MATEMTICA 6TO AO

Mdulo de trabajo terico prctico Instituto Argentino Modelo Mar del Plata Profesora: Julieta Buroni

2012

MATEMTICA 6TO AO 1

Tabla de contenido

UNIDAD N1 FUNCIN LINEAL .............................................................................................. 3

1.1 Funcin lineal ..................................................................................................................... 4

1.2 Rectas paralelas y perpendiculares ..................................................................................... 7

1.3 Recta que pasa por dos puntos ........................................................................................... 8

1.4 Ecuacin general de la recta............................................................................................... 9

GUA PRCTICA N1 ................................................................................................................. 10

Ejercicios complementarios .................................................................................................... 13

UNIDAD N2 ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA ............................................................... 15

2.1 VECTORES .......................................................................................................................... 16

2.1.1 Vectores equivalentes ................................................................................................ 17

2.1.2 Vectores opuestos ...................................................................................................... 17

2.1.3 Suma grfica de vectores ........................................................................................... 17

2.1.4 Vectores en el plano coordenado .............................................................................. 19

2.1.5 Suma de vectores en funcin de sus componentes ................................................... 20

2.1.6 Multiplicacin por un escalar ..................................................................................... 20

2.1.7 Mdulo de un vector en funcin de sus componentes .............................................. 20

2.1.8 Suma de un punto y un vector ................................................................................... 21

GUA PRCTICA N2 Seccin 1 .......................................................................................... 22

2.2 ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA ................................................................................. 24

GUA PRCTICA N2 Seccin 2 .......................................................................................... 28

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 2 ............................................................. 30

UNIDAD N3 COMPOSICIN DE FUNCIONES Y FUNCIN INVERSA ....................................... 35

3.1 FUNCIONES ........................................................................................................................ 36

3.1.1 Clasificacin de funciones .......................................................................................... 36

3.1.2 Composicin de funciones ......................................................................................... 37

3.1.3 Funciones inversas...................................................................................................... 39

GUA PRCTICA N3 ................................................................................................................. 41

2 MATEMTICA 6TO AO

UNIDAD N4 FUNCIN EXPONENCIAL Y FUNCIN LOGARTMICA ........................................ 44

4.1 Funcin exponencial .......................................................................................................... 45

4.1.1 Caractersticas de la funcin exponencial .................................................................. 46

4.2 Funcin logartmica ........................................................................................................... 47

4.2.1 Caractersticas de la funcin logartmica .................................................................... 47

4.2.2 Propiedades de los logaritmos ................................................................................... 48

4.3 Ecuaciones ......................................................................................................................... 48

GUA PRCTICA N4 ................................................................................................................. 50

UNIDAD N5 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS .................................................................... 55

5.1 ngulos y arcos orientados ............................................................................................... 56

5.2 Funciones trigonomtricas ................................................................................................ 58

5.2.1 Circunferencia trigonomtrica ................................................................................... 58

5.2.2 Funciones trigonomtricas: Definiciones ................................................................... 59

5.2.3 Signos de las funciones trigonomtricas .................................................................... 60

5.2.4 Grficas de las funciones trigonomtricas ................................................................. 61

I) FUNCIN SENO ...................................................................................................... 61

II) FUNCIN COSENO ................................................................................................. 62

III) FUNCIN TANGENTE ............................................................................................ 63

5.2.5 Relaciones trigonomtricas inversas .......................................................................... 64

5.2.6 Relaciones fundamentales entre las funciones trigonomtricas de un mismo ngulo.......... 65

5.2.7 Identidades trigonomtricas ...................................................................................... 65

5.3 Resolucin de tringulos ................................................................................................... 66

5.3.1 Resolucin de tringulos rectngulos ........................................................................ 66

GUA PRCTICA N5 ................................................................................................................. 68

MATEMTICA 6TO AO 3

UNIDAD N1

FUNCIN LINEAL

En esta unidad vamos a aprender:

Qu es una funcin lineal Interpretar grficas

Rectas paralelas y perpendiculares Diferentes formas de escribir la

ecuacin de la recta

Recta que pasa por dos puntos Resolver problemas de la vida cotidiana

4 MATEMTICA 6TO AO

1.1 FUNCIN LINEAL

En esta formula x representa la variable independiente e y la variable dependiente.

Son ejemplos de funciones lineales:

a) 2 b) 4

c) 0,5 2 d) 2

y x y x

y x y

La grfica de cualquier funcin del tipo y mx b es una RECTA.

La ecuacin y mx b se denomina ECUACIN EXPLCITA DE LA RECTA.

PENDIENTE: A la constante m se la denomina pendiente. La pendiente est determinada

por el cociente entre la variacin de y y la variacin de x .

Observacin:

La pendiente est relacionada con el ngulo de inclinacin de la recta con

respecto al eje x . Entonces, a partir de la pendiente podemos hallar el dicho

ngulo mediante la ecuacin: tanm . La funcin tangente utilizada en

esta ecuacin la estudiaremos ms adelante junto con las dems funciones

trigonomtricas.

ORDENADA AL ORGEN: A la constante b se la denomina ordenada al origen. El punto

(0, )b es el punto de interseccin de la recta con el eje de ordenadas y .

Toda funcin de la forma y f x mx b , donde

m y b son nmeros reales constantes, es una funcin lineal.

:f

MATEMTICA 6TO AO 5

3

2y x

Ejemplo 1.1 Observemos en el grfico que cuando la abscisa ( x ) aumenta 2 unidades, la ordenada ( y )

aumenta 3 unidades. Esto nos dice que la pendiente ser 3

2

m . Y la recta corta al eje y en el

cero, o sea que 0b . Por lo tanto la ecuacin de la recta es: 3

2y x .

Ejemplo 1.2

En este grfico vemos que la recta corta al eje y en el

-3, o sea que el valor de la ordenada al origen es

3b . Para saber la pendiente de esta recta,

observemos que si aumentamos en una unidad la

abscisa, la ordenada aumenta 3 unidades: Por lo tanto, la ecuacin de la recta es:

2x

3y

33

1m

3 3y x

6 MATEMTICA 6TO AO

El signo de la pendiente tambin est directamente relacionado con la inclinacin de la recta:

Si 0m , la funcin es CRECIENTE y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del

eje x es AGUDO.

Si 0m , la funcin es DECRECIENTE y el ngulo que forma la recta con el semieje positivo

ox es OBTUSO.

Si 0m , la funcin es CONSTANTE y la recta es PARALELA al eje x .

MATEMTICA 6TO AO 7

1.2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas paralelas: son aquellas que no se cortan en ningn punto.

Rectas perpendiculares: son aquellas que se cortan en un punto formando un ngulo recto.

Diremos que dos rectas 1 1y m x b , 2 2y m x b son PARALELAS si tienen igual pendiente,

o sea, si 1 2m m .

Diremos que dos rectas 1 1y m x b , 2 2y m x b son PERPENDICULARES si tienen sus

pendientes opuestas e inversas, es decir, 11 22

1m m

m

.

8 MATEMTICA 6TO AO

1.3 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Sean 0 0,P x y y 1 1,Q x y dos puntos del plano. La ecuacin de la recta que pasa por estos puntos es: Esta ecuacin recibe el nombre de forma continua de la ecuacin de la recta.

