Matematicas+IV+Patricia+Ibanez

Matemáticas IVSegunda edición

Cuarto semestre

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres

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Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Matemáticas IV

Patricia Ibáñez CarrascoGerardo García Torres

Segunda edición

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Datos para catalogación bibliográfi ca:

Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres

Matemáticas IV, Segunda ediciónISBN: 978-607-481-725-6

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Matemáticas IV Segunda ediciónPatricia Ibáñez Carrasco/

Gerardo García Torres

Presidente de Cengage LearningLatinoamérica:Fernando Valenzuela Migoya

Gerente editorial para Latinoamérica:Patricia La Rosa

Gerente de procesos para Latinoamérica:Claudia Islas Licona

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Editores: Pablo Miguel Guerrero

Timoteo Eliosa García

Diseño de portada: Estudio 2.0

Imagen de portada: Dreamstime

Composición tipográfi ca:Ediciones OVA

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Presentación institucional v

Presentación institucional xii

Presentación xviii

Bloque I.Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones 2

“En dónde se usa” 4

Para agilizar tu cerebro 5

Mi competencia inicial 6

Problemas integradores 7

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones: Enuncia las características de una relación y de una función 9Identifi ca el dominio y el rango de una función 18Representa y resuelve funciones de formas distintas y equivalentes 26Clasifi ca las funciones como: • Algebraicas y trascendentales • Continuas y discontinuas • Uno-uno, sobre y biunívocas 34Resuelve operaciones con funciones 39

Mi competencia fi nal 45

Evaluación de las competencias 46

Carrera a la universidad 51

Contenido general

v

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vi Matemáticas IV

Bloque II.Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráfi cas 54





Reconoce las características de funciones que son inversas de otras 61Describe en forma geométrica y algebraica la inversa de una función 62Reconoce las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas 67Aplica translaciones verticales y horizontales o refl exiones sobre los ejes o sobre la recta x = y, a gráfi cas de funciones 73




Bloque III.Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 90





Caracteriza las funciones polinomiales en una variable 97Describe las características algebraicas y gráfi cas de las funciones polinomiales de grado cero 102Defi ne las funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales 105

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Defi ne las funciones polinomiales de grado dos y las particularidades de los modelos cuadráticos 119




Bloque IV.Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro 150





Caracteriza el comportamiento general, algebraico y gráfi co, de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro 157Soluciona ecuaciones factorizables 167




Bloque V.Utilizas funciones factorizablesen la resolución de problemas 178





Obtiene el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x – a, valiéndose del teorema del residuo 185

Contenido general vii

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viii Matemáticas IV

Identifi ca si un binomio de la forma x – a, es factor de un polinomio, valiéndose del teorema del factor 189Comprende el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x – a 192Describe la prueba del cero racional y defi ne los teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal. Además reconoce los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables 195




Bloque VI.Aplicas funciones racionales 210





Defi ne los componentes polinomiales de una función racional 217Identifi ca las posibles asíntotas de funciones racionales (horizontales, verticales, oblicuas) 222




Bloque VII.Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas 244





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Contenido general ix

Identifi ca la forma de las funciones exponenciales (crecientes, decrecientes) 251Variación exponencial 258Tasa y factor de crecimiento 259Reconoce la función exponencial natural (número e, crecimiento o decrecimiento en base e) 261Interpreta algebraica y gráfi camente a la función logarítmica como la inversa de la función exponencial 266Identifi ca las propiedades de los logaritmos (inherentes a su defi nición, operativas) 270Comprende las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 273




Bloque VIII.Aplicas funciones periódicas 286





Comprende las funciones senoidales: y = A sen Bx + C y = A cos Bx + C 293Defi ne la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal 298Reconoce e interpreta la gráfi ca de una función senoidal 305




Soluciones a los problemas integradores 319

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00-matematicas_prel.indd xviii 24/11/11 13:12:43

Matemáticas IV

Bloque I Mate IV.indd Sec1:1 24/11/11 13:10:22

Objetos de aprendizaje

B L O Q U E I

Unidades de competencia:1. Construye e interpreta modelos algebraicos y gráfi cos, aplicando relaciones funcionales

entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

2. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

3. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Funciones

Relaciones

Dominio

Contradominio

Imagen

Regla de correspondencia


Competencias a desarrollar:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos

que persigue.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

4. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales.

5. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de

situaciones reales hipotéticas o formales.

6. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

7. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

8. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para

determinar o estimar su comportamiento.

9. Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del

espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

10. Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.


4 Matemáticas IV

“En dónde se usa”

Las funciones tienen su aplicación prácticamente en to-dos los ámbitos de nuestra vida, quizá no te hayas dado cuenta pero todo en nuestra realidad está en relación o en función a otra cosa.

Por ejemplo, piensa en la lluvia, ésta se encuentra en función de la cantidad de evaporación que exista en la atmósfera. Ahora imaginemos a las flores de prima-vera que están en función de la cantidad de lluvia y así sucesivamente. Pero no sólo se encuentran ahí las fun-ciones; podemos hablar también de la cantidad de gusto que tienes por las matemáticas que está en función de los maestros que has tenido anteriormente. Una tarde de cine con los amigos depende del permiso de tus pa-dres. El tiempo que tengas para dormir dependerá de la cantidad de trabajo que tienes en la escuela, etc.

Si te fijas puedes encontrar infinidad de ejemplos, ya sea en la naturaleza o en la vida de la gran urbe, todo está siempre en relación a algo o a alguien. Empecemos con el estudio de las funciones y hagamos de éstas nues-tras mejores aliadas en el uso de las matemáticas.

Las relaciones son el primer paso para introducirte a las funciones. Si entiendes lo que implica una relación entonces no tendrás problemas para diferenciar aquellas relaciones que son funciones, pues esa es una premisa fundamental, todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Así como lo oyes, te encontrarás con infinidad de relaciones, pero sólo una parte de ellas son funciones.

BA

a

b

c

d

e

f

1

2

3

5

7

9

15

f

En esta unidad aprenderás qué es una relación, cómo se denota y cuáles son los elementos que se encuentran íntimamente ligados a cada uno de ellos, además también sabrás diferenciar aquellas relaciones que al final de cuentas son funciones y cuáles son las características que las hacen tan especiales.

PrecipitaciónCondensación

Evaporación


Para agilizar tu cerebro

1. La reina Victoria de Inglaterra guarda sus joyas más preciadas en un joyero en forma de caja con tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay una serpiente viva cuya mordedura es letal. Un día, una persona de la servidumbre se quedó sola durante unos pocos minutos en la estancia donde es-taban las joyas, y fue capaz de robar unos cuantos diamantes de enorme valor, sin sacar la serpiente de la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada para protegerse las manos. Empleó tan sólo unos cuantos segundos en el robo. Cuando el sirviente salió de la habitación, el joyero en forma de caja y la serpiente se encontraban exactamente en el mismo estado que antes, salvo por los diamantes robados. ¿De qué ingenioso método se valió el sirviente?

2. Dana, una exitosa empresaria, salió en un viaje de negocios relámpago. Queriendo sorprender a su pa-dre, un afamado maestro de matemáticas, lo llama por teléfono preguntándole: ¿Papá dónde crees que estoy en Canadá o en Argentina? Su padre astuta-mente le pide que valla al lavamanos y abra la llave y que le diga en qué sentido gira el agua. Con esta respuesta el maestro supo dónde estaba. ¿Por qué crees que lo adivina?

3. Un preso intenta escapar de una prisión en las Islas Marías por la ventana de una torre que está a 50 metros de altura. Sólo dispone de una cuerda muy resistente de aproximadamente 25 metros. Si ata la cuerda a los barrotes de la ventana, se desliza 25 metros y después salta los restantes 25 metros se haría puré. Entonces, dividió la cuerda en dos, hizo un nudo con ambas mitades y consiguió su propó-sito. ¿Cómo crees que lo pudo hacer?

4. El profesor de Física pretende medir el tiempo de caída de un pequeño objeto, soltándolo libremente desde un elevador de la Torre Latinoamericana que se mueve hacia arriba. A la altura del quinto piso y tras dejarlo caer, el pequeño objeto queda flotando a unos cuantos centímetros del profesor. ¿Cuál fue la explicación que encontró el profesor para tan ex-traordinario suceso?

5. Miguel Ángel, después de escribir en una hoja de pa-pel una larga fila de cifras (40 o 50) dice que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y, en efecto lo hace, a pesar de que en la sucesión de cifras no se nota ninguna regularidad, ni tampoco mira el papel. ¿Cómo puede hacer esto?


