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4B deESOMATEMTICAS
www.apuntesmareaverde.org.es
TEXTOSMAREAVERDEwww.apuntesmareaverde.org.esNo sepermiteunusocomercialde laobraoriginalnide lasposiblesobrasderivadas,ladistribucindelascualessedebehacerconunalicenciaigualalaqueregulalaobraoriginal.
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Reconocimiento NoComercial SinObraDerivada(byncnd):Nosepermiteunusocomercialdelaobraoriginalnilageneracindeobrasderivadas.
I.S.B.N.13:9788469702758I.S.B.N.10: 8469702750
www.apuntesmareaverde.org.es
Autor:PacoMoya
Revisores:JavierRodrigoySergioHernndezIlustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
MATEMTICAS:4BESOCaptulo1:
Nmerosreales
Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
4 Nmerosreales.4BdeESOndice
1.NMEROSRACIONALESEIRRACIONALES1.1.EXPRESIONESDECIMALESFINITASOPERIDICAS1.2.FORMADEFRACCINDEUNAEXPRESINDECIMAL1.3. 2 NOESUNNMEROESRACIONAL:1.4.DISTINTOSTIPOSDENMEROS
2.APROXIMACIONESYERRORES.2.1.ERRORABSOLUTO2.2.ERRORRELATIVO
3.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES:3.1.DENSIDADDELOSNMEROSREALES3.2.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES: I.REPRESENTACINENLARECTADELOSNMEROSRACIONALES
II.REPRESENTACINENLARECTADELASRACESCUADRADAS:UNEJEMPLODEINTERSMATEMTICO,NATURALYARTSTICO:ELNMERODEORO
4.INTERVALOS,SEMIRRECTASYENTORNOS:4.1.INTERVALOS4.2.SEMIRRECTAS4.3.ENTORNOS
ResumenYa conoces los nmeros naturales, los nmeros enteros y los nmeros racionales. En este captulovamosaestudiarlosnmerosrealesqueestnformadosporlosnmerosracionalesylosirracionales.Portanto,conalgunosnmerosrealesirracionalesyatehabasencontrado,con 2 ,conPerohaymuchos,muchosms.Haymuchosmsnmerosirracionalesqueracionales.Ytepreguntars,cmopuededeciresosisoninfinitos?Resultaquehayinfinitosmsgrandesqueotros.Alinfinitodelosnmerosnaturalesseledenominainfinitonumerable.Resultaqueeldelosnmerosenterosydelos nmeros racionales tambin es infinito numerable, pero el de los nmeros reales ya no esnumerable,esmuchomayor,se ledenominalapotenciadelcontinuo.Unadesuspropiedadesmsimportantesessurelacinconlospuntosdeunarecta,porloqueaprenderemosarepresentarlosenlarectarealenlaquenodejanagujeros.Como losnmeros irracionalestienen infinitascifrasdecimalesnoperidicasescomplicadoutilizarlostalcual,asqueaprenderemosaaproximarlosycalcularelerrorqueporeso,cometemos.
Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
5 Nmerosreales.4BdeESO1.NMEROSRACIONALESEIRRACIONALESTerecordamoslosdistintostiposdenmerosqueyaconoces:
NaturalesN ={0,1,2,3,}Son los nmeros que se usan para contar y ordenar. El 0 puede incluirse o no, depender de tuprofesor.
EnterosZ ={,3,2,1,0,1,2,3,}Son losnmerosnaturalesysusopuestos.Notienenpartedecimal,deahsunombre. Incluyena losNaturales.AlosnmerosquesepuedenexpresarenformadecocientededosnmerosenterosselesdenominanmerosracionalesyselesrepresentaporlaletraQ.Portanto
RacionalesQ = }0,,;{ bZbZaba
Losnmerosracionalesincluyenalosenteros.Tambin contienen a los nmeros que tienen expresindecimal exacta (0,12345) y a los que tienen expresindecimalperidica(7,01252525)comoveremos.1.1.ExpresionesdecimalesfinitasoperidicasRecuerdaque:
Sieldenominador(delafraccinirreducible)slotienecomofactoresprimospotenciasde25laexpresindecimalesexacta.
Ejemplo:
Asporejemplo 32 3 23 3
1 105 10 0, 025; 52 5 2 5
ya que ,yestoesgeneralyaquesiemprehabrunapotenciade10que seamltiplodeldenominador siste slocontienedosesocincos.Fjatequeelnmerodedecimaleseselmayordelosexponentesde2y5.
Sieldenominador(delafraccinirreducible)tienealgnfactorprimoquenosea2ni5lafraccintendrunaexpresindecimalperidica.
Sisuponemosunnmeronconfactoresprimosdistintosde2y5,entonces1 1010
aam m
n n ,
peroeldenominadornopuededaruncocienteexactoaldividiralnumerador,puestoque10slotienelosfactores2y5.Ellonosdemuestraquelaexpresindecimalnopuedeserexacta.
Veamosqueesperidica:Ejemplo:
Notacin:
" "" "
s i g n i f i c a " i n c l u i d o "s i g n i f i c a " I n t e r s e c c i n "
s i g n i f i c a p e r t e n e c es i g n i f i c a U n i n
Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
6 Nmerosreales.4BdeESOConunejemplonosbastar,sidividimos1entre23obtenemosunprimerrestoquees10,luegootroquees8y seguimos,pero,se repetiralgunavezel restoypor lo tanto lascifrasdelcociente?, larepuestaesques,seguroques, losrestossonsiempremenoresqueeldivisor,enestecasodel1al22, siyoobtengo22 restosdistintos (comoesel caso)al sacarunoms tieneque repetirse!,eselllamadoPrincipiodelPalomar.Yapartirdeahlosvaloresdelcocienteserepiten.Por lotanto laexpresindecimalesperidicayelnmerodecifrasdelperiodoescomomximounaunidadinferioraldenominador(nosiempreocurreestopero1/23tieneunperiodode22cifras,1/97lotienede96cifras,sinembargo1/37tieneunperiododeslo3cifras,unapista:37esdivisorde999).
Todaslasfraccionestienenexpresindecimalexactaoperidica.Actividadespropuestas1. Mentalmentedecideculesdelassiguientesfraccionestieneunaexpresindecimalexactaycules
latienenperidicaa)2/3 b)3/5 c)7/30 d)6/25 e)7/8 f)9/11
2. Calculalaexpresindecimaldelasfraccionesdelejercicioanteriorycompruebasitudeduccineracorrecta
3. Calculalaexpresindecimaldelasfraccionessiguientes:a)1/3 b)1/9 c)7/80 d)2/125 e)49/400 36/11
1.2.FormadefraccindeunaexpresindecimalRecuerdaelprocedimiento:ActividadesresueltasClculodelaformadefraccindea)0,175; b)1,7252525a) Expresin decimal exacta: 175 70,175
1000 40 , se divide entre 10 elevado al nmero de cifras
decimales.b)Expresindecimalperidica:Tenemosque conseguir2nmeros con lamismapartedecimalparaqueal restardesaparezcan losdecimales.
1,7252525...1000 1725,2525...10 17,2525...
1708 854:990 1708990 495
NNN
Si restamos N N
Primeronosllevamoslacomaalfinaldelprimerperiodo(fjatequeelanteperiodoyelperiodojuntostienen3 cifras),despusalprincipiodelprimerperiodo (elanteperiodo tiene1 cifra).Tenemosdos
Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
7 Nmerosreales.4BdeESOexpresionesconlamismapartedecimalporloquealrestar,esosdecimalessevan,sloquedadespejarN.Todaexpresindecimalexactaoperidicasepuedeponercomofraccin.Actividadespropuestas4. Escribeen formade fraccin lassiguientesexpresionesdecimalesexactasyredcelas,comprueba
conlacalculadoraqueestbien:a)7,92835; b)291,291835; c)0,23
5. Escribe en forma de fraccin las siguientes expresiones decimales peridicas, redcelas ycompruebaqueestbien:a)2,353535.. b)87,2365656565.c)0,9999.. d)26,5735735735..
1.3. 2 noesunnmeroesracional:VamosautilizarunmtododedemostracinmuyhabitualenMatemticasquesellamaReduccinalAbsurdoqueconsisteen:
Si slo hay 2 posibilidades para algo que llamamos A y noA y queremos demostrar A,empezamossuponiendoquesecumplenoA,hacemosalgnrazonamientodondesellegaaunacontradiccin(Absurdo)ydesechamosnoA,teniendoquecumplirseportantoA.
Msfcildeentender:supnqueslohay2posiblescaminospara llegaraunsitio.Tirasporunodeellosydescubresquenollegaaningunaparte,puestienequeserelotro.Vamosaello:QueremosdemostrarA:
2 nopuedeponersecomofraccin.SuponemosciertosucontrarionoA:
2 sipuedeponersecomofraccin.Entonces 2 a
b ,fraccinirreducible.Elevamosalcuadradoenlos2miembros
22 2
22 2a a bb
luego 2a esparypor lotantoatambin loes (elcuadradodeunnmero imparessiempre impar),ponemosa=2kysustituimos:
2 2 2 2 2 22 2 4 2 2k b k b b k luego 2b esparyportantobtambinloser.Endefinitiva:aybsonlos2nmerospares.CONTRADICCIN,absurdo,hemosdichoquelafraccinerairreducible,luegoaybnopuedenserambosmltiplosde2.
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8 Nmerosreales.4BdeESOPortantorechazamosnoAynosquedamosconqueAescierta.Esteprocedimientosirveigualparatodaslasracesnoexactas,decualquierndice.Pero no vale para todos los irracionales, para demostrar que es un nmero irracional hay queestudiarmucho.FuedemostradoafinalesdelsigloXVIIIporLambert.Hastaesemomentotodavaseseguancalculandodecimalesparaencontrarunperiodoquenotiene.1.4.DistintostiposdenmerosTodosestosnmeroscomo ,...3,2 juntocon losnmerosracionales formanelconjuntode losnmeros reales. Y a los nmeros reales que no son nmeros racionales se les llama nmerosirracionales.Portanto
IrracionalesI=Q. Son nmeros irracionales los nmeros que no son racionales y por tanto aquellos nmeros que nopuedenponersecomofraccindenmerosenteros.Haymsde loquepodraparecer(dehechohayms que racionales !), son todos aquellos que tienen una expresin decimal que no es exacta niperidica, es decir, infinitas cifras decimales y sin periodo. Ejemplos: 17,6766766676 queme loacabodeinventaro0,1234567891011queseloinventCarmichael.Invntateuno,buscaenInternetysinoloencuentras,puesestuyo(porahora)
Reales=QI.Eslaunindelosnmerosracionalesydelosirracionales.
Tenemosportantoque: N Z Q . I Sonestostodoslosnmeros?
No,losrealesformanpartedeunconjuntomsamplioqueeseldelosNmerosComplejosC(en1debachilleratoseven,enlaopcindeCiencias).
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9 Nmerosreales.4BdeESO
Actividadespropuestas6. CopiaentucuadernolatablaadjuntaysealaconunaXaquconjuntospertenecenlossiguientes
nmeros:Nmero N Z Q I 2,01 3 4
0,121212 3 1000
1,223334 4
12
7. Copiaentucuadernoelesquemasiguienteymetelosnmerosdelejercicioanteriorensulugar:
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10 Nmerosreales.4BdeESO
8. Puedesdemostrarque4,99999=5?,cuntovale2,5999?9. Demuestraque 3 7 esirracional.10. Cuntascifraspuedetenercomomximoelperiodode 1
47?
11. Cuntosdecimalestiene 7 412 5 ?,teatrevesadarlarazn?12. Hazladivisin999999:7ydespushaz1:7.Sercasualidad?13. Ahoradivide999entre37ydespus1:37,escasualidad?