Observacin:

Como ya mencionamos, la pendiente es el cociente entre la variacin de la ordenada y la

variacin de la abscisa. Por lo tanto, en el caso de una recta que pasa por dos puntos, la

pendiente es:

0 0

1 0 1 0

y y x x

y y x x

0y

1y

0x1x

1 0

1 0

y ym

x x

MATEMTICA 6TO AO 9

0ax by c

1.4 ECUACIN GENERAL DE LA RECTA

Otra forma habitual de representar una recta es mediante su ecuacin general o implcita,

dada por:

ax by c

10 MATEMTICA 6TO AO

GUA PRCTICA No 1

1. Seala en cada una de las siguientes rectas cul es la pendiente y la ordenada al

origen:

2. Encuentra la ordenada al origen y pendiente en cada uno de los siguientes grficos y

escrib la ecuacin explcita de la recta:

a) m=

b=

b) m= b=

1a) 3

2y x

b) 3 1y x

3c)

4y x

d) 1y

MATEMTICA 6TO AO 11

c)

m= b=

3. Determina la ecuacin de la recta en cada caso:

a) Tiene pendiente 2 y ordenada al origen -1

b) Tiene pendiente -2/7 y pasa por el punto (0,3)

c) Corta al eje de abscisas en 4 y al eje de ordenadas en -2

4. Indica si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares. Justifica.

a) 1

2

: 2 2 0

: 4 8 3 0

R x y

R x y

b)

1

2

: 2 4 1 0

: 2 5 0

R x y

R x y

c) 1

2

: 2 1 0

: 2 6 0

R x y

R x y

d)

1

2

: 5 4 0

:3 15 1 0

R x y

R y x

e) 1

2

1: 2

3

: 3 0

R y x

R y x

f) 1

2

: 1

: 1

R y x

R y x

12 MATEMTICA 6TO AO

5. a) Halla analticamente la ecuacin de la recta paralela a otra de ecuacin y= 6x-4,

cuya ordenada al origen es -1.

b) Determina la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 12

: 13

R y x y que

pasa por el punto 1,3 .

c) Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 2, 2 y 8,3P Q .

Luego pasar a la forma general.

6. PROBLEMAS DE APLICACIN

A. En algunos pases suelen usar la escala Fahrenheit para medir temperaturas. En

esta escala el punto de congelacin del agua se alcanza a 320F, y el de ebullicin a

2120F. Nosotros usamos la escala Celsius en la cual esos puntos los alcanzan a 00C

y 1000C respectivamente.

Halla la ecuacin que relaciona 0C con 0F y grafcala.

A cuntos 0C equivalen 800F? A cuntos 0F equivalen 360C?

B. En una ciudad tienen una norma que regula el estacionamiento. La norma indica

que se debe pagar cierta cantidad de dinero por cada minuto y que no hay un

mnimo. Jos pone $1,35 y el parqumetro indica que dispone de 45 minutos. Sara

con $0,84 dispone de 28 minutos. Halla la ecuacin que relaciona el precio con el

tiempo y dibjala. Cunto hay que pagar para estacionar 55 minutos? Si pago

$2,40, de cunto tiempo dispongo?

C. Halla la ecuacin de la funcin que describe la siguiente situacin: Un auto est a

3Km. de m y se acerca a una velocidad de 2Km/h.

D. En un circuito elctrico el voltaje V en volts y la corriente I en amperes estn

relacionados linealmente.

Cuando I = 9, v = 3

Cuando I = 18, v=6

Expresar V como una funcin de I. Encontrar el voltaje cuando la corriente es de

11 amperes.

E. Un video club ofrece dos opciones para alquilar videos:

Opcin A: $20 de abono anual ms $2,5 por video alquilado.

Opcin B: $30 de abono anual ms $2 por video alquilado.

Hallar para cada opcin la expresin del precio a pagar en funcin del nmero x

de videos alquilados y representarlas en un mismo grfico.

MATEMTICA 6TO AO 13

Si el cliente dispone de $90 Cuntos videos puede alquilar con cada una de las

dos opciones?

F. Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $2000 aumenta su valor

linealmente con el tiempo, de modo tal que a los 15 aos valdr $2300. Escribir la

frmula que expresa el valor V de la pulsera en funcin del tiempo y determinar al

cabo de cunto tiempo se duplicar el valor inicial de la pulsera.

G. La dosis en miligramos (mg) de antibitico se suministra a nios menores de 10

aos, depende en forma lineal del peso del nio. Para un nio de 3 kg se

suministran 40 mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcular la funcin

que da la dosis de medicamento dependiendo del peso. Cunto debe recetarse a

un nio de 7,5 kg?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Escribe la ecuacin de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por los puntos A(4, 7) y B(5, -1).

b) Es paralela a y = 3x y pasa por el punto P(2, 0).

c) Pasa por los puntos P(7, 5) y Q(2,-3).

d) Es perpendicular a y = 5x y pasa por el punto A(0, 6).

e) Pasa por los puntos A(15, 10) y B(8, -6).

f) Paralela al eje X y que pasa por el punto P(4, 5).

2. Calcula c para que la recta 5x 2y = c pase por el punto (3, 7).

3. Calcula b para que la recta 3x + by = 5 pase por el punto (3, 4).

4. Cules son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x 5y + 15 = 0?

5. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas siguientes:

a) 2x + 8y = 5 b) 7x 3y = 2 c) 4y = 8 d) 4x 3y 12 = 0

6. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, y escribe su ecuacin

en cada uno de los siguientes casos:

a) A(5, 3), B(2, 1) c) A(4, 2), B(8, 7) e) A( 2/3, 4), B(1,7/3 )

14 MATEMTICA 6TO AO

b) A(6, 2), B(3, 5) d) A(0, 7), B(4, 0) f) A(1/2 ,5/4 ), B(1 , 1)

7. Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A(1, 3), B(5, 0) y C(45, 20).

Para ello, halla la ecuacin de la recta que pasa por A y por B y prueba despus si el

punto C pertenece a esa recta.

8. En la funcin y = mx + n, cmo debe ser m para que la funcin sea decreciente?

9. Cul es la recta que tiene por ecuacin y = 0? Y la de ecuacin x = 0?

10. De cada una de las siguientes rectas, di cul es su pendiente y, segn su signo,

clasifcalas en funciones crecientes o decrecientes. Luego graficar.

DESAFO DE LA UNIDAD 1

Las siguientes rectas son paralelas?

MATEMTICA 6TO AO 15

UNIDAD N2

ECUACIN VECTORIAL

DE LA RECTA

En esta unidad vamos a aprender:

Qu es un vector Vectores equivalentes, opuestos y paralelos

Representacin grfica Suma y resta de vectores Ecuacin vectorial de la recta

Reformulacin de lo estudiado en la unidad 1

16 MATEMTICA 6TO AO

2.1 VECTORES Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demor 3 segundos, salt durante 1 minuto, volver el prximo ao, etc.). Existen muchas magnitudes fsicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares, por ejemplo, el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura, etc. Tambin existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleracin y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan direccin, adems de la magnitud. Por ejemplo, si a dos personas les decimos: Caminen 5 metros, probablemente no lleguen al mismo lugar, pero si les decimos Caminen 5 metros hacia el Este tendrn el mismo destino. Estas magnitudes se llaman vectoriales.

Un vector est caracterizado por:

Figura 2.1

su origen o punto de aplicacin: el punto 1 2,O o o en la Fig. 2.1. su extremo: 1 2,A a a en la Figura 2.1. su direccin: la direccin de la recta que lo contiene (la recta r en la figura).

su sentido: indicado por la flecha.

su mdulo: la longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre

dos lneas verticales. Para el vector , su mdulo se indica .

Como se indica tambin en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su

extremo con una flecha encima OA , o bien, simplemente mediante una letra mayscula o minscula con una flecha encima .

VECTOR

Un vector es un segmento de recta orientado, que posee tres atributos: magnitud,

direccin y sentido.

MATEMTICA 6TO AO 17

2.1.1 Vectores equivalentes

Dos vectores son equivalentes si son iguales sus respectivas magnitudes, direcciones y

sentidos.

Figura 2.2

2.1.2 Vectores opuestos Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos.

Figura 2.3

2.1.3 Suma grfica de vectores Grficamente, la suma o resultante de vectores se obtiene uniendo sucesivamente sus orgenes y extremos como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2.4

u v w z

U V

A B C R

18 MATEMTICA 6TO AO

Otra forma de sumar dos vectores grficamente es uniendo sus orgenes y trazando una lnea

auxiliar paralela a cada vector que pasen por el extremo del otro, formando un paralelogramo.

La resultante o suma, es el vector que une el origen en comn con la interseccin de las lneas

paralelas auxiliares.

Figura 2.5 Observacin: Resta de vectores

Restar un vector B a un vector A es lo mismo que sumar A y el opuesto de B .

