matematicas computacionales 1-3

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MATEMÁTICAS COMPUTACIONALES 201

2

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

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Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

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2

CORPORATIVO INTERNACIONAL UNIVERSITARIOS. C.

Nombre del alumno:

Jesús

tomas Sá

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2Jesús Tomas Sánchez Benítez

Nombre del Catedrático:

L.I. Gabriel Flores González

Asignatura:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

4




2Matemáticas Computacionales

• Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales• Estructuras Algebraicas•

Inducción Matemática

Cuatrimestre:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

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2Quinto

Febrero 2012.

INDICE

Jesús

tomas Sá

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Jesús

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TEMA PAG.

1 Introducción……………………………………………………… 3

2 Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales...... 4

3 Estructura Algebraicas……………..…………………………... 12

4 Inducción Matemática…………………………………………... 24

5 Conclusiones…………………………………………………….. 30




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2INTRODUCCIÓN

En esta sección se introducen los conceptos básicos referentes a los

sistemas de ecuaciones lineales. Definiremos cuándo una ecuación es unaecuación lineal y cuándo se tiene un sistema de ecuaciones lineales.

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2La matriz aumentada del sistema se utilizará para representar convenientemente

el total de la información del sistema y se describirá cómo la manipulación de ella

equivale a la manipulación del sistema de ecuaciones. Asimismo, se introducirá la

idea de la estrategia de eliminación gaussiana para resolver un sistema de

ecuaciones basado ciertas operaciones llamadas operaciones elementales.

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2SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con variasincógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que

satisfacen dichas ecuaciones.En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o másgeneralmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que enuna ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definidode antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico





2en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue auna contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si sondemasiadas, con negras subíndices.

Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferenciadel caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen

Jesús

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http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_no_contradicci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_no_contradicci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal




2medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de lassoluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamadaforma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguienteforma:

Jesús

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)




2

(2)

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente queacompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas,

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2donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar. Y la

tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al términoindependiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de

Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le haacoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre lasecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan


http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada







2

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2Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la

incógnita . Si nos encontramos alguna fila del tipo , con , el sistemano tendrá solución.

GAUUS JORDÁN

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2En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebralineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices einversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sussoluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante seconoce como: "forma escalonada".

El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormenteen un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del artematemático.

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, elnúmero de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica

http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_escalonada





http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica

http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_escalonada





2Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda

2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuadosdel renglón superior a los renglones debajo de él

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)

5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglónobtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiploscorrespondientes a los renglones correspondientes

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http://es.wikipedia.org/wiki/Submatriz

http://es.wikipedia.org/wiki/Submatriz




2Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordán, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordán), esta consiste en ir obteniendo los 1delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicenya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números x , y , z , que satisfacen simultáneamenteestas ecuaciones:

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2

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otroequivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

• Intercambiar de posición dos ecuaciones

• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones




2Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otrosprocedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matrizsimétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuacióna la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Jesús

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices_elementales

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU

http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices_elementales

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU




2Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, ysumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y .

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a laprimera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z .

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2

Despejando, podemos ver las soluciones:

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2

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en sunotación matricial:

Primero:

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Después,

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Por último.

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2

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: 0 x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.

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2Forma escalonada y escalonada reducida

Artículo principal: Matriz escalonada

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puedetener las siguientes propiedades:

1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.

2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos estána la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos loselementos debajo de un pivote son cero).

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_escalonada

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_escalonada




2Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estasotras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón otan solo en forma escalonada reducida.

1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1

2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna deceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sinembargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio enla que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). Así la matriz

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2

También es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonadareducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

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21. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema esincompatible (no tiene ninguna solución).

2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con elnúmero de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema esindeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique

la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

INVERSIÓN DE MATRICES

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2Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello seaumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad simplemente escribiendo las filas dela identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:

se construiría

Jesús

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible




2

y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que seannecesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segundacomo a la tercera fila la primera obtenemos

Jesús

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2

multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera

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2

ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo

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2

ahora usamos el pivote de la segunda fila

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2

y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente

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2Figure: Interpretación geométrica del método delas aproximaciones sucesivas.[scale=0.9]eps/as-1

En la figura (4) se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x 0 y calculamos y = g ( x 0). La intersección de esta solución con la recta y = x nos dará un nuevo valor

x 1 más próximo a la solución final.Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podráconverger si la derivada g '( x ) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de larecta definida por y = x ). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura (5). Esta condición, que a

priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ellobasta elegir la función g ( x ) del siguiente modo:

Jesús

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2Figure: Demostración gráfica de que el métodode las aproximaciones sucesivas diverge si laderivada g '( x ) > 1.[scale=0.9]eps/as-2

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2

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2

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Las estructuras algebraicas nacieron en la Matemática moderna como una herramienta propia delas matemáticas puras. Pero muy pronto encontraron aplicaciones fundamentales en otrasciencias, como la Física o la Química.

