Matematicas 8

5/14/2018 Matematicas 8 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-8-55a92f7dc30fb 1/170

Matemáticas8



MATEMÁTICAS 8º grado

James R. Velasco MosqueraProfesor Universidad de Pamplona

Luis Ernesto Rojas MorantesProfesor Universidad de Pamplona

Yolanda Gallardo de ParadaProfesora Universidad de Pamplona



MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONALCoordinación Pedagógica y Editorial

Hernando Gélvez Suárez

Supervisor de Educación

Impresión:

Prohibida su reproducción totaly parcial sin autorización escrita delMinisterio de Educación Nacional MEN.

Derechos ReservadosDistribución gratuita

ISBN Colección 958-9488-56-0

ISBN Volumen 958-691-010-5



CONTENIDO

UNIDAD 1 LOS REALES .............................................................................................. 1

CAPÍTULO 1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES ............................................................. 7

CAPÍTULO 2 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES........................................... 13

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................................................... 33

CAPÍTULO 1 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................ 41CAPÍTULO 2 FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES ........................................ 73

UNIDAD 3 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ...................................... 83

CAPÍTULO 1 FUNCIONES LINEALES........................................................................... 85

CAPÍTULO 2 FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN CUADRÁTICA .................. 102

UNIDAD 4 GEOMETRÍA: MOVIMIENTO EN EL PLANO ............................... 123

CAPÍTULO 1 DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO..................................................... 125

CAPÍTULO 2 ROTANDO, ROTANDO ........................................................................... 133

CAPÍTULO 3 REFLEJANDO EL MUNDO .................................................................... 142

CAPÍTULO 4 TRASLACIONES Y ROTACIONES

COMO REFLEXIONES LINEALES ....................................................... 145

CAPÍTULO 5 ISOMETRÍAS ........................................................................................... 151

CAPÍTULO 6 HOMOTECIAS ......................................................................................... 156

UNIDAD 5 LÓGICA: CUANTIFICADORES......................................................... 163



PRESENTACIÓN

El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presenta

un panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarial

del agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernas

en el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata el

progresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamente

vinculada a la producción agrícola tradicional.

Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento clave

en cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí,

específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política de

Colombia de 1991.

La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria y

secundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado

por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales deben

comprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la Ley

General de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos:

• Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manerasecuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formación

integral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educando

dentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94).

• A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgará

un diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual se

permite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica y

habilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educación

laboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación,

El Ministerio de Educación Nacional consciente de la responsabilidad que tiene frente a la

promoción de la educación para las zonas rurales, no ha ahorrado esfuerzos para presentar

innovaciones y estrategias para el desarrollo rural. Actualmente esta en marcha el proyecto de

educación rural “PER”, que tiene como objetivos: cobertura con calidad en el sector rural;

capacidad de la gestión educativa fortalecida en las entidades territoriales; procesos de formación

de las escuelas y comunidades para la convivencia y la paz, y una política para la educación

técnica rural.



La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro del

objetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la década

de los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologías

de aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluación

y promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación de

proyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia y

continuidad del servicio educativo.

La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educación

formal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolar

para ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedan

ampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por convenio

con instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado un

conjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el auto

aprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en los

proyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos.

La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fue

responsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producción

de dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e instituciones

educativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programas

flexibles, y adecuados a la realidad del medio.

En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptar procesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a la

realidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través del

diseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsqueda

de soluciones a los problemas que los afectan.

La estructura curricular, adapta los contenidos a la realidad del medio, combinando en los

mismos ciencia y tecnología, propiciando el desarrollo de estrategias curriculares que sitúen en

la misma línea de objetivos la relación teoría-practica, en todas las áreas del conocimiento,

orientándolas hacia el análisis y comprensión de los obstáculos que frenan el desarrollo y la

búsqueda de soluciones a los problemas derivados de la producción e interacción comunitaria.

Los contenidos presentados en estos módulos, pueden ser trabajados en torno a ejes problemáticos

o proyectos seleccionados a través de procesos participativos, que comprometan en su conjunto

a la comunidad educativa, con el fin de que se generen conocimientos socialmente útiles. El

desarrollo de las temáticas deben ser seleccionadas según las necesidades y la realidad del

medio, especialmente en lo referente a las áreas optativas en las cuales se debe introducir

innovaciones por medio de la adaptación y selección de contenidos según las necesidades,

realidades e intereses de las comunidades locales.



En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definir

una sola metodología o una única metodología , cada una de las áreas, de los proyectos

pedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar la

producción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje,

para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollo

de su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y acción

educativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos.

Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos , valorados desde

su actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora,

son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativa

para implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar y

adaptar los contenidos a sus necesidades e intereses.

Los módulos curriculares aquí desarrollados son un medio para el aprendizaje, no un fin.



1

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

LOS REALES

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ACTIVIDAD INTRODUCTORIA

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ IndividualRecordemos lo aprendido.

En el cuaderno realizo los siguientes ejercicios:

a)4

7

7

12+

−

e) −

+ −3

8

8

5

9

4

b) 5

4

5

3−

f) 2

4

1

5⋅

−

c) −

+6

7

2

25g) −

÷

7

3

2

5

d)1

2

5

3

2

7+−

−−

h)

32

59

1

9

5

3

1

7

2

4

8

3

+

−

−

− −

1. Encuentro el valor de x, que hace que se cumpla la igualdad:

a) x1

4

2

5+ =

−b)

7

9x 2− = − c)

5

10+ x

-5

6=

U N

I D A D

•

U N ID A D

•

1



2

P O S T P R I M A R I A R

U R A L

2. En cada caso escribo un entero que satisfaga las siguientes desigualdades:

a) 3 < x < 5 b) -6 < x < -2 c) -1 < x < 2

3. Localizo los siguientes números en la recta numérica:

a = 8 d =1

2g =

−2

5

b = 0 e =−1

4h =

18

2

c = -5 f = −246

i = 85

ACTIVIDAD 2. En grupo

Recordemos las expresiones decimales de un número racional.

1. Escribo las siguientes fracciones en forma decimal:

a) 8

10c) 72

10e) 379

1 000.

b) 245

100d) 17

10f) 2

1 000.

2. Expreso los siguientes números racionales como expresiones decimales. Para tal

fin divido el numerador entre el denominador.

a) 1

2d) 1

3

b) 3

5e) 17

9

c) 10

4f) 22

7



3

ACTIVIDAD 2.

3. Comparo el resultado de los decimales del grupo formado por a, b, c con los delgrupo formado por d, e, f. ¿Qué diferencia existe?

4. Divido el numerador entre el denominador hasta encontrar el período, luego indico

este período con un arco o línea. Recuerdo que el número o números que serepiten indefinidamente es lo que en matemáticas se llama período.

a) 7

3c) 45

14e) 10

6

b) 32

11d) 4

7f)

1

9

5. Escribo en forma de racional los siguientes decimales finitos. Recuerdo que bastacon escribir en el denominador la potencia de 10 con el exponente que correspondea la cantidad de cifras decimales, y en el numerador, el número sin coma deseparación, luego se simplifica si es el caso.

Ejemplos:

El racional 0,0057 = 57

10+ x

57

10.0004

=

El racional -45,36 = -4.536

10+ x

-4.536

100

1 134

252

= =− .

a) 0,035 c) 0,00128 e) 0,00049 g) 125,82

b) 2,479 d) 1,26 f) 38,46 h) 5,00046



4


U R A L

6. Teniendo presente que toda fracción se puede escribir como una expresión deci-mal que puede ser exacta o periódica, encuentro la fracción que representa cadauna de las siguientes expresiones decimales periódicas:

a) 0,234 d) 0,22 g) 25,136

b) 0,2734 e) 17,38 h) 0,246

c) 1,6 f) 0,9 i) 9,682

Recuerdo que para hallar la expresión racional de un decimal periódico llamamos x aldecimal dado, multiplicamos por la potencia de 10 cuyo exponente es igual al númerode dígitos del período, y restamos x de este producto.

EJEMPLOS:

a) Hallar la expresión racional de 3,25

Llamamos x = 3,2525...

multiplicamos por 102, o sea, por 100

100 x = 325,252525...

Restamos x 100 x = 325,2525...

- x = 3,2525...

99 x = 322

x = 32299

Por consiguiente, la expresión racional del decimal 3,25 es 322

99



5

b) Hallar la expresión racional del decimal periódico 0,28145145...

x = 0,28145

Como queremos que los períodos se correspondan para la resta, es necesario convertiral número x de tal forma que la primera parte decimal corresponda a la del período,por lo tanto es necesario multiplicar a x por 100 y luego proceder como es el casoanterior, así:

x = 0,28145

100 x = 28,145145145...

(100 x) 1.000 = 28145,145145

-100 x = 28,145145...99.900 x = 28.117

x = 28 117

99 900

.

.

Por consiguiente, la expresión racional del decimal periódico

0,28 145 es28 117

99 900

.

.

ACTIVIDAD 3. Ejercicio

Verificar a qué racionales corresponden las siguientes expresiones decimales:a) 1,999 c) 0,999 e) 25,9999

b) 5,999 d) 8,999 f) 136,999



6


U R A L

r

ACTIVIDAD 4. Individual

Represento sobre la recta numérica los siguientes racionales, de tal forma que se indiquen

las partes en que se dividen los segmentos para la ubicación del número racional.

Ejemplo: r 3

8=

01

8

2

8

3

8

4

8

5

8

6

8

7

8 1

a)5

4 b)7

10 c)2

9 d)8

7 e)15

4 f)7

3

INFÓRMATE

Cualquier número racional puede expresarse mediante un decimal exacto omediante un decimal periódico, y, recíprocamente, cualquier decimal exactoo periódico representa un número racional.



7

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 1

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ LOS NÚMEROS IRRACIONALES


Conformo grupos de trabajo para realizar el siguiente ejercicio.

1. Considero el número

0,01001000100001000001....

a) Describo verbalmente cómo está conformado el número.

b) ¿Qué representan para mí, los puntos suspensivos?

c) ¿El número es periódico? Justifico mi repuesta.

2. Sea el número

3,12112111211112...

a) Describo verbalmente cómo está conformado el número.

b) ¿Qué significan los puntos suspensivos?

c) ¿El número es periódico? Justifico mi respuesta.



9


Utilizando la calculadora encuentro las aproximaciones de los números irracionales.

e, π, 2 , 3 , 5 ,- 7 , 7 ,- 2 ,− 3 .


Representaciones geométricas de números irracionales sobre la recta numérica.1. Conformo grupos de trabajo de 3 ó 4 compañeros y desarrollo los pasos sugeridos

en la siguiente actividad, obtenemos conclusiones.

a) Dibujo una recta numérica donde señalo el 0.

b) Sobre la recta, construyo un cuadrado de lado 1.

c) Trazamos la diagonal principal del cuadrado.

d) Aplicando el teorema de Pitágoras encuentro el valor numérico de la diagonal.

e) Con un compás, hacemos centro en 0 y con radio igual a la diagonal principal,construimos un arco de la circunferencia a la derecha del origen.

f) ¿A qué punto de la recta numérica corresponde este punto de corte?

¿Por qué le coloco la letra P?

g) Verifiquemos que el número P = 2 corresponde a un punto de la recta.

h) ¿Qué clase de número es 2 ?



10


U R A L

2. Represento geométricamente 3 y 5 apoyándome en la anterior representación.


Analizo y realizo los siguientes ejercicios. Obtengo conclusiones.

1. Un terreno rectangular mide 25 metros de largo y 16 metros de ancho.

¿Qué valor tiene su diagonal y cuánto vale su área?

2. De acuerdo con la siguiente figura:

A 2 F 2 B

2 2

E G

2 2

D 2 H 2 C

a) Calcular el área del cuadrado ABCD.

b) Calcular el área del cuadrado EFGH.

c) Calcular el área de cada triángulo.

d) Compruebo que el área del cuadrado ABCD es igual a la suma del área delcuadrado EFGH más el área de los 4 triángulos.



11

3. Represento en una recta numérica el irracional: - 2 , apoyándome en la

representación del irracional: 2 .

4. Represento en una recta numérica el irracional: - 3 .

5. Represento en una recta numérica el número irracional: - 5 .

6. Analizo si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas.

Justifico mi respuesta.

a) Cualquier número entero es racional. f ) Cualquier racional es número real.

b) Todo número entero es natural. g) 5 es número natural, entero y racional.

c) Algún número es racional e irracional. h) 2 es número entero.

d) Todos los naturales son enteros. i) − 4 es entero, racional, real.

e) Todos los enteros son naturales. j) 0,2 es número racional y real.

k) 0,1335 es un número irracional.


Conformo grupos de trabajo con 3 ó 4 compañeros confrontamos las respuestas de laactividad anterior, discutiendo con argumentos y obteniendo conclusiones.



12


U R A L

PARA MI INFORMACIÓN

El conjunto de los números reales está formado por la unión del conjunto de

números racionales con el conjunto de números irracionales.

Si Q simboliza al conjunto de números racionales, R al conjunto de númerosreales, I el conjunto de los irracionales, se dice que:

R = Q ∪ I

Además Q ∩ I = ø, lo cual significa que no existen números que a la vez sean

racionales e irracionales.

Al representar los racionales y los irracionales en la recta numérica, se obtiene larecta real que tiene como característica principal que a cada punto de larecta corresponde un número real, y, recíprocamente a cada número realcorresponde un punto de la recta.

Además, se cumplen las siguientes relaciones de inclusión.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Esto significa que el conjunto de números reales contiene los conjuntos denúmeros racionales, enteros y naturales.



13

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES


En mi cuaderno realizo los siguientes ejercicios:

1. Ordeno los siguientes números reales de menor a mayor. Ubico en el rectángulola letra correspondiente al número.

a) 6,358 c) 6,3581 e) 11

b) 15 d) - 11 f) 6,3058



14


U R A L

2. Encuentro un real x tal que satisfaga las siguientes condiciones y para cada caso losrepresento en la recta real

a) 0,631 < x < 1 c) 7,92< x < -1.5 e) 7,92 < x < 65

b) 0,56 < x < 0,57 d) - 3 < x < - 2

3. Sobre la recta real se han localizado seis números reales diferentes, los comparocon la relación “menor que” y completo los siguientes enunciados.

R e b o a c d

a) El real b está ubicado a la _____ del real a, por lo tanto b es _____ que a.

b) El real e está ubicado a la _____ del real b, por lo tanto e es _____ que b.

c) El real e es ____ que el real b, b es ____ que a, por lo tanto e es ____ que a.Esta propiedad se llama: ____ .

d) Escribo el signo correspondiente que compara las siguientes números reales:

e o c b

b o d a

b a o a

o d b o



15


Conformo grupos de trabajo de dos o tres compañeros, discutimos el ejercicio ante-rior, confrontamos respuestas y obtenemos conclusiones.


En los números reales las relaciones “menor que” y “mayor que” se definen de la

misma forma que en los conjuntos de los números enteros y de los racionales así:

Si a y b son números reales, se dice que a es menor que b sí y solo sí b menos aes real positivo, simbólicamente:

a < b ↔ b - a > 0

Por lo tanto al representar en la recta real a está a la izquierda de b.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Operaciones con los Números Reales

Estudiar las operaciones en el conjunto de los números reales es simplementeextender lo ya aprendido sobre adición, sustracción, multiplicación, división,potenciación y radicación en los números enteros y racionales.

Como todos los números reales no se pueden escribir como una expresión deci-mal exacta, ya que algunos son expresiones decimales infinitas, se debeaproximar la expresión decimal, a un número determinado de cifras decimales.



16


U R A L


Para aproximar una cantidad a cierto número de cifras decimales, se analiza la

cifra que le sigue, si esta es mayor o igual que cinco, se le suma uno a la cifra deaproximación. Si la cifra siguiente es menor que cinco, se descarta esta cifra ytodas las que siguen.

EJEMPLO:

Aproxima los siguientes números reales hasta las milésimas.

Números Aproximación

3,8569432 3,857

12,61731 12,617

5,0085349 5,009

0,1232408 0,123

15,1506802 15,151


En el cuaderno desarrollo los siguientes ejercicios; en cada uno de ellos analizo y obtengoconclusiones relevantes.



17

1. Indico con una flecha el nombre de la propiedad que se está aplicando en cadauno de los enunciados de la primera columna.

Sean a, b, c números reales.

a + (b + c) = (a + b) + c • Conmutativa de la adición.

a x b = b x a • Asociativa del producto.

m + 0 = 0 + m = m • Distributiva.

a + (-a) = (-a) + a = 0 • Inverso multiplicativo.

a b c = (a b) c = a (b c) • Inverso aditivo.

a · 1 = 1 · a = a • Asociativa de la adición.

a ·1

a1= • Conmutativa del producto.

a (b + c) = a·b + a·c • Modulativa del producto.

m + n = n + m • Modulativa de la adición.

2. Completo el siguiente cuadro en mi cuaderno.

Decimal Racional Lectura0,25

0,666

0,285

25

9

5

3

1

10

27

10

-



18


U R A L

3. En el cuaderno realizo las operaciones indicadas.

a) 32 d)25

9

g)-0,45

1,3

b) (- 5,32) (0.2) e) 4

3

3

h)1

9− + =2

4

5

8

c)27,3

724,15f) ( )−7 2 i)

32

59

1

8

7

2

2

3= −

−

−

j) 7,25 + 0,432 + 8,13

5. Recuerdo que si a es un número real positivo, entonces:

a

m

n = amn

Con base en la anterior definición completo las siguientes igualdades en mi cuaderno:

161

2 = ? 82

3 = ? 1.0001

3 = ? 811

4 = ?

EVALUEMOS LO APRENDIDO


En mi cuaderno resuelvo los siguientes problemas. Para tal fin leo con atención elenunciado, analizo la información que posee cada uno de ellos y estoy atento a lapregunta de cada problema.



19

1. Un grupo de 8 personas se va 3 días a un lugar a donde tienen que llevar el aguaque vayan a gastar. Tomando como base la información suministrada por otrogrupo de 5 personas, que en circunstancias similares necesitó 12,5 litros por día,¿Cuántos litros de agua tendrán que llevar?