-B

Figura 2.6

Vector unitario: es un vector cuya magnitud es uno.

Vector nulo: es un vector cuya magnitud es cero. Grficamente se representa con un punto.

Vectores paralelos: son los que tienen la misma direccin. Sus coordenadas son

proporcionales.

A B R

A B A B R

MATEMTICA 6TO AO 19

Componente de un vector: es la proyeccin ortogonal del vector sobre una recta. Se determina

como la magnitud del segmento de recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella,

una que pasa por el origen del vector y otra por su extremo. Esto se ve en la siguiente figura:

Figura 2.7

2.1.4 Vectores en el plano coordenado cartesiano

Figura 2.8

El origen del vector en la figura 2.8 es el punto 0 0,x y , y su extremo el punto 1 1,x y .

Como se observa en la figura, 1 0x x es la componente del vector sobre el eje x , e

1 0y y la componente sobre el eje y .

Entonces 1 0 1 0, ,x yA A A x x y y

A

LA

L

x

y

0x 1x

0y

1y

20 MATEMTICA 6TO AO

2.1.5 Suma de vectores en funcin de sus componentes

Dados dos vectores, 1 2,A a a y 1 2,B b b , su suma est dada por:

O sea, las componentes de la resultante (suma), es la suma de las componentes de los vectores. Ejemplo 1:

Si 4,2A y 3,5B , entonces:

a)

b) El opuesto de B es: 3,5 3, 5B

c) 4 3,2 5 7, 3A B A B 2.1.6 Multiplicacin por un escalar

Para multiplicar un vector A por un nmero real k se multiplica el mdulo del vector por el

nmero real, y se mantiene la direccin del vector. El sentido ser el mismo si k es positivo, y

contrario, si k es negativo.

En coordenadas, si 1 2,A a a , el producto de un nmero real k por un vector A se calcula

multiplicando cada coordenada por el nmero k.

En el ejemplo, 3 3 4,2 3 4,3 2 12,6A .

2.1.7 Mdulo de un vector en funcin de sus componentes

Dado un vector 1 2,A a a , se define su mdulo como:

1 2 1 2 1 1 2 2, , ,A B a a b b a b a b

4 3,2 5 1,7A B

2 2

1 2A a a

MATEMTICA 6TO AO 21

En el ejemplo anterior, el mdulo de A es: 2 24 2 16 4 20 2 5A .

2.1.8 Suma de un punto y un vector

La suma de un punto A ms un vector u es otro punto B que resulta de trasladar el punto A

segn el vector u .

En coordenadas, si 1 2,A a a y 1 2,u u u , su suma es el punto

1 2 1 1 2 2, ,B b b a u a u . Ejemplo 2:

a) Si 3, 4A y el vector 3,5u , calcular las coordenadas del punto B A u y representa el resultado grficamente.

b) Si 3,0A es el trasladado de A por el vector v cules son las coordenadas de v ? Solucin:

a) 3, 4 + 3,5 = 3 ( 3), 4 5 = 0,1B A u

b) 1 2 1 23,0 3 , 4 6 y 4A A v v v v v

22 MATEMTICA 6TO AO

GUA PRCTICA No 2 Seccin 1

1. Cules son las coordenadas y el mdulo de los siguientes vectores?

2. Dados los puntos 3,6 , 3,0 , 0, 5 y 2,7A B C D , representa y calcula las

coordenadas y el mdulo de los vectores , , y .AB BC CD DA

3. Dibuja los vectores AB y BA , siendo 4, 1A y 5,0B , y contesta a las siguientes cuestiones:

a) Son equivalentes?

b) Y paralelos?

c) Tienen la misma direccin?

d) Cmo son sus sentidos?

e) Cules son el origen y el extremo de cada uno?

f) Calcula sus mdulos.

4. Las coordenadas de los puntos A, B, C y D son:

1,3A 0,6B 4, 7C 4,0D

Calcula el resultado de estas operaciones.

d) AB CD

e) AB CD

f) CD AB

a) AB AB

b) CD CD

c) AB CD

MATEMTICA 6TO AO 23

5. Halla grficamente el vector suma u v y el vector diferencia u v .

6. Sabiendo que A(3, 3) y B (1, 5), calcula grfica y analticamente k AB.

a) 2k b) 4k c) 1

2k d) 3k

7. Si trasladamos el punto A por el vector u para obtener el punto B , calcula los valores x

e y. Representa los puntos trasladados.

a) 0, 5 , 5,0A u x y B

b) 3, 4,3 ,2A x u B y

8. Los puntos A(1, 1), B(0, 2) y C(2, 0) son los vrtices de un tringulo. Halla las coordenadas

de los vectores que forman sus lados.

9. Si 3,2u y 4, 1w , determina el vector v tal que u v w .

10. Efecta las siguientes operaciones analtica y grficamente, si 6,2u y 2,1v :

a) 2 3u v

b) 1 v u

24 MATEMTICA 6TO AO

2.2 ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo, si

esos puntos son extremos de vectores, podramos generalizar diciendo que dos vectores dan

origen a una recta.

Si ,A a b es un punto del plano, y 1 2,v v v , podemos obtener cualquier punto ,P x y

de la recta L que pasa por el punto A y tiene la direccin de v de la siguiente manera:

1 2, , ,x y a b t v v

La expresin OP OA tv (donde O es el origen) recibe el nombre de ecuacin vectorial de

la recta que pasa por A en la direccin de v .

El vector 1 2,v v v se llama vector director de la recta.

Tambin podemos escribir a los puntos ,P x y de la recta como:

Estas son llamadas ecuaciones paramtricas de la recta. Ejemplo 4:

Dados los puntos 2,5 , 1,1A B de una recta.

a) Calcular la ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas de la recta.

b) Estudiar si el punto 1,9C pertenece a la recta. Solucin:

Como la recta pasa por los puntos A y B podemos tomar como vector director

de la recta a 1 ( 2),1 5 1, 4v AB . a) Las ecuaciones pedidas son:

Ecuacin vectorial: , 2,5 1, 4x y t

Ecuaciones paramtricas: 2

5 4

x t

y t

b) En las ecuaciones paramtricas sustituimos las coordenadas del punto C por x e y :

1 2

9 5 4

t

t

. Luego despejamos t en ambas ecuaciones:

1 2 1

9 51

4

t

t

.

1

2

x a t v

y b t v

MATEMTICA 6TO AO 25

Como no dio el mismo valor en ambas ecuaciones, significa que el punto 1,9C no pertenece a la recta.

Si ,A a b es un punto especfico de una recta, 1 2,v v v es su vector director y ,P x y es un punto genrico, tenemos las siguientes ecuaciones de la recta:

Ecuacin continua: 1 2

x a y b

v v

Ecuacin punto-pendiente: y b m x a

Ecuacin explcita: y mx n donde m es la pendiente y n la ordenada al origen.

La pendiente es 1

2

vm

v y la ordenada al origen 1

2

vn b a

v .

Recordemos que la ecuacin general de la recta es 0Ax By C donde , y A B C son

nmeros reales. Entonces, el vector director de la recta es ,v B A , la pendiente A

mB

y la ordenada al origen es C

nB

.

Ejemplo 5:

Dada la recta expresada en forma vectorial: , 2,1 4,3x y t

a) Halla sus ecuaciones en forma continua, punto pendiente y explcita.

b) Indica su pendiente y su ordenada al origen. Solucin:

a) Un punto de la recta es 2,1A , su vector director es 4,3v y la ecuacin

continua es: 2 1

4 3

x y .

Multiplicando en cruz se tiene que 4 1 3 2y x , y as obtenemos la ecuacin

punto-pendiente de la recta: 3

1 24

y x .

Por ltimo, despejando y y operando, obtenemos la ecuacin explcita de la recta:

3 1

4 2y x .

b) La pendiente es 3

4m y la ordenada al origen es

1

2n .

26 MATEMTICA 6TO AO

Ejemplo 6:

Dar la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos 1, 2 , 0,3P Q . Solucin:

Calculamos el vector director: 0 1,3 ( 2) 1,5 ,PQ B A . Por lo

tanto, 5 0x y C .