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11 Nmerosreales.4BdeESO2.APROXIMACIONESYERRORES.Aunqueenestecursovamosatrabajaren lamedidade loposibleconvaloresexactos( 3 nosesustituyepor1,73ni por3,1416)hayvecesenqueesnecesariohaceraproximacionespormotivosprcticos (no levamosadeciraltenderoquenosd2 metrosdecuerdaporlacuentaque nos trae) y a trabajar con nmeros aproximados por entre otrosmotivosnoconocerlosvaloresexactos.Asporejemplo,sinospesamosesunabsculaymarca65,4Kg,cuntopesamosexactamente?Nosepuedesaber,esimposible,lomximoquepodemosdeciresquenuestropesoestentre65,3y65,5Kgsielerrormximoesde100g.2.1.ErrorAbsoluto.SedefineelErrorAbsoluto(EA)comoEA= valor real valor aproximado .Lasbarras significan valor absolutoque ya sabesquequieredecirqueen casode sernegativo loconvertimosapositivo.Ejemplo:Siaproximamos 3,1416 tendremosqueelEA= 3,1426 0,0000073... 0,0000073 unas7millonsimas.CotadelErrorAbsoluto:Ansinconocerconexactitudelvalorexacto,siemprepodemosponerunacota(unvalormximo)alerror absoluto slo teniendo en cuenta el orden de aproximacin, as, si hemos redondeado en lasdiezmilsimas(comoenelejemplo)siemprepodemosafirmarqueelEA 0,00005,esdecir,menoroigualquemediaunidaddelvalordelacifraderedondeoo5unidadesdelasiguiente(5cienmilsimas),queeslomismo.Actividadesresueltas
Calculalacotadelerrorabsolutode:N 2,1 0,05EA
600 50N EA sisuponemosquehemosredondeadoenlascentenas.Cundo no se conoce el valor real, no puede conocerse el valor absoluto, pero si una cota. Si uncronmetrotieneunaprecisindedcimasdesegundodiremosqueelEA 0,05s(mediadcima5centsimas)SitenemosunnmeroAy lacotadelerrorabsolutoes A (se lee incrementodeA)sueleponerseA A sobretodoenlasCienciasExperimentales.2.2.ErrorRelativo.ParacompararerroresdedistintasmagnitudesonmerossedefineelErrorRelativo(ER)como:
ER= EAValor real
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12 Nmerosreales.4BdeESOquesuelemultiplicarsepor100parahablarde%deerrorrelativo.Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente espequea).Actividadesresueltas
Siaproximamosrazde3por1,73,elerrorrelativocometidoes:0, 00213 1, 73 0, 0021 0, 00121 0,121%
3EA ER
Sienlaltimadivisinponemoselvaloraproximado1,73elERsaleaproximadamente0,121%. En las aproximaciones A = 5,2 con EA 0,05 y B = 750 con EA 5 , en cul estamos
cometiendoproporcionalmentemenorerror?Calculamosloserroresrelativos:
AER 0, 05 0, 0096 0,96%5, 2
ER ER
BER 5 0,0067 0,67%750
ER ER EsmejoraproximacinladeB.
Controldelerrorcometido:No hay nada ms ignorante matemticamente hablando que utilizar demasiadas cifras decimalestrabajando en problemas prcticos.Decir que en unamanifestacin participaron aproximadamente51226personasdaaelsentidocomn.Tambinesunagamberradadecirque laestimacindevotoparaelpartidoAesdel25,6%devotossielerrorpuedeserdel3%(cosaquenosuelemencionarse).Ponercomonotadeunexamenun6,157esalmenoscuriosoporsuaparenteprecisin.Actividadesresueltas
Tenemosdosnmerosredondeadosalasdcimas:A=2,5yB=5,7Vamosahaceroperacionesconelloscontrolandoloserrores.Como el EA 0,05 (recuerda: si redondeamos en las dcimas el error ser inferior o igual a 5centsimas)tenemosqueApuedeestarentre2,45y2,55;igualmenteBestarentre5,65y5,75.
Suma:Elvalormspequeoser2,45+5,65=8,1;elvalormximoser2,55+5,75=8,3.Sirestamosda0,2.Si tomamoscomovalorde lasuma8,2,quees lamedia,ahoraelEA0,1 (lamitadde ladiferenciaentreelmximoyelmnimo, fjateenque8,2estadistancia0,1de8,1yde8,3)cuandoanteserainferiora0,05.Yanopodemosestarsegurosdelltimodecimal.Conlarestapasalomismo.Mnimo5,652,55=3,1(OjO!,elmenormenoselmayor).Mximo5,752,45=3,3.Lamediaes3,2ycomo(3,33,1):2=0,1elEA0,1Encadasumaorestaelerrorabsolutoeslasumadeloserroresabsolutos(demustralo).Sihacemosvariassumasyrestas,puesaumentarpeligrosamente.
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13 Nmerosreales.4BdeESOProducto:
Valormspequeo2,455,65=13,8425;valormximo2,555,75=14,6625.Ladiferenciaesahorade0,82. Si tomamos como producto 14,25 tenemos que EA 0,41; se hamultiplicado por 8. Ya nodebemosestarsegurosnidelasunidades,podraser14o15.SimultiplicamosA(conEA=a)conB(conEA=b)obtenemosunEA=aB+bA.NtesequedependedelosvaloresdeAyB.Nota:LafrmulaEA=aB+bAsaledehacer(A+a)(B+b)(Aa)(Bb)ydividirentre2.Comprubala.Sihacemos(aB+bA)/(AB)obtenemos(a/A)+(b/B),esdecir:Loserroresrelativossesumanalmultiplicardosnmeros.
Divisin:Elvalormspequeoposibleseobtienededividirelmspequeoentreelmsgrande:
5,65:2,55=2,22;elmsgrandealrevs(elmsgrandeentreelmspequeo):
5,75:2,45=2,35.PortantoEA0,065.AhorasaleaproximadamenteEA= 2 a B b AB
,quesiBesgrandehacequesalgareducido,perosiBes
pequeonosdaunaingratasorpresa.Actividadesresueltas
ClculodelerrorabsolutoyrelativosiA=5;a=0,05;B=0,5;b=0,05A/B=10conEA1,1,un11%deerrorrelativo.
No todo sonmalas noticias. Si dividimos un nmero aproximado entre un nmero exacto el errorabsolutodisminuyesieldivisoresmayorque1.Porejemplo (5 0,5) : 20 0,25 0,025 .Sinembargo
elerrorrelativopermaneceigual(prubalo).Potencia:
Puederayarlacatstrofe.Compruebaqueelmnimosale158yelmximo218.EA 30.Estoes 5,7 0,05(2,5 0,05) 188 30 loquerepresentaun16%deerrorrelativo.
Nota:Estafrmulasaledehacer A a A a
B b B b ydividirentre2,despreciamos
2b frentea 2B .Nohayquesabrsela.
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14 Nmerosreales.4BdeESOCuriosamente188noes 5,72,5 quevale185,5aproximadamente,188eslamediaentreelmnimoyelmximo.ActividadesresueltasMedimoselradiodeunacircunferenciaconunareglamilimetradaymarca7,0cm.Queremoscalcularelreadelcrculo.Elerrormximoenelradioesde0,05cm luegopuedeestarentre6,95y7,05.Siaplicamos la frmula 2r paraestosvaloresobtenemos151,7y156,1,queson losvaloresmnimoymximo.Ladiferenciaes4,4ysumitades2,2queeslacotadeerrorabsoluto.Diremosque
A=153,9 2,2 2cm .Lacotadelerrorrelativo 2, 2 100
153,9=1,4%.
Elradiotenaunacotade(0,05:7)100=0,71%,luegohemosperdidoprecisin.Sioperamosconnmerosaproximados,ypeoran,silohacemosenrepetidasocasiones,loserroressevanacumulandohastaelpuntodepoderhacerseintolerables.Noseasdemasiadoprecisosilosdatosdepartidanosonfiables.Actividadespropuestas14. Redondea1 5
2 hastalascentsimasyhallaloserroresabsolutoyrelativocometidos.
15. Hallaunacotadelerrorabsolutoenlassiguientesaproximaciones:a) 2,1b) 123c) 123,00d) 4000conredondeoenlasdecenas.
16. Unabalanzatieneunerrorinferioroiguala50gensusmedidas.Usamosesabalanzaparaelaborar10paquetesdeazcarde1Kgcadaunoquesonunlote.Determinaelpesomnimoymximodellote.Culeslacotadelerrorabsolutoparaellote?
17. LosnmerosA=5,5yB=12hansidoredondeados.Hallaunacotadelerrorabsolutoydelerrorrelativopara:
a) A+Bb) ABc) B/Ad) BA
Nota:DeterminalovaloresmximoymnimodeAyB.Despuslosvaloresmximosymnimosdecadaapartado(recuerdaquelarestayladivisinfuncionandistinto)18. Cmomedirel grosordeun folio conunerror inferior a0,0001 cm con la ayudadeuna regla
milimetradayladeel/laordenanzadelinstituto?,hazlo.
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15 Nmerosreales.4BdeESO3.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES:3.1.DensidaddelosNmerosReales:Los nmeros reales son densos, es decir, entre cada dos nmeros reales hay infinitos nmeros enmedio.Esoesfcildededucir,sia,bsondosnmeroscona
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16 Nmerosreales.4BdeESOPararepresentarlaslonostenemosqueirdondedicelaparteentera(3)ylaunidadsiguiente(laquevadel3al4)ladividimosen3partesigualesytomamos2.
Otroejemplo:17 32
7 7 ,puesladivisinda2decocientey3deresto.
Nosvamosal2,dividimoslaunidadsiguiente(del2al3)en7partesigualesytomamos3.
En caso de ser negativa: 11 3 32 24 4 4
, se har igual pero contando hacia laizquierda.Nosvamosal2, launidadquevadel2al3sedivideen4partesytomamos 3(perocontandodel2al3claro!).
Recuerdaque:
Paradividirunsegmentoenparteiguales:ParadividirelsegmentoABenporejemplo6partes iguales, trazamosporAuna lneaoblicuacualquiera,abrimoselcompsunaaberturacualquiera y marcamos 6 puntos en la rectaanterior adistancia igual.Unimoselltimopuntocon B y trazamos paralelas que pasen por lospuntos intermedios de la recta oblicua. Por elTeorema de Tales, el segmento AB ha quedadodivididoen6partesiguales.Normalmentenoteexigirnquelohagastanexacto,loharsdeformaaproximada,perotencuidadoenquelaspartesparezcaniguales.
II.Representacinenlarectadelasracescuadradas:Para representar races cuadradasusamoselTeoremadePitgoras. Sienun tringulo rectngulo lahipotenusaeshyloscatetossona,btenemosque 2 2 2 2 2h a b h a b .Actividadesresueltas
Representaenlarecta 2
Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF
17 Nmerosreales.4BdeESOSia=b=1tenemosque 2h .Slotenemosqueconstruiruntringulorectngulodecatetos1y1,suhipotenusamide 2 , (ladiagonaldelcuadradode lado1mide 2 ).Ahorautilizandoelcomps,llevamosesadistanciaalejeX(verfigura).
Representaenlarecta 5 Como 2 25 2 1 slo hay que construir un tringulorectngulodecatetos2y1,ysuhipotenusamide 5 .Has pillado el truco?, el radicando hay que expresarlo comosuma de 2 cuadrados. El tringulo rectngulo tendr comocatetosesosdosnmeros.
As,para representar 13 ,expresamos13como sumade 2 cuadrados: 2 2 2 213 9 4 3 2 13 3 2 luego en un tringulo rectngulo de lados 3 y 2 lahipotenusaser 13 .
Pero,y sielnmeronopuedeponersecomo sumade 2 cuadrados?, por ejemplo el 11 (siemprecomplicandolascosas!).