2. En una tienda se venden galletas a $100 cada una, o 10 por $900. Luis quierecomprar 20 galletas. ¿Cuánto le costarán?

3. En la finca de mi amigo Felipe se cultiva habichuela, arveja y tomate. Un día demercado llevan 7 bultos de habichuela, 9 de arveja y 26 cajas de tomate.

Si cada bulto de habichuela es vendido a $25.200 y el de arveja a $32.000, recibenen total $724.000; ¿A cómo vendieron cada caja de tomate?

4. Para ir de un sitio A, a otro sitio llamado C sólo se pueden utilizar dos recorridos,que se indican en la siguiente gráfica.

¿Cuál de los dos recorridos es el más corto? Justifico mi respuesta.5. Un concentrado de alimento para animales viene empacado en bolsas de diferente

peso, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Kilos 4 6 10

Precio ($) 10.080 15.000 25.100



20


U R A L

D C

A B

B C

A D

¿En qué caso resulta más barato el kilo de concentrado?

Justifico mi respuesta.

6. Relleno cada diagrama para que represente2

5

a) b)0 1

c) d)

e)

f) g)

h)



21

7. ¿Qué número representa en la recta el punto a? ¿Qué clase de número es?

8 Un centímetro cúbico de oro pesa más que un centímetro cúbico de hierro. Lagráfica compara las densidades de estos dos metales.

Expreso la densidad del hierro como una fracción de la densidad del oro.

Oro

Hierro

9. David vive a

5

6 de milla al oeste de su escuela. Rosa vive en la misma calle,5

8 demilla al oeste de la escuela. Pepe vive justo en el medio de los dos.

¿A qué distancia está su casa de la escuela? Elaboro una gráfica como la siguiente en elcuaderno y ubico cada persona.



22


U R A L

F G

E CD

H

A B

10. Completo el cuadro con el valor correspondiente a cada uno de las longitudes delos segmentos de la siguiente figura:

Segmento Longitud

AB 50

BC 14

AD

DC

AC

EC 2,5

CG 2,5

DB

DH

HB

FC

11. Un objeto en la tierra pesa aproximadamente 6 veces lo que pesa en la luna.

Si un niño pesa 76,6 libras y un perro 12,3 libras. ¿Cuánto pesan el niño y el perro enla luna? Redondeo a décimas.

12. Escribo en notación científica, es decir utilizando potencias de 10, cada una de lassiguientes distancias medidas en metros:

a) Altura del monte Everest: 8.839,2.

b) Diámetro de la vía láctea: 914’400.000’000.000’000.000.

c) Diámetro de una estrella gigante: 2’773.680’000.000.

d) Distancia que viaja la luz en un año: 9.448’800.000’000.000.



23


Verifico si los siguientes resultados son falsos o verdaderos, argumentando mi respuesta.

a) 9 25 34+ = b) 36 4 32− = c) 3 2 2 2 2= + +

d)

Perímetro del triángulo ABC de la figura anterior es 5

2

.

e) El perímetro de la siguiente figura es 2 2 .

f ) ( )( )2 3 3 2 6 6=

g) ( )( )5 2 4 2 40=

h) ( )( )− − = −3 2 2 3 6 15

D C

A B

5

55

5

2



24


U R A L

Potenciación, Radicación

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

y Logaritmación

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ de Números Reales


Recuerdo los conceptos adquiridos en años anteriores para realizar los siguientes ejercicios.

1. Un hombre necesita cercar su potrero que tiene forma de cuadrado de lado5

2de Decámetro.

¿Cuánto alambre necesita comprar para cercar el potrero, si por cada lado va a colocar treshileras de alambre?

2. El tanque que almacena el agua, en la casa de Juan, tiene forma de cubo de lado7

4de metro.

¿Cuál es el volumen del tanque?

3. Aplico las propiedades de los exponentes y desarrollo las siguientes operaciones:

a)4

3

4

3

2 5

c)

−

1

4

2

e)−

−

2

5

2

5

4 3

b)

1

51

5

6

2

d) − 53

3

f)

−

−

1

21

2

5

3



25

4. En el cuaderno desarrollo paso a paso las siguientes potencias y obtengo conclusiones.

a)3

10

2 3

b)

1

2

2

3

5. Teniendo presente que si a es un número real diferente de 0 , y n un número entero, se cumpleque:

a

1

a

n

n

− =

Calcular:

a) 5-2 b)2

3

−3

c)3

2

−4

d)1

5

−3

6. Verifico que la potenciación es distributiva respecto al producto.

Para tal fin resuelvo los siguientes ejercicios y comparo los dos resultados en cada uno de ellos:

a)1

2x3

5

1

2x

3

5

3

?

3 3

=

b)3

4x2

5

3

4x

2

5

2

?

2 2

=



26


U R A L

7. Verifico que la potenciación es distributiva respecto a la división.

Para tal fin resuelvo los siguientes ejercicios y comparo los dos resultados en cada uno de ellos.

3

43

3

4

3

3

=

2

7=

2

? 2

7

2

2


Conformo grupos de trabajo con 2 compañeros, analizamos la actividad anterior,confrontamos respuestas, las discutimos y obtenemos conclusiones.

En el cuaderno realizo el siguiente ejercicio, justificando las afirmaciones.

a) 3 elevado al cuadrado es: e)1

6elevado al cuadrado es:

b) -3 elevado al cuadrado es: f )−16

elevado al cuadrado es:

c) 5 elevado al cubo es: g) 36 es igual a:

d) -5 elevado al cubo es: h)1

36es igual a:

?



27


Para un número natural n, r es una raíz enésima de b, si rn = b. Esto se simboliza

b rn = .

Ejemplos: Una raíz cuarta de 16 es 2, pues, 24=16. Otra raíz cuarta de 16 es -2,pues (-2)4=16 .

La raíz cúbica de 27 es 3. No existe otra raíz cúbica de 27 diferente de 3. Esto secumple porque 33 = 27.

La raíz cúbica de (-64) es (-4). No existe otra raíz cúbica de -64 diferente de -4,

pues (-4)3

= -64.


En mi cuaderno realizo los siguientes ejercicios. Por facilidad puedo descomponerlosen factores primos.

1. ¿Cuáles son las raíces cuartas de 16?

2. ¿Cuál es la raíz quinta de 243?

3. ¿Cuál es la raíz quinta de -243?

4. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de1

4?

5. ¿Cuáles son las raíces cuartas de 16

81?

6. Simplifico las siguientes expresiones.



28


U R A L

Obtengo conclusiones en cada caso.

a) 52 d)2

5

4

4

b)1

2

3

3

e)

−

3

7

3

3

c)2

3

2

f)

1

5

4

7. Analizo los siguientes ejemplos y luego desarrollo los ejercicios propuestos:

Ejemplo 1. Hallar la raíz cuarta de 81

625

Solución:

81

625

81

6254

4

4=

Al descomponer en factores primos se tiene:

81 3 625 5

27 3 125 5

9 3 25 5

3 3 5 5

1 1

81= 34 625 = 54



29

24

135

24

135

2 3

3 53

3

3

33

33= =

⋅

⋅

Por lo tanto:

81

625

81

625

3

5

3

5

4

4

4

44

44= = =

Ejemplo 2. Hallar la raíz cúbica de 24

135

Solución:

24

135

24

1353

3

3=

Al descomponer en factores primos se tiene:

24 2 135 3

12 2 45 36 2 15 3

3 3 5 5

1 1

24 = 23 · 3 135 = 33 · 5

Por lo tanto:



30


U R A L

64 643

1

3=

Aplicando propiedades de la radicación se obtiene que:

2 3

3 5

33

33

⋅

⋅

=⋅

⋅

= =2 3

3 5

2 3

3 5

2

3

3

5

33 3

33 3

3

3

3

Simplificar:

27

250,

25

27,

1

32,

135

6863 4 3

8. Recuerdo que la raíz n-sima de un número real am se puede expresar como una

potencia así:

amn = a

m

n

Además recuerdo que:

Si a

m

n =b, entonces log b=m

n

Ejemplos 1:

64 41

3 = ,, entonces log = 1

3464

a



31

x x

Ejemplo 2:

4

9

4

9

1

2

=

4

9

2

3

1

2

= , entonces log

4

9

2

3

1

2

=

Encuentro el valor de X , que hace que se cumplan las siguientes ecuaciones:

a) 13

127

x

= e) log 3 19 = x

b) log 9=-2 f) log 1000 = 3

c)1

32x

1

5

= g) log 1

2

1

8x

=

d) log2x = 3



33

U N

I D A D

•

U N ID A D

•

2 Expresiones ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

algebraicas

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

El álgebra tiene su origen en el concepto de número, considerado por losantiguos como una propiedad de una colección de objetos, pero estapropiedad no la podían distinguir muy claramente. Con el tiempo y el desarrollode las civilizaciones aparecen las operaciones con números, que son unaconsecuencia de las relaciones entre los objetos concretos, que los antiguos, amedida que los fueron descubriendo fueron asociando con las relaciones en-tre los números.

Posteriormente, fueron apareciendo problemas más complicados, debido alcrecimiento e intensidad de la vida social, que llevaron a los hombres a estudiarmás profundamente los nombres y los símbolos de los números.

En un principio cualquier ley o la solución de cualquier problema matemático,se expresaba sólo con palabras, ya que el uso de signos y expresiones literales

no era una práctica social: el álgebra se expresaba retóricamente.

La palabra ÁLGEBRA tiene su origen en un libro titulado Al - jabr ó f (Algabr)escrito en Bagdad en el año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed- Ibn - Musa al - Kixarizmi, que muestra en este escrito la primera fórmula para lasolución de ecuaciones de primero y segundo grado.



34


U R A L

Este tratado sobre álgebra significaba en árabe “Ciencia de la transposición yeliminación”.

Lo anterior es explicado, por algunos autores, como la trasferencia de términosal otro miembro de la ecuación, y la eliminación como la cancelación detérminos iguales, en ambos miembros de la ecuación.

La obra anterior, fue traducida al latín a principios del siglo XII y con el transcursodel tiempo se le llamó simplemente ÁLGEBRA.

El álgebra empieza realmente, cuando el hombre, llega a interesarse por las“operaciones” luego es en síntesis “la ciencia de las operaciones matemáticas”,consideradas formalmente como abstracción de los números concretos. En unprincipio se encontró un álgebra desarrollada por los griegos, (300 a de C)llamada “álgebra geométrica”, la cuál se basaba en una gran variedad demétodos geométricos para resolver ecuaciones.

Luego el álgebra pasa a ser la ciencia de los cálculos simbólicos y las operaciones

(años: 1590-1650), seguidamente Euler por los años 1770 la define como la teoríade “los cálculos con cantidades de distintas clases”.

Hasta finales del siglo XVIII y principios del XIX, el álgebra era la ciencia de lasecuaciones y la teoría de resolución de ecuaciones algebraicas. Ya en lasegunda mitad del siglo XIX, presentó un notable auge con la aparición degrandes matemáticos, que dieron origen al álgebra abstracta contemporánea.

Para terminar, hoy en día, cada rama de las matemáticas tiene su álgebra. Existeun álgebra de los conjuntos, un álgebra de la lógica, un álgebra de la geometría,un álgebra de las matrices, etcétera.



35

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Simbolización


Teniendo en cuenta lo aprendido en unidades anteriores sobre números naturales,enteros, racionales, reales y sobre sus propiedades, junto con dos compañeros, realizolo que a continuación se indica:

1. Si a y b son dos números cualesquiera, escribo en forma simbólica los siguientesenunciados verbales.

a) El área de un rectángulo de largo a y ancho b.

b) La suma de a y b.

c) El triple de a disminuido en su cuadrado.

d) El doble de la suma de a y b.

e) b disminuido en 1.

f ) El doble de la suma del cuadrado de a y del cuadrado de b.

g) El cuadrado de la suma de a y b.

2. Si a representa cualquier número, enuncio verbalmente las siguientes expresionessimbólicas.

a) a - 5 e) 12a

b) 2 (a + 1) f) (a - 1)2

c) a + 3

d) 2a + 1



36


U R A L

3. Tomando las siguientes expresiones,

a) n d) -6mn g) (m + n)2

b) n + m e) 2m + 3n h) 2n + 4

c) 3mn2 f) -3n i) -m2 + 1

identifico algo que tengan en común las expresiones a), c), f), similarmente con lasexpresiones b), e), h), i).

CONCLUYAMOS

La representación de una o varias operaciones o relaciones matemáticas denúmeros, considerados en forma general, se llaman EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

n + n + 1 es una expresión algebraica.

Lo mismo 3n - 2, también lo es 4n - 3m + 2n.

Una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separadosentre sí por los signos “mas” ó “menos”, se llama TÉRMINO.

Las siguientes expresiones algebraicas son términos:

a) n d) 5x

y

b) 3a e) 3x2

c) -2ab



37

En cada término podemos distinguir 3 elementos:

1. EL COEFICIENTE. Si un término está formado por el producto de dos o másfactores, cada factor se llama coeficiente del resto de la expresión.

Generalmente, llamamos coeficiente a la parte numérica de la expresión.

El coeficiente de -2ab2 es -2.

2. PARTE NUMÉRICA. Es el coeficiente numérico del término.

3. PARTE LITERAL. Son los símbolos algebraicos (letras) que representancualquier número considerado en general.

Un término algebraico en el cual la parte literal está formado por potenciasenteras no negativas de los números, considerados en general se llamaMONOMIO.

La suma indicada de dos o más monomios se llama POLINOMIO y cuando setiene la suma indicada de 3 monomios se llama TRINOMIO.


Tengo en cuenta las siguientes expresiones:

a) 3x2y c) 5x4y3

b) -4xy3 d) -6x3y2



38


U R A L

1. Identifico el exponente de x en cada caso.

2. Identifico el exponente de y en cada caso.

3. Doy la suma de los exponentes de la parte literal en cada caso.

CONCLUYAMOS

Se llama GRADO RELATIVO de un monomio, respecto a uno de los símbolos dela parte literal, al exponente de este símbolo.

Así, si tenemos la expresión -3m2 n3 podemos decir que es de grado dos conrespecto a m, y de grado 3 con respecto a n.

La suma de los exponentes de los términos de la parte literal de un monomio sellama GRADO DEL MONOMIO.

El monomio -6x2 y4 tiene grado 6 porque la suma de los exponentes de los símbolosde la parte literal es 2 + 4 = 6.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos de dichopolinomio.

EJEMPLO:

a) 3x5 + 2x3- 3x2 - x + 5 tiene grado 5 porque el término de grado mayor es3x5.

b) xy3

+ 4x3

y4

- 2x2y + 8 tiene grado 7 porque el término de grado mayor es4x3 y4.



39

EVALUEMOS LO ESTUDIADO


CTIVIDAD 3. Individual1. Escribo tres expresiones algebraicas en forma simbólica.

2. Si a representa cualquier número entero, expreso en forma verbal cadauna de las siguientes simbolizaciones algebraicas.

a) (a - 1)2 c) 3a -2 e) 2a2 - 1

b) a2 - 1 d) 3(a - 2) f) 2 (a2 - 1)

3. Si tengo las siguientes expresiones verbales:

a) El número de cargas de café de la cosecha disminuido en 20.

b) Cuatro veces el dinero que tengo en ahorros.

c) El área de un cuadrado aumentada en su perímetro.

d) Las2

3partes de las cabezas de ganado de una finca.

Escribo estas expresiones en forma simbólica indicando cuáles son monomios.



40


U R A L

4. En las expresiones algebraicas,

a) 2n3 m d) 5xy + 3x2

b) n3 - 2n2 e)-4

5x4 y12

c) -4x2 y2

realizo lo siguiente:

• Identifico por aparte los monomios y los polinomios.

• En cada uno de los monomios escribo, sus coeficientes, su parte literal, elgrado relativo de cada símbolo y el grado de cada monomio.



41

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 1

OPERACIONES CON EXPRESIONES ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ALGEBRAICAS


1. Si llamo x al número de gallinas, y al número de matas de café y z al número deárboles, reduzco un poco la siguiente expresión:

2x + 3y + 4z - 2x + 4y - 2z - 8x

2. Analizo e identifico las semejanzas y diferencias que encuentro en cada una de lassiguientes parejas de términos algebraicos.

a) m2n y - 2n m c) 2a2 b y - 3a2 b

b) 3a y -1

5a d) a2 b y b2 a

3. Simplifico las siguientes expresiones:

a) 2n + (3n - 1) d) 4b - (5 - 3b)

b) 3xy - (2xy - 5) e) 6a2+(2-3a2)

c) 5a + (2a + 3)



42


U R A L

4. Analizo las siguientes parejas de términos y hago algún comentario sobre las partesliterales de cada pareja.

a) 6a y -12a d) 8y y -7y2

b) 3x2 y -2x2 e) 2a2b y -4ab2

c) 3ab2 y 6ab2

CONCLUYAMOS

En una expresión algebraica, los términos que tienen la misma parte literal, osea los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes se llamanTÉRMINOS SEMEJANTES.

Si en una expresión algebraica se encuentran términos semejantes, éstos sepueden sumar algebraicamente, para reducirlos a un sólo término. Estareducción se hace sumando o restando los respectivos coeficientes numéricos.

EJEMPLOS:

6a - 12a = -6a 3x2y + x2y - 2x2y = 2 x2y

Cuando en una expresión algebraica aparecen diferentes términos semejantes,estos se pueden conmutar y reducir.

EJEMPLO:

-3a +8b - 7a + 2b = -3a - 7a + 8b + 2b = -10a + 10b



43

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO


1. A cada uno de los siguientes términos le sumo o resto un término semejante y efectúo la operación.

a) 2a d) -2mn2

b) -3a2 e) −5

2

a2y3

c) 4x2

2. Reduzco en cada caso los términos semejantes.

a) 4x - 2y - 3x c) 4xy - 2x2 + 6x y- 7x2

b) 2m2n + 2n - 5m2 n + 6n d) -3ab2 + 6a - 7b -8a + 9ab2

3. Aplico lo que ya aprendí sobre las propiedades de los números reales, para resolverel ejercicio anterior (ayuda: uso primero la conmutatividad y luego la asociatividad).

