Click here to load reader

Matemáticas Financieras

  • View
    53

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Matemáticas Financieras

UNIVERSIDADNACIONALABIERTAYADISTANCIAUNAD

FACULTADDECIENCIASADMINISTRATIVAS

MATEMATICAS FINANCIERASARTUROROSEROGMEZ

BOGOTACOLOMBIA 2005

1

COMITDIRECTIVO JaimeAlbertoLeal Afanador Rector RobertoSalazarRamos VicerrectorAcadmico SheifarBallesterosMoreno VicerrectorAdministrativoyFinanciero MaribelCrdobaGuerrero SecretaraGeneral EdgarGuillermoRodrguez DirectordePlaneacin

Laedicindeestemduloestuvoacargodela FacultaddeCienciasAdministrativasdelaUNAD. Decano:RoqueJulioRodrguezParra

MODULO CURSOCOMPONENTEDISCIPLINAR @CopyRigth UniversidadNacionalAbiertayaDistanciaUNAD

Isbn 20051030

2

CentroNacionaldeMedios CONTENIDO Pg. Presentacin Introduccin UNIDADDIDACTICAUNO COSTODELDINEROENELTIEMPO Explorandoconocimientosprevios CaptuloUno.Inters 1. Inters 10 11 12 13 13 13 14 25 34 34 35 42 55 58 59 59 59 60 61 61 61 6 8

1.1 Conceptos 1.1.1Conceptodeinters 1.1.2Conceptodeinterssimple 1.1.3Conceptodeinterscompuesto 1.2 Tasasdeinters 1.2.1Tasadeintersnominal 1.2.2Tasadeintersefectiva 1.2.3Conversindetasas Ejerciciosparaprofundizacindelastemticas CapituloDos.Equivalenciasconcuotasfijas 2. Equivalenciasconcuotasfijas 2.1 Cuotasfijasvencidas 2.1.1Equivalenciasentreunvalorfuturoyunaseriedecuotasfijas vencidas 2.1.2Equivalenciasentreunvalorpresenteyunaseriedecuotas fijasvencidas 2.2 Cuotasfijasanticipadas 2.2.1Equivalenciaentreunvalorfuturoyunaseriedecuotasfijas anticipadas 2.2.2Equivalenciaentreunvalorpresenteyunaseriedecuotasfijas anticipadas

3

2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidasconintersanticipado CapituloTres.Equivalenciasconcuotasvariables 3. Equivalenciasconcuotasvariables 3.1. Gradientes 3.1.1GradienteAritmtico 3.1.2GradienteGeomtrico 3.2. EquivalenciaentreunvalorpresenteyunGradiente 3.2.1EquivalenciasentreunvalorpresenteyunGradiente Aritmtico 3.2.2GradienteAritmticoCreciente 3.2.3GradienteAritmticoDecreciente 3.2.4EquivalenciaentreunvalorpresenteyunGradiente Geomtrico 3.3 Amortizaciones 3.3.1Tablasdeamortizacin 3.3.2Perpetuidades Ejerciciospara profundizacindelastemticas UNIDADDIDACTICADOS EVALUACIONDEALTERNATIVASDEINVERSION Actividadesdeexploracindeconocimientosprevios

62 64 65 65 65 69 70 70 72 74 76 78 78 90 92 94 95

CapituloUno.Clasesdeevaluacionesycriteriosdedecisin 1. Clasesotiposdeevaluaciones 1.1 Evaluacindeproyectossociales 1.1.1Caractersticas 1.1.2RelacinBeneficio/Costo 1.1.3CostoCapitalizado 1.2 Criteriosparaevaluarproyectosdeinversin 1.2.1Tasadedescuento 1.2.2CostopromedioPonderadodeCapitalWACC 1.2.3ValorPresenteNetoVPN 1.2.4RelacinValorPresentedelosdelosingresos/egresos 1.2.5TasainternadeRetornoTIR 1.2.6CostoAnualUniformeEquivalenteCAUE

96 97 97 97 98 98 103 103 104 105 106 106 109

4

2. AnlisisdeRiesgosenlosproyectosdeinversin 2.1 SistemasdeAnlisis 2.1.1DistribucinBeta2 2.1.2DistribucinBeta CaptuloTres.AlternativasMutuamenteExcluyentesyno Excluyentes 3.1 AlternativasMutuamenteExcluyentes 3.1.1Comparacindealternativas 3.1.2TasaVerdadera 3.1.3TasaPonderada 3.1.4Sensibilidaddelosproyectosadiferentestasasdedescuento 3.1.5Proyectosconvidasdiferentes Ejerciciosparaprofundizacindelastemticas 3.2. RacionamientodeCapital 3.2.1ModelodeOptimizacin 3.2.2PlanteamientodelModelo Ejerciciosparalaprofundizacindelastemticas Apndice.SistemadefinanciacinconUVR BibliografayCibergrafa

112 113 13 120 126 127 127 129 133 136 139 141 146 146 146 154 155 165

5

PRESENTACION

Lanueva UniversidadNacionalAbiertayaDistanciaUNAD,recorri presurosa toda su historia inici un proceso de reflexin que por principio se convirti en permanente y con base en las realidades detectadas mediante el proceso de planificacin estratgica, prospectiva y situacional, estructur un conjunto de transformaciones que la asoman al siglo XXI como la fuente dinamizadora del desarrollodelpasydelaregin.Poresoyporsusinnovacionesorganizacionales la UNAD de hoy es una organizacin inteligente, es decir, una organizacin que aprende. Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefini su misin y su accionar cada vezesmscoherenteconellaymediantesupedagogapropiadelametodologa de la educacin abierta y a distancia ofrecer oportunidades tangibles a los colombianos mas vulnerables, para ingresar a la educacin superior contribuyendoefectivamentealaeducacinparatodos. La implementacin de las tecnologas de la informacin y de la comunicacin, TICs,laponenmscercadelnuevoparadigmaeducativomundial,deconformar redes interactivas con todas las comunidades y organizaciones nacionales e internacionales interesadas en gestar procesos de crecimiento individual y colectivo. Y los cambios e innovaciones que viene adelantando la pondrn a la vanguardia,enelsigloXXI,delaEducacinAbiertayaDistancia. La produccin de material didcticohace parte delos cambios estructurales que se vienen dando es una de las actividades docentes aqu es donde se tiene la gran oportunidad de actualizar y contextualizar las temticas de los cursos acadmicos planear, disear y actualizar los currculos y operacionalizar el modeloplanteadodesdeelProyectoAcadmicoPedaggicoPAPporelcualse orienta la institucin. En consecuencia como lo expone el PAP el material didctico tiene como fin apoyar el trabajo acadmico del aprendiente, mediante la planificacin de los procesos de aprendizaje, acorde con las competencias e intencionalidadesformativaspropuestasenloscursosacadmicosquecomponen loscamposdeformacindeunprograma. El mdulo que se presenta hace parte del material didctico correspondiente al Curso Acadmico de Matemticas Financieras en el Ciclo Tecnolgico del Programa de Administracin de Empresas. Es un rediseo al texto escrito porel DoctorJorgeS.RosilloC.yeditadoporlaUNADen2002.Setomestadecisin con base en el levantamiento del estado del arte del material que se venia trabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determin que el texto del DoctorRosilloademsdepresentarlastemticascorrelacionadasconelcurrculo

6

delprogramaacadmico,estplanteadodesdelobsicohastalomscomplejo, elementoesencialeneldiseodematerialdidctico. El producto resultante de esta mediacin, tiene en cuenta los elementos estructuralesdelmaterialdidcticoportantoestorganizadodetalmaneraque, conjuntamenteconlaGuaDidctica,sirvacomosoportepedaggicoalcursode Matemticas Financieras, el cual esta estructurado por el sistema de crditos acadmicos. Como material didctico, su intencionalidad es apoyar el trabajo acadmicodelosaprendientesyeltrabajotutorial enfuncindelaprendizajeyel desarrollo cognitivo y metacognitivo de los aprendientes, en correlacin con las intencionalidadesformativasdelcurso. En atencin a que el nuevo ordenamiento mundial est provocando nuevas dinmicasenlaeconomaquelacultura,lacomunicacinyelmercadoestnen un proceso de globalizacin acelerado y que las matemticas financieras evolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre los cuales actan, sern bien venidas las sugerencias y los aportes de estudiantes, tutores y cualesquiera personas que quieran contribuir para el mejoramiento de este material, tanto en lo temtico como en lo pedaggico, didcticoymetodolgico.

7

INTRODUCCIN El administrador de empresa puede desenvolverse profesionalmente en el nivel operativo de la organizacin aplicando las cuatro funciones principales de la administracin: planeacin, organizacin, direccin y control en el nivel medio comojefededepartamentooenlatomadedecisionesanivelinstitucional.Enlos tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al logrodelasmetascorporativas. La comprensin, interpretacin y aplicacin de los conceptos propios de las matemticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades en el manejo de las herramientas financieras que le permitirn en el ejercicio profesional proponer con argumentos slidos alternativas de solucin a las problemticassepresentenyquetenganqueverconlatomadedecisionessobre evaluacin de alternativas de inversin o de uso y aplicacin de recursos financieros. Entre las posibilidades inmediatas de aplicacin de las diferentes herramientas financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temticas que conforman el presente mdulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolucin de problemas prcticos que se identifiquen en las actividades de proyeccin y apoyo a la comunidad enque se desenvuelvenlos aprendientes. Este esla mayor atractivo delestudiodeestaramadellasmatemticasaplicadas. Ademsdelascompetenciasbsicas,sepretendendesarrollarotrascomplejasy transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los conceptosylasherramientasfinancierasaplicablesenelanlisisy evaluacinde proyectos de inversin y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de decisionesensugestincomoempresario,comoresponsabledelreafinanciera deunaorganizacinocomomiembroactivodesucomunidad. El presente mdulo conjuntamente con la gua didctica (protocolo acadmico y gua de actividades), conforman el material didctico que apoyar el trabajo acadmicodelaprendienteenelestudiodelcursoyconelpropsitoparticularde presentar la informacin en forma inteligible, est escrito en un lenguaje simple, sinapartarsedellxicotcnicopertinentealascuestionesfinancieras. En atencin a que el curso, curricularmente responde a dos crdito acadmicos, coherentementeelmdulosecomponededosunidadesdidcticas:1.Costodel dineroeneltiempo2.Evaluacindealternativasdeinversin. Laprimeraunidad laconstituyentrescaptulos,loscualescontienenlastemticasrelacionadascon el manejo del dinero, tratado como mercanca y de lo cual se encargan sustancialmentelasmatemticasfinancieraslasegundaunidadintegraotrostres captulos que tratan los temas que permiten la toma de decisiones sobre la

8

viabilidad o no de un proyecto y la eleccin de la alternativa ms conveniente y rentableparaelusodelosfondosdelasorganizaciones. La metodologa propuesta para lograr los objetivos esperados se orienta al autoaprendizaje,atravsdelalecturaconpropsitodelastemticas,paralocual se recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad resolver los ejercicios propuestos para la profundizacin de las temticas y la aplicacin inmediata en el PDE o en casos prcticos para la solucin de problemasenlacomunidad. Como se anot anteriormente, este material viene acompaado de la gua didctica, la cual adems de la informacin sobre las caractersticas del curso acadmico contienela gua de actividades con los elementos metodolgicos de evaluacinyseguimientodelprocesodeaprendizajedelcurso.

9

UNIDADUNO

COSTODELDINEROENELTIEMPO JustificacinConelestudiodeestaunidadelaprendienteapropiarunaseriedeconceptoscomo: inters,interssimple,interscompuesto,tasasdeintersasimismocomprenderel principio de equivalencia financiera y conocer la manera de realizar todas las conversionesposiblesentrelasdiferentestasasdeinters.

ObjetivoGeneralApartirdesureconocimientoyaplicacinencasosprcticos,deducirlasfrmulas de inters simple e inters compuesto y establecer los parmetros para su aplicacinenlascuestionesfinancieras.

Objetivosespecficos Deducirlasfrmulasdeinterssimpleeinterscompuesto Encontrarunatasadeintersefectivaequivalenteaunatasade Intersnominaldadaoviceversa. Hallarsumasfuturasypresentesequivalentesaunaseriedepagos Establecerlosparmetrosquepermitanlaliquidacindeinteresessobre saldosmnimos Encontrar los parmetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes aunaseriedecuotasquecrecenodecrecenenformalineal Determinar una expresin matemtica que el clculo del valor de la primera cuota para con base en el sistema de amortizacin se pueda calcular las restantes Elaborar tablas y grficas de amortizacin de amortizacin para sistemas de amortizacindiferentes

10

Quse sobre..?

