Matemáticaspara administración y economía

Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

1

Límites y Continuidad

Unidad 2Capitulo 9 del texto

Definición de límite

2

¡Razonemos juntos!El gerente de una Compañía determina que cuando se estáutilizando x porcentaje de la capacidad de la planta el costo totales C(x) cientos miles de dólares.

La compañía tiene una políticade rotar el mantenimiento detal forma que nunca se utilicemás del 80% de su capacidad.

3

La compañía tiene una políticade rotar el mantenimiento detal forma que nunca se utilicemás del 80% de su capacidad.

¿Qué costo esperaría el gerentecuando la planta esta operandoa toda la capacidad permitida?

¿Es razonable que el gerente espere un costo de $700 000cuando se utiliza el 80% de la capacidad de la planta?

x 79,9 79.99 79.999 80 80.0001 80.001 80.04

f (x) 6,99891 6,99989 6,99999 7,000001 7,00001 7,00043

x tiende a 80 por la izquierda → ← x tiende a 80 por la derecha

4

f (x) 6,99891 6,99989 6,99999 7,000001 7,00001 7,00043

Este comportamiento se describe diciendo “C(x) tiene valorlímite 7 cuando x tiende a 80”

Ejemplo 1.

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor de f (x) cuando x se aproxima a 3?

5

3

4

Vemos que f (x) tiende a 4.

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayoresque el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha

4

6

3

4

x

Esto se simboliza por:

3lim ( ) 4x

f x+→

=

4

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menoresque el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda

Vemos que f (x) tiende a 4.

7

3

4

x

Vemos que f (x) tiende a 4.Esto se simboliza por:

4)(lim3

=−→

xfx

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo,obtenemos:

4 Vemos que f (x) tiende a 4.Esto se simboliza por:

8

3x x

Esto se simboliza por:

4)(lim3

=→

xfx

Ejemplo 2.

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor de f(x) cuando x → 3 ?

5

9

¿qué ocurre con el valor de f(x) cuando x → 3 ?

3

45

x x

Conclusión:

En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x →3 por la izquierda,f (x)→4 y cuando x→3 por la derecha, f (x)→ 5

En el Ejemplo 1, se aprecia que cuando x →3 ya sea por laizquierda o por la derecha, f (x) → 4

10

En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x →3 por la izquierda,f (x)→4 y cuando x→3 por la derecha, f (x)→ 5

¿En cuál de los ejemplos (1 o 2) existe el límite de f (x)cuando x tiende a 3?

¡Observación !

Note que para que el límite exista, cuando la variabletiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tantopor la izquierda como por la derecha, la función tiende aadoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 4)

11

Note que para que el límite exista, cuando la variabletiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tantopor la izquierda como por la derecha, la función tiende aadoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 4)

Para que el límite de una función en un valor de “x” exista,no es necesario que la función esté definida en ese valor de“x”

DefiniciónSi f (x) se acerca más y más al número L cuando x seaproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces L esel límite f (x) cuando x tiende a a.

Este comportamiento se expresa:

12

Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x seaproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces L esel límite f (x) cuando x tiende a a.

Este comportamiento se expresa:

Este límite existe si

Geométricamente, el enunciadode límite

lim ( )x a

f x L→

=

Significa que la altura de la gráficay = f (x) tiende a L cuando x tiendea a, tal como se muestra en lafigura.

L

f (x)↓

↑f (x)

y

13

Significa que la altura de la gráficay = f (x) tiende a L cuando x tiendea a, tal como se muestra en lafigura.x→ a ←x x

Analicemos

14

¿A qué valor tienden los valores de f (x), g (x) y h(x)cuando x tiende a 1?

Ejemplos: En los ejercicios del a) al d), en casoexistan, calcular los siguientes límites

a)4

lim 4x

x+→

− d)23

3lim

9x

x

x−→

+−

15

e) [ ]lim lnx e

x→

f )0

lim x

xe

→

b) ( )2

1lim 1 2x

x→−

− +

c)2

1

1lim

1x

x

x+→−

−−

1

2

3

4

5y

f

Ejemplo.De la gráfica dela función f,determine, encaso exista, ellímite de f (x)cuando xtiende a:−4, − 3, − 2, 0,2, 3, 4, 5

16

1 2 3 4 5 x

1

−1−2−3−4−5−6−1

−2

−3

−4

f

Ejemplo.De la gráfica dela función f,determine, encaso exista, ellímite de f (x)cuando xtiende a:−4, − 3, − 2, 0,2, 3, 4, 5

Ejemplo:Trace la gráfica de una función f que cumpla con las siguientescondiciones:

( ) { }2 2

0

3 3

a). 2

b). 1 y 1

c). 0 3

d). 2 1 3 1

x x

x

x x

dom f R

lim f( x ) lim f( x )

lim f( x ) f( )

lim f( x ) lim f( x ) y f( )

→− →− +

→

→ − → −

−

= − −= = −

=

= = =

17

Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía delalumno.

