MATEMÁTICA 3TERCERO BÁSICO

Guía de aprendizaje

Tabla 2Proceso de aprendizaje

significativo

Desafío: Paso 1

Exploración: Paso 2

Puentes de aprendizaje:Paso 3

Construcción de nuevos aprendizajes: Paso 4

Integración de aprendizajes: Paso 5

Evaluación: Paso 6

Evaluación ponderada

Tabla 1Iconos Generales

Trabajo individual

Trabajo en parejas

Trabajo en tríos

Trabajo en equipo

Todo el grupo

Trabajo en casa

¿Qué necesitamos saber?

Ruta de la salud

Actividad interactiva(enlace sugerido)

Tablas de IconosEstimado estudiante:

A continuación, te presentamos organizados en dos tablas los iconos que aparecerán dentro de tus guías de aprendizaje.

¿Para qué sirven?Para visualizar y guiar el proceso de aprendizaje.

¿Cómo están organizados?

Tabla 1- La cantidad de integrantes que participarán en las actividades.- El lugar donde se desarrollará la actividad.- El tipo de actividad.

Tabla 2- Los seis momentos o pasos del aprendizaje significativo.

PresentaciónAPRENDER PARA PROGRESAR

Estimado estudiante:

La guía de aprendizaje que hoy tienes en tus manos, forma parte de una serie de seis guías: Matemática, Comunicación y Lenguaje, Idioma Español, Educación Artística, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales y Ciudadanía y subárea de Comunicación y Lenguaje, Idioma Inglés, con las que estudiarás durante este ciclo escolar. Las áreas de Productividad y Desarrollo, Educación Física y la subárea de TAC las trabajarás de manera integrada, en una serie de proyectos innovadores.

Este es un esfuerzo de alineación al Currículo Nacional Base que responde las exigencias de la sociedad actual y al avance que ofrecen las tecnologías de la información.

Todos los materiales de aprendizaje los hemos elaborado pensando en ti, para que disfrutes del placer de aprender.

Cada guía es una ruta de oportunidades llena de desafíos, experimentos, lecturas, exploraciones, actividades, en fin…de retos para que valores lo que eres capaz de aprender, lograr y progresar. Para que este reto tenga éxito es indispensable tu participación decidida.

Tanto como respirar, reír o amar, necesitas conocerte a ti mismo, comunicar tus ideas, pensamientos y sentimientos. Necesitas más herramientas para resolver situaciones cotidianas, para compartir, construir y cultivar relaciones entre las personas y entre los acontecimientos que suceden a través del tiempo y del espacio.

Aprovecha todas las oportunidades, amplía tus horizontes, descubre el inmenso mundo que te rodea y fortalece tu identidad como guatemalteco o guatemalteca, mediante la tolerancia, el aprecio y el respeto por la diversidad. Refuerza tu autonomía, tus habilidades, tus virtudes y participa como futuro ciudadano o ciudadana libre y responsable, en la construcción de la Guatemala donde deseas vivir.

Hoy, te entregamos el esfuerzo y la esperanza de todas las personas que creemos y confiamos en ti.

Ministerio de Educación

Tab

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Unidad 1

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p. 2

4-2

5. S

esió

n 10

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reso

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4. S

esió

n 3

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6. S

esió

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pp.

16

-17.

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ión

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sión

9. A

ct.9

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a. 8,

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. 16.

Eva

. 9,

pp.

32-

33

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sión

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sión

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. 10.

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16

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11.

Act

. 11.

Eva

. 5, p

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sión

5. A

ct.5

. p.1

8 -Se

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12.

Act

. 12.

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. 6, p

. 27

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sión

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ct.6

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a. 2, p

. 19

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sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

p.

29

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 3, p

. 21

Al t

erm

inar

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a un

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Unidad 2

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pp.

36

-37.

Ses

ión

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. 46.

Ses

ión

9M

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gra

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nues

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8. S

esió

n 3

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lóg

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. 47.

Ses

ión

10

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Ses

ión

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ías.

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p. 4

8-4

9. S

esió

n 11

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40

-41.

Ses

ión

5 -Co

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p. 5

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2-43

. Ses

ión

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3. S

esió

n 13

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4. S

esió

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. 45.

Ses

ión

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nes

14, 1

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n 16

Sesi

ón 1

. Act

1. p

p. 3

4-3

5 -Se

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36

-37

-Se

sión

9. A

ct.9

p. 4

6Ev

a. 8,

pp. 5

4-5

5, S

esio

nes

14 y

15

Act

. 16.

Eva

. 9,

pp.

56

-57

-Se

sión

3. A

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. 1, p

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10.

Act

. 10.

p. 4

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sión

4. A

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39 -Se

sión

11.

Act

. 11.

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. 5, p

. 49

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sión

5. A

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. 2, p

. 41

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sión

12.

Act

. 12.

Eva

. 6, p

. 51

-Se

sión

6. A

ct.6

. Ev

a. 3, p

. 43

-Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

p.

53

-Se

sión

7. A

ct. 7

. p. 4

4

-Se

sión

8. A

ct. 8

. Eva

. 4, p

. 45

Al t

erm

inar

est

a un

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logr

aré:

-Re

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r ex

pres

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s al

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los

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alcu

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y

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an fi

gura

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Unidad 3

Ento

rnos

a

lgeb

raic

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ría

Talle

r d

e G

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rad

or

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esió

n 2

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min

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os, p

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8-6

9. s

esió

n 9

Mo

nog

rafí

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a co

mun

ida

dM

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rog

reso

s

-Se

cto

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rcul

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p. 6

2. S

esió

n 3

-M

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pp.

70

-71.

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ión

10

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ión

4 -D

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de

Polin

om

ios,

pp.

72-

73. S

esió

n 11

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. 64.

Ses

ión

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ión

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5. S

esió

n 6

-La

prá

ctic

a m

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riq

uece

, pp.

76

-77.

Ses

ión

13

-A

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s ci

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ida

s, p

. 66.

Ses

ión

7

-Se

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cir

cula

r, p

. 67.

Ses

ión

8

1 Se

sió

n S

esio

nes

2, 3

, 4, 5

, 6, 7

, 8Se

sio

nes

9, 1

0, 1

1, 1

2, 1

3 S

esio

nes

14, 1

5Se

sió

n 16

Sesi

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1. p

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. 1, p

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68

-69

Eva

. 8,

pp. 7

8-7

9, S

esio

nes

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. 16.

Eva

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10.

Act

. 10.

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. 5, p

. 71

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ct. 4

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. 2, p

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11.

Act

.11.

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-Se

sión

5 A

ct. 5

. p. 6

4 -Se

sión

12.

Act

.12.

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. 6, p

. 75

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sión

6. A

ct. 6

. p.6

5 -Se

sión

13

. Act

. 13

. Eva

. 7,

p. 7

7

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 3, p

. 66

-Se

sión

8. A

ct. 8

. Eva

. 4, p

. 67

Bloque 2Al t

erm

inar

est

a un

idad

lo

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-Re

solv

er o

pera

cion

es c

on

expr

esio

nes

alge

brai

cas.

-Ex

pres

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ione

s di

vers

as

empl

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o ex

pres

ione

s al

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s.

-Em

plea

r la

s le

yes

de lo

s ex

pone

ntes

y r

adic

ales

pa

ra r

esol

ver

situ

acio

nes

alge

brai

cas.

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r lo

s di

fere

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cas

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de fa

ctor

izac

ión

para

red

ucir

expr

esio

nes

alge

brai

cas.

-Re

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er s

ituac

ione

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la

cien

cia,

la te

cnol

ogía

y v

ida

cotid

iana

con

el á

lgeb

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Unidad 4

En M

arc

haM

ochi

la d

e H

erra

mie

ntas

Mes

a d

e Tr

aba

jo

La r

uta

de

los

núm

eros

y le

tra

sTa

ller

de

álg

ebra

Talle

r d

e fa

cto

riza

ció

nPr

oyec

to I

nteg

rad

or

Eva

lua

ció

n -Pr

od

ucto

s N

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Ses

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Ses

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esió

n 9

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pp.

87-

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Sesi

ón 4

-Fa

cto

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pro

pós

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es r

educ

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Pág.

96

-97.

Ses

ión

10

-M

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plic

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po

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ció

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p. 8

8-8

9. S

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n 5

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inom

io c

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ado

perf

ecto

, Pág

. 98-

99. S

esió

n 11

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ma

y d

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, pp.

