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MATEMÁTICAS
El folleto que verás más adelante, fue diseñado pensado en los asesores
de matemáticas que solidariamente aportarán su tiempo sin esperar nada
a cambio, pero con la mente puesta en la firme utopía de lograr una
educación gratuita y de calidad para todos, sin filtros ni exámenes
amañados.
Lo que verás son ejercicios tomados de guías, páginas web, libros, etc.
algunos otros ejercicios también han sido parte de la contribución de
asesores que han pasado por el curso.
Índice
1.- JERARQUÍA DE OPERACIONES
2.- POTENCIACIÓN
3.- NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
4.-NÚMEROS RACIONALES
1.- JERARQUÍA DE OPERACIONES
Asesores: Es en verdad muy difícil explicar éste tema a los chavos del
curso, a ustedes se les pueden presentar algunos problemas a la hora de
atacar las dudas de los chavos, por eso aquí van algunos tips para
ayudarlos.
Les Presentamos los Signos de Agrupación:
( ) Paréntesis ordinario
[ ] Corchete
{ } Llaves
Usemos una expresión con los signos de agrupación anteriores (existe la
posibilidad que venga una muy similar en el examen de admisión),
empleando los pasos que vienen en el recuadro 1.
a) ( ) { [ ( ) ] }=
b) 4 ( 2 + 3 ) – {6 – [ 3 – (7 + 3) ] }=
c) 4 ( 5 ) – {6 – [ 3 – ( 10 ) ] }=
d) 20 – {6 – [ 3 – ( 10 ) ] } =
e) 20 – {6 – [ 3 – 10 ] } =
f) 20 – {6 – [ – 7 ] } =
g) 20 – { 6 + 7 } =
h) 20 – { 13 } =
i) 20 – 13 =
j) = 7
La expresión de arriba está formada únicamente por números y
signos de agrupación. Por lo tanto, si efectuamos las
operaciones indicadas debemos de obtener al final un número.
Hay que convencer a los chavos que no se espanten, por muy
larga que esté dicha expresión, sino al contrario, motivarlos
para descubrir dicho número.
PASO 1) Escribir Arriba de la expresión únicamente los
paréntesis, tal y como aparecen en el inciso a) ESTO ES PARA
QUE EL ALUMNO PUEDA TENER CIERTAS REFERENCIAS Y
NO SE PIERDAN EN TAN “DIFICIL” EXPRESIÓN (si pueden
usar colores para cada par de signos estará mejor).
PASO 2) Identificar de Izquierda a derecha los signos
de agrupación que en su interior guardan una operación
inmediata y fácil de hacer, es decir, que nosotros reconozcamos
en su interior al número escrito en esta forma. Por ejemplo con
el inciso b) ( 2 + 3 ) y (7 + 3).
PASO 3) A continuación, subrayamos esos signos (Y
SOLO ESAS OPERACIONES REALIZAREMOS, LAS DEMAS
ESPERARÁN, abajo escribimos una vez más TODA la expresión
tal cual aparece arriba y simplificando las operaciones elegidas,
cuidando de NO QUITAR aún nuestros paréntesis subrayados
(pues el signo + o - que le antecede puede estarlo afectando.
Ejemplo: b) y c)
PASO 4) Antes de quitar esos paréntesis elegidos,
echemos otro vistazo observando qué es lo que afecta a ése
paréntesis antes y después, si es otro número que está “junto”
estamos hablando de una multiplicación de signos separados por
un signo de agrupación, hay que realizarla cuidando de
multiplicar antes los signos y después los números. Ej c): 4 ( 5 )
= + 20 y todo lo demás lo copiamos abajo tal cual aparece.
La conclusión principal del ejemplo anterior es que tenemos que seguir varias reglas de ORO que no se deben de perder de vista a la hora de
explicarles a los chavos la jerarquía de operaciones y que están implícitas en el ejemplo.
REGLA 1.- Siempre leer las expresiones de Izquierda a Derecha.
