Matemáticas Ielearning.ulagosvirtual.cl/libros/matematicas/Matematicas.pdf · vos, definiciones, axiomas y teoremas de la teoría de conjuntos que se precisan mejor con el lenguaje

Universidad de los LagosDepartamento de Gobierno y Empresa

Ingeniería de Ejecución en Administración de Empresas

Matemáticas IMatemáticas

Manuel Contreras López

Universidad de los Lagos EdicionesPrimera Edición, 1000 ejemplares. Febrero del 2003.

Registro de Propiedad Intelectual Nº116487I.S.B.N. 956-7533-30-X

Dirección del ProgramaAlejandro Santibáñez H.

Coordinación del ProgramaPedro Fuenzalida R.

Diseño InstruccionalPedro Fuenzalida R.Brenda Lara SubiabreHugo Tejada B.Claudia de Marín J.

Corrección de PruebasDalma Díaz P.DiseñoSandra ValenzuelaJaime Ortiz S.

Diagramación e Impresión DigitalLOM Ediciones Ltda.Fono: 56-2-6722236Concha y Toro Nº25, SantiagoIMPRESO EN CHILE

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ReconocimientoLa confección de este trabajo no habría sido posible sin la comprensión de mis colegas

y alumnos, quienes permitieron que les restara tiempo de atención cuando me encontrabaescribiendo. A todos ellos les pido disculpas y les agradezco por su comprensión.

La colaboración y orientación del Sr. Pedro Fuenzalida, coordinador de este proyecto,fue crucial en el transcurso de la elaboración y diseño del texto, yendo mucho más allá de losolicitado y requerido. Sin su apoyo, este texto no habría dado a luz.

Por último, no quiero dejar de mencionar a mis profesores de la Universidad, a quie-nes siempre recuerdo en mi vida profesional, quienes lograron abrirme los ojos al maravillo-so paraíso de las Matemáticas.

DedicatoriaA mi Madre, quien siempre –aun con la distancia geográfica de por medio– ha logrado

orientarme y apoyarme en esta carrera fugaz que es la vida, y en mi insaciable curiosidadpor el Universo.

A mis Alumnos, quienes han tenido la paciencia de escucharme y la voluntad deseguir el camino que intento mostrar.

¿Dónde está el Centro del Mar?¿Por qué no van allí las olas?

(Pablo Neruda, Libro de las Preguntas)

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TEORÍA DE CONJUNTOS Y LÓGICA

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IndiceÍndice

I. Teoría de Conjuntos y Lógica ................................................................. 11

I.1. Nociones de Teoría de Conjuntos ..................................................... 13

I.1.1. El Paraíso Matemático de Cantor .............................................. 13

I.1.2. Introducción a los Conjuntos ....................................................21

I.1.3. El Axioma de Extensión ............................................................ 29

I.1.4. El Axioma de Especificación ..................................................... 40

I.1.5. Uniones e Intersecciones .......................................................... 51

I.1.6. Complementos y Diferencia entre Conjuntos ........................... 66

I.1.7. Conjunto Potencia .................................................................... 74

I.1.8. Diagramas de Venn ................................................................... 78

I.2. Lógica Simbólica .............................................................................. 92

I.2.1. Lenguaje Básico ........................................................................ 92

I.2.2. Proposiciones y Conectivos Lógicos ....................................... 102

I.2.3. Tablas de Verdad .....................................................................120

I.2.4. Propiedades de los Conectivos ...............................................139

I.2.5. Funciones Proposicionales ..................................................... 157

I.2.6. Cuantificadores .......................................................................166

I.2.7. Lógica Deductiva .................................................................... 173

I.2.8. Técnicas de Demostración ...................................................... 177

I.3. Teoría Axiomática de Conjuntos ..................................................... 180

I.3.1. Introducción y Definiciones Previas ....................................... 180I.3.2. Inclusión .................................................................................186

I.3.3. Igualdad de Conjuntos ............................................................195

I.3.4. Conjunto Potencia .................................................................. 201

I.3.5. Teoremas .................................................................................203

I.3.6. Familias de Conjuntos ............................................................224

I.3.7. Producto de Conjuntos ...........................................................227

I.3.8. Paradojas de la Teoría de Conjuntos ....................................... 233

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I.4. Relaciones y Funciones .................................................................. 236

I.4.1. Importancia de las Relaciones y Funciones ............................236

I.4.2. Relaciones de Equivalencia y de Orden.................................. 240

I.4.3. Funciones como Relaciones entre Conjuntos ......................... 243

I.5. Definición de Matemática Pura ...................................................... 245

II. Conjuntos Numéricos ........................................................................... 249

II.1 El Conjunto de los Números Naturales ...........................................250

II.1.1. Introducción a los Números Naturales .................................. 250

II.1.2. Representación de los Números Naturales ............................254

II.1.3. Propiedades de los Números Naturales .................................257

II.1.4. El Principio del Buen Orden ..................................................260

II.1.5. Inducción Matemática ...........................................................263

II.1.6. Aplicaciones a Técnicas Avanzadas para Contar .................... 270

II.2 El Conjunto de los Números Enteros .............................................. 273

II.2.1. Introducción a los Números Enteros ......................................273

II.2.2. Propiedades de los Números Enteros ..................................... 275

II.2.3. La Ecuación Líneal x + a = b ................................................. 289

II.3 El Conjunto de los Números Racionales ......................................... 291

II.3.1. Introducción a los Números Racionales ................................ 292

II.3.2. Propiedades de los Números Racionales ...............................294

II.3.3. La Ecuación ax + b = c .......................................................... 297

II.3.4. Expresiones Fraccionarias ...................................................... 304

II.4 El Conjunto de los Números Reales................................................ 311

II.4.1. Introducción a los Números Reales ....................................... 311

II.4.2. Construcción Axiomática de los Números Reales .................. 314

II.4.3. Potencias, Raíces y Logaritmos .............................................. 325

II.4.4. Algebra de Números Reales ................................................... 332

II.4.5. Productos Notables y Factorización ....................................... 337

II.4.6. Productos y Factorizaciones Notables Especiales .................. 349

II.4.7. Ecuaciones............................................................................. 361

II.5. El Conjunto de los Números Complejos ........................................366

II.5.1. Introducción a los Números Complejos .................................366

II.5.2. Propiedades de los Números Complejos ...............................370

II.5.3. La Ecuación Cuadrática .........................................................376

III. Desigualdades e Inecuaciones ............................................................. 386

III.1 Desigualdades ...............................................................................386

III.1.1. Introducción a las Desigualdades ......................................... 387

III.1.2. Propiedades Conocidas de los Números Reales ...................391

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III.1.3. La Recta Real e Intervalos ..................................................... 395

III.1.4. Desigualdades como Relaciones de Orden ..........................397

II.1.5. Propiedades de Desigualdades .............................................. 404

III.2 Valor Absoluto ...............................................................................406

III.2.1. Introducción ......................................................................... 407

III.2.2. Propiedades del Valor Absoluto ............................................ 409

III.2.3. Intervalos y Valor Absoluto ................................................... 413

III.3 Inecuaciones .................................................................................417

III.3.1. Introducción ......................................................................... 417

III.3.2. Métodos de Solución de Inecuaciones .................................421

III.3.3. Sistemas de Inecuaciones y Programación Lineal ................. 426

Referencias ...........................................................................................434

UnidadTeoría de Conjuntos y Lógica

Unidad I

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I TeoríaI Teoría de Conjuntos y Lógica

Como ocurre en todo proceso sistemático de comunicación, con las Matemáticasdebemos empezar por establecer y precisar un lenguaje. Naturalmente, éste se expresamediante las palabras de un idioma (el español en nuestro caso). El sentido de estas pala-bras se precisa a través de otras ya conocidas, las que, a su vez, fueron explicitadas me-diante otras aun más anteriores. Sin embargo, deben existir las “primeras” palabras, lasque no pueden estar precisadas mediante este mecanismo (o no serían las primeras). De-cimos que éstas constituyen conceptos primitivos. Se considera que estos conceptos pri-mitivos son suficientemente claros por sí mismos para el objeto de su uso; su significadoqueda determinado sólo por la manera en que se les permite ser utilizados. Ejemplos deconceptos primitivos son: conjunto, elemento, pertenencia, verdadero, falso, punto.

Con tales conceptos se construye un vocabulario básico que permite darle significa-do a nuevas palabras, mediante la formulación de definiciones. Se obtienen así nuevosconceptos. Un ejemplo son las palabras: subconjunto y proposición (cuya definición ladaremos en el transcurso de esta unidad).

En toda teoría matemática se toman también como primitivas algunas proposiciones ojuicios, cuya verdad se admite; son los Axiomas (leyes o postulados) de tal teoría. Son ejem-plos de ellos el Axioma de Identidad (“todo objeto es igual a sí mismo”), el Axioma deSubstitución (“Todo objeto puede reemplazarse por otro igual a él en una proposición, sinque se altere la validez de la proposición”), y el Axioma de Euclides (“dos rectas que no sonparalelas se interceptan en un punto”).

De los axiomas, conceptos primitivos y definiciones se concluyen, mediante procesosde razonamiento lógico, proposiciones verdaderas, las que sirven a su vez, para obtenerotras; los “Teoremas” de la teoría. El proceso lógico de su obtención es la “demostración”del teorema (recordar el famoso Teorema de Pitágoras que dice que “el valor de la hipotenusaal cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”).

En la fundamentación de esta matemática formalizada se encuentran mezcladas laLógica y la Teoría de Conjuntos. La noción básica de la Lógica es la de proposición, mientrasla noción básica de la Teoría de Conjuntos es la de conjunto.

El lenguaje escrito de la Matemática utiliza, además de las expresiones del idioma, unsimbolismo propio, cuyo uso se debe precisar. La comprensión de los conceptos, ideas y usode la simbología presentada en esta unidad, no es más difícil que la que se requiere dellenguaje, reglas y símbolos de un entretenido juego. Estos conceptos y notaciones estarán

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presentes a lo largo de todo el curso, y son esenciales para la comprensión de todo el edifi-cio matemático construido en los cursos que continúan después de este (otros cursos dematemáticas, estadísticas, y aplicaciones en otras materias).

Objetivos

a. Fijar notaciones y terminología general;b. Precisar las ideas centrales del modo de razonar en matemáticas;c. Adquirir una actitud de pensamiento, conocimientos y habilidades operatorias, basa-

das en un razonamiento lógico–deductivo.

De esta manera se pretende establecer un lenguaje básico de comunicación y algunasreglas básicas de entendimiento.

Como se verá en detalle a lo largo del desarrollo del curso, la Matemática utiliza ellenguaje de la teoría de conjuntos como lengua natural básica y las reglas de la lógica comométodo de razonamiento. Sin embargo, debido a la existencia de varios conceptos primiti-vos, definiciones, axiomas y teoremas de la teoría de conjuntos que se precisan mejor conel lenguaje de la lógica (y recíprocamente, varios aspectos de la lógica que se expresan másclaramente en términos de la teoría de conjuntos), es que se torna muy difícil separar ambostópicos y presentarlos completamente independientes. Es por ello, que decidimos comenzaresta unidad revisando la teoría de Conjuntos en la calidad de “noción”: De esta forma, elprimer capítulo (NOCIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS) expone la teoría “intuitiva”de los conjuntos, como ha sido sugerido por Paul R. Halmos en su libro “Naive Set Theory”,preocupándonos más de la terminología y nociones del razonamiento implicado.

Una vez revisadas las nociones de la teoría de conjuntos, pasamos en el segundocapítulo (LÓGICA SIMBÓLICA) a formalizar la lógica proposicional simbólica o lógicaBoolena, adquiriendo de esta forma los elementos mínimos para razonar de forma deductiva(reglas, principios, simbología, terminología y técnicas de razonamiento).

Con los elementos de la lógica simbólica, pasamos en el siguiente capítulo (TEORÍAAXIOMÁTICA DE CONJUNTOS) a formalizar la teoría de conjuntos, con todo el detallenecesario, aplicándose directamente las técnicas de razonamiento lógico deductivo eneste capítulo y formándose de esta manera una base sólida para la continuación del curso.

En el cuarto capítulo (RELACIONES Y FUNCIONES) se introducen los conceptos derelación y función, los que se retomarán posteriormente con más detalle. En esta unidad,se muestran sólo como una continuidad lógica y aplicación directa de la teoría de conjun-tos, aprovechándonos de esta forma de insistir en la terminología involucrada para facilitarsu fijación.

Se termina la unidad con el capítulo DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA PURA, donde serevisan los planteamientos de Bertrand Russell, de su libro “Principia Mathematica”, con eldoble fin de: a.- Ensayarnos en la comprensión de textos escritos con un formalismo lógico–deductivo (y así aplicar todas las herramientas y destrezas adquiridas en la unidad), y b.-Aprovechar de conocer uno de los planteamientos unificadores de la ciencia más importan-tes de los últimos tiempos, cuyo valor cultural se encuentra en las bases mismas de nuestraactual civilización.

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I.1. Nociones de Teoría de ConjuntosEn este capítulo se presenta muy someramente la teoría de conjuntos y su vocabulario

básico, el que formará parte fundamental del curso de Matemáticas. Se pretenden lograr lossiguientes objetivos específicos:

• Conocer la definición de conjunto y el concepto primitivo de pertenencia.• Poder describir conjuntos tanto por extensión, como por comprensión.• Realizar la operatoria básica de conjuntos (uniones, intersecciones, diferencias,

complementos, inclusión).• Utilizar la notación de conjuntos de forma adecuada.• Verificar la igualdad e inclusión de conjuntos.• Aplicar los diagramas de Venn para clarificar situaciones particulares de conjuntos.• Conocer algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a situaciones prácticas.

Los razonamientos involucrados en muchas secciones de estos capítulos serán revisa-dos y reformulados con una notación más adecuada en un capítulo posterior, por lo que noes imprescindible su cabal comprensión. Sin embargo, las nociones e ideas deben quedarbastante claras, así como también la utilización y pertinencia de la notación involucrada. Esvital terminar el capítulo comprendiendo la diferencia entre un elemento a y un conjuntoformado por a: {a}.

I.1.1. El Paraíso Matemático de CantorUn conjunto es una de las ideas más simples y más primitivas de la Matemática; tan

simple que hoy día forma parte del curso del jardín de infancia. Esta idea, tiene un origeníntimamente ligado al proceso de contar de los pueblos primitivos. Pero no es por la simpli-cidad que comenzamos a estudiarlos en este curso. Por extraño que parezca, todo desarrollomoderno de Matemáticas se encuentra fundado en el concepto de conjunto, y no directa-mente en el de número. Esto porque nuestra civilización ha llegado a importantes niveles deabstracción. Sin embargo, esto no siempre ha sido así. De hecho, la teoría moderna deconjuntos apenas tiene un poco más de un siglo de desarrollo. A continuación revisaremosla historia de este concepto.

Ciertos idiomas primitivos poseen una palabra para designar cada color del arco iris,pero no tienen ninguna que signifique color; otros disponen de todos los nombres de losnúmeros, pero no tienen ninguna palabra que signifique número. Lo mismo ocurre con otrosconceptos. Por el contrario, nuestra lengua es muy rica en términos para designar agrupacio-nes: manada, rebaño, conjunto, lote, manojo, colección, cúmulo, etc. Detengámonos aanalizar el profundo significado de esta diferencia.

Lo concreto ha precedido a lo abstracto. En palabras de Bertrand Russell: “deben ha-berse necesitado muchos siglos para descubrir que un par de faisanes y un par de días son,ambos, ejemplos del número dos”. Hoy día disponemos de varias maneras de expresar laidea de dos: par, pareja, yunta y gemelos, entre otras. Pero, ¿qué pasaba cuando todavía nohabíamos abstraído el concepto de número?

Un ejemplo notable del carácter extremadamente concreto del concepto primitivo denúmero, lo ha expuesto Tobias Dantzig (1954). Él explica que en la lengua thimshian de unade las tribus de la Columbia Británica, existen siete conjuntos de términos numéricos dife-rentes: uno de ellos para los objetos chatos y los animales, otro para los objetos grandes y losárboles, otro para las canoas, otro para las medidas, y finalmente otro para contar objetosdistintos a los anteriores. El último es probablemente el resultado de un desarrollo posterior;los primeros, son reliquias de tiempos antiguos, en los que los indígenas no habían aprendi-do a contar.

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Evaluando estas peculiaridades de los lenguajes primitivos, se puede concluir en primerainstancia que la acción de contar es la que, en definitiva, ha consolidado la noción concreta depluralidad en el concepto abstracto de número. Sin embargo, aunque parezca extraño, es posi-ble llegar a la idea clara y lógica de número sin recurrir al artificio de contar.

Entramos en una sala de cine. Entonces tenemos delante de nosotros dos conjuntos: elde los asientos de la sala, y el de los espectadores. Sin necesidad de contar, podemos asegu-rar si esos dos conjuntos tienen o no igual número de elementos, y si no lo tienen, cuál esel que tiene mayor número. En efecto, si cada asiento está ocupado y nadie está de pie,sabemos sin contar que los dos conjuntos tienen igual número, y si todas las sillas estánocupadas y además hay gente de pie en la sala, sabemos sin contar que hay más personasque asientos.

Este conocimiento se obtiene gracias a un procedimiento llamado correspondenciabiunívoca (uno a uno), que consiste en atribuir a cada objeto de un conjunto un objeto deotro, y continuar así hasta que uno o ambos conjuntos se agoten.

En los pueblos primitivos, la técnica de contar se reduce precisamente a realizar talesapareamientos. Registraban el número de sus rebaños o de sus soldados por medio de inci-siones hechas en un árbol o por medio de piedras puestas en una pila.

Notemos, sin embargo que los conjuntos que nos imaginamos asociados a este proce-so de contar, en principio, son finitos (tres animales, 5 piedras, 1000 soldados, etc.); necesi-tamos más tiempo para imaginarnos conjuntos extremadamente grandes (los granos de are-na en una playa, las estrellas del firmamento, todos los números naturales: 1, 2, 3, 4,...,todos los puntos de una recta, etc.). Es decir, estamos hablando de los conjuntos infinitos,aquellos que no se acaban de contar en una cantidad finita de tiempo. Si pensamos enparticular en todas las estrellas del firmamento, aún podemos realizar una correspondenciabiunívoca con otro conjunto, por ejemplo, el de los números naturales. Así a cada estrellale corresponderá un número natural y podemos hablar de la estrella uno (1), la estrella dos(2), la estrella tres (3),...,la estrella cuatro mil millones uno (4’000’000’001), ..., la estrellacinco billones trescientos cincuenta mil cuatrocientos treinta y dos millones setecientosochenta mil doscientos cinco (el increíble y monstruoso número de 5’350’432’780’205),...,etc. En general, dado cualquier número de estrellas, siempre será posible encontrar otramás, al igual que en los números naturales (naturalmente, estamos suponiendo que el nú-mero de estrellas en el firmamento es infinito). Aquí es donde aparecen las paradojas.

Exactamente de la misma forma en que asociamos los números finitos con un ciertoconjunto finito que tomamos como modelo, por ejemplo nuestros dedos, estamos afirman-do que podemos asociar los conjuntos transfinitos (infinitos) con algún conjunto infinitotipo (las estrellas del firmamento). El más sencillo y fundamental de todos los conjuntosinfinitos es el constituido por todos los números naturales. Sin embargo, pensemos en lasiguiente correspondencia biunívoca (es decir, una correspondencia entre dos coleccionesde objetos de manera de formar parejas bien determinadas; más precisamente, a cada ele-mento de la primera colección le corresponde sin ninguna duda un único elemento de lasegunda colección y sólo uno): la que asocia a cada número natural un número par.

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Primer Conjunto Segundo Conjunto(números naturales) (números Pares)

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

n 2n

Se puede observar que para cada elemento del primer conjunto existe su correspon-diente número par en el segundo y, recíprocamente, para cada número par, existe un núme-ro natural correspondiente en el primer conjunto. Pero esto es absurdo, pues el segundoconjunto, el de todos los números pares, es claramente “menor” que el primero, que estáconstituido por los números pares e impares también (como se ilustra al destacar los núme-ros pares en el primer conjunto). Esto es una paradoja matemática.

El todo es igual a una parte. Si alguien llegó jamás a un resultado más contradictoriocon lo que el sentido común nos dice, es éste. Pero leyendo el razonamiento anterior, hayque admitir que no hay en él nada que viole el sentido común. En realidad el principio enel que se apoya el razonamiento que nos llevó a esta paradoja no es más complicado omisterioso que el que sirve de base para contar, ya que los dos son idénticos.

Entonces, podemos definir a un conjunto infinito como aquel conjunto que se puedecorresponder biunívocamente con una parte de sí mismo. Entramos a lo que imaginóCantor a finales del siglo XIX. Pero viene más.

Siguiendo con los razonamientos anteriores, hay una pregunta que trajo realmenteproblemas a los matemáticos. Está claro que el conjunto de los números naturales es infini-to y se corresponde término a término con otro conjunto infinito, como el de los númerospares. Es decir, tienen el mismo número de elementos. Entonces, ¿todos los conjuntos infini-tos tienen el mismo número de elementos o no? Por ejemplo, para fijar ideas, pensemos enel conjunto de todos los puntos de una recta. Esta claro que se compone de un infinitonúmero de términos. Por otra parte consideremos el conjunto de todos los puntos de unplano, ¿tienen realmente el mismo número de elementos? Aquí fue donde Cantor intervino yrespondió que no. Hay conjuntos infinitos que tienen más elementos que otros. Este es unode los resultados más importantes de la Matemática Moderna y forma parte de una teoríaque se conoce como teoría de conjuntos.

Esta teoría no la estudiamos porque nos interese realmente la cuestión de los conjuntosinfinitos o si uno es más grande que otro, etc. Aplicaciones directas a estos hechos es muydifícil encontrarlas en la vida cotidiana. Estudiamos algunas nociones de teoría de conjuntos,porque los razonamientos y metodologías implícitas en ella realmente aportan de paso unacapacidad de abstraer y mejorar los conocimientos en un sinnúmero de tópicos de importan-cia para la formación de cualquier profesional moderno.

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La Teoría de Conjuntos como una disciplina matemática se originó con las contribu-ciones del matemático alemán Georg Cantor (1845-1918). Cantor elaboró esta teoría en elúltimo decenio del siglo XIX, abriendo de forma muy singular y con un poder de imagina-ción increíble, un sinnúmero de posibilidades y límites a las construcciones teóricas, lasque exploraremos.

¿Qué podemos imaginarnos bajo la denominación de Teoría de Conjuntos? ¿Qué de-bemos entender por Conjunto? Antes de analizar el trabajo de Cantor, consideremos primeroel uso de la palabra en el lenguaje cotidiano: hablamos de un conjunto de personas (porejemplo un conjunto de creyentes) cuando queremos referirnos a una congregación de ellasen la Plaza de San Pedro en Roma ante el Papa, o bien un equipo de fútbol que ha ganado talcampeonato (un conjunto de jugadores); también es válido hablar del conjunto de libros quese encuentra en este momento en mi escritorio, etc. Cantor prefirió ser más preciso –comotodo buen matemático– y expresó que un conjunto es esencialmente una reunión de objetosen su totalidad.

En su obra “Contribuciones para Establecer la Teoría de Números Transfinitos”, escri-bía: Bajo el concepto de “Conjunto” entendemos aquella reunión M de objetos m determi-nados y perfectamente diferenciados, en nuestra contemplación o en nuestro pensamiento(que se llaman “elementos” de M), que constituyen una totalidad. Gráficamente lo expresa-remos así:

M = {m}

(En el alemán original: “eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmterwohlunterschiedener Objektke unserer Anschuung oder unseres Denkekns – welche dieElemente der Menge genannt werden zu einem”, Beiträge zur Bergründung der transfinitenMengenlehre. 1. Mathem, Ann. bd. 46, p. 481).

Esta definición de Cantor, establecida en 1895 y que se ha hecho célebre, instituye el“conjunto” como concepto abstracto, perfeccionado, del vocablo considerado como “canti-dad” en el lenguaje cotidiano.

Los elementos de tales conjuntos pueden ser cosas cualesquiera, “objetos de nuestracontemplación o de nuestro pensamiento”. Ejemplos adecuados, son los habitantes de unaciudad, los automóviles con matrícula terminada en 6 ó 5, los jugadores de un equipo defútbol, los escaños de la Cámara de Diputados, las figuras del libro, etc. Objetos de nuestracontemplación y de nuestro pensamiento son también los colores de una puesta de sol, unataza de café, el físico Albert Einstein, un paraguas, el ruido de un martillo, nuestro cepillo dedientes y una cédula de identidad. Además, podemos añadir a esta colección, los siguientesobjetos abstractos: el concepto de honor, incomodidad, intercambio cultural, el deber ciu-dadano.

Los conjuntos, en el sentido de Cantor, no necesitan estar compuestos de cosas homo-géneas como los habitantes de una ciudad o las figuras de un libro. Podemos formar unconjunto compuesto por: Charles Chaplin, el planeta Saturno, un cepillo de dientes y elnúmero 19. Un conjunto muy sencillo, con cinco elementos, sería el compuesto por: 1, 2, 3,4 y 5.

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U N I D A D I

Ejemplo I.1.1.1.Un ejemplo básico de conjunto, es el conjunto de los números naturales, es decir, el

conjunto formado por: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc. Este conjunto (llamado conjuntonumérico, porque sus elementos son sólo números) es tan importante que recibe además deun nombre especial, un símbolo:��. Una cualidad especial de este conjunto es que estáformado por un número infinito de elementos, por esto se dice que el conjunto de los núme-ros naturales es infinito.

Ejemplo I.1.1.2. Otros ejemplos de conjuntos numéricos, los encontramos en:

• El conjunto de los números enteros: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... denotadousualmente por el símbolo: �. Este conjunto, que también es infinito, está constituidopor todos los números naturales, el cero y todos los números negativos.

• El conjunto de los números racionales; todos los números enteros más todos los númerosque se pueden expresar como cuociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, -3/5,-7/5, 91/2, -48/4, etc. Se denota usualmente por el símbolo:��

• Por último, no podemos dejar de mencionar al conjunto de los números reales, deno-tado por: �, y que consta de todos los números racionales, más todos aquellos núme-ros irracionales (es decir, los que no se pueden expresar como un cuociente de dos

números enteros) como: π, , etc.

Ejemplo I.1.1.3.

Un ejemplo de un conjunto de elementos muy concretos, puede ser el formado portodos los libros citados en la bibliografía de este texto. Los elementos de este conjuntopueden ser contemplados por lo menos por alguien (el autor). Sin embargo, existen conjun-tos compuestos por elementos que sólo existen en la imaginación de las personas (nadiepuede contemplarlos, aunque sí pensar en ellos), como el conjunto de todos los valoresnegativos que tiene una sociedad determinada.

Ejemplo I.1.1.4.Otro ejemplo de conjunto muy recurrente, es el conjunto finito de las 26 letras del

abecedario. Formado por: a, b, c, d, e, f, g, h, i, ..., x, y, z. Este conjunto recibe el apellido definito porque tiene un número finito de elementos (se debe notar que no se han consideradolas letras: ch, ñ y ll, con las que se tendrían 29 letras en total).

Ejemplo I.1.1.5.Si nos imaginamos la situación de formar un charco de agua con puras gotas de lluvia,

podemos comprender sin mayor esfuerzo que este charco está compuesto por una colecciónde gotas de lluvia reunidas. Sin embargo, dado que es imposible diferenciarlas y aislarlas,estrictamente hablando (según la definición dada por Cantor), está colección no formaría unconjunto cuyos elementos sean las gotas de lluvias. Distinto es el caso si formamos el charco

√2, √57

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con moléculas de agua. Ahí sí podemos diferenciar y determinar a cada elemento (por lomenos en teoría) y por lo tanto sería un conjunto.

ACTIVIDADES I.1.1.6.

1. Construya cinco ejemplos de conjuntos distintos, conformados por elementos correspon-dientes a la categoría de la contemplación.Solución:

Un ejemplo de un conjunto de esta naturaleza esta dado por el conjunto de las hojas queforman el presente libro (cada elemento, las hojas, se pueden ver, se pueden tocar, incluso sepueden oler). Otro ejemplo es el conjunto de todos los habitantes de la ciudad de Puerto Montt;cada habitante es un ente bien diferenciado, concreto, incluso tiene un nombre o un número decédula de identidad que lo identifica.

2. Construya cinco ejemplos de conjuntos conformados por elementos existentes en nuestropensamiento.Solución:

Para el caso, se puede considerar el conjunto de todos los conceptos primitivos utiliza-dos en este curso de Matemática (verdadero, falso, elemento, pertenencia, etc.).

3. Construya cinco ejemplos de conjuntos formados por elementos mixtos, no homogéneos.Solución:

Un conjunto formado por elementos mixtos, es un conjunto cuyos elementos son denaturaleza completamente distinta. Por ejemplo, el conjunto formado por todas lasletras del abecedario, los colores del arco iris y las estrellas del universo (un ejemplo deconjunto formado por elementos homogéneos, en cambio, es aquel formado por ele-mentos de la misma naturaleza, como el caso del conjunto de todas las letras delabecedario).

4. Construya un ejemplo de alguna colección que no sea un conjunto.Solución:

Una “colección” de algo que no sea un conjunto es cualquier cosa donde los elemen-tos no se puedan distinguir (no se encuentren diferenciados). En el texto se ha dado elejemplo de las gotas de lluvia que forman un charco. Antes de caer al charco de agua,cada gota era un ente diferenciado, pero una vez ingresado al “conjunto” se pierde suindividualidad.

5. Determine si la colección de todos los conjuntos imaginables es o no un conjunto.Solución:

Aunque intuitivamente esta colección corresponde a un conjunto, en realidad no es posi-ble diferenciar de forma precisa sus elementos (no se cuenta con un criterio para determi-nar completamente si un objeto dado es un elemento del conjunto o no lo es. Por ejemplo,el conjunto de todos los conjuntos ¿será un miembro de sí mismo o no? Si asumimos queun objeto no puede ser simultáneamente un conjunto y un elemento de este conjunto,entonces se debe considerar que la colección formada por todos los conjuntosimaginables, definitivamente, no es un conjunto.

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U N I D A D I

RESUMENSe ha revisado la noción de conjunto, tanto finito como infinito (según el número de

elementos que la componen). El nacimiento de la teoría de conjuntos y la definición dadapor Cantor en el siglo XIX sobre ellos, estableciéndose que un conjunto es una colección deobjetos de cualquier clase que se encuentran perfectamente diferenciados. Cada objeto den-tro de un conjunto es llamado un elemento del conjunto.

Se revisa además, lo que entendemos por número natural (�), entero (�), racional(�) y real (�), para finalizar con un bosquejo de una simple paradoja matemática formadacon la noción de conjuntos infinitos y el proceso de correspondencia biunívoca.

