Contenido Orgenes de la cultura hind.Sistema de numeracin decimal.Operaciones bsicas.Literatura matemtica y sus autores

Orgenes de la civilizacin hindMohenjo-daro y Harappa (3.000 A.c.) en el valle del Indo.Contemporneas de Egipto y Mesopotamia. Destruidas hacia el 1.300 A.c. Por los arios.Escribieron los vedas (Rig veda, Sama veda, Ayur veda y Atarva veda) periodo vedico.Implementaron el sistema de castas.

Sistema de numeracin decimalMohenjo-daro (palotes)poca Asoka (kharoshti)BrahmiGwalior

Sistema de numeracin decimalPeriodo guptaNagari

Cdigo de escritura numrico

EjemploEl numero 4320.000 se lee como:

Viyat ambaraakashaSunyayamaramaveda0000234

Ventajas del sistema de numeracin decimalTiene una base decimal.Una notacin posicional.Smbolos para los numerales bsicos.

Conjuntos numricosNaturales. 1234= 4321Enteros. 4321Fracciones

Decimales

Adems trabajaron las series numricas, la mas conocida es la que aparece en la historia de Lahur Sessa, el legendario inventor del ajedrez. La serie es: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, Donde cada termino representa la cantidad de granos de arroz que el rey Iadava le habia prometido a Sessa por cada cuadro del tablero de ajedrez. Dicha promesa nunca pudo ser cumplida por que la cantidad de granos era de: 18 446. 744 073. 709 551. 615Cantidad que no se podra obtener sembrando solo arroz en toda la india durante 100 aos.

Sunya (el vaco)La base fundamental de la cultura hind es la religin.Dentro de ella el concepto de vaco es muy importante.Hacia el siglo VI aparece Siddharta Gautama (Buda)Enseo que las personas sufren por el deseo.Para liberarse deban abandonar toda condicin particular.As se deba llegar a un estado de vacuidad para unificarse con el todo (NIRVANA)El budismo fue muy influyente en la India, de all que no es raro que despus fuera inventado un smbolo numrico para el vaco.

Saban que noventa y cinco sumado con cinco da como resultado 46?

Operaciones bsicasSuma: es igual que como la usamos actualmente.Ej.: Tatra tiene (buda, mano) dinares y su amigo Bhata le paga (sentidos) Cunto tiene Tatra?

46

95 5

Resta: charya tiene (buda, brazos, luna) dinares y paga (Krishna, sol) Cunto le queda?471

921 81 +

Con enteros: Mumba le debe (buda, vamana) dinares a su amigo akrya, si le paga (mano) Cunto queda debiendo? 45

95 5

Aryabhata fue el primer matemtico en sumar y restar fracciones usando mnimo comn mltiplo, tal como se hace hoy en da:Sumar 3/5 con 2/4 3 2 Yu 5 4Mcm (5,4) = 20 y amplificando fracciones se obtiene: 12 10 Yu pha 22 20 20 20

Multiplicacin De nmeros compuestos por dos dgitos.Gomutrika (trayectoria de la orina de la vaca)Gelosia (llamada as por los europeos, debido a su parecido con las rejillas de madera de las iglesias entre los siglos XIV y XV en Italia)

De nmeros compuestos por dos dgitos.Primero se hace 2x7 y se escribe debajo.Luego 4x3.Despus se multiplica en x y los resultados se colocan debajo.Se suman los resultados y solo hay que llevar cuando se hace la suma.

Gomutrika (Brahmagupta)Multiplicar 235 por 264. 2 235 6 235 4 235 _________ 470 1410 940 __________ 62040

Gelosia Los matemticos hindes a partir del siglo V, efectuaron la multiplicacin por el procedimiento conocido con el nombre de cuadrculas. Ej. multiplicar Multiplicar 6 358 por 547Es llamada errneamente multiplicacin musulmn.

6 5 3 8 56 538 por 547 47

6 5 3 8 7

4

5

6 5 3 8 7

4

542

6 5 3 8 7

4

542 5 3 1 2 6 5 4 2 0 2 2 1 2 3 0 3 5 1 5 2 0 4

6 5 3 8 7

4

542 5 3 1 2 6 5 4 2 0 2 2 1 2 3 0 3 5 1 5 2 0 46753682

6 5 3 8 74542 5 3 1 26753682 6 5 4 2 0 2 2 1 2 3 0 3 5 2 5 1 0 4El resultado se lee de izquierda a derecha as: 6538 x 547 = 3 5 7 6 2 8 6

Por ejemplo:multiplicar 537 por 24Para lo cual construimos la cuadrcula siguiente:

53724

53724

53724102416082210

5372410241608221012888

5372410241608221012888Luego 537 x 24 = 12 888

Con fracciones: el manuscrito Bhaskshali muestra operaciones con fracciones como las siguientes:

