MATEMÁTICAS - kalihasan.com de los paralelogramos 33 Tema 3. Posiciones relativas entre una recta y una ... Tabla de razones trigonométricas 249 Bibliografía recomendada 251

ISBN-978-968-24-8332-5

www.trillas.com.mx

3MATEMÁTICAS

Fortino EscareñoOlga Leticia López

MATEMÁTICAS 3Fortino Escareño • Olga Leticia López

Matemáticas 3 ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas, que consiste en proponer actividades de estudio que despierten el interés de los alumno, y que los

inviten a reflexionar y a encontrar distintas formas de solucionar los problemas con argumentos que respalden sus resultados.

La obra consta de 5 bloques conformados por lecciones que inician con el planteamiento de una situación problemática, para introducir los conocimientos y desarrollar habilidades, tal

como lo propone el programa de estudios.Cada situación problemática intenta provocar en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva a buscar la colaboración de su compañeros. Después de la situación problemática, se propone una sección de exploración y discusión en la que, mediante preguntas, se orienta la búsqueda de procedimientos de solución. El tipo de preguntas invita a los estudiantes a

trabajar en parejas, y en otras, de manera grupal.Cuando se requiere el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. A partir de allí, se usa la terminología formal.

Las actividades de exploración y discusión concluyen con un resumen de los conceptos y procedimientos estudiados. Con las actividades que cierran la lección, los alumnos aplicarán

en otros contextos lo aprendido y lo vincularán con situaciones de la vida cotidiana y de otras disciplinas.

Al final de la obra, en el apéndice, aparece primero una sección que guiará a los estudiantes en la exploración de un programa computacional de geometría dinámica. Finalmente, se incluye

una tabla de razones trigonométricas.

Fortino EscareñoOlga Leticia López

La presentación y disposición deMATEMÁTICAS 3son propiedad del editor. Ninguna parte de la obrapuede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistemao método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado,la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamientode información), sin consentimiento por escrito del editor.

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www.trillas.com.mx_____________________

Primera edición, agosto 2008ISBN 978-968-24-8332-5______________________

�

El libro que ahora presentamos a la consideración de docentes y alumnos, ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas.

En cuanto a la metodología didáctica que se utiliza en el texto, es la que, de hecho, conforma el planteamiento central de este enfoque, y consiste en proponer en el aula actividades de estudio que “despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas y a formular los argumentos que validen sus resultados”.

Con este fin, la estructura del libro está diseñada de modo que maestros y maestras inicien las sesiones de clase con el planteamiento de situaciones problemáticas, para introducir y desarrollar los conocimientos y habilidades propuestos para este nivel. Se ha procurado, en lo posible, que la situación problemática inicial provoque en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva a buscar la colaboración de sus compañeros.

Después de la situación problemática se propone una sección de exploración y discusión, en la cual se orienta la búsqueda de procedimientos formales de solución mediante algunas preguntas. La manera en que se plantean estas preguntas invita a los alumnos y las alumnas a interactuar organizados en parejas; ocasionalmente, la interacción será en sesión plenaria, en la que se discutirán las aportaciones que el maestro juzgue de interés para el grupo. De hecho, algunas actividades en que se hacen necesarios el trabajo grupal y la construcción colectiva del conocimiento, en el texto están señaladas con el icono .

Cuando los conocimientos y habilidades que se están estudiando requieren el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. Esto permitirá

Prólogo

�

continuar con la exploración y discusión utilizando la terminología y el simbolismo formales introducidos en la nota matemática.

Como colofón de las actividades de exploración y discusión, al margen se incluye una nota denominada No olvides que…, en la cual se resumen los conceptos y procedimientos que se estudian en la lección.

Cada lección cierra con la sección Actividades adicionales, cuyo propósito es que los alumnos apliquen lo aprendido en otros contextos y lo vinculen con situaciones de la vida cotidiana, de otras disciplinas o de la propia Matemática. Por otra parte, en cada lección se han seleccionado (y señalado con el símbolo ✓ ) algunas actividades adicionales, con la intención de que el docente conforme con ellas instrumentos de evaluación.

Para que los alumnos, padres y maestros se enteren de los conocimientos matemáticos que deberán saber los alumnos y en qué medida, cada bloque inicia con la presentación de los aprendizajes esperados. Asimismo, en cada bloque se destina un espacio para proponer el desarrollo de proyectos educativos, con cuya realización los alumnos podrán relacionar los conocimientos matemáticos con los de otras asignaturas.

Por otra parte, al inicio del estudio de la mayoría de los temas se sugiere la consulta de lecturas específicas relacionadas con el tema en cuestión. La lectura de estos materiales ayudará a los alumnos y alumnas a profundizar y ampliar su aprendizaje.

Con objeto de familiarizar a los y las estudiantes en el uso de la tecnología computacional para aprender Matemáticas, en el texto se incluyen algunas actividades que pueden realizarse con calculadora, en caso de contar con ella. Estas actividades están señaladas con el símbolo C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

.

Al final de la obra se encuentra el Apéndice Construcciones geo- métricas con la ayuda de la computadora, cuya consulta permitirá que los alumnos y las alumnas cuenten con un recurso más para la resolución de problemas matemáticos.

Los maestros y las maestras que utilicen esta obra encontrarán en ella un intento por satisfacer sus inquietudes relacionadas con el cumplimiento de la aplicación del enfoque, el logro de los aprendizajes esperados y el desarrollo de las competencias. Sus sugerencias serán bien recibidas y tomadas en cuenta en futuras ediciones, porque creemos que sólo alcanzaremos mejores resultados si todos los que intervenimos en el proceso educativo trabajamos de manera conjunta.

Los autores

Índice de contenido

Prólogo 5

Bloque 1 9

Tema 1. Productos notables y factorización 11Tema 2. Propiedades de los paralelogramos 33Tema 3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, y entre circunferencias 46Tema 4. Ángulos inscritos en la circunferencia 51Tema 5. Medición de figuras circulares 55Tema 6. Razón de cambio 61Tema 7. Diseño de un estudio o experimento estadístico 73

Bloque 2 79

Tema 8. Ecuaciones no lineales 81Tema 9. Ecuaciones no cuadráticas 84Tema 10. Figuras semejantes 87Tema 11. Triángulos semejantes 94Tema 12. Interpretación y construcción de índices 100Tema 13. Simulación 105

Bloque 3 109

Tema 14. Relaciones funcionales 111Tema 15. La fórmula cuadrática 114Tema 16. Teorema de Tales 124Tema 17. Homotecia 131

�

Tema 18. Gráficas de funciones lineales y no lineales 135Tema 19. Relación entre la fórmula de una función y su representación gráfica 141Tema 20. Interpretación de gráficas formadas por secciones rectas y curvas 158

Bloque 4 163

Tema 21. El método de diferencias en la resolución de problemas de sucesiones 165Tema 22. El teorema de Pitágoras 176Tema 23. Razones trigonométricas 181Tema 24. Funciones de crecimiento exponencial 196Tema 25. Análisis estadístico de fenómenos 203

Bloque 5 205

Tema 26. Resolución de problemas con ecuaciones 207Tema 27. Sólidos con superficies curvas 213Tema 28. Fórmulas del volumen de cilindros y conos 222Tema 29. Cálculo del volumen de cilindros y conos 225Tema 30. Gráfica de caja-brazos 230

Apéndice 241

1. Construcciones geométricas con la ayuda de la computadora 2412. Tabla de razones trigonométricas 249

Bibliografía recomendada 251

�

Aprendizajes esperados

BLOQUE 1

1.Transform

enexpresionesalgebraicas

enotrasequivalentesalefectuar

cálculos.

2.Apliquenloscriteriosdecongruencia

detriángulosenlajustificaciónde

propiedadesdefigurasgeométricas.

3.Resuelvanproblemasqueimplican

relacionarángulosinscritosycentrales

deunacircunferencia.

4.Resuelvanproblemasqueimplican

determinarunarazóndecambio,

expresarlaalgebraicamentey

representarlagráficamente.

Que los alumnos:

�

El diccionario de la Real Academia Española dice que un algebrista es la persona que estudia, profesa o sabe álgebra, y que también es algebrista el cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos. Aunque actualmente resulta extraño designar con ese nombre a un traumatólogo, no lo era en los tiempos de Miguel de Cervantes, hace más de 400 años. En ese entonces era común que los barberos se anunciaran con el letrero de “algebrista y sangrador”, porque administraban diversos tratamientos curativos: sangrías, sacar muelas y restaurar huesos rotos. Un testimonio de este hecho lo encontramos en un pasaje de El Quijote de Cervantes: “Llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó el Sansón desgraciado.” La palabra Álgebra es de origen árabe y proviene de unlibro escrito alrededor del año 830 por el astrónomo Mohamed Ibn Musa Al-Juarizmi, quien vivía en Bagdad. El título de esa obra es Al-jabr w´al muqábala.

BLOQUE

1

Forma un equipo de tres compañeros e inventen algunos acertijos numéricos que no sean fáciles de resolver con la aritmética, pero sí con el Álgebra.

P Proyecto

¿Qué hace un algebrista?

La palabra jabr significa “restauración”, en el sentido de restaurar el equilibrio de una ecuación. Por ejemplo, si al primer miembro de la ecuación

3x + 5x – 4 = 36, se suma 4 y se obtiene 3x + 5x = 36;

para “restaurar el equilibrio” de la ecuación, se suma también 4 al segundo miembro:

3x + 5x = 36 + 4.

Muqábala significa “simplificación”; en el mismo ejemplo,

3x + 5x = 8x, con lo que obtiene 8x = 40.

Hoy los algebristas se encuentran en las universidades, donde enseñan o investigan en una de las áreas más bellas de las Matemáticas: el Álgebra. Ya han abandonado el arte de curar.

�0

Bloque 1

1.1. Cuadrado de un binomio

Te sugerimos leer:

“En ayuda de la aritmética”, en Perelman, Y., Álgebra recreativa, pp. 69-72.

��

1Productos notables y factorización

En una exposición de Matemáticas presentaron un curioso aparato cuadrado, como el que se muestra enseguida.

¿Cuánto es 97 3 103? ¿Por qué el resultado de esta operación es el mismo que el de (100 3 100) 2 9, o bien, 1002 2 32? Planteado de otra manera: ¿por qué estas expresiones son equivalentes? En las siguien-tes lecciones aprenderás a identificar y desarrollar productos que tienen características especiales, y que son llamados productos notables.

1

1

9

76

6

4

47

3

39

O

OO

AB

AB

A

B

C

D

C

D

C

D

Al deslizar el punto O a lo largo de la diagonal, los segmentos per-pendiculares AB y CD dividen sucesivamente al cuadrado en cuatro regiones. Dos de esas regiones son siempre cuadrados (marcados en color verde en la figura); las otras dos regiones son rectángulos (de color amarillo).

La medida del lado del primer cuadrado es (9 1 1), por lo que su área se calcula elevando al cuadrado esa medida: (9 1 1)2. ¿Es equiva-lente el valor de (9 1 1)2 a la suma de las áreas de las cuatro regiones? ¿Sucede lo mismo con los otros cuadrados?

Exploración y discusión

a) La figura de la derecha muestra uno de los cuadrados dividido en cuatro regiones. ¿Cuál es el área de cada región? ¿Cuánto suman las áreas de las cuatro regiones?

3

37

7

Tema 1

��

b) El área de todo el cuadrado es 102 5 100, aunque también puede indicarse con cualquiera de las siguientes expresiones:

(7 1 3)2 72 1 7 3 3 1 7 3 3 1 32

¿Son equivalentes estas dos expresiones? ¿Qué representa cada una? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

c) La medida del lado de otro de los cuadrados se expresa como (6 1 4). Calculen y comparen el valor de (6 1 4)2 con la suma de las áreas de las cuatro regiones en que está dividido ese cuadrado. ¿Esos valores son iguales o diferentes?

d) La medida del lado del siguiente cuadrado es (x 1 a), y su área se calcula elevando al cuadrado esa medida, es decir, multiplicando (x 1 a)(x 1 a).

1. Calcula mentalmente 5002 y aplica el cuadrado del binomio para calcular:

a) 5012 b) 5022 c) 5032 d) 5082 e) 5092

Comparen este producto con la suma de las áreas de las cuatro regio-nes en que se halla dividido el cuadrado. ¿Son iguales o diferentes?

Supongamos que el lado del cuadrado mide (x 1 7). Para hallar su área, multiplicamos lado por lado: (x 1 7)(x 1 7) y obtenemos x2 1 14x 1 49.

a

ax

x

x + 7

x + 7

x2 + 7x

x2 + 14x + 49 (x)2 + 2(7x) + (7)2

7x + 49

Actividades adicionales

4

46

6

Bloque 1

��

x2

x

x

x2

x+3

x+ 3

x2

x

x x

1

11

Terreno pequeño Terreno grande

Dimensiones y áreas de las partes de los terrenos

2. Piensa en un procedimiento similar que utilice el valor de 5002 para hallar el valor de las siguientes expresiones:

3. Carmela tiene dos terrenos de forma cuadrada. Uno mide 3 m más por lado que el otro. El área del terreno pequeño es x2.

a) 4902

b) 4912

c) 4922

d) 4972

e) 4992

a) ¿Cuánto mide por lado el terreno pequeño? ¿Y el grande?

b) ¿Cuál es el área del terreno grande? ¿Qué tanto más grande es éste que el pequeño?

c) Si el terreno grande, en vez de medir (x + 3) por lado, midiera (x + a), ¿qué tanto más grande sería respecto del pequeño?

4. Si haces una plantilla como la de la figura de la iz-quierda y recortas las esquinas por las líneas puntea-das, puede armarse una caja como la que se muestra a la derecha.

x

x

2 cm

2 cm

x – 4

x – 4

2

a) ¿Qué área tiene la base de la caja?b) ✓ ¿Qué volumen tiene esa caja?

En general, a un trinomio que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio se le llama trinomio cuadrado perfecto.

el cuadrado de un binomio

el cuadrado del primer término

el doble del primer término por el

segundo

el cuadrado del segundo

término

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2

• Ejemplo 1:

(3x + 5)2 = (3x)2 + 2(3x)(5) + 52

= 9x2 + 30x + 25

• Ejemplo 2:

(5x - 3y)2 = (5x)2 + 2(5x)(–3y) + (–3y)2= 25x2 – 30xy + 9y2

Tema 1

��

c) Si x = 30 cm, ¿qué área tiene la base de la caja?d) Si x = 30 cm, ¿qué volumen tiene la caja?e) ¿Cuál es la capacidad de la caja?

5. En la tabla siguiente se muestra un patrón para multiplicar dos binomios iguales. Complétala.

Binomio Operación Desarrollo Resultado

x + 3 (x + 3)(x + 3) x2 + 2(x)(3) + (3)2 x2 + 6x + 9

x – 4 (x – 4)(x – 4) x2 – 2(x)(4) + (4)2

m + 5 (m + 5) (m + 5)

m – 6

x + y

m – n

1.2. Producto de dos binomios

conjugados

Fondo20 m

20 m Frente

6. Aplica la regla para obtener el cuadrado de los siguientes binomios.

a) (m + 5)2

b) (2a + 1)2

c) (5m + 2)2

d) (y – 10)2

e) (2a – 3b)2

f) ✓ (0.5x – 3.2)2

g) (2.3z + 5.1y)2

h) (5.6m + 7.4n)2

i) 2

3

1

2

2

x +

j) 4

52

2

m n−

Carlos va a comprar un terreno. La inmobiliaria sólo dispone de terrenos cuadrados de 20 m por lado, pero él quiere uno rectangular. Carlos sugiere que le aumenten 3 m al frente del terreno y le quiten 3 m al fondo, pues considera que así se compensan las cantidades; es decir, que el área de este terreno será igual a la del terreno original. ¿Es correcto el razonamiento de Carlos?

Bloque 1

��

a) Si se aumentan 3 m al frente y se quitan 3 m al fondo, ¿cuáles serían las dimensiones del terreno resultante? ¿Cuál es el área del terreno original y cuál la del terreno modificado? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera.

b) ¿Cuántos metros cuadrados ganaría o perdería con esta modifica-ción? Para justificar sus afirmaciones, hagan un esquema del terreno cuadrado y otro del rectangular.

c) Si el terreno que le ofrecieron a Carlos midiera 30 m por lado y él insistiera en que le agregaran 3 m a un lado y se los quitaran al otro, ¿cuántos metros cuadrados ganaría o perdería? Justifiquen sus respuestas mediante un esquema del terreno cuadrado y otro del rectangular.

d) Si representamos con la letra x la medida del lado del terreno cua-drado, el frente del rectangular será (x 1 3) y el fondo será (x 2 3). ¿Qué operación realizarías para obtener el área del terreno?

e) ¿Cuál es el área del terreno original? ¿Cuál es el área del rectangu-lar? ¿Son iguales las dos áreas? ¿Cuál es la diferencia? ¿Es correcto el razonamiento de Carlos? Comenten las conclusiones del equipo con los compañeros del grupo.

Supongamos que las dimensiones del terreno rectangular que quiere Carlos son (x 1 7) y (x 2 7). Hallamos su área multiplicando largo por ancho. Observa:


x+3

x– 3

x + 7

x – 7

x2 + 7x

x2 – 49

– 7x – 49

Los binomios (x + 7) y (x – 7)se llaman binomiosconjugados.La única diferencia entre losdos es un signo.

f ) ¿Qué es mayor: x2 o (x 1 7)(x 2 7)? ¿Carlos ganaría o perdería si al terreno cuadrado le aumentaran 7 m de un lado y le disminuyeran 7 m del otro? ¿Qué tanto ganaría o perdería?

Tema 1

��

1. Una forma sencilla de multiplicar pares de factores, como 103 3 97, consiste en transformarlos en un producto de dos binomios conju-gados. Observa:

103 3 97 5 (100 1 3)(100 2 3) 5 1002 2 32 5 10 000 2 9 5 9991

Usa este procedimiento para hallar los siguientes productos:

a) 72 3 68

b) 81 3 79

c) 105 3 95

d) 210 3 190

e) 5100 3 4900

a) (x 1 4)(x 2 4)

b) (y 2 3)(y 1 3)

c) (x 1 y)(x 2 y)

d) (x 1 1.5)(x 2 1.5)

e) (3m 1 4)(3m 2 4)

f ) (2a 1 3b)(2a 2 3b)

g) ✓ (2ab 1 c)(2ab 2 c)

h) (3m2 1 2n)(3m2 2 2n)

i) 1

3

2

5

1

3

2

5a b ba− +

j) 32

33

2

3x z x z− +


2. Aplica la regla del producto de dos binomios conjugados para reali-zar los siguientes cálculos:

3. Completa las siguientes expresiones:

a) ( 1 10)( 2 10) = x2 2 100

b) (4x 1 )(4x 2 ) = 16x2 2 25

c) ( 2 )( 1 ) = a2 2 4b2

d) (5b 1 )( 2 ) = 25b2 2 c2

e) ( 1 1)2 = x2 + 1 1

f) (3x 1 )2 = 9x2 1 30x 1

g) ( 1 )2 = a2 1 2ab 1

h) (5b 1 )2 = + 1 c2

En general, el producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados. Simbólicamente se representa así:

Binomiosconjugados

(x 1 a)(x 2 a) = x2 2 a2

Diferenciade

cuadrados

• Ejemplo:

(2x 1 5)(2x 2 5)5

5 (2x)2 2 52 5

5 4x2 2 25

Bloque 1

��

Ramón corta láminas cuadradas que miden x centímetros por lado. Le pidieron que cortara láminas rectangulares que midieran 3 cm más de un lado y 2 cm más del otro lado, respecto al lado x del cuadrado. ¿Cómo calcularías el área de la nueva lámina? ¿Cuál es su área?