ACTIVIDADDEEXPLORACIN DECONOCIMIENTOSPREVIOS

El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tiene sobreloscontenidosaestudiar,detalformaque facilitalarecepcindelanueva informacinygeneramayorcomprensindelastemticas. Despusdeinspeccionarligeramentelaunidadysinadelantarlalecturacontestar lassiguientespreguntasyregistrarlasenlaprimeracolumnadelcuadro1.SQA. QuSEacercade? Inters Inters simple inters compuesto tasas de inters tasa de inters nominal tasa de inters efectiva, crdito con cuotas fijas crdito con cuotas variablesamortizacindecrditos? Unavezrealizadalareflexinsobrelosvacosencontradosaltratarderesponder losinterrogantes anteriores, consignar enlacolumna dos del cuadro 1 SQA,lo quesedeseaconocersobrelostemastratados.Asseresuelvelapregunta: QuQuieroSaber? Despus de abordar la lectura de los contenidos analizar los ejemplos resolver las actividades de profundizacin y de socializar las temticas con los dems estudiantes del curso, se debe completar el cuadro SQA registrando en la tercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de la unidad.Elregistrodeloslogros,respondelapregunta: QuAprend? Cuadro1SQA QUS Saberesprevios: QUQUIEROSABER Measdeaprendizaje: QUAPREND Logros:nuevoconocimiento

11

CAPITULOUNO

INTERS

JustificacinUnavezelaprendientehayaterminadoelestudiodeestecaptuloestaren capacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto del tiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemas dendolefinancieroyrealizarlosclculosparalasoperacionesfinancieras

ObjetivoGeneralA partir delreconocimiento y profundizacindelas temticasel estudiante debe deducir las frmulas de inters simple e inters compuesto y encontrar una tasa de inters efectiva equivalente a una tasa de Inters nominaldadaoviceversa.

Objetivosespecficos Establecerlasdiferenciasprecisasentrelasdiferentesclasesdeinters Interpretarlosdiagramaseconmicos Calcularoperacionesfinancierasconinterssimpleeinterscompuesto Definireinterpretarelconceptodetasadeinters Calcularlatasadeintersefectivaapartirdelatasanominalyviceversa Calcularelintersrealenelao

12

1.INTERS En la sociedad primitiva los seres humanos se autoabastecan: generalmente el hombre sala a cazar o pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos no se cazabamsdeloqueseconsuma. El concepto de acumulacin tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se caracteriz por la divisin del trabajo esta sociedad estaba formada por carpinteros,panaderos,alfareros,herreros,albailes,ganaderos,agricultores,etc. Quienes no solamente producan para su consumo, sino que generaban excedentes, lo que les permita intercambiar otros productos para satisfacer sus necesidades dealimentacin,vivienda,vestuarioyeducacin. Por ejemplo, el productor de papa slo satisfaca parte de su necesidad de alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida, deba intercambiar sus excedentes por otros productos, deba buscar otro individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requera la existenciadeunanecesidadrecprocaparapoderrealizarelintercambio,sinella eraimposiblerealizarlatransaccinunavezseencontrabanlosdosindividuosse deba fijar cuntas unidades del producto A seran necesarias para adquirir el producto B, la relacin entre la cantidad de un producto que se entrega para obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del otrobien. 1.1 CONCEPTOS 1.1.1 ConceptodeInters Elconceptodeinterstienesuorigenenlastransaccionesquerealizandosoms actoresporelintercambiodebienesyservicios. Lanecesidaddeintercambiardelosindividuosparasatisfacersusnecesidadesy laslimitantesdelintercambioquegenerabalanecesidadrecproca,fuehaciendo germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para negociar. Inicialmente,estebienfueelganadoyserva paraexpresarelprecio decualquiertransaccinpocoapocofueronsurgiendootrosproductos,eloroyla plataqueseusaroncomodinerocumpliendofuncionesdeunidaddevalorymedio de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fcil manejo hasta llegar a nuestro das con el papel moneda de aceptacin universal, como instrumentodeintercambio. De la misma forma que en la sociedad artesanal se producan excedentes para poder intercambiar, en la sociedad contempornea los excedentes de dinero de

13

los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para satisfacersusnecesidades. Elcostooelrendimientodeestastransaccionesse llamaINTERS. Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero tienendiferentesnegocios elprimero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e importa joyas de Panam y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al mercadoperfumesimportadosdeFrancia. Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancas, pero los dos obtienen resultados diferentes. Doa Linda obtiene una ganancia de $300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo. Observemos que teniendo la misma inversin reciben beneficios diferentes, podemos definir entonces el INTERS como la utilidad que se tiene sobre una inversinenXtiempo,osea:

Utilidad Inters = Inversin

Siendoelintersdelcomercianteenjoyas =300,000/10,000,000 =3% mensual yelintersdelcomercianteenperfumes =500,000/10,000,000=5%mensual. Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite $10,000,000yselossoliciteadonArmando,steseloscederasolamentesile reconoceunatasadeintersigualalaquelerindensusinversiones,esdecir,al 5%mensualdeaqunaceotroconceptoconocidoconelnombre de TASA DE INTERS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista est dispuestoacedersudinero,siselereconoceunatasadeintersigualosuperior alaquerindensusinversiones. 1.1.2 ConceptodeInters Simple Siendoelinterslautilidadsobrelainversin,sepuedetomarelejemploanterior enelcualelcomercianteenjoyasdoaLindaPlantadeRico,ganamensualmente $300,000con$10,000,000invertidossicontinuamossuanlisisindefinidamente, esdecir,mesames,elresultadoeselsiguiente:

14

MES 1 2 3 . . N Si:Inter s=

DINERO INVERTIDO $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000

GANANCIA $300,000 $300,000 $300,000 $300,000

DINERO ACUMULADO $10,300,000 $10,600,000 $10,900,000

Utilidad Inver sin

Utilidades=3%x$10.000,000=$300,000encadaperodo,paraestecasocada mes. Loanteriorsepuedepresentarsimblicamentedelasiguienteforma: Dineroinvertido=P TasadeInters=i Utilidad =InversinxTasadeinters Utilidad =Pi

MES 1 2 3 . . n

DINERO

INVERTIDO

UTILIDADES

P P P P

Pi Pi Pi Pi

Lo anterior quiere decir que doa Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi) por perodoy siquieresabercuntasutilidadeshageneradosuinversindesde el momento en que la realiz, simplemente deber multiplicar las utilidades de cada perodo por el nmero de ellos transcurridos ala fecha, desde el momento enquerealizlainversin.

15

Generalizando a n los perodos, se tendran en este punto unas utilidades acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sera igual a la inversin inicial ms las utilidades acumuladas a esta suma se le conoce con el nombre de MONTO o VALOR FUTURO y en trminos simblicos se representa de la siguienteforma: P = F = N= % i= Valordelainversinvaloractual Valorfuturo Nmerodeperodos Tasadeinters

F=inver siones+UtilidadesAcumuladas F=P+Pin F=p(1+in)

Ntese que en el ejemplo doa Linda Plata, no reinvirti las ganancias sino siempre invirti la misma cantidad ($10 millones) es decir, cuando no hay reinversindelasutilidadesseconoceconelnombredeinversionesaINTERS SIMPLE. Ejemplo1 Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy $4.000.000a unatasadeinterssimpledel3%mensual? El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujodelasiguientemanera: Considerarlosingresosdedinero con una flecha hacia arriba ylosdesembolsos con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser aos, semestres,meses,das. Laescaladetiempodebeestarexpresadaenelmismo perodo que est expresada la tasa de inters en el ejemplo la tasa de inters estexpresadaenmeses,porlotantolos5aossedebenconvertirameses,o sea60meses.

16

1=3%mensual F

60meses P=4.000.000

F=P(1+in) F=4,000,000(1+0.03(60)) F=11,200,000 LoanteriorquieredecirquedonJuanPrezsegan$7,200,000enlos5aosy adicionalmentetieneeldineroqueinvirtiosea$4,000,000. SUPUESTO:Elinversionistanohaceningnretirodedineroenellapsodetiempo considerado. Ejemplo2 ArmandoRicorecibihoy$3,450,000delBancodeBogotpor unainversinque realiz hace tres semestres si la tasa de inters es del 2% mensual, cunto dineroinvirtidonArmando? Como se explic anteriormente, el punto de partida es realizar el grfico o flujo decajacorrespondienteelproblemaquedaraplanteadoas: En razn a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en meses,paraqueloselementosestnenlamismabase.

0

1=2%mensual

F=3.450.000

P

18meses=3 Semestres

17

Reemplazandoenlaecuacinquerelacionaestasvariablessetiene: F=P(1+in) F=$3.450.000 porqueenestevalorseconsolidanlainversinylasutilidades I=2%mensual N=3semestres=18meses Entonces, 3,450,000=P(1+2%(18)) 3,450,000=P(1+0.36) P=3,450,000/(1.36) P=$2,536,764.71

EsteeselvalorqueinvirtidonArmandohace18meses. Ejemplo3 Patricia Fernndez recibi un prstamo de $3,000,000, que debe paga en 18 meses si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular tasa de inters simpledelprstamo.

P=3.000.000 18meses

0

F=3,850,000

18

Ntesequesedibujaronlos$3,000,000conunaflechahaciaarriba,puestoquese est tomando como referente a Patricia Fernndez al recibir el dinero del prstamotienenuningresoycuandocancelaelcrditoellatieneundesembolso, porlocualsedibujaconunaflechahaciaabajo. Sisetomacomoreferenteelprestamista,elgrficoseraelsiguiente:

F=3.850.000 0

18meses P=3.000.000

Reemplazandolosdatosdelaecuacinsetiene: F=P(1+in) 3,850,000 = 3,000,000(1+i%(18)) 3,850,000/3,000,000=(1+i18) 1.28331=i18 i=0.2833/18 i=0.015740 Expresndoloentrminosporcentualessetiene, I=1,5740%mensualsimple.

19

Ejemplo4Armando Mendoza recibi un prstamo de $7,000,000 de Beatriz Pinzn Solano, si cancel $10,500,000 y la tasa de inters fue del 2% mensual simple,calcular,culfueelplazodelprstamo?

GrficoparaArmandoMendoza

P=7.000.000

1=2%mensual

0 F =10.500.000

GrficoparaBeatrizPinznSolano F=10.5000.000 i=2%mensual 0

P=7,000,000

Reemplazandoenlaecuacinsetiene: F=P(1+in) 10,500,000=7,000,000(1+(2%)n) 10,500,000/7,000,000=1+2%n 2%=0.02 1.51=0.02n

20

0.5

=0.02n

0.5/0.02=n n=25meses Ntesequelatasadeintersseexpresenmesesporqueestdadaenmeses. Ejemplo5 Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3,000,000 dentro de 6 meses, $4,000,000 dentro de un ao y $5,000,000enaoymedio. Silatasadeintersesdel 10%semestralsimple,determinar,cuntodinerole prestelBancoSantanderaSofa? Recordando que los perodos del plazo deben estar en el mismo perodo que la tasadeinters,setiene: 6meses=unsemestre Unao=dossemestres Aoymedio= tressemestres GrficoparaelBancoSantander

3.000.000

4.000.000

5.000.000 3 Semestre

0

1

2

i=10%semestral P

21

GrficoparaSofaVergara

i=10%semestral 0 1 2 3

Semestre

P 3,000,000 4,000,000 5,000,000

Observando el grfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepcin diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tena un solo ingresoyunsolopagooviceversa. Esteejemploplanteatresdesembolsosenel futuroparaelcasodeSofa. Lasolucindeestetipodeproblemasebasaenel mismoconcepto,simplementeseanalizacadaingresoodesembolsoenelfuturo demaneraindependiente. Cada pago se hace Sofa, se considera dentro del toral de la cuota una parte correspondiente a intereses y otra un abono al prstamo. Para el Banco Santander, los intereses seran las utilidades y el abono al prstamo una devolucin de una parte de la inversin. Este concepto es congruente con la definicin de valor futuro, como el consolidado de lainversin ms las utilidades explicadoalprincipiodeestecaptuloenestecasolasutilidadesylainversinse devolvernalBancoentrespagosynoenuno. F=P(1+in) P=F/(1+in) Analizandocadapagoindependientesetiene:

Pago1=P1=3,000,000/(1+0.10(1))=$2,727,272.73 Pago2=P2=4,000,000/(1+0.10(2))=$3,333,333.33 Pago3=P3=5,000,000/(1+0.10(3))=$3,846,153.85

22

Porlotantoelvalordelprstamosera: P1=P1+P2+P3 P2=2,727,272.73+3,333,333.33+3,846,153.85 P3=$9,9060759.91 Ejemplo6 Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo de un ao y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra $1,000,000 dentro de tres meses, ahorrar $1,000,000 dentro de un semestre, ahorrar$1,500,000ydentrode10meses,ahorrar$1,700,000. Cuntodinerotendrexactamentedentrodeunao,silatasadeintersquele pagaelBancoesdel1%mensualsimple? GrficoparaNatalia

