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Matemticas DiscretasEscuela Politcnica NacionalAnlisis bsico.Funciones numricas.03/10/201411Objetivos de la ClaseIntroduccin al Anlisis bsico y las Funciones numricas.

03/10/20142Bibliografa03/10/201431. Johnson baugh Richard, Matemticas Discretas, Pearson Universitario, 6ta edicin, 2005, ISBN 970-26-0637-3Qu son las Matemticas Discretas?Lamatemticas discretases el rea de las matemticas encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables03/10/20144Qu es un conjunto Discreto?Entre cada uno de los miembros del conjunto no puede haber ms trminos03/10/20145Funcin03/10/20146Enmatemticas, se dice que una magnitud o cantidadesfuncinde otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo: Elreade uncrculoes funcin de suradior: el valor del rea esproporcionalalcuadrado del radio,A=r2.

Funcin - EjemploSi viajamos durante cierto tiempo a una velocidad constante tenemos:03/10/20147DISTANCIA = VELOCIDAD * TIEMPOEntonces, si viajamos a 55 kilometros por hora durante t horas:DISTANCIA = 55 km/h * tDonde t es el tiempo y D es la distancia viajada.Funcin - EjemploLa ecuacin:DISTANCIA = VELOCIDAD * TIEMPO define una funcin.03/10/20148Una funcin asigna a cada miembro de unconjunto X exactamente un miembro de un conjunto Y

Tarea en claseDefina un subconjunto de X y Y para la funcin:

D = v * tcuando la velocidad constante es 55 Km/h para:

1 hora2 hora3 hora4 hora5 hora03/10/20149ConjuntosConjuntos X y Y pueden o no ser el mismo.03/10/201410En qu casos son X y Y iguales?Pares Ordenados03/10/201411En la ecuacin:DISTANCIA = VELOCIDAD * TIEMPO Cuando la velocidad es constante

Qu pares ordenados se pueden formar?, usar las respuestas del anterior ejercicio.Definicin formal de FuncinFormalmente, se define una funcin como un tipo especial deconjunto de pares ordenados. 03/10/201412Definicin formal de FuncinSean X y Y dos conjuntos. Una funcin f de X a Y es un subconjunto del producto cartesiano X Y que tiene la propiedad de que:

para cada x X, existe exactamente una y Y con (x, y) f.

En ocasiones denotamos una funcin f de X a Y como:

f: X Y.

El conjunto X se llama el dominio de f. El conjunto {y | (x, y) f} se llama el rango de f.03/10/201413EjemploEl conjuntof = {(1, a), (2, b), (3, a)}ES una funcin de: X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c}.

A cada elemento de X se asigna un valor nico en Y:

1 se asigna al valor nico a; 2 se asigna al valor nico b; y 3 se asigna al valor nico a.03/10/201414Diagrama de flechas03/10/201415

Para que un diagrama de flechas sea una funcin, se requiere que haya justo una flecha desde cada elemento del dominio.Diagrama de flechas03/10/201416

La definicin no requiere que todos los elementos de y se usen.Ejercicio en ClaseEl conjunto:{(1, a), (2, a), (3, b)},Es una funcin de X a Y?03/10/201417

No es una funcin porque el elemento 4 en X no est asignado a un elemento en Y segn la definicin vistaEjercicio en ClaseEl conjunto:{(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)},Es una funcin de X a Y?03/10/201418

Es una funcin ya que a cada elemento de X se asigna un valor nico en YNotacin f(x) = y Dada una funcin f de X a Y, para cada elemento x del dominio X, hay exactamente una y Y con (x, y) f.

Este valor es nico y se denota por f(x). En otras palabras,

f(x) = y

es otra manera de escribir (x, y) f.03/10/201419Ejerciciof (1) = a, f (2) = b, f (3) = a.03/10/201420

Grafica de una FuncinOtra manera de visualizar una funcin es dibujar su grfica.

La grfica de una funcin f cuyo dominio y rango son subconjuntos de los nmeros reales se obtiene trazando puntos en el plano que corresponden a los elementos en f. El dominio est contenido en el eje horizontal y el rango en el eje vertical.03/10/201421Grafica de una Funcinf (x) = x^2

f (x) Es una funcin?03/10/201422

S es una funcin ya que para cada elemento del conjunto X hay un solo valor en el conjunto Y, no importa que el valor se repita.Grafica de una FuncinEl grfico es una funcin X a Y?03/10/201423

No es una funcin ya que el elemento 1 del conjunto X se dandos valores en el conjunto Y 3 y 1Operador MduloSi x es un entero y y es un entero positivo, se define x mod y como el residuo cuando x se divide entre y.03/10/201424Ejemplos MOD6 mod 2 = 0,

5 mod 1 = 0,

8 mod 12 = 8,

199673 mod 2 = 1.

03/10/201425Ejemplos MODQu da de la semana ser 365 despus del viernes?

Siete das despus del viernes es viernes de nuevo;

14 das despus del viernes es viernes otra vez;

en general, si n es un entero positivo, 7n das despus del viernes es viernes de nuevo.

Entonces, necesitamos restar todos los 7 que se puedan de 365 y ver cuntos das quedan. 03/10/201426Ejemplos MODQu da de la semana ser 365 despus del viernes?

