, nivel de riesgo, caractersticas econmicas, habilidades personales,etc. Sin embargo, en determinados momentos, los rendimientos se pueden considerar estables y cada persona tendr una tasa de inters que le rentan los negocios; sta tasa de inters se conoce como la tasa de inters de oportunidad y representa un concepto fundamental para poder comparar las alternativas de inversin, la cual la veremos ms adelante. 1.1.3 El Tiempo de una Transaccin Cuando se realiza una transaccin se puede observar, que el tiempo transcurre, entre el momento en la cual se inicia hasta cuando se termina; a excepcin cuando se realiza de contado (o en la misma fecha).



9

El tiempo que transcurre se puede medir en diferentes unidades, dias, semanas, meses, trimestres, semestres y aos, siendo estos los ms frecuentes. Ahora entraremos a considerar en forma genrica el tiempo y decimos que transcurre en perodos entendindolo como el nmero de veces que la unidad de tiempo se repite (o esta contenida). As, si realizamos una negociacin desde el primero de enero hasta el treinta de septiembre, el tiempo comprendido lo podemos expresar en diferentes perodos, dependiendo de la unidad de tiempo deseado. Observar:

Si la unidad es das, tenemos N = 270 Si la unidad es semanas,tenemos N = 36 Si la unidad es meses, tenemos N = 9 Si la unidad es semestres, tenemos N = 1.5 Si la unidad es aos, tenemos N = 0.75

En el cuadro anterior vemos que el nmero de perodos (llamado N), puede tomar valores enteros, fraccionarios y menores o mayores que la unidad. Definiciones Inters: es el precio que se paga por el uso del dinero que se toma en prstamo durante un perodo de tiempo determinado. Puede definirse tambin como la utilidad o ganancia que genera un capital o como el rendimiento de una inversin. Se distingue con el smbolo I. Valor Presente: es la cantidad de dinero que se toma o se entrega en prstamo, se denomina igualmente capital o principal, se simbolizar VP. Valor Futuro: es el valor presente ms el inters. Se representa por VF. Por definicin, VF = VP + I. Periodo de Liquidacion de Inters: es el intervalo de tiempo durante el cual el principal gana inters. Los perodos pueden ser diversos (diarios, semanal, mensual, trimestral, semestral, anual,etc). El nmero de perodos se representa con, N. 1.1.4 Tasa de Inters Es la relacin entre el inters y el valor presente. Generalmente se expresa en porcentajes. Se indica con:



10

ip. 100*VPIip =

La notacin, ip, significa: Tasa de Inters Peridica. En ella, el subndice p, que representa la periodicidad, tiene gran importancia, puesto que siempre indicar que, en cualquier problema de Matemtica Financiera, se debe poner a concordar el perodo de aplicacin de la tasa de inters dada con el perodo en que se halla dividido el tiempo total de la operacin financiera, antes de aplicar algunas de las frmulas utilizadas en el curso, as por ejemplo: si los perodos definidos son meses y la tasa dada es anual, se debe transformar, sta, en una tasa mensual antes de iniciar la aplicacin de frmula alguna; si los perodos son semestrales y la tasa es mensual, previamente, la tasa mensual debe convertirse en una semestral. Los mtodos indispensables para realizar las conversiones requeridas lo veremos en clases posteriores. Lo anterior se resume en la siguiente Regla Fundamental: El primer paso del proceso de solucin de todos los problemas de Matemticas Financieras, debe ser el de poner en concordancia el perodo de aplicacin de la tasa de inters con el perodo en que se halla dividido el tiempo total de la operacin financiera. Las variables hasta aqu definidas (I, VP, VF, N, ip ), constituye el fundamento de la Matemtica Financiera. Se observar, luego que las frmulas para Inters Simple y Compuesto con algunas excepciones, son funciones de estas variables. 1.1.5 Equivalencias Entramos a estudiar otro fundamento de la Matemticas Financieras. Observamos en el ejemplo que para nosotros es indiferente $200.000 de hoy a $260.000 al finalizar el ao, ($200.000 de prstamo + $60.000 de interses), teniendo una tasa de inters del 30% anual. En ste ejemplo, aparece la equivalencia entre estos dos valores de distintas magnitudes y en fechas diferentes, pues tiene el mismo efecto econmico. Observemos que para que exista equivalencia debemos tener definida la tasa de inters con la cual se est realizando. Si cambia la tasa de inters ya no se conserva (no permanece la equivalencia) este concepto de equivalencia, unido al



11

del valor del dinero con respecto al tiempo, son las bases de las Matemticas Financieras, conceptos estos que sern utilizados en todos los problemas. As, cuando estamos intersados en cambiar una obligacin de hoy por un conjunto de otras en el futuro; estamos planteando la equivalencia entre diferentes valores en fechas distintas. Es el caso cuando un bien lo compramos a crdito; all, estamos haciendo equivalente el valor de hoy (de contado) el conjunto de pagos futuros. 1.1.6 Lneas de Tiempo y Valor Existen tcnicas apropiadas para la solucin de problemas, cada una orientada hacia un caso particular; una de ellas es la representacin grfica que en nuestro caso la denominaremos como Lneas de Tiempo y Valor. Que tiene como objetivo representar grficamente la informacin del problema, sus datos, a un diagrama que nos permite visualizar que variables conocemos y controlar la solucin, variable a calcular; dado el grado de dificultad de los problemas que a considerar, lo cual van aumentando, se hace indispensable acudir a su representacin grfica. La representacin de las Lneas de Tiempo, la iniciamos trazando una lnea horizontal que nos muestra el tiempo que dura la transaccin, a esta lnea la dividiremos en el nmero de unidades de tiempo, de acuerdo a la informacin del problema o sea que vamos a trabajar en perodos. Si tomamos el ejemplo anterior la lnea de tiempo ser dividida en meses, as: Hasta aqu hemos tenido en cuenta nicamente el tiempo; incluyamos los valores diferenciando entre un ingreso (recibimos dinero) y un egreso (efectuamos un desembolso). Para efectos de la lnea de tiempo y valor vamos a considerar la parte superior para los ingresos, representandolo con una flecha hacia arriba y la parte inferior para los egresos representandolos con flechas hacia abajo y denotaremos con lneas verticales y longitudes proporcionales a las magnitudes de las operaciones.

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100 1111 1122



12

Ejemplo El primero se abril, recibo en prtamo $200.000 de un banco Comercial y me comprometo a cancelar con cuatro cuotas una cada trimestre, por valor de $60.000. Hagamos su representacin grfica con lneas de tiempo y valor Solucin Como la negociacin dura un ao, cada trimestre ocurre un pago; debemos trazar una lnea horizontal dividida en 4 perodos (trimestres). El perodo cero equivale a la fecha de hoy (1 de abril), el perodo uno corresponde al 1 de julio, el segundo perodo a 1 de octubre, el tercero el 1 de enero y el cuarto el 1 de abril. Ahora Consideremos los Ingresos y Egresos: Nosotros recibimos $200.000 luego se debe considerar como un ingreso, las 4 coutas con que nosotros vamos a cancelar corresponde a egresos; grfiquemos teniendo en cuenta la fecha (o perodo) en el cual se realiza: El grfico refleja que aqu estamos cumpliendo con los principios a los cuales nos hemos referido, los cuales dicen que a cada operacin, adems de conocer por cunto se realiza, tambien debemos saber su fecha, o sea cundo. Tambien se afirma que a la tasa de inters cobrado por el banco, es equivalente para nosotros recibir $200.000 hoy a cambio de 4 pagos cada uno en trimestres posteriores de $60.000 cada uno.

$$220000..000000

TTrriimmeessttrreess (($$6600..000000))