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Uso signos de agrupación

Recordemos que el inverso aditivo de 3 es (-3) porque

3 + (-3) = 0 pero 3 + (-3) = 3 - 3 = 0



44


U R A L

Generalizando si a es un número real, su inverso aditivo es - a porque

a + (-a) = 0 pero a + (-a) = a - a = 0.

Por otro lado si a y b son números reales, enteros a + b es un número real, y suinverso aditivo es - (a + b) por lo tanto:

(a + b) + [(- (a + b)] = 0.

Como a + b - a - b = 0, al comparar esta expresión con la expresión anterior, sepuede concluir que - (a + b) = -a - b.


1. En el párrafo anterior se concluyó que - (a + b) = - a - b. Describa este hechooralmente resaltando la acción que tiene el signo - (menos) sobre el paréntesis.

2. Encuentro el inverso aditivo de cada una de las siguientes expresiones

- 8; - a; 5b; (5 + 4); (x + y); (x - y); - (m + n); - (m - n); - (- 8 - u)

3. En mi cuaderno completo las siguientes igualdades:

a) - a - 5 = - ( ) d) 5 + x2 - x = - ( )

b) - m + 3 = - ( ) e) - x + 8 - y2

= - x - ( )c) h - 1 = - ( ) f) - x2 - 3x - 2 = - ( )

Sugerencia. Tenga en cuenta la igualdad tratada en el ejercicio 1.



45

4. Simplifico cada una de las siguientes expresiones:

a) (4x + 3x - 8x) + (5y - 2y)

b) (5x2 - 2x2y) - (8xy2 + 3xy2 )

c) 5mn - ( 8mn - 3m ) - 2m

d) - (- x2 - 2x + 1) + (- 3 + 2x + x2)

CONCLUYAMOS

Si se hace necesario eliminar un signo de agrupación precedido de el signo -(menos) entonces todos los términos dentro de él cambian de signo y si estáprecedido de signo + (más) los términos mantienen su signo. Recíprocamente,para agrupar varios términos en un signo de agrupación precedido de signo -(menos); es necesario cambiar el signo a cada uno de los términos agrupados.

EJEMPLOS:

a) x - 2Y + 3 = - (- x + 2y - 3)

b) - (1 - 2y) + (3x - y) = - 1 + 2y + 3x - y = 3x + y - 1

c) 3 (x + y) - x - y = 3 (x + y) - (x + y) = 2 (x + y)

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Operaciones con Polinomios

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se suman los términos semejantes.



46


U R A L

EJEMPLO:

Sumar x2 - x + 8 con 2x2 - 5x - 3

(x2 - x + 8) + (2x2 - 5x - 3) = x2 - x + 8 + 2x2 - 5x - 3

= x2 + 2x2 - x - 5x + 8 - 3

= 3x2 - 6x + 5

otra forma: x2 - x + 8

2x2 - 5x - 3

3x2 - 6x + 5

CONCLUYAMOS

Como toda expresión algebraica es una representación simbólica de losnúmeros reales, la suma de expresiones cumple las mismas propiedades de ellos.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se puede escribir una acontinuación de otra y luego se reducen los términos semejantes.

Otra forma de sumar dos o más polinomios es: primero ordenarlos de acuerdoa algún criterio definido y luego colocarlos uno debajo de otro en tal forma quetérminos semejantes queden en una misma columna, para por último efectuarla operación.



47

EVALUEMOS


Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad.

1. Supongamos que tenemos dos montones de naranjas. Un montón tiene a naranjas.Expresamos simbólicamente el número de naranjas que hay en el segundo montónsi en él hay:

a) Doce naranjas menos que en el primero.

b) 7 veces lo que tiene el primero.

c) La sexta parte de las naranjas que hay en el primer montón.

2. Escribimos la igualdad de dos expresiones que representen el número de cabezasde ganado que hay en tres manadas. La primera tiene el doble que la segunda, latercera tiene el doble de cabezas que la primera. En total hay 63 reses ¿Cuántas

cabezas hay en cada manada?3. Hallamos el perímetro de las siguientes figuras:

En la figura el ∆ ABC es esquilatero de lado n y ∆CDE es isósceles de catetos iguales a la altura del ABC. Halle el perímetro de toda la figura.

SUGERENCIA. Usen Pitágoras si desean.



48


U R A L

4. Encontramos el valor de los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo queellos son respectivamente, 3 centímetros más pequeños que el tercer lado y superímetro es de 18 centímetros.

5. La suma de tres números enteros consecutivos es 57. Hallamos la ecuación querepresente esta situación y decimos cuál es el más pequeño de los tres.

6. Simbolizamos los siguientes enunciados verbales, con una expresión algebraica y reducimos los términos semejantes si es posible.

a) El perímetro de un cuadrado de lado a.b) El perímetro de un rectángulo de base x y altura y.c) El perímetro de un rectángulo de base a si esta excede a su altura en 3

unidades.d) La suma de las edades de una madre y su hija, si la madre tiene 30 años más quela hija.

PROBLEMAS PARA PENSAR


1. La siguiente tabla es la de contar del 1 al 100.



49

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

El siguiente ejercicio tiene como objetivos.

a) Traducir del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico.

b) Generalizar situaciones numéricas.

c) Usar las letras como números generalizados.

d) Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.



50


U R A L

Tomo un cuadrado de 2 x 2 (formado por cuatro números del tablero de contar.

Por ejemplo:

15 16

25 26

Observo que 15 + 26 = 16 + 25 = 41.

¿Será válida esta propiedad para todos los cuadrados 2x2 de la tabla de sumar? Sies válida, la enuncio y la justifico.

2. Construyamos la tabla de la suma para los dígitos y repetimos las mismas actividadesque en el ejercicio anterior.

• Analizo si se cumplen estas propiedades al tomar los cuatro números, de 2 filas (ode dos columnas) no contiguas.

• Analizo otras situaciones con cada una de las tablas.


Junto con otro compañero:

1. Realizamos las siguientes operaciones:

a) 12 + (-5) + (16-2) d) (a + b) - (a + 5)

b) (12 - 8) + (13 - 5) e) (x + 2y) - (3y - 2x)

c) - 8) + (13 - 5)



51

2. Para cada uno de los siguientes monomios, buscamos otro que, al sumarlos con elanterior, nos de como resultado cero. Tratamos de darle un nombre al monomioencontrado.

a) -3a2 d) -3

2m

b) 4x3 e)4m2 n

c) 1

2y2

3. Realizamos las siguientes restas.

a) De 21x2y restamos 8x2y. c) De 12mn restamos -15mn.

b) De -3a2b2 restamos - 2a2b2.

4. Como en el punto 2, para cada uno de los siguientes polinomios, buscamos otropolinomio que al sumarlo con el anterior nos dé cero.

a) x - y c) -4a2 + 5b + 3

b) 2x - 3y + 1 d)2m - 3n + 5mn

Tratamos de restar el polinomio 4x3 - 2x2y + 5x - 8 del polinomio 8x3 + 5x2y + 7x - 16.



52


U R A L

CONCLUYAMOS

Dado un monomio, si existe otro monomio que al sumarlo con el primero dacero, este último se llama el INVERSO ADITIVO del primero.

Para restar dos monomios, se suma el minuendo con el inverso aditivo delsustraendo.

EJEMPLO:

El inverso aditivo de - 4 x2 es 4 x2 ya que - 4 x2 + 4 x2 = 0.

Todo polinomio también tiene su inverso aditivo; para hallar éste sólo se tienenque cambiar todos los signos al polinomio.

EJEMPLO:

El inverso aditivo del polinomio 2 x2- 3y es - 2 x2+ 3y ya que el opuesto de2 x2 es - 2 x2 y el de -3y es 3y.

Además (2 x2 - 3y) + (- 2 x2 + 3y) = 0.

Para restar un polinomio de otro, lo único que tiene que hacerse es sumar alminuendo, el opuesto aditivo del sustraendo.



53

PRACTIQUEMOS Y EVALUEMOS LO ESTUDIADO


1. Encontremos el inverso aditivo de:

a) -8a2 b) 7

2m c) - 1

2z3

2. Hallamos el inverso aditivo de los siguientes polinomios:

a) −2

3 xy - 4xy2 + 5 c) 4a2 - 3b2 + (2 - b)

b) m - 2n2m + 5m2 d) -3t2 + 6t - 5

3. Efectuamos las siguientes sustracciones:

EJEMPLO:

Para restar -2x2 + 3xy + 4y 3 - 8 de 4x2 - 3xy + 8y 3 - 3

Buscamos el opuesto aditivo de:

-2x2 + 3xy + 4y 2 - 8 el cual es 2x2 - 3xy - 4y 3 + 8 y éste lo sumamos con elminuendo 4x2 - 3xy + 8y 3 - 3, es decir:

4x2 - 3xy + 8y3 - 3

2x2 - 3xy - 4y3 + 8

6x2 - 6xy + 4y3 + 5



54


U R A L

Luego (4x2 - 3xy + 8y 3 - 3) - (- 2x2 + 3xy + 4y 3 - 8) = 6x2 - 6xy + 4y 3 + 5.

a) Restamos 4m2 - 3m + 2 de 8m2 + 2m - 5.

b) Restamos 7

2a2 + 2

3ab - 5 de 8a2 - 3ab + 10.

c) Restamos -35t2 + 15ts +20s2 de t2 + 3st + s2.

4. Hallamos el polinomio que al restarlo de:

a) x2 + y 2 nos de como diferencia 3x2 + 6y 2 - 4xy

b) a3 + b3 - 5ab nos dé como diferencia -a3 - 2b3 + 8 - 5ab

5. Calculamos el área de la zona no sombreada que aparece en las siguientes figuras:




55


Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad:

Consideremos el patio de la escuela y dos de los salones principales, cada uno con lasdimensiones que se presentan en las figuras.

PATIO 2a-1 SALÓN 2a-1 SALÓN 2a-2

3a

3

2 a 4a-2

a) Hallamos el área en función de a tanto del patio como de los dos salones,todos por separados, suponiendo que a es un número entero.

b) Sea a = 2 m. Hallamos cada una de las áreas con este nuevo valor.

Tratamos de hacer una comparación, entre los resultados obtenidos en la parte a) y los obtenidos en la parte b).


Teniendo en cuenta las propiedades de los números reales y algunas de la potenciación, junto con 2 de mis compañeros efectuamos lo que a continuación se indica:



56


U R A L

1. Si tenemos el monomio 4a2b3 para multiplicarlo por -2ab2c, indicamos la operacióncomún y corriente así: (4a2b3) x (-2ab2c) ahora realizamos los siguientes pasos:

a) Aplicamos la propiedad conmutativa, las veces que sean necesarias, hasta dejarcontiguos tanto los coeficientes numéricos, como los símbolos literales.

b) Asociamos todos los productos indicados de los coeficientes con cada una delas expresiones literales.

c) Multiplicamos los coeficientes y aplicamos el producto de potencias de igualbase con lo que obtenemos - 8a3 b5c.

2. Repetimos el proceso anterior con el producto de -3x2

yz por -4x3

y 2

z3

.3. Repetimos el proceso multiplicando entre si las expresiones siguientes:

-2x2yz; 4xy; -8xy2z2

4. Aplicamos las propiedades posibles para desarrollar:

(-2m2n3)3

5. Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y realizamos las demás operaciones; para efectuar el producto de:

a) 8a (7a + 3)

b) -5x (2x - 5x2 + 4)



57

CONCLUYAMOS

Para multiplicar un monomio por otro, primero se aplica la propiedad

conmutativa, las veces que sea necesario, hasta dejar contiguos tanto loscoeficientes numéricos como los símbolos literales. Luego se asocian todos losproductos indicados de los coeficientes y de los símbolos literales, para por últimoefectuar las multiplicaciones y aplicar el producto de potencias de igual base.

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributivade la multiplicación respecto a la suma; multiplicando el factor (monomio) porcada uno de los sumandos del polinomio.

Por último se suman los productos parciales en cuanto sea posible.

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO


1. Efectúo las siguientes operaciones:

a) 24 f) 4n3·(n2 + m + a)

b) (-3a2)(-5a4b) g) a2 · a-5

c) (2x2)·x3 h) (a5b)4

d) -3a2 x (2x3)·(x-4) i) (anbn)52

e) -3a2·(2 + a3)



58


U R A L

Tomo como base el siguiente ejercicio para luego desarrollar los demás.

(2a - b2) ( (a2 - 3b3 + 8)

a) (2a) (a2) + (2a) (-3b3)+ (2a)8 + (-b2) (a2) + (-b2) (-3b3) + (-b2) (8)

b) 2a3 + (2) (-3) (ab3) + (2) (8) a + (-1) (b2a2) + (-1) (-3)b2b3 + (-1) (8)b2

c) 2a3 -6ab3 + 16a - b2a2 + 3b5 -8b2

2. Efectúo el producto indicado:a) ( a + b) (a - b) c) (x + 2y) (x2 + 3y + 5)

b) (a - b) (a2 - b2) d) (4x - 3y2) (-2x2 - 5y2 + 6)

3. Efectuar 2ab por 6a2 - 5a2b + ab2 - 5b2.

Solución:

6a2 - 5a2b + ab2 - 5b2

2ab

12a3b - 10a3 b2 + 2a2 b3 - 10ab3

4. En igual forma:a) Multiplico 2x2 - 3y 2 + 4xy - 5 por -3xy.



59

b) Efectúo la multiplicación de:

ab - 3a3b2 + 62b3 - a2 por (2a - b)

5. Si A 1 = 2ab

A 2

= -3 a2b

A 3

= (-2a + 3b)

a) Efectúo los productos A 1

· A 2

; A 3

· A 1

; A 2

· (A 1

+ A 3).

b) Luego de haber realizado las operaciones anteriores le doy a a el valor de 2 y a

b el valor de -1, para obtener resultados numéricos.

Por ejemplo: A 2

· A 3

(-3a2b) · (-2a + 3b)

(-3a2b) (-2a) + (-3a2b) (3b)

6a3b - 9a2b2

Ahora en este resultado reemplazamos a = 2 y b = -1:

6a3b - 9a2b2 = 6(2)3 (-1) - 9(2)2 (-1)2

= 6(8)(-1) - 9 (4)(1)

= - 48 - 36= -84

c) Encuentro el valor numérico de A 1

· A 2

; A 3

· A 1

; A 2

· (A 1

+ A 3

) con a = - 1y b = 3.



60


U R A L


Con base en los conocimientos adquiridos realizo la siguiente actividad.

1. Si tengo la igualdad:

y + y

3=8

a) Suponiendo que el valor de y es 3, sustituyo este valor en y +

y

3

¿Es este valor igual a 8?

b) Trato de alguna manera de encontrar el valor de y para que se cumpla la igualdad.

c) ¿Para qué valor de y se cumple la igualdad?

2. a) Trato de hallar el número k que satisfaga la igualdad:

4k + 3 = 2k + 15

b) Hago lo mismo con la igualdad:

3n - 3 = n - 15

3. Si la suma de 2 números enteros consecutivos es 27,

a) Planteo una ecuación que me presente la situación.

b) Hallo el mayor de los 2 números.



61

4. Si al área de la finca de nuestro vecino le quitamos 15.000 metros cuadrados,queda igual a 4 veces el área de nuestra finca. ¿Cuánto mide cada una de las fincas?¿Hay más de una solución?

5. Si tengo el siguiente enunciado verbal: “Hallar un número tal que su triploaumentado en 6 dé 21”, lo expreso simbólicamente y encuentro la solución.


Prestamos atención a la siguiente situación:

En una finca cercana a la escuela de la vereda, tienen almacenadas cierto número decajas de tomate para recolectar la cosecha, en la forma que se ve en la siguiente gráfica.

Los señores de la finca saben que el volumen apilado es exactamente de 8x3 +6x2

metros cúbicos (x un entero mayor que 1) y que la base es la misma área rayada de laparte de arriba; ellos necesitaban hallar esa área, pero no podían medirla, la únicamedida disponible era la de la altura que es h. Buscaron ayuda en la escuela y dos de

los alumnos más avanzados de 8º grado, les resolvieron fácilmente el problema.



62


U R A L

Para ello hicieron lo siguiente: como no podían medir la base directamente y vieronque la altura era la misma en cualquier parte, la midieron y les dio h = 2x.

Por sus conocimientos geométricos sabían que el volumen es igual al área de la base

por la altura, es decir V= A h, entonces necesitaban hallar el área de la región sombreadao sea la misma A; despejando A de la fórmula anterior se obtiene A =

v

h.

Como ya sabían los valores de V y h los reemplazaron para obtener

A8x +6x

2x

3 2

=

Vieron que 2x es divisor común de 8x 3 y 6x 2, entonces hicieron lo siguiente:

A8x

2x

6x

2x

3 2

= +

Aplicaron las propiedades de multiplicación de potencias de igual base y simplificaron

obteniendo A = 4x2

+ 3x.Resolvieron así el problema y obtuvieron una bonificación de $10.000 dada por losseñores de la finca.

En la situación anterior hay varias preguntas que podemos responder:

1. ¿Será posible hallar el volumen V de la figura, si conocemos el área de la base A y la altura h?



63

2. ¿Si conocemos el volumen y el área de la base, podemos hallar la altura h?

3. Teniendo en cuenta el punto 2, realizamos las operaciones necesarias, para hallarla altura y así probar que lo que hicieron los 2 alumnos estuvo correcto.

4. En el problema inicial reemplaza x por 2 metros y halla el valor del área.

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) 8m n

4mn

3 2

b) h - 3h

3h

3 2

Tratamos junto con los compañeros de efectuar la parte b) de dos maneras.

RESUMAMOS LO ESTUDIADO

Para dividir dos monomios entre si procedemos de la siguiente forma:

1. Dividamos el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador,teniendo en cuenta los signos.

2. Se dividen las partes literales que sean semejantes, aplicando las propiedades decociente de potencias de igual base.

3. El resultado de división es por lo general otro monomio.

Pregunta: ¿Cuándo la división de dos monomios no es un monomio?



64


U R A L

PRACTIQUEMOS

Efectuemos la división de 12x2y 3 entre -4xy 2.

