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1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
1
Matemáticas
Grado 9º
Unidad 3
Función lineal y función
cuadrática
2 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
2
LOGRO:
Identificar las características principales de las funciones lineal y
cuadrática a saber que son unas de las más reconocidas en el ámbito
matemático y además de esto reconocer algunos problemas de la
cotidianidad en los que dichas funciones tienen su aplicabilidad.
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce el método apropiado para hallar un determinante de 2 x 2
Reconocer las principales características de la función lineal.
Identificar e interpretar correctamente los datos arrojados por la
gráfica de una función lineal.
Reconocer la ordenada de origen y la pendiente de la recta
Hallar la ecuación de la recta dados la pendiente y la ordenada de
origen
Hallar la ecuación de la recta dados dos puntos pertenecientes a ella.
Reconocer la gráfica de una función cuadrática
Identificar los elementos que componen la parábola
Desplazar la parábola de una función cuadrática según las variaciones
que esta tenga respecto de la grafica fundamental.
¿QUÉ ES UNA PARÁBOLA?, ¿TIENE QUE
VER CON LAS ENSEÑANZAS DE
CRISTO?
3 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
3
ACTIVIDAD
En las siguientes preguntas debes escribir con tus palabras lo que
entiendes de cada concepto:
¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es lineal?
¿Qué entiendes cuando te dicen que algo es recto?
¿Qué entiendes por pendiente?
Si te dicen que una pared es muy pendiente, ¿qué se te viene a la
cabeza?
¿Qué es para ti una parábola?
Cuando te dicen que un número es el cuadrado de otro, ¿qué
entiendes?
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
4
Función lineal:
Las funciones cuyas gráficas son líneas rectas las reconocemos como
funciones lineales. Los casos de funciones lineales son:
La recta y = k · x, correspondiente a una función de proporcionalidad
directa.
La recta y = k · x + b correspondiente a una recta que pasa por (0 ; b),
y no por el (0;0) del sistema de ejes coordenados, donde la letra k,
representa un número real cualquiera.
La recta constante y = b, la cual gráficamente queda paralela al eje x.
Los valores numéricos k y b son de importancia. Tienen nombres
especiales. Identificaremos como pendiente de la recta al valor
numérico k, y, como ordenada al origen o intercepto al valor
numérico b.
Para iniciar, abordemos una situación de magnitud directamente
proporcional que te permita recordar lo aprendido en grados anteriores
para relacionarlo con los conocimientos nuevos de función lineal.
Ejemplo 1:
Una capacitación sobre Técnicas Innovadoras de cultivo se cobra
$35.000 por persona. Tomemos como x a la Cantidad de Personas que
se inscribieron y cancelaron el curso, e y a la Recaudación total de
dinero.
Aprendamos algo
nuevo
5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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5
a) Confecciona una tabla que relacione la Recaudación según la
Cantidad de personas.
b) Grafica la función.
c) Determina la expresión algebraica para la función.
d) El alquiler del salón donde dictar el curso sale $400.000. ¿Cuántas
personas deben inscribirse, como mínimo, para cubrir este gasto?
Solución:
a) La Cantidad de Personas que se inscriban al curso podrían ser 0, 1, 2,
3, ... . Si por cada una de ellas ingresan $35.000, cuando sean 2 las
inscritas se habrá recaudado $35.000 x 2; si son 3, $35.000 x 3, etc.
Con estos razonamientos ya podemos ir confeccionando la tabla:
Número de personas
Total dinero
0 0
1 35.000
2 70.000
3 105.000
4 140.000
5 175.000
6 210.000
b) El gráfico será:
6 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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6
c) La expresión algebraica preserva las operaciones matemáticas
empleada para la confección de la tabla. Será: y = 35.000·x.
d) La respuesta la podemos dar dándole continuidad al gráfico y ver que
valor de x necesita cuando en y llega a 400.000: la respuesta es 12 o
más personas.
Veamos otra situación cuya gráfica es una recta, pero no
corresponde a una función de proporcionalidad directa:
Ejemplo 2:
Un comercio local adquirió los derechos exclusivos para ofrecer un
espectáculo musical en el parque de Barbosa, a través de cultura de la
municipalidad. Su comisión es $500.000 más $1.500 por cada boleto
que se venda.
Imagínate que eres el dueño del comercio local y estás interesado en
hacer especulaciones respecto de la comisión -a ganar- dependiendo
de los boletos que se vendan.