REGLA 2.- Signo de Agrupación simplificado (que en su interior esté la más pequeña expresión posible, puede ser un número o un polinomio).
¿QUÉ LO AFECTA? En este caso lo afecta el signo “-”, operamos y ya lo podemos quitar. Ejemplo: - (5) = - 5
REGLA 3) Como ya se vio, siempre procederemos de los signos de agrupación que están adentro hacia los signos que más abarcan (los que están
afuera).
REGLA 4) Multiplicación y División antes que Suma y Resta.
Ejemplo:
OJO: Si no antecede un signo entonces se debe de multiplicar
como en el caso anterior, pero ésta vez el único que puede
cambiar es el signo de nuestro número interior del paréntesis,
ej. d) –(+10 )= – 10 y todo lo demás lo copiamos abajo tal cual
aparece arriba.
Nótese que en éste paso desaparecimos los paréntesis al
efectuar las operaciones con los números que los afectan atrás y
logramos simplificar nuestra expresión muchísimo mas.
PASO 5) Una vez más repetimos los pasos (1 – 4) con la
expresión resultante.
En (e) se señalan los signos de agrupación que restan, operar y al
final eliminar… [3 - 10]
En (f) se realiza la operación marcada en el interior, sin quitar el
corchete aún. [3-10] = [ -7 ].
En f) se identifica la operación que afecta al paréntesis, (tiene
un signo menos antes y por lo tanto se debe de multiplicar a (-7)
por el signo “-[“ que le antecede).
En g) se vuelve a iniciar TODOS LOS PASOS, para llegar a h) e
i) que por fin es nuestro número escrito de tan horrible manera,
todo esto para un 7!!
5(2) + { 5 (2 + 2x2) + 5 ( 2 - 2x2 + 2x2x2)} =
10 + { 5 ( 2 + 4 ) + 5 ( 2 - 4 + 8 ) } =
10 + { 5 ( 6 ) + 5 ( + 6) } =
10 + { 30 + 30 } = 10 + {60} = 10 + 60 = 70
REGLA 5) (de Ortografía) Es muy importante llevar un orden en las operaciones que realizamos en el pizarrón porqué como les enseñemos así las
harán ellos, me refiero a recomendarles a los chavos las siguientes cosas:
En una expresión como: 5 – 3 + 8 – 6 + 9 – 1 (así sin Paréntesis), primero
ordenen los números positivos con positivos y los negativos con negativos, Así: 5 + 8 + 9 – 3 – 6 – 1.
A continuación, hagan las operaciones abajo por pares positivos con positivos y negativos con negativos… Todo esto para que les sea más fácil a
ellos detectar errores en caso de error.
REGLA 6) MUCHOS EJERCICIOS y PACIENCIA (opcional).
2.- POTENCIACIÓN
Solo por si acaso…
Este tema no está contemplado en el temario, se deja al libre albedrío
Es importante que los chavos sepan bien leer números de “cualquier tamaño”. Así como identificar cuando un número es más grande que otro o si trabajamos con puntos decimales, etc…
Además también deben identificar bien cada una de las partes de las operaciones.
Elevar un número a una potencia dada significa realizar una multiplicación de factores iguales que la base; estos factores son tantos como indique
Veremos qué hacer con un estilo diferente: 5(2 + 2x2), observemos que el número 4 está escrito de la forma 2x2. Entonces en realidad no podemos SUMAR antes de saber, ¿qué vamos a sumar? Por eso primero va la multiplicación o división que la suma y resta. 5 ( 2 + 2x2 ) = 5( 2 + 4) = 5(6) = 30 Así también, 5(2 – 2x2 + 2x2x2) = 5 (2 - 2²+ 3³) = 5 (2 – 4 + 8) = 5(10 – 4)=5(6).
Esto ejemplifica el por qué de la multiplicación y división antes que suma y resta.