AUTOEVALUACIÓN

Determine la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes: 1.___ El conjunto de los números naturales es finito. 2.___ Un mismo objeto no puede ser, simultáneamente, un conjunto y un elemento de este conjunto. 3.___ La colección de todos los números naturales impares es un conjunto. 4.___ El -6 sería un elemento del conjunto de los números naturales. 5.___ Existe una correspondencia biunívoca entre todos los chilenos y el

número de cédula de identidad. 6.___ El conjunto de todos los granos de arena de una playa no es conjunto. 7.___ Un conjunto tiene siempre un número de elementos finito. 8.___ Elemento de un conjunto es un concepto primitivo. 9.___ Conjunto numérico es un concepto primitivo.10.___ Una colección de entes reunidos y perfectamente diferenciados forma

un conjunto.

11.___ El símbolo que representa a los números naturales es ��

12.___ El símbolo que representa a los números racionales es �.

Respuestas: 1. Falso. La cantidad de números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) es infinita, pues dado cualquier

número natural que nos imaginemos, siempre tiene un sucesor. 2. Verdadero. De otra forma se viola la condición formulada por Cantor de que los conjun-

tos se deben formar por elementos perfectamente diferenciados. 3. Verdadero. 4. Falso. El –6 es un número entero, pero no es natural por ser un número con signo

negativo. 5. Verdadero. 6. Falso. Cada grano de arena es perfectamente distinguible de otro, por lo tanto la colec-

ción formada por ellos es efectivamente un conjunto. 7. Falso. Existen conjuntos que perfectamente pueden estar compuestos por un número

infinito de elementos, como por ejemplo el conjunto de los números naturales. 8. Verdadero.

20


Glosar 9. Falso. El concepto de conjunto numérico se puede definir en términos del concepto

primitivo de conjunto y de número.10. Verdadero.11. Verdadero.

12. Falso, el símbolo correcto es �.

Glosario

Concepto Primitivo: concepto que se considera suficientemente claro por sí mismo parael objeto de su uso, sin tener que definirlo. Por ejemplo: El concepto de punto, el deverdad, falsedad y pertenencia.

Conjunto: colección de objetos perfectamente diferenciados que se reúnen en una totali-dad. Por ejemplo, los jugadores de un equipo de fútbol forman el conjunto de jugado-res del equipo.

Conjunto Finito: conjunto donde el número de elementos que lo componen es finito. Alenumerar cada uno de sus elementos, se termináran en algún momento.

Conjunto Infinito: conjunto donde el número de elementos que lo componen es infinito. Alcontar o enumerar cada uno de sus elementos, nunca se llegará al último.

Conjunto Numérico: conjunto donde todos los elementos que lo conforman son núme-ros.

Conjunto de Números naturales �: conjunto numérico formado por los números natura-les (los que usamos para contar). El conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.

Conjunto de Números Enteros �: conjunto numérico formado por los números enteros.El conjunto formado por los números naturales y el cero y todos los números con signonegativo (sin decimales). Por extensión, este conjunto queda definido de la forma: {...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.

Conjunto de Números Racionales �: conjunto numérico formado por los números racio-nales. Todos aquellos números que pueden expresarse como una fracción de dos nú-meros enteros. En esta categoría entran todos los números con un número finito dedecimales o aquellos que al tener un número infinito de decimales tienen una periodi-cidad en ellos. Ejemplos de números racionales, tenemos: -0.00001, 1/3, -7/2, 6/2,3.3333333333...,-1, 3.05,...,etc.

Conjunto de Números Irracionales: conjunto numérico formado por los númerosirracionales, es decir, todos aquellos números que no es posible expresar como frac-ción de dos números enteros (números con un infinito número de decimales, pero queno presentan ninguna periodicidad). El ejemplo clásico de número irracional es PI (π),utilizado como factor para calcular el perímetro de una circunferencia a partir de suradio (L = 2πr). Este número, al que estamos acostumbrados a reconocer como 3.14...,en realidad tiene infinitos decimales. A continuación presentamos algunos de los pri-meros decimales para reforzar esta idea:

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U N I D A D I

πππππ = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 7494459230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 0664709384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 0555964462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 8316527120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 ...La lista de decimales expuestos podría seguir al infinito. El lector puede confirmar queno existe ninguna clase de periodicidad presente.Se podría pensar que los números irracionales son escasos (otros ejemplos conocidos sonla raíz de 2, la raíz de tres, etc). Sin embargo, debemos notar que los matemáticos hanlogrado demostrar la existencia de “muchos más” números irracionales que racionales.El término técnico es que los números irracionales son “densos”.

Conjunto de Números Reales �: conjunto numérico formado por los números raciona-les y los números irracionales.

Correspondencia Biunívoca: proceso por el que se relacionan dos conjuntos, asociandocada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo.

Elemento de un Conjunto: ente que se sabe pertenece a un conjunto determinado.Objeto de un Conjunto: elemento de un conjunto.Paradoja: enunciado de cualquier tipo que encierra una contradicción.Número Natural: los números que son utilizados para enumerar o contar 1, 2, 3, 4, 5, 6,...Número Par: número entero múltiplo de 2 (dos). Por ejemplo: -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...Número Impar: los números enteros que no son pares (es decir, aquellos enteros que no

son múltiplos de dos). Ejemplo: -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...Número de Elementos de un Conjunto: cantidad de objetos que conforman a un conjun-

to. Este número puede ser finito o infinito. También se habla de la cardinalidad de unconjunto.

Término de un Conjunto: elemento de un conjunto.

Símbolos:�: Conjunto de los números naturales.�: Conjunto de los números enteros.�: Conjunto de los números racionales.�: Conjunto de los números reales.

I.1.2. Introducción a los ConjuntosUna manada de lobos, un racimo de uvas, los granos de arena de la playa o los puntos

de una línea recta, son ejemplos de conjuntos.Es tan importante el concepto de conjunto, que puede ser usado como fundamento de

todas las matemáticas conocidas. Sin embargo, no somos capaces de definir exactamentequé entendemos por conjunto.

Normalmente, los intentos de definiciones del concepto de conjunto, expresan algocomo lo siguiente:

Un conjunto es una colección de objetos de cualquier clase.

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Debemos notar que la palabra colección, a su vez se define como un conjunto deobjetos.

La definición de conjunto es algo que no se puede incluir en ningún desarrollo de lateoría, de forma análoga a lo que ocurre en la geometría con el concepto de punto.

De esta forma sólo podemos aproximarnos a la idea de conjunto, utilizando nuestroconocimiento cotidiano e intuitivo, pero posiblemente erróneo. Lo que sí podemos hacermuy bien y de forma precisa, es describir qué es lo que se puede realizar con los conjuntos.La teoría que vamos a desarrollar, tratará de explicarnos en detalle qué es lo que podemoshacer correctamente con los conjuntos.

Los conjuntos tienen elementos. Un elemento de un conjunto puede ser un lobo, unauva, un grano de arena o el punto de una recta.

También es importante saber que un conjunto puede ser además un elemento de algúnotro conjunto. Por ejemplo, una recta es un conjunto de puntos; pero a su vez pertenece alconjunto de todas las rectas del plano.

El hecho de que un conjunto puede presentarse también como elemento de otro con-junto, resulta sorprendente; pero lo que realmente es extraordinario, es que en realidad nonecesitamos considerar ningún otro tipo de elemento. De esta forma, estudiamos conjuntos,conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos, etc. pero nada más, por muycomplejas que puedan parecer estas construcciones, se gana en la generalización que per-mite. Así, las propiedades que podemos encontrar en el conjunto de puntos de una recta yen el conjunto de todas las rectas del plano son las mismas que podemos encontrar en elconjunto de los granos de arena de una playa y el conjunto de todas las playas del mundo.

Así se logra una abstracción enorme que nos independiza de preocuparnos de laspropiedades particulares de las cosas y sólo observamos su relación de pertenencia a unconjunto.

En la teoría de conjuntos no importa lo que es algo, sino a quién pertenece. De estaforma, aun cuando un punto es algo muy distinto que un grano de arena, o un lobo, estosobjetos comprenden la propiedad común de pertenecer como elementos a un conjunto.

Más aun; cuando se piensa en el conjunto de todas las rectas del plano, que a su vezestán formadas por conjuntos de puntos. Este conjunto es equivalente en construcción alconjunto de todas las playas del mundo, que a su vez están constituidas por los granos dearena de la playa.

Las palabras punto, recta, playa, arena, no entregan ninguna propiedad particular enla construcción de los conjuntos, sólo sirven para ilustrar y fijar ideas más concretas de loque se está pensando.

De esta forma, de acuerdo a lo establecido por Cantor, el concepto principal de lateoría de conjunto, que se entiende de forma primitiva y por lo tanto indefinida, es el depertenencia.

Hemos establecido que un conjunto está constituido de objetos llamados elementos.Ahora afirmamos que dado un conjunto y un objeto particular, siempre podemos discernirsi este objeto pertenece o no al conjunto.Decimos:

• Un lobo es un miembro de la manada.• Una uva es un elemento de un racimo.• Un punto pertenece a una recta.

23

U N I D A D I

Sabemos que estas tres aseveraciones son verdaderas, pero en cambio las frases:• Un pichón es un miembro de la manada.• Un grano de arena es un miembro del conjunto de las rectas del plano.Sabemos que son falsas.

De forma más general, podemos establecer que en frases del tipo:______________es miembro de________________________

Al llenar el primer espacio en blanco con el nombre de un objeto y el segundo con elnombre de un conjunto, estaremos siempre en condiciones de clasificar la aseveración comoverdadera o falsa.

Se debe notar que la noción de pertenencia es una relación entre objetos y conjuntos.Esta relación se simboliza por la quinta letra del alfabeto griego (epsilón,∈), y se escribe:

x ∈ A

Si el objeto x es un miembro del conjunto A. Si x no es un elemento de A, se escribe:

x ∉ A

Esta versión de las letras griegas epsilon es tan usado para denotar pertenencia, que suempleo para explicitar cualquier otra cosa está casi prohibido. De esta forma ∈ está reserva-do para usarlo siempre en teoría de conjuntos y cuando se requiere la quinta letra minúsculadel alfabeto griego para otro fin se utiliza el símbolo ε.

En este punto, también es conveniente realizar la siguiente aclaración: No existeninguna razón de peso para emplear letras minúsculas y mayúsculas como se hizo alescribir

x ∈ A

Sin embargo, por la fuerza de la costumbre se indica informalmente la posición relati-va de un conjunto en una jerarquía particular, reservando las últimas letras del alfabeto paralos elementos y las primeras, para conjuntos. Análogamente, detrás de un tipo de letra mássencillo, se denotarán elementos, mientras que las de tipo más llamativo o estilizado deno-tarán conjuntos que los contienen:

x ∈ A (A es un conjunto de elementos)

A ∈ X (X es un conjunto de conjuntos)

�X ∈ �� (��es un conjunto de conjuntos de conjuntos)

Se debe señalar además que cuando se desea expresar que x1∈A, x2∈A, x3∈A,...,xn∈A, se puede abreviar escribiendo: x1, x2, x3,...,xn ∈ A.

Ejemplo I.1.2.1.Consideremos el conjunto de los huesos del brazo. Para un especialista en Medici-

na, este conjunto tiene elementos bien concretos llamados: húmero, cúbito, radio, carpo,metacarpo, falanges. Sin embargo, para el no especialista (al que los nombres anterioresno le dicen nada), entenderá perfectamente de qué trata este conjunto cuando vea:

A = {x: x es un hueso del brazo}(se lee: “A es el conjunto de todos los x, tales que x es un hueso del brazo”).

En este ejemplo, podemos observar que existen dos formas de definir conjuntos:Una abstracta, llamada por “comprensión” (A = {x: x es un hueso del brazo}) y una

24


concreta, llamada por “extensión” (A = {húmero, cúbito, radio, carpo, metacarpo, falan-ges}). Pronto profundizaremos en el significado real de definir conjuntos de una forma uotra.

Ejemplo I.1.2.2.Consideremos los tres conjuntos siguientes, definidos por extensión A = {a, b, c}, B = {a,

e, i, o, u}, C = {d, {a}}. Entonces, tenemos que:• A está formado por las tres primeras letras del alfabeto.• B corresponde al conjunto de las cinco vocales.• C es el conjunto formado por la cuarta letra del alfabeto y el conjunto que contiene a la

primera letra.• El elemento a pertenece a los conjuntos A y B, pero no pertenece al conjunto

C (a ∈ A, a ∈ B, a ∉ C).

• El elemento d, sólo pertenece al conjunto C (d ∈ C).

• El elemento u, no pertenece al conjunto A (u ∉ A).

Ejemplo I.1.2.3.Consideremos los siguientes conjuntos de números naturales: A = {x: x es un número

natural menor que 5}, B = {x: x es un número natural menor que 5 y par}, C = {x: x es unnúmero natural impar}. De estos tres conjuntos se puede afirmar que:

• 0.5 ∉A, ni a B, ni a C, puesto que 0.5 no es un número natural.

• -5 no pertenece a C (-5 ∉ C), pues aunque es un número entero, tampoco es un númeronatural.

• 1 pertenece al conjunto A y al C (por ser menor que cinco e impar al mismo tiempo).• Los únicos elementos comunes entre A y B son 2 y 4, pues ambos son números natura-

les menores que 5 y pares.• El conjunto C tiene infinitos elementos.• Los conjuntos A y B son finitos, el primero tiene 5 elementos, el otro sólo 2.• A definido por extensión sería: A = {1, 2, 3, 4, 5}.• B definido por extensión: B = {2, 4}.

Ejemplo I.1.2.4.Consideremos los conjuntos: A = {1, 2}, B = {{1}, {2}, A} y C = {B, {{1}}}. Entonces:

• A es un conjunto de elementos formado por 1 y 2.• B es un conjunto de conjuntos formados por el conjunto que contiene al elemento 1, el

conjunto que contiene al elemento 2 y el conjunto A.

• 1 ∈ A, pero no pertenece a B (1 ∉ B).

• C es un conjunto de conjuntos de conjuntos.• {1} pertenece a B, pero no pertenece a C.

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U N I D A D I

Ejemplo I.1.2.5.Consideremos el conjunto que no contiene ningún elemento. Este conjunto se llama

conjunto vacío y se denota por el símbolo: �. Debemos observar que, para este conjunto, laafirmación x ∉ � siempre es verdadera; mientras que la afirmación x ∈ �, siempre es falsa,cualquiera sea el elemento x.

Ejemplo I.1.2.6.El conjunto �5, de todos los números enteros divisibles por 5, se encuentra definido

por extensión de la siguiente manera:�5 = { ... , -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...}

Siempre es posible definir un conjunto por extensión, aun cuando sea de extensióninfinita (se componga de infinitos elementos), siempre y cuando la enumeración de términos(que necesariamente debe ser finita) deje en claro un criterio para decidir si un objeto enparticular es o no elemento del conjunto. El mismo conjunto infinito, puede definirse porcomprensión, de la forma:

�5 = {x: x ∈ � y x es divisible por 5} = {x: x = m⋅5, para algún m en ��}.

Siempre la definición de un conjunto por comprensión estipulará un criterio unívocopara decidir si un objeto pertenece o no al conjunto.

ACTIVIDADES I.1.2.7

1. Explique por qué 2 ∈ {1, 2, 3}.

Solución:El elemento 2 es un término del conjunto numérico {1, 2, 3} (formado por los tresprimeros números naturales), por lo tanto es claro que 2 pertenece al conjunto.

2. Explique por qué no es cierto que {1, 2}∈{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}

Solución:1 y 2 son elementos del conjunto, pero reunidos como conjunto no forman un elemen-to de él. Por esta razón {1, 2} no pertenece al conjunto (es un subconjunto).

3. Dé un ejemplo de tres conjuntos A, B y C, tales que A ∈ B, B ∈ C y A ∉ C.

Solución:

Consideremos por ejemplo, A = {a}, B = {{a}, a} y C = {{{a}, a}, a}. Es claro que A ∈ B y queB es un elemento de C, pero A = {a} no es un elemento de C.

4. Discuta sobre la siguiente afirmación: para todo conjunto A, se tiene que � es siempre unelemento de A. (¿será verdadera o falsa?).Solución:

La afirmación es falsa. Lo que es cierto es que � es siempre un subconjunto de cual-quier conjunto A.

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5. Defina por extensión los siguientes conjuntos:a. {x: x es un entero más grande que uno y menor que 10}b. {x: x es un número natural menor que 10}c. {x: x es un número racional positivo y menor que 1}d. {x: x es un número natural menor que cero}Solución:a. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}c. {1/10, 1/100, 1/1000,..., 89/100,..., 9999999/10000000} (es un conjunto con infinitos ele-

mentos. Se debe notar que se han expresado en forma desordenada).

d. � (los números naturales son todos mayores que cero).

6. Defina por comprensión los siguientes conjuntos:a. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}b. {-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}c. {b, c, d, f, g, h, j, k, ... ,x ,y, z}

d. {�� }.

Solución:a. {x: x es un número natural impar menor que 16}b. {x: x es un número entero par, mayor o igual que –10 y menor o igual que 10}c. {x: x es una consonante del abecedario}d. {x: x es un símbolo musical}

7. Considere el conjunto de todos los números primos, es decir, el conjunto de númerosmayores o iguales a 2 y divisibles sólo por 1 y sí mismo. Por extensión, este conjunto tienecomo primeros elementos a los números {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...}. En particular, sepueden considerar también el conjunto de pares de números primos gemelos; aquellosnúmeros primos que sólo difieren en dos cifras: {3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, ...}.Encuentre números primos trillizos (tres números primos que difieran en sólo 2 cifras). ¿Elconjunto de números trillizos es finito o infinito? ¿Por qué?Solución:

Los únicos números primos trillizos que se pueden encontrar son los que forman laterna: {3, 5, 7}. En cualquier otra donde participen tres números impares que difieranen dos cifras, siempre deberá estar un múltiplo de tres, el que no es primo.

Ejercicios I.1.2.8.1. Construya tres conjuntos distintos tales que A ∈ B, B ∈ C y A ∈ C.2. Defina por extensión y comprensión el conjunto de los números enteros mayores que –6.3. Defina el conjunto de enteros comprendidos entre –3 y 4, inclusive, por extensión y por

comprensión.4. Defina por comprensión y por extensión el conjunto �3 constituido por todos los números

enteros divisibles por 3.5. Defina por comprensión y por extensión el conjunto de todos los números natura-

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U N I D A D I

les pares.6. Verifique que el conjunto de números naturales menor que uno corresponde al con-

junto vacío.7. Defina por extensión el conjunto de letras de la palabra “CORRECTO”.8. Defina por extensión el conjunto {x: 3 · x = 6}.

Respuestas1. Uno de los ejemplos podría ser: A = {a}, B = {{a}, a} y C = {{{a}, a}, {a}, a}.2. Por extensión: {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}Por comprensión: {x: x es entero y mayor que –6}3. Por extensión: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}Por comprensión: {x: x es entero mayor igual que –3 y menor o igual que 4}4. Por extensión: {...,-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12,..}. Por comprensión: {x: x = 3m, para algún

m en los enteros}5. Por extensión: {2, 4, 6, 8, 10, 12,...}Por comprensión: {x: x es un número natural par}6. No hay ningún número natural menor que uno.7. {C, O, R, E, T}8. {2}

ResumenEn esta sección se precisan los conceptos primitivos de pertenencia y no pertenencia

de un elemento a un conjunto en particular. Se exponen además, las dos formas principa-les de definir conjuntos: por extensión (esto es enumerando cada uno de los elementosque pertenecen al conjunto) y por comprensión (aclarando un criterio para decidir si unelemento en particular pertenece o no al conjunto).

Se revisa la posibilidad de construir conjuntos cuyos elementos sean a su vez con-juntos, y se termina postulando la existencia de un conjunto vacío; un conjunto que notiene ningún elemento.

AUTOEVALUACIÓNCompletar las siguientes afirmaciones con el símbolo adecuado (∈ o ∉):

1. Si a es un elemento del Conjunto A, entonces a ____ A.2. Si A es el conjunto de todos los números naturales impares, entonces 2 ___ A, -5 ___A.3. Los únicos elementos que pertenecen al conjunto A, son los enteros pares comprendi-

dos entre –4 y 4, inclusive. –2 ____ A, 2 ____ A, 3 ____ A.4. Si a no es un elemento de A, entonces escribimos: a ___ A.5. Sea A = {(1, a), (2, b), (3, c),... , (26, z)}. Entonces (2, d) ___ A, (25, y) ____A.6. Sean A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {7, 8, 9}, D = {2, 4, 6, 8}; se define el conjunto de

conjuntos � = {A, B, C, D, {1, 3, 5, 7}}. Se tienen entonces que: {1, 2, 3} ____ �, 1 ___�, {1, 2, 3, 4, 5, 6} _____ �.

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 7. ____ Un conjunto puede ser un elemento de algún otro conjunto. 8. ____ Todo conjunto tiene siempre al menos un elemento.

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9. ____ Si un objeto es elemento del conjunto A, se escribe a ∈ A.10.____ Si un objeto no es elemento del conjunto A; entonces no siempre se puede escri-

bir: a ∉ A.11. ____ Si para definir A, se escribe: A = {1, 2, 3, 4, 5}, se dice que A está definido por

comprensión.12. ____ El cero es el único número entero tal que 0 ∈ �.13. ____ Un conjunto definido por comprensión no se puede definir por extensión.14. ____ Un conjunto de infinitos elementos se puede definir por extensión, siempre que

quede clara su interpretación.

Indique cuántos y cuáles son los elementos del siguiente conjunto:15. A = { {a, b, c}, {{a, b}, c, d}, a, b, {a, b}, {{a}, {b}}, {{a, b}, {c}, d}, {a, a, b}, {{a, a}, {b, b}}}

Defina por extensión los siguientes conjuntos:16. A = {x: x es un entero mayor que –5 y menor que 2}17. A = {x: x es una vocal del alfabeto}18. A = {x: x es un número natural par}19. A = {x: x es un número natural impar}20. A = {x: x es número entero múltiplo de 2}

Respuestas

1. a ∈ A 2. 2 ∉ A, -5 ∉ A. 2 es un número par, -5 no es un número natural.

3. –2 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∉ A. 3 no es un número par.

4. a ∉ A

5. (2, d) ∉ A, (25, y) ∈ A. Describa por extensión los 26 elementos de este conjunto paradespejar toda duda.

6. {1, 2, 3} = A ∈�, 1 ∉ �, {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∉ �.

7. Verdadero. 8. Falso. El conjunto vacío no tiene elementos.

9. Falso. a ∈ A. Notar siempre la diferencia entre ε (epsilon, la quinta letra del alfabetogriego) y ∈ (el símbolo de pertenencia).

10. Falso. Todo objeto sólo tiene dos posibilidades por el llamado principio de tercioexcluido: o pertenece a un conjunto (a ∈ A), o bien no pertenece (a ∉ A). No existeotra opción.

11. Falso. Por extensión.

12. Falso. � no tiene ningún elemento.

13. Falso. Los tipos de definiciones de conjuntos no son mutuamente excluyentes. Por lotanto, incluso es posible definir un conjunto de las dos maneras.

14. Verdadero.15. El conjunto tiene 7 elementos, los cuales son: {a, b, c}, {{a, b}, c, d}, a, b, {a, b},

{{a}, {b}}, {{a, b}, {c}, d}.

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El Axi

Glosar16. A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1}17. A = {a, e, i, o, u}18. A= {2, 4, 6, 8, 10, 12,...}19. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}20. A = {...,-6, -4, -2, ,0, 2, 4, 6 ,8,....}

Glosario

Conjunto: colección de objetos perfectamente diferenciados que se reúnen en una totali-dad.

Conjunto con Infinitos Elementos: colección de una cantidad infinita de objetos.Conjunto con un Número Finito de Elementos: colección de una cantidad finita de obje-

tos.Conjunto Vacío: aquel conjunto que no tiene elementos.Elemento: objeto que pertenece a un conjunto determinado.Definición por Comprensión: Definición o regla que permite determinar si un elemento

pertenece o no a un conjunto.Definición por Extensión: enumeración de los elementos que pertenecen a un conjun-

to.Números Naturales: aquellos números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, etc.Números Primos: números naturales que poseen la propiedad de ser divisibles sólo por 1

(uno) y sí mismos, por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.Pertenencia: relación que permite identificar sin ambigüedad si un elemento se en-

cuentra o no como objeto de un conjunto.

Símbolos:

= : Igualdad.

∈ : Pertenencia.

: No Pertenencia.

��: Conjunto Vacío.

I.1.3 El Axioma de Extensión

Una relación posible entre conjuntos, más elemental que la de pertenencia, es la deigualdad. La igualdad entre dos conjuntos A y B se denota universalmente por el conocidosímbolo

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A = B;Y el hecho de que A y B no son iguales se expresa escribiendo.

A B.

La propiedad más importante de la pertenencia es su relación con la igualdad, la quese puede expresar de la siguiente manera:

I.1.3. Axioma de Extensión:Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.Es decir, un conjunto está determinado por su extensión. El axioma de extensión no

es sólo una propiedad lógicamente necesaria de la igualdad, también esta relacionada conla pertenencia. Para comprender esto, consideremos una situación parcialmente semejante,donde el análogo del axioma de extensión no se cumpla.

Supongamos que estamos considerando seres humanos en vez de conjuntos, y que,si x y A son seres humanos, escribimos que x ∈ A siempre que x es un ancestro de A (xpueden ser los padres de A, los padres de sus padres, los padres de éstos, etc.) El análogodel axioma de extensión diría en este caso que si dos seres humanos son iguales, tienen losmismos ancestros (esto sería la parte: dos conjuntos son iguales sólo si tienen los mismoselementos, y es claramente verdadera) y también, que si dos seres humanos tienen losmismos ancestros, entonces son iguales (ésta es la parte: dos conjuntos son iguales sitienen los mismos elementos y en este caso es falsa) pues estariamos indicando que si dosseres humanos son humanos, entonces son iguales.

Una propiedad muy importante de la igualdad de conjuntos, es que es reflexiva, estosignifica que dado cualquier conjunto A, es igual a sí mismo (A = A).

Si A y B son dos conjuntos y todo elemento de A es un elemento de B, decimos que Aes un subconjunto de B o que B incluye a A, y escribimos:

A ⊂ B o B ⊃ A.

Se observa que el conjunto B, es decir el que contiene al otro (en este caso A), seidentifica porque el símbolo de herradura, ⊂, es abierto en el sentido del conjunto mayor, noimportando en ningún caso el sentido en que se encuentre este símbolo. Si la herradura estáentre dos conjuntos, entonces hacia donde está abierta, indica cuál es el conjunto que con-tiene al otro.

Debe quedar claro, entonces, que la dirección y posición en que se encuentren ambosconjuntos (tanto el que incluye, como el incluido) es completamente arbitraria; no es otracosa más que el símbolo de herradura lo que marca quién es quién. En este sentido, tienenun claro significado las siguientes expresiones:

B ⊂ A ó A ⊃ B

B A

� ó �

A B

Todas las que tienen el mismo significado (en este caso particular, que A incluye alconjunto B. Observe que es lo mismo decir que B está incluido en A). No importando si elsímbolo se encuentra orientado hacia la derecha, la izquierda, arriba o abajo.

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El enunciado de la definición implica que todo conjunto debe considerarse inclui-do en sí mismo (A ⊂ A); este hecho se describe diciendo que la inclusión también esreflexiva (todo elemento de A, es también elemento de A). En el caso de que A no estéincluido en B, que exista algún elemento de A que no pertenezca a B, escribimos:

A ⊄ B.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊂ B y A B, se dice que A es un subconjuntopropio de B, o que la inclusión es propia. Para resaltar esto en la notación se puede indicar:

En el caso de que a esté incluido en B, si queremos reforzar la idea -en nuestra nota-ción- de que posiblemente A = B, escribimos: A ⊆ B. En este punto se debe destacar lo sutilque puede llegar a ser la notación involucrada en la teoría de conjuntos, sin embargo no hayque asustarse. Basta con conocer y comprender la diferencia que existe entre ⊂ y ⊄.

Si A, B y C son tres conjuntos tales que A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C; este hecho sedescribe diciendo que la inclusión entre conjuntos es transitiva. Note que también la igual-dad posee esta propiedad (si A = B y B = C, entonces A = C).

Si A y B son dos subconjuntos tales que A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A y B tienen losmismos elementos y, por lo tanto, en virtud del axioma de extensión, A = B. Este hecho sedescribe diciendo que la inclusión de conjuntos es antisimétrica. A este respecto, la inclu-sión entre conjuntos se comporta de forma distinta a la igualdad. La igualdad es simétrica enel sentido de que si A = B, entonces necesariamente B = A.

Considerando lo anterior, el axioma de extensión puede ser formulado en los siguien-tes términos: Si A y B son dos conjuntos, una condición necesaria y suficiente para que A =B es que A ⊂ B y B ⊂ A simultáneamente. A es igual B si y sólo si A está incluido en B y B estáincluido en A.

De manera correspondiente, casi todas las demostraciones de igualdades entre dosconjuntos A y B están divididas en dos partes; hacer ver primero que A ⊂ B, y mostrardespués que B ⊂ A.

Ejemplo I.1.3.1.{2, 4, 6} es el conjunto formado por los tres primeros números enteros pares. Como {2,

4 ,6} y {2, 6, 4} tienen los mismos elementos, ambos conjuntos son iguales. Más aun, {2, 4,6} = {2, 4, 4, 6}, por la misma razón.

Ejemplo I.1.3.2.Si A = {x: 2x = 6} y b = 3, ¿es b = A? La respuesta es un rotundo no, pues A es un

conjunto que consta del único elemento 3. Es decir, A = {3}. El número 3 es elemento de A,pero no es igual a A. En cambio, sería una afirmación correcta que b ∈ A.

Ejemplo I.1.3.3.Ponga atención con los siguientes conjuntos. Todos son iguales:

• {x: x es una letra de la palabra “TOCATA”}

A ⊂ B

32


• Las letras de la palabra “TACTO”• {x: x es una letra de la palabra “COTA”}• Aquel formado por las letras A, C, O, T.

Ejemplo I.1.3.4.

Note que entre los conjuntos {0}, {�}, �; cada uno es diferente de los otros. El conjunto {0}contiene un elemento, el número cero. El conjunto {�} tiene también un elemento, el conjuntovacío. Por último, �, no tiene ningún elemento, es el conjunto vacío.

Ejemplo I.1.3.5.El conjunto A = {a, b}, tiene cuatro subconjuntos: {a}, {b}, el mismo {a, b} y el conjunto

vacío. Estudiaremos con más detención que � ⊂ A, para cualquier conjunto A.

Ejemplo I.1.3.6.¿Cómo se demuestra que un conjunto A no es un subconjunto de otro conjunto B? Para

fijar ideas consideremos que A = {2, 3, 4, 5} y que B={x: x es par}. Para demostrar que A noes un subconjunto de B, hay que mostrar que al menos un elemento de A no está en B. Eneste caso, basta con observar que 3 ∈ A, pero 3 ∉ B; lo que implica que A ⊄ B. Es importarsedarse cuenta de que en realidad no es necesario saber si hay o no otro elemento de A que noesté en B, basta sólo con encontrar uno.