0
50000
100000
150000
200000
250000
0 2 4 6 8
Número de personas vs dinero
x personas
7 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
7
Para manipular esta situación podemos recurrir a la confección de una
tabla y gráficos similar a lo estudiado en el ejemplo anterior:
x: cantidad de boletos vendidos.
y: comisión
Les damos valores arbitrarios a x, producto de nuestra imaginación
especulativa como dueños del comercio y obtenemos los
correspondientes de y por medio de cálculos matemáticos, así:
Y= (1.500*x)+500.000
y x
0 500000
50 575000
100 650000
150 725000
200 800000
250 875000
300 950000
El gráfico resultante es:
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1000000
0 50 100 150 200 250 300 350
x
x
y = f( x )
8 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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8
El gráfico de una función de proporcionalidad directa es una recta que
pasa por el (0,0) del sistema de ejes coordenados. La gráfica resultante
de la situación es una recta, pero no pasa por el (0,0) sino por el
(0,500.000). Luego, no es una función de proporcionalidad directa.
Si observamos las cuentas que nos llevan a la obtención de los valores
de y, podemos deducir la expresión algebraica de la función:
y = f( x) = 1.500·x + 500.000
Ejemplo 3:
Una familia a lo largo de los meses del año 2002 logró mantener fijo su
gasto de luz en $25.000, a pesar de la incidencia del tiempo.
Si llamamos x a los meses del año e y al gasto de luz por mes, la tabla
para esta situación sería:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Y 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000 25000
La gráfica:
9 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
9
El gasto fue constante a lo largo de los meses, no hubo alguna
variación.
La expresión algebraica para esta gráfica es:
y = f( x ) = 25
ACTIVIDAD
1) Para las siguientes situaciones debes conformar una tabla que
muestre el comportamiento de cada una de ellas, luego hacer la
gráfica de la función, determinar la expresión algebraica para la
función y decir si es una función lineal o no.
a. Un hombre camina a la misma velocidad durante dos horas.
En los primeros 15 minutos recorre 100 metros.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0 2 4 6 8 10 12 14
Y
Y
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
10 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
10
b. Una confeccionista cose 6 uniformes de colegio en dos días.
Necesitando coser los uniformes para 42 estudiantes.
c. Un tendero vende en su primer mes quedándole una ganancia
de $600.000 y cada mes siguiente le queda de ganancia el
doble de lo que le quedó el mes anterior. ¿cuánta ganancia
tiene en su primer año de ventas?
d. Una mamá lava 20 platos en el día, ¿cuántos platos ha lavado
al transcurrir un mes?
e. Un estudiante lee 2 libros cada 3 meses, ¿cuántos ha leído en
un año?.
2) Ingenia tres situaciones de tu cotidianidad en las que encuentres
funciones lineales y otras tres situaciones en las que a pesar de ser
magnitudes directamente proporcionales, no son funciones lineales.
En la ecuación de la recta y = 1,500x + 500.000 la pendiente es 1,500
y la ordenada al origen es 500.000. La pendiente, 1,500 representa lo
que gana por cada un boleto vendido. La ordenada al origen, 500.000
representa que cobrará aunque no haya vendido ningún boleto.
En la ecuación de la recta y = 25000 la pendiente es 0 y la ordenada al
origen es 25. Gráficamente la recta no tiene inclinación, por eso su
pendiente es 0.
Aprendamos algo
nuevo
11 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
11
La ordenada al origen o intercepto.
La ordenada al origen es el valor de la función obtenido cuando la
variable x se le asigna el valor 0. Gráficamente es el lugar sobre el eje y
por donde pasa la recta.
Haciendo x = 0, en la función y= 3x+25 entonces y= 3· 0 + 25 = 0 +
25 = 25.
25 es la ordenada al origen.
En la gráfica:
Claramente se aprecia que la recta intercepta al eje y en 25.
La pendiente
La pendiente de la recta muestra que tanto crece el eje y mientras se
avanza en el eje x, así pues, a medida que la pendiente sea más
grande, la función lineal va a avanzar más en el eje y por lo que va a
estar más cerca de ser paralela al eje y.
Para hallar el valor de la pendiente teniendo la recta o la función de la
recta, es necesario tomar dos puntos pertenecientes a la función y luego
realizar la división de la diferencia en y sobre la diferencia en x lo que
nos mostrará la razón de cambio de y contra x:
05
101520253035404550
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
12 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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12
(Y2 – Y1)/(X2 – X1)
Por ejemplo:
Juan González fabrica guitarras y posee una máquina cuyo costo fue de
$2.250. La empresa que se la vendió le informó que la vida útil de la
misma era de 60.000 Hs., al cabo de la cuál el Sr. González la podía
vender a un valor aproximado de $450. El Sr. González necesita saber
cuánto debe ahorrar por hora para que al cabo de la vida útil pueda
comprarse otra máquina de las mismas características.
Supongamos que vivimos en un país sin inflación.