5 – 3 + 8 – 6 + 9 – 1 =
5 + 8 + 9 – 3 –6 – 1 =
13 + 9 – 9 –1 =
22 – 10 =
el exponente. A este proceso se le conoce como potenciación.
La notación en potencias sirve sobre todo para abreviar la notación.
Imaginemos que una colonia de ciertas bacterias duplica su peso cada día en un medio adecuado. Si al inicio la colonia pesa 7 g, al cabo de un día
pesará 14 g; luego de dos días su peso será 28 g, y así sucesivamente, como se muestra en la siguiente tabla:
Días Peso en Gramos
0 7 7 x 20 7
1 7 x 2 7 x 21 14
2 7 x 2 x 2 7 x 22 28
3 7 x 2 x 2 x 2 7 x 23 56
4 7 x 2 x 2 x 2 x 2 7 x 24 112
Podemos observar que en la segunda y tercer columna esta escrito lo mismo, pero en la segunda es de forma más corta ya que usamos potencias.
En el proceso de potenciación podemos usar cualquier número como base, pero dado que nuestro sistema numérico es decimal, es a esta base a la
que se le da mayor importancia estableciéndose reglas para operar con ella como veremos a continuación.
POTENCIAS DE BASE 10
Potencias de base 10 con exponente positivo
Anotamos los dígitos diferentes de cero; posteriormente anotamos la base 10 y el número que indique la cantidad de ceros existentes. El número
de ceros nos determinará el exponente de la base 10.
Ejemplo: 390 000 000 000 = 39 x 1010
Para cambiar un número dado en potencias de base 10 con exponente positivo a números naturales debemos anotar los dígitos del coeficiente y
agregarle tantos ceros como lo marque el exponente.
Ejemplo: 42 x 107 = 420 000 000
Potencias de base 10 con exponente negativo
Anotamos aquellos dígitos diferentes de cero; después anotamos la base 10 y contamos el número de espacios decimales, considerando también
los dígitos diferentes de cero. El conteo total de espacios decimales nos da el exponente de la base 10
Ejemplo: 0. 000 000 000 013 9 = 139 x 10-13
Para cambiar un número dado en potencias de base 10 con exponente negativo a números decimales debemos restarle, al valor absoluto del
exponente, el número de dígitos del coeficiente. La diferencia que resulte será el número de ceros que agregaremos a la derecha del punto decimal
además de los dígitos del coeficiente a la derecha de los ceros.
Ejemplo: 65 x 10-6
= 0. 000 065
NOTACIÓN CIENTÍFICA CON EXPONENTE POSITIVO
Para escribir en notación científica, registramos primero los dígitos diferentes de cero, donde el primer dígito será entero y los demás decimales;
inmediatamente, anotamos la base 10 y contamos los ceros y los decimales para determinar el exponente de la base.
Ejemplo: 6 300 000 000 = 6.3 x 109
Para cambiar a números enteros dado un número en notación científica, registramos los dígitos del coeficiente sin punto decimal y al exponente le
restamos el número de decimales del coeficiente y la deferencia será el número de ceros que agreguemos a la derecha del número.
Ejemplo: 5.9 x 107 = 59 000 000
NOTACIÓN CIENTÍFICA CON EXPONENTE NEGATIVO
Anotamos primero aquellos dígitos diferentes de cero, donde el primer dígito será entero y los demás decimales. Posteriormente anotamos la base
10 y los espacios decimales hasta donde se encuentre el primer dígito diferente de cero para así determinar el exponente de la base.
Ejemplo: 0. 000000000446 = 4.46 x 10-10
Para cambiar a números decimales, dado un número en notación científica con exponente negativo, al valor absoluto del exponente, le restamos
uno (por el dígito entero del coeficiente), obteniendo como resultado el número de ceros que tendremos que agregar a la derecha del punto decimal
así como los dígitos del coeficiente al final de los ceros.
Ejemplo: 3.5 x 10-6
= 0.0000035
Para obtener unidades cúbicas, basta con multiplicar la cantidad por ella misma tres veces.
Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 10050?
a) 100.5 x10³ b) 1.005 x 10³ c) 10.05 x 10³ d)100.5 x 104 e) .1005 x 10⁻ ²
Solución: Se realiza la comprobación de cada uno de los productos
100.5 x 10³ = 100.5 x 1000 = 100500, no es la respuesta correcta
1.005 x 10³ = 1.005 x 1000 = 1005, no es la respuesta correcta
10.05 x 10³ = 10.05 x 1000 = 10050, es la respuesta correcta
El siguiente tema es fundamental verlo en clase:
3.- NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Números primos. Son los números que solo admiten como divisores ellos mismos y la unidad, ejemplos: 2,3,5...
Números compuestos. Son los números naturales que se pueden dividir entre dos o más números diferentes.
Múltiplo. Resulta de multiplicar un número por cualquier número natural. Cualquier número “x” tiene una infinidad de múltiplos, y éstos los
obtenemos multiplicando “x” por todos los números naturales.
Ejemplo:
Divisor. Es el número natural que divide en forma exacta, es decir no hay residuo alguno en la división.
Todo número tiene al menos 2 divisores (el mismo y el uno)
Ejemplo:
Divisores del 16 16 / 16 = 1 16 / 8 = 2 16 / 4 = 4 16 / 2 = 8
Descomposición de un número en factores primos.
Cualquier número entero positivo se puede descomponer en una multiplicación de números primos (entonces se dice que el entero se factoriza en
una multiplicación de primos).
a) si un número m es primo, es igual al producto de él mismo por la unidad: m = m x 1
b) si un número es compuesto, se va dividiendo por los posibles números primos divisores del mismo hasta llegar al uno.
Ejemplo:
Descomponer 24 en una multiplicación de números primos.
24 2 Aquí anotamos a los números primos …
12 2 pues 24 ÷ 2 = 12
6 2 pues 12 ÷ 2 = 6
3 3 pues 6 ÷ 2 = 3
1 pues 3 ÷ 3 = 1
Ahora podemos decir que 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Ésta es la descomposición o factorización de 24 en un producto de números primos…
Asesor: Es importante que los chavos aprendan a expresar cualquier número entero positivo como producto de números primos y manejen la
notación exponencial ya que esto último se usará mucho para los temas de álgebra.
MINIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (m.c.m.), de dos o más números naturales, resulta ser el menor de los múltiplos comunes a esos números. Se calcula
descomponiendo cada uno en sus factores primos,
Ejemplo: El m.c.m de 4 y 9:
Múltiplos de 4 =
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108…
Múltiplos del 3 0 = 3 x 0 3 = 3 x 1 6 = 3 x 2 9 = 3 x 3 . . .
Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …
Así, obtenemos que 36, 72 y 108 son algunos múltiplos comunes a ambos números, sin embargo, estamos buscando el menor que es 36.
De aquí que: El m.c.m de 4 y 9: 36
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Todo par de números tienen al menos un divisor común, el uno. En algunos casos el conjunto de divisores comunes es mayor que uno, de cualquier
forma; de este conjunto de divisores comunes podemos elegir el más grande, al cual llamaremos Máximo Común Divisor.
Ejemplo: Calcular el M.C.D. de 16 y 24
Divisores de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Así obtenemos que 1,2,4 y 8 son divisores comunes, sin embargo el 8 es el mayor.
Entonces M.C.D. de 16 y 24:8
En la práctica se utilizan otros métodos.
Método “descomposición en factores primos” para la resolución de mcm y MCD.
El cálculo se realiza aplicando las reglas siguientes:
1. Se descomponen los números en sus factores primos, teniendo cuidado de usar exponentes para los factores repetidos (ejemplo: en vez de
18 = 2 x 3 x 3, se debe poner: 18 = 2 x 32
).