00 11 22 33 44



13

Punto de Vista del Banco 4 Como complemento podemos entrar a discutir el mismo problema, pero ahora planteado desde el punto de vista del banco. Aplicando el mismo proceso, observamos que el Banco tiene hoy un egreso de $200.000 y a cambio recibe durante los prximos cuatro primeros trimestres la suma de $60.000. Representacin grfica Como norma de trabajo, se recomienda a los alumnos, en que una vez tenga el enunciado del problema, traslade los datos a un diagrama de lnea de tiempo. 1.1.7 Transacciones Formas de Realizarlas Toda persona natural o jurdica se ve en forma continua en la necesidad de adquirir bienes, los cuales conllevan a que se encuentre en la decisin de comprar o arrendar. Si considera la opcin de compra, la forma como realice los pagos, puede variar desde los establecidos por la costumbre propia de la actividad comercial o por una modalidad nuestra de acuerdo con una situacin particular. Al analizar, las modalidades que actualmente tenemos, se presentan: Contado: cuando efectuamos la totalidad del pago en el momento de recibir el bien. Credito: Se pueden presentar las siguientes modalidades:

$$ 6600..000000 $$ 6600..000000 $$ 6600..000000 $$ 6600..000000

$$ 220000..000000



14

Con cuota inicial (CI) y el saldo en N cuotas iguales. Con cuota inicial y el saldo en un slo pago (tambien conocido por 2

contados). Con cuota inicial y el saldo en cuotas perodicas con dobles pagos en

determinadas fechas. Sin cuota inicial y el valor del saldo en cuotas iguales

CCII

nn

00 nn

CCII

CI

nn

00 nn



15

Sin cuota inicial y el saldo en cuotas peridicas que aumentan el mismo valor en cada una

Proceso de Comprensin y Anlisis Construir los diagramas de lneas de tiempo y valor para los siguientes problemas: Hoy recibo $450.000 que me comprometo a cancelar con 4 cuotas trimestrales

de $120.000, siendo la primera dentro de 3 meses. Solucin Como los pagos los vamos a realizar cada 3 meses, es conveniente utilizar el trimestre como unidad de perodo. Como hoy recibo $450.000, estos corresponden a un ingreso en la fecha, o sea, en el perodo cero. Las 4 cuotas trimestrales de $120.000, cada una corresponde a egresos nuestros y que ocurren dentro de un perodo (o sea 3 meses), la primera cuota y luego cada trimestre (cada perodo) una cuota. Representacin grfica Los ingresos los graficmos hacia la parte superior, y los egresos hacia la parte inferior vamos a tener la siguiente grafica:

$$445500..000000

$$112200..000000 $$112200..000000 $$112200..000000 $$112200..000000

00 nn



16

El diagrama de lneas de tiempo y valor muestra que la ltima cuota ocurre en el perodo 4, esto es, dentro de 12 meses trmino de cancelar la deuda. Por la compra a crdito de un electrodomstico que tiene un valor de contado

igual a $210.000, me exigen el 10% de cuota inicial y el saldo lo puedo cancelar con 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500

Solucin Conocemos que el electrodomstico tiene un valor en la fecha, igual a $210.000, lo cual significa que si hoy recibo el electrodomstico, es equivalente a obtener un ingreso (hoy) por valor de $210.000. Esto es independiente de si lo compramos de contado o a crdito. La forma de pago me define los egresos (desembolsos) que debo hacer en el futuro. El diagrama de lneas de tiempo y valor muestra que la ltima cuota ocurre en el perodo 4, esto es, dentro de 12 meses trmino de cancelar la deuda. Como los pagos peridicos van a ser mensuales, es conveniente definir el perodo en meses. Veamos los egresos

- La cuota inicial es del 10% de $210.000, luego hoy debo hacer un pago de ($210.000 * 0.10)=$21.000.

- Las 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500. Aun cuando no lo define explcitamente el enunciado, fcilmente podemos considerar que la primera cuota ser dentro de un mes y as continuaremos hasta cancelar la nmero 12.

Representacin grfica:

CCuuoottaa == $$1188..550000

$$221100..000000 -- $$2211..000000

11 1122



17

Deseo vender un local en un centro comercial por $4.180.000 de contado o a crdito de acuerdo con el siguiente plan: Cuota inicial del 35 %, saldo en 5 aos cancelando $70.000 mensuales, ms cuotas extras cada 6 meses por valor cada una de $250.000

Solucin Si vendo el local, es igual a entregar en la fecha un equivalente de $4.180.000, que es su valor, luego este sera el valor del egreso. A cambio voy a recibir:

- La cuota inicial igual al 35 %, o sea, que hoy tengo un ingreso igual a $1.463.000*($4.180.000*0.35).

- El saldo en 5 aos con cuotas mensuales de $70.000 cada una. En total nmero de cuotas es 5 * 12 = 60.

- Las cuotas extras de $250.000 cada 6 meses, luego en total son 2 * 5 = 10 cuotas.

Al pasar sta informacin al diagrama de lneas de tiempo,tenemos:

$$11..446633..000000

$$225500..000000

$$7700..000000

$$44..668800..000000

6600 66 1122

$$225500..000000 $$225500..000000



18

El estudiante puede observar que hemos utilizado un artificio al graficar los 60 perodos, recurriendo a la interrupcin intermedia, con lo cual queremos mostrar que continua lo mismo, a lo mostrado al iniciar y al finalizar la lnea de tiempo. Llamamos nuevamente la atencin del estudiante en la correcta aplicacin del concepto del valor del dinero en el tiempo. Utilicemos los problemas 1, 2, 3 que acabamos de graficar. En el problema 1, nosotros no podemos afirmar que cancelamos el total de $480.000, puesto que estaramos sumando pagos de diferentes fechas. En el problema 2, tampoco podemos afirmar que cancelamos por el saldo (12*18.500)=$222.000, por la misma razn anterior, y En el problema 3, no podemos decir que recibimos por el saldo:

60 cuotas de $70.000 = $4.200.000

cuotas de $250.000 = $2.500.000

Un total de $6.700.000 Cunto cancelamos en los problemas 1 y 2? y Cunto recibimos en el problema 3?. Lo aprenderemos a calcular en las unidades siguientes; por ahora, lo importante es saber que estas sumas no la podemos efectuar. Autoevaluacin Almacen La Piata negocea con la fbrica de juguetes El Nio el 1 de

agosto del presente ao, $2.000.000 en productos navideos, los cuales espera obtener como producto de sus ventas unos ingresos de $1.500.000 el 15 de Diciembre y de $1.900.000 el 31 de diciembre del mismo ao.

- Hallar el nmero de perodos entre la compra y la primera venta, expresados en: Dias, Semanas, Quincenas, Meses, Trimetres.

- Hallar el nmero de perodos entre la fecha de compra y la venta, expresado en: Dias, Semanas, Meses, Semestres, Aos.

- Hallar el numero de periodos entre la primera y segunda venta, expresados en: Das, Semanas, Meses.

-- Graficar en un diagrama de tiempo y valor la transaccin.



19

En el ao de 1994, febrero 10 compre un vivienda usada por valor de $12.000.000, a los dos meses ms tarde le efectue algunas reparaciones menores que ascendieron a $1.200.000 el 15 de noviembre del mismo ao, la vendi y la cancelaron conforme al siguiente acuerdo:

Cuota inicial de $5.000.000 y 3 cuotas cada una por valor de $3.000.000 a recibir a 60,90 y 120 das, despes de la venta.

- Hallar el nmero de periodos entre la fecha de compra y la venta, expresando en: Das, Semanas, Meses, Semestres, Aos,

- Hallar el nmero de peiodos entre la fecha de las reparaciones y el ltimo pago, expresados en: Meses, Bimestres, Trimestre, Semestres, Aos.

Si usted comienza a ahorrar y efecta cinco depsitos de $50.000 por ao en

una cuenta que paga el 24% de inters. Cunto dinero se habr acumulado inmediatamente despus de haber hecho el ltimo pago?. Elabore el diagrama de tiempo y valor.

Supongamos que usted quiere hacer un depsito total de $50.000 hoy en una

cuenta que paga el 18 % de inters anual y usted se propone retirar una cantidad final de ao de $10.000 durante cinco aos, a partir del ao entrante. Al final del sexto ao, piensa cerrar la cuenta retirando los fondos restantes. Defina las variables y representelas grficamente.

La Compaia El ambiente invirti $1.500.000 en un nuevo compresor de

aire hace siete aos. El ingreso anual del compresor era de $350.000. Durante el primer ao se gastaron $30.000 de mantenimiento y este costo aumento cada ao en $10.000. La compaa piensa vender el compresor con fines de recuperacin al final del del ao prximo (ao 8) en $300.000. Represente grficamente la transacin y elabore una tabla donde especifique el comportamiento de los flujos.