Habrquehacerloen2pasos.11=2+9,hayalgnnmerocuyo cuadrado sea2?,por supuestoque s, 2 .Por tanto
2 211 2 3 , tenemos que hacer un tringulorectngulodecatetos 2 y3.Paraelloprimeroseconstruye
2 comoantesy se trazaunaperpendicularde longitud3(verfigura).Puedendibujarse ya as todas las races?,no.Hay algunaspara las que hay que hacer ms pasos ( 7 por ejemplorequiere3),peromejorlodejamosaqu,no?Actividadespropuestas22. Representaenlarectanumricadeformaexactalossiguientesnmeros:
7 17; ;2,375; 3,66 4
23. Representaenlarectanumricadeformaexacta:
1 520; 8; 14;2
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18 Nmerosreales.4BdeESOUnejemplodeintersmatemtico,naturalyartstico:Hasodohablardelnmerodeoro?El Nmero de Oro (o Razn urea o ProporcinArmnicaoDivinaProporcin)esiguala 1 5
2
Actividadesresueltas Cmolorepresentamosenlarecta?
Slo hay que construir 5 como arriba, sumar 1(trasladamos1unidadconelcomps)ydividirentre2hallandoelpuntomedio(conlamediatriz),hecho.
Otraformadistinta:Construimosuncuadradode lado1 (unqu?,unlo que quieras!). Hallamos el punto medio del ladoinferior(M)yllevamosladistanciaMAconelcompsalejehorizontal,OFeselnmerodeoro.Veamos:
221 1 5 51 1
2 4 4 2MA
1 1 52 2
OF MA Un ejemplo de la aplicacin de la razn urea paraconstruirunaespiral(imagendewikipedia).Actividadespropuestas24. Buscarectnguloureoyespiralurea.25. Ya de paso busca la relacin entre elNmero de
OroylaSucesindeFibonacci.26. Buscaenyoutubealgopasaconphiymecuentas.
Espiralurea.Wikipedia
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19 Nmerosreales.4BdeESO4.INTERVALOS,SEMIRRECTASYENTORNOS:Como ya sabemosentredosnmeros realeshay infinitosnmeros.Hayunanotacinespecialparareferirseaesosinfinitosnmerosquedebersdominarparasteyfuturoscursos.4.1.Intervalos(Dellat.intervallum):2.m.Conjuntode los valoresque tomaunamagnitudentredos lmitesdados.RAE.I.IntervalosAbiertos:Si nos queremos referir al conjunto de los nmeros que hay entre dos valores pero sin contar losextremos,usaremosunintervaloabiertoEjemplo:Losnmerossuperioresa2peromenoresque7serepresentanpor(2,7)yseleeintervaloabiertodeextremos2y7.Alpertenecen infinitosnmeroscomo2,001;3,5;5;6,999;peronosondeesteconjuntoniel2niel7.Esorepresentanlosparntesis,queentrantodoslosnmerosdeenmedioperonolosextremos.Ejemplo:Losnmerospositivosmenoresque10,serepresentanpor(0,10),elintervaloabiertodeextremos0y10.Fjateque0noespositivo,por loquenoentrayel10noesmenorque10,por loquetampocoentra.Nota:Noseadmiteponer(7,2),elmenorsiemprealaizquierda!Tambinhayquedominarlaexpresindeestosconjuntosusandodesigualdades,preprate:
(2,7)={x/2
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20 Nmerosreales.4BdeESO*Nota:Enalgunostextoslosintervalosabiertosserepresentanas]2,7[locualtienenalgunasventajascomo que los estudiantes con confundan el intervalo (3 , 4) con el punto del plano (3 , 4), queaseguramosquehaocurrido(perotnosersunodeellosno?),olafastidiosanecesidaddeponer(2,3;3,4)porque(2,3,3,4)noloentenderaniGauss.II.IntervalosCerrados:Igualquelosabiertosperoahoraspertenecenlosextremos.Ejemplo:Elintervalodelosnmerosmayoresoigualesque2peromenoresoigualesque5.Ahorael2yel5sentran.Sehaceigualperoponiendocorchetes[2,5].Enformadeconjuntoseescribe:[2,5]={x;2x5}.Fjatequeahoraponemos quesignificamenoroigual.Ejemplo:El intervalode losnmeroscuyocuadradonoessuperiora4.Si lopiensasunpocoversqueson losnmerosentreel2yel2,ambosincluidos(nosuperior menoroigual).Portanto:
[2,2]={x;2x2}.La representacin grfica es igual pero poniendopuntosrellenos.III.IntervalosSemiabiertos(osemicerrados,aelegir)Por supuesto que un intervalo puede tener un extremo abierto y otro cerrado. La notacin ser lamisma.Ejemplo:
Temperaturanegativaperonopordebajode8C: [ 8,0) / 8 0x x
Nmerossuperioresa600peroquenoexcedande1000.
(600,1000] / 600 x 1000x .4.2.SemirrectasMuchasveceselconjuntodeintersnoestlimitadoporunodesusextremos.
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21 Nmerosreales.4BdeESOEjemplo:
Losnmerospositivos:Nohayningnnmeropositivoqueseaelmayor.Serecurreentoncesalsmboloyseescribe 0, / 0x x .
Ntesequeesequivalenteponerx>0queponer07: 7, / 7x x
Nota:Elextremonoacotadosiempreseponeabierto.Noqueremosveresto:(7,+]4.3.EntornosEsunaformaespecialdeponerlosintervalosabiertos.Sedefineelentornodecentroay radio rysedenotaE(a , r) (otra formausuales ( )rE a )comoelconjuntodenmerosqueestnaunadistanciadeamenorquer.Conunejemploloentiendesmejor:Ejemplo:Elentornode centro5 y radio2 son losnmerosqueestnde5unadistanciamenorque2. Si lopensamosunpoco,sernlosnmerosentre52y5+2,esdecir,elintervalo(3,7).Escomocogerelcompsyconcentroen5marcarconabertura2.Fjatequeel5estenelcentroyladistanciadel5al7yal3es2.
E(a,r)=(ar,a+r)Ejemplo:E(2,4)=(24,2+4)=(2,6)Esmuyfcilpasardeunentornoaunintervalo.Vamosahacerloalrevs.
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22 Nmerosreales.4BdeESOEjemplo:Sitengoelintervaloabierto(3,10),cmoseponeenformadeentorno?Hallamoselpuntomedio 3 10 13
2 2 =6,5queserelcentrodelentorno.Nosfaltahallarelradio:
(103):2=3,5eselradio(lamitaddelancho).Portanto(3,10)=E(6,5;3,5)Engeneral:
Elintervalo(b,c)eselentorno ,2 2
b c c bE .Ejemplo:
Elintervalo(8,1)= 8 1 1 ( 8)( , ) ( 3,5;4,5)2 2
E E Tambinexistenlosentornoscerradosperosondeusomenosfrecuente.Actividadespropuestas27. Expresa como intervaloo semirrecta,en formade conjunto (usandodesigualdades) y representa
grficamente:a) %superioral26%.b) Edadinferioroiguala18aos.c) Nmeroscuyocuboseasuperiora8.d) Nmerospositivoscuyaparteenteratiene3cifras.e) Temperaturainferiora25C.f) Nmerosparalosqueexistesurazcuadrada(esunnmeroreal).g) Nmerosqueestnde5aunadistanciainferiora4.
28. Expresaenformadeintervalolossiguientesentornos:
a)E(1,5)b)E(2, 8
3)
c)E(10;0,001)29. Expresaenformadeentornolossiguientesintervalos:
a)(4,7)b)(7,4)c)(3,2)
30. Los sueldos superiores a 500 pero inferiores a 1000 se pueden poner como intervalo de
nmerosreales? *Pista:600,222333puedeserunsueldo?
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23 Nmerosreales.4BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA
Foliosy 2Ya sabemos que un cuadrado de lado L tiene una diagonal quevale 2 L,veamosalgoms:LaimagenrepresentaunfolioconlanormaDIN476queeslamsutilizadaanivelmundial.EstanormaespecificaqueunfolioDINA0tieneunasuperficiede1m2yquealpartirlopor lamitadobtendremosunDINA1quedebeserunrectngulosemejantealanterior.PartiendoelA1en2igualesobtenemoselDINA2,despuselDINA3yelDINA4queeselmsusado.Todossonsemejantesalosanteriores.Qusignificasersemejante?Puesque AD AB
AB AM ,peroAM=AD/2luego
2 21 22 2
ADAB AD AB AD AB PorlotantoenlosfoliosDIN476:laraznentreellargoyanchoes 2 .No queda aqu la cosa, fjate que al partir el folio en 2 partesigualeselnuevofoliotieneelladomayorquecoincideconelladomenor del original: AB es ahora el lado mayor y antes era elmenor,comoAB=AD/ 2 resultaque larazndesemejanzaes
2 .Esdecir,parapasardeunfolioA0aotroA1dividimossusladosentre 2 .Lomismoparalossiguientes.Calculemoslasdimensiones:ParaelA0tenemosqueelreaesADAB=1m2
2 4 1 2 2 22
AD AD AD AD 1,189m;
AB=4 22 0,841m.ParaobtenerlasmedidasdelA4
dividiremos4vecesentre 2 :Largo=
4
42
2 0,297m=29,7cm
Ancho=Largo/ 2 0,210m=21,0cm
Largo (cm) Ancho (cm) rea (cm2)A0 118,92 84,09 10000 A1 84,09 59,46 5000 A2 59,46 44,04 2500 A3 42,04 29,83 1250 A4 29,73 21,02 625 A5 21,02 14,87 415,2
Unatabla
1) Compruebalosvaloresdelatablaanterior(hayalmenosdosvaloresequivocados)2) CuntosfoliosA4cabenenunfolioA0?3) CulessonlasdimensionesdelA6?,ydelA7?
Cuestiones:
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24 Nmerosreales.4BdeESO
Elnmerodeoro
El nmero de Oro (o Razn Area) llamado (fi) es precisamente el valor de esaproporcin,as:
Yatenemosdoscuriosidades:
DondeFneselnsimoNmerodeFibonacci.Estosnmerosson1,1,2,3,5,8,13,21,34dondecadatrminoapartirdelterceroseobtienesumandolosdosanteriores.MsrelacionesentreelNmerodeOroylaSucesindeFibonacci:a)Sivamosdividiendounnmerode lasucesinentresuanteriorobtenemos:1/1=1;2/1=2;3/2=1,5;5/3=1,666;8/5=1,6;13/8=1,625Comopuedeverse,nosacercamosrpidamentealvalordelnmerodeOro,primeropordebajo,despusporarriba,pordebajo,alternativamente.b)FormuladeBinet:Para calcular un nmero de Fibonacci, por ejemplo el que ocupa el lugar 20 hay quecalcularlos19anteriores.Estono tienequesernecesariamenteas,puesBinetdedujoesta frmula,queparaelautoresunadelasmsbonitasdelasmatemticas.
21; 1 1 0
1 5 1,6180342
a a b ab a b
2 11 1
2
3
4
1
12 13 2
... n n nF F
1 2
1
5
nn
nF
Actividades:a)CalculaF31yF30conlafrmuladeBinet.b)HazelcocienteymirasiesunabuenaaproximacindelNmerodeOro.
Dividimosunsegmentoendospartesdeformaquesidividimoslalongituddelsegmentototalentrelapartemayor debe de dar lomismo que al dividir la partemayorentrelapartemenor.Tenemosque(a+b)/a=a/b.
Siporejemplosustituimosnpor20obtenemosF20=6765.Realmentepodemosprescindirdel2trminodelnumerador,paran>3sehacemuchomspequeoqueelprimero.Porejemplo,paran=6,sihacemos
6
5 obtenemos8,0249queredondeadoes8,elvalorcorrecto.
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25 Nmerosreales.4BdeESO
ElpentgonoregularyelNmerodeOro.