6 Matemáticas IV

Resuelve los siguientes problemas:

1. Si A = {2, 3, 4} y B = {–1, –2, –3, –4} calcula el producto cartesiano A × B.

2. Expresa la siguiente relación como una tabla de valores, un diagrama sagital, parejas ordenadas y una

gráfi ca: y = x2.

3. Encuentra el dominio y el rango de f (x) = 1

1x −.

4. Describe la siguiente función de acuerdo a los criterios de clasifi cación: f (x) = x

x

+ 1.

5. Dadas las funciones f (x) = x2 + 4x – 6 y g(x) = x + 2. Calcula:

a) f + g

b) f – g

c) f × g

d) f

g

e) f ° g

f ) g ° f

Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________

Lugar y Fecha:_________________________ Grupo:___________ Núm. Lista:_________

Mi competencia inicial


Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones 7

Problemas integradores

Los siguientes ejercicios están relacionados con el cálculo de límites:

1. Para f (x) = 2x2 – x, encuentra y simplifi ca:

a) f (4)

b) f (4 + h)

c) f (4 + h) – f (4)

d) f h f

h

( ) ( )4 4+

2. Para j xx

( )=3

, encuentra y simplifi ca:

a) j h j

h

( ) ( )3 3+

Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________



8 Matemáticas IV

b) j a h j a

h

( ) ( )+

3. Si f(x) = x+ 2 y g(x) = x2, calcula (g ° f ) y su dominio.

4. Sean f(x) = x2 − x y g(x) = x + 2. Encuentra las funciones compuestas:

a) (f ° g)(x)

b) (g ° f )(x) y sus dominios

5. En el Polo Norte, los osos polares se alimentan de focas y las focas de peces. Supongamos que el tamaño

de la población de osos es una función o(n) del número n de focas en su territorio, y el número de focas

es una función f(x) de la cantidad x de peces en el mar. Expresa el tamaño de la población de osos como

una función de la cantidad de focas, si

o(n) = 20 + n

100 y f (x) = x + 8



En binas, escribe todas las posibles combinaciones de las colecciones de objetos

siguientes:

a) Camisas = {Blanca, Azul, Amarilla,

Café}

Pantalones = {Negro, Azul Marino,

Marrón, Blanco}

b) A = {1, 2, 3, 4}

B = {a, b, c}

Lo que has hecho es obtener las parejas que

se forman con dos conjuntos. Esto nos lleva a una defi nición:

Un conjunto es una colección de objetos que comparten una característica.

Esta defi nición será útil a lo largo del libro. Iniciemos hablando de lo que son

las relaciones y una de las formas más comunes de representarlas: Las parejas

ordenadas o pares ordenados. Ya nos imaginamos lo que estás pensando, pero no

te alarmes, mira, te lo vamos a explicar de manera muy fácil.

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones: Enuncia las características de una relación y de una función

MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD:Thales de Mileto(640 a.C.-560 a.C.)Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

EjemploSupón que Danaé tiene 3 tipos de blusas y 4 tipos de faldas en su tienda y las

ordena enumeradas de acuerdo a las siguientes claves:

1. Blusa rosa 1. Falda verde

2. Blusa azul 2. Falda amarilla

3. Blusa blanca 3. Falda azul

4. Falda negra

Danaé se dedica a hacer combinaciones de estas prendas para ofrecerlas como

uniformes escolares. El método de Danaé consiste en formar parejas con las claves


10 Matemáticas IV

y presentarlo a las escuelas para que las pidan con esos números y en ese orden.

Se propone que el primer número identifi que la blusa y el segundo a la falda. Si

llamamos B al conjunto de las blusas y F al conjunto de las faldas, entonces:

B = {1, 2, 3} y F = {1, 2, 3, 4}

Seleccionando un elemento de cada conjunto obtenemos parejas de elementos que

indican qué blusa y qué falda se han seleccionado. Así, 2 y 1 indican blusa azul

y falda verde, 3 y 4 corresponde a blusa blanca y falda negra, 1 y 2 indican blusa

rosa y falda amarilla, etc. En total son 12 uniformes distintos.