Para este fin procedemos así:

1. Dividimos los coeficientes con los respectivos signos así:

12 ÷ (-4) = - 12

4=-3

2. Dividimos ahora las partes literales.

x2y3 ÷ xy2 = x y

xy

2 3

2= x2-1y3-2=xy

3. La solución es -3xy.

Podemos efectuar la división entre un polinomio y un monomio, para esto procedemoscomo sigue:

1. Se ordena el polinomio de acuerdo a las potencias de una letra en forma descendente.

2. Se divide luego, cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado.

3. Luego se siguen los mismo pasos que se ejecutaron para la división de monomios.



65

PRACTIQUEMOS

Dividir 8a5b4 - 4a4b3 + 6a7b5 entre 2a2

SOLUCIÓN. Primero ordenamos el polinomio, de acuerdo a las potencias de aen forma descendente, así:

6a7b5 + 8a5b4 - 4a4b3

Dividimos, ahora cada termino de este polinomio (ya ordenado) entre elmonomio 2a2.

6a b2a

8a b2a

4a b2a

7 5

2

5 4

2

4 3

2+ −

Simplificando obtenemos 3a5b5 + 4a3b4 - 2a2b3, es decir

8a b 4a b 6a b

2a

5 4 4 3 7 5

2

− += 3a5b5 + 4a3b4 - 2a2b3


Tengamos en cuenta la siguiente situación que se presenta muy a menudo.

La familia Rodríguez posee un terreno rectangular que tiene un área de 3x2 + 8x - 3metros cuadrados y un ancho de x + 3 metros. Ellos necesitan saber exactamente el

largo del terreno (aquí x representa un entero mayor o igual que 3).



66


U R A L

Junto con 3 de mis compañeros y con ayuda del profesor, tratamos de resolver elproblema a la familia Rodríguez. Hacemos uso de lo aprendido en las dos actividadesanteriores.

CONCLUYAMOS

Para resolver el problema anterior se necesitó realizar una división entre dospolinomios.

Así, para dividir un polinomio entre otro, tengamos en cuenta los siguientes pasos:

1. Se ordena el polinomio dividendo y el polinomio divisor, en formadescendente respecto a la misma letra.

2. Si en el polinomio dividendo hace falta términos, se completan estossumandos (o lugares) con ceros o bien se dejan en blanco.

3. Se divide el primer término del polinomio dividendo, entre el primer término

del polinomio divisor y se escribe este resultado en el cociente.

4. Este resultado, escrito en el cociente, se multiplica por cada uno de lostérminos del polinomio divisor y el resultado se va restando del polinomiodividendo.

5. Se bajan los términos siguientes en el polinomio dividendo.

6. Se repite de nuevo el proceso, las veces que sea necesario.



67

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO


De las operaciones con expresiones algebraicas, posiblemente la división sea la querequiere de más atención, por eso en esta actividad vamos a encontrar ejercicios resueltossobre divisiones, a manera de ejemplos.

1. Si tenemos un terreno rectangular cuya área es de 12a4 metros cuadrados, y cuyolargo es 4a4 metros. Nos piden hallar el ancho de dicho terreno (aquí “a” representa

un entero mayor o igual que 2).

SOLUCIÓN:

12a4 metros2 ancho = ?

4a2 metros

Como ya sabemos Área = largo x ancho, entonces ancho = Area

largo. Así para hallar el

ancho tenemos que efectuar la división del área entre el largo, o sea,

12a metros

4a metros=

4 2

23a2 metros = ancho.



68


U R A L

2. El mismo ejercicio anterior, con otros datos: Área = 8a4 metros2 y largo = 5a2

metros.

SOLUCIÓN:

8a4 metros2 ÷ 5a2 metros = 8a metros

5a metros=

8a

5metros

4 2

2

2

3. Suponiendo que el producto de dos expresiones algebraicas es 9x2 - 10x +6x3 - 15 , y conociendo que uno de los dos factores es 2x + 3, donde x es un enteromayor que 1, necesitamos hallar el otro factor.

SOLUCIÓN:

Para hallar el otro factor, efectuamos la división del producto por el factor conocido, osea:

9x2 - 10x + 6x3 - 15 ÷ 2x + 3

Para esto realizamos los siguientes pasos:

a) Ordenamos el dividendo en potencias decreciente de x:

6x3 + 9x2 - 10x - 15

y ejecutamos la división así:

b) 6x3 + 9x2 - 10x - 15 2x + 3

-6x3 - 9x2 3x2

0 0 -10x - 15

Nota 3x2 es el resultado de dividir 6x3 entre 2x. Ahora - 6x3 - 9x2 es el resultado de multiplicar 2x+3 por 3x2 con signomenos porque se está restando.



69

c) Continuando con la división,

6x3 + 9x2 - 10x - 15 2x + 3

-6x3 - 9x2 3x2 - 5

0 0 -10x - 15

10x + 15

0 0

Nota el -5 es el resultado de dividir -10 x por 2x.

Ahora, 10x + 15 es el resultado de multiplicar 2x + 3 por -5 para restar este resultado

del nuevo dividendo -10x - 15.

d) Por último el resultado de la división es el cociente 3x2 - 5.

El residuo en este caso es cero.

4. Dividamos 3a3 - a + 4 - 2a2 entre 2a2 + 2 - 3a.

SOLUCIÓN:

Colocamos los polinomios 3a3 - a + 4 - 2a2 y 2a2 + 2 - 3a; en potencias decrecientesde a, o sea:

3a3 - 2a2 - a + 4 y 2a2 - 3a + 2b)

3a3 - 2a2 - a + 4 2a2 - 3a + 2

-3a3+

9

2a2- 3a

3

2 a

0 +

5

2a2- 4a + 4

Nota. Este 3

2 a es el resultado de dividir 3a3 por 2a2.



70


U R A L

-3a3 + 9

2a2 - 3a es el resultado de multiplicar 2a2 - 3a + 2 por 3

2a y cambiarle el

signo para restar.

5

2a2 - 4a + 4 es el nuevo dividendo para continuar repitiendo pasos.

3a3 - 2a2 - a + 4 2a2 - 3a + 2

-3a3 + 9

2a2 - 3a 3

2a+ 5

4

0 + 5

2a2 - 4a + 4

- 52

a2 +154

a - 104

0 −1

4a + 6

4

Nota: 5

4es el resultado de dividir 5

2a2 por 2a2.

5a

22a

2

2= 5

4

− + −5

2a

15

4a

10

4

2 es el resultado de multiplicar 2a2 -3a + 2 por 5

4y cambiar de signos

para restar.

− +1

4a

6

4- es el resultado de la resta indicada.

d) Como −1

4a + 6

4ya no se puede dividir por 2a2 -3a + 2, (por ser este último

polinomio, de mayor grado que el dividendo), la división termina; dando como

resultado final el cociente 3

2a + 5

4y como residuo −

1

4a + 6

4.



71

4. Simplifico cada uno de las siguientes expresiones:La solución general de la división se suele escribir como:

3

2a

5

4

1

4a

6

4

2a 3a 22

+ + − +− +

El sumando− +

− +

1

4a

6

4

2a 3a 22

es el residuo dividido por el divisor.


ACTIVIDAD 15. En grupos de 3 estudiantes

1. Buscamos una expresión, que multiplicada en cada caso por el monomio queaparece a continuación, nos de como resultado 15x2y.

a) 5x. d) 1

b) 15

4x e) 1

xy

c) 12



72


U R A L

2. Realizamos las siguientes divisiones:

a) 1

2a2 entre 2

3d) 3a2b2 + 5a3b3 entre -2a.

b) 2

3m5n3 entre 1

6n3 e) 18x4y2 -6x2y4 entre -3x2y2

c) -4x3y5 entre 8xy3

3. El terreno de una casa es de forma rectangular y tiene 18x2 + 9x - 20 metros

cuadrados de área. Si uno de los lados mide 6x - 5 metros, hallemos el otro lado.

En este problema x representa un entero mayor o igual que 1.

4. Realizamos el problema anterior dándole a x el valor de 3.

5. El producto del dinero que poseen 2 amigos es 2x3 + 10x -3x2 - 15 pesos, parax ≥ 3. Si el dinero de uno de ellos es x2 + 5, ¿Cuál es el dinero del otro amigo?

Aquí x representa un entero mayor o igual que 3.

6. Realizamos el problema anterior dando a x el valor 50.

7. Efectuamos las siguientes divisiones:

a) u2 - 5u + 7 entre 3u - 4 d) 3m2 + 4m3 + 8m entre 3m - 5m2

b) a2 - 9 entre a - 3 e) 2x2 + 2x2 - 2x + 30 entre x2 - 2x + 5

c) x3 - 1 entre x - 1



73

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES


1. Descompongo el número 100 en todos sus factores primos.

2. Busco por lo menos 4 pares de monomios tales que, al multiplicarlos entre sí dencomo resultado 6a3b5.

3. Escribo la expresión algebraica t5 + 3t2 como el producto de dos factores.


Suponemos que representa la misma expresión algebraica, o sea, que tiene elmismo valor donde la encontremos.

Si tenemos un polinomio cualquiera como:

4 -3m + 6a

Junto con mis compañeros realizamos la siguiente actividad:



74


U R A L

1. Identificamos lo que encontremos de común en cada uno de los sumandos delpolinomio anterior.

2. Lo sacamos y lo dejamos como un factor del polinomio que quede.

3. Efectuamos el productos de los dos factores anteriores, para probar si lo que hicimosen 2 fue correcto.

4. Reemplazamos el símbolo en el polinomio inicial, por las siguientesexpresiones.

a) Un número.

b) Un monomio.

c) Un binomio.

5. Para cada caso del punto 4, tratamos de descomponer el polinomio en dos factores,donde uno de ellos es lo que reemplazamos por .

CONCLUYAMOS

Algunos polinomios pueden descomponerse como el producto de 2 ó másfactores.

Así, para factorizar un polinomio, que tenga un factor común en todos sustérminos, se descompone como el producto de 2 factores: el primero es elfactor común y el segundo el que resulta de dividir cada sumando del polinomio

entre el factor común.



75

EJEMPLO:

8a - 4a2b + 6a3b2 = 4(2a) - 2ab(2a) + 3a2b2(2a) = 2a (4 - 2ab + 3a2b2)

Como puede observarse, la factorización se basa en la ley distributiva delproducto con respecto a la suma. Además, el factor común puede ser unnúmero, un monomio, un binomio u otro polinomio.

PRACTICAMOS LO ESTUDIADO


Junto con 2 de mis compañeros, comentamos, discutimos y efectuamos los siguientesejercicios.

1. Factorizamos los polinomios.

a) 2m2

- 4mn + 8 c) 2(a-b) - 3(a-b)2

+ 5(a-b)3

b) 2m2 - 4mn + 8 m3 d) aa

b5

a

b8

a

bc

2 3

−

+

2. Prestamos atención al siguiente proceso utilizado para factorizar el polinomio 12xy - 8xz - 6ty + 4tz.

a) Asociamos los 2 primeros sumandos y también los dos últimos así:

(12xy-8xz) + (-6ty+4tz)



76


U R A L

b) Factorizamos cada expresión así:

4x(3y-2z) - 2t(3y-2z)

c) Este nuevo polinomio tiene un factor común. Por lo tanto lo factorizamos así:

(3y - 2z) (4x - 2t)

d) Como el factor (4x - 2t) tiene al 2 como factor común; el polinomio se factoriza,así:

(3y - 2z) 2 (2x - t)

Por consiguiente,12xy - 8xz - 6ty + 4tz = 2 (3y - 2z)(2x - t)

3. Similarmente factorizamos los polinomios:

a) a+b-xa-xb c) 2b+2a2b-3c-3a2c

b) xyz-xytw-mz+mtw d) 6abc-3c-10abdx+5dx.


Con dos de mis compañeros realizo la siguiente actividad.

1. En una hoja de papel dibujamos la figura que a continuación encontramos.



77

2. ¿Cuál es el área de este cuadrado?

3. ¿Cuál es el área de cada una de las 4 figuras en que está descompuesto el cuadrado?

4. Expresemos la equivalencia entre el área del cuadrado inicial y la suma de las áreasencontradas anteriormente.

5. Expresemos en lenguaje natural la equivalencia anterior.

6. Junto con mis compañeros sacamos algunas conclusiones de todo lo que hicimos.

CONCLUYAMOS

Algunos productos que cumplen ciertas reglas y cuyo resultado puede ser escrito porsimple inspección, o sea, sin verificar la multiplicación se llaman PRODUCTOSNOTABLES.



78


U R A L

En la actividad anterior desarrollamos el producto:

(x+y)(x+y) =(x+y)2 = x2 + 2xy + y2 (1)

Que traducido en palabras lo podemos resumir diciendo que el cuadrado de la sumade dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primeracantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Igualdades como la (1) que son válidos para todos los valores de x y y se llamanidentidades y es importante mirarlos de derecha a izquierda y también de izquierda a

derecha.

Así, si tenemos la expresión a2 + 2ab + b2 esta se puede factorizar como: (a+b)2, es decira2 + 2ab + b2 = (a+b)2.

Por otro lado para factorizar expresiones del tipo x2 + ax + b, donde, a y b sonnúmeros enteros específicos, se procede así: se buscan, si es posible, dos númerosenteros c y d tales que c + d = a y cd = b. Luego se escribe x2 + ax + b = (x + c)

(x + d).

EJEMPLO:

Factorizar x2 + x - 6. Buscamos dos enteros que multiplicados den -6 y sumados den1, ellos son +3 y -2. Luego:

x2

+ x - 6 = (x + 3) (x - 2)



79

A B

D C

x

x+y

En el caso anterior, si el coeficiente de la x2 no es 1, como por ejemplo factorizar 2x2 -7x + 6, entonces se procede así:

2x -7x+ 6 =2(2x -7x+6)

2

2 2x 2 7x 2 6

2

(2x) 7(2x) 12

2

22 2 2

= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − +

(2x -4)(2x-3)

2

2(x 2)(2x 3)

2(x 2)(2x 3)=

− −= − −

Observemos que en el primer paso del desarrollo se multiplica por el coeficiente de la

x2 y en el cuarto paso se procede buscando dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7 los cuales son -4 y -3.


Trabajo en grupos de 2 estudiantes.

En una hoja de papel en blanco pintamos un rectángulo que sea semejante al siguiente,llamando x al ancho y x+y al largo.



80


U R A L

Ahora hacemos un doblez en forma tal que el vértice D caiga sobre el lado AB, así seobtiene el punto E ∈ AB. ¿Cuánto mide AE? Cuanto mide EB? Ahora llamamos F ael punto extremo más bajo del doblez, es decir, F ∈ DC. Unimos E con F y asíobtendremos EF.

A continuación hacemos un nuevo pliegue tomando el vértice B y llevándolo hastaque toque EF y de esta manera obtendremos el punto G ∈ EF. ¿Cuánto mide EG?.

Ahora llamamos: H el punto más bajo de éste último doblez, es decir, H ∈ BC.

¿Cuánto mide BH? ¿Cuánto mide HC? ¿Cuánto GF? Ahora si con la figura extendidaen su posición original unimos los puntos G y H y prolongamos el segmento hastaalcanzar AD. recortamos el rectángulo FGHC. ¿Cuáles son la dimensiones de esterectángulo?

Por último, con EG como doblez hacemos que el cuadrado EBHG caiga sobre elcuadrado AEFD y a continuación de EG colocamos el rectángulo recortado, asíobtendremos una figura como:

A partir de la gráfica, y usando las fórmulas escribimos una relación entre ellas, latransformamos hasta obtener (x+y) (x-y) = x2-y 2 la cual se conoce como la factorizaciónde la diferencia de cuadrados.



81

EJERCITEMOS LO APRENDIDO


1. En forma gráfica justifico por qué (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6

2. En forma similar al anterior, justifico por qué (x - 5) (x + 2) = x2 - 3x - 10

3. Factorizo cada uno de los siguientes polinomios.

a) a4 - 1

b) 1 - t2

c) x3 + y 3 sabiendo que un factor es x + y.

d) x3 + 4x2 + 9x + 6 sabiendo que un con factor es x+1.

e) 20 + 3t2 - 17t

f ) m - m2

g) x2 - 16x + 64

h) 1 - x3 sabiendo que un factor es 1 - x.

4. Hallo el M.C.M y el M.C.D de x2 - 1 y x2 + 2x - 3.



8


U R A L


Los números representados por expresiones decimales infinitas no periódicos, se

llaman NÚMEROS IRRACIONALES.Por lo tanto no se pueden escribir de la forma: .

Ejemplo: 0,01001000100001......

Este número se puede expresar como la suma de:a

b

....000.000'000.1

1

000.1001100

10 ++++ , o sea, 0 1

10

1

10

1

102 5 9

= + + +.....

Este tipo de sumas es muy común en matemáticas.

Por ejemplo la suma de:

1 1

1

2

1

6

1

24+ + + + + ... da como resultado un número, que ante la imposibilidad de

representarlo de la formaa

b, el matemático suizo Euler, utilizó la letra e .

Para facilidad de los cálculos cuando se utiliza esta clase de números se puedenaproximar así:

E ≅ 2,7182 π ≅ 3,1416 ó

22

7 2 ≅ 1,4142



83

U N

I D A D

•

U N ID A

D

•

3 FUNCIONES LINEALES

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Y CUADRÁTICAS

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Hay muchos estudios acerca de la historia de las matemáticas, pero muy pocosse han realizado sobre el tema específico de funciones.

El concepto de función, al igual que los conceptos de número y medida, seencuentran en la base de gran parte de las matemáticas que el hombre hadesarrollado a través de la historia.

Parece que el nacimiento del concepto de función se sitúa a mediados delsiglo XVII, ya que en este siglo se formulan las primeras definiciones y es cuandoaparece por primera vez el término “función”, pero de una manera muyrestringida.

Para el estudio de la historia del concepto de función Youshkevitch (1976),distingue tres grandes períodos:

1) El mundo antiguo.

2) La edad media.

3) La edad moderna.



84


U R A L

EL MUNDO ANTIGUO: En esta época aparecen estudios particulares dedependencia entre cantidades, pero no aparecen nociones generales, sobrevariables y funciones, por esta razón difícilmente puede hablarse de funcionesen general, aunque si hay muchas ideas que sirvieron como base para el

concepto completo de función.

Algunas civilizaciones antiguas como los Babilonios, Egipcios y Griegos aportaronalgo para el desarrollo de este concepto aunque se dedicaron más al estudiode la aritmética y la geometría en casos particulares de aplicación práctica.