Divisin (galera)Mtodo para dividir similar al que usamos hoy en da.Llega a occidente gracias al contacto de los europeos con los rabes (cruzadas)

Dividir 44.977 entre 382 (por el mtodo moderno y por galera. 44977 382 382 117 677 382 2957 2674 283

382 44977

67 382 44977 1 382

29 675 382 44977 11 3822 38

28 293 675 382 44977 117 38224 387 26

Con fracciones: en el manuscrito Bhaskshali se muestra de la siguiente forma:

Donde el smbolo es bha o parte

Radicacin El manuscrito Bhaskshali muestra una formula para hallar las races cuadradas de nmeros que no son cuadrados perfectos.

Donde x es el numero a radicar, y n el cuadrado anterior mas cercanoP ej. Encontrar la raz de 10,5X= 10,5 n = 3 por que 3x3 = 9

Matemticos y literatura matemtica.La escritura vedica es principalmente religiosa y ceremonial.Los vedantas estn compuestos en seis partes, las dos ultimas son de astronoma y rituales.Dentro de los rituales se encuentran los sulbasutras.

Sulbasutras (reglas de la cuerda)Son textos que indicaban las reglas y procedimientos en la construccin de altares.La perfeccin de los altares les dara el favor de los dioses. No contienen demostraciones, solo reglas.Baudhayana (800 AC)Manava (750 (200 AC)Apastamba (600 AC)Katyayana (200 AC)

Teorema de Pitgoras Katyayana: la soga que se tiende sobre la diagonal de un rectngulo, produce un rea que es la que dan los lados vertical y horizontal.

Apastamba: indica la construccin de altares trapezoidales, con el uso de ternas pitagricas

Baudhayana: aparentemente emplea la rotacin de figuras (Euclides) para el teorema de Pitgoras.

Adems en los sulbasutras aparece una forma para el teorema de Pitgoras por comparacin de lados.

Cuadratura del circulo y raz de dosEn los sulbasutras aparece el mtodo conocido como 13/15 para la cuadratura del circulo.Katyayana hace una aproximacin de raz de dos: aade a la unidad de longitud su tercera parte y a esta tercera parte su propia cuarta parte menos la trigsimo cuarta parte de ese cuarto.

Siddhantas (sistemas astronmicos) Fueron escritos en el periodo Gupta ( 290 d.c)Paulisha.Surya (sol)Vasisishta.Paitamaha. Romanka.Expresan el valor de : 3 177/1250 que coincide con el valor sexagesimal 3; 8,30 que haba dado claudio Ptolomeo.Por primera vez en la historia, el Surya Siddhanta emplea la semicuerda para la funcin trigonomtrica seno (jiva) (otkram jiva) (kojiva)

De la distancia meridiana del zenit del sol encuentre jiva (seno base) y kojiva (coseno o seno perpendicular), si entonces el radio se multiplicara por la medida del gnomon en dgitos y dividido por el kojiva, los resultados son la sombra del gnomon y la hipotenusa al medio da.G=medida del gnomon.R= radio del gnomon.S=sombra del gnomon.H= hipotenusa del gnomon

Manuscrito Bhaskshali Anterior al siglo v D.c. Encontrado cerca a la villa del mismo nombre en 1881.Contiene:Operaciones bsicas.Solucin de ecuaciones.Sistemas de ecuaciones.Regla de tres.

Plantea ecuaciones donde la incgnita se escribe de manera similar al smbolo para sunya.

Muestra soluciones a problemas, que hoy en da resolvemos con sistemas de tres ecuaciones:Ej. Una persona posee siete caballos Asava, otro nueve caballos Haya y otro diez camellos. Cada uno da dos animales, uno a cada persona. Quedando los tres con el mismo valor monetario. Encuentre el valor de cada animal y el valor total de todos los animales

Para solucionar el problema, primero decimos Que: valor del caballo Asava.

valor del caballo Haya. valor del camello.

Se plantea la igualdad:

Donde k es el el valor total de los animales.Despus se estos se reparten como lo plantea el enunciado:

(1)Luego se quitan los animales que acabamos de repartir y sustraemos a cada parte de la igualdad un animal.

(2)

La igualdad queda de la siguiente forma (3)El valor de es 168 ya que es valor de multiplicar los tres coeficientes resultantes 6x4x7=168Lo que se hace es igualar cada parte de la igualdad con 168.

Esto se hace de la siguiente forma

Los valores se sustituyen en (3)

Como es una igualdad:

Tambin usaban la regla de tres para solucionar problemas del tipo: si un hombre gana 50 dinares en ocho das Cunto ganara en doce? 8 = pramana 50 = phala 12 = iccha

La regla es: phala x pramana / iccha

(50 x 12) / 8 = 75 dinares

Aryabhatiya(Aryabhata- siglo VI DC)Escribi 33 versos sobre:Calculo de races.Geometra.Aritmtica.Trigonometra esfrica.Tablas de senos: sen30= Notacin del sistema de numeracin decimal.