Una forma de encontrar todas las posibles combinaciones es la siguiente:

Blusa Falda Parejas ordenadas

1 (1, 1)

2 (1, 2)

1 3 (1, 3)

4 (1, 4)

Faltarían las combinaciones de las blusas 2 y 3 con todas las faldas, eso te lo de-

jamos como ejercicio, así que, realiza la lista completa.

Esta forma de trabajar se llama Diagrama de árbol y es muy útil para encontrar

las combinaciones posibles entre dos conjuntos.

Observa que en estos pares de números el orden de los elementos es importante.

En cada uniforme, el primer número representa a la blusa y el segundo a la falda.

Estas parejas se llaman Parejas ordenadas o Pares ordenados.

Las parejas ordenadas tienen dos elementos, uno de ellos ocupa el primer lugar y otro el segundo, y si se cambian de lugar el sentido varía.

Las parejas ordenadas se representan encerrando sus elementos entre paréntesis.

Observa que si cambias los números en la blusa y la falda, no quiere decir lo

mismo, o sea, 3 y 4 quiere decir blusa blanca con falda negra, pero 4 y 3 no

tiene sentido ya que no hay una cuarta blusa. En general, las parejas ordenadas

cumplen que:

(a, b) ≠ (b, a) y

(a, b) = (b, a) si y sólo si a = b

Otra forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas entre dos conjuntos

es por medio del Producto cartesiano, procedimiento muy parecido al que em-

pleaste en el ejercicio introductorio al tema. Éste se representa A × B y se defi ne

como:



Dado un conjunto A y un conjunto B, entonces A × B es la colección de todas las relaciones (combinaciones) de los elementos de A con los elementos de B.

Observa que si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 4 elemen-

tos entonces el conjunto A × B tiene 12 que es 3 × 4 elementos, que pueden ser

representados en un plano cartesiano, colocando en el eje de las abscisas a los

elementos del primer conjunto y en el eje de las ordenadas a los elementos del

segundo conjunto; de ahí la razón de llamarlo Producto cartesiano.

RelacionesUna manera de identifi car las relaciones que se establecen entre un conjunto A en

un conjunto B es con la ayuda del producto cartesiano A × B y después toma-

mos algunas parejas, éste sin embargo casi nunca da buenos resultados, así que

decidimos que es mejor establecer un criterio de selección que permita observar

algunas propiedades en la relación.

En la mayoría de los casos, hablaremos de relaciones binarias, en donde la re-

lación se da entre dos conjuntos. Un ejemplo de tal relación ocurre en tu salón,

pongámosle el nombre E, y es la que ocurre entre alumnos y sillas, en donde un

alumno a y una silla s están “E-relacionados” si y sólo si a está sentado en s.

Diremos que E es una relación entre los conjuntos A y S (conjuntos de todos los

alumnos de tu salón y todos las sillas, respectivamente).

Lo anterior sugiere que la relación E es un conjunto de parejas ordenadas. En

nuestro caso, conocer la relación E consiste en conocer dos cosas:

1. Los dos conjuntos entre los cuales se da la relación en este caso, A y S.

2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación E.

Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación

E por sí sola nos da la información esencial de la relación. Así que convertimos a E

en el conjunto de parejas relacionadas que teníamos en mente. Esto se observa

mejor en un diagrama sagital:

E = {(a, 1), (d, 1), (b, 2), (d, 3)}

a

b

c

d

1

2

3

4

A B


12 Matemáticas IV

Observa que E es sólo una parte de todas las posibles combinaciones (producto

cartesiano) de A × B, es decir es un subconjunto de este último:

E ⊆ A × B

Veamos una relación matemática: ser el doble de…

Sea D la relación entre números reales: ser el doble de. Veamos algunas caracte-

rísticas de esta relación:

• Sabemos que para todo x, (x, x) no pertenece a D, pues ningún número es

su propio doble.

• Además si (x, y) pertenecen a D entonces (y, x) no pertenece a D. Obser-

vamos entonces que el concepto de relación no es simétrico, de modo que

al referirnos a los objetos que se relacionan, importa el orden en que se

mencionan. Claro que existen relaciones simétricas, como por ejemplo el

valor absoluto para números positivos.

Entonces la relación D se representa así:

1

2

3

4

5

6

7

2

4

6

8

10

12

14

D = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)…}

A B

Entonces una relación se defi ne como:

Regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos.