20

UNIDAD 2 Inters Simple

Horizontes Calcular el valor presente equivalente a un valor futuro. Calcular los interses causados en una transaccin comercial o financiera. Calcular los valores relacionados en las ecuaciones de equivalencia. Utilizar las tablas para hallar el tiempo entre fechas. Desarrollar habilidades y destrezas para solucionar problemas comerciales y

financieros bajo la modalidad de inters simple.

Hallar los valores de los diferentes elementos que conforman las operaciones que se efectan con la modalidad de inters simple.

Identificar el inters simple y sus variantes. Diferenciar las variables que intervienen en el clculo del inters simple. Identificar los conceptos matemticos de valor futuro y valor presente. Calcular el valor futuro equivalente a un valor presente. Ncleos Temticos y Problemas Definiciones

Equivalencia entre Valor Presente y el Valor Futuro

Clculo del Valor Presente

Clculo de la Tasa de Inters

Clculo del Tiempo de una Transaccin

Ecuaciones de Equivalencia

Inters Simple Exacto y Comercial



21

Procesos de Informacin 2.1 DEFINICIONES Se efectua una operacin con Inters Simple cuando durante todo el tiempo que dura la transaccin solo el capital genera interses, independiente de si estos se retiran (se cancelan) o no. El valor al finalizar la transaccin sera igual al capital , en el caso de que se retiren los inters o ser igual al capital , ms la suma de los interses peridico causados y no retirados. Se observa como su principal caracterisitica es que el capital permanece invariable y, por tanto , es la misma cantidad la que genera los inters. Ejemplo Se hace un prestamo de $1000, al 35% anual. Que inters simple anual se debe pagar por dicho prestamo al finalizar el ao Solucin. Representacin grfica, Con base en la definicin, el inters que debe pagarse en un ao ser:

350$10035*000.1 ==I

Este inters, se obtuvo al multiplicar el capital o valor presente por la tasa de inters. Lo cual se puede generalizar con la siguiente frmula:

ipVPI *=

II ==??

$$11..000000

II == 3355%%

11



22

Sin embargo, esta frmula slo permite calcular el inters para un perodo. Si el capital continua en prstamo, en cada perodo, deber pagarse idntica suma como se ilustra para el ejemplo con la siguiente lnea de tiempo: Se puede observar, que el inters devengado, en los 2 primeros aos, es igual a:

700$2*350$ ==I As mismo para N perodos, el inters ser:

NipVPI **= Donde; inters de un perodo ipVP *= Con esta frmula y las presentes definiciones, se puede desarrollar otra frmulas y determinar la manera de calcular cada una de las variables. Valor Presente (principal o presente): es el valor de un bien o de una obligacin medida en pesos de hoy, o sea en el momento en que iniciamos la operacin. Lo denominamos VP. Valor Futuro (monto): es el valor de un bien o de una obligacin, medida en pesos en una fecha posterior, la cual estar n perodos adelante, lo llamomos VF. 2.2 EQUIVALENCIA ENTRE VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO Recordar que ya estudiamos el concepto de equivalencia, pues bien, aqui se iniciar su aplicacin, la cual ser permanente durante todo el curso.

VVPP == $$11..000000

11 22 NN--11 NN

II==33550000 II==335500 II==335500 II==335500



23

Simbologa:

VP =valor en pesos que recibimos hoy.

VF =valor en pesos de nuestra obligacin dentro de n perodos (o sea el valor a cancelar en el futuro)

N = nmero de perodos.

ip = tasa de inters simple peridica. Es importante que el estudiante tenga en cuenta la relacin existente entre ip = la tasa de inters simple peridica y m = el nmero de perodos. Puesto que en todas las expresiones con que vamos a trabajar, estos dos parmetros deben corresponder a las mismas unidades de tiempo (perodos). As, si tenemos que la tasa de inters es mensual, esto nos obliga a expresar a m como el nmero de meses, a su vez, si la tasa de inters es anual debemos expresar m como el nmero de aos. Pero no confundirlo con N = n * m , que consiste en que n es nmero de aos y m el nmero de meses en que se pagan o se reciben interses. Esta observacin es fundamental y debemos tenerla presente cada vez que vayamos a realizar un clculo. Dibujemos un diagrama de las lneas de tiempo para este caso. Hoy vamos a recibir $VP luego son ingresos y en el futuro (en el perodo N), vamos a cancelar $VF luego es un egreso, entonces. Nuestro inters ahora, radica en hallar el valor futuro (VF) conociendo la tasa de inters peridica, el nmero de perodos y el valor de la deuda (valor presente). Al finalizar el 1er perodo tenemos la obligacin: VP + ipVP Al finalizar el 2.perodo tenemos la obligacin: VP+ipVP+ipVP = VP+2ipVP

$$VVPP

$$VVFF

11 NN



24

Al finalizar el 3er perodo tenemos la obligacin: VP+2ipVP+ipVP = VP+3ipVP Y continuando vemos que cada perodo se aumenta en ip, de donde observamos que al llegar al perodo N vamos a tener VP + NipVP Luego el valor de VF = VP + Nip VP, al factorizar VP, es:

)*1( NipVPVF += La anterior expresin, afirma que el valor futuro VF es igual (o equivalente) al producto del valor presente (principal) VP *(1 + Nip), lo cual significa que econmicamente tiene igual efecto el recibir $VP hoy o recibir $VF dentro de N perodos, cuando hacemos la transaccin a la tasa de inters simple por perodo ip. Ejemplo Hallar el valor a cancelar dentro de 10 meses, por un prstamo de $80.000 recibido el dia de hoy, si la tasa de inters simple es de 1.5% mensual. Solucin Contruyamos el diagrama de lneas de tiempo; Identifiquemos la informacin del problema, con los parmetros que conocemos:

VP = $80.000

ip = 0.015 mensual

N = 10 meses Aqu observamos que tanto la tasa de inters como el tiempo (perodos) estn dados en las mismas unidades (meses).

VVPP==8800..000000

11 1100

VVFF ==??



25

VF=? valor a conocer Pero sabemos que: VF = VP( 1 + Nip) entonces reemplazamos VF = $80.000 (1 + 10*0.015) = $92.000 Aqu estamos afirmando que $80.000 de hoy son equivalentes a $92.000, dentro de 10 meses, cuando la tasa de inters simple es del 1.5% mensual. Como se puede observar, si cambiamos la tasa de inters, la equivalencia sera con otros valores, ya no igual al calculado anteriormente. As, si el inters es ahora el 3% mensual tenemos que VF = $80.000 (1 + 10 *0.03) = $104.000 Ejemplo Hallar cunto debemos cancelar al finalizar el ao, si el 1 de enero nos prestan $410.000 cobrndonos una tasa de inters simple anual del 36%. Solucin Representacin grfica Se conoce cunto nos prestan y la tasa de inters. Nos preguntan el valor a cancelar, lo cual es igual a la suma de la cantidad prestada, ms los interses causados en el ao. Si presentamos esta informacin por medio de ecuaciones, ser:

Cantidad a Cancelar = Cantidad Prestada + interses Reemplazando tenemos: Cantidad a Cancelar = $410.000 + interses

VVPP == $$441100..000000

11

VVFF == ??



26

Pero los interses: I = ip*VP I = (0.36)(410.000) = $147.600 Reemplazamos: Cantidad a Cancelar = $410.000 + 147.6000 = $557.600 Se sugiere al estudiante, que compruebe este resultado, utilizando la expresin:

VF = VP (1 + Nip)

2.2.1 Otra Forma de Hallar la Frmula del Valor Futuro Por definicin: VF = VP + I y como I = VP*ip*N Luego, VF = VP + VP * ip * N Se factoriza VP, )*1( NipVPVF += Ejemplo Hallar los valores futuros sucesivos de una deuda de $500.000, en los primeros cinco aos con acumulacin de interses al final de cada uno de los aos y a una tasa de inters del 24% anual.

Ao 0:

Ao 1: VF = $500.000 (1 +0.24 * 1) VF = $620.000

Ao 2: VF = $500.000 (1 +0.24 * 2) VF = $740.000

Ao 3: VF = $500.000 (1 +0.24 * 3) VF = $860.000

Ao 4: VF = $500.000 (1 +0.24 * 4) VF = $980.000

Ao 5: VF = $500.000 (1 +0.24 * 5) VF = $1.100.000

VVPP==$$550000..0000

11 22 33 44 55

VVFF==?? VVFF==?? VVFF==?? VVFF==?? VVFF==??