2. Los factores primos del M.C.D. son los factores comunes con su menor exponente. Ya que se tiene la descomposición en primos se
consideran sólo los factores comunes con su menor exponente
3. Los factores primos del m.c.m. son los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ya que se tiene la descomposición en
primos; se toma una sola vez cada factor primo con el mayor exponente que tenga: el producto de ellos es el m.c.m buscado.
Ejemplo:
Obtener el M.C.D. y el m.c.m. de (420, 280)
Primero.- los descomponemos en sus factores primos:
280 = 23 x 5 x 7
420 = 22 x 3 x 5 x 7
Para obtener el m.c.m., tomamos el factor 2 con su mayor exponente, es decir, tomamos 23. Tomamos también 3 con su mayor exponente, es decir, tomamos 3
1 y
también 5 y 7. El producto 23 x 3 x 5 x 7 = 840 es el m.c.m. buscado.
Para obtener el M.C.D., tomamos el factor 2 con su menor exponente, es decir, tomamos 22. Tomamos también 5 con su mayor exponente, es decir, tomamos 5
1 y
también 7. El producto 22 x 5 x 7 = 140 es el M.C.D. Buscado. Notarás que no utilizamos al 3, esto porque el 3 no es factor primo común de ambos números sino sólo
del 3.
Así, M.C.D.(420, 280) = 140 y m.c.m. (420,280) = 840
¿Y por qué funciona?
m. c. m.
Todo par de números tiene una infinidad de múltiplos comunes, aquí una forma de obtener muchos (aunque no son todos)
Ejemplo: Usaremos al 4 y 6
Aquí podemos ver que 48, 72 y 96 son múltiplos comunes de 4 y 6.
De hecho cualquier número de la forma 4 x (6 x a) = 6 x (4 x a), es un
múltiplo común de 4 y 6. Así al poner en lugar de a cualquier número
natural obtenemos una infinidad de múltiplos comunes.
Lo que intentaremos ahora será tratar de encontrar el m. c. m. de 4 y 6,
para lo cual veremos la factorización en primos del 4 y 6.
4= 2 x 2, es claro que cualquier múltiplo de 4 se encuentra en una factorización de primos (2 x 2) x …
6= 2 x 3, de igual forma sus múltiplos deben llevar en su descomposición algo de la forma (2 x 3) x …
Ahora, si queremos el múltiplo común más chico (que lo podemos hallar dado que hay una infinidad y todos son positivos) es claro que en su
descomposición como producto de primos debe parecerse al 4, es decir debe tener 2 x 2 x …, y debe parecerse al 6, es decir debe tener 2 x 3 x …,
pero para hacerlo lo más chico posible solo necesitamos 2 veces el 2 y un 3, como a continuación se muestra:
6
2 x 2 x 3 = 12 y este número es el múltiplo común más chico de 4 y 6.
4
Ejemplos:
1)
m. c. m. (5,9)= 45
9 = 3 x 3
5 = 1 x 5 9
m.c.m.= 3 x 3 x 5 = 45
5
2)
m. c. m. (8,12)= 24
8 = 2 x 2 x 2
24 = 4 x (6) es múltiplo de 4 24 = 6 x (4) es múltiplo de 6
48 = 4 x (6 x 2) es múltiplo de 4 48 = 6 x (4 x 2) es múltiplo de 6
72 = 4 x (6 x 3) es múltiplo de 4 72 = 6 x (4 x 3) es múltiplo de 6
96 = 4 x (6 x 4) es múltiplo de 4 96 = 6 x (4 x 4) es múltiplo de 6
… …
4 x (6 x a) es múltiplo de 4 6 x (4 x a) es múltiplo de 6
12 = 2 x 2 x 3 8
m.c.m.= 2 x 2 x 2 x 3 = 24
12
M. C. D.
Ahora veamos el caso en que dos números (o más) tiene más de un divisor común.
Ejemplo: Usaremos al 16 y al 8
Es claro que 1, 2, 4 y 8 son los divisores comunes, de ahí desprendemos que el M. C. D. (16,8) = 8, pero veamos una forma general de obtenerlo.