Y hemos visto que se puede obtener de cuatro maneras distintas:

1. Mediante un producto cartesiano

2. Mediante un diagrama de árbol

3. Mediante un diagrama sagital

4. Mediante un criterio de selección o regla de asociación

Recuerda que esto se retoma adelante.



FuncionesExplicaremos esto con un ejemplo muy sencillo:

Juan

Pedro

Anita

Ceci

Beto

56

54.5

48.5

58

60.5

A P

Una relación de un conjunto X en un conjunto Y que satisfaga esta condición se

llama función y la defi nimos como:

Una función ƒ de un conjunto X en un conjunto Y es una relación entre éstos que cumple la condición de que cada elemento de X está relacionado con uno y solamente uno de Y. Además una función describe la manera en que el valor de una incógnita depende de otra.

EjemploSupongamos que A es el conjunto de alumnos de tu salón de clases y P es un

subconjunto de los números reales. Una manera de relacionarlos es asignar a cada

estudiante su peso en kilogramos. El conjunto formado por todas las parejas cu-

yas primera y segunda componentes son el alumno y su peso respectivamente,

es un subconjunto del producto cartesiano A × P. Tenemos entonces que es una

relación del conjunto A en el conjunto P.

Analicemos las características de esta relación.

• Cada estudiante aparece como primera componente de una pareja por lo

menos una vez; o sea aparece en la pareja cuya primera componente es él

y cuya segunda componente es su peso.

• Además esta es la única pareja en la cual el estudiante aparece como pri-

mera componente, cada estudiante tiene únicamente un peso. Así cada

elemento de A está relacionado con uno y solamente un elemento de P.


14 Matemáticas IV

f (x) = {(1, A), (2, B), (3, C), (4, F), (5, R), (6, C)}

1

2

3

4

5

6

A

B

C

F

R

X Y

1. Escribe el producto cartesiano A × B, si A = {matemáticas, física, química,

historia}, B = {inglés, español, civismo}

2. Escribe el producto cartesiano C × D, si C = {x, y, z} y D = {1, 2,

3, 4, 5}

3. Escribe el producto cartesiano E × E, si E = {María, Pedro, Gerardo,

Patricia}

Ejemplo

Observa que una función se denota como f (x) y generalmente es igual a y, es

decir:

f (x) = y

Una regla de asociación se puede escribir como una función o viceversa. Ejem-

plos:

1. Si la regla de asociación es “el cuadrado de un número más tres”, entonces

la función que la representa es: f (x) = x2 + 3

2. Si la regla de asociación es “el triple de un número menos seis” entonces la

función que la representa es: f (x) = 3x – 6

3. Ahora si la función es f (x) = 2x , entonces la regla de asociación es “el doble

de un número”

4. Si la función es f (x) = x3 – 9, entonces la regla de asociación es “el cubo de

un número menos nueve”

Como ves es fácil hacer esto, sólo es cuestión de recordar un poco de lo que

viste en Matemáticas I sobre lenguaje algebraico. Ahora te proponemos algunos

ejercicios.

Desarrolla tu competencia

Trab

aj

o individual



Establece la regla de asociación entre los siguientes conjuntos de números:

4. A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}, B = {–10, –5, 0, 5, 10, 15}

5. C = {–10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}, D = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1,

2, 3, 4, 5}

6. E = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}, F = {14, 7, 2, –1, –2, –1, 2, 7, 14}

7. G = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, H = {–27, –8, –1, 0, 1, 8, 27}

8. I = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, J = {–30, –11, –4, –3, – 2, 5, 24}

Identifi ca cuáles de las siguientes relaciones son funciones:

9.

2

1

3

3

9

6

10.

Japón

Italia

Cuba

Canadá

Europa

América

Asia

África

11.

Japón

Italia

Cuba

Canadá

Namibia

Europa

América

Asia

África

12.

Frijol

Avena

Naranja

Lechuga

Apio

Cereal

Fruta

Leguminosa

Verdura

Cítrico


16 Matemáticas IV

13.

Tlaxcala

Jalapa

Puebla

Tampico

Culiacán

Sinaloa

Tamaulipas

Tlaxcala

Veracruz

Puebla

14.

Ana

Pedro

Axel

Andrés

Gael

María

Paty

Luis

Ceci

Escribe la función representada por cada una de las siguientes reglas de asocia-

ción.

