Por: Gelacio Martín Sánchez

OCTUBRE 22, 2011

DIPLOMADO EN

FINANZAS CORPORATIVAS

MÓDULO II

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y

PORTAFOLIOS

1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

INTERÉS SIMPLE

1.2

INTERÉS COMPUESTO

1.3

TASA DE INTERÉS NOMINAL,

EFECTIVA Y EQUIVALENTE 1.4

CONTENIDO

DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS

FINANCIERAS 1.1

1.1 MATEMÁTICAS FINACIERAS

DEFINICIÓN

Es una derivación de las matemática

aplicadas que estudia el valor del

dinero en el tiempo, combinando el

capital, la tasa y el tiempo, para obtener

un rendimiento o interés, a través de

métodos de evaluación que permiten

tomar decisiones de inversión.

Son una herramienta básica para

analizar e interpretar la operación de

los mercados financieros y el impacto

en los diferentes instrumentos, tanto

para los intermediarios, como para los

inversionistas y emisores. 4

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

Capital

Es la cantidad de dinero tomada en

préstamo o invertida a un determinado

plazo y con una tasa de interés pactada.

Generalmente está representada por la

letra «C» y se expresa en términos

monetarios.

El capital también se le conoce como

principal, Valor Presente o Valor

Actual. 5

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

6

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

La tasa de interés por lo regular se

expresa en términos anuales, pero se

puede expresar en unidades de tiempo

menores a un año.

Cuando la tasa de interés se da en

porcentaje, sin especificar la unidad del

tiempo, se considerará que la tasa es

anual, a menos que se diga lo contrario:

Mensual;

Bimestral;

Trimestral;

Semestral; etc. 7

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

8

1.2 INTERÉS SIMPLE

DIAGRAMA CONCEPTUAL

FECHA INICIAL FECHA FINAL

CAPITAL

INTERESES

MÁS

CAPITAL

MONTO

PLAZO

=

TASA DE INTERES

9

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Un empresario invierte en una institución financiera $40,000 y

al término de 1 año recibe $50,000 por su inversión.

C = $40,000

M = $50,000

T = 1 Año

Obtenga:

Intereses = I = 50,000 – 40,000 = 10,000

Tasa de Interés = i = 10,000 / 40,000 = 0.25 ó 25%

Monto = M= 40,000 + 10,000 = 50,000

Capital = C = 50,000 – 10,000 = 40,000

10

1.2 INTERÉS SIMPLE

DEFINICIÓN

Es la operación financiera donde

interviene un capital, un tiempo

determinado de pago y una tasa de

interés, para obtener un beneficio

llamado intereses, sin que éste último

se reinvierta.

El interés es simple cuando sólo el

capital gana intereses por todo el

tiempo que dura la transacción.

El interés simple se utiliza

principalmente en inversiones y

créditos a corto plazo, de un año o

menos. 11

1.2 INTERÉS SIMPLE

FÓRMULA GENERAL

12

1.2 INTERÉS SIMPLE

MONTO SIMPLE

13

1.2 INTERÉS SIMPLE

VALOR PRESENTE SIMPLE

14

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Un empresario tiene una deuda de $75,000 que deberá pagar

dentro de 5 meses. La operación esta pactada a una tasa de

interés simple del 18%.

C = $75,000

T = 5 Meses

i = 18% Anual; 1.5% Mensual

Obtenga:

Intereses = I = 75,000 * (18% / 12) * 5 = 5,625

Monto = M = 75,000 * [1+(18% / 12)*5] = 80,625

Monto = M = 75,000 + 5,625 = 80,625

Valor Presente = VP = 80,625/[1+(18% / 12)*5] = 75,000

Tasa de Interés = i = 5,625/75,000 = 0.075/5 = 0.015 ó 15% 15

1.2 INTERÉS SIMPLE

DESCUENTO SIMPLE REAL

16

1.2 INTERÉS SIMPLE

DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

17

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

18

1.2 INTERÉS SIMPLE

INTERÉS SIMPLE EXÁCTO Y ORDINARIO

Interés Simple Exacto o Real

Se calcula sobre la base del año de 365

días o 366 en años bisiestos.

Interés Simple Ordinario o

Comercial

Se calcula sobre la base del año de 360

días, también es llamado año comercial o

bancario.