8 = 2 x 2 x 2, y así podemos ver que los divisores de 8 son todos los posibles productos de sus factores primos, a saber
2 x 2 = 4 y
2 x 2 x 2 = 8
16 = 2 x 2 x 2 x 2
Para que un divisor sea común debe aparecer en ambas (o más) descomposiciones, así las cosas el M. C. D. se obtendrá al hacer el producto más
grande q aparezca en ambas (o más) descomposiciones.
Por lo tanto el M. C. D. (8,16)= 2 x 2 x 2 = 8, pues este es el más grande producto común del 8 y 16.
Ejemplos:
1)
M.C.D.(5,7) = 1
5 = 1 x 5 (Pues el 1 es lo mas grande
7 = 1 x 7 que tienen en común)
2)
M.C.D.(6, 12, 18)= 2 x 3 = 6
6 = 2 x 3
12 = 2 x 2 x 3 (Pues2 X 3 es lo mas grande
18 = 2 x 3 x 3 que tienen en común)
Método con “palomitas” para el mcm y MCD. Una forma que es más sencilla de recordar
Ya hemos visto como factorizar un número en su producto de números primos…
Para hallar el m.c.m. y M.C.D. se procede de la misma forma, pero con dos números (o los que se pidan) a la vez.
Por ejemplo, el m.c.m. y el M.C.D. de 72 y 60 se obtienen así:
72 60 2
36 30 2
18 15 2
9 15 3
3 5 3
1 5 5
1 1
El m.c.m. de 72 y 60 es 2x2x2x3x3x5 = 2³ x 3² x 5 = 360 (producto de todos)
El M.C.D. de 72 y 60 es 2x2x3 = 2² x 3 = 12 (producto con palomita)
ASESOR: Ahora ya se puede enseñar a obtener el m.c.m. y el M.C.D. de dos o más números rápidamente, pero no olvidando el por qué
de sus nombres y toda la teoría detrás de ellos de eso hablaremos en las sesiones para asesores…
NUMEROS RACIONALES.
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa
por .
PASO 1) Se escriben juntos ambos números del
lado izquierdo de la raya
PASO 2) Empezamos dividiendo con el 2 tantas
veces como sea posible hasta que ninguno de los
números resultantes sea divisible por 2. Si los dos
números se pueden dividir, se realiza la operación
y se escribe una palomita al lado del 2. Si sólo se
puede dividir uno de ellos, se efectúa la
operación , se escribe igual el otro número abajo
y NO se le pone palomita.
PASO 3) Una vez agotado el 2, probamos el
siguiente número primo 3 y procedemos igual
que en el PASO 2.
PASO 4 ) Se repite el procedimiento con los siguientes números primos hasta
obtener 1 debajo de cada número del lado izquierdo. Marcando siempre con una
palomita a aquellos números primos que dividen a TODOS los números del lado
izquierdo y si hay uno de ellos que no es dividido entonces NO se le pone palomita.
(ver ejemplo)
¿¿Y qué Creen??
El Producto o Multiplicación de TODOS los números Primos que aparecen del lado
derecho de la raya, es decir, 2x2x2x3x3x5 = 2³ x 3²x5, es el mínimo común múltiplo
(m.c.m.) de 72 y 60.
Y el Producto o Multiplicación de LOS QUE TIENEN PALOMITA, es decir,
2x2x3 = 2² x3, será nuestro Máximo Común Divisor (M.C.D.) de 72 y 60.
Es decir; consideramos la fracción con a y b enteros positivos, como la
porción que se obtiene al dividir cada unidad en “b” partes y tomar “a” de
esas partes. El numerador (dividendo) es a y el denominador (divisor) es b.
Fracción Propia, Impropia y Mixta.
Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador, en
caso de que el numerador sea mayor entonces la fracción será impropia.
Una fracción mixta es la que está formada por una parte entera y una fracción propia.
