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MATEMÁTICAS BÁSICAS II PMMT – 21

ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 1: Un modelo físico.

Sea P un punto fijo del espacio real. Consideremos , el conjunto formado por todas las fuerzas que actúan sobre

P .

Las fuerzas en operan de la siguiente manera:

a. Si ,1 2F F se puede encontrar una fuerza llamada resultante R de 1F y 2F , la cual se obtiene por la regla

del paralelogramo. Anotamos por 1 2R F F y decimos que R es la suma de las fuerzas 1F y 2F .

Esta suma en satisface las siguientes propiedades:

i. Clausura: ,1 2 1 2F F F F

ii. Asociatividad: , ,1 2 3 1 2 3 1 2 3F F F F F F F F F

iii. Conmutatividad: ,1 2 1 2 2 1F F F F F F

iv. La fuerza nula 0 es tal que F F 0 F

v. F , la fuerza opuesta a F , denotada por F es tal que F F 0

b. Si aumentamos una fuerza F al doble, anotamos 2F , si la reducimos a la mitad y cambiamos el sentido la

anotamos por 1

F2

. Diremos en general que toda fuerza F se puede multiplicar por , anotamos por

F . Aquí los números reales se dicen escalares.

Figura 1 Figura 3 Figura 2

2

Ésta multiplicación de fuerzas en por escalares, tiene las siguientes propiedades:

vi. , F F

vii. , , F F F F

viii. , ,1 2 1 2 1 2F F F F F F

ix. , , F F F

x. F 1 F F

Ejemplo 2. Un modelo matemático.

En la unidad de matrices se trabajó con el conjunto de las matrices de orden xm n con componentes reales o

complejas.

a. Consideremos mxnM con y . En mxnM se definió una suma de matrices y una

multiplicación de una matriz por un escalar, siendo los escalares los números en .

La suma de matrices tenía las siguientes propiedades:

i. Clausura: , mxn mxnA B M A B M

ii. Asociatividad: , , mxnA B C M A B C A B C

iii. Conmutatividad: , mxnA B M A B B A

iv. Existencia del Elemento Neutro: ,mxn mxn0 M A 0 A A M

v. Existencia del Elemento Inverso: ( ) ,mxn mxnA M A A 0 A M

b. La multiplicación de una matriz por un escalar satisface las siguientes propiedades:

vi. , mxn mxnA M A M

vii. , , mxnA M A A A

viii. , , mxnA B M A B A B

ix. , , mxnA M A A

x. mxnA M 1 A A

3 Ejemplo 3. Un modelo geométrico.

Cómo vimos en la unidad anterior, estudiamos vectores en el espacio. En este caso se identificó el conjunto de todos

los vectores del espacio con el llamado espacio real, esto es , , / , ,3 a b c a b c .

Cada vector u del espacio se considera (trasladándolo si fuese necesario) como una flecha que parte del origen

( , , )0 0 0 a un punto ( , , )a b c . Éste vector se anota como , ,u a b c .

El comportamiento de estos vectores es el mismo de las fuerzas que actúan sobre un punto.

La suma de vectores es , ,u v a x b y c z donde , , ; , ,u a b c v x y z .

Ésta definición de suma corresponde gráficamente a la regla del paralelogramo.La multiplicación de un vector por un

escalar está dada por , ,u a b c donde , 3u .

Estas operaciones satisfacen las mismas propiedades que las correspondientes a las fuerzas actuando sobre un

punto.

Observación.

En cada uno de estos modelos, se ha considerado un conjunto donde se ha definido una suma y una multiplicación

por un escalar, siendo los escalares números reales o complejos.

