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TEMA:
“Hipérbola”
OBJETIVOS:Identificar cada uno de los elementos de la hipérbola para poder resolver ejercicios de
aplicación.
Aprender y aplicar correctamente las fórmulas que corresponden a la hipérbola para
obtener los resultados deseados.
DESARROLLO:
Según (Castro, 2014) afirma que “La hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante.”
1. Elementos de la hipérbola:
Focos: Son los puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0).
Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
Semieje real: a
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Semieje imaginario: b
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
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Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el
eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario
con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
A (a, 0) ; A’ (-a,0) B (0, b); B’ (0,-b)
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.(Armendariz, 2010)
Ejercicio:
Dada la hipérbola de ecuación x2-9y
2=9, calcula sus elementos
Solución:
9−
= 1
a=3, b=1, c=√ 32
+ 12
= √ 10 e =
=
√
Focos: F (√ 10,0) y F’ (-√ 10,0)
Vértices: A (3,0); A’ (-3,0) B (0,1) y B’ (0,-1)
2. Relación Fundamental
Por definición, la diferencia de distancias PF’ – PF es constante para cualquier punto P
de la hipérbola. En particular, esta propiedad también se verifica para el punto A. Por lo
tanto
PF’ – PF = AF’ – AF = AF’ – F’A’ = AA’ = 2a
c2 = a
2+ b
2
3. Asíntotas
Son las rectas r y r’ que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan o
se alejan las ramas de la misma.
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R : =
x r ’: = −
x
4. Excentricidad
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la
hipérbola.
=
Si e = 0, se trata de una circunferencia.
Si e = 1, se trata de una parábola.
Si 0 < e < 1, se trata de una elipse.
Si e > 1, se trata de una hipérbola.
5. Ecuaciones:
Ecuación reducida:
2
2−
2
2= 1
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Ecuación en otros casos.
Hipérbola con los focos en el eje de ordenadas.
2
2 − 2
2 = 1
Hipérbola centrada fuera del origen.
(−ℎ)2
2+
(−)2
2= 1
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Ejercicios:
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas.
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Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y
la excentricidad de las siguientes hipérbolas:
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(Armendariz, 2010)
Bibliografía
Armendariz, L. (15 de Enero de 2010). Geoan. Obtenido de Geoan:
http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_hiperbola.html
Castro, L. (2014). Matemática. Quito: El telégrafo.
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