Para hallar el valor de C reemplazamos uno de los puntos, por ejemplo, Q(0,3) y despejamos:

5 0 3 0 3C C .

Luego, la ecuacin general de la recta es: 5 3 0x y .

2.2.1 Posiciones relativas de dos rectas

Ejemplo 7:

MATEMTICA 6TO AO 27

Observacin: Dada la recta que pasa por un punto ,A a b , cuyo vector director es

1 2,v v v , si una de sus dos coordenadas es cero, la recta es paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Si 1 20 y 0v v , la ecuacin de la recta es y b . Esta es una recta paralela al eje x .

Si 1 20 y 0v v , la ecuacin de la recta es x a . Esta es una recta paralela al eje y .

Las rectas paralelas a los ejes no se pueden expresar mediante una ecuacin en forma continua, debido a que una de las coordenadas de su vector director es cero.

28 MATEMTICA 6TO AO

GUA PRCTICA No 2 Seccin 2

1. Dados los puntos de coordenadas A(1, 7) y B(0, 1):

a) Calcula el vector director de la recta que pasa por A y B.

b) Halla la ecuacin vectorial de dicha recta.

2. Dada la siguiente ecuacin vectorial de una recta: , 4,8 3,5x y t , indica un punto de esa recta y su vector director.

3. Calcula la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto 0, 4A y tiene como

vector director 1,7v .

4. Determina la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene como

vector director:

a) 3,4v b) 3, 4v c) 2 6,8v

Qu caracterstica tienen en comn estas tres rectas?

5. Escribe la ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los

puntos A(5, 2) y B (0, 1).

6. Calcula las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto A(0, 4) y tiene

como vector director 1,7v .

7. Cules son las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene

como vector director 1,0v ?

8. Estudia si los puntos A(7, 4), B (1, 2) y C (0, 0) pertenecen o no a la recta: 3 2

2

x t

y t

.

9. Dados los puntos A(1, 7) y B(0, 1), halla:

a) Las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por ellos.

b) Tres puntos que pertenezcan a dicha recta.

10. La siguiente grfica muestra una recta.

a) Escribe las ecuaciones paramtricas y la ecuacin vectorial.

b) Pertenece el punto (6, 4) a la recta?

MATEMTICA 6TO AO 29

11. Expresa la ecuacin que pasa por el punto A(1, 2) y que tiene por vector director

1,1v mediante sus ecuaciones:

a) Punto-pendiente.

b) Explcita.

12. Calcula la ecuacin continua de la recta que pasa por estos puntos A(3, 1) y B(4, 5).

13. Halla la ecuacin continua de la siguiente recta expresada en forma paramtrica:

2 3

2

x t

y t

14. Expresa la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(1, 2) mediante sus ecuaciones:

a) Vectorial. b) Paramtricas.

Se puede expresar en forma continua? Por qu?

15. Determina las ecuaciones explcita y punto-pendiente de la recta que pasa por A(0, 4) y

su vector director es 1,7v .

30 MATEMTICA 6TO AO

16. Calcula la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos A(0, 1) y B(3,2).

17. Calcula la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos A(2, 2) y B (2, 3).

18. A partir de la ecuacin 2 3 2 0x y de una recta, halla el vector director, la

pendiente y la ordenada en el origen.

19. Cul es la ecuacin general de la recta cuya ecuacin vectorial es

, 1,1 3,1x y t ?

20. Escribe la ecuacin de una recta paralela a la recta : 5r y x que pase por el punto

(0, 0) de todas las formas indicadas:

a) Vectorial. b) Punto-pendiente. c) General.

21. Escribe la ecuacin de una recta secante a la recta : 5r y x que pase por el punto

(0, 0) de todas las formas indicadas:

a) Vectorial. b) Punto-pendiente. c) General.

22. Indica cul es la posicin relativa de las siguientes rectas en el plano:

a) : 3 3 0

: 5 3 0

r x y

s x y

b)

: 3 2 0

:3 9 6 0

r x y

s x y

23. Expresa, mediante las ecuaciones vectorial y explcita, las siguientes rectas:

a) Paralela al eje Y, y que pasa por el punto 3

,02

A

b) Paralela al eje X, y que pasa por el punto 0,7B

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 2

1. Dibuja el vector AB , cuyo origen y extremo son:

a) A(1, 2) y B(2, 0) c) A(2, 3) y B(4, 7)

b) A(2, 0) y B(1, 2) d) A(2, 3) y B(4, 7)

MATEMTICA 6TO AO 31

2. Calcula las coordenadas del vector AB , siendo A y B los siguientes puntos:

a) A(0, 2) y B(1, 1) c) A(2, 1) y B(5, 1)

b) A(2, 1) y B(4, 3) d) A(0, 0) y B(6, 2)

3. Calcula las coordenadas del punto A:

a) Si 1,3AB y 5,2B

b) Si 2,3AB y 1,4B

c) Si 4,1AB y 3,3B

4. Calcula las coordenadas del punto B:

a) Si 0,2AB y 3,5A

b) Si 1,0AB y 4,6A

c) Si 2,4AB y 2,4A

5. Calcula las coordenadas de los vectores AC , BE y BD en el siguiente grfico.

32 MATEMTICA 6TO AO

6. Calcula el mdulo del vector AB :

a) 1,1A y 2,3B

b) 4,1A y 5, 2B

c) 3, 2A y 1, 1B

d) 3,0A y 0,4B

7. Halla la suma de los vectores AB y CD

a) A(0, 2), B(2, 5), C(2, 1) y D(5, 2) b) A(3,5), B(-1,6), C(6, 4) y D(5, 0)

8. Halla la diferencia de los vectores AB y CD

a) A(3, 2), B(0, 5), C(3, 1) y D(4, 2) b) A(0, 5), B(1, 3), C(2, 4) y D(5, 1)

9. Dados los vectores 6,1u y 2,3v , calcula u v y u v .

10. Determina el mdulo del vector que resulta de sumar 3,7u y 6,2v .

11. Determina el mdulo del vector que resulta de restar 4, 2u y 3,1v .

12. Obtener grficamente la suma y la resta de los vectores AB y CD .

MATEMTICA 6TO AO 33

13. Hallar v si 5,4u y 2,6u v

14. Hallar v si 1,6u y 3, 2u v

15. Representa grficamente el vector ku , con origen en 0,0 , en los siguientes casos:

a) 4 y 1,2k u c) 1

y 2,32

k u

b) 2 y 2,3k u d) 3

y 10,205

k u

16. Sabiendo que A(8, 3), B(5, 1) y C(4, 3), calcula los siguientes vectores:

a) 3 AB b) 5 BC c) 2 CA

d) 4 AC e) 3BA BC f) 4AC AB

17. Halla el punto trasladado del punto A(4, 5) por estos vectores:

a) 2,5v b) 0,4v

c) 1, 3v d) 4,0v

18. Calcula la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(5, 3) y B(4, 7) en forma

vectorial, paramtrica y continua.

19. Obtener la ecuacin general de la recta que pasa por el punto A(4, 1) y tiene como vector

director 3,1v .

20. A partir de la representacin de la siguiente recta, calcula sus ecuaciones en todas las

formas posibles.

34 MATEMTICA 6TO AO

21. Escribe la ecuacin de estas rectas de todas las formas posibles:

a) 2

3 2

x t

y t

b) , 0,3 2,1x y t

c) 3 1y x d) 3 3 5y x e) 2 5 0x y

22. Cules son las ecuaciones que corresponden a las rectas que forman los ejes de

coordenadas? Razona si puedes escribirlas de todas las formas.

23. Estudia la posicin relativa en el plano de las siguientes parejas de rectas.

a) :3 7 0 :3 5 0r x y s x y

b) : 3 0 : 2 2 6 0r x y s x y

c) : 3 4 0 : 2 5 0r x y s x y

d) : 5 10 8 0 :10 20 16 0r x y s x y

e) : 2 1 0 : 2 3 8 0r x y s x y

f) 1 1

: 3 0 : 8 02 5

r x y s x y

MATEMTICA 6TO AO 35

UNIDAD N3

COMPOSICIN DE FUNCIONES

Y FUNCIN INVERSA

En esta unidad vamos a aprender:

Repaso de la definicin de funcin Clasificacin de funciones Composicin de funciones

Propiedades de la composicin Funcin inversa

36 MATEMTICA 6TO AO

3.1 FUNCIONES

Definicin: Una relacin f de un conjunto A en un conjunto B es una funcin si para cada

elemento x A existe un nico elemento y B tal que f x y .