27

2.3 CLCULO DEL VALOR PRESENTE En algunos casos, nosotros conocemos el valor futuro y deseamos hallar el valor presente: en ste caso nos basamos en el mismo anlisis anterior y partimos de la expresin VF = VP (1 + Nip), solo que el valor a hallar es el valor presente VP y para ello, despejamos el valor de VP, dividiendo la expresin entre (1 + ipN) la cual nos da:

)*1( NipVFVP +=

Ejemplo Se conoce por medio de un documento que nos comprometimos a cancelar despus de ao y medio un valor de $109.000, con una tasa de inters simple es del 28% anual. Hallar el valor inicial de la obligacin. Aqui tenemos que VF=$109.000, ip= 0.28 anual, luego el tiempo lo debemos expresar en aos, entonces N=1.5 aos

Sabemos que: )*1( Nip

VFVP +=

56,760.76$)42,01(

000.109$)28,0*5,11(

000.109$ =+=+=VP 2.4 CLCULO DE LA TASA DE INTERS En los apartes anteriores, aprendimos el clculo del valor futuro, conociendo la tasa de inters peridica, el valor presente y el nmero de perodos.

VVPP==??

11 aaoo 11..55 aaooss

VVFF==$$110099..000000



28

Tambin aprendimos a calcular el valor presente a partir del valor futuro, la tasa de inters peridica y el nmero de perodos. Resumiendo lo anterior, lo obtendremos as: Desconocido )*1( NipVPVF +=

Conocido )*1( Nip

VFVP += Observemos que podemos calcular un valor desconocido a partir de otros 3 conocidos. Pues bien, de los 4 parmetros que intervienen en estas expresiones [VF, VP, ip, N] podemos calcular uno de ellos si conocemos los 3 restantes. O sea que podemos calcular la tasa de inters simple peridica si conocemos los otros 3 parmetros [VF, VP, N]. Para su clculo tomamos una de las expresiones anteriores (que podr observar el estudiante, son fundamentalmente las mismas) y por medio de la aplicacin de los principios algebricos, vamos a tener:

)*1( NipVPVF += )*1( NipVPVF += Nip

VPVF *1 =

De aqui podemos despejar la tasa de inters simple peridica y tenemos:

)1(*1 =VPVF

Nip

Por medio de sta expresin, podemos calcular la tasa de inters simple peridica, conociendo el valor presente, valor futuro y el nmero de perodos. Al igual como se explic en el apartado anterior, se debe cumplir la relacin entre la tasa de inters peridica (ip) y el nmero de perodos (N). As cuando reemplazamos en la anterior frmula a N aos, entonces vamos a obtener la tasa de inters simple anual y cundo reemplazamos a N por el nmero de meses, esto nos define que la tasa de inters peridica ser mensual. Ejemplo Hallar la tasa de inters simple peridica que obtendremos cuando invertimos $10.000 y al cabo de 11 meses podemos retirar $11.650.



29

Solucin Datos informacin conocida:

Los $10.000 invertidos correspondiente a un valor presente, luego; VP = $20.000

Los $24.650 que podemos retirar representa el valor futuro, luego; VF = $24.650

El tiempo de la negociacin es de 11 meses, luego; N = 11 meses Para hallar la tasa de inters tenemos:

Al reemplazar tenemos: 021136,0)12325,1(*111)1

2000024650(*

111 ===ip

Como al reemplazar el valor de N lo hicimos en el nmero de meses, esto nos define que la tasa calculada es mensual. Entonces ip = 0.021136 mensual o expresada en forma de porcentaje tenemos: ip = 2.113% mensual Ejemplo Se compra un lote de terreno por valor de $7.000.000 esperando venderlo dentro de un ao en $9.000.000. Cul es la tasa de inters que rinden los dineros all invertidos? Solucin Datos

VP= $7.000.000

VF= $9.000.000

N= 1 ao

i= ?

La tasa de inters simple: 2857,0)1000.000.7000.000.9(*

11 ==ip

Que teniendo en cuenta que reemplazamos a N por su valor en aos, esta tasa es anual y si la expresamos en forma porcentual tenemos: i = 28,57% anual.

)1(*1 =VPVF

Nip



30

2.4.1 Otra Forma de Clculo de la Tasa de Inters La tasa de inters de una transaccin tambin se puede hallar partiendo del supuesto que conocemos el inters devengado durante todo el tiempo que dure la transaccin financiera. Frmula: NipVPI **= Conociendo [VP, N, I], tenemos:

La tasa de inters peridica NVP

Iip*

= Ejemplo Por un depsito de $500.000, la corporacin Financiera de Occidente liquida $10.000 de inters mensual. Qu tasa de inters reconoce dicha corporacin?. Solucin: Datos

VP=$500.000

ip=?

I=$10.000

Frmula: NipVPI **=

Realizando la conversin: NVP

Iip*

= Datos I = $10.000

VP = $500.000

N = 1

Se reemplaza, %202,01000.500

000.10 ===ip Que es la tasa mensual reconocida por la C.F.O.



31

2.5 CLCULO DEL TIEMPO DE UNA TRANSACCIN Nmero de Perodos En la anterior seccin estudiamos que a partir del conocimiento de 3 parmetros, podemos hallar el restante. Es asi que si conocemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de inters, podemos hallar el nmero de perodos. Debemos observar que se cumple la relacin de concordancia entre la tasa de inters y el nmero de perodos, puesto que si utilizamos la tasa de inters anual, el valor de N ser expresado en aos. Tomando la expresin:

)*1( NipVPVF +=

obtendremos :

)1(*1*1)*1( ===>===>+=VPVF

ipNNip

VPVFNip

VPVF

Ahora lo que nos intersa es hallar el nmero de perodos,entonces:

)1(*1 =VPVF

ipN

Por medio de esta expresin podemos calcular el nmero de perodos, conociendo el valor futuro, el valor presente y la tasa de inters. Ejemplo Una cuenta de ahorros reconoce el 3% mensual de inters simple. Depositando hoy $280.000. Cunto tiempo debo esperar para retirar $448.000 ?. Solucin El depsito inicial, es el valor presente, luego: VP = $280.000

El valor que deseo retirar significa que es el valor futuro: VF = $448.000

La tasa de inters es : ip = 0.03 mensual



32

Conocemos que la expresin para calcular el nmero de perodos es:

)1(*1 =VPVF

ipN

Que al reemplazar tenemos:

perodosN 20)1000.280000.448(*

03,01 ==

Como utilizamos la tasa de inters mensual, este nmero de perodos corresponde a meses. Luego N = 20 meses, o sea, que debemos esperar ao y ocho meses para poder efectuar ese retiro. 2.5.1 Otra Forma de Calcular el Nmero de Periodos Partiendo del concepto que conocemos el inters que se va a devengar, durante el perodo de la transaccin, tenemos: Inters devengado: NIPvpIVPVFI **==

Conociendo, (I, ip, VP), tenemos: ipVPIN*

= Ejemplo La empresa Noel emiti bonos en 199x, con una tasa de inters del 23% anual y liquidacin mensual de inters. Si Mara Cristina Olaya compr un bono de $5.000 y obtuvo $5.750 por concepto de inters en todo el plazo. Cul fu el perodo de redencin, en aos, del bono?. Solucin I = $5.750

VP = $5.000

ip = 23%



33

Representacin grfica

Se reemplaza; aosN 523,0*000.5$

750.5$ == Que es el plazo de redencin del bono. Perodo de redencin es el tiempo entre la fecha de compra y la de vencimiento del bono. 2.6 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA Con el nombre de ecuaciones de valor, conoceremos aquella transaccin en la cual en una fecha dada, se van a cambiar un un conjunto de valores por otro conjunto, hacindolo a inters simple. La fecha en la cual se determina la equivalencia se denomina fecha focal. Siendo sta la fecha a donde debemos trasladar todos los valores, aplicndoles a cada uno su correspondiente equivalencia. Al afirmar que se aplica el principio de equivalencia, estamos indicando que debemos llevar a ella los valores equivalentes. As, si los valores estn dados antes de la fecha focal entonces debemos llevarlos a su valor futuro. Si es una fecha posterior a la fecha focal, se debe trasladar a sta por medio del valor presente. Son de gran utilidad ste tipo de ecuaciones de valor cuando tenemos necesidad de refinanciar obligaciones, cambiar planes de pagos, etc, o en general, deseamos realizar diferentes transacciones a inters simple, en una misma fecha (llamada fecha focal).