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F=? meses

1,000,000

1,000,000 1,500,000 1,700,000

i=1%mensual,1%=0.01 Se debe recordarque los desembolsos oingresos deben estar expresados en el mismoperododetiempoquelatasadeinters. Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversin se trata de manera independienteporlotantosetiene: Ahorrooinversin#1=F1 Ahorrooinversin#2=F2 Ahorrooinversin#3=F3

23

Ahorrooinversin#4=F4 Lainversinoahorrode$1,000,000quehaceenelperodo#1duraexactamente enelbanco12meses,porlotanton=12. F1=P1(1+in) F1=1,000,000(1+0.01(12))=$1,120,000 Lainversinoahorrode$1,000,000quehaceenelperodo#3duraexactamente enelbanco9meses(12meses3meses),portanton=9. F2=P2(1+ in) F2=1,000,000(1+0.01(9))=$1,090,000 La inversin o ahorro de $1,500,000 que hace Natalia en el perodo #6 dura exactamenteenelbanco6meses(126meses), porlotanto n=6. F3=P3(1+in) F3=1,500,000(1+0.01(6)=$1,590,000 Lainversinoahorrode$1,700,000quehaceenelperodo#10duraexactamente enelbanco2meses(12meses10meses),porlotanton=2. F4=P4(1+in) F4=1,700,000(1+0.01(2))=$1,734,000 Porlotanto,eldineroquetendraacumuladoNataliaParsdentrodeunaoser: F=F1+F2+F3+F4 F=$5,534,000

24

1.1.3

ConceptodeIntersCompuesto

En el caso de inters simple se consider que las ganancias eran iguales para todos los perodos, puesto que la inversin permaneca constante. Cuando se trata deinters compuesto, las utilidades no sonigualesparatodoslos perodos puestoquelainversinvaradeunperodoaotro,enrazndequelasutilidades obtenidasenunperodosereinviertenenelsiguiente. Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inicio el captulo, donde la inversionista Linda Plata tena $10,000,000 disponibles si doa Linda invierte estosdinerosaunatasadel3%mensualyreinviertesusutilidades,setendrael siguienteresultado:

MES 1 2 3 . . n

DINERO INVERTIDO $10,000,000 $10,300,000 $10,609,000

GANANCIA

DINERO ACUMULADO

10,000,000*0.03=300,000 10,000,000+300,0 00 =10,300,000 10,300,000*0.03=309,000 10,300,000+309,0 00 10,609,000*0.03=318,270 =10,609,000 10,609,000+318,2 70 =10,927,270

Loanteriorlopodemosgeneralizardelasiguienteforma: P= %i= Utilidad= F= Inversin TasadeInters InversinXi=Pi

Valorfuturo

25

MES 1

DINERO INVERTIDO P P(1+i)

GANANCIA P(i) P(1+i)(i)

DINEROACUMULADO P+Pi=P(1+i)2 P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i) 2 2 3 P(1+i) +P(1+i)=P(1+i) (1+i)=P(1+i)

2 3 4 . . . n P(1+i) . .2

P(1+i) (i) . . . .

2

n P(1+i)

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (inters compuesto)eldineroacumuladoavalordefuturosepuededefinircomo:n F=P(1+i)

Si se aplicala anterior equivalencia al casode doa Linda, se puede plantear el siguienteejercicio: Cunto dinero acumular (valor futuro) doa Linda dentro de tres meses a una tasadeintersdel3%mensual,siinvierte$10,000,000inicialmente: n F=P(1+i)3 F=$10,000,000(1+0.03)

F=$10,927,270 Valorquecoincideconlos$10,927,270obtenidosenlaprimeratabla. Enconclusin,grandiferenciaentreelinterscompuestoradicaenlareinversin de utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el casodedoaLindaconunainversinde$10,000,000al3%mensual,seobtienen lossiguientesresultados:

26

Interssimple: Interscompuesto:

dineroacumuladoaltercermes$10,900,000 dineroacumuladoaltercermes$10,927,270

Ejemplo1Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy $4.000.000aunatasadeinterscompuestodel3%mensual? El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujodelasiguientemanera: Considerarlosingresosdedinero con una flecha hacia arriba ylosdesembolsos con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser aos, semestres,meses,das. Laescaladetiempodebeestarexpresadaenelmismo perodo que est expresada la tasa de inters en el ejemplo la tasa de inters estexpresadaenmeses,porlotantolos5aossedebenconvertirameses,o sea60meses. I=3%mensual

F 60meses

P=4,000,000

n F=P(1+i) 60 F=4,000,000(1+0.03) =23,566,412.42 Este mismo ejemplo con tasa de inters simple, obtuvo un valor futuro de $11,200,000.

Ejemplo2 ArmandoRicorecibihoy$3,450,000delBancodeBogotporunainversinque realiz hace tres semestres: sila tasa deinters es del 2%mensual compuesto, CuntodineroinvirtidonArmando? Comoseexplicoanteriormenteelpuntodepartida esrealizarelgrficooflujode cajacorrespondienteelproblemaquedaraplanteadoas:

27

En razn d que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en meses,paraquelosdoselementosestnlamismabase:

0

I=2%mensual

F=3,450,000

P

18meses=3semestres

Reemplazandoenla ecuacinquerelacionaestasvariablessetiene:F= P ( i +i)n

F=$3.450,000,porqueenestevalorseconsolidanlainversinylasutilidades i= 2% mensual n=3semestres=18meses Entonces,3,450.000=P(1+0.02)18

3,450,000 =P(1.42824624758) P=3.450.000/1.42824624758 P=$2,415,549.84 EsteeselvalorqueinvirtidonArmandohace18meses. Ejemplo3 PatriciaFernndezrecibiunprstamode$3,000,000,quedebepagaren18meses sialfinaldelplazodebecancelar$3,850,000,calcularlatasadeintersdelprstamo.P=3,000.000

18meses

0

28

Ntesequesedibujaronlos$3,000,000conunaflechahaciaarriba,puestoquese esttomandocomoreferenteaPatriciaFernndezalrecibireldinerodelprstamo tieneuningresoycuandoellacancelaelcrditotieneundesembolso,porlocualse dibujaconunaflechahaciaabajo. Sisetomacomoreferentealprestamistaelgrficoseraelsiguiente: F=3,850,000 0

18mesea P=3,000,000

ReemplazandolosdatosdelaecuacinsetieneF=P(1 + i )n1 3,850,000=3,000,000(1+i)

1 3,850,000/3,000,000=(1+i)

18

1.283333

=

18

18 (1+i)

1.013955=1+l 1.0139551=i 0.013955=i Entrminosporcentuales,i=1.3955%mensual Ejemplo4 ArmandoMendozarecibiunprstamode$7,000,000deBeatrizinznSolano,si cancel $10,500,000 y la tasa de inters fue del 2% mensual compuesto, calcular,culfueelplazodelprstamo?

29

GrficoparaArmandoMendoza

P=7,000,000 I=2%mensual

0 GrficoparaBeatrizPinznSolano

F=10,500,000

F=10,500,000 0 i= 2%mensual

P=7,000,000

Reemplazandoenlaecuacinsetiene:F= P(1+ i )n 2%=0.02 10,500,000=7,000,000(1+0.02)n10,500,000/7,000,000=(1.02)nn 1.5=1.02

Aplicandologaritmosenbase10setiene: log1.5 = n l o g 1.02 0.17609125=n(0.0086001717)n=0.17609125/0.0086001717

n=20.47meses

30

Ntesequelarespuestaseexpresen meses porquelatasadeintersestdadaen meses.

Ejemplo5SofaVergararecibiunprstamodelBancoSantanderquedebepagardelasiguiente forma:$3,000,000dentrode6meses,$4,000,000dentrodeunaoy$5,000,000enao ymedio. Silatasadeintersesdel10%semestralcompuesto,determinar,cuntodinerole prestelBancoSantanderaSofa? Recordandoquelosperodosdelplazodebenestarenelmismoperodoquelatasa deinters,setiene: 6meses = unsemestre unao = dossemestres aoymedio=tressemestres GrficoparaelBancoSantander 5,000,000 3,000,000 0 1 i=10%semestral P GrficoparaSofaVergara 2 3 semestres :

i=10%semestral

0

1

2

3

semestres

P

3,000,000

4,000,000

5,000,000

31

delproblema,setieneunaconcepcindiferentealatratadaenlosejemplosanteriores en los cuales se tena un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo planteatresdesembolsosenelfuturoparaelcasodeSofa.Lasolucindeestetipo deproblemasebasaenelmismoconcepto,simplementeseanalizacadaingresoo desembolsoenelfuturodemaneraindependiente. Cada pago que hace Sofa se considera dentro del total de la cuota una parte correspondiente aintereses y otraunabono al prstamo. Para el Banco Santander, losinteresesseranlasutilidadesyelabonoalprstamounadevolucindeunaparte delainversin.Esteconceptoescongruenteconladefinicindevalorfuturo,comoel consolidadodelainversinmslasutilidadesexplicadoalprincipiodeestecaptulo: enestecasolasutilidadesylainversin sedevolvernalBancoentrespagosynoen uno. F=P(1+i)n P=F/(1+i)nAnalizandocadapagoindependientementesetiene:1 Pago1=P1 =3,000,0007(1+0.10) =2,727,272.73 2 Pago2=P2 =4,000,000/(1+0.10) =3,305,785.12 3 Pago3=P3 =5,000,0007(1+0.10) =3,756,574

Porlotanto,elvalordelprstamosera:

P=P1 +P2 +P3 P=$9,789,631.86

Ejemplo6 Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un ao y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra $1,000,000 dentrodetresmeses,ahorrar$1,000,000dentrodeunsemestre,ahorrar$1,500,000 y dentrode10meses,ahorrar$1,700,000.

32

Cuntodinerotendrexactamentedentrodeunao,silatasadeintersquelepagael Bancoesdel1% mensualcompuesto? GrficoparaNatalia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F=? meses 1,000,000 1,000,000 1,500,000 1,700,000

Retomandoelejemploanterior,cadaahorrooinversinsetratademanera independiente, porlotantosetiene:

Ahorrooinversin#1=F1 Ahorro oinversin#2=F2 Ahorrooinversin#3=F3 Ahorrooinversin#4=F4 Lainversinoahorrode$1,000,000quesehaceenelperodo#1duraexactamente enel banco12meses,porlotanton=12

n F1 = P1 (1+i)

F1 =1,000,000(1+0.01)

=$1,126,825.03

Lainversinoahorrode$1,000,000quehaceenelperodo3duraexactamenteenel banco9meses(12meses 3meses)porlotanton=9

n F2 = P2 (1+i)

33

9 F =1,000,000(1+0.01) =$1,093,685.27

2 Lainversinoahorrode$1,500,000quehaceNataliaenelperodo6duraexactamente en elbanco6meses(12meses 6meses)porlotanton=6

n F3 = P3 (1+i)

F3

6 =1,500,000(1+0.01) =$1,592,280.22

Lainversinoahorrode$1,700,000quehaceNataliaenelperodo10dura exactamente enelbanco2meses(12meses 10meses)porlotanton=2

n F4 =P3(1+i)2 F4 =1,700,000(1+0.01) =$1,734,170

Porlotanto,eldineroquetendracumuladoNataliaParsdentrodeunaoser:

F= F1 + F2 +F 3 + F 4F=$5.546,960.53

1.2 TASASDEINTERS Elconceptodetasadeinters,seaplicaalarelacinentreelvalorapagarcomo intersyelcapitalrecibidoenprstamoporelcualsedebepagareseintersen untiempodeterminado.Seexpresaentrminosdeporcentajeysunomenclatura es:i%. 1.2.1 TasadeIntersNominal Eslatasadeintersquegeneralmenteseaplicaatodaslasoperacionesfinancierasy queapareceestipuladaenloscontratos.Cuandooperaestetipodetasa,seentiende quelasutilidadesporinteresesnosereinvirtieronenelperiodo.

34

1.2.2TasadeIntersEfectiva Losusuariosdelsistemafinancieroseenfrentanaunproblemaeneldiariovivirenlas transaccionespersonalesodeempresa,puesusualmenteentodaslasoperaciones quese realizansehabladetasaefectivacomoreferenciaocriterioparatomardecisiones. La mayora de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del sistemafinanciero,productivoodeserviciosopinanquelatasaefectivaesequivalente alatasareal,esdecir,segnelloselintersquerealmentesecobraalcliente.Ser estocierto? Conelejemplosiguientesededucirelconceptodetasadeintersefectivasupngase quedoaLindaPlatadeRicotienedisponibles$100millones,loscualesnonecesitasino hasta dentro de un ao, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de BogotyleplantealasituacinalseorArmandoBueno,gerentedelasucursaldeSuba yantiguocompaerodelauniversidad.Elleofrecequelepagarporlos$100millones una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarn trimestre vencido, doa Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital colombiana,haceelsiguienteclculo:

Plazo: Tasadeinters: Liquidacinde inters: Inversin: Nmerodeliquidacionesporao: Tasatrimestralodelperodo:

Unao40%anual

Trimestrevencido $100millones 4 40%/4=10%

35

TRIMESTRE 1 2 3 4 TOTAL

SALDOINICIAL 100.00 110 121 133.10

INTERESES i=10% $10.00 $11.00 $12.10 $13.31 $46.41

SALDOFINAL $110.00 $121.00 $133.10 $146.41

Lainversionistarecuerdaque:tasadeinterssedefinecomoutilidadsobrelainversinen estecasolasutilidadesseranlasumadelacolumnainters queesde46.41enelao, si la inversin fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un inters (%) o rentabilidadde$46.41/100=46.41%enunao. Si el 40% de inters se hubiera liquidado solo al final del ao, doa Linda habra obtenido$40deintereses,esdecir,queloqueestableceladiferenciaeselnmerode liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las liquidacionesenelao). Paradeducirelconceptodetasanominalyefectivasetomanvarioscasos,loscuales se derivan de considerar como punto departidalos $100 millones yelplazodeunao pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente, semestralmente,etc.

