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Por: Gelacio Martín Sánchez
OCTUBRE 19, 2012
DIPLOMADO EN
FINANZAS CORPORATIVAS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y
PORTAFOLIOS
1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
INTERÉS SIMPLE
1.2
INTERÉS COMPUESTO
1.3
TASA DE INTERÉS NOMINAL,
EFECTIVA Y EQUIVALENTE 1.4
CONTENIDO
DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS
FINANCIERAS 1.1
1.1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS
DEFINICIÓN
Es una derivación de las matemática
aplicadas que estudia el valor del
dinero en el tiempo, combinando el
capital, la tasa y el tiempo, para obtener
un rendimiento o interés, a través de
métodos de evaluación que permiten
tomar decisiones de inversión.
Son una herramienta básica para
analizar e interpretar la operación de
los mercados financieros y el impacto
en los diferentes instrumentos, tanto
para los intermediarios, como para los
inversionistas y emisores. 4
1.2 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES
Capital
Es la cantidad de dinero tomada en
préstamo o invertida a un determinado
plazo y con una tasa de interés pactada.
Generalmente está representada por la
letra «C» y se expresa en términos
monetarios.
El capital también se le conoce como
principal, Valor Presente o Valor
Actual. 5
1.2 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES
Plazo o Tiempo
Se refiere al número de días u otras
unidades de tiempo que transcurren
entre las fechas inicial y final en una
operación financiera, y se representa
por la letra ‘n’ o ‘t’.
Tasa de Interés
Es la razón entre el interés I y el capital
C por unidad de tiempo, generalmente
está expresado en porcentaje.
La tasa de interés está dado por: 𝒊 =𝑰
𝑪
6
1.2 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES
La tasa de interés por lo regular se
expresa en términos anuales, pero se
puede expresar en unidades de tiempo
menores a un año.
Cuando la tasa de interés se da en
porcentaje, sin especificar la unidad del
tiempo, se considerará que la tasa es
anual, a menos que se diga lo contrario:
Mensual;
Bimestral;
Trimestral;
Semestral; etc. 7
1.2 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES
Interés
El interés es el cambio en el valor del
dinero en el tiempo, se representa con I.
Es el pago que se realiza sobre el
préstamo de una cantidad monetaria
durante determinado tiempo.
El interés es el rendimiento que se tiene
al invertir el dinero y se expresan en
términos monetarios.
Si C es el capital de préstamo inicial y S
el monto que se paga al término del
periodo de préstamo, el interés se
expresa como: 𝑰 = 𝑺 − 𝑪 8
1.2 INTERÉS SIMPLE
DIAGRAMA CONCEPTUAL
FECHA INICIAL FECHA FINAL
CAPITAL
INTERESES
MÁS
CAPITAL
MONTO
PLAZO
=
TASA DE INTERES
9
1.2 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Un empresario invierte en una institución financiera $40,000 y
al término de 1 año recibe $50,000 por su inversión.
C = $40,000
M = $50,000
T = 1 Año
Obtenga:
Intereses = I = 50,000 – 40,000 = 10,000
Tasa de Interés = i = 10,000 / 40,000 = 0.25 ó 25%
Monto = M= 40,000 + 10,000 = 50,000
Capital = C = 50,000 – 10,000 = 40,000
10
1.2 INTERÉS SIMPLE
DEFINICIÓN
Es la operación financiera donde
interviene un capital, un tiempo
determinado de pago y una tasa de
interés, para obtener un beneficio
llamado intereses, sin que éste último
se reinvierta.
El interés es simple cuando sólo el
capital gana intereses por todo el
tiempo que dura la transacción.
