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TutorialMT-b2
Matemática 2006 Tutorial Nivel Básico
Números Racionales
Ma t
emática
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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062
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6 Tutorial
Números RacionalesMarco teórico:1. Definición:
Los racionales son los números que puede expresarse de la forma ab
= K con a, b ∈ Z y b ≠ 0,
en donde a : numerador, b : denominador y k : cuociente
2. Transformaciones
De fracciones a decimales. Es la más sencilla de las transformaciones: sólo debemos dividir el
numerador por el denominador. Ejemplo: 12
= 1: 2 = 0,5
De decimales finitos a fracciones. Se debe tomar el número completo sin la coma y colocarlo como numerador. Luego colocar como denominador un 1 acompañado de tantos ceros como
dígitos existan en la parte decimal. Ejemplo 0,42 = 42100
De decimales periódicos a fracciones. Se debe tomar el número completo sin la coma y sin el símbolo de peridiocidad y colocarlo como numerador. Luego colocar como denominador tantos nueves como dígitos posea el período.
Ejemplo: 0,45 = 4599
De decimales semiperiódicos a fracciones, se debe tomar el número completo sin la coma y colocarlo como numerador y restarle la parte no periódica. Luego colocar como denominador tantos nueves como dígitos posea el período, seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el anteperíodo.
Ejemplo: 0,43896 = 43896 - 4399900
= 4385399900
3,154 = 3154 - 315900
= 2839900
3. Fracciones equivalentes
Si ab
=cd
=ef
= k con a,b,c,d,e,f ≠ 0 Ejemplo: 12
= 24
= 1020
= 0,5
4. Amplificación
Se dice de la operación que consiste en multiplicar numerador y denominador por la misma cantidad, obteniendo una fracción equivalente.
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5. Simplificación
Se dice de la operación que consiste en dividir numerador y denominador por la misma cantidad obteniendo una fracción equivalente.
6. Operatoria
Adición y sustracción
ab
± cd
= ad ± bc
bd con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 3
2 + 4
5 = 15 + 8
10 = 23
10
Multiplicación
ab
∙ cd
= acbd
con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 79
∙ 83
= 5627
División
ab
÷ cd
= adbc
con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 98
÷ 65
= 4548
Ejercicios
1. ( 12
+ 3) ∙ ( 25
- 4) =
2. 1 + 1
( 1
1 + 12
) =
3. Transforme a decimal
a. 13
=
b. 114
=
c. 16
=
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6 Tutorial
4. Transforme a fracción
a) 0,345 =
b) 0,16 =
c) 3,121 =
d) 0,006 =
5. 250500
- 82164
+ 762381
=
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
6. ( 34
+ 27 ) ÷ 5
28 =
A) 529
B) 1
C) 295
D) 4729
E) Otro valor
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7.
26
+ 918
210
+ 615
=
A) 1518
B) 2518
C) 915
D) 6554
E) Otro valor
8.
24
- 28
46
÷
436
- 28
510
=
A) 24
B) 39
C) 99
D) 84
E) Otro valor
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9. 1 + 1
1+ 1
1 + 34
=
A) 811
B) 711
C) 32
D) 1
E) 1811
10. 0,5 + 0,25 =
A) 0,3
B) 310
C) 7590
D) 7390
E) Otro valor
11. 0,35 + 1
5 - 0,5
0,1 + 2
4 =
A) 33
B) 12
C) 2
D) -1
E) 0
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12. La quinta parte de un álbum fotográfico tiene 20 fotografías. ¿Cuántas fotografías tiene el álbum completo?
13. Si tengo $10000 y gasto la quinta parte en el supermercado, la cuarta parte en el cine y la décima parte en locomoción, ¿cuánto dinero me queda?
14. La tercera parte de la mitad de las tres cuartas partes del cuádruple del doble de 2350, resulta
A) 4700 B) 2350 C) 7050 D) 9400 E) Otro valor
15. Pagamos $40 por un libro, un cuaderno y un lápiz. El precio del cuaderno es un cuarto del precio del libro. El lápiz cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?
