ESCUELA:

Matemticas

Ingeniera Civil

PROFESOR:

FECHA:

Ing. Belizario Zrate Torres

OCTUBRE - 2010

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Contenido SISTEMAS LINEALES y MATRICES

a) Sistemas lineales y su solucinb) Matrices, clases y operaciones con matricesc) Matriz aumentadad) Matriz Escalonadae) Eliminacin Gaussianaf) Matriz Inversag) Eliminacin Gauss JordanEjercicios.

SISTEMAS LINEALES y MATRICESa) Sistemas lineales y su solucinb) Matrices, clases y operaciones con matricesc) Matriz aumentadad) Matriz Escalonadae) Eliminacin Gaussianaf) Matriz Inversag) Eliminacin Gauss JordanEjercicios.

SISTEMAS LINEALES Un sistema de ecuaciones es la reuninde dos o ms ecuaciones con dos o msincgnitas

Un sistema de ecuaciones es la reuninde dos o ms ecuaciones con dos o msincgnitas

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SOLUCIN DE UN SISTEMA La solucin de un sistema deecuaciones es un grupo de valores delas incgnitas que satisface todas lasecuaciones del sistema

La solucin de un sistema deecuaciones es un grupo de valores delas incgnitas que satisface todas lasecuaciones del sistema

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Ejercicios Verificar si los valores de x e ysatisfacen los sistemas de ecuaciones:

-3y-2x

13472194

xyyx

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-3y-2x

13472194

xyyx

1/3y1/2x

11588910

yxyx

SISTEMA

COMPATIBLE INCOMPATIBLE

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TIENESOLUCIN

NO TIENESOLUCIN

SISTEMA

Determinado tieneuna sola solucin

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COMPATIBLE

Determinado tieneuna sola solucin

Indeterminado tiene mas de unasolucin

Resolucin de S. Lineales

Cuales son los mtodos para resolversistemas lineales?

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Mtodo de adicin y sustraccin Mtodo de sustitucin Mtodo grfico Mtodo de los determinantes

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Mtodo de adicin y sustraccin Mtodo de sustitucin Mtodo grfico Mtodo de los determinantes

Mtodo de adicin ysustraccin (reduccin)

Consiste en escoger una ecuacin comobase y una incgnita a ser eliminadapar reducir el orden de la ecuacin enuna unidad.

Al final se llega a una ecuacin con unaincgnita

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Consiste en escoger una ecuacin comobase y una incgnita a ser eliminadapar reducir el orden de la ecuacin enuna unidad.

Al final se llega a una ecuacin con unaincgnita

Ejemplo Resolver el siguiente sistema:

7651034

yxyx

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7651034

yxyx

Se debe escoger una de las dosvariables y hacer que sus coeficientessean iguales. En el ejemploescogeremos la variable y.

Se debe escoger una de las dosvariables y hacer que sus coeficientessean iguales. En el ejemploescogeremos la variable y.

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7651034

yxyx

Para lograr eliminar la variable y, sedebe multiplicar la primera ecuacinpor 2

Para lograr eliminar la variable y, sedebe multiplicar la primera ecuacinpor 2

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765(2)1034

yxyx

7652068

yxyx

Al multiplicar la primera ec. Por 2 selogra que la variable y tenga losmismos coeficientes.

Al multiplicar la primera ec. Por 2 selogra que la variable y tenga losmismos coeficientes.

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7652068

yxyx

Al sumar la 1ra y la 2da ecuacin setiene:

7652068

yxyx

15

7652068

yxyx

11313

1313

x

x

x

Para hallar el valor de y, se sustituyeel valor de x en cualquiera de las dosecuaciones.

Para hallar el valor de y, se sustituyeel valor de x en cualquiera de las dosecuaciones.

1623663

4103103)1(4

y

y

yy

y

Realice los siguientesejercicios

342570761157

1932

xyyx

yxyx

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342570761157

1932

xyyx

yxyx

Mtodo de sustitucin Se basa en despejar una de lasincgnitas y sustituirla en la siguienteecuacin logrando obtener unaecuacin con una sola incgnita.

