Matemática 2° Año - · PDF filePROGRAMA de Cursado MATEMATICA - 2º AÑO - EPET Nº 9 - Plottier - AÑO 2017 INTRODUCCIÓN: Repaso de reglas algebraicas. Ejercicios

2017

Matemática 2° Año EPET N° 9 - Plottier

Eduardo Víctor Gatti

Plottier

Material Teórico

Prof : Pérez Pertino Juan Pablo

PROGRAMA de Cursado MATEMATICA - 2º AÑO - EPET Nº 9 - Plottier - AÑO 2017

INTRODUCCIÓN: Repaso de reglas algebraicas. Ejercicios. SIMELA : Equivalencias, reducciones. Notación científica

UNIDAD Nº 1: PROPORCIONALIDAD

Razones y proporciones. Concepto. Propiedad fundamental de las proporciones. Proporciones continuas. Cálculos de medios y extremos. Proporciones en geometría : Teorema de Thales. Ejercicios

Función: concepto. Gráficas. Ceros y ordenada al origen

Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Cálculo de la constante. Función de las magnitudes directamente proporcionales: tablas y gráficas. Función de las magnitudes inversamente proporcionales: tablas y gráficas. Regla de tres simple, directa e inversa. Porcentaje.

UNIDAD Nº 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones entre los lados de un triángulo rectángulos: Seno, coseno y tangente de un ángulo. Valor de las razones

trigonométricas para amplitudes de 0 a 90. Uso de calculadora. Teorema de Pitágoras. Resolución de triángulos rectángulos usando trigonometría y teorema de Pitagoras. Problemas

UNIDAD Nº 3: POLINOMIOS

Expresiones Algebraicas : Concepto. Clasificación: enteras , fraccionarias, irracionales. Forma polinómica. Valor numérico. Polinomios incompletos. Polinomio nulo. Grado de un polinomio. Clasificación de un polinomio según el número de términos.

Función polinómica: función constante, lineal y cuadrática. Ceros o raíces de una función Polinómica. Ordenada al origen. Gráficas.

Operaciones con polinomios: Adición de polinomios. Sustracción de polinomios. Multiplicación de un polinomio por un número real. Multiplicación de polinomios. Productos especiales: cuadrado y cubo de un binomio. Producto de la suma por la diferencia de dos términos. División de polinomio por un número real. División de dos polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto.

UNIDAD Nº 4: FACTORIZACION

Transformación de un polinomio en un producto de polinomios. Extracción de factor común. Extracción de factor común por grupos. Trinomio cuadrado perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto. Diferencia de cuadrados. Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de sus bases. Ejercitación.

Expresiones algebraicas fraccionarias: Producto y cociente de expresiones algebraicas racionales . Simplificación de expresiones algebraicas. Suma y resta de expresiones algebraicas racionales con igual denominador.

UNIDAD Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuación. Ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Resolución de ecuaciones de primer grado. Interpretación gráfica. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolución de sistemas. Métodos: Sustitución, igualación, reducción y determinantes. Sistemas de dos funciones de primer grado: Resolución analítica y comprobación gráfica.

OBJETIVOS PROMOCIONALES:

Conocer y aplicar correctamente las reglas algebricas en todas las unidades. Reconocer proporcionalidad entre dos magnitudes y aplicarla en Teorema de Thales . Resolución de triángulos rectángulos y problemas aplicando trigonometría y Teorema de Pitágoras . Resolver operaciones con Expresiones Algebraicas enteras y Fraccionarias .Factorizar Polinomios Resolver sistemas de ecuaciones lineales . Resolver situaciones problemáticas

Cuaderno y Trabajos Prácticos aprobados.

BIBLIOGRAFIA: Matematica Polimodal Activa. Adriana Berio y otros – Ed. Puerto de Palos

Matematica EGB 9 Activa. Liliana Laurito y otros – Ed. Puerto de Palos. Matematica EGB 9. Julia S. de Larotonda y otros . Ed Kapeluz. Matematica 2 . Mariana Amenedo y otros . Ed Santillana

Firma Alumno Firma Padre Firma Profesor

IMPORTANTE: El alumno debe tener su cuaderno completo para aprobar la materia.

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje

1) El cuaderno es un elemento fundamental para el trabajo en el aula y para el estudio de la materia, por lo tanto debe estar siempre al día ,completo, prolijo y ordenado. El docente la revisará y controlará periódicamente. Al comenzar el año, el alumno/a deberá tener un cuaderno tamaño A4 cuadriculado de 80 a 100 hojas, preferentemente de tapa dura.

2) La primera hoja se destina a carátula (según la consigna del profesor/a , incluyendo por lo menos la siguiente información: Nombre y apellido del alumno/a, Asignatura, Establecimiento, Curso , Año lectivo y Apellido y Nombre del Profesor/a ); en las siguientes hojas se pegaran estas Pautas , el Programa de cursado del año .y los Criterios de Acreditación de la materia , todos firmadas por el alumno/a, padre, madre y profesor/a.

3) Todas las clases, el alumno/a debe:

mantener un ambiente cordial de trabajo; por lo tanto, está prohibido el uso de aparatos electrónicos (teléfono celular, mp3, etc.) en el aula;

respetar las indicaciones del profesor/a; tener los elementos necesarios en clase: lápiz , lapicera , goma, regla y todo otro elemento necesario según los

temas a estudiar; Posibilitar el vinculo entre los padres y el profesor/a. Para ello debe hacer firmar por los padres o el tutor/a toda

comunicación que se realice en el cuaderno de comunicaciones y/o de clase , como asi debe hacer firmar las evaluaciones apenas le son entregadas.

4) En el cuaderno, el alumno/a desarrollará todos los temas vistos en clase y las tareas solicitadas (Si falta, deberá copiar el trabajo desarrollado antes de la siguiente clase, y/o resolver las tareas encomendadas); así podrá estudiar para la siguiente clase, y pedir nueva explicación en caso de ser necesario. El alumno tratará de realizar las tareas encomendadas aun con errores para permitirle mejorar, a partir de la corrección de la ejercitación principal-tipo que se hará en el pizarrón, en la carpeta o en las mismas evaluaciones. De esta manera llegará a la evaluación suficientemente preparado

5) Las evaluaciones escritas serán avisadas con siete días de anticipación como mínimo al igual que las entregas de los trabajos prácticos. Dichas evaluaciones serán sobre temas y ejercicios similares a los dados en clase previéndose distintos tipos de dificultad.

6) Los procesos de enseñanza aprendizaje y los objetivos propios del año son reforzados a través del armado curricular propio del año y de todo el ciclo por lo que el alumno puede tratar de superar sus dificultades retomando los contenidos en forma continua y preguntando cuando sea necesario o participando de las clases de consulta.

7) El alumno no debe faltar a las evaluaciones avisadas. En caso de faltar deberá traer certificado médico dentro de las 24 horas, pudiéndose tomar luego la evaluación en forma oral o escrita.

8) El respeto y la solidaridad por cada uno de los compañeros, por los profesores y la institución forman parte del proceso enseñanza aprendizaje y serán tenidos en cuenta.

9) El alumno debe realizar los esfuerzos necesarios para crecer en forma autónoma, responsable y creativa. Para ello deberá organizar sus tiempos tanto en la casa como en la escuela.

10) La calificación de cada trimestre será el resultado de las evaluaciones, el cumplimiento de las tareas, ,los trabajos prácticos encomendados –ya sea grupal o individualmente- la confección de la carpeta y la actitud frente a la asignatura y el respeto y solidaridad como fuera indicado anteriormente. (Ver criterios acreditación)

11) El alumno cuenta con Clases de Consulta gratuitas, dictadas por la Jefe de Departamento en los siguientes horarios (completar con horarios que brinden los jefes de depto ):

Prof Prof.

( Asistir con el cuaderno de clases y la guía de ejercitación)

Agradecido por su atención y quedando a su disposición. Firma Alumno Firma Padre/ Madre/ Tutor Profesor de Matemática

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Criterios para Acreditación de la materia:

Aprobará la materia el alumno que tenga todos los objetivos promocionales (incluidos en el programa de cursado) aprobados.

Para aprobar los objetivos promocionales el alumno deberá aprobar las evaluaciones de cierre de los temas/unidades correspondientes a dicho objetivo. La forma de evaluación será propia de cada curso y tema, y será indicada durante el año. Los objetivos que contengan más de una unidad/tema y cuyos contenidos hayan sido diseñados en forma espiralada, serán aprobados al aprobar el último de los temas/unidades incluidas en los objetivos promocionales. (Las Unidades 3 y 4 funcionan como un contenido integrado) No se forzarán integraciones que dificulten los aprendizajes ni se tomará integradora final para aprobar la materia.

Las notas utilizadas durante el trimestre serán : No contesta, Insuficiente/Mal, Regular, Bien Muy Bien y Sobresaliente, correspondiendo solo nota numérica al cierre de los trimestres.

Las notas trimestrales son el resultado del cierre de los objetivos de cada trimestre complementadas por el desempeño y participación en clase, las tareas extra áulicas, todo tipo de trabajo complementario , la carpeta y el comportamiento del alumno. Se tomarán en cuenta, entre otros valores, a la responsabilidad, el esfuerzo, la solidaridad y el respeto del alumno con sus compañeros e institución. Si los tiempos y el nivel de participación lo permiten o ameritan se harán recuperatorios antes del cierre del trimestre. Será condición para poder rendir dichos recuperatorios tener la carpeta completa. En caso de tener en el trimestre alguna/s unidad aprobada y otra/s desaprobadas la nota será menor a 7 pero el alumno no deberá los temas aprobados a fin de año.(POEC)

Si el alumno no alcanza (con rendimiento regular) uno o más objetivos promocionales a fin de año , se prevee que pueda recuperar uno de ellos, quedando (en caso de tenerlos) los demás objetivos para recuperar en el POEC. No participan de esta instancia los alumnos que a fin de año tengan desarrollos insuficientes.

Participan del POEC los alumnos que:

Tengan al menos un objetivo aprobado y no tengan insuficiente en el resto de los objetivos.

Forma de evaluación del POEC:

Después de la semana de orientación, se tomarán evaluaciones de cada objetivo de manera similar a como fueron evaluados en el año.

Se reservará un tiempo para una instancia de cierre del examen en forma oral.

Participan de la instancia de evaluación de Febrero:

Aquellos alumnos que durante el año no hayan aprobado todos los objetivos promocionales o que tengan

insuficiente la mayoría de ellos.

Criterios de evaluación:

Jerarquización e integración de conceptos y procedimientos relativos a cada objetivo, teniendo en cuenta los temas anteriores relacionados y a través de un ….

…. adecuado y suficiente nivel de operatoria numérica en el campo de los Q - R de acuerdo al programa de cada año y lo visto en años anteriores.

Nivel alcanzado en el desarrollo de la verificación y autocontrol de producciones y/o errores

Integración a través de la interpretación e interacción de los lenguajes numérico, algebraico y gráfico en los

temas pertinentes

Uso calculadora y TIC (tecnologías de la información y comunicación):

Se buscará el mayor desarrollo en los alumnos a través de la aplicación de reglas, procedimientos y algoritmos

específicos para cada tema. Para fomentar ello en las evaluaciones ( a menos que el tema lo requiera

indefectiblemente) no se usará calculadora. Sin embargo, el uso de la misma y de TIC son importantes, y muy

útiles en todas las etapas del aprendizaje. Ya sea para desarrollo de contenidos, verificación de resultado o

integración de lenguajes se tratará de mostrar su uso al alumno. En caso de permitirse estos instrumentos en

las evaluaciones, las mismas deberán contemplar efectivamente los criterios de evaluación, sobre todo en los

dos últimos.