A) $ 2,5 B) $ 5,0 C) $ 7,5 D) $ 30 E) $ 40
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Respuestas
Preg. Alternativa
1 -635
2 52
3 a) 0,3 b) 2,75 c) 0,16
4
a) 69200
b) 16
c) 3118999
d) 1
150
5 C
6 C
7 B
8 E
9 E
10 D
11 A
12 100
13 $ 4500
14 B
15 D
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6 Solucionario Tutorial
Solucionario 1. ( 1
2 + 3) ∙ ( 2
5 - 4) Por prioridad operatoria primero desarrollamos los paréntesis:
(1 + 62 ) ∙ (2 - 20
5 ) Luego sumando los numeradores:
( 72 ) ∙ ( -18
5 ) Luego multiplicando las fracciones:
7 · -182 · 5
= -12610
= Simplificando por 2:
-635
2. 1 + 1
( 1
1 + 12
) = Desarrollando el paréntesis por prioridad de operatoria:
1 + 1
( 12 + 1
2) = Siguiendo con el desarrollo del paréntesis:
1 + 1
( 132
) = Dividiendo 1
32
en el paréntesis obtenemos 1 ÷ 32
= 23
:
1 + 123
= Dividiendo 123
obtenemos 1 ÷ 23
= 32
:
1 + 32
= Luego sumando:
1 · 2 + 32
= Multiplicando:
2 + 32
= Sumando:
52
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6 Solucionario
3. a) 13
Se divide numerador por denominador:
1 ÷ 3 = 0,3333... = 0,3
∴ 13
= 0,3
b) 114
= Se divide numerador por denominador:
11 ÷ 4 = 2,75
∴ 114
= 2,75
c) 16
= Se divide numerador por denominador:
1 ÷ 6 = 0,16666... = 0,16
∴ 16
= 0,16
4. a) 0,345 = Dividimos el número sin la coma por 1000:
3451000
= Simplificando por 5:
69200
b) 0,16 = Dividimos el número sin coma por 90 y al numerador le restamos la parte no periódica (el 1):
16 - 190
= Restando el numerador:
1590
= Finalmente, simplificando por 15:
16
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c) 3,121 = Dividimos el número sin coma por 999 y al numerador le restamos la parte no periódica (el 3):
3121 - 3999
= Restando el numerador:
3118
999
d) 0,006 = Dividimos el número sin coma por 900 y al numerador le restamos la parte no periódica (cero):
6 - 0900
= Restando numerador:
6900
= Simplificando por 6:
1150
5. Alternativa correcta letra C)
250500
= 12
Simplificando por 250:
82164
= 12
Simplificando por 82:
762381
= 2 Dividiendo:
Por lo tanto: 250500
- 82164
+ 762381
= 12
- 12
+ 2 = Restando las fracciones:
0 + 2 = 2
6. Alternativa correcta letra C)
( 34
+ 27 ) ÷ 5
28 = Resolviendo paréntesis:
( 21 + 828 ) ÷ 5
28 = Sumando el numerador del paréntesis:
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2928
÷ 528
= Resolviendo división de fracciones:
2928
⋅ 285
= Simplificando:
295
7. Alternativa correcta letra B)
26
+ 918
210
+ 615
= Simplificando cada fracción:
13
+ 12
15
+ 25
= Sumando fracciones:
2 + 36
35
= Sumando numerador:
56
35
= Dividiendo fracciones:
56
∙ 53
= Multiplicando:
2518
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8. Alternativa correcta letra E)
24
- 28
46
÷
436
- 28
510
= Simplificando cada fracción:
12
- 14
23
÷
19
- 14
12
= Restando fracciones:
2 - 14
23
÷
4 - 936
12
= Restando numeradores:
14
23
÷
-536
12
= Dividiendo cada término:
14
∙ 32
÷ -536
∙ 21
= Multiplicando fracciones y simplificando:
38
÷ -518
= Dividiendo fracciones:
38
⋅ -185
= Simplificando por 2:
34
⋅ -95
= Multiplicando:
-2720
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9. Alternativa correcta letra E)
1 + 1
1+ 1
1 + 34
= Este tipo de expresión se comienza a resolver desde la fracción inferior:
Luego primero resolvemos 1 + 34
= 4 + 34
= 74
, entonces:
1 + 1
1+ 174
= Ahora resolvemos 174
= 1 ÷ 74
= 1 ∙ 47
= 47
, entonces:
1 + 1
1+ 47
= Ahora resolvemos 1 + 47
= 7 + 47
= 117
, entonces:
1 + 1117
= Ahora resolvemos 1117
= 1 ÷ 117
= 1 ⋅ 711
= 711
, entonces:
1 + 711
= Ahora sumando fracciones:
11 + 711
= 1811
10. Alternativa correcta letra D)
0,5 + 0,25 = Transformando a fracción:
59
+ 25 - 290
= Restando numerador:
59
+ 2390
= Sumando fracciones:
50 + 2390
= Sumando numerador:
7390
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11. Alternativa correcta letra A)
0,35 + 1
5 - 0,5
0,1 + 2
4 = Transformando a fracción:
35100
+ 15
- 12
110
+ 24
= Simplificando:
720
+ 15
- 12
110
+ 12
= Sumando fracciones:
7 + 4 - 1020
110
+ 12
= Sumando numerador:
120
110
+ 12
= Dividiendo fracciones:
1020
+ 12
= Simplificando y sumando:
1 = Lo que se puede representar por:
33
12. Recordemos que si el álbum está dividido en quintos, el álbum completo tendrá 5 quintos.Luego si la quinta parte de un álbum fotográfico tiene 20 fotografías, los otros 4 cuartos tendrán 4 · 20 = 80 fotografías. Luego el álbum tiene en total 20 + 80 = 100.
13. La quinta parte de $10000 es 100005
= 2000
la cuarta parte de $10000 es 100004
= 2500
la décima parte de $10000 es 1000010
= 1000
, luego gasté 2000 + 2500 + 1000 = 5500
y dado que tenía $10000, ahora me quedan $10000 - $5500 = $4500
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14. Alternativa correcta letra B)
En este tipo de ejercicio la palabra “de” debe sustituirse por una multiplicación, de donde resulta:
13
· 12
· 34
∙ 4 ∙ 2 ∙ 2350 = Simplificando los números 2,3 y 4 en denominadores y numeradores, resulta:
2350
15. Alternativa correcta letra D)
Si llamamos al precio del libro X, como el precio del cuaderno es un cuarto del precio del libro, lo representaremos como
X4
, además como el precio del lápiz es un tercio del precio del cuaderno, lo representaremos
como X4
÷ 3 = X4 · 3
= X12
Luego precio libro = X
Precio cuaderno = X4
Precio lápiz = X12
,recordando que pagamos $40 por un libro, un cuaderno y un lápiz, entonces reemplazando
40 = X + X4
+ X12
Sumando el lado derecho de la igualdad:
40 = 12X + 3X + X12
Luego sumando el numerador de la fracción:
40 = 16X12
Simplificando la fracción por 4:
40 = 4X3
Multiplicando la ecuación por 3:
120 = 4X Dividiendo la ecuación por 4:
30 = X
Por lo tanto, el libro cuesta $ 30