1.3. Producto de dos binomios

con un término común

a) ¿Cuánto aumentó el área de la lámina rectangular con respecto de la cuadrada?

b) De acuerdo con la ilustración anterior, el área de la lámina es x2 1 5x 1 6. ¿De qué color está pintada la región cuya área es x2? ¿Y la región 5x? ¿Y la región cuya área es 6?

c) ¿Qué operación te permite obtener x2 1 5x 1 6 a partir de las dimensiones de la lámina rectangular? ¿Cuáles son las dimensiones de esa lámina?

d) Si los lados de la lámina midieran (x 1 a) y (x 1 b), se obtendría un rectángulo formado por cuatro regiones. ¿Cuál es el área de cada una? ¿Cuál es el área de todo el rectángulo?

x2 x2

x 2

x

x

x

3


x a

x

b

e) La expresión x2 1 9x 1 20, que representa el área de la lámina cuyas dimensiones son (x 1 5) y (x 1 4), está formada por tres términos. ¿También puede expresarse con tres términos el área de la lámina de dimensiones (x 1 a) y (x 1 b)? ¿Cuáles son tales términos?

Tema 1

��

Observa que los binomios (x 1 5)(x 1 4) que multiplicamos tienen un término común (x) y términos no comunes (5 y 4), y que el pro-ducto es un trinomio formado por:

• El cuadrado del término común: x2

• La suma de los términos no comunes por el común: (5 1 4)x 5 9x• El producto de los términos no comunes: 5 3 4 5 20

f ) ¿Se cumple este hecho en el producto de (x 1 a)(x 1 b)? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y luego presenten al grupo las conclusiones del equipo.

1. Aplica la regla del producto de dos binomios con un término común, para hallar los siguientes productos aritméticos. Analiza el ejemplo resuelto:

73 3 82 5 (80 2 7)(80 1 2) 5 6400 1 (27 + 2)(80) 1 (27)(2) 5 6400 1 (25)(80) 1 (214) 5 6400 2 400 2 14 = 5986

a) 42 3 43

b) 51 3 54

c) 38 3 41

d) 79 3 84

2. Supón que Ramón amplió 5 cm un lado de la lámina y redujo 2 cm el otro. ¿Cuál sería el área de la nueva lámina?

3. Utiliza el siguiente diagrama para mostrar que: (x 1 2y)(x 1 y) 2 (x 2 y)2 5 5xy 1 y2.


xy yy

x

x – y

x – y

Recuerda que el área de una superficie rectangular se halla multiplicando la medida de la base por la medida de la altura.

Bloque 1

��

5. Aplica la regla anterior para obtener los siguientes productos de dos binomios con término común:

4. Evalúa las expresiones (x 1 5)(x 2 2) y x2 1 3x 2 10, para los valores de la literal que se dan en la siguiente tabla. ¿Son equivalentes las dos expresiones?

a) (x 1 5)(x 1 3)

b) (x 1 7)(x 1 13)

c) (y 1 1)(y 1 9)

d) (y 2 3)(y 1 2)

e) (2x 1 6)(2x 2 4)

f ) ✓ (3a 2 5) (3a 2 6)

g) ✓ b b+ +1

4

3

4

h) c c+ +1

3

2

3

i) (x 2 0.3)(x 1 0.7)

Valoresde

laliteral

Valoresdelasexpresionesalgebraicas

x (x 1 5)(x 2 2) x2 1 3x 2 10

10

15

20

6. Realiza los siguientes cálculos aplicando los productos notables que has aprendido hasta aquí.

a) 3x2 1 (2x 1 1)2

b) (2x 1 3)2 2 (x 1 1)2

c) 5x2 2 (2x 2 3)(2x 1 3)

d) (3x 1 5)(3x 2 5) 2 (3x 1 1)2

e) (5x 2 7)2 2 (5x 1 7)(5x 2 7)

En general, el producto de dos binomios con un término común se obtiene de la siguiente manera:

Producto de dos binomios con un término común

El cuadrado del término común

El producto del término común por la suma de los términos no comunes

El producto de los términos no comunes

(x 1 a)(x 1 b)

(x)2 1 ax1 bx 1 ab

(x)2 1 (a1b)x 1 ab

• Ejemplo 1:

(2x 1 3)(2x 1 5) 55(2x)21(315)2x1(335)55 4x2 1 16x 1 15

• Ejemplo 2:

(x 2 2)(x 1 5) 55(x)21(2215)x1(22)(5)55 x2 1 3x 2 10

Tema 1

�0

a) ¿Cómo se expresa algebraicamente el área de un rectángulo azul? ¿Y el de uno rojo?

b) ¿Cuál es el área total de los 18 rectángulos?c) Si con las 18 piezas formas un rectángulo de a unidades de altura,

¿cuánto medirá su base? (Recorta en cartoncillo los 18 rectángulos o usa papel cuadriculado para construirlo.)

d) Si con las 18 piezas formas un rectángulo que mide (b + 2c) unida-des de base, ¿cuánto medirá su altura?

e) ¿Puede medir 3a la altura de uno de los rectángulos construidos con las 18 piezas? ¿Qué otra medida puede tener la altura?

f ) Haz una lista de las posibles medidas que pueden tener los rectán-gulos y compárala con la que obtuvo un compañero o compañera.

g) Supón que las áreas de las regiones rectangulares azul y roja fueran 24ab y 80ac, respectivamente. Si a, b y c son enteros positivos dife-rentes, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener la altura? ¿Cuán-to mediría su base?

a

2a

Piezas Rectángulo

3b+ 6c

a

b

c


24ab 80ac

Lucía ha formado un rectángulo con las piezas que se muestran a la izquierda que mide 2a de altura y (3b 1 6c) de base. ¿Qué otros rectán-gulos puede formar juntando las 18 piezas, de modo que los rectángulos rojos vayan a la derecha de los azules? ¿Cuáles son las dimensiones y el área de cada uno?

1.4. Factor común de un

polinomio

Bloque 1

��

1. ✓ En la escuela de Andrés están haciendo carteles de forma cuadra-da con un círculo inscrito.

Seguramente habrás observado que en la resolución de los dos pro-blemas anteriores se utiliza la noción de divisorcomún. Es posible que en el segundo hayas probado los valores a, 2a, 4a y 8a como medidas de las alturas de los rectángulos. Los valores a, 2a, 4a y 8a son divisores comunes de 24ab y 80ac, y el máximo común divisor (MCD) de ellos es 8a.

h) ¿Cuál es el máximo común divisor de 6ab y 12ac en el primer pro-blema?

i) La suma (24ab 1 80ac) es equivalente al producto 8a(3b 1 10c). ¿A qué otros productos es equivalente (24ab 1 80ac)?


r

2r

x

x

x

x

a) Si sólo se colorean las partes del cuadrado que no cubre el círculo, ¿cuál es el área coloreada? ¿De qué manera se puede escribir esta área como un producto?

b) Si el radio del círculo midiera 1.2 m, ¿cuál sería el área colo-reada?

c) Supón que la medida del lado del cuadrado es l. ¿Cuál es el área de este cuadrado? ¿Y la del círculo inscrito en él? ¿Cuál es la diferencia de las áreas? ¿Cómo se expresa esta diferen-cia como un producto?

2. ¿Cuál de las dos superficies de color tiene mayor área? (Ayuda: el

radio de cada círculo de la figura de la derecha mide x12

.)

El concepto de máximo común divisor se puede extender a monomios, para decir, por ejemplo, que el máximo común divisor de 10mn y 20m es 10m.

Otro ejemplo: hallar el MCD de 20x3y2 y 45x2y4z.

El MCD de monomios se halla de la siguiente manera:

• Se halla el MCD de los coeficientes; en este caso, el MCD de 20 y 45 es 5.

• De las variables comunes que aparecen en los monomios, se eligen las que están elevadas al menor exponente; en este caso, x2 y y2.

• El MCD de 20x3y2 y 45x2y4z es 5x2y2.

El MCD de un polinomio nos sirve para factorizar el polinomio como el producto de su MCD y otro polinomio. Así, la factorización de 20x3y2 – 45x2y4z es:

20x3y2 2 45x2y4z 5 5 5x2y2(4x 2 9y2z)

Tema 1

��

3. La familia de Luis tiene gallinas y conejos. Luis va a hacer dos corra-les rectangulares con un lado común. El corral de las gallinas tendrá un área de 75xy unidades de largo por 50xz unidades de ancho. Si x, y y z son enteros positivos, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener el lado común?

4. Si c representa el costo de una camisa, p el de un pantalón y f el de una falda, el costo de 8 camisas, 4 pantalones y 12 faldas lo repre-sentamos así: 8c 1 4p 1 12f. Escribe esta expresión en forma facto-rizada.

5. Factoriza los siguientes polinomios usando el máximo común divisor:

a) ✓ 3x 1 3y

b) 4m 2 2

c) 3b2 2 4b

d) 15xy2 2 3y2

e) 3ab 2 6ac

f) r2 2 r

g) 2x2 1 3x2y2

h) 8n 2 24

i) 8a2b2 2 ab2

j) 6mn2 2 3m2n

k) 3x2 2 6xy 1 9y

l) ✓ 2xy 1 6x2y 24xy

¿Cuánta cartulina se necesita para elaborar el siguiente modelo geométrico?

¿Qué tendrías que hacer para saber la cantidad de cartulina que se necesita? Coméntalo con un compañero o compañera.

1.5. Factorización de trinomios

de la forma x2 + bx + c

7 cm

7 cm

7 cm

1 cm 1 cm

1 cm

Bloque 1

��

a) Escriban debajo de cada figura o grupo de figuras la operación que deben efectuar para calcular su área.

b) ¿Qué cantidad de cartulina se necesita?c) Las piezas de cartulina se acomodan de modo que forman el siguien-

te rectángulo:

¿Cómo se calcula el área de este rectángulo? ¿Cuál es su área? Inten-ten formar con ellas un rectángulo con dimensiones diferentes. No deben faltar ni sobrar piezas. ¿Alguien pudo construirlo?

d) Utilicen el modelo geométrico que se muestra en la ilustración para construir tres rectángulos cuyas áreas sean x2 1 5x 1 6, x2 1 7x 1 10 y x2 1 4x 1 3, respectivamente. En cada caso, expresen el área como un producto.


7 cm

7 cm

7 cm

1 cm

1 cm

1 cm

7 + 1

7 + 3

x

x x

1

1

1x2

Observa que en cada caso se manifiesta la regularidad que se mues-tra en la siguiente tabla:

TrinomioCoeficientesdeltérminode

primergrado Constantes Factorización

x2 1 5x 1 6 5 5 3 1 2 6 5 3 3 2 (x 1 3)(x 1 2)

x2 1 7x 1 10 7 5 5 1 2 10 5 5 3 2 (x 1 5)(x 1 2)

x2 1 4x 1 3 4 5 3 1 1 3 5 3 3 1 (x 13)(x 1 1)

Tema 1

��

x2 4x

82x

x2 3x

3x

4xx2

3x 12

Es decir, para factorizar un trinomio como x2 1 5x 1 6, se buscan dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6:

3 1 2 5 5

x2 1 5x + 6 5 (x 1 3)(x 1 2)

3 3 2 5 6

f ) Factoriza el trinomio x2 1 9x 1 8 usando la regla anterior. Luego, construye el modelo geométrico correspondiente para verificar el re-sultado.

1. Completa la siguiente tabla de valores para verificar que x2 1 5x 1 6 5 (x 1 3)(x 1 2).

2. ✓ Escribe el área de cada una de las superficies rectangulares que se muestran enseguida. Escribe también los factores binomios que representan las dimensiones de esas figuras.


Valoresdex

x 4 8 10 100

x 1 3

x 1 2

(x 1 3)(x 1 2)

x2

5x

x2 1 5x 1 6

• Un trinomio de la forma x2 1 bx 1 c puede factorizarse si se encuentran dos números m y n, tales que m 1 n 5 b y mn 5 c.

x2 1 bx 1 c55x2 1 (m + n)x 1 mn 55 (x 1 m)(x 1 n)

• La factorización es única, aunque los factores pueden ordenarse así: (x + m)(x + n), o bien, así: (x 1 n)(x 1 m).

• Hay polinomios que no pueden factorizarse de este modo; por ejemplo: x2 + 3x + 1.

Bloque 1

��

3. Encuentra el área y las dimensiones de cada una de las superficies rectangulares del problema anterior, para x = 10.

4. Factoriza los siguientes trinomios:

a) x2 1 6x 1 8

b) x2 1 3x 1 2

c) x2 1 5x 1 4

d) m2 1 10m 1 21

e) x2 1 7x 2 8

f ) x2 2 2x 2 15

g) y2 2 4y 2 32

h) a2 2 3a 1 2

i) b2 2 7b 1 12

j) 3 2 4x 1 x2

Patricia formó una superficie cuadrada con el modelo geométrico de x2 1 6x 1 9, y con estos mismos elementos quiere armar una super-ficie rectangular, no cuadrada. ¿Será posible hacerlo?

1.6. Factorización de un trinomio

cuadrado perfecto

x2

x

x

111

x

x2

x+3

x+ 3


x2

x+3

x+ 3

a) ¿Cuánto mide por lado el cuadrado que armó Patricia?b) Otra figura rectangular que se puede formar es la si-

guiente (que también es un cuadrado): ¿Cuánto mide por lado este cuadrado?c) ¿Encontraste otro arreglo rectangular que no fuera cua-

drado?d) ¿Cuánto miden por lado los cuadrados que pudiste for-

mar?e) ¿Podrías construir otro cuadrado cuyos lados sean diferentes

de (x 1 3)?

Recuerda que a los polinomios de la forma: x2 + 2ax + a2 se llaman trinomios cuadrados perfectos.Un trinomio es cuadrado perfecto si cumple las siguientes condiciones:

Dos términos son cuadrados de monomios

x2 + 2ax + a2

El otro término es el doble producto de esos monomios

Tema 1

��

1. Evalúa el polinomio x2 1 6x 1 9, para x 5 5.

a) ¿El valor que encontraste es el cuadrado de un número entero? ¿De cuál? ¿Cuántas unidades mayor que 5 es este número ente-ro?

b) Si asignas a la letra x el valor 8, ¿el valor de x2 1 6x 1 9 es el cuadrado de un número entero? ¿De cuál? ¿Cuántas unidades mayor que 8 es este número entero?

c) Si asignas a la x cualquier valor entero, ¿el valor de x2 1 6x 1 9 es el cuadrado de otro número entero? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

2. ✓ De los polinomios x2 1 14x 1 49 y x2 1 10x 1 40, ¿cuál es un tri-nomio cuadrado perfecto? ¿Cómo pueden averiguarlo? Comenten su respuesta con otros equipos del grupo.

3. Calcula las áreas de las siguientes regiones cuadradas, para el va-lor de la literal que se indica en cada caso.

4. Los siguientes números son cuadrados perfectos. Expresa cada uno como trinomio cuadrado perfecto y como cuadrado de un binomio. Analiza el ejemplo resuelto.

169 5 132 5 (10 1 3)2 5 102 1 2(10)(3) 1 32 5 100 1 60 1 9 100 1 60 1 9 es trinomio cuadrado perfecto y (10 1 3)2 es cuadrado de un binomio.

a) 144 b) 225 c) 400 d) 625

5. Subraya los trinomios que sean cuadrados perfectos.


x2

x 1

x2

x

x

x

x x x

1

x2

x

x x

x 1

a) x 5 5 b) x 5 6 c) x 5 7

a) a2 1 2a 1 1b) x2 2 2xy 1 y2

c) 4x2 1 12xy 1 9y2

d) 9m2 1 6m 1 16e) 4x2 2 4xy 1 y2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, realizamos lo siguiente:

• Extraemos la raíz cuadrada a los términos que son cuadrados.

• Se escriben estos dos resultados como elementos de un binomio. Entre ellos se coloca el signo que tiene el término que es el doble producto de dichos términos.

• Se indica el cuadrado de ese binomio.

Ejemplo:

factorizar 4x2 2 20x 1 25.

• Se extraen la raíces cuadradas de 4x2 y 25, que son, respectivamente, 2x y 5.

• Se escribe un binomio con estos términos. Entre ellos se coloca el signo que tiene el término que es el doble producto de ellos: (2x 2 5).

• Se indica el cuadrado del binomio:

(2x 2 5)2.

Por tanto, 4x2220x1255(2x25)2.

Observa que este trinomio también es igual a (5 2 2x)2. ¿Por qué?

Bloque 1

��

6. Factoriza los siguientes polinomios en tu cuaderno:

a) ✓ x2 1 8x 1 16

b) m2 1 10m 1 25

c) 9m2 1 24m 1 16

d) 4a2 1 12ab 1 9b2

e) n2 2 10n 1 25

f ) x2 2 16x 1 64

g) 49n2 2 84n 1 36

h) 1 2 8x 1 16x2

i) 1 1 6x 19x2

j) 1 2 6y 1 9y2

En la colonia de Lolita, el parque tiene la forma de un cuadrado de 80 m por lado. En una de sus esquinas, un monumento ocupa una región cuadrada de 5 m por lado. El resto del parque es una zona arbolada y su área se halla restando las áreas de los dos cuadrados: 802 2 52 5 6375. ¿Qué longitud tendría una región rectangular con esta misma área, pero de (80 2 5) metros de ancho?

1.7. Factorización de una

diferencia de cuadrados

80

5

5

80


80

5

5

?

80

80 – 5 80 – 5

80 – 5

a) Si conoces el área de la región rectangular y la medida de su anchu-ra, ¿cómo hallas su longitud?

b) Haz un croquis del parque en un papel cuadriculado y recorta la parte que representa la zona arbolada, que es un hexágono irregular. ¿Cómo descompondrías el hexágono para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho? ¿Qué longitud tendría el rectángulo?

c) Una forma de descomponer el hexágono irregular para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho, es la que se muestra enseguida. ¿Cuál es la longitud del rectángulo que se forma?

Tema 1

��

d) ¿De qué otra forma descompondrías el hexágono irregular, para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho? ¿Cuál sería su longitud?

e) Supón que las medidas del parque fueran las que se muestran en-seguida. ¿Cuál es el área de la zona arbolada? ¿Qué longitud tendría una región rectangular con esta misma área, pero de (x 2 y) metros de ancho?