TASA

FORMADELIQUIDACIONES

40% 40% 40% 40% 40%

Semestrevencido Trimestrevencido Bimestrevencido Mesvencido Davencido

Paraelprimercaso40%anualsemestrevencido,loprimeroquesetienequedefiniresla tasadelperodo.Enestecasoessemestral,oseaquelatasaperidica(semestral) sera iguala0%divididoentrelosdossemestresdelao,loqueequivaleaun20% semestral siseconsideraelplazodeunaosepuedehacerelclculoqueserealizparael40% anualtrimestrevencido,esdecir:

36

Plazo: Tasadeinters: Liquidacindeinters: Inversin: Nmerodeliquidacionespor ao: Tasatrimestralodelperodo:

Unao 40%anual Semestrevencido $100millones

2 40%/2 =20%

SEMESTRE 1 2 Total

SALDOINICIAL 100 120

INTERESES SALDOFINAL 20 24 44 120 144

Interesesprimertrimestre=SaldoinicialxTasadeinters Interesesprimertrimestre=$100x20%=$20 Saldofinalprimertrimestre=Saldoinicial+Intereses Saldofinalprimertrimestre=100+20=120

Elsaldofinaldelprimersemestrepasa aserelsaldoinicialdelsegundosemestre. interesessegundosemestre=120x20%=$24 saldofinaldelsegundosemestre=120+24=$144 Loanteriorquieredecirquelos$100millonesinvertidos, porelefectodelareinversinde utilidadesgeneraron$44millonesdeintereses,loquesignificaunarentabilidaddesea $44millonesdeutilidaddivididoentrelos$100millonesdeinversin. Enrelacinconloanterior,sepuedeconcluirquelatasaefectivaseobtieneporlosefectos delareinversindelasutilidadesinteresescuandoestonosedaseobtieneloquese llama tasa deinters nominal. Se puede deducir que existe unparalelo entre elinters simpleylatasanominalyelinterscompuestoylatasaefectiva.Enlasdosprimeras,no se tieneencuentalareinversinmientrasqueenlasdosltimass.

37

Conbaseenlosejemplosseobtieneunafrmulaparacalcularlatasaefectiva,lacualse expresadelasiguienteforma: ie= ip= n= Tasadeintersefectiva Tasaperidica Nmerode liquidacionesdeinteresesenelplazofijadon i e = (1+i) 1

Sisetomanlosejemplosanalizadosanteriormente,seobtienelosiguiente: 1)Sisetieneunatasadel40%anualtrimestrevencido,culeslatasaefectivaanual? Tasaperidica=ip

Tasaanual ip= 0.40/4=0.1=10%trimestral #deperodosenelao

i e =(1+0.1) 1=0.464146.41%efectivoanual

Siseconsideraelmismoejemplo,esdecir40%anualtrimestrevencido,peroen lugar decalcularlatasaefectivaanualsecalculalatasaefectivasemestralip =0.4074=0.1010%semestral n=Nmerodeliquidacionesenelperodo=2enunsemestre 2 i e =(1+0.10) 1=0.21=21%efectivasemestral

2)Sisetieneunatasaanualdel40% semestrevencido,calcularlatasaefectiva anual ip =0.40/2=0.2020%semestral n=nmero deliquidaciones=2 2 ie= (1+0.20) 1=0.44 44% efectivaanual

38

Conbaseenlasiguienteinformacincalcularlatasaefectivaanual:TASAANUAL FORMADE LIQUIDACIN NMERODE LIQUIDACIONES DEINTERESESPORAO

i PERIDICA 20%semestral 10%trimestral 6.67%bimestral 3.33%mensual 0.11%diario

40% 40% 40% 40% 40%

Semestrevencido Trimestrevencido Bimestrevencido Mesvencido Davencido

2 4 6 12 360

Las dosprimerastasasfueroncalculadasanteriormente,acontinuacinseobtienen las restantes: 40%anualbimestrevencido i bimestral=0.40/6=6.67% Nmerodeliquidacionesenunao:6 6 ie anual=(1+0.0667) 1 =0.4732 40%anualmesvencido imensual= 0.40712=0.0333=3.33% Nmerodeliquidacionesenun ao:12 12 ieanual=(1+0.0333) 1=0.4816 40%anualdavencido idiario=0.40/360=0.001111=0.11% Nmerodeliquidacionesenunao:360 360 ieanual=(1+0.001111) 1=0.4914

39

Deacuerdoconlosclculosseobtuvieronlassiguientescifras:TASA ANUAL FORMADE LIQUIDACIN DEINTERESESNUMERODE LIQUIDACIONES PORAO

TASA EFECTIVA

40% 40% 40% 40% 40%

Semestrevencido

2 4 6 12 360

44.00% 46.41% 47.32% 48.16% 49.14%

Trimestrevencido Bimestrevencido MesvencidoDavencido

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el nmero de liquidacionesseincrementalatasaefectivaanualsinembargo tomando otrosdos casos,supngasequeelgerenteseorArmandoBuenoleofreceadoaLindaquele liquidarintereses2vecesaldaoseacada12horasotresvecesaldaoseacada 8 horasveamosqutasaefectivaanualseobtiene: 40%anualliquidandointeresescada12horas ip=0.40 7720=0.0005555 n=360x2=720perodos 720 ieanual=(1+0.0005555)

1= 0.491659

Ahoraanalizando elcasodel40%anualliquidandointeresescada8horas ip=0.40/1080=0.00037037 n=360x3=1,080periodos1080 leanual =(1+0.00037037) 1= 0.491714 Como se observa, a medida que se aumenta el nmero de liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual sin embargo, este valor tiende a estabilizarse, esdecir,sucomportamientoesexponencialcomoseobservaenelgrficosiguiente.

40

Comportamientotasaefectivaanualparadiferentescapitalizacionesdetasas vencidas60.000% T A S A S E F E C T I V A S 50.000% 40.000% 30.000% 20.000% 10.000% 0.000%

0

2

4

6

8

10

12

14

NUMERODECAPITALIZACIONES

Conloanteriorseexplicaloqueenmatemticasseconoceconelnombredeinters continuo,queseexpresaas:i ie =e 1

Queparaelcasodel40%anualseobtiene:0.40 ie= e0.40 1=2.718281 1

ie =0.49182

Cifraquecoincidecuandoseliquidan720y1080 vecesenelao. Sisesiguen aumentandoelnmerodeliquidaciones,nosevaaobtenerunaciframayor.Lafrmula anteriorseconoceconelnombredeinterscontinuocapitalizacincontinua.

41

Con base en los clculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de inters electiva est ntimamente ligada con el inters compuesto, es decir, consideralareinversindeutilidades.

1.2.3ConversindetasasElconceptodetasaefectivapermiteconvertirlastasasdeunperodoaotrofcilmente este concepto es de gran utilidad en Matemticas Financieras, por cuanto permite solucionar situaciones recurrentes, donde los perodos de los flujos de caja (ingresosydesembolsos)nocoincidenconlosperodosdelastasasdeinters.

Ejemplo1Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, calcular la tasa semestral equivalente? Esteejerciciosepuederesolverdevariasformas:

Primeraformai=40%anualtrimestrevencido i peridica=ianual / #perodosenelao i peridica=i trimestral=0.40/4=0.10 Conbaseenlatasaperidicasepuedecalcularlatasaefectivaanual ie=tasadeintersefectivaanual Dondeneselnmerodeliquidacionesenelao. Latasadeintersestespecificadainicialmentecomoi=40%anualtrimestrevencido,lo quequieredecirquelosinteresessevana liquidarcadatrimestre,oseaqueal aoeliquidan4veces,unaalfinaldecadatrimestre,porlotanto:4 = (1+0.10) !=0.4641

Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestralpartiendo de calcularlaefectivaanual.iea =(1+ip)n 1 0.4641= (1+isemestral)2 1

42

n=2, porquelosinteresesseliquidan2veces(1ao=2semestres) 1.4641 = (1+isemestral)2

2

1.4641

=

2

(1+isemestral)2

1.21=1 + isemestral 1.21 1 = isemestral 0.21= 2 1 %

Segundaformai=40%anualtrimestrevencido i peridica =i trimestral =0.40/4=0.10 Obsrvesequeelperodotomacomoreferenciaelqueestestipuladoenlaliquidacin de intereses,paranuestroejemploestrimestrevencido.Laformadeliquidacinsiempre apareceadyacentealatasadeintersanual. Conbaseenlatasatrimestralsepuedecalcularlatrimestral,utilizandolaecuacinde tasaefectiva.iea =(1+ip)n 1

isemestral =(1+ itrimestral)2

1

2 isemestral =(1+0.10) 1=0.21

Eselmismoresultadoqueseobtuvoenlaprimeraforma. Ejemplo2Conunatasadel30%anualbimestrevencido,calcular:

a.Latasasemestralequivalente.

43

b.Latasamensualequivalente. a. TasaSemestral Primeraforma i=30%anualbimestrevencido Bimestre=cada2meses iperidica =ibimestral =0.30/6=0.05,divididoentre6porquehay6bimestresenunao.iea =(1+ip)n 12 isemestral =(1+0.10) 1=0.21

ia

=(1+0.05)6! =0.3400

ConbaseenlatasaefectivaanualsepuedecalcularlasemestralIea = (1+ ip)n 12 0.34= ( 1 +isemestral) 12 1.34= (1 +isemestral)

2

1.34 =

2

2 (1+isemestral)

1.157625 =1 +isemestral

44

1.1576251=isemestral 0.157625=isemestral 15.7625%=isemestral Segundaforma i=30%anual bimestrevencido Bimestre=cada2meses iperidica =ibimestral =0.30/6=0.05iea =(1+iperidico)n 13 isemestral =(1+0.05) 1=0.15762515.7625%

n=3,porqueenunsemestrehay3bimestres.b.Tasamensual Primeraforma

iperidica=ibimestral =0.30/6=0.056 ia =(1+0.05) ! =0.3400

Combaseenlatasaefectivaanualsepuedecalcularlatasamensual ia =0.34n i= ( 1 + i peridica)112 0.34= (1+i mes )

1

n=12meses,porqueunaotiene12meses,yalser latasamensualseliquidarn12 vecesenelao.12 1.34= (1+i mes )

12

1.34= 12

12 (1+i mes )

45

1.02469=1+imes 1.024691=1+imes 0.02469=imes 2.469% =imesSegundaforma

i=30%anualbimestrevencidoi peridica=i bimestral0.30/6=0.05

Utilizandolafrmuladetasaefectivasetiene: iea =(1+ i peridica)n 12 0.05 =(1+imes) 1

1.05=(1+ imes)212

I.05 =

12

(1+ imes)2

1.02469=1+ imes 0.2469=imes imes =2.469%Obsrvesequeseconsiderlatasadel5%bimestralcomoefectivalaraznes muy sencilla, los meses estn contenidos dentro del bimestre. Lo mismo sucedera si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa quincenal como la quincena est contenida dentro del mes, el 3% se tomara comoefectiva. Ejemplo3 Justo Pastor Malo recibi un prstamo del Banco Popular de $7,000,000 que debe pagar en una sola cuota dentro de 2 aos. Si la tasa de inters es del 24% anual semestre vencido, calcular el valor de la cuota que debe pagar JustoPastoralBancoPopular?

P=7,000,000 2aos

0

I=24%anualsemestrevencido

F=?