90

-91.

Ses

ión

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ubo,

Pág

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0. s

esió

n 12

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2-93

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4 -Se

sión

8. A

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103,

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pp.

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sión

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sión

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4. E

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87 -Se

sión

10.

Eva

. 5, A

ct. 1

0. p

. 97

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sión

5. A

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. pp.

88

- 89

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sión

11.

Eva

. 6, A

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1. p

. 99

-Se

sión

6. E

va. 3, A

ct. 6

. p. 9

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sión

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Act

. 12.

p. 1

00

-Se

sión

7. E

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sión

13

. Eva

. 7,

Act

. 13.

p. 1

01

Al t

erm

inar

est

a un

idad

logr

aré:

-Fa

ctor

izar

exp

resi

ones

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.

-D

eter

min

ar e

l m.c

.m. d

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on fr

acci

ones

.

-Re

solv

er e

cuac

ione

s lin

eale

s co

n un

com

ún d

enom

inad

or.

-Id

entifi

car

las

raíc

es d

e un

a ec

uaci

ón d

e se

gund

o gr

ado

de

la fo

rma

ax2

+ c

= 0

.

Unidad 5

El m

und

o d

e la

s ig

uald

ad

es

Talle

r d

e fa

cto

riza

ció

nTa

ller

de

igua

lda

des

Proy

ecto

Int

egra

do

rEv

alu

aci

ón

-Tr

ino

mio

s, p

p. 1

08

-10

9. S

esió

n 2

-Ec

uaci

one

s co

n fr

acc

ione

s, p

.116

Ses

ión

8M

ono

gra

fía

de

nues

tra

com

unid

ad

Mis

pro

gre

sos

-Tr

ino

mio

s q

ue n

o so

n p

erfe

ctos

, p. 1

10. S

esió

n 3

-Ec

uaci

one

s d

e va

rios

pa

sos,

p. 1

17 S

esió

n 9

-R

egla

s p

ara

des

cub

rir

coefi

cien

tes,

p. 1

11. S

esió

n 4

-Ec

uaci

one

s y

exp

resi

one

s a

lgeb

raic

as

no s

on

lo m

ism

o, p

p. 1

18-1

19.

Sesi

ón 1

0 -Ju

ego

de

cruc

es, p

p. 1

12-1

13. S

esió

n 5

-R

om

pec

ab

eza

s A

lgeb

raic

o, p

p. 1

20-1

21. S

esió

n 11

-Tr

ino

mio

s q

ue p

are

cen

per

fect

os, p

. 114

. Ses

ión

6 -Ec

uaci

one

s d

e Se

gun

do

gra

do,

pp.

12

2-12

3. S

esió

n 12

-La

reg

la d

e la

tije

ra, p

. 115

. Ses

ión

7 -Co

nstr

ucci

ón

de

ecua

cio

nes

de

gra

do

2, p

p. 1

24-1

25. S

esió

n 13

1 Se

sió

nSe

sio

nes

2, 3

, 4, 5

, 6Se

sio

nes

8, 9

, 10,

11,

12

, 13

Ses

ione

s 14

, 15

Sesi

ón

16Se

sión

1. A

ct 1

. pp

. 10

6-1

07 -Se

sión

2. A

ct.2

. pp.

10

8-1

09

-Se

sión

8. A

ct. 8

. p. 1

16Ev

a. 8,

pp. 1

26-1

27, S

esio

nes

14 y

15

Act

. 16.

Eva

. 9,

pp.

126

-127

-Se

sión

3. A

ct. 3

. Eva

. 1, p

. 110

-Se

sión

9. A

ct.9

. Eva

. 5, p

. 117

-Se

sión

4. A

ct. 4

. p. 1

11 -Se

sión

10.

Act

. 10.

Eva

. 6, p

. 119

-Se

sión

5. A

ct.5

. Eva

. 2,

p. 1

13

-Se

sión

11.

Act

. 11.

p. 1

20 -Se

sión

6. A

ct.6

. Eva

. 3, p

. 114

-Se

sión

12.

Act

. 12.

pp.

12

2-12

3

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 4, p

. 115

-Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

pp.

124

-125

Al t

erm

inar

est

a un

idad

logr

aré:

-Re

solv

er e

cuac

ione

s cu

adrá

ticas

em

plea

ndo

dife

rent

es e

stra

tegi

as.

-Pl

ante

ar s

ituac

ione

s di

vers

as

empl

eado

ecu

acio

nes

cuad

rátic

as.

-Ev

alua

r la

dis

crim

inan

te p

ara

dete

rmin

ar e

l tip

o de

sol

ució

n de

una

ecu

ació

n cu

adrá

tica.

-U

tiliz

ar la

uni

dad

imag

inar

ia i

para

exp

resa

r ra

íces

neg

ativ

as.

-Re

solv

er e

cuac

ione

s de

se

gund

o gr

ado

que

invo

lucr

en

núm

eros

com

plej

os.

Unidad 6

Dos

ca

min

os:

los

rea

les

y lo

s co

mp

lejo

s

Talle

r d

e ec

uaci

one

s d

e se

gun

do

gra

do

Talle

r d

e nú

mer

os c

om

ple

jos

Proy

ecto

Int

egra

do

rEv

alu

aci

ón

-M

últi

ple

s o

pci

one

s, p

p.13

2-13

3 Se

sión

2

-La

uni

da

d im

ag

ina

ria

, pp.

14

4-1

45. S

esió

n 11

-La

est

rate

gia

del

cru

ce d

e lín

eas,

pp.

13

4-1

35.

Ses

ión

3. -El

mun

do

de

los

núm

eros

co

mp

lejo

s, p

p. 1

46-1

47. S

esió

n 12

-Si

tua

cio

nes

div

ersa

s co

n ec

uaci

one

s d

e se

gun

do

gra

do,

p. 1

36 .

Sesi

ón 4

-Ev

alu

ar

ecua

cio

nes

de

seg

und

o g

rad

o, p

p. 1

48-1

49. S

esió

n 13

.

-Ec

uaci

one

s es

pec

iale

s d

e se

gun

do

gra

do,

p. 1

37. S

esió

n 5

-Pr

ofu

ndiz

o en

la e

cua

ció

n d

e se

gun

do

gra

do,

p. 1

38

. Ses

ión

6

-La

fó

rmul

a p

ara

to

da

ecua

ció

n cu

ad

ráti

ca, p

. 139

. Ses

ión

7

-D

iscr

imin

ar

es d

ifer

enci

ar,

p. 1

40. S

esió

n 8

.

-In

teg

ro m

is c

ono

cim

ient

os, p

. 141

. Ses

ión

9

-El

jueg

o d

e la

s cu

ad

ráti

cas,

pp.

142

-143

. Ses

ión

10

1 Se

sió

n S

esio

nes

2, 3

, 4, 5

, 6, 7

, 8, 9

Sesi

one

s 10

, 11,

12

, 13

Ses

ione

s 14

, 15

Sesi

ón

16

Sesi

ón 1

. Act

1.

pp. 1

30

-131

-Se

sión

2. A

ct.2

. pp.

132

-13

3 -Se

sión

10.

Act

. 10.

Eva

. 5, p

p. 1

42-1

43Ev

a. 8,

pp. 1

50

-151

, Ses

ione

s 14

y 1

5A

ct. 1

6. E

va. 9,

pp.

152

-15

3 -Se

sión

3. A

ct. 3

. Eva

. 1, p

. 13

5 -Se

sión

11.

Act

. 11.

pp.

14

4-1

45

-Se

sión

4. A

ct. 4

. p. 1

36 -Se

sión

12.

Act

. 12.

Eva

. 6, p

p.14

7-14

8

-Se

sión

5. A

ct.5

. Eva

. 2, p

. 137

-Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

p. 1

49

-Se

sión

6. A

ct.6

. p. 1

38

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 3, p

. 139

-Se

sión

8. A

ct. 8

. p. 1

40

-Se

sión

9. A

ct.9

. Eva

. 4, p

. 141

Tab

la d

e a

lca

nce

y s

ec

uenc

iaBloque 3A

l ter

min

ar e

sta

unid

ad lo

grar

é:

-Id

entifi

car

la r

elac

ión

de

corr

espo

nden

cia

entr

e co

njun

tos.

-Tr

azar

func

ione

s lin

eale

s en

el

plan

o ca

rtes

iano

.