En el primer ejemplo, por la propiedad (𝑖) de la suma de fuerzas actuando sobre un punto P y por el hecho de que

la resultante de un par de fuerzas es única, podemos dar la suma como la función:

,1 2 1 2

x

F F F F

Análogamente la multiplicación de una fuerza en por un escalar

,

x

F F

De la misma manera que en el segundo modelo, la suma es:

,

mxn mxn mxnM xM M

A B A B

4 Y la multiplicación de una matriz de orden xm n por un escalar

,

mxn mxnxM M

A A

Y finalmente en el tercer ejemplo para la suma se tiene

,

3 3 3

2 1

x

u v u v

Y para la multiplicación de un vector por un escalar real

,

3 3x

u u

En general, cualquier conjunto no vacío con operaciones suma y multiplicación por un escalar con las propiedades

vistas en los ejemplos anteriores, será para nosotros un espacio vectorial, como lo veremos a continuación.

Espacios Vectoriales. Vectores y Escalares.

Sea 𝕂 el cuerpo conmutativo de los números reales o bien el de los números complejos (es decir, 𝕂 = ℝ ∨

𝕂 = ℂ).

𝑉 es un espacio vectorial sobre 𝕂 si y sólo si en 𝑉 se han definido la suma + 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉, (�⃗� , 𝑣 ) → �⃗� + 𝑣 , y una

multiplicación por un escalar: 𝕂 𝑥 𝑉 → 𝑉, (𝛼, 𝑣 ) → 𝛼𝑣 , tales que:

a) La suma tiene las propiedades:

i. Clausura: ,u v V u v V

ii. Asociatividad: , ,u v w V u v w u v w

iii. Conmutatividad: ,u v V u v v u

iv. Existencia del Elemento Neutro: ,0 V u 0 v u V

v. Existencia del Elemento Inverso: ,u V u u 0 u V

b) La multiplicación escalar cumple con:

vi. , u V u V

vii. , , u V u u u

5

viii. , ,u v V u v u u v

ix. , , u V u u

x. ,u V 1 u u

Notación: Un espacio vectorial V sobre se denota como )(V .

Definición: Si )(V es un espacio vectorial, entonces:

a. Los elementos de V se llaman vectores y se anotan como , , ,u v w x etc.

b. Los elementos de se llaman escalares y se anotan habitualmente por letras griegas: , , , etc.

c. La suma en V es la suma de los vectores.

d. El neutro 0 para la suma de vectores se llama vectores cero, o bien vector nulo.

e. El inverso aditivo de v V , denotado por v es el vector opuesto de v .

f. Un espacio vectorial sobre es un espacio vectorial real: ( )V y uno sobre es un espacio

vectorial complejo: ( )V .

Ejemplo.

Según visto anteriormente:

a. es un espacio vectorial real donde:

Los vectores son fuerzas que actúan sobre P .

Los escalares son números reales.

El vector cero es la fuerza nula.

b. mxnM es un espacio vectorial sobre . Se llama espacio vectorial de las matrices reales de orden xm n si

y el espacio vectorial de las matrices complejas de xm n si .

En el espacio vectorial de mxnM se tiene:

Los vectores son matrices de orden xm n (reales o complejas según sea el caso).

Los escalares son números en , ó .

El vector cero es la matriz cero.

c. El espacio real 3 es un espacio vectorial real. Aquí los vectores son tríos ordenados y los escalares son

números reales.

Se puede generalizar este ejemplo considerando, en vez de trios ordenados, cuartetos ordenados o bien

quintetos ordenados, etc. Incluso se pueden considerar números complejos en vez de números reales. Esta

generalización la damos en el siguiente ejemplo.

6

El espacio vectorial de la n uplas reales o complejas.

Si ó , definimos:

  , ,..., / , , ,...,n

1 n ia a a i 1 2 n

  , ,..., / , , ,...,n

1 n ia a a i 1 2 n

n n

, , / , , , , / , ,1 2 3a b a b a b c a b c , etc.

Ahora definamos en n

a. Suma de n uplas .

, ,..., , ,..., , ,...,1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a a b b b a b a b a b

, ,..., , , ,...,1 2 n 1 2 na a a b b b

b. Multiplicación por un escalar.

, ,..., , ,...,1 2 n 1 2 na a a a a a

, ,..; .,1 2 na a a

Luego n es un espacio vectorial con estas operaciones, ya que ellas cumplen con todas las propiedades y se

llama espacio vectorial de las n uplas con componentes en .