Entendemos que al pasar 60 000Hs de uso deberíamos tener
$2.250, pero la guitarra la podremos vender como usada a un
valor de $450. Entonces el dinero que necesito ahorrar a lo
largo de las 60.000 Hs es: $2.250 - $450.
Dinero a ahorrar por hora de uso = HsHsHsHs
/$03,060000
1800$
060000
450$2250$
Debemos ahorrar 3 centavos de peso por cada hora.
Si x representa las horas de uso transcurrido, e y, el dinero a
ahorrar en pesos, podemos confeccionar una tabla:
X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Y 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 35
La ecuación algebraica que permite calcular el dinero a ahorrar en
función de las horas de uso es:
Y = f(x) = 0,03x
La pendiente de la recta es 0,03.
13 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
13
ACTIVIDAD
Grafica la ecuación anteriormente tabulada.
Ejemplo 2
Una persona compra un auto para su uso familiar. Paga a la
concesionaria $18 000.000, por la adquisición. Transcurridos tres
años de uso lo vende a un valor de $9.300.000. ¿Cuál fue la
desvalorización por año del vehículo, suponiendo que ésta fue
constante?
Si compra a $18 000.000 y vende a $9.300.000, el dinero que perdió
a lo largo de los tres años es: $9300 - $ 18 000. El resultado de esta
resta será un valor negativo, el cual describe el estado de “pérdida”
monetaria de la persona.
El valor perdido por año = añoporañosañosaños
2900$3
8700$
03
18000$9300$
El auto, partiendo desde $18 000.000 pierde $2.900.000 por cada
año. Con esta información podemos confeccionar una tabla, donde x
son los años transcurridos desde la compra e y el valor del auto:
x Y
0 18000000
1 15100000
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
14 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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14
2 12200000
3 9300000
4 6400000
5 3500000
6 600000
Para obtener 15.100.000, hicimos 18.000.000-2.900.000; para
obtener 12.200.000, hicimos 15.100.000-2.900.000; y así
continuamos hasta el final de la tabla.
Grafiquemos valor del vehículo en función de los años:
En el gráfico vemos que la ordenada al origen o intercepto es
18.000.000, pero ¿la pendiente?
La pendiente de la recta se define como la razón de la elevación al
recorrido. De aquí:
12
12
xx
yy
recorrido
elevaciónk
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
14000000
16000000
18000000
20000000
0 1 2 3 4 5 6 7
Y
Y
15 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
15
Entonces la pendiente de la recta es -2900.
Como tenemos los dos valores importantes de la recta, k y b, podemos
dar la ecuación de la recta correspondiente a la gráfica y la tabla:
y = f ( x ) = - 2900 x + 18000
Ejemplo 2:
Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio
de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a
cada rasuradora eléctrica. Estudia la demanda del público que tiene este
comerciante, en función del precio.
Solución:
Llamemos x a la cantidad de rasuradoras que el público le compra, e
y al precio por unidad de las rasuradoras. Con la información de la
situación podemos armar la tabla:
X
(Nº de
rasuradotas)
Y
($)
20 25
30 20
Llevemos estos dos puntos a un sistema de ejes coordenados:
16 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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16
Cuando el precio pasa de $25 a $20, la cantidad de rasuradoras
compradas pasa de 20 a 30. Es decir, hay un ascenso del número de
rasuradoras demandadas a medida que el precio se disminuyó.
ACTIVIDAD
Traza la recta que pase por los pares ordenados (20; 30) y (25; 20).
¿Cuál es la pendiente de la recta?
La pendiente de la recta = 2
1
10
5
2030
2520
º
Pr
srasuradoradeN
rasuradoraporecio
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30 35
Pre
cio
Cantidad
30 -20
20- 25
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
17 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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17
Significa que por cada $1 que baje el precio de las rasuradora eléctricas
su venta se incrementará a razón de 2.
Procedimiento para hallar la ecuación de la recta conociendo dos
puntos:
La ecuación de la recta es de la forma Y = K*X + b
Dónde K es el valor de la pendiente y b es el valor del intercepto con el
eje y, por lo tanto para hallar la ecuación de la recta es necesario
encontrar los valores de la pendiente y del intercepto. Para hacerlo
seguimos el siguiente procedimiento:
1º) Primero calculamos k. Para calcular k seguimos el procedimiento
estudiado anteriormente utilizando la ecuación k= (y1 – y2)/(x1 – x2)
2º) Planteamos la expresión general de la ecuación de la recta y = k · x
+ b
3º) Reemplazamos el valor de k encontrado en 1º), en la expresión de
la ecuación de la recta del 2º).
4º) Reemplazamos en la expresión de la recta a x por x1, a y por y1.
5º) Nos quedó una ecuación donde b es la incógnita a descubrir.