-Re

solv

er s

ituac

ione

s qu

e in

volu

cran

rel

acio

nes

linea

les.

-Tr

azar

func

ione

s de

seg

undo

gr

ado

-Re

solv

er s

ituac

ione

s qu

e in

volu

cren

func

ione

s lin

eale

s.

-Id

entifi

car

las

cara

cter

ístic

as d

e un

a fu

nció

n cu

adrá

tica

en e

l pl

ano

cart

esia

no.

Unidad 7

En M

arc

haM

ochi

la d

e H

erra

mie

ntas

Mes

a d

e Tr

aba

jo

Sinc

roní

a d

e el

emen

tos

Talle

r d

e fu

nda

men

to d

e fu

ncio

nes

Talle

r d

e lo

s nú

mer

os e

nter

os y

sus

ap

lica

cio

nes

Proy

ecto

Int

egra

do

rEv

alu

aci

ón

-La

reg

la d

e co

rres

po

nden

cia

, p. 1

56-1

57. S

esió

n 2

-Pa

ráb

ola

, p.1

63.

Ses

ión

7M

ono

gra

fía

de

nues

tra

com

unid

ad

Mis

pro

gres

os

-¿Q

uién

es

f (x

)?, p

. 158

. Ses

ión

3 -G

ráfic

a d

e un

a fu

nció

n cu

ad

ráti

ca, p

.16

4. S

esió

n 8

-Fu

ncio

nes

mo

del

o, p

. 159

. Ses

ión

4 -V

érti

ce y

co

nca

vid

ad

de

una

func

ión

cua

drá

tica

, p.1

65.

Ses

ión

9

-La

fo

tog

rafí

a d

e un

a fu

nció

n, S

esió

n 5.

pp.

16

0-1

61 -Tr

azo

de

una

func

ión

de

seg

und

o g

rad

o, p

. 16

6-1

67. S

esió

n 10

-Ci

enci

a y

tecn

olo

gía

en

las

func

ione

s, S

esió

n 6.

p. 1

62 -Es

tira

mie

ntos

y c

om

pre

sio

nes,

pp.

168

-169

. Ses

ión

11 -In

ters

ecci

ón

en e

l eje

x, p

p. 1

70-1

71-

Sesi

ón 1

2

-Si

tua

cio

nes

mo

del

o, p

p. 1

72-1

73. S

esió

n 13

1 Se

sió

nSe

sio

nes

2, 3

, 4, 5

, 6 ,7

Sesi

one

s 8,

9, 1

0, 1

1, 1

2, 1

3 S

esio

nes

14, 1

5Se

sió

n 16

Sesi

ón 1

. Act

1.

pp. 1

54

-155

-Se

sión

2. A

ct.2

. p. 1

56 y

157

-Se

sión

8. A

ct. 8

. p. 1

64

Eva

. 8,

pp. 1

74-1

75, S

esio

nes

14 y

15

Act

. 16.

Eva

. 9,

pp.

176

-177

-Se

sión

3. A

ct. 3

. Eva

. 1, p

. 158

-Se

sión

9. A

ct. 9

. p. 1

65

-Se

sión

4. E

va. 2, A

ct. 4

. p. 1

59 -Se

sión

10.

Eva

. 5, A

ct. 1

0. p

p. 1

66

-167

-Se

sión

5. A

ct. 5

. pp.

16

0-1

61 -Se

sión

11.

Act

. 11.

pp.

168

-169

-Se

sión

6. A

ct. 6

. Eva

. 3, p

. 162

-Se

sión

12.

Act

. 12.

Eva

. 6, p

. 171

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 4, p

. 16

3 -Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

pp.

172

y 1

73

Red

de

núm

eros

, sí

mb

olo

s y

rela

cio

nes

Talle

r d

e si

stem

as

de

ecua

cio

nes

Talle

r d

e si

stem

as

de

ecua

cio

nes

Proy

ecto

Int

egra

do

rEv

alu

aci

ón

Al t

erm

inar

est

a un

idad

logr

aré:

-Re

solv

er p

or e

l mét

odo

gráfi

co

un s

iste

ma

de e

cuac

ione

s si

mul

táne

as.

-Ex

pres

ar u

na s

ituac

ión,

baj

o co

ndic

ione

s es

tabl

ecid

as,

en u

n si

stem

a de

ecu

acio

nes

sim

ultá

neas

.

-Re

solv

er s

iste

mas

de

ecua

cion

es p

or e

l mét

odo

de ig

uala

ción

, sus

tituc

ión

y re

ducc

ión.

-C

ompr

obar

que

un

sist

ema

de

ecua

cion

es p

uede

res

olve

rse

por

elim

inac

ión

de v

ario

s m

étod

os.

Unidad 8

-U

n si

stem

a co

n so

luci

ón,

pp.

18

0-1

81. S

esió

n 2

-El

ca

mió

n d

e D

on

Ra

mir

o, p

. 19

2. S

esió

n 10

M

ono

gra

fía

de

nues

tra

com

unid

ad

Mis

pro

gre

sos

-Co

njun

to s

olu

ció

n, p

. 182

. Ses

ión

3 -Su

ma

r y

rest

ar

ma

nza

nas

y p

era

s, p

. 193

. Ses

ión

11

-M

is c

ono

cim

ient

os e

stá

n a

pru

eba

, p. 1

83.

Ses

ión

4 -En

cuen

tro

la r

esp

uest

a co

rrec

ta, p

p. 1

94-1

95. s

esió

n 12

-O

tros

ca

min

os, p

p. 1

84

-18

5. S

esió

n 5

-R

ulet

a d

e ec

uaci

one

s, p

p. 1

96-1

97. S

esió

n 13

-El

ca

min

o d

e la

igua

laci

ón,

p. 1

86.

Ses

ión

6

-To

dos

los

cam

inos

nos

llev

an

al m

ism

o lu

ga

r, p

.187

. Ses

ión

7

-En

cuen

tro

la s

olu

ció

n, p

p. 1

88

-189

. Ses

ión

8

-A

red

ucir

se

ha d

icho

, pp.

19

0-1

91. S

esió

n 9

1 Se

sió

nSe

sio

nes

2 ,3

,4, 5

, 6 ,7

, 9Se

sio

nes

8, 1

0, 1

1, 1

2, 1

3 S

esio

nes

14, 1

5Se

sió

n 16

Sesi

ón 1

. Act

1.

pp. 1

78-1

79 -Se

sión

2. A

ct.2

. pp.

18

0 -1

81 -Se

sión

8. A

ct. 8

. pp.

18

8-1

89Ev

a. 8,

pp. 1

98-1

99,

Ses

ione

s 14

y 1

5A

ct. 1

6. E

va. 9,

pp.

20

0-2

01 -Se

sión

3. A

ct. 3

. Eva

. 1, p

. 182

-Se

sión

10.

Act

. 10.

Eva

. 4, p

.19

2 -Se

sión

4. A

ct. 4

. Eva

. 2, p

. 18

3 -Se

sión

11.

Act

. 11.

Eva

. 5, p

. 193

-Se

sión

5. A

ct. 5

. pp.

18

5-1

86

-Se

sión

12.

Act

. 12.

Eva

. 6, p

p. 1

94-1

95 -Se

sión

6. A

ct. 6

. p.

18

6Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

p. 1

97

-SS

esió

n 7.

Act

. 7. E

va. 3, p

. 187

Sesi

ón 1

3. A

ct. 1

3. E

va. 7,

p. 1

97

-Se

sión

9. A

ct. 9

. pp.

19

0-1

91

Al t

erm

inar

est

a un

idad

logr

aré:

-Em

plea

r la

not

ació

n de

de

sigu

alda

des

para

rep

rese

ntar

di

vers

as s

ituac

ione

s.

-Re

solv

er in

ecua

cion

es y

re

pres

enta

rlas

en

la r

ecta

nu

mér

ica.

-Ex

pres

ar á

ngul

os e

stán

dar

en

círc

ulos

, en

radi

anes

y g

rado

s.

-C

onve

rtir

de g

rado

s a

radi

anes

y

vice

vers

a.

-Id

entifi

car

y tr

azar

áng

ulos

po

sitiv

os y

neg

ativ

os e

n el

pl

ano

cart

esia

no.

-Re

solv

er s

ituac

ione

s qu

e in

volu

cran

áng

ulos

pos

itivo

s,

nega

tivos

exp

resa

dos

en

radi

anes

y g

rado

s.