Firma Alumno Firma Padre Firma Profesor

INDICE:

Repaso de Operatoria Numérica en Q con 4 y 6 operaciones 1 a 10

Repaso SIMELA 11 a 14

Unidad Nº 1 : PROPORCIONALIDAD:

o Razón, Proporción , Propiedad Fundamental 15 a 16

o Proporcionalidad : Magnitudes directa e inversamente proporcionales (MDP y MIP)

16 a 18

o Regla de tres : Directa , Inversa , Porcentaje 18 a19

o Función de Proporcionalidad. Variable dependiente , independiente, representación Función de Proporcionalidad Directa e Inversa

19 a 23

o Proporcionalidad Geométrica : Teorema de Thales 24

UNIDAD Nº 2 : RAZONES TRIGONOMETRICAS

o Un poco de Historia 25

o Teorema de Pitágoras 26 a 27

o Relaciones trigonométricas para un mismo ángulo 28 a 30

o Manejo de tabla y calculadora 31

o Relaciones trigonométricas para ángulos complementarios 32

o Tabla de relaciones trigonométricas para ángulos de 0º a 90º 33

o Anexos : Esquema marquesina, triángulos para actividad inicial- Mapa conceptual Figuras Planas – Propiedades Cuadriláteros

34 a 36

UNIDAD Nº 3 : POLINOMIOS

o Expresiones algebraicas . Polinomios : clasificación, características y parámetros. Valor numérico

o Adición y Sustracción de polinomios.

37 a 39

39 a 40

o Multiplicación de polinomios. Producto de binomios conjugados.

o Potenciación de polinomios: Cuadrado y cubo de un binomio. Triángulo de Pascal

o División de polinomios. Regla de Ruffini . Teorema del Resto

41 a 42

42 a 45

45 a 48

UNIDAD Nº 4 : FACTORIZACION

o Factoreo : Introducción , concepto

o Factoreo : Casos: Factor Común (FC) , factor común en grupos (FCG), Trinomio cuadrado Perfecto(TCP), Cuatrinomio Cubo Perfecto (CCP), Diferencia de cuadrados (DC), Suma y resta de potencias de igual grado (+ y -)

49 a 50

50 a 54

UNIDAD Nº 5 : SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

o Introducción: Actividad Inicial

o Sistemas de ecuaciones : Concepto , clasificación

o Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones: Método Gráfico . Métodos Analíticos: Igualación , sustitución, Reducción por sumas o

restas , Determinantes.

55

55 a 56

57 a 60

Bibliografía

Matemática 8 EGB y 1 Polimodal (Puerto de Palos – Varios) Matemática 1 y 2 (Ed. Santillana- Amenedo y otros) Matemática 8 y 9 (Ed Mc Graw Hill – Martinez y Rodriguez) Matemática 8 y 9 EGB (Ed. Kapeluz-Seveso y otros )

Matemática 2 ( Tapia y otros / Ed Kapeluz Cap. 8) Matematica 2 –Guzman y otros (Ed Anaya)

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 - Repaso Op. Numérica en Q - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

Página 1

En esta primera parte haremos un rápido repaso de las reglas principales que vimos y utilizamos en primer año en las operaciones con números racionales . No se incluyen todos los conceptos teóricos vistos con anterioridad, sino aquellos que creemos mas necesarios para la resolución de ejercicios y ecuaciones. El apunte tiene lugares en blanco para además de los ejemplos poder agregar otros durante la explicación que se realice en clase. También pede utilizarse el reverso de las hojas .

Repaso de Operatoria numérica con Q ( 4 y 6 operaciones)

Conjunto de los números Racionales (Q) Se llama número racional a todo aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números.

Ej:10

136,2

5

5010

8

3375,0

9

00

2

15,0

3

93

El conjunto de los números enteros unido al conjunto de los números fraccionarios , forma el conjunto de los números racionales.

O sea : Z U F = Q

N (naturales) Z (Enteros) 0 Q (Racionales) Z –

(Negativos) F (Fracciones)

Ejemplos : - 7 Z - 7 Q

6 N 6 Z 6 Q

¾ F ¾ Q

Suma Algebraica: Una suma algebraica es una combinación de términos aditivos y sustractivos

(sumas y restas) Ejemplo : - 3 + 8 – 6 + 10 = 9

Regla para la suma de enteros:

Si los dos números son de igual signo; se suman y se pone el signo de dichos números :

5 + 3 = + 8 - 6 - 4 = - 10

Si los dos números son de distinto signo se restan y se coloca el signo del numero mayor valor absoluto :

10 - 3 = + 7 4 - 12 = - 8

Regla para la supresión de ( ) ; [ ] ; { }

Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo menos (-)

se cambian los signos de los términos encerrados en él.

Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo mas (+) se

conservan los signos de los términos encerrados en él.

( + ) CONSERVA

( - ) CAMBIA


Página 2

Ejemplos : 3 + ( – a + 5 – 3 ) = 3 – a + 5 – 3

3 – ( – a + 5 – 3 ) = 3 + a – 5 + 3

Comportamiento del cero en la división:

El cero como dividendo : 0 : n = 0

El cero como divisor : n : 0 = indeterminado no hay número que por cero de n)

El cero como dividendo y divisor 0 : 0 = i ndeterminado

Regla de los signos para la multiplicación y división de números enteros:

+ . + + : + = + igual signo +

- . - - : - = +

+ . - + : - = - distinto signo - - . + - : + = - Ejemplos:

Propiedad Distributiva de la multiplicación y división de números enteros:

MULTIPLICACION DIVISION

Distributiva a derecha p . ( a b) = p . a p . b

6 . ( 2 + 3) = 6 . 2 + 6 . 3 6 . 5 = 12 +18

30 = 30

p : ( a b) p : a p : b

(-120) : ( 20 - 8) (-120): 20 – (-120) : 8

(-120) : 12 -6 +15

-10 9

Distributiva a izquierda ( a b). p = a . p b . p

( 6 + 2) . 4 = 6 . 4 + 2 . 4 8 . 4 = 24 + 8

32 = 32

( a b): p = a : p b : p

( 48 -12 ) : (-4) = 48 : (-4.) -12 :(-4) (36) : (-4) = -12 + 3

-9 = -9

CONCLUSION DISTRIBUTIVA La multiplicación es distributiva en la suma y en

la resta , tanto a derecha como a izquierda

La división solo es distributiva en la suma y en la resta cuando la suma algebraica esta como dividendo , o

sea a la izquierda


Página 3

EXPRESIONES DECIMALES:

Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción el cociente de dicha división es la expresión decimal de dicha fracción

Clasificación de las Expresiones Decimales

EX

PR

ES

ION

ES

DE

CIM

AL

ES

Pasaje de fracción a decimal (se efectúa el cociente entre numerador y

denominador)

Pasaje de decimal a fracción (Ver reglas de pasaje aparte)

(falta realizar la simplificación final donde correspondiera)

EXACTAS ( En “algún”

momento el resto se hace 0)

2,15:6

5

6

10

188,1

023,01000:231000

23 10

3277,32

5,110:1510

15 100

505,0

PERIÓDICAS

( El resto “nunca” se hace 0)

PURAS

6,0....6666,03:23

2

9

33,0

5,1....5555,19:149

14 9

16

9

1177,1

85,0....858585,099:8599

85 99

225

99

222727,2

IMPURAS o MIXTAS

32,1...2333,130:3730

37

90

215

90

2323838,2

365,0...653333,075:4975

49 900

732

900

81813813,0

258,0...25858,0495:128495

128 990

1225

990

121237237,1

Pasaje de decimal exacto a fracción: Se escribe el numero completo en forma entera en el numerador,

y en el denominador se coloca el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Pasaje de decimal periódico a fracción: En el numerador se escribe el número completo en forma entera y se le resta la parte no periódica ( entera y decimal) expresada también en forma entera. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras periódicas tenga el número seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número.

Ejemplos:


Página 4

Aproximación y Redondeo:

Hemos visto que las fracciones pueden transformarse en decimales realizando la división entre numerador y denominador. Cuando las cifras entre numerador y denominador son muchas o infinitas , hay que realizar estimaciones suprimiendo cifras decimales, reconociendo que no se opera con el valor exacto y aceptando que se cometen pequeños errores que son aceptados por razones de orden práctico.

Aproximación por redondeo: Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la ultima que se va a despreciar. En caso de que esa cifra sea mayor o igual a 5 se suma una unidad a la última cifra que se considera, y si es menor a 5 se deja igual.

3,968 con 0,01 3,97 ( Ver que 8 5 )

72,9371 con 0,001 72,937 ( Ver que 1 5 )

Ejemplos:

Aproximación por Truncamiento: Para aproximar por truncamiento se eliminan directamente las cifras que no se van a considerar

12,0968 con 0,01 12,09

3,8312 con 0,001 3,831

Ejemplos:

OPERACIONES DE NÚMEROS RACIONALES

Suma Algebraica de Números Racionales

Para sumar o restar fracciones se deben buscar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores ( es decir el mínimo común denominador – mcd) Luego se hallan los numeradores de las fracciones equivalentes , se opera algebraicamente con ellos y de ser posible se simplifica al final.(Observación: Si hay decimales , se deben pasar primero a fracción y simplificar de ser posible)

Ej: 40

33

8

34046

8

35

2

1

4

3

1000

3755

2

1

100

75375,05

2

175,0

Multiplicación y División de Números Racionales

Regla resumen: Multiplicación Q : Multiplica derecho / Simplifica cruzado

División Q: Multiplica cruzado / Simplifica derecho.

Ejemplos:

64

15.

5

12.

3

2

2

3

15

4:

5

2

20

312:

5

9 2

2

4

8

14:

2

7


Página 5

Operaciones Combinadas con Q :

Para resolver un cálculo combinado con números racionales debe respetarse el orden de resolución de operaciones que fuera visto en números enteros. Si existiesen decimales previamente a la resolución deben pasarse a fracciones y simplificarse de ser posible. Cuando se realicen las multiplicaciones o divisiones se debe simplificar previamente de ser posible. Esto permitirá manejar fracciones equivalentes cuyos términos sean menores y por ende más fáciles de operar.

Ej:

6

5

10

3:

5

4

3

2

6

5

10

3:

10

8

3

2

6

5

10

3:8,0

3

2

18

7

18

158

6

5

9

4

6

5

10

3:

15

2

6

5

10

3:

15

1210

EL LENGUAJE de la MÁTEMATICA:

Definición:

Llamamos ecuación a las igualdades en las que aparecen elementos desconocidos que llamamos INCOGNITAS. Las incógnitas se expresan mediante símbolos arbitrarios o letras tales como x, y , z , hasta tanto se pueda determinar el número con el que se verifica la igualdad.

Resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Se llaman de primer grado porque las incógnitas están elevadas al exponente 1 Ej.: 2x +4 =8 (En cambio 2x² -3 =4 es una ecuación de segundo grado o cuadrática)

Se llaman con una incógnita porque solo uno de los valores es desconocido. (En el ejemplo anterior solo desconocemos a la x) (En cambio 2x + 4y =-9 tiene dos incógnitas que son x e y)

Resolver una ecuación significa encontrar que valores asignados a la incógnita hacen verdadera la igualdad. Tales valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Reglas prácticas para la resolución de una ecuación

Separar en términos

Pasar los números decimales a fracción y simplificar en caso de ser posible.

Operar en cada miembro ( siempre que sea posible reduciendo y cancelando términos)

Aplicar la propiedad distributiva si fuera necesario. Es necesario cuando hay dos o mas x , encontrándose alguna de ellas dentro de un ( ) ; [ ] o una { }

Simplificar de ser posible todos los términos después de aplicar la distributiva aplicando las reglas correspondientes a multiplicación y división de números racionales.

Asociar en un mismo miembro todos los términos con la incógnita y en el otro miembro los términos independientes (las x con las x, los números con los números) operando luego en cada miembro.

Para realizar el paso anterior y despejar la incógnita, se transponen (pasan) primero los términos y por último los factores y divisores. Los términos pasan realizando la operación inversa a la que están realizando, es decir que si están sumando pasan restando y si están restando pasan sumando. En cambio los factores que acompañan a la incógnita pasan como divisores, y los divisores pasan como factores. En el caso de factores y divisores pasan haciendo la operación inversa pero CON SU SIGNO.