Sin embargo, fue a partir de mediciones astronómicas, hechas por los indúes,que el concepto de función hace sus primeras apariciones en el mundo de lamatemática.

Ya en la edad media se hacen los primeros intentos sobre el tema, aparecenmás explícitas ciertas nociones de dependencia entre dos cantidades variables,pero de una manera verbal o mediante un gráfico. Se inicia con los Arabes sinpoder hablar aún de un cambio substancial. En esta edad podemos mencionarlas escuelas de Oxford y París como pioneros del cambio, especialmente conlos tratados sobre las representaciones geométricas de Nicolás Oresma.

Por último la edad moderna que se inicia a fines de siglo XVI, se puede considerar,como dijimos anteriormente, el escenario de la aparición del concepto de

función con aplicaciones más profundas y más generales específicamente esen siglo XVII con los trabajos de Galileo, Descartes, Fermat, Newton, Leibtnitz,Gregory, Euler y Bernoulli.

Es así como el término “función” aparece por primera vez en un manuscrito deLeibnitz de 1673, y en 1718 Bernoulli da una definición más explícita del conceptode función y en 1740 Euler perfecciona la definición y da la nueva notación f(x)que es la que perdura hasta nuestros días.

Por último, con los trabajos de Lagrange, Fourier y Dirichlet se clasifica el conceptode función y con el advenimiento de la teoría de conjuntos se le generalizahasta adquirir la forma en que hoy en día se presenta este fundamentalconcepto.



85

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 1

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

FUNCIONES LINEALES


Con 2 de mis compañeros y teniendo en cuenta lo aprendido en el curso anterior sobre

proporcionalidad, operadores y funciones, leemos con atención la siguiente situacióny realizamos en el cuaderno la actividad que se indica.

En una finca a un obrero se le paga por cada metro cuadrado que trabaje, para esto, elpatrón tiene la siguiente tabla que le permite pagar sin hacer demasiadas cuentas, o sea,con solo mirar los datos de la tabla.

X= m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30

Y $ 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 450 600 750 900

En esta tabla x representa los metros cuadrados trabajados y, y = f(x) los pesos pagados.



86


U R A L

Con base en la anterior situación realizamos los siguientes pasos:

1) Conformamos un conjunto de parejas donde los primeros elementos sean los metrostrabajados y los segundos los pesos pagados.

2) Buscamos el operador multiplicativo que al aplicarlo a la x en cada caso nos dé la y , diciendo si es ampliador o reductor.

3) Con base en las parejas, o en la tabla decimos si las magnitudes metros cuadradosy pesos son directamente proporcionales, y damos las razones.

4) En el plano cartesiano graficamos las parejas formadas y unimos éstas por mediode una línea continua, para ampliar el dominio a los reales.

5) De acuerdo con el factor que buscamos en el paso 2, completamos las siguientesparejas en el cuaderno, reemplazando el signo interrogación.

(0, ? ), ( 1

2,? ), ( 7

2,? ), (11, ? ), (18, ? ).

6) Con ayuda del operador encontrado en el paso 2 decimos si esta gráfica nosrepresenta una función o no. Justificamos la respuesta.


En la situación anterior llegué junto con mis compañeros, a la fórmula para el pagosegún los metros trabajados mediante la función f(x) = 30x.

1) Observando detenidamente la gráfica, intuyo si ésta corresponde a una funciónlineal o no.

2) Tomo los valores x =2 y x = 4 y hallo f(2) y f(4) por separado; seguidamente hallo f (2+4) ó sea f (6).

Hago lo mismo con los valores x = 3 y x = 4.



87

3) Ahora tomo los valores k = 2 y x =4 y realizo lo siguiente:Calcular f(kx) luego calcular k f(x) para la función f(x) = 30x.

Hago lo mismo en los valores k =

1

2 y x = 2.

4) Trato de sacar alguna conclusión de lo realizado en los apartados 2 y 3.


Puedo trabajar con 2 o más compañeros. Consideramos la función

f(x) = 2x - 1.

1. Hallamos los valores f(0), f(1), f(-1), f(-2), f(2), f(-3), f(3), f(-4), f(4).

2. Construimos una tabla con estos valores y hacemos la gráfica de esta función. A continuación unimos estos puntos.

3. Hallamos: f(2), f(3), luego hallamos f(2+3) = f(5).

4. Hallamos f(1) y f(5) luego f(1+5), = f(6).

5. Ahora encontramos f(kx) y k f(x) para x = 2 y k = 3.

Luego para k = 2 y x = 1

2.

6. Sacamos algunas conclusiones de los apartados 3 y 4.

7. Comparamos estas conclusiones con las sacadas en el apartado 2, 3 y 4 de la actividad2.



88


U R A L

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO

La función lineal se representa por f (x) = kx y se caracteriza por las dospropiedades siguientes:

1. f (x1 + x2 )= f (x1)+ f ( x2 ).

2. f (kx )=k f (x ).

A la función lineal también se le llama función de proporcionalidad directa.y = kx ó f(x) = kx siempre es una recta que pasa por el origen.

Si (x1, y1), (x2, y2 ), ..., (xn, yn ),son pares de valores correspondientes de una funciónlineal o función de proporcionalidad directa entonces se tiene que:

y

x

y

x

y

x1

1

2

2

3

3

= = = ...................= =y

xkn

n

ó lo que es lo mismo y i = k x

i .

Por último una función lineal puede considerarse como un operadormultiplicativo que transforma una materia prima, como una magnitud o unnúmero, en un producto determinado, que va a ser también una magnitud o unnúmero.



89


La siguiente tabla hace referencia a una situación de la vida diaria donde n representael número de puntos ganados o perdidos por una persona y f (n) representa los pesosganados o perdidos por esos puntos en un determinado juego.

n = puntos -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f (n) = pesos -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Con base en la tabla anterior realizamos en el cuaderno la siguiente actividad.

1. Tomamos 3 o 4 parejas consecutivas y observamos qué sucede con f (n) cuando lavariable n aumenta o disminuye.

2. Con esta mismas 3 parejas efectuamos la división entre f (n) y n,f(n)

ny decimos

si la razón es una cantidad constante en los 3 ó 4 casos que tomados.



90


U R A L

3. Con los datos de la tabla tratamos de establecer la ecuación algebraica para estafunción y la graficamos.

4. Situamos en ella las imágenes para n = -7, -5, 10, 13.

5. Decimos si ella es una función lineal o no, justificando la respuesta.

6. ¿Cuál es el intercepto con el eje vertical, o sea, con el eje y .

7. Hallamos f (2) y f (4) luego, hallamos f (2+4) y comparamos para ver si f (2) + f (4)= f (2+4).

8. Tomamos k = 3 y analizamos si f (kx)= k f (x).


Una función de la forma f (x) = a x + b , siempre representa una recta, pero no esuna función lineal porque su gráfica no pasa por el origen y además no cumplelas propiedades de linealidad; la b se llama intercepto con el eje vertical o el

eje y.

La función f (x) = ax es una caso especial de la función f (x) = ax + b cuando b = 0.

Todo punto que pertenezca a la recta debe satisfacer a su ecuación.La función f (x) = ax + b es una función de gráfica lineal.


Prestamos atención a la siguiente situación:



91

Cierto alumno vive a 15 Kilómetros de su escuela; sale de su casa y hace el recorrido encicla, encontrando en su trayecto subidas, bajadas y terreno plano, casi como se observaen la gráfica siguiente.

Como podemos observar en la gráfica, la casa queda marcada en cero kilómetros o seaque esto va sobre el eje x de izquierda a derecha; la y marca las diferentes alturas que

recorre el alumno, la “x” siempre aumenta mientras la “y” algunas veces aumenta, otrasveces disminuye, y otras queda constante.

El ciclista como bien se sabe en las subidas o pendientes tiene que hacer un granesfuerzo, para avanzar dependiendo de la inclinación del camino; en las bajadas haceuna fuerza negativa, o sea, que frena para no adquirir mucha velocidad.

Para terminar podemos convenir diciendo que en las subidas, la inclinación a lapendiente es positiva (aumentando la y) y en las bajadas la pendiente es negativadisminuyendo la “y”.

Ahora, con relación a la situación anterior y teniendo en cuenta la siguiente gráfica,realizamos la actividad que a continuación se nos indica.



92


U R A L

GRÁFICA 2.

1. Tomando como base el texto del alumno que va en cicla, buscamos de la

casa a la escuela los trayectos en que la pendiente sea positiva, negativa yen los que no se tenga ninguna inclinación.

2. En una actividad anterior concluimos que cualquier gráfica lineal serepresenta por una función de la forma f (x) = a x + b.

Tratamos de dar una formula para el tramo CD y otra para el tramo DE.

3. ¿En cuál de todos los trayectos el ciclista hará un mayor esfuerzo y en cuáles

la y permanece constante?

4. En la gráfica 2 hallamos una característica común de todas las rectas queaparecen en ella.

5. Teniendo en cuenta de nuevo el texto del ciclista que va de la casa a laescuela, escogemos en la gráfica 2 todas las rectas que se asocien con lassubidas y luego las rectas que se asocien con las bajadas.



93

6. ¿Qué podemos concluir de las ecuaciones de las rectas asociadas con lassubidas?

7. ¿Qué podemos concluir de las ecuaciones de las rectas asociadas con las

bajadas?

CONSIGNEMOS LO APRENDIDO

Cualquier recta tiene por ecuación y = mx + b, donde m representa la pendiente.

Si m es positiva, la recta está inclinada hacia la derecha. Si m es negativa, larecta está inclinada hacia la izquierda.

En una recta de pendiente positiva, al aumentar la x aumenta la y, esto es, lafunción es creciente.

En la recta de pendiente negativa, al aumentar la x disminuye la y, o sea, que lafunción es decreciente.

Una recta que no tenga pendiente tiene por ecuación y = k ó f (x) = k esta kpuede ser positiva, negativa o cero, también es una función y se llama la funciónconstante, su gráfica es una recta paralela al eje X, una gráfica de ella puedeser la siguiente.



94


U R A L


En las actividades anteriores estudiamos las funciones lineales y las gráficas lineales ensu forma genérica f(x) = ax + b ó y = ax + b.

En las siguientes actividades vamos a estudiar la ecuación lineal y la solución deecuaciones lineales.

La siguiente gráfica nos presenta la balanza de dos platillos de brazos iguales y la vamosa emplear para estudiar el concepto de ecuación (por ahora la ecuación lineal solamente),

el uso de algunas reglas de manipulación de igualdades y la solución de ecuacionessencillas.

Representamos una ecuación coma la situación obtenida al estar la balanza en equilibrio.

Ahora en el cuaderno realizo la siguiente actividad:

Supongo que se desconoce el número de canicas que hay en una bolsa y que la balanzase equilibra colocando en un platillo 4 canicas y la bolsa y en el otro, 12 canicas (todasde igual peso):



95

Si se añade o se quita el

mismo número de canicas

en cada uno de los

platillos, la balanza sigue

en equilibrio.

La ecuación de la situación anterior puede ser

x + 4 = 12

(x es el número de canicas en la bolsa).

Si se suma o se resta el mismo número a los

dos miembros de la ecuación ésta no varía.De la misma manera, si se multiplica, (o di-

vide), por un mismo número uno de los

miembros de la ecuación, se debe multiplicar

(o dividir) el otro por el mismo número, para

que la ecuación no varíe.

1. Represento la situación anterior de 3 maneras diferentes que se me ocurran.

2. Hago un dibujo dejando en el primer platillo solamente la bolsa y quitando delotro platillo igual número de canicas que las que quité del primero en donde

estaba la bolsa.

3. Trato de encontrar por medio de símbolos, letras o números, la solución a lasituación anterior.


ACTIVIDAD REALIZADA ECUACIÓN



96


U R A L

Hallar el peso de

una bolsa con

alimentos, si 3 de

ellas más 5 kilos

pesan 17 kilos.

b 17


Vamos a usar tres clases de símbolos: flechas, círculos y rectángulos , para construirdiagramas de acuerdo a las siguientes condiciones:

Las flechas y los círculos nos van a indicar las órdenes que se van a efectuar; losrectángulos nos van a indicar el inicio, el final y algunas situaciones intermedias.

+2 +2 *2 Así, los símbolos ó y ó *2

me representan los operadores aditivo 2 y el multiplicativo 2 respectivamente.

EJEMPLO. Hallar el valor de los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo queéstos son, respectivamente 6 cm más largos que el lado desigual y su perímetro es 24.

Expresión simbólica de esta situación

(x +6) 2 + x = 24

1. Con las consideraciones anteriores, completo en el cuaderno el siguiente diagrama.

ENUNCIADO DIAGRAMA ECUACIÓN

SIMBÓLICA

3b + 5 = 17



97

8 22 /2 +6

n *3 +4 -n 10

K 222K*2 +6

2. Con lo aprendido en la actividad anterior, realizo los pasos necesarios para hallar elpeso de una bolsa, o sea, doy el valor de b.

3. Construyo una ecuación que corresponda al diagrama siguiente y hallo su solución.

4. Considero la siguiente situación: si al doble de una cosecha de cargas de café leaumentamos 6 cargas nos dan 22 cargas.

Lo anterior lo podemos representar por un diagrama como éste.

a)

Ahora refiriéndome a esta situación, completo en el cuaderno el diagrama que aparecea continuación y trato de interpretar los pasos y el significado

b)

Comparo con el diagrama a).



98


U R A L

5. Imagino que la gráfica que sigue es una máquina que ejercita algunas órdenesinternamente con dos (2) caminos diferentes.

Por medio de una igualdad busco el número A que recorriendo los 2 caminos distintosden como resultado la misma cantidad en una única salida.

RESUMAMOS LO APRENDIDO

Para resolver ecuaciones lineales podemos realizar diferentes actividades, enlas cuales es posible usar balanzas, diagramas, máquinas, cuadros, juegos, dados,fichas etcétera.

La ecuación x + a = c donde a y c son números conocidos, se resuelve sumandoel inverso aditivo de a, a ambos lados de la igualdad.

La ecuación an + b = c donde a, b y c son números conocidos, a ≠ 0 y “n” es lacantidad desconocida o incógnita, se resuelve para n, restando primero b(sumando el opuesto aditivo de b) a ambos miembros de la ecuación y luego

multiplicando por1

a. (inverso multiplicativo) en ambos lados de la ecuación.



99


EN ESTE CAPÍTULO


1. Analizo cuáles de las siguientes ecuaciones representan una función lineal y cuálesno, argumentando la respuesta.

a) y = 2x - 3 d) f(t) = 4

b) y = 1

2x e) y = 4x + 1

c) y = -3x

2. Gráfico las funciones encontradas en 1, e indico el valor de la pendiente en cadacaso.

3. Hallo las diferencias y las similitudes entre las 2 funciones siguientes.

a) f(x) = 3x - 2 b) g(x) = 3x + 2

¿Cuál de ellas me representa una función lineal?

4. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta f(x) = 3x -2?

a) (1, 1) d) 1

2

1

2,−

b) (4, 10) e) 2

32,

−

c) (3, 5)

5. En las siguientes rectas identifico:

i. ¿Cuáles cortan al eje Y?ii. ¿Cuál de ellas tiene el intercepto con el eje “Y” más grande?



100


U R A L

iii. ¿Cuál no representa una función lineal?

iv. ¿Cuáles representan una función lineal?

v. ¿Cuál o cuáles no me representan una función?

a) y = 5 d) x = 3

b) y = 3x e) x = 0

c) y = x - 2 f) F(x) = -1

2x

7. ¿Qué significado tiene para mi x = 0 en el plano cartesiano?


1. En el cuaderno dibujo una balanza para representar la ecuación:

x + 3 = 8

Luego trato de hallar la solución a la anterior ecuación.

2. Dibujo en el cuaderno una balanza que represente la ecuación:

2x + 3 = 9

Seguidamente efectúo las operaciones pertinentes para resolverla. En otras palabras,busco el valor de x.

3. Si tengo la ecuación 4a - 3 + 2a + 5 = 26.

Elaboro un diagrama que me represente todos los pasos de dicha ecuación.

4. Teniendo la igualdad:

3k + 2 = 2K + 8



101

supongo que la k es la materia prima que entra a una máquina por una única entraday que una vez dentro toma cada uno de los dos caminos representados en la igualdadpara que finalmente resulte un único producto.

Dibujo la máquina y digo cuál es el valor de k.

5. Planteo y resuelvo una ecuación para la siguiente situación.

¿Cuál es el número tal que el triple de él, más 5, sea igual a 20?

6. Si en una caja hay x número de manzanas y le sacamos 2

5de ese número, nos

quedan 150 manzanas, ¿Cuántas manzanas había en la caja?

7. Represento la siguiente situación por medio de una ecuación y la resuelvo.

Dos números enteros consecutivos suman 33. ¿Cuál es el menor de los dos?

8. Con el siguiente cuadrado mágico efectua:

X + 7 X X + 5

X + 2 X + 4 X + 6

X + 3 X + 8 X + 1

a) La suma de cada una de las filas, de cada una de las columnas y de las dosdiagonales.

b) Doy a x cualquier valor numérico y construyo otro cuadro mágico con losnuevos valores que se obtienen al reemplazar la x.

c) En ambos casos a), y b) comparo los resultados de las sumas con la celda delcentro y saco algunas conclusiones.



102


U R A L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CUADRÁTICA


En algunos de los cursos anteriores aprendimos que el área de un cuadrado se obtienemultiplicando el lado por el lado, o sea, elevando el lado al cuadrado.

Supongamos que tenemos varios cuadrados cuyos lados son:

l = 1, l = 2, l = 4, l = 5, l = 6

Con ellos realizamos la siguiente actividad:

1. Completamos en el cuaderno la tabla que aparece a continuación:

l 1 2 4 5 6

A

donde A representa el área de cada cuadrado.



103

2. Hacemos una gráfica con las 5 parejas de la forma (l, A) o (l, l2 ), de la tablaanterior.

3. Ahora en el cuaderno completamos la siguiente tabla:

l 0 1 1,5 2 2,2 3 3,5 4 5 5,2 5,5 6

l 2 2,25 4,84 12,25

4. En forma parecida a lo realizado en el paso 2), elaboramos otra gráfica con estasnuevas parejas esta última tabla.

Seguidamente unimos con una línea continua los puntos obtenidos.