En este espacio vectorial n se tiene:

Los vectores son n uplas reales o complejas según ó .

Los escalares son número en .

El vector cero es , ,...,0 0 0 0

Nota:

1. 1 y 1 .

2. 2 y 3

representan gráficamente el plano real y el espacio real respectivamente. En ellos cada

vector puede ser representado por una flecha partiendo del origen.

7

En ambos espacio la suma usual u w corresponde gráficamente a la resultante obtenida por la ley del

paralelogramo.

Subespacios Vectoriales.

Si )(V es un espacio vectorial. Un subconjunto S de V es un sub - espacio vectorial de )(V si y sólo si

)(S es un espacio vectorial con las mismas operaciones de V restringida a S .

Observación. Si )(V es un espacio vectorial, la suma de vectores es asociativa para todos los vectores en V y por

lo tanto, en particular, se cumple la asociatividad en cualquier subconjunto de V . Diremos que la

propiedad asociativa se hereda. De la misma manera se heredan la propiedad conmutativa y las

propiedades , , ,vii viii ix x de la multiplicación por un escalar.

Luego para demostrar que S es un sub – espacio vectorial de )(V , no es necesario demostrar aquellas

propiedades que se heredan de )(V a S .

Teorema. En un espacio vectorial )(V :

i. S V

ii. S es sub - espacio vectorial de

. ,

.)(

.

. ,

a u v S u v S

b u S u S

c 0 S

S u S

V

d u

Nota: Si en el teorema, hacemos 1 en .d se obtiene .b

Además . .a d es equivalente con , ,u v S u v S

Luego tenemos finalmente:

8 Teorema. En un espacio vectorial )(V :

a. S V , S es un sub – espacio vectorial de )(V .

b. S es sub - espacio vectorial de .

). , ,

( i 0 S

ii u v SV

u v S

Consecuencia: 0 y V son sub – espacios vectoriales de )(V , llamados sub – espacios triviales de )(V .

Ejercicios.

1. Sea 2V . Se definen 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y y ( , ) ( , )c x y cx y . ¿Es V , con estas operaciones, un

espacio vectorial?

2. Consideremos el conjunto 2 formado por todas las parejas ( , )x y de números reales. Se define en 2 la

operación interna 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y y una de las operaciones externas siguientes:

a. , ,0x y x

b. , ,x y x y

c. , 1, 1x y x y

d. , ,x y y y para .

Indicar, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no una estructura de espacio vectorial en 2 .

3. Analizar si los conjuntos son sub-espacios vectoriales del espacio dado.

a. 3, : ( , ,2 )S x y x y x y x

b. 2, : 1S a b a b

c. 2 2; , , ( )0

x

a bS a b c K M K

c

d. 3 30 ; , , , , , ( )

0 0

x

a b c

S d e a b c d e f K M K

f

e. 2 2, : 0S x y y x

f. 2 2 2 2, , : 1S x y z x y z

g. 2, :S x y y x

h. 4, , , : 0 0S x y z t x y z t

9

i. 3 3

0

0 ; , , ( )

0

x

b c

S b e b c e K M K

c e

Combinaciones lineales.

Sea )(V un espacio vectorial y sea 1 2 rv ,v ,...,v V . Si v V , se dice que el vector v es una combinación

lineal de los vectores 1 2 rv ,v ,...,v si y sólo si i , i 1,...,r tales que:

1 2 rv v v ... v

Notación: “CL” por combinación lineal. Observación: Notemos que de la definición se concluye que:

a. Cualesquiera que sean 1 2 rv ,v ,...,v , se tiene que 0 es combinación lineal de 1 2 rv ,v ,...,v ya que:

1 2 r0 0 v 0 v ... 0 v

Conocida como combinación lineal trivial.

b. Además cada iv es combinación lineal de 1 2 rv ,v ,...,v ya que

i 1 i 1 i i 1 rv 0 v ... 0 v 1 v 0 v 0 v

Ejemplos.