Página 6

Ejemplo sin distributiva : Hallar el valor de x en la siguiente ecuación:

Resuelvo: 2x = -8 -4 Con este valor reemplazo en la ecuación

2x = -12 original y verifico la igualdad:

x = (-12): 2 2. (-6) + 4 = -8

x = -6 -12 +4 = -8

-8 = -8

Ejemplo con distributiva:

Dos x y una esta entre ( ) : Hallar el valor de x en la siguiente ecuación

Resuelvo: 3. (x + 4) = 5x + 19 – 3

3 .x + 3 .4 = 5x + 16 Con este valor reemplazo en la ecuación

3x + 12 = 5x + 16 original y verifico la igualdad:

3x – 5x = 16 – 12 -2x = 4 3. (-2 + 4) = 5. (-2) +19 -3

x = 4 : (-2) 3 . 2 = -10 +19 -3

x = -2 6 = 6

Ejemplo con distributiva y números racionales: Verificamos:

5

35

5

10

5

312

5

1

123.5

1

5

1

123.5

1

123.10

2

123.2,0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

9

5

9

5

9

94

9

25.

5

1

19

4

9

272.

5

1

19

2.23

9

2.

5

1

9

2

5

9:

5

2

5

2

5

9

x

x

x

Ejemplo con distributiva y/o despeje en números racionales:

3

1

6

5

3

2.

4

53

x

Distributiva Despeje


Página 7

POTENCIACIÓN: Es la operación que indica la multiplicación sucesiva de un mismo número b

(llamado base), tantas veces como lo indique un número e ( llamado exponente)

p = bn bn = b . b . b . . . . . . . . . . . . .b = p

n veces

Ejemplos: (3)4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (0,2)

3 = (0,2) . (0,2) . (0,2) =0,008

16

25

4

5

4

5

4

52

125

8

5

2

5

2

5

2

5

23

REGLA DE LOS SIGNOS: 1) Base positiva : Exponente par : El resultado es positivo ( + 8)

2 = + 64

Exponente impar : El resultado es positivo ( + 5) 3 = + 125

2) Base negativa : Exponente par : El resultado es positivo ( - 3) 2 = + 9

Exponente impar : El resultado es negativo ( -2 ) 5

= - 32

El único caso en que la potencia es negativa es cuando la base es negativa y el exponente impar.

Ejemplos:

CASOS ESPECIALES: 1) El uno como exponente : a 1 = a Ej: 5

1 = 5 El resultado es la base

2) El uno como base : 1 n = 1 Ej: 1

6 = 1 Pues : 1.1.1.1.1.1= 1 El

resultado es 1

3) El uno como base y exponente : 1 1 = 1 Por cumplimiento de las condiciones 1) y 2)

4) El cero como exponente : a

0 = 1 Ej: 7

0 = 1 El resultado es siempre 1

Demostración : Tomando la propiedad de Cociente de potencias de igual base ( Ver punto siguiente) a

5 – 5 = a

0 = a

5 = a. a .a . a . a = Simplificando = 1

a 5 a .a . a . a .a

5) El cero como base 0

n = 0 Ej: 0

3 = 0 Pues : 0.0.0 = 0 El resultado es siempre 0

6) El cero como base y exponente : 0 0 = indeterminado Como base daría :0 0 = 0

Como exponente daría: 0 0 = 1

Como se ve ambos resultados son distintos.

b=base

n= exponente

p= potencia o resultado


Página 8

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1) Producto de potencias de igual base: Se suman los exponentes mnmn xxx .

Ej: a 3 . a

2 = a

3 + 2 = a

5

2 3 . 2 . 2

0 . 2

5 = 2

3 + 1 + 0 + 5 = 2

9

(- 3)

-1 . ( -3)

0 . (-3)

4= ( -3 )

- 1 + 0 + 4 = ( -3 )

3

2) Cociente de potencias de igual base: Se restan los exponentes mnmn xxx :

Ej: a 5 : a

2 = a

5 - 2 = a

3

5 3 :

5 -1

= 5 3 –(-1)

= 5 4

(- 7)

5 : ( -7)

2 = ( -7 )

5 - 2 = ( -7 )

3

3) Potencia de otra potencia: Se multiplican los exponentes mnmn xx .

Ej: 1025 aa 25644 632 1333 00.1.4

014

4) Propiedad distributiva:

SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnnbaba ..

Ej:

( 3 . 5 ) 2 = 3

2 . 5

2

15 2 = 9 . 25

225 = 225

Respecto a la suma nnnbaba

Ej: ( 4 + 6 ) 2 4

2 + 6

2

10 2 16 + 36

100 52

Respecto al cociente nnnbaba ::

Ej: ( 16 : 8 ) 2 = 16

2 : 8

2

2 2 = 256 : 64

4 = 4

Respecto a la resta nnnbaba

Ej: ( 7 - 3 )

2 7

2 - 3

2

4 2 49 - 9

16 40

CONCLUSIÓN : La potencia es distributiva respecto del producto y el cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.

POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO:

r

r

r

bbb

11

Por ejemplo :

27

1

3

1

333

1

33333333

33333

3

3333:3

38

538585 quedandoSimplifica

EJEMPLOS : 8

27

2

3

3

233

16

1

4

14

2

2

125

27

5

3

3

533

Toda potencia con exponente negativo es igual a otra potencia con la base invertida y el

mismo exponente pero positivo. Se conserva el signo de la base


Página 9

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Las potencias de 10 tienen especial importancia , tanto en Matemática como en otras ciencias , ya que nos permiten escribir números muy grandes o muy pequeños en forma sencilla.

Por ejemplo

o la masa de un protón es 1,67 . 10 –27

kg. ,

o y la masa de la Tierra es 5,98 . 10 24

kg.

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de una potencia de 10 por otro número , cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10

647,25 tiene 3 cifras enteras , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la izquierda dos lugares . Entonces queda 647,25 = 6,4725 . 10

2

0,00000894 tiene una cifra entera nula , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la derecha hasta la primer cifra decimal no nula, es decir seis lugares. Por lo tanto el número 0,00000894 = 8,94 . 10

-6

Ejemplos:

Los cálculos con números muy grandes o muy pequeños se realizan fácilmente al trabajar con notación científica:

67568

5

68

10.810.8,010.6,3

2,1.4,2

10.6,3

10.2,1.10.4,2

000036,0

0000012,0.240000000

RADICACIÓN: Es la operación inversa de la potenciación. (Así como la división lo es de la multiplicación y la

resta de la suma)

Se llama raíz enésima de un número a al numero b tal que b elevado al exponente n de por resultado el número a

n n

a = b a = b

Observación: En este curso trabajaremos con raíces cuyo resultado sean racionales (exactas).

Ejemplos:

49

23

49

23

2

3

4

92

2

Pues 125

27

5

3

5

3

125

273

3

Pues 273327

33 Pues

n= índice

= Signo radical a= Radicando

b= raiz o resultado


Página 10

REGLA DE LOS SIGNOS:

Indice par

Radicando positivo : La raíz es doble tomando valores opuestos

255525

255525

2

2

Radicando negativo : No existe Solución en los números

racionales

49497

49497

49

2

2

queya

RenExisteNo

Indice impar

Radicando positivo : El resultado es positivo 822833

Radicando negativo El resultado es negativo 273327

33

CONCLUSION: Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnn baba ..

1010

5.21000

125.8125.8

3

333

Respecto a la suma nnn baba

75

4325

169916

Respecto al cociente nnn baba ::

22

3:64

9:369:36

Respecto a la resta nnn baba

24

3516

925925

PROPIEDAD ASOCIATIVA ( Reciproca de la DISTRIBUTIVA)

Respecto al producto nnn baba ..

1212

17283.4

27.6427.643

333

Respecto a la suma nnn baba

1723

289815

6422564225

Respecto al cociente nnn baba ::

1010

1002:20

4:4004:400

Respecto a la resta nnn baba

51

251213

144169144169

CONCLUSIÓN : La radicación es distributiva y asociativa respecto del producto y del cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – Repaso SIMELA - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

Página 11

SIMELA El hombre desde las civilizaciones más antiguas necesito construir casas, delimitar tierras para

cultivo , comerciar con los vecinos , o conocer el movimiento de los astros. Y para ello fue necesario MEDIR : Medir longitudes , áreas , volúmenes , pesos y tiempos , como asi también establecer un sistema monetario (que permitió dejar atrás el trueque)

MEDIR: Es comparar con una unidad

El valor del SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) basado en el Sistema Métrico Decimal Internacional (SI) no reside en el tamaño de sus unidades sino en su logica , que permite a partir de unidades fundamentales (tomadas arbitrariamente) obtener mediante simples conversiones los múltiplos y submúltiplos de cada magnitud utilizada.

MAGNITUD: Cualidad de un cuerpo o fenómeno que referida a una unidad de la misma especie puede

medirse. En forma simple podemos decir que Magnitud es todo aquello que puede medirse

MAGNITUDES FÍSICAS: Son las propiedades de los cuerpos y de los procesos naturales que pueden

medirse. Medir una magnitud física es COMPARAR dicha cantidad con un patrón o cantidad de la misma magnitud previamente definida como unidad , determinando el número de veces que lo contiene y expresando el resultado como un número seguido de la correspondiente unidad.

CANTIDAD : es el resultado de la medición expresada en las unidades elegidas.

6 m Número (6) Unidad (m) Cantidad (6 m) ( de la magnitud llamada longitud)

Las cantidades pueden compararse y operarse entre si cuando son homogéneas, para ello deben llevarse las distintas cantidades medidas a una sola unidad (Reducción)

UNIDAD: Es la cantidad elegida como término de comparación para medir las demás cantidades de la

misma especie. Para indicar los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad en el sistema Internacional se usan los siguientes prefijos:

PREFIJO Abreviatura Equivalencia respecto a la Unidad

Expresión Científica

Tera T 1.000.000.000.000 1012

Giga G 1.000.000.000 10 9

Mega M 1.000.000 10 6

Kilo K 1.000 10 3

Hecto H 100 10 2

Deca Da 10 10 1

UNIDAD 1

Deci d 0,1 10-1

Centi c 0,01 10-2

Mili m 0,001 10-3

Micro 0,000001 10-6

Las magnitudes pueden dividirse en Fundamentales y Derivadas. Las primeras no pueden definirse en función de ninguna otra (Ej: Longitud , masa , tiempo) En cambio las segundas se definen a partir de las fundamentales , como una combinación de ellas.(Ej: Superficie ,Volumen , Densidad, Velocidad , fuerza, corriente, caudal, ect..)