5. En esta nueva gráfica tratamos de colocar sobre la curva obtenida, la imagen de 5puntos más, dados a tu voluntad.

6. Teniendo en cuenta lo aprendido sobre funciones intentamos obtener una funciónque represente todas las situaciones anteriores en una forma general.

7. Si tenemos una función de la forma f(x) = x 2 , relacionamos algunos valores tantopositivos como negativos, para x y hallamos sus respectivas imágenes. Por ejemplo:

luego f -2

3

=−

= −2

3

4

9

2



104


U R A L

8. Elaboramos una gráfica con todas las parejas obtenidas y unimos los puntos poruna curva continua.


Con dos compañeros hacemos lo siguiente:

En la actividad anterior aprendimos que la gráfica de la función:

f (x) = x2 es

Gráfica No.1.

1. Tomamos la gráfica anterior y la desplazamos a una distancia d = 2 unidadeshacia la derecha, la dibujamos.



105

2. Esta última gráfica corresponde a una de las siguientes representaciones algebraicas:

a) f (x) = (x + 2)2

b) f (x) = (x - 2)2

¿Cuál es?

Sugerencia. Calcula f (2) en cada caso

3. Tomemos la gráfica No 1, (y = x2) y ahora desplacémosla a una distancia l = 3unidades hacia arriba y dibujémosla. En el mismo sistema desplacemos la gráficaoriginal (y = x2), 3 unidades hacia abajo y dibujémosla.

4. En cada una de estas dos últimas gráficas analicemos los valores:

f (0), f (1), f (-1), f (2), f (-2), f (3).

Con este análisis tratemos de dar la función que mejor represente a la gráficacorrida hacia arriba, y la corrida hacia abajo.

5. Representemos gráficamente cada una de las funciones:

a) y = x2 b) y = 2x2

c) y = 3 x2 d) y = 1

2x2



106


U R A L

6. Representemos en un sistema de coordenadas la función f (x) = -x 2 .

a) Comparemos ésta gráfica con la gráfica de g (x) = x 2 .

b) Determinemos el dominio y el rango de la función f (x).

c) Indiquemos los intervalos donde la función f (x) crece o decrece.

7. Grafiquemos en un sistema de coordenadas cada una de las funciones:

a) f (x ) = -2x2 c) f (x ) =- 1

2x2

b) f (x ) = -3x2 d) f (x ) = −1

3x2

y obtengamos algunas conclusiones.

RESUMAMOS LO APRENDIDO EN ESTAS DOS

PRIMERAS ACTIVIDADES

La función f (x)= x 2 siempre representa una parábola y es la forma más simple dela función cuadrática. Su punto más bajo está en el origen, o sea, en el punto(0,0).

Una función de la forma f (x) = a x 2 siempre es una parábola; si a > 0 laparábola se abre hacia arriba, y si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y eneste caso su punto más alto está en (0,0).



107

El punto más bajo o más alto en una parábola se llama vértice.

Si d > 0, f (x) = (x - d) 2 representa una parábola obtenida por el desplazamiento

de la parábola f (x) = x 2 , d unidades hacia la derecha y f (x) = (x + d) 2 representa

la parábola obtenida al desplazar f (x) = x 2 , d unidades hacia la izquierda.

Similarmente, la función cuadrática de la forma f (x) = x 2 + l donde l es un

número real, representa una parábola obtenida después de que f (x) = x 2 sufre

un desplazamiento sobre el eje Y que depende del número l .

Si l es mayor que cero la parábola se desplaza l unidades hacia arriba del

origen en el eje Y.

Si l es negativo la parábola se desplaza l unidades hacia abajo del origen en

el eje Y.

Lo anterior lo podemos resumir en las siguientes gráficas:



108


U R A L



Con dos o tres compañeros realizamos lo siguiente:



109

1. En el plano cartesiano dibujamos las funciones siguientes:

a) f (x) = 2x2 b) f (x) = -3x2 c) f (x) = -1

2x2

2. También en el plano cartesiano graficamos las funciones:

a) f (x) = (x - 2)2 b) f (x) = (x + 3)2

c) f (X) = - (X + 1)2 d) f (x) = - x1

2

2

+

3. Graficamos las funciones:

a) f (x) = x2 - 3 b) f (x) = -x2 - 3

c) f (x) = 2x2 + 1

4. Hallamos el dominio, el rango, los intervalos donde son crecientes y los intervalosdonde son decrecientes cada una de las 3 funciones del punto 3.

5. Hallamos la función cuadrática que corresponde a cada una de las siguientesparábolas:



110


U R A L


Con dos compañeros realizamos en el cuaderno lo siguiente:

1. Graficamos cada una de las siguientes parábolas

a) f (x) = (x + 1)2 - 2 c) Relatamos cómo obtenemos las gráficas dea) y b) a partir de f (x) = x2

b) f (x) = (x - 1)2 + 3

2. Ahora graficamos las dos funciones siguientes

a) f (x) = x2 + 2x - 1

b) f (x) = x2

- 2x + 4

3. Comparamos las gráficas de los puntos 1) y 2) y sacamos conclusiones.

4. A partir de las conclusiones encontradas intentamos hallar otra manera posible deescribir la función:

f (x) = (x - d)2 + l



111


Una función de la forma f (x) = (x - d)2 + l es una parábola, obtenida a partir de f (x) = x2 corriéndola d unidades hacia la izquierda o hacia la derecha, a la nuevaparábola (desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha) se le corre ahora l unidadeshacia arriba o hacia abajo.

La nueva parábola tiene su punto más bajo en ( d, l ).

La función f (x) = (x - d)2 + l se puede escribir al desarrollar el cuadrado como: f (x = x2 - 2dx + d2+ l como d y l son números conocidos, lo anterior lo podemosescribir como:

f (x) = x2 + bx + c donde b = -2d y, c = d2 + l

Por último una función cuadrática en su forma más general, se puede escribir como:

f (x) = ax2 + bx + c

Donde si a > 0 la parábola se abre hacia arriba.si a < 0 la parábola se abre hacia abajo.



1. Gráfico en forma aproximada, sin hacer tablas de valores, las siguientes parábolas:



112


U R A L

a) y = (x + 1)2 + 4 c) y = -(x + 1)2 - 3

b) y = − +

x2

3 -2 d) y = (x - 1)2 - 3

2. Hallo para cada una de las gráficas siguientes la función cuadrática correspondiente:

3. Tengo en cuenta cada una de la parábolas del ejercicio anterior y hago lo siguiente:

a) Hallo el vértice de cada una de ellas.

b) Los intervalos donde es creciente y donde es decreciente cada una de ellas.

c) Para cada una doy su dominio y su rango.

2



113

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Ecuaciones Cuadráticas


1. En las siguientes ecuaciones de parábola encontramos el valor o los valores de X cuando Y = 0.

a) y = x2 - 4 c) y = - x2 + 4x - 7

b) y = x2 - 2x - 3 d) y = (x - 1)2

2. Sin hacer la tabla graficamos las 4 funciones, solamente situando el vértice y losvalores de x que encontamos al hacer y = 0.

3. Interpretamos geométricamente el sentido que tienen los valores de x cuando y = 0.


Recordamos que una parábola corrida c unidades hacia arriba o hacia abajo, convértice en el eje Y tiene por ecuación y = ax2 + c.

1. Teniendo en cuenta lo anterior y sin dibujar las parábolas, tratamos de representarmentalmente las siguientes parábolas y luego escribimos en el cuaderno si ellascortan al eje x en dos puntos, en un punto o en ningún punto.

a) y = 2x2 - 1 c) y = -2x2 + 8

b) y = 1

2x2 + 2 d) y = -x2 - 4



114


U R A L

2. Solucionamos las siguientes ecuaciones

a) x2 - 4 = 0 c) x2 + 9 = 0

b) 2x2 - 32 = 0 d) 2x2 + 6 = 0

3. Ahora solucionamos estas nuevas ecuaciones

a) x2 - 3x = 0 c) 2x2 - 5x = 0

b) x2 + 4x = 0 d) 5x2 - 25x = 0

4. Comparamos detenidamente las ecuaciones del punto 2), con las del punto 3), y tratamos de deducir alguna fórmula para cada uno de los tipos de ecuaciones.


Una ecuación general de segundo grado con una incógnita tiene la formagenérica

ax2 + bx + c = 0

donde la x es la incógnita y las demás letras son números conocidos.

Esta expresión corresponde a la ecuación de una parábola cuando y = 0.

El proceso de buscar los valores de x que hacen que y = 0 se conoce comohallar las raíces de la ecuación.



115

En la función y = ax2 + bx + c se pueden presentar tres situaciones:

a) La parábola corta al eje X en dos puntos, originando en la solución de laecuación respectiva, 2 raíces reales y diferentes.

b) El eje X es tangente a la parábola, o sea, que esta toca al eje X en unsolo punto, originando, 2 raíces reales e iguales.

c) La parábola nunca corta al eje X, y en este caso su ecuación respectivano tiene raíces reales, es decir, no tiene solución en los reales.

La ecuación de la forma ax2 + c = 0 se soluciona despejando la incógnita ysacando raíz cuadrada.

La ecuación de la forma ax2 + bx = 0 se resuelve factorizando de la siguientemanera x(ax + b) = 0 , de esto tenemos que x = 0 ó ax + b = 0de donde resultan los dos valores de x.


ACTIVIDAD 3 Individual

1. Resuelvo las siguientes ecuaciones:

a) n2 - 9 = 0 a) 5x2 + 25x = 0

b) a2 - 2a = 0 b) -x2 + 81 = 0

c) 2x2 - 9

2x = 0

2. Hallo un número que multiplicado por sí mismo exceda a 27 en 9.

3. El área de un círculo es 254,34 m2. Hallo el radio de este círculo.



116


U R A L

4. Un potrero tiene forma cuadrada y su área es de 1 hectárea. Cuanto mide cadalado.

5. Ya he resuelto varias ecuaciones de la forma ax2 + c = 0. ¿Qué condiciones debencumplir a y c para que esta ecuación tenga solución en los reales?

6. Hallo los puntos del plano cartesiano en donde se interceptan la parábola

y = x2, y, la recta y = 8x.

7. Cuatro veces el área de un cuadrado menos 4 veces su perímetro es igual a cero.Hallo el lado del cuadrado.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ax 2 + bx + c = 0


En una actividad anterior ya aprendimos a resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0 porfactorización. En estas actividades vamos a aprender a resolver por otros métodos.

1. Resolvemos las siguientes ecuaciones factorizandolas.

a) x2 + x - 6= 0

b) x2 + 2x - 15= 0

c) 2x2 + 5x - 3= 0



117

2. Para obtener la formula para resolver la ecuación de segundo grado se emplea elsiguiente algoritmo:

ax2 + bx + c = 0

x2 + b

ax

c

a0+ =

x2 + b

ax

b

2a

b

2a

c

a0

2 2

+

−

+ =

xb

2a

b

2a

c

a

2 2

+

=

−

xb

2a

b 4ac

4a

2 2

2+

=−

xb

2a

b 4ac

4a

2 2

2+

= ±−

xb

2a

b 4ac

2a

2

+

= ±

−

xb

2a

b 4ac

2a

2

= − ±−

xb b 4ac

2a

2

=− ± −

Describa en lenguaje natural el algoritmo utilizado.

3. Repitamos los pasos anteriores para resolver la ecuación 3x2 + 4x - 4= 0.

4. Repitamos el proceso anterior para resolver la ecuación 2x2 + 5x - 3 = 0.



118


U R A L

INFORMÉMONOS

La fórmula general que dedujimos para resolver una ecuación de segundo grado es:

xb b 4ac

2a

2

=− ± −

La cantidad que hay dentro del radical, a sea, b2 - 4ac se llama EL DISCRIMINANTEde la ecuación.


Considero las siguientes ecuaciones:

a) 2x2 - 3x - 2 = 0 c) 5 + 3x2 + 2x = 0

b) -6x+1+ 9 x2 = 0 d) 16 - x2

1. En cada una de ellas identifico muy bien quien es a, quien es b y quien es c.

2. En cada caso encuentro el discriminante.

3. Saco la raíz de cada discriminante y comparo cada uno de estos valores.

4. Sin hacer más operaciones, indico las ecuaciones que tienen dos soluciones, lasque tienen una sola solución y la que no tienen ninguna soluciones en los reales.



119

CONCLUYAMOS

Con el valor del discriminante podemos encontrar 3 situaciones:

a) b2 - 4ac > 0 b) b2 - 4ac = 0 c) b2 - 4ac < 0

Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales.

Si el discriminante es igual a cero la ecuación tiene una única solución:

X =b

2a−

Si el discriminante es menor que cero la ecuación no tiene solución en los reales.

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO


1. Resolvemos las siguientes ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.

a) 2x2 + 7x - 15= 0 c) y2 + 2y - 15= 0

b) z2 - 16z + 63= 0 d) 2n2 - n - 3= 0



120


U R A L

2. Escribe en el cuaderno el término que haga falta para completar un trinomiocuadrado perfecto en cada una de las siguientes ecuaciones

a) x2 - 16x + d) z2 - z +

b) n2 + 4n + e) 4v2 - 4 v

3+

c) t2 + 2

3t +

3. Aplicamos la regla general de segundo grado para resolver las ecuaciones:

a) x2 + 4x - 5= 0 b) 3x2 - 1

2x - 1= 0 c) t2 - 30t + 25= 0

4. Sin efectuar muchas operaciones, ojalá mentalmente, analizamos el discriminantede las siguientes ecuaciones y decimos cómo son las raíces en cada caso:

a) t2 - 2t + 1 = 0 c) 2n2 + 3n - 8= 0

b) -x2 - 3x + 7= 0 d) -4z2 + 6z + 7= 0

5. Encontremos las raíces de la ecuación:

-2x2 + 2x - 1 = 0



121



1. Analizo, planteo la ecuación y la resuelvo en cada caso.

a) Al doble de un número hay que agregarle 3 para obtener su cuadrado. ¿Cuál eseste número?

b) Si al área de un cuadrado le sumamos 15 nos da el doble de su perímetro.

¿Cuál es el lado del cuadrado?

c) En una finca hay cierto número de cabezas de ganado. Si a 3 veces el cuadradode este número le restamos 50 cabezas, el resultado es igual a 25 veces lascabezas que realmente hay. ¿Cuántas cabezas de ganado hay en la finca?

d) Si la suma de un número con su cuadrado es 3

4. ¿Qué número o números

satisfacen dichas condiciones?

2. Indico el discriminante de las ecuaciones siguientes y encuentro sus raíces:

a) y2 + 6

5y + =

1

60 b) t2 + 1

3

10

3t = c) z2 - 1

4= 0



123

U N

I D A D

•

U N ID A D

•

4 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Geometría ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Embaldosando una superficieplana

Lectura. En la ciudad andaluza de Granada, existe un castillo muy famoso llamado La Alhambra el cual fue construido por los Moros en la época en que ellos ocuparon aEspaña (711-1492). En esta edificación existe una muy variada colección de figurasque sirvieron para diseñar los baldosines (azulejos o mosaicos de este castillo), quefueron utilizados para cubrir pisos y paredes ver (figura 1).

Figura 1.

Estas figuras moriscas inspiraron al pintor holandés Maurice Escher (1898-1972)para diseñar algunos interesantes cuadros como estos:

INTRODUCCIÓN.



124


U R A L

ACTIVIDAD 1.

Figura 2.

Embaldosando con polígonosregulares

En cartulina o papel, construyo y recorto triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos,heptágonos y octágonos regulares con la condición de que cada clase sea del mimotamaño y elaboro por lo menos 6 unidades de cada una.

Con el material disponible, usando una sola clase de figuras, embaldoso una superficieplana (el piso, una mesa, la tapa o asiento del pupitre), con la condición de que losvértices sólo se toquen con vértices y que ni sobren espacios ni se superpongan lospolígonos.

Observo cuidadosamente con qué polígonos regulares se puede embaldosar.

Ahora elaboro un escrito argumentando por qué no puede existir otra clase de polígonoregular que embaldose el plano ¡De una sola clase no olvide! (Sugerencia. Observo lasmedidas de los ángulos que concurren en un mismo punto).



125

ACTIVIDAD 2.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 1

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

DESLIZAMIENTOS EN EL PLANO

Leo y comento con miscompañeros

Desde tiempos muy antiguos el hombre se ha fascinado con el “movimiento” de las

cosas. Qué lo produce, cómo se modifica, que tipos de movimientos existen, por quéalgunos animales son muy veloces, por qué algunos otros son muy lentos, etcétera.

A su vez para describir y estudiar las diferentes clases de movimientos, el hombre haapelado tanto a las matemáticas como a otras ciencias, en especial a la física. A manerade ejemplo podemos recordar a Galileo, científico Italiano, creador de la cienciamoderna; condenado por la iglesia por afirmar que la tierra giraba alrededor del sol, encontra de las creencias aristotélicas de la época que afirmaban lo contrario. Galileopara el estudio del movimiento producido en la caída libre de los cuerpos utilizó lamatemática obteniendo la famosa fórmula para la caída de los cuerpos S = (1/2) gt2

donde S es la distancia recorrida, g la aceleración debida a la gravedad y t el tiempotranscurrido después de soltado el objeto.

ACTIVIDAD 3. Buscando deslizamientos

Teniendo en cuenta la baldosa de los caballos de la figura 2, me concentro en el caballoblanco del centro. Ahora, pinto flechas iniciando en un punto de este caballo



126


U R A L

©

AB©

AB

N

MO

A

B

©

AB

terminando en el punto correspondiente del otro caballo, para indicar exactamenteaquellos deslizamientos que permiten a dicho caballo blanco del centro, ocupar laposición de los caballos blancos de su alrededor. Relacione estas flechas con lasdirecciones geográficas determinados por los puntos cardinales.

Cada uno de los caballos que está alrededor del que está en el centro, se puede considerarcomo la imagen de este último a través de un deslizamiento. Luego en particular ladirección y la distancia asociada a cada uno de estos deslizamientos es diferente,por tanto cada flecha o segmento dirigido determina un deslizamiento y paranotarlo o representarlo se utiliza el símbolo donde A es un punto antesdel deslizamiento y B su imagen respectiva. El símbolo representa el segmentodirigido desde el punto A al punto B.