Despejamos b y precisamos su valor.
6º) Reemplazamos el valor de k y de b hallados en la ecuación de la
recta 2º)
Aprendamos algo
nuevo
18 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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18
Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (20; 35) y
(30; 20).
Como ya tenemos la pendiente, es 2
1, el problema se reduce a
encontrar la ordenada, b.
La ecuación de la recta correspondiente a la gráfica será del tipo:
Y = f (x) = k · x + b
La pendiente ya es dato, reemplacemos a k por el valor de la pendiente.
Y = f (x) = 2
1 x + b
Pero esta ecuación es la que corresponde a la tabla:
X
(Nº de
rasuradoras)
Y
$
20 25
30 20
Si reemplazamos en la fórmula a x = 20, el valor que deberíamos
obtener para y es 25
Y =2
1 · x + b
25 = 2
1 · 20 + b
19 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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19
20 = - 10 + b
Despejemos b:
20 + 10 = b
30 = b
La ecuación de la recta será: y = f (x) = 2
1x + 30
Repasemos lo que hicimos en los dos últimos ejemplos. Teníamos que
hallar la ecuación de la recta y nos daban como datos los pares
ordenados (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ).
Para dar la ecuación de la recta necesitamos hallar los valores de k y b.
Expliquemos como procedimos:
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Pre
cio
Cantidad
20 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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20
Aquí quedó escrito lo requerido por el ejercicio.
ACTIVIDAD
1) a) Marca los puntos (-2; 1) y (1; 7) en un sistema de ejes
coordenados.
b) Traza la recta que pase por esos dos puntos.
c) Encuentra la pendiente de la recta que pase por esos dos puntos.
d) Expresa la ecuación de la recta que corresponda a esa tabla.
e) Confecciona una tabla con al menos 5 renglones. Toma otros valores
de x distintos a -2 y 1.
f) Verifica que esos nuevos 5 pares ordenados gráficamente quedan
sobre la recta trazada en b).
2) a) Grafica las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
21 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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21
I. (-1; 4) y (3; 2)
II. (2; 5) y ( -2; -1)
III. (2; 5) y ( -1; 5)
b) Indica la pendiente y el intercepto (ordenada al origen) de cada una.
3) Las ventas totales de una compañía se pueden aproximar mediante
una función lineal del tiempo (en años). Las ventas en 1990 fueron de
$2,4 millones, mientras que en 1995 ascendieron a $7,4 millones.
a) Halla la ecuación que de las ventas de la compañía como función del
tiempo.
b) ¿Cuáles fueron las ventas en 1993?
Gráfico de una recta dadas su pendiente y su intercepto
(ordenada al origen).
Si conocemos la pendiente y ordenada al origen de la recta no es útil
para graficarla.
Veamos cómo hacerlo con la función y = 3 x – 1
La pendiente es 3, y la ordenada al origen es -1. La pendiente podemos
expresarla en forma fraccionaria:
Aprendamos algo
nuevo
22 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
22
La pendiente = 3 = 1
3
1º) Como la ordenada al origen es -1, la recta cortará al eje y en
(0; -1). Marca ese punto en el gráfico.
2º) Como la pendiente es 3, significa que por cada una unidad que crece
x, y crece 3. Entonces desde el punto que marcamos antes avanzamos 1
unidad, nos movemos una unidad hacia la derecha en sentido
horizontal, y a continuación 3 unidades hacia arriba, en sentido vertical.
Allí marcamos otro punto.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3x
23 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
23
3º) Marcamos la recta que pase por esos dos puntos.
Ejemplo 2:
22
3xy . La ordenada al origen es -2 y la pendiente es la fracción
2
3.
1º) Marcamos la ordenada -2 sobre el eje y, como un punto.
2º) Desde allí nos desplazamos 2 unidades hacia delante en sentido
horizontal, luego 3 unidades hacia arriba en sentido vertical. Marcamos
un segundo punto.
3º) Trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3x
1
3
24 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
24
Si la recta a graficar fuera y = -3x – 1, la ordenada al origen es -1 y la
pendiente es -3. Expresando la pendiente en forma de fracción sería:
1
3.
1º) Marcamos el punto (0; -1).
2º) Desde el lugar (0; -1) avanzamos 1 unidad en sentido horizontal y
luego bajamos 3 unidades en sentido vertical. Allí marcamos el segundo
punto.