Unidad 9

Cons

truy

o ca

min

os

Talle

r d

e d

esig

uald

ad

esTa

ller

de

med

ida

s a

ngul

are

sPr

oyec

to I

nteg

rad

or

Eva

lua

ció

n -Co

mp

ara

ció

n d

e ca

ntid

ad

es, A

ct. 2

. pp.

20

4-2

05.

Ses

ión

2 -Á

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ct. 8

. pp.

212

-213

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pro

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. 3. p

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. p. 2

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. 4. p

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. Ses

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p. 2

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pp.

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pp.

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223

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224

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10.

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. 10.

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. 4, p

. 215

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. 11.

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p. 2

21

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236

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pp. 2

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15

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Eva

. 9,

pp.

248

-249

-Se

sión

3. A

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. p. 2

30

-Se

sión

9. A

ct. 9

. Eva

. 4, p

. 240

-Se

sión

4. A

ct. 4

. p. 2

31 -Se

sión

10.

Act

. 10.

Eva

. 5, p

. 241

-Se

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5. A

ct.5

. Eva

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p. 2

32-2

33

-Se

sión

11.

Act

. 11.

Eva

. 6, p

. 242

-Se

sión

6. A

ct.6

. pp

. 23

4-2

35

-Se

sión

12.

Act

. 12.

p. 2

43

-Se

sión

7. A

ct. 7

. Eva

. 3, p

. 237

-Se

sión

13.

Act

. 13.

Eva

. 7,

p. 2

45

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p. 2

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Act

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. 26

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pp.

268

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26

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pp.

29

2-29

3

CONOCE TUS GUÍAS

¿Qué significa aprendizaje significativo?Está planteada como una estrategia educativa compuesta por seis pasos o momentos: Desafío, Exploración, Puentes de aprendizajes, Construcción de nuevos aprendizajes, Integración de aprendizajes y Evaluación.

Transitar por los seis pasos o momentos te permitirá movilizar tus saberes anteriores para construir nuevos aprendizajes. En esta ruta encontrarás diversas actividades, todas diseñadas para motivarte a aprender a aprender, aprender a hacer, aprender a ser, a descubrir, a elaborar, a reinventar, a preguntar, a investigar, a analizar, a decidir, a ser reflexivo, crítico, propositivo, abierto al diálogo, dispuesto a compartir.

Estamos seguros que este proceso fortalecerá tu autonomía y tu participación en actividades cooperativas-colaborativas. También te permitirá descubrir cuánto has aprendido y a superar las posibles dificultades, por medio de un plan de mejoramiento constante, llamado ruta de oportunidades.

Textos legales. Te servirán para conocer los nombres de las autoridades del Ministerio de Educación, los nombres de todas las personas que participamos en este maravilloso esfuerzo y datos relativos a la impresión.Presentación. Es una carta que hemos escrito especialmente para ti.Tabla de Alcance y Secuencia. Son cuadros que organizan el proceso de aprendizaje de cada unidad. Te permitirán visualizar el panorama global de lo que aprenderás.

¿Cómo están organizadas las Guías de Aprendizaje?Todas las guías de aprendizaje están organizadas en tres grandes apartados:

1. Páginas inicialesSon las primeras páginas, en ellas encontrarás:

2. Páginas centralesSon las páginas dedicadas al proceso de aprendizaje. Así están organizadas:

Cada guía está estructurada en cuatro bloques. Cada bloque está compuesto por tres unidades de aprendizaje.Cada unidad está organizada en sesiones de aprendizaje significativo.Al finalizar el ciclo escolar habrás trabajado los cuatro bloques, divididos en doce unidades.

3. Páginas finalesAnexo cuya finalidad es ampliar tus recursos de aprendizaje. Bibliografía consultada por los autores para sustentar la vigencia de la información.En tu guía de Inglés encontrarás doce (12) autoevaluaciones cuyo propósito es invitarte a reflexionar acerca de tus progresos y crecimiento personal, al cierre de cada unidad.

DE APRENDIZAJEAhora, exploremos una unidad de aprendizaje

En marcha. Cada unidad tiene su nombre propio. Para presentarla encontrarás imágenes combinadas con textos y actividades que te introducirán a la unidad. También encontrarás los indicadores de logro que te señalarán las competencias, destrezas, habilidades y aprendizajes que lograrás, al finalizar cada unidad.

Mochila de herramientas. En esta sección, construirás nuevos aprendizajes a partir de los que ya conoces, por medio de sesiones de aprendizaje significativo. Estas sesiones están compuestas por diferentes tipos de actividades, unas de aprendizaje y otras evaluativas. En este espacio, también encontrarás invitaciones para que consultes diversos recursos tecnológicos o impresos.

Mesa de trabajo. En este apartado te proponemos actividades destinadas a la integración de aprendizajes, aplicación y evaluación global de los saberes adquiridos en la unidad, mediante Demostraciones Públicas de lo Aprendido -DPA- y Proyectos transformadores vinculantes contigo, tu familia, instituto, comunidad, región o país -VCC-. El registro y resultado de todas las actividades desarrolladas en los proyectos los archivarás en un portafolio, diario de clase o texto paralelo, según el grado; cada uno de ellos será producto de tu creatividad. El facilitador te explicará su propósito, elaboración y manejo. En todos los proyectos encontrarás una breve sección denominada Ruta de la salud, su propósito es aportar a tu salud con rutinas de ejercitación, diarias y variadas.

Acerca de la evaluación

La evaluación de tus aprendizajes será constante, integral, flexible, formativa, participativa y reflexiva. En cada unidad encontrarás actividades de aprendizaje y evaluativas. Estas últimas con diferente ponderación, según el grado de dificultad. Al inicio de todas las unidades encontrarás los indicadores de logro, a partir de los cuales podrás verificar e identificar las destrezas, habilidades y aprendizajes que alcanzarás, al concluir cada unidad. Para cada evaluación existe un plan de mejoramiento cuyo propósito es ayudarte a superar las posibles dificultades y alcanzar el nivel esperado en las diferentes áreas de aprendizaje. Esta estrategia se denomina Ruta de oportunidades.

Semaforización de tus progresos

Su propósito es analizar, al cierre de cada unidad, tu desempeño, logros, progresos o posibles dificultades y reflexionar acerca de cómo superarlas. Este ejercicio personal se completa con una autoevaluación actitudinal, la cual aparece en las páginas finales de la guía de Inglés. Lo importante de esta reflexión es brindarte la oportunidad de hacerte responsable de tus progresos y llevar un registro constante de los mismos, conocerte, identificar y superar las posibles dificultades para proponerte ser una persona mejor.

Recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro

60-75: Puedo mejorar. Color amarillo

0-59: En proceso. Color rojo

UNIDAD

10 En marcha

1

Al terminar esta unidad lograré:

-Establecer la diferencia entre prismas y pirámides. -Identificar prismas y pirámides en nuestro entorno. -Valorar los poliedros y emplearlos en el diseño de piezas gráficas artísticas propias. -Determinar el área lateral, total y volumen de prismas y pirámides. -Emplear la notación de sumatoria para identificar diversas situaciones. -Conocer algunas de las particularidades del triángulo de Pascal.

SESIÓN 1

Calendario poliédrico.

Paso 1Leemos: Elena ha construido un diseño geométrico llamado: “calendario poliédrico”, como el que se muestra en la figura 1. Ella siempre se ha distinguido por ser creativa al inicio del año.

Discutimos y respodemos: - ¿Qué nombre tiene, por su forma, cada una de las caras de este curioso calendario poliédrico?

- ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene el diseño construido por Elena?

Actividad 1

MI MUNDO ES 3D

Figura 1

UNIDAD1

11En marcha

Paso 2Observamos la plantilla que se muestra en la figura 2 y colocamos sobre ella una hoja de papel bond fina de tal forma que podamos trazar todo el contorno de la plantilla.Cortamos, con una tijera el contorno de la figura.Construimos una figura similar al diseño geométrico de Elena.

Contamos de nuevo vértices y aristas de nuestro dodecaedro.Buscamos un calendario de bolsillo, cortamos los meses y pegamos en cada una de las caras de nuestro sólido geométrico.

Figura 2

¿Qué necesitamos saber?

La figura construida por Elena es un sólido geométrico llamado: dodecaedro regular. En la tecnología de la acústica se construyen bocinas en forma de dodecaedro que emiten sonidos apuntando hacia todos lados y que son de utilidad cuando se busca que toda persona alrededor escuche. La figura 3 muestra una bocina de este tipo.