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LONGITUD :

Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en una dimensión. (Ej : el largo del pizarrón , el ancho de una hoja , la altura de un edificio) Sus unidades varían de 10 en 10

Múltiplos Unidad Submúltiplos

Nombre Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

Símbolo Km Hm Dam m dm Cm mm

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Observación: Para hacer las reducciones mostradas en los ejemplos se debe tener en cuenta:

Colocar la unidad del número en la unidad de la magnitud correspondiente

Completar el numero a izquierda y derecha

Ejemplos Km Hm Dam m dm cm mm

147,5 dam a cm 1 4 7 5 0 0 147,5 dam = 147.500 cm

0,047 m a Hm 0, 0 0 0 4 7 0,047 m = 0,00047 Hm

SUPERFICIE :

Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en dos dimensiones. (Ej : la extensión del pizarrón o de una hoja de papel) Sus unidades varían de 100 en 100


Nombre Kilómetro cuadrado

Hectómetro cuadrado

Decámetro cuadrado

Metro Cuadrado

Decímetro cuadrado

Centímetro Cuadrado

Milímetro Cuadrado

Símbolo Km² Hm² Dam² m² dm² cm² Mm²

Equivalencia 1.000.000 10.000 100 1 0,01 0,0001 0,000001

Ejemplos Km² _ Hm² _ Dam² _ m² _ dm² _ cm² _ mm²

0,00505 Hm² a m² 0 0 0 5 0, 5 0,00505 Hm² = 50,5 m²

43,25 dm² a dam² 0, 0 0 4 3 2 5 43,25 dm² = 0,004325 dam²

VOLUMEN :

Es la magnitud que indica el espacio ocupado por un cuerpo. (Ej : El lugar que ocupa la yerba , el azúcar en un paquete cerrado) Sus unidades varían de 1.000 en 1.000


Nombre Kilómetro cúbico Hectómetro Cúbico

Decámetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro Cúbico

Centímetro Cúbico

Milímetro Cúbico

Símbolo Km3

Hm3

Dam3

m3

dm3

cm3

Mm3

Equivalencia 1.000.000.000 1.000.000 1000 1 0,001 0,000001 0,000000001


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Ejemplos Km3

_ _ Hm3

_ _ Dam3

_ _ m3

_ _ dm3

_ _ cm3

_ _ mm3

0,0187 Hm3 a dm

3 0 0 1 8 7 0 0 0 0 0 0,0187 Hm

3 =18.700.000 dm

3

72,8 m3 a dam

3 0, 0 7 2 8 72,8 m

3 = 0,0728 dam

3

CAPACIDAD :

Es la magnitud que indica el espacio libre de un cuerpo. (Ej : el lugar vacío en una botella ) Sus unidades varían de 10 en 10


Nombre Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

Símbolo Kl Hl Dal l dl cl Ml

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Ejemplos Kl Hl Dal l dl cl ml

88,005 Hl a dl 8 8 0 0 5 88,005 Hl = 88.005 dl

53.4 cl a l 0, 5 3 4 53,4 cl = 0,534 l

MASA :

Es la magnitud que indica la cantidad de materia que forma un cuerpo. ( El peso de un cuerpo esta en relación con su masa y es lo que medimos con una balanza) Sus unidades varían de 10 en 10


Nombre Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

Símbolo Kg Hg Dag g dg cg mg

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Ejemplos Kg Hg Dag g dg cg mg

240 cg a kg 0, 0 0 2 4 0 240 cg = 0,00240 kg

3,25 dag a dg 3 2 5 3,25 dag = 325 dg

Relaciones entre las unidades de volumen , capacidad y masa/peso :

La equivalencia básica esta dada por la definición de que 1 litro corresponde a 1 dm3 y que para

agua destilada en condiciones particulares de presión y temperatura corresponde a 1 kg

VOLUMEN m3 dm3 cm3

CAPACIDAD Kl l (litro) ml

MASA /PESO T (Tonelada) Kg g (gramo)

Ejemplo: Pasar 140 dg a dm

3

Para hacer esta reducción debemos pasar los 140 dg a kg que es la unidad que coincide con el dm

3

Así tendríamos que 140 dg = 0,0140 kg = 0,0140 dm3


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Sistema agrario:

Para medir la superficie de campos la unidad m² resulta muy pequeña , por lo que se adoptan las llamadas medidas agrarias. (esta palabra proviene del latín agro que significa campo) La unidad elegida es el área que coincide con el decámetro cuadrado. Hay un solo múltiplo y un solo submúltiplo.

Múltiplo Unidad Submúltiplo

Nombre Hectárea área Centiárea

Símbolo Ha a ca

Equivalencia en superficie

Hm² dam² m²

Valor en m² 10.000 100 1

Ha a ca

Ejemplos Hm² Dam² m²

14,45 dam² a Ha 0, 1 4 4 5 14,45 dam² = 0,1445 Ha

2326 ca a a 2 3, 2 6 2326 ca = 23,26 a

Sistema Horario

Para la medición del tiempo usamos un sistema sexagesimal (la unidad se divide en 60 partes no

en 10 como en el sistema decimal)

Segundo= 1 s

Minuto= 1 min = 60 s

Hora= 1 h = 60 min = 3600 s

Día= 1 d = 24 h = 1440 min 86400 s

Sistema Inglés

Solo mencionaremos algunas de las unidades más frecuentes:

LONGITUD Nombre

Simbolo Equivalencia en sistema ingles

Valor aprox. En cm

Pulgada in 2,54 cm

Pie ft 12 in 30,48 cm

Yarda yd 3 ft 91,44 cm

1 milla terrestre equivale a 1609, 32 m ( aproximadamente 1.600 metros) 1 milla marina equivale a 1.853,15 m ( aproximadamente 1.850 metros)

Unidades de superficie: yarda cuadrada , pie cuadrado y pulgada cuadrada

Unidades de volumen : Yarda cúbica , pie cúbico y pulgada cúbica

Unidades de peso/masa :

1 libra = 16 onzas ( equivale a 453,593 g – aproximad. 450 g) 1 onza equivale a 28,344 g – aproximadamente 28 g)

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – PROPORCIONALIDAD - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

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PROPORCIONALIDAD

Historia :

Euclides (griego , 325 – 265 aC) definió a la razón o proporción como una relación de tamaño entre dos magnitudes del mismo tipo, aplicando la proporcionalidad a figuras geométricas. Omar Kayyam (persa, 1050-1123 dC) reemplaza teoría de proporciones geométricas de Euclides por un planteamiento numérico. En el siglo XV se generaliza la teoría de las proporciones dando reglas para operar con ellas. En la Summa de Luca Pacioli se expone la regla de tres y algunas aplicaciones mercantiles

Introducción:

Dadas las siguientes situaciones relacionar las magnitudes que intervienen en la situación completar todos los puntos indicados a continuación:

a) Confeccionar una tabla de valores adoptando valores adecuados (en columna izquierda/x) y calculando el valor correspondiente para cada uno de los adoptados (en columna derecha/y)

b) Representar gráficamente los valores obtenidos.(eje horizontal : eje x / eje vertical : eje y)

1. Sabiendo que 5 metros de manguera cuestan $ 2 Relacionar la longitud de manguera y su

costo para diferentes longitudes de manguera (hasta 50 m) 2. Una bomba llena una pileta a razón de 800 litros por hora. Sabiendo que la pileta tiene 14 m

3

relacionar el tiempo y el volumen de llenado de la pileta. 3. Una fabrica debe enviar 1500 litros de pintura a un comercio. De acuerdo al tipo de envase

que se utilize relacionar la capacidad del envase con el número de envases necesarios en cada caso.

4. Un coche consume 6 litros de nafta en los 100 km. Relacionar el consumo total de combustible con la distancia recorrida para viajes menores de 500 km

5. Se tienen varios rectángulos todos de igual superficie = 18 cm² . Relacionar las posibles bases y aturas de dichos rectángulos

6. Se tienen varios rectángulos cuyo perímetro es 18 cm . Relacionar las posibles bases y aturas de dichos rectángulos

Razón :

Problema: Un comerciante, nada confiable por cierto, ha agregado un litro de agua a un botellón que contenía 5/3 de litro de vino. En otra ocasión ha mezclado ½ litro de agua con ¾ litro de vino del mismo tipo ¿En cual de las oportunidades ha resultado más aguado el vino?

Calculemos para cada caso la cantidad de agua sobre la cantidad de vino , y la razón que de mayor será la mezcla más aguada:

Llamamos razón al cociente entre dos números o cantidades.

Tenemos otros ejemplos de razones en las tablas que hicimos en los ejercicios de la

introducción. Ahí podemos ver que :

2 m. manguera 4 m. manguera 6 m. manguera 5 $ 10 $ 15 $

Si trabajamos con números en vez de magnitudes también podemos ver que la razón entre –10 y 5 es –2 . La razón entre ¾ y 9/8 es 2 /3


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Proporción :

Problema: A un recipiente que contiene 2/5 litros de alcohol puro se ale agrega un litro de agua ¿Cuanta agua es necesaria agregar en otro recipiente que contiene 4/3 litros de alcohol para que las mezclas sean iguales?

Para que ambas mezclas sean iguales el cociente entre la cantidad de alcohol y agua debe ser igual , por lo que podemos plantear:

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones En el ejercicio de el costo de diferentes longitudes de manguera podemos ver que: 2 m = 4 m

5 $ 10 $ En forma general decimos :

a = c a b , c , d = términos

b d a , d = extremos b , c = medios El resultado de los cocientes es constante y se llama constante de proporcionalidad o factor de conversión

Propiedad Fundamental :

El PRODUCTO DE LOS MEDIOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS

a . d = b . c Calculo de los términos de una proporción: 4 = 6 4 . x = 7 . 6 x = 7 . 6 x = 21 7 x 4 2 18 = 9 18 .(-2) = 9 . x x = 18. (-2) x = -4 X -2 9 16 = x 16. 9 = x . x x² = 16 . 9 x = 12 X 9 x = -12

Cuando se presenta un caso como el último ejemplo donde la proporción tiene los medios iguales se llama proporción continua

Proporcionalidad: En la vida cotidiana podemos encontrar cantidades que corresponden a magnitudes que se relacionan entre sì proporcionalmente como vimos en los ejercicios realizados al principio.

Vemos que en algunas de las relaciones planteadas cuando una cantidad aumenta el doble o el triple la otra también aumenta el doble o el triple. Decimos que en este caso ambas magnitudes están relacionadas en forma directamente proporcional (MDP). En cambio en otras relaciones podemos observar que cuando una magnitud aumenta al doble o al triple la otra disminuye a la mitad o la tercera parte. En este caso decimos que ambas magnitudes están relacionadas en forma inversamente proporcional (MIP)


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Podemos ver también que hay muchas otras magnitudes que no cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, aun cuando guarden o no una relación que las vincule entre sì ( Ej : el peso de un bebe en relación con su edad ; el desplazamiento de un coche que acelera )

Magnitudes Proporcionales No porporcionales

Directas (MDP) Inversas (MIP) Definimos entonces :

Magnitudes Directamente proporcionales ( MDP):

Son aquellas que cuando una aumenta o disminuye la otra magnitud aumenta o disminuye en forma proporcional. Es decir que si una cantidad se multiplica por un número , la otra queda multiplicada por el mismo numero ,y si se divide por un numero la otra cantidad también queda dividida por el mismo numero. Ej: Para hacer un postre de chocolate la receta indica que para 6 personas son necesarios 120 gr. de chocolate. ¿Que cantidad es necesaria para 18 persona , y para 12 , y si son 3 personas? Podemos completar la siguiente tabla:

Si establecemos la relación entre los gramos de chocolate y el número de personas vemos que se

mantiene constante , y que si el número de personas aumenta , el chocolate lo hace en la misma proporción. En la proporción todos los cocientes son iguales a 20 que son la cantidad de gramos de chocolate necesarios para una persona. (recordar que a este numero lo llamamos razón de proporcionalidad o factor de conversión)

Magnitudes Inversamente proporcionales ( MIP): Son aquellas que cuando una aumenta la otra magnitud disminuye en forma proporcional.( o si la

primera disminuye la otra aumenta en forma proporcional) Es decir que si una cantidad se multiplica por un número , la otra queda dividida por el mismo número ,y si se divide por un numero la otra cantidad queda multiplicada por el mismo número.

Ej : En un colegio, se decide hacer una excursión. El micro dispone de 50 asientos y cuesta 1800 $ , Se debe determinar el precio que debe pagar cada alumno según sea el número de participantes. ¿Cuánto deben pagar si van 30 alumnos? ¿ y si van solamente 10? Podemos hacer una tabla que nos refleje la situación tomando algunos valores .

Nº Personas (x)

Gr. Chocolate (y)

Gr.Choc / Nº per (y/x)

6 120

18

12

3

1


Página 18

El precio del micro es constante y hay que repartir dicho precio entre el número de alumnos que

viajan. De modo que al aumentar el número de participantes el precio que debe pagar cada uno disminuye en la misma proporción. Si los viajantes aumentan de 10 a 30 ( aumenta 3 veces) el precio disminuye de ........ $/persona a ........ $/persona (disminuye tres veces) En forma general podemos ver que si multiplicamos el número de personas que viajan por el precio por persona obtenemos siempre la misma cantidad de 1800 $ que es el precio que se debe pagar por el viaje

Regla de tres:

La regla de tres es un procedimiento para resolver situaciones en las que intervienen cantidades directas o inversamente proporcionales. Aca se conocen tres valores y hay que hallar el cuarto valor para que formen una proporción.