Ejemplo:
Fracciones propias Fracciones impropias
5 / 9 , 1 / 19 13 / 5 , 7 / 2
Fracciones mixtas
4 1 / 7 , 2 6 / 8
Fracciones equivalentes.
es equivalente a si y solo si
es decir; si cumple que ad = bc
Ejemplo:
Pues ambos números se encuentran en el mismo punto de la
recta numérica.
Note que es equivalente a pues
(Además podemos obtener 24 / 42 a partir de 4 / 7, multiplicando numerador y denominador por 6. Así;
4 X 6 = 4 x 6 = 24
7 6 7 x 6 42
Entonces podemos pensar que si es equivalente a entonces
se obtiene “amplificando” o “simplificando” la fracción
Representación gráfica de la equivalencia
Gráficamente la equivalencia de fracciones, consiste en porciones que indican la misma cantidad.
Ejemplo:
Todas las fracciones equivalentes a se obtienen amplificando o
simplificando así, si a y b son primos relativos, el conjunto de
fracciones equivalentes a es:
Así formamos un conjunto de fracciones equivalentes de
Ejemplo:
Como es equivalente a entonces su conjunto de fracciones
equivalentes es el mismo:
Dado que basta con tomar una fracción cualquiera del conjunto de fracciones equivalentes para determinar el número racional asociado a ese
conjunto, entonces se puede utilizar cualquiera de la fracciones del conjunto para denotar el racional.
Relaciones de Orden
Para establecer una relación de orden entre dos números a / b y c / d , debemos considerar los números enteros ad y bc
Caso 1) si ad = bc entonces a / b = c / d
Caso 2) si ad < bc entonces a / b < c / d
Caso 3) si ad > bc entonces a / b > c / d
Fracciones iguales y equivalentes.
Note que se puede interpretar de dos formas: las fracciones
y son equivalentes, o los racionales y son iguales. Dichas
interpretaciones son equivalentes.
Ejemplo:
Note que pues el racional es igual al racional , y la
fracción no es equivalente a la fracción
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones.
Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Ejemplo:
Si las fracciones tienen denominador distinto, se puede cambiar inteligentemente los representantes de los racionales por fracciones que tengan el
mismo denominador.
Ejemplo:
Realicemos la suma de racionales En este caso, se tiene que
Entonces el racional será representado por y el otro por así:
Se puede introducir el uso del mínimo común múltiplo (para reducir los denominadores a común denominador) para facilitar esa “selección
inteligente” de los representantes y finalmente se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Para introducir los
algoritmos.
Ejemplo:
Multiplicación de números racionales
Para multiplicar números racionales se opera de la siguiente manera:
1) El numerador de la fracción solución va a ser el número que queda de multiplicar todos los numeradores de las fracciones que se están
multiplicando.
2) El denominador de la misma va a ser el número que queda de multiplicar todos los denominadores de las fracciones que se están
multiplicando.
División de números racionales Para dividir números racionales se puede operar de dos formas diferentes:
a) Utilizando el inverso multiplicativo de fracción divisora y transformando la operación en una multiplicación. Operando luego como en la
multiplicación.
Ejemplo:
b) Multiplicando cruzado o sea el numerador de la fracción solución queda de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador
de la segunda y el denominador de la fracción solución queda de multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Ejemplo:
Al dividir números RACIONALES se respeta la MISMA regla de signos que para multiplicar.
Razones y Proporciones
La razón de un número a otro número, es el cociente del primero entre el segundo. La razón del número x al número m se escribe x:m, y se lee “ x
es a m”.
Ejemplo:
Si un segmento mide 8 cm. y otro mide 2 cm, la razón o cociente de sus medidas es un número:
8 / 2 = 4.
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Si la razón x:m es igual a la razón z:n, tenemos la proporción x:m = z:n. Esta se lee “ x es a m como z es a n”. Los números x y n son los extremos;
m y z son los medios de la proporción.
La propiedad fundamental de las proporciones es la que dice: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Ejemplo:
En la proporción 3 : 4 = 6 : 8 se cumple 3 X 8 = 4 X 6.