Paso 3

Figura 3

UNIDAD 1

12 Mochila de herramientas TALLER DE GEOMETRÍA

SESIÓN 2

TALLER DE GEOMETRÍA

Paso 2Observamos la figura 2A y 2 B que muestra la plantilla de 4 sólidos geométricos. Colocamos sobre cada forma una hoja de papel bond de grosor fino. Trazamos el contorno, cortamos y construimos cada uno de los sólidos.

SÓLIDOS DE CARAS PLANAS

Paso 1 Alberto observa dos sólidos geométricos, como los que se muestran en la figura 1. Elena su amiga le comenta que con estos sólidos se cumple la siguiente ecuación: “El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2”.

Comprobamos que la afirmación de Elena es verdadera.

Actividad 2

Figura 1

Figura 2A

TetraedroOctaedro

UNIDAD1

13TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 2

Contamos los vértices y aristas de cada una de los sólidos formadosCompletamos la tabla I en el cuaderno:

Verifico con mis compañeros los resultados.

Figura 2B

PoliedroCaras del poliedro

No. Vértices No. Caras No. AristasFórmula de Euler

V+C−A=2

Tetraedro Triángulos 4=4−6=2

Cubo Cuadrados

Octaedro Triángulos

Dodecaedro Pentágonos

Icosaedro Triángulos

Icosaedro

Cubo

UNIDAD 1

14 Mochila de herramientas TALLER DE GEOMETRÍA

SESIÓN 3

POLIEDROS REGULARES

Actividad 3

La figura 2 muestra dos sólidos, demostremos que estos sólidos cumplen o no cumplen con la fórmula de Euler.

Leemos:La figura 4 muestra los cinco poliedros regulares llamados: sólidos platónicos.El filósofo griego Platón ( 427 a.C. – 357 a.C.), asoció los poliedros regulares con los elementos del fuego, tierra, aire y agua (y el universo).

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Un sólido es tridimensional o 3D porque tiene tres dimensiones: longitud, profundidad y altura. Hay dos tipos principales de sólidos, “poliedros” y “no poliedros”:Un poliedro regular es un sólido de caras planas, es decir la forma de las caras es la de un polígono. Si contamos el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrimos que: El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2. Esto se puede escribir la ecuación:

F + V - E = 2Se la llama “fórmula del poliedro” o “fórmula de Euler”

Ver el video: Sólidos platónicos en YouTube: https://goo.gl/mnCWYF

Prisma Triangular

2

4,5 4,

5

Prisma Rectangular

2

Figura 3

FuegoTetraedro

TierraHexaedro

AguaIcosaedro

AireOctaedro

UniversoDodecaedro

UNIDAD1

15TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 3

Paso 4Abramos brecha:

Los sólidos tienen 2 propiedades, que los hacen especiales, la cuales son: Volumen: es la extensión del sólido geométrico en tres dimensiones de una región del espacio. (Pensemos en cuánta agua cabría dentro del sólido). Para reconocer el volumen de un sólido usamos la unidad de m3, cm3 o litros, galones.Recordemos que Área: es una medida de extensión de una superficie, expresada en m2, cm2, pies2, pulg2, km2 o hectáreas.

La figura 3 muestra las expresiones para calcular el área y volumen de un tetraedro.En base a estas expresiones determinamos la superficie y volumen en cm3 del tetraedro formado en clase.Demostremos que el área del sólido se puede encontrar si sumamos el área de los 4 triángulos equiláteros que lo forman.

Paso 6Leemos:

“El tetraedro del fuego” es la forma de explicar cómo deben estar presentes 4 factores para que el fuego sea continuo y se propague”La figura 4 ilustra el símbolo que se emplea para explicar el comportamiento del fuego y sus factores.

Escribe en cada cara del tetraedro un factor del fuego.Investiga cómo se relacionan estos 4 factores y redacta una nota en el cuaderno sobre el tema.

Paso 5Determinemos el área del octaedro que construimos sí sabemos que:Tiene 8 caras y tienen forma de triángulos equiláterosLa altura de todas las caras se puede encontrar con una regla.Todos los triángulos equiláteros tienen la misma área.

Ver el video: Tetraedro de fuego. https://goo.gl/Razd3d

Figura 3

Tetraedro

Área:

A = a2 · √2

Volumen:

v = √2 a3

12

Tetraedro del Fuego

Combustible Oxígeno

Calor

Reacciónen Cadena

Figura 4

UNIDAD 1

16 Mochila de herramientas TALLER DE LÓGICA

SESIÓN 4

PRISMAS

Actividad 4

Paso 1 Leemos:

Un equipo de diseño tiene la tarea de construir cajas típicas de dulces de cardamomo. Juan es un diseñador muy creativo les muestra 3 modelos diferentes. Ver figura 1¿Cuál deben elegir si quieren utilizar la menor cantidad de cartón para su construcción?Consideramos que todos los dulces de cardamomo son del mismo tamaño.Seleccionemos uno de los modelos y explicamos porqué.

Paso 2Colocamos una hoja de papel de grosor fino sobre cada una de las siguientes figuras, luego trazamos sobre el papel cada una de las figuras, cortamos y construimos los sólidos geométricos. Ver Figura 2:

Figura 1

Figura 2

20 cm

10 cm 10 cm

13 cm

20 cm

15 cm

25 cm

5 cm

Prisma de baseTriangular

UNIDAD1

17TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 4

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Los prismas regulares tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, elresto de sus caras son paralelogramos. La figura 3 muestra un prismahexagonal y sus vértices, aristas, caras laterales y bases.

Figura 3

Vértices

AristaBases

Caras Laterales

La figura 4 muestra los diferentes tipos deprismas, completamos la tabla 1 en el cuaderno.

Respondamos:¿Por qué un cilindro no es considerado prisma?¿Qué figuras de nuestro entorno emplean prismas regulares?Anotamos nuestras conclusiones en el cuaderno.

PoliedroNombre

de la baseNombre de las caras laterales

Número de aristas

Número de vértices

Prisma Triangular

Prisma Cuadrangular

Prisma Pentagonal

Prisma Hexagonal

PrismaTriangular

PrismaCuadrangular

PrismaPentagonal

PrismaHexagonal

Figura 4

UNIDAD 1

18 Mochila de herramientas TALLER DE GEOMETRÍA

SESIÓN 5

PRISMA CUADRANGULAR

Contar tiene sentido

Paso 4 Observamos el prisma cuadrangular o caja de la figura 1 y luego identificamos sus bases y caras laterales.Discutimos y explicamos las siguientes expresiones del recuadro No. 1 que permiten determinar el área total del prisma rectangular.

Calculamos el área y volumen de la caja rectangular de la figura 1 que se encuentra en la sesión 4 y que corresponde a uno de los diseños de Juan.¿Cuánto cartón emplea Juan para construir una de las cajas típicas para dulces de cardamomo?Sí cada “bolita”, de cardamomo tiene un volumen de 1.6 cm3, ver figura 2, estimemos: ¿Qué cantidad de bolitas de cardamomo caben en este prisma cuadrangular?

Actividad 5

Paso 5En la comunidad se construye un tanque en forma deprisma cuadrangular para almacenar agua potable parala comunidad. Alfredo es el encargado de construir la obray le han encargado que cubra todas las caras laterales deldepósito con azulejos.Respondemos en el cuaderno:¿Qué área debe cubrir Alfredo con azulejos?Sí cada 1 m2, tiene 10 azulejos, ¿Cuántos azulejos debe colocar?

Figura 1

h

ba

El área lateral de la caja rectangular se encuentra sumando las áreas de las cuatro caras:A.L = 2ah + 2bhEl área total se encuentra sumando las áreas de las bases al área lateral:A.T = 2ah + 2bh + 2abEl volumen es el área de la base multiplicada por la altura:V = (ab) h

Recuadro 1

Paso 6El alcalde municipal construyó un edificio de 13 metros de altura, 9 metros de largo y 8 metros de ancho. Calculemos en el cuaderno:

- ¿Qué área ocupa la base de este edificio? y ¿Qué volumen ocupa?

Figura 2

5 m

3 m

4 m

UNIDAD1

19TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 6

Actividad 6

PRISMA DE BASE TRIANGULAR

Paso 2Ubicamos el prisma triangular construido en la sesión 2 (figura 2).Luego calculamos el área total de este prisma triangular y expresamos nuestro resultado en cm2.Identificamos quién es la base y lados laterales.