ACTIVIDAD 4. Deslizando figuras

En un pedazo de papel pinto un triángulo y un segmento dirigido como se indica:



127

©

AB

B

BΓ

©

©

Deslizo cada uno de los vértices M, N y O en la misma dirección y magnitud olongitud que el segmento dirigido . Pinto el nuevo triángulo. Ahora, ¿Qué puedodecir del nuevo triángulo con respecto al primero?

Ahora, si pensamos en que no solamente los puntos del ( MNO se van a deslizar, sinoque son todos los puntos del plano que se deslizan de acuerdo o guiados por AB,entonces, a esta correspondencia de puntos la llamamos una traslación. Es decir, unatraslación es una transformación del plano en el plano cuyas imágenes estándeterminadas por el segmento generador de la transformación. Dicha traslación senota como S

AB.

ACTIVIDAD 5. Buscando invariantes

En una hoja de papel pinto cada una de las siguientes figuras y las traslado, de acuerdo,al segmento dirigido dado.

a)

Responde:

1. ¿Qué tipo de figura geométrica es la imagen de la recta Γ ?

2. ¿Qué relación existe entre la recta y su imagen?

3. Si se toma un segmento XY sobre la recta Γ , ¿Cómo es este segmento con respectoa su imagen a través de la traslación S

AB?

b) Repito la actividad a) con la siguiente figura:



128


U R A L

B

A

·

Respondo las 3 preguntas anteriores; en la 3a pregunta cambio segmento por arco.

Respondo: En los dos casos anteriores, ¿Qué propiedades de la figura no cambian?

Aquella propiedad de las figuras que no cambian al

aplicársele una transformación se llama UN INVARIANTE.

c) El siguiente gráfico corresponde a la representación de una transformación aplicadaa una banda de caucho a la que se le ha pintado un círculo.

Descubro propiedades de la figura inicial que cambian y aquellas que no lo hacen.



129

©

AB©©

©

© ©

ACTIVIDAD 6. Componiendo traslaciones

En el baldosín de los caballos, el caballo del centro lo trasladaremos hacia el noreste deacuerdo a los segmentos dirigidos obtenidos en la actividad 1. A continuación, a ésteultimo caballo (imagen) lo trasladamos en dirección oeste, también de acuerdo alsegmento dirigido respectivo de la actividad 1.¿Con qué traslación, de las obtenidas en la actividad 1, este último caballo será laimagen del primero?

Repito esta actividad con cualquier caballo y cualesquiera 2 traslaciones. ¿Qué puedoconcluir?

La composición de 2 traslaciones es una traslación.

ACTIVIDAD 7. La inversa de una traslación

(Las cosas se desatan como se atan).

En una hoja de papel pinto una figura ϕ cualquiera y tomo un segmento dirigido .Construyo S

AB(ϕ). (La imagen de ϕ a través de S

AB).

Respondo: ¿Será que existe una traslación tal que al trasladar S AB

(ϕ) caiga o llegue y coincida con ϕ? Si la respuesta es afirmativa, ¿Qué relación existe entre el segmentodirigido original y el nuevo?

La inversa de S AB es la traslación SBA . En general si T es una transformación geométrica,la inversa de T, si existe, es aquella transformación notada por T-1 tal que T • T-1 = T-1

• T = I donde I es la transformación idéntica, es decir I (x) = x para todo x punto delplano.



130


U R A L ACTIVIDAD 8.

BA C

D

C

© ©

© ©

© © © ©

Combinando el orden deaplicación

A partir de la siguiente gráfica y de los 2 segmentos dirigidos dados

Construyo SCD

S AB

(del cuadrilátero ABCD); a continuación y partiendo del mismocuadrilátero original, construyo su imagen a través de S

ABS

CD.

¿Qué conclusión puedo sacar?

Una operación se dice conmutativa si al operar 2 elementos cualesquiera con orden diferente el estado o resultado final es el mismo.

Para el caso, la composición de traslaciones es conmutativa, es decir

S CD S AB = S AB S CD.



1. Desarrollar la actividad 1 de la introducción pero con las siguientes figuras:

a) Un triángulo cualquiera.

b) Un cuadrilátero cualquiera (Ojalá unos estudiantes con uno convexo y otroscon uno no convexo).



131

©

AB©

M

N

O

A

B

2. Elaboro mi figura, tan artística como quiera, para embaldosar con ella el plano.Muestro una hoja de papel embaldosada con mi figura.

3. Selecciono de mi alrededor 3 movimientos diferentes y los analizo desde sus

diferencias hasta sus similitudes.

4. A partir de la siguiente baldosa, selecciono la paloma del centro y describo quémovimientos debe ella hacer para ocupar las otras posiciones.

5. Repito la actividad 4 con las siguientes figuras y segmentos dirigidos.

6. ¿Cuál es la imagen de una recta Γ a través de una traslación S AB

sabiendo que esparalelo a la recta Γ ?



132


U R A L

BA

C

A B

D

C

©

AB©

CD

©

© ©

©

© ©

7. Dada la siguiente figura, hallo el segmento dirigido resultante de la composiciónde las 2 traslaciones determinados por AB y CD.

Sugerencia . Considero el punto A y su imagen después de aplicarle las 2traslaciones. Con A y su imagen construyo un segmento dirigido.

8. ¿Cuál es la inversa de la compuesta S AB

SCD

?

Nota. Tengo en cuenta el ejercicio anterior. No olvido que las cosas se deshacencomo se hacen.

9. Considero los segmentos dirigidos y que tienen la misma longitud,

dirección y el mismo sentido. ¿Será que S AB = SCD ?Sugerencia. Pinte los 2 segmentos dirigidos AB y CD, un ∆ XYZ cualquiera y halla:

S AB

(∆ XYZ) y SCD

(∆ XYZ).



133

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ROTANDO, ROTANDO

ENTÉRATE

Hasta este momento se sabe que la medida de un ángulo en un número entre0 y 180. Pero hay situaciones en las cuales es necesario ampliar esta medida anúmeros negativos. Así cuando se mira hacia el oriente inicialmente y

posteriormente hacia el sur se ha descrito un ángulo cuya medida es de 90º;pero si a cambio de mirar hacia el sur se mira hacia el norte, también se de-scribe un ángulo de 90º; sin embargo, el estado final es diferente: una cosa esquedar mirando hacia el sur y otra muy distinta quedar mirando hacia el norte.Ver gráfica 1. También cuando se abre totalmente una puerta es diferentecuando se cierra esa misma puerta totalmente. Luego para resolver esteproblema los matemáticos introdujeran los “ángulos orientados con sus medidaspositivas y negativas”.

Gráfica 1.



134


U R A L

Un “ángulo dirigido” es un ángulo cuyos lados son, uno, el lado inicial y el otro esel lado final. Observa que en este caso hay un movimiento, barrido odesplazamiento de un lado mientras el otro permanece quieto. Si estedesplazamiento se hace en el sentido contrario a las agujas del reloj, la medida

del ángulo es positiva y si el desplazamiento es en el sentido de las agujas delreloj, la medida del ángulo es negativa. Esta forma de seleccionar las medidases convencional.

Contesto las siguientes preguntas:

• ¿Ubico una puerta de la escuela, cuánto mide el ángulo cuando laabrimos?

• ¿Cuánto mide el ángulo descrito por la rotación de nuestro cuerpo enun cuarto de vuelta a la izquierda? ¿A la derecha?

• Tanteo la medidas de los siguientes ángulos dirigidos y luego efectúomovimientos con mi propio cuerpo que correspondan a estos ángulos.



135

A B

C

C

B

AD

© © ©

0-


En una hoja en blanco pinto un ∆ ABC cualquiera y selecciono un punto O como semuestra en la siguiente gráfica.

Ahora teniendo como lados iniciales OC, OB y OA construyo ángulos, ∠COC’, ∠BOB’ y ∠ AOA’ cuyas medidas sean 54º, con OC = OC’, OB = OB’ y OA = OA’. (Meayudo con el transportador y una regla graduada). Así obtendré el ∆ A’B’C’ ¿Cómoson los triángulos ABC y A’B’C’?

El ∆A’B’C’ se pueden considerar como la imagen del ∆ABC

a través de la rotación con centro en O y ángulo de 54°.

Repito la misma actividad con la siguiente figura: El punto O, centro de la rotación esel punto B y el ángulo de rotación es de 180º.

Ahora tomo un cuadrado cualquiera y describo los elementos de la rotación (ángulo y centro de la rotación), la cual hace que la imagen del cuadrado sea el mismo cuadrado.Concluyo con mis compañeros acerca de cuál o cuáles rotaciones hacen este trabajo.



136


U R A L

Por último, tomo un punto O del plano y un número ∝ entre -180 y 180; y pienso enrotar todos los puntos del plano teniendo en cuenta el punto y el número relacionado.

Así se obtiene la imagen del plano a través de una transformación llamada Rotacióncon centro en O y ángulo α.

Una rotación con centro en el punto O y ángulo α, donde

-180 < α ≤180, es una transformación, representada por

Ro, α, tal que para cualquier punto P ≠ 0, le asocia un único

punto P* tal que OP = O P* y m ∠ PO P*= α. Además, la

imagen de O es el mismo O.

EJERCITÉMONOS


Pinto ángulos cuyas medidas sean 35º, -80º, 120º, -135º, 135º.


Cuando se hable de medida de ángulos dirigidos, se considera que un ángulo cuya

medida es de 180º “es lo mismo que” un ángulo cuya medida, es de -180. Discute conlos compañeros este caso para buscar justificación a este hecho.


En mi cuaderno pinto un cuadrilátero como alguno de los sombreados de la gráfica 2.Efectúo rotaciones de 180° de este cuadrilátero alrededor de los puntos A, B y C, que



137

son puntos medios de los respectivos lados. Ahora efectúo este mismo proceso a partirde uno de los cuadriláteros pintados a trazos.

¿Qué puedo concluir?

Gráfica 2.


1. En una hoja en blanco, pinto una recta l y un punto O como se indica en la gráfica.

·O

Ahora hallo R O,90

(/). Qué clase de figura es ésta? ¿Qué relación tiene con la recta /?



138


U R A L

A B

C D


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Componiendo Rotaciones

En el cuaderno pinto la siguiente figura:

O•

Y a continuación, efectúo Ro, 60 de el rectángulo ABCD, así obtendré el rectángulo A’B’C’D’. Luego en el mismo gráfico hallo la imagen del rectángulo A’B’C’D’ a travésde Ro, 45. Continuando en el mismo gráfico hallo Ro, 105 ( ABCD).

Analizando la actividad, ¿Qué puedo concluir?

Ahora, pinto de nuevo la figura original y hallo Ro, 45 ( ABCD). ¿Qué rotacióndebo efectuar para que me “devuelva” el rectángulo a su posición inicial? Repito esteejercicio partiendo de Ro, 30 ( ABCD).

RESUMAMOS

Al componer 2 rotaciones alrededor de un mismo punto, el resultado es unarotación alrededor del mismo punto y su ángulo es la suma de los 2 ángulosoriginales.

Por otro lado, la inversa de una rotación es a su vez otra rotación con centro enel mismo punto y ángulo el inverso aditivo del original.



139

Orificio

Alambre duro

10 cms

Plataforma para

fijar figuras

Pero, ¿Qué sucede si al componer dos rotaciones el ángulo suma mide unnúmero mayor de 180 o menor de -180º? Resuelvo el primer ejercicio que estáa continuación y obtendré la respuesta.


EJERCICIOS:

1. Construcción de un rotante.

Un rotante es un instrumento que se puede construir en casa y tiene la siguienteforma:

Consta, además, de un alambre o varilla delgada de 10 cm. de largo en uno de cuyosextremos le hacemos un orificio que nos sirve de pivote o centro de rotación y en elotro extremo una pequeña plataforma fija de lámina de 1 cm2 de área en donde sepegan o fijan figuras geométricas.

El rotante nos sirve para observar qué pasa cuando rotamos una figura. Por ejemplo:Pego en la plataforma de mi rotante una figura pequeña (un animal, una cosa, uncarrito, etcétera), con una aguja, puntilla o espina fijo el orificio (el marcado en A dela figura). Ahora roto la figura 110º y observo qué no cambió de la figura. A



140


U R A L

continuación y, a partir de esta nueva posición, roto la figura 130º y dibujo en el papella imagen final. En seguida coloco el rotante en su posición inicial y roto -120º. ¿Quépuedo concluir?

Repito el mismo proceso con -140º, -160º y 60º. ¿Qué puedo concluir?

¿Cómo hacemos para hallar al ángulo de rotación al componer 2 rotaciones si al sumarlos ángulos el resultado es mayor de 180º o menor de -180º? (Recuerdo que el ángulode una rotación varía entre -180 y 180º).

2. Utilizando el rotante y las siguientes rotaciones R A, 0

; R A, 90

; R A, -90

y R A,180

completola siguiente tabla en mi cuaderno.

Nota. La transformación idéntica se puede considerar como una rotación de ángulo0º.

o RA, 0 RA, 90 RA, -90 RA,180

RA, 0

RA, 90 RA, -90

RA, -90 RA, 90

RA,180

RA, 90

Ahora respondo:

a) ¿Es RA, 90º RA, 180 = RA, 180 RA, 90? ¿Será que la composición de rotaciones alrededorde un mismo punto es conmutativa?

b) ¿Cuál es el elemento neutro de la operación º?



141

Z

Y

X

c) ¿Cuál es el inverso de RA,180

?

d) ¿Cuál es el inverso d RA,90?

3. Repito el ejercicio anterior pero usando mi cuerpo. Para esto reemplazoRA,0; RA, 90 ; RA, -90 ; RA, 180 por no moverse, un cuarto de vuelta a la izquierda, uncuarto de vuelta a la derecha y media vuelta respectivamente. (No olvidofijar una posición inicial la cual corresponde a NO MOVERSE).

4. Dada la siguiente gráfica, pinto RB,-30 RA,45 (∆ XYZ)

A· B·



142


U R A L

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 3

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ REFLEJANDO EL MUNDO

INTRODUCCIÓN

Al observar la figura anterior nos viene a la mente la curiosidad que experimentanalgunos animales, entre ellos el hombre, cuando por primera vez “se ven” en unespejo, o reflejados en el agua o en alguna otra superficie que haga el oficio dereflejar.

Así, podemos considerar esta imagen reflejada como la imagen de un objeto através de una transformación geométrica.

Dentro de las transformaciones geométricas hay una que sobresale por unasencillez y abundancia en la naturaleza: la Reflexión Lineal, que como su nombrelo indica es reflejar sobre una recta así:



143

La recta l se llama el eje de la reflexión y la transformación se nota como Ml.

Así tenemos que P* = Ml(P) en donde l es el bisector perpendicular (mediatriz)de PP*.

¿Cuál será la imagen de un punto que pertenece a la recta l? ¿Qué será Ml(l)?


En el cuaderno pinto un ∆ ABC y una recta l. Ahora tomo una recta l’ ≠ l y halloMl(l’), es decir, hallo la imagen de l’ a través de la reflexión lineal Ml. ¿Que puedodecir de Ml(l’)?

Ahora, el gráfico Ml(∆ ABC) ¿Qué tipo de figura es? ¿Qué relación tiene con el ∆ ABC?¿Qué se puede decir de la imagen de un ángulo a través de una reflexión lineal?

A continuación, pinto un segmento cualquiera XY, hallo XY con regla. Ahora, graficoMl(XY) y después hallo Ml(X)Ml(Y), ¿Qué puedo concluir? ¿Cuál es la inversa de Ml?Me ayudo con gráficos.



144


U R A L

EJERCICIOS:

1. En el cuaderno pinto la siguiente figura y le hallo las imágenes a través de Ml. A partir de esta actividad, ¿Cuál es la inversa de Ml?

2. Relaciono el concepto de simetría con el concepto de reflexión lineal.

3. Dado un círculo cualquiera, ¿Cuántas reflexiones lineales diferentes envía el círculoen sí mismo?

4. Sea A y B 2 casas y l un río, como en la gráfica.

A.

B.

Río

¿En qué punto del río debemos colocar la motobomba para que el costo de lamanguera que lleva el agua, en forma independiente, a las casa sea mínimo?

Me convenzo primero y luego a mis compañeros que mi punto es el buscado.



145

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 4

TRASLACIONES Y ROTACIONES COMO ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

REFLEXIONES LINEALES


En el cuaderno pinto 2 rectas paralelas l y l* separadas 3 cm y un ∆ ABC como seindica en la siguiente figura.

Ahora usando la regla, con medidas lo más exactas posibles, pinto M l(∆ ABC); el cualcomo ya sabemos es un nuevo triángulo designándolo como ∆ A’B’C’. Continuandoel proceso gráfico Ml* ∆( A’B’C’) designándolo como ∆ A* B* C*. Contesto: Quérelación existe entre el ∆ ABC y el ∆ A* B* C*? Describo qué transformación lleva el∆ A B C al ∆ A* B* C*? ¿Existe alguna relación entre esta última transformación y lasreflexiones Ml y Ml* ?



146


U R A L

¨ ¨¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨

¨

¨

¨

A partir de mi gráfica, construyo AA* BB* y CC*; ¿Cómo son estos segmentos dirigidos?Considero XY donde X ∈ l, y Y ∈ l* y XY ⊥ l. ¿Qué relación existe entre AA* y XY ?

Usando la misma gráfica, pinto otras 2 rectas j y j* paralelas a l, ubicadas de izquierdaa derecha y separadas 3 cm. Repito el proceso anterior hasta obtener Mj* Mj (∆ A BC). ¿Qué descubrí?


En mi cuaderno pinto el rectángulo ABCD, y un segmento dirigido XY como seindica.

Hallo S XY

(ABCD), es decir traslado el rectángulo en la dirección, sentido y magnitudde XY.

Ahora pinto 2 rectas l y l* perpendiculares a XY y tal que X ∈ l y l* pase por el puntomedio de XY. A continuación y como en la actividad 1, gráfico Ml(ABCD) y pintoluego Ml* (Ml(ABCD)). ¿Qué relación existe entre la traslación S

xy y la transformación

Ml Ml?