15. El doble de un número: __________________________________________

16. El triple de un número: __________________________________________

17. El doble del cuadrado de un número menos ocho: _____________________

18. La mitad de un número más cinco: _________________________________

19. La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado más tres: ___________

Expresa la función como una regla de asociación:

20. f (x) = x

4– 8: ___________________________________________________

21. r (x) = 5x3 + 6: ________________________________________________

22. s x x( ) = +6 9 : ________________________________________________

23. En un pequeño teatro hay 7 fi las numeradas del 1 al 7, cada fi la tiene 8 asien-

tos numerados del 1 al 8. Escribe las parejas ordenadas (fi la, asiento) para las

fi las impares y asientos pares.

24. María vende helados a $5 cada uno. Escribe las parejas ordenadas que indi-

can el número de helados vendidos y lo que María recibe cuando sus ventas

han sido de 5, 10, 15, 20 y 35 helados por día.



25. Calcula T × S y S × T, si S = {1, 2, 3, 4} y T = {x ∈ Z � –4 ≤ x ≤ 5}

(esto quiere decir los números enteros que están entre –4 y 5 incluyendo a

éstos).

Identifi ca las dos magnitudes (variables) que se están relacionando en las siguien-

tes expresiones.

26. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado: ____________ y

_______________

27. El tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia depende de su velo-

cidad: ____________________ y ____________________

28. El perímetro del círculo depende de su radio:_______________________ y

_________________________________

29. El cuadrado de un número real:________________ y ______________

30. Si durante 5 horas se mantiene una velocidad uniforme de 85 km/h, ¿cuáles

son las parejas ordenadas formadas por horas y distancia recorrida?

31. La compañía telefónica “García e Hijos” tiene el costo de una llamada en $1.50

por las primeras 30 que se hagan en una semana y $2.00 por llamada adicio-

nal. ¿Cuáles son las parejas ordenadas que asocian el costo por llamada a 25,

34, 42, 50 y 60 llamadas en una semana?

Escribe la expresión algebraica de las siguientes funciones.

32. El perímetro p de un rectángulo es 2 veces el largo l más 2 veces el ancho a.

33. El costo c de la renta de una habitación en el hotel Central durante d días es

de $100 más $30 por día.

34. El cine Avenida tiene 300 asientos y cada boleto cuesta $35. Los ingresos i están determinados por el número n de boletos vendidos para cada función.


Objetos de aprendizaje

B L O Q U E II

Unidades de competencia:1. Construye e interpreta modelos algebraicos y gráfi cos, aplicando relaciones funcionales

entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

2. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

3. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráfi cas

Función inversa

Función escalonada

Función valor absoluto

Función identidad

Función constante

Bloque II Mate IV.indd Sec2:54 24/11/11 13:25:07

Competencias a desarrollar:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos

que persigue.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

4. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

5. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales.

6. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de

situaciones reales hipotéticas o formales.

7. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

8. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

9. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para

determinar o estimar su comportamiento.

10. Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.


56 Matemáticas IV

“En dónde se usa”

De manera intuitiva las funciones se presentan en pro-blemas de la vida cotidiana de muchas personas, por ejemplo:

1. El pago de impuestos está en función de los ingresos.

2. Las calificaciones que obtienes están en función del tiempo dedicado a es-tudiar.

3. Un auto consume gasolina en función de los kilómetros recorridos, es decir, la gasolina depende de los kilómetros recorridos.

4. Generalmente la estatura está en función de la edad.

5. El área de un rectángulo está en fun-ción del largo y ancho.

6. El volumen de agua que contiene una alberca está en función de sus medi-das.

Por otro lado, la función inversa, no es un concep-to tan claro, pero podemos dar un ejemplo de este tipo de función: la demanda que se define como aquella que

recoge la cantidad que se consumiría de un bien ante un precio dado, o a la inversa, la disposición a pagar de los consumidores sobre un bien en concreto, así podemos referirnos a la función directa de demanda o a la función inversa de demanda, dependiendo de que la disponga-mos en función del precio o de la cantidad del bien.

Así pues dependiendo del mercado será el resul-tado de la función; por ejemplo, en cuanto al mercado podemos hablar del mercado de la leche, y a su vez del mercado de leche deslactosada y, por qué no, del mer-cado de la leche deslactosada de una marca específica, o de cada una de sus variantes; cada uno nos dará una precisión distinta en cuanto a los resultados de nuestra función, ya sea directa o inversa.