Paso 1 Observamos la figura 1 y respondemos:¿Cómo encontramos el volumen del prisma de base triangular, que se muestra en la figura 1, que tiene 54 cm2 de base y 15 cm de altura?

Paso 3

Paso 4Un prisma de base triangular tiene 4 centímetros de lado y una altura de 10 cm.Comprobemos que el área lateral de este prisma es de 120 cm2.¿Qué área le corresponde a cada cara de este prisma?Determinemos la altura de los triángulos que forman la base. Ver la figura 2.Calculamos el volumen de este prisma.

Paso 5Encontramos el área lateral, área total y volumen del prisma triangular que diseño Juanpara almacenar los dulces de cardamomo. (Ver sesión 4 figura 1).Exponemos nuestros resultados en un cartel.

¿Qué necesitamos saber? El área lateral de un prisma triangular es igual al perímetro de la base (la suma de las medidas de los 3 lados del triángulo) por la altura del prisma o arista lateral.Llamamos P al perímetro h a la altura. El área total es la suma del área lateral y dos veces el área de la base. El volumen se calcula multiplicando base y altura.

Figura 1

Paso 6Juan diseño tres modelos para almacenar dulces de cardamomo (ver sesión 4).Determinemos el área supercial de la forma cilindirica y volumen presentada por Juan.Redactemos una nota donde explicamos en cual de los tres diseños empleamos menorcantidad de cartón y cual puede almacenar la mayor cantidad de dulces.

Explicamos que el área lateral y total de un prisma es:A.L = Perimetro de la base x altura y A.T = Area lateral + 2 ( Area de la base)Empleamos el prisma triángular construido en nuestra explicación.

Figura 2

Altu

ra

2

4

UNIDAD 1

20 Mochila de herramientas TALLER DE GEOMETRÍA

SESIÓN 7

VOLUMEN DE PIRÁMIDES

Actividad 7

Paso 1 Leemos:Alberto utiliza un recipiente en forma de piramide, como medida, para llenar una “bote” en un forma de prisma cuadrangular de arena de río. Alberto dice que “una medida”, es la capacidadd máxima que tiene el recipiente en forma de piramide para almacenar hasta 60 cm3 de arena. ¿Cuántas medidas exactas le caben al bote de arena?

Pirámide

Bote

45 cm

45 cm

4 cm

Figura 1

Paso 2Observamos la figura 2 que muestra la plantilla de 2 pirámides.Colocamos sobre cada forma una hoja de papel bond de grosor fino.Trazamos el contorno, cortamos y construimos cada uno de los sólidos.

Figura 2

UNIDAD1

21TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 7

Paso 4La figura 3 muestra una pirámide cuadrangular colocada dentro de un prisma, ambos sólidos tienen bases congruentes y la misma altura.Bajo estas condiciones tres pirámides completas forman un prisma cuadrangular.Empleamos nuestras pirámides construidas para comprobar esta situación.

Paso 5Establecemos una estrategia para medir la altura de la pirámide de base cuadrada construida en esta sesión.Determinamos el volumen de la pirámide de base cuadrada construida en esta sesión y expresamos nuestro resultado en cm2.

Paso 6Establecemos una estrategia para medir la altura de la pirámide de base triangularconstruida en esta sesión.Determinamos el área de base de esta pirámide y luego calculamos su volumen.Expresamos el resultado en cm2.

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Una pirámide regular es una figura tridimensional con una sola base y cuyos lados sontodos triángulos congruentes. El cuadro No.1 ilustra los diferentes tipos de pirámidesregulares.

Expliquemos la diferencia entre un prisma y una pirámide.

PirámideTriangular

PirámideCuadrangular

PirámidePentagonal

PirámideHexagonal

Cuadro No. 1

Para saber más…

Volumen de una pirámide en general es:

V= AB · h

3

Figura 2

UNIDAD 1

22 Mochila de herramientas TALLER DE GEOMETRÍA

SESIÓN 8

Paso 2Medimos el área de las pirámides de base cuadrada y triangular construidas en la sesión 7. Para ello completamos el cuadro siguiente en el cuaderno:

SUPERFICIE DE PIRÁMIDES

Paso 1 Leemos y resolvemos:

El edificio Transamerica en San Francisco, Estado Unidos, es una pirámide (Ver figura 1). La longitud de cada borde de la base cuadrada es 149pies y la altura inclinada de la pirámide es 800pies.¿ Qué tan alta es la pirámide?Elaboremos un croquis que nos permita identificar el tipo de piramide y la altura del edificio

Actividad 8

¿Qué necesitamos saber?

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. La figura 2 muestra los elementos importantes de una pirámide.

Respondemos: ¿Cuantas caras hay en una pirámide cuya base tiene 16 lados?En el Edificio de San Francisco, los 149 pies y 800 pies que nombre reciben.Encontremos por el Teorema de Pitágoras la altura del Edificio de San Francisco.

Paso 3Leemos:

800 pies

149 piesFigura 1

Pirámide Área de la baseNúmero de cara o lados laterales

Área de las caras

Área total:

Triangular

Cuadrada

Figura 2

UNIDAD1

23TALLER DE GEOMETRÍA Mochila de herramientas

SESIÓN 9

Paso 4Identificamos los elementos de la pirámide que se muestra en la figura 1.Comprobamos que el área total de la figura 1 es 360 cm2

Demostramos empleando el Teorema de Pitágoras que h = 12 cm

SUPERFICIE DE PIRÁMIDES

Actividad 9

Paso 5Construimos la pirámide pentagonal de la figura 2 e identificamos sus elementos. Calculamos el área y volumen de la figura.

h=12cm Ap=13cm

ap=5cm

10cm

Paso 6Leemos y resolvemos:

Las pirámides de Egipto son de base cuadrada y según registros la altura de una de ellas es de 146 metros y la arista de su base es de 230 metros.

Determinemos:El área de la pirámide del antiguo Egipto.Comparamos resultados con nuestros compañeros y exponemos nuestro resultado en clase en un cartel.

Figura 1

Figura 2

Abramos brecha:

¿Qué necesitamos saber? El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el área de los triángulos de las caras laterales (Al). A continuación se establece una forma general para calcular el área de una pirámide regular, donde N es la arista del polígono, L la cantidad de lados, apb es apotema de la base y ap apotema la pirámide.

Área= N · L

2(apb + ap)

UNIDAD 1

24 Mochila de herramientas TALLER DE SUCESIONES Y SERIES

SESIÓN 10

NOTACIÓN SIGMA

Paso 1 Leemos y resolvemos:Cuenta la historia que cuando Carl Friedrich Gauss, un notable matemático, tenía apenas 10 años, el maestro enojado indicó a los alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100. Creyendo que con esta actividad los tendría un buen rato ocupados. A los pocos minutos, Gauss se levantó del pupitre, y le entregó el resultado de la suma al profesor: 5050.

El profesor, asombrado y seguramente creyendo que su alumno había puesto un número arbitrariamente, se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma daba como resultado 5050.¿Cómo hizo Gauss para resolver la suma en tan pocos minutos?Discutamos en clase la estrategia de Gauss y exponemos nuestras conclusiones.

Actividad 10

Paso 2La escuela de Pitágoras obtuvo números en serie denominados piramidales. La figura 1 muestra los cuatro primeros términos de los números tetraedros o de cuatro caras.Comprobemos por medio de la expresión siguiente el número de puntos del cuarto término.

Tracemos en el cuaderno el quinto término de la serie.

La figura 2, ilustra los números pentagonales, llamados por los pitagóricos: 2 números poligonales. Respondemos: ¿Cuántos puntos tiene el sexto término? Explicamos nuestro argumentoEmpleamos la expresión del recuadro No. 1 para comprobar nuestro resultado.

TALLER DE SUCESIONES Y SERIES

Tn = n (n + 1)( n +2)16

Figura 1

�1�2

�3

�4

Figura 2

Pn = n (3n - 1)2

Expresión para números pentagonales:

Recuadro No.1

UNIDAD1

25TALLER DE SUCESIONES Y SERIES Mochila de herramientas

SESIÓN 10

Actividad 10

Discutamos el siguiente procedimiento:El cuadro que a continuación se presenta, ilustra la forma de proceder de Gauss para encontrar la suma de los primeros 100 números.