En el Aryabhatiya: hay una regla para el calculo de pi.:chaturadhikam atamaaguam dvaistath sahasrm Ayutadvayavikambhasysanno vrttapariaha. Esto quiere decir: suma 4 a 100, multiplica por 8 y smale 62000. el resultado te da aproximadamente la circunferencia de un circulo cuyo dimetro es de 20000

Tambin contiene reglas para calcular la suma de trminos de una progresin:

Usa un lenguaje muy florido para solucionar la cuarta proporcional a tres nmeros dados:En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida: el resultado ser el fruto del deseo:

Donde a es la medida, b el fruto, c el deseo y x el fruto del deseo

Brahmasphutasiddanta(el sistema del universo por Brahmagupta)Texto de astronoma y matemticas.Reglas para el trabajo con enteros y cero.Generalizacin de la formula de Heron de Alejandra.Finalizo el proceso que diera origen al sistema de numeracin decimal.Planteo ternas pitagricas.

Reglas para el trabajo con enteros y cero: adicin producto cero

Generalizacin de la ecuacin de Heron para el cuadriltero cclico:

Ternas pitagricas: trabajo las ternas bajo la forma:

Junto con las formulas para las diagonales:

El Lilavati y vijaganita (De Bhaskaracharya)Reglas para la divisin por cero.Calculo para el rea del circulo (cuadratura)Dio soluciones a la ecuacin de Pell

Regla para la divisin por cero: dividiendo 3, divisor 0, cociente la fraccin 3/0. esta fraccin de la que el denominador es cifra se llama cantidad infinita. En esta cantidad que consiste en lo que tiene cifra como divisor no hay alteracin posible, por mucho que se aada o se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Brahma infinito e inmutable.

Tambin afirmo que a/0 x 0 = a

Calculo el rea del circulo, dividiendo este en sectores iguales, y rectificando las semicircunferencias.El rea del circulo ser igual al producto de la semicircunferencia por la altura del circulo.

Da soluciones particulares a la ecuacin diofantica (conocida como ecuacin de Pell)"Dime, OH matemtico, cul es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte - junto con la unidad - en un cuadrado?"

Que tiene la solucin X =1 y = 3 o tambin (x,y)= (1,3)

Jyasthadeva y Mahajivanayama prakaraEscritos por Madhava de Sangamagramma conocido como Golavid (maestro de las esferas)Trabajo series infinitas que luego fueron descubiertas siglos mas tarde en Europa.Sus trabajos llegan a nosotros por medio de sus aprendices Nilakantha Somayaji y Jyesthadeva.

Trabajo el calculo y la prueba de la serie de potencias para la tangente inversa:El primer termino es el producto de la condicin y dado el radio del arco dividido por el coseno del arco. El xito se obtiene por el cuadrado de la condicin y divido por el cuadrado del coseno. Todos los trminos se dividen por el numero impar 1,3,5, el arco se obtiene sumando y restando respectivamente los trminos de rango impar, inclusive los de rango. Se establece que la condicin del arco o la de su complemento que es el menor debe ser tomado aqu como condicin dada. De otro modo los trminos obtenidos por encima de esta iteracin no tienden a desaparecer la magnitud.

Esto es:

Esta serie se conoce como serie de Gregory (fue descubierta por James Gregory 300 aos despus) hoy se denomina como serie de Madhava-Gregory

En el Mahajivanayama prakara dicta la serie que conocemos hoy como serie de Leibniz-Madhava.

Adems dio tres formas de Rn que mejoran la aproximacin:

Adems redacto una serie en verso para el valor de pi.:Dioses(33), ojos(2), elefantes(8), serpientes (8), fuego (3), cualidades (3), vedas(4), naksatras (27), elefantes (8) y brazos ( 2); el sabio dice que esta es la medida de la circunferencia cuando el dimetro del circulo es de 900.000.000.000.

Conclusiones. Los aportes mas importantes de la matemtica hind fueron:El sistema decimal de numeracin que simplifico el trabajo en las matemticas alrededor del mundo.Los algoritmos que hoy en da utilizamos para realizar las operaciones bsicas. La notacin para las funciones trigonometrcas seno y coseno.

Bibliografa: Boyer Carl B. historia de la matemtica, alianza editorial, Madrid Espaa 2003.http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/historia.php?id=in_mate www.uhu.es/candido.pineiro/historia/india.pdf www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo18.html - 32k - www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-1-1-india.pdf http://ciencia.astroseti.org/matematicas