Lo que queda puede acomodarse en un arreglo rectangular de 3 × 7:

x

x

y

y?

x–y

x–y x–y

1. Una forma de recordar que una diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados, consiste en considerar ejem-plos aritméticos como 52 2 22. La siguiente figura, en que 22 se quita de 52, aclara esta idea:


2

5 – 25Se quita 22

5 – 2

25

5 + 2

Bloque 1

��

Un lado del arreglo rectangular es 7, o sea, 5 1 2; el otro lado es 3, es decir, 5 2 2. Por tanto,

52 2 22 5 (5 1 2)(5 2 2).

Haz algunos dibujos que muestren que:

82 2 12 5 (8 1 1)(8 2 1)

82 2 22 5 (8 1 2)(8 2 2)

82 2 32 5 (8 1 3)(8 2 3)

82 2 42 5 (8 1 4)(8 2 4)

82 2 52 5 (8 1 5)(8 2 5)

2. Un jardín tiene la forma de una corona circular. Su área se calcula restando el área del círculo menor del área del mayor, es decir, aplicando la fórmula πR2 2 πr2. Escribe la expresión factorizada equivalente a esta fórmula.

Sabemos que el producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados. Para factorizar una diferencia de cuadrados, seguimos el procedimiento inverso:

• Escribimos el binomio como una diferencia de cuadrados:

a2 2 b2 5 (a)2 2 (b)2.• Expresamos el binomio

como el producto de una suma por una diferencia:

a2 2 b2 5 (a + b)(a 2 b)

Veamos un ejemplo: factorizar el binomio 25x2 2 36y2.

25x2 5 (5x)2

36y2 5 (6y)2

• Escribimos el binomio como una diferencia de cuadrados:

25x2 2 36y2 5 (5x)2 2 (6y)2

• Expresamos el binomio como el producto de una suma por una diferencia:

25x2 2 36y2 5 (5x + 6y)(5x 2 6y)

r

R

R

r

r r

r

3. ✓ Una placa metálica circular tiene cuatro perforaciones circu-lares iguales (como se muestra en la figura). Escribe la fórmula para calcular el área de la superficie metálica restante. Expré-sala en forma factorizada.

Tema 1

�0

4. Los siguientes binomios son diferencias de cuadrados. Factorízalos.

5. Completa las siguientes expresiones:

a) ✓ 9m2 – 25n2 = (3m 1 )(3m 2 )

b) 25x2 1 1 4 = (5x 1 )2

c) 9m2 + 21mn 1 10n2 = (3m 1 )(3m 1 )

d) 25b2 2 1 c2 = (5b 2 )2

e) 18abc2 2 24a2b2c = (3c 2 4ab)

a) ✓ x2 2 4

b) y2 2 9

c) 4a2 2 16

d) 9x2 2 25

e) 16x2 2 36

f ) 225 1 4x2

g) a2b2 2 c2

h) 1 2 9x2

i) 81a2 2 100b2

j) 2100 1 100x2

1.8. Actividades sobre

factorización de polinomios

x

x

x

y

y

y

1. ¿Puede factorizarse el trinomio 4x2 1 8xy 1 3y2? Reúnete con va-rios compañeros y elaboren un modelo geométrico que corresponda a esta expresión, como se hizo en lecciones anteriores, y traten de ar-mar un rectángulo con las 15 piezas, sin que falte ni sobre ninguna.

En este caso el modelo constaría de:

• 4 cuadrados de lado x• 8 rectángulos de x por y• 3 cuadrados de lado y• El valor de x debe ser mayor que el de y.

Bloque 1

��

a) Comparen las formas en que armaron el rectángulo con las 15 piezas. ¿Cuántas formas diferentes encontraron?

b) ¿En cuáles rectángulos se armonizaron mejor los colores?c) ¿Cuál es la factorización del trinomio 4x2 18xy 1 3y2?

2. ¿Puede factorizarse la expresión 6x2 1 11xy 1 3y2? Se trata ahora de armar varios rectángulos con 20 piezas del modelo geométrico. Nuevamente, el valor de x debe ser mayor que el de y. Un rectángulo que puede formarse es el siguiente:

a) ¿Qué expresiones algebraicas representan las medidas de los la-dos de este rectángulo?

b) ¿Cuál es la factorización de 6x2 1 11xy 1 3y2?c) Reúnete con un compañero o compañera y armen otro rectán-

gulo visualmente distinto del anterior, de modo que parezca el parquet del piso de una sala. ¿Cuáles son sus medidas?

d) De acuerdo con el modelo que armó tu equipo, ¿cuál es la facto-rización de 6x2 1 11xy 1 3y2?

3. Un equipo armó su rectángulo de la siguiente manera:

¿Se habrán equivocado? No. Lo que ocurre es que ellos asignaron a x un valor menor que el de y.

a) En la figura anterior, anoten la medida de la base del rectángulo y la de cada sección que forma esa base; hagan lo mismo para la altura.

Tema 1

��

b) En cada una de las 20 regiones que forman el rectángulo, anoten el área que le corresponde.

c) ¿Cuál es el área total del rectángulo? ¿Cuáles son sus dimensiones?d) De acuerdo con el modelo anterior, ¿cuál es la factorización de

6x2 1 11xy 1 3y2?

4. Imaginen que poco a poco los valores de x y y se van acercando entre sí; es decir, las piezas grandes se van achicando y las chicas se van agrandando. Seguramente habrá un momento de equilibrio en que los valores de x y y sean iguales. El modelo rectangular correspon-diente al polinomio 6x2 1 11xy 1 3y2 sería el siguiente:

a) b)

c)

d)

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo anterior, donde x 5 y?b) ¿Cuál es el área de este rectángulo?c) Si x 5 y, ¿cómo puede expresarse 6x2 1 11xy 1 3y2?d) ¿Cuál sería una de las factorizaciones de 6x2 1 11xy 1 3y2 si x 5y?

5. ¿Qué polinomio representa el área de cada uno de los siguientes diseños rectangulares? ¿Qué factorización o factorizaciones tiene cada polinomio?

Bloque 1Te sugerimos leer:

“Criterios de congruencia de triángulos”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 28-29.

��

Una ingeniera está construyendo un hotel y va a utilizar dos enormes triángulos metálicos para sostener el techo de la cafetería exterior.

Antes de instalarlos, debe verificar que las dos piezas trian-gulares son idénticas o congruentes; es decir, los tres lados y los tres ángulos de una de ellas deben coincidir con los tres lados y los tres ángulos de la otra.

2Propiedades de los paralelogramos

Los paralelogramos son cuadriláteros que tie-nen sus lados opuestos paralelos. Este tipo de cua-driláteros posee propiedades especiales, algunas de las cuales descubrirás basándote en los cono-cimientos que tienes sobre triángulos congruentes y rectas paralelas.

2.1. Triángulos congruentes

a) Supón que la ingeniera decide medir sólo tres elementos de uno de los triángulos y compararlos con los correspondientes del otro. Si encontrara, por ejemplo, que los tres ángulos del triángulo ABC son iguales a los correspondientes del triángulo A’B’C’, ¿podría asegurar que los triángulos son congruentes? ¿Por qué?


A C

B

A‘ C‘

B‘

¿Significa esto que la ingeniera tiene que medir y comparar esas seis partes de los triángulos o será suficiente con que mida y compare sólo algunas de esas partes? Si es así, ¿cuáles son esas partes?

Tema 2

��

b) Las siguientes tablas indican los elementos del ∆ABC que son igua-les a los correspondientes del ∆A’B’C’ ¿En qué casos puede asegurarse que los triángulos son congruentes? Para realizar la investigación, di-vidan el grupo en equipos; unos serán los equipos A y otros los B.

EquiposA EquiposB

∠A 5 ∠A’ 5 76°∠C 5 ∠C’ 5 87°AC 5 A’C’ 5 0.74 m

AB 5 A’B’ 5 2.50 mBC 5 B’C’ 5 2.44AC 5 A’C’ 5 0.74 m

AB 5 A’B’ 5 2.50 mBC 5 B’C’ 5 2.44∠C 5 ∠C’ 5 87°

BC 5 B’C’ 5 2.44AC 5 A’C’ 5 0.74 m∠A 5 ∠A’ 5 76°

AB 5 A’B’ 5 2.50 mBC 5 B’C’ 5 2.44 m∠B 5 ∠B’ 5 17°

AB 5 A’B’ 5 2.50 m∠A 5 ∠A’ 5 76°∠B 5 ∠B’ 5 17°

c) ¿Será cierto que siempre que tres elementos de un triángulo sean iguales a los correspondientes de otro triángulo, estos triángulos son congruentes?

d) Hay seis posibles combinaciones de tres elementos y seguramente no todas servirán para determinar si dos triángulos son congruen-tes. ¿Cuáles de ellas sí permiten hacerlo?

Lado – lado – lado

(LLL)

Lado – lado – ángulo

(LLA)

Lado – ángulo – lado

(LAL)

Ángulo – lado – ángulo

(ALA)

Lado – ángulo – ángulo

(LAA)

Ángulo – ángulo – ángulo

(AAA)

Bloque 1

��

Enseguida te proponemos investigar sólo tres (LLL, LAL y LLA) de las seis posibles combinaciones de tres partes de un triángulo. Las indi-caciones que se dan pueden tomarse como guía para investigar las tres restantes. Como un auxiliar, puedes emplear un programa computacio-nal de geometría dinámica para efectuar tus investigaciones, como el CabriGéomètre. (Consulta el Apéndice, al final del libro.)

a) Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, ¿ambos triángulos son congruentes? Para averiguarlo, toma una hoja de papel, una regla y el compás y construye uno con los siguientes segmentos.

A C

CB

A B


• Paso1. Usa las medidas de los tres segmentos de la derecha para construir un triángulo en la hoja.

• Paso2. Compara tu triángulo con el triángulo ABC que apare-ce enseguida. Coloca tu triángulo sobre el del libro para ver si coinciden todas sus partes.

C

A B

• Paso3. Ahora compara tu triángulo con el de un compañero o compañera y luego con los que hicieron otros equipos.

• Paso4. Si todos los triángulos que construyeron son congruentes (o si no lo son), pueden establecer la conclusión que corresponde.

b) Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Dos figuras son congruentes si todas sus partes correspondientes son congruentes. En el caso de los triángulos, hay tres criterios para determinar si dos de ellos son congruentes:

• Criterio LLL. Los tres lados de un triángulo son congruentes con los del otro.

• Criterio LAL. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con los correspondientes del otro.

• Criterio ALA. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con los correspondientes del otro.

Tema 2

��

de otro triángulo, ¿los triángulos son congruentes? Toma otra hoja de papel, la regla y el compás y con los dos segmentos y el ángulo siguientes constrúyelo.

N B

CN

• Paso1. Toma las medidas de los dos segmentos y del án-gulo para construir un triángulo, de modo que el ángulo quede entre esos segmentos.

• Paso2. Compara tu triángulo con el triángulo NBC y tam-bién con los que construyeron otros compañeros del grupo. ¿Hubo al menos uno que fuera diferente de los demás?

• Paso 3. Si todos los triángulos que construyeron son congruentes (o si no lo son), pueden establecer la con-clusión correspondiente.

c) Si dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos de otro triángulo, ¿los triángu-los son congruentes? Para investigarlo, nuevamente tomen una hoja de papel, la regla y el compás y constrúyanlo.

H

H

B

B O

B

CN

Bloque 1

La notación ∆ABC ≅ ∆DEF se utiliza para señalar la congruencia de los triángulos y de las partes correspondientes.

A

F

B

EC

D

Los lados correspondientes son:

AB ≅ DEBC ≅ EFAC ≅ DF

Los ángulos correspondientes son:

∠BAC ≅ ∠EDF∠ABC ≅ ∠DEF∠ACB ≅ ∠DFE

��

• Paso1. Toma las medidas de los dos segmentos y del ángulo para construir un triángulo, de modo que el ángulo no que-de entre esos segmentos.

• Paso2. Compara tu triángulo con el triángulo XYZ y tam-bién con los que construyeron otros compañeros del grupo. ¿Hubo al menos uno que fuera diferente de los demás?

• Paso3. Si todos los triángulos que construyeron son con-gruentes (o si no lo son), pueden establecer la conclusión respectiva.

1. Con la información que se proporciona en cada caso, ¿qué crite-rio permite asegurar que ambos triángulos son congruentes?

2.2. Actividades sobre

congruencia de triángulos

2. ¿Son congruentes los siguientes pares de triángulos? Si con los datos que se dan en cada caso no es posible asegurar que son congruentes, escribe: “No puede ser determinado”, y con base en los mismos datos construye los triángulos para verificar que no son congruentes. No su-

65°

65°

L Z

U

A

D

I

E

A

VC

C

AN

R

E b)

c)

a)

B C

A Dd)

Tema 2

��

pongas que dos triángulos son congruentes porque parece que lo son; para afirmarlo, tienes que basarte en la información que se da.

T N

A

L

FE

T

AI

GN

R

E D

B

LU

F

L

U

T

E

B

O

T

W

E

I

A

C

M

P

A

E

R

C F

H S

I

A

O

S

T

a) ¿∆ANT ≅ ∆FLE? b) ¿∆GIT ≅ ∆AIN? c) ¿∆RED ≅ ∆BUL?

d) U es el punto medio de

FE y LT . ¿∆FLU ≅ ∆TEU?

e) BW ≅ ET, OW ≅ IT,

¿∆BOW ≅ ∆EIT?

f ) AM es mediana. ¿∆CAM ≅ ∆PAM?

g) ¿∆ARE ≅ ∆ARC? ¿Por qué?

h) ¿∆FSH ≅ ∆FSI? ¿Por qué?

i) ¿∆SAT ≅ ∆SAO? ¿Por qué?

3. ✓ Contesta las siguientes cuestiones. Luego, comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y finalmente, con otros equipos del grupo.

• Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener la misma área?

Bloque 1

��

• Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener el mismo pe-rímetro?

• Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener la misma área y el mismo perímetro?

Observa los siguientes paralelogramos.

2.3. ¿Qué propiedades tienen

los paralelogramos?

A B

D C

D E

G F

H I

K J

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas con respecto a cada paralelogramo?:

• Sus lados son iguales.• La suma de cada par de ángulos adyacentes es 180°.• Las diagonales se cortan mutuamente por la mitad.


a) Mide con el transportador todos los ángulos de los paralelogramos. En el caso del paralelogramo ABCD, ¿qué relación encuentras entre las medidas de los ángulos opuestos DAB y BCD? ¿Y entre las de los ángulos opuestos ABC y CDA?

b) Compara las medidas de los ángulos opuestos de los otros para-lelogramos. ¿Se conserva la relación que encontraste en el paralelo-gramo ABCD? Comenta tu respuesta con un compañero o compañe-ra y escriban en sus cuadernos la relación que encontraron entre los ángulos opuestos de un paralelogramo.

c) Sumen las medidas de ángulos adyacentes (por ejemplo, las de los ángulos ABC y BCD). Ahora sumen las medidas de los ángulos ad-yacentes BCD y CDA. Continúen sumando las medidas de pares de ángulos adyacentes en los otros paralelogramos. ¿Qué encontraron? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre los ángulos adyacen-tes de un paralelogramo.

d) Usen su compás para comparar las longitudes de los lados opues-

Tema 2

�0

tos de cada paralelogramo. ¿Qué relaciones encuentran entre sus medidas? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre los lados opuestos de un paralelogramo.

e) Tracen las diagonales de los paralelogramos. Marquen con la letra O el punto en que se cortan las diagonales. ¿AO ≅ CO? ¿ DO≅ BO? ¿El punto O es el punto medio de AC ? ¿Es también el punto medio de BD ? ¿Qué sucede con las diagonales de los otros paralelogramos? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre las diagonales del paralelogramo.

Las cuatro conclusiones que obtuvieron son conjeturas acerca de relaciones entre las medidas de ángulos y lados de un paralelogramo. En las siguientes actividades tratarán de demostrarlas aplicando sus conocimientos sobre triángulos y rectas paralelas.

1. Observen los triángulos que se forman al trazar la diagonal AC del paralelogramo ABCD.


A B

D C

A B

D C

a) ¿Son congruentes los triángulos DAC y CBA? ¿Por qué? ¿Qué án-gulos del ∆DAC son correspondientes con los del ∆CBA? ¿Qué lados son correspondientes?

b) ¿Son iguales los lados opuestos de un paralelogramo? ¿Son igua-les los ángulos opuestos de un paralelogramo? ¿Por qué?

c) En el paralelogramo ABCD hay cuatro pares de ángulos adyacen-tes: ABC y BCD; BCD y CDA; CDA y DAB; DAB y ABC.

¿Cada par de ángulos adyacentes suman 180°? ¿Por qué?d) ✓ Al trazar las diagonales DB y AC del paralelogramo ABCD se

han formado los triángulos AOB y DOC. ¿Son congruentes estos

Bloque 1

��

triángulos? ¿Por qué? ¿Qué pares de ángulos de estos triángulos son correspondientes? ¿Qué pares de lados son correspondientes?

e) ¿Son iguales los segmentos AO y CO ? ¿Y los segmentos DO y BO? ¿Las diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente por la mitad? ¿Por qué? ¿Sucede lo mismo con las diagonales de los otros paralelogramos?

2. Cada una de las siguientes figuras es un paralelogramo. Aplica las pro-piedades de esta figura para resolver los problemas que se plantean.

A B

D C

O

a48°

b

c

d27 cm

34 cm

78°63°

e f

17

x + 3

x – 3

R U

F

gh

M

O

16 cm14 cm

E V

F I

N

M A(b,c)

R(a,0)P

a) ¿Cuánto miden los ángulos a y b?

b) ¿Cuánto miden los lados c y d?

f ) ✓ VF = 36 m; EF = 24 m; EI = 42 m; ¿Cuál es el perímetro del ∆NVI?

g) ✓ ¿Cuáles son las coordenadas del punto M del paralelogramo PRAM?

c) ¿Cuánto miden los ángulos e y f?

d) ¿Cuál es el perímetro de este paralelogramo?

e) ¿Cuánto miden los segmentos g y h?

Tema 2

��

¿Qué relaciones encuentras entre las medidas de los lados de estos paralelogramos? Traza las diagonales de las cuatro figuras. ¿Qué rela-ciones encuentras entre las diagonales de cada una de ellas?

2.4. Algunas propiedades de

paralelogramos especiales

En tu cuaderno, construye dos paralelogramos como el A y el B usando los bordes paralelos de dos reglas de distinto ancho, y otros dos como el C y el D, con una misma regla.