Enunpentgonoregularlaraznentreunadiagonal y el lado es . Como sabemosconstruir , la construccin de unpentgonoregulaesmuysencilla:Si AB va a ser un lado de nuestropentgono, construimos el punto FalineadoconAyBquecumplaAF/ABigualaFi(seindicacmohacerloeneltexto).Entonces,ABserelladoyAFlamedidadeladiagonal.Trazamos la mediatriz de AB y unacircunferencia de centro A y radio AF. Secortan en D que es un vrtice delpentgono.Trazamos ahora una circunferencia concentroByradioAB,secortaconlaanterioren C que es otro vrtice del pentgono.SloquedahallarEqueesmuyfcil.Elpentgonoregularconsusdiagonalesseconoce como Pentagrama Mstico yparece ser que volva loquitos a lospitagricos,enlelnmerodeOroaparecedeformadesmesurada.Del Pentagrama hemos sacado estetringulo, llamado Tringulo ureo quepermite obtener ms tringulos ureoshaciendo labisectrizenunode losngulosigualesyformarestaespiral.Estaespiralesparecida a la Espiral urea, a la deFibonacciyalaespirallogartmicaqueesla
l i h
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26 Nmerosreales.4BdeESORESUMEN
EjemplosConjuntosdenmeros
Naturales N ={0,1,2,3,};Enteros Z ={,3,2,1,0,1,2,3,}Racionales Q = }0,,;{ bZbZa
ba
; Irracionales I = Q;= QI
Fraccionesyexpresindecimal
Todas las fraccionestienenexpresindecimalexactao peridica. Toda expresin decimal exacta operidicasepuedeponercomofraccin.
175 70,1751000 40
X=1,7252525=854/495
2 irracional 2 nopuedeponersecomofraccin. ErrorAbsoluto ErrorAbsoluto(EA)= valor real valor aproximado 3 1,73:EA0,0021.Cotadelerror Hallamoslacotacalculandounvalormayor EA0,003ErrorRelativo
ER= EAValor real
ER=3
0021,0 0,00121
Controldelerror Encadasumaorestaelerrorabsolutoeslasumadeloserroresabsolutos.Loserroresrelativossesumanalmultiplicardosnmeros.
Densidad Losnmerosrealesylosnmerosracionalessondensos.Entrecadadosnmeros,siemprepodemosencontraraotro.
Representacinenlarectareal
Fijado un origen y una unidad, existe una biyeccinentrelosnmerosrealesylospuntosdelarecta
Intervaloabierto Intervalo abierto en el que los extremos nopertenecenalintervalo
(2,7)={x/2
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27 Nmerosreales.4BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.
1. Laimageneslarepresentacindeunnmeroirracional,cul?
2. Representadeformaexactaenlarectanumrica:3,375;3,6663. Representadeformaexactaenlarectanumrica: 108; 2 5;
2
4. Hallaelvalorexactode 0,40,4
sincalculadora.
5. Diculesdeestasfraccionestienenexpresindecimalexactayculesperidica:
9 30 37 21; ; ;40 21 250 15
6. Halla3fraccionesa,b,ctalque 3 19
4 25a b c
7. Hazentucuadernounatablaydiaquconjuntospertenecenlossiguientesnmeros:2,73535; 2 ; 5 32 ; 2
0;10100;102
34;2,5;0,1223334444
8. Contestaverdaderoofalso,justificandolarespuesta.
a)Q( Q)={0}b)ZQc)Larazcuadradadeunnmeronaturalesirracional.d) 7 Qe)1/47tieneexpresindecimalperidica.
9. Ponejemplosquejustifiquen:
a)Lasumaylarestadenmerosirracionalespuedeserracional. b)Elproductoodivisindenmerosirracionalespuedeserracional.10. Quserlasumadenmeroracionalconotroirracional?(Piensaensuexpresindecimal)
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28 Nmerosreales.4BdeESO11. Lasumade2nmerosconexpresindecimalperidicapuedeserunentero?12. Expresaconpalabraslossiguientesintervalososemirrectas:
a. (7,7]b. / 3 5x x c. d. (2,+)
13. Cuntosmetroshaydediferenciaalcalcularelpermetrode laTierraponiendo 3,14en
lugardesuvalorreal?,esmuchoopoco?Bsicamentetienesquehallarelerrorabsolutoyelrelativo.*Radioaproximadamente6370km
14. 12)LosantiguoshicieronbuenasaproximacionesdePi,entreellascitemosaArqumedes(sigloIIIa.C)con211875/67441yaPtolomeo(sigloIId.C,)con377/120.Culcometimenorerrorrelativo?
15. LosiguienteesunPitexto:Soyyseratodosdefinible,minombretengoquedaros,cociente
diametralsiempreinmediblesoydelosredondosaros.(ManuelGolmayo)Cuentayapuntaelnmerodeletrasdecadapalabrayversdedondevienesunombre.Inventaunafraseconlamismapropiedad,noesnecesarioqueseatanlargo(almenos10palabras)
16. Halla:
a) (3,5]U(4,6]b) (3,5](4,6]c) (,2](2, )
17. Puedeexpresarsecomoentornounasemirrecta?
18. Expresacomoentornosabiertoslossiguientesintervalos:a. (0,7)b. (8,2)c. (2, )
19. Expresacomointervalosabiertoslossiguientesentornos:a) E(2,2/3)b) E(7,1/2)
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29 Nmerosreales.4BdeESO20. UnnumeroirracionaltanimportantecomoPieselnmeroe. 2,718281828...e queparece
peridico,perono,no loes.Sedefinecomoelnmeroalqueseacerca 11n
n cuandonse
hacemuy,peroquemuygrande.Cogelacalculadoraydaleanvalorescadavezmayores,porejemplo:10,100,1000,Apuntalosresultadosenunatabla.
21. Otraformadedefinirees 1 1 1 11 ...
1! 2! 3! 4!e
Quedirs t quesonesosnmeros tanadmirados!,se llama factorialyesmuysencillo:4!=4321=24,semultiplicadesdeelnmerohastallegara1.Porejemplo:6!=654321=720.Notepreocupes,quelatecla!estenlacalculadora.Puedescalcularecon6cifrasdecimalescorrectas?*Nota:Fjatequeahoralaconvergenciaesmuchomsrpida,slohastenidoquellegarhastan=?
Ahora trabajamos con valores exactos, ni las fracciones ni los irracionales se sustituyen por su
expresindecimal,ejemplos:34 5 500
3 33 2 2 2 5 2
22. Hallaelreayelpermetrodeunrectngulodelados 2 8y m.23. Hallaelreayelpermetrodeuncuadradocuyadiagonalmide2m.
24. Hallaelreayelpermetrodeunhexgonoregulardelado 3 m.25. Hallaelreayelpermetrodeuncrculoderadio 10 m.
26. Hallaelreatotalyelvolumendeuncubodelado 3 7 m.27. Porqunmerohemosdemultiplicar los ladosdeunrectnguloparaquesureasehagael
triple?
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30 Nmerosreales.4BdeESO28. Cuntodebevalerelradiodeuncrculoparaquesureasea1m2?29. Tenemos una circunferencia y un hexgono inscrito en ella. Cul es la razn entre sus
permetros?(Raznesdivisinocociente)30. Qunmerosalcuadradodan7?31. Qunmerosrealesalcuadradodanmenosde7?32. Qunmerosrealesalcuadradodanmsde7?
33. Medirel tamaode laspantallasenpulgadas ()yanoparecemuybuena idea.Lamedidase
refierea la longitudde ladiagonaldelrectngulo,as,unatelevisinde32serefiereaque ladiagonalmide32.Esonodamucha informacinsinosabemos laproporcinentre los lados.Lasmsusualesenlaspantallasdetelevisinyordenadorson4:3y16:9.Siunapulgadason2,54cm,culessernlasdimensionesdeunapantallade32conproporcin4:3?,ysilaproporcines16/9?Cultienemayorsuperficie?
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31 Nmerosreales.4BdeESOAUTOEVALUACIN
1) Sabesaquconjuntospertenecenlosdistintosnmeros.
Indicaenunatablaoundiagrama(comoeldeltexto)aquconjuntosnumricospertenecenlossiguientesnmeros:0;2;3/4,7,3;6,252525, 2 ; 3 4 ; 4 16 ;1,123124125;2,999
2) Sabesredondearconunnmeroadecuadodecifrasycalculaselerrorrelativoparacompararaproximaciones.Sabeshallarunacotaparaelerrorabsolutoyelrelativo.
a) Lossiguientesnmerossehanredondeado,hallaunacotadelerrorabsolutoydelerrorrelativo:a_1)3,14a_2)45600conredondeoenlascentenas.
b) Sitomamos 210 3,16 0,673
y encualdelasaproximacionescometemosproporcionalmentemenorerror?
3) Sabescuandounafraccintieneexpresindecimalexactaoperidicasinhacerladivisin.
Prubaloconestas:30/150;30/21
4) Sabespasardedecimalafraccinparatrabajarconvaloresexactos:Halla:0,72525+0,27474
5) SabesrepresentarnmerosracionaleseirracionalesdeformaexactaRepresentadeformaexacta 21 30; ; 10; 7
9 7
6) Dominaslasdistintasformasynotacionesdeunintervaloosemirrecta(intervalo,conjuntocondesigualdadesygrfica).Expresa en forma de intervalo (o semirrecta), en forma de desigualdad y representagrficamente:
a) Nmerosrealesinferioresoigualesque1b) Nmerosrealescomprendidosentre4y2,incluidoel1peronoel2.
7) Sabespasardeunentornoaunintervaloyviceversa.
a) Escribecomointervalo:E(2,2/3)b) Escribecomoentornoelintervalo(5/2,7/3)
8) Sabesresolverproblemastrabajandoconcantidadesexactas.
Hallaelrea,elvolumenyladiagonalprincipaldeunortoedrodelados 5 ;2 5 3 5y m.
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Autor:JOSEANTONIOENCABODELUCAS
Revisora:NievesZuastiIlustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
MATEMTICAS:4BESOCaptulo2:
POTENCIASYRACES
Matemticas4deESO.Captulon2:Potenciasyraces Autor:JosAntonioEncabodeLucas Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
33 Potenciasyraces.4BdeESOndice
1.POTENCIASDEEXPONENTEENTERO.1.1.POTENCIASDEEXPONENTENATURAL1.2.POTENCIASDEEXPONENTENEGATIVO
2.PROPIEDADESDELASPOTENCIAS.EJEMPLOS3.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.RADICALES
3.1.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.DEFINICIN3.2.RADICALES.DEFINICION.EJEMPLOS.3.3.POPIEDADESDELOSRADICALES.EJEMPLOS
4.OPERACIONESCONRADICALES.RACIONALIZACION4.1.OPERACIONES.DEFINICIN.EJEMPLOS4.2.RACIONALIZACION.EJEMPLOS4.3.EJEMPLOSPARARESOLVER.
5.NOTACIONCIENTFICA.5.1.DEFINICIN.EJEMPLOS.5.2.OPERACIONESCONNOTACIONCIENTFICA.
ResumenEn este captulo vamos a estudiar las potencias deexponentenaturalyenteroconsuspropiedades.Aprenderemos a operar con las potencias aplicando suspropiedades.Estudiaremos laspotenciasdeexponenteracional,quesonlos radicales, sus propiedades y as como las operacionesquepodemosrealizarconellos.Nos detendremos en la racionalizacin, que es unaoperacin muy utilizada en matemticas que lanecesitaremosparaoperarconradicales.Enelfinaldelcaptuloestudiaremoslanotacincientfica,laspropiedadesparapoderoperarconestetipodenotacinyaprenderemosaoperarconestanotacin.