VVPP==55..000000

NN==??

II==55..775500



34

AAbbrriill 11..

Ejemplo Asumanos que nosostros tenemos 3 documentos para cobrar as: $50.000 para el 1 de mayo, $95.000 para el 1 de junio y $250.000 para el 1 de julio y dadas nuestras necesidades de efectivo, nos vemos en la opcin de entregarlos a un intermediario financiero que como producto de sus actividades, obtiene rendimiento del 3% mensual. Canto dinero esperamos recibir si la negociacin la ealizamos el 1 de abril. Solucin Los 3 documentos por cobrar son:

$50.000 el 1 de mayo

$95.000 el 1 de junio

$250.000 el 1 de julio La fecha focal 1 de abril y la tasa de inters ip = 0.03 mensual. Observemos que vamos a cambiar 3 ingresos en las fechas dadas por recibir el 1 de abril, que es la cantidad que vamos a determinar, y lo llamamos $x. El diagrama de lneas de tiempo para los 3 documentos: Y vamos a hallar el valor equivalente de $x en 1 de abril, as: Planteamos la ecuacin de valor llevando todos los valores equivalentes a la fecha focal (1 de abril). Como nuestros pagos se efectan en fechas posteriores a la fecha focal, debemos trasladarlos a los meses anteriores; por tanto los pagos se consideran valores futuros y debemos hallar su valor presente equivalente. La ecuacin que nos permite hallar el valor de X la planteamos as:

MMaayyoo 11 JJuunniioo 11.. JJuulliioo 11..

$$5500..000000 $$9955..000000 $$225500..000000



35

X=VP 1 Obligacin + VP 2 Obligacin + VP 3 Obligacin Teniendo en cuenta que todos estos valores presentes deben calcularse para el 1 de abril.

Sabemos que: )*1( Nip

VFVP += Hallemos el valor presente equivalente para cada una de las obligaciones. Primera obligacin

VF = $50.000 que debemos hallar su equivalente del 1 de mayo al 1 de abril.

N = 1 mes

ip = 0.03 mensual

al reemplazar, 69,543.48$)03,0*11(

000.50 =+=VP Segunda obligacin

VF = $95.000 que son del 1 de junio, debemos hallar su equivalente en el 1 de abril.

N = 2 meses ip = 0.03 mensual

Entonces, 64,622.89$)03,0*21(

000.95$ =+=VP Tercera obligacin

VF = $250.000 del 1 de julio y hallar su euivalente al 1 de abril.

N = 3 meses ip = 0.03 mensual

entonces, 79,357.229$)03,0*31(

000.250$ =+=VP Ya tenemos los valores presentes equivalentes de todas las obligaciones, en el 1 de abril, luego reemplazamos en: X = $48.543,69 + $89.622,64 + $229.357,79 = $367.524,12



36

Este resultado indica que nosotros debemos recibir el 1 de abril $367.524,12 a cambio de 3 obligaciones futuras y estaremos reconociendo una tasa de inters del 3% mensual al intermediario financiero. Ejemplo Con la misma informacin del problema anterior, hallar el valor del pago, pero tomando como fecha focal el 1 de junio, considerando que no hemos podido hacer efectiva (cobrar) la primera obligacin. Solucin Veamos el diagrama de lnea de tiempo Al plantear la ecuacin de valor para el 1 de junio observamos que el pago de $50.000 del 1 de mayo es un valor presente respecto de su valor equivalente junio (en fecha posterior) o sea que debemos pasar de un presente a un futuro. Con los pagos de junio y julio son valores futuros con respecto a la fecha focal del 1 de junio. Entonces debemos calcular su valor presente equivalente. La ecuacin que nos permite calcular la suma X a recibir el 1 de Junio as: X=Valor Equiv.1 Obligacin+Valor Equiv.2 Obligacin+Valor Equiv.3 Obligacin Primera obligacin VP=$50.000

N=1(de mayo a junio),

MMaayyoo 11 JJuunniioo 11 JJuulliioo 11

$$225500..000000 $$9955..000000 $$5500..000000

VVPP==??



37

ip=0.03 mensual

VF = ? el valor de junio.

Pero, VF=VP(1 + ip * N) = 50.000(1 + 1*0,03)=$51.500 Segunda obligacin Sabemos que VF = $95.000 y al llevarlos a junio, tenemos N = 0.

VP = $95.000 . = $92.233,oo (1 + 1 * 0.03)

Tercera obligacin Tenemos VF = $250.000 y al llevarlos a junio tenemos N=1 meses.

VP = $250.0000 = $242.718,44 (1 + 1 * 0.03)

Como todos los valores ya estn expresados en valores equivalentes para el 1 de junio, podemos reemplazarlos en la ecuacin, as:

X = $51.500 + $95.000,00 + $242.718,44 = $389.218,44. El anterior clculo nos indica que el primero de junio debemos recibir $389.218,44 por nuestras 3 obligaciones. Deber notar el estudiante que un valor puede corresponder en unos casos a un valor presente, y ese mismo en otros pueden ser un valor futuro como lo tenemos en la primera obligacin que en este segundo ejemplo fue considerado como presente y el primera era futuro. En conclusin podemos decir que un valor dado ser un presente, cuando deseamos trasladarlo para una fecha posterior (o hallarle su valor futuro equivalente) y ser un futuro cuando deseamos hallar para una fecha anterior su valor equivalente (o calcular su presente). Representacin grfica

$$5500..000000

11 ddee mmaayyoo

11 ddee jjuunniioo

VVFF == ??



38

Para este valor de $50.000, si deseamos hallar su valor en fecha posterior entonces este ser presente as:

VP = $50.000 y el valor a calcular igual a

VF = VP(1 + Nip) Pero si lo que deseamos es hallar su equivalente en fecha anterior, entonces este ser un futuro VF = $50.000 y el valor a calcular ser: VP = ?

)*1( NipVFVP += = $ 50.000

2.7 INTERS SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL Hasta el momento hemos tenido en cuenta que el tiempo se expresa en aos y meses y buscando la concordancia que debe existir entre tiempo y tasa de inters que se exprese en la misma unidad de medida, sin embargo en todas las transacciones comerciales y financieras no siempre es as, a veces se expresa en das, y es, lo que vamos a estudiar en este aparte y que da origen a dos formas de ver el inters simple, en inters simple exacto e inters simple comercial. Medidas del Tiempo La unidad de tiempo para las operaciones financieras y comerciales es un ao que equivale a 365 das agrupados en 12 meses as: 7 de 31 das que son enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre; 4 de 30 das que son abril, junio, septiembre y noviembre; y uno de 28 das; hacen excepcin a lo anterior los aos bisiestos que tienen 366 das y se presentan cada 4 aos; en ellos el mes de febrero tiene 29 das, las anteriores unidades miden el tiempo exacto o calendario. Ao Comercial Con el fin de facilitar los clculos, se acostumbran suponer el ao de 360 das dividido en 12 mese de 30 das; esta modalidad recibe el nombre de ao comercial. Equivalencia de decimales de ao en das y meses: es frecuente en los problemas comerciales y financieros que el tiempo venga expresado en decimales de ao y es necesario convertir los decimales a meses, das; para efectuar su conversin en el caso en que los decimales venga en ao comercial se procede as;



39

S es a meses se multiplica por 12 S es a das por 360 En caso en el que los decimales expresen ao calendario, se multiplican por 365 das. Ejemplo 2.736 aos comerciales

2 se refieren a los aos 0.736 es el decimal, se procede, 0.736 * 12 = 8.832 donde 8 es meses 0.832 * 30 = 24.96 donde 24 es das Respuesta: 2 aos, 8 meses y 24 das Ejemplo 1.7894 aos calendario

1 se refiere a ao completo 0.7894 que es el decimal, se procede, 0.7894 * 365 = 288.131 das Respuesta: 1 ao y 288 das Equivalencia de das a decimales de ao. Para efectuar la conversin, primero se determina si va a ser ao comercial o ao calendario. S es ao comercial, tomamos el nmero de das que hay entre fechas y lo dividimos por 360 das, as; S el tiempo es 195 das ao comercial, tenemos; 195 360 = 0.54167 ao comercial S es ao calendario, tomamos el nmero de das que hay entre fechas y lo dividimos por 365 das, as; si el tiempo es 278 das ao calendario, tenemos; 278 365 = 0.76164 ao calendario. Clculo del tiempo exacto entre dos fechas. Cuando se va a calcular aos completos basta con indicar que son aos calendarios - 365 das ao calendario y 366 das aos bisiestos -, pero para perodo menores de un ao implica el



40

dispendioso trabajo de contar los das con ayuda de un calendario o utilizar una de las Tablas Financieras. Sin embargo para fines explicativos adjuntamos uno de los modelos con fines didcticos. 2.7.1 Tabla para Calcular el Nmero Exacto de Das entre Dos Fechas

(Aos no bisiestos. No incluye el da inicial)

Ene Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

El uso de la presente tabla en el clculo del tiempo exacto es la siguiente:

Conocido el mes inicial de la transaccin, lo ubicamos en la columna de la izquierda que corresponde a meses.