A B C D


a) La figuras que construiste son paralelogramos. ¿Qué razones da-rías para asegurarlo? Coméntalas con un compañero o compañera.

b) Midan los lados de cada paralelogramo y comparen sus longitudes. ¿Qué relación encuentran entre sus medidas?

c) ¿Qué tienen en común estos paralelogramos en cuanto a la medida de sus lados? ¿En qué se diferencian?

d) ¿Cuáles de estos paralelogramos son equiláteros (sus lados tienen la misma longitud)? ¿Cuáles son equiángulos (sus ángulos tienen la misma medida)?

e) Midan las diagonales de cada paralelogramo y comparen sus longi-tudes. ¿Qué paralelogramos tienen diagonales iguales? ¿Qué criterio de congruencia de triángulos permite afirmarlo?

f) Coloquen el ángulo recto de una escuadra en cada uno de los ángulos formados por la intersección de las dos diagonales de estos paralelogra-mos. ¿Qué clase de ángulos se forman en cada uno de ellos?

Bloque 1

��

g) Al trazar las diagonales de un rombo se forman cuatro triángulos congruentes. ¿Qué criterio de congruencia permite asegurarlo?

h) ¿Por qué los ángulos a y b del rombo anterior son congruentes? ¿Por qué esos ángulos son rectos?

i) Las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto (son perpen-diculares). ¿En algún otro paralelogramo las diagonales son también perpendiculares?

• Los rombos, rectángulos y cuadrados son paralelogramos especiales.

• El rombo es un paralelogramo equilátero (o de lados iguales o congruentes).

• El rectángulo es un paralelogramo equiángulo (o de ángulos iguales o congruentes).

• En particular, el cuadrado es un rombo equiángulo y es también un rectángulo equilátero.

• Las diagonales del rombo son perpendiculares.

• Las diagonales del rectángulo son iguales.

• Las diagonales del cuadrado son perpendiculares e iguales.


1. Encuentren las medidas de las partes que se indican de los siguientes paralelogramos.

a) ✓ ABCD es un rombo; a = b = c =

a

b

c

5

43

A C

D

B

10

P Q

S R

b) PQRS es un rectángulo. ¿Cuánto mide la diagonal SQ?

c) XYWZ es un romboide. ¿Cuánto mide el ángulo y?

y48°95°

X Y

Z W

a b

x

y

C U

D A

d) ✓ CUAD es un cuadrado. ¿Cuánto miden los ángulos x y y?

Tema 2

��

2. Identifiquen cada uno de los siguientes enunciados como falso o verdadero. Para cada afirmación falsa, den una razón que justifique su falsedad o dibujen una figura que lo muestre.

a) Las diagonales de un rombo tienen la misma medida.

b) Los ángulos adyacentes de un rectángulo tienen la misma medi-

da. c) Las diagonales de un rectángulo se cortan mutuamente por la

mitad.

d) Las diagonales de un rectángulo son bisectrices de los ángulos.

e) Las diagonales de un cuadrado son mediatrices una de otra.

f ) Todos los rombos son cuadrados.

g) Todos los cuadrados son rectángulos. h) Una diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósce-

les.

i) Una diagonal de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles.

2.5. Actividades sobre propiedades

de los paralelogramos

1. En la siguiente tabla, marquen con una ✓ en los espacios que corresponda.

Propiedad Romboide Rectángulo Rombo Cuadrado

Sus lados opuestos son paralelos.

Sus lados opuestos son congruentes.

Sus ángulos opuestos son congruentes.

Sus ángulos adyacentes son suplementarios.

Sus diagonales lo dividen en triángulos congruentes.

Sus diagonales se cortan mutuamente por la mitad.

Sus diagonales son congruentes.

Sus diagonales son perpendiculares.

Una diagonal es bisectriz de dos ángulos.

Todos los ángulos son rectos.

Todos los lados son congruentes.

Bloque 1

��

2. Las reglas paralelas, que se usan para trazar rectas paralelas, están formadas por dos tiras de madera tipo regla, AB y CD, iguales y uni-das por dos travesaños iguales con pivotes E, F, G y H, que permiten la movilidad de la estructura. Las longitudes de HG, EF, son iguales, lo mismo que las de HE y GF.Si AB se mantiene fija, y CD se mueve, las reglas AB y CD siempre se mantendrán paralelas, de modo que se puede usar el borde de CD para trazar rectas paralelas.

AE F

B

DH G

C

a) Si deseas trazar dos paralelas lo más separadas que sea posible, ¿qué tipo de cuadrilátero deben formar las reglas paralelas y los travesaños?

b) En cualquier otro caso, ¿qué tipo de cuadrilátero forman?

3. ✓ Algunos objetos de uso cotidiano que cambian su forma se constru-yen tomando como base el rombo. Un ejemplo es el gato mecánico.

a) Cuando se aumenta o se disminuye la longitud de la diagonal horizontal AB del rombo (gato), ¿cambian las longitudes de los lados? ¿Cambian las medidas de los ángulos?

b) Compara las medidas de los ángulos ACB y BDA. ¿Son iguales o diferentes? ¿Los ángulos ABC y ABD son iguales o diferentes? ¿Y los ángulos BAC y BAD?

c) Al cambiar la longitud de la diagonal horizontal AB, ¿cambian las relaciones entre esos ángulos?

d) Al cambiar la longitud de esa diagonal, los vértices opuestos A y B del rombo siguen la dirección de la línea que contiene a esa diagonal. ¿Sucede lo mismo con los vértices opuestos C y D con respecto a la diagonal vertical CD? (Traza la diagonal CD.)

A B

C

D

Tema 3

��

e) La diagonal horizontal AB corta a la diagonal vertical CD forman-do ángulos rectos. ¿Cambia esta relación al cambiar la longitud de la diagonal horizontal?

f) ¿Son simétricos los triángulos ABC y ABD con respecto a la dia-gonal horizontal AB del rombo?

g) ¿Qué clase de triángulos son ABC y ABD?

La figura muestra una circunferencia con centro en O. En ella se ha marcado uno de sus puntos (el punto T). ¿Cómo puedes trazar una recta que toque a la circunferencia sólo en ese punto?

Te sugerimos leer:

“La distancia al horizonte”, en Ruiz, C. et al., Crónicas geométricas, pp. 16-17.

3Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, y entre circunferencias

La figura que aparece a continuación mues-tra un conjunto de tubos circulares que tienen radios y grosores iguales. Los extremos de los tubos ilustran lo que geométricamente son las circun-ferencias tangentes exteriores. ¿Qué posiciones relativas pueden tener dos circunferencias? ¿Y

una recta y una circunferencia? Sobre estos asuntos tratará la siguiente lección.

3.1. Tangentes y secantes

O

T

Bloque 1

��

O

T

m

O

T

m

m

O

T

O

T m

a) Traza en tu cuaderno una circunferencia con centro O.b) Marca un punto T de la circunferencia.c) Usa una regla para trazar una recta m que parezca que toca a la cir-

cunferencia sólo en el punto T.d) Traza el radio OT.e) Compara tu construcción con la de otro compañero o compañera.f ) Usen un transportador para medir los ángulos que la recta m y el

radio OT forman en el punto T. ¿Serán perpendiculares la recta m y el radio OT?

g) La recta tangente a una circunferencia tiene la propiedad de ser per-pendicular al radio que termina en el punto de contacto. Consulta la nota que aparece a la derecha para trazar con regla y compás una circunferencia con centro en O y su tangente en un punto T.

h) Observa las siguientes construcciones. ¿Hay alguna que sea igual a la que tú construiste? Distínguela anotando una marca en el recua-dro de la esquina superior izquierda.


i) ¿Por qué las otras construcciones no son correctas?

1. A continuación se enlistan algunos puntos, rectas y segmentos de la circunferencia. Anota sobre las rayas la letra o letras con que se identifican.


a) Centro

b) Diámetro

c) Secantes

d) Radios

e) Cuerdas

f ) Tangentes

DE C

BA

O

Instrucciones para trazar una recta tangente a una circunferencia en un punto T de ésta:

1. Dibuja una circunferencia y llama O a su centro.

2. Elige un punto en la circunferencia y llámalo T.

3. Traza un arco con centro en T y radio OT que corte a la circunferencia. Llama A a una de las intersecciones.

4. Traza una circunferencia con centro en A y radio OT.

5. Traza el segmento OA y prolóngalo hasta que corte a la circunferencia trazada en el paso 4. Llama B al punto de corte.

6. Traza la recta TB.

Esta última es la recta tangente deseada. Es perpendicular al radio OT.

A

B

O

T

Tema 3

��

2. ST es un diámetro de la circunferencia. Las rectas SR y TQ se cortan en U. ¿Es posible que las rectas SR y TQ sean tangentes a la circunferencia O en los puntos S y T, respectivamente? ¿Por qué?

S

T

Q

RU

3. ✓ Los rayos m y n son tangentes a la circunferencia. ¿Cuál es el valor del ángulo w?

P

m

n

w130°

5. Los rayos r y s son tangentes. ¿Cuál es el valor del ángulo x?

R k

y

120°

4. El rayo k es una tangente. ¿Cuál es el valor del ángulo y?

72° Q

r

s

x

Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Bloque 1

��

6. Construye una circunferencia de radio t. Elige tres puntos de la cir-cunferencia y llámalos X, Y y Z (observa la siguiente figura). Cons-truye un triángulo cuyos lados sean tangentes a la circunferencia en los puntos X, Y y Z.

Z

X Y

T

1. Las posiciones relativas entre dos circunferencias pueden ser di-versas. En la columna de la izquierda se describe cada una de ellas y en la de la derecha se muestran, en desorden, las figuras que las ilustran. Relaciona ambas columnas anotando en los recuadros de las figuras la letra que corresponde.

3.2. Actividades sobre posiciones

relativas entre una recta y una

circunferencia, y entre circunferencias

a) Exteriores, cuando los pun-tos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

b) Tangentesexteriores, cuando tienen un solo punto común y los demás puntos de cada una son exteriores a la otra.

c) Secantes, cuando tienen dos puntos comunes.

d) Tangentesinteriores, cuando tienen un solo punto común y una es interior a la otra.

e) Interiores, cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra.

f ) Concéntricas, cuando tienen el mismo centro y radios desiguales.

Tema 3

�0

2. Si tienes acceso al programa CabriGéomètre, utilízalo para construir dos circunferencias en las seis posiciones indicadas en la actividad anterior. (Consulta el Apéndice, al final del libro.)

3. La recta t es tangente a las dos circunferencias. ¿Cuál es el valor del ángulo z?

75°

SM

t

z

4. ✓ ¿Cuál es el error en la siguiente figura? Los rayos TA y TB son tan-gentes a la circunferencia O. (Recuerda que los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.)

5. ¿De cuántas maneras pueden ser tangentes tres circunferencias? En-seguida te damos tres ejemplos.

148°

36°

O

A T

B

Bloque 1

��

4Ángulos inscritos en la circunferencia

La figura de la derecha muestra una porción circular de una cancha de futbol. Por las posicio-nes en que están, los jugadores A, B y O no tienen la misma posibilidad de anotar gol, pero ¿existe alguna relación entre las medidas de los ángulos de tiro ∠DAC, ∠DBC y ∠DOC? Sobre estas cues-

tiones geométricas tratará la presente lección.

DC

A

B

O

En la circunferencia con centro en O se han trazado el ángulo cen-tral BOA y los ángulos inscritos BRA, BQA y BPA. Los cuatro ángulos intersecan el mismo arco AB. ¿Qué relación existe entre las medidas de estos ángulos inscritos, y entre éstos y el ángulo central?

4.1. Arcos y ángulos

A

B

P

Q

R

O

a) Mide con tu transportador los ángulos inscritos.b) Mide ahora el ángulo central BOC y compara su medida con las de

los ángulos inscritos. ¿Qué relación encuentras entre la medida de los ángulos inscritos y la del ángulo central? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

c) En tu cuaderno, traza una circunferencia grande y dos ángulos ins-critos, de modo que los tres intersequen un mismo arco. Traza el ángulo central que corresponde a ese arco.

d) Mide los ángulos inscritos y compara sus medidas. ¿Qué relación encuentras entre sus medidas?

e) Mide ahora el ángulo central y compara su medida con las de los ángulos inscritos. ¿Qué relación encuentras entre sus medidas?


Tema 4

��

Afirmaciones Razones

∠BAC + ∠ACO + ∠AOC = 180°

∠BOC + ∠AOC = 180°

∠BAC + ∠ACO + ∠AOC = ∠BOC + ∠AOC

∠BAC + ∠ACO = ∠BOC

∠BAC = ∠ACO

2∠BAC = ∠BOC

∠ = ∠BAC

BOC2

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Forman ángulos complementarios.

Ambas sumas son iguales a 180°.

Restamos ∠AOC de ambos miembros.

Son ángulos opuestos a lados iguales de un triángulo.

Sustituimos ∠ACO por ∠BAC.

Dividimos ambos miembros entre 2.

C

A BO

Seguramente encontraron que los dos ángulos inscritos tienen la misma medida y que esta medida es la mitad de la del ángulo central. De hecho, la medida de todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la del ángulo central correspondiente.

Para probar esta relación, es necesario recordar los siguientes resul-tados de la geometría que ya conocemos:

• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.• Dos ángulos suplementarios suman 180°.• En un triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

Probaremos esta relación para el caso en que el centro de la circun-ferencia se encuentra sobre uno de los lados del ángulo inscrito. AB es el lado que contiene al centro O. Unimos O con C, y así queda formado el triángulo isósceles ACO, con lados AO y OC iguales, porque son radios del círculo.

Bloque 1

��

1. Realiza la siguiente investigación sobre ángulos inscri-tos en un semicírculo:

Actividades adicionalesDos tipos de ángulos que se forman en la circunferencia son los siguientes:

• Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma circunferencia.• Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia.

Un ángulo central es correspondiente a un ángulo inscrito si ambos abarcan un mismo arco.

A

B

P

El ángulo APB esinscrito

A

B

O

AOB es un ángulocentral

A

B

P O

AOB es el ángulocentral correspondiente

al ángulo APB

Entre estos dos ángulos existe la siguiente relación: lamedidadetodoánguloinscritoenunacircunferenciaesigualalamitaddelamedidadelángulocentralcorrespondiente.

a) En tu cuaderno, traza una circunferencia grande y uno de sus diámetros. Traza también tres ángulos inscritos en el mismo semicírculo.

b) Mide cada uno de estos ángulos con tu transpor-tador y compara sus medidas. ¿Qué relación en-cuentras entre las medidas de los ángulos inscri-tos en un semicírculo?

c) ¿Cuánto mide el arco que intersecan los tres án-gulos inscritos en un semicírculo?

d) ¿Qué relación encuentras entre la medida de los tres ángulos inscritos en un semicírculo y la medi-da del arco que intersecan? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

e) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos cen-trales BOC y COD? ¿Por qué?

∠BOC + ∠COD =

A

B

C

DO

f) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos ins-critos BAC y CAD? ¿Por qué?

∠BAC + ∠CAD =

Tema 4

��

2. ¿Cómo usarías el resultado anterior para probar la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente, para el caso en el que el centro de la circunferencia está dentro del ángulo inscrito?

3. ¿Y cómo lo usarías para el caso en que el centro de la circunferencia está fuera del ángulo inscrito?

A

BC

D

O

4. La siguiente secuencia de figuras ilustra un procedimiento para construir la tangente a una circunferencia de centro O que pasa por un punto P exterior a la circunferencia. (En la segunda figura, M es el punto medio del segmento OP.)

A B

C

DO

a) Describe en tu cuaderno los pasos que se siguieron para realizar esta construcción.

b) ¿Qué argumentos darías a tus compañeros para convencerlos de que la recta PQ es tangente al círculo O en el punto Q?

c) ¿Hay otra tangente al círculo de centro O que pasa por el punto P? ¿Cuál es?

O P O M P

O MP

Q

Q'

O

Q

Q'

MP

Bloque 1

��

1. La figura de abajo muestra una estrella de cinco puntas. ¿Cuál es la suma de las medidas de sus ángulos a, b, c, d y e?

¿Qué procedimiento puedes utilizar para saberlo? Explica en qué consiste ese procedimiento y por qué crees que funciona.

5Medición de figuras circulares

Para resolver los problemas que se plantean en las siguientes lecciones, llevarás a la práctica una propiedad geométrica que ya conoces: la relación que existe entre la medida de un ángu-lo inscrito en una circunferencia y la del ángulo central correspondiente al mismo arco. Asimismo,

aplicarás algunas fórmulas para encontrar el área de porciones del círculo.

5.1. Cálculo de la medida

de ángulos y arcos

Te sugerimos leer:

“Áreas de sectores circulares” y otros temas, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 16-17.

a

b

c

d

e

a) Utiliza tu transportador para hallar la medida de cada uno de los ángulos. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

b) ¿De qué otra manera puedes hallar sus medidas? Comenta tu res-puesta con un compañero o compañera.

c) ¿Qué relación hay entre cada ángulo y el arco que interseca? ¿Qué tipo de ángulo es cada uno?


Tema 5

��

La medida de un ángulo inscrito puede hallarse de dos maneras:

• Midiéndolos con el transportador.

• A partir la medida del arco que intersecan los lados del ángulo.

Aunque ambas formas se complementan, trataremos de utilizar la segunda, porque su validez se sustenta en una propiedad geométrica: la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo central correspondiente.


d) ¿Cuál es la medida de un arco comprendido entre cualquier par de puntos consecutivos?

e) ¿Cómo puedes conocer la medida del ∠a, a partir del arco que inter-seca? ¿Cuánto mide el ángulo a?

f) ¿Cuánto miden los ángulos b, c, d y e? ¿Cuánto suman los cinco án-gulos?

A

O

B

C50°

A

B

C

130°O

A

BCO

1. En cada caso, halla la medida de los ángulos inscritos BAC, dada la medida del ángulo central correspondiente.

a) b) c)

A

O

C

A

B

C

2. Explica, paso a paso, los procedimientos para resolver los siguien-tes problemas.

a) En el círculo siguiente, construye un ∠ABC igual a la mitad del ∠AOC. ¿Cuántos se pueden construir?

b) Construye en el círculo siguiente un ∠ADC igual al doble del ∠ABC. ¿Cuántos se pueden construir?

Bloque 1

��

3. Halla las medidas de los ángulos de las siguientes figuras.

A

BCa)

A

B

C

b)

A D

B Cc)

A

D

B

C

e)

A D

B C

d)

A D

BCf )

4. ✓ En cada caso, halla las medidas de los arcos y de los ángulos que se indican.

g

f

110°

75°

d

e 96°

20°

k38°

n

a) f = ;

g =

b) d = ;

e =

c) k = e) n =

Tema 5

��

A

C

DOB

Perú

Urruguay

Colom

bia

México

Argentina

Brasil

STOP

R=1.5 m

r=0.5 m

R=1.5 m

r=0.5 m

¿Conoces un juego que se llama “Stop”? Para jugarlo, los niños dibujan figuras como la siguiente, si son seis los participantes.

En una escuela, la comisión de juegos quiere dibujar en el patio dos de estas figuras, con las dimensiones que se indican enseguida.