46

Obsrvesequelatasaestestipuladaendiferenteperodoqueelplazo,laprimeraen semestres y la segunda en aos por lo anterior se debe efectuar la conversin: correspondiente. Primeraforma Se debe hallar la tasa de inters efectivo anual para que coincida con el perodo del plazoqueestdadoenaos,porlotanto:iea =(1+iperidico)n 1

iperidica = isemestral =0.24/2 =0.122 iea =(1+0.12) 1=0.2544

F =P(1 +i )n2 F=7,000,000 (1+0.2544)

F=$11,014,635.52 Segundaforma i=24%anualsemestrevencido iperidica =isemestral =0.24/2 =0.12 Plazo=2aos=4semestres,porlotantoelgrficopuedeexpresarsedelasiguiente manera:

P=7,000,000 1 0 2 3 4 semestres F =?

i=12%semestral F =P(1 +i )n2 F=7,000,000(1+0.2544)

=$11,014,635.52

Tasasanticipadas Paraanalizaresteconceptoseconsideraelsiguientecasohipotticosupngaseque doa Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual ao anticipado. Veamos cmo sera el comportamiento con un grfico, doa Linda no necesita el dinerosinohastadentrodeunao.$40milloneshoy Intersanticipado $100millones inversin $100millonesdevolucinde lainversinUnao

Enelgrficopuedeobservarsequeelinversionistainvierte$100millonesyenelmismo momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo invirti$60millones,locualpuederesumirseenelsiguientegrfico:$100millones 1ao

$60millones (Inversin)

Enelgrficoanteriorsetieneunvalorpresentequesonlos$60millonesyunvalor futuro dentrodeunaoporunvalorde$100millones.Siseaplicalaprimeraequivalencia (vercaptulo1)sepuedehallarelinters: F=P(1+i)n F=$100 P=$60 N=1ao100=60(1+i)1 100/60=(l+i)

1.6667=1+i i = 1.66671=0.6667=66.67%anual Lo anterior quiere decir que para doa Linda Reina es equivalente el 40% anual ao anticipadoel66.67%anualaovencido.Sisehaceelanlisisutilizandoladefinicin dada en el primer captulo, en el cual se dice que inters es igual a utilidad sobre inversinseobtienelosiguiente

i=Utilidad/Inversin=407(10040)=40/60=0.666766.67% Siseexpresaentrminosporcentualessetiene: i=0.40/(l0.40)=0.40/0.60=0.666766.67%anual Deloanteriorpodemosgeneralizarlasiguientefrmula: ivencido= donde: iv= ivencido ia=intersanticipado ivencido= 0.407(10.40)= 0.40/0.6= 0.6667=66.67% anual Conbaseenlaconversinanterior,sepuedencalcularlastasasefectivascuandoson anticipadas. Consideremoslassiguientesposibilidadescomouna tasanicade40%anualpero con diferentesmodalidadesdeliquidacindeinteresesycalculemoslastasasefectivas anuales correspondientes.TASAANUAL LIQUIDACINDEINTERESES

ia (1 ia)

40% 40% 40% 40% 40% 40%

Semestreanticipado Trimestreanticipado Bimestreanticipado Mesanticipado Daanticipado Cada12horasanticipado

(1)

40%anualsemestreanticipado

iperidica=isemestralanticipada=40%/2=20%semestreanticipado isemestrevencida=0.20/(10.20)=0.20/0.80=0.25 iefectivaanual=(1+0.25) 1= 0.5625 (2) 40%anualtrimestreanticipado iperidica=itrimestralanticipada =40%/4=10%trimestreanticipado i trimestrevencido =0.10/(1 0.10)=0.1111114 iefectivaanual=(1+0.1111II) 1 =0.524157

(3)40% anualbimestreanticipado ibimestralanticipado=40% 16= 6.67% ibimestralvencida=0.0667/(I0.0667)=0.071436 iefectivaanual=(1+0.07143) 1= 0.51282484

(4)40%anualmesanticipado imesanticipado=0.40/12=0.03333 ivencida=0.033333/(10.0333)=0.0344791912 iefectivaanual=(1+0.03447919) 1= 0.50196949

(5)40%anualdaanticipado idaanticipado=0.40/360=0.001111 ivencida=0.001111/(l0.001111)=0.00111235360 iefectivoanual=(1+0.00111235) 1=0.4921565

(6)40%anualcada12horasanticipado icada12horasanticipado=0.40/720=0.00055556 ivencida=0.00055556/(10.00055556)=0.00055586720 iefectivaanual=(1+0.00055556) 1= 0.49199053

Losclculosanterioressepuedenresumirenlasiguiente grfica:

Conbaseenlosclculosrealizadosanteriormente,sobrelastasasefectivasconsiderando diferentessistemasdeliquidacindeinteresesylastasasefectivasvencidasyanticipadas, sepuedeobtenerelsiguienteresumen TASASVENCIDASTasanominal40%anualA. V. 40%anualS.V. 40%anualT.V. 40%anualB.V. 40%anualM.V.

TASASANTICIPADASTasanominal40%anualA.A. 40%anualS.A.40%anualT.A.

#de liquidaciones T.E.A. porao 1 2 4 6 12 36040.00% 44.00% 46.41% 47.32% 48.16% 49.14%

#de liquidaciones porao 1 2 4 6 12 360

T.E.A.

66.67% 56.25% 52.42% 51.28% 50.20% 49.22%

40%anualB.A. 40%anualM.A.40%anualD.A.

40%anualD.V.

Con base enla tablaanterior se puede concluirlosiguiente: enlas tasasvencidas a medida que aumenta el nmero de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual lograndocomotasamximalacapitalizacincontinua(ie=ei1).Elcomportamientode lastasasanticipadasesinversoamedidaqueaumentaelnmerodeliquidaciones disminuyelatasaefectivaanual,esdecir,selogralatasaefectivamximaenelcaso delasanticipadascuandoesunasolaliquidacin. Enelgrficosiguienteseveelcomportamientodelasdosmodalidades,venciday anticipada. Tasasefectivascorrespondientesatasasnominalesvencidasyanticipadas

Tasasefectivascontasadeintersanticipadas Este tipo de conversin es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente incluye un paso adicionalque consiste en convertirlas tasas peridicas anticipadas enperidicasvencidasenotraspalabras,eshallarlatasaequivalentevencidaala anticipada. Ejemplo Conunatasadel20%anualtrimestreanticipado,hallarlatasamensual. Primeraforma i=20%anualtrimestreanticipado

iperidica

= itrimestralanticipada

=0.20/4=0.05

i vencido = ianticipado

/ (1 i anticipado)

itrimestrevencido= Itrimestreanticipado/(1 itrimestreanticipado' itrimestrevencido=(0.05 / ( I 0.05)=0.05/0.95 itrimestrevencido=0.052631578 iea =(1+ i peridica)n 14 iea =(1+0.052631578)1

i =0.2277o22.77% Conbaseenlatasaefectivaanualsecalculalatasamensual iea =(1+ i peridica)n 112 iea =0.2277= (1+i mes) 1

1.2277= (l +i mes )1212 (l+imes )

12

I.2277=

12

1.017244= 1 + i mes 1.017244 1 = i mes0.017244= i mes i mes =1.7244%

Segundaforma i=20%anualtrimestreanticipado i periodica = i trimestralanticipada =0.20/4=0.05 i vencido = ianticipado/(1ianticipado) i trimestrevencido = itrimestreanticipado/(1itrimestreanticipado)

i trimestrevencido = 0.05/(I0.05)=0.05/0.95 i trimestrevencido = 0.052631578 Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en raznaqueelmesestcontenidodentrodeltrimestre,latasatrimestralsepuede considerarcomoefectiva. i trimestrevencido = 0.052631578 iea =(1+ i peridica)n 1 0.052631578=(1+imes)3 1 1.052631578=(1+imes)33

1.052631578=

3

(1+imes)3

1.017244=1+i mes 0.017244=i mes= 1.7244%

EJERCICIOSPARAPROFUNDIZACINDELASTEMTICAS1. Sandra Muoz cancel hoy $7,560,000 al Banco de Bogot por un prstamo quelefueotorgadohaceunao.CalculareldineroprestadoaSandrasi: a.Latasadeintersesdel3%mensualsimple b.Latasadeintersesdel3%mensualcompuesto c.Latasadeintersesdel4%mensualsimple 2. Lady Noriega recibi un prstamo del Banco Santander de $10,000,000 si cancel$13,500,000enunsolopago,calcularelplazodelprstamosi: a.Latasadeintersesdel2%mensualsimple. b.Latasadeintersesdel2%mensualcompuesto c.Latasadeintersesdel1.5%mensualcompuesto. 3. Pastor Bueno deseatener $20, 000,000 dentro de 2 aos parala cuotainicial deunvehculoAudi,paralocualsehapropuestoelsiguienteplandeahorros: Hoy,ahorra$1,000,000 Dentrode2bimestres,3,000,000 Dentrode8meses,$5,000,000 Dentrode1ao,$2,000,000 Dentrodeaoymedio,$7,000,000 ElBancodeBogotlehapropuesto3planes: PlanA:i=1%mensualsimple PlanB:i=2%mensualcompuesto PlanC:i=2%bimestralsimple(Unbimestre=2meses)

Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de inters deben estar expresados en el mismoperodoa.Determinareldineroacumuladodentrode2aosdecadaunodelosplanes. b.Culeselmejorplan? 4. En los ejemplos 1 a 6 de inters simple y 1 a 6 de inters compuesto que se desarrollaronanteriormente,compararelejemplo1deinterssimpleconelejemplo1 de inters compuesto y as sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusiones respectivasparacadaunadelas6comparacionesypresentaruninforme. 5.Conbaseenunatasadel30%anualmesvencidocalcular: a.Tasatrimestral

b.Tasasemestral c.Tasaefectiva.anual 2.Conbaseenunatasadel30%anualmesanticipado,calcular: a.Tasatrimestral c.Tasaefectivaanual b.Tasasemestral d.Tasatrimestralvencida

3.Calcularlastasasefectivasanualesdelassiguientestasasnominales, compararlasy sacarconclusiones: a.25%anual semestrevencido c. 25%anualbimestrevencido e.25%anualdavencido g.25%)anualsemestreanticipado i.25%anualbimestreanticipado k. 25% anualdaanticipado 4.Sisetieneunatasadel24%>anualtrimestreanticipado,calcular: a.Tasamensual b.Tasasemestral c.Tasaefectivaanuald.Tasatrimestral 5. Cunto dinero tendr acumulado dentro de 5 aos Juan Prez si invierte hoy 5 millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de inters del 20% anual semestreanticipado. 6.LindaPlatarecibiunprstamodesuamigoArmandoRicohace2aosy medio.Si LindapaghoyaArmando$12,133,450ylatasapactadafuedel28%anualmes vencido,calcularelvalorelprstamo. 7. Enel problema anteriorCulsera elvalor delprstamosilatasa deinters fueradel32%anualbimestreanticipado? 8. Linda de Bonito planea adquirir un vehculo CITROEN dentro de 2 aos y se ha propuestoelsiguienteplandeahorrosparaestelapsodetiempo: Hoy,ahorra$1,500,000 Dentrode2bimestres,$4,000,000 b.25%anualtrimestrevencido d.25%anualmesvencido f. 25%anualaoanticipado h.25%)anualtrimestreanticipado j.25%anualmesanticipado

Dentrode2trimestres,$6,000,000 Dentrode18meses,$5,000,000

Dentrodeunao,$3,000,000

Sila cuotainicialque se requiereparaadquirir ese vehculodentrode2 aos es de $23,500,000ylatasadeintersquelepaganporsudineroahorradoesdel32%anual trimestre vencido, tendr doa Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del vehculo?

CAPTULODOS

EQUIVALENCIASCONCUOTASFIJAS

JustificacinEl sistema de cuotas constantes y peridicas, conocido mas generalmente como anualidades, es el ms utilizado en el mbito financiero en el tratamiento de pago de cuotas o en operacionesdeahorroysuaplicacinsedaenlanecesidadde encontrarelvalordesumasfuturasopresentesequivalentesa unaseriedecuotasfijasigualesvencidasoanticipadas.

ObjetivoGeneralHallarsumasfuturasypresentesequivalentesaunaseriede pagosuniformesyaseaenformavencidaoanticipada.

Objetivosespecficos Establecerelvalorfuturodeunaseriedepagosuniformesen formavencida Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes demaneraanticipada Encontrar el calor presente de una serie de cuotas fijas vencidasliquidadasconinteresesanticipados

2. EQUIVALENCIACONCUOTASFIJAS Una delas formas ms utilizadas en nuestro sistema financiero es elpago deprs tamosatravsdecuotasfijas,enellenguajedelasMatemticasFinancierasseles llama anualidades o rentas. La relacin que existe entre las cuotas fijas y un valor presenteounvalorfuturoseconoceconelnombrede equivalencias. 2.1.CUOTASFIJASVENCIDAS 2.1.1Equivalenciasentreunvalorfuturoyunaseriedecuotasfijasvencidas Cuotasfijas=A Valorfuturo=F N=Nmerodeperodos i%=Tasadeintersporperodo Parapoderverlarelacinqueexisteentreunaseriedecuotasfijas(iguales)yun: futuro F, considere que el seor Armando Casasbuenas tiene excedentes de liquidezcadaperodoyquiereinvertirlosparatenerdentrodeunlapsodetiemponel suficientedineroparaadquirirunafincaenlasabanadeBogot.Estosahorrosse harn al final de cada perodo a una tasa de inters del i%. Grficamente el comportamientodelproblemaseraelsiguiente: F n1

0

1

2

3 4

n2

12 n

Conbaseenelgrficoanterior,sepuedeconsiderarcada puntodeltiempoenel cual se hace el ahorro como un valor presente en relacin con el perodo n en el cualseretirareldineroparacomprarlafincaqueenestecasoseraelvalorfuturo. Porejemplo,elahorroquesehaceenelperodon1quetieneunvalordeSAsse consideraqueestarinvertidosolounperodo,suvalorfuturocorrespondienteser igualaA(1+i)(verfrmulasdelcaptulo1).2 Sitomamoselahorrode$A en elperodo n2su valorfuturo ser A(1+i) ,para el 3 perodo n3 se obtendra A(1+i) , para el perodo n4 se obtendra A(1+i)4 y as sucesivamente hasta llegar al perodo 1 donde el valor futuro del ahorro A sera A(1+i)(n1)yelahorroquesehaceenelperodon,comocoincideconelretirodel

dineronogeneraintereses,porlocualsuvalorfuturoseraA(1+i)0 oseaAporque todacantidadelevadaalaceroesigualauno.