Conocido el mes final de la transaccin, lo ubicamos en la parte horizontal y superior de la tabla.

Seguir a lo largo de la lnea del mes inicial de la transaccin, hasta llegar al nmero exacto que est en la columna encabezada por el mes final de la transaccin. Esta cantidad ser el nmero exacto de das entre las mismas fechas de los dos meses. Por ejemplo; del 10 de febrero al 10 de noviembre, tenemos que el tiempo es, 273 das.

Si el da en el mes final de la transaccin, est despus del da inicial del mes, se le agrega la diferencia al nmero de das de la tabla. En caso contrario, la diferencia se le resta del nmero de das que muestre la tabla.



41

Ejemplo Da final est antes del da inicial.

De marzo 15 a agosto 8, tenemos:

De marzo 15 a agosto 15 = 153 das

De Agosto 8 a agosto 15 = 7 das Se le resta: 153 das - 7 das = 146 das Ejemplo Da final est despus del da inicial

De Abril 5 a Octubre 17, tenemos:

De abril 5 a ocutbre 5 = 183 das

De octubre 5 a octubre 17 = 12 das Se le suma: 183 das + 12 das = 195 das Por cada ao completo, se le agrega 365 das. Si el perodo de tiempo incluye el mes de febrero que corresponde a un ao bisiesto, se le agrega 1 da al nmero total. 2.7.2 Frmulas Modificadas para el Clculo del Inters Simple El efecto de que el tiempo se exprese en das exactos entre fechas, hace que se presente algunas modificaciones de forma en las frmulas ya conocidas y da origen a los formas de interpretar y calcular el inters simple. Inters Simple Exacto Se calcula sobre la base del ao de 365 das (366 aos bisiesto), luego en estos casos las frmulas quedaran as; Inters devengado:

ersanualtasafechasentreexactotiempoVPI int*)365

(* = Valor futuro:

)int*365

1(* ersanualtasafechasentreexactotiempoVPVF +=



42

Valor presente:

Inters Simple Comercial u Ordinario Se calcula sobre la base del ao de 360 das y cada mes de 30 das, luego en estos casos, la frmula quedaran as; Inters devengado:

Valor futuro:

Valor presente:

Proceso de Comprensin y Anlisis Vendemos hoy a crdito unos muebles por valor de $250.000, con el plazo de

pagarlo dentro de 9 meses. Si el almacen cobra una tasa de inters simple del 24 % anual. Cunto dinero recibiremos en el momento de hacer el cobro?.

Solucin El valor de los muebles asciende a $250.000 y se debe considerar como el valor presente, y es un egreso, luego VP = $250.000 El tiempo para la cancelacin es de 9 meses, luego, N = 9 meses La tasa de inters es del 24 % anual, pero como debe haber concordancia con la expresin del tiempo, que en ste ejemplo es mensual, debemos convertirla a meses, o sea, tenemos, i = 24% que equivale a 1 ao, pero el ao tiene 12 meses La tasa de inters mensual sera: i := 0.24 / 12 = 0.02 sea 2% mensual.

ersanualtasafechasentreexactotiempoVFVP

int*365

1 +=

ersanualtasafechasentreexactotiempoVPI int*)360

(* =

)int*360

1(* ersanualtasafechasentreexactotiempoVPVF +=

ersanualtasafechasentreexactotiempoVFVP

int*360

1 +=



43

Lo que nos pregunta, el ejercicio es, cul ser el valor a recibir, en esta caso es el Valor futuro; VF = ?. Representacin grfica Aplicando la frmula

000.295$)02,0*91(000.250)*1( =+=+= NipVPVF El Sr. Jaime Lpez estima que su finca puede ser negociada dentro de 4 aos

por $30.000.000. Cunto debe ser lo mximo en lo cual el debe pedir por su finca, si la tasa de inters en el mercado es del 32 %.

Solucin Datos

El valor de la finca dentro de 4 aos es de $30.000.000, luego se debe considerar como el valor futuro, VF = $30.000.000 Tiempo durante el cual va a tener la finca es de 4 aos, luego, N = 4 aos La tasa de inters que rige es del 32 % anual, como debe haber concordancia con la expresin del tiempo que es forma anual, en este caso, ambos vienen expresado en la misma unidad de medida, i = 32 % tasa de inters anual

Lo solicitado en el ejemplo es el valor presente, VP = ?.

VVpp== $$225500..000000

11

99

VVFF==??



44

Representacin grfica

Frmula: 461.538.11$)32,0*51(

000.000.30)*1(

=+=+= NipVFVP

Un amigo tiene la suma de $3.500.000 y se encuentra ante varias alternativas

de inversin, la cual debe seleccionar la mejor, con la asesora de Uds.:

Alternativa A: comprar de contado un terreno de engorde por $3.500.000, esperando que dentro de 3 aos lo pueda vender en $4.800.000. Alternativa B: dejar ste dinero en su cuenta de ahorros, que le reconoce una tasa de inters simple anual del 28 %.

Solucin Alternativa A Comprar de contado el terreno, su valor es de $3.500.000, lo cual debe considerarse como el valor presente, luego, VP =$3.500.000 Espera venderlo dentro de 3 aos, ste es el tiempo de la transaccin, luego; N = 3 aos Espera recibir dentro de 3 aos, por la venta del terreno, la suma de $4.800.000, que se debe considerar como el valor futuro,VF = $4.800.000 En esta alternativa desconocemos la tasa de inters que se gana, por lo tanto, es la incognita a resolver.

VVPP==??

11 55

VVFF==3300..000000..000000



45

Representacin grfica Frmula: )*1( NipVPVF +=

despejamos ip, tenemos: NVPVPVFIP

*=

%38,121238,03*000.500.3

000.500.3000.800.4 ===ip Alternativa B

Continuar con el dinero en el Banco, los $3.500.000, que viene a ser el valor presente, VP = $3.500.000 El Banco nos paga su tasa de inters, que es el 28 % anual. Comparando Alternativas Si comparamos la alternativa A, que nos da una tasa de inters anual del 12.38 % como ganancia, con la alternativa B, que dice que ganamos en el Banco 28%, es fcil deducir, que la mejor alternativa es la B, porque produce una tasa de inters mayor. Otra forma de resolver este problema, es comparar lo que produce la alternativa B o sea hallar el valor futuro y compararlo con el valor futuro de la alternativa y aquel que tenga el mayor valor futuro es la mejor alternativa.

VVPP==33..550000..000000

11 22 33

VVFF==44..880000..000000



46

El 1 de abril se consign $500.000 en una entidad bancaria que reconoce el 2.5 % de inters simple mensual. El 1 de noviembre efectuo otro depsito por valor de $200.000. En que fecha puedo retirar $950.000?.