Jesús

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4

7




2Recurrir a estructuras para estudiar determinados procesos, además de que conlleva siempre unasciertas dosis de abstracción, es una técnica que no compite sólo a las Matemáticas. Es, hastacierto punto, un proceso natural en los mecanismos de reflexión. Cuando se estudian las posiblesreacciones de un grupo de personas ante determinados estímulos se está intentando establecer una estructura de pautas de comportamiento que se pueda aplicar en condiciones similares. En lamedida en que las ciencias dejan de ser observacionales y se aproximan más a las llamadas

Ciencias Básicas, no sólo se refina el nivel de abstracción, sino que el rigor con el que se definenlas estructuras también aumenta. El Álgebra Clásica fue una ciencia que estudiaba los números ylas relaciones que se establecían entre ellos por medio de diferentes operaciones. El ÁlgebraAbstracta estudia relaciones entre elementos cualesquiera por medio de operaciones abstractas.

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2

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números

complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Jesús

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nchez Bení tez

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http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo


http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real



http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto




2

operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

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http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativa

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa





2

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

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1

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro




2

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

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2

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva





28) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

ObservacionesLa denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo quees habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto ysustracción para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

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2Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

• Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamosprobados los apartados 1, 2, 3 y 4.

• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probadoslos apartados 5 y 6.

• Si no se dice lo contrario:

Jesús

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5

5

http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_conmutativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_conmutativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)




2

.

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros,entonces:

Jesús

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2

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores

opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Jesús

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5

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2

Unicidad del elemento en el cuerpo :

supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Jesús

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5

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2

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos

de , entonces, como el neutro es único:

Jesús

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5

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2

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

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2

Si

• Si es cierto.

• Si entonces:

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2

u = 1u = (a − 1a)u = a − 1(au ) =

Notación

.

Observación

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2




2

• Si

• Si

Primer ejemplo con demostración al detalle

Queremos ver que es un espacio vectorial sobre

Veamos pues que juega el papel de y el de :

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3




2Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad conservaremos la denominación del vector, en estecaso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en eleje x o y respectivamente

Jesús

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6

4




2En defino la operación suma:

donde:

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5




2

y la suma de u y v seria:

donde:

Jesús

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6

6




2

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

Jesús

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2

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8




2

2) La propiedad asociativa:

Jesús

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9




2

3) tiene elemento neutro :

Jesús

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0




2

4) tenga elemento opuesto:

Jesús

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1




2

La operación producto por un escalar:

Jesús

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7

2




2El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.

Jesús

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3




25) tenga la propiedad:

Esto es:

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4




2

6) tenga elemento neutro: 1:

Que resulta:

Jesús

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5




2

Jesús

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6




2Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

7

7




2

Jesús

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nchez Bení tez

7

8




28) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Jesús

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nchez Bení tez

7

9




2

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Jesús

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nchez Bení tez

8

0




2

Jesús

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nchez Bení tez

8

1




2

TRANSFORMACIONES LINEALES

Jesús

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nchez Bení tez

8

2




2Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k . Una transformación

lineal de V en W , es una función

tal que:

Jesús

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3




2

i)

,

Jesús

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4




2

.

ii)

Jesús

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5




2

,

,

.

Jesús

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nchez Bení tez

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6




2En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidasen los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

8

7




2

es una transformación lineal, entonces

.

Jesús

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8

8




2En efecto

. Por la ley de la cancelación en W , tenemos que

Jesús

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nchez Bení tez

8

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2

.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i ) de T . Este hecho lo usamos en elsiguiente inciso.

ii)

es lineal si y solo si

Jesús

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9

0




2

,

Jesús

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1




2

,

.

Si T lineal, entonces

Jesús

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9

2




2

. Inversamente, supongamos que

Jesús

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nchez Bení tez

9

3




2

,

,

. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

9

4




2a)

.

Jesús

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nchez Bení tez

9

5




2b)

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

9

6




2

Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i ).

Jesús

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nchez Bení tez

9

7




2

iii)

es lineal si y solo si

Jesús

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9

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2

,

Jesús

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9

9




2

.

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

Jesús

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1

0




2

, entonces

, por la condición (ii ) de T .