Directa:

Problema: 6 Kg. de manzanas cuestan 3 $ , cuanto cuestan 8 kg. de manzanas

Puedo plantear: 6 Kg. Cuestan 3 $

8 Kg. Cuestan x $

Donde x representa el costo de los 8 kg de manzanas

Planteo Proporción : 6 = 3 8 x

Por Propiedad fundamental 6 . x = 3 . 8 y resulta x= 4 $ En forma general podemos decir que para la regla de tres directa : Las cantidades deben estar encolumnadas según la magnitud a que correspondan

Inversa

Problema: La calefacción de una escuela tiene un depósito de combustible que dura 24 días funcionando durante 4 horas diarias ¿Cuánto duraría el combustible si funcionase 6 horas por día?

Puedo plantear: 4 hs. Durara 24 Días

6 hs. Durara x días

Donde x representan los días que durara la calefacción

Debo tener en cuenta que a mayor número de horas de uso , menos días durara el combustible. Como están en relación inversa al plantear la proporción debo invertir la segunda razón:

Nº Personas (x)

Precio por persona (y)

Precio / Nº (y . x )

30

10

20

50

1

A B C X donde x= C . B A


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Planteo Proporción : 4 = x 6 24

Por Propiedad fundamental 4 . 24 = 6 . x y resulta x= 16 días En forma general podemos decir que para la regla de tres inversa : Las cantidades deben estar encolumnadas según la magnitud a que correspondan

Porcentaje:

En la vida cotidiana es común escuchar expresiones como

“ El treinta por ciento de los alumnos desaprobaron matemática” “Compre una remera y me hicieron el 15 % de descuento” “Ayer renové un plazo fijo al seis por ciento anual de interés” “El precio del televisor es de 520 $ mas el 21 % de IVA”

Quedémonos con el primer ejemplo . Ahí el 30 % significa que desaprobaron 30 de cada 100

alumnos. El porcentaje es entonces una razón , una fracción cuyo denominador es 100 . ( Acá sería 100

30 )

Si el curso tuviese 37 alumnos ¿Cuántos alumnos desaprobaron la materia?. Para resolver esto

debemos tener en cuenta que el porcentaje de desaprobados esta en relación con el total de alumnos que significa a su vez el 100 %. Podemos plantear entonces el problema a travès de una regla de tres directa donde el 100 % representa al total de alumnos y la incógnita son el numero de alumnos que reprobaron.

100 % 37 alumnos 30 % x = x= 30 % . 37 alumnos = 11 alumnos 100 %

Otra situación que podrìa plantearse es averiguar el porcentaje. Por ejemplo en otro curso de 24 alumnos desaprobaron 8 alumnos. ¿En que curso hay menor rendimiento. Comparamos los porcentajes de desaprobados.

Para el segundo curso planteamos entonces

24 alumnos 100 % 8 alumnos x % = x= 100 % . 8 alumnos = 33,3 % 24 alumnos

Como vemos el porcentaje del segundo curso es mayor – y su rendimiento por lo tanto peor – a pesar de que el numero de alumnos desaprobados es menor ( 8 contra 11) El porcentaje es muy utilizado en todos los cálculos comerciales para calcular todo tipo de recargos , descuentos e intereses. Podremos analizar varios problemas cuando realicemos la ejercitación correspondiente.

Función de proporcionalidad:

Ahora extenderemos los conceptos vistos hasta ahora volviendo a los ejemplos del principio. Hemos analizado las posibles relaciones entre las magnitudes y según como estuviesen relacionadas las llamamos MDP o MIP. Luego nos centramos en los casos particulares que podemos resolver a través de la regla de tres simple. Allí conocemos tres datos y podemos averiguar el cuarto componente de la proporción

¿Habrá alguna manera de expresar la relación entre diferentes cantidades de las magnitudes relacionadas? Hemos expresado esa relación en forma coloquial , o para algunos valores hemos armado las tablas de valores.

Ahora nos detendremos en una forma mucho más sintética que nos permitirá expresar la relación para cualquier cantidad de ambas magnitudes y además analizarla : esto es mediante una FORMULA .

A B C X donde x= A . B C


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También veremos como graficar esos valores obteniendo una información visualmente más rápida y global.

La idea no es solamente hallar cuanto cuestan 3 kg de manzanas si 2 kg cuestan 5 $ ( para eso usaríamos la regla de tres) sino hablar ,representar y calcular el costo de las manzanas en relación con su peso.

Como pudimos ver en los distintos ejemplos vistos hasta ahora hay dos magnitudes relacionadas. A una de ellas le doy valores arbitrariamente para en función de ese valor calcular el valor de la otra magnitud.

Esto nos lleva al concepto de función. Lo veremos en forma sencilla sin entrar en conceptos que serán vistos en cursos posteriores (conjunto de partida, conjunto de llegada, intervalo , dominio , imagen)

En forma general una función es una relación que cumple ciertas condiciones y una de las maneras de expresarla es:

xfy Significa que y depende de x a través de un vinculo

Las (x) conforman el conjunto de elementos llamados variable independiente. Son aquellos a los cuales damos valores . En el grafico se representan en el eje horizontal llamado eje de abscisas y en la tabla de valores corresponden a los ubicados a la izquierda.

Las (y) conforman el conjunto de elementos llamados variable dependiente. Son aquellos que son calculados en relación con el valor correspondiente de (x). En el caso de funciones numéricas la relación entre ambos conjuntos es a través de una fórmula. En el grafico se representan en el eje vertical llamado eje de ordenadas y en la tabla de valores corresponden a los ubicados a la derecha.

Veamos a continuación los elementos usados para la representación gráfica de una función

Eje de ordenadas : es el eje vertical: (Eje de las y)

Origen de coordenadas: punto donde se cortan ambos ejes.

Eje de abscisas : es el eje horizontal . (Eje de las x)

Las coordenadas de un punto se indican : ( 4 , 3 )

Primero se coloca el valor en el eje horizontal : la abscisa ( La x) Luego se coloca el valor del eje vertical : la ordenada ( la y)

Hay muchos tipos de funciones numéricas que se verán en los años sucesivos.

Cualquiera sea el tipo de función que estudiemos , podemos ver que la función corta al eje y en un punto. Este punto se denomina Ordenada al origen , pues corta al eje de ordenadas en x=0.

Así también las funciones pueden cortar o no al eje x. Los puntos donde la función corta al eje x se llaman raíces de la función y allí y=0.


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En esta unidad nos detendremos en los dos casos que venimos estudiando dese el principio que son las funciones que relacionan MDP (Función de proporcionalidad directa) y las que relacionan MIP (Función de proporcionalidad Inversa)

Función de proporcionalidad directa

Analicemos el siguiente ejemplo: Un coche marcha a 100 km/h ¿Qué distancia recorrerá en ½ hora , y en 1 hora , y en 2 , 3 5 o 10 horas?

Armemos una tabla de valores . Como figura en el problema la magnitud a la que le damos

valores es el tiempo , y por lo tanto a esa columna le asignamos la variable independiente (las x , izquierda de la tabla , eje horizontal) En cambio los valores que calcularemos serán la distancia , siendo esta columna la de la variable dependiente que calcularemos en función de los valores del tiempo ( las y , derecha de la tabla , eje vertical)

Los valores de la tabla son fáciles de sacar

casi intuitivamente. Pero busquemos una fórmula . La relación que encontramos es que y/x = k ( constante) o si respetamos el nombre de las magnitudes tenemos:

teconskt

ev tan

Si representamos en un sistema de coordenadas cartesianas:

En forma general para las magnitudes que se relacionan en forma directamente proporcional tenemos:

xkyseaoteconskx

y.tan

Tiempo (hs)

Espacio (Km)

Y/X = constante = K X Y

0,5

1

2

3

5

10

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tiempo (hs)

Esp

acio

(K

m)


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En nuestro ejemplo y es la magnitud llamada espacio , x es la magnitud llamada tiempo . Ambas están relacionadas mediante la fórmula y=k.x donde k es una constante que representa la velocidad que lleva el móvil ( ..... 100 km/h)

Las magnitudes que se relacionan así son MDP , y su representación grafica es una recta que pasa por el origen de coordenadas siendo su fórmula y = k . x

Función de proporcionalidad inversa

Analicemos ahora el siguiente ejemplo: Un coche debe recorrer 480 km ¿Cuánto tardar si su velocidad es de 60 km/h? ¿Y si va a 80 km/h o 100 km/h o 120 k/h,o 160 km/h?

Armemos una tabla de valores . Ahora la magnitud a la que le damos valores es la velocidad , y

por lo tanto a esa columna le asignamos la variable independiente (las x , izquierda de la tabla , eje horizontal) En cambio los valores que calcularemos seran el tiempo , siendo esta columna la de la variable dependiente que calcularemos en función de los valores del tiempo ( las y , derecha de la tabla , eje vertical)

Si agregáramos valores de velocidades más

lentas como 40 km/h o 20 km/h obtendríamos una representación más adecuada. Busquemos una fórmula . La relación que encontramos es que y . x = k ( constante) o si respetamos el nombre de las magnitudes tenemos:

teconsketv tan.

Si representamos en un sistema de coordenadas cartesianas:

Velocidad (km/h)

Tiempo (hs)

Y . X = constante = K

X Y

60

80

100

120

160

0

2

4

6

8

10

12

0 40 80 120 160 200

Velocidad (km/ h)

Tie

mp

o (

h)


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La velocidad que lleva el móvil y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia están en relación inversa ya que cuanto más rápido va el coche menos tarda .

En forma general para las magnitudes que se relacionan en forma inversamente proporcional tenemos:

x

kyseaoteconskxy tan.

En nuestro ejemplo y es la magnitud llamada tiempo , x es la magnitud llamada velocidad . Ambas están relacionadas mediante la fórmula y=k / x donde k es una constante que representa el espacio total recorrido por el movil ( ..... km)

Las magnitudes que se relacionan así son MIP , y su representación grafica es una hipérbola siendo su fórmula y = k / x

Observemos que en una misma situación ( un móvil que se desplaza con velocidad constante) podemos encontrar distintas relaciones de proporcionalidad ( directa o inversa) según como dependa cada magnitud de la otra y que magnitud consideremos constante.

Si se nos plantea una situación de proporcionalidad debemos analizar cual magnitud varía en función de cual para determinar la magnitud-variable dependiente y la magnitud-variable independiente. Asì podremos armar la tabla de valores y la gráfica. Podemos también analizar cuando hablamos de magnitudes ( y no solo de proporcionalidad numérica) el

significado físico de cada variable y de la constante.

Teniendo en cuenta todo lo visto hasta ahora podemos volver a ver los ejemplos desarrollados al principio. Ahora podríamos determinar en cada uno de ellos los siguientes puntos:

Indicar si son magnitudes proporcionales o no y en caso afirmativo indicar si son MDP y MIP calculando el valor de la constante de proporcionalidad y explicando su significado.

Si se puede , en todos los casos , encontrar una formula que relacione las magnitudes que se mencionan, expresando de esa manera la relación entre las dos variables.


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A // B // C E y D Transversales E Perpendicular a A, B y C

PROPORCIONALIDAD GEOMETRICA

HISTORIA :

Thales de Mileto (griego , 624 – 548 a.C.) fue fundamental para la matemática y sobre todo

geometría. Su teorema fue la base para trabajar seriamente con proporciones geométricas .Se dice que conociendo su altura y midiendo las sombras de su altura y las pirámides calculo la altura de las mismas. En toda la historia se uso la semejanza de figuras y cuerpos para hacer representaciones , mediciones y cálculos con mayor facilidad.