Matemticas4deESO.Captulon2:Potenciasyraces Autor:JosAntonioEncabodeLucas Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
34 Potenciasyraces.4BdeESO1.POTENCIASDEEXPONENTEENTERO.PROPIEDADES1.1.Potenciasdeexponentenatural.Recuerdaque:Dadoa,unnmerocualquiera,yn,unnmeronatural,lapotenciaaneselproductodelnmeroaporsmismonvecesEn formadesarrollada, lapotenciadebaseayexponentenseescribe:an=a a a a,nveces,siendoacualquiernmeroynunnmeronaturalEjemplo:35=33333, 5veces(3)5=(3)(3)(3)(3)(3),5veces. Labaseapuedeserpositivaonegativa.Cuando labaseespositivael resultadoessiemprepositivo.Cuandolabaseesnegativa,sielexponenteesparelresultadoespositivo,perosiesimparelresultadoesnegativo.Sicalculamoslosejemplosdearribatendremos:35=3 3 3 3 3=243.Resultadopositivoporquemultiplicounnmeropositivo5veces.(3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) =243.Multiplicounnmeronegativounnmeroimpardeveces,porloqueelresultadoesnegativo.Cadavezquemultiplicamosdosvecesdosnmerosnegativosnosdaunopositivo,comotenemos5,quedaraunsignomenossinmultiplicar,luego(+)()=().Recuerdaque:Actividadesresueltas: Calculalassiguientespotencias:
a)(3)5=(3)(3)(3)(3)(3)=243b)24=2222=16c)(2)4=(2222)=16Actividadespropuestas:1. Calculalassiguientespotencias:
a)x3 b)(x+1)3 c)(2x)2
Basepositiva:resultadosiemprepositivo.Basenegativayexponentepar:resultadopositivo.Basenegativayexponenteimpar:resultadonegativo
Matemticas4deESO.Captulon2:Potenciasyraces Autor:JosAntonioEncabodeLucas Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
35 Potenciasyraces.4BdeESO1.2. Potenciasdeexponentenegativo:Definicindepotenciadeexponentenegativonybasea:
an=1/anEstosejustificayaquesedeseaquesesiganverificandolaspropiedadesdelaspotencias:
am/an=amn.am/am+n=am(m+n)=an=1/an.
Ejemplo:52eslomismoque(1/5)2. 1/2.PROPIEDADESDELASPOTENCIAS.EJEMPLOS:Laspropiedadesdelaspotenciasson:
a) Elproductodepotenciasdelamismabaseesigualaotrapotenciadelamismabaseycomoexponentelasumadelosexponentes.
anam=am+nEjemplo:3234=(33)(3333)=34+2=36
b) Elcocientedepotenciasdelamismabaseesigualaotrapotencia que tiene como base la misma, y comoexponenteladiferenciadelosexponentes.
an:am=anmEjemplo:55/53=(55555)/(555)=553=52
c) La potencia de una potencia es igual a la potencia cuyo exponente es el producto de losexponentes.
(an)m=anmEjemplo:(72)3=(77)(77)(77)=76
d) Elproductodepotenciasdedistintabase conelmismoexponentees igualaotrapotenciacuyabaseeselproductodelasbasesycuyoexponenteeselmismo:
anbn=(ab)n
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36 Potenciasyraces.4BdeESOEjemplo:3252=(33)(55)=(35)(35)=(35)2
e) Elcocientedepotenciasdedistintabaseyelmismoexponentees igualaotrapotenciacuyabaseeselcocientedelasbasesycuyoexponenteeselmismo.
an/bn=(a/b)nEjemplo:83/73=(888)/(777)=(8/7)(8/7)(8/7)=(8/7)3Todas estas propiedades de las potencias que se han citado para los exponentes naturales siguensiendovlidasparaotrosexponentes:negativos,fraccionariosActividadesresueltas:
Calculalassiguientesoperacionesconpotencias:a)3592=35(32)2=3534=39b)(23)3=233=29c)53/50=530=53d)34/35=34(5)=34+5=39
Actividadespropuestas:2. Efectalassiguientesoperacionesconpotencias:
a)(x+1)(x+1)3 b)(x+2)3:(x+2)4 c){(x1)3}4 d)(x+2)(x+1)3
3.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.RADICALES3.1.Potenciasdeexponenteracional.Definicin.Sedefinelapotenciadeexponentefraccionarioybaseacomo: Ejemplo:Exponentesfraccionarios:
4 34/3 16)16( Las propiedades citadas para las potencias de exponente entero son vlidas para las potencias deexponentesfraccionariosEjemplo:
46488 33 23/2
ar/s= s ra
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37 Potenciasyraces.4BdeESO3.2.Radicales.Definicin.EjemplosSedefineraznsimadeunnmeroa,comoelnmerobqueverificalaigualdadbn=a.
ban bn=aSiendo:neselndice,aeselradicandoybeslaraznsimadea
Importante:nsiempreespositivo.Noexistelaraz5.Observaquesepuededefinir:a1/n= n a yaque:(a1/n)n=a(1/n)n=a1=a.Comoa1/nsatisfacelamismapropiedadquebdebenserconsideradoscomoelmismonmero.
Ejemplos:82)2(2)2(16)16( 34/124 1234 44 34/3
82/3= 4648 33 2
3.3.Propiedadesdelosradicales.Ejemplos.Laspropiedadesde laspotenciasenunciadasanteriormenteparaelcasodeexponentesfraccionarios,tambinsepuedenaplicaralasraces:
a) Simultiplicamoselndicedeunaraznporunnmeroc,yalavezelevamoselradicandoaesenmerocelvalordelaraznovara.
Severifica 0c severificaque:pn pn aa . .
La radicacin de ndice n es la operacin inversa de lapotenciacindeexponenten.Porladefinicinderaznsimadeunnmeroaseverificaquesibesraz,entonces:
ban bn=a
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38 Potenciasyraces.4BdeESODemostracin:
nnnpp
pn p aaaa 1
.. Ejemplo:
63 255 .Severificapuestoquesegnacabamosdever: 62.3 2 255 b) Paramultiplicarracesdelmismondice,semultiplicanlosradicandosysehallalarazdendice
comn:nnn baba .. .
Segnlaspropiedadesdelaspotenciasdeexponentesenterosseverificaque:nnnnnn babababa
111
)( c) Paradividirracesdelmismondicesedividenlosradicandosysehallalarazdelndicecomn.
Suponemosqueb0paraquetengasentidoelcociente.n
n
n
ba
ba
.Siescribimos:
n
n
n
nnn
ba
b
aba
ba 1
11
)( .
Ejemplo:
aaaaa
aa 3 33 473 4
7
3 4
3 7
d) Paraelevarunradicalaunapotenciabastaconelevarelradicandoadichapotencia:n mmn aa )(
Estapropiedadlapodemosdemostrarcomosigue:
n mmnmmnmn an
aaaa
1
1
e) Larazdeunarazesigualalarazcuyondiceeselproductodelosndices:nmm n aa .
Severificaque:
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39 Potenciasyraces.4BdeESOnmmn
mnm n aaaa
11
1
Ejemplo:23015301515 30153 5 3015 15
1151
151
)()()( yxyxyxyxyx Actividadesresueltas:
Reduceandicecomnlossiguientesradicales: 23 70;536 ;)672(672536 6 233 33
6 3332 75275270 .
Sacafactoresfueradelaraz:
222 222 322 3633233232108 Ponerlossiguientesradicalescomounasolaraz:
66 263
43
6 3
6 26 3
6
3
183.23.22.3
3.24.3
244.3
Actividadespropuestas:3. Calcula:
a) 23 96 ).( ba b) 3343.
32 c) 212 3 ))1(( x
4. Halla:
a) 4 22 43:
5 yx
yx b)
32:
35
5. Realizalassiguientesoperacionesconradicales:a) 4
24
3:5 y
xyx b)( 35 2 ))3( x
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40 Potenciasyraces.4BdeESO4.OPERACIONESCONRADICALES:RACIONALIZACION.4.1.Operaciones.Definicin.EjemplosSumayrestaderadicales:
Parasumarestosradicaleshayquesumarsusexpresionesaproximadas.Sinembargolaexpresin:
517551157 sisepuedesumaryrestarpuestoquesusradicalessonidnticosEjemplo:
.5.223.21250818 432 Porlaspropiedadesdelosradicalespodemossacarfactoresdelradicaldejandoquetodoslosradicalesseanidnticos:
2302)2523(225222325522235522232 2222 Productoderadicales:Paramultiplicarradicalesdebemosconvertirlosenradicalesdeigualndiceymultiplicarlosradicandos:
15 5915 53315 5335 727)2(7878
RECUERDA:Parasumaryrestarradicalesestosdebendeseridnticos:
1.Calculamoselm.c.m.delosndices2.Dividimoselm.c.mentre cada ndicey lomultiplicamosporelexponentedel radicandoysimplificamos
PARAPODERSUMARORESTARRADICALESES NECESARIOQUETENGANELMISMONDICEYELMISMORADICANDO.SOLOCUANDOESTOSUCEDEPODEMOSSUMARORESTARLOSCOEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMORADICAL
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41 Potenciasyraces.4BdeESODivisinderadicales:Paradividirradicalesdebemosconseguirquetengan igual ndice,comoenelcasoanteriorydespusdividirlosradicales.Ejemplo:
66 126 343
63
2236
23
6
3
182.33.22.3
3.2)2.(3
244.3
244.3
Razdeunaraz:Es larazcuyo ndiceeselproductode los ndices (segnsedemostren lapropiedade),ydespussimplificamosextrayendofactoresfueraelradicalsisepuede.Ejemplo:
3 57 yx = 6 57 yx = 6 56 516 yxxyxx Ejemplo:
Extraefactoresdelradical:
yyxx
yx
yx
22222
232
52
3
5
53572
5372
7528 =
Losfactoresquepodramosextraerseranel2,xyel5,delasiguientemanera:Dividimoselexponentedelax,5,entre2,yaqueelndicedelarazes2,ytenemosdecociente2yderesto1,porloquesaldrndosxyqueda1dentro.Deigualformaparalay,dividimos3entre2yobtenemos1decocienteyunoderesto,porloquesale1yysequedaotradentro.Veamos:
RECUERDA:Paraextraer factoresdel radical sedebecumplirqueelexponentedel radicando seamayorqueelndicedelaraz.2opciones:
Se divide el exponente del radicando entre el ndice de la raz, el cocienteindicaelnmerodefactoresqueextraigoyelrestolosquesequedandentro.
Sedescomponenlosfactoresdelradicandoelevndolosalmismondicedelaraz, cada exponente que coincida con el ndice, saldr el factor y los quesobrensequedandentro
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42 Potenciasyraces.4BdeESOyy
xyy
xyy
xx335
52
375
5.2
53572 22
122
2.22
Actividadespropuestas:6. Escribebajounsoloradicalysimplifica:2 2 2 2 2 2 86.5.4.3.2 7. Calculaysimplifica:
6 45
3 544 33
.
...
yxyxyx
8. Realizalasiguienteoperacin:
xxx 73 16 9. Calculaysimplifica:
432
259
83 x
x 4.2.Racionalizacin.Ejemplos.Racionalizarunafraccinalgebraicaconsisteenencontrarotraequivalentequenotengaradicaleseneldenominador.Paraello,hayquemultiplicarnumeradorydenominadorporlaexpresinadecuada.Cuandoenlafraccinsolohaymonomios,semultiplicaydividelafraccinporunmismonmeroparaconseguircompletareneldenominadorunapotenciadelmismoexponentequeelndicedelaraz.Ejemplo:
4 36x
.
Multiplicamos y dividimos por 4 x para obtener en el denominador una cuarta potencia y quitar elradical.
44 4
4
4 3
4
4
4
4 3
44
3 616666 xxx
xxx
xxx
Cuandoen la fraccinapareceneneldenominadorbinomiosconracescuadradas,semultiplicaysedivideporunfactorqueproporcioneunadiferenciadecuadrados,estefactoreselfactorconjugadodeldenominador.
ba ( ,suconjugadoes: ba ( ).
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43 Potenciasyraces.4BdeESOOtroejemplo: )( ba suconjugadoes: )( ba
Ejemplo:
53
23
Multiplicamosporelconjugadodeldenominadorqueenestecasoes: 53
53)53(23
53)(53()53(23
5323
Actividadespropuestas:10. Racionalizalaexpresin:
yxyx2
3
11. Racionaliza:232.23.3
12. Racionaliza:25
2.25.5
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44 Potenciasyraces.4BdeESO5.NOTACIONCIENTFICA.5.1.Definicin.Ejemplos.Lanotacincientficaseutilizaparaescribirnmerosmuygrandesomuypequeos.Laventajaquetienesobrelanotacindecimalesquelascifrassenosdancontadas,conloqueelordendemagnituddelnmeroesevidente.Ejemplos:
2,481014(=248000000000000):Nmerogrande. 7,5611018(=0,000000000000000007561):Nmeropequeo.