O sea, debe cumplir dos condiciones:

1) EXISTENCIA: para cualquier elemento de A existe un elemento en B tal que estn

relacionados por f .

2) UNICIDAD: si 1f x y y 2f x y , entonces debe ser 1 2y y , es decir, a ningn

elemento de A le puede corresponder dos elementos distintos de B .

El conjunto A se llama DOMINIO de la funcin f y se escribe Dom f A .

El conjunto B se llama CODOMINIO de f y se escribe Codom f B .

La IMAGEN de f es el subconjunto del codominio formado por todos los " "y pertenecientes

a B tales que y f x para algn x A . Im / ,f y B y f x x A . Si

y f x , se dice que y es la imagen de x por la funcin f .

3.1.1 Clasificacin de funciones

1) Una funcin :f A B se dice que es INYECTIVA si y slo si para todo 1 2,x x A y

1 2x x se tiene que 1 2f x f x . Es decir, elementos distintos del dominio

tienen distinta imagen.

2) Una funcin :f A B es SURYECTIVA (o sobreyectiva) si y slo si Im( )f B , es

decir, la imagen es igual al codominio de la funcin.

3) Una funcin :f A B es BIYECTIVA si y slo si es inyectiva y suryectiva.

Ejemplos:

A) : / 2f f x x Para ver si es inyectiva, suponemos que existen dos elementos que tienen la misma imagen y analizamos si estos elementos pueden ser distintos o deben ser iguales.

Supongamos que 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 2f x f x x x x x . Por lo tanto, la funcin es

inyectiva.

MATEMTICA 6TO AO 37

Observemos que la imagen de f son todos los nmeros naturales pares, es decir que

todos los impares no estn en la imagen, por lo tanto Im( )f , o sea, la funcin no

es suryectiva, y entonces tampoco biyectiva.

B) 2: / 2f f x x

f no es inyectiva pues, por ejemplo,

1, 1 ,1 1 y (1) ( 1) 1f f .

Tampoco es suryectiva, ya que existen nmeros

reales que no estn en la imagen, como por

ejemplo el -3.

C) : / 2 1f f x x

f es inyectiva pues 1 2f x f x si y slo si 1 2 1 22 1 2 1x x x x .

f es suryectiva pues para todo y , existe un x , 1 1

2 2x y , tal que

f x y . Es decir, la imagen de la funcin coincide con el codominio.

Por lo tanto, f es biyectiva.

3.1.2 Composicin de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f g y , una nueva funcin,

llamada la composicin de f g con .

x

y

38 MATEMTICA 6TO AO

La composicin de dos funciones, : :f A B g B C y , tales que el codominio de

f est contenido o sea igual al dominio de g , es la funcin :g f A C , definida por

g f x g f x para todo x A . El smbolo g f denota la funcin compuesta de f con g.

El dominio de g f es ( ) ( ) / ( ) ( )Dom g f x Dom f f x Dom g .

Ejemplo:

Sean ( ) 2f x x y 3 1g x x . Entonces 2 3 2 1g f x g f x g x x . O sea, 6 1g f x x .

Propiedades:

Es asociativa: f g h f g h

No es conmutativa: f g g f

El elemento neutro es la funcin identidad Id x x : f Id Id f f

Si f y g son funciones inyectivas, entonces f g es inyectiva.

Si f y g son funciones suryectivas, entonces f g es suryectiva.

Si f y g son funciones biyectivas, entonces f g es biyectiva.

MATEMTICA 6TO AO 39

3.1.3 Funciones inversas Se llama funcin inversa o recproca de f a otra funcin f

1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f1

(b) = a.

La relacin inversa siempre existe, pero no necesariamente es una funcin.

Para que la funcin inversa f1

exista es necesario y suficiente que f sea

BIYECTIVA.

Si f es una funcin y f1

su inversa, se cumple que 1 1o of f Id f f .

Recprocamente, si g es una funcin tal que o of g Id g f entonces 1g f .

Observemos que el dominio de 1f es la imagen de f y la imagen de 1f es el dominio de

f .

Las grficas de f y 1f son simtricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante y el

tercero.

Ejemplo: si 4f x x , entonces 1 4f x x y sus grficas son:

Para calcular la inversa de una funcin despejamos x en funcin de y y luego intercambiamos

x con y, o bien, primero intercambiamos x e y, y luego despejamos y.

40 MATEMTICA 6TO AO

Por ejemplo, si ( ) 2 5y f x x :

despejamos x: 5 1 5

2 2 2

yx y

intercambiamos las variables: 5 1 5

2 2 2

xy x

luego, 11 5

2 2f x x

Observacin: hay que distinguir entre 1f x y 1

1

f x, la primera es la funcin inversa y la

segunda la inversa de la funcin.

MATEMTICA 6TO AO 41

GUA PRCTICA No 3 1. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suryectivas o biyectivas:

a) : / 3 1f f x x

b) : /f f x x

c) 3: /f f x x

d) : 0, /f f x x

e) 2: 2, / 2f f x x

f) 2: 0, 2, / 2f f x x

2. Hallar las funciones compuestas of g y og f en los siguientes casos. Cul es el dominio

de cada una de ellas? Son iguales las dos funciones compuestas?

a) 2;f x x g x x

b) 2 1; cosf x x g x x

c) 21

; 1f x g x xx

d) 1

; 2f x g x xx

3. Hallar la funcin compuesta pedida en cada caso:

a) 2ln( ); 1 ?of x x x g x x f g

b) 1

; ?2 1

o

x xf x g x g f

x

c) 1; 1 ?of x x g x x f g

d) 2(2 ); 2 1 ?of x sen x g x x f g

e) 2

2

2

1; 2 ?o

xf x g x x x f g

x

f) 32 3 ; ?of x x g x x f g

g) 1

1; ?of x x g x g fx

42 MATEMTICA 6TO AO

4. Dadas las siguientes funciones definidas en :

a) Grafica f x

b) Determina el dominio e imagen de f x

c) Analiza biyectividad

d) Determina la funcin inversa cuando sea posible

e) Grafica 1f x en el mismo sistema de coordenadas usado para graficar f x .

4.1) 2y x

4.2) 2y

4.3) 3

21y x

4.4) y x

4.5) 3 2y x

4.6) 3y x

5. Determina en cada caso dominio y codominio como subconjuntos de , para que con

cada una de las siguientes frmulas, obtengas una funcin biyectiva. Luego halla su

inversa.

a) 2y x

b) 2 3y x

c) y x

d) 1

2

xy

e) 2 1y x

6. Dadas las funciones 1

2 1f x

x

,

2 1

2 1

xg x

x

y

1h x

x . Calcular:

a) og f

b) of g

c) o oh f g

d) 1h

e) 1g

f) 1f

g) Probar que 1of f Id

MATEMTICA 6TO AO 43

7. Encuentra la inversa de la funcin 1

3

xy f x

x

, con 3x . Cul es el dominio de

1f x ? Y la imagen?