Actividad inicial: Siguiendo el esquema adjunto realizar las siguientes tareas:

Partiendo de la parte superior de la hoja dibujar 3 lineas paralelas horizontales separadas 4 cm la primera de la segunda y 10 cm la segunda de la tercera

Dibujar dos lineas transversales a las anteriores. La izquierda debe ser perpendicular a ellas y la otra debe tener cualquier inclinación

Medir todos los segmentos sobre las dos transversales. (Cada alumno tendra valores distintos)

Realizar las proporciones que indique el profesor

Dibujar otra paralela debajo de la tercera que este separada a una distancia de entre 2 y 3 cm de la misma

a d A b e B c f C E D

Una vez realizadas las proporciones indicadas por el profesor se pondrán en común los valores,

pudiéndose observar la similitud o prácticamente igualdad que aparecerán en algunas de las proporciones planteadas.

De lo anteriormente realizado ( teniendo en cuenta que las diferencias que pudiesen aparecer

entre los valores de las distintas proporciones de cada alumno provienen de un error práctico inherente a la medición de los lados, y que la diferencia de valor de las proporciones entre alumnos se debe a que cada uno realizo un dibujo distinto ) se puede verificar y enunciar la siguiente propiedad:

Teorema de Thales :

Al cortar por líneas rectas paralelas , rectas concurrentes ( no hace fata que sean solo dos) los segmentos correspondientes son proporcionales.

Si consideramos 3 o más rectas paralelas cortadas por dos o más transversales , los segmentos de una de ella son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – TRIGONOMETRÍA - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

Página 25

TRIGONOMETRIA Un poco de Historia: A lo largo de la historia el hombre siempre se ha servido de la semejanza de figuras y cuerpos

para hacer representaciones , mediciones y cálculos con mayor facilidad. Si nos detenemos en objetos tan grandes como un puente , un edificio o una casa, o tan pequeños como un engranaje, o una `pieza electrónica nos damos cuenta que su representación a escala es imprescindible para su uso, conocimiento y/o desarrollo. El poder modelizar la realidad es fundamental par el desarrollo de toda cultura y ha sido una constante desde la antigüedad.

Trigonometría significa medida de triángulos , es decir que trata sobre la medida de sus elementos : lados y ángulos.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas

Thales de Mileto (nació en la ciudad griega de Mileto y vivió entre los años 624 y 548 a.C. ) fue sobre todo comerciante , pero también ingeniero, astrónomo, filosofo y matemático. El teorema que lleva su nombre , según la leyenda lo utilizo la primera vez para medir la altura de las pirámides en Egipto (donde vivió muchos años) utilizando la sombra de las pirámides, su propia sombra y midiendo su altura sin ningún otro instrumento.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos.

Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Recordemos que cualquier polígono puede ser descompuesto en triángulos y cualquier triangulo a su vez puede descomponerse en triángulos rectángulos, de allí la importancia de poder calcular cualquier componente de los mismos.

En años anteriores aprendimos a resolver diferentes situaciones relacionadas con los triángulos. Aprendimos a calcular ángulos aplicando las propiedades de ángulos, y calcular la superficie de un triángulo a partir de conocer su base y altura. Ampliaremos ahora las posibilidades de cálculo. En primer lugar veremos como calcular cualquier lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos utilizando el teorema de Pitágoras. Y posteriormente calcularemos los lados y ángulos de cualquier triángulo rectángulo) conociendo solo dos datos del mismo ( dos lados ; o un lado y un ángulo)

Dado que cualquier figura puede descomponerse en triángulos , y todo triángulo puede descomponerse en triángulos rectángulos podremos ampliar la resolución de situaciones problemáticas pudiendo resolver cualquier caso que se presente.


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A

B

C

Teorema de Pitágoras - Actividad inicial:

Dibujar con la mayor precisión los siguientes triángulos rectángulos.:

Sus dos catetos miden 4 cm y 3 cm

Su hipotenusa mide 10 cm y uno de sus catetos 6 cm

Su hipotenusa mide 17 cm y uno de sus catetos 15 cm

Medir e indicar el valor del lado restante Pitágoras, filosofo y matemático griego (570-480 a.C.) realizo muchos experimentos y logro darse

cuenta de que los lados de todo triángulo rectángulo cumplían una particular relación.

En un triángulo rectángulo llamamos : A: Hipotenusa (lado opuesto al angulo recto)

B y C : Catetos (lados adyacentes al ángulo recto)

Pitágoras encontró que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las aéreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Simbólicamente podemos plantear:

²²² CBA Siendo A la hipotenusa y B y C los catetos

Coloquialmente se suele expresar como: “ En todo triangulo rectángulo , el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos” Esto quiere decir que si construimos un cuadrado sobre cada lado comprobaremos que las areasa de dichos cuadrados cumplen con el teorem


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Pitágoras no llego a demostrar el teorema, pero otros matemáticos posteriores a él si lo hicieron.

Euclides por ejemplo fue uno de ellos

Otro matemático que si lo demostró comparando

áreas fue el matemático hindú Bhaskara ( 1150

d.C.) A él se le atribuye haber trabajado con la

manera que se indica a continuación. Si

comparamos las dos figuras vemos como

podemos plantear la igualdad de áreas

²²² CBA ya que los cuatro triángulos

que completan ambas figuras son iguales en cada

caso.

Mediante el teorema de Pitágoras podemos calcular cualquiera de los lados de un triangulo rectángulo conociendo los otros dos lados, un simple despeje de la formula

²²² CBA nos permite calcula tanto A, B o C según sean los datos

Haciendo los despejes necesarios podemos ver que

22 CBA 22 CAB

22 BAC

Actividades : Verificar con el teorema de Pitágoras el lado restante en cada uno de los triángulos dibujados

en la actividad inicial. Dibujar ahora los siguientes triángulos:

Sus dos catetos miden 4, 6 cm y 9,3 cm

Un cateto mide 5,2 cm y la hipotenusa 11,8 cm

Calcula el lado restante usando el teorema de Pitágoras y verifica en el dibujo. ¿Es la misma medida? En caso de no serlo ¿Cuál es el valor de la diferencia respecto del calculo? ¿Por qué aparece este “error”?


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Trigonometría - Introducción:

En la figura 1 se representa la estructura necesaria para la marquesina de un local. Se

desea saber la cantidad de metros que serán necesarios para construir dicha marquesina.

¿En que escala esta el dibujo? (Recordar que O

DE )

Medir todos los elementos y calcular la longitud aproximada ( LA = m) (Comparar diferencias entre las mediciones de los distintos alumnos)

Calcular la longitud teórica de cada elemento utilizando el Teorema de Pitágoras y el teorema de Thales, determinando la longitud teórica ( LT = m )

Completar el siguiente cuadro con los valores obtenidos:

Longitud Medida Longitud Teórica Diferencia

Si cambiásemos el ángulo de la marquesina, podríamos observar que todos los valores, menos el ancho de la misma , cambiarían. Podemos decir que los valores que se obtengan dependen del ángulo con que será fabricada la marquesina menos la longitud horizontal.

La pregunta que nos deberíamos hacer es si : ¿Variaran estos valores de cualquier forma al aumentar o disminuir el ángulo, o por el contrario habrá alguna relación que nos permita su cálculo rápidamente en función del ángulo que adoptemos? Cuando hemos estudiado el Teorema de Thales vimos que dadas ciertas condiciones ( rectas paralelas cortadas por transversales) los segmentos eran proporcionales. Volvamos sobre dichos conceptos analizando la figura 2 .

Allí podemos ver tres triángulos que tienen un mismo vértice en c. Los triángulos son entonces :

Midamos todos los segmentos que conforman dichos triángulos de manera de poder completar las razones planteadas a continuación (usamos dos decimales con redondeo ):


Página 29

bc

ac

bc

ab

ac

ab

cb

ca

cb

ba

ca

ba

1

1

1

11

1

11

cb

ca

cb

ba

ca

ba

2

2

2

22

2

22

Tengamos en cuenta que al medir cometemos errores , si pudiésemos medir en forma exacta podríamos ver que los valores obtenidos para cada fila , es decir para la misma relación de lados de los tres triángulos el valor obtenido sería igual. Veamos ahora que sucede en la figura 3 , donde los tres triángulos conservan el mismo vértice c , pero tienen ángulos diferentes en dicho vértice. Si hacemos las mismas relaciones de segmentos tenemos:

bc

ac

bc

ab

ac

ab

cb

ca

cb

ba

ca

ba

1

1

1

11

1

11

cb

ca

cb

ba

ca

ba

2

2

2

22

2

22

Conclusión: Hemos verificado mediante los dibujos y su medición que las relaciones entre dos lados de cualquier triangulo rectángulo tiene un único valor mientras los ángulos de los triángulos sean congruentes, y que dichas relaciones entre lados varían al variar el ángulo.

Es decir que estas relaciones dependen del ángulo y no de las

medidas de los lados. Cada una de estas tres razones ( y las tres

inversas ) determinan seis relaciones que en conjunto reciben el

nombre de RELACIONES TRIGONOMETRICAS. Si tomamos al

ángulo como variable independiente ,las relaciones trigonométricas

pasarían a ser la variable dependiente , y estaríamos hablando de

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS pudiéndose representar cada una

de esas funciones en un sistema de ejes cartesianos .


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Tomemos un triangulo cualquiera como el indicado abajo y denominemos las seis relaciones respecto del ángulo α ( podríamos también plantear las relaciones respecto de β):

En el triangulo abc

bc = A = Hipotenusa (H) (lado opuesto al ángulo recto

ac = B = Cateto opuesto al ángulo α (CO)

ab = C = Cateto adyacente al ángulo α (CA)

senanotasesenoH

CO

A

B

coscos anotaseenoH

CA

A

C

tganotasegenteCA

CO

C

Btan

tggsiendoganotaseangente

CO

CA

B

C 1cotcotcot

cos

1secsecsec siendoanotaseante

CA

H

C

A

senecsiendoecanotaseecante

CO

H

B

A 1coscoscos

Las tres últimas relaciones corresponden a las inversas de las tres primeras, de manera que podemos establecer que:

1cos1 ecsenoB

A

A

B

1seccos1 oC

A

A

C

1cot1 gtgB

C

C

B

A B

C

α

A

a

A

b

A

c

β

A


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Manejo de Tabla y calculadora Se explicara y ejercitará el uso de ambas herramientas en clase.

TABLA:

La tabla a utilizar viene como anexo a este apunte e incluye las funciones de seno , coseno ,

tangente y cotangente para ángulos entre 0º y 90º . En forma general podemos decir que para los ángulos

entre 0 y 45º , los grados se buscan a la izquierda de la tabla y las funciones en la parte superior. En

cambio para los ángulos entre 45 y 90º el valor de los ángulos esta a la derecha y el nombre de las

funciones en la parte inferior. Obtendremos en estos casos el valor más aproximado a grados

sexagesimales , sin tener en cuenta las subdivisiones en minutos y segundos. Debemos usar las cuatro

cifras decimales incluidas en las tablas , ya que las funciones para ángulos de valor similar pueden tener

igual las primeras cifras decimales

Ejemplos:

CALCULADORA: En el caso de la calculadora , hay que tener en cuenta que la diferencia de marcas implica

diferencias de procedimientos y lectura,

Debemos distinguir dos casos:

Dado el ángulo , calcular el valor de la función trigonométrica:

Para 38º la tangente vale 0,7813

Para 63º el coseno vale 0,4540

Dado el valor de la función trigonométrica calcular a que ángulo corresponde

Si tenemos sen a= 0,986 con calculadora es a= 80º 24´ 4 “

Observación: En la tabla el valor esta entre 81º y 80º . Podemos calcular

que la diferencia entre el valor buscado y los valores de dichos ángulos es menor

para 80º (+0,0012) que para 81º ( -0,0017)

Ejemplos:


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Funciones trigonométricas para ángulos complementarios:

Veamos ahora que sucede con las relaciones entre los dos ángulos agudos ( α y β ) del

triángulo rectángulo. Los mismos suman 90º y son por lo tanto complementarios.