5.2. Cálculo de la medida de

sectores y coronas circulares

En cada una de ellas hay una superficie pintada de rojo. Calcula el área de esas superficies.


a) Utiliza un trozo de hilo como radio y un gis o un lápiz para dibujar en el piso estas figuras, con las medidas que se indican. Haz una es-timación del área de la superficie que se pintará de rojo.

b) ¿Cuál es el área de la superficie del círculo exterior? ¿Cuál es el área de la superficie del círculo interior?

c) Considera la figura de la izquierda. ¿Cómo calculas el área de su su-perficie que se pintará de rojo? ¿Cuál es el área?

d) Veamos la figura II de la siguiente manera:

I II

¿Qué parte del círculo mayor ocupa la porción AOB? ¿Cuál es su área?

e) En la misma figura, ¿qué parte del círculo menor ocupa la porción COD? ¿Cuál es su área?

Bloque 1

��

Si del interior de un círculo se recorta otro más pequeño concéntrico, queda una figura que se llama corona circular. Su área será, pues, igual a la diferencia entre las áreas del círculo exterior e interior.

Área de la corona circular: πR2 – πr2 = π(R2 – r2)

r

R

– =R r

Un sector circular es la parte del círculo que corresponde a un ángulo central determinado. Su área es igual a la fracción

n360 del área del círculo,

en donde n es el número de grados del ángulo central.

Área del sector circular: n

r3602× π

r

n°

n360 ? =r


1. Halla el área de cada región sombreada. (Todas las medidas están dadas en centímetros.)

60°

240°

r

R

r

10

60°

a) ✓ r = 10 b) r = 9

c) r = 12 d) r = 3

e) ✓ r = 6 f ) R = 7; r = 4

g) r = 2.5 h) ✓ R = 10; r = 8

Tema 5

�0

2. Halla las medidas de los radios.

a) El área del sector circular es 12π cm2. r

120°

r18b) El área de la corona circular es 32π cm2.

3. En cada caso, halla la medida del ángulo ABC.

a) El área del sector circular es 60π cm2; r = 20 cm. A

B

C

A

C

B

8 dm

b) El área sombreada es de 37.68 cm2; R = 10 cm; r = 8 cm.

4. El área de una corona circular es de 52π cm2, y la diferencia de los radios es de 2 cm. Calcula los radios de las dos circunferencias.

5. ✓ El área de color del siguiente círculo de la derecha se llama seg-mentocircular. ¿Cuál es su área?

6. Luis dibujó en su cuaderno, a una escala de 1:100, las dos figuras que se hicieron en el patio de la escuela y usó los mismos colores para iluminarlas. ¿Cuál es el área de las partes que pintó de rojo?

Bloque 1

��

6Razón de cambio

Hay muchos fenómenos o situaciones cuyo comportamiento se comprende mejor si se usa un concepto matemático llamado razón de cambio. Por ejemplo, si nos interesa saber cómo ha creci-do la población en México en los últimos cinco años, calculamos la razón de cambio entre dos

magnitudes: dividimos el crecimiento de la población en ese periodo entre el número de años (5). En las siguientes sesiones aprenderás a interpretar gráficas que describen los cambios que se dan en diversos fenómenos, aplicando el concepto de razón de cambio.

6.1. ¿Cómo cambian las cosas?

Te sugerimos leer:

“Caída libre” y otros temas, en Noreña, F. et al., El movimiento, pp.28-29.

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(en

°C

)La gráfica de la derecha representa los cambios

que se registraron en la temperatura en una pobla-ción, a partir de un momento en que la temperatura era de 5 °C?

¿De qué manera cambió la temperatura cada hora en el periodo de tiempo en que se hizo el regis-tro? ¿De qué otras maneras puede representarse esta situación?


a) De acuerdo con esta gráfica, el registro de la tem-peratura (T) se empezó a llevar a cabo cuando ésta era de 5 °C. ¿Qué valor se le asigna a h (tiempo en horas) en ese momento?

b) ¿Cuál era la temperatura una hora después de que empezó a hacerse el registro? ¿De qué manera cambió en ese lapso: aumentó o disminuyó? ¿Qué tanto?

c) ¿Qué tanto cambió la temperatura entre la tercera y la segunda horas? ¿Aumentó o disminuyó?

d) ¿Durante cuánto tiempo se llevó a cabo el registro de la temperatura? ¿Qué tanto cambió ésta?

e) ¿Cuánto cambió la temperatura cada hora? ¿Fue constante o variable ese cambio?

Tema 6

��

f ) El fenómeno que se dio en esa población se ha representado me-diante una gráfica. También puede representarse en una tabla como la siguiente. Complétala.

Tiempo, h(enhoras)

Temperatura, T (en°C)

0 5

1 7

2

3

4

g) Si se mantiene la misma tendencia en la temperatura después de la cuarta hora, ¿qué cálculos habría que hacer para saber qué tempe-ratura se tendrá entre la sexta y la quinta horas?

Observa que en el fenómeno que estamos analizando hay una rela-ción entre dos variables (o magnitudes): la temperatura y el tiempo.

123456789

10111213

2 31 40Tiempo(horas)

Tem

pera

tura

(en

°C

) Cambio de temperaturaCambio del tiempo

13 – 94 – 2

42

= 2= =

Cambio de temperaturaCambio del tiempo

11 – 53 – 0

63

= 2= =

Razón de cambio = Cambio del tiempo

Cambio de la temperatura

Bloque 1

��

Al cambio relativo de una de las variables con respecto de la otra se le llama razón de cambio.

Por ejemplo, entre la cuarta y la tercera horas, la razón de cambio es:

Razón de cambio = 13 114 3

21

2−−

= =

La razón de cambio de estas variables es un aumento de 2 °C por hora.

h) En la situación que estamos analizando, ¿hay algún periodo de tiem-po en el que la razón de cambio de estas variables es diferente?

i) ¿Qué significaría el hecho de que la pendiente de la recta fuera diferente a partir de la cuarta hora?

j) ¿Qué significaría que, a partir de la cuarta hora, la gráfica de la situación no fuera una recta?

Si dos variables (magnitudes) están ligadas mediante una relación funcional, se puede analizar el cambio relativo de una de las variables con respecto de la otra mediante el siguiente cociente:

cambio de una magnitudcambio de la otra magnitud

A este cociente se le llama razón de cambio.Por ejemplo, un automóvil transita por una carretera recta. Cuando empezamos a medir el tiempo, el automóvil ya ha avanzado 50 m. En la siguiente tabla se muestran los cambios de posición del automóvil conforme transcurre el tiempo:

Tiempo, t(ensegundos)

Distancia, d(enmetros)

0 501 802 1103 1404 1705 200


1. Observa con cuidado las siguientes tablas, en las que se rela-cionan valores del tiempo con los correspondientes valores de la temperatura de la situación con que empezamos esta lección. Complétalas.

TablaB

Tiempo, h (enhoras)


0.00 5.00

0.25 5.50

0.50

0.75

1.00

1.25

a) La construcción de estas tablas empieza con h = 0, ins-tante al que le corresponde la temperatura inicial de 5 °C. ¿A qué ritmo aumenta el valor del tiempo en la tabla A? ¿Y en la tabla B?

b) Hemos visto que, en la situación que analizamos, la ra-

TablaA

Tiempo, h (enhoras)


0.0 5

0.5 6

1.0

1.5

2.0

2.5

Tema 6

��

zón de cambio ha sido constante: la temperatura ha aumen-tado 2 °C cada hora. De acuerdo con esto, ¿cuánto aumenta la temperatura media hora después de haber empezado el registro? ¿Por qué?

c) Según la tabla A, ¿cuál fue la temperatura en la población 2.5 horas después de haber empezado el registro de tempe-raturas?

d) ¿Cuánto aumenta la temperatura un cuarto de hora des-pués de haber empezado el registro? ¿Por qué?

e) De acuerdo con la tabla B, ¿cuál es la temperatura de la población 1 hora y cuarto después de haber iniciado el re-gistro de temperaturas? ¿Por qué?

f) Las tablas anteriores se ven diferentes entre sí y con res-pecto a la tabla de la situación con que empezó esta lec-ción. ¿Representan las tres la misma situación? ¿En qué basas tu respuesta? Coméntalo con un compañero o com-pañera.

2. Las siguientes tablas se refieren a la situación planteada al inicio de la lección:

(Continuación.)

A la razón de cambio de la posición de un objeto con respecto al tiempo se le llama velocidad, y se calcula con el cociente:

cambio de posicióncambio del tiempo

En este caso, la razón de cambio (o velocidad) es la misma (es constante), y es igual a 30 m/s, lo cual puede verificarse mediante los siguientes cálculos:

• Entre los tiempos t = 5 y t = 3, la razón de cambio es:200 140

5 3

60

230

• Entre los tiempos t = 2 y t = 1, la razón de cambio es:

110 802 1

301

30−− = =

TablaB

Tiempo, h (enhoras)


0.00

0.25 5 + 0.25 × 2 = 5.5

0.75 5 + 0.75 × 2 = 6.5

1.50

a) Calcula la razón de cambio (cambiodetemperatura entre cambiodeltiempo) con los dos datos que se dan en la tabla A.

b) Haz lo mismo con los datos que se dan en la tabla B.c) ¿Representan estas dos tablas la misma situación? ¿Por qué?d) Completa las tablas anteriores y traza las gráficas que correspon-

den a cada tabla. ¿Son diferentes las gráficas o son iguales?

TablaA

Tiempo, h (enhoras)


0.0

0.5 5 + 0.5 × 2 = 6

1.0

1.5 5 + 1.5 × 2 = 8

2.0

3.5

Bloque 1

6.2. Los fenómenos se

comparan con razones

��

0

1

1312111098765432

1 2 3 4

t

h

e) Compara la siguiente gráfica con la que se presentó en la situa-ción inicial. ¿Son iguales o diferentes?

Las siguientes gráficas muestran la forma en que se van llenando dos tinacos de 600 litros de capacidad, al recibir agua de sus respecti-vas llaves de alimentación.

600

500

400

300

200

100

600

500

400

300

200

100

10 20 30 40 50 600

Tiempo(min)

Can

tida

dde

agu

a(l

itro

s)

Tinaco A

10 20 30 40 50 600

Tiempo(min)

Can

tida

dde

agu

a(l

itro

s)

Tinaco B

¿Cuántos litros de agua por minuto recibe cada tinaco. ¿Se llena? uno antes que el otro? ¿Por qué?

Tema 6

��

a) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco A al abrir la llave? ¿Cuál era su volumen 60 minutos después?

b) ¿Cuántos litros de agua por minuto recibió el tinaco A? ¿Cuál es la razón de cambio de volumen de agua del tinaco A?

c) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco B al abrir la llave? ¿Cuál era su volumen 60 minutos después?

d) ¿Cuántos litros de agua por minuto recibió el tinaco B? ¿Cuál es la razón de cambio de volumen de agua del tinaco B?

e) ¿Alguno de los dos tinacos recibió más agua por minuto que el otro?f) La siguiente ilustración muestra, en un mismo plano cartesiano, la

manera en que se llenan ambos tinacos. Junto a cada recta, anota “Tinaco A” o “Tinaco B”, según corresponda.


600

500

400

300

200

100

10 20 30 40 50 600

Tiempo(min)

Can

tida

dde

agu

a(l

itro

s)

Tinaco A

Tinaco B

g) ¿Qué significa el hecho de que la gráfica del llenado de agua de los dos tinacos, sean dos rectas paralelas?

h) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco A después de 20 minutos de haber abierto la llave? ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco B?

i) ¿A los cuántos minutos de haber abierto la llave, uno de los tinacos tenía dos veces más agua que el otro?

j) ¿Se llenó alguno de los dos tinacos antes que el otro? ¿Por qué?

Bloque 1

��

a) ¿Qué distancia había recorrido el vehículo A al empezar el registro de los movimientos de los dos vehículos? ¿Qué dis-tancia recorrió en los primeros 15 minutos?

b) ¿Cuántos kilómetros por minuto viajó el vehículo A? O, di-cho de otra manera, cuál es su velocidad por minuto?

c) ¿Cuál es la razón de cambio de posición en la carretera del vehículo A?

d) ¿Qué distancia había recorrido el vehículo B al empezar el registro del movimiento de los dos vehículos? ¿Cuántos kilómetros más viajó después de 20 minutos?

e) ¿Cuántos kilómetros por minuto viajó el vehículo B o cuál es su velocidad por minuto?

f) ¿Son distintas las velocidades de los dos vehículos? ¿Cuál de los dos viaja con mayor velocidad?

Si en una función, a incrementos iguales en una variable le corresponden incrementos iguales en la otra, se dice que la razón de cambio de la función es constante. La representación gráfica de la función es una línea recta.

Por ejemplo, la razón de cambio de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es constante si se desplaza a una velocidad constante (o uniforme). La gráfica de este tipo de movimiento es una recta.

La siguiente gráfica representa el movimiento de dos vehículos que viajan a distintas velocidades, pero la velocidad de cada uno es uniforme.

Tiempo (min)

Dist

anci

a(k

m)

D

t

Ambas rectas “suben” por la derecha. La que sube más rápidamente indica que la razón de cambio del movimiento de ese vehículo es mayor que la del otro; en otras palabras: ese vehículo viaja más velozmente que el otro. Si las rectas fueran paralelas, las razones de cambio serían iguales.


1. ✓ Las gráficas que aparecen acontinuación muestran el movimien-to de dos vehículos en una carretera recta.

6

12

18

24

30

36

42

48

8 124 16 20 240

Tiempo(min)

Dis

tan

cia

(km

)

Vehículo A

Vehículo B

=

6

12

18

24

30

36

42

48

8 124 16 20 240

Tiempo(min)

Dis

tan

cia

(km

)

=

Tema 6

��

36

42

48

30

24

18

12

6

4 8 12 16 20 240

Tiempo(min)

Dis

tan

cia

reco

rrid

a(k

m)

g) La siguiente ilustración muestra, en un mismo plano cartesiano, la manera en que se desplazan ambos vehículos. Junto a cada recta, anota “Vehículo A” o “Vehículo B”, según corresponda.

h) ¿Cómo se distingue en la gráfica que un vehículo va a mayor ve-locidad que el otro?

i) ¿Qué representa el punto de intersección de las dos rectas?j) ¿Qué significa el hecho de que la gráfica del movimiento de los

dos vehículos, sean dos rectas que no son paralelas?

El fenómeno físico considerado en la actividad 1 es el movimiento en línea recta con velocidad constante, el cual es conocido como movimien-torectilíneouniforme. Una de sus características es que a incrementos iguales en el tiempo, le corresponden incrementos iguales en la posición, sin importar qué tan pequeños sean los incrementos considerados.

2. Observa con cuidado la gráfica de la derecha para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Qué representaría la gráfica anterior si se refiriera al llenado de cuatro tinacos?

b) ¿Qué representaría si se refiriera al movimiento de cuatro vehí-culos en una carretera recta?

c) ¿Qué representaría si se refiriera al costo del viaje en taxi por kilómetro recorrido en cuatro ciudades diferentes?

d) ¿Qué otra situación podría representar la gráfica anterior? Co-menta tu respuesta con un compañero o compañera.

Bloque 1

��

3. Observen con cuidado la gráfica de la derecha para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Qué representaría la gráfica anterior si se refiriera al llenado de cuatro tinacos?

b) ¿Qué representaría si se refiriera al movimiento de cuatro vehícu-los en una carretera recta?

c) ¿Qué representaría si se refiriera al costo del viaje en taxi por ki-lómetro recorrido en cuatro ciudades diferentes?

d) ¿Qué otra situación podría representar la gráfica anterior? Co-menten su respuesta a los demás equipos del grupo.

Una taza de café y una de atole se calientan en un horno de microon-das. Luego, se sacan del horno y se exponen a la temperatura ambiente, que es de 15 °C.

Supongamos que, en los primeros 12 minutos, las temperaturas de ambos líquidos disminuyen uniformemente conforme transcurre el tiempo.

La siguiente gráfica representa una aproximación de los cambios de temperatura de ambas tazas durante los primeros 12 minutos a par-tir del momento en que se sacaron del horno.

6.3. ¿Cuál de los dos cambia

más rápidamente?

10

20

30

40

50

60

70

80

90

2 4 6 8 10 120

Tiempo(min)

Tem

pera

tura

(en

°C

)

Café

Velocidad de enfriamiento de los líquidos

Atole

¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura (o velocidad de enfriamiento) de los dos líquidos? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café y el atole tengan la misma temperatura?

Tema 6

�0

Tiempo(en minutos)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Temperatura del café (en °C)

Temperatura del atole (en °C)

g) Para calcular la razón de cam-bio de la temperatura del café, se toman dos datos cualesquiera de la tabla o de la gráfica. Tomemos, por ejemplo, aquellos en que t = 10 y t = 0; se realiza el cociente:

50 9010 0

4010

4−−

= − − . ¿Qué significa

este resultado negativo en térmi-

nos de la situación?


a) ¿Qué temperatura alcanzó la taza de café en el horno de microondas?b) ¿Qué temperatura alcanzó el atole?c) ¿Cuál es la temperatura del café 10 minutos después de que se sacó

del horno? ¿Cuál es la temperatura del atole en ese momento?d) ¿Cuántos grados por minuto disminuyó la temperatura del café?e) ¿Cuántos grados por minuto disminuyó la temperatura del atole?f ) Completa la siguiente tabla, que representa los cambios de las tem-

peraturas del café y del atole.

h) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura del atole? Escrí-bela en el recuadro de la gráfica. ¿También es negativa? ¿Por qué?

102030405060708090

21 3 5 7 9 114 6 8 10 120Tiempo(min)

Temperatura(en°C)

50 – 9010 – 0

– 4010

= = – 4

102030405060708090

21 3 5 7 9 114 6 8 10 120Tiempo(min)

Temperatura(en°C)

=

Bloque 1

��

i) En el caso de estas gráficas, ¿de qué manera se manifiesta que la razón de cambio de las temperaturas de los líquidos es negativa?

j) ¿Cuánto tiempo trascurrió para que las temperaturas de los dos lí-quidos fueran iguales?

k) ¿Cómo serían las gráficas de las temperaturas de estos líquidos, si en vez de enfriarse en un ambiente fresco, se calentaran en un horno, suponiendo que en los primeros 60 segundos el aumento de las temperaturas de ambos líquidos fuera uniforme conforme transcurre ese tiempo?

Si, en una situación o fenómeno, a incrementos iguales en una magnitud le corresponden decrementos iguales en la otra, la razón de cambio es constanteynegativa. La representación gráfica de la situación es una línea recta que “baja” por la derecha.

Observen los siguientes ejemplos que muestran la razón de cambio en el volumen de agua que hay en dos tinacos.

• Ejemplo 1. Razón de cambio negativa.

0

600

6Tiempo(en horas)

Volu

men

de

agua

(litr

os)

La gráfica indica que el tinaco se vacía a razón de 100 litros por hora (−

= −6006 100 ); es

decir, la razón de cambio del volumen de agua es negativa.