Para agilizar tu cerebro

1. Rafa, un tenista reconocido a nivel mundial, tiene una jugada especial: le pega a una pelota de tenis de forma que recorra una pequeña distancia, se de-tenga y regrese por el camino de ida. ¿Cómo crees que lo haga?

2. Un lector de un libro estaba tan enojado que arrancó las páginas 6, 7, 84, 85, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?

3. María, Rosario y Rosario, tres compañeras del bachi-llerato realmente gruesas, cruzaban por la explanada del plantel debajo de un paraguas de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran?

4. En el restaurante “La Vaca Loca”, Alex encontró una mosca en la sopa. El mesero, conciliador, se llevó el plato a la cocina y regresó con (aparentemente) otro plato de sopa. Un instante más tarde Alex lo llamaba otra vez. “¡La sopa de este plato es la mis-ma que le mandé llevarse!”, le gritó ásperamente. ¿Cómo lo supo?

5. Teófilo y Otilia nacieron el mismo día, a la misma hora del mismo año, y de los mismos padres; pero no son mellizos, ¿cómo puede ser eso?


Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas 57

Resuelve los siguientes problemas:

1. Encuentra la inversa de la función f (x) = x

x

+ 1

2. Identifi ca las funciones representadas por las gráfi cas siguientes:

Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________


Mi competencia inicial

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–8

–5

6

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

–5

6

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

5


58 Matemáticas IV

3. Tomando en cuenta la función f (x) = x + 2 cómo transformas la función

para que la gráfi ca se traslade:

a) 2 unidades hacia arriba de su posición original

b) 3 unidades hacia abajo de su posición original

c) 4 unidades hacia la derecha de su posición original

d) 2 unidades hacia la izquierda de su posición original



Problemas integradores

1. Grafi car h(x) = 3(x – 2)2 + 4, utilizando transformaciones.

Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________



60 Matemáticas IV

2. Traza la gráfi ca de la función

f (x) = − x2 + 8x − 10

utilizando transformaciones.



En equipo traten de resolver el siguiente problema:

La función de demanda de un mercado es lineal y se representa como:

p = –5q + 7

Donde p es el precio y q es la demanda:

a) Expresa la demanda en función del precio.

b) Realiza la gráfi ca.

Existen problemas matemáticos que necesitan de la inversa de una función, esto

se logra prácticamente mediante la inversión de los papeles del Dominio y el

Rango de la función.

La función inversa se defi ne de la manera siguiente:

Sea f una función de A en B, entonces su inversa (f −1) es una relación de B en A tal que: f −1 = {(y, x) tal que (x, y) ∊ f } .

Por ejemplo si f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e)}

Entonces f −1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5)}

Ahora te diremos algunas condiciones que debe cubrir una función para que pue-

da tener una inversa:

• Sea f función de A en B y además inyectiva, entonces f −1 es una función

de B en A.

• Además, bajo esta condición, f −1 es también una función inyectiva.

Consideremos las funciones: f (x) = x + 2 y g (x) = x – 2; podemos comprobar

que son inversas si éstas se cancelan:

f (g(x)) = f (x – 2) = (x – 2 + 2) = x

g( f (x)) = g(x + 2) = x + 2 – 2 = x

Por lo tanto, f y g son inversas.

El caso que generalmente se presenta es que se nos da una función en forma de

regla de correspondencia y nosotros debemos encontrar la inversa, para ello de-

bemos seguir estos pasos:

Reconoce las características de funciones que son inversas de otras

MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD:Teodoro de Cirene(456 a.C.-398 a.C.)Teodoro fue profesor de Platón; es recordado por su contribución a las matemáticas con el desarrollo de los números irracionales. Teodoro era también uno de los principales fi lósofos en la escuela de fi losofía moral de Cirene. Creía que ninguno de los placeres y dolores eran buenos ni malos. Creía que la alegría y el juicio eran sufi cientes para la felicidad.