Volvamos al dibujo original donde definimos las relaciones trigonométricas:

Podemos observar que:

B

Aec

C

A

B

Cg

C

Btg

A

C

A

Bsen

cos

sec

cot

cos

C

Aec

B

A

C

Bg

B

Ctg

A

B

A

Csen

cos

sec

cot

cos

Por lo tanto:

seccoscossec

cotcot

coscos

ecec

tgggtg

sensen

A B

C

α

A

β

A


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Grados Seno Tangente Cotangente Coseno

0 0,0000 0,0000 indet 1,0000 90

1 0,0175 0,0175 57,2900 0,9998 89

2 0,0349 0,0349 28,6363 0,9994 88

3 0,0523 0,0524 19,0811 0,9986 87

4 0,0698 0,0699 14,3007 0,9976 86

5 0,0872 0,0875 11,4301 0,9962 85

6 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 84

7 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 83

8 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 82

9 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 81

10 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 80

11 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 79

12 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 78

13 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 77

14 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 76

15 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 75

16 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 74

17 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 73

18 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 72

19 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 71

20 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 70

21 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 69

22 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 68

23 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 67

24 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 66

25 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 65

26 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 64

27 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 63

28 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 62

29 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 61

30 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 60

31 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 59

32 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 58

33 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 57

34 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 56

35 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 55

36 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 54

37 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 53

38 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 52

39 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 51

40 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 50

41 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 49

42 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 48

43 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 47

44 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 46

45 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45

Coseno Cotangente Tangente Seno Grados


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Página 35


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CUADRILATEROS Propiedades

Cuadrilátero Gral o Trapezoide

Romboide Trapecio General

Trapecio Rectángulo

Trapecio Isósceles Paralelogramo

Rectángulo Rombo Cuadrado

LADOS

1 Un par de lados paralelos

2 Dos pares de lados paralelos

3 Dos pares de lados opuestos congruentes

4 Dos pares de lados consecutivos congruentes

5 Cuatro lados congruentes

ÁNGULOS

6 Un par de ángulos opuestos congruentes

7 Dos pares de ángulos opuestos congruentes

8 Un par de ángulos adyacentes congruentes

9 Dos pares de ángulos adyacentes congruentes

10 Cuatro ángulos congruentes

DIAGONALES

11 Son congruentes

12 Cada una corta a la otra en partes congruentes

13 Son Perpendiculares

14 Son bisectriz de un par de angulos opuestos

Solo D1

15 Son ejes de simetría

Solo D1

SUPERFICIE 16

D1 x D2

2

(bM+bm) x h 2

(bM+bm) x h 2

(bM+bm) x h 2

b x h b x h D1 x D2

2

A ²

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – POLINOMIOS - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición : Una expresión algebraica es una combinación cualquiera de letras y/o números,

relacionados entre si con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación , división,

potenciación y radicación.

A los números los llamamos coeficientes, y a las letras se las denomina variables o indeterminadas.

Clasificación:

ENTERAS o POLINOMIOS : Variable no esta afectada por una raíz y/o tampoco aparece como divisor

Ej:

RACIONALES o FRACCIONARIAS :

La variable aparece como divisor

Ej:

IRRACIONALES : La variable aparece afectada por una raíz

Ej:

POLINOMIOS:

Los Polinomios son expresiones algebraicas ligadas entre si por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y, división

Expresión general de un polinomio :

0

0

1

1

2

2

3

3

1

1 ..... xaxaxaxaxaxa n

n

n

n

Como x1 = x y además x

0 = 1 la expresión queda de las siguiente forma :

01

2

2

3

3

1

1 ..... axaxaxaxaxa n

n

n

n

Siendo n un numero natural , los coeficientes a números reales y tal como dijimos anteriormente a la x se la denomina variable o indeterminada.

Es posible asociar a cada polinomio a una única función polinómica y recíprocamente a cada

función polinómica con un polinomio. Así tendremos:

01

2

2

3

3

1

1 .....)( axaxaxaxaxaxp n

n

n

n

Clasificación un polinomio : Teniendo en cuenta la cantidad de términos de un polinomio los

mismos se clasifican en :

Monomio Polinomio de un solo término Ej:

Binomio Polinomio de dos términos Ej:

Trinomio Polinomio de tres términos Ej:


Página 38

Cuatrinomio Polinomio de cuarto términos Ej:

Polinomio de n términos

Polinomio de n términos Ej:

Grado de un polinomio: Llamamos grado de un polinomio al mayor exponente que tiene la

variable en los términos del polinomio.

Coeficiente principal de un polinomio: Llamamos coeficiente principal del polinomio al

coeficiente del termino de mayor grado.

Coeficiente independiente de un polinomio: Llamamos coeficiente independiente del

polinomio al coeficiente del termino grado cero.

Términos semejantes: Son aquellos términos donde la variable y el exponente afectado a ella son

iguales.

Polinomio normalizado: Es aquel cuyo coeficiente principal es 1 (uno)

Polinomio ordenado: Un polinomio esta ordenado cuando sus términos están ordenados en

forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable o indeterminada.

Polinomio Completo: Un polinomio esta completo si tiene términos con la variable afectada a

todos los exponentes posibles desde el valor del grado (mayor potencia) hasta el valor cero


Página 39

En el caso de que el polinomio este incompleto, para completarlo se agregan los términos que faltan con coeficiente cero. Este procedimiento se denomina completar el polinomio, puede ser realizado en forma creciente o decreciente.

Valor numérico de un polinomio: Es el valor que adopta el polinomio cuando se reemplaza

la variable o indeterminada por un determinado número.

OPERACIONES con POLINOMIOS:

Adición y sustracción de polinomios: La suma o resta de dos o mas monomios semejantes es otro monomio semejante al dado , donde

el coeficiente del mismo resulta de la suma algebraica de los coeficientes de los monomios dados.

Reducir un polinomio significa sumar o restar entre los términos semejantes.

Para sumar varios polinomios entre si se deben completar y ordenar , encolumnandose los

términos semejantes y procediendo a la suma de los mismos.


Página 40

Para restar dos polinomios entre si , se debe sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

))(()()()( xqxpxqxp

En el caso de tener que realizar una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden

que aparecen los polinomios, o agrupando primero las sumas y las restas para realizar al final la diferencia


Página 41

Multiplicación de polinomios:

Para realizar la multiplicación de polinomios debe tenerse en cuenta las siguientes propiedades:

Propiedades de la Potenciación ( producto de potencias de igual base)

Propiedad Distributiva de la multiplicación:

Para multiplicar dos o mas monomios entre sí se multiplican los coeficientes entre sí y las

indeterminadas también entre sí siguiendo las mencionadas propiedades y todas las reglas de operatorias numéricas vistas hasta el momento (regla de los signos, simplificación)

Para multiplicar entre sí dos polinomios debemos tener en cuenta la aplicación de la propiedad

distributiva de la multiplicación.

Otra forma de realizar la multiplicación es ordenar y completar los polinomios utilizando el algoritmo de la multiplicación de números.


Página 42

Producto de la suma de dos términos por su diferencia (Producto de binomios conjugados): El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos (producto de binomios conjugados) es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos

( a + b ) . ( a – b ) = a² - ab + ab - b²

Potenciación de polinomios Para resolver la potenciación de monomios debemos aplicar la propiedad distributiva de la potenciación y la propiedad de potencia de otra potencia , tanto sea a coeficientes como a indeterminadas.


Página 43

Cuadrado de un binomio Si desarrollamos el cuadrado de un binomio obtenemos un trinomio cuadrado perfecto, es decir tres términos de los cuales dos son los cuadrados de los términos del binomio siendo el tercero el doble producto del primer término por el segundo.

Cuadrado de un trinomio:

Cubo de un binomio

Al desarrollar el cubo de un binomio obtenemos un cuatrinomio cubo perfecto


Página 44

Geométricamente podemos observar el desarrollo en los siguientes ejemplos

Veamos algunos ejemplos:


Página 45

Triangulo de Pascal

Si en forma general desarrollamos (a + b )n (binomio de Newton) los coeficientes y grados

pueden determinarse fácilmente usando el triángulo de Pascal.

División de polinomios

A) Para resolver la división de monomios debemos dividir tanto los coeficientes como las

indeterminadas de ambos monomios entre sí utilizando las propiedades de la potenciación.

B) Para dividir un polinomio por un monomio debemos aplicar la propiedad distributiva y luego

proceder como en el caso anterior:


Página 46

C) Para dividir dos polinomios usamos el algoritmo de la división ordenando los polinomios en forma

completa y decreciente.

Debe cumplirse que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual al grado del

polinomio divisor. La división debe seguirse hasta que el grado del resto sea menor al grado del divisor.

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un método práctico y sencillo para dividir polinomios por divisores de la

forma ( x a ) Realicemos la división indicada debajo primero en la forma tradicional vista anteriormente y luego veamos como se realiza con la regla de Ruffini.


Página 47

Resolvemos haciendo la división en forma tradicional:

Ahora resolvemos usando la Regla de Ruffini: Para aplicar Ruffini los pasos son los siguientes:

a) En (1) se colocan los coeficientes de R(x) en forma completa y ordenada decreciente.

b) En (2) se coloca el opuesto del término independiente del divisor Q(x) ( o raíz del divisor)

c) Se baja el coeficiente principal de R(x) sin modificarse a (3).

d) Se multiplica dicho número por (2) y el producto se coloca debajo del segundo coeficiente de

R(x). Luego se lo suma a dicho coeficiente colocando la suma nuevamente debajo en (3)

e) Se repite el paso anterior hasta que con la suma del último coeficiente obtenemos el resto (4)

f) El polinomio cociente (3) tiene un grado menos que el polinomio dividendo (1)

Ejemplos:

1

3

4

2


Página 48

Teorema del Resto

El resto que se obtiene de P(x) : Q(x) siendo Q(x) de la forma ( x a ) es el valor que resulta de reemplazar a la indeterminada o variable del polinomio dividendo P(x) por el valor opuesto al término independiente del divisor Q(x) (o raíz del divisor)

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – FACTORIZACIÓN - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

Página 49

FACTOREO

Introducción :

¿Cuándo un número es divisible por otro?

Un número a es divisible por otro b cuando a es múltiplo de b o sea que el resto de la división

entre a y b es igual a cero

Todo número entero puede descomponerse en el producto de sus factores primos. Recordemos

que por ejemplo el número es 19 es primo ya que es solo divisible por el mismo y por el uno.

Similar hecho podemos ver qué sucede con los polinomios, al descomponer el polinomio en el

producto de sus polinomios primos

Analicemos ahora que sucede con el polinomio 652)( 23 xxxxA si lo divido por el

polinomio 2)( xxB . ¿Serán divisibles o no? ¿Qué sucederá si son divisibles?

Aplicamos entonces Ruffini y verificamos si el resto es cero para comprobar si el

polinomio divisor es múltiplo del polinomio dividendo

Hemos descompuesto el polinomio A(x) en sus polinomios primos


Página 50

FACTOREAR:

Factorear o factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de dos o más polinomios primos.

Para factorear polinomios se analizan diferentes situaciones, las que llamamos casos de factoreo y

están explicadas a continuación. Debemos tener en cuenta que no todos los polinomios se pueden

factorear, y que en este curso no veremos la resolución por teorema de Gauss que dejamos para años

posteriores.

FACTOR COMÚN (FC ):

Para factorizar un polinomio a través del factor común debe recordarse la propiedad distributiva de

la multiplicación.

Para extraer factor común procedemos en forma inversa a la propiedad distributiva de la

multiplicación de un monomio por un polinomio. Se necesita reconocer entonces cual es el factor común

de los términos del polinomio. Para ello debemos visualizar lo siguiente:

a) En la variable/s del polinomio se debe buscar la variable/s repetida en todos los términos ,

elevada al menor exponente que tenga.

b) En los coeficientes que acompañen a la variable se debe buscar el máximo común divisor

(MCD) de todos los coeficientes.

Veamos un ejemplo:

Para verificar lo realizado debemos efectuar la multiplicación usando la propiedad distributiva y

llegando por supuesto al polinomio original.