Ejemplo I.1.3.7.

Si A es un subconjunto del conjunto vacío, entonces A = �. El conjunto vacío essubconjunto de cualquier conjunto, así: � ⊂ A. Ahora, por hipótesis (la afirmación que seestá realizando), se tiene que: A ⊂ �, de donde, aplicando el axioma de extensión se tieneque A = �.


1. Defina los siguientes conjuntos de figuras geométricas en un plano:• R = {x: x es un rectángulo}• Q = {x: x es un cuadrilátero}• H = {x: x es un rombo}• C = {x: x es cuadrado}• T = {x: x es un triángulo}

Diga qué conjuntos son subconjuntos propios de los otros y por qué. Señale si existe unconjunto que no sea subconjunto de los otros.

Solución:T no es subconjunto de ninguno de los otros (todos los demás son cuadriláteros). C esun subconjunto propio de R, pues todo cuadrado es también un rectángulo, pero notodo rectángulo es un cuadrado. C es un subconjunto propio de Q, pues existen cuadri-láteros que no son cuadrados. R y H son subconjuntos propios de Q, por la mismarazón.

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U N I D A D I

2. Dado A={a, b, c}, ¿cuántos subconjuntos hay en este conjunto y cúales son?Solución:

Primero está, por la propiedad reflexiva, el propio conjunto A como subconjunto de símismo (que está formado por 3 elementos). Después está el conjunto vacío (�) por sersubconjunto de cualquier conjunto (el que está formado por 0 elementos). Posterior-mente, están los tres subconjuntos formados por un solo elemento: {a}, {b} y {c}. Porúltimo están los tres subconjuntos formados por dos elementos: {a, b}, {a, c} y {b, c}. Entotal se encuentran 8 subconjuntos de este conjunto.

3. ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales: {r, s, t}, {s, t, r, s}, {r, r, t, s}, {s, r, s, t}?Solución:

Todos son iguales por estar formados por los mismos elementos: r, s y t. No importa elorden, ni que algún elemento aparezca repetido.

4. Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b}, Z={a, b, c}. Establezca la verdad o falsedadde las siguientes afirmaciones:

a. Y X

b. W � V

c. W Z

d. Z � V

e. V � Y

f. Z � X

g. V � Xh. Y Z

i. X = W

j. W Y

Solución:a. Verdadero

b. Falso, V ⊆ W

c. Verdadero. Por ejemplo, el elemento d está en W, pero no en Z.d. Falso, d está en V, pero no está en el conjunto Z.e. Verdadero, d no es un elemento de Y, aunque sí lo es de V.

f. Falso, X ⊆ Z.

g. Falso, pues el único elemento de V, d, no se encuentra en X.h. Verdadero, pues Y está contenido en Z, pero en Z se encuentra el elemento c que no

está en Y, por lo tanto la inclusión es propia.i. Falso, en W está el elemento d, que no se encuentra en X.j. Falso, ningún elemento de W está en Y.

⊂

34


5. ¿Tiene todo conjunto un subconjunto propio?Solución:

Si el conjunto no es el vacío, se encuentra el conjunto vacío como subconjunto propiode cualquier conjunto.

6. Dé los 15 subconjuntos propios de S = {a, b, c, d}Solución:

Primero está el conjunto vacío (ningún elemento), después los conjuntos formados porun solo elemento: {a}, {b}, {c} y {d}; posteriormente los formados por 2 elementos: {a,b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}; y por último, los formados por tres elementos: {a,b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} y {b, c, d}. En total suman 15 subconjuntos.

7. Diga cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos:a. El conjunto de rectas paralelas al eje x.b. El conjunto de letras del alfabeto.c. El conjunto de números que son múltiplos de 5.d. El conjunto de animales que viven en la Tierra.e. El conjunto de círculos que pasan por el origen.Solución:a. Hay infinitas rectas que son paralelas al eje x, por lo tanto el conjunto es infinito.b. Se tiene un número finito de letras en el alfabeto (26). Luego, el conjunto es finito.c. Los múltiplos de cinco son infinitos.d. El conjunto de animales que viven en la Tierra es finito, aun cuando no sepamos cuán-

tos son.e. Hay un número infinito de posibilidades de construir círculos que pasen por el origen.

8. Muestre que si a, b, c y d son cualquier objeto, no necesariamente distintos uno del otro,entonces {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} solamente si a = c y b = d.Solución:

Si a = b y c = d, entonces es claro que {{a}, {a, b}}={{c}, {c, d}}. Por otra parte, si {{a},{a, b}}={{c}, {c, d}}, entonces como los conjuntos son iguales, se tiene que sus ele-mentos deben ser iguales, de donde: {a}={c} y {a, b}={c, d}. Así, a = c y b=d.

9. Ilustre cada una de las siguientes afirmaciones para conjuntos A, B y C dados:

a. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.

b. Si A ⊆ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

c. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊂ C.

d. Sí A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

Solución:

a. Si los tres conjuntos son iguales, A = {a}, B = {a} y C = {a}, se tiene A ⊆ C (de hecho, soniguales). Si no son iguales, la propiedad transitiva sigue valiendo, A ={a}, B = {a, b} y C={a, b, c}; en este caso, también A ⊆ C.

b. Si A = B = {a}, C = {a, b}; entonces A está incluido de forma propia en C.

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c. La misma idea anterior: A={a} y B = C = {a, b}.d. A={a}, B={a, b} y C={a, b, c}. En este caso las tres inclusiones son propias.

10. Dé un ejemplo de conjuntos A, B, C, D y E, que satisfacen simultáneamente la siguientecondición: A ⊂ B, B ∈ C, C ⊂ D, y D ⊂ E.

Solución:A = {a}, B ={a, b}, C = {c, B}, D = {d, c, B}, E = {e, d, c, B}

Ejercicios I.1.3.9.1. Si B

1 = {a, b, c}, hallar todos los subconjuntos de B

1.

2. Si B2

= {a, {b, c}}, hallar todos los subconjuntos de B2

.

3. Escriba en símbolos las siguientes afirmaciones:a. x no pertenece a Ab. R es un subconjunto de Sc. D es elemento de Ed. F no es subconjunto de Ge. H no incluye a Df. B incluye de forma propia a Ag. A está incluido en B, pero A y B son distintos.

4. Decida si son correctas o incorrectas las siguientes afirmaciones:a. {1, 4, 3} = {3, 4, 1}

b. {1, 3, 1, 2, 3, 2} ⊆ {1, 2, 3}

c. {4} ∈ {{4}}

d. {4} ⊂ {{4}}

e. � ⊆ {{4}}

5. Sean A={1, 2, 3, ..., 8, 9}, B= {2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7, 9}, D={3, 4, 5} y E={3, 5}. ¿Quéconjuntos pueden ser iguales a X dadas las condiciones siguientes?:a. X y B son disjuntos (no tienen ningún elemento en común).

b. X ⊂ D y X ⊄ B

c. X ⊆ A y X ⊄ C

d. X ⊂ C y X ⊄ A

6. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuáles son correctas y cuáles incorrectas?a. Todo subconjunto de un conjunto finito es finitob. Puede existir un subconjunto finito de un conjunto infinitoc. Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinitod. Se puede encontrar un conjunto infinito de un conjunto finito.

7. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera para todos los conjuntos A, B y C?

a. Si A ∉ B y B ∉ C, entonces A ∉ C.

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b. Si A ∈ B y B ⊄ C, entonces A ∉ C

c. Si A B y B C, entonces A C

d. Si A ⊂ B y B ⊆ C, entonces C ⊄ A

e. Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ∉ C

8. Sean A={r, s, t, u, v, w}, B={u, v, w, x, y, z}, C={s, u, y, z}, D={u, v}, E={s, u}, F={s}.Determine la falsedad o verdad de las siguientes afirmaciones:

a. E ⊂ A y B ⊂ B

b. E E

c. B A y E � F

d. C ⊄ D y F ⊃ se. D B y C � D

f. F E y F ⊆ E9. Sea A un subconjunto de B y B un subconjunto de C. Es decir: A ⊂ B y B ⊂ C. Suponiendo

que a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C; y además que d ∉ A, e ∉ B, f ∉ C, ¿qué afirmaciones son ciertas?

a. a ∈ C

b. b ∈ A

c. c ∉ A

d. d ∈ B

e. e ∉ A

f. f ∉ A

10. Dado A={2,{4,5},4}, ¿qué afirmaciones son incorrectas y por qué?

a. {4, 5} ⊂ A

b. {4, 5} ∈ A

c. {{4,5}} ⊆ A

d. 5 ∈ A

e. {5} ∈ A

f. {5} ⊂ A

Resultados1. B

1, �, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}

2. B2

, �, {a}, {{b, c}}

3. a. x ∉ A

b. R ⊆ S

c. D ∈ E

d. F � G

e. H � D

⊂⊂

⊂

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f. B Ag. A B

4. a. Correcto, el orden no importab. Correctoc. Correctod. Incorrecto. {4} es un elemento, no un subconjuntoe. Corrrecto

5. a. X = Cb. X = Ec. X = A, B, Dd. Ninguno

6. a. Correctob. Correctoc. Incorrectod. Incorrecto

7. a. FALSOb. FALSOc. FALSOd. FALSOe. FALSO

8. a. Verdaderob. Falso, un conjunto no puede ser subconjunto propio de síc. Verdaderod. Falso. Aun cuando C no es un subconjunto de D, se tiene que F no contiene a s. En

realidad F contiene a se. Verdadero

9. a. Verdaderob. Falsoc. Falsod. Falsoe. Verdaderof. Verdadero

10. a. Falso. {4, 5} � A

b. Verdadero c. Verdadero

⊂⊂

38


d. Falso e. Falso f. Falso

ResumenEn esta sección se revisó el axioma de extensión, que expresa que dos conjuntos son

iguales sólo si comparten cada uno de sus elementos. Como aplicación directa del axioma, setiene la técnica para demostrar la igualdad entre conjuntos, consistente en mostrar que cadauno de los conjuntos considerados está incluido en el otro. Se insiste además en algunasnotaciones básicas de inclusión entre conjuntos, para terminar introduciendo ideas como queel conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

AUTOEVALUACIÓN

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1.____ La igualdad es una relación entre conjuntos.2.____ La pertenencia es una relación entre conjuntos.3.____ Dos conjuntos son iguales sólo si tienen los mismos elementos.4.____ Si dos conjuntos no tienen ningún elemento, entonces no pueden ser iguales.5.____ La reflexividad es una propiedad de la igualdad de conjuntos, pero no de la inclusión.

6.____ Si A ⊄ B, entonces A no está incluido en B

7.____ Si A = B y B C, entonces A C

8.____ Si A B, entonces A ⊄ B

9.____ Si A B, entonces A B

Utilice el símbolo más adecuado (= , , ⊄, �, �, �, ⊆, ⊇, ⊂, ⊃):

10.____ Si A = {a}, B = {a, {b}}; entonces A ___ B.11.____ Si A = {a}, B = {b}; entonces A ___ B.12.____ Si A = {1}, B = {x: 2x = x}; entonces A ___ B.13.____ Si A= {x: x es un número natural par}, B = Z2 = {x: x = 2m, para algún m entero};

entonces A ____B.14.____ Si A = {a, b}, B = {a}; entonces A ____ B.15.____ Si A = {a, b, a}, B = {b, a, b}; entonces A ____ B.

16.____ Si A = {x: x x}, B = �; entonces A ____ B.

17.____ Si A = �, B = �; entonces A ___ B.

Respuestas 1. Verdadero 2. Falso. Es una relación entre objetos y conjuntos. 3. Verdadero 4. Falso. Dos conjuntos que no tienen ningún elemento corresponden al conjunto

vacío. Dos conjuntos vacíos son iguales entre sí.

⊂

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Glosar

5. Falso. La reflexividad también es una propiedad de la inclusión. 6. Verdadero 7. Verdadero 8. Falso. Perfectamente A puede estar incluido en B aun cuando sean distintos. 9. Verdadero

10.

11.

12. =

13. 14. ⊃15. =16. =

17.

Glosario

Antisimétrica: propiedad de una relación R que asegura que si dos objetos, por ejemplo Ay B, son tales que A R B y B R A, entonces A debe ser igual a B. En particular, si larelación es la inclusión entre conjuntos, se tiene la antisimetría.

Axioma de Extensión: se asume sin discusión, que dos conjuntos son iguales si y sólo siposeen los mismos elementos.

Igualdad Entre Dos Conjuntos: postula que dos conjuntos son iguales o indistinguiblesentre sí si poseen los mismos elementos.

Incluye: se dice que un conjunto A incluye a un conjunto B, si todos los elementos de Bestán también en A.

Inclusión Propia: relación de inclusión entre dos conjuntos, donde estos últimos son ne-cesariamente distintos.

Números Enteros: los números naturales más el cero y los números negativos.Pertenencia: relación entre un conjunto y un objeto en particular.Reflexiva: propiedad de una relación que asegura que todo objeto está relacionado consi-

go mismo.Simétrica: propiedad que asegura que si un objeto se encuentra relacionado con otro, enton-

ces se puede asegurar que el segundo objeto está relacionado con el primero.Subconjunto: conjunto que es parte de otro.Subconjunto Propio: conjunto que es parte de otro y además es distinto al que lo contiene.Transitiva: propiedad de una relación que permite asegurar que si un objeto se encuentra

relacionado con un segundo y a su vez, el segundo objeto se encuentra relacionadocon un tercero, entonces el primero se relaciona con el último.

⊂

⊂

40


Símbolos:

= : Igualdad. : Distinto, no iguales.� : Conjunto vacío.

⊆ : El conjunto de la izquierda es subconjunto o igual al conjunto de la derecha.

⊃ : El conjunto de la izquierda contiene al conjunto de la derecha.

⊂ : El conjunto de la izquierda es subconjunto del de la derecha.

⊇ : El conjunto de la izquierda contiene o es igual al de la derecha.

⊄ : El conjunto de la izquierda no está contenido en el de la derecha.

: El conjunto de la izquierda es subconjunto propio del de la derecha.

� : El conjunto de la izquierda no es subconjunto del de la derecha.

� : El conjunto de la izquierda no contiene al de la derecha.� : El conjunto de la izquierda no contiene al de la derecha.

: El conjunto de la izquierda contiene al de la derecha, pero son distintos.

I.1.4. El Axioma de EspecificaciónTodos los principios básicos de la teoría de conjuntos, con la sola excepción del axio-

ma de extensión, están diseñados para la formación de nuevos conjuntos a partir de losoriginales. El primero y más importante de estos principios básicos en la construcción deconjuntos dice que cualquier cosa sensata que se pueda proponer para los elementos de unconjunto, define un subconjunto, el subconjunto de aquellos elementos para los que laproposición es verdadera.

Antes de formular este principio en términos precisos, enfocaremos un ejemploheurístico. Sea A el conjunto de todos los hombres. La frase “x es casado” es verdadera paraalgunos de los elementos x de A y falsa para otros. El principio que estamos ilustrando esaquel que justifica el paso del conjunto A al subconjunto especificado por la cláusula dada(el conjunto de todos los hombres casados). La caracterización del subconjunto se indicausualmente con la notación

{x ∈ A : x es casado}

Análogamente

{x ∈ A : x no es casado}

es el conjunto de todos los solteros, mientras que:

{x ∈ A : el padre de x es Adán}

es el conjunto que contiene a Caín y Abel y nada más, y por último:

{x ∈ A : x es el padre de Abel}

⊂

⊂

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Es el conjunto que contiene a Adán y nada más. Cuidado: una caja que contiene unsombrero y nada más, no es lo mismo que un sombrero y, análogamente, el último conjuntono debe ser confundido con Adán. La analogía entre conjuntos y cajas tiene muchos puntosdébiles, pero proporciona un cuadro útil de la situación, como afirma HALMOS, 1965 (granparte de lo presentado en la siguiente sección se basa en su libro).

Todo lo que falta para la formulación general precisa, que fundamenta los ejemplosanteriores, es una definición de frase en el sentido específico de proposición. Considerare-mos que hay dos tipos básicos de frases:

• Proposiciones de pertenencia x ∈ A,

• y Proposiciones de igualdad A = B;

Ejemplo I.1.4.1.Son ejemplos de frases o proposiciones de pertenencia:

• “Juan es chileno”

• “Pedro es un hombre”• “María está en el cine”• “Carmen es una mujer hermosa”• “1 es un número natural”• “2 pertenece a los números enteros”• “1/2 es un elemento de los números racionales”• “a es una letra del alfabeto”• “Un perro es un animal”• “x es una solución de la ecuación 4 · x + 7 = 11”

En cambio, son ejemplos de frases o proposiciones de igualdad:• “a, e, i, o, u son las vocales del alfabeto”• “2, 4, 6, 8 y 10 son los primeros 5 números naturales pares”• “Carmen es la mujer de mi vida”• “Los tetraedros son polígonos formados por cuatro lados”• “Hugo, Paco y Luis son los sobrinos del pato Donald”• “Los planetas de nuestro sistema solar son: Mercurio, Marte, Tierra, Venus, Júpiter,

Saturno, Urano, Neptuno y Plutón”.Todas las demás frases se obtienen a partir de las afirmaciones elementales por medio

de aplicaciones repetidas de los operadores lógicos usuales, sujetas únicamente a las míni-mas exigencias de la gramática y la claridad. Los operadores lógicos usuales que considera-remos son:

• y,• o (en el sentido de cualquiera o ambos),• no,• si ____, entonces ____(o implica),• si y sólo si,

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• para algún (o existe),• para todo (o para cada)

En cuanto a las reglas para la construcción de las frases, pueden ser descritas de lamanera siguiente:

• Escriba “no” antes de una frase y encierre el resultado entre paréntesis.• Escriba “y” u “o”, o “si y sólo si” entre dos frases y encierre el resultado entre parénte-

sis.• Reemplace los guiones en “si ______, entonces _____” por frases y encierre el resulta-

do entre paréntesis.• Reemplace el guion en “para algún __________” o en “para todo _________” por una

letra, siga el resultado por una frase y encierre todo entre paréntesis.El objeto de los paréntesis es el de evitar ambigüedades. Además, se debe observar

que el empleo de ellos hace incidentalmente a todos los demás signos de puntuación inne-cesarios. En la práctica se utilizan distintos tipos y tamaños de paréntesis, pero sólo por unaconveniencia visual. Por último, se omiten tantos paréntesis como sea posible sin dar lugara confusiones.

Ejemplo I.1.4.2.Son ejemplos de proposiciones compuestas:

• Diego de Almagro descubrió Chile o Diego de Almagro no descubrió Chile.• Juan y Pedro van al cine (Juan va al cine y Pedro va al cine).• Si don Quijote estudia lógica, entonces está cuerdo.• Si estudio matemática, entonces seré aprobado.• Si (todos los gatos son mamíferos y Micifuz es un gato), entonces Micifuz es mamífero.• (Si una figura es triangular, entonces tendrá tres lados) o (Si una figura no tiene tres

lados, entonces no es triangular).• Si los elefantes juegan ajedrez, entonces el hidrógeno tiene un electrón.

Estamos ahora en condiciones de enunciar el principio más importante de la teoría deconjuntos, al cual se le llama a veces por su nombre alemán Aussonderungsaxiom:

Axioma de Especificación:A todo conjunto A y a toda condición S(x) corresponde un conjunto B cuyos elementos

son precisamente aquellos elementos x de A para los que se cumple S(x).Una condición es aquí simplemente una frase. La intensión del simbolismo es la de

indicar que la letra x es libre en la frase S(x), lo que significa que x tiene lugar en S(x) cuandomenos una vez sin necesidad de ser introducida por una de las frases “para algún x” o “paratodo x”.

Una consecuencia inmediata del axioma de extensión es que el axioma de la espe-cificación determina unívocamente al conjunto B. Para indicar la forma en que B es obte-nido a partir de A y de S(x), se acostumbra escribir

B={x ∈ A: S(x)}.

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Ejemplo I.1.4.3.Consideremos los siguientes conjuntos, cuyos elementos se han delimitado a partir de

la especificación que satisface una determinada proposición:• A = {x: x es una letra del alfabeto}• A = {x: x es un número natural o x es un número entero par}• A = {x: no (x es un número natural par)}• A = {x: x es un estudiante de la Universidad de Los Lagos o x es un profesor de la

Universidad de Los Lagos}• A = {x: x es un número natural menor o igual que 5}• A = {x: x es un número natural mayor que 10 y no tiene divisores mayores que 6}

Ejemplo I.1.4.4.Notemos algunos ejemplos sobre la uniformidad del lenguaje requerido:

• “Si Jorge es un buen estudiante, entonces la madre de Jorge es feliz”, es una frasemolecular. El operador lógico utilizado es “Si ______, entonces _____”, donde los es-pacios han sido completados con las frases atómicas: “Jorge es un buen estudiante” y“la madre de Jorge es feliz”. Este mismo ejemplo puede ser formulado en un lenguajemás idiomático de la siguiente manera: “Cuando Jorge es un buen estudiante, su madrees feliz”. Sin embargo, en lógica matemática, se prefieren formas de expresión másuniformes, con el fin de evitar ambigüedades e imprecisiones. Por esto, cuando seejecutan razonamientos que envuelven frases es necesario cuidar el mantener un len-guaje uniforme.

• Desde este punto de vista, las frases: “Si Lorenzo viene, trabajaremos”, “De venir Lo-renzo, trabajaremos”, y “Trabajaremos, con tal que Lorenzo venga”, son equivalentesa: “Si Lorenzo viene, entonces trabajaremos”, la que se prefiere utilizar por uniformi-dad de lenguaje dejando de lado todas las sutilezas y variantes ofrecidas por nuestroidioma.Una excelente aplicación del axioma de especificación se encuentra al considerar la

proposición:

no ( x ∈ x)

En otras palabras (y notación)

x ∉ x

Definamos entonces, para cualquier conjunto A, el conjunto B de la siguiente manera:

B = {x: x ∈ A y x ∉ x}

Es decir, B es el conjunto de todos los elementos de A, que al mismo tiempo no sonelementos de sí mismos. Por las secciones anteriores, sabemos que un elemento y unsubconjunto son dos cosas muy distintas. En particular, al decir que B es una colección deelementos de A, afirmamos que en realidad B no es un elemento de A (sino más bien unsubconjunto). Es natural preguntarse entonces, si:

¿Es posible que B ∈ A?

La respuesta es no. Si B ∈ A, entonces B ∈ B o B ∉ B (no hay otra alternativa, aúncuando la afirmación anterior es absurda; se habría logrado el mismo efecto afirmando quex es natural o x no es natural). Si B ∈ B, entonces B no puede estar en B (B es el conjunto detodos los elementos que no pertenecen a sí mismos). Si B ∉ B, entonces B debería pertenecer

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a sí mismo. Ambas alternativas nos llevan a una conclusión contradictoria, luego B ∉ A. Esdecir, existe algo, en este caso B, que no pertenece a A. Como el conjunto A en este razona-miento fue completamente arbitrario, hemos demostrado en otras palabras que no hay algoque contenga a todo (si existiera ese algo, entonces debería contener al conjunto B, reciénconstruido, pero eso es completamente imposible por las contradicciones resaltadas).

En otras palabras, acabamos de demostrar la espectacular aseveración de que NOHAY UNIVERSO.

En tratamientos de textos más antiguos sobre la teoría de conjuntos, se daba siemprepor supuesta la existencia de un universo, y el razonamiento del párrafo anterior se conocíacomo la paradoja de Russell. La moraleja es que es imposible obtener algo a partir de lanada.

Por lo que se ha dicho hasta ahora, se podría especular en un vacío. Para dar sustanciaa la discusión que desarrollamos, supongamos oficialmente que existe un conjunto.

Una consecuencia importante de esta afirmación es que también existe un conjuntosin elementos (el conjunto vacío). Si A es un conjunto, entonces por el axioma de especifica-ción podemos definir el conjunto �, de la siguiente forma:

� = {x: x ∈ A y x x}

No hay nada que sea distinto a sí mismo, por lo tanto � no tiene elementos. El axiomade extensión implica que sólo puede haber un conjunto sin elementos (el vacío es único). Enefecto, si existieran dos conjuntos sin elementos y fueran distintos, entonces por el axiomade extensión (dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos), deberíaexistir un elemento que está en un conjunto pero no en el otro; pero en la afirmación ante-rior hay una contradicción, pues ningún elemento puede estar en un conjunto sin elemen-tos.

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto (� ⊆ A, para todo conjuntoA). Para establecer esto, podemos razonar de la siguiente manera: se trata de demostrar quetodo elemento de � pertenece a A; pero como no hay elementos en �, la condición quedasatisfecha automáticamente. De lo contrario, tendríamos que afirmar que existe un elemen-to en � que no se encuentra en A, pero como vacío no tiene elementos, dicho objeto nopuede existir.

En los últimos razonamientos, sobre el conjunto vacío y el universal, hemos utilizadoinvariablemente un razonamiento que consiste esencialmente en mostrar la imposibilidadde la negación.

Ejemplo I.1.4.5.Encontrar todos los subconjuntos de A = {a, b, c}. Es claro que existen 6 subconjuntos

propios de A: Los que tienen un elemento: {a}, {b}, y {c}, los que tienen dos elementos: {a,b}, {a, c} y {b, c}. Además, el propio conjunto A es subconjunto de sí mismo. Pero por loque acabamos de revisar, también se observa que el conjunto vacío, �, es un subconjuntode A. Así, nos encontramos con 8 subconjuntos del conjunto A.

Ejemplo I.1.4.6.Como ejemplo final de esta sección, presentamos una pequeña historia que ilustra la

Paradoja de Russell: “Existe una comunidad, llamada pueblo A. En dicha comunidadtambién existe un elemento de ella, llamado ‘el barbero del pueblo A’’.

45

U N I D A D I

El barbero del pueblo A, es el hombre que afeita a todos los hombres de la comuni-dad, si y sólo si, ellos no se afeitan a sí mismos.

Desgraciadamente, por tal definición, el barbero se encuentra sumido por completoen una absurda situación: no puede afeitarse a sí mismo, ni tampoco le es permitido noafeitarse. Cualquiera que sea su decisión, siempre interfiere la definición de su persona. Sise afeita a sí mismo, no pertenece más a los hombres que no se afeitan solos. Pero sólo aestos hombres debe afeitar; al afeitarse a sí mismo, no debe ya poder afeitarse a sí mismo.Si no se afeita, pertenece él precisamente a los hombres que él debe afeitar, que son losque no se afeitan a sí mismos. Por lo tanto, debe poder afeitarse, pero si lo hace pertene-ce..., etc.

ACTIVIDADES I.1.4.7

1. A partir de las proposiciones simples: “Juan es chileno” y “Pedro está en el cine”, constru-ya utilizando los operadores lógicos, frases más complejas:Solución:Ejemplos de frases más complejas serían:• Si Juan es chileno, entonces Pedro está en el cine.• No (Juan es chileno y Pedro está en el cine) o (Juan es chileno y no (Pedro está en el

cine)).• (Juan es chileno si y sólo si Pedro está en el cine) o (Pedro está en el cine).Haga otras combinaciones de construcción.

2. De las siguientes frases extraiga las frases atómicas que las componen.a. Cuando llueve o llueve, entonces llueve.b. Pedro es chileno y Juan es chileno.c. Él es estudiante de la Universidad de Los Lagos o él es profesor de la Universidad de

Los Lagos.d. No (si llueve, entonces (llueve o no llueve))

Solución:a. Definamos la proposición atómica o simple: p = “llueve” (hoy está lloviendo). Entonces la

proposición molecular o compuesta sería: Si (p o p), entonces p.b. Definamos las proposiciones simples: p = “Pedro es Chileno”, q = “Juan es Chileno”,

entonces la proposición molecular corresponde a: p y q.c. Sea p = “Él es estudiante de la Universidad de Los Lagos” y q = “Él es profesor de la

Universidad de Los Lagos”, entonces la proposición compuesta corresponde a “p o q”.d. Sea p = “llueve”, entonces la proposición compuesta sería: no (si p, entonces (p o no

p)).

3. Uniformice el lenguaje para las siguientes frases a expresiones más lógicas:a. Pedro es chileno y está en cine, o no es chileno y sí está en el cineb. Pedro y Juan son chilenos o argentinosc. La luna y el sol no son astros por encontrarse en el cielo, pero sí son cuerpos celestes

por encontrase en el firmamento.d. Si no llueve, entonces llueve sólo si llueve.

46


e. Sí Carmen no está en Puerto Montt, está en Concepción.f. Concepción es una ciudad del sur de Chile como Puerto Monttg. Si Juan es chileno, entonces y sólo entonces está en Sur América.h. Pinky y Cerebro quieren conquistar al mundoi. La Ley de Murphy se puede aplicar a Pinky o a Cerebroj. Hugo, Paco y Luis son sobrinos del Pato DonaldSolución:a. (Pedro es chileno y Pedro está en el cine) o (no (Pedro es chileno) y (Pedro está en el

cine)).b. (Pedro es chileno y Juan es chileno) o (Pedro es argentino y Juan es argentino).c. ((Si la Luna está en el cielo, entonces no (La Luna es un astro)) y (si el Sol está en el

cielo, entonces no (el Sol es un astro))) y ((Si la Luna está en el firmamento, entonces LaLuna es un cuerpo celeste) y (Si el Sol está en el firmamento, entonces el Sol es uncuerpo celeste)).

d. Si no (llueve), entonces (Si llueve, entonces llueve).e. Si no (Carmen está en Puerto Montt), entonces Carmen está en Concepción.f. Concepción es una ciudad del sur de Chile y Puerto Montt es una ciudad del sur de

Chile.g. Juan es chileno, si y sólo si, Juan está en Sur América.h. Pinky quiere conquistar al mundo y Cerebro quiere conquistar al mundo.i. La Ley de Murphy se puede aplicar a Pinky o La Ley de Murphy se puede aplicar a

Cerebro.j. (Hugo es sobrino del Pato Donald y Paco es sobrino del Pato Donald) y Luis es sobrino

del Pato Donald. Note que en este caso, también habría sido perfectamente posibleconsiderar: Hugo es sobrino del Pato Donald y (Paco es sobrino del Pato Donald y Luises sobrino del Pato Donald).

1. Escriba por extensión los elementos de los siguientes conjuntos definidos por el axioma deespecificación.a. A = {x: (x es un número natural y x es menor que 10) o x es una vocal del alfabeto}b. A = {x: x es un número natural y x es un número par}c. A = {x: no (x es un número par) y x es un número natural}d. A = {x: x es una letra del alfabeto y no (x es una vocal)}e. A = {x: x es un número natural y no (x es menor que 10}f. A = {x: x es un número natural y (x es mayor que –5 y x es menor que 7)}g. A = {x: x es un número entero y (x es mayor que –5 y x es menor que 7)}h. A = {x: x es un número entero y (x es menor que –5 o x es mayor que 7)}i. A = {x: x es un número entero y (x es menor que –5 y x es mayor que 7)}Solución:

a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, e, i, o, u}b. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}c. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,...}

47

U N I D A D I

d. A = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}e. A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,...}f. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}g. A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}h. A = {...,-12, -11, -10, -9, - 8, -7, -6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15....}

i. A = � (no existe ningún número entero que sea menor que –5 y

mayor que 7 al mismo tiempo.

