Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

–1

RRRR

0 1 21/2–2

Sucesivas ampliaciones del concepto de número

–1–2

QQ

QQ

0 1 2–1–2 1/2

2

0 1 2ZZ

ZZ

NN NN

0 1 2

1

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

• • • • • • ••–1 0 1 2 3 4 5 6

Primera aproximación:

Segunda aproximación: • •• • • • • • • • •1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

• •• • • • • • • • •1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5

Tercera aproximación:

Y así sucesivamente…

Aproximaciones sucesivas para

obtener

está entre 1 y 22

está entre 1,4 y 1,52

está entre 1,41 y 1,422

2

2

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales Representación de números reales:

irracionales

2

O

1 u.

1 u.

2

2

1 u.

3

3

Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta

3

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales Representación de números reales:

irracionales

1

1

1

1

1

1

2

2 3 5

1

2

16

1

3

10 5

2

4

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales Representación de números reales:

irracionales

8 2

2

1

2

5

16

1

7

5

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

1 u.

O U

1 u.

1 u.1 u.

1 u.1 u.

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Representación de números reales:

racionales

6

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

2 Por defecto 1,4142…. 3,1415…Por exceso 1,4143… 3,1415…

Dos números reales

Suma2 2 + Error

Por defecto 1,4142…. 3,1415… 4,5557Por exceso 1,4143… 3,1415… 4,5559

0,002

Producto2 2 . Error

Por defecto 1,4142…. 3,1415… 4,44270930Por exceso 1,4143… 3,1415… 4,44316488

0,0004558

Operaciones con números reales

Dos cifras decimales exactas

Tres cifras decimales exactas

8

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

|a| = a si a 0 – a si a < 0

Significado del valor absoluto

A

a

B

bLongitud del segmento AB = |a – b| = |b – a|

Valor absoluto

9

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

• Intervalo abierto por la derecha: [a, b) = {xR / a x < b}

a b

• Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] = {xR / a < x b}

a b

El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no.

El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

Intervalos abiertos por

un lado

10

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales Intervalo abierto y

cerrado

• Intervalo abierto: (a, b) = {xR / a < x < b}

a b

Los extremos no pertenecen al conjunto

• Intervalo cerrado: [a, b] = {xR / a x b}

a b

Los extremos sí pertenecen al conjunto11

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

P1 Producto de potencias de la misma base

P2 Cociente de potencias de la misma base

P3 Potencia de una potencia

P4 Producto de potencias del mismo exponente

P5 Cociente de potencias del mismo exponente

am . an = am+n

am : an = am–n

(am)n = am.n

am . bm = (a.b)m

am : bm = (a : b)m

Propiedades de las potencias

12

Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Números reales

R1 Producto de radicales

R2 Cociente de radicales

R3 Potencia de un radical

R4 Raíz de un radical

a b = a b

ab =

ab

( a)3 = a3

3a =

6a

Operando con números radicales

13

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BACHILLERATO

Números reales

L1 Logaritmo de un producto.

L2 Logaritmo de un cociente

L3 Logaritmo de una potencia.

Cambio de base

log (A . B) = log A + log B

log (A : B) = log A – log B

log An = n log A

loga M = (log M)/(log a)

Propiedades de los

logaritmos

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BACHILLERATO

Números reales

Producto de números reales• C5 Propiedad asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)• C6 Elemento neutro: a . 1 = 1 . a = a• C7 Elemento inverso, para a no nulo: a . a–1 = a–1 . a = 1• C8 Propiedad conmutativa.: a . b = b . a

Suma de números reales• C1 Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)• C2 Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a• C3 Elemento opuesto: a + (–a) = (–a) + a = 0• C4 Propiedad conmutativa: a + b = b + a

El cuerpo conmutativo de los números reales

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. • C9 a . (b + c) = a . b + a . c

15