5.2.OperacionesconnotacincientficaParaoperarconnmerosdadosennotacincientficaseprocededeformanatural,teniendoencuentaquecadanmeroestformadopordosfactores:laexpresindecimalylapotenciadebase10.Elproductoyelcocientesoninmediatos,mientrasquelasumaylarestaexigenprepararlossumandosdemodoquetenganlamismapotenciadebase10y,aspodersacarfactorcomn.Ejemplos:a)(5,24106)(6,3108)=(5,246,3)106+8=33,0121014=3,30121015
Unnmeropuestoennotacincientficaconstade: Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero.(la de las
unidades) Elrestodelascifrassignificativaspuestascomopartedecimal Unapotenciadebase10quedaelordendemagnituddelnmero.N=a,bcd...10nsiendo:asuparteentera(solounacifra)bcdsupartedecimal10nLapotenciaenteradebase10Sinespositivo,elnmeroNesgrandeYsinesnegativo,entoncesNespequeo
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45 Potenciasyraces.4BdeESOb)
1314)8(68
6
10317,8108317,010)3,6:24,5(103,61024,5
c)5,83106+6,93210127,51010=5,83109+693210975109=(5,83+6,93275)109==6862,83109=6,862831012
Actividadespropuestas:13. Calcula:a)(7,83105)(1,841013) b)(5,2104):(3,2106)
14. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)
56
45
10.51010.710.3
b) 7
3
4
102,310.5
10.35,7 15.Realizalassiguientesoperacionesyefectaelresultadoennotacincientfica:a)(4,31037,2105)2b)(7,8107)3
RECUERDA: Para multiplicar nmeros en notacin cientfica, se multiplican laspartesdecimalesysesumanlosexponentesdelapotenciadebase10.
Para dividir nmeros en notacin cientfica, se dividen las partesdecimalesyserestanlosexponentesdelapotenciadebase10.
Si hace falta semultiplica o se divide el nmero resultante por unapotencia de 10 para dejar la parte decimal con una sola cifra en laparteentera
RECUERDA: Parasumarorestarnmerosennotacincientfica,hayqueponerlosnmerosconlamismapotenciadebase10,multiplicandoodividiendoporpotenciasdebase10.
Se saca factor comn la potencia de base 10 y despus se suman o restan los nmerosdecimalesquedandounnmerodecimalmultiplicadoporlapotenciade10.
Porltimosihacefaltasemultiplicaosedivideelnmeroresultanteporunapotenciade10paradejarlapartedecimalconunasolacifraenlaparteentera
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46 Potenciasyraces.4BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA
POTENCIASDE11Laspotenciasde11Las potencias enteras de 11 no dejan de llamarnuestraatencinypuedenser incluidasentre losproductoscuriosos:
11x11=12111x11x11=1331
11x11x11x11=14641Disposicin no menos interesante presentan losnmeros 9, 99, 999, etc. cuando son elevados alcuadrado:
92=81992=9801
9992=99800199992=99980001
Valelapenaobservarqueelnmerodenuevesdelaizquierdaesigualalnmerodecerosdeladerecha,quesesitanentrelosdgitos8y1.
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47 Potenciasyraces.4BdeESO
NMEROSGRANDESLosprimerosnmerosqueseacercananuestradefinicindeloque es infinito los podemos tomar de la misma naturaleza,contandoelementosmuypequeosqueexistenenabundancia,comosonlasgotasdelmar(1x1025gotas),losgranosdearenaentodaslasplayasdelmundo(5,1x1023granos)oelnmerodeestrellasde todoelUniverso conocido (3x1023estrellas).Podemosinclusotomarelnmerodepartculaselementalesdeluniverso(1x1080)siqueremosobtenerunnmeromsgrande.
SiqueremoshallarunnmeromsgrandeGoogol,acuadoporunniode9aosen1939,posee100ceros,yfuecreadocon el objetivo de darnos una aproximacin hacia lo quesignifica el infinito. Pero hoy en da se conocen cantidades(mucho)msgrandesqueelGoogol.
Tenemos por ejemplo, los nmeros primos de la forma deMersenne, que han podido ser encontrados gracias a lainvencinde las computadoras.En1952,elnmeroprimodeMersennemsgrandeera(21017)1,unnmeroprimocon39dgitos, y esemismo ao, las computadoras probaron que elnmero (210521)1 es tambin primo, y que dicho nmeroposee 157 dgitos, siendo este mucho ms grande que unGoogol
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48 Potenciasyraces.4BdeESORESUMEN:
EjemplosPotenciasdeexponentenaturalyentero
an=1/an
(3)2=(3).(3)=9( 4)2()
21 22
Propiedadesdelaspotencias
an.am=am+nan:am=anm(an)m=an.man.bn=(a.b)nan/bn=(a/b)n
(3)3(3)3=(3)3+3=(3)653:52=521=51(35)2=(3)5.2=(3)10(2)3(5)3=((2)(5))334/24=(3/2)4
Potenciasdeexponenteracional.Radicales a
r/s= s ra 4 34/3 16)16(
Propiedadesdelosradicales
pn pn aa . nnn baba ..
nn
n
ba
ba
n mmn aa )( nmm n aa .
62.3 2 255 3333 62332
aaaaa
aa 3 33 473 4
7
3 4
3 7
5 335 2)2(
6233 2 555 Operacionesconradicales
Suma y resta de radicales: Para sumar y restarradicalesestosdebendeseridnticos:Productoycocientederadicales:Paramultiplicarodividir radicales debemos convertilos en radicalesde igual ndice y multiplicar o dividir losradicandos:Razdeunaraz:Eslarazcuyondiceeselproductodelosndicesydespussimplicamosextrayendofactoresfueraelradicalsisepuede.
5.1755.115 1515 53315 5335 27.)2(7.87.8 66
3
436
3
2236
23
6
3
33.22.3
3.2)2.(3
244.3
244.3
3 57 .yx = 6 57 . yx =6 56 516 .... yxxyxx
Racionalizacinderadicales
Se suprimen las races del denominador. Se multiplicanumerador y denominador por la expresin adecuada(conjugadodeldenominador,radicaldelnumerador,etc.) 5
55.5
551
251 3
33 2
3
3 23
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49 Potenciasyraces.4BdeESO
2235
)3(535
)35).(35(35
351
22
Notacincientfica
5,83109+6,93210127,51010=5,83109+693210975.109=(5,83+693275)109=6862,83109=6,862831012
(5,24106)(6,3108)=33,0121014=3,320121015
1314
)8(68
6
10.317,8108317,0
10)3,6:24,5(103,61024,5
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50 Potenciasyraces.4BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS:
Potencias:1. Expresaenformaexponencial:
a)641 b) 5t
t c) 2)1
1( z d) 52
8127
e) 48
72
..
yxyx
2. Calcula:
a) 21
4 b)125 31
c)625 65
d)(64 65
32
) e)(8 52
34
)
Radicales:3. Expresarenformaderadical:
a)x 97
b)( 31
35 )nm c)[(x 51
31
2 ]) d)a 31
21
b 4. Expresarenformaexponencial:
a) 53 2 )( x b) 613
aa c) n m ka d) 3 )15( xx e) 4 )23(2 )( xx f) 3 4 2 5
12 )(x
5. Expresacomopotencianica:
a) 23 8
aa b)
3 25125 c)
aaa.
3 2 d)2 341 e)a.
a1 f) 4 22
21 g)
aa
aa 33
3 2
Propiedadesdelosradicales:6. Simplifica:
a) 9 64 b)2165 c)
33
4 53
..cbacba d) 3 4 75xx e) 8)2( f)
6 45
4 3 5433
.
yx
yxyx g) 5 10 322 .3 xxx
7. Extraerfactoresdelradical:
a) 3 432x b) 3 5381 cba c) 10)2( d) 4 6225
cba d) 4
58ba e)
3
5
7528
yx f) 4
3
4532
ba
8. Introducirfactoresenelradical:
a)2.23 b)3.
32 c)2. 3
41 d) 4
125.2 e) 12
21 f) 3
49
32
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51 Potenciasyraces.4BdeESOOperacionesconradicales:9. a) 3 23 43 23 . bbaa b) abaaba 8105 3 c)
4
6
1020 d) 44
320:
125 e)
32:
23 f)
243
10. Efecta:
a) 825018 b) aa 1850 c) 50080320 d)47
647
e) 5323965 f) 33
85
8135 g) 2454150
Racionalizar11. Racionalizalosdenominadores:
a)3 25 b)
323 c) 23
4 d) 23
6 e) 32
3 f) 35
35
12. Racionalizaysimplifica:
a)352
11 b) 322
2 c) 5`6
523 d)
223223
e)
752212154
f)
11
2 xx
13. Efectaysimplifica:
a)3636(
)(3+2 2 b) 53
15)15( 2
c)(131
31(:)31
3
Notacincientfica:14. La masa del Sol es 330000 veces la de la Tierra,
aproximadamente, y esta es 5,981021 t. Expresa en notacincientficalamasadelSol,enkilogramos.
15. Elservivomspequeoesunvirusquepesadelordende1018 g y elms grande es laballenaazul,quepesa, aproximadamente,138 t. Cuntos virus serannecesarios para conseguir el pesodelaballena?.
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52 Potenciasyraces.4BdeESO16. Los cinco pasesms contaminantes delmundo (Estados Unidos,China,Rusia,JapnyAlemania)emitieron12billonesdetoneladasdeCO2enelao1995,cantidadquerepresentael53,5%delasemisionesdetodoelmundo. Qu cantidad de CO2 se emiti en el ao 1995 en todo elmundo?17. Expresaennotacincientfica:a)Recaudacindelasquinielasenunajornadadela
ligadeftbol:1628000b)ToneladasdeCO2queseemitieronalaatmsferaen1995enEstadosUnidos5228,5milesdemillones.c)Radiodeltomodeoxigeno:0,000000000066m18. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)(3107)(81018)b)(41012)(5103)c)(51012):(2103)d)3,11012+21010e)(4105)219. Expresaennotacincientficaycalcula:a)(75800)4:(12000)4b)
00302,0152000010318000000541,0 c)(0,0073)2(0,0003)2d)
00015,000003,0130000002700000
20. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)
56
45
10510107103
b) 7
3
4
102,3105
1035,7 c)(4,31037,2105)21. Queresultadoescorrectodelasiguienteoperacinexpresadaennotacincientfica:(5,24.106)(8,32105):
a)4,359681012 b)43,59681013 c)4,359681011 d)4,359681013
Matemticas4deESO.Captulon2:Potenciasyraces Autor:JosAntonioEncabodeLucas Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
53 Potenciasyraces.4BdeESOAUTOEVALUACION
1.Elnmero83/4vale:a)undieciseisavo b)Dos c)Uncuarto d)Unmedio.2. Expresa como potencia de base 2 cada uno de los nmeros que van entre parntesis y efectadespuslaoperacin: )
81)(4)(16( 64/1 .Elresultadoes:
a)21/3 b)25/4 c)25/3 d)253.Elnmero: 3 3 864 esiguala:a)61/4 b)21/3 c)25/661/9 d)2
4.Culeselresultadodelasiguienteexpresinsilaexpresamoscomopotencianica?:3
3
168
a)3 2.21 b)
3 222 c)
3 232 d) 3 2
5.Simplificandoyextrayendofactoreslasiguienteexpresintieneunvalor: 2 676 ..625 cba a) 4 223 ....5 cbacba b) 4 2322 ....5 cbacba c) 4 323 .....5 cbacba d) 4 232 .....5 cbacba 6.Culdelossiguientesvaloresesigualaa3/2?.a)a1/2a2 b)a5/2.a1 c)(a2)2 d)a3.a2
7.Culeselresultadodeestaoperacinconradicales?:311228
2563
a)2 7 b) 7811 c) 7.
32 d) 7.