¨



147

RESUMAMOS

La acción resultante de una traslación es la misma que la resultante de la composición

de 2 reflexiones lineales donde los ejes de las reflexiones son rectas perpendiculares alsegmento dirigido de la traslación y separados una distancia igual a la mitad de lalongitud del segmento de la traslación y con un orden determinado, es decir, noarbitrario.

Recíprocamente la composición de 2 reflexiones lineales, cuando sus ejes de reflexiónson rectas paralelas, es una traslación.

ACTIVIDAD 3. En grupos

En las actividades anteriores se trabajó la composición de 2 reflexiones lineales cuandolos ejes de reflexión eran rectas paralelas. Ahora vamos a replicar las mismas actividadespero considerando que las rectas se interceptan en un punto A. Además, vamos a teneren cuenta que el ángulo de una recta a otra corresponde a un ángulo agudo con unsentido determinado así:

El ángulo de S a r corresponde al ángulo agudo CAB y su medida es positiva; encambio la medida de r a s es negativa.



148


U R A L

Con ayuda del transportador y teniendo en cuenta lo anterior, hallo las medidas de losángulos de v a t y de t a v .

En mi cuaderno, dado un punto A, gráfico 2 rectas r y v que se interceptan en A y que

la medida del ángulo de r a v sea de -60º.

Ahora sobre la misma gráfica construyo otro par de rectas s y t que cumplan con lacondición inmediatamente anterior.

Ahora en el cuaderno vamos a replicar la actividad 1 con la siguiente gráfica:medida del ángulo de l a l* = +35º.

Grafico Ml*Ml (∆ ABC) y al igual que en la actividad 1 lo denomino ∆ A*B*C*.Respondo. ¿Es OA = OA* ? ¿OB = OB* ? ¿BC = B* C* ?

¿Existe alguna relación entre la medida del ángulo de l a l* y la medida del ángulo

AOA* ? En caso afirmativo, la enuncio.Describo la transformación que envía el ∆ ABC al ∆ A*B*C*.

Ahora en la misma gráfica pinto otro par de rectas j y j* en forma tal que se interceptenen O y la medida del ángulo de j a j* sea de +35.

Hallo gráficamente Mj * Mj (∆ ABC). ¿Qué descubrí?



149

ACTIVIDAD 4. En grupos

En el cuaderno o en una hoja en blanco vamos a replicar la actividad 2. Para estotomamos un punto O, un rectángulo ABCD. Hallamos gráficamente la imagen delrectángulo ABCD a través de la rotación con centro en O y medida del ángulo derotación de -130º.

Ahora pintamos 2 rectas r y r* que se interceptan en O y cuya medida del ángulo de ra r* sea de -65º y halle Mr*Mr ( ABCD). ¿Qué descubrimos?

RESUMAMOS

La composición de 2 reflexiones lineales sobre rectas que se interceptan es unarotación. Recíprocamente el efecto que produce una rotación sobre una figuraes el mismo que produce la composición de 2 reflexiones lineales sobre rectasque se cortan en el centro de la rotación y la medida del ángulo de una rectaa la otra es igual a la mitad de la medida del ángulo de rotación.


En el cuaderno y a partir de la siguiente gráfica:



150


U R A L

¨

¨

Hallo la imagen de la bandera a través de Ml S AB

. ¿Qué relación existe entre la banderay su imagen?

Ahora hago lo mismo pero a través de S AB

Ml. ¿Qué puedo concluir?

Describo con mis palabras qué debo hacer para devolver la imagen al sitio inicial de labandera.

ENTÉRATE

Además de las traslaciones, las rotaciones y la reflexiones lineales, existe un tipoespecial de transformación geométrica llamada reflexión trasladada o reflexiónen deslizamiento y es la producida por una traslación seguida de una reflexiónlineal con la condición de que el segmento dirigido de la traslación sea paraleloal eje de la reflexión como en la actividad inmediatamente anterior.



151

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 5

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ISOMETRÍAS


En el cuaderno pinto un segmento AB. Mido este segmento, es decir, encuentro AB.

Hallo la imagen de este segmento a través de una traslación, una rotación, una reflexiónlineal y una reflexión trasladada con los elementos arbitrarios que yo quiera. Ahoramido cada una de las imágenes de AB a través de las transformaciones pedidas. ¿Quétienen de común éstas imágenes? Comento con mis vecinos. ¿Qué podemos concluir?

ENTÉRATE

Si una transformación geométrica preserva distancias, como en la actividad 1,entonces se dice que esta transformación es una ISOMETRÍA; es decir, unatransformación T del plano sobre el plano es una ISOMETRÍA si para cualquierpar de puntos X, Y del plano la distancia que hay entre X y Y es la misma quehay entre sus imágenes, T(X) y T(Y); más brevemente XY = T(X)T(Y).

Como conclusión de la definición de isometría se encuentra que la imagen de

un triángulo a través de una isometría es un triángulo congruente con el primero(recuerda LLL), y de esta congruencia de triángulos se puede inferir que lasisometrías preservan medida de ángulos, perpendicularidad y paralelismo.



152


U R A L

Finalmente podemos definir que 2 figuras ϕ y ϕ* son congruentes si existe una

isometría en forma tal que la imagen de ϕ a través de dicha isometría es ϕ*.



153

ACTIVIDAD 2. Apliquemos lo aprendido

1. En mi cuaderno o en una hoja en blanco y a partir de la siguiente figura, hallo Ml*Ml(k) y Ml Ml* (k) donde l l*.

Respondo: ¿Qué tipo de transformaciones son Ml*Ml y Ml Ml*? ¿Existe algún tipode relación entre ellos?



154


U R A L

¨

¨

¨¨

2. El siguiente ejercicio es para resolverlo por grupos.

Dada una traslación S AB

, ¿Cuántos pares diferentes de rectas l y l* satisfacen S AB

=Ml Ml*?

Sugerencia: Tomemos un segmento dirigido AB y cada estudiante relaciona el parde rectas pedidas (AB es el mismo para todos).

3. Con la información dada en la figura, ¿Cuánto mide el ángulo de u a v ? ¿Cuántode v a u?

4. A partir de la siguiente gráfica, describamos las transformaciones que envían ABen CD. Similarmente los que envían y MN en OP.



155

A B

D C

I

A

5. ¿Qué transformación se obtiene al componer una reflexión trasladada consigomismo?

6. Consideremos el cuadro ABCD.

Hallemos todas las isometrías que cumplan que la imagen del cuadrado a través decada una de ellas es el mismo cuadrado. A manera de ejemplo si t es la recta que pasapor los puntos medios de AD y BC, entonces Mt ( ABCD) = ABCD, es decir laimagen del cuadrado es el mismo cuadrado. Pero observemos que la imagen de cadapunto del cuadrado es un punto diferente excepto los puntos por donde pasa t.

7. En forma gráfica mostremos que la composición R A, φ Ml es una reflexión linealsiempre que A ∈ l.

Sugerencia:

No olvidar que una rotación es la

composición de 2 reflexiones lineales y

que una reflexión lineal compuesta consigo

misma de la transformación idéntica.



156


U R A L

¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 6

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ HOMOTECIAS


En el cuaderno pinto un ∆ ABC y un punto O fuera del triángulo. Sobre los rayos

OA, OB, y OC ubico puntos A’, B’ y C’ respectivamente tal que OA’ = 2OA,OB’ = 2OB y OC’ = 2OC.

Contesto, ¿Son los puntos A’, B’ y C’ no colineales?

Ahora considero el ∆ A’B’C’ y respondo: ¿Qué relaciones geométricas puedo establecerentre AC y A’C’? ¿Cómo es la medida de los ángulos del ∆ ABC y del ∆ A’B’C’?

Utilizo una regla graduada para hallar la razón entre los perímetros de los triángulos ABC y A’B’C’. ¿Será que la razón entre AC y A´C´ es la misma que la de losperímetros? Argumento mi respuesta.

Finalmente, ¿Qué podemos decir de la “forma” de estos 2 triángulos? ¿Será que (ABC∼(A’B’C’? Justifico.

RESUMAMOS

En la actividad anterior podemos considerar el ∆A’B’C’ como la imagen del∆ABC a través de una transformación geométrica llamada una “homotecia”con centro en O y factor escalar (conversión) igual a 2. Dicha transformacionesse nota como H

O,2.



157

En general, si r ( R, r > 0 y 0 es un punto; entonces la homotecia con centro en 0

y factor escalar 0 de conversión r, notada como HO, r se define como HO, r (0)

= 0 y si P ( 0, HO, r (P) = P’ dando P’ ( OP y OP’ = rOP.

En general, si r ∈R, r > 0 y 0 es un punto; entonces la

homotecia con centro en 0 y factor escalar 0 de conversión

r, notada como Ho, r se define como H O, r

(0) = 0 y si P ≠ 0,

H O, r

(P) = P’ dando P’ ∈ OP y OP’ = rOP.


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Componiendo Homotecias

En una hoja en blanco toma un punto 0, 3 como factor escalar y un ∆ABC.

Hallamos HO, 3

(∆ABC) y así obtenemos el ∆A’B’C’; a continuación graficamos

HO, 2

(∆A’B’C’) y obtenemos el ∆A*B*C* ¿Será que el ∆A*B*C* es la imagen del

∆ABC a través de una homotecia? Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuál seria su

centro y su factor escalar? ¿Qué relación existe entre el factor escalar final y los

2 factores escalares componentes?



158


U R A L

RESUMAMOS

La composición de 2 homotecias con centro en el mismo punto es de nuevo

una homotecia con centro en el mismo punto y factor escalar igual al productode los 2 factores escalares dados, es decir:

HA,r HA,s = HA, rs


Tomamos una hoja en blanco y graficamos, de la manera más exacta posible una figurageométrica y su imagen a través de una homotecia con el centro y factor escalar quequeramos. Ahora le pedimos a un compañero que encuentre los elementos de lahomotecia (centro y factor escalar), que envía nuestra figura imagen a la primerafigura. Una vez terminado el ejercicio, cambiamos de rol con otro compañero y replicamos la actividad. Finalmente sacamos una conclusión acerca de la inversa de

una homotecia. También establecemos una asociación entre las palabras agrandar y achicar con los números que representan los factores escalares en las homotecias. ¿Quésucede cuando el factor escalar es 1?



159


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Reducciones y Ampliaciones

Suponiendo que en el vecindario de la escuela no hay fotocopiado con servicios deampliación y reducción, y que debo reducir un mapa de América del Sur al 56% de sutamaño original y que, por otro lado, es necesario ampliarlo 3 veces. ¿Cómo utilizaríalas homotecias para pintar los mapas solicitados? Consulto en la biblioteca qué es un

pantógrafo y para qué sirve. Por último averiguo qué es una escala. Dialogo con elprofesor de sociales sobre este tema.



160


U R A L

A’.B’.

A. .B

EJERCITÉMONOS

1. En una hoja en blanco pinto el rectángulo ABCD, tomo un punto O, hallo

H0,3 ( ABCD) y busca las razones de sus lados, perímetro y arcos respectivos.Relacione estas razones.

2. Gráficamente justifico las siguientes afirmaciones.

a) La imagen de una recta a través de una homotecia es una recta y,además, paralela a la primera.

b) La medida de un ángulo se preserva bajo una homotecia.

c) La razón de distancias se preserva bajo una homotecia AB

CD

A'B'

C'D'=

.

d) La transformación idéntica se puede considerar como una homoteciacon factor escalar igual a 1.

3. Hallo el centro de la homotecia que envía a A en A’ y a B en B’.



161

A

B

C

N

O

M

A.

B.

4. A partir de la siguiente gráfica hallo H A, 2 (H A,1

2

(∆ABC)).

5. En el cuaderno de clase diseño y construyo una situación en donde hayahomotecia.

6. La siguiente gráfica muestra la acción de una homotecia sobre AB concentro en O y factor escalar desconocido. Hallo el factor escalar.

7. A partir de la siguiente gráfica y en el cuaderno gráfico:

HB, 3

(HA,

1

2(∆MNO)).

Comparo este último triángulo obtenido con el ∆MNO.



163

U N

I D A D

•

U N ID A D

•

5

LÓGICA:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CUANTIFICADORES

ACTIVIDAD 1. Leo con cuidado y atención

Hasta ahora se han estudiado enunciados clasificados como proposiciones, o comooraciones abiertas. Estas últimas pueden ser verdaderas o falsas dependiendo de lassustituciones que se hagan para las variables; para aplicarles los elementos lógicosdebemos restringir o cuantificar la variable diciendo que el enunciado es verdadero (o

falso) para todos o algunos de sus valores posibles, o sea, cuantificar para qué elementosel enunciado es verdadero (o falso).

Por ejemplo, hablando de números, el enunciado x2 ≥ 0 es válido para todos losnúmeros reales; es decir, es verdadero para cualquier x donde x es un número real, encambio la expresión 2x + 3 = 1 es válida o verdadera para un único valor de x, y laoración 3x2 - x = 0 es verdadera para dos valores de x. ¿Cuáles son?

Así, para cuantificar la variable en el primer caso se usan las expresiones para todo,todo, para cada, o cada; y se llama cuantificador universal y se simboliza por ∀, así x2

≥ 0, ∀ x ∈ R.



164


U R A L

Si por otro lado, como en el segundo y tercer caso, sólo algunos elementos de unconjunto universal cumplen o satisfacen la oración, para cuantificar la variable usamoslas expresiones; existe, alguno (que puede ser uno o varios), existe por los menos unoy se llama cuantificador existencial y se simboliza por ∃, así ∃ x ∈ R tal que 3x2- x= 0.

Finalmente si no existe un elemento de un conjunto universal que satisfaga una oraciónabierta, entonces se usa la palabra “ningún”, así ningún triángulo puede tener 2 ángulosrectos.


Negando proposiciones cuantificadas.

Supongamos que en un curso de 30 alumnos sólo hay una mujer. Un visitante se paraen la puerta y dice: “en este curso todos son hombres”. Elaboremos por grupos unaargumentación para refutar esta afirmación; es decir, decimos al visitante: lo que acabade decir es falso porque...

Un rato más tarde, aparece otra persona en la puerta del salón de clase y dice: “En estecurso algunos estudiantes son indeseables”; como sabemos que esto no es cierto, tambiénpor grupos elaboramos argumentos escritos para justificar por qué esta persona estámintiendo. Con un escrito similar refutamos al profesor que en buen día dijo: “Eneste curso ningún estudiante tiene su edad comprendida entre 10 y 15 años”.

Finalmente y con la ayuda del profesor, constatamos que a pesar de que 2 argumentoso proposiciones posean estructura lingüística diferente, ellos pueden tener el mismosignificado, por lo tanto, en lógica, lo que interesa es el significado.



165

ACTIVIDAD 3.

Ejemplo: las 2 proposiciones siguientes tienen el mismo significado:

a) Juan ama a san José de Pare.

b) San José de Pare es amado por Juan.

CONCLUYAMOS

Lógicamente hablando la negación de una proposición verdadera es unaproposición falsa y la de una proposición falsa es una proposición verdadera.

Así para negar una proposición cuantificada universalmente se usa elcuantificador existencial; estos elementos no deben cumplir la condición, es

decir la negación de ∀ x, x satisfaciendo una condición, es ∃x tal que ese(esos) x no satisfacen la condición.

Similarmente la negación de ∃x, x satisfaciendo una condición es ∀ x, x nosatisface la condición.

Ejemplos: la negación de la proposición: “Todos los árboles dan flores, es:existen árboles que no dan flores”.

La negación de la proposición: “Algunos gatos son pardos, es:ningún gato es pardo, o, cualquier gato no es pardo.

En grupo, neguemosproposiciones

Para esta actividad es importante la participación activa de todos y cada uno de losestudiantes. Recordemos que el significado de las proposiciones es el elemento másimportante a tener en cuenta.



166


U R A L

a) Todas las vacas son buenas

lecheras.

b) Ningún estudiante de este cursotiene más de 30 años.

c) Todos los números primos sonimpares.

d) Cualquier relación es función.

e) Todos los cuadrados sonrectángulos.

e) Algunos números son a la vez

múltiplos de 7 y divisibles por 15.

f ) Dada una recta y un punto exteriora la recta, existe una “única” rectaque pasa por el punto y es paralelaa la recta dada.

(Esta proposición tiene nombre:“Quinto postulado de Euclides” o“postulado de las paralelas” y esverdadero en la geometríaEuclidiana).

Dadas las siguientes proposiciones elaboramos, por escrito las negaciones de cada unade ellas y analizamos sus valores de verdad.

EJERCITÉMONOS

1. Determinar los valores de verdad de las proposiciones siguientes:

a) ∀ x ∈ R, x + 3x = 4x.

b) ∀ x ∈ R, x - 7 = 10.

c) ∃ x ∈ R, tal que 2x - 5 = 8.

d) ∃ x ∈ N, tal que 3 < x < 4.

e) ∀x ≠ 0 ∈ R,X 1

x

2

2

+.>0



2. Negar cada una de las siguientes proposiciones.

a) Todos los perros tienen pulgas.

b) Existe una mata de plátano que da naranjas.

c) Algunos animales son salvajes.

d) Todos los triángulos son isósceles.

3. Reunidos en grupos, negamos la siguiente proposición “si la vaca da unternero entonces te lo regalo”.

Sugerencia. Considero que esta proposición es verdadera cuando secumple el compromiso; cuando le dicen a la persona que te prometió elregalo “no seas falso”. Así obtendrás la negación pedida.

4. Negar las siguientes proposiciones:

a) Te compro un helado y te llevo al circo (recuerda que si te comprometesa hacer dos cosas, con sólo una que falle, pierdes).

b) Mañana me levanto tarde o tomo el desayuno en la cama.(Recuerdo que este O es inclusivo, es decir que pueden suceder los doshechos).

c) A partir de a) y b) trato de sacar las conclusiones:∼(p ∧q) es ∼p ∨∼q y ∼(p ∨ q) es ∼p ∧∼q.

5. Escribo cada una de las oraciones abiertas siguientes como una proposiciónverdadera cumpliendo el cuantificador más general.

a) 5x + 7 = 13. d) xy = yx.

b) 3y < 10. e) a (b+c) = ab + ac.

c) 5x + 1 = 5x.

Documents

Matematicas 8