2. Determine todos los subconjuntos de A = {1, 2, 3}.Solución:

A, parte de los seis subconjuntos propios: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}; el mismoconjunto A que es subconjunto de sí mismo, se tiene el subconjunto vacío, �, quees subconjunto de cualquier conjunto.

Ejercicios I.1.4.8.1. A partir de las siguientes proposiciones construya proposiciones moleculares utilizando

los conectivos lógicos:a. p = “Está lloviendo”, q= “hace frío”.b. p = “La teoría de conjuntos es importante”, q = “La teoría de conjuntos es fácil”.c. p = “estudio el curso de Matemáticas”, q = “apruebo el curso de Matemáticas”.d. p = “Carmen es bonita”, q = “Carmen está en Concepción”, r = “Carmen es chilena”.

2. Uniformice el lenguaje para las siguientes frases a expresiones más lógicas.a. Aunque llueva o no llueva, hace frío.b. Cuando llueve, no hace frío y cuando no llueve, entonces hace frío.c. Puerto Montt es húmedo, frío y lluvioso.d. Los números naturales son pares o impares.e. Él es estudiante de la Universidad de Los Lagos y no es profesor de la Universidad.f. Él no es estudiante de la Universidad de Los Lagos, pero sí es profesor de la Universi-

dad.g. Si él no es estudiante o profesor (de la Universidad de los Lagos), entonces él no perte-

nece a la comunidad de la Universidad.h. Pedro y Juan son de la misma nacionalidad: chilenos, argentinos o peruanos.

3. Escriba por extensión los elementos de los siguientes conjuntos:a. A = {x: x es una letra del alfabeto, pero x no es una vocal}b. A = {x: x es un número natural menor que 5 y mayor que 1}c. A = {x: x es un número entero menor que 0 y mayor que 10}d. A ={x: x es un número natural mayor que –10 y menor que –8}e. A = {x: x es un número entero mayor que –10 y menor que –8}f. A = {x: x es un número entero menor que –10 y mayor que –8}g. A = {x: x es una vocal del alfabeto o (x es un número natural y no (x es 5))}

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h. A = {x: x es una vocal del alfabeto y no (x es f)}i. A = {x: x es una vocal del alfabeto y x es f}j. A = {x: x es una vocal del alfabeto o x es f}

4. Determine todos los subconjuntos de A = {a, b, 1, 2}

5. Determine todos los subconjuntos de A = {{a, b}, 1, {1, 2}}.

Resultados1. Algunos ejemplos de respuesta podrían ser:

a. Está lloviendo y no (hace frío), correspondiente a la estructura: p y no (q)b. Si la teoría de conjuntos es importante, entonces la teoría de conjuntos es fácil, corres-

pondiente a la estructura: si p, entonces q.c. No (si no (estudio el curso de Matemáticas), entonces apruebo el curso de Matemáti-

cas), correspondiente a la estructura: no (si no (p), entonces q).d. Carmen es bonita y (Carmen está en Concepción y es chilena), correspondiente a p y (q

y r).

2. a. Si (llueve o no (llueve), entonces hace frío.b. (Si llueve, entonces no (hace frío)) y (si no (llueve), entonces hace frío).c. Puerto Montt es húmedo y (Puerto Montt es frío y Puerto Montt es lluvioso).d. Los números naturales son pares o los números naturales son impares.e. Él es estudiante de la Universidad de Los Lagos y no (él es profesor de la Universidad de

Los Lagos).f. No (él es estudiante de la Universidad de Los Lagos) y él es profesor de la Universidad

de Los Lagos.g. Si no (él es estudiante de la Universidad de Los Lagos o no es profesor de la Universi-

dad de Los Lagos), entonces no (él pertenece a la comunidad de la Universidad de LosLagos).

h. (Pedro es chileno y Juan es chileno) o ((Pedro es argentino y Juan es argentino) o(Pedro es peruano y Juan es peruano)).

3. a. A = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}b. A = {2, 3, 4}

c. A = �

d. A = � (los naturales son todos números positivos).

e. A = {-9}

f. A = �

g. A = {a, e, i, o, u, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,...}h. A = {a, e, i, o, u}

i. A = � (ninguna vocal puede ser al mismo tiempo f).

j. A = {a, e, i, o, u, f}

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U N I D A D I

4. Hay catorce subconjutos propios: {a}, {b}, {1}, {2}, {a, b}, {a, 1}, {a, 2}, {b, 1}, {b, 2}, {1,2}, {a, b, 1}, {a, b, 2}, {a, 1, 2}, {b, 1, 2}; también está el propio conjunto A (que siemprees subconjunto de sí mismo) y el conjunto vacío, �, que es subconjunto de cualquierconjunto.

5. Está el propio conjunto, el vacío, y 6 subconjuntos propios: {{a, b}}, {1}, {{1, 2}}, {{a, b},1}, {{a, b}, {1, 2}}, {1, {1, 2}}.

RESUMENEn la presente sección se revisó el axioma de especificación, el que expresa que para

realizar la determinación o definición de un conjunto, se puede utilizar una proposición,en el sentido de que los elementos que conforman al conjunto serían aquellos que permi-ten que el valor de verdad de la proposición propuesta sea verdadero. Se revisan algunosconceptos para construir proposiciones compuestas o moleculares a partir de las proposi-ciones atómicas o simples y del uso correcto de los conectivos u operadores lógicos. Setermina la sección, mostrando la imposibilidad de la existencia de un universo y la demos-tración de que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1. Existe un conjunto universo que contiene a todos los conjuntos que se puedan imagi-

nar. 2. El vacío es también subconjunto de sí mismo. 3. El vacío no puede ser subconjunto propio de sí mismo. 4. El axioma de especificación indica que es posible construir conjuntos a partir de pro-

posiciones. 5.Proposiciones de pertenencia y proposiciones de igualdad son la misma cosa. 6. Los operadores lógicos se utilizan para construir proposiciones complejas o compues-

tas a partir de proposiciones simples. 7. ‘y’, ‘o’ y ‘no’ son ejemplos de operadores lógicos. 8. ‘y/o’ es un operador lógico. 9. Los paréntesis pueden utilizarse para reemplazar las reglas de puntuación gramaticales

en la construcción de proposiciones compuestas.10. La paradoja de Russell está relacionada con la creencia de existencia de un Universo.11. Pueden existir dos conjuntos vacíos que sean diferentes.12. Un conjunto con 3 elementos tiene 8 subconjuntos.

Respuestas 1. Falso, no puede existir un conjunto universo en ese sentido, pues su existencia

daría paso a la paradoja de Russell. 2. Verdadero. 3. Falso. 4. Verdadero. 5.Falso, precisamente esos son las dos únicas clases de proposiciones distintas. 6. Verdadero.

50


Glosar

7. Verdadero. 8. Falso, esto sería la composición de un operador lógico. 9. Verdadero.10. Verdadero.11. Falso, el vacío es único.12. Verdadero.

Glosario

Axioma de Extensión: aseveración que asegura que dos conjuntos son iguales sólo siposeen los mismos elementos.

Conjunto: colección de objetos perfectamente diferenciados y que se encuentran reuni-dos en una totalidad.

Conjunto Vacío: conjunto que no tiene elementos.Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.Número Natural: aquellos números que utilizamos para contar, 1 ,2, 3, etc.Número Entero: los números naturales junto con el cero y los números negativos.Número Racional: los números que podemos representar como fracciones de números

enteros, por ejemplo ½, -3/4, etc.Número Par: números enteros múltiplos de dos, 2, 4, 6, -6, etc.Operadores Lógicos: conectivos de proposiciones simples, análogos a los conectivos grama-

ticales, se consideran por ejemplo: y, o, si, entonces, si y sólo si, no, para algún, paratodo.

Paradoja de Russell: famosa paradoja matemática que se refiere a la autopertenencia delos conjuntos. Algunos conjuntos (conjuntos de conjuntos) son miembros de sí mis-mos. Otros no lo son. Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos que tienen másde 5 elementos tiene claramente más de 5 elementos. Por lo tanto, ese conjunto es unelemento de sí mismo. Por otra parte el conjunto de todos los hombres no es un ele-mento de sí mismo, puesto que no es un hombre. ¿Qué se puede decir del conjunto detodos los conjuntos que son elementos de sí mismos? Puesto que sus elementos son losque no son elementos de sí mismos, queda calificado como un elemento de sí mismo,si y sólo si no lo es. Es y no lo es.

Proposición: enunciado del que se puede decir sin ambigüedad si es verdadero ofalso.

Proposiciones de Pertenencia: toda proposición que segura que un elemento pertene-ce a un conjunto determinado.

Proposiciones de Igualdad: toda proposición que asegure que dos conjuntos son igua-les.

Subconjunto: parte de un conjunto que a su vez es un conjunto.

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U N I D A D I

Uniones

Unívocamente: sin ambigüedad, de una única manera.

Símbolos:

∈ : Pertenencia.

∉ : No Pertenencia.

� : Conjunto Vacío.

S(x) : Función Proposicional.

⊆ : Subconjunto.

I.1.5. Uniones e Intersecciones

Si A y B son conjuntos, a veces resulta natural el querer reunir sus elementos en unconjunto que los incluya. Una manera de describir tal conjunto es la de requerir que conten-ga a todos los elementos que pertenezcan cuando menos a uno de los miembros de la pareja{A, B}. Esta formulación sugiere una generalización poderosa en sí misma; es seguro que unaconstrucción similar podrá aplicarse a colecciones arbitrarias de conjuntos y no solamente aparejas de ellos. Lo que se quiere, en otras palabras, es el siguiente principio de construcciónde conjuntos:

Axioma de la Uniones:Para cada colección de conjuntos existe un conjunto que contiene a todos los elemen-

tos que pertenecen cuando menos a uno de los conjuntos de la colección dada.La unión de parejas de conjuntos es un caso particular, y en él utilizamos la notación

especial:

A � B

La definición general de las uniones implica, en este caso especial, que x ∈ A � B si ysólo si x pertenece a A, a B o a ambos (x está en A o x está en B), y se sigue que

A � B = {x ∈ �: x ∈ A o x ∈ B}

La primera propiedad que posee la unión de conjuntos, es tan trivial que generalmenteno se menciona. En nuestro caso la analizaremos con algún detalle para recapitular lo apren-dido hasta ahora. La propiedad que anunciamos, dice que para todo par de conjuntos, A y B,se tiene:

A ⊆ A � B

Esto quiere decir que, cualquier conjunto está contenido en la unión de sí mismo conotro conjunto. Para verificar esto recordemos que, para probar la inclusión de conjuntos, sedebe tomar un elemento en el primer conjunto (el que es incluido), en nuestro presente casoA, y hacer ver que en realidad este elemento está en el segundo conjunto (el que incluye).

De esta forma, consideramos un elemento en A. Formalmente, ello se expresa di-ciendo: sea x un elemento cualquiera de A. Ahora debemos hacer ver que este elemen-to es también un elemento del conjunto A � B. Para ello, hacemos notar que “si x está en

52


A”, entonces es cierto que “x está en A o en cualquier otra parte” (note que el hecho deque x se encuentre en A garantiza la verdad de la proposición anterior. Esto es tan ciertocomo decir: “Hoy llueve y, hoy está lloviendo o no está lloviendo”, “Es cierto que maña-na viajaré, por lo tanto mañana viajaré o me quedaré”. En particular, “cualquier otraparte” puede ser B, y así se tiene formalmente la siguiente proposición verdadera: comox está en A, entonces x está en A o x está en B. Ahora, por la definición de unión deparejas de conjuntos que acabamos de ver, se tiene que si x está en A o x está en B,entonces x está en A � B. La expresión formal de esto sería algo así como: como x estáen A o x está en B, se tiene por definición de unión que x está en A � B.

Así, hemos logrado hacer ver que si tomamos un elemento arbitrario en A, entoncesel mismo elemento estará en A � B. Como el elemento x fue tomado de forma arbitraria enA, lo anterior es válido para todos los elementos de A, y así se tiene entonces que todoelemento de A, está también en A � B; o, lo que es lo mismo, que A está contenido en A� B (A ⊆ A � B). Repasemos el razonamiento nuevamente, y escribamos sólo los forma-lismos de él:

Sea x un elemento cualquiera de A. Como x está en A, entonces x está en A o xestá en B. Ahora, x en A o x en B, significa, por definición de unión, que x está en A�B. Se ha mostrado que si x está en A, entonces x está en A � B. Es decir, que A ⊆ A �B.

Cualquier propiedad que involucre la inclusión de conjuntos, se debe demostrar conrazonamientos análogos a los anteriores. Cada paso se concatena naturalmente, sobre labase de principios lógicos, definiciones anteriores y propiedades ya demostradas. Recorde-mos también, que en el caso de querer mostrar la igualdad de dos conjuntos, basta conmostrar primero que un conjunto está contenido en el otro, y en segundo lugar que la inclu-sión también es válida de forma recíproca: A es igual a B, si, A está contenido en B y si B estácontenido en A.

Mostramos aquí algunas propiedades fáciles de verificar acerca de las uniones deparejas de conjuntos:

A � � = A

A � B = B � A (conmutatividad)

A � (B � C) = (A � B) � C (asociatividad)

A � A = A (idempotencia)

A ⊂ B si y sólo si A � B = B

Estas propiedades son demasiado importantes como para dejarlas pasar sin referirnosa ellas con alguna detención. En realidad, es gracias a ellas (denominadas generalmenteálgebra de conjuntos) que podemos trabajar y construir nuevos conjuntos de forma prácti-ca, tornándose de esta manera la Teoría de Conjuntos una herramienta de ayuda en la con-ceptualización de situaciones, más que una teoría muerta y obstaculizante.

La primera propiedad, A � � = A, es bastante lógica. Ella nos dice que si a cualquierconjunto le agregamos el conjunto vacío, entonces no hemos hecho nada, el conjuntooriginal permanece igual.

Para verificar esta igualdad, recordemos que A está incluido necesariamente en A� � (Ya hemos visto que para cualquier par de conjuntos A y B, se tiene que A ⊆ A � B).Luego, sólo debemos verificar que A � � está contenido en A y así obtenemos la validezde la igualdad.

53

U N I D A D I

Ahora, sea x en A � �. Como x está en A � �, se tiene que x está en A, o bien x estáen el conjunto vacío. Pero por la definición de conjunto vacío, se tiene que x no puede estaren él, por lo tanto x está sólo en A. Así, tomamos un x en A � �, y verificamos que x está enA, de donde A � � está contenido en A.

Como A está contenido en A � �, y A � � está contenido en A; se tiene que A � �= A, tal como reza la propiedad.

Las verificaciones de las siguientes propiedades las formalizaremos como ejemplos:

Ejemplo I.1.5.1.Verifique la validez de la propiedad de conmutatividad para las uniones de parejas de

conjuntos:

A � B = B � A

Sea x en A � B. Que x se encuentre en A � B, significa que x está en A o que x está enB. Si x está en A o x está en B, es exactamente lo mismo que, si que x está en B o x está en A.Ahora, por definición de unión, si x está en B o x está A, se tiene que x está en B � A.

Hemos probado, entonces, que A � B está contenido en B � A.

Por un razonamiento completamente análogo, se puede probar que si x está en B �A, entonces x está en A � B. Lo que significa que B � A ⊆ A � B.

Como A � B ⊆ B � A y B � A ⊆ A � B, se tiene por el axioma de extensión que lapropiedad conmutativa para la unión de parejas de conjuntos es válida: A � B = B � A.

Ejemplo I.1.5.2.Verifique la validez de la propiedad de asociatividad para las uniones:

A � (B � C) = (A � B) � C

Debemos verificar que A � (B � C) está contenido en (A � B) � C, es decir, A � (B �C) ⊆ (A � B) � C); y por otro lado que (A � B) � C es un subconjunto de A � (B � C) (= (A� B) � C ⊆ A � (B � C)).

• Sea x ∈ (A � B) � C. Entonces x ∈ A � B o bien x ∈ C, de modo que x ∈ A o bien x∈ B o bien x ∈ C. Si x ∈ A, entonces x ∈ A � (B � C); si x ∈ B o bien x ∈ C, entoncesx ∈ B � C y, por lo tanto, x ∈ A � (B � C). Así, pues (A � B) � C ⊆ A � (B � C).

• Sea x ∈ A � (B � C). Entonces x ∈ A o bien x ∈ B � C, con lo que x ∈ A o bien x ∈B o bien x ∈ C. Si x ∈ A o x ∈ B, es x ∈ A � B y entonces x ∈ (A � B) � C; si x ∈ C,entonces x ∈ (A � B) � C. Así A � (B � C) ⊆ (A � B) � C.

Como se ha mostrado que A � (B � C) ⊆ (A � B) � C), y que (A � B) � C ⊆ A � (B � C);se tiene por el axioma de extensión que la igualdad entre conjuntos se verifica: A � (B � C)= (A � B) � C; y así la propiedad de asociatividad es válida para la unión de conjuntos.

Ejemplo I.1.5.3.Verifiquemos ahora la propiedad de idempotencia para la unión de parejas de conjun-

tos. Probemos que para cualquier conjunto A, se cumple que:

A � A = A

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Para probar esto, primero observamos que es bastante claro la inclusión: A ⊆ A � A. Porlo tanto, sólo debemos probar que A � A está incluido en A.

Para verificar la aseveración, tomemos un elemento, digamos x, en A � A. Si x está enA � A, significa que x está en A o bien x está en A. Resulta claro que por lo tanto x está en A.Así, cualquier elemento en A � A, está en A. Luego A � A ⊆ A. Lo que significa que A � A= A.

Ejemplo I.1.5.4.

A ⊂ B si y sólo si A � B = B

En esta propiedad, debemos tener cuidado en percatarnos de que en realidad se tratadel enunciado de dos propiedades en una. Esto es, A ⊂ B si y sólo si A � B = B, significa que:

• Si A ⊂ B, entonces A � B = B

• Si A � B = B, entonces A ⊂ B

De esta manera, partimos probando la primera proposición. Para ello, tomamos un x enA � B y verificamos que x está en B. Antes de proseguir, un comentario muy importante:Siempre hay que determinar de antemano qué es lo que exactamente se requiere probar. En laproposición anterior, particularmente, existen dos enunciados muy claros: “Si A ⊂ B”. Esta esuna afirmación que momentáneamente supondremos verdadera (sin discusión), usualmentellamada Hipótesis. En otro enunciado, “A � B = B”, es lo que queremos verificar si es verdade-ro (cuando se supone que la hipótesis se cumple). El propósito de la hipótesis, es entregarnosalguna propiedad que normalmente no tendríamos y que resulta completamente necesariapara probar la propiedad. En el caso de que la hipótesis no se cumpla, sencillamente la propie-dad o proposición no es válida.

Consideremos, para verificar lo anterior, dos parejas de conjuntos:

• A1 = {a, b, c} y A2 = {a, b, c, d}. Aquí A1 � A2 = {a, b, c, d}, por lo tanto se verifica laproposición: A1 � A2 = A2.

• B1 = {1, 2, 3} y B2 = {1, 2, 4}. En este caso B1 � B2 = {1, 2}, y se tiene entonces que B1

� B2 ≠ B2.

Una vez comprendida, la existencia y necesidad de la hipótesis, prosigamos con lademostración de la propiedad. Tomemos para ello un elemento en A � B. Digamos formal-mente que: Sea x en A � B. Si x está en A � B, se tiene que x está en A o bien que x está enB. Si x está en B, no tenemos ningún problema. Pero si x está en A, debemos utilizar lahipótesis y afirmar que en virtud de ella, x está en B (La hipótesis afirma que A es unsubconjunto de B, por lo tanto todo elemento que se encuentre en A, también estará en B).De cualquier modo, si x está en A � B, se obtendrá al final que x está en B, y por lo tanto A� B está contenido en B. Como resulta evidente que B está contenido en A � B (comoejercicio al lector queda el explicar los detalles), se tiene entonces que A � B = B, cuando Aes un subconjunto de B. Hemos probado así la primera proposición.

Estas dos propiedades juntas son muy significativas. Cuando sólo habíamos demostra-do que “si A ⊂ B, entonces A � B = B”, todavía quedaba la posibilidad de que A � B = B, auncuando A no fuera un subconjunto de B. Sin embargo, al demostrar la segunda proposición(“si A � B = B, entonces A ⊂ B”), se tiene que la única forma de que A � B = B, es que A estécontenido en B.

Para probar la segunda proposición planteada: Si A � B = B, entonces necesariamenteA está contenido en B. El razonamiento es aun más sencillo. Para probar que A ⊆ B, cuando

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U N I D A D I

A � B = B, debemos considerar un elemento arbitrario en A (y probar que también estará enB).

Sea x en A. Si x está en A, entonces, x estará también en A � B (por la primerapropiedad de uniones de conjuntos que hemos demostrado en esta sección). Si x está en A� B, entonces x está en B, pues la hipótesis es válida (A � B = B). Por lo tanto, cualquierasea x, tomado en A, este elemento estará también en B. En otras palabras A ⊆ B, cuando launión entre ambos conjuntos es igual a B.

Notemos que en la primera pareja de conjuntos planteados como ejemplo concreto,A1 y A2, se satisface la hipótesis de que A1 debe estar contenido en A2. Por lo tanto, no deberíaser ninguna novedad que se cumpla la proposición:

En cambio, para la segunda pareja de conjuntos, la hipótesis no se satisface (existeun elemento en B1, 3, el que no se encuentra en B2, y por lo tanto B1 no está incluido enB2).

Una vez, que ya hemos demostrado las propiedades de la unión de parejas de conjun-tos, y de esta manera nos hemos convencido de su validez, es conveniente poner atenciónen un hecho simple, pero muy sugestivo; verificar lo que ocurre con la unión de conjuntosque contienen a un solo elemento:

{a} � {b} = {a, b}.

Lo que esto sugiere es la forma de generalizar a las parejas. Concretamente, escri-bimos:

{a, b, c} = {a} � {b} � {c}.

Esta ecuación define a su miembro de la izquierda. El miembro de la derecha debe-ría incluir una pareja de paréntesis, por ejemplo: ({a} � {b}) � {c}, pero en virtud de lapropiedad de asociatividad recién mencionada, su omisión no puede conducir a interpre-taciones equivocadas. En efecto, se tiene:

({a} � {b}) � {c} = {a} � ({b} � {c}).

De lo anterior, es posible mostrar que:{a, b, c} = {x: x = a o x = b o x = c}.

Sabemos ahora que para cada tres conjuntos existe un conjunto que los contiene aellos y nada más, que podemos llamar terna. De la misma manera se pueden seguir constru-yendo cuaternas, etc.

La formación de uniones de conjuntos tiene muchos aspectos similares con otra ope-ración de la teoría de conjuntos. Si A y B son conjuntos, la intersección de A y B es elconjunto definido de la forma:

A � B = {x ∈ A: x ∈ B}

La definición es simétrica en A y B a pesar de que parezca de otra manera. Tenemosentonces la siguiente igualdad:

A � B={x ∈ B: x ∈ A}

De hecho, ya que x ∈ A � B si y sólo si x pertenece tanto a A como a B, se sigue que:

A � B={x: x ∈ A y x ∈ B}.

56


Se debe observar, como primera propiedad importante, que A � B es un subconjuntode A y de B. Esto es, la intersección de dos conjuntos está contenida en cada uno de losconjuntos.

Sea x en A � B. Si x está en la intersección, entonces x está en A y al mismo tiempo enB. En particular x está en A. Se verifica de esta manera que cualquiera sea x en A � B, x estarátambién en A. Así A � B está contenido en A (A � B ⊆ A). Un razonamiento análogo, permiteverificar que también A � B ⊆ B.

Los hechos básicos acerca de las intersecciones, así como su verificación, son seme-jantes a los hechos básicos acerca de las uniones:

A � � = �

A � B = B � A

A � (B � C) = (A � B) � C

A � A = A

A ⊂ B si y sólo si A � B = A,

Las demostraciones de estas propiedades, que resultan completamente análogas a suscorrespondientes de las uniones, se dejan como un ejercicio en las actividades de la presen-te sección.

Ejemplo I.1.5.5.Consideremos los conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d} y C = {a, d, e, f}. Verifiquemos

que se satisfacen las propiedades anteriores:

• A � � = �. Sin discusión.

• A � ( B � C) = A � {a, d} = {a, b, c} � {a, d} = {a}, y además.

(A � B) � C = {a, b, c} � C = {a, b, d} � {a, d, e, f} = {a}. Así A � ( B � C) =(A � B) �C.

• A � A = {a, b, c} � {a, b, c} = {a, b, c}

• A está contenido en B. Además, A � B = {a, b, c} = A.

Parejas de conjuntos con intersección vacía se presentan con frecuencia suficientecomo para justificar el uso de una palabra especial: Si A � B = �, a los conjuntos A y B se lesllama excluyentes. Esto quiere decir, que A y B son dos conjuntos tales que no compartenningún término en común.

Por ejemplo, los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, son excluyentes. Pero losconjuntos C = {a, e, i, o, u} y D = {a, b, c}, no lo son (pues el elemento x = a, es común aambos conjuntos, así C � D = {a} �). Una pregunta que el lector podría formularse es,por ejemplo, si el conjunto de los números naturales pares y el conjunto de los númerosnaturales impares son mutuamente excluyentes o no.

Dos hechos útiles acerca de uniones e intersecciones envuelven simultáneamente alas dos operaciones:

A � (B � C) = (A � B) � (A � C)A � (B � C) = (A � B) � (A � C)

57

U N I D A D I

A estas identidades se les llama leyes distributivas. Como ejemplo de una demostra-ción formal de conjuntos, verificaremos la segunda identidad:

A � (B � C) = (A � B) � (A � C)

Sea x que está en A � (B � C). Si x está en A � (B � C), se tiene que x está en A,o bien x está en B ��C. Si x está en A, entonces x estará en A � B y en A � C (pues elconjunto unión siempre contiene como subconjuntos a los conjuntos que la constru-yen). Si x está en B � C, entonces x estará en B y al mismo tiempo en C; por lo tanto xestará en A � B y A � C (por razones similares a lo anterior). En cualquier caso, x estaráen A � B y x en A � C. Por definición de intersección, esto significa que x estará en (A� B) � (A � C). Se ha logrado probar de esta forma que A � (B � C) está contenido en(A � B) � (A � C).

Por otra parte, verifiquemos que A � (B � C) contiene a (A � B) � (A � C). Para ello,sea x en (A � B) � (A � C). Si x está en (A � B) � (A � C), entonces x está en (A � B), y x estátambién en (A � C). Si x est en A, entonces se verifica que x está en A � (B � C). Supon-gamos que x está en B ( y no esta en A); en este caso, como x está también en A � C, x estáen C (pues no está en A), así x está en B � C y por lo tanto en A � (B � C). En amboscasos, se tiene que si x está en (A � B) � (A � C),estará también en A � (B � C). Luego(A � B) � (A � C), es subconjunto de A � (B � C).

De las dos inclusiones verificadas anteriormente, se tiene que A � (B � C) = (A � B) �(A � C). Es decir, la unión de conjuntos verifica la propiedad distributiva frente a la inter-sección.

Ejemplo I.1.5.6.

Note que A � (B � �) = A. En efecto, B � � = � y A � � = A.

Ejemplo I.1.5.7.Sean A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n, p}. Se tiene entonces:

• A � B = {a, b, c, d, g}

• A � C = {a, b, c, d, g, m, n, p}

• B � C = {a, c, g, m, n, p}

• A � B = {a, c}

• A �� C = {c}

• B � C = {c, g}

• A � (B � C) = {a, c}

• (A � B) � C = {a, c, g, m, n, p}

• (A � B) � C = {c, g}

• (A � B) � (A � C) = A � (B � C) = {a, c}

Notemos además que para estos conjuntos se verifica la propiedad asociativa de launión:

58


A � (B � C) = (A � B) � C

En efecto:

A = {a, b, c, d} y B � C = {a, c, g, m, n, p}, por lo tanto A � (B � C) = {a, b, c, d, g, m, n,p}

Mientras que, como A � B = {a, b, c, d, g} y C = {c, g, m, n, p}, se tiene que (A � B) � C ={a, b, c, d, g, m, n, p}.

Ejemplo I.1.5.8.Como último ejemplo, recalcamos que la unión de un conjunto cualquiera, por ejem-

plo A = {a, b, c}, con el conjunto vacío, �, corresponde al mismo conjunto A (el conjuntovacío no aporta ningún elemento nuevo, pues no tiene elementos):

A � � = A

Mientras que la intersección del conjunto A con el conjunto vacío no es más que elconjunto vacío (ningún conjunto puede tener elementos comunes con el conjunto vacío,pues éste no tiene elementos):

A � � = �

ACTIVIDADES I.1.5.9.1. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Encuentre:

a. A � B

b. A � C

c. B � C

d. B � B

e. A � B

f. B � C

g. A � C

h. C � C

Solución:

a. A � B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

b. A � C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. B � C = {2, 3, 4, 5, 6, 8}

d. B � B = B = {2, 4, 6, 8}

e. A � B = {2, 4}

f. B � C = {4, 6}

g. A � C = {3, 4}

h. C � C = C = {3, 4, 5, 6}

2. Considere nuevamente los conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n,p}, y verifique para ellos que se cumple la propiedad asociativa para la intersec-ción: (A � B) � C = A � (B � C).

59

U N I D A D I

Solución:Por una parte se tiene:

A � B = {a, b, c, d} � {a, c, g} = {a, c}

(A � B) � C = {a, c} � {c, g, m, n, p} = {c}

Por otro lado, tenemos:

B � C = {a, c, g} � {c, g, m, n, p} = {c, g}

A � (B � C) = {a, b, c, d} � {c, g} = {c}

Así, se concluye que (A � B) � C = A � (B � C).

3. Demuestre que A � � = �, para cualquier conjunto A.

Solución:

Se sabe que A � � ⊆ � (pues la intersección de dos conjuntos siempre está incluidaen cada uno de los conjuntos involucrados).

Debemos probar que � ⊆ A � �. Supongamos, por el contrario, que � no está inclui-do en A � �, entonces debe existir un elemento que está en � y que no está incluidoen A � �. Pero dicho elemento no puede existir, pues el conjunto vacío no tieneningún elemento, luego la única alternativa posible es que � efectivamente se encuen-tre contenido en A � �.

Como � es un subconjunto de A � �, y recíprocamente, A � � se encuentra conte-nido en �, se tiene que ambos conjuntos son iguales.

4. Muestre la propiedad conmutativa de la intersección: A � B = B � A

Solución:

Sea x en A � B. Que el elemento x se encuentre en A � B, significa que x está en Ay al mismo tiempo está en B. Entonces x está en B y x está en A, por lo que pordefinición, x está en A � B. De esta forma A � B ⊆ B � A.

Un razonamiento análogo, muestra que B � A ⊆ A � B, por lo que ambos conjuntosson iguales.