Regla de tres:
De la propiedad fundamental se deducen las dos reglas siguientes:
(1). Si el producto de los extremos se divide entre uno de los medios, se obtiene el otro medio.
(2). Si el producto de los medios se divide entre uno de los extremos, se obtiene el otro extremo.
Ejemplo:
Calcular x en la proporción: x= 5 Se calcula x dividiendo el producto de los medios entre 8
El extremo conocido 8. x = 2 X 5 = 1.25
8
Magnitudes proporcionales.
Dos magnitudes son proporcionales a otras dos, cuando la razón de las dos primeras es igual a la razón de las dos últimas, tomadas en su orden.
Ejemplo:
Una mezcla contiene 60 % de cemento y 40 % de arena. Si hay en la mezcla 12 kilos de arena, ¿Cuánto hay de cemento?
Respuesta: Si x es la cantidad de cemento, se debe tener:
60 % (de cemento) = x (kilos de cemento)
40 % (de arena) 12 (kilos de arena)
Es decir: 60 = x .
40 12
Por lo tanto
x = 60 X 12 = 18
40
Ejemplo: Juan y Pedro invierten $ 2 800 y $ 1 600 en un negocio, conviniendo en repartir la ganancia proporcionalmente al dinero invertido por cada
uno. Si Juan gana $ 700, ¿Cuánto gana Pedro?
Respuesta: La inversión de Juan es a la de Pedro como la ganancia de Juan es a la de Pedro. Si m es la ganancia de Pedro, tenemos:
2 800 = 700
1 600 m
Es decir:
28 = 700 .
16 m
Por lo tanto
m = 16 X 700 = 400
26
Tanto por ciento
La parte que tomamos de un número, expresada en centésimos, es lo que llamamos el tanto por ciento de ese número.
Partes de un número. Si queremos obtener ¾ de un número, debemos multiplicar ¾ por ese número, si queremos obtener 5/3 de un número, debemos
multiplicar 5/3 por ese número;…
En general: m / n de H significa m / n X H
Tomar ½ de un número es tomar la mitad de ese número; tomar 1/3 de un número es tomar la tercera parte de ese número; etc. Esto es lo que dicen las
igualdades siguientes:
½ de m = m/2 ; 1/3 de m = m/3 ; etc.
El % (por ciento)
Si dividimos un número en cien partes iguales, cada una de ellas representa el uno por ciento de ese número. El tanto por ciento del número dado viene a ser: el
número de centésimos que tomamos de ese número.
El signo % se lee por ciento y significa centésimos.
Ejemplo: 15 % (quince por ciento) significa 15/100 = 0.15
Tomar m % de n número, es tomar m/100 de ese número.
Es decir: m% de H significa m/100 X H.
Se expresa que Y es el m% de H, escribiendo:
Y = m/100 X H.
Esta es una fórmula (una ecuación) que contiene tres números: el número H (que es la base), el número Y (que es la parte o porcentaje) y el número m/100 (el
por ciento). Haciendo uso de ella podemos resolver problemas que incluyan el %.
Ejemplos:
1. ¿Cuál es el número cuyo 12 % es 42?
Aquí conocemos el por ciento (12% = 0.12) y la parte (42). Tenemos que calcular la base.
H = 42/0.12 = 4200/12 = 350
Comprobación: 12 % de H = 0.12 X 350= 42
2. Una persona compra al contado una computadora cuyo precio es de $ 6 400. Si le descuentan el 12 %, sobre el precio de la máquina ¿cuánto debe pagar por
ella?
Descuento = 0.12 X $ 6 400 = $ 768
Debe pagar = $ 6 400 - $ 768 = $ 5 632
El mismo problema se resuelve razonando de este modo: Si el descuento es del 12%, lo que debe pagar es el 88% (el complemento para el 100%). Por lo tanto
el comprador debe pagar por la computadora:
0.88 X $ 6 400 = $ 5 632