1. ✓ Al empezar la semana, Alicia compró 5 kg de alimento para sus

gallinas. Cada mañana les da 23

de kg de alimento.

a) Completa la siguiente tabla, que representa los cambios en la cantidad de alimento conforme pasan los días.

Tiempo (en días) 0 1 2 3 4 5 6 7

Cantidad de alimento (en kg)

b) ¿Para cuántos días le alcanza el alimento?c) ¿Cuál es la razón de cambio en la cantidad de alimento? ¿Es

positiva o negativa esta razón de cambio?d) Usa el siguiente plano cartesiano para trazar la gráfica de

esta situación.

1

2

3

4

5

21 3 5 74 60

Tiempo(endías)

Can

tida

dde

ali

men

to(

enk

g)

Tema 6

��

2. Tomás cría gallinas, cerdos y conejos. Al empezar la semana, com-pra alimentos distintos para cada tipo de animal. En la siguiente gráfica se muestra la cantidad que compra de cada tipo de alimento y cómo se consume cada uno. Obsérvala con cuidado y contesta las preguntas que se plantean.

15

21 3 5 74 60

Tiempo(endías)

Can

tida

dde

ali

men

to(e

nk

g)

gallinas

cerdos

conejos

a) ¿Qué cantidad de alimento compra Tomás por semana para cada tipo de animal?

b) ¿Qué cantidad de alimento por día consume cada tipo de animal?c) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de alimento de cada tipo?d) ¿Qué animales consumen más rápidamente su alimento? ¿De

qué manera se percibe este hecho en la gráfica?

3. Pedro también cría gallinas, cerdos y conejos, y, al igual que To-más, al empezar la semana compra alimentos distintos para cada tipo de animal. En la siguiente gráfica se muestra la cantidad que compra de cada tipo de alimento y cómo se consume cada uno. Analízala y contesta las preguntas que se plantean.

20

21 3 5 74 60

Tiempo(endías)

Can

tida

dde

ali

men

to(e

nk

g) 15

10

5

gallinas

cerdos

conejos

a) ¿Qué cantidad de alimento compra Pedro por semana para cada tipo de animal?

b) ¿Qué cantidad de alimento consume diariamente cada tipo de animal?

c) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de alimento de cada tipo?d) ¿Qué animales consumen más rápidamente ese alimento? ¿De

qué manera se percibe este hecho en la gráfica?

(Continuación.)

• Ejemplo 2. Razón de cambio positiva.

0

600

5Tiempo(en horas)

Volu

men

de

agua

(litr

os)

La gráfica indica que el

volumen de agua del tinaco aumenta a razón de 120 litros por hora (o bien, 600

5120= ), por lo

que la razón de cambio es positiva.

Bloque 1

��

7Diseño de un estudio o experimento estadístico

El uso de la estadística es fundamental en la investigación en ciencias naturales y sociales. Se aplica principalmente en el diseño de estudios y experimentos sobre situaciones o fenómenos de interés. Para la realización de estos estudios se recopilan datos, los cuales, una vez organizados,

analizados y representados, sirven como base para tomar deci-siones. En estas lecciones realizarás algunos estudios y experi-mentos estadísticos sencillos.

7.1. Diseño de un estudio

estadístico

Te sugerimos leer:

“¿Qué es la estadística?”, en De la Peña, J. A., Matemáticas y vida cotidiana, pp. 26-27.

La alimentación, el deporte y el descanso adecuados son la base de una vida sana. ¿Sabes cuáles son los alimentos que más consumen los adolescentes en México?

María y Toño realizaron una campaña de salud en su escuela, para resaltar la importancia de consumir alimentos nutritivos. Ellos piensan que es importante conocer los hábitos alimenticios de sus compañeros. María entrevistó a los alumnos de primer grado, y Toño, a los de segundo. Enseguida se representan los cuestionarios que aplicaron, y más abajo, los resultados que obtuvieron en una de las preguntas que hicieron.

Encuesta de María

3. Si hoy al llegar a casa comieras un filete con papas, un plato de macarrones y agua, ¿como postre te gustaría más una fruta que un pastel? Sí No

2. Sexo: Mujer

Hombre

1. Edad: __________

¿O prefieres un helado? __________

Encuesta de Toño

3. Si hoy al llegar a casa comieras un filete con papas, un plato de macarrones y agua, ¿cuál crees que sería el mejor postre para acompañar tu comida?

2. Sexo: Mujer

Hombre

1. Edad: __________

una fruta un pastel un helado

¿Qué tipo de gráfica es más conveniente construir para mostrar los resultados de la pregunta 3 de cada encuesta? Si tuvieras disponibles los resultados de las preguntas 1 y 2, ¿qué tipos de gráficas son más convenientes para mostrar los resultados de cada pregunta? ¿Qué otros datos habría que recabar de los entrevistados para conocer el tipo de alimentos que consumen?

Sí 24No 20Un helado 16

Una fruta 15Un pastel 10Un helado 5

Tema 7

��


En equipos de cuatro integrantes, discutan y decidan qué tipo de gráfica es más conveniente para mostrar los resultados de la pregunta 3 de cada encuesta y constrúyanla.

a) De acuerdo con la gráfica que construyeron, ¿con cuál de las dos preguntas (la de la encuesta I o la de la encuesta II), se ha dado lugar a que se prefiera la fruta como postre?

b) ¿Con cuál de las dos preguntas se ha preferido un pastel como pos-tre?

c) ¿Crees que la manera en qué está redactada la pregunta 3 de cada encuesta influye en las respuestas?

d) ¿Cuántos alumnos entrevistó María? ¿Cuántos entrevistó Toño?e) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Completa la tabla y la gráfica siguientes:

Postres

PostreResultadosdeMaría ResultadosdeToño

Frecuencia % Frecuencia %

Fruta 24 15

Pastel 20 10

Helado 16 5

Totales 60 100 30 100

0

10

20

30

40

50

60

Alu

mn

os (

porc

enta

je)

Postres que prefieren tomar dos grupos de adolescentes.

pastelfruta helado

Resultadosde María.

Resultadosde Toño.

f) Comparen las dos gráficas, la que construyeron y la que completa-ron. Si María y Toño quieren argumentar que los alumnos entre-vistados prefieren como postre una fruta, ¿cuál de las dos gráficas conviene utilizar? Justifiquen su respuesta.

g) Elijan una de las dos encuestas (la de María o la de Toño), y aplí-

Bloque 1

��

quenla entre todos sus compañeros de grupo. Clasifiquen las res-puestas y registren sus resultados en una tabla. Para ello deberán acordar cuántas columnas y cuántos renglones deberá tener la tabla, y cuáles son los encabezados y títulos adecuados.

h) Discutan y decidan qué tipos de gráficas conviene utilizar para mos-trar los resultados de las preguntas 1 y 2 de las encuestas. ¿Cuá-les son los ejes y cuál es el título más apropiado para cada gráfica? Constrúyanlas y preséntenlas al grupo.

i) Con base en los datos que obtuvieron en las encuestas I y II, ¿cuál es el postre que prefiere el grupo?

j) Escriban en su cuaderno una conclusión sobre los resultados que obtu-vieron en sus encuestas sobre el postre que prefieren sus compañeros.

Una manera de obtener datos estadísticos es por medio de encuestas. En muchos casos se buscan datos de grupos con un gran número de elementos (empresas, votantes, amas de casa, productos, clientes). Debido al tiempo y a otras consideraciones, las encuestas se aplican a sólo una pequeña parte del grupo.

Al grupo completo de elementos se le llama población, y al subgrupo en que se aplican las encuestas se le llama muestra. Por ejemplo, si se quiere conocer los antecedentes clínicos de los alumnos de tu escuela, al encuestar a todos se está considerando a toda la población, pero si sólo se toman en cuenta los datos de los alumnos de tu grupo, los datos recopilados pueden ser una muestra.


1. Con los resultados que obtuvieron al aplicar la encuesta en el grupo, realicen las siguientes clasificaciones:

a) De acuerdo con la edad, ¿quiénes prefieren tomar un helado como postre?

b) Según el sexo, ¿quiénes prefieren comer un pastel como postre: los hombres o las mujeres?

c) Con base en la edad, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres se entrevistaron?

d) Anoten otra clasificación que se podría realizar con los datos que obtuvieron. Organicen los datos de acuerdo a esa nueva clasificación y preséntenla al grupo.

2. ✓ A continuación les sugerimos otros temas relacionados con la salud.

• Deportes que practican• Hábitos de descanso• Enfermedades que han padecido• Antecedentes clínicos de familiares directos

Seleccionen uno de ellos y elaboren una encuesta para obte-ner los datos.

a) Comenten qué preguntas podrían plantear en la encuesta.b) ¿Cómo clasificarán y organizarán los datos que obtengan?c) ¿Qué representaciones gráficas utilizarán? ¿Por qué?

Tema 7

��

d) Elaboren sus conclusiones y relacionen los resultados de este nuevo estudio con los que obtuvieron otros compañeros y con los resultados de la investigación que realizaron anteriormente.

e) Investiguen en diversas fuentes (Internet, anuarios, publicacio-nes oficiales, etc.) cuáles son las estadísticas nacionales referi-das al aspecto que seleccionaron.

7.2. Experimento estadístico:

un juego con aviones

de papel

Seguramente alguna vez has construido un avión de papel y lo has lanzado, pero, ¿has medido la distancia que recorrió?

Los aviones pueden construirse con una o con dos hojas de papel. ¿Cuál de los dos aviones crees que, al ser lanzado, llegue más lejos? ¿Por qué?

Avión hecho con una sola hoja Avión hecho con dos hojas

Formen equipos de tres o cuatro integrantes para construir dos aviones. Usen una hoja para hacer el primero y empalmen dos hojas para hacer el segundo.

Señalen la línea de salida y lancen los dos aviones al mismo tiem-po. Midan y registren la distancia que recorra cada avión. Realicen 20 lanzamientos con cada uno.


a) Al realizar este experimento, ¿qué tipo de datos obtendrán en cada lanzamiento: cualitativos o cuantitativos? Justifiquen su respuesta.

b) ¿Qué tipo de tabla conviene utilizar para registrar los datos que se obtengan? ¿Cuántas columnas y renglones deberá tener? Elabórenla y registren sus resultados.

(Continuación.)

Los datos estadísticos son las observaciones recolectadas; por ejemplo, las respuestas obtenidas en una encuesta. Los datos de una encuesta pueden ser números (estaturas, edades, pesos), y se les llama datoscuantitativos. A los datos que no son numéricos, como el tipo de alimentos que prefiere una persona, se les denomina datoscualitativos.

Bloque 1

��

c) De acuerdo con los resultados que presenta su tabla, ¿cuál es la ma-yor distancia que recorrió el avión construido con una sola hoja? ¿Cuál es la mayor distancia que recorrió el otro avión?

d) Para el caso del primer avión, ¿cuál es el valor de la distancia que se registró con mayor frecuencia?

e) En el caso del segundo avión, ¿cuál es el valor de la distancia que se registró con mayor frecuencia?

f ) ¿Cuál es la distancia promedio que recorre cada tipo de avión?g) Si quisieras comparar las diferentes distancias que alcanzó el pri-

mer avión con las que alcanzó el segundo, ¿qué tipo de gráfica des-cribe mejor estos datos? Justifica tu respuesta.

h) ¿Cuáles deben ser los ejes? ¿Qué escala se debe utilizar en cada eje? ¿Cuál es el título más apropiado para la gráfica?

i) Después de realizar el experimento y de haber analizado los re-sultados obtenidos, ¿consideras que el material con el cual está construido el avión, influye para lograr que recorra una distancia mayor?

j) Compara tus conclusiones y representaciones estadísticas (tablas y gráficas) con las de otros equipos.

En un experimento, si los datos que se obtienen son el resultado de contar o medir, son datos cuantitativos. Los datos cuantitativos se clasifican, a su vez, de la siguiente manera:

• Datos discretos. Se obtienen mediante un conteo; sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3, etcétera.

• Datos continuos. Se obtienen al realizar una medición; por ejemplo, estaturas, pesos, distancias, áreas, volúmenes, etcétera.

En los estudios estadísticos es importante considerar el tipo de información que interesa contar o medir, para determinar el procedimiento y las herramientas estadísticas (tablas, gráficas, medidas de tendencia central, etc.) que se utilizarán. Por ejemplo, si se pregunta a los integrantes de un equipo deportivo cuál es el número que aparece en su playera, no tiene sentido calcular la media o la mediana de esos datos, porque esos números se usan como identificación y no representan una medición ni un conteo.


1. ✓ Un equipo realizó el experimento anterior y presentó sus re-sultados mediante una gráfica como la siguiente.

1180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

2 3 4 5 6 7 8 9 10Número de lanzamientos

Distancias recorridas por dos aviones

Dis

tan

cia

reco

rrid

a (e

n c

m)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Avión 1 Avión 2

Tema 7

��

a) De acuerdo con la gráfica, ¿cuál es el avión que vuela distancias más largas: el 1 o el 2? ¿Por qué?

b) ¿Cuál de los dos aviones voló más veces distancias mayores a 350 cm?

c) ¿Cuál de las tablas siguientes es más conveniente utilizar para presentar los datos de la gráfica anterior? ¿Por qué?

d) ¿Cuál fue la distancia que más veces recorrió el avión 1? ¿Cuál fue la distancia que más veces recorrió el avión 2?

e) Si se utiliza el valor de la distancia media o promedio que reco-rrió cada avión, ¿cuál de las dos fue mayor?

f) ¿Cuál de las dos medidas de tendencia central (la moda o la me-dia) utilizarían para argumentar que tanto el avión 1 como el avión 2 recorren, en promedio, las mismas distancias?

g) Obtengan la mediana de las distancias recorridas por cada avión y comparen estos valores con los de la distancia media y la moda. ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central podrían utilizar para argumentar que el avión 2 realiza recorridos más largos con respecto al avión 1? Justifiquen su respuesta.

h) Con base en la información que han manejado en este experi-mento, ¿consideran que, al lanzar un avión de papel, el número de hojas de papel que lo componen influye para obtener recorri-dos más largos? Justifiquen su respuesta.

2. Reúnete con dos o tres compañeros. Consigan 12 popotes. Corten cuatro de ellos por la mitad; otros cuatro, en cuartos, y dejen sin cortar los cuatro restantes. Ahora tienen 28 popotes de diferentes longitudes.

Colóquenlos en una bolsa que no sea transparente y revuélvanlos. Luego, seleccionen uno al azar, registren su longitud y regrésenlo a la bolsa. Repitan el proceso hasta realizar 20 extracciones.

a) En este experimento, ¿qué tipo de datos cuantitativos obtendrán en cada extracción: discretos o continuos? Justifiquen su respuesta.

b) ¿Qué tipo de tabla conviene utilizar para registrar la medida de cada popote que se extraiga? ¿Cuántas columnas y renglones de-bería tener? Elabórenla y registren los resultados que obtengan.

c) De acuerdo con los resultados que registraron en su tabla, ¿cuál es la longitud del popote que se registró con mayor frecuencia?

d) ¿Cuál es la media y la mediana de las longitudes de la muestra de 20 popotes? ¿Qué significado tiene la media en esta situación? ¿Y la mediana?

e) Ahora saquen todos los popotes y calculen la media y la mediana de los 28 popotes (esto es, de la población). ¿Cuáles son los valo-res de estas medidas?

f) ¿La muestra compuesta por las 20 extracciones dio un promedio (media) cercano al promedio (media) de la población? ¿Qué su-cedió al comparar el valor de la mediana de las 20 extracciones y el valor respectivo de los 28 popotes?

g) Obtengan conclusiones respecto a trabajar con una muestra y con una población. Presenten su trabajo ante el grupo.

Tabla 2

Distanciarecorrida(encm)

…

Númerodelanzamiento

…

Númerodeaviones

…

Tabla 1

Distanciarecorrida(encm)

Númerodelanzamiento

Avión1

Avión2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

…

Aprendizajes esperados

BLOQUE 2

1.Resuelvanproblemasqueimpliquenel

usodeecuacionesdesegundogrado,

asumiendoqueéstaspuedenresolverse

medianteprocedimientospersonaleso

canónicos.

2.Resuelvanproblemasqueimpliquen

utilizarlaspropiedadesdelasemejanza

entriángulosy,engeneral,encualquier

figura.

3.Resuelvanproblemasdeprobabilidad

queimpliquenutilizarlasimulación.

Que los alumnos:

79

Los índices o indicadores son números que utilizan principalmente los sectores productivos y las dependencias gubernamentales. Estos índices los vemos cotidianamente en la prensa económica y financiera o los escuchamos en las declaraciones o informes de los funcionarios gubernamentales que explican, por ejemplo, las variaciones de los índices de edificación y vivienda o en salud y educación, y que sirven para reorientar las acciones del gobierno. Uno de los índices más importantes en la economía del hogar, y de la población en general, es el índice de precios, el cual sirve para medir el cambio de valor de un artículo o un conjunto de artículos a través del tiempo. Por ejemplo, supóngase que se define como canasta básica a los cuatro artículos con sus respectivos precios que se enlistan en la siguiente tabla.

Artículo Unidad $ de 2001 $ de 2007 Cociente Índice

Leche 1 litro 7.00 10.50 10.50/7.00 = 1.5 150

Bolillo 1 pieza 0.70 1.50 1.50/0.70 = 2.143 214.3

Tortillas 1 kg 4.50 8.50 8.50/4.50= 1.889 188.9

Aceite 1 litro 10.00 20.00 20.00/10.00 = 2.00 200

Totales 22.20 40.50 7.532 753.2

Si se considera el precio de la canasta básica de 2001 como base de comparación, un índice de precios (no el único) para esta canasta se calcula de la siguiente manera:

Esto significa que la despensa subió de precio 88.3 % con respecto al valor que tenía en el año base (2001). Entre los números índices que son más mencionados por la prensa figuran el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (IPC) y el Índice Mexicano de la Calidad del Aire (IMECA).

BLOQUE

2

Investiga los precios actuales de los cuatro artículos enlistados en la tabla y calcula el índice de aumento del precio de la canasta básica del año actual con respecto del precio que tenía en 2001.

P Proyecto

¿Quiénes utilizan los índices o indicadores?

7.5324 3 100 5 188.3

80

Bloque 2

81

8.1. Resolución informal de

ecuaciones no lineales

El área de la superficie total de una caja de cartón abierta es de 380 cm2. Mide 4 cm más de largo que de ancho, y su altura es de 5 cm. ¿Cuánto mide de largo y de ancho?

8Ecuaciones no lineales

Hay situaciones que se resuelven mediante ecua-ciones cuya incógnita tiene exponente escrito, como x2 + 20x + 15 = 315, x3 + 7 = 15. A estas ecuaciones se les llama ecuaciones no lineales. En la siguiente lección analizarás algunas situaciones que se resuelven mediante este tipo de ecuaciones.