Solucin Consignacin efectuadas:

1 de abril $500.000 1 de Noviembre $200.000 Tasa inters pagada por el banco forma mensual es 2.5% Representacin grfica En el grfico nos indica que conocemos el valor futuro, VF=$950.000, pero desconocemos el tiempo en la cual sucede, por lo tanto no conocemos la fecha, o sea el valor de N. Con este fin simplificamos un poco el problema, en el sentido de hallar los valores acumulados a noviembre 1, que vendra hacer un valor futuro. Frmula: 500.787$000.200)025,0*71(000.500000.200)*1( =++=++= NipVPVF O sea que los $500.000 consignados el 1 de abril y los $200.000 consignados el 1 de noviembre, nos da un valor futuro de $787.500, por cuanto son pesos de la misma fecha. Datos VP = $787.500 im = 2.5 % VF = $950.000

$$220000..000000 $$550000..000000

VVFF== 995500..000000

NNoovv 11 AAbbrriill 11

NN



47

Representacin grfica Frmula: VF = VP ( 1 + Nip) Despejamos N, tenemos,

2539,8025,0*500.787

500.787000.950*

===ipVPVPVFN

N = 8,2539 donde 8 son meses y los decimales se convierten a das, as; 0,2539*30 = 7 das. Respuesta A partir del 1 de diciembre se le agrega 8 meses y 7 das, lo que nos da, julio 8 del ao siguiente. Un vendedor de nuestro mercado en Pamplona, al momento de adquirir un

lote de maz, encuentra que existen 3 alternativas:

Altenativa A: Comprarlo de contado por valor de $1.000.000 Altenativa B: Un pago inicial de $400.000 y otro dentro de 6 meses de $800.000. Altenativa C: Un pago nico al cabo de 5 meses por $1.100.000.

Pero al decidir, recuerda que el gerente de su banco, le dice que si lo depsita en la cuenta de ahorros le va a rentar un inters simple del 3 % mensual, con disposicin inmediata. Fue buena o mala decisin?, Cunto gano?, Cunto perdi?.

NNoovv 11

$$778877..550000

NN

VVFF==995500..000000



48

Para resolver, el problema, procedamos por pasos, as: Para escoger si fue buena o mala la decisin, calculamos la tasa de inters que nos cobran al escoger la Alternativa C y la comparamos con la que ganamos al dejar la plata en el banco. Y efectuamos el siguiente anlisis; si nos cobran una tasa de inters mayor que la ganada por el vendedor (pagada por el banco), esto quiere decir que perdimos dinero y por ende no fue buena la decisin, si por el contrario, nos reconocen una tasa de inters mayor que la pagada por nosotros, tenemos que entre estas dos, fue buena la decisin, el mismo anlisis lo haramos con las otras alternativas. Solucin Clculo de la tasa de inters que nos cobran al elegir la Alternativa C Datos Por los datos del problema, conocemos que el valor de contado del lote de maz, en el da de hoy, es de $1.000.000 y este valor es equivalente dentro de 5 meses a $1.100.000. O sea

VP = $1.000.000

N = 5 meses

VF = $1.100.000

ip = ? Representacin grfica Frmula: )*1( NipVPVF +=

Despejando ip: %202,05*000.000.1

000.000.1000.100.1*

====ipVPVPVFip

VVPP==11..000000..000000

VVFF==11..110000..000000

55 00



49

Esto nos indica que al elegir la Alternativa C nos cobran una tasa del 2 % mensual, que al compararla con la ganada por el vendedor en el banco que es de 3 %, nos indica que la decisin es buena. Calculemos la Alternativa B y veamos cuanto nos cobra. Datos En esta alternativa tenemos, que nos cobran una valor hoy de $400.000 y un segundo pago adicional dentro de 6 meses por $800.000. Al analizar esta alternativa, vemos que lo que realmente nos da a crdito es la diferencia entre el pago de contado y la cuota inicial, o sea; (1.000.000 - 400.000 = 600.000). Estos $600.000 que viene a ser el valor presente es equivalente a $800.000 dentro de 6 meses, y a una tasa de inters mensual que es la incognita a averiguar. VP = $600.000

VF = $800.000

N = 6 meses

ip = ? Representacin grfica Frmula: )*1( NipVPVF +=

Despejando ip: %55,50555,06*000.600000.600000.800

*====

NVPVPVFip

Esto significa que la tasa que estamos pagando por cancelar bajo esta modalidad es del 5.55 % la cual es mayor a la que estamos ganando en el banco del 3 %. Por lo cual si la aplicamos, la decisin es bastante mala.

VVPP==660000..000000

VVFF==880000..000000

66

IImm==??



50

Un artculo vale $50.800 al contado. Un comprador conviene pagar $25.000 al contado y el resto a 90 das, con un recargo del 6 % sobre el precio de contado. Qu tasa de inters simple anual paga ?.

El inters que se devenga en esta transaccin, es lo mismo que se considera como el recargo por la venta a plazos, lo cual lo calculamos, as;

Recargo por ventas = 50.800 * 0.06 = $3.048

Solucin Datos I = $3.048

VP =$50.800 - 25.000 = 25.800

N = 90 das

ip = ? Frmula: I = VP * N * ip

Despejando ip: %26,474726,0

36090800.25

048.3*

====NVP

Iip 7.

El 15 de febrero se firm una letra de $780.000 con el 30 % de inters. En

qu fecha los interses sern de $92.000 ?. Datos

VP = $780.000

I = $92.000

i = 30 % anual Fecha inicial: febrero 15 N = ? fecha final = ? Frmula: I = VP * N * ip

Despejando N: aosNVP

IN 39316,030,0*000.780

000.92*

===



51

Convertidos a das, tenemos: 0.39316 * 360 = 141 das La fecha final ser, utilizando la Tabla financieras, tenemos que el tiempo transcurrido desde 1 de enero a 15 de febrero, corresponde a 46 das ms los 141 das en que se devenga interses, nos da 187 das que ubicados en la tabla respectiva, corresponde a la fecha del 6 de julio. Siendo la tasa de inters bancario del 28 %. Qu oferta es ms conveniente

por la venta de un carro ?.

Alternativa A: 6.500.000 de contado. Alternativa B: $3.000.000 al contado y el saldo en dos pagars; el primero de $2.500.000 a 90 das y el segundo de $1.700.000 a 150 das.

Solucin Datos La Alternativa A, nos sirve de referencia, para poder efectuar las comparaciones, sobre la base de los $6.500.000 Calculamos el valor presente total de la Altenativa B reduciendo los dos pagars al da de hoy, para ello conocemos

Cuota Inicial = $3.000.000

1 cuota a 90 das por $2.500.000

2 cuota a 150 das por $1.700.000

tasa de inters que rige el 28 %. Representacin grfica

$$33..000000..000000 $$22..550000..000000 $$33..770000..000000

9900 115500

VVFF==??



52

50,836.858.6$)360*150*28,01(

000.700.1)360/90*28,01(

000.500.2000.000.3 =++++=VP

Como el punto de es escoger el cliente que ms d, tenemos que si lo vendemos al contado recibimos $6.500.000 pero si lo vendemos a crdito y sus valores a precio de hoy, nos da $6.858.836.50, mejor la Alternativa B porque nos dan un valor mayor. Una persona presta $300.000 el 5 de Enero de un ao por el trmino de 120

das al 24 %; al cumplirse el plazo de la deuda recibe el dinero y sus interses; el 5 de mayo presta la suma total recibida al 2.5 % mensual por el trmino de 90 das; cumplido el plazo recibe el prstamo y sus interses. Hallar:

- El monto de los interses recibidos durante todo el tiempo de la transaccin.

- La fecha de pago del ltimo prstamo.

- El monto a recibir en la fecha final de la transaccin.

- La tasa de inters que efectivamente gano, desde la fecha inicial y final de la transaccin.

Solucin Datos El ejercicio comprende dos etapas. La primera etapa est comprendida desde el 5 de enero hasta 120 das

despus,

VP =$300.000

Fecha inicial: 5 de enero

N = 120 das

i = 24 % anual

VF = ? La segunda etapa, comprende del 5 de mayo hasta 90 das despus.

VP = Valor que se halla en la primera parte como VF=?

N = 90 das

i = 2.5 % mensual

VF = ?.



53

Representacin grfica Clculo de la Primera Parte Hallar el Valor futuro, lo que se recibe el 5 de mayo, tenemos

000.324$)360/120*24,01(000.300$)*1( =+=+= NipVPVF Clculo de la Segunda Parte Se presta la suma anterior el mismo da pero a 90 das con la tasa de inters del 2.5 % mensual, hallar el valor futuro. Como la tasa de inters es mensual, la pasamos a anual, ia = 0.025 * 12 = 0.30

300.348$)360/90*30,01(000.324 =+=VF

Respuestas El monto recibido en las transacciones, es

300.48$000.300300.348 === VPVFI La Fecha del ltimo pago es;

- Fecha final = fecha inicial + tiempo

- Fecha final = tiempo expresado en la tabla de fecha inicial (125) ms los 90 ltimos das es igual 215 das, que corresponde en la tabla al 3 de agosto.