3º) Traza la recta que pase por los dos puntos.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
2
3
25 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
25
ACTIVIDAD
1) Realiza la gráfica sacando los puntos a partir de cada una de las
siguientes funciones:
a) 22
3xy
b) 32xy
c) xy52
d) 32
5xy
e) y= -5x+3
2) Determina la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes
rectas:
a) y = 2x
b) y = x + 2
c) 2x – y = 4
d) y = -x
e) 2x + 3y – 4 = 0
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
26 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
26
f) 2y – x = 6
g) y = -2
h) y = 4
3) Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) (2, 1) y (3, 2)
b) (-2, 6) y (5, -8)
c) (-1, -4) y (2, 8)
d) 2,2
1 y
3
1,1
e) 3
2,
4
3 y
2
1,
4
1
Raíz o Cero de la función
La raíz o cero de una función es el punto dónde la recta corta el eje x,
es decir, el punto donde la ordenada y vale cero. El procedimiento
adecuado para hallar el cero de la función lo veremos por medio del
siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Aprendamos algo
nuevo
27 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
27
La función que describió la ley “demanda de las rasuradoras eléctricas”
fue:
y = x2
1+ 30
¿Para qué cantidad x el precio de la demanda se anula?
Continuando con el ejercicio, entendemos que pregunta para qué valor,
x, de las rasuradora eléctricas es, y, el precio de demanda igual a 0.
Reemplazando a y por 0 en la expresión de la ecuación de la recta
y = x2
1+ 30 es:
y = x2
1+ 30
0 = -2
1 x + 30
Con lo cual nos queda una ecuación de una incógnita a descubrir.
Despejando x:
0 – 30 = x2
1
-30 = x2
1
x
2
1
30
60 = x
Para una cantidad de 60 rasuradoras, el precio por unidad será 0. En la
gráfica significa que la recta pasa por el par ordenado (60; 0). En otras
palabras, la recta corta al eje x en 60.
28 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
28
ACTIVIDAD
En tu cuaderno debes hallar los ceros o puntos de intersección de las
siguientes funciones con el eje x, luego grafícalas y saca una tabla de
valores para cada una de ellas.
a) Y=8x+4
b) Y= 3x+2
c) Y=x
d) Y= -x
e) Y= - 2x-2
f) (2, 1) y (3, 2)
g) (-2, 6) y (5, -8)
h) (-1, -4) y (2, 8)
i) 2,2
1 y
3
1,1
j) 3
2,
4
3 y
2
1,
4
1
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NUESTRO APRENDIZAJE
29 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
29
Grafico de la recta por ordenada y ceros de la función.
Para graficar la recta por la ordenada y ceros de la función,
sencillamente es necesario localizar los dos puntos a los que estamos
haciendo referencia: al punto (0,b) y el punto (c,0) siendo c el valor del
punto que corta el eje x.
Ejemplo:
Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función
que expresa el costo total anual, y, en función de la cantidad de
unidades producidas, x. Los contadores indican que los gastos fijos
cada año son de $ 54.000. También han estimado que los costos de
materias primas por cada unidad producida ascienden a $ 5.50 y que los
de mano de obra son de $ 1.50 en el departamento de montaje por cada
unidad, $ 0.75 en el cuarto de acabado por cada unidad y $ 1.25 en el
departamento de empaque y embarque por unidad.
X es la cantidad de productos elaborados, o unidades fabricadas.
Y es el costo total de la empresa
La función costo total será el resultado de sumar los costos fijos
a los costos variables por las unidades producidas. Los costos fijos
son los que posee una empresa aunque no haya producción, esté
parada. Por ejemplo, el gasto de alquiler, impuesto inmobiliario, etc. En
contraposición, los costos variables, son costos que fluctúan
dependiendo de la cantidad fabricada. En el caso de la situación, los
costos variables constan de dos componentes: los costos de materias
Aprendamos algo
nuevo
30 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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30
primas y los de mano de obra. Los costos por mano de obra se calculan
al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres
departamentos. Entonces, el costo total se define por medio de la
función:
COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLE + COSTOS FIJO
Y = (Costo materia prima + Costo Mano Obra Montaje + Costo Mano
Obra acabado + Costo Mano Obra embarque) + Costo fijo
y = (5,50 x + 1,50 x + 0,75 x + 1,25 x) + 54000
y = 9 x + 54000
El 9 es la pendiente de la recta, representa el costo por unidad
fabricada.
Los 54000 es la ordenada al origen o intercepto, representa el costo fijo.
Al marcar la ordenada al origen sobre el eje y vemos que es necesario
decidir qué escala es la adecuada. Tomemos 1cm: $9000. ¿Y para el eje
x, cuál será la adecuada?
Busquemos el valor de x por el cual y es 0, o sea, el cero de la función:
Y = 9 x + 54000
0 = 9 x + 54000
0 – 54000 = 9 x
-54000 = 9 x
-54000/9 = x
-6000 = x
Marquemos el eje x con la escala 1cm: 1000 unidades.