5. Demuestre utilizando el axioma de extensión, la propiedad asociativa para la intersec-ción: (A � B) � C = A � (B � C).

Solución:

Debemos verificar que A � (B � C) está contenido en (A � B) � C, es decir,A � (B � C) ⊆ (A � B) � C); y por otro lado que (A � B) � C es un subconjunto de A� (B � C) = (A � B) � C ⊆ A � (B � C)).

• Sea x ∈ (A � B) � C. Entonces x ∈ A � B y está al mismo tiempo en C (x ∈ C), demodo que x ∈ A y x ∈ B, y x ∈ C. Luego, x ∈ A, y x está en (B � C), y por lo tanto,x ∈ A � (B � C). Así, pues (A � B) � C ⊆ A � (B � C).

• Sea x ∈ A � (B � C). Entonces x ∈ A y x ∈ B � C, con lo que x ∈ A, y x ∈ B y x ∈C. Así x ∈ A � B y x ∈C; entonces x ∈ (A � B) � C. Así A � (B � C) ⊆ (A � B) �C.

Como se ha mostrado que A � (B � C) ⊆ (A � B) � C, y que (A � B) � C ⊆ A �

60


(B � C); se tiene por el axioma de extensión que la igualdad entre conjuntos severifica: A � (B � C) = (A � B) � C; y la propiedad de asociatividad es válidapara la intersección de conjuntos.

6. Demostrar la idempotencia para la intersección: A � A = A.

Solución:

Para probar esto, primero observamos que es bastante clara la inclusión: A � A ⊆ A(pues la intersección de dos conjuntos siempre está contenida en cada uno de losconjuntos que la conforman). Por lo tanto, sólo debemos probar que A está incluidoen A � A.

Para verificar la aseveración, tomemos un elemento, digamos x en A. Si x está en A,significa que x está en A y x está en A. Resulta claro, que por lo tanto x está enA � A. Así, cualquier elemento en A, está también en A � A. Luego A ⊆ A � A. Loque significa que A = A � A.

7. Muestre que: A ⊂ B si y sólo si A � B = A

Solución:Debemos probar que:

• Si A ⊆ B, entonces A � B = A.

• Si A � B = A, entonces A � B.

Para probar la primera aseveración, esto es que A � B = A cuando A es un subconjuntode B (la hipótesis), se debe utilizar el axioma de extensión y probar que A � B ⊆ A ypor otra parte que A está contenido en A � B.

Es claro que A � B está contenido en A, pues toda intersección siempre está contenidaen cada uno de los conjuntos de que forma parte. Así, sólo debemos probar que A estácontenido en A � B. Para ello, sea x en A. Un elemento x en A, implica que x ∈ A y x∈B (pues por hipótesis A es un subconjunto de B), así x está en A � B (x ∈ A � B).Luego, A ⊆ A � B. Por lo tanto A = A � B.

Para probar la segunda afirmación, que A ⊆ A � B cuando A = A � B, basta conside-rar un elemento arbitrario en A, digamos sea x ∈ A. Si x ∈ A, se tiene por la hipótesisque x ∈ A � B, así A � A � B.

8. Demuestre que A � (B � C) = (A � B) � (A � C).

Solución:

Se debe probar que A � (B � C) ⊆ (A � B) � (A � C) y que (A � B) � (A �C) ⊆ A � (B � C).

Sea x en A � (B � C). Si x ∈ A � (B � C), se tiene que x ∈ A y x ∈ B � C. Así, por unlado x ∈ A, y por otro x ∈ B, o bien x ∈ C. Luego, x ∈ A y x ∈ B, o bien x ∈ A y x ∈ C.De donde x ∈ A � B, o bien x ∈ A � C. Lo que implica que x ∈ (A � B) � (A � C). Estosignifica que A � (B � C) es subconjunto de (A � B) � (A � C).

Por otra parte, sea x un elemento de (A � B) � (A � C). Así x ∈ (A � B) � (A � C).Esto es, x ∈ A � B, o bien x ∈ A � C. En ambos casos x ∈ A. La duda está en si x ∈

61

U N I D A D I

B, o bien x ∈ C (o a ambos), luego x ∈ A y x ∈ B � C, y x ∈ A � (B � C). Así (A �B) � (A � C) está contenido en A � (B � C), lo que implica la igualdad entre losdos conjuntos.

9. Muestre que (A � B) � C = A � (B � C), si y sólo si C ⊆ A. Observe que la condición notiene nada que ver con el conjunto B.Solución:Se debe mostrar que:

• Si (A � B) � C = A � (B � C), entonces C ⊆ A.

• Si C ⊆ A, entonces (A � B) � C = A � (B � C).

Ejercicios I.1.5.10.1. Considere los conjuntos X = {Roberto, Ricardo, Enrique}, Y = {Roberto, Sebastián, Eduar-

do} y Z = {Sebastián, Eduardo, Alfredo}. Encuentre:

a. X � Y

b. X � Z

c. Y � Z

d. X � Y

e. X � Z

f. Y � Z

2. Sean A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h} y C = {c, d, e, h}. Encuentre:

a. A � B

b. A � C

c. A � A

d. A � �

e. B � C

f. C � B

g. A � B

h. B � A

i. A � C

j. B � B

k. B � C

l. C � �

m. (A � B) � C

n. A � (B � C)

o. A � (B � �)

p. (A � A) � C

q. (A � B) � (A � B)

r. ((A � C) � B) � A

62


3. Pruebe que A � B = A � B, si y sólo si, A = B.

4. Pruebe que A � B = A, si y sólo si A ⊆ B.

5. Pruebe que A � B = �, implica que A = � y B = �.

6. ¿Es cierto que A � B = �, implica que A = �, o que B = �? Explique.

Respuestas1. a. X � Y = {Roberto, Ricardo, Enrique, Sebastián, Eduardo}

b. X � Z = {Roberto, Ricardo, Enrique, Sebastián, Eduardo, Alfredo}

c. Y � Z = {Roberto, Sebastián, Eduardo, Alfredo}

d. X � Y = {Roberto}

e. X � Z = �

f. Y � Z = {Sebastián, Eduardo}

2. a. A � B = {b, d}

b. A � C = {c, d}

c. A � A = A = {a, b, c, d}

d. A � � = � (no hay ningún elemento común con el conjunto vacío).

e. B � C = {b, d, f, h} � {c, d, e, h} = {d, h}

f. C � B = {c, d, e, h} � {b, d, f, h} = {d, h} = B � C

g. A � B = {a, b, c, d} � {b, d, f, h} = {a, b, c, d, f, h}

h. B � A = {b, d, f, h} � {a, b, c, d} = {a, b, c, d, f, h} = A � B

i. A � C = {a, b, c, d} � {c, d, e, h} = {a, b, c, d, e, h}

j. B � B = B = {b, d, f, h}

k. B � C = {b, d, f, h} � {c, d, e, h} = {b, c, d, e, f, h}

l. C � � = C = {c, d, e, h}

m. (A � B) � C = {b, d} � {c, d, e, h} = {d}

n. A � (B � C) = A � {d, h} = {d} = (A � B) � C

o. A � (B � �) = A � B = {a, b, c, d, f, h}

p. (A � A ) � C = A � C = {a, b, c, d, e, h}

q. (A � B) � (A � B) = {a, b, c, d, f, h} � {b, d} = A � B

r. ((A � C) � B) � A) = ({c, d} � {b, d, f, h}) � A = {b, c, d, f, h} � {a, b, c, d}= {a, b, c, d,f, h} = A � B

3. Supongamos que A = B. Sea x ∈ A � B. Si x está en A � B, se tiene que x ∈ A y x ∈ B, luegox ∈ A � B. Así A � B ⊆ A � B. Análogamente, si x ∈ A � B, se tiene que x ∈ A o bien x ∈B. En cualquier caso x ∈ A (pues A = B), de la misma forma x ∈ B. Así se tiene que x ∈ A� B; lo que permite concluir que A � B = A � B cuando A = B.

63

U N I D A D I

Verifiquemos ahora que si A � B = A � B, entonces A = B. En efecto, sea x ∈ A. Si x ∈A, entonces x ∈ A � B, de donde x ∈ A � B (pues A � B = A B) y así x ∈ B. De la mismaforma, si x ∈ B, se tiene que x ∈ A � B y x ∈ A � B, lo que permite concluir que x ∈ A,luego A = B.

4. Supongamos que A � B = A. Probemos que A es subconjunto de B. Sea x ∈ A. Si x ∈ A,se tiene que x ∈ A � B (pues por hipótesis A � B = A), luego x ∈ B, lo que demuestraque A ⊆ B. Recíprocamente, supongamos que A ⊆ B y mostramos que A � B = A. Esclaro que A � B ⊆ A. Debemos probar entonces que A ⊆ A � B. Sea x ∈ A, como x ∈A se tiene que x ∈ B (A ⊆ B). Así x ∈ A y x ∈ B, de donde A ⊆ A � B y se tiene laigualdad buscada.

5. Supongamos que A � B = � y A � o B �. Se tiene entonces que A � B �, lo que esuna contradicción. Luego, necesariamente A = � y B = �.

6. Si A � B = �, esto no implica que A sea el conjunto vacío o B sea vacío. Sólo se afirma quelos conjuntos son disjuntos entre sí.

RESUMENEn está sección se definen y revisan los conceptos de unión e intersección entre con-

juntos. Se postulan y demuestran algunas propiedades asociadas a ellos, en particular las deconmutatividad, asociatividad, idempotencia, distributividad y su comportamiento frente alconjunto vacío. La demostración de las propiedades da pie para ensayar la utilización delaxioma de extensión (dos conjuntos son iguales cuando comparten los mismos elementos),en su forma de para mostrar la igualdad de conjuntos, se debe en realidad mostrar que cadaconjunto es subconjunto del otro. Por último se introduce el concepto de hipótesis.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1.____ La intersección entre los números naturales pares y los números naturales impareses el conjunto vacío, �.

2.____ El conjunto de las vocales y el formado por las 26 letras del alfabeto son excluyentes.3.____ La intersección de dos conjuntos no puede estar contenida siempre en la unión de

esos dos conjuntos.4.____ La unión de conjuntos es asociativa y conmutativa, pero la intersección de conjun-

tos no.

5.____ Si A ⊆ B, entonces A � B está contenido en A.

6.____ Si A = {2, 4, 3, 1}, B = {2, 3}; entonces A � B = {2 ,3}.

7.____ La intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío, siempre corres-ponde al conjunto vacío.

Encuentre A � B y A � B, para los siguientes conjuntos:

8.____ Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7} 9.____ Sea A ={2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}10.____ Sea A = {2, 4, 7}, B = {7, 4, 2}

64


Glosar

11.____ Sea A = �, B = {a, b, c, d}

Encuentre A � ( B � C), (A � B) � C, (A � C) � (B � C), para los siguientes conjuntos:

12. Sea A = {1, 2, 3}, B = {2 ,3 ,4} y C = {1, 3, 4}13. Sea A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} y C = {7, 8, 9}

14. Sea A = �, B = {1} y C = {2}

Respuestas1. Verdadero.2. Falso. La intersección es precisamente el conjunto de las vocales, así la intersección entre los dos

conjuntos no es vacía y por lo tanto no son mutuamente excluyentes.3. Falso. La intersección siempre está contenida en la unión de dos conjuntos, esto se

aprecia fácilmente, al recordar que la intersección de dos conjuntos, digamos A y B, seencuentra contenida en cualquiera de los dos conjuntos, por ejemplo A. Ahora, cual-quier conjunto (en este caso A), es subconjunto de la unión (A ⊆ A � B). Así, siemprese tiene que A � B ⊆ A � B.

4. Falso. Tanto la unión como intersección de conjuntos son asociativos y conmutativos.

5. Verdadero, de hecho, en estas condiciones A ∩ B es igual a A.

6. Verdadero.7. Verdadero.

8. A ∩ B = {4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

9. A ∩ B = ∅, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

10. A ∩ B = A = B = A ∪ B

11. A ∩ B = ∅, A ∪ B = B = {a, b, c, d}

12. A ∩ ( B � C) = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3} = A; (A ∩ B) ∪ C = {2, 3} ∪ {1,3, 4}= {1, 2, 3, 4}; (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 3, 4} = {1,3, 4}= C.

13. A ∩ ( B ∪ C) = {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9} = ∅; (A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ {7, 8, 9}={7, 8, 9} = C; (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 8} =∅.

14. A ∩ ( B ∪ C) = ∅ ∩ {1, 2} = ∅; (A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ {2}= {2} = C; (A ∩ C) ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ C = {1} ∩ {2} = ∅.

Glosario

Álgebra de Conjuntos: todas aquellas propiedades y teoremas que permiten simplifi-car expresiones complejas de conjuntos.

Asociatividad: propiedad que postula que al asociar tres objetos de a dos, da lo mismo elorden (los dos primeros se asocian en una primera oportunidad y el resultado con el

65

U N I D A D I

tercero, es lo mismo que asociar los dos últimos primero y el resultado con el primerobjeto).

Axioma de Extensión: axioma que postula que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienenlos mismos elementos.

Conjunto: colección de objetos perfectamente distinguibles entre sí y que forman unatotalidad.

Conjunto Vacío: conjunto que no tiene elementos.Conmutatividad: propiedad que postula que al asociar dos objetos, da lo mismo cuál de

los dos se escribe primero.Contenido (un Conjunto en Otro): se dice que un conjunto se encuentra contenido en

otro si es subconjunto, es decir, si todos sus elementos son elementos del otro conjuntotambién.

Elemento de un Conjunto: objeto que pertenece a un conjunto.Elemento Arbitrario: un elemento cualquiera de un conjunto, no se especifica cuál, sólo

se sabe que existe.Excluyentes: dos conjuntos se dicen excluyentes si su intersección es vacía; no tienen

ningún elemento en común.Idempotencia: propiedad que asegura que al asociar un objeto consigo mismo, se obtiene

sólo el objeto original y nada más.Igualdad de Conjuntos: dos conjuntos son iguales sólo si tienen los mismos elementos.Inclusión (de Conjuntos): un conjunto se encuentra incluido en otro, si todos sus elemen-

tos son también elementos del otro conjunto.Intersección: es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a la vez a

dos conjuntos.Intersección Vacía: cuando dos conjuntos no comparten ningún elemento.Hipótesis: proposición que se acepta como verdadera sin discusión.Leyes Distributivas: propiedades que permiten distribuir operaciones con paréntesis.Números Naturales Pares: aquellos números naturales múltiplos de dos: 2, 4, 6, 8, 10, etc.Números Naturales Impares: aquellos números naturales que no son múltiplos de dos:

1, 3, 5, 7, etc.Proposición: afirmación de la que se puede decir sin ambigüedad si es verdadera o falsa.Subconjunto: conjunto formado por elementos que se encuentran contenidos dentro de

otro conjunto.Terna: conjunto formado por tres elementos.Unión de Conjuntos: conjunto formado por todos aquellos elementos que pertenecen al

menos a uno de los conjuntos referenciados.

Símbolos:

� : Intersección.

� : Unión.


⊆ : Inclusión.

⊂ : Inclusión.

66


Comple∈ : Pertenencia.

= : Igualdad.

: Desigualdad.

I.1.6 Complementos y Diferencia Entre Conjuntos

Si A y B son conjuntos, la diferencia entre A y B, más frecuentemente conocida comoel complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto A-B, definido de la forma:

A – B = {x ∈ A: x ∉ B}

En esta definición no es necesario suponer que B ⊂ A. Sin embargo, con el fin deregistrar los hechos básicos acerca de la complementación de la forma más simple posi-ble, supongamos que todos los conjuntos mencionados son subconjuntos de un determi-nado conjunto U. Sin embargo, recalcamos que este conjunto no puede ser (ni pretende-mos que sea) el conjunto universo, pues tal conjunto no existe en el sentido que lo com-prendemos. Con esta aclaración, se dice que el complemento de un conjunto A (es decirsu diferencia con respecto a U), son todos los elementos que están en U, pero no seencuentran en A. Como U pasa a ser un seudo universo, se suele usar la expresión máscorta (pero incompleta) de “el complemento de A, son todos los elementos que no estánen A”.

El complemento de A, se suele denotar por:Ac

En términos de la notación antes mencionada, se tiene que las principales propiedadesde diferencias y complementos de conjuntos son:

(Ac)c = A

�c = U, Uc = �

A � Ac = �

A � Ac = U

A ⊆ B si y sólo Bc ⊆ Ac

Ejemplo I.1.6.1.Sea A el conjunto formado por las vocales, considerado como subconjunto del con-

junto U formado por todas las letras del alfabeto. Se tiene entonces, que por extensiónambos conjuntos se encuentran definidos de la siguiente manera:

A = {a, e, i, o, u}U = {a, b, c, d, e, f, g, h, ...., x, y, z}

Con estas consideraciones, se puede verificar que:(Ac) = {b, c, d, f, g, h, j, k,..., x, y, z} (El complemento de A son todas las letras del alfabeto queno son vocales).

67

U N I D A D I

(Ac)c = {a, e, i, o , u} = A (el complemento del complemento de un conjunto es elmismo conjunto).

A � Ac = � (La intersección entre el conjunto de todas las vocales y su complemento,aquellas letras que no son vocales, es vacía).

A � Ac = U (la unión del conjunto de todas las vocales con el conjunto de todas lasletras que no son vocales, es el conjunto de todas las letras del alfabeto).

Se debe notar que A y Ac son conjuntos mutuamente excluyentes.

Ejemplo I.1.6.2.Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}. Entonces A – B = {1, 2} (La diferencia entre los

conjuntos A y B son todos los elementos que están en A, pero que no están en B). Pero:B - A= {5, 6}.

Notar, entonces, que en general A – B B – A.

Los enunciados más importantes acerca de complementos son las llamadas Leyesde De Morgan, que dicen lo siguiente:

(A � B)c = Ac � Bc

(A � B)c = Ac � Bc

En realidad, las Leyes de De Morgan se cumplen para relaciones más generalesque al considerar sólo parejas de conjuntos. También se puede mostrar, por ejemploque:

(A � B � C)c = Ac � Bc � Cc

(A � B � C)c = Ac � Bc � Cc

(A � B � C � D � E)c = Ac � Bc � Cc � Dc � Ec

Estos hechos acerca de la complementación implican que, en la teoría de los con-juntos, los teoremas se presentan usualmente por pares. Si en una inclusión o ecuaciónconcerniente a uniones, intersecciones y complementos, al reemplazar cada conjuntopor su complemento, cada intersección por una unión y cada unión por una intersección,el resultado es otro teorema. Este hecho es tan importante, que recibe el nombre de prin-cipio de la dualidad para conjuntos.

Ejemplo I.1.6.3.Exprese la Ley dual de la relación, reemplazando las intersecciones por uniones y

viceversa:

(A � Bc) � C = (A � C) � (Bc � C).

En este caso, se tiene:

(Ac � B) � Cc = (Ac � Cc) U (B � Cc)

Ejemplo I.1.6.4.Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7}. (El conjunto universal U, se entiende en este caso

como los números enteros menores o iguales que 10, esto es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}. Entonces:

(A � B)c = Ac � Bc

(A � B)c = Ac� Bc

68


En efecto:

(A � B)c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}c = {8, 9, 10}, mientras que:

Ac � Bc = {1, 2, 3, 4}c � {4, 5, 6, 7}c = {5, 6, 7, 8, 9, 10} � {1, 2, 3, 8, 9, 10} = 8, 9, 10}

De la misma manera, se tiene que:

(A � B)c = {4}c = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ac � Bc = {1, 2, 3, 4}c � {4, 5, 6, 7}c = {5, 6, 7, 8, 9, 10} � {1, 2, 3, 8, 9, 10} = {1, 2, 3,5, 6, 7, 8, 9, 10}

En este punto, se debe llamar la atención en uno de los razonamientos más com-plejos involucrados en la teoría de conjuntos. Cuando nos encontramos con la proposi-ción:

x ∈ X para cada X en �

(Aquí x es un elemento de un conjunto X, y X es un elemento de un conjunto deconjuntos, que en este caso es el vacío). Será cierto o falso que existen “equis” que satisfagantal propiedad. En problemas como estos, es mejor intentar analizar la pregunta contraría:¿Cuáles “equis” no satisfacen la condición propuesta? Si no es cierto que x ∈ X para cada Xen vacío, deberá existir entonces algún X en � tal que x ∉ X; pero, como no existe ningún Xen �, esto es absurdo. Conclusión: ningún x deja de satisfacer la condición propuesta, o, loque es lo mismo, todo x la satisface. En otras palabras, las “equis” especificadas por lacondición agotan el universo.

Nos hemos encontrado con una nueva paradoja, pero no debemos alarmarnos y pen-sar que la teoría que estamos construyendo nos llevará siempre a absurdos y razonamientosimposibles. En realidad aquí no hay ningún problema profundo, sólo debemos ser cuidado-sos y no construir conjuntos de conjuntos que sean vacíos (y en realidad, ¿Para qué lospodríamos ocupar?).

Ejemplo I.1.6.5.

Considere que el universo U, es el conjunto de los números naturales, �, y considereque A = {x ∈ �: x es par}, mientras que B = { x ∈ �: x es impar}. Se debe observar que eneste caso: A � B = � y, (A � B)c = �. Por otra parte, A � B = �, y se tiene que (A � B)c = �.

Ejemplo I.1.6.6.

Una última consideración para analizar. Supongamos que � = �. ¿Y el comple-mento de �?

�c = {x ∈ �: x ∉�} = {x ∈ �: x ∉ �}

La contradicción es evidente. Para evitar este tipo de problemas, debemos tener cuida-do en considerar “universos” que no sean vacíos.

69

U N I D A D I


1. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, y C = {3, 4, 5, 6}. Encuentre:a. A – Bb. C – Ac. B – Cd. B – Ae. B – B

f. A – �

g. A – (B � C)

h. (B � C) – (B � A)

i. (A � B) - (A � B)

Solución:a. A – B = {1, 3}b. C – A = {5, 6}c. B – C = {2, 8}d. B – A ={6, 8}

e. B – B = �

f. A - � = A

g. A - (B � C) = A – {2, 3, 4, 5, 6, 8} = {1}

h. (B � C) – (B � A) = {2, 3, 4, 5, 6, 8} – {1, 2, 3, 4, 6, 8} = {5}

i. (A � B) – ( A � B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} – {2, 4} = {1, 3, 6 , 8}

2. Demuestre que (A – B) � B = �

Solución:

Supongamos que (A – B) � B �. Esto es, supongamos que existe x ∈ (A – B) �B. Si x ∈ (A – B) � B, entonces x ∈ A – B y x ∈ B. Pero x ∈ A – B, significa que x estáen A y x no está en B (x ∉ B). Ello es una contradicción con que x ∈ B, de dondenecesariamente debe cumplirse que (A – B) � B = �.

3. Pruebe que (A – B) está contenido en A.Solución:

Sea x ∈ A – B, Si x ∈ A – B, se tiene que x ∈ A y x ∉ B. En todo caso, x ∈ A y por lotanto A – B ⊆ A.

Pruebe que A � Ac =�

Solución:

Supongamos que A � Ac �; que existe x ∈ A � Ac. Si x ∈ A � Ac, se tiene que x ∈A y x ∈ Ac, es decir, x ∈ A y x ∉ A, lo que es un absurdo. Luego, necesariamenteA � Ac = �.

70


5. Encuentre Ac, si A = {x: x es un número natural par} y el universo, U, son todos los númerosnaturales.Solución:Ac = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} = {x: x es un número natural impar}

6. Sea A = {1, 2, 3} y � = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Muestre que � – A = Ac

Solución:

� – A = {4, 5, 6, 7}

Ac = {4, 5, 6, 7}

Así, se tiene que: � – A = Ac

7. Sea � = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, el conjunto de todos los números naturales menores oiguales a 10. Muestre que (A � B � C)c = Ac � Bc � Cc y que (A � B �C)c = Ac � Bc � Cc,considerando A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5} y C = {1, 3}.Solución:

A � B � C = {1}

(A � B � C)c = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Por otra parte:Ac = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Bc = {6, 7, 8, 9, 10}Cc = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Así:

Ac � Bc � Cc = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Para la otra igualdad, se tiene:

A � B � C = {1, 2, 3, 4, 5}

Luego:

(A � B � C)c = {6, 7, 8, 9, 10}

Ac = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Bc = {6, 7, 8, 9, 10}Cc = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ac � Bc � Cc = {6, 7, 8, 9, 10}

De donde, se verifica la igualdad:

(A � B � C)c = Ac � Bc � Cc

8. Verifique si (A � B) – C = (A – C) � (B – C).

Solución:Sean A = {1, 2}, B = {4, 5} y C = {2, 3, 5}. Se tiene entonces:

A � B = {1, 2, 4, 5}

(A � B) – C = {1, 4},

pero:

71

U N I D A D I

A – C = {1}B – C = {4}Así:

(A – C) � (B – C) = � (A � B) – C.

Ejercicios I.1.6.8.1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5} y C = {2, 3, 5, 6}. Encuentre:

a. (A � B) - A

b. (B – A) � (A � B)

c. (B – A) � (A � B)

d. (B – A) � (B – C)

e. B – (A � C)

f. (A � C) - B

2. Demuestre que A – (B � C) = (A – B) � ( A – C).

3. Demuestre la identidad (A – B) � (B – A) = (A � B) – (A � B).

4. Pruebe que A � Ac = U.

5. Verifique si A – B = B – A

6. Demuestre que A ⊆ B si Bc ⊆ Ac

7. Sea A = {a}, encontrar (Ac)c

Resultados1. a. (A � B) – A = {1, 3, 5} – A = B – A = �

b. (B – A) � (A � B) = � �{1, 3, 5} = {1, 3, 5} = A � B

c. (B – A) � (A � B) = � � {1, 2, 3, 4, 5} = � � A = �

d. (B – A) �(B – C) = � � {1} = {1}

e. B – (A � C) =B – {1, 2, 3, 4, 5, 6} = B – A = �

f. (A � C) – B =A – B = {2, 4, 6}

2. Sea x ∈ A – (B � C). Si x ∈ A – (B � C), entonces x ∈ A y x ∉ B � C. Esto es, x ∈ A yx ∈ (B � C)c. Aplicando la Ley de De Morgan, se tiene que x ∈ A y x ∈ Bc � Cc, lo quesignifica que x ∈ A, y x ∈ Bc y x ∈ Cc. De donde, x ∈ A � Bc y x ∈ A � Cc. Lo que esequivalente con que x ∈ (A – B) � ( A – C). Se ha mostrado así que A – (B � C) ⊆ (A– B) � ( A – C).Queda por mostrar que (A – B) � ( A – C) ⊆ A – (B � C). Sea x ∈ (A – B) � ( A – C). Six ∈ (A – B) � ( A – C), se tiene entonces que x ∈ (A – B) y x ∈ (A –C); es decir, x ∈ Ay x ∉ B, al mismo tiempo que x ∈ A y x ∉ C. Se concluye que x ∈ A y x ∈ Bc y x ∈Cc. Es decir, x ∈ A y x ∈ Bc � Cc. Aplicando la Ley de De Morgan, se tiene que x ∈

72


A y x ∈ (B � C)c, lo que implica que x ∈ A � (B � C)c, de donde x ∈ A – (B � C). Así,se demuestra que (A – B) � ( A – C) ⊆ A – (B � C), de donde se obtiene la igualdadbuscada.

3. Debemos probar que (A – B) � (B – A) ⊆ (A � B) – (A � B), y por otro lado que (A � B)– (A � B) ⊆ (A – B) � (B – A).Sea x ∈ (A – B) � (B – A). Si x está en (A – B) � (B – A), entonces x ∈ A – B o bien x ∈B – A. Se tiene que x ∈ A y x ∉ B, o bien x ∈ B y x ∉ A. Si x ∉ B, se debe observar quex ∉ A � B. De la misma forma, si x ∉ A, entonces x ∉ A �B. Luego, x ∈ A y x ∉ A � B,o bien x ∈ B y x ∉ A � B. Lo que es lo mismo a: x ∈ A � B y x ∉ A � B, de donde x ∈ (A� B) – (A � B). Así, se tiene la primera inclusión: (A – B) � (B – A) ⊆ (A � B) – (A � B).La demostración de la segunda inclusión es análoga a la primera, y se dejan los detalles allector.

4. Es claro que A � Ac ⊆ U. Sólo resta probar que U ⊆ A � Ac. Supongamos que no secumple la inclusión anterior. Entonces, existe x ∈ U, tal que x ∉ A � Ac, o bien, aplican-do la Ley de De Morgan, se tiene que x ∈ (A � Ac)c = Ac � A. Esto es, existe x ∉ A y x ∈A, lo que es imposible. Luego, necesariamente U = A � Ac.

5. La afirmación es falsa. Considere A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}. Se tiene que A – B = {1, 2},mientras que B – A = {4, 5}. Así, existen conjuntos A y B, tales que A – B B – A.

6. Supongamos que no es cierto que A ⊆ B, cuando Bc ⊆ Ac. Es decir, que existe x ∈ A, talque x ∉ B. Si x ∉ B, entonces x ∈ Bc, luego por hipótesis x ∈ Ac y así no puede estar en A.La contradicción nos indica que necesariamente A ⊆ B.

7. (Ac)c = A = {a}.

ResumenEn la presente sección se ha definido el concepto de diferencia entre conjuntos y el de

complemento de un conjunto (con respecto a un conjunto seudo universal U). Se muestranimportantes propiedades para estas operaciones, entre ellas las Leyes De Morgan, que seránestudiadas con mayor detención en un capítulo posterior. Lo que se busca en esta presenta-ción es que el lector sea capaz de encontrar sin ninguna dificultad la diferencia entre dosconjuntos y el conjunto complemento.


1. La diferencia entre los conjuntos A y B es un subconjunto de A.2. Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces no se puede encontrar la diferencia

entre A y B.

3. A � Bc = A – B

4. El complemento de un conjunto A, Ac, se debe calcular con respecto a un conjuntouniverso que debe contener a A.

5. El complemento del conjunto vacío, es el universo.

73

U N I D A D I

Glosar

6. La unión de un conjunto A con su complemento, Ac, puede ser distinto al universo.7. Los conjuntos A y Ac son mutuamente excluyentes.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso. La diferencia, A – B corresponde al conjunto A, mientras que B – A = B.3. Verdadero.4. Verdadero.5. Verdadero.6. Falso. Pues cualquier elemento está o no está en un conjunto determinado (pertenece

al conjunto o a su complemento).7. Verdadero.

Glosario

Conjunto: colección de elementos perfectamente distinguibles entre sí y que confor-man una totalidad.

Conjuntos Mutuamente Excluyentes: conjuntos cuya intersección es vacía; no tienenelementos en común.

Complemento: conjunto que contiene todos los elementos que no son parte del conjunto original.Diferencia entre Conjuntos: conjunto formado por todos los elementos que pertene-

cen a un conjunto, pero que no pertenecen a otro.Ecuación: expresión matemática que contiene una incógnita que debe encontrarse para

permitir una igualdad.Inclusión: un conjunto se encuentra incluido en otro si todos sus elementos son parte del

otro conjunto.Intersección: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a dos conjun-

tos a la vez.Leyes de De Morgan: propiedades que permiten encontrar el complemento de una unión

o una intersección de conjuntos. Se encuentran estrechamente relacionadas con lanegación de una conjunción o de una disyunción lógica.