Jesús

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1

0




2

b) Supongamos válido para n. Probemos para

:

Por la condición (i ) de T , tenemos que,

Jesús

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1

0




2

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

1

0




2

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

1

0




2

Jesús

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nchez Bení tez

1

0




2

CAMPOS

Campo o cuerpo: es una estructura algebraica en la que es posible realizar operaciones de adición,substracción, multiplicación y división. Provee una generalización de los dominios numéricos, comoel campo de los números reales, el de los números racionales y el de los números complejos

Campo vectorial: construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacioeuclídeo

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

1

0




2Un grupo es una estructura algebraica. En Matemáticas están definidas muchas estructurasalgebraicas, como grupos, anillos ideales, módulos, cuerpos o espacios vectoriales, por mencionar algunas. La mayoría de ellas, a diferencia de los grupos, tienen definida más de una operación.Vamos a ver, por ejemplo, cómo es la estructura de anillo.

Un anillo es un conjunto en el que hay definidas dos operaciones internas (A, $, o) (insistimos enque la elección de símbolos para las operaciones es totalmente arbitraria) y que cumple lassiguientes propiedades:

Jesús

tomas Sá

nchez Bení tez

1

0




21) Respecto a la primera operación $ es un grupo conmutativo

2) La segunda operación es asociativa, es decir, que para cualesquiera tres elementos a, b, c de Ase cumple que:

(a o b) o c = a o ( b o c)

Jesús

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nchez Bení tez

1

0




23) La operación o es distributiva sobre $. Lo que significa que se cumple que

a o (b $ c) = a o b $ a o c

El conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y producto son un ejemplo deanillo que se simboliza como (Z, +, ·). Ya hemos comprobado antes que la suma de enteros formaun grupo conmutativo. Por otro lado, sabemos que el producto de enteros es asociativo.Recordemos que esto significa que

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2

3· (4·8) = (3·4)·8 es decir que 3·32 = 12·8

Y por último, la aplicación distributiva en este caso sería

2(4 + 6) = 2·4 + 2·6

Jesús

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nchez Bení tez

1

1




2que sabemos que la cumplen todos los números enteros.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad deproposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valoresenteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

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2Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad implica quetambién la tiene (que se anota).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad.

CONCEPTO DE DEMOSTRACIÓN Jesús

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nchez Bení tez

1

1




2Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa apartir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se estéplanteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada.[1] Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o enteoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. Elhecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la

demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentestipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

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2Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles)

Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como casoparticular, descenso infinito

Inducción matemática

Inducción fuerte

Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer unademostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostracionesautomáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana.

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2

Demostración de la afirmación

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nchez Bení tez

1

1




2Antes de demostrar esto debemos tener claro que existen ciertos axiomas que nos permitirán, eneste caso, demostrar nuestra afirmación. Dado que nos basaremos en axiomas, tenemos quenuestra demostración (siendo cada paso lógico correcto) es verdadera.

• Usaremos los siguientes axiomas de los números reales:

Ax1.Ax2. Si y , con a,b,c reales. Entonces

Jesús

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1

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http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales




2Asumidos ciertos estos axiomas podemos comenzar con nuestra demostración. Supongamos por

un momento, contrariamente a lo esperado que, y veamos que llegamos a unacontradicción. Puesto que

, aplicando el axioma Ax2 al multiplicar por 1 (que es menor que cero), tenemos

que

, lo cual es una contradicción.

Jesús

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2Como nuestra hipótesis era que , y ésta es falsa, lo único que ahora podemos decir es que

. Pero el axioma Ax1 dice que la única posibilidad donde no existe contradicción es que

efectivamente

Luego

Razonamiento

Jesús

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1

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2Es claro que lo que debemos tener es una contradicción. Para ello, primero debemos plantear unahipótesis, y comprobar si es cierta o no. De no serla nos conducirá a una contradicción. Debetenerse claro que nuestra hipótesis comienza cuando decimos que 1 es menor que cero y no en losaxiomas mencionados anteriormente (porque éstos están ya demostrados o bien, asumidos ciertosy no requieren, por lo tanto, mayor análisis) . Como sabemos que la afirmación "'1 es menor quecero" es falsa, debiéramos llegar a una contradicción. Pero no basta sólo con saberlo, ya que debeser demostrado.