19

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Calcule el interés ordinario y exacto de una deuda por $28,500

a una tasa de interés simple anual del 22%, durante el periodo 6

de junio al 15 de diciembre de 2011.

Interés Simple Exacto o Real

I = 28,500 * 22% / 365 * 192 = 3,298.2

I = 28,500 * 22% / 365 * 189 = 3,246.7

Interés Simple Ordinario o Comercial

I = 28,500 * 22% / 360 * 189 = 3,291.8

20

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: DEFINICIÓN

Los Certificados de la Tesorería de la

Federación, son Títulos de Crédito que

emite el Gobierno Federal a través de la

Secretaría de Hacienda y Crédito

Público, y que coloca Banxico entre los

inversionistas por medio de subastas

semanales que se realizan cada martes.

La ganancia que obtiene el tenedor de

CETES es precisamente la diferencia

entre el precio pagado al adquirirlo y su

valor nominal al vencimiento.

21

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: CARACTERÍSTICAS

Características principales:

Valor nominal: $10 pesos

Plazo: En días

Emisiones: 28, 91, 182 y 364 días

Rendimiento: A descuento

Garantía: son los títulos de menor

riesgo, ya que están respaldados por el

Gobierno Federal

Amortizables en una sola exhibición al

vencimiento del título

22

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: EJEMPLO

23

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: EJEMPLO

24

1.3 INTERÉS COMPUESTO

DEFINICIÓN

Es la operación financiera en la cual el

capital aumenta al final de cada periodo

por adición de los intereses vencidos.

Una transacción trabaja a interés

compuesto cuando el capital inicial y

los intereses generados en cada periodo

ganan intereses en periodos

subsiguientes.

El interés compuesto es el interés

devengado por el principal al final de

un período y que devenga interés en el

período o períodos subsiguientes. 25

1.3 INTERÉS COMPUESTO PERIODO Y FRECUENCIA DE CONVERSIÓN

El tiempo entre dos fechas sucesivas, en

las que los intereses se agregan al capital,

se denomina periodo de capitalización o

periodo de conversión.

El número de veces por año en las que

los intereses se capitalizan se denomina,

frecuencia de conversión.

En las transacciones financieras que

implican interés compuesto, es

importante tener presente los conceptos

siguientes:

1) Capital Original: C

26

1.3 INTERÉS COMPUESTO

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

27

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA GENERAL

28

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA GENERAL

29

1.3 INTERÉS COMPUESTO

VALOR PRESENTE COMPUESTO

30

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

31

1.3 INTERÉS COMPUESTO

EJEMPLO

Un empresario tiene una deuda de $100,000 que deberá pagar

dentro de 1 año. La operación esta pactada a una tasa de interés

compuesto del 12%, capitalizable semestralmente.

C = $100,000

T = 1 Año

i = 12% Anual, capitalizable semestralmente.

Obtenga:

M = 100,000* (1+12% / 2)^2 = 112,360

I = 12,360 – 100,000 = 12,360

VP = 112,360 / (1+ 12% / 2)^2 = 100,000

i = [(112,360/100,000)^(1/2)]-1 = 0.06 * 2 = 0.12 ó 12%

n = [ln(112,360) – ln(100,000)] / ln(1+12% / 2) = 2 32

1.3 INTERÉS COMPUESTO

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

33

1.3 INTERÉS COMPUESTO

EJEMPLO: CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Calcule el monto con la fórmula de capitalización continua;

considere un capital inicial de $8,000, una tasa de interés anual

del 22%, capitalizable semestralmente durante dos años.

S = C*e^(i*t)

Capital = $8,000

e = 2.718281828

i = 22%

t (Años) = 2

S = 8,000 * 2.71828^(22% / 2*4) = 12,421.66

34

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Si un capital invertido a interés

compuesto se capitaliza cada año, el

monto compuesto al final del primer año

es igual al interés simple a un año.

Si la capitalización se efectúa más de una

vez al año, el monto compuesto al final

de un año es mayor que el obtenido por

interés simple.

Cuando se realiza una operación

financiera, se pacta una tasa de interés

anual, esta tasa aplicable a una inversión

o aun préstamo a interés compuesto se

denomina Tasa de Interés Nominal. 35

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

TIN = (Tasa de Interés)*(Núm. Periodos)

Ejemplo:

Una tasa de interés del 2.5% mensual, se

expresa como el 7.5% nominal

trimestral o 30% nominal anual;

Una tasa de interés del 6% trimestral le

corresponde el 24% nominal anual;

Una tasa de interés del 10% semestral,

se expresa como el 20% nominal anual.