Números Enteros: todos los números naturales, más el cero y los números negativos.Principio de Dualidad: principio que permite asegurar que toda propiedad para la unión

es también válida para la intersección.Proposición: enunciado del que se puede determinar sin ambigüedad si es verdadero o falso.Subconjunto: conjunto que se encuentra incluido dentro de otro conjunto.Teorema: proposición de gran importancia.Unión: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los

conjuntos referenciados.

74


Conjunt

Símbolos:

� : Conjunto Vacío.Ac : Complemento del Conjunto A.A – B : Diferencia entre Conjunto A y B.


� : Unión.⊆ : Subconjunto.= : Igualdad.

: Desigualdad.

∈ : Pertenece.∉ : No Pertenece.

I.1.7 Conjunto Potencia

Veremos ahora una interesante forma de construir nuevos conjuntos. Se afirma que lossubconjuntos de un conjunto dado, forman por sí solos un nuevo conjunto, el conjuntopotencia. Formalicemos esta idea en el siguiente axioma:

Axioma de las Potencias:Para cada conjunto existe una colección de conjuntos que contiene entre sus elemen-

tos a todos los subconjuntos del conjunto dado. Esta colección recibe el nombre de conjuntopotencia.

En otras palabras, si A es un conjunto, entonces existe un conjunto P(A) tal que si X ⊆A, entonces X ∈ P(A).

El conjunto P(A) descrito anteriormente puede ser más extenso de lo deseado, ya quepuede contener otros elementos además de los subconjuntos de A. Para no tener mayoresproblemas, se utiliza el axioma de especificación y de esta manera definimos sin ambigüe-dades este conjunto:

P(A) = {X: X ⊆ A}

Como conjunto, en general, P(A) es muy grande en comparación con A. Veamos algu-nos ejemplos sencillos.

Ejemplo I.1.7.1.

Si A = �, la situación es bastante clara, se tiene entonces que P(A) = {�}. Es decir, elúnico subconjunto posible del conjunto vacío es el mismo.

Ejemplo I.1.7.2.

Si A = {a}, entonces P(A) = {�, {a}}. En el caso de que A contenga un elemento, se tienela existencia de dos subconjuntos: El mismo A y el vacío.

75

U N I D A D I

Ejemplo I.1.7.3.Si el conjunto A tiene 2 elementos, digamos A = {a, b}, entonces P(A) estará formado

por cuatro elementos, P(A) = {A, {a}, {b}, �}.

Ejemplo I.1.7.4.Si el conjunto A tiene 3 elementos, digamos que A = {a, b, c}. Hemos visto anterior-

mente que existen 6 subconjuntos propios de A: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, y {b, c}. Además Aes subconjunto de sí mismo y está el vacío. Luego, en este caso se tiene que: P(A) = {A, {a},{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, �}.

Ejemplo I.1.7.5.Si A tiene cuatro elementos, entonces P(A) tendrá 16 elementos. Al considerar A =

{a, b, c, d}, P(A) = {A, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a,b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, �}.

El lector ya se habrá dado cuenta que con cinco elementos en A, el conjunto poten-cia tendrá 32 elementos en total y con 6 elementos tendrá 64 (¿Cuántos elementos habráen P(A) si A tiene 8 elementos?). De hecho el nombre de conjunto potencia está muyrelacionado con la situación de que el número de elementos que contiene (esto es, elnúmero de subconjuntos posibles de un determinado conjunto) no es más que una poten-cia de 2 del número de elementos que contiene el conjunto inicial. Así, si A tiene 2 ele-mentos distintos, P(A) tendrá 2 x 2 = 4 elementos. Si A tiene 3 elementos, P(A) tendrá 2 x2 x 2 = 8 elementos. Si a tiene 4 elementos, entonces P(A) tendrá 2 x 2 x 2 x 2 = 16elementos, etc.

Ejemplo I.1.7.6.Consideremos por ejemplo, el conjunto A = {a, {a, b}, {a, {a, b}}}. Tiene tres elementos,

por lo tanto, sólo se pueden forman 8 (ocho) subconjuntos a partir de él. Ellos son:

{a}, {{a, b}}, {{a, {a, b}}}, {a, {a, b}}, {a, {a, {a, b}}}, {{a, b}, {a, {a, b}}}, � y A

De esta forma, se tiene que el conjunto potencia de A, P(A), es el siguiente:

P(A) = {{a}, {{a, b}}, {{a, {a, b}}}, {a, {a, b}}, {a, {a, {a, b}}}, {{a, b}, {a, {a, b}}}, � , A}.

Observamos, que el elemento de P(A), {a, {a, b}} (el subconjunto de A, formado porlos elementos a y {a, b}), coincide con el tercer elemento definido para A ({a, {a, b}} comoelemento de A). Así si B ∈ P(A), es posible que B ∈ A (por la definición de conjuntopotencia, B ⊆ A).

ACTIVIDADES I.1.7.7.1. Sea A = {a, b, 1}. Encuentre el conjunto potencia de A.

Solución:

P(A) = {{a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}, �, A}

2. Sea A = {{�}, �}. Encuentre el conjunto potencia de A:

Solución:

P(A) = {{{�}}, {�}, A, �}

76


3. Sean A y B dos subconjuntos. Verifique si P(A) � P(B) ⊆ P( A � B).

Solución:

Sea x ∈ P(A) � P(B). Si x ∈ P(A) � P(B), entonces x ∈ P(A) y x ∈ P(B); es decir: x⊆ A y x ⊆ B. Es claro que x ⊆ A � B, de donde x ⊆ A � B. Así x ∈ P (A � B).

Ejercicios I.1.7.8.1. Encuentre el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5}2. Determine el tamaño del conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

3. Determine el conjunto potencia de A = {�, {�}, {a, �}, {�, {�}}}.

4. Sea A = {a, b}. Determine P(P(A)). Es decir, el conjunto potencia del conjunto potenciade A.

5. Verifique si P(A � B) ⊆ P(A) � P(B)

Resultados1. P(A) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5},

{4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5},{3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, �, A}

2. P(A) tiene 210 = 1024 elementos o subconjuntos posibles de A.

3. P(A) = {{�}, {{�}}, {{a, �}}, {{�, {�}}}, {�, {�}}, {�, {a, �}}, {�, {�, {�}}}, {{�}, {a, �}}, {{�},{�, {�}}}, {{a, �}, {�, {�}}}, {�, {�}, {a, �}}, {�, {�}, {�, {�}}}, {�, {a, �}, {�, {�}}}, {{�}, {a, �},{�, {�}}}, A, �}. El conjunto potencia tiene un total de 16 elementos.

4. P(A) = {{a}, {b}, A, �}. Luego P(P(A)) = P({{a}, {b}, A, �}) = {{{a}}, {{b}}, {A}, {�}, {{a}, {b}},{{a}, A}, {{a}, �}, {{b}, A}, {{b}, �}, {A, �}, {{a}, {b}, A}, {{a}, {b}, �}, {{a}, A, �}, {{b}, A, �},P(A), �}. Este conjunto potencia, también tiene un total de 16 elementos.

5. Sea x ∈ P (A � B). Si x ∈ P (A � B), entonces x ⊆ A � B, es decir, x ⊆ A y x ⊆ B, de donde,x ∈ P (A) y x ∈ P (B). Así, x ∈ P (A)�P (B). Luego P(A�B) ⊆ P(A) � P(B).

RESUMENEsta corta sección, define el concepto de conjunto potencia, asentando el importante

hecho de que si el conjunto original es finito, digamos que tiene n elementos, entonces elconjunto potencia tendrá 2n elementos o posibles subconjuntos de A.


1. El conjunto potencia de un conjunto A, siempre tendrá un número de elementospares.

2. Los elementos del conjunto potencia de A, P(A), son todos los subconjuntos propios deA.

3. P(A) es siempre un conjunto de conjuntos.

4. Si x ∉ A, entonces, necesariamente {x} no pertenece al conjunto potencia, P(A).

77

U N I D A D I

Glosar

5. El axioma de las potencias, permite construir un nuevo conjunto.6. Si a es un conjunto no vacío, entonces tiene sentido construir P(P(P(A))).

Respuestas1. Verdadero.2. Falso. El mismo conjunto A es un elemento de P(A).3. Verdadero.

4. Falso. Considere la situación A = {a, b} y x = {a, b}, claramente x ∉ A, pero x ∈ P(A).

5. Verdadero.6. Verdadero.

Glosario

Axioma: proposición que se acepta como verdadera.Axioma de Especificación: axioma que postula que un conjunto se encuentra definido

perfectamente con la especificación de sus elementos.Conjunto: colección de objetos perfectamente diferenciados y que conforman una totali-

dad.Conjunto Potencia: conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjun-

to dado.Conjunto Vacío: conjunto sin elementos.Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.Número de Elementos: número de objetos distintos que pertenecen a un conjunto.Subconjunto: conjunto donde todos sus elementos pertenecen a otro conjunto.

SímbolosP(A) : conjunto de las partes de A� : conjunto vacío.= : igualdad.⊆ : subconjunto.

∈ : pertenencia.

78


DiagI.1.8.Diagramas de Venn

Los diagramas de VENN, se utilizan para ilustrar conjuntos y sus elementos. Para rea-lizar esta ilustración, sencillamente se delimita un área plana con una curva cerrada simple,por ejemplo un círculo. Lo que queda encerrado por la curva se asume como la representa-ción del conjunto. Además se pueden dibujar los elementos del conjunto en su interior.

Ejemplo I.1.8.1.Suponga que A es el conjunto de cuatro elementos, definido por extensión por: A

= {1, 2, 3, 4}. Dibujar el diagrama de VENN que lo representa.

Utilizando los diagramas de VENN, también es posible visualizar de una manera sen-cilla la situación relativa de varios conjuntos, comprendiendo quién es subconjunto de quién,qué conjuntos son distintos, etc.

Ejemplo I.1.8.2.

Suponga que A, B y C son tres conjuntos tales que: A ⊆ B, pero A B (la inclusión espropia). A � C = � (los conjuntos A y C son mutuamente excluyentes). Por último, C no estácontenido en B, pero A � B �. Los diagramas de VENN que representan la situación deestos tres conjuntos se muestran a continuación:

Como es posible utilizar los diagramas de VENN para ilustrar también los elementos quepertenecen a cada conjunto, se pueden utilizar para deducir importantes relaciones de perte-nencia e inclusión, visualmente, sin tener que recurrir a realizar el tipo de análisis abstractohecho hasta ahora. Sin embargo, siempre se debe recordar que los diagramas de VENN sonsólo una aproximación intuitiva de la realidad.

12

3 4A

A

B

C

79

U N I D A D I

Ejemplo I.1.8.3.Suponga que A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5} y C = {4, 5, 6}. Ilustrar los conjuntos A, B y

C con un diagrama de VENN apropiado.

Ahora podemos utilizar este diagrama, para detectar visualmente que 6 ∈ Bc, o que {3} = B – (A � C), entre otras posibles relaciones.

Es posible utilizar en los diagramas de VENN, cualquier tipo de ayuda visual paraaclarar las situaciones que se pretenden señalar. Entre estas ayudas visuales, la más recurridaes achurar el área que representa nuestra zona de interés o discurso. Se observa que en losejemplos que siguen supondremos que los conjuntos de los que estamos hablando se en-cuentran contenidos en un pseudouniverso U.

Ejemplo I.1.8.4.

La intersección de los conjuntos A y B, A � B, tiene la siguiente representación endiagramas de VENN:

Ejemplo I.1.8.5.

En el siguiente diagrama de VENN, se ilustra la unión entre los conjuntos A y B, A � B:

Ejemplo I.1.8.6.A continuación presentamos el diagrama de VENN correspondiente a la diferencia A – B= A � Bc:

A

B

C12

3

45 6

BA 12345

1234512345123451234512345

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345

BA

U

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

BA

80


Ejemplo I.1.8.7.En el último ejemplo para ilustrar la confección de los diagramas de VENN, represen-

tamos el complemento del conjunto A, Ac:


1. Sean A = {a, b, c, d} y B = {c, d, e, f}. Utilice diagramas de VENN para ilustrar la situaciónde estos dos conjuntos.Solución:

2. Construya diagramas de VENN apropiados para cada una de las siguientes situacio-nes:

a. A ⊆ B

Solución:

b. A contiene a BSolución:

c. A = BSolución:

d. A y B son disjuntosSolución:

123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789

A

a c

b dAe

fB

AB

BA

A = B

AB

81

U N I D A D I

e. A y B tienen intersección no vacía.Solución:

3. Interprete el siguiente diagrama de VENN

Solución:Se aprecia claramente en el diagrama que:

a. B, C, D ⊆ A

b. C, D ⊆ B

c. C � D �

4. Suponga que A y B son mutuamente excluyentes. Dibuje el diagrama de VENN de launión de los dos conjuntos, A � B.

Solución:

5. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}, Realice un diagrama de VENN de lasituación de estos tres conjuntos. Utilice el diagrama para encontrar A � B � C, A � Bc y C - (A � B).

Solución:

De la observación del diagrama se puede observar que:

a. A � B � C = {4}

AB

AB

C

D

123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012A

123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678123456789012345678

B

1

2

34

C

6 8

5A

B

82


b. A � Bc = {1, 3}

c. C - (A � B) = {5}

6. Suponga que B ⊆ A. Realice el diagrama de VENN de la intersección de A y B, A � B.

Solución:

7. Para los conjuntos A y B, considerados dentro de un universo U, realice diagramas deVENN ilustrativos de las siguientes situaciones:a. Bc

b. (A � B)c

c. (B – A)c

d. Ac � Bc

Solucióna. Bc

b. (A � B)c

c. (B - C)

d. Ac � Bc

RESUMENEn esta sección se introduce la idea de utilizar los llamados diagramas de VENN para

representar conjuntos y ayudar a la interpretación intuitiva de diversas situaciones que pue-dan presentarse.

123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

BA

U

12345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

U

BA

12345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

BA

U

123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

BA

U

12345671234567123456712345671234567

AB

83

U N I D A D I

GlosarGlosario

Conjunto: colección de objetos perfectamente diferenciados que conforman una totali-dad.

Complemento: conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a un con-junto dado.

Diferencia: conjunto de todos los elementos que pertenecen a un conjunto pero no a otro.Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.Inclusión Propia: cuando un conjunto es subconjunto de otro, pero ambos conjun-

tos son distintos.Intersección: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo

a dos conjuntos.Mutuamente Excluyentes: dos conjuntos son mutuamente excluyentes si su intersección

es vacía.Relación de Pertenencia: relación que permite asegurar si un elemento pertenece o no a

un conjunto.Relación de Inclusión: relación que permite asegurar si un conjunto es subconjunto de

otro o no.Subconjunto: conjunto formado por todos los elementos de otro conjunto.Unión: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al menos a uno de dos

conjuntos dados.

Símbolos:


� : Unión.

: Distinto.

= : Igual.

⊆ : Subconjunto.

Ac : Complemento.- : Diferencia.


84

TEORIA DE CONJUNTOS Y LOGICA

Lenguaj

LógicaI.2. Lógica Simbólica

En este capítulo se presentan las nociones fundamentales de lógica simbólica (razona-mientos básicos y notaciones) que se requieren para formalizar con más propiedad cual-quier teoría matemática. Utilizaremos lo aprendido en este segmento para formalizar conmás detalle la teoría de conjuntos, que en el nivel visto hasta ahora sólo llega a la calidad deuna visión intuitiva de los conjuntos.

Los objetivos específicos que se deben alcanzar al finalizar el presente capítulo son:• Reconocer lo que es una proposición lógica, tanto atómica como molecular.• Conocer la notación utilizada en lógica simbólica para conectar distintas proposiciones.• Encontrar el valor de verdad de una proposición.• Utilizar las tablas de verdad como una ayuda efectiva para determinar el valor de

verdad de proposiciones compuestas (moleculares).• Negar proposiciones, incluso aquellas que contienen algún tipo de cuantificador.• Reconocer la diferencia entre una implicación lógica y una formal.• Reconocer y utilizar los distintos tipos de razonamientos (tanto directos como indirec-

tos) a deducciones de diverso grado de dificultad.• Reconocer y comprender distintos tipos de demostraciones basadas en razonamientos

lógicos deductivos.• Aplicar los conceptos aprendidos de la lógica simbólica para precisar el lenguaje for-

mal.Como apreciamos en el capítulo anterior, gran parte del trabajo requerido para apren-

der Matemáticas se basa en la capacidad de aprender ciertas reglas y símbolos que permitanprecisar y delimitar nuevas reglas y simbología asociada, casi como un juego de ingenio yentretención. Lo sorprendente, es que estas simples reglas y simbología nos entregan unaherramienta que permite construir toda la Teoría Matemática. En este capítulo aprenderemosestas reglas y simbología y observaremos algunas de sus diversas aplicaciones (tanto dentrode la Matemática, como en situaciones de la vida diaria y profesional).

Lenguaje Básico

La Matemática moderna se caracteriza por su enfoque abstracto y axiomático. Estosignifica que, prescindiendo de la naturaleza de los objetos que considera, se obtienen –mediante el razonamiento deductivo, sobre supuestos básicos (axiomas) y resultados ante-riores– propiedades de los sistemas matemáticos que sirven para diversos sistemas particula-res concretos.

85

U N I D A D I

Este enfoque formal se apoya en la lógica. Por lo tanto, es conveniente conocer algu-nos conceptos e ideas elementales de ésta, que ayuden a comprender y a manejar el razona-miento matemático y a precisar el uso de cierto vocabulario y simbolismo.

El vocabulario y simbolismo son un aspecto tan importante, y su necesidad está tan arrai-gada en nosotros, que muchas veces no reparamos en ellos con la debida atención. Por ejemplo,consideremos el siguiente problema: ¿Cuál es el número que añadido a 1/5 de él mismo suma21? Este problema era demasiado difícil para la mayor parte de los científicos del Egipto Antiguo.Según los papiros escritos por ellos, muchos lucharon con el problema durante años, hasta queuno logró el resultado correcto alrededor del año 1600 antes de Cristo. Sin embargo, nosotrossomos capaces de solucionar este problema con mínimos conocimientos de Álgebra (x +x/5 =21, luego x=17½). Lo que hacía el problema difícil para los egipcios era que carecían de nuestrossímbolos. Es decir, de cifras para los números y la letra x para la incógnita. Puesto que tenían queutilizar palabras para los números, sus operaciones en aritmética eran pesadas y lentas.

La sustitución de símbolos en lugar de palabras es uno de los grandes avances respon-sables del progreso del hombre en la ciencia. Con todo, en el proceso de la lógica, la herra-mienta básica con la que hemos de comprobar todas las ideas y resolver también la mayorparte de nuestros problemas cotidianos, aún estamos trabajando con la misma desventaja delos egipcios. Nos encontramos a merced de inexactitudes y ambigüedades en nuestras pala-bras.

Consideremos por ejemplo, este ejercicio de lógica, tomado de Lewis Carroll, mate-mático y autor de Las Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas:

• Ningún gato que gusta del pescado es indomesticable.• Ningún gato sin cola jugará con un gorila.• Gatos con bigote gustan siempre del pescado.• Ningún gato tiene cola a menos que tenga bigotes.• Ningún gato domesticable tiene ojos grises.

Una única deducción puede ser obtenida de esta colección de afirmaciones. Despuésde algunos ensayos, se puede encontrar la respuesta parafraseando y reordenando las afir-maciones:

• Los gatos con ojos grises no pueden ser domesticados.• Los gatos que no pueden ser domesticados no gustan del pescado.• Los gatos que no gustan del pescado no tienen bigotes.• Los gatos que no tienen bigotes no tienen cola.• Los gatos que no tienen cola no jugarán con un gorila.

La única deducción válida, por tanto, es que los gatos de ojos grises no jugarán conun gorila. Este ejemplo era sencillo, pero consideremos ahora algo más complicado (esteproblema ha sido propuesto por Walter Pitts, del Massachusetts Institute of Technology,MIT):

• Si un matemático no tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces o bien le gustaMozart por la mañana o whisky por la noche, pero no ambos.

• Si un hombre gusta del whisky por la mañana y tiene que esperar 20 minutos al auto-bús, o no le gusta Mozart por la mañana y tiene que esperar 20 minutos al autobús, obien no es un matemático.

86


• Si un hombre gusta de Mozart por la mañana y no tiene que esperar 20 minutos alautobús, entonces gusta del whisky por la noche.

• Si un matemático gusta de Mozart por la mañana, entonces o bien gusta del whisky porla noche, o no tiene que esperar 20 minutos al autobús; recíprocamente, si gusta delwhisky por la noche y tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces es un mate-mático, si gusta de Mozart por la mañana.

• ¿Cuándo tiene que esperar un matemático 20 minutos al autobús?Con las herramientas que disponemos hasta ahora, podríamos intentar encontrar la

respuesta de este problema. Sin embargo, sería una tarea muy ardua y todo porque no con-tamos con una simbología adecuada.

Si bien es cierto que estos rompecabezas mentales son muy particulares, artificiales ytriviales, son completamente típicos –en sus formas– de los problemas que surgen a diarioen la ingeniería moderna y en las operaciones de negocios. Muchos de los problemas sontan complicados en realidad, que no pueden resolverse mediante procesos convencionalesde lógica verbal. Los hechos necesarios pueden ser tan conocidos, pero sus interrelacionesresultan tan complejas que ningún experto las puede organizar lógicamente. En otras pala-bras, la enormidad de las máquinas modernas, de los negocios y del gobierno vienen crean-do más y más problemas de razonamiento demasiado intrincados para que el cerebro huma-no los pueda analizar solamente con palabras y formulaciones verbales.

Como resultado, se tiene que un buen número de corporaciones y de técnicos hantomado un interés cada vez mayor en la disciplina conocida como lógica simbólica. Esteinvento –creado por matemáticos– es simplemente un intento de utilizar símbolos para re-presentar ideas y de métodos para manejarlos (de la misma manera que se emplean sím-bolos para manejar otros problemas en Matemáticas, como es el caso de la ecuación x + x/5 = 21). Con esta simbología que ahora nos preocuparemos de aprender, es posible encon-trar la respuesta de cuándo tiene que esperar un matemático 20 minutos el autobús.

Repasemos un poco la historia del desarrollo de la lógica formal. Esta disciplina co-menzó con los silogismos de Aristóteles de Estagira (384-322 A.C.), de los que el más famo-so es el siguiente:

• Todos los hombres son mortales;• Todos los héroes son hombres;• Por tanto, todos los héroes son mortales.

El filósofo griego propuso 14 silogismos de este tipo, y creyó que constituían la mayorparte de las operaciones de razonamiento. Los teólogos medievales añadieron cincosilogismos a los 14 de Aristóteles constituyéndose de esta manera, durante cientos de años,estos 19 silogismos en el fundamento de la enseñanza de la lógica.

Sólo en el siglo XIX se comenzaron a aplicar con éxito símbolos y álgebra a la lógica,reemplazando los verbalismos de Aristóteles y sus seguidores. En 1847, un maestro de es-cuela inglés, el matemático Georg Boole (1815-1864), publicó “El análisis matemático de lalógica, un ensayo hacia un cálculo de razonamiento deductivo”. En él estableció un conjun-to de axiomas (veremos con precisión el significado de esta palabra) del que se puedendeducir afirmaciones más complicadas. Las proposiciones se presentaban en términosalgebraicos, con símbolos tales como x e y que representaban clases de objetos o ideas y sellegaba a las deducciones por medio de operaciones algebraicas bien establecidas. AsíBoole vino a ser el inventor de la lógica simbólica. Su trabajo fue proseguido por matemáti-

87

U N I D A D I

cos en diversos países, entre los que destacan Giuseppe Peano (1858-1932) y FriedrichGottlob Frege (1848-1925).

En 1913, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, utilizando el sistema de símbolosinventado por Peano, desarrollaron una lógica matemática formal, que presentaron en la clá-sica y celebrada obra “Principia Mathematica”. Entre los investigadores del siglo XX dedicadosal estudio de la lógica matemática o simbólica, merecen especial atención, también: AlonsoChurch, Alfred Tarski, Lukasiewicz, A. N. Kolmogorov y A. A. Markov, entre otros. En la actua-lidad miles de matemáticos en todo el mundo se preocupan tiempo completo del desarrollo deesta importante rama de la Matemática.

El objeto fundamental de la lógica como ciencia, estriba precisamente en el estudio delas leyes de las relaciones que existen entre las proposiciones (en el proceso que se siguepara obtener un conocimiento inferido). Es decir, el conocimiento obtenido de verdadespreestablecidas sin recurrir de manera directa a la experiencia o a la práctica, aplicandosolamente las leyes de la lógica a proposiciones verdaderas y demostradas. De esta mane-ra, su objetivo principal consiste en resolver paradojas lógicas y otros problemas funda-mentales del pensar y razonamiento matemático. Sin embargo, no se puede olvidar que estadisciplina tiene varias aplicaciones prácticas directas, como el caso del diseño lógico, quese preocupa de la distribución de los relés de contacto de las máquinas de calcular y compu-tadores.

La primera aplicación de la lógica simbólica a un problema de negocios fue hecha en1936 por el matemático Edmund C. Berkeley, quien trabajaba en la Prudential Life InsuranceCompany, y aplicó la lógica simbólica a un problema realmente difícil –en ese entonces–referido a la ordenación de los pagos de las pólizas por los asegurados. Cada año cientos demiles de personas piden cambios en las fechas de pago de sus pólizas, y existe una maraña defactores que deben tenerse en cuenta para hacer efectivos tales cambios. La compañía habíadiseñado dos conjuntos de reglas, que se pretendía cubrían todos los casos posibles. ¿Eran lasdos reglas equivalentes? Berkeley sospechaba que no. Por lo tanto, podrían existir casos en losque una regla podría exigir un método de ordenación, pero la aplicación de la otra regla,exigiría uno diferente.

Su problema consistía en demostrar que tales casos existían. Era desesperado intentaranalizar las posibilidades mediante la lógica verbal clásica. Una parte de las reglas, porejemplo, estipulaba que un asegurado iba haciendo el pago varias veces al año, coincidien-do uno de ellos con el aniversario de la póliza, y si pedía que su esquema fuese transformadoa un pago anual en el aniversario de la póliza, y si había pagado hasta una fecha que no erala del aniversario, y si hacía esta petición más de dos meses después de la referida fecha, ysi su petición llegaba dentro de los dos meses después de un aniversario de la póliza, enton-ces una cierta política debería ser la adecuada. Estos cinco o seis pueden ocurrir en treinta ydos combinaciones y existían muchos otros factores implicados.

Berkeley decidió reducir las muchas cláusulas, combinaciones y acciones a la taquigra-fía algebraica de la lógica simbólica. Por ejemplo, lo anterior, puede escribirse de la forma:“Si a y b y c y d y e, entonces G”, indicando que si las condiciones a, b, c, d y e existían,entonces es necesario aplicar G. Mediante un análisis algebraico, Berkeley pudo demostrarque existían cuatro tipos de casos en los que las dos reglas entraban en conflicto y un examende los archivos de la compañía reveló que tales casos existían en realidad. Como resultado deltrabajo de Berkeley, las dos reglas fueron combinadas en una más simple y consistente.

La lógica simbólica ha sido desde entonces usada en muchos otros problemas de segu-ros. Los matemáticos de compañías como Equitable, Metropolitan, Aetna, entre otras, la hanaplicado al análisis de cláusulas de guerra y de elegibilidad de empleo en contratos colectivos.

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Otras corporaciones también han hallado que esta disciplina es muy útil, por ejemplo, alanalizar contratos. Los contratos entre corporaciones grandes pueden llegar a cubrir muchaspáginas de imprenta llenas de estipulaciones, contingencias, y una maraña de “síes”, “íes” y“peros”. ¿Son las cláusulas tan simples como pudieran serlo? ¿Existen lagunas e inconsistencias?Un análisis simbólico puede responder fácilmente a tales preguntas.

Otro interesante uso de la técnica estriba en el control de exactitud de censos yestadísticas. Si un encuestador de la opinión pública informa que ha entrevistado a 100personas, de las que 70 eran hombres, 10 extranjeros y 5 mujeres de color, es bastantefácil ver que algo anda mal con las cifras. Pero en el caso de 1000 empleados de unafábrica importante, ha venido a dar 525 personas provenientes de la X Región, 312 varo-nes, 470 personas casadas, 42 varones de la X Región, 147 personas de la X Región casa-das, 25 varones de la X Región casados. ¿Son estos números consistentes? Sólo con lalógica simbólica estaríamos en condiciones de determinar la respuesta rápidamente.

En ingeniería, la lógica simbólica es particularmente útil para el análisis de los circui-tos eléctricos. Pueden ser asimilados a un contrato, tienen alternativas, contingencias y po-sibles lagunas, constituyendo la diferencia principal el que utiliza esquemas de interruptoresen lugar de palabras y cláusulas. De esta manera, actualmente el uso principal de la lógicasimbólica se encuentra en el diseño de los circuitos que constituyen los computadores.

Revisemos a grandes rasgos, los fundamentos de la lógica simbólica, antes de comen-zar a estudiar con detalle en qué consiste la notación y las reglas algebraicas utilizadas eneste campo del conocimiento.

En el proceso del razonamiento o del conocimiento inferido, la verdad sólo se obtienesi se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Las proposiciones iniciales –llamadas premisas o hipótesis– han de ser verdaderas.• En el proceso del raciocinio, estas premisas verdaderas han de relacionarse con suje-

ción a las leyes y reglas de la lógica.Así, todo razonamiento formal está cimentado sobre ciertos principios o axiomas lógi-

cos, considerados como verdaderas leyes del pensamiento. Estos principios son: el de iden-tidad, el de no contradicción, el de tercero excluido y el de la razón suficiente.

Los tres primeros fueron formulados por el filósofo griego Aristóteles (384-322 A.C.)y el último por el gran pensador alemán Leibnitz (1646-1716). Estos principios no rigenúnicamente para los pensamientos, sino que, siendo principios a priori, y mucho másamplios, valen para todo objeto (para todo ser), cualquiera sea la esfera a la que pertenece.Son principios universales.

Se les distingue, también, como fundamentales por el especial papel que desem-peñan en la lógica, sirviendo como fundamento de distintas operaciones lógicas, ra-zonamientos y demostraciones.

Las tres primeras (identidad, no contradicción, y tercero excluido) son netamenteformales; son concatenaciones o encadenamientos de pensamientos que llevan siempre ala formación de juicios verdaderos cualquiera que sea la substitución que se haga de lasvariables lógicas que contienen sus fórmulas. En cambio, el último, el de razón suficien-te, no es una Ley rigurosamente formal en el amplio sentido de este concepto, porque noes posible expresarla mediante una fórmula que contenga constantes y variables lógicas.