( ) { }2 2

0

3 3

a). 2

b). 1 y 1

c). 0 3

d). 2 1 3 1

x x

x

x x

dom f R

lim f( x ) lim f( x )

lim f( x ) f( )

lim f( x ) lim f( x ) y f( )

→− →− +

→

→ − → −

−

= − −= = −

=

= = =

Límites y Continuidad

Unidad 2Capitulo 9 del texto

18

Cálculo de límites

¡Descúbralo!

¿Cuál es el límite de cuando x se acerca a 1?1

1)(

2

−−=

x

xxf

19

Propiedades algebraicas de los Límites

para cualquier constante k,limx a

k k→

=

limx a

x a→

=

1.

2.

3.

20

limx a

x a→

=

nn

axax =

→lim

1.

2.

3.

Propiedades algebraicas de los Límites

1.

2.

3.

4.

5.

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

± = ±

[ ]lim ( ) lim ( )x a x a

k f x k f x→ →

⋅ = ⋅ para cualquier constante k

Si y existen, entonces)(lim xgax→

)(lim xfax→

21

1.

2.

3.

4.

5.

[ ]lim ( ) lim ( )x a x a

k f x k f x→ →

⋅ = ⋅ para cualquier constante k

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅

[ ]lim ( ) lim ( )pp

x a x af x f x

→ → = si existe

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x a

x ax a

f xf x

g x g x→

→→

=

si lim ( ) 0

x ag x

→≠

p

ax

xf

→)(lim

Límites de polinomios y funciones racionales

Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces

lim ( ) ( )x a

p x p a→

=1.

2.

22

lim ( ) ( )x a

p x p a→

=

( ) ( )lim si ( ) 0

( ) ( )x a

p x p aq a

q x q a→= ≠

1.

2.

Ejemplos: Determine:

1.4

2lim

4x

x

x→

−−

4.2 3 5

lim ( ), lim ( ) y lim ( )x x x

f x f x f x→− → →

donde

2

2

2lim

2z

z z

z→

− −−

2.20lim

7 1h

h

h h→ − + 3.

23

4.2 3 5

lim ( ), lim ( ) y lim ( )x x x

f x f x f x→− → →

donde

≥+

−<+−

=3si,

2

143si,1

)( 2

2

xx

xxxx

xf

Ejemplo. Trace la gráfica de una función f que cumpla conlas condiciones a), b), c), d) y e) a la vez.

24

Resolver ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno.

Límites al infinitoLímites infinitos

Límites y Continuidad

Unidad 2Capitulo 9 del texto

Límites al infinitoLímites infinitos

25

26

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

−10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

clientes

f

¿Cuál es el máximo número esperadode clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

Analicemos Juntos…

¿ ?50

26

tiempo(años)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

−10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

¿Cuál es el máximo número esperadode clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

¿ ?t→+∞

Entonces: 50)(lim =+∞→

tft

Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor seaproxima la función cuando t crece indefinidamente.

26

Límites al infinito

Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuandox aumenta indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x L+∞→

=

27

De manera similar, valores de la función f (x) tiendenal número M cuando x disminuye indefinidamente,se escribe:

lim ( )x

f x M−∞→

=

Por ejemplo….

y = f (x)y

y = M Mlim ( )x

f x M→−∞

=

28

y = LLlim ( )x

f x L→+∞

=

x

Límite al infinito para funciones polinómicas1

1 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a−

−= + + + +

lim ( ) lim nn

x xf x a x

→±∞ →±∞ =

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito,se halla el límite del término de mayor grado (términodominante).

29

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito,se halla el límite del término de mayor grado (términodominante).

Ejemplos:

a) 32 59lim

3 6xx x

→+∞

− + − b) )5( 24

lim +−+−+∞→

xxxx

Interrogante . . . . .

+∞=+∞→

n

xxlim

=+∞→

nx x

1lim

Si sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?

30

=+∞→

nx x

1lim

=−∞→

nx x

1lim

11 1 0

11 1 0

( )n

n nm

n

mm m

a a x a x af x

b b x bx x b

x −−

−−

+ + + +=+ + + +

Resolución:

Límite al infinito para funciones racionales

11 1 0

11 1 0

lim ( ) lim

n nn n

m

m mx xm m

m

a x a x a x a

xf xb x b x b x b

x

−−

−→±∞ →±∞−

+ + + +

= + + + +

Divida el numerador y denominador entre el x elevado almayor grado del denominador y calcule el límite de la nuevaexpresión:

Resolución:

31

Para funciones racionales:1

1 1 01

1 1 0

( )n

nm

m

nn

mm

a x a x af x

b x b

a

x x b

x

b

−−

−−

+ + + +=+ + + +

Resolución simplificada:

Calcular el límite, tomando en cuenta el términodominante del numerador y del denominador:

32

Calcular el límite, tomando en cuenta el términodominante del numerador y del denominador:

m

m

n

n

x xb

xalim

±∞→

Ejercicios:

32

542

2

lim ++

+∞→ x

xx

x

xxx 21

34

lim −−

+∞→

1.

2.

3.

4.