El interés simple se utiliza
principalmente en inversiones y
créditos a corto plazo, de un año o
menos. 11
1.2 INTERÉS SIMPLE
FÓRMULA GENERAL
La fórmula general para calcular el
Interés Simple es el siguiente:
𝑰 = 𝑪 ∗ 𝒊 ∗ 𝒏
Donde:
I = Interés
C = Capital o Valor Actual
i = Tasa de Interés
n = Plazo o periodo
Es importante que la tasa de interés y el
plazo estén expresados en las mismas
unidades de tiempo. 12
1.2 INTERÉS SIMPLE
MONTO SIMPLE
Es la suma del capital más el interés
simple ganado. También se le denomina
Monto o Valor Futuro y se simboliza con
la letra M o S.
𝑴 = 𝑪 + 𝑰
Sustituyendo 𝐼 por 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 se tiene:
𝑀 = 𝐶 + (𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛)
Factorizando se tiene la fórmula general
del monto a interés simple:
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏)
Donde: M = Monto; C = Capital Inicial;
i = Tasa de Interés y, n = Periodo. 13
1.2 INTERÉS SIMPLE
VALOR PRESENTE SIMPLE
Llamado también Valor Actual,
representado por VA o VP, de un monto,
M, que vence en fecha futura.
Es la cantidad de dinero que, invertida
hoy a una tasa de interés dada producirá
el M.
De la expresión, 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) despejamos C, para obtener el VA:
𝑪 = 𝑽𝑨 =𝑴
(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒕)
14
1.2 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Un empresario tiene una deuda de $75,000 que deberá pagar
dentro de 5 meses. La operación esta pactada a una tasa de
interés simple del 18%.
C = $75,000
T = 5 Meses
i = 18% Anual; 1.5% Mensual
Obtenga:
Intereses = I = 75,000 * (18% / 12) * 5 = 5,625
Monto = M = 75,000 * [1+(18% / 12)*5] = 80,625
Monto = M = 75,000 + 5,625 = 80,625
Valor Presente = VP = 80,625/[1+(18% / 12)*5] = 75,000
Tasa de Interés = i = 5,625/75,000 =0.075/5 = 0.015 ó 1.5% 15
1.2 INTERÉS SIMPLE
DESCUENTO SIMPLE REAL
En el Interés Simple existen dos tipos de
Descuento Simple: Real y Comercial.
Descuento Real
Se calcula con base en al fórmula del
interés simple:
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏)
Donde:
M = Además de ser el Valor Futuro, es el
Valor Nominal. Ejemplo: Pagaré
C = Capital Inicial
i = Tasa de Interés
n = Periodo 16
1.2 INTERÉS SIMPLE
DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
Descuento Comercial o Bancario
Se calcula restando al Valor Nominal un
Descuento. La adquisición de CETES es
el mejor ejemplo de inversiones a
Descuento Comercial, el cual se obtiene
multiplicando el Valor Nominal del
documento por el plazo y la tasa de
descuento. De lo anterior se tiene:
𝑫 = 𝑴 ∗ 𝒏 ∗ 𝒅
Donde: D = Descuento del Documento;
M = Valor Nominal, n = plazo en años y
d = Tasa de Descuento Simple Anual. 17
1.2 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
El descuento comercial de un documento
con Valor Nominal de $8,500 tres meses
antes de vencer, es decir n = 3/12 (plazo
en años) con un descuento del 10.40%
simple anual es:
De acuerdo a la fórmula: 𝐷 = 𝑀 ∗ 𝑛 ∗ 𝑑
D = $8,500*(3/12)*(0.1040) = $221
Si al valor nominal se le resta este
descuento, entonces se obtiene el Valor
Comercial o Valor Descontado P.
𝑷 = 𝑴−𝑫 ó 𝑷 = 𝑴(𝟏 − 𝒏 ∗ 𝒅)
P = $8,500 – $221 = $8,279 18
1.2 INTERÉS SIMPLE
INTERÉS SIMPLE EXÁCTO Y ORDINARIO
Interés Simple Exacto o Real
Se calcula sobre la base del año de 365
días o 366 en años bisiestos.
Interés Simple Ordinario o
Comercial
Se calcula sobre la base del año de 360
días, también es llamado año comercial o
bancario.