A continuación, explicamos brevemente cada uno de estos cuatro principios funda-mentales de la lógica formal o deductiva.

Principio de Identidad: establece que toda proposición es equivalente a sí misma. Esto se

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puede extender un poco más y postular que una proposición no cambia su valor deverdad si es reemplazada por una completamente idéntica.

Principio de No Contradicción: si hay dos pensamientos, de los que uno afirma y el otroniega la misma cosa, entonces no es posible que ambos sean verdaderos al mismotiempo.Por ejemplo, si consideramos: “hoy llueve en Puerto Montt” y “hoy no llueve en PuertoMontt”; es claro que si una de las proposiciones anteriores es verdadera, la otra nece-sariamente debe ser falsa. El Principio de No Contradicción no sólo es utilizado en lasdemostraciones de un teorema, sino también en las refutaciones de alguna afirmación.Así, para mostrar que una tesis es falsa, se demuestra la negación de ésta. Ambas nopueden ser verdaderas al mismo tiempo; luego como la segunda tesis ha sido demos-trada, la primera debe ser falsa. Este método de refutar una tesis, se conoce comodemostración por reducción al absurdo.

Principio del Tercero Excluido: cuando tenemos dos juicios contradictorios, que se nieganmutuamente, no se da una tercera posibilidad, es decir no existe un tercer modo de ser,porque uno de estos juicios debe ser necesariamente verdadero.

Principio de Razón Suficiente: sólo son verdaderas aquellas proposiciones que podemosprobar, basándonos en otros conocimientos reconocidos antes como verdaderos. Estosignifica que nunca podemos utilizar alguna conjetura para demostrar algo, sólo pro-posiciones previamente consideradas y demostradas como verdaderas pueden utilizar-se para mostrar la validez de alguna proposición.

Ejemplo I.2.1.1.Las proposiciones: “Hoy llueve en Puerto Montt y está despejado en Valparaíso” y

“Hoy está despejado en Valparaíso y llueve en Puerto Montt”, son evidentemente equivalen-tes; luego por el principio de identidad tienen el mismo valor de verdad.

Ejemplo I.2.1.2.Por el principio del tercero excluido, las proposiciones siguientes son todas verda-

deras:• Hoy llueve o no llueve en Puerto Montt.• Hoy está despejado o no en Valparaíso.• Me llamo Manuel o no me llamo Manuel.• Este es un libro, o bien no lo es.

• 2 + 2 = 4 o 2 + 2�� 4

Ejemplo I.2.1.3.Por el principio de no contradicción, todas las proposiciones siguientes son falsas:• Hoy llueve y no llueve en Puerto Montt.• Hoy está despejado y no está despejado en Valparaíso.• Carmen está aún de viaje y no está de viaje.

• 2 + 2 = 4 y 2 + 2 � 4.

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ACTIVIDADES I.2.1.4.1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a. 1 + 1 = 2 o bien 1 + 1�� 2.

b. 1 + 1 = 2 y al mismo tiempo 1 + 1 � 2.

c. No es cierto que Chile se encuentre al final del mundo o bien Chile se encuentra alfinal del mundo.

Solución:a. Verdadero. Principio de tercero excluido.b. Falso. Principio de no contradicción.c. Verdadero. Principio de tercero excluido.

2. Complete las deducciones de los siguientes silogismos:a. Un gato con botas habla.

Si un gato habla, entonces juega con gorilas.b. Si hace frío en Puerto Montt, entonces nieva en la cordillera.

Si nieva en la cordillera, entonces mañana lloverá en Puerto Montt.c. Si un gato habla, entonces tiene bigotes.

Si un gato tiene bigotes, entonces no habla.d. Si 2 +2 = 4, entonces 4 + 4 = 8.

Si 4 + 4 = 8, entonces 8 + 8 = 16.e. Por la pérdida de un clavo, se pierde una herradura.

Por la pérdida de una herradura, se pierde un caballo.Por la pérdida de un caballo, se pierde un caballero.Por la pérdida de un caballero, se pierde una batalla.Por la pérdida de una batalla, se pierde una guerra.Por la pérdida de una guerra, se pierde un reino.

Solución:a. Un gato con botas juega con gorilas.b. Si hace frío en Puerto Montt, entonces lloverá mañana.c. Si un gato habla, entonces no habla.d. Si 2 + 2 = 4, entonces 8 +8 = 16e. Por la pérdida de un clavo, se pierde un reino.

RESUMENEn esta sección se muestra la necesidad de utilizar la lógica simbólica como una

herramienta simplificadora de raciocinios complejos. Se introduce el concepto de deduc-ción lógica y los principios lógicos básicos, de identidad, no contradicción, tercero ex-cluido y de razón suficiente.

Las ideas expuestas son sólo de carácter introductorio y serán expuestas, desa-rrolladas y analizadas en detalle en las secciones siguientes.

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Glosar

AUTOEVALUACIÓNEstablezca la verdad o falsedad de las siguientes oraciones:

1. La lógica simbólica se basa fundamentalmente en la aplicación correcta de los silogismosde Aristóteles.

2. Una de las características de la lógica simbólica es que al utilizar símbolos permitesimplificar razonamientos cuya formulación verbal es compleja y engorrosa.

3. En un razonamiento, la verdad sólo se alcanza si las hipótesis son verdaderas y seaplican las leyes de la lógica.

4. Los principios o axiomas lógicos más importantes son: el de identidad, de no contra-dicción y de tercero excluido.

Respuestas1. Falso. Se basa en la aplicación de las leyes o principios lógicos.2. Verdadero.3. Verdadero.4. Falso. Falta el principio de razón suficiente.

Glosario

Álgebra: disciplina de la Matemática que se preocupa del estudio de cantidades conside-radas de la forma más general posible

Análisis Algebraico: estudio que se preocupa de las relaciones y propiedades existenteentre objetos.

Aritmética: disciplina de la Matemática que se preocupa del estudio de las propiedades yalgoritmos de cálculos de cantidades numéricas.

Axioma: proposición aceptada como verdadera sin ninguna duda.Conjetura: proposición que se cree verdadera, pero cuya verdad o falsedad no se ha

demostrado.Constante lógica: proposición que ha sido reemplazada por un símbolo adecuado, pero

del que se conoce su valor de verdad.Demostración por Reducción al Absurdo: cuando al asumir una proposición como verda-

dera se hace ver una contradicción.Diseño Lógico: rama de la microelectrónica que se preocupa del diseño de circuitos.Hipótesis: proposición aceptada como verdadera.Leyes de la Lógica: propiedades principales de los razonamientos lógicos.Lógica: disciplina que se preocupa del estudio de las leyes, modelos y formas de racioci-

nio.Lógica Simbólica: rama de la lógica preocupada de estudiar las propiedades de relacionar

proposiciones representadas por unos pocos símbolos con significado definido.

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Lógica Formal: rama de la lógica clásica preocupada del estudio de los razonamientos ysus concatenaciones.

Operaciones Algebraicas: operaciones realizadas con símbolos algebraicos y propie-dades algebraicas.

Operaciones Lógicas: operaciones realizadas sobre proposiciones con operadores lógicosy propiedades de la lógica.

Paradojas Lógicas: paradojas que tienen en común contradecir razonamientos lógicamen-te correctos.

Principio de Identidad: toda proposición es equivalente a sí misma.Principio de No Contradicción: una proposición no puede ser cierta y falsa a la

vez.Principio de Tercero Excluido: si se tienen dos proposiciones, una que niega y otra

que afirma algo, al menos una de ellas debe ser cierta, no hay una tercera posibili-dad.

Principio de Razón Suficiente: sólo son verdaderas las proposiciones que se demues-tran en función de conocimientos ya probados o deducciones lógicas correctas.

Proposiciones: afirmación de la que se puede decidir si es verdadera o falsa sin ningunaclase de ambigüedad.

Silogismos: tipo de razonamiento lógico muy utilizado en los primeros tiempos de estarama del conocimiento.

Razonamiento Deductivo: tipo de deducciones que permite deducir verdades especí-ficas a partir de verdades más generales, previamente establecidas.

Reglas Algebraicas: reglas para operar con objetos algebraicos.Término Algebraico: objeto del álgebra, es decir, alguna cantidad que ha sido reempla-

zada por algún símbolo que la representa.Teorema: proposición de mucha importancia.Tesis: proposición que se quiere demostrar en un teorema.Valor de Verdad: estado de verdadero o falso que tiene una proposición.Variable Lógica: proposición que ha sido reemplazada por un símbolo adecuado.

Símbolos= : Igualdad.

≠ : Desigualdad.

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U N I D A D I

ProposI.2.2. Proposiciones y Conectivos Lógicos

El concepto de proposición podría considerarse como primitivo, pero, para mayorclaridad, se puede precisar como definición (que depende de aceptar el significado de otraspalabras):

DefiniciónLlamaremos proposición a toda expresión (sentencia, enunciado, juicio, afirmación)

para la que tenga sentido asegurar, sin ambigüedad, que es “verdadera”, o bien que es“falsa”.

Por lo tanto, toda proposición es: o bien “verdadera”, o bien “falsa”, pero no ambascosas (esto constituye el llamado “Principio de No Contradicción”, mencionado en lasección anterior, fundamental para realizar demostraciones en Matemáticas). Verdadero yfalso los consideraremos conceptos primitivos; es decir, que serán aceptados como suficien-temente claros para nuestro objetivo, sin entrar en la problemática de tener que definirlos.

Siguiendo esta explicación, son ejemplos particulares de proposiciones, las expresio-nes siguientes:

• Un gato con bigote habla.• Si me esfuerzo y estudio, apruebo matemáticas.• El día está nublado.• Puerto Montt es la capital de la Región de Los Lagos.• 5 es un número entero.• 5 es un número mayor que 7.• ¾ es un número racional.• 1+1 = 2

En cambio, las frases:• ¿Hoy es martes?• x + x = 3x – 5• La verdad• x es un hombre

No son proposiciones, pues nadie puede asignarles un valor de verdad a ellas. Enparticular, si en “x es un hombre”, reemplazamos x por Juan, sólo entonces se transformaráen una proposición.

Se dice que el “valor de verdad” de una proposición es “verdadero” (y se simboliza porV), o bien “falso” (y se simboliza por F), según lo que corresponda en cada caso.

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Ejemplo I.2.2.1.Son proposiciones:

• 9 > 5 (valor de verdad V)• Un día tiene 30 horas (valor de verdad F).

• x ∈ � (valor de verdad F).

• x ∉ � (valor de verdad V).

• Hoy amaneció nublado (como siempre en Puerto Montt, el valor de verdad es V. Notarsin embargo, que este valor de verdad no es absoluto, depende del conocimiento par-ticular y lo que se entiende por hoy; en mi caso, significa 20 de julio de 1999. ¿cuál esel significado de “hoy” para el lector?).

• 9 es número real (valor de verdad V).Para designar proposiciones, como las anteriores, es usual emplear las letras p, q, r,...,

etc. Sabemos que, una proposición p, puede ser o verdadera (V), o bien falsa (F). A la condi-ción particular de una proposición, la llamamos el valor de verdad de la proposición p. Paradesignar este valor de verdad, de la proposición p, escribimos: v(p). Por supuesto, si la propo-sición es designada por q, su valor de verdad sería v(q).

Por lo general, el valor de verdad de una proposición simple, v(p), depende deldominio de conocimiento de una ciencia particular. Por ejemplo, al afirmar que “el aguase congela a cero grados de presión normal”, necesitamos basarnos en conocimientosadquiridos de las ciencias naturales. En cambio, al asegurar que “O´Higgins nació enChillán”, necesitamos utilizar nuestros conocimientos de Historia.

Mediante los llamados “conectivos lógicos”, semejantes a los conectivos gramatica-les, se pueden formar nuevas proposiciones, llamadas compuestas o moleculares.

Si p es una proposición, se puede formar la nueva proposición “p no es verdadera”, lacual se llama negación de p, y se simboliza ~p. Debe resultar claro que si v(p) = V, entoncesv(~p) = F. Recíprocamente, si v(p) = F, v(~p) = V.

Por ejemplo, si p corresponde a la proposición “París está en Francia”; entonces ~ppodría expresarse en la forma: “Es falso que París está en Francia”, o bien simplemente:“París no está en Francia”. En este caso v (“París está en Francia”) = V y, por lo tanto, v (“Parísno está en Francia”) = F.

Ejemplo I.2.2.2.Consideremos la proposición p = “dos más dos es igual a cinco” ( 2 + 2 = 5), cuyo

valor de verdad es determinado por nuestros conocimientos de aritmética como falso (v(p) =F).

En este caso, la negación de p (~p), puede expresarse de las siguientes formas verbales(todas verdaderas). Por lo tanto:

• ~p = “Es falso que 2 + 2 = 5”• ~p = “2 más 2 no es cinco”

• ~p = “2 + 2 � 5”.

También, podríamos intentar la negación de la negación de p (~(~p)), pero antes deexpresarla, debemos observar que esta doble negación, deberá tener el mismo valor deverdad que p (en efecto, como p es falsa, v(~p) = V, dado que el valor de verdad de unanegación siempre será el contrario a la proposición original; por la misma razón v(~(~p)) =F = v(p)). Las expresiones de ~ ~p, podrían rezar como sigue:

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U N I D A D I

• ~ ~p = “No es cierto que 2 más 2 no es 5”

• ~ ~p = “No ocurre que 2 + 2 � 5”.

Se observa, finalmente, que “No ocurre que 2 + 2 � 5” es lo mismo que decir que “2+ 2 = 5”, esto es la proposición p original. Más adelante, veremos que la doble negación deuna proposición es en realidad la misma proposición original (por eso tienen el mismo valorde verdad).

Si p y q son dos proposiciones, se pueden formar las siguientes nuevas proposiciones:

• p ∧ q, llamada conjunción, y que se lee “p y q”.

• p ∨ q, llamada disyunción, y que se lee “p ó q”

• p → q, llamada condicional, y que se lee “p implica q”

• p ↔ q, llamada bicondicional, y que se lee “p si y sólo si q”.

Aquí: ∧, ∨, → y ↔; son conectivos lógicos. Con varias proposiciones y conectivos,se forman nuevas proposiciones compuestas o moleculares. Las proposiciones compuestasse denotan por P, Q, R,..., etc. Los valores de verdad de las proposiciones compuestas,formadas a partir de los conectivos lógicos, específicamente quedan definidas de la si-guiente manera:

• p ∧ q es verdadera si tanto p como q (ambas) son verdaderas, y es falsa en los demáscasos. Se debe observar que ∧ equivale al conectivo gramatical “y”.

• p ∨ q es verdadera, si al menos una de las dos proposiciones es verdadera, y es falsacuando tanto p como q son falsas. El símbolo ∨ precisa el sentido del conectivo grama-tical “ó”. Este último puede ser (ambiguamente) a veces incluyente (p es verdadero y qes falso; o bien, p es falso y q verdadero; o bien, p y q son verdaderos) o bien excluyen-te (una de dos: o p es verdadero y q falso; o bien, p es falso y q verdadero); mientras queel conectivo lógico ∨ es siempre incluyente. En lugar de ∨, se usa a veces “y/o”, lo quepuede ser más cómodo para comprender el sentido del conectivo.

• p → q es siempre verdadera, salvo cuando p es verdadera y q falsa. Normalmente,cuando nos encontramos frente a un condicional, la proposición q recibe el nombre deantecedente, mientras que la proposición p, se conoce como consecuente. Esta propo-sición puede expresarse verbalmente de otras maneras: “Si vale p, también vale q”, “qes verdadera, si lo es p”, “p vale sólo cuando vale q”, “p es condición suficiente paraq”, “q es condición necesaria para p”.

• p ↔ q es equivalente a “p → q ∧ q → p”. Es verdadero cuando p y q son verdaderos,o bien cuando p y q son ambos falsos. En tal caso, se dice que p y q son equivalentes.La expresión p ↔ q, también se expresa verbalmente de las formas: “q es verdaderacuando, y sólo cuando, p es verdadera”, “q es condición necesaria y suficiente para p”,“vale q si y sólo si vale p”. Se acostumbra escribir “p ssi q”, en vez de p ↔ q (ssiproviene de abreviar “si y sólo si”).

Se observa que los conectivos ∧ (de conjunción), ∨ (de disyunción), → (condicio-nal) y ↔ (bicondicional), son conectivos binarios, que actúan sobre dos proposiciones almismo tiempo. En cambio ~ (el de negación) es un conectivo singular, que actúa sólosobre una proposición.

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Ejemplo I.2.2.3.Consideremos las proposiciones p = “París no está en Francia” y q = “2 + 2 = 4” (sus

respectivas negaciones serían ~p = “París está en Francia” y ~q = “2 + 2 � 4”, mientras quelos valores de verdad estarían dados por: v(p) = F, v(~p) = V, v(q) = V y v(~q) = F). Entonces,utilizando el conectivo lógico de conjunción v:, se tienen las posibles combinaciones:

• p ∧ q = “París no está en Francia y 2 + 2 = 4”, cuyo valor de verdad es v(p ∧ q) = F.

• p ∧ ~q = “París no está en Francia y 2 + 2 � 4”, con valor de verdad también falso.

• ~p ∧ q = “París está en Francia y 2 + 2 =4”, que tendría valor de verdad verdadero, puesambas proposiciones son verdaderas.

• ~p ∧ ~ q = “París está en Francia y 2 + 2 � 4”, con valor de verdad falso.

Al utilizar, para las mismas proposiciones, p y q, el conectivo lógico de disyunción∨, se tienen ahora las siguientes combinaciones posibles:

• p ∨ q = “París no está en Francia o 2 + 2 = 4”

• p ∨ ~q = “París no está en Francia o 2 + 2 es distinto de 4”

• ~p ∨ q = “París está en Francia o 2 + 2 son 4”

• ~p ∨ ~q = “París está en Francia o 2 + 2 � 4”

En estas cuatro últimas proposiciones, sólo la segunda proposición es falsa, pues lasdos proposiciones simples que la componen son falsas.

Para el caso del condicional, →, se tienen las siguientes combinaciones:

• p → q = “Si París no está en Francia, entonces 2 + 2 = 4”, con valor de verdad verdade-ro (pues el antecedente –p– es falso y el consecuente –q– es verdadero), siguiendo ladefinición del condicional (que es falso sólo cuando el antecedente es verdadero y elconsecuente falso).

• p → ~q = “Si París no está en Francia, entonces no ocurre que 2 más 2 sea cuatro”,luego el valor de verdad es verdadero.

• ~p → q = “Si París está en Francia, entonces 2 + 2 = 4”, v(~p → q) = V.

• ~p → ~q = “Si París está en Francia, entonces 2 + 2 � 4”, que sería el único casodonde el valor de verdad sería falso.Por último, mostramos lo que se tendría con el conectivo lógico bicondicional para

las mismas proposiciones:

• p ↔ q = “París no está en Francia si, y sólo si, 2 + 2 = 4”, en este caso el valor de verdadsería falso, pues una proposición compuesta por dos proposiciones atómicas conecta-das por un bicondicional es verdadera sólo cuando ambas proposiciones componenteslo son, o bien ambas son falsas.

• p ↔ ~q = “París no está en Francia ssi 2 +2 no es cuatro”, con valor de verdad verda-dero.

• ~p ↔ q = “París está en Francia implica que 2 +2 = 4; y recíprocamente, 2 + 2 = 4implica que París está en Francia”, con valor de verdad verdadero.

• ~p ↔ ~q = “París está en Francia si, y sólo si, 2 + 2 no suma 4”, con valor de verdadfalso.

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U N I D A D I

Dos proposiciones se dicen incompatibles si su conjunción es siempre falsa. Estoes, p y q son incompatibles, si p ∧ q es siempre falsa. Es conveniente notar que p ∧ -p, essiempre falsa; esto es llamado el Principio de No Contradicción (en otras palabras,este principio expresa que p y -p son proposiciones incompatibles).

Se tiene además, el Principio de Tercio Excluido, el cual expresa que p ∨ -p essiempre verdadera.

Ejemplo I.2.2.4.• Sea p = “París está en Francia” y q = “París está en Francia si, y sólo si 2 +2 no suma 4”.

Con estas definiciones de las proposiciones p y q, se tiene que p y q son incompatibles(en el caso de que p fuera verdadera, entonces q es falsa, y por lo tanto, p ∧ q es falsa;por otra parte si p fuese falsa entonces q sería verdadera, pero p ∧ q sería tambiénfalsa).

• Sea p = “París está en Francia”. Claramente “París está en Francia y París no está enFrancia” es una proposición compuesta de un enunciado incompatible.

• Considerando el mismo p = “París está en Francia”, entonces p ∨ ~p = “París está o noestá en Francia”, siempre será una afirmación verdadera (independiente de que Parísse encuentre realmente o no en Francia).

El valor de verdad de una proposición compuesta depende en algunos casos de laestructura lógica, y en otros del dominio de una ciencia en particular.

Ejemplo I.2.2.5.a. El día está nublado y el día no está nublado.

b. 7 � 4 o 7 = 4.

c. Una molécula de agua se compone de tres átomos de hidrógeno y uno de oxígeno.La proposición enunciada en a. corresponde a una en que su valor de verdad se deter-

mina en función de su estructura lógica, como de la misma forma ocurre en la proposiciónb. En cambio, para la proposición c, el valor de verdad se encuentra dado por el conoci-miento de una ciencia en particular, la química.

Ejemplo I.2.2.6.Consideremos las proposiciones p = “hace frío”, y q = “está lloviendo”. Entonces, los

símbolos siguientes, correspondientes a proposiciones compuestas, tienen el significadoverbal mostrado:

• ~p = “no hace frío”,

• p ∧ q = “hace frío y está lloviendo”,

• p ∨ q = “hace frío o está lloviendo”,

• q ↔ p = “está lloviendo si y sólo si hace frío”,

• p → ~q = “si hace frío, entonces no está lloviendo”,

• q ∨ ~p = “está lloviendo o no hace frío”,

• ~p ∧ ~q = “no hace frío y no está lloviendo”,

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• p ↔ ~q = “hace frío si y sólo si no está lloviendo”,

• ~~q = “no es cierto que no está lloviendo”,

• (p ∧ ~q) → p = “si hace frío y no está lloviendo, entonces hace frío”.

Ejemplo I.2.2.7.Iremos a la universidad a pasear o a estudiar.Si yo me esfuerzo, entonces apruebo el curso de Matemáticas.

ACTIVIDADES I.2.2.8.1. Determine cuáles de las siguientes frases son efectivamente proposiciones:

a. “Un”b. “Un joven”c. “Escribió”d. “Un joven escribió”e. “Un joven matemático de 30 años”f. “Un joven matemático de 30 años escribió un curso de Matemáticas”g. “Un joven matemático de 30 años de edad, proveniente del centro de Chile, escribió un

curso de matemáticas en maratónicas jornadas de trabajo, en una ciudad con un clima muyfrío y de grandes precipitaciones, llamada Puerto Montt.

Solución:a. “Un” no es una proposición, pues no se puede determinar su valor de verdad.b. “Un joven” tampoco es una proposición.c. “Escribió” es una proposición, en realidad es la expresión resumida de una pro-posición del tipo: “Un joven escribió”, para la que se puede determinar su valor deverdad.d. Por la explicación anterior, es una proposición.e. Aquí, no hay nada de lo que se pueda decir que es verdadero o falso, luego, no esuna proposición.f. Este enunciado corresponde a una proposición. Su valor de verdad es verdadero,pues el autor de este libro sería el joven matemático.g. También es una proposición, por la explicación anterior. Note que una proposiciónpuede ser de muy corta o gran extensión, en esencia su longitud no interesa, más quepara efectos de lograr más claridad.

2. Considere las proposiciones siguientes: p = “Juanito el Travieso escribe cartas”, q = “Juanitoel Travieso lee versos” y r = “Juanito el Travieso estudia Matemáticas”. Escriba en palabraslas siguientes proposiciones compuestas:

a. ~ (p ∧ q)

b. p ∧ r

c. ~p ∨ ~~r

d. ~ ~ (~p ∨ r)

e. (~p v q) → ~r

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U N I D A D I

f. (p ∨ r) ∧ (~p ∨ q)

g. (p ∧ q) ∧ ~r

h. (p ∧ q) ∨ r

i. p ↔ (q ∧ r)

j. ~p → (q ↔ r)

k. (p ∨ ~p) ∧ (q ∨ ~q) → r

l. ~ (p → (q ↔ ~r))

Solución:a. Juanito el Travieso no escribe cartas, pero lee versos.b. Juanito el Travieso escribe cartas y lee versos.c. No es cierto que Juanito el Travieso escribe cartas, o bien no es cierto que Juanito elTravieso no lea versos.d. No es cierto que no ocurra que Juanito el Travieso no escriba cartas o bien leaversos.e. Si Juanito el Travieso no escribe cartas o lee versos, entonces no estudia Matemáticas.f. Juanito el Travieso escribe cartas o estudia matemáticas, y, Juanito el Travieso noescribe cartas o lee versos.g. Juanito el Travieso escribe cartas y lee versos, y no estudia Matemáticas.h. Juanito el Travieso escribe cartas y lee versos, o bien estudia Matemáticas.i. Juanito el Travieso escribe cartas, si y sólo si lee versos y estudia Matemáticas.j. Si Juanito el Travieso no escribe cartas, entonces lee versos ssi estudia Mate-máticas.k. Si Juanito el Travieso escribe o no cartas, y lee o no versos, entonces estudia Matemá-ticas.l. No es cierto que, si Juanito el Travieso escribe cartas, entonces lee versos ssi noestudia Matemáticas.

3. Considere las proposiciones simples p = “Él es rico”, y q = “Él es feliz”. Escriba de formasimbólica las siguientes proposiciones compuestas:a. Él no es rico ni feliz.b. Ser pobre es ser infeliz.c. Uno nunca es feliz si es rico.d. Él es pobre pero feliz.e. Él no puede ser rico y feliz.f. Si él es infeliz es pobre.g. Si él no es pobre y feliz, entonces es rico.h. Ser rico es lo mismo que ser feliz.i. Él es pobre o bien es rico e infeliz.j. Si él no es pobre, entonces es feliz.k. Si él es pobre, él es feliz.l. Ser pobre implica ser feliz.

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m. Ser rico es suficiente para ser feliz.n. Ser rico es necesario para ser feliz.o. Él es pobre sólo si es infeliz.

Solución:

a. ~p ∧ ~q

b. ~p ↔ ~q

c. p → ~q

d. ~p ∧ q

e. ~(p ∧ q)

f. ~q → ~p

g. ~ (~p ∧ q) → p

h. p ↔ q

i. ~p ∨ (p ∧ ~q)

j. ~ ~p → q

k. ~p → q

l. ~p → q

m. p → q

n. q → p

o. ~p ↔ ~q

4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a. Si 5 < 3, entonces –3 < -5.b. Si 3 < 5, entonces –3 < -5.c. No es verdad que 2 + 2 = 4 ó 3 + 5 = 6.d. El agua se congela a cero grado a la presión normal.e. Una molécula de agua se compone de dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno.f. El oro es más duro que el hierro o el oro no es más duro que el hierro.g. El oro es más duro que el hierro y el oro no es más duro que el hierro.h. La Gracilaria es un alga muy común en Chile.i. Puerto Montt es la capital de la X Región o no se encuentra al sur de Santiago.j. Si los gatos con botas hablan inglés, entonces los gatos con bigote hablan francés.

Solución:

a. v(F → F ) = V

b. v(V → F) = F

c. v(~ (V ∨ F)) = v (~ V) = v (F) = F

d. Verdaderoe. Verdadero

f. Verdadero, por el principio del tercero excluido v (p ∨ ~p) = V.

g. Falso, por el principio de no contradicción v(p ∧ ~p) = F.

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U N I D A D I

h. Verdadero (la gracilaria es el nombre científico del “pelillo”).i. Verdadero, v(V v F) = v(V) = V.

j. v(F → F) = V.

5. Escriba con símbolos apropiados el problema de Carroll:“Ningún gato que gusta del pescado es indomesticable.Ningún gato sin cola jugará con un gorila.Gatos con bigote gustan siempre del pescado.Ningún gato tiene cola a menos que tenga bigotes.Ningún gato domesticable tiene ojos grises.”

Solución:Sean las proposiciones:P1 = “Al gato le gusta el pescado”Q1 = “El gato es domesticable”P2 = “El gato tiene cola”Q2 = “El gato jugará con un gorila”P3 = “El gato tiene bigotes”Q3 = P1P4 = P2Q4 = P3P5 = P1Q5 = “El gato tiene ojos grises”.

Con estas definiciones, el problema de Carroll se puede escribir de la forma:

~ ( P1 → Q1)

~ (~P2 → Q2)

P3 → P1

~ (P2 → P3)

(Q2 → ~ Q5)

Ejercicios I.2.2.9.1. Sea p la proposición “Pepito el Malandrín habla en Mapudungo”, q = “Pepito el Malan-

drín habla en Croata” y r = “Pepito el Malandrín escribe en Cirílico”. Describa por mediode frases sencillas las proposiciones siguientes:

a. p ∧ q,

b. p ∨ r,

c. ~r

d. p ∧ (~r ∨ ~q)

e. ~(~p ∧ ~~r)

f. p ∧ ~r

g. (p ∧ r) ∨ q

h. (~p ∨ ~q) ∧ r

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i. ~((p ∨ ~q) ∧ ~ r)

j. p ↔ ~q

k. (p ∨ ~ p)→ (q ∧ r)

l. ~((p ∧ ~p) → r)

m. p ∨ (p→q)

n. r ← q

o. p ↔ (~q ∧ ~r)

2. Defina símbolos apropiados y reescriba las proposiciones siguientes en términos de di-chos símbolos:a. Juanito el Travieso escribe cartas o lee versos, pero no estudia Matemáticas.b. Juanito el Travieso escribe cartas y lee versos, o no escribe cartas y estudia Matemá-

ticas.c. No es cierto que Juanito el Travieso estudia matemáticas o lee versos, pero no escribe

cartas.d. Si Juanito el Travieso lee versos y no estudia Matemáticas, entonces escribe cartas.e. Si Juanito el Travieso lee versos y no estudia Matemáticas, entonces escribe cartas o no

estudia Matemáticas.

3. Decida cuáles de las siguientes frases son efectivamente proposiciones:a. Las rosas son rojas y las violetas son azules.b. ¿Dónde vas?c. Juan está enfermo o viejo.d. El sol brilla en otoño.e. He estado en todas partes y en ninguna como una nota musical.f. 4 + 5 = 10g. En Brasil, la palta se come como postre.h. Una pizza.i. Todas las pizzas del mundo.j. Me gustan todas las pizzas del mundo.k. Pinky y Cerebro.l. Pinky y Cerebro acabarán finalmente por conquistar el mundo.

4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a. Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 =8b. No es verdad que 2 + 2 = 5 si y sólo si 4 + 4 = 10.c. París está en Inglaterra o Londres está en Francia.d. Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.e. Talca, París y Londres son tres capitales de Europa.f. No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 +1 = 3.g. No es verdad que si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 5 ó 1 +1 = 2.