Discutamos en clase la estrategia seguida.La sumatoria para esta situación es:

Comprobamos que la suma de los primeros 100 números enteros positivos es 5050, empleando la expresión anterior.

Revisamos los siguientes ejemplos y los discutimos en clase:

NOTACIÓN SIGMA

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Para sumar sucesiones aritméticas y geométricas empleamos una notación especial. Consideremos que nos interesa la suma de los primeros n términos de una sucesión an, podemos escribir esto como: a1 + a2 + a3 + …an. En matemática una suma de este tipo se representa con la letra griega sigma: ∑. La figura 3 ilustra esta notación.

Figura 1

último valor de n Fórmula para

los términos

Índice de lasumatoria

primer valorde n

n

n – 1

na

Paso 4Hallemos la suma de los términos en los siguientes casos:

a2 =12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16

(3k+1) = (3(1)+1) + (3(2)+1) + (3(3)+1)+...(3(20)+1 =

4

a=1

20

a=1 4+7+10+...61

De tal forma que podemos indicar que:

(n –1)24

a=1

a) (–1)k3

a=1

b) (1–k)33

a=0

c)

a =1+2+3+4+5...100100

a=1

S=1 + 2+ 3+...+50+51+...98+99+100

101

101

101

101

a=n (n +1)2

100

a=1

UNIDAD 1

26 Mochila de herramientas TALLER DE SUCESIONES Y SERIES

SESIÓN 11

Leemos:Abrimos brecha

Paso 5Revisamos la siguiente situación y expresamos nuestros comentarios:Gilberto tiene una venta de jugos en el mercado, él abre una cuenta de ahorro, el primer día del mes se depositan Q 10.00, el segundo día Q15 .00, el tercero Q 20.00, y así sucesivamente hasta completar 30 días.Comprobemos por la expresión por medio de la expresión: a1 + (n – 1) d, que la cantidad que reportó el banco al completar los 30 días es de: Q 155.00Utilicemos la expresión que permite sumar todos estos términos para comprobar que Gilberto tiene en el banco en 30 días una cantidad de: Q 2475.00

SERIE ARITMÉTICA

¿Qué necesitamos saber? Sabemos que una sucesión aritmética se escribe como: a1 + (n – 1) • d y la suma de los primeros n términos se llama serie aritmética y se expresa de la siguiente forma:

(a1 +(n – 1)d = nn

n=1

a1 + an

2

Paso 6Resolvemos las siguientes situaciones en el cuaderno, los procedimientos los escribimos en un cartel incluyendo ilustraciones y gráficas que permitan comprender la resolución.Exponemos nuestros resultados al grupo.

a) Ahorro en una alcancía: “Karla y Alfredo están recién casados y deciden guardar Q 5.00 cada mes del primer año, Q 15.00 cada mes del segundo año, Q 25.00 cada mes del tercer año y así sucesivamente aumentado la cantidad en Q 10.00 cada año. Ellos desean estar juntos mucho tiempo”

Calculemos la cantidad total que habrá ahorrado al final del décimo quinto año.La tabla siguiente nos sirve de guía:

b) La camioneta de rutas quichelenses: Damián es un chofer de la ruta que circula de la ciudad de Guatemala al departamento del Quiche, viajando por Tecpan en línea recta , la camioneta acelera y recorre 2 metros en el primer segundo, 6 metros en el segundo, 10 metros en el tercero y así sucesivamente recorriendo 4 metros adicionales cada segundo. Calculemos la distancia recorrida en un intervalo de tiempo de 30 segundos.

año 1 2 3 …15

cantidad 5 x 12 15 x 12 25 x 12 an x 12

UNIDAD1

27TALLER DE SUCESIONES Y SERIES Mochila de herramientas

Actividad 12

SERIE GEOMÉTRICA

SESIÓN 12

Paso 2Establezco la razón común de la siguiente sucesión. Ver figura 2.Indicamos cual es el valor del primer término.

Paso 1 Observo las siguientes secuencias de la figura 1 y establezco cuál de las dos es una sucesión geométrica.

Paso 3

Paso 4Encuentro la suma de los términos en sucesión geométrica:a) 7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 b) 60 + 6 + 0.6 + 0.06 + 0.006

Paso 5Una pelota se caer al suelo desde una altura inicial de 15 pies sobre un piso de concreto, cada vez que rebota, alcanza una altura de 2/3 de la altura anterior. La figura ilustra esta situación. ¿Qué altura alcanzará en el cuarto rebote?, ¿ qué tipo de sucesión es ?Discutamos en clase nuestra estrategia de resolución.Seleccionamos la mejor del grupo para que exponga y resuelva en el pizarrón.

¿Qué necesitamos saber? La suma de una serie geométrica que contiene n términos se expresa así:

Paso 6Gilberto inició sembrando un árbol del primer día, el próximo día 2 árboles, el tercer día cuatro árboles. Sus amigos decidieron ayudarle y en cada día que paso hasta el onceavo día duplicaron la cantidad de árboles sembrados.Encuentro y explico, en el cuaderno, cuántos árboles sembró Gilberto en 11 días con la ayuda de sus amigos.

(ar n –1)=an

n=1

1 – r n

1 – r

Figura 1

1

1/2

1/81/4

1/161/32

6

1

11

2/3 4/9 ...8/27

Encuentro la suma de los primeros tres términos de la serie geométrica expresada en la figura 2.

1 h1 h2

h3

1 2 3 4

UNIDAD 1

28 Mochila de herramientas TALLER DE SUCESIONES Y SERIES

SESIÓN 13

TRIÁNGULO DE PASCAL

Paso 1 Observamos la figura 1 y luego colocamos sobre la misma en los espacios en blanco, recortes de papel con los números que faltan para completar la pirámide, siguiendo la siguiente explicación: “sumamos las 2 casillas superiores que se encuentran sobre la casilla sin número, para obtener el valor de la casilla”Compartimos el resultado con nuestros compañeros.

Actividad 13

Paso 2Copiamos en el cuaderno el siguiente triángulo de números y lo completamos según las indicaciones del facilitador.Debemos verificar que cada línea horizontal de números del triángulo suman el número indicado en a figura 2 con una flecha.Explicamos qué tipo de secuencia forman los términos: 1, 2, 4, 8, 16,32, 16, 64 ,128.

1

1

1

1

1 1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1 128

64

32

16

8

4

2

1

UNIDAD1

29TALLER DE SUCESIONES Y SERIES Mochila de herramientas

SESIÓN 13

Paso 4Sí alargamos la base del triángulo de pascal hasta 12 filas.¿Qué término obtenemos sí sumamos todos los números de la fila 12?¿Cuánto suman todos los números de este triángulo de Pascal con 12 filas?

Encontremos la suma de los números de la fila 3 y de los números que están por encima de ella. Empleamos la expresión anterior para calcular el valor.

Actividad 13

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? El Triángulo de Pascal es una disposición de números con forma de triángulo, construida de tal manera que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él, y donde inicialmente se coloca el número 1 en los lados exteriores.En general, la suma de todos los números de una fila y de los números de la fila que están por encima de ellas se expresa así:

2n+1

n

n=0–1

Paso 5Leemos y analizamos la siguiente situación:Si tenemos cinco libros, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres libros para leer durante unas vacaciones (no importa el orden)? Para resolver esta situación usamos las permutaciones:

Paso 6Leemos:En un festival de música, Antonio, debe elegir a 3 de cinco grandes cantantes. ¿De cuántas maneras posibles puede formar los tríos Antonio?

Resolvemos empelando en triángulo de Pascal.Dejamos constancia del proceso en el cuaderno.

Con el triángulo de Pascal resolvemos:Vamos a la fila 5 y luego nos situamos en la posición número 3 (recordamos que la primer fila es cero). Verificamos que la respuesta es de 10 formas diferentes.Discutimos con nuestros compañeros los resultados observados en la figura 3.

5

3

5!

3! 2!= =10

5

0

5

3

5

1

5

4

5

2

5

5

4

2

4

0

4

3

4

1

4

4

3

1

3

2

3

0

3

3

2

0

2

1

2

2

1

0

1

1

0

0

Figura 3

30 Mesa de Trabajo PROYECTO

UNIDAD 1Actividad 14

Monografía de nuestra comunidad

Presentación 30 minutos

¿En qué consiste este proyecto? En una descripción de cómo es mi comunidad: habitantes (familias), costumbres, tradiciones, forma particular de interpretar la vida (cosmovisión). Incluye los principios y valores que nos distinguen como sociedad.