19
1.2 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Calcule el interés ordinario y exacto de una deuda por $28,500
a una tasa de interés simple anual del 22%, durante el periodo 6
de junio al 15 de diciembre de 2012.
Interés Simple Exacto o Real
I = 28,500 * 22% / 365 * 192 = 3,298.2
I = 28,500 * 22% / 365 * 189 = 3,246.7
Interés Simple Ordinario o Comercial
I = 28,500 * 22% / 360 * 192 = 3,344.0
I = 28,500 * 22% / 360 * 189 = 3,291.8
20
1.2 INTERÉS SIMPLE
CETES: DEFINICIÓN
Los Certificados de la Tesorería de la
Federación, son Títulos de Crédito que
emite el Gobierno Federal a través de la
Secretaría de Hacienda y Crédito
Público, y que coloca Banxico entre los
inversionistas por medio de subastas
semanales que se realizan cada martes.
La ganancia que obtiene el tenedor de
CETES es precisamente la diferencia
entre el precio pagado al adquirirlo y su
valor nominal al vencimiento.
21
1.2 INTERÉS SIMPLE
CETES: CARACTERÍSTICAS
Características principales:
Valor nominal: $10 pesos
Plazo: En días
Emisiones: 28, 91, 182 y 364 días
Rendimiento: A descuento
Garantía: son los títulos de menor
riesgo, ya que están respaldados por el
Gobierno Federal
Amortizables en una sola exhibición al
vencimiento del título
22
1.2 INTERÉS SIMPLE
CETES: EJEMPLO
Calcular el descuento y valor comercial de un Cete con
vencimiento a 28 días cuyo valor nominal es de $10.00 y la
tasa de descuento anual del 4.39%.
Descuento: D = M * n * d
D = (10 * 28/360 * 4.39%) = 0.0342
Valor Comercial o Precio: P = M - D
P = 10 – 0.0342 = 9.9659
Obtener la Tasa de Rendimiento:
𝑻𝑹 =𝑽𝑵
𝑷− 𝟏 ∗
𝟑𝟔,𝟎𝟎𝟎
𝑫𝑽 𝑻𝑹 =
𝟏𝟎
𝟗.𝟗𝟔𝟓𝟗− 𝟏 ∗
𝟑𝟔,𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟖= 4.4050%
23
1.3 INTERÉS COMPUESTO
DEFINICIÓN
Es la operación financiera en la cual el
capital aumenta al final de cada periodo
por adición de los intereses vencidos.
Una transacción trabaja a interés
compuesto cuando el capital inicial y
los intereses generados en cada periodo
ganan intereses en periodos
subsiguientes.
El interés compuesto es el interés
devengado por el principal al final de
un período y que devenga interés en el
período o períodos subsiguientes. 24
1.3 INTERÉS COMPUESTO PERIODO Y FRECUENCIA DE CONVERSIÓN
El tiempo entre dos fechas sucesivas, en
las que los intereses se agregan al capital,
se denomina periodo de capitalización o
periodo de conversión.
El número de veces por año en las que
los intereses se capitalizan se denomina,
frecuencia de conversión.
En las transacciones financieras que
implican interés compuesto, es
importante tener presente los conceptos
siguientes:
1) Capital Original: C
25
1.3 INTERÉS COMPUESTO
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
2) Tasa de Interés por Periodo:
𝒊𝒑 =𝒊
𝒇𝒄
3) Número de Periodos de Conversión:
𝒕𝒑𝒄 = 𝒇𝒄 ∗ 𝒕
Donde:
ip = Interés por Periodo
i = Tasa de Interés;
fc = Frecuencia de Conversión
tpc = Total de Periodos de Conversión;
t = Tiempo Total de la Transacción
Financiera. 26
1.3 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULA GENERAL
El interés compuesto se deduce de la
forma siguiente:
Tenemos que: 𝑀 = 𝐶 + 𝐼
Sabemos que: 𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑡
Cuando 𝑡 = 1, 𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑖
Por lo tanto: 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∗ 𝑖
Factorizando: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)
Es notorio que el monto de un capital, al
final de un periodo, se obtiene
multiplicando por el factor 1 + 𝑖 .