Para graficar por ordenada y pendiente necesitamos las escalas en los
ejes de 1 en 1. Este no es el caso.
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31
Hacemos los siguiente: marcamos en el sistema de ejes coordenados los
puntos (0; 54000) y (-6000; 0). Luego trazamos la recta que atraviese
esos dos puntos.
ACTIVIDAD
10) Grafica la función costo con lápiz negro, según el procedimiento
descrito.
Interpretemos esta gráfica. Nos ha quedado un trazado de la recta a la
izquierda del eje y, y otro a la derecha. Por ejemplo, ha quedado el par
ordenado (-6000; 0) o el (-5000; 9000) o (-4000; 18000) o (-1000;
45000) como pertenecientes a la recta y a la solución de la situación. En
los casos mencionados los valores de x son negativos. Estaríamos
diciendo que para una fabricación de -5000 unidades tuvimos un costo
de $9000. Pero -5000 unidades es una cantidad por debajo de 0, es
decir ¡no fabriqué! Una empresa fabrica o no fabrica. Si no fabrica - la
variable x es 0 - y sólo tiene costos fijos, si además fabrica – la
variable x toma valores positivos-, y se le suma a los costos fijos, los
variables. Entonces este gráfico sólo tiene sentido para valores de
x ≥ 0. Lo que hacemos es borras la parte de la recta que está a la
izquierda del eje y.
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32
ACTIVIDAD
1) Un fabricante tiene costos fijos mensuales de $ 60.000 y un
costo de producción unitario de $ 10. El producto se vende
por $ 15 por unidad. ¿Cuál es la función de costos?
Grafique dicha función.
2) En el mercado un kilo de naranjas cuesta $1.800. Completa
la siguiente tabla sobre los precios de las naranjas según
vamos variando el peso, forma la función y halla la
pendiente y el intercepto.
Peso 1 2 3 4 1,5 0,5 2,5 3,5 3,1 0
Precio 1800
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33
Ecuación implícita de la recta.
Estudiemos este tema a partir de un ejemplo:
Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del
primer producto requiere 2 horas- máquina y cada unidad del segundo
requiere 5 horas-máquina. Hay 280 hora-máquinas disponibles cada
semana.
Si x representa las unidades del primer tipo e y unidades del segundo
tipo que se fabrican cada semana, ¿cómo será la expresión que
relaciona las incógnitas x e y con los datos 2, 5 y 280?
El total de horas-máquinas consumidas para las x unidades es:
2·x
El total de horas-máquinas consumidas para las y unidades es:
5·y
El total de horas máquinas disponibles es
280
La ecuación que relaciona x e y es: 2 x + 5 y = 280
Es una ecuación de la recta, llamada implícita; no está dada en la forma
y = k · x + b. Para transformarla a esta forma podemos comenzar por
despejar y.
2 x + 5 y = 280 => 5 y = 280 – 2 x
+
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34 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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34
=> y = 565
2
5
256
5
2
5
280
5
2280xxx
x
La ecuación de la recta 565
2xy expresa la cantidad de unidades del
segundo tipo en función de la cantidad de unidades del primer tipo.
ACTIVIDAD
1) Según el ejemplo anterior responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa?
b. ¿Cuántas unidades del segundo producto pueden fabricarse si
se producen 40 unidades del primero cada semana?
c. Interpreta el par ordenado (0; 56).
d. Calcula el cero de la función. Interpreta dicho resultado.
e. Grafica la recta sin hacer tabla. Usa alguno de los dos
procedimientos descriptos.
2) ¿Para qué valores de x tiene sentido esta recta? ¿Por qué?
3) La compañía FACA fabrica productos X e Y. Cada unidad de X
requiere 3 horas-trabajo y cada unidad de Y requiere 4 horas-
trabajo. Hay 120 horas- trabajo disponible cada día.
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35
a) Si x unidades de X e y unidades de Y se fabrican al día y se
emplean todas las horas de trabajo, encuentre la relación entre
x e y.
b) Grafique.
c) De la interpretación física de la pendiente de la relación lineal
obtenida.
d) ¿Cuántas unidades de x pueden fabricarse en un día si se
producen 15 unidades de Y en el mismo día?
e) ¿Cuántas unidades de Y pueden producirse en un día si se
fabrican 16 unidades de X en el mismo día?
4) Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $500
aumente su valor a una razón constante de $50 por año durante los
próximos 5 años.
a) Escriba la ecuación que prediga el valor de de la obra de arte en
los próximos cinco años.
b) ¿Cuál será su valor tres años después de la fecha de adquisición?