52
8.Unaexpresinconunnicoradicalde: )1()2(2 4 33 xx estdadapor:a) 6 2 )1)(2.( xxx b) 8 32 )1.()2.( xxx c) 12 698 )1.()2.( xxx d) 12 32 )1.()2.( xxx
9.Pararacionalizarlaexpresin:532
32
hayquemultiplicarnumeradorydenominadorpor:
a) 53 b)2 53 c)2+ 5 d) 35 10.Culeselresultadoennotacincientficadelasiguienteoperacin?:5,83109+6,93210127,51010a)6,86283.1012 b)6,862831013 c)6,86231011 d)6,86281012
11.Culeselresultadodelasiguienteoperacinexpresadoennotacincientfica?: 710
103,61024,5
a)0,8317.1017 b)8,3171016 c)8,3171015 d)83,17.1016
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MATEMTICAS:4BESOCaptulo3:
Expresionesalgebraicas.Polinomios.
Matemticas4BdeESO.Captulon3:Expresionesalgebraicas.Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbez Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
55 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOndice
1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS1.1.INTRODUCCIN1.2.EXPRESIONESALGEBRAICAS
2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO2.1.MONOMIOS.POLINOMIOS2.2.SUMADEPOLINOMIOS2.3.PRODUCTODEPOLINOMIOS
3.DIVISINDEPOLINOMIOS3.1.INTRODUCCINALASFRACCIONESPOLINMICAS3.2.DIVISINDEPOLINOMIOS3.3.OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
4.DESCOMPOSICINFACTORIALDEUNPOLINOMIO4.1.FACTORIZACINDEUNPOLINOMIO4.2.RACESDEUNPOLINOMIO4.3.REGLADERUFFINI4.4.CLCULODELASRACESDEUNPOLINOMIO4.5.FACTORIZACINDEPOLINOMIOSYFRACCIONESALGEBRAICAS4.6.PRODUCTOSNOTABLESDEPOLINOMIOS
Resumen
Enmultitudde situacionesel serhumano seveobligadoa cuantificar,amanejar cantidades,datos,nmeros, ya sea para explicar algo ocurrido en el pasado, algn hecho que est sucediendo en laactualidad,oparapredeciropronosticarelcomportamientodedeterminado fenmenoenel futuro.Pese a la dificultad que puedan encerrar esas justificaciones, algunas herramientas son de carctersencillo, como las operaciones usuales de suma, resta, producto y divisin. En ocasiones hay quemanejar datos an no conocidos, por lo que aparecen indeterminadas o variables. La mezcla denmerosrealesylascitadascuatrooperacionesbsicasnosllevaalasexpresionesalgebraicasy,dentrodeellas,destacanunasexpresionesconcretaspor suabundanteusoy simplicidaddeexposicin, lospolinomios.
Matemticas4BdeESO.Captulon3:Expresionesalgebraicas.Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbez Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
56 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS1.1.IntroduccinNohace falta imaginar situaciones rebuscadasparaque,a lahorade realizarun razonamiento,nostopemos con alguna de las cuatro operacionesmatemticas bsicas: suma, resta,multiplicacin odivisin.Ejemplos:
Tres amigos han realizado un viaje de vacaciones. A la vuelta, hansumadolosgastosefectuadosystosasciendena414euros.Elgastorealizadoporcadaunohasidode
3414 euros,esdecir,138euros.
Sivamosacomprarmandarinasauna fruteraen laqueelpreciodeunkilogramoesde125euros, resulta habitual que, segn vamos introduciendo la fruta en una bolsa, vayamostanteandoelimportefinal.Paraellopodemoscolocarvariasveceslabolsasobreunabalanzay,
trasobservarelpeso,realizamoslaoperacinx25'1
donde x eslacantidaddekilogramosquenoshaindicadolabalanza.Despusdecadapesada,el resultadodeesamultiplicacin reflejaelimportedelasmandarinasque,enesemomento,contienelabolsa.
Supongamos que tenemos un contrato con una compaa de telefona mvil por el quepagamos5cntimosdeeuroporminuto,ascomo12cntimosporestablecimientodellamada.Conesatarifa,unallamadade3minutosnoscostar:
27'012'015'012'0)305'0( eurosPero cul es el precio de una llamada cualquiera? Comodesconocemossuduracin,nosencontramosconunacantidadnodeterminada,o indeterminada,por loqueencualquier respuestaquedemosa lapreguntaanteriorseapreciar laausenciadeesedato concreto. Podemos decir que el coste de una llamadacualquieraes
12'005'012'0)05'0( xx eurosdonde x sealasuduracin,enminutos.
Actividadespropuestas1. Afinalesdecadameslaempresadetelefonamvilnosproporcionala
facturamensual.Enellaaparecemucha informacin,enparticular,elnmero totalde llamadasrealizadas (N)ascomo lacantidad totaldeminutos de conversacin (M). Con los datos del anterior ejemplo,justificaqueelimportedelasllamadasefectuadasduranteesemeses:
NMNM 12'005'0)12'0()05'0( euros
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57 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOEjemplo:
Es bien conocida la frmula del rea de un tringulo de base b y alturaasociadah:
2hb
Entodosestosejemploshansurgidoexpresionesalgebraicas.1.2.ExpresionesalgebraicasLlamamosexpresinalgebraicaacualquierexpresinmatemticaqueseconstruyaconnmerosrealesy las operaciones matemticas bsicas: suma, resta, multiplicacin y/o divisin. En una expresinalgebraica puede haber datos no concretados; segn el contexto, recibirn el nombre de variable,indeterminada,parmetro,entreotros.Sienunaexpresinalgebraicanohayvariables,dichaexpresinnoesmsqueunnmeroreal:Ejemplo:
2313
22
23151
23151
215211
152211
1510
1512
211
5352
3534
211
32
54
)7(3
Alfijarunvalorconcretoparacadaindeterminadadeunaexpresinalgebraicaapareceunnmeroreal:elvalornumricodeesaexpresinalgebraicaparatalesvaloresdelasindeterminadas.Ejemplo:
Elvolumendeuncilindrovienedadoporlaexpresinalgebraicahr 2
enlaquereselradiodelcrculobaseyhessualtura.Deestemodo,elvolumendeuncilindrocuyabase tieneun radiode10 cmydealtura15cmesiguala:
32 15001510 cm La expresin algebraica que representa el producto de los cuadrados de dos nmeroscualesquiera x e y sesimbolizapor 22 yx .
Sienlaexpresin
zyxx 6
27 3
particularizamoslastresvariablesconlosvalores4x , 1y ,
21z
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58 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOsurgeelnmeroreal
7124272/1
6)1(4247 3
En una expresin algebraica puede no tener sentido otorgar algn valor a cierta indeterminada. Enefecto,enelltimoejemplonoesposiblehacer 0z .Actividadespropuestas2. Recuerdalaexpresinalgebraicaquenosproporcionalalongituddeuna
circunferencia.3. Escribeenlenguajealgebraicolossiguientesenunciados,referidosadosnmeroscualesquiera x e
y :a)Lamitaddelopuestodesusuma.b)Lasumadesuscubosc)Elcubodesusumad)Elinversodesusumae)Lasumadesusinversos
4. Unatiendaderopaanunciaensusescaparatesqueestderebajasyquetodossusartculosestnrebajadosun20% sobreelprecio impresoen cadaetiqueta.Escribe loquepagaremosporunaprendaenfuncindeloqueapareceensuetiqueta.
5. El anterior comercio, en los ltimos das del periodo de rebajas,deseadeshacersede susexistenciasyparaellohadecididoaumentareldescuento.Mantiene el 20% para la compra de una nica prenda y, apartirde lasegunda,eldescuentototalaumentaun5%porcadanuevapiezaderopa,hastaunmximode10artculos.Analizacuntopagaremosalrealizarunacompraen funcinde lasumatotalde lascantidadesquefiguranenlasetiquetasydelnmerodeartculosqueseadquieran.
6. Calculaelvalornumricode las siguientesexpresionesalgebraicasparaelvalorovaloresque seindican:a)x2+7x12parax=0.b)(a+b)2(a2+b2)paraa=3yb=4.c)a25a+2paraa=1.
7. Indica,encadacaso,elvalornumricodelasiguienteexpresin:10x+20y+30za)x=1,y=2,z=1b)x=2,y=0,z=5c)x=0,y=1,z=0.
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59 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO
2.1.Monomios.PolinomiosUnasexpresionesalgebraicasdegranutilidadson lospolinomios,cuyaversinmssimpley,a lavez,generadoradeellos,sonlosmonomios.Unmonomiovienedadoporelproductodenmerosrealeseindeterminadas.Llamaremoscoeficientedeunmonomioalnmerorealquemultiplicaalaindeterminada,oindeterminadas;laindeterminada,oindeterminadas,conformanlaparteliteraldelmonomio.Ejemplos:
Laexpresinquenosproporcionaeldobledeunacantidad, x2 ,esunmonomioconunanicavariable, x ,ycoeficiente2.
El volumen de un cilindro, hr 2 , es un monomio con dos indeterminadas, r y h , ycoeficiente . Suparteliterales hr 2 .
Otrosmonomios: 3274 yx , zyx 225
Laexpresin xxyxy 237 2 estformadaportrestrminos,tresmonomios.Cadaunotieneuncoeficienteyunaparteliteral:Enelprimero, 27xy ,elcoeficientees7 ylaparteliteral 2xy Elsegundo, xy3 ,tieneporcoeficiente3 yparteliteral xy Yeneltercero, x2 ,elcoeficientees 2 ylaparteliteral x
Atendiendo al exponente de la variable, o variables, adjudicaremos un grado a cadamonomio conarregloalsiguientecriterio:
Cuando haya una nica indeterminada, el grado del monomio ser el exponente de suindeterminada.
Siaparecenvarias indeterminadas,elgradodelmonomio ser la sumade losexponentesdeesasindeterminadas.
Ejemplos:
x2 esunmonomiodegrado1enlavariable x . hr 2 esunmonomiodegrado3enlasindeterminadas r yh . 32
74 yx esunmonomiodegrado5en x e y .
zyx 225 esunmonomiodegrado4en x , y y z .
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60 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOUnnmerorealpuedeserconsideradocomounmonomiodegrado0.Unpolinomioesunaexpresinconstruidaapartirdelasumademonomios.Elgradodeunpolinomiovendrdadoporelmayorgradodesusmonomios.Ejemplos:
2751 32 xx esunpolinomiodegrado3enlavariable x .
xxy 283 24 esunpolinomiodegrado4enlasindeterminadas x e y . 232 374 yyx esunpolinomiodegrado5en x e y . zyx 62 esunpolinomiodegrado1en x , y y z .
Tantoenestaseccincomoenlasiguientenoslimitaremos,bsicamente,aconsiderarpolinomiosconunanica variable. Eshabitual escribir losdiferentesmonomiosde unpolinomiode formaque susgradosvayanendescensopara,conestecriterio,apreciarensuprimermonomioculeselgradodelpolinomio.Elaspectogenricodeunpolinomioenlavariable x es
012
21
1 ...... axaxaxaxan
nn
n dondeloscoeficientes ka sonnmerosreales.Decimosqueunpolinomioesmnicocuandoelcoeficientedesutrminodemayorgradoesiguala1.Ejemplos:
2513 24 xx esunpolinomiodegrado4enlavariable x .
734 3 yy esunpolinomiodegrado3enlaindeterminada y . 1232 zz esunpolinomiodegrado2en z .Adems,esunpolinomiomnico. 93 x esunpolinomiodegrado1en x .
Comoocurre con cualquierexpresin algebraica, si fijamos,oescogemos,un valor concretopara lavariable de un polinomio aparece un nmero real: el valor numrico del polinomio para ese valordeterminadodelavariable.Sihemosllamado p aunpolinomio,alaevaluacinde p en,porejemplo,elnmero 3 ladenotamospor )3(p , y leemos pdemenos treso penmenos tres.Conestecriterio,si p esunpolinomiocuya indeterminadaes lavariable x ,podemosreferirnosalcomo p o
)(xp indistintamente.