1. El vector v 1,2,3 ¿Es CL de los vectores 1v 0, 4, 3 y

2v 5,0,0 ?

Debemos averiguar si existen escalares reales , tales que 1 2v v v

Veamos: 1,2,3 0, 4, 3 5,0,0

1,2,3 5 , 4 , 3

De donde

5 1

4 2

3 3

, y este sistema es incompatible. Luego no existen los escalares , y por lo

tanto no es CL de 1v y 2v .

2. Para que valor de m el vector 2,m es CL de los vectores 1,2 , 2,3 , 4, 2

2,m x 1,2 y 2,3 z 4, 2

2,m x 2y 4z,2x 3y 2z

De donde

10

x 2y 4z 2

2x 3y 2z m

Debemos decidir para que valores de m este sistema tiene solución. Para esto escalonamos la matriz

ampliada del sistema:

21

1 2 4 2 1 2 4 2F ( 2 )

2 3 2 m 0 1 10 m 2

matriz escalonada.

Luego el rango de la matriz del sistema es 2 y es igual al rango de la matriz ampliada. Entonces el sistema tiene solución para cualquier valor de m

De este modo 2,m es CL de los vectores 1,2 , 2,3 , 4, 2 para todo real m .

Observación: De acuerdo al ejemplo 2, las tres primeras columnas de la matriz ampliada son los vectores

1,2 , 2,3 , 4, 2 y la última columna es el vector 2,m , en general se tiene que:

Teorema: En el espacio vectorial n de las n uplas , si nv y 1 2

n

rv ,v ,...,v , se tiene que v

es CL de los vectores 1 2 rv ,v ,...,v si y sólo si el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores

1 2 rv ,v ,...,v es igual al rango de la matriz cuyas columnas son los vectores 1 2 rv ,v ,...,v ,v

Teorema. Sea )(V un espacio vectorial. Si 1 2 rv ,v ,...,v V , entonces el conjunto

es combinación lineal de 1 2 rS v / v v ,v ,...,v

es un sub - espacio vectorial de )(V .

Definición. Si 1 2 rv ,v ,...,v es un conjunto de vectores en el espacio vectorial )(V , entonces el sub –

espacio S de todas las combinaciones lineales de 1 2 rv ,v ,...,v se llama el espacio generado por

1 2 rv ,v ,...,v y 1 2 rv ,v ,...,v es un conjunto de generadores de S .

Notación: Si 1 2 r 1 2 rS v ,v ,...,v v ,v ,...,v es un conjunto de generadores de S . Luego

Def

1 2 r 1 1 r r 1 rv ,v ,...,v v ... v / ,...,

O bien 1 2 rv v ,v ,...,v si y sólo si es posible encontrar 1 r,..., tales que 1 1 r rv v ... v .

11 Propiedades.

1. Si 1 2 rv ,v ,...,v es un conjunto de vectores en )(V , entonces:

a. i 1 2 rv v ,v ,...,v , i 1,2,...,r

b. 1 2 i 1 2 rv ,v ,...,v v ,v ,...,v , i 1,2,...r

2. Si 1 2 ru v ,v ,...,v entonces

1 2 r 1 2 rv ,v ,...,v ,u v ,v ,...,v .

3. Si 1 1 2 rW v ,v ,...,v ,

2 1 2 tW w ,w ,...,w sub – espacios de )(V , entonces

1 2 1 2 r 1 2 tW W v ,v ,...,v ,w ,w ,...,w

Nota: a. De las propiedad 2, se puede deducir que, dado un conjunto de generadores de un espacio, si uno de los

vectores es CL de los otros, entonces podemos “achicar” nuestro conjunto de generadores quitando dicho vector.

b. De la propiedad 3, nos dice que un conjunto de generadores de una suma de sub – espacios se puede obtener como la unión de conjuntos generadores de cada sub – espacio de la suma.

Ejemplos.

1. Muestre que 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 es un conjunto de generadores de 3 .

Solución.