5 cm5 cm


a) Si el ancho de la caja midiera 7 cm, ¿cuánto mediría de largo? ¿Cuál sería el área de la base? ¿Cuál sería el área de cada una de las cuatro caras? ¿La suma de las áreas de las cinco regiones es 380 cm2?

b) Una manera de resolver el problema por tanteo, consiste en elaborar una tabla como la de la siguiente página; en ella se asignan valores al ancho de la caja para calcular el largo y el área total de la caja. Complétala.

c) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que su área total sea de 380 cm2?

d) Si designas con la letra x el ancho de la caja, ¿cómo se representa el largo? ¿Y el área de la base? ¿Y el área de cada una de las cuatro

5 cm

?

?

Tema 8

82

5 cm5 cm

caras? Anota toda esta información en la plantilla de la caja que se muestra a continuación.

e) Enseguida se muestra la plantilla de otra caja, que llamaremos B. En ella, el largo mide 3 cm más que el ancho, su altura es de 4 cm y su área total es también de 380 cm2. La ecuación que permite hallar las medidas de su ancho y largo es x2 + 19x + 24 = 380. ¿Cómo se obtuvo esta ecuación?

Dimensiones de la caja Áreas de las caras y la base Área totalAncho Largo Altura Cara 1 Cara 2 Cara 3 Cara 4 Base

6 10 5 30 30 50 50 60 220

7

8

9

10

11

x � 3

x

4 cm4 cm

4 cm

x

x � 3

f ) Para encontrar por tanteo las dimensiones de la caja B, asignamos valores a la letra x y evaluamos la expresión hasta que su valor sea 380. Por ejemplo, para x = 10:

x2 + 19x + 24 = 380 ¿(10)2 + 19(10) + 24 = 380? 100 + 190 + 24 = 314 ≠ 380 El ancho no mide 10 cm

Bloque 2

A � 204 cm2 x

x � 5

V � 200 cm3

x

x

8 cm

83

A las ecuaciones como las anteriores, cuyas literales tienen expo-nente escrito, se les llama ecuaciones no lineales. Otros ejemplos de ecuaciones no lineales son: x2 – 5 = 86, x3 + 1 = 7. En particular, a la primera de ellas se le llama ecuación cuadrática, y a la segunda, ecuación cúbica.

g) ¿Qué ecuación permite hallar las medidas de la caja del problema inicial?

h) ¿Cuál es la solución de esa ecuación? i) En el contexto de la situación que se plantea, ¿qué representa la so-

lución de esta ecuación?

1. Escribe una ecuación que represente cada una de las siguientes si-tuaciones. Resuélvelas por tanteos.

a) El área de un tarjetón cuadrado es 144 cm2. ¿Cuánto mide por lado?

b) El volumen de un cubo es 8 cm3. ¿Cuánto mide de arista? c) Tengo x bolsas con x canicas cada una. Voy a regalar 36 canicas

y me van a quedar 364. ¿Cuántas bolsas tengo y cuántas canicas tiene cada una?

d) Juan tiene un terreno cuadrado dividido en dos franjas rectangu-lares. Una de ellas mide 20 m de ancho y la usa como estaciona-miento público. En la otra franja está construyendo unos depar-tamentos. Si el área destinada a los departamentos mide 3500 m2, ¿cuánto mide por lado su terreno?

e) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Si un número lo elevo al cuadrado y al resultado le resto 6, obtengo 30. ¿Cuál es el número?

f ) Al cubo de un número le sumo 7 y obtengo 15. ¿Cuál es el número?

2. Plantea una ecuación que represente cada una de las siguientes si-tuaciones. Resuélvelas. Utiliza una calculadora para realizar las ope-raciones.


Tema 9

84

3. Halla el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones:

a) 2x3 = 54

b) 3x2 = 128

c) x2 + 17 = 42

d) x2 – 14 = 22

e) x3 – 10 = 115

f ) ✓ x3 + 22 = 86

Una fotografía mide 10 cm de ancho y 12 cm de largo. Calcula la anchura (x) del marco si su área es de 104 cm2.

9.1. Resolución por factorización

9Ecuaciones no cuadráticas

¿Qué número elevado al cuadrado da 144 como resultado? ¿Sólo es el 12? No, también es el –12. ¿Por qué? Una manera de entenderlo consiste en plantear una ecuación para repre-sentar esta situación. En este caso, la ecuación es x2 – 144 = 0, que, como verás en esta lección,

tiene dos soluciones: 12 y –12.

xx

10 cm

12 cm

xx


a) El marco está formado por ocho piezas. ¿Cuál es la longitud de cada una?

b) Si la anchura de todas las piezas es x, ¿cuál es el área de cada una?

x10 10 8 8xx

Bloque 2

85

c) ¿Cuánto suman las áreas de las ocho partes?d) Con esta información, ¿qué ecuación cuadrática puede plantearse

para resolver el problema? Resuelve esa ecuación y comenta con un compañero o compañera el procedimiento que seguiste para hacerlo y las soluciones que encontraste.

Supón que las medidas de la fotografía fueran las mismas (10 cm de ancho por 12 cm de largo), y que el área del marco fuera 168 cm2. Entonces la suma de las áreas de las ocho piezas se expresaría median-te la siguiente ecuación:

4x2 2(10x) 168� � �2(12x)

Para hallar la anchura x, resolvemos la ecuación cuadrática:

4x2 + 2(10x) + 2(12x) = 168

4x2 + 20x + 24x = 168

4x2 + 44x – 168 = 0Escribimos la ecuación en la

forma ax2+ bx + c = 0.

x2 + 11x – 42 = 0Dividimos ambos miembros

entre 4.

(x + 14)(x – 3) = 0Factorizamos el primer

miembro de la ecuación.

Si el producto de dos números es cero, uno de esos factores es cero.

x + 14 = 0 x – 3 = 0

x = –14 x = 3 Resolvemos las ecuaciones.

Descartamos la solución negativa, porque no hay dimensiones negativas. Por tanto, la anchura del marco sería: x = 3 cm.

Comprobemos la solución:

4(3)2

36

2(10)(3)

60

168� � �

168� � �

2(12)(3)

72

Tema 9

86

e) Utiliza el método anterior (llamado método de factorización) para re-solver la ecuación del problema inicial (el área del marco es 104 cm2) y comenta con un compañero o compañera las soluciones que hallaste.

f ) ¿Cuánto mide el ancho del marco de la fotografía?

1. En el problema inicial, el área de todo el rectángulo formado por la foto y su marco es (2x + 10)(2x + 12) = 104 + 120.


Si el primer miembro de una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 se puede factorizar, la ecuación se resuelve de la siguiente manera:

• Si se factoriza como (x + m)(x + n), la solución es x = –m, o bien, x = –n, ya que (x + m)(x + n) = 0 implica que x + m = 0, o bien, que x + n = 0.

• Si se factoriza como trinomio cuadrado perfecto, es decir, (x + m)2 = 0, la ecuación sólo tendrá una solución: x = –m, porque el cuadrado de un número es cero si el número es cero.

Veamos unos ejemplos:

• Si es el producto de dos binomios con un término común (como x2 – 5x + 6 = 0), la ecuación tiene dos soluciones diferentes:

(x – 2)(x – 3) = 0x – 2 = 0, x1 = 2x – 3 = 0, x2 = 3

• Si el primer miembro es trinomio cuadrado perfecto (como x2 + 6x + 9 = 0), sólo hay una solución:

(x + 3)2 = 0x + 3 = 0

x1 = x2 = –3

2x � 10 (2x � 10)(2x � 12) � 104 � 120

2x � 12

10 cm

12 cm

a) Resuelve esta ecuación para hallar la anchura del marco.b) ¿Las soluciones de esta ecuación y la del problema inicial son

iguales o diferentes? ¿Por qué?

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Pedro tiene un taller instalado en un terreno cuadrado. Lo amplíar aumenta 5 m a un lado y 2 m al otro. Si el área del terreno rectangular formado es 117 m2, ¿cuánto mide el lado del cuadrado inicial?

x x � 5

x � 2x

b) Halla dos enteros consecutivos cuya suma de sus cuadra-dos sea 61.

c) Un número es 6 unidades mayor que otro. La suma de sus cuadrados es 146. ¿Cuáles son los números?

d) Encuentra una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0, cuyas soluciones sean –1 y –2.

Bloque 2

87

b) Si el área de uno de esos rectángulos es 108 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? Resuelve el problema mediante una ecuación cua-drática. Utiliza la tabla anterior para verificar tu respuesta.

4. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas. Comprueba por sustitución.

Largo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ancho

10Figuras semejantes

Elena fue a la “Casa de los espejos” y se vio reflejada en imágenes cómicas en varios de ellos. ¿Esas imágenes son semejantes a la verdadera apariencia de Elena? Aunque muchas de sus características físicas se ven también en los espe-jos, las imágenes no son semejantes con el origi-

nal, en un sentido matemático. ¿Qué hace que dos figuras sean semejantes? Éste es el tema de las siguientes lecciones.

Te sugerimos leer:

“Figuras semejantes”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 30-31.

a) ✓ x2 + 5x + 6 = 0

b) x2 + 4x + 3 = 0

c) x2 – 4x + 3 = 0

d) x2 + 2x = 3

e) x2 + 7x + 12 = 0

f) x2 – 2x – 8= 0

g) x2 – 5x + 4 = 0

h) x2 + 6x = –8

i) x2 – 3x – 10 = 0

j) x2 + 4x – 21 = 0

k) x2 – 10x + 16 = 0

l) ✓ x2 + x – 90 = 0

3. ✓ El perímetro de un terreno rectangular es de 48 m.

a) ¿Cuáles son algunas de las posibles medidas de sus lados? Anóta-las en la siguiente tabla.

Tema 10

88


a) Usa papel transparente para comparar todos sus ángulos homólo-gos. ¿Son iguales los ángulos ABC y PQR? ¿Y los ángulos BCD y QRS?

b) ¿Qué otros ángulos homólogos pueden compararse? ¿Qué relación hay entre los ángulos homólogos de estas figuras?

c) Mide con una regla graduada cada uno de los segmentos que forman las figuras anteriores y anota junto a cada segmento la medida de su longitud.

d) ¿Cuál es la razón de las longitudes de los segmentos homólogos AB y PQ? ¿Y la de los lados homólogos BC y QR?

e) ¿Qué otros lados homólogos pueden compararse? Halla las razones de las longitudes de los segmentos homólogos. ¿Son iguales o dife-rentes estas razones?

f ) Consulta la sección No olvides que… para determinar si las figuras anteriores son semejantes.

g) En hojas cuadriculadas, dibuja los polígonos que sean semejantes al siguiente, de modo que la razón entre las longitudes de sus lados

homólogos (es decir, la razón de semejanza) sea 13

.

Las siguientes dos figuras representan la reducción y la ampliación de una caja de cerillos. ¿En qué se parecen estas figuras? ¿En qué se diferencian? ¿Qué relación hay entre los ángulos y los lados homólogos de estas figuras?

10.1. ¿Cuándo dos figuras son

semejantes?

A B

CD

P Q

R

S

Recuerda que una razón es la expresión que compara dos cantidades mediante una división. Por ejemplo, la razón de

8 a 12 es 812 , o bien,

23 . Cuando se tienen

dos razones iguales se forma una proporción.

La expresión 8 2 = 12 3

es una proporción. Una proporción es la expresión de la igualdad entre dos razones.

Bloque 2

89

1. Los siguientes cuadriláteros de la derecha son congruentes. ¿Son también semejantes? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un com-pañero o compañera.

Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

El orden en que se escriben las letras indica los segmentos y los ángulos de los polígonos que se corresponden.

P

QR

SD

A

BC

Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD y PQRS son semejantes porque:

AB BC CD DA = = = PQ QR RS SP

y además

∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y ∠D = ∠S


A B

CD

5

5

P Q

RS

10

15

h) ¿Cuál es la razón de semejanza de las figuras del problema inicial? Compara tu respuesta con las obtenidas por otros compañeros.

3. Los siguientes cuadriláteros son un cuadrado y un rombo, res-pectivamente. ¿Son semejantes estas figuras? ¿Por qué?

A B

CD

12

12W X

YZ

15

15

12

15

12

15=

Pero ∠A ≠ ∠W

2. ✓ ¿Son semejantes los siguientes polígonos? ¿Por qué?

Si ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y ∠D = ∠S

Pero, 5

10

5

15≠

Tema 10

90

5. ¿Son semejantes los siguientes polígonos? Justifica tus respuestas

1215

1814

1316

1915 130

45

6535

50

52

26

1820

14

6. Comenta con un compañero o compañera si las siguientes parejas de polígonos son siempre, algunas veces o nunca semejantes:

a) Dos triángulos equiláterosb) Dos triángulos rectángulos c) Dos cuadradosd) Dos rectángulos e) Dos rombos f) Dos hexágonos regulares g) Un triángulo isósceles y un triángulo escaleno

a) b)

10.2. Problemas sobre polígonos

semejantes

Una fotografía de 7 cm de ancho y 10.5 cm de largo se amplificó de modo que el lado homólogo del lado de 7 cm mide 8 cm. ¿Cuánto debe medir el otro lado?

P Q

T

S

R

20V W

Z

Y

X

32

4. Los siguientes polígonos son semejantes. ¿Cuál es la razón de seme-janza?

7 cm 8 cm

10.5 cm?

Bloque 2

91


a) El ancho de la fotografía ampliada aumenta 1 cm con respecto de la original. ¿El largo debe aumentar también 1 cm? ¿Por qué? Co-menta las razones de tu respuesta con un compañero o compañera.

b) Si una de las fotografías rectangulares es ampliación de la otra, los rectángulos deben ser semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza?

c) Como los rectángulos son semejantes, las razones de las longitudes

de los lados homólogos deben ser iguales, es decir, BC BC = PQ QR

. ¿Qué

ecuación puede plantearse a partir de esta igualdad para conocer la longitud de la fotografía ampliada?

d) ¿Cuánto mide de largo la fotografía ampliada?e) En papel o cartoncillo, recorta los rectángulos correspondientes a la

fotografía original y a la copia ampliada. ¿Se parecen los rectángu-los, es decir, el segundo no se ve desproporcionado con respecto del primero?


1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Los cuadriláteros ABCD y A’B’C’D’ son semejantes. Contesta las preguntas que se plantean acerca de ellos.

B'17.5

25.5 7.5

C'

A'

D'

14

8

A

D C

B

135°

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?b) ¿Qué tipo de cuadrilátero debe ser A’B’C’D’? c) ¿Cuál es la medida del ∠D? ¿Y la del ∠A?d) ¿Cuál es la longitud del lado BC? ¿Y la del lado C’D’? ¿Y la del

lado DA? e) ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD? ¿Y la del cuadrilá-

tero A’B’C’D’? f ) ¿Cuál es la razón de los perímetros de estas figuras?

Tema 10

92

2. En cada caso, los polígonos son semejantes. Halla los valores de x, y y z.

z

y

x

20

9

7

65

y

24

30

36

z

x10

12

y

x

18

9z

610

8

3. Observa la siguiente ilustración, que muestra dos rectángulos tra-zados sobre un plano cartesiano.

a)b)

c)

O1 9DA

1

6

y

x

F E

C B

a) ¿Son semejantes los rectángulos OABC y ODEF? ¿Cuál es la razón de semejanza de estos rectángulos?

b) Multiplica por 3 las coordenadas de los vértices del rectán-gulo OABC, localiza las nuevas coordenadas y traza el cua-drilátero correspondiente, que llamaremos OGHI.

c) ¿El cuadrilátero OGHI es un rectángulo? ¿Es semejante al rectángulo OABC? ¿Cuál es la razón de semejanza de estas figuras?

d) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos O, B, E y H? ¿Están alineados estos puntos?

Si se tienen dos polígonos semejantes y se desconocen algunas medidas (de ángulos o lados) de uno de ellos, para hallarlas se aplica la definición de polígonos semejantes.

Por ejemplo, encontrar la longitud del lado marcado con la letra x y la medida del ángulo marcado con la letra y de los siguientes polígonos semejantes. (Las medidas de los lados están dadas en centímetros.)

C

D42

AB

36 78° 83°

LK

N

48

M

y

x

Como las razones de las longitudes de los lados homólogos son iguales, puede escribirse la ecuación:

36 42 = 48 X

3 42 = 4 X

3x = 4 x 42 x = 56

Por tanto, la medida del lado x es 56 cm.Además, como ∠B = ∠L, la medida del ∠y es 83°.

Bloque 2

93

4. Observa la siguiente ilustración, que muestra un cuadrilátero construido sobre un plano cartesiano.

10B

C

D

87654321

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0–1–2–3–4–5A–7

y

x

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD?

b) Multiplica las coordenadas de los vértices por 2

3, localiza las

nuevas coordenadas y traza el cuadrilátero correspondiente. c) ¿Qué fracción de las longitudes de los lados del cuadrilátero ori-

ginal son las longitudes de los lados del nuevo cuadrilátero?d) Multiplica ahora las coordenadas de los vértices del cuadrilátero

ABCD por 4

3, localiza las nuevas coordenadas y traza el cuadrilá-

tero correspondiente. e) ¿Qué fracción de las longitudes de los lados del cuadrilátero ori-

ginal son las longitudes de los lados del nuevo cuadrilátero? f ) Compara tus resultados con los que obtuvieron otros compañeros.

Discutan: ¿son semejantes estos tres cuadriláteros? ¿Por qué?

5. Utiliza el álgebra para resolver las siguientes ecuaciones de propor-cionalidad:

a) Si 20 26 = a + 3 2a – 1

, ¿cuál es el valor de a?

b) Si 2b – 6 6 = 3b – 4 8

, ¿cuál es el valor de b?

c) Si c – 11 3 = 24 4

, ¿cuál es el valor de c?

60 cm

70 cm30 cm35 cm

Tema 11

94

Los siguientes dos triángulos presentan dos pares de lados propor-cionales y claramente se ve que no son semejantes.

11.1. Criterios de semejanza

de triángulos

11Triángulos semejantes

Como recordarás, en el tema 2 encontramos tres formas breves para determinar si dos triángu-los son congruentes: LLL, LAL, ALA, a las que lla-mamos criterios de congruencia. ¿Habrá también criterios similares para determinar si dos triángulos son semejantes? Acerca de esta cuestión trata-

rán las siguientes lecciones.

Te sugerimos leer:

“Triángulos semejantes. Medición de alturas”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 32-33.

¿Qué condiciones mínimas deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes? Por ejemplo: ¿es suficiente con que los tres pares de lados homólogos sean proporcionales?; o bien, ¿es suficiente con que los tres pares de ángulos homólogos sean iguales?


Veamos en primer lugar si dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro.

a) Traza un triángulo ABC en tu cuaderno.

A

C

B

Bloque 2

95

b) Con regla y compás, construye un segundo triángulo DEF, cuyas longitudes de los lados sean un múltiplo de las del triángulo origi-nal. (Los tres lados del segundo triángulo pueden medir dos, tres o cuatro veces lo que miden los lados del triángulo original.)

c) Mide con el transportador los ángulos homólogos de los dos trián-gulos. ¿Son iguales o diferentes? Compara tus resultados con los obtenidos por un compañero o compañera.

d) Construyeron dos triángulos cuyos tres pares de lados son pro-porcionales. ¿Son semejantes estos dos triángulos? Escriban la conclusión correspondiente a los resultados de la investigación que realizaron.