5) Supongamos que se ha aceptado un empleo como vendedor. El
patrón ha dicho que el sueldo dependerá del número de unidades
que venda a la semana. La variable y es el sueldo semanal; x, el
número de unidades vendidas a la semana; y, la ecuación del sueldo
es: y = 3x + 25:
a) ¿Cuánto es la pendiente?
b) ¿Cuánto es la ordenada?
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36
c) Confecciona una tabla
d) Grafica
e) ¿Qué representa la pendiente en el contexto de esta situación? Es
decir, ¿cómo se interpreta?, ¿qué significado tiene?
f) ¿Qué representa la ordenada al origen? Es decir, ¿cómo se
interpreta?
Función cuadrática
La función cuadrática no es mas que una función polinómica de grado
dos; ésta tiene la forma f(x)=ax2+bx+c con a,b y c є R y a≠0.
Expresiones como y=f(x)=5x2, y=f(x)=7x2 + 8, y=f(x)= 7x2 + 8x +8
son ejemplos de funciones cuadráticas.
La función cuadrática más simple es y=f(x)= x2, si evaluamos esta
función con algunos valores tendremos lo siguientes datos:
x Y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
Cuya grafica correspondiente es:
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nuevo
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37
ACTIVIDAD
En tu cuaderno toma cada una de las siguientes funciones cuadráticas y
evalúalas haciendo una tabla con números naturales, luego traza la
gráfica según lo visto en el ejemplo anterior y escribe un comentario
describiendo que diferencias ves en cada una de ellas respecto a la
función y=f(x)= x2.
.
1) y=f(x)= 2x2
,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
0 1 2 3 4 5 6 7
y
y
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38
2) y=f(x)= x2/2
3) y=f(x)=-x2
4) y=f(x)=-x2+5
5) y=f(x)=-x2-5
6) y=f(x)= 2x2 + 5
7) y=f(x)= 2x2 - 5
Estas graficas que realizaste se llaman semiparábolas, pero si a la
función le damos valores de enteros positivos y negativos también,
tendremos que:
x y
-6 36
-5 25
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
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39
6 36
Y si vemos ahora la gráfica correspondiente sería:
Esta gráfica recibe el nombre de parábola y es la representación gráfica
de la función cuadrática.
Elementos de la parábola:
En toda parábola se distinguen los siguientes elementos:
Abertura: Está determinada por el signo de “a” (el coeficiente de
x2); si a<0 la parábola abre hacia abajo pero si a>0 entonces la
parábola abre hacia arriba.
Vértice: es el punto v= (h,k) donde h= y k= f( si la parábola
abre hacia abajo, el vértice es el valor máximo; si la parábola abre
hacia arriba, es el valor mínimo.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series1
40 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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40
Eje de simetría: es la recta que pasa por el vértice y es paralela al
eje y. recibe el nombre pues al doblar el plano por esta recta los dos
brazos de la parábola coinciden en todos sus puntos.
Y-intersecto. Es el punto (0,c); dicho valor se halla al reemplazar x
por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c.
X-intersecto. Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y se
hallan al sustituir y o f(x) por 0 en la expresión Y=f(x)=ax2+bx+c.
ACTIVIDAD
Graficar las siguientes parábolas y señalar sus elementos.
1) y=f(x)= 2x2
2) y=f(x)= x2/2
3) y=f(x)=-x2
4) y=f(x)=-x2+5
5) y=f(x)=-x2-5
6) y=f(x)= 2x2 + 5
7) y=f(x)= 2x2 – 5
8) y=f(x)= 3x2+ 3x - 2
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41
Ceros, raíces o soluciones de la función cuadrática:
Las raíces o ceros de una función cuadrática son los puntos donde la
gráfica de la función corta el eje x, se representan tres casos.
1) La gráfica de la función corta al eje x en un solo punto. En este
caso, se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en
el vértice. Para lograr que la función tenga una sola raíz real es
necesario que la función se desplace por el eje x partiendo de la
función original y=f(x)=x2 para esto solo tenemos que sumar o
restar un número real cualquiera c de tal manera que al sumarlo
(y=f(x)=(x+c)2), la gráfica se desplazará a la izquierda c veces y
al restarlo (y=f(x)=(x-c)2) la grafica se desplazará a la derecha c
veces.
Ejemplo:
Dada la función y=f(x)=(x+3)2 Podemos apreciar que su vértice se
desplazó tres unidades a la izquierda del punto cero.
Y realizando los respectivos cálculos podremos comprobar que el
vértice queda en el punto (0,-3).
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42
2) La gráfica de la función corta al eje x en dos puntos, en este caso se
dice que la función tiene dos raíces reales diferentes.
Para conseguir esto debemos partir de la función cuadrática mas
simple y=f(x)=x2 y sumarle un valor cualquiera c si la función tiene
abertura hacia abajo (y=f(x)=-x2 + c) haciendo que se desplace
hacia arriba c veces y restarlo si la función tiene abertura hacia
arriba (y=f(x)=x2 – c) haciendo que se desplace hacia abajo c
veces.