Si 3a,b,c , entonces podemos hacer la siguiente descomposición:

a,b,c a,0,0 0,b,0 0,0,c

a,b,c a 1,0,0 b 0,1,0 c 0,0,1

Luego tenemos

3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

Nota:

a) Para estos generadores de 3 usaremos la siguiente notación:

1 2 3e 1,0,0 ;e 0,1,0 ;e 0,0,1

En física se denota i 1,0,0 , j 0,1,0 ,k 0,0,1

b) Generalizando n se tiene:

luego

1 n

n

1 1 2 2 n n

n

1 2 n

1 na ,...,a a ,., a. e a e ... a e

e ,e ,...,e

.,a

12

2. El conjunto 1 0 0 1 0 0 0 0

, , ,0 0 0 0 1 0 0 1

es un conjunto de generadores de 2M ya que:

a b 1 0 0 1 0 0 0 0a b c d

c d 0 0 0 0 1 0 0 1

Análogamente podemos encontrar un punto de generadores para xm nM

3. Compruebe que A 1,2,1 , 1,0,2 , 0,1,1 1,0,0 es un conjunto de generadores de 3 .

Solución.

Debemos mostrar que todo vector de 3 es una combinación lineal de los vectores de A .

Sea 3u a,b,c

Debemos mostrar que u es CL de los vectores de A . Por teorema nos basta calcular los rangos de las matrices

y

1 1 0 1 1 1 0 1 a

M 2 0 1 0 M u 2 0 1 0 b

1 2 1 0 1 2 1 0 c

21

31

23 32

1 1 0 1 a F 2 1 1 0 1 a

M u 2 0 1 0 b 0 2 1 2 b 2a

1 2 1 0 c F 1 0 3 1 1 c a

F 1 1 1 0 1 a F 3 1 1 0 1 a

0 1 0 1 b a c 0 1 0 1 b a c

0 3 1 1 c a 0 0 1 4 3b 4a 2c

Luego el rango de las matrices M y M u

son iguales a 3. En consecuencia a,b,c es combinación

lineal de los vectores de A . Por tanto A es un conjunto de generadores de 3 .

4. Halle un conjunto de generadores del sub – espacio de 3 : W x, y,z / x y z

Solución.

Para hallar un conjunto de generadores S del sub – espacio W , debemos encontrar la forma de los

vectores en W .

13

u ( x, y,z ) W x y z

u ( x, y,x y )

Luego: 3W ( x, y,x y ) / x, y

Vemos que x y y son dos variables libres, mientras que z depende de ellas.

Dando los valores de x 1 , y 0 y el valor correspondiente (por la fórmula) a laercera, obteniendo un

generador de W , 1u 1,0,1 .

Dando ahora los valores de x 0 , y 1 , obtenemos un segundo generador de W , 2u 0,1,1 .

El proceso anterior se puede ilustrar con la siguiente tabla:

x y x y

1u 1 0 1

1u 0 1 1

En efecto 2 2u ,u es un conjunto de generadores de W , ya que:

es CL de 1 2

w W w x, y,x y x,0,x 0, y, y

w x 1,0,1 y 0,1,1

w u ,u

Note que el número de generadores coincide con el número de variables libres.

Ejercicios

1. Sea V un espacio vectorial en 3 y sean 1 2 3

1 1 0

1 0 1

0 1 1

v v v

. Generan 1 2,v v y 3v aV .

2. Determinar para que valor de k el polinomio 21 kx x es combinación lineal de 21 2x x y 2x x .

3. Expresar 3v 1, 2,5 como combinación lineal de los vectores 1u 1, 3,2 , 2u 2, 4, 1 y

3u 1, 5,7 .

4. Expresar el polinomio sobre , 2p( x ) x 4x 3 como combinación lineal de los polinomios 2

1p ( x ) x 2x 5 , 2

2p ( x ) 2x 3x y 3p ( x ) x 3

5. Escribir la matriz 3 1

E1 1

como combinación lineal de las matrices

1 1A

1 0

, 0 0

B1 1

y

0 2C

0 1