Al final del segundo periodo se tiene:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) → 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 27
1.3 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULA GENERAL
Al final del tercer periodo se tiene:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 1 + 𝑖 →𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)3
Generalizando para n periodos de
capitalización, la formula general del
monto a interés compuesto está dada por:
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏
Donde: M = Monto o Valor Futuro; C =
Capital Original; i = Tasa de Interés por
Periodo de Capitalización; y, n = Número
Total de Periodos de Capitalización.
Es importante mencionar que la definición
de periodo debe ser la misma para 𝑖 y 𝑛. 28
1.3 INTERÉS COMPUESTO
VALOR PRESENTE COMPUESTO
El Valor Presente o Valor Actual, en una
inversión a interés compuesto, es el
capital que invertido ahora, a una tasa de
interés dada, alcanzará un monto
determinado después de un cierto número
de periodos de capitalización.
Permite obtener el valor que tiene en el
momento actual un conjunto de
cantidades que han de vencer en el
futuro.
Su fórmula es la siguiente:
𝑽𝑨 =𝑴
(𝟏 + 𝒊)𝒏
29
1.3 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULAS FUNDAMENTALES
Monto Compuesto:
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏
Interés:
𝑰 = 𝑴 − 𝑪
Capital Original o Valor Actual:
𝑽𝑨 =𝑴
(𝟏 + 𝒊)𝒏
Tasa de Interés:
𝒊 =𝑴
𝑪
𝟏𝒏
− 𝟏
Plazo o Tiempo:
n=𝑳𝒐𝒈(𝑴)−𝑳𝒐𝒈(𝑪)
𝑳𝒐𝒈(𝟏+𝒊)
30
1.3 INTERÉS COMPUESTO
EJEMPLO
Un empresario tiene una deuda de $100,000 que deberá pagar
dentro de 1 año. La operación esta pactada a una tasa de interés
compuesto del 12%, capitalizable semestralmente.
C = $100,000
T = 1 Año
i = 12% Anual, capitalizable semestralmente.
Obtenga:
M = 100,000* (1+12% / 2)^2 = 112,360
I = 112,360 – 100,000 = 12,360
VP = 112,360 / (1+ 12% / 2)^2 = 100,000
i = [(112,360/100,000)^(1/2)]-1 = 0.06 * 2 = 0.12 ó 12%
n = [ln(112,360) – ln(100,000)] / ln(1+12% / 2) = 2 31
1.3 INTERÉS COMPUESTO
CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Los periodos de capitalización pueden ser
tan pequeños como se quiera, llegando a
tasas de capitalización instantánea.
Aunque no es muy común su uso, se
presenta la fórmula de cálculo:
𝑴 = 𝑪 ∗ 𝒆(𝒊∗𝒏)
Donde:
M = Monto
C = Capital Original
e = 2.71828…
i = Tasa de Interés por Periodo de Capitalización
n = Número Total de Periodos de Capitalización
32
1.3 INTERÉS COMPUESTO
EJEMPLO: CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Calcule el monto con la fórmula de capitalización continua;
considere un capital inicial de $8,000, una tasa de interés anual
del 22%, capitalizable semestralmente durante dos años.
S = C*e^(i*t)
Capital = $8,000
e = 2.718281828
i = 22%
t (Años) = 2
S = 8,000 * 2.71828^(22% / 2*4) = 12,421.66
33
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Si un capital invertido a interés
compuesto se capitaliza cada año, el
monto compuesto al final del primer año
es igual al interés simple a un año.
Si la capitalización se efectúa más de una
vez al año, el monto compuesto al final
de un año es mayor que el obtenido por
interés simple.