Sisesumantodoslosvaloresfuturosdecadaunodelosahorrosdecadaperodose obtiene:2 3 F=A+A(1+i)+A(1+i) +A(1+i) +...... +A(1+i)(n1)

Ecuacin#1

Si se multiplica esta ecuacin por (1+ i) y se le llama Ecuacin 2, se obtiene lo siguiente: 2 3 4 n F(1+i)=A(1+i)+A(1+i) +A(1+i) +A(1+i) +.........+A(1+i) Ecuacin#2 Sirestamoslaecuacin 2 delaecuacin1seobtiene: F(1+i)F= A(1+i)n A , despejandosetiene F+FiF= A(1+i)n A F+FiF= A(1+i)n 1n F=A[(1+i) 1] n F=A[((1+i) 1)/i]

Frmula1

Laanteriorecuacineslaequivalenciaentreunvalorfuturoyunacuotafijavencidao anualidad. 2.1.2 Equivalenciaentreunvalorpresenteyunaseriedecuotasfijasvencidas La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la frmula n nmero 1 simplemente reemplazando F por P(1+i) , que es la frmula base de las MatemticasFinancieras.n n P(1+i) =A[(1+i) 1/i] n n P=A[{(1+i) 1}/{(1+i) }]

Frmula2

Delasfrmulas1y2sepuedecalcularelvalordelacuotafijadela siguienteforma:n A= F[{i}/{(1+i) 1}] n n A= P[{i(1+i) }/{(1+i) 1}]

Frmula3 Frmula4

2.2 CUOTASFIJASANTICIPADAS 2.2.1Equivalenciaentreunvalorfuturoyunaseriedecuotasfijasanticipadas Utilizandoelprocedimientoanterior,sepuedencalcularlasequivalenciasentrecuotas fijas anticipadas y los valores presente y futuro utilicemos el grfico que tomamos como referenciaparacalcularlasequivalenciasanterioresperoconsiderandoquelascuotasse realizananticipadamenteosea: F 0 1 2 3 4 n3 n2 n1 n

ElpasoinicialescalcularelvalorfuturodecadaunodelosahorrosAntesequeenel perodonnohayahorroyslohayenelperodocero.Estaesladiferenciaquehaycon respecto al grfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se consideran anticipadamenteoaprincipiosdecadaperodo,porlotantoelvalorfuturoobtenidocon baseeneldiagramaanteriorsera:2 3 4 n F= A(1+i)+A(1+i) +A(1+i) +A(1+i) +.........+A(1+i)

Si a esta ecuacin la llamamos la ecuacin nmero 1 y la multiplicamos por (1+i) obtenemoslaecuacinnmero2.2 3 F(1+i)= A(1+i) +A(1+i) +......+A(1+i)(n+1)

Sisacamosladiferenciaentrelasdosecuacionesseobtiene: F(1+i)F= A(1+i)(n+1) A(1+i) F+FiF= A[(1+i)(n+1) (1+i)](n+l) F=A[{(1+i) (1+i)}/i]

Frmula5

2.2.2Eequivalenciaentreunvalorpresenteyunaseriedecuotasfijasanticipadas Conbaseenlaequivalenciaanteriorentreunvalorfuturoyunacuotafijaanticipadase puede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada, simplementereemplazandoFporP(l+i)n (n+l) P(l+i)n = A[{(1+i) (1+i)}/i] (n+l) P=A[{(1+i) (1+i)}/{i(1+i)n}] Frmula6

Delasfrmulas5y6podemosobtenerelvalordelaanualidadenfuncindelvalor presenteodelvalorfuturo.(n+1) A=F[{i}/{(1+i) (1+i)]

Frmula7

n (n+1) A=P[{i(1+i) }/{(1+i) (1+i)} ] Frmula8

Lasanterioresequivalenciaspermitenpactarunaseriedetransaccionesenelmundoreal. 2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas coninteresesanticipadosEste casosepresentacuandoenuncrditosepactancuotasuniformesvencidas pero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir el prstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor del crditoylosinteresescorrespondientesalprimerperodo. En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la ltima cuota no se pagaran intereses, sino la totalidad del valor pagado sera abono a capital. La equivalenciaausarenestecasosera:n A=P[i/((1(1i) ))]

Frmula9

A continuacin se tratan casos prcticos relacionados con las equivalencias expuestasanteriormente.

Ejemp lo 1 Doa Linda Reina recibi un prstamo delBanco de Bogot por $10 millones para cancelaren12cuotasmensualesigualesvencidasconunatasadel3%mensual.Calcular elvalordelascuotas. Grficamentesetendralasiguienteinterpretacindelproblema:

10,000.000

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 Meses A=? I=3%

0

Sedebeutilizarlafrmula4 A=P[{(1+)n /{(1+i)n 1}] P=Valorpresente,esenestecaso,elvalor delprstamoosea$10.000.000 i=3% n=12meses Tenemoslastresvariables,porlocualpodemoscalcularlacuotafijaA12 A=10.000.000[{3%(1+3%) }/{(1+3%)12 1}]

Alternativamentesepuedeescribirdelasiguienteformareemplazandoel3%por 0.0312 12 A=10.000.000[{0.03(1+0.03) }/{(1+0.03) 1}]A=$1.004.620.85

CAPTULOTRES

EQUIVALENCIASCONCUOTASVARIABLES

JustificacinUna serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en cuanto al tiempo, pero aumentar o disminuir en una cantidad constante denominadagradiente. Estolo quese conoce como cuotavariable,sistemautilizadoalternativamenteparaelmanejo de los crditos en el sistema financiero. Con el estudio del captulo,elaprendiente estar en condicionesde establecerla correspondenciaentreunaaseriedepagosvariablesyunvalor presente.

ObjetivoGeneralDeterminar la equivalencia entre una cuota variable y un valorpresente

Objetivosespecficos Establecerelvalordecadacuotaenunsistemadecuotas conincrementopreviamentepactados En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes determinarelvalordelaprimeracuota. Utilizar la hoja electrnica para el clculo de las cuotas variables

3. EQUIVALENCIACONCUOTASVARIABLES 3.1.GRADIENTES Elsistemafinancierocolombianoademsdelascuotasfijas,utilizamtodosalternos para suscrditos,lascuotasvariablesesunodeellos,lafilosofadeestaformadepago esrealizarincrementosperidicosenlospagosdelosusuarios.Desdeestepunto de vista se generan dos formas de aplicarlo la primera de ellas es incrementos en cantidadesfijas,estesistemaseconoceconelnombredegradientearitmtico o incrementoenlascuotasmedianteunporcentajefijo,loqueseconoceconelnombre de gradientegeomtrico, veamosconunosejemploscomooperacadaunodeellos. 3.1.1.GradienteAritmtico ConsideremoselcasodedonPastorBueno,quinsolicituncrditode$15millonesal BancoSantanderparapagarenunplazode3aosconpagossemestraleseincrementos de$100.000apartirdelasegundacuota,sielintersesdel15%semestral,calcularel valordelascuotasquedebepagardonPastorBuenoalBanco. Grficamenteelproblemaseexpresaas: $I5.000.000 0 6semestres

AA+100.000 A+200.000A+300.000 A+400.000 A+500.000

El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemticas N financieras explicada en el captulo 1, o sea, F = P(l + i) , que para el problema planteadoseradelasiguientemanera: 1.Traeravalorpresentecadaunadelascuotas:

2 3 A/(1+0.15)'+(A+$100.000)/(1+0.15) +(A+$200.000)/(1+0.15) + 4 5 6 (A+$300.000)/(1+0.15) +(A+$400.000)/(1+0.15) +(A+$500.000)/(1+0.15)

2.Por el concepto deequivalenciaigualarel valordel prstamo al valor presente delas cuotas,esdecir:2 $15.000.000. =A/(1+0.15)'+(A+$100.000)7(1+0.15) +(A+$200.000)/ 3 4 5 (1+0.15) +(A+$300.000)/(1+0.15) +(A+$400.000)/(1+0.15) + 6 (A+$500.000)/(1+0.15)

3.HallarelvalordeA 4.A = $3.753.834.56Alternativamente se puede utilizar las frmulas de gradiente aritmtico que se derivan' de la frmula matriz para resolver el problema planteado sin embargo el problema se j puede resolver fcilmente, utilizando del men principal de Excel herramientasdelaIsiguienteforma:

HojadeExcelA

B

C

D

E

F

G

1 2 3 4 5 0 150000000 Valor prstamo 1 20 > Colocar cualquiervalor 2 =B3+100000 3 =B4+100000 4 =B5+100000 5 =86+100000 6 =B7+100000

=VNA(0.15, B3:B8)+B2

7 8

El primer paso es colocar sobre la hoja de clculo los ingresos y desembolso de dineroquetienelatransaccin(FlujosdeCaja).Sinoscolocamosenlaposicindela

entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, los ingresoscuandorecibelospagosenel ejemplose considerque elprstamoera de Si5.000.000 como es desembolso para el Banco le colocamos signo negativo, los ingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solo sabemosqueseincrementanen$100.000,cadaunodeellos. Paracalcularelvalordelospagosqueesnuestroobjetivo,secolocaprimeroquetodo enlacolumnaAdelasfilas2ala8elencabezadosemestreyluego,losperodos delosflujosdecajaloscualessonenestecasodeceroaseis(Oa6)enlaltima columnaBconelencabezadoflujosdecajasecolocaenlasfilas2ala8losingresosy egresos de la transaccin para la entidad financiera comenzando con el valor del prstamoquecolocamosenlaceldaB2,enlasceldasB3aB8secolocanlospagos que haceelcliente.Comostossedesconocen,enlaceldaB3seregistracualquiervalor, peroconsignocontrarioalvalordelprstamoyseformulanlossiguientesesdecir,el pago2seraigualalpago1,incrementadoen$100.000osea=B3+100.000yel pago 3 como =B4 +100.000 y as sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que se formularacomo=B7+100.000,comomuestralafigura. Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transaccin de la i transaccinsecolocaencualquierotraceldaparanuestrocasoG5elclculodel valor presente neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (1% semestral), que quedan delasiguienteforma:

=VNA(0.15,B3:B8)+B2 TASADEINTERS 0.15 Correspondeal15%detasadeinters. B3:B8Eselrangodelospagosqueharelcliente,loscualessetraenavalorpresente.:

B2 Valordelprstamo Seguidamente, se busca en el men principal del Excel herramientas, y all se seleccionabuscarobjetivoyapareceelsiguientemen:

DEFINIRCELDA: CONELVALOR: PARACAMBIARCELDA: En definirlacelda secolocaG5,quecorrespondealvalorpresenteneto dela transaccin.

Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda la transaccin,esdecir,queelvalorpresentedelospagosfuturosdebeserigualalvalor del prstamoalatasadeintersdada,alcalcularladiferenciaestevalordebesercero.En nuestro ejemplo,lospagos futurosque vamos a calculartradosa valorpresenteala tasadeintersdel15%debenserigualesalos$15.000.000delprstamo, esteconcepto debe cumplirse para cualquier transaccin, por lo tanto al sacar ladiferenciaentre el prstamodesembolsadohoyyelvalorpresentedelospagosfuturos stadebeserCERO. Paracambiarlacelda: secolocalaceldaenlacualsecoloccualquiervalor ennuestrocasoeslaB3quetieneunvalorde 20. Enresumen,buscarobjetivodebiquedardefinidodelasiguientemanera:

DEFINIRCELDA: CONELVALOR: PARACAMBIARCELDA:

G5 O B3

Seregistra"aceptar"yautomticamenteenlasceldasqueseformularonlospagos debeaparecerelvalordecadaunodeellosyenlaceldaG5queeselvalorpresente neto,debeaparecercero. LahojadeExceldebequedarfinalmenteconlasiguientepresentacin:A B

C

D

E

F

G

1

Semestre FlujodeCaja 0 1 2 3 4 5 6 15.000.000.00 3.753.834.56 3.853.834.56 3.953.834.56 4.053.834.56 4.153.834.56 4.253.834.56

23 4 5 6 7 8 9

0.00

3.1.2GradienteGeomtrico Otra forma alterna de cuota variable es el gradiente geomtrico, es decir cuando una cuotavararespectoaotranoenunacantidadespecfica,porejemplo$100.000,sinoen unporcentajeejemplo10%. Con base en el ejemplo de doa Linda Plata de Rico querecibi un prstamo de su amigo don Pastor Bueno, el cual debe pagar en un plazo de una ao y medio en 3 cuotassemestralesconunintersdel20%semestral,conincrementosdelacuotaen un 10%,grficamenteseexpresaraparadonPastorBueno: A(1.10) A 1 2 3 semestres A(1.10)(1.10) =A(1.21)

Tasadeinters:20%semestral $5,000,000

Elejercicioanteriorsepuededesarrollarutilizandolaprimerafrmuladeequivalenciavista n enelcaptulo1,esdecir,P=F/(l+i),delasiguienteforma: PrimerosetraeavalorpresentelospagosfuturosquedebehacerdoaLindaadon Pastor.2 3 P=A/ 1 I +0.20)+ A ( 1 . 1 0 ) /(1+0.20) + A ( 1 . 2 1 ) /(1+0.20)

Luego,seigualaelvalorpresentedelospagosfuturosalvalordelprstamo,esdecir:2 3 $5.000.000= A/ ( 1 +0.20) +A(1.10)/(1+0.20) +A(1.21)/(1+0.20)

Finalmente,secalculaAhaciendoeldespejerespectivodelasiguienteforma: $5.000.000=A/1.2+1.10A/1.44+1.21A/1.728 $5.000.000=0.83333A+0.7638A+0.70023A $5.000.000=2.2974537037A42 A=$2.176.322

Comoseobservacualquierclculoenmatemticafinancierasepuedehacerutilizando la primeraequivalenciautilizadaenestelibro,yquesedefinidelasiguientemanera: F=P(1+i) YdespejandoPsetiene:N P=F/(I1+i)

3.2 EQUIVALENCIAENTREUNVALORPRESENTEYUNGRADIENTE 3.2.1Equivalenciaentreun valorpresenteyun gradiente aritmtico Sedefineelgradientearitmticoalascuotasvariablesenunplazodadoqueaumentauna cantidad g encadaperodo nsemestres

A+g A+2g A+3g A+4g A+(n1)g ObsrveseenelgrficoanteriorqueencadaunadelascuotaspermaneceAcomouna constante,simplementeaumentaunacantidadfijagconrespectoalperodoanterior. Ntesequeelincrementoenelperodo3es2genel4es3gyas sucesivamente,porlo cualsepuedeconcluirqueenelperodonser(n1)g. Paradeducirlaequivalenciaquepermiteatravsdeunasolafrmulahacerlosclculos que sehicieronantes,loprimeroquehayqueidentificaresquelascuotasvariablestienen2 componentes,unofijoyotrovariableelfijocomoseanotanteriormenteesAysuvalor presentesedefinidelasiguienteforma:n n P=A[{(1+i) 1}/{i(1+i)n} ]

La parte variable se presenta a partir del segundo perodo, cuando comienza el incrementog,eneltercerperodoes2g,enelcuartoes3gyassucesivamentehasta r. donde el incremento es (n1)g. Todos estos valores representan el incremento acumulado delacuota, si se obtuvo el valor presente dela partefija delacuota variable, tambin es posible calcular el valor presente del componente cambiante utilizandoparasuclculolaprimeraequivalencia,comosepresentaacontinuacin: P1=g/(1+i)23 P2=2g/(1+i) 4 P3=3g/(1+i) n P4=(n1)g/(1+i)

P=P,+P2+P3+P4n P=g/(1+ i )2 +2g/(1+i)3 +3g/(1+i)4+.................+(n1)/(1+i)

Factorizandosetienelosiguiente: P=g[1/(1+ i )2 +2/(1+i)3 +3/(1+i)4+.................+(n1)/(1+i)"] LlamandoXalostrminosqueseencuentranentreparntesissetiene: P=g(X) X=1/(1 + i )2 + 2/(l+ i )3 +3/(l+ i )4 +....... ..+(nl)/(l+ i )nMultiplicandolaecuacinanteriorpor(1+i)setiene:2 3 n1 X(l+i)=1/(1+i)'+2/(1+i) +3/(1+i ) +........+(n1)/(1+i)

Ecuacin#1

Ecuacin#2

SiserestalaEcuacin #2 Ecuacin#1setienelosiguiente:2 2 XX(1+i)= 1/(1+i)'+1/(1+i) +1/(1+i)

n +..... ............ (nl)/ (I+i)

X X +Xi=Xi1 2 3 n Xi=1/(1+i) +1/(1+i) +1/(i+1) +.................(nl)/(1+i)

Elltimotrminodelaecuacinanteriorsepuededescomponeren: porlotanto:n n n/(1+i) +(1+i)

Porlotanto:1 3 n n Xi=i/(1+ i) + i ( 1 + i )2+ 1/1+ i) .....+1/1+i) n/(1+i) Ecuacin#3 Todos los trminos del segundo miembro de la ecuacin a excepcin del ltimo correspondenaunaserieuniformede1: 1 n 1 /(1+i) +1/(1+ i )2 +1/(1+i)3 +......+1 /(1+i)

serieuniformede$1

entonces, estaserieesunaanualidadcuyofactorsera:n n [(1+i) 1]/[i(1+i) ]

PorlotantolaEcuacin#3quedaraexpresadaas:n n Xi=[(1+i) 1]/[i(1+i) ] n/(1+i) AlcomienzodeestadeduccinsedeterminqueP=g(X)

ReemplazandoelvalordeX,setieneelvalorpresentedelgradientearitmtico,definido delasiguienteforma:n n n P=(g/i) [[(1+i) 1]/ (i(1+i) ] n/(1+i )]

Frmula#9

Enelgradientearitmticosepresentandossituaciones,laprimeraescuandolacuota variable aumenta perodo a perodo en una cantidad fija y la segunda cuando es decreciente,enamboscasosseemplealamismafrmula,peroelplanteamientodel problemasehaceenformadiferente,comoseexplicaacontinuacin: 3.2.2 Gradientearitmticocreciente Siserecibeunprstamodeunaentidadbancariaystedebesercanceladoencuotas variables,lascualesseincrementanenlamismacantidadencadaperodohasta terminar el plazo, se tendra un caso de gradiente creciente su ilustracin mediante un ejemploseradelasiguienteforma: LindaPlatadeRicorecibeunprstamodelBancoSantanderpor$5.000.000elcualdebe sercanceladoen3aosencuotasvariablessemestralesconunatasadeintersdel5% semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas con base en la informacinanteriordeterminarelvalordelaprimeracuota. Elpuntodepartida deesteproblemaseralaelaboracindelgrficocorrespondiente:

semestres0 1 2 3 4 5 6

AA+250.000

A+500.000 A+750.000A+1.000.000

A+1.250.000

Comosehabaexplicadoanteriormentelascuotasvariablestienenuncomponente fijo que para el problema se llama "A" la variable seria el gradiente de $250.000 que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del prstamo sera igual al valor presente de la parte fija ms el valor presente del componente variable. P1=Valorpresentepartefija P2 =Valorpresentepartevariable , Valordelprstamo=P1+P2 Tasadeinters = i = 5% semestral n=6n n 6 6 P1 =P=A[((1+i) 1)/(i(1+i) )]=A[((1+5%) 1)/(5%(1+5%) )]

P1=A(5.07569206721)n P2 = (g/i[[(1+i) 1]/[i(1+i )n]n/(1+i )"] 6 6 6 P2 =(250.000/5%)[[(1+5%) 1]/[5%(1+5%) ]6/(1+5%) ]

P2 =$2.991.998,44 P,+P2=$5.000.000 A(5,07569206721)+2.991.998,44=5.000.000

DespejandoAsetendra: A(5,07569206721)=5.000.0002.991.998.44 A(5,07569206721)=2.008.001,56 A=2.008.001,56/5,07569206721 A=$395.611,38Elresultadoanteriorquieredecirqueelvalordelaprimeracuotaesde$395.611,38 eldelasegundaesesteltimovaloradicionadoen$250.000queeselgradiente,lo que genera un valor de $ 645.611,38 y as sucesivamente hasta el perodo sexto que es el plazo convenido en la siguiente tabla se detalla la amortizacin del prstamo, conunatasadeintersdel5%semestral

SEMES TRE 1 2 3 4 5 6

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA

ABONO A CAPITAL $145,611.38 $402,891.95 $673,036.55

SALDO FINAL $4,854,388.62 $4,451,496.66 $3,778,460.11 $2,821,771.74

$5,000,000.00 $250,000.00 $395,611.38 $4,854,388.62 $242,719.43 $645,611.38 $4,451,496.66 $222,574.83 $895,611.38

$3,778,460.11 $188,923.01 $1,145,611.38 $956,688.38

$2,821,771.74 $141,088.59 $1,395,611.38 $1,254,522.80 $1,567,248.94 $1,567,248.94 $78,362.45 $1,645,611.38 $1,567,248.94 $0.00

3.2.3Gradientearitmticodecreciente En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual g con respectoalperiodoanterior. Grficamenteseexpresaradelasiguienteforma

0

1

2

3

4

5

n

A(n1)g A4g A3g A2g Ag AEnestecasosetomalacuotademayorvaloryseconsideracomoconstante,ysecalcula suvalorpresenteposteriormentesedeterminaelvalorpresentedelgradiente. Comosetomla demayorvalorcomoconstante,secalculaladiferenciaentreelvalorpresentedelaparte constanteyladelgradienteopartevariable.

Unejemploqueilustraelconceptoanteriorsedetallaacontinuacin:JuanPrez recibiun prstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con disminucionesde$30.000enelvalordecadacuota.Silatasadeintersesdel2% bimestral,calcularelvalordelaprimeracuota. Eldiagramaseraelsiguiente:

0

1

2

3

4

5

n

A150,00 A120,000 A90,000 A60,000 A30,000 A Primero,secalculaelvalorpresentede"A"osealaparteconstante.n 6 6 P,=A[((1+i) 1)/(i(1+i)")]=A[((1+0.02) 1)/(0.02(1+0.02) )]

P 1 =A (5.6014308)

Luego,secalculaelvalorpresentedelgradienten n n P2 = (g/i)[[(1+i) 1]/[i(1+i) ]n/(1+i) ]

6 6 P 2 =(30.000/0.02)[[(1+0.02) 1]/[0.02(1+0.02) ]6/(1+0.02/]

P2 =$410,403.90

Finalmente,secalculaelvalordeAP1 P2= 2,000,000 A[5.6014308]410,403.90=2,000,000 A[5.6014308]=2,410,403.90 A=$430,319.31 Elvalordelasegundacuotasera430,319.31 30,000=400,319.31yas sucesivamentehastaelperodo6.

3.2.4 EquivalenciaentreunvalorpresenteyunGradienteGeomtrico Lacuotavariablequeseincrementaunporcentajefijojrespectoalaanterior,recibeelnombre degradientegeomtricoygrficamenteseexpresaradelasiguienteforma: nperodos0 k4 k(1+0,04)

1

2

3

4

k(1+j)2

k(1+j)

k(1+j)3 k(1+j)

Laequivalenciadeestascuotasvariablesqueseincrementanun %j encada perodo, yunvalorpresenteestdadapor:n n n P= K[{(1+i) (1+j) }/(ij)(1+i) ]para idiferente dej,y

P=Kn/(1+i ) p a r a i = j Losconceptosanterioresseilustranconunejemplo:PedroRodrguezrecibiun prstamo de $5 millones del Banco de Bogot que debe pagar en 6 cuotas trimestrales con incrementosdel4%trimestralsilatasadeintersesdel7%trimestral,hallar: a)elvalor delaprimeracuotayb)elvalordelaprimeracuotasi i=3%y j=3% trimestral. Grficamenteelproblemaseplantearaas: nperodos

Siiesdiferentedej 5,000,000

0

1

2

3

4

5

6trimestres

k

k(1+0.04)3 k(1+0,04) 2 k (1+0.04) 4 k(1+0,04) 5 k(1+0,05)

n n n P=K[{(1+i) (1+j) }/(ij)(1+i) ] 6 6 6 5,000,000=K[{(1+0.07) (1+0.04) }/(0.070.03)(1+0.07) ]

5,000,000=K[5.22881704586] K=$956,239.23 Siies igualaji=3%trimestralj=3%trimestral P=Kn/(l +i )

5,000,000=K6/(1.03) [1.03(5,000,000)]/6= K=$858,333.33 3.3AMORTIZACINDEPRSTAMOSLaamortizacindeunprstamoindicaperodoaperodoqucantidaddelacuota quesepagacorrespondealosinteresesdelprstamoyqucantidadeselabono a capital.Lasumadeestosdoscomponenteseselvalordelacuota.