8. Representar grficamente, clasificar y, si es posible, hallar la inversa de las siguientes

funciones:

a) : , 1f f x x

b) 2: 1, , 1f f x x

c) 1

: ,2

xf f x

9. Dada la funcin 3: , 1f f x x .

a) Analiza biyectividad

b) Calcula 0f y 1 0f

c) Halla la expresin de 1f x

d) Grafica en el mismo sistema f x y 1f x

e) Calcula 1of f y 1of f

10. Criterio de la recta horizontal

Como ya vimos, no todas las funciones tienen inversa. Adems de analizar la biyectividad, se puede utilizar un mtodo que se basa en el grfico para saber si una funcin tiene o no tiene inversa. Uno de

los mtodos consiste en trazar una recta imaginaria paralela al eje x y moverla de arriba a abajo. Si intersecta a la funcin en dos o ms puntos, entonces la funcin NO tiene inversa. Determina, a partir del grfico, cules de las siguientes funciones tienen inversa.

a) b)

d) c)

44 MATEMTICA 6TO AO

UNIDAD N4

FUNCIN EXPONENCIAL Y

FUNCIN LOGARTMICA

En esta unidad vamos a aprender:

Definicin de funcin exponencial Caractersticas de la funcin exponencial

Grfica de la funcin exponencial Definicin de funcin logartmica

Propiedades de logaritmos Grfica de la funcin logartmica

Ecuaciones

MATEMTICA 6TO AO 45

4.1 FUNCIN EXPONENCIAL

Definicin: Una funcin exponencial es una funcin :f tal que xf x k a ,

donde 0, 1, 0a a k .

En particular, si k=1, obtenemos la funcin exponencial de la forma xf x a . Ejemplo:

En la figura se ve el trazado de la grfica de 2xy .

En los grficos siguientes se puede ver cmo cambia la grfica al variar a. Observa que las

grficas de xy a y de 1x

xy aa

son simtricas respecto del eje OY.

46 MATEMTICA 6TO AO

4.1.1 Caractersticas de la funcin exponencial de la forma xf x a :

El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.

Si a>1 la funcin es creciente (es decir, al aumentar el valor de x, la funcin crece) y si

0

MATEMTICA 6TO AO 47

4.2 FUNCIN LOGARTMICA

Como vimos, la funcin exponencial definida como : / ( 0, 1)xf f x a a a es una funcin biyectiva, y entonces, tiene inversa:

Definicin: La funcin inversa de la funcin exponencial, 1 :f definida por

1 logaf x x , con 0, 1a a , se denomina funcin logartmica de base a , donde

logay x si y slo si ya x .

Ejemplo:

En esta grfica vemos representadas a las

funciones 2xf x y 2logg x x

siendo 1g f . Como se puede observar,

las grficas resultan simtricas respecto de

la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

4.2.1 Caractersticas de la funcin logartmica

El dominio son los reales positivos (o sea, no est definido el logaritmo para nmeros

negativos ni para el cero) y el recorrido (la imagen) son todos los reales.

Si a>1 la funcin es creciente y si 0

48 MATEMTICA 6TO AO

4.2.2 Propiedades de los logaritmos

Logaritmo del producto: log log loga a ax z x z

Logaritmo del cociente: log : log loga a ax z x z

Logaritmo de una potencia: log logna ax n x

En cualquier base: log 1 0a ya que 0 1a y log 1a a ya que

1a a

Cambio de base: log

loglog

ba

b

xx

a

4.3 ECUACIONES

Resolver una ecuacin, tanto exponencial como logartmica, es encontrar una de las

componentes de un punto perteneciente a la grfica de la funcin, conociendo la otra

componente. Veremos esto ms claramente con ejemplos.

Ejemplo 1:

Dada ( ) 3xy f x , determinar x para el cual 1

( )27

f x .

Solucin:

Debemos entonces encontrar x tal que 1

327

x .

Aplicamos logaritmo en ambos miembros: 1

log3 log27

x

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos:

3

log 3 log1 log 27

log1 log 27

log 3

0 log 3 log 33

log 3 log 3

3

x

x

x

x

MATEMTICA 6TO AO 49

Ejemplo 2:

Determinar el valor de x que satisface la siguiente igualdad:

6 6log ( 3) log ( 3) 3x x .

Solucin:

Primero aplicamos la propiedad del producto:

6 6 6log ( 3) log ( 3) log ( 3) ( 3) 3x x x x

Y por definicin de logaritmo, 6log ( 3) ( 3) 3x x si y slo si 3( 3) ( 3) 6x x .

Luego, 2 9 216x

2 225x

15 15 x x

Ahora verifiquemos los resultados:

Por lo tanto, la solucin es 15x .

6 6

6 6

6

6

log (15 3) log (15 3)

log 18 log 12

log 18 12

log 216 3

6 6

6 6

log ( 15 3) log ( 15 3)

log 12 log 18

Pero los logaritmos de nmeros

negativos no estn definidos.

50 MATEMTICA 6TO AO

GUA PRCTICA No 4 1. Representa grficamente y estudia (dominio, imagen, asntota, interseccin con el eje Y,

crecimiento o decrecimiento) las funciones:

a) 4 2xf x

b) 2 3 1xf x

c) 3xf x

d) 15x

f x

2. Indica si el grfico corresponde a una funcin con crecimiento exponencial o con

decrecimiento. Escribe la funcin. a) b)

3. Dadas las funciones

a. Graficarlas.

MATEMTICA 6TO AO 51

b. Analizar para cada caso: Dominio, imagen e intervalos de crecimiento.

4. Siendo 1

53

x

f x

, obtener la ecuacin de una funcin exponencial g x cuya

grfica sea, comparada con la de f x , simtrica respecto del eje de ordenadas.

5. Representa grficamente en un mismo sistema de coordenadas y determina el dominio e

imagen para cada una de las siguientes funciones:

a) 3 3xf x c) 1

33

xf x

b) 3 3xf x d) 3 xf x e

6. Representa grficamente en un mismo sistema de coordenadas las funciones xf x e ,

xf x e , xf x e y xf x e .

7. Representa y estudia las funciones (Dominio, Imagen, Asntota, Corte OX, Crecimiento)

a) 32 logf x x

b) 3log 1f x x

8. Calcula x en cada caso aplicando la definicin de logaritmo:

a) 6 16log x e) 1 8log 1 x

b) 4log 2 x f) 3log 81 x

c) 5log 125 x g) 1 5log 25 x

d) 3 19log x h) 1 2 116log x

9. Sabiendo que log2 0, 0 0 03 1 3 calcula sin ayuda de la calculadora:

a) log 40

b) log1,6

c) log0,125

52 MATEMTICA 6TO AO

10. Con la calculadora halla los siguientes logaritmos:

a) 2log 23,721

b) 3log 25678,34561

c) 5log 0,37906

d) 7log 0,37906

11. Determina la funcin inversa en cada caso y grafica ambas funciones en un mismo sistema

a) 3xf x

b) 5logf x x

12. Calcula el nmero:

a) cuyo logaritmo en base 6 es 3.

b) cuyo logaritmo en base 4 es -3.

c) cuyo logaritmo en base 10 es 2.

d) cuyo logaritmo en base 1/2 es -3.

e) cuyo logaritmo en base 1/5 es 2. 13. En qu base?

a) el logaritmo de 0,001 es -3.

b) el logaritmo de 243 es 3.

c) el logaritmo de 8 es 1.

d) el logaritmo de 1/81 es -4.

e) el logaritmo de 49 es 2.

14. Sabiendo que el log2 0, 0 0 03 1 3 y log3 0,4771 , calcula:

a) log16

b) log512

c) 1681log

d) log 24

e) log72

MATEMTICA 6TO AO 53

15. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) 9 932 16x

b) 2 3 327 9x

c) 3 84 8x

d) 8 79 1x

e) 5 525 1x

16. Calcula el valor de x:

a) 7 5x

b) 5 7x

c) 2,13 4,5x

17. Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones:

a) 2log 32 2 log 4 0x x

b) 2 log log 16 2x x

c) 210 11

log log 210

xx

d) 32

5 log 2 log 3 log log2 3 9

x xx

18. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 4 3 4 0x

b) 3 4 6 0x

c) 2 6 0x xe e

d) 22 2 0x x

54 MATEMTICA 6TO AO

19. Resolver las siguientes ecuaciones logartmicas:

a) 7log 9 0x

b) 5 log log 10 1 0x

c) 5 5log 5 log 3x x

d) 2log 1 log 2x x

20. Lo dado en forma exponencial, expresarlo en forma logartmica y recprocamente:

21. Expresar los siguientes logaritmos en funcin de logaritmos decimales (es decir, aplicar la

propiedad de cambio de base):

MATEMTICA 6TO AO 55

UNIDAD N5

FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS

En esta unidad vamos a aprender:

Sistema sexagesimal y circular Circunferencia trigonomtrica

Funciones trigonomtricas: Definicin Funciones trigonomtricas: Grficas Relaciones trigonomtricas inversas

Identidades trigonomtricas Resolucin de tringulos

56 MATEMTICA 6TO AO

5.1 ANGULOS Y ARCOS ORIENTADOS

Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las

rotaciones del semieje ox con centro o; surgen dos posibilidades:

SENTIDO POSITIVO (Contrario al de las agujas del reloj); llamado tambin sentido antihorario

SENTIDO NEGATIVO (Opuesto al anterior); llamado sentido horario

Observar que en ambos casos coincide el lado inicial y terminal del ngulo de amplitud + 30 con el de 330. Al igual que con los ngulos, el sentido de rotacin orienta a los arcos (generados por cada

punto de ox excepto el origen)

Si P es un punto cualquiera de ox (distinto de o)

la razn entre la longitud del arco 'PP y la del

segmento OP es siempre la misma, para toda posicin de P.