La tasa de interés nominal facilita que el

público pueda controlar su depósitos

mediante la aplicación de la formula de

interés simple. 36

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

37

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

38

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de

$10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable

mensualmente?

M = 10,000 * (1 + 20% / 12)^12 = 12,193.9

I = 12,193.9 – 1,000 = 2,193.9

Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%

Comprobación:

Tasa Efectiva = [(1 + i)^n – 1]

Tasa Efectiva = [(1+(20%/12))^12)-1]

Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %

A una tasa nominal del 20%, se recibe de un deposito bancario una

tasa efectiva del 21.94%. 39

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL,

EFECTIVA Y EQUIVALENTE

Dos tasas de interés anuales con

diferentes periodos de capitalización

serán Equivalentes si al cabo de un año

producen el mismo interés compuesto.

Si dos tasas anuales de interés con

diferentes períodos de capitalización son

Equivalentes, si el rendimiento obtenido

por capitalización es igual al final del

año.

40

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Ejemplo

Un inversionista desea colocar un capital de 10,000 USD a una

tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente

durante un año. Calcule la tasa de interés efectiva anual.

C = 10,000

i = 8% Anual. Capitalizable Trimestralmente = 2%

T = 1 Año

S = 10,000 * [(1 + 8% / 4)^4] = 10,824.3

T.N. = [(10,824.3/10,000)^(1/4)]-1 = 0.02 * 4 = 0.08 ó 8%

T. E. = [(10,824.3/10,000)^1]-1 = 0.0824 ó 8.24%

S = 10,000*(1 + 8% / 4)^4 = 10,824.3 Con Tasa Nominal

S = 10,000*(1 + 8.24%)^1 = 10,824.3 Con Tasa Efectiva 41

ANEXO 1

Préstamo Quirografario

Se trata de un crédito otorgado por una institución bancaria a

un cliente, quien se obliga mediante un pagaré, a devolver la

cantidad solicitada a la fecha de vencimiento. Este tipo de

crédito se llama quirografario debido a que no requiere

garantías ya que el préstamo se respalda solamente con la firma

del cliente, aunque puede ser también con aval. Los plazos se

conceden normalmente a 30, 60 y 90 días.

42

ANEXO 2

Factoraje

El factoraje es un sistema integral de apoyo financiero

mediante el cual una empresa, llamada cedente, cede sus

cuentas por cobrar a la empresa de factoraje, obteniendo a

cambio un alto porcentaje de efectivo, que normalmente oscila

entre un 70% y un 95% del valor de las cuentas por cobrar.

La empresa de factoraje, posteriormente, realiza la cobranza y

le entrega a la empresa cedente la diferencia del porcentaje que

no le entrego al inicio, esto es de 5% a 30% restante. El cargo

financiero de la operación puede cobrarse en el porcentaje

entregado al inicio, o bien, en el que queda por reembolsar.

43

ANEXO 3

Subasta de CETES: 18 de Octubre de 2011

La Secretaría de Hacienda y Crédito Público a través del Banco de México, en su

carácter de agente financiero del gobierno federal, informa los resultados de la

subasta de valores gubernamentales correspondientes a la semana: 42/11.

Fuente: Banxico

44

1) Villalobos, José L. Matemáticas

Financieras. Editorial Prentice Hall,

México.

2) Díaz Mata, Alfredo y Aguilera

Gómez, Víctor M. Matemáticas

Financieras. Editorial Mc Graw Hill,

México.

3) Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos

de Ingeniería Económica. Editorial Mc

Graw Hill, México.

5) Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel.

Matemáticas Financieras. CENGAGE.

4) Guzmán Plata, Ma. de la Paz. El

Modelo Portafolio Aplicado a la BMV.

UAM-Azcapotzalco.

BIBLIOGRAFÍA

45

DATOS DE CONTACTO:

E-Mail: gelacioms@gmail.com

gmartin@universidadfinanciera.mx

Web: www.universidadfinanciera.mx

Nota: Los conceptos presentados en esta presentación fueron tomados de la bibliografía señalada y las imágenes fueron bajadas de Internet.