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5/28/2018 $Matem ticas 2 Bachillerato Geometr a-ngulos,
Distancias y Simetr a - slidepdf...
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Matemticas. 9. Propiedades mtricas. 1
9. PROPIEDADES MTRICAS.
ngulo formado por dos rectas.
Sean las rectas dadas en forma paramtrica:
+=
+=
+=
33
22
11
daz
day
dax
r
+=
+=
+=
33
22
11
ebz
eby
ebx
s
El ngulo formado por ry ses igual que el ngulo formado por dos
representantes fijos desus vectores de direccin con un origen comn,
por lo que puede calcularse mediante el
producto escalar de dichos vectores, ( )321 d,d,dd =r
y ( )321 e,e,ee =r
:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
eeeddd
edededs,rcos
++++
++=
Si las rectas vienen expresadas como la interseccin de dos
planos:
=+++
=+++
0'Dz'Cy'Bx'A
0DCzByAxr
=+++
=+++
0'Hz'GFy'x'E
0HGzFyExs
Un vector de direccin de la recta res ( ) ( )'C,'B,'AC,B,Ad
=r
, y uno de la recta ses =er
( ) ( 'G,'F,'E,G,F,E = ) . Una vez obtenidos estos vectores, se
procede como en el caso an-terior.
Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando lo son sus
vectores de direccin. Portanto, no es necesario que las rectas se
corten en un punto para que sean perpendiculares.
La condicin necesaria y suficiente para que ry ssean
perpendiculares es que .0ed = r
r
ngulo formado por una recta y un plano.
Consideremos una recta ry un plano :
+= +=
+=
33
22
11
dazday
dax
r 0DCzByAx =+++
El ngulo formado por ry es el ngulo complementario del formado
por un vector dedireccin de r ( )( )321 d,d,dd =
r
y un vector normal a ( )( )C,B,An =r
, que puede calcularse
mediante el producto escalar de ambos.
Se cumple que:
2
3
2
2
2
1
222
321
dddCBA
dCdBdA,rsen
++++
++=
La condicin necesaria y suficiente para que ry sean paralelos es
que y seanperpendiculares, es decir, que
r
.
dr
r
r
n
0nd =
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Matemticas. 9. Propiedades mtricas. 2
La condicin necesaria y suficiente para que ry sean
perpendiculares es que d y nr
r
sean paralelos, es decir, queC
d
B
d
A
d 321 == .
ngulo formado por dos planos. Consideremos dos planos y :
0DCzByAx =+++ 0'Dz'Cy'Bx'A' =+++
El ngulo formado por y es igual que el que forman sus vectores
normales,y ,por lo que puede calcularse mediante el producto
escalar de
ambos:
( )C,B,An =r
( 'C,'B,'A'n =r
)
222222 'C'B'ACBA
'CC'BB'AA',cos
++++
++=
La condicin necesaria y suficiente para que y sean
perpendiculares es que lo seansus vectores normales, es decir, que
0'nn =
rr
.
Distancia de un punto a un plano.
Sean un punto P(p1,p2,p3)y un plano 0DCzByAx =+++ .
Para calcular la distancia de Pa puede seguirse el siguiente
procedimiento:
Se determinan las ecuaciones de la recta rque pasa por Py es
perpendicular a .
Se obtiene el punto Hde corte de rcon . La distancia de Pa es el
mdulo del vector PH .
Se cumple que:
( )222
321
CBA
DpCpBpA,Pd
++
+++=
Distancia entre dos planos paralelos.
Sean 0DCzByAx =+++ y 0'Dz'Cy'Bx'A' =+++ dos planos
paralelosentre s.Para calcular la distancia entre ambos se toma un
punto cualquiera de uno de ellos y se
calcula su distancia al otro plano.
Distancia de un punto a una recta.
Sean un punto P(p1,p2,p3)y una recta r dada por las
ecuaciones:
+= +=
+=
33
22
11
dazday
dax
r
Para calcular la distancia de Pa rpuede seguirse el siguiente
procedimiento:
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Matemticas. 9. Propiedades mtricas. 3
Se determina la ecuacin de un plano perpendicular a ry que
contenga a P.
Se obtiene el punto Hde corte de ry .
La distancia de Pa res el mdulo del vector PH .
Se cumple que:
( ) ( ) ( )
2
3
2
2
2
1
332211321
ddd
ap,ap,apd,d,dr,Pd
++
=
Distancia entre dos rectas.
Distancia entre rectas paralelas.
Dadas dos rectas paralelas ry s, la distancia entre ambas puede
calcularse tomando unpunto cualquiera de una de las dos rectas y
calculando su distancia a la otra.
Distancia entre rectas que se cruzan.
Dadas dos rectas que se cruzan ry s, la distancia entre ambas
puede calcularse por elsiguiente procedimiento:
Se determina el plano que contiene a ry a la perpendicular comn
a ry s, a partir deun punto de r, un vector de direccin de ry un
vector perpendicular a ry s.
Se determina el plano que contiene a sy a la perpendicular comn
a ry s, a partir deun punto de s, un vector de direccin de sy un
vector perpendicular a r y s.
Se determina la recta tinterseccin de los planos y . Dicha recta
es la perpendicularcomn a las rectas ry s.
Se hallan los puntos de corte de tcon ry s, Hy J.
La distancia de ra ses el mdulo del vector HJ .
Si ydr
er
son vectores de direccin de ry s, respectivamente, yA y Bson
puntos quepertenecen a ry s, respectivamente, entonces se cumple
que:
( )ed
AB,e,ds,rd
rr
rr
=
Punto simtrico de otro punto.
Punto simtrico respecto de un punto.
Dados los puntos Py H, el punto simtrico de Prespecto de H es
otro punto Ptal que:
H'PHP =
Punto simtrico respecto de un plano.
Dados un punto Py un plano , el punto simtrico de Prespecto de ,
P, puede calcu-larse por el siguiente procedimiento:
Se determina la recta rperpendicular a y que pasa por P. Se
obtiene el punto de corte de rcon , H.
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Matemticas. 9. Propiedades mtricas. 4
El punto Pes tal que H'PHP = .
Punto simtrico respecto de una recta.
Dados un punto Py una recta r, el punto simtrico de Prespecto de
r, P, puede calcu-larse por el siguiente procedimiento:
Se determina el plano perpendicular a ry que pasa por P.
Se obtiene el punto de corte de rcon , H.
El punto Pes tal que H'PHP = .