Se basa en despejar una de lasincgnitas y sustituirla en la siguienteecuacin logrando obtener unaecuacin con una sola incgnita.

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Ejemplo Resolver por el M. de sustitucin

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Se despeja una de las incgnitas

Se sustituye en la siguiente ecuacin

Se despeja una de las incgnitas

Se sustituye en la siguiente ecuacin

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Se resuelve la ecuacin y se obtiene laprimera solucin.

Finalmente el valor calculado se loremplaza en una de las ecuaciones

Se resuelve la ecuacin y se obtiene laprimera solucin.

Finalmente el valor calculado se loremplaza en una de las ecuaciones

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Matrices Una matriz es una tabla cuadrada orectangular de datos (llamadoselementos o entradas de la matriz)ordenados en filas y columnas, dondeuna fila es cada una de las lneashorizontales de la matriz y unacolumna es cada una de las lneasverticales

Una matriz es una tabla cuadrada orectangular de datos (llamadoselementos o entradas de la matriz)ordenados en filas y columnas, dondeuna fila es cada una de las lneashorizontales de la matriz y unacolumna es cada una de las lneasverticales

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Operaciones con matrices Suma de matrices Dadas las matrices m-por-n ,A y B, susuma A + B es la matriz m-por-ncalculada sumando los elementoscorrespondientes (i.e. (A + B)[i, j] =A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cadauno de los elementos homlogos de lasmatrices a sumar.

Suma de matrices Dadas las matrices m-por-n ,A y B, susuma A + B es la matriz m-por-ncalculada sumando los elementoscorrespondientes (i.e. (A + B)[i, j] =A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cadauno de los elementos homlogos de lasmatrices a sumar.

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Propiedades de la adicion Asociativa Dadas las matrices mn A, B y C A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa Dadas las matrices mn A y B

A + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta con gr-A =

[-aij] A + (-A) = 0

Asociativa Dadas las matrices mn A, B y C A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa Dadas las matrices mn A y B

A + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta con gr-A =

[-aij] A + (-A) = 0

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Ejemplo

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Producto escalar Dada una matriz A y un escalar c, suproducto cA se calcula multiplicandoel escalar por cada elemento de A (i.e.(cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Dada una matriz A y un escalar c, suproducto cA se calcula multiplicandoel escalar por cada elemento de A (i.e.(cA)[i, j] = cA[i, j] ).

27

Propiedades Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar,entonces cA es matriz.

Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1A = A Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB De matriz: (c+d)A = cA+dA

Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar,entonces cA es matriz.

Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1A = A Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB De matriz: (c+d)A = cA+dA

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Ejemplo

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Producto de matrices El producto de dos matrices se puededefinir slo si el nmero de columnasde la matriz izquierda es el mismo queel nmero de filas de la matriz derecha

El producto de dos matrices se puededefinir slo si el nmero de columnasde la matriz izquierda es el mismo queel nmero de filas de la matriz derecha

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Propiedades Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si

A.B = 0 , No necesariamente A B son matrices nulas El producto de matrices no verifica la propiedad de

simplificacin: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo,

es decir, AB BA.

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si

A.B = 0 , No necesariamente A B son matrices nulas El producto de matrices no verifica la propiedad de

simplificacin: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo,

es decir, AB BA.

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Ejemplo

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Matriz aumentada En lgebra lineal, se utiliza la matrizaumentada para representar loscoeficientes as como las constantes decada ecuacin

En lgebra lineal, se utiliza la matrizaumentada para representar loscoeficientes as como las constantes decada ecuacin

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Matriz escalonada Es aquella que tiene como primerelemento diferente de 0 de cadarengln el elemento unidad (1) y loselementos debajo de este deben ser 0

Es aquella que tiene como primerelemento diferente de 0 de cadarengln el elemento unidad (1) y loselementos debajo de este deben ser 0

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