Página 51

FACTOR COMÚN EN GRUPOS ( FCG ):

Este caso se aplica a polinomios que no presentan un factor común en todos sus términos , pero

si tienen un factor común en algunos de sus términos, pudiéndose luego sacar ese factor como factor

común de los grupos en que se dividió al polinomio original. Para aplicar el caso debemos recordar la

propiedad distributiva de la multiplicación cuando los términos de ambos factores son dos o mas de dos.

Ejemplo

Se forman grupos de igual cantidad de

términos. Se extrae el factor común en cada grupo

de tal manera que los dos paréntesis ( ) sean iguales Se vuelve a extraer factor común siendo

este el que figura dentro de los ( )

Observación: La agrupación puede realizarse de diferentes maneras , pero se llega al mismo resultado. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ( TCP ):

Para aplicar este caso debemos recordar el cuadrado de un binomio.

Dos de los términos del trinomio deben ser los cuadrados de los términos del binomio. El tercer

termino debe verificar que sea el doble producto de los términos del binomio.


Página 52

Ejemplo:

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO ( CCP ):

Para aplicar este caso debemos recordar el cubo de un binomio Dos de los términos del cuatrinomio son los cubos de los términos del binomio. Otro término es el triple producto del primer término al cuadrado por el segundo. Y el último término del cuatrinomio es es triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término del binomio.


Página 53

DIFERENCIA DE CUADRADOS ( DC ) :

Para aplicar este caso debemos recordar el producto de binomios conjugados Se deben reconocer las bases de los binomios conjugados en los términos cuadrados

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO ( + o - ) :

Para aplicar este caso debemos reconocer el mismo exponente en ambos términos y resolver mediante la Regla de Ruffini.

Veamos un ejemplo con el polinomio: En primer lugar debemos buscar las raíces de dicho polinomio igualándolo a cero.


Página 54

Por teorema de Resto sabemos que:

Aplicamos la regla de Ruffini del polinomio con la raíz obtenida y verificamos que el resto de la

división es cero y obtenemos el polinomio cociente.

Por lo tanto podemos escribir el polinomio factoreado como :

Analicemos ahora si el polinomio indicado debajo es factorable

Podríamos resumir los pasos a seguir de la siguiente manera:

a) Reconocer el mismo exponente en los dos términos

b) Sacar la/s raíz del polinomio igualándolo a cero

c) Con la/s raíz por teorema de resto reconocer el/los divisor/s del polinomio

d) Resolver con dichos divisores la división aplicando la Regla de Ruffini

e) Expresar el polinomio factoreado como el producto del cociente obtenido por el divisor.

Analizar si los siguientes polinomios son o no factoreables siguiendo los pasos vistos

anteriormente.

Matemática 2º Año – Epet Nº 9 – Sistemas de Ecuaciones - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

Página 55

Introducción:

Interpretar las siguientes situaciones gráfica y analíticamente

A las 8 de la mañana pasa por una localidad un móvil con MRU a 80 km/h . Dos horas después pasa por el mismo sitio otro en su persecución a 120 km/h. Determinar a que hora y donde se encuentran los móviles, interpretando el problema en forma analítica y gráfica

¿Qué sucedería si el segundo móvil pasa dos horas después del primero pero a 80 km/h? ¿Cómo son las gráficas? ¿Cuándo se encuentran los móviles? Realizar las gráficas.

Si ambos coches pasan a la misma hora y a la misma velocidad por la localidad A ¿Cómo son las gráficas? ¿En que momento se encuentran?

Si desarrollamos los ejemplos veremos en una misma situación los tres casos posibles que se presentan al plantear en un sistema de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones:

En cursos anteriores hemos estudiado que una ecuación es una igualdad donde hay uno o varios valores desconocidos a los que llamamos incógnitas.

Veíamos entonces que resolver una ecuación significaba hallar el o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Estos valores se llaman soluciones de la ecuación. Una ecuación puede no tener solución , o tener una , varias e incluso infinitas soluciones.

Ejemplos:

a) 2 x - 6 = 8 Ecuación con una incógnita de primer grado

b) 4 x ² - 6 = 30 Ecuación con una incógnita de segundo grado

c) 3 x + y = 4 Ecuación con dos incognitas de primer grado

Si resolvemos estas ecuaciones nos encontramos con lo siguiente:

a) Acá la solución es x = 7 y gráficamente representa un punto en la recta numérica.

b) En este segundo caso x = 3 y gráficamente representa dos puntos sobre la recta numérica

c) En el último caso despejando y nos queda la siguiente igualdad y= - 3 x + 4

Si damos valores a x podemos encontrar los valores de y ( recordemos los conceptos de función, variables independiente y dependiente ) y gráficamente obtendríamos una recta en el plano

(Desarrollar el ejemplo propuesto en hoja aparte)

Hay dos puntos particulares que son los que corresponden a cuando la recta corta a ambos ejes .Al hacer x = 0 la función corta al eje y en el punto llamado Ordenada al Origen. Y cuando y = 0 la función corta al eje x en el punto llamado raíz . ( en nuestro ejemplo c) vemos que ese punto es x = 4/3 )

Veamos ahora que sucede si tuviéramos 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Esto sería un sistema y al igual que en los casos anteriores el sistema (no hablamos ahora de una ecuación) puede no tener solución, o tener una , varias o incluso infinitas soluciones . En el caso de ser ambas ecuaciones / funciones de primer grado /lineales las posibilidades son los distintos casos planteados en nuestro ejemplo de introducción. En forma general podemos decir que


Página 56

.

Resolver un sistema de ecuaciones (funciones) significa hallar los puntos comunes de ambas ecuaciones ( funciones ) . Gráficamente en el caso de funciones es encontrar la intersección de dichas funciones en el plano. Debemos empezar a entender la diferencia entre los planteos analíticos y la resolución gráfica ,

como así también la interacción entre ambos en el caso de ser requerida. En este curso nos interesa calcular y graficar sistemas de 2 ecuaciones de primer grado

(funciones lineales ) con 2 incógnitas (x , y ) . Pero el planteo puede darse en forma más general con ecuaciones de segundo grado o mayores. Y a su vez puede trabajarse con mas de dos ecuaciones en cuyo caso el sistema sería de tres, cuatro , … ecuaciones con tres, cuatro , … incógnitas

Para resolver los sistemas de ecuaciones usaremos el método gráfico y alguno de los métodos

analíticos, y comprobaremos que ambas soluciones coinciden si esta bien resuelto el sistema.

CLASIFICACIÓN :

En sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas los casos posibles son:

(x,y)

Sistema de 2 ecuaciones /

funciones

Indeterminado Determinado

Compatible

Incompatible

Se cortan en un punto : solución única (x,y)

Rectas coincidentes : Soluciones infinitas

Rectas paralelas : Solución vacía


Página 57

SOLUCION

Sistema Ecuaciones Funciones

Compatible Determinado

Par ( x , y ) Punto de intersección de ambas rectas

Compatible Indeterminado

Infinitos pares ( x, y ) Rectas superpuestas

Incompatible No tiene solución Rectas paralelas

Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones:

Método Gráfico:

Se representan ambas funciones lineales en un mismo sistema de ejes cartesianos. Si las rectas se cortan en un punto pueden leerse las coordenadas de dicho punto. Los valores de x e y encontrados pertenecen a ambas rectas por lo que son la solución del sistema dado Hallar el punto de encuentro del siguiente sistema representando ambas funciones en un sistema de ejes cartesianos y leyendo el punto de encuentro de las mismas. Para realizar las graficas hacemos una tabla de valores para x = - 1 a x = 1 . Otra manera sería partir de la formula de función lineal y = a x + b donde a , b son la pendiente de la recta y la ordenada al origen , y con dichos valores representar la recta.

32

3

44

1

xy

xy

El punto solución es ( 4 , 3 )

Métodos analíticos

Igualación:

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los segundos miembros

encontrándose el valor común de la otra incógnita. Luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales encontrándose el valor de la otra incógnita.

535

12

yx

yx

Despejando y en la primera ecuación obtenemos xy 21

Despejando y en la segunda ecuación obtenemos 3

5

3

5 xy


Página 58

2

3

2

3

1

13

5

3

52

3

5

3

521

x

x

xx

xx

Como en el punto solución las coordenadas son las mismas podemos igualar las y:

Ahora con de valor de x sustituimos en ambas ecuaciones para hallar el valor de y , que debe

resultar igual en ambas ecuaciones

5

2.21

y

y

5

3

52.

3

5

y

y

El punto solución es ( 2 ; -5 ) debiendo ser verificado con la resolución gráfica

Otros métodos analíticos son

Sustitución:

Se despeja una incógnita cualquiera de una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Se

resuelve la ecuación planteada obteniéndose el valor de una de las incógnitas. Con dicho valor se procede igual que en el método anterior para hallar la primera incógnita.

532

44

yx

yx

Despejando y en la primera ecuación obtenemos xy 44

Como en el punto solución las coordenadas son las mismas podemos reemplazar este despeje en la segunda ecuación obteniendo:

2

1

14:7

12514

512122

544.32

x

x

x

xx

xx

Ahora con de valor de x sustituimos en la ecuación que habíamos despejado para hallar el

valor de la otra coordenada (y)

2

2

1.44

y

y

El punto solución es

2;

2

1 podemos verificar que la primera ecuación de la recta contiene

a este punto gráficamente, pero al no estar despejada la segunda ecuación a ella no podemos verificarla.


Página 59

Reducción por sumas o restas:

Se trata de eliminar una incógnita sumando o restando ambas ecuaciones . Para ello el valor de

las incógnitas debe ser opuesto, por lo que hay que multiplicar a una de ellas por algún numero conveniente.

1734

12

yx

yx

En la primera ecuación multiplicamos ambos miembros por 2 obteniendo:

224 yx

Ahora restamos miembro a miembro ambas ecuaciones:

3

1550

224

1734

y

yx

yx

yx

Reemplazamos el valor de y en cada ecuación obteniendo el valor de x

2

42

132

x

x

x

2

84

1794

173.34

x

x

x

x

El punto solución es ( 2 , -3 ) no pudiéndose verificar gráficamente . Para hacerlo deberíamos despejar las ecuaciones.

Determinantes:

Los métodos analíticos vistos anteriormente tratan de eliminar una incógnita para poder calcular la

otra. Vamos a ver un método que consiste en calcular directamente el valor de cada incógnita , aplicando un sencillo algoritmo. El método de determinantes consiste en resolver un sistema usando solo los coeficientes de las ecuaciones dadas en un cierto orden.

En forma general : 222

111

cybxa

cybxa

siendo a1 , b1 , c1 , a2 , b2, c2 números reales

Para hallar el punto solución hacemos tres determinantes, uno con los coeficientes de x e y al que llamamos determinante principal y cuyo resultado se obtiene de la manera que se desarrolla a continuación. Los otros dos determinantes ( Dx ; Dy ) se obtienen reemplazando los coeficientes de la variable considerada por los coeficientes independientes y operando de igual manera que en el determinante principal. Por último el valor de x e y se obtiene haciendo la división del determinante de cada variable por el determinante principal.


Página 60

Determinante principal (D) : 122122

11baba

ba

ba

Determinante x (Dx) : 122122

11bcbc

bc

bc

Determinante y (Dy) : 122122

11caca

ca

ca

Entonces las soluciones del sistema son : D

Dyy

D

Dxx

Si D es distinto de 0 el sistema tiene solución única, es compatible determinado.

Si D es igual a 0 y el determinante numerador es 0 el sistema tiene infinitas soluciones , es compatible indeterminado.

Si D es igual a 0 y el determinante numerador es distinto de 0 el sistema no tiene soluciones, es incompatible

Ejemplo: 173

432

yx

yx

5

5

25

914

328

3.37.2

3.17.4

73

32

71

34

x

2

5

10

914

122

3.37.2

3.41.2

73

32

13

42

y

El punto solución es ( -5 , 2)

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Matemática 2° Año - · PDF filePROGRAMA de Cursado MATEMATICA - 2º AÑO - EPET Nº 9 - Plottier - AÑO 2017 INTRODUCCIÓN: Repaso de reglas algebraicas. Ejercicios