Veamos ahora si dos triángulos son semejantes cuando los tres ángulos de uno son iguales a los homólogos del otro.

a) Traza un triángulo ABC.b) Construye un segundo triángulo DEF, con ∠A = ∠D y ∠B = ∠E.

D EA

C

B

¿Son iguales el tercer par de ángulos? ¿Por qué? c) Mide con cuidado las longitudes de los lados de los dos triángu-

los y, con la ayuda de una calculadora, encuentra y compara las razones de las longitudes de los lados homólogos:

AB

DE= BC

EF= AC

DF=

¿Son iguales estas razones? ¿Las longitudes de los tres pares de lados son proporcionales? Compara tus resultados con los obte-nidos por otros compañeros o compañeras.

d) Construyeron dos triángulos cuyos tres pares de ángulos son iguales. ¿Son semejantes los triángulos ABC y DEF? Escriban la conclusión acerca de los resultados de la investigación que reali-zaron.

Tema 11

96

1. En la sección Exploración y discusión encontraste dos criterios de semejanza triángulos (LLL y AAA). ¿Por qué puede asegurarse que ALA, AAL y AA son también criterios de semejanza de triángulos?

2. ¿Es LAL un criterio de semejanza? Para averiguarlo, trata de cons-truir un ∆XYZ que no sea semejante al ∆PQR, de modo que los lados que forman el ángulo de 60° sean proporcionales a los correspon-dientes del ∆PQR.


P

2 cm

3.5 cm

60°

R

Q X60°

40° 40°40°40°A B

C

3. ¿Son semejantes dos triángulos rectángulos que tienen los catetos proporcionales? ¿Por qué?

4. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Construye dos trián-gulos isósceles que no sean semejantes.

5. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles cuyos ángulos de la base miden 40°? Trata de construir un triángulo que cumpla esta condición y que no sea semejante al ∆ABC.

Bloque 2

97

8

612

4

63

10

6

100°

5

3100°

70°

8

3

4

270°

15

128

5

84

8

9

126

8

3.5

74

4

2

6. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 30°. ¿Son semejantes? ¿Por qué?

30°30°

7. Determina si las siguientes parejas de triángulos son seme-jantes. En caso afirmativo, escribe el criterio de semejan-za que lo justifique.

a)

b)

c)

d)

e) f )

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.Como en el caso de la congruencia de triángulos, existen criterios que permiten reducir las condiciones para garantizar la semejanza de triángulos. Tales criterios son:

• Criterio AAA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos iguales.

• Criterio LLL. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales (k ≠ 0).

c

ba

kc

kbka

• Criterio LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales (k ≠ 0).

kb

ka

b

a

✓

✓

✓

Tema 11

98

2

S A

B

E

1

Espejo

x

Sonia va a estimar la altura de la astabandera de su escuela de la siguiente manera: coloca un espejo en el piso y se retira de él hasta el punto en que pueda ver, reflejada en el espejo, la parte más alta de la astabandera, como se muestra en la figura.

La estatura de Sonia es de 1.69 m, pero sus ojos están 9 cm abajo de la parte superior de su cabeza. La distancia entre ella y el espejo (SE) es de 1.20 m, y del pie de la asta-bandera al espejo (AE) es de 4.5 m. Por la Física sabemos que ∠1 = ∠2. ¿Qué altura tiene la astabandera?

11.2. Problemas sobre

triángulos semejantes


a) ¿Por qué los triángulos SEO y AEB son semejantes? ¿Qué criterio de semejanza lo justifica?

b) ¿Cuáles son los tres pares de lados homólogos de los triángulos SEO y AEB? ¿Cuáles de ellos son de interés para resolver el problema?

c) Escribe una expresión de proporcionalidad para hallar una aproxi-mación a la altura de la astabandera.

d) ¿Cuál es la altura? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera y luego con las de los demás compañeros del grupo.

1. Luis midió, de modo indirecto, la anchura de un río basándose en criterios de semejanza de triángulos. El siguiente esquema resume el procedimiento que siguió:


A

?

D

C

13 m

20 m

50 m

B

Bloque 2

99

4 m

6 m

6 m

n

1 m

2 m

3 m

n

5 m

8.6 m

n

8.2 m

8.2 m

n

0.5 m

0.6 m

Si se tienen dos triángulos semejantes y se desconoce la medida de un lado o un ángulo de uno de ellos, para hallarla se aplica un criterio de semejanza. Así, es posible medir, de manera indirecta, la altura de un edificio, de un árbol, etc., en un día soleado: todos los segmentos verticales y sus sombras horizontales son catetos de triángulos rectángulos semejantes, por tener un mismo ángulo agudo; por tanto, dichos catetos son proporcionales.

3 m

0.75 m5 m

x

De esta manera, por ejemplo, si la sombra de un edificio mide 5 m y, a la misma hora, la de un poste de 3 m de altura es de 0.75 m, la altura del edificio se calcula así:

x5

30 7 5

=.

0.75x = 3 x 5 0.75x = 15 75x = 1500 x = 20

Por tanto, la altura del edificio es de 20 m.

a) Explica el procedimiento que utilizó para hacerlo.b) ¿Qué criterio de semejanza aplicó? c) ¿Cuánto mide el ancho del río?

2. Si Lourdes mide 1.50 m de estatura y proyecta una sombra de 2.5 m, ¿cuál es la estatura de su amigo Mario, si la sombra que proyecta a la misma hora es medio metro más larga?

3. Un día nublado, Alicia quería saber a qué altura estaba una ventana de un edificio. Como no había sombras, decidió usar el método del espejo. Lo colocó en el suelo, entre ella y el edificio, y sin dejar de verlo, se alejó hasta que vio reflejada en él la ventana. En ese momento, Alicia estaba a 1.27 m del espejo y a 7.45 m de la base del edificio. Si los ojos de Alicia están a 1.60 m del piso, ¿a qué altura del edificio está la ven-tana?

4. Las siguientes figuras muestran triángulos rectángulos for-mados por un objeto y su sombra. Cada pareja está formada por triángulos semejantes. Halla la longitud n, redondeada a décimos de metro.

a)

d)

c)

b)

Tema 12

100

12Interpretación y construcción de índices

Con frecuencia leemos en el periódico o escuchamos en la radio o la televisión el térmi-no índice; por ejemplo, Índice Metropolitano de la Calidad del Aire (IMECA), Índice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores, entre otros muchos. ¿Qué son los índices?

Después de estudiar la siguiente lección, podrás responder a esta pregunta.

Te sugerimos leer:

“Eficiencia y ahorro de energía”, en Noreña, F. et al., La energía, pp. 22-23.

La tabla de la derecha muestra los precios (pesos por litro) de la gasolina “Pemex Magna” en años consecutivos.

¿Cómo podemos comparar y valorar los cambios que se han dado en los precios de la gasolina en el transcurso de los años?

12.1. ¿Qué son los números

índice?

Año Precio ($)

2000 5.27

2001 5.61

2002 5.86

2003 6.04

2004 6.21

2005 6.47

2006 6.74

2007 7.01

Fuente: Petróleos Mexicanos, Indicadores petroleros.


a) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ ¿En qué año fue mayor el aumento en el precio de la gasolina con respecto al año anterior? ¿En qué año fue menor? Puedes usar una calculadora para realizar las operaciones.

b) Si tomamos como referencia un año cualquiera (por ejemplo, 2001),

Bloque 2

101

Año Precio ($) Diferencia en $

2000 5.27

2001 5.61 0

2002 5.86

2003 6.04

2004 6.21

2005 6.47

2006 6.74

2007 7.01

¿qué tanto más o qué tanto menos costaba en los demás años? Re-gistra tus resultados en la siguiente tabla:

Año Precio ($) Porcentaje

2000 5.27

2001 5.61 100.00

2002 5.86

2003 6.04

2004 6.21

2005 6.47

2006 6.74

2007 7.01 124.95

e) Observen en la tabla que el año base muestra un porcentaje de 100.00. ¿Por qué?

f ) Observen que el año 2007 muestra un porcentaje de 124.95. ¿Qué significa ese valor?

g) ¿En algún año el porcentaje es menor que 100? ¿Por qué?

En la actividad anterior han calculado el porcentaje de una cantidad con respecto de otra. Por ejemplo, $ 7.01 es el 124.95 % con respecto

c) Observa en la tabla que el año 2001, que es el año base, muestra un valor de 0. ¿Por qué?

d) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Si de nuevo se toma como referencia el año 2001, ¿qué porcentaje representan los precios de la gasolina en los demás años con respec-to del precio de 2001? Registra tus respuestas en la siguiente tabla; compáralas con las de un compañero o compañera.

Tema 12

102

Un índice es un número que resulta de la comparación de dos cantidades del mismo tipo, pero medidas en distintos momentos, lugares o circunstancias. De este modo pueden compararse precios (de zapatos, del transporte, etc.) y cantidades (número de automóviles, número de alumnos, etc.). Generalmente, los índices se expresan como porcentajes.Los índices (o números índice) se construyen en referencia a un valor de comparación, llamado base.Los índices se usan principalmente en economía y finanzas; sin embargo, también se les encuentra en otras áreas. Por ejemplo, la Secretaría de Educación Pública maneja diversos índices, entre ellos, el de alumnos inscritos en las escuelas secundarias.

Supongamos que se quiere analizar la cantidad de alumnos que ingresan a secundaria, según los datos presentados en la tabla:

Periodo Númerodealumnos2000-2001 5 349 6602004-2005 5 894 400

Fuente: SEP, Estadísticasbásicas.

Para valorar la inscripción del ciclo escolar 2004-2005 con respecto de la del ciclo 2000-2001 (que se toma como base), se calcula el índice de ingreso a la secundaria de la siguiente manera:

5 894 6605 349 400

100 110 19× = .

Esto significa que, en el ciclo 2004-2005, la inscripción se incrementó 10.19 % con respecto de la del ciclo 2000-2001.

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Las siguientes tablas muestran el número de biblio-tecas públicas en operación en la República Mexicana, el Distrito Federal y el estado de Sinaloa, en años con-secutivos.

Bibliotecas públicas en el Distrito Federal

Año Número de bibliotecas Índice

2003 395 100

2004 406

2005 406

2006 406

Bibliotecas públicas en Sinaloa


2003 144 100

2004 155

2005 169

2006 179

Fuente: Sexto Informe de Gobierno 2006. Anexo estadístico.


de $ 5.61. Los valores que encontraron reciben en nombre de índices. En este caso, son los índices de precios para la “Gasolina Magna”, tomando 2001 como año base.

Bibliotecas públicas en la República Mexicana


2003 6610 100

2004 6810

2005 7010

2006 7210

Bloque 2

103

Población en 2005

República Mexicana

Distrito Federal Sinaloa

103 263 388 8 605 239 2 536 844

Fuente: II Conteo de Población y Vivienda 2005.

a) Toma como base el año 2003 para hallar el índice de crecimiento en el número de bibliotecas públicas en cada caso. Registra los resultados en las tablas.

b) ¿En cuál de los tres casos fue mayor el índice de crecimiento en el número de bibliotecas públicas?

c) Considera la información que muestra la siguiente tabla para contestar: ¿cuántos habitantes por biblioteca hubo en 2005 en cada caso?

Usuarios de computadora por sexo

Año Hombres Mujeres Índice hombres

Índice mujeres

2001 7 944 491 6 905 592 100 100

2002 10 199 197 9 868 340

2004 11 832 159 10 990 779

2005 13 869 108 14 237 903

2006 12 724 298 14 410 156

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares, 2006.

2. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ ¿Quiénes utilizan más la computadora: los hombres o las mujeres? La siguiente tabla muestra el número de usuarios de computadora por sexo:

a) Toma como base el año 2001 para hallar los índices de crecimien-to. Registra tus resultados en la tabla.

b) ¿Qué usuarios (los hombres o las mujeres) alcanzaron un mayor índice de crecimiento en el uso de computadoras en 2006 con respecto de 2001?

c) ¿Cuántos usuarios (hombres y mujeres) supones que hay actual-mente en México?

3. El Índice de Masa Corporal (IMC) se utiliza para determinar el riesgo de enfermedades cardiacas, diabetes y presión arterial alta.

Tema 12

104

Se obtiene con la fórmula IMC=P

E2, donde P representa el peso en

kilogramos, y E, la estatura en metros. La siguiente tabla muestra la relación del IMC con el riesgo.

Océano Ártico Océano Ártico

OcéanoPacífico

OcéanoAtlántico

OcéanoÍndico

OcéanoPacífico

Porcentaje anual de crecimiento Menos de 1.0

1.0 a 1.9

2.0 a 2.9

3.0 o más

IMC Riesgo de enfermedades cardiacas, diabetes y presión arterial alta

25 o menos Riesgo muy bajo a bajo

25 a 30 Riesgo bajo a moderado

30 o más Riesgo de moderado a muy alto

Calcula tu índice de masa corporal y el de tus compañeros. ¿Tú o al-gunos de tus compañeros tienen un alto IMP? ¿Qué medidas deben tomar para evitar estos riesgos?

4. Observa el mapa, en el que se muestran los índices de crecimiento de población en el mundo.

Fuente: www.worldbank.org/depweb/spanish/modules/social/pgr/map1.html. fecha de consulta 8 octubre 2007.

a) ¿Qué regiones del mundo tienen mayores índices de crecimiento de población? ¿Cuáles tienen un índice bajo?

Bloque 2

105

Periodo Índice

1950-1960 3.0

1960-1970 3.4

1970-1990 2.6

1990-2000 1.8

2000-2005 1.0

Fuente: INEGI, Censos de Población y Vivienda de 1950 a 2000 y II Conteo de Población y Vivienda 2005.

b) La siguiente tabla muestra algunos índices de crecimiento de la población de México. ¿A qué crees que se deba que el índice haya disminuido en los últimos años? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

c) Si México tenía 103 263 388 habitantes en 2005, ¿cuántos habrá tenido en 2006?

Sabemos que, en los nacimientos humanos, son igualmente probables, en esencia, los niños y las niñas. Ocurre lo mismo en los volados: lo mismo puede caer “águila” que “sol”. Por esta razón, un nacimiento indi-vidual puede simularse con sólo lanzar una moneda y asociar, por ejemplo, “águila” (A) con niño (H) y “sol” (S) con niña (M).

13Simulación

En ocasiones es difícil estimar la probabili-dad de que un fenómeno ocurra, porque, o los cálculos son complicados o el fenómeno en sí es difícil de observar. En esos casos conviene aplicar un recurso importante de la teoría de la probabilidad, llamado simulación, y que consiste

en sustituir el fenómeno original por uno más sencillo, en el que intervienen las mismas probabilidades básicas. Acerca de esto trata la siguiente lección.

Te sugerimos leer:

“Simulación”, en Bosch, C. et al., Una ventana a la incertidumbre, pp. 46-47.

13.1. Actividades de simulación

Tema 13

106

Realiza el siguiente experimento de azar: arroja al aire una moneda 50 veces y utiliza los resultados para aproximar la probabilidad de que, en dos nacimientos sucesivos, ambos sean mujeres.


a) Hemos realizado 10 lanzamientos de la moneda y los resultados que obtuvimos fueron los siguientes:

Número de lanzamiento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cara que muestra la moneda al caer

S A S A S S S A S S

Sexo del recién nacido

M H M H M M M H M M

Pares: MH HM MH HM MM MM MH HM MM

Anota en la siguiente tabla los resultados que obtuviste al realizar los 50 lanzamientos.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




11 12 13 14 15 16 17 18 19 20




21 22 23 24 25 26 27 28 29 30



Recuerda que la probabilidad frecuencial se basa en los resultados de un experimento. Es la razón entre dos cantidades: el número de veces que sale un resultado esperado entre el número de veces que se realiza el experimento.

Bloque 2


107


31 32 33 34 35 36 37 38 39 40




41 42 43 44 45 46 47 48 49 50



b) En nuestro experimento, si empezamos con el par 1-2, hay nueve pares de nacimientos sucesivos, tres de los cuales consisten en el par mujer-mujer (M-M). En tu experimento, ¿cuántos pares de dos nacimientos sucesivos hay? ¿Cuántos de ellos consisten en un par M-M?

c) Con base en la simulación que has realizado, ¿cuál es la probabi-lidad frecuencial de que en dos nacimientos sucesivos ambos sean mujeres?

Realiza en equipo las siguientes actividades de simulación. Usa el material que sugieren las ilustraciones (canicas marcadas y una bolsa) o alguno similar. En cada caso, haz una predicción de los resultados.

a) Juan presentó una prueba de opción múltiple, con cuatro opcio-nes de respuesta para cada pregunta. La prueba consta de 20 pre-guntas. Juan está seguro de haber contestado 10 de ellas correc-tamente; las demás las contestó al azar. ¿Qué calificación puede esperar Juan, en términos de probabilidad?

Usa cuatro canicas del mismo tamaño, marcadas con las letras A, B, C y D, y una bolsa no transparente para hacer las 10 extracciones.

Supón que las respuestas correctas a las 10 preguntas que Juan contestó al azar son las siguientes:

1. B; 2. A; 3. B; 4. D; 5. C; 6. A; 7. D; 8. C; 9. D; 10. A

b) ✓ Un examen consta de 15 preguntas de falso y verdadero. ¿Qué calificación podría esperar un alumno que contestó al azar las 15

A B C D

Tema 13

108

preguntas? Para realizar esta simulación, ¿cuántas canicas debes usar? ¿Cuántas extracciones debes hacer?

c) Una pareja planea tener tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los tres hijos sean niñas? Realiza la simulación con tres canicas marcadas con las letras H, M y M para estimar esta probabilidad. Repite el experimento 50 veces.

d) La probabilidad de que una persona se recupere de una enfer-medad poco estudiada, es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esa enfermedad, ¿cuántas personas se espera que sobrevivan? Realiza la simulación de esta situación. (Ayuda: en la figura de la derecha, las canicas blancas representan la proporción de personas que logran sobrevivir.)

F V

M HM

Cuando un fenómeno es complicado y se desea calcular (o aproximar) su probabilidad de ocurrencia, puede utilizarse un proceso de simulación, que consiste en imitar el fenómeno

original por uno más sencillo que incluya las mismas probabilidades básicas.

En el experimento de azar planteado en la lección, es más fácil lanzar monedas que ir a un sanatorio médico y recabar información sobre 10 o 50 nacimientos sucesivos de niños.

En el ejemplo, se tuvieron nueve pares de nacimientos sucesivos y en tres de ellos se obtuvo el par M-M. Por tanto, en este experimento, la probabilidad frecuencial A, obtenida mediante una simulación (que en nueve pares de nacimientos sucesivos haya tres que consistan en el par M-M) es:

Número de pares M-M 3 1P(A) = = = Número de 9 3 pares de nacimientos sucesivos

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