Calcule los siguientes límites

33

x

xxx 21

34

lim −−

+∞→

x

xxx 21

34

lim −−

−∞→

3

72lim −+

+∞→ x

x

x

1.

2.

3.

4.

Problema

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel denitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puedemodelarse con la función de Michaelis – Menten:

( ) ³ 0AN

Y N NB N

=+

34

( ) ³ 0AN

Y N NB N

=+

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a lacosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementaindefinidamente?

Límites infinitos

Se dice que lim ( )x a

f x→

es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puededar más información acerca del comportamientode la función escribiendo:

35

lim ( )x a

f x→

= −∞

aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puededar más información acerca del comportamientode la función escribiendo:

lim ( )x a

f x→

= +∞ si f (x) crece sin límite cuando x→a.

si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

¡Interrogante!

lim ( )x a

f x→

= +∞

A partir de la gráfica…….En qué valor de a, secumple:

36

lim ( )x a

f x→

= +∞

a. Estime( ) ( )2 2

1 1

1 1lim , lim

1 1x xx x− +→− →−+ +

Ejemplo 1:

¿A dónde tiende cuando x( )2

1( )

1f x

x=

+

37

2 2

2 2lim , lim

2 2x xx x− +→ →− −b. Estime .

¿A dónde tiende ?2

2lim

2x x→ −

¿A dónde tiende cuando x( )2

1( )

1f x

x=

+

De la gráfica de la función f, hallar en caso exista, lossiguientes límites:

Ejemplo 2:

38

Esboce el gráfico de una función f con dominio R quecumpla con las siguientes condiciones:

Ejemplo 3:

39

Continuidad

Límites y Continuidad

Unidad 2Capitulo 9 del texto

Continuidad

40

Analicemos el siguiente gráfico, del Banco Central deReserva del Perú:

Una curva continua es una curva que no se corta, queno se rompe, que se puede dibujar en un papel sinlevantar el lápiz.

41

Analicemos el siguiente gráfico, del Banco Central deReserva del Perú:

¿Es continua la gráfica del bcrp que se aprecia?¿El costo de una llamada de teléfono, cuando lacompañía factura por minuto o fracción de minuto serepresenta con una función continua?

http://www.bcrp.gob.pe/docs/Estadisticas/Graficos-Dinamicos/index.php?I=19TCN

Analice el gráfico e identifique las condiciones para lacontinuidad en x = a

y

L f

¿Existe lim ( )x a

f x→

?

¿Existe ?( )f a

42

xa

L

M

f ¿Existe ?

¿lim ( ) ( )?x a

f x f a→

=

¿Es continua en x = a?

( )f a

Analice el gráfico e identifique las condiciones para lacontinuidad en x = a

y

Lf (a)

f

¿Existe lim ( )x a

f x→

?

¿Existe ?( )f a

43

xa

L

Mf (a)

f ¿Existe ?

¿lim ( ) ( )?x a

f x f a→

=

¿Es continua en x = a?

( )f a

Analice el gráfico e identifique las condiciones para lacontinuidad en x = a

y

f¿Existe lim ( )

x af x

→?

¿Existe ?( )f a

44

xa

L

¿Existe ?

¿lim ( ) ( )?x a

f x f a→

=

¿Es continua en x = a?

( )f a

Analice el gráfico e identifique las condiciones para lacontinuidad en x = a

y

f (a)f

¿Existe lim ( )x a

f x→

?

¿Existe ?( )f a

45

xa

L

f (a) ¿Existe ?

¿lim ( ) ( )?x a

f x f a→

=

¿Es continua en x = a?

( )f a

Analice el gráfico e identifique las condiciones para lacontinuidad en x = a

y

f¿Existe lim ( )

x af x

→?

¿Existe ?( )f a

46

xa

L = f (a)

¿Existe ?

¿lim ( ) ( )?x a

f x f a→

=

¿Es continua en x = a?

( )f a

ContinuidadUna función f es continua en a si:

a) f (a) está definida

b) existe

c)

47

Si f no es continua en a, se dice que existe unadiscontinuidad en a.

a) f (a) está definida

b) existe

c)

Podemos concluir entonces que…..

y

48

La gráfica no es continua en x = a, x = b, ni en x = c.

xa b c

y

Discontinuidades infinitas: ¡ Completemos el cuadro!

xa

f

x

y

a

f

x

y

a

f

49

Estas son ejemplos de funciones que no son continuas en x =a. En cada caso, al menos uno de los límites laterales noexiste.

xa xa xa

)(lim xfax −→

)(lim xfax +→

¿existe..

Ejemplo 1:

Analice la continuidad de f en x = 0 y x = 2 .

034

04)(

2 >+−≤+−

=xxx

xxxf

50

034

04)(

2 >+−≤+−

=xxx

xxxf

Determine A y B paraque f sea continua

2 2 si 1

( ) si 1

2 si 1

A x x

f x B x

x A x

+ <= = − <

Ejemplos 2:

51

EjemplosTexto guía

2 2 si 1

( ) si 1

2 si 1

A x x

f x B x

x A x

+ <= = − <