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61 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESODe esta forma apreciamos que un polinomio puede ser entendido como unamanera concreta deasignaracadanmerorealotronmeroreal.Ejemplos:
Sievaluamoselpolinomio 2513 24 xxp en 5x nosencontramosconelnmero
186871875256253255153)5( 24 p
Elvalordelpolinomio 734)( 3 yyyq para 1y es1410473)1(47)1(3)1(4)1( 3 q
Alparticularizarelpolinomio 1232 zzr en 0z resultaelnmero 12)0( r .2.2.SumadepolinomiosComounpolinomioesunasumademonomios,lasumadedospolinomiosesotropolinomio.Alahoradesumardospolinomiosprocederemosasumarlosmonomiosdeigualparteliteral.Ejemplos:
Lasumadelospolinomios 2513 24 xx y 654 24 xxx eselpolinomio
455214)62(54
51)13(
)62(5451)3()654(2
513
2424
22442424
)(
)()(
xxxxxx
xxxxxxxxxx
66)71()43()5()74()135( 22222 xxxxxxxxxx 142)4()12( 3443 xxxxxx 11)2()9( 33 xx 3xy+5xy+2x=8xy+2x
Enelsiguienteejemplosumaremosdospolinomiosdisponindolos,adecuadamente,unosobreotro.Ejemplo:
22523
635474524
345
235
2345
xxxx
xxxxxxxxx
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62 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOPropiedadesdelasumadepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahoradesumarlos:
pqqp
Ejemplo:855)17()32()4()13()724( 23223232 xxxxxxxxxxxxx 855)71()23()4()724()13( 23223223 xxxxxxxxxxxxx
Propiedad asociativa. Nos seala cmo se pueden sumar tres o ms polinomios. Basta hacerloagrupndolosdedosendos:
)()( rqprqp Ejemplo:
245)6()855()6()13724()6()13()724(
2323
232232
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Tambin:
245)52()724()613()724()6()13()724(
23232
232232
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Actividadespropuestas8. Realizalassiguientessumasdepolinomios:
)222()132()( 2322 xxxxxxx )52()453()32( 3234 xxxxxxx
Elemento neutro. Hay un polinomio con una propiedad particular: el resultado de sumarlo concualquierotrosiempreessteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero0,elpolinomiocero.Ejemplo:
7370)737()737(0 333 xxxxxx
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63 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOElementoopuesto.Cadapolinomio tieneasociadootro,alque llamaremossupolinomioopuesto, talque la suma de ambos es igual al polinomio cero. Alcanzamos el polinomio opuesto de uno dado,simplemente,cambiandoelsignodecadamonomio.Ejemplo:
Elpolinomioopuestode 722 34 xxxp es 722 34 xxx ,alquedenotaremoscomo"" p .Ratifiquemosquesusumaeselpolinomiocero:
0)77()22()()22()722()722( 33443434 xxxxxxxxxxxx Actividadespropuestas9. Escribeelpolinomioopuestodecadaunodelossiguientespolinomios:
1453 234 xxxx x7 24 3xx
10. Considera lospolinomios 253 xxp , 133 2 xxq ,ascomoelpolinomiosuma qps .Hallalosvaloresqueadoptacadaunodeellospara 2x ,esdecir,calcula )2(p , )2(q y )2(s .Estudiasiexistealgunarelacinentreesostresvalores.
11. Obtnelvalordelpolinomio 253 xxp en 3x .Quvalortomaelpolinomioopuestode pen 3x ?
2.3.Productodepolinomios
Otraoperacinquepodemosrealizarconpolinomioseslamultiplicacin.El resultado del producto de polinomios siempre ser otro polinomio. Aunque en un polinomiotenemosuna indeterminada,ovariable,comoella tomavaloresen losnmeros reales,a lahorademultiplicarpolinomiosutilizaremoslaspropiedadesdelasumayelproductodelosnmerosreales,enparticular lapropiedaddistributivadelproductorespectode lasuma;as, todoquedaen funcindelproductodemonomios,cuestinqueresolvemosconfacilidad:
mnmn abxbxax Ejemplos:
64242 102)5(2)5( xxxx 333 20)4(5)4(5 xxx 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx
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64 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx
10714310)815()212(3 23223 xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433
Tambinpodemosmaterializarelproductodepolinomiostalycomomultiplicamosnmerosenteros:Ejemplo:
41162
421236
42
1342
2345
235
24
3
2
3
xxxxx
xxxxxxxx
xxxx
Recordemosqueelpolinomioopuestodeotro seobtiene simplemente cambiandoel signode cadamonomio.Estaaccinsecorrespondeconmultiplicarporelnmero 1 elpolinomiooriginal.Deestaformaelpolinomioopuestode pes
pp )1( En estemomento aparece demanera natural la operacin diferencia, o resta, de polinomios. Ladefinimosconlaayudadelpolinomioopuestodeunodado:
qpqpqp )1()( Ejemplo:
4382)62(3)35(2)632()235()632()235(
2342234
23422342
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Actividadespropuestas12. Efectalossiguientesproductosdepolinomios:
)3()24( 23 xxx )43()2( 4 xxx
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65 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO )3()2( 223 xxxxx )1347()1( 23 xxx
13. Realizalassiguientesdiferenciasdepolinomios: )3()24( 23 xxx )43()2( 4 xxx )2()3( 232 xxxxx
14. Multiplicacadaunodelossiguientespolinomiosporunnmerodetalformaquesurjanpolinomiosmnicos: xxx 234 23 12 4 xx 72 xx
15. Calculaysimplificalossiguientesproductos:a) )642(3 2 xxx b) )64()43( xx
c) )34()52( 32 abba d) )29()28()63( aaa PropiedadesdelproductodepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahorademultiplicarlos:
pqqp
Ejemplo:2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx
23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx Propiedad asociativa.Nos seala cmo se puedenmultiplicar tres oms polinomios.Basta hacerloagrupndolosdedosendos:
)()( rqprqp Ejemplo:
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx266184122266441212
)()26412()()13()24(234563243546
32332
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66 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOTambin:
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx266184122266441212
)33()24()()13()24(234563243546
324232
Actividadespropuestas16. Realizalossiguientesproductosdepolinomios:
322 2)132( xxxx )()453()32( 2 xxxx
Elementoneutro.Hayunpolinomioconunapropiedadparticular:almultiplicarloporcualquierotrosiemprenosdasteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero1,elpolinomiounidad.Ejemplo:
3251)325()325(1 333 xxxxxx Propiedad distributiva de lamultiplicacin respecto de la suma.Cuando enunamultiplicacindepolinomiosunodelosfactoresvienedadocomolasumadedospolinomioscomo,porejemplo, )4()72()3( 32 xxxxx tenemosdosopcionesparaconocerelresultado:a)realizarlasumay,despus,multiplicar
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx7271837621183
76)3()4()72()3(234524235
3232
b)distribuir,aplicar,lamultiplicacinacadaunodelossumandosy,despus,sumar: xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx727183)4123()72216(
)4()3()72()3()4()72()3(23452435223
32232
Comprobamosqueobtenemoselmismoresultado.Engeneral,lapropiedaddistributivadelamultiplicacinrespectodelasumanosdiceque
rpqprqp
Conviene comentar que la anterior propiedad distributiva leda en sentido contrario, de derecha aizquierda,esloquecomnmentesedenominasacarfactorcomn.Ejemplo:
2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx Actividadespropuestas17. Decadaunodelossiguientespolinomiosextraealgnfactorqueseacomnasusmonomios:
xxx 102015 23 24 3024 xx
Matemticas4BdeESO.Captulon3:Expresionesalgebraicas.Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbez Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
67 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO3.DIVISINDEPOLINOMIOS
3.1.Introduccinalasfraccionespolinmicas
Hastaestemomentohemosestudiadovariasoperacionesconpolinomios:suma,restayproducto.Encualquiera de los casos el resultado siempre es otro polinomio. Cuando establecemos una fraccinpolinmicacomo,porejemplo,
3232
3
xxxx
lo que tenemos es una expresin algebraica, una fraccin algebraica, la cual, en general, no es unpolinomio.Sapareceunpolinomioenelmuyparticularcasoenelqueeldenominadoresunnmerorealdiferentedecero,estoes,unpolinomiodegrado0.Es sencillo constatar que la expresin anterior no es un polinomio: cualquier polinomio puede serevaluadoencualquiernmeroreal.Sinembargoesaexpresinnopuedeserevaluadapara 1x ,yaquenosquedaraelnmero0eneldenominador.Podramoscreerquelasiguientefraccinpolinmicasesunpolinomio:
352352352 22323
xxxx
xx
xx
xxxx
Laexpresinde laderechasesunpolinomio,puessetratadeunasumademonomios,pero lade laizquierdano loesyaquenopuedeserevaluadaen 0x .Noobstante,esa fraccinalgebraicayelpolinomio,cuandosonevaluadosencualquiernmerodiferentedecero,ofrecenelmismovalor.Sonexpresionesequivalentesalldondeambastienensentido.
3.2.Divisindepolinomios
Aunque, como hemos visto en el apartado anterior, una fraccin polinmica, en general, no es unpolinomio,vamosaadentrarnosenladivisindepolinomiospuesesunacuestinimportanteytil.Analicemos con detenimiento la divisin de dos nmeros enteros positivos. Cuando dividimos dosnmeros,D(dividendo)entred (divisor,distintode0),surgenotrosdos,elcociente (c)yelresto (r).Ellosseencuentranligadosporlallamadapruebadeladivisin:
rcdD Alternativamente:
drc
dD
Adems,decimosqueladivisinesexactacuando 0r .Elconocidoalgoritmodeladivisinpersigueencontrarunnmeroentero,elcocientec,talqueelrestorseaunnmeromenorqueeldivisord,ymayoroigualquecero.Fijmonosenque,sinestaexigenciaparaelrestor,podemosescogerarbitrariamenteunvalorparaelcocientecelcualnossuministrasuvalorasociadocomorestor.Enefecto,sitenemoscomodividendoD=673ycomodivisord=12,siqueremosqueelcocienteseac=48surestoasociadoes
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68 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO975766734812673 cdDr
ylaconexinentreestoscuatronmeroses974812673
Esta ltima lectura de la divisin de nmeros enteros va a guiarnos a la hora de dividir dospolinomios.Dadosdospolinomios )(xp y )(xq , ladivisinde )(xp ,polinomiodividendo,entre )(xq ,polinomiodivisor,nosproporcionarotrosdospolinomios,elpolinomiocociente )(xc yelpolinomioresto )(xr .Tambinaqupesarunaexigenciasobreelpolinomioresto:sugradodebersermenorqueelgradodelpolinomiodivisor.Larelacinentreloscuatroser,naturalmente,
)()()()( xrxcxqxp Tambinescribiremos
)()()(
)()(
xqxrxc
xqxp
aunque,entalcaso,seremosconscientesdelascautelassealadasenelapartadoanteriorencuantoalasequivalenciasentrepolinomiosyotrasexpresionesalgebraicas.Al igualqueocurre conel algoritmode ladivisinentera,el algoritmode ladivisindepolinomiosconstadevariasetapas,decarcter repetitivo,encadaunade lascualesaparecenunospolinomioscocienteyrestoprovisionalesdeformaqueelgradodeesospolinomiosrestovadescendiendohastaquenostopamosconunocuyogradoesinferioralgradodelpolinomiodivisor,loqueindicaquehemosconcluido.Veamosesteprocedimientoconunejemploconcreto.Ejemplo:Vamosadividirelpolinomio 2356)( 234 xxxxxp entreelpolinomio 32)( 2 xxxq .Comoelpolinomiodivisor, )(xq ,esdegrado2,debemosencontrardospolinomios,unpolinomiocociente
)(xc ,yunpolinomioresto )(xr degrado1o0,talesque)()()()( xrxcxqxp
o,comoigualdadentreexpresionesalgebraicas,
)()()(
)()(
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xqxp
A la vista de los pol