Esto es lo mismo que calcular 365 mod 7.

Como 365 mod 7 = 1,

365 das despus del viernes ser un da ms tarde, es decir, sbado. Como 2016 es bisiesto entonces sumaremos un da ms, dando como resultado dos das despus del viernes, es decir domingo.

03/10/201427Piso de XEl piso de x, denotado por x , es el mayor entero menor o igual que x. El techo de x, denotado por x, es el menor entero mayor o igual que x.03/10/201428

Piso XPor ejemplo:03/10/201429

Piso y techo de X Ejemplo Grfico03/10/201430

Funcin InyectivaSe dice que una funcin de X a Y es uno a uno (o inyectiva) si para cada y Y, existe a lo mucho una x X con f (x) = y.03/10/201431Funcin Inyectiva"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tienecomo mucho unode "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A")03/10/201432Funcin Inyectiva03/10/201433

Pregunta?f = {(1, a), (2, b), (3, a)}

de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d}

Es inyectiva?03/10/201434

Pregunta?f = {(1, b), (3, a), (2, c)}

de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d}

Es inyectiva?03/10/201435

Demostracin de inyectividadPara que una funcin f de X a Y sea uno a uno es equivalente a: para toda x1, x2 X, si f (x1) = f (x2), entonces x1= x2. En smbolos,

x1x2(( f (x1) = f (x2)) (x1 = x2))

Esta forma de la definicin con frecuencia se usa para probar que una funcin es uno a uno.03/10/2014Andres Larco - Adrian Eguez - EPN36EjercicioPruebe que la funcin

f (n) = 2n + 1

del conjunto de enteros positivos al conjunto de enteros positivos es uno a uno.03/10/201437EjercicioDebe demostrarse que para todos los enteros positivos n1 y n2, si f (n1) = f (n2), entonces:n1 = n2.

As, suponga que f (n1) = f (n2), se traduce en:

2n1 + 1 = 2n2 + 1.

Simplificando

n1= n2 => Por lo tanto, f es uno a uno.03/10/201438EjercicioPruebe que la funcin

f (n) = 2n n^2

del conjunto de enteros positivos al conjunto de enteros positivos no es uno a uno.03/10/201439Ejerciciof (n) = 2^n n^2

Por prueba y error, se encuentra que:

f (2) = f (4).03/10/201440Funcin SobreyectivaSi f es una funcin de X a Y y el rango de f es Y, se dice que f es sobre o sobreyectivo Y

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tienepor lo menos unode "A" (a lo mejor ms de uno).03/10/201441Funcin Sobreyectiva03/10/201442

EjerciciosLa funcin

f = {(1, b), (3, a), (2, c)}

Definida por X={1, 2, 3} y Y = {a, b, c, d}, no es sobreyectiva.

Es sobreyectiva respecto a Y= {a, b, c}.03/10/201443

Funcin BiyectivaUna funcin que es uno a uno y sobreyectiva se llama biyeccin.03/10/201444

Resumen de Funciones03/10/201445

Inversa de fPara la funcin:f = {(1, a), (2, c), (3, b)}Definida por: X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c}

Se puede demostrar que:

{(y, x) | (x, y) f }Esta nueva funcin, denotada por f1, se llama

inversa de f.03/10/201446Ejercicio03/10/201447

( f g)(x) = f (g(x))Sea g una funcin de X a Y y sea f una funcin de Y a Z. La composicin de f con g, denotada por f g, es la funcin

( f g)(x) = f (g(x))03/10/201448

EjemploSi f (x) = log3 x y g(x) = x^4,

Encontrar( f g)(x) = f (g(x))

Solucinf (g(x)) = log3(x ^ 4),

g( f (x)) = 4 (log3 x).03/10/201449

DeberDetermine si cada conjunto en los ejercicios 1 al 3 es una funcin de X = {1, 2, 3, 4} a Y = {a, b, c, d}. Si es una funcin, encuentre su dominio y rango, dibuje el diagrama de flechas y determine si es uno a uno, sobre o ambas. Si es uno a uno y sobreyectiva, d la descripcin de la funcin inversa como un conjunto de pares ordenados. Dibuje el diagrama de flechas y d el dominio y el rango de la funcin inversa.{(1, c), (2, a), (3, b), (4, c), (2, d)}{(1, d), (2, d), (4, a)}{(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)}03/10/201450DeberDetermine si cada funcin en los ejercicios 4 al 7 es uno a uno. El dominio de cada funcin es el conjunto de nmeros reales. Si la funcin no es uno a uno, demustrelo. Determine si f es sobreyectiva al conjunto de nmeros reales. Si f no es sobreyectiva, demustrelo.f (x) = 6x 9f (x) = 3x^2 3x + 1f (x) = sin xf (x) = x / (1 + x^2)03/10/201451DeberEncuentre los meses con viernes 13 en 1945.Encuentre los meses con viernes 13 en el presente ao.

Sean f y g funciones de los enteros positivos a los enteros positivos definidos por las ecuaciones:

f (n) = 2n + 1, g(n) = 3n 1.

Encuentre las composiciones f o f, g o g, f o g y g o f.03/10/201452