3.3.1TablasdeamortizacinElcomportamientodeestasvariablespuedeobservarsemediantelastablasde amortizacin,herramientaqueadicionalmentepermitedeterminarenunmomento dado elsaldodelprstamo. Conbaseenlainformacindelejemploanterior,seelaboralatabladeamortizaciny serealizaelanlisiscorrespondiente. Latablaestconformadaporlossiguienteselementos:

Perodo: paraelejercicio,esenmeses. Saldoinicial: paraelperodo1eselvalordelprstamo,osea$10.000.000. Para perodosposteriores,elsaldoinicialdelperodonserelsaldofinaldel perodo n1 Intereses = Saldo inicial x tasa de inters para el ejemplo los intereses parael primermesseranigualesa$10.000.000x3%osea$300.000 Valor de la cuota fija A : es el calculado mediante la frmula, en este caso $1.004.620.85 Abonos a capital = Cuota fijaIntereses para el primer perodo (mes) del ejemplosera: Abonosacapital =$1.004.620.85$300.000=$704.620.85

Saldofinal=Saldoinicial Abonosacapital.Siguiendoconelejemplosetendra paraelprimermes

Saldofinal=10.000.000704.620.85=$9.295.379.15 Resumiendo,losencabezadosdelatabladeamortizacinseran:

MES

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA FIJA

ABONOS A CAPITAL

SALDO FINAL

Acontinuacinpuedeobservarselatabladeamortizacincorrespondientealejemplo CUOTASPRSTAMO

12$1O.OOO.OOO

TASADE INTERS

3%

MES SALDO INICIAL INTERESES 1 2 3 4 5 6 7 8 9

CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

$10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85 $9,295,379.15 $9,295,379.15 $278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48 $8,569,619.66 $8,569,619.66 $257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26 $7,822,087.40 $7,822,087.40 $234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23 $7,052,129.17 $7,052,129.17 $211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98 $6,259,072.19 $6,259,072.19 $187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69 $5,442,223.50 $5,442,223.50 $163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15 $4,600,869.35 $4,600,869.35 $138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77 $3,734,274.57 $3,734,274.57 $112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62 $2,841,681.96

10 $2,841,681.96 $85,250.46 $1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.56 11 $1,922,311.56 $57,669.35 $1,004,620.85 $946,951.51 $ 975,360.05 12 $ 975,360.05TOTALES

$29,260.80 $1,004,620.85 $975,360.05$2,055,450.26 $12,055,450.26 $10,000,000.0

($0.00)

Paracomprobarsiunatabladeamortizacinfuebienelaborada,elsaldofinalalterminar plazodebeserCERO. Alternativamente podemos utilizar las funciones de la hoja electrnica Excel para calcular el valordela cuotafija. Paraelloempleamoslasfunciones f(x)financierasde Excelsiendoelprimerplazohacerclicenf(x),sealarfinancierasybuscarpago (significa cuotafija,anualidadrenta),hacer clic yaparecelasiguienteinformacin:Tasa Nper VP VF = = = =3% 12 $10.000.000 $0

TIPO = O por ser de modalidad vencida si hubiera sido modalidad anticipada se colocaraUNO(1) Excelarrojaelpagopor$1.004.620.85 Ejemplo2 Considere el ejemplo nmero 1 pero modifique la forma de pago de vencida a anticipada,esdecir,elmismoprstamode$10.000.000aunplazode12mesesyuna tasadeintersdel3%. Paraesteclculoseutilizarlafrmulanmero8yobtenemoselvalordelacuota fijacanceladaanticipadamentedelasiguienteforma: A=P[{i(1+i)n}/{(1+i)(n+1) (1+i)}12 13 A=10.000.000[{0.03(1+0.03) }/{(1+0.03) (1+0.03)}

A=$975.360.05 Para la elaboracin de la tabla de amortizacin de este prstamo, al suido inicial del perodonmero 1 seaelvalordelprstamo sele debe restar elvalor dela cuota anticipada,esdecir$10.000.000 975.360.05=$9.024.639.95 Acontinuacinseobservalacorrespondientetabla. CUOTAS 12 TASADE INTERS 3.00%

PRSTAMO

$10.000.000.00

MES

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA MENSUAL ANTICIPADA

ABONOS CAPITAL

SALDO FINAL

1 $9,024,639.95 2 $8,320,019.09 3 $7,594,259.61 4 $6,846,727.35 5 $6,076,769.11 6 $5,283,712.13 7 $4,466,863.45 8 $3,625,509.30 9 $2,758,914.52 10 $1,866,321.90 11 $946,951.51 12 ($0.00)

$270,739.20 $249,600.57 $227,827.79 $205,401.82 $182,303.07 $158,511.36 $134,005.90 $108,765.28 $82,767.44 $55,989.66 $28,408.55($0.00)

$975,360.05 $704,620.85 $8,320,019,09 $975,360.05 $725,759.48 $7,594,259.61 $975,360.05 $747,532.26 $6,846,727.35 $975,360.05 $769,958.23 $6,076,769.11 $975,360.05 $793,056.98 $5,283,712.13 $975,360.05 $816,848.69 $4,466,863.45 $975,360.05 $841,354.15 $3,625,509.30 $975,360.05 $866,594.77 $2,758,914.52 $975,360.05 $892,592.62 $1,866,321.90 $975,360.05 $919,370.40 $946,951.51 $975,360.05 $946,951.51 ($0.00)$0.00

$0.00

($0.00)

AlternativamentesepuedeutilizarlasfuncionesfinancierasdeExcelparacalcularevalor delacuotafijaanticipadaparaesoentramosporpagoynosapareceelsiguientemen: TASA= NPER= VP= VF= 3% 12 $10.000.000 0

81

TIPO=

1

Tipo1porsermodalidadanticipadaynosarrojaelsiguienteresultado: A=$975,60.05 Ejemplo3 El seorArmandoCasasbuenasrecibiunprstamode$5.000.000delBancoSudameris quedebepagaren6cuotasmensualesigualesvencidas.Silatasadeintersesdel2% paralostresprimerosmesesyde3%paralostressiguientes,calcularelvalordelacuota yelaborarlatabladeamortizacincorrespondiente. Grficamenteelproblemaserepresentadelasiguienteforma:1 2 3 4 5 6

Meses

0

2%

3%

Elplanteamientomatemticoseharadelasiguienteforma:comosetratadecuotas las vencidaslafrmulaaemplearsera:n P=A[{(1+i) 1}/{i(1+i)n }]

Sinembargo,hayquetenerencuentaquesetienendostasasdeintersdiferentes para lostresprimerosmesesesdel2%yparalossiguientesdel3%,porlotantohay que dividirelproblemaendospartes: Primero,setraeavalorpresentelastresprimerascuotasconunai=2%estevalor presentesellamarP13 3 P1=A[{(1+0.02)1}/{0.02(1+0.02)}]

Luego,setraeavalorpresentelastrescuotassiguientesconuni= 3%mensualeste valorpresentesellamarP23 3 P2=A[{1+0.03)1}/{0.03(1+0.03)}] Lagrficaresumeloquepas:

82

$5.000.0001 2

3 4 5 6

0

2%

3%

Altraeravalorpresentecontresperodoslascuotasdelossegundostresmeses,se caeenelmes3(dondeestsituadoeltrbol)ysedebeestarenelmescerocomola tasadeesosprimerosperodosesdel2%,elmes3esunvalorfuturoconrespectoal cero. Para estar en el perodo cero simplemente se aplica la frmula matriz de las MatemticasFinancierasosea: F P= (1+i)n3 3 3 Porlotanto P2=A[{(1+0.03) 1}/{0.03(1+0.03) }]/[(1+0.02) ]

Porelconceptodeequivalencialasumadelosvalorespresentesdebenser,igualal valordelprstamode$5millones.3 3 3 3 $5.000.000=A[{(1+0.02)1}/{0.02(1+0.02)}]+A[{(1+0.03)1}/{0.03(1+0.03)}]/ [ 3 (1+0.02) ]

Resolviendoseobtieneelvalorde A $5.000.000=A[2,88388]+A[2,6654636] $5.000.000=A[5,54993469] A=$5.000.00075,5493469 *W A=$901.006,92 Alternativamente,elanteriorejerciciosepuededesarrollarutilizandolasherramientas de Exceldelasiguienteforma:

83

Representacinde unaHOJADEEXCEL A PRSTAMO PAGO1 2 B 50000000 123 CColocar cualquiervalor

1

3 4 5 6 7

PAGO2 PAGO3 PAGO4PAGOS

=$B$2 =$B$2 =$B$2 =$B$2 =$B$2

Todaslascuotassoniguales, deben quedar formulado como aparece aqu, debe aparecer 123 para todas las cuotas,peroformulado.

PAGO6

EnlaceldaC8oencualquierotraceldacolocarelvalorpresente:3 =VNA(2%,B2:B4)+VNA(3%,B5:B7)/((1+0.02) +B1

Se hace clic en herramientas (men principal), se seala buscar objetivo y aparece definircelda(dondesecolocaelvalor presente enestecaso $C$8, conel valorcero(porelconceptodeequivalencia),cambiandolacelda(dondeseescribe cualquier valor)enestecasoB2ysehaceclicenaceptar. Elvalorqueapareceenlospagoseselvalorapagarporelprstamode$5.000.000,la cuotacorrespondientealascondicionesinicialesdadasesde$901.006,92. La tabla de amortizacin aparece a continuacin, tener en cuenta en la columna de interesesqueenlostresprimerosmeseslatasaesdel2%mensualyenlossiguientes. 3%mensual.

CUOTAS PRSTAMO

6$5,000,000.oo

3%

3siguientes

MES 1 2 3 4 5 6

SALDO INICIAL

INTERESES

CUOTA MENSUAL

ABONOS CAPITAL

SALDOFINAL$4,198,993.0 8

$5,000,000.00 $100,000.00 $4,198,993.08 $83,979.86 $3,381,966.02 $67,639.32 $2,548,598.41 $76,457.95 $1,724,049.44 $51,721.48 $874,764.00 $26,242.92

$901,006.92 $801,006.92 $901,006.92 $817,027.06 $901,006.92 $833,367.60 $901,006.92 $824,548.97 5901,006.92 $849,285.44 $901,006.92 $874,764.00

$3,381,966.02 $2,548,598.41$1,724,049.44

$ 874,764.00 $0.0

TOTAL

$406,041.54

$5,406,041.54

$5,000,000.00

Ejemplo4 Utilizando la informacin del ejemplo 1, calcular cunto dinero debe al Banco de BogotdoaLindaReinadespusdecancelarlacuota#7,yculeslacomposicin (abonosacapitaleintereses)delacuota#5. Atravsdelatabladeamortizacinsepuedenencontrarlasrespuestasa estas preguntas. Elsaldodespusdecancelarlacuota#7esde$4,600,869.35ylacomposicinla cuota#5es$211,563.88deinteresesyunabonoacapitalde$793,056.98,paraun totalde$1,004,620.85queeselvalordelacuota. Alternativamentesepuederesolveresteproblemadelasiguientemanera:Cunto debeLindaReinaalBancodeBogot,despusdecancelarlacuota#7?1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 Meses

0

A=1,004,620.85 SimplementeobservandoelgrficosetienequedoaLindadebe5cuotas,porlo tantoelvalorpresentedeellasenelperodo7eselsaldodelprstamo.

n n P=A[{(1+i) 1}/{i(1+i) }] 5 P=1.004.620.85[(1+0.03)1}/{0.03(1+0.03)5}]=$4,600,869.35

Paradeterminarelvalordelacuota#5,separtedelconceptovistoenlastablasde amortizacinenelquelosinteresesdeunacuotasonigualesalatasadeinters multiplicadaporelsaldoinicial,elcualesigualalsaldofinaldelperodoanterior.Se deducequesisepreguntalacomposicindelacuota#5,sedebedeterminarcunto sedebedespusdecancelarla#4(saldofinaldelperodo#4),queessimplementeel valorpresentedelas8cuotasquequedanpendientes.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 Meses 12

0

A=1,004,620.858 8 P=1,004,620.85[{(1+0.03)1}/{0.03(1+0.03)}] P=$7,052,129.17

Estevalorseraelsaldofinaldelperodo4queasuvezeselsaldoinicialdelperodo 5, porlotanto: Interesesdelacuota#5=Saldoinicial*i% Interesesdelacuota#5=7,052,129.17 *3% Interesesdelacuota#5=$211,563.88 Abonoacapitalcuota#5=Cuotafija Interesescuota#5 Abonoacapitalcuota#5=1,004,620.85 211,563.88 Abonoacapitalcuota#5=793,056.98 Losvaloresanteriorescoincidenconlosobtenidosenlatabladeamortizacin. Ejemplo5 Completarlasiguientetabla