As se origina el sistema circular o radial de medicin de ngulos, en el que se adjudica a cada ngulo la medida del correspondiente arco de circunferencia con respecto al radio de la misma.

MATEMTICA 6TO AO 57

La medida de un ngulo es el nmero real que se obtiene de la razn entre la longitud del arco correspondiente y la longitud del radio.

El arco de un radian (unidad del sistema circular), es el arco cuya longitud coincide con el radio de la circunferencia. Para el caso particular en que el arco es una circunferencia, la razn entre su longitud y la de su radio (medidas con respecto a la misma unidad), es el

nmero irracional: 2 , o sea:

con lo que la longitud de la circunferencia, expresada en radianes es: 2

Como el ngulo de 1 giro en sistema sexagesimal mide 360 y en sistema radial mide 2 ; es evidente la relacin existente entre ambos sistemas que permitir el pasaje de uno a otro y viceversa.

EJEMPLOS:

1) Expresa en sistema circular '15103

360 2 360 2 10315 x 103,15

2) Expresa en sistema sexagesimal

2 360

4

3 135135

2

1.

4

3.360

3) Expresa en sistema sexagesimal

2 360

5,3

66,3032

3,5.360

. 2 ..long de circunsferencia radio

radio radio

2 ..103 ,25

360

1,80 |x

58 MATEMTICA 6TO AO

Pero

1 60

0,66 '02,401

66,0'.60

Y 1 60

0,02 "2.1'1

'02,0".60

Finalmente: "2.1'40303

5.2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

5.2.1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA: Sea el nmero real m la longitud del arco considerado a partir del punto (1,0) tomado como origen. Al extremo de dicho arco lo llamamos P, un punto de coordenadas (x,y), centro (0;0) y radio 1.

Si P recorre la circunferencia en sentido antihorario (positivo) el arco descripto ser positivo, en caso contrario ser negativo. A cada arco m le corresponde un nico punto P(x,y), pero a cada punto P(x,y) le corresponde

infinitos arcos de la forma 2 , con m k k Z .

Ejemplo: Al nmero 2

m le corresponde Q (0,1). Pero a Q (0,1) le corresponden

2

m ;

2

5m ;

2

3m e infinitos valores que difieren en .,2 Zkk

MATEMTICA 6TO AO 59

5.2.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: DEFINICIONES

- P es un punto cualquiera distinto del (0,0).

- 0radio vectormed OP

- x=abscisa

- y=ordenada

Para un ngulo las definiciones de las funciones trigonomtricas referidas a un sistema de coordenadas, son:

Sen

y

Cosec y

0y

cos

x

sec x

0x

tag 0 xx

y cotg

y

x 0y

En particular las coordenadas del P(x,y) en la circunferencia trigonomtrica son

senyxseaosen ;cos:,cos

Sabemos que 1 y segn las definiciones:

1

cos cos1

y ysen y sen

x xx x

60 MATEMTICA 6TO AO

Tanto la abscisa como la ordenada pueden tomar valores reales en el intervalo 1,1 . o sea, cualquiera sea , siempre se cumple:

1 1

1 cos 1

sen

5.2.3 SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Los signos de las funciones trigonomtricas dependen de la ubicacin del P(x,y), que pertenece

al lado terminal del ngulo cuyo lado inicial es el semieje ox y su centro (0,0)

Entonces:

Si 0 90 todas las funciones trigonomtricas de dicho ngulo son positivas.

0, 0, 0x y

Si 90 180 son positivas el seno y la cosecante y negativas todas las dems

funciones 0, 0, 0x y

Si 180 270 son positivas la tangente y cotangente y negativas las dems

funciones 0, 0, 0x y

Si 270 360 son positivas el coseno y la secante y negativas las dems funciones

0, 0, 0x y

MATEMTICA 6TO AO 61

5.2.4 GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

I) FUNCIN SENO

Todo nmero real determina un punto P sobre la circunferencia trigonomtrica. Definimos

la funcin seno asignando al nmero real la ordenada del punto P.

Sobre una circunferencia de radio unitario ubicamos los nmeros reales: 2

,3

,4

,6

etc. y

construimos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (ver el grfico).

Sobre el eje de abscisas se trasladan los valores de los arcos x considerados en la

circunferencia, luego se trasladan los segmentos y, correspondientes a las ordenadas de cada

punto P, al sistema de coordenadas, paralelamente a s mismos.

La grfica anterior nos muestra una onda de sinusoide, que se repite para valores de 2x ,

como tambin para los valores de x < 0.

Por lo tanto, para todo x el nmero real sen x , est definido y es nico. Luego:

El dominio es: Dom sen x

La imagen es: Im( ) 1,1 sen x

62 MATEMTICA 6TO AO

Ceros o races de la funcin seno

Ceros de / . , sen x x x k k

Periodicidad

Una funcin f es peridica si existe un nmero real 0T tal que para x Dom f se

cumple que f x f x T ; el mnimo valor de T para el cual se cumple la igualdad se

llama perodo T.

En el caso de la funcin seno, 2T pues: .;4;2 etcxsenxsenxsenxsen En general: Zkkxsenxsen ;2 .

II) FUNCION COSENO: El anlisis de esa funcin se hace en forma anloga a la descripta para la anterior, pero, teniendo en cuenta que definimos la funcin coseno asignando al nmero real, que determina un punto P sobre la circunferencia trigonomtrica, la abscisa del punto P.

Si extendemos la grfica, para valores de 2x y para valores de 0x , es:

Vemos: cosDom

Im cos 1,1

MATEMTICA 6TO AO 63

Ceros o races de la funcin coseno

Ceros de cos / ,2

x x x k k

Periodicidad: Anlogamente a la de la funcin seno.

III) FUNCION TANGENTE: Si consideramos el punto a, de interseccin entre la recta vertical de ecuacin x = 1, con el lado terminal del ngulo central , por semejanza de tringulos entre los tringulos rectngulos

esobayoxp ,

abmedxtagladecires

abab

ob

ab

x

ytg

1

Grficamente, para valores de 20

64 MATEMTICA 6TO AO

Si extendemos la curva a todo el dominio de definicin, es:

Ceros o races de la funcin tangente

Ceros de / . , tg x x x k k Z

Periodicidad: T = pues tg x tg x

5.2.5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

A la relacin inversa de f tal que f x sen x se la llama arco seno de x y se la simboliza

xsenxsenarc 1 .

Ejemplo: 1 1

6 2 6 2Si sen arc sen

Como 6

no es el nico nmero real al que le corresponde por seno el valor

2

1 se escribe:

1/ ; 0

6 2 2x x arc sen x

MATEMTICA 6TO AO 65

5.2.6 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ANGULO

A. Relacin Pitagrica : 1cos22 sen

B. 0coscos

sentg

C. cos

0cotg sensen

D. 1

, 0tg ctgctg

E. 0coscos

1sec

F. 1

0 csec sensen

5.2.7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonomtrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de los

ngulos que intervengan en ella.