62 Matemáticas IV

1. Comprueba que la función es uno a uno.

2. Escribe la función colocando en lugar de f (x) una y.

3. Despeja la x de la función.

4. Reescribe esta última cambiando las x por y y viceversa.

Describe en forma geométrica y algebraica la inversa de una función

1. Supongamos la función f (x) = 2x + 6; encontremos la función inversa.

Solución:

• Comprobemos que la función es uno a uno, haciendo su gráfi ca:

MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD:Platón(427 a.C.-347 a.C.)Platón se veía como un hombre joven que ha sido puesto en una carrera política. Los excesos de una vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399 a.C. tuvo un efecto muy profundo en él.Platón estudió primeramente fi losofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso

continúa

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

–5

–6

–7

Como vemos es uno a uno, entonces podemos encontrar su inversa.

Observa que el dominio y el rango de la función son el conjunto de los números

reales.

• Escribe y en lugar de f (x):

f (x) = 2x + 6

y = 2x + 6

Ejemplos



• Despeja x de la función:

y = 2x + 6

y – 6 = 2x

y − 6

2 = x

x = y − 6

2

• Reescribe esta última cambiando las x por las y y viceversa:

Si obtuvimos: x = y − 6

2 entonces y =

y − 6

2

Esta es la función inversa y para grafi carla podemos hacer una tabla de valores:

x y = x − 6

2

–2 –4

–1 –3.5

0 –3

1 –2.5

2 –2

Y así obtenemos la siguiente gráfi ca:

fundó en Atenas su famosa escuela fi losófi ca: la Academia.Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra fi losófi ca. Sin embargo, su infl uencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y signifi cativa frase: “no entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente infl uenciado por las teorías pitagóricas.Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aun en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados.

continuación

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

–5

–6

–7

–8

–9

–10


64 Matemáticas IV

Las gráfi cas de una función y su inversa se pueden ver así:

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

–5

–6

–7

–8

–9

–10

y = 2x + 6

45˚

y = x − 62

Observa que si colocamos una línea a 45° del eje X, ésta se comporta como espejo

entre dos funciones inversas. Otro ejemplo es el siguiente:

2. Grafi ca las funciones: f (x) = x3 y g(x) = x3

Solución:

y

x

7

6

5

10

9

8

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–7–9 –8–10

–5

–6

–7

–8

–9

–10

f (x) = x3

g(x) = 3sx

3. Resolvamos el problema planteado en un inicio. La función de demanda de

un mercado es lineal y se representa como:

p = –5q + 7



Donde p es el precio y q es la demanda:

a) Expresa la demanda en función del precio.

b) Realiza la gráfi ca.

Solución:

a) Para resolver el primer inciso debemos encontrar la inversa de la función:

p = –5q + 7

p – 7 = –5q

q = p −−

7

5

b) La gráfi ca de la función es:

0

8y

x

Toma en cuenta la siguiente función f (3) = 5, f (6) = 4, f (7) = 3 y f (9) = 0;

calcula lo siguiente:

1. f –1(0) = 3. f –1(5) =

2. f –1(4) = 4. f –1(3) =

Encuentra la inversa de las siguientes funciones:

5. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

6. {(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

7. {(1, 3), (2, 6), (3, 9)}

8. f (x) = x + 3

9. f (x) = 2x – 8

Desarrolla tu competencia

Trab

aj

o individual

10. f (x) = x

1

11. f (x) = x

x

−+

3

2

12. f (x) = x+5


Campo matemático

Con base en las adecuaciones de los Programas de estudio de la Dirección General del Bachillerato de la Secretaría de Educación Pública, presentamos la segunda edición de Matemáticas IV. Su objetivo principal es acompañar al estu-diante a desarrollar y fortalecer competencias relacionadas con el conocimien to, la comprensión y la aplicación de las funciones matemáticas en los diferentes entornos en los que se desenvuelven.

El contenido de los bloques, las actividades, los problemas para ejercitar el razo-namiento mental, las evaluaciones y algunos datos relevantes para aplicar las matemáticas en la vida cotidiana permiten a los lectores construir, desarrollar, analizar e interpretar procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales desde diferentes enfoques, de forma que al enfrentarse ante un problema puedan decidir, con base en fundamentos sólidos, el método para su resolución.

Algunos de los temas que se pueden encontrar al interior son: operaciones con distintas funciones, funciones especiales y transformaciones gráficas, funcio-nes polinomiales de grados cero, uno, dos, tres y cuatro, funciones factorizables, racionales, exponenciales, logarítmicas y periódicas.

Documents

Matematicas+IV+Patricia+Ibanez