Cuando se realiza una operación
financiera, se pacta una tasa de interés
anual, esta tasa aplicable a una inversión
o aun préstamo a interés compuesto se
denomina Tasa de Interés Nominal. 34
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
TIN = (Tasa de Interés)*(Núm. Periodos)
Ejemplo:
Una tasa de interés del 2.5% mensual, se
expresa como el 7.5% nominal
trimestral o 30% nominal anual;
Una tasa de interés del 6% trimestral le
corresponde el 24% nominal anual;
Una tasa de interés del 10% semestral,
se expresa como el 20% nominal anual.
La tasa de interés nominal facilita que el
público pueda controlar su depósitos
mediante la aplicación de la formula de
interés simple. 35
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Si el interés se capitaliza en forma
semestral, trimestral o mensual, la
cantidad efectiva pagada o ganada es
mayor que si se compone en forma anual.
Cuando esto sucede, se puede determinar
una Tasa Efectiva de Interés.
La tasa efectiva por periodo es la tasa de
interés que efectivamente se aplica en
cada periodo de capitalización, se obtiene
al dividir la tasa nominal anual entre el
número de periodos de capitalización que
hay en un año. 𝒊𝒆𝒑 =𝒊
𝒎
36
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
La tasa de interés efectiva se determina con
base en la formula de interés compuesto. La
fórmula de calculo para la Tasa de Interés
Efectiva Anual es:
𝒊𝒆 = 𝟏 +𝒊
𝒎
𝒎
− 𝟏
Donde:
𝑖𝑒 = Tasa de Interés Efectiva Anual
i = Tasa de Interés Nominal Anual
m = Número de periodos de capitalización
al año
La tasa efectiva es independiente del capital
invertido y del tiempo que dura la inversión. 37
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Ejemplo:
¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de
$10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable
mensualmente?
M = 10,000 * (1 + 20% / 12)^12 = 12,193.9
I = 12,193.9 – 10,000 = 2,193.9
Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%
Comprobación:
Tasa Efectiva = [(1 + i/m)^m – 1]
Tasa Efectiva = [(1+(20%/12))^12)-1]
Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %
A una tasa nominal del 20%, se recibe de un deposito bancario una
tasa efectiva del 21.94%. 38
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL,
EFECTIVA Y EQUIVALENTE
Dos tasas de interés anuales con
diferentes periodos de capitalización
serán Equivalentes si al cabo de un año
producen el mismo interés compuesto.
39
1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Ejemplo
Un inversionista desea colocar un capital de 10,000 USD a una
tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente
durante un año. Calcule la tasa de interés efectiva anual.
C = 10,000
i = 8% Anual. Capitalizable Trimestralmente = 2%
T = 1 Año
S = 10,000 * [(1 + 8% / 4)^4] = 10,824.3
T.N. = [(10,824.3/10,000)^(1/4)]-1 = 0.02 * 4 = 0.08 ó 8%
T. E. = [(10,824.3/10,000)^1]-1 = 0.0824 ó 8.24%
S = 10,000*(1 + 8% / 4)^4 = 10,824.3
S = 10,000*(1 + 8.24%)^1 = 10,824.3 40
1) Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel.
Matemáticas Financieras. CENGAGE.
2) Villalobos, José L. Matemáticas Financieras.
Editorial Prentice Hall, México.
3) Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez,
Víctor M. Matemáticas Financieras. Editorial Mc
Graw Hill, México.
4) Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos de
Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw Hill,
México.
5) Guzmán Plata, Ma. de la Paz. El Modelo
Portafolio Aplicado a la BMV. UAM-Azcapotzalco.
6) Markowitz, Harry. Portfolio Selection. Cowles
Foundation for Research in Economics at Yale
University.
7) Instituto Panamericano de Alta Dirección de
Empresa, México. Introduction to Portfolio Theory.
IPADE
BIBLIOGRAFÍA
41
DATOS DE CONTACTO:
Web: www.universidadfinanciera.mx
Nota: Los conceptos presentados en esta presentación fueron tomados de la bibliografía señalada y las imágenes fueron bajadas de Internet.