¿Cuál es el propósito de este proyecto? Hacer una descripción de la comunidad, narrada mediante textos, imágenes u otros recursos que considere. Esto me permitirá conocer el pasado, considerar el presente y proyectar mi propio futuro hacia una forma de vida en desarrollo personal, familiar y comunitario.

¿Qué necesito para realizar este proyecto?La información que recolecte a través de entrevistas, recuerdos y reflexiones acerca de mi comunidad. Puedo utilizar diversos recursos que favorezcan la memoria y la reflexión, como fotografías, recortes, dibujos, objetos con valor cultural y otros.

Entre nosotrosNivel Aula: Demostración Pública de lo Aprendido -DPA-

Paso 1 180 minutos Identifico fuentes de información:

- Recursos y anécdotas compartidas en familia, con amigos, vecinos, vecinas, consejo de ancianos, entre otros.

- Investigaciones, testimonios, fotografías, recortes, dibujos, diarios, entre otros. - Patrimonio cultural de mi comunidad. - Guías de entrevista a una población meta predeterminada.

Paso 2 60 minutosRealizo entrevistas acerca de la historia de mi comunidad.

- Entrevisto a vecinos, autoridades, ancianos, líderes, acerca de nuestra historia, nuestra realidad y las expectativas para la comunidad.

- Utilizo la guía de entrevista que aparece en el ladillo izquierdo. Puedo formular más preguntas para enriquecer la guía. Anoto las respuestas y luego, organizo la información.

Paso 3 90 minutosElaboramos un esquema integrador.

- Asignación de tareas: Todos presentamos la información recabada a través de los diferentes medios utilizados.

- Clasificamos la información con la experiencia de una línea de tiempo (pasado, presente y futuro).

- Elegimos los temas y lecturas complementarias para las revisiones correspondientes.

- Redactamos un borrador. Una vez revisado, procedemos a la redacción final donde exponemos el trabajo con sus respectivos: títulos, párrafos, cantidad de páginas, fotografías, dibujos y cualquier otro gráfico que tenga pertinencia.

LibertadDerecho natural y consciente del ser humano a buscar su propio bien a su manera, siempre y cuando no intente privar a otros del suyo o impedir sus esfuerzos para alcanzarlo.

Patrimonio culturalHerencia de bienes, costumbres y tradiciones, recibidos de los antepasados.

Guía de entrevista - ¿Cómo es mi comunidad?

- ¿Cuáles son las virtudes y fortalezas de mi comunidad? ¿Qué nos agrada?

- ¿Cuáles son nuestros pasatiempos, deportes, amigos, lugares, familiares favoritos?

- ¿Cómo aprovechamos el tiempo libre?

- ¿Qué nos gustaría cambiar de nuestra comunidad?

¿Qué es una monografía?Una herramienta relevante para el estudio y el conocimiento de textos argumentativos que organizan, en forma analítica y crítica, datos sobre un tema en particular, recogidos en diferentes fuentes de información.

Proyecto 1 SESIÓN 14

31Mesa de Trabajo PROYECTO

UNIDAD1Actividad 15

Entre nosotrosNivel Aula: Demostración Pública de lo Aprendido -DPA-

Paso 4 240 minutosDeterminamos la forma de presentación.Exhibición de nuestro trabajo:

- Preparamos el espacio (escenario) para la exhibición de nuestro trabajo. - Seleccionamos la estrategia visual para colocar los materiales (collage,

línea de tiempo, entre otras. Podemos hacer uso de los recursos tecnológicos a nuestro alcance.

- Solicitamos al facilitador la orientación para realizarlo. - Leemos y reflexionamos acerca de la información que aparece

en los ladillos.

Realizamos un conversatorio: - Con la orientación del facilitador organizamos un breve conversatorio

acerca de la actividad anterior. - Incluimos los siguientes temas;

- Cosmovisión de los pueblos. - Patrimonio cultural. - Costumbres y tradiciones. - Expectativas de desarrollo y calidad de vida.

Paso 5 30 minutosConstruyo mi texto paralelo:

- Con los lineamientos del facilitador, inicio la construcción de mi texto paralelo; en él escribo las experiencias personales (análisis, comentarios, conclusiones, aportes, otros)

- Respondo a las herramientas de evaluación que el facilitador me proporcione.

- Autoevalúo y reflexiono sobre mi aprendizaje.

Ruta de la saludCon la orientación del facilitador, realizo mi ruta de la salud. En esta oportunidad desarrollaré la flexibilidad.

¿Qué es un texto paralelo?Es un material elaborado con base en experiencias de aprendizaje. Se construye con reflexiones personales, hojas de trabajo, lecturas, evaluaciones y todo aquello que se quiera agregar como evidencia del trabajo personal, adicional al proporcionado por el docente.

¿Para qué sirve un texto paralelo?Para generar experiencias que construyan conocimientos a través de la expresión, experimentación y aplicación de la información, que permita encontrar el verdadero sentido al aprendizaje.

Sitios Web sugeridosGeografía Humana

- https://es.wikiversity.org/wiki/Geograf%C3%ADa_Humana

Sistema de Consejos de Desarrollo, SISCODE - http://www.segeplan.gob.gt/2.0/

Guía para redactar monografías - http://www.suagm.edu/umet/biblioteca/pdf/

monografia2.pdf

Mi ruta de saludEntrenamiento para hombros Sentado con mancuernas o simulando su peso.Ejecución del ejercicio: 3 series de 10.

- Sentado en un banco o escritorio, sujeto una mancuerna en cada mano, hacia los costados de mi cuerpo, con las palmas hacia adentro.

- Elevo ambas mancuernas hasta que cada una de ellas se topen por arriba de mi cabeza.

- Luego de una breve pausa, desciendo las mancuernas hasta la posición inicial.

- Mantengo mi tronco recto mientras realizo el ejercicio.

SESIÓN 15

UNIDAD 1

32 Evaluación - UNIDAD 1-

SESIÓN 16

EVALUACIÓN DE CIERRE DE LA UNIDAD

VALORO MI APRENDIZAJE.

1. Un dulce típico de Guatemala, es el “alboroto”, lleno de colores y sabores tienen forma esférica y están hechos de maicillo y azúcar. La figura 1 muestra algunos alborotos que Doña Carmen vende en la fiesta patronal de Amatitlán.

Su hija Alicia ha pensado en elaborar cajas especiales para la venta de 30 alborotos en total. Los diseños de Alicia se muestran en la figura 2 con sus dimensiones en centímetros.

Respondo en el cuaderno:

a) Sí el material que utilizará Alicia es cartón, ¿Cuánto cartón necesita en cada uno de los diseños?

b) ¿Cuál es el volumen de cada una de las cajitas especiales?

c) Sí cada alboroto tiene un volumen de 40 cm3, ¿Cuál de las cajitas elaboradas debe seleccionar? Sí sabe que deben tener una capacidad máxima para 30 alborotos en total.

Actividad 16

24 cm

9 cm

6 cm

Modelo 1 Modelo 2

20 c

m

30 cm

30 cm

Figura 1

Imagen: http://www.playbuzz.com/diariod10/qu-son

UNIDAD1

33Evaluación - UNIDAD 1-

SESIÓN 16

2En el departamento de Jutiapa, Alberto ha construido un invernadero para el cultivo de tomate. Alberto dice que cosechar en un invernadero permite un control adecuado de la temperatura y lograr con esto mejores tomates. El diseño del invernadero se muestra en la figura con sus dimensiones.

a) Escribo el nombre de cada uno de los sólidos que forman este invernadero.b) Calculo el área lateral de la parte inferior del invernaderoc) Calculo el área exterior del domo. d) Alberto necesita conocer la capacidad del invernadero.¿Cuál es su valor expresado en metros cúbicos?

La siguiente notación expresa la producción de tomate en 30 días.

e) ¿Qué tipo de sucesión esta expresada en esta sumatoria?f) ¿Cuantos tomates tiene en un mes de cosecha?

Recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro

60-75: Puedo mejorar. Color amarillo

0-59: En proceso. Color rojo

(a +8)=(1+8)+(2+8)+(3+8)...(30+8)30

n=1

Esquema de un invernadero

Invernadero de tomate

3 m

Parte inferior del Invernadero

Domo delInvernadero

12 m12 m

3 m