A partir de las definiciones de las razones trigonomtricas, de las relaciones fundamentales y

de las operaciones elementales, debemos lograr una identidad algebraica evidente.

EJEMPLO:

Verifica que para todo x se satisface: 2 2

cos 2 cosx senx sen x x

2 2 2 2cos 2 cos 2 2 cos cos

1 2 cos 2 1 2 cos

x sen x x sen x sen x sen x x x

sen x x sen x x

xxsenxxsen cos212cos21

1=1

66 MATEMTICA 6TO AO

5.3 RESOLUCIN DE TRINGULOS

En Geometra, el criterio para asegurar la congruencia de dos tringulos es suficiente que tengan: los tres lados, dos lados y el ngulo comprendido, dos ngulos y el lado comprendido respectivamente congruentes). Esto implica que teniendo por datos las medidas de tres elementos de un tringulo (convenientemente elegidos), es factible determinar las medidas de los tres elementos restantes. El proceso por el cual se calcula estas medidas desconocidas se denomina: "resolucin de tringulos. 5.3.1 RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS. La medida de uno de los ngulos de un tringulo rectngulo es siempre conocida: 90. Para poder resolver un tringulo rectngulo es suficiente entonces dar como datos las medidas de dos elementos entre los que figure al menos un lado. (Dos catetos, hipotenusa y un cateto, un cateto y un ngulo agudo, hipotenusa y un ngulo agudo). Se utilizan los siguientes recursos:

*En un tringulo rectngulo, sus ngulos son complementarios.

*Teorema de Pitgoras

*Definiciones de seno coseno y tangente de un ngulo agudo. Para determinar una incgnita es necesario analizar cul es la relacin que la vincula con los datos. Como ejemplo, trabajaremos con el siguiente problema: Desde el extremo superior de un poste, un tensor lo sujeta al suelo, formando un ngulo de 50 con el mismo. Sabiendo que el tensor est fijado a tierra a 12 metros de la base del poste , determina la altura del poste y la longitud del tensor.

Qu es lo que sabemos?, qu es lo que tenemos que determinar?

Recurrimos a una figura, para orientarnos: Datos: - = ngulo tpl = 50 - L = cateto adyacente a = 12m Incgnitas: - P = cateto opuesto a - T = hipotenusa

MATEMTICA 6TO AO 67

Qu relacin podemos utilizar?

1) Nos tenemos que preguntar Qu funcin trigonomtrica del ngulo vincula al cateto opuesto P con el cateto adyacente L, es decir cul es la funcin trigonomtrica que relaciona los dos datos con la incgnita P?.

L

Ptg

hipotenusa

adyacentecatetotg

P = L . tg

P = 12m . tg 50

P = 12m . 1,1 9175

P = 14,30 m

2) Anlogamente, la funcin trigonomtrica que relaciona los dos datos con la incgnita T es:

T

L

hipotenusa

adyacentecateto coscos

T = cos

L

T = mm

Tm

67,1864279,0

12

50cos

12

Rta: La altura del poste es aprox. de 14,30m y la longitud del tensor es aprox. de

18,67m.

68 MATEMTICA 6TO AO

GUA PRCTICA No 5 1. Expresa en sistema circular cada uno de los siguientes ngulos:

1.1) 60 1.4) '45300

1.2) 240 1.5) "10'5245

1.3) '15150 1.6) "10'15120

2. Expresa en sistema sexagesimal:

2.1) 60 2.4) 5,1

2.2) 1 2.5) 4

2.3) 2

5

2.6)

10

3. Califica de verdadero o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica:

3.1) 1201560 C 3.4) 180720 C

3.2) 2702610 C 3.5) '1548'1548 C

3.3) 260440 C 3.6) '15130'551309 C

4. Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica:

4.1) 2

7

2

y son congruentes

4.2) 4

. ,4

C k k Z

4.3) Nkk ,222

4.4) 2

15

4

108 y pertenecen a

2

C

5. Calcula la longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ngulo central de 72

y cuyo radio mide 8cm. 6. Calcula la longitud del radio de una circunferencia tal que un arco de 60 tiene una

longitud de 6cm. 7. Si la suma de 2 ngulos es 1,932952147 radianes y su diferencia es 1045.

Cul es la medida de cada uno de ellos?

MATEMTICA 6TO AO 69

8. Aplica la definiciones de funciones trigonomtricas, para determinar el valor de las mismas,

con los siguiente ngulos: 0, 90, 180, 270 9. El lado terminal de un ngulo , referido a un sistema de coordenadas, contiene al punto

Q(-2,3), calcula segn las definiciones:

10.1) sen 10.2) cos 10.3) tg 10. Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica tu

respuesta

10.1) / 0 2 0 ,2x x y sen x

10.2) Existe 0,2

x tal que sen x

10.3) mxsenentoncesmxsenSi 2,

10.4) 3

/ 0 2 12

x x y sen x

10.5) 3

, / cos 02 2

x x

10.6) 3 3 3 3

, , / ,cos 02 2 2 2 2 2

x x x

10.7) La funcin coseno, definida en tiene perodo

10.8) / 0 / ,x tg x x x k k

10.9) 3

0, , / 0 2 , 02 2

x x tg x

10.10) Dom / ,tg x x k k

10.11) Si 0;2 cos 1 0 y x x x

11. Coloca el signo que corresponda ( > < ) en el espacio en blanco: 11.1) sen 1 ........... sen 1 11.2) cos 1 ........ cos 1 11.3) tg 1 ........... tg 1

70 MATEMTICA 6TO AO

12. Analiza la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta

12.1) 2

es un cero de la funcin seno

12.2) 2

es una raz de la funcin tangente

12.3) 5 es un cero de la funcin seno

12.4) 2

3 es una raz de la funcin coseno

13. Expresa x en relacin con y en los siguientes casos:

13.1) y = sen 4x 13.4) y = cos 4

x

13.2) y = 2 cos x 13.5) y = 2 sen 5x

13.3) y = 5 arc tg x 13.6) y = arc sen 2

x

14. Determina las dems funciones trigonomtricas de siendo:

14.1) 1 3

4 2sen y

14.2) 3

cos 04

y sen

14.3) 5

cos 02

tg y

14.4) 3

cos 03

y tg

15. Verifica las siguientes identidades y determina su dominio de validez:

15.1) xxsenx cos1.sec 2

MATEMTICA 6TO AO 71

15.2) x

x

xsen

xsenxtg

cos1

sec3

15.3) xtg

xtgxsen

2

22

1

121

15.4) xsenxsenx

2sec21

1

1

1

15.5) senx

xtgxx

1

cossec

15.6) xec

xxsenxsenxtg

2

2222

cos

sec.

16. Si convenimos en designar con a, el vrtice del ngulo recto, con b y c los vrtices de los

ngulos agudos y los lados con la letra mayscula que corresponde al ngulo opuesto, determina:

16.1) cmAybsiC 10'4178

16.2) cmBycsiA 47,5'5654

16.3) cmCycmBsiA 1312

16.4) cmBycmAsiC 25

16.5) cmCycmAsic 4054

17. En un tringulo rectngulo, un ngulo agudo es el duplo del otro y la hipotenusa mide

4cm. Resuelve el tringulo. 18. Calcula la amplitud de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, sabiendo que un

cateto es el 35% del otro. Con estos datos se puede calcular la medida de la hipotenusa? 19. Calcula la hipotenusa de un tringulo sabiendo que un cateto mide 3cm y que la secante

del ngulo agudo adyacente es 2,2. 20. Hallar las amplitudes de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo sabiendo que: 7x=

10y, siendo x e y las medidas de los catetos. 21. Determina el permetro de un cuadrado, si su diagonal mide 5cm.

72 MATEMTICA 6TO AO

22. Desde un mismo vrtice de un cubo se trazan la diagonal de una cara del cubo y la

diagonal del cubo. Qu ngulo forman? 23. Sabiendo que la diagonal de un rectngulo mide 10cm, y que dicha diagonal divide al

ngulo recto en 2 ngulos agudos, tales que uno de ellos es el 20% del otro, calcula el permetro del rectngulo.