Nuestra hipótesis fue que uno era menor que cero y, luego de ciertos pasos lógicos correctosusando los axiomas, concluimos que uno era mayor que cero, lo cual claramente no puede ser cierto, ya que por la ley de tricotomía, dos números reales deben cumplir una y sólo una de lassiguientes relaciones

Jesús

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http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa




2; o bien ,

pero nunca dos ni tres juntas. Luego, como nuestra hipótesis nos conduce a una contradicción, esfalsa, y debemos considerar todas las posibilidades, menos esa. Esto es: como uno no es menor que cero, debe, necesariamente, ser mayor o igual que éste (cero). Pero el axioma primero diceque uno es distinto de cero, por lo que sólo queda la opción de que 1 sea mayor que cero

Razonamiento incorrecto

Un error común entre quienes comienzan el estudio de estas materias, es el de pensar que hanllegado a una contradicción sin haberlo hecho. Por ejemplo: Suponen que:

Jesús

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1

2




2, Luego sumando (-1) a ambos lados

lo cual es una contradicción ya que .

Este razonamiento tiene un error, ya que no llegamos a una contradicción. Nuestra hipótesis era

que 1 era menor que cero y por lo tanto, con los procedimientos realizados , que es

verdadero. En esta caso la afirmación es falsa.

Nótese que para llegar a una contradicción debemos tener lo siguiente:

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1

2




2• Una afirmación P (en nuestra hipótesis) que diga que ésta es cierta.

• Una conclusión que diga que P es falsa.

Claramente ninguna afirmación puede cumplir con esto. En lógica esto la afirmación sería:

P es cierta y ~P es cierta, que se lee "P es cierta y no P es cierta".

Ejemplo de una demostración por inducción

Demostrar que

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica




2

Demostración

• Debemos comprobar si la afirmación es cierta para , ya que la sumatoria parte

desde .

Sea , entonces

Jesús

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1

2




2

.

y la afirmación es cierta para .

• Supongamos ahora, que la afirmación es cierta para un fijo, y veamos que sucede

para .

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2Por propiedad de las sumatorias tenemos que

como la afirmación es cierta para , tenemos que

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2




2ordenando

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1

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2

como es distinto de , podemos simplificar y

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2que es lo que queríamos demostrar.

Así, la afirmación también es verdadera para .

Luego, la afirmación es cierta para todo .

Razonamiento

El principio de Inducción dice que dada una afirmación , esta es cierta sólo si se cumple que

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2

• es cierta

• Si es cierta, entonces también lo es.

Entonces, como nuestro es lo que queremos demostrar, debemos ver si es cierta para su

primer término. En este caso para .

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2




2

Nótese que no necesariamente nos debe quedar 1 en la sumatoria. Lo que nos indica el es

que debemos ver si es cierta para el primer término. Como la afirmación se cumplía para ,

el paso siguiente era ver si, asumida cierta para , se cumplía para . Así entonces, usamos

lo que queremos ver si es cierto en el único miembro de la izquierda de nuestra ecuación. Luegoaplicando propiedades de la sumatoria, podemos descomponer la sumatoria en partes y dejar loque sabemos que es cierto, separado de lo que se puede aplicar por definición. Sabemos que es

cierto para , por lo tanto el primer miembro del lado derecho lo podemos sustituir, mientras que alsegundo miembro sólo aplicamos la definición de sumatoria.

Jesús

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2Luego, sumando las fracciones y agrupando, concluimos que el primer miembro del lado izquierdode nuestra ecuación, se puede expresar como lo que queremos demostrar. Por lo tanto,

concluimos que la afirmación es cierta para .

CONCEPTO DE CUANTIFICADORES

Un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con ciertapropiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguientetabla:

Jesús

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2Nombre Notación Se lee

cuantificador universal Para todo x...

cuantificador existencial Existe por lo menos un x...

² Los cuantificadores:

- Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos losindividuos del universo del discurso.

Jesús

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2- Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de losindividuos del universo del discurso.

Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan enlógica de predicados son:

Jesús

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2El cuantificador universal; " indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdaderapara todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:

" X . . . .

Establece que "para todo X, es verdad que . . . "

Jesús

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2El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, esverdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que "existe un X, tal que . . . "

A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:

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2

" X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

" Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

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2

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2

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2

CONCLUSIONES

Como conclusión de este trabajo puede señalarse que se relacionan un conjunto de

propiedades de las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales se dedujeron

diversas propiedades, que son de particular utilidad para el cálculo de los determinantes asociados

a la solución del Sistema de Ecuaciones Lineales resultante del planteamiento del problema de

Jesús

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3




2obtención de expresiones analíticas para el cálculo de la derivada de funciones de variable

discreta.

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2

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4




2

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2

BIBLIOGRAFÍA

Jesús

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1

4




2http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones


http://es.wikipedia.org/wiki/Campo

http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Jesús

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1

Documents

matematicas computacionales 1-3