Centro de bachillerato Tecnológico Agropecuario No. 27

MATEMATICAS APLICADAS

Operaciones con fracciones Reducción de fracciones Leyes de exponentes Propiedades de los radicales Productos notables Factorización

Ezequiel Adrian Lopez RiveraGrupo A de VI semestreTécnico en soporte y mantenimiento de equipo de cómputo.4 de marzo de 2013

OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR

Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo: 46+ 36=4+3

6=76

Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo: 57−37=5−3

7=27

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR

Se reducen los denominadores a común denominador:o Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo

de los denominadores.o Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores,

multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplo: 54+ 16=15+212

=1712

m. c. m. (4, 6) = 12

Ejemplo: 54−16=15−2

12=1312

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo: 45×23×14=4×2×15×3×4

= 860

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir una fracción ab

por otra fracción cd

, se multiplica la fracción ab

por la

fracción inversa de cd

( cd

dc

), o lo que es lo mismo, se multiplican

en cruz los términos de las fracciones ab÷cd=a×db×c

.

Ejemplo: 45÷38×4×85×3

=3215

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS

Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los denominadores de las demás.

Ejemplo: vamos a reducir a común denominador las fracciones: 3254

32=3×42×4

=128;54=5×24×2

=108

Las fracciones buscadas son: 128108

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así:1. ° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el denominador común de todas las fracciones.2. ° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador.

Ejemplo: vamos a reducir a común denominador las fracciones: 143518

m. c. m. (4,

5, 8) = 4014=1×10

40=1040;35=3×840

=2440;18=1×540

= 540

Las fracciones buscadas son: 10402440

540

Inversa

LEYES DE LOS EXPONENTES

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.El producto de potencias con la misma base (distinta a cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

am×an=am+n

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma baseEl cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

am

an=am−n

Tercera ley: Potencia de una potenciaLa potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

(am)n=am∗n

Cuarta ley: Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores.

(ab)n=anbn

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potenciaPara elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

[ ab ]n

=an

bn

Sexta ley: Potencia de exponente igual a ceroCualquier base elevada a la cero es igual a 1.

a0=1

Séptima ley: Potencia de exponente igual a unoCualquier base elevada a la uno es igual al mismo valor de la base.

a1=a

Octava ley: Exponentes negativos

Si existe una potencia con exponente negativo, éste puede hacerse positivos de la siguiente manera, si la potencia con exponente negativo se encuentra en el numerador, ésta de pasa al denominador con exponente positivo; y si la potencia con exponente negativo se encuentra en el denominador, ésta se pasa al numerador con exponente positivo.

2a−2= 2a2;am

b−n=ambn

Novena ley: Exponentes fraccionariosLos exponentes fraccionarios se encuentran ligados a los radicales de la siguiente manera:

anm=

m√an

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Producto de radicalesRadicales del mismo índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

√a∗√b=√a∗b

Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicalesRadicales del mismo índice: Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

n√an√b

=n√ abRadicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicalesPara elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

( n√a )m= n√am

Raíz de un radicalLa raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

n√m√a=n∗m√a

PRODUCTOS NOTABLES

Binomios conjugadosSe obtiene: el producto de la suma y la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b ) (a−b )=a2−b2

Ejemplo: (2 x+ y ) (2 x− y )=4 x− y2

Binomio al cuadradoAl desarrollar el cuadrado de un binomio, se obtiene como resultado un trinomio, cuyos términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:1. El cuadrado del primer término del binomio.2. El doble producto del primer término por el segundo término.3. El cuadrado del segundo término del binomio.

(a+b )2=a2+2ab+b2

Ejemplo: (4+3 x )2=16+24 x+9 x2

El cuadrado de un polinomioElevar al cuadrado un polinomio, tiene como resultado, la suma delos cuadrados de cada término del polinomio, más el doble producto de todos los términos tomados de dos en dos.

(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Ejemplo: (a+2b+3c )2=a2+4b2+9c2+4ab+6 ac+12bc

Producto de binomios con término comúnAl desarrollar el producto de dos binomios con término común, es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes.

( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab

Ejemplo: ( x+6 ) ( x−3 )=x2−3x−18

Producto de binomios con término semejanteAl desarrollar el producto de dos binomios con términos semejantes, se obtiene como resultado un Trinomio, cuyos términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:1. Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.2. Se multiplican los términos extremos y los términos interiores de los binomios dados: por reducción de términos semejantes, obtenemos el resultado.3. Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.

(a x+b ) (c x+d )=ac x2+(ad+bc ) x+b d

Ejemplo: (3 x−4 y ) (2 x− y )=6 x2−11 x y+4 y2

Binomio al cuboAl desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un Polinomio de cuatro términos, cuyos términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:1. El cubo del primer término del binomio.2. El triple producto del cuadrado del primer término por e segundo término.3. El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término.4. El cubo del segundo término del binomio.

(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

Ejemplo: (2a+3 )3=8a3+36a2+54 a+27

FACTORIZACIÓN

Factorizar un monomio:Para este se busca los factores en los que se puede descomponer el término.

15ab=3∗5ab

Factor común monomio:En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos.

a2+2a=a (a+2)Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común.

Factor Común Polinomio:En este caso en ambos términos tu factor que se repite es (a + b), entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio.

x (a+b )+m (a+b )=(x+m) (a+b )

Factorización por agrupamiento:Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

5a+5b+ax+bx=5 (a+b )+x (a+b )=(a+c )(5+x)

Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c:Para factorizar el trinomio 6 x2−11 x−35 se procede de acuerdo al siguiente procedimiento:Primero. Se buscan dos números que al sumarlos nos den el coeficiente del termino de primer grado (- 11) y que al multiplicarlos den el producto del coeficiente del término de segundo grado (6) por el término independiente (- 35).Segundo. El término de primer grado (- 11x) se descompone como la suma de mx + nx:

6 x2−11 x−35=6 x2+10 x−21 x−35Tercero. Se factoriza por agrupamiento la expresión anterior:

6 x2+10x−21x−35=(6 x¿¿2+10 x )+(−21 x−35)=2 x (3 x+5)−7 (3 x+5)=(3 x+5)(2x−7)¿

Por lo que: 6 x2−11 x−35=(3 x+5)(2x−7)

Factorización de un cuadrado perfecto:Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado.

(a+b )2=a2+2ab+b2

Factorización de una diferencia de cuadros:

Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual

al producto de dos binomios conjugados.

Trinomio de la Forma x ²+bx+c:Para factorizar x ²+bx+c, hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12.Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática. ( x+4 )(x+3).

Factorización de una suma o diferencia de cubos:

Suma de Cubos a3+b3=(a+b)(a2−2ab+b2) se resuelve de la siguiente manera. El

binomio de la suma de las raíces de ambos términos(a+b). El cuadrado del primer término, menos el doble del producto de los 2 términos más el cuadrado del

segundo termino (a2−2ab+b2 ) .Diferencia de Cubos a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) se resuelve de la siguiente manera.

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a−b). El cuadrado del primer término, más el producto de los 2 términos, más el cuadrado del segundo

termino (a2+ab+b2).