Ejemplo:
Dada la función y=f(x)=x2+20
Podemos observar que la gráfica de la función se desplaza veinte
unidades hacia arriba en el eje y, pero si en vez de sumarle 20
unidades se las restáramos, entonces la función no se desplazaría
hacia arriba sino hacia abajo.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-15 -10 -5 0 5 10
y
y
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43
3) La grafica de la función no corta al eje x, en cuyo caso se dice que la
función no tiene solución real. Es decir, sus raíces son números
complejos.
Para lograr esta gráfica tenemos una combinación de las dos anteriores,
por lo que esta función es: y=f(x)=(x-5)2+20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-5 0 5 10 15
y
y
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44
ACTIVIDAD
En tu cuaderno determina hacia dónde abre la parábola, el vértice y los
puntos de corte con el eje x de las funciones dadas, además intenta
graficarlas sin hacer una tabla siguiendo las pautas estudiadas
recientemente:
1) y=(x-5)2
2) y=(x+5)2
3) y=(x-9)2
4) y=(x+9)2
5) y= 5x2 + 3x
1)
1) Hallar la ecuación de una recta que corta el eje de ordenadas en el punto
A( 0, 1), y cuya pendiente es -2
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RECOLECTEMOS LO
SEMBRADO
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45
2) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto M(1, -1), y que
corta el eje x en el punto de coordenadas (2
3 , 0)
3) Las rectas “a” y “b” pasan por los puntos de coordenadas ( -1, 4) , y
( 1, -1), respectivamente. Ambas rectas se cortan en el punto P(2 ,1).
Hallar las ecuaciones de dichas rectas y la pendiente de cada una.
Determinar a cuál de las dos rectas pertenece el punto de coordenadas
(3, 2)
4) Una recta “r” pasa por los puntos ( -1, 1) y (1 , 3) Hallar la ecuación
de las rectas “m” y “p” sabiendo que:
i) la recta “m” es paralela a “r” y pasa por el origen
ii) la recta “p” es paralela a “r” y pasa por el punto M (3, 5)
5) Sean un par de ejes coordenados y tres puntos A(-2, 1) , B(1, 5) , C( 4, 3) ,
que son vértices de un triángulo, SE PIDE: Hallar las ecuaciones de las
rectas que contienen los lados del triángulo, graficar una recta que corta los
ejes coordenados en los puntos P( -3, 0) , y Q( 0, 4) y establecer la ecuación
de la misma.
6) Sea la función f(x) = 2x - 1 SE PIDE:
i) hallar su raíz ii) Hallar f(0) iii) Hallar la imagen de -3 en dicha
función
iv) graficarla y determinar si el punto N( 2, 4) pertenece a dicho gráfico
7) Para cada uno de los casos siguientes, hallar la expresión algebraica de una
función lineal “f” sabiendo que su gráfico es una recta tal que:
i) Tiene una pendiente 8, y la ordenada en el origen es -3
ii) pasa por el origen, y el punto A(2, -4) pertenece a dicho gráfico
iii) Es paralela a la recta de ecuación y= -2x + 1 y pasa por el punto
(2, 2)
46 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
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46
8) Determinar la expresión algebraica de la función f(x) sabiendo que su gráfico
es una paralela a la recta de ecuación y = 4x + 3, y pasa por el punto (1,
5)
12) La entrada para un espectáculo deportivo cuesta $ 15.000. Por la
televisación de dicho evento se recaudan $ 40.000.000. Establecer la
expresión algebraica de la función que representa la recaudación total obtenida
y determinar cuántas entradas se deben vender para que dicha recaudación
total ascienda a $ 115.000.000
13) Un vendedor percibe un sueldo mensual de $500.000, y $ 3.000 de comisión
por cada artículo que vende. Determinar la expresión algebraica de la función
que representa el ingreso mensual total que percibe dicho vendedor, y cuántos
artículos debe vender para que dicho ingreso sea de $ 1.500.000
14) Determinar para qué valores de “x” las funciones f(x) = 2 x + 3 y g(x) =
-x + 2 son simultáneamente positivas.
15) Sea f(x) = mx + p; Determinar la expresión algebraica de la función sabiendo
que su gráfico pasa por el punto (3, -3), y corta el eje vertical en el punto
(0, 3)
16) Determina las coordenadas del vértice, la abertura, los interceptos con
los ejes coordenados y las graficas de las siguientes funciones
cuadráticas.
a) y2 =12x b) y2 = -4x c) x2 = 8y d) (x - 3)2 = 16y