El monto o valor futuro a recibir es de $348.300 La tasa que efectivamente se gano, se calcula as,

$$330000..000000

EEnneerroo 55

++ 112200

VVFF==??

IImm==22,,55%%



54

%60,27276,0360/210*000.300

300.48*

====NVP

Iip

El Sr. Rodrguez vende su vehculo Mazda y recibe $6.000.000 en efectivo;

$4.500.000 en una letra con vencimiento a 120 das y tasa de inters mensual del 3 %, pagadera al final del plazo. Como requiere del efectivo, decide proponerle a un amigo la transferencia de la letra, quien afirma que, l en cualquiera de sus negocios gana el 4 %. Cunto est en capacidad de ofrecerle el amigo?.

Solucin Este ejemplo, comprende dos partes. Primera Parte Hallar el VF de la letra o sea en su vencimiento. Representacin grfica Convertimos la tasa de inters mensual a anual: ia = 0.03 * 12 = 0.36

000.040.5$)360/120*36,01(000.500.4 =+=VF Segunda Parte Hallar el valos presente, lo que ofrece el amigo conociendo que la tasa de inters que desea ganar es el 4 % mensual y el valor de la letra al vencimiento es $5.040.000.

VVPP==$$44..550000..00000000

112200

ii==3366%%

VVFF==??



55

Representaciin grfica

Frmula:

)*1( NipVFVP +=

Conocemos que la tasa de inters es mensual, la pasamos a anual: ia = 0.04 * 12 = 0.48

50,827.344.4$)360/120*48,01(

000.040.5 =+=VP Respuesta El amigo, le ofrece por la letra al comprarla en el da de hoy, la suma de $4.344.827.50, lo que indica que esta perdiendo la diferencia entre $4.500.000 - $4.344.827.50 = $155.172.50. Autoevaluacin Calcular el tiempo exacto entre las fechas que se indica.

- De Enero 5 a Diciembre 2.

- De febrero 12 a Mayo 15 de un ao bisiesto.

- De Marzo 6 a Octubre 17.

- De Abril 26 a Noviembre 26.

- De Enero 1 a Diciembre 31. Hallar la fecha final, conocida la fecha inicial y el nmero de das hasta la

fecha de vencimiento.

- El da 3 de abril se firm una letra a 150 das, hallar la fecha final.

VVFF==$$55..004400..000000

112200

VVPP==??

ii==44%%



56

- Hallar la fecha final de vencimiento de una pagar firmado el 23 de mayo a 75 das calendario.

- La fecha de vencimiento de un pagar firmado el 15 de octubre de 1994 a 240 das calendario.

- Una letra fu firmada el 22 de junio de 1994 con vencimiento a 150 das; el deudor lo pago el 29 de diciembre del mismo ao; hallar el nmero de das en que se anticip o se excedi en el pago.

- Un contrato se firm el 10 de enero de 1994 con vencimiento dentro de 180 das, fue pagado 0.365 aos calendarios ms tarde: Determinar la fecha de vencimiento, la fecha de pago yla fecha en que se anticip o se excedi en el pago.

Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de

los siguientes pagars. (Utilize las tablas para las fechas).

VVaalloorr NNoommiinnaall FFeecchhaa IInniicciiaall PPllaazzoo TTaassaa

$$ 4455..000000 2222 ddee aabbrriill 55 mmeesseess 2244%% $$ 112200..000000 1144 ddee AAggoossttoo 33 mmeesseess 2288%% $$ 9977..000000 33 ddee eenneerroo 112200 ddaass 3300%% $$ 114455..000000 2244 ddee jjuulliioo 117755 ddaass 2266%%

Calcular el inters Simple comercial de:

- $70.000 durante 6 meses 18 %.

- $66.000 durante 75 das al 24 %.

- $35.000 durante 120 das al 30 %.

- $80.000 al 21 % en el tiempo transcurrido entre el 5 de Febrero a 27 de Septiembre del mismo ao.

- $50.000 durante 2 aos al 0.1 % mensual

- $68.000 durante 3 aos y 4 meses al 0.5 % mensual.

- $35.000 durante 4 aos y 2 meses al 12 % semestral.

- $40.000 durante 7 meses y 15 das al 2,5 $mensual. Calcular el inters simple exacto de:

- $56.000 durante 205 das al 30 %.

- $67.000 de el 12 de abril al 20 de octubre al 28 %.

- $100.000 durante 4 meses al 21 %.

- $240.000 de el 20 de Julio a 28 de octubre al 2 % mensual.



57

Jaime Silva pag $560.000 por una letra de $430.000 firmado al 5 de Enero de 1.994 con el 3 % de inters. En que fecha lo pag?.

El propietario de un inmueble recibe el 15 de julio de 1.994 las tres ofertas

que se describen. Cul es la mejor, si el rendimiento es de 26 %?

- $300.000 al contado y un pagar al 20 de Noviembre por $600.000

- $500.000 a 120 das y $450.000 a 180 das

- $200.000 al contado y una letra con interses del 24 % por $770.000 a 90 das.

El Sr. Pez recibi una letra por valor de $500.000 que gana interses del 21

%, el da 1 de enero a 180 das. El 15 de abril del mismo ao lo ofrece al Sr. Wilsn que desea ganar el 24 %. Cunto recibe por el pagar el Sr. Pez.?.

Una persona solicita a un Banco un crdito a inters simple, el cual fue

concedido por valor de $300.000 a 3 meses, con el 28 % de inters. Si el crdito tiene una clusula penal que, en caso de mora, se cobrar el 36 % por el tiempo que exceda el plazp fijado. Qu cantidad paga la persona 80 das despus del vencimiento?, Cul es el inters real que pago la persona por el crdito.?

El Sr. Garcia tiene dos pagars por cobrar, el primero dentro de 3 meses por

valor de $70.000 y el segundo por $200.000 dentro de 6 meses. A su vez, tiene un crdito que debe cancelar con 3 cuotas de $65.000 cada una dentro de 1, 3, 5 meses respectivamente. Hallar el valor del saldo (positivo o negativo) dentro de 6 meses, si la tasa de inters simple es del 2.5 % mensual.

El primero de agosto consigno $300.000 en una entidad bancaria que

reconoce el 3 % mensual simple. El 1 de diciembre hago otro depsito por valor de $500.000. En qu fecha puedo retirar $1.250.000 ?.

Cunto tiempo debo esperar para que se dupliquen una inversin en una

corporacin financiera que paga el 3 % mensual simple?. El 1 de enero dispongo de $350.000, el 1 de junio de $450.000 y el 1 de

Agosto de $150.000. Si cada uno de estos dinero los consigno, en sus fechas, en un Banco que me paga el 2.7 % mensual simple. Cunto dinero puedo retirar el 30 de junio del ao siguiente?



58

Deseo disponer, al finalizar al ao de $800.000. Cunto debo depositar el 1 de Enero en una entidad bancaria que reconoce el 2.8 % mensual ?.

Hace un ao dispona en mi cuenta de ahorros la suma de $780.000 y se me

presentaba las siguientes opciones.

- Continuar con mi cuenta de ahorros que me pagan el 30 % anual.

- Comprar un saldo de mercancas por este valor, que a precios de hoy valen $1.100.000.

Despus de analizarlo, me decid por la primera opcin. Fue buena o mala mi decisin?, Cunto gan o perd con respecto a la sgunda alternativa?

La empresa donde trabajo tiene las siguientes deudas por pagar; $2.000.000

que se vencen hoy, $3.000.000 con fecha de vencimiento dentro de 4 meses, $6.000.000 que se vencen dentro de 9 meses. Y teniendo en cuenta la disponiblidad del flujo de caja, deseo hacer un pago hoy de $7.000.000 y otro dentro de 9-10 meses. Cunto debo pagar en esa fecha, si los interses de negociacin pactado son del 2.8 %?.

El Gerente del Almacen La Garantia hace un estudio de sus cuentas por cobrar

y cuentas por pagar y encuentra lo siguiente:

Cuentas por Pagar: Factura #125: Del 1 de Marzo por valor de $3.000.000 a una tasa de inters simple del 24 % anual y para cancelarla dentro 6 meses ms tarde.

Factura #126:

Documents

MATEMATICA_FINANCIERA