103

U N I D A D I

h. Si 2 + 2 = 4, entonces no es verdad que 2 +1 = 3 y 5 + 5 = 10.i. No es verdad que 2 + 7 = 9 si y sólo si 2 + 1 =5 implica que 5 + 5 = 8.j. Si 2 + 2 no es 4, entonces no es verdad que 3 + 3 sea 7 ssi 1 +1 = 3.

k. Es verdad que 2 + 2 � 4 y 3 + 3 =6.

l. Pablo Neruda y Bernardo O´Higgins nacieron en Chillán.m. Puerto Montt está al sur de Santiago ssi Santiago está al norte de Puerto Montt.n. El ozono lo forman 3 átomos de oxígeno o el oro está formado por 2 átomos de

hidrógeno.o. Un cuadrado es un rombo y un rectángulo.

5. Sean las proposiciones p = “Él es exitoso” y q = “Él es trabajador”. Escriba las siguientesproposiciones compuestas de forma simbólica:a. Él es exitoso y trabajador.b. Él es exitoso, pero no es trabajador.c. És falso que él sea fracasado o trabajador.d. Él no es exitoso ni trabajador.e. Él es exitoso, o bien fracasado y trabajador.f. No es verdad que él es fracasado o flojo.

6. Escriba con símbolos apropiados el problema de Pitts:“Si un matemático no tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces o bien le gustaMozart por la mañana o whisky por la noche, pero no ambos.Si un hombre gusta del whisky por la mañana y tiene que esperar 20 minutos al auto-bús, o no le gusta Mozart por la mañana y tiene que esperar 20 minutos al autobús, obien no es un matemático.Si un hombre gusta de Mozart por la mañana y no tiene que esperar 20 minutos alautobús, entonces gusta del whisky por la noche.Si un matemático gusta de Mozart por la mañana, entonces o bien gusta del whisky porla noche, o bien no tiene que esperar 20 minutos al autobús; recíprocamente, si gustadel whisky por la noche y tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces es unmatemático, si gusta de Mozart por la mañana.”

Respuestas1. a. Pepito el Malandrín habla en Mapudungo y en Croata.

b. Pepito el Malandrín habla en Mapudungo o escribe Cirílico.c. Pepito el Malandrín no escribe en Cirílico.d. Pepito el Malandrín habla en Mapudungo y, no escribe en Cirílico o no habla en

Croata.e. No es cierto que Pepito el Malandrín, no habla en Mapudungo y tampoco no es cierto

que no escribe Cirílico.f. Pepito el Malandrín habla Mapudungo y no escribe Cirílico.g. Pepito el Malandrín habla Mapudungo y escribe Cirílico, o habla Croata.h. Pepito el Malandrín no habla Mapudungo o no habla Croata, pero escribe Cirílico.i. No es cierto que Pepito el Malandrín habla Mapudungo o no habla Croata, y no escribe

Cirílico.j. Pepito el Malandrín habla Mapudungo si y sólo si no habla Croata.

104


k. Si Pepito el Malandrín habla Mapudungo o no habla Mapudungo, entonces habla Croatay Cirílico.

l. No es cierto que, si Pepito el Malandrín habla Mapudungo y no habla Mapudungo,entonces escribe Cirílico.

m. Pepito el Malandrín habla Mapudungo, o si habla Mapudungo, entonces habla Croata.n. Para que Pepito el Malandrín hable Cirílico, tiene que hablar Croata.o. Pepito el Malandrín habla Mapudungo, si y sólo si no habla Croata y no escribe Cirílico.

2. Sea p = “Juanito el Travieso escribe cartas”, q = “Juanito el Travieso lee versos” y r =“Juanito el Travieso estudia Matemáticas”. Se tiene entonces:

a . (p ∨ q) ∧ ~r

k. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

l. ~ (r ∨ q) ∧ p

m. (q ∧ ~ r) → p

n. (q ∧ ~ r) → (p ∨ ~ r)

3. a. Es proposición.b. No es proposición.c. Sí es proposición.d. Es proposición.e. Es proposiciónf. Es proposición.g. Es proposición.h. No es proposición.i. No es proposición.j. Es proposición.k. No es proposiciónl. Sí es proposición.

4. a. F → V. Verdadero.

b. F ↔ F. Verdadero.

c. F ∨ F. Falso.

d. ~( F ↔ F). Falso.

e. F ∧ V ∧ V. Falso.

f. ~ ( F ∨ F). Verdadero.

g. ~(V → V). Falso.

h. V → ~ (F ∧ V). Verdadero.

i. ~ (V ↔ (F → F)). Falso.

j. F → V. Verdadero

k. F ∧ V. Verdadero.

105

U N I D A D I

l. F ∧ V. Falso. Neruda nació en Parral.

m. V ↔ V. Verdadero.

n. V ∨ F. Verdadero.

o. V ∧ V. Verdadero.

5. a. p ∧ q

b. p ∧ ~ q

c. ~ ( ~ p ∨ q)

d. ~ p ∧ ~ q

e. p ∨ ( ~ p ∧ q)

f. ~ (~ p ∨ ~ q)

6. Sean las proposiciones: p = “El hombre es un matemático”, q = “El hombre tiene queesperar 20 minutos al autobús”, r = “Le gusta Mozart por la mañana”, s = “Le gusta whiskypor la noche” y t = “Le gusta whisky por la mañana”. Entonces el problema de Pitts seescribiría:

“Si un matemático no tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces o bien le gustaMozart por la mañana o whisky por la noche, pero no ambos”.

(p ∧ ~q) → ((r ∧ ~ s) ∨ (~ r ∧ s))

“Si un hombre gusta del whisky por la mañana y tiene que esperar 20 minutos alautobús, o no le gusta Mozart por la mañana y tiene que esperar 20 minutos al auto-bús, o bien no es un matemático”.

(t ∧ q) → ((~ r ∧ q) ∨ ~ p)

“Si un hombre gusta de Mozart por la mañana y no tiene que esperar 20 minutos alautobús, entonces gusta del whisky por la noche”.

(r ∧ ~q) → s

“Si un matemático gusta de Mozart por la mañana, entonces o bien gusta del whiskypor la noche, o bien no tiene que esperar 20 minutos al autobús; recíprocamente, sigusta del whisky por la noche y tiene que esperar 20 minutos al autobús, entonces esun matemático, si gusta de Mozart por la mañana”.

(p ∧ r) → (s ∨ ~ q)

(s ∧ q) → (r → p)RESUMEN

En esta sección se define formalmente el concepto de proposición que usaremos en eltranscurso del presente curso. Además se muestra la forma de construir proposiciones com-puestas a partir de proposiciones simples y del uso adecuado de conectivos lógicos. Setermina la sección, evaluando los valores de verdad de proposiciones compuestas y ejerci-tando la formulación simbólica de proposiciones para simplificar enunciados verbales com-puestos.

106



1. Una proposición es cualquier frase que, al fijar sus parámetros, se puede determinar sies verdadera o falsa.

2. El valor de verdad de una proposición se simboliza por medio de una letra minúscula:p, q, r, s, t, ....

3. Los conectivos lógicos sirven para construir proposiciones moleculares a partir de pro-posiciones simples.

4. El valor de verdad de una proposición molecular se determina en función de los cono-cimientos de una ciencia particular y la estructura lógica de su construcción.

5. La negación de una proposición verdadera es falsa.6. La doble negación de una proposición verdadera es doblemente falsa.

7. Basta que una proposición sea falsa, para que la disyunción (∨) sea falsa.

8. Basta que una proposición sea falsa, para que la conjunción (∧) sea falsa.

Indique cuál es el símbolo más apropiado para representar lo siguiente: 9. p ó q10. p y q11. p ó q, pero no ambos12. Al menos p, o al menos q13. p se cumple sólo si se cumple q14. p se cumple ssi se cumple q15. p no se cumple si se cumple q16. Si se cumple p, entonces también se cumple q17. No se cumple p18. No se cumple ni p, ni q19. No se cumple la negación de p20. No se cumple que p implica a q

Respuestas 1. Falso. Una proposición es cualquier frase para la que se pueda determinar sin ambi-

güedad si es verdadera y falsa. Cuando se requieren fijar parámetros, se habla de fun-ciones proposicionales.

2. Falso. El valor de verdad se simboliza por una letra v minúscula evaluada en laproposición, por ejemplo: v(p) es el valor de verdad de la proposición p.

3. Verdadero. 4. Verdadero. 5. Verdadero. 6. Falso. Es verdadera. 7. Falso. Ambas tienen que ser falsas. 8. Verdadero.

9. p ∨ q

107

U N I D A D I

Glosar

10. p ∧ q

11. (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)

12. p ∨ q

13. p → q

14. p ↔ q

15. q → ~ p

16. p → q

17. ~ p18. ~ p v ~ q19. ~ ~ p

20. ~ (p → q)

Glosario

Bicondicional: conectivo lógico.Concepto Primitivo: concepto que se asume sin discutir su definición como entendible

por cualquier ser humano.Conjunción: conectivo lógico.Condicional: conectivo lógico.Conectivo Binario: conectivo lógico que une dos proposiciones.Conectivo Singular: conectivo lógico que actúa sólo sobre una proposición.Conectivos Lógicos: operadores que permiten conjugar varias proposiciones sim-

ples en proposiciones más complejas.Doble Negación: aplicación sucesiva de dos negaciones a una proposición, el resulta-

do es la proposición original.Disyunción: conectivo lógico.Definición: criterio que especifica sin ambigüedad algún objeto.Demostración: procedimiento de razonamiento lógico que permite mostrar la verdad

de una proposición.Negación: conectivo lógico.Número Entero: los números naturales, con el cero y los números negativos.Número Racional: todos aquellos números que se pueden representar como fracción de

dos números enteros.Número Real: los números racionales, más aquellos irracionales.Proposición: enunciado del que se puede determinar sin ambigüedad su verdad o

falsedad.Principio de No Contradicción: principio lógico que postula que una proposición o bien

es verdadera, o bien falsa, pero no ambas cosas.Proposición Simple: proposición que engloba sólo una afirmación.

108


Proposición Compuesta: varias proposiciones encadenadas por conectivos lógicos.Proposición Atómica: proposición simple.Proposición Molecular: proposición compuesta.Proposiciones Incompatibles: proposiciones que se niegan mutuamente.Principio de Tercero Excluido: principio que establece que una proposición es verdade-

ra o falsa, pero no existe una tercera posibilidad.Ssi: si y sólo si.Valor de Verdad: estado de una proposición, puede ser verdadero o falso.

Símbolos~ : negación

→ : implica, condicional

↔ : doble condicional

∧ : y

∨ : o

= : igual

≠ : desigual

� : conjunto vacío

∈ : pertenece

∉ : no pertenece

v : valor de verdadV : VerdaderoF : Falso< : menor que

109

U N I D A D I

TablasI.2.3 Tablas de Verdad

Como se ha visto en la sección anterior, haciendo uso repetido de los conectoreslógicos (~ negación, ∧∧∧∧∧ conjunción, ∨∨∨∨∨ disyunción, →→→→→ condicional y ↔↔↔↔↔ bicondicional), sepueden construir proposiciones compuestas o moleculares (P, Q, R, ...) a partir de propo-siciones simples o atómicas (p, q, r,...). El valor de verdad de las proposiciones compues-tas depende exclusivamente del valor de verdad de cada una de las proposiciones simplesque la componen. De esta manera, si se desea conocer el valor de verdad de una propo-sición compuesta para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad queasuman sus proposiciones componentes, debemos estudiar cada uno de los casos porseparado.

Para averiguar, de manera simple y directa, el valor de verdad de una proposicióncompuesta, se usan las llamadas tablas de verdad, una ordenación de las evaluacionesreiteradas de los valores de verdad de las proposiciones simples combinados con losconectivos lógicos pertinentes. Utilizando una adecuada metodología se simplifica yfacilita notablemente el trabajo de conocer el valor de verdad de la proposición com-puesta.

El valor de verdad, v(p), de una proposición p, o de varias proposiciones (en estecaso p y q), y el valor de verdad de las proposiciones compuestas, construidas medianteconectivos lógicos, se resume en la siguiente tabla:

Tabla Resumen

p q ~ p p ∧∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨∨ q p →→→→→ q p ↔↔↔↔↔ q

V V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V

Aquí se muestran todas las combinaciones posibles para los distintos valores deverdad que pueden asumir las dos proposiciones p y q; y los valores de verdad queasumen en cada caso, las cinco operaciones lógicas básicas: ~ negación, ∧∧∧∧∧ conjunción,∨∨∨∨∨ disyunción, →→→→→ condicional y ↔↔↔↔↔ bicondicional.

A continuación analizaremos con detalle el significado de cada uno de los componen-tes de la tabla resumen presentada y la manera en que puede utilizarse para la evaluaciónde proposiciones compuestas.

Las dos primeras columnas muestran todas las combinaciones posibles de encontrardos proposiciones. Como cada una puede asumir sólo dos valores de verdad (verdaderoo falso), se tiene un total de cuatro combinaciones (2 · 2 = 22 = 4).

110


p qV VV FF VF F

Al considerar 3 proposiciones (por ejemplo: p, q, r), nos encontramos con un total de 8combinaciones posibles (2 x 2 x 2 = 23 = 8). En general, si se consideran n proposiciones,entonces se formarían 2n posibles combinaciones. De esta forma, con 4 proposiciones, se tienenun total de 16 combinaciones posibles y con 5 proposiciones, un total de 32. A continuaciónmostramos las 8 posibles combinaciones de formar con tres proposiciones:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Debemos notar que la construcción adecuada de una tabla de verdad siempre debe seguir unestricto orden de configuración para permitir simplificar y en cierta medida automatizar elproceso de su construcción. En este sentido, para facilitar la construcción de las posibilidadesde combinación de los valores de verdad de las proposiciones consideradas, se recomiendaque en la primera proposición (primera columna) tome en cuenta que la primera mitad de lascombinaciones posibles (filas) son verdaderas y la otra mitad falsas. Por ejemplo, para el casode tres proposiciones, sabemos que tenemos 8 combinaciones posibles, por lo tanto, la mitadde combinaciones corresponde a 4 (cuatro); así, comenzamos llenando las primeras cuatrofilas de la tabla con verdaderos (V) para la primera proposición (primera columna) y prosegui-mos completando el resto de filas con falso (F). Tal como se muestra en la siguiente secuencia:

p q r p q rV VV VV VV ... V

FFFF

121

111

U N I D A D I

A continuación debemos seguir con la segunda proposición (segunda columna). En estecaso, nos encontramos con que la tabla posee dos grupos de filas (uno con verdaderos y otroscon valores de verdad falsos). En cada uno de esos sectores llenamos la primera mitad converdaderos y la segunda con falsos.A continuación se muestra el proceso:

p q r p q rV V V VV V V VV V FV ... V FF V F VF V F VF F FF F F

Se sigue de esta manera hasta completar la última columna, donde se alternaran losverdaderos (V) y los falsos (F) con el paso de cada fila. Al seguir esta simple estrategia decombinaciones, nos aseguramos con encontrar todas las alternativas posibles, sin tener quepensar en cuáles son, ni tener que verificar si una combinación propuesta se encuentrarepetida.

La tercera columna de la tabla resumen nos muestra el resultado de la operaciónlógica de negar una proposición. Se debe colocar el valor de verdad contrario al que setiene de la proposición que estamos negando. En lenguaje común, ~p es verdadera (V)cuando p es falsa (F), y falsa (F) cuando p es verdadera (V), lo que conduce a la siguientetabla de verdad para la negación de una proposición:

p ~ pV FF V

En la cuarta columna de la tabla resumen, nos encontramos con la conjunción (∧). Laconjunción de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando lo son ambas proposicio-nes (p y q), siendo falsa (F) en los demás casos; lo que conduce a la tabla de verdad para laconjunción:

p q p ∧∧∧∧∧ q

V V VV F FF V FF F F

La disyunción de dos proposiciones se expresa en la quinta columna de la tablaresumen. En este caso se tiene que el valor de verdad de p ∨ q es verdadero (V) cuando loes p, o q, o ambas, y falso (F) en los demás casos. De forma equivalente, podemos expresarque es falsa (F), sólo cuando p y q son falsas y verdadero (V) en los demás casos; lo queconduce a la siguiente tabla de verdad para la disyunción:

112


p q p ∨∨∨∨∨ q

V V VV F VF V VF F F

En la sexta columna de la tabla resumen, se muestra el condicional (p → q). Este esverdadero (V) si p y q, lo son, o si p es falso, siendo falsa (F) en los demás casos. De maneraequivalente, podemos expresar que es falsa (F) sólo si p es verdadero y q falso, siendo verda-dero (V) en todos los demás casos, lo que conduce a la siguiente tabla de verdad para elcondicional:

p q p →→→→→ q

V V VV F FF V VF F V

En la última columna de la tabla resumen nos encontramos con el bicondicional (p ↔q). Éste es verdadero (V) cuando a la vez p y q son verdaderos, o al mismo tiempo las dos sonfalsas, siendo el valor de verdad del condicional falso (F) en los demás casos; lo que conducea la siguiente tabla de valores de verdad para el bicondicional:

p q p ↔↔↔↔↔ q

V V VV F FF V FF F V

Una vez revisada cada una de las columnas de la tabla resumen, estudiaremos la manerade construir tablas de verdad para proposiciones compuestas. Supongamos, para fijar ideas,que estamos interesados en conocer el valor de verdad de la proposición P(p, q) = ~ (p v ~ q),para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad de p y q.

Para construir la tabla de verdad de la proposición P, partimos observando que alcomponerse de dos proposiciones simples, esta tabla debe poseer 4 columnas. A continua-ción mostramos el resultado:

p q ~ q p ∧∧∧∧∧ ~ q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~q)

V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V

Se observa que las columnas tercera y cuarta sólo se han utilizado como pasosintermedios para evaluar la proposición compuesta. De esta manera, sólo nos queda-mos con las dos primeras columnas (que contienen los valores de verdad de las propo-

113

U N I D A D I

siciones simples) y la última columna que contiene los valores que asume la proposi-ción P(p, q):

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~q)


Se observa que se parte colocando todas las posibles combinaciones de valores deverdad para las proposiciones p y q, para posteriormente continuar con las evaluaciones delos conectivos lógicos. Se parte con las negaciones, y se prosigue con los paréntesis, siem-pre desde adentro hacia fuera.

Una forma de construcción más directa de la tabla de verdad, es ilustrada en lospasos siguientes:

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~ q)

V V V V

V F V F

F V F V

F F F F

Paso 1 1

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~ q)

V V V F V

V F V V F

F V F F V

F F F V F

Paso 1 2 1

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~ q)

V V V F F V

V F V V V F

F V F F F V

F F F F V F

Paso 1 3 2 1

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~ q)

V V V V F F V

V F F V V V F

F V V F F F V

F F V F F V F

Paso 4 1 3 2 1

114


De esta manera, la tabla de verdad de la proposición compuesta resulta de las colum-nas originales en conjunto con la última columna introducida en la tabla:

p q ~ (p ∧∧∧∧∧ ~q)


Ejemplo I.2.3.1.

Construya la tabla de verdad de P (p, q) = (p → q) ∧ (q → p).

p q p →→→→→ q q →→→→→ p (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (q →→→→→ p)

V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Las tablas de verdad sirven además para probar que dos proposiciones tienen o no losmismos valores de verdad.

Ejemplo I.2.3.2.

Verifique si P(q, p) = p → q y Q(p, q) = ~ p v q, tienen los mismos valores de verdad:

p q p →→→→→ q ~ p ~ p ∨∨∨∨∨ q

V V V F VV F F F FF V V V VF F V V V

De la tabla de verdad anterior, P y Q tienen los mismos valores de verdad. Se debeobservar que las dos tablas de verdad (la correspondiente a P y la correspondiente a Q) sehan refundido en una sola, para evitar trabajo innecesario. Los resultados se resaltan parafacilitar su interpretación.

Diremos que dos proposiciones compuestas P(p, q, r,...) y Q(p, q, r...) son lógicamenteequivalentes si tienen las mismas tablas de verdad. Si este es el caso, lo denotaremos por:

P ⇔ Q

115

U N I D A D I

Ejemplo I.2.3.3.

Demuestre que P(p, q) = p ↔ q, es equivalente con Q(p, q) = (p → q) ∧ (q → p).

p q p ↔↔↔↔↔ q p →→→→→ q q →→→→→ p (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (q →→→→→ p)

V V V V V VV F F F V FF V F V F FF F V V V V

Como ambas tablas de verdad tienen los mismos valores de verdad, se concluye queP y Q son dos proposiciones lógicamente equivalentes.

Una proposición compuesta P(p, q, r,..) es una tautología, si siempre es verdadera(V). Diremos, en cambio, que una proposición es una contradicción, si siempre es falsa. Porúltimo, diremos que una proposición compuesta es una contingencia si no es una tautologíani tampoco una contradicción. Debe resultar claro que si P es una tautología, entonces ~ Pes una contradicción, y recíprocamente, si P es una contradicción, entonces ~ P es unatautología.

Ejemplo I.2.3.4.

El principio de tercio excluido (p ∨ ~p) es una tautología. Construyamos su respectivatabla de verdad:

p ~ p p ∨∨∨∨∨~ p

V F VF V V

Como la tabla de verdad siempre es verdadera (V), se concluye la tautología.

Ejemplo I.2.3.5.

El principio de no contradicción (p ∧ ~p) es una contradicción. Veamos:

p ~ p p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ~ p

V F FF V F

Como la tabla de verdad siempre es falsa (F), la proposición p ∧ ~ p es una contra-dicción.

Ejemplo I.2.3.6.El condicional (o implicación condicional) es una contingencia:

p q p →→→→→ q


116


Ejemplo I.2.3.7.

Demuestre la Ley de De Morgan ~ ( p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q

p q p ∨∨∨∨∨ q ~ (p ∨∨∨∨∨ q) ~ p ~ q ~ p ∧∧∧∧∧ ~ q

V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

De la igualdad de las tablas de verdad, se desprende la equivalencia de las dosproposiciones, lo que demuestra la Ley de De Morgan.

Ejemplo I.2.3.8.

Determine si (p ∧ q) → (p ∨ q) es tautología, contingencia o contradicción.

p q p ∧∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨∨ q (p ∧∧∧∧∧ q) →→→→→ (p ∨∨∨∨∨ q)

V V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Luego, la proposición corresponde a una tautología.

117

U N I D A D I

ACTIVIDADES I.2.3.9.1. Construya las tablas de verdad para:

a. ~ p ∧ q

b. ~ (p ∨ q)

c. ~ ( p ∨ ~ q)

d. p ∧ (q ∨ r)

e. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Solución:a. p q ~ p ~ p ∧∧∧∧∧ q

V V F F

V F F F

F V V V

F F V F

b. p q p ∨∨∨∨∨ q ~ (p ∨∨∨∨∨ q)

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

c. p q ~ q p ∨∨∨∨∨ ~ q ~ ( p ∨∨∨∨∨ ~ q)

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V F

d. p q r q ∨∨∨∨∨ r p ∧∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨∨ r)

V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F

F V V V F

F V F V F

F F V V F

F F F F F

118


e. p q r p ∧∧∧∧∧ q p ∧∧∧∧∧ r (p ∧∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧∧ r)

V V V V V V

V V F V F V

V F V F V V

V F F F F F

F V V F F F

F V F F F FF F V F F FF F F F F F

2. Verifique que la proposición compuesta P(p, q) = p ∨ ~ (p ∧ q) es una tautología, esto esque la proposición compuesta es siempre verdadera.

Solución:

p q p ∧∧∧∧∧ q ~ (p ∧∧∧∧∧ q) p ∨∨∨∨∨ ~ (p ∧∧∧∧∧ q)

V V V F VV F F V VF V F V VF F F V V

Como el valor de verdad de P(p, q) = p ∨ ~ (p ∧ q) es verdadero (V) para todas las combi-naciones de valores de verdad de p y q, se tiene que la proposición es una tautología.

3. Verifique que la proposición P(p, q) = (p ∧ q) ∧ ~ (p ∨ q) es una contradicción, esto es quela proposición compuesta es siempre falsa.

Solución:

p q p ∧∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨∨ q ~ (p ∨∨∨∨∨ q) (p ∧∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧∧ ~ (p ∨∨∨∨∨ q)

V V V V F FV F F V F FF V F V F FF F F F V F

Como el valor de verdad de P(p, q) = (p ∧ q) ∧ ~ (p ∨ q) es falso (F) para todos los valoresde p y q, la proposición es una contradicción.

4. Demuestre la ley asociativa (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r).

Solución:Para demostrar la equivalencia de las dos proposiciones, construimos sus respectivastablas de verdad.

119

U N I D A D I

p q r p ∧∧∧∧∧ q (p ∧∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧∧ r q ∧∧∧∧∧ r p ∧∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧∧ r)

V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F

De la igualdad de las tablas de verdad, se desprende la equivalencia de ambas proposicio-nes.

5. Demuestre la ley distributiva p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

Solución:

p q r q ∧∧∧∧∧ r p ∨∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧∧ r) p ∨∨∨∨∨ q q ∨∨∨∨∨ r (p ∨∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨∨ r)

V V V V V V V VV V F F V V V VV F V F V V V VV F F F V V V VF V V V V V V VF V F F F V F FF F V F F F V FF F F F F F F FDe la igualdad de las tablas de verdad, se desprende la equivalencia de ambas propo-

siciones.

6. Demuestre que p ∨ q ⇔ ~ (~ p ∧ ~ q).

Solución:Para demostrar la equivalencia de las dos proposiciones, construimos sus tablas de ver-dad.

p q p ∨∨∨∨∨ q ~ p ~ q ~ p ∧∧∧∧∧ ~ q ~ (~ p ∧∧∧∧∧ ~ q)V V V F F F VV F V F V F VF V V V F F VF F F V V V F

De la igualdad de las tablas de verdad, se desprende la equivalencia de ambas proposicio-nes.

120


7. Demuestre la Ley de De Morgan ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q.

Solución:

p q p ∧∧∧∧∧ q ~ (p ∧∧∧∧∧ q) ~ p ~ q ~ p ∨∨∨∨∨ ~ q

V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

Ejercicios I.2.3.10.1. Construya las tablas de verdad para:

a. p ∨ ~qb. ~p ∨ ~qc. ~(~p ∧ q)d. (p ∧ ~q) ∨ re. ~p ∨ (q ∧ ~r)f. (p ∨ ~r) ∧ (q ∨ ~r)g. ~(p ∨ ~q) ∧ (~p ∨ r)h. ~((p ∨ q) ∧ ~ (p → (q ∧ (p → (r ∨ s))))) ∧ ~ s

2. Decida si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o contingencias:a. (p ∧ q) → pb. p → ( p ∨ ~q)c. p → ( p → p)d. ~p → (p → q)e. (p ∧ (q ∨ r)) → ((p ∧ q) ∨ r)f. (p → (~q ∨ r)) ∧ ~(q ∨ (p → r))g. ((p ∧ q) → (p → q)) → (q → ~p)h. (p ∧ (q ∨ r)) ↔ (~(p ∧ q) → r)

3. Demuestre o refute las siguientes equivalencias:a. p → q ⇔ p ∨ qb. (~q → ~p) ⇔ q ∨ ~pc. p → (q ∧ r) ⇔ (p → q) ∧ (p → r)d. (p ∨ q) → r ⇔ (p → r) ∧ (~r → ~q)e. p → q ⇔ (p ∨ r) → (q ∨ r)f. (p → q) → (p → (~q ∧ p)) ⇔ ~(p ∧ q)

121

U N I D A D I

Respuestas1.a. p ~ p p ∨∨∨∨∨ ~ p

V F V

F V V

b. p q ~ p ~ q ~ p ∨∨∨∨∨ ~ q

V V F F F

V F F V V

F V V F V

F F V V V

c. p q ~ p ~ p ∧∧∧∧∧ q ~ (~ p ∧∧∧∧∧ q)

V V F F V

V F F F V

F V V V F

F F V F V

d. p q r ~ q p ∧∧∧∧∧ ~ q (p ∧∧∧∧∧ ~ q) ∨∨∨∨∨ r

V V V F F V

V V F F F F

V F V V V V

V F F V V V

F V V F F V

F V F F F F

F F V V F V

F F F V F F

e. p q r ~ p ~ r q ∧∧∧∧∧ ~ r ~ p ∨∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧∧ ~ r)

V V V F F F F

V V F F V V V

V F V F F F F

V F F F V F F

F V V V F F V

F V F V V V V

F F V V F F V

F F F V V F V

122


f.p q r ~ r p ∨∨∨∨∨ ~ r q ∨∨∨∨∨ ~ r (p ∨∨∨∨∨ ~ r) ∧∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨∨ ~ r)V V V F V V VV V F V V V VV F V F V F FV F F V V V VF V V F F V FF V F V V V VF F V F F F FF F F V V V V

g. p q r ~ p ~ q p ∨∨∨∨∨ ~ q ~ (p ∨∨∨∨∨ ~ q) ~ p ∨∨∨∨∨ r ~ ( p ∨∨∨∨∨ ~ q) ∧∧∧∧∧ (~ p ∨∨∨∨∨ r)V V V F F V F V FV V F F F V F F FV F V F V V F V FV F F F V V F F FF V V V F F V V VF V F V F F V V VF F V V V V F V FF F F V V V F V F

h. p q r s ~s p∨∨∨∨∨q r∨∨∨∨∨s p →→→→→ q ∧∧∧∧∧ p →→→→→(q ∧∧∧∧∧ ~ (p→→→→→ (p∨∨∨∨∨q)∧∧∧∧∧ ~((p∨∨∨∨∨q)∧∧∧∧∧ ~((p∨∨∨∨∨q)∧∧∧∧∧~(p

(r∨∨∨∨∨s) p→→→→→ (p→→→→→ (q∧∧∧∧∧(p→→→→→ ~(p→→→→→(q∧∧∧∧∧ ~(p→→→→→(q∧∧∧∧∧ →→→→→(q∧∧∧∧∧(p→→→→→(r(r∨∨∨∨∨s)) (r∨∨∨∨∨s))) (r∨∨∨∨∨s)))) (p→→→→→(r∨∨∨∨∨s))))) (p→→→→→(r∨∨∨∨∨s))))) vs)))))∧∧∧∧∧~s

V V V V F V V V V V F V F FV V V F V V V V V V F V F FV V F V F V V V V V F V F FV V F F V V F F F F V V F FV F V V F V V V F F V V F FV F V F V V V V F F V V F FV F F V F V V V F F V V F FV F F F V V F F F F V V F FF V V V F V V V V V F V F FF V V F V V V V V V F V F FF V F V F V V V V V F V F FF V F F V V F V V V F V F FF F V V F F V V F V F F V FF F V F V F V V F V F F V VF F F V F F V V F V F F V FF F F F V F F V F V F F V V

123

U N I D A D I

2. a. p q p ∧∧∧∧∧ q p →→→→→ (p ∧∧∧∧∧ q)V V V VV F F FF V F VF F F V

Luego, la proposición p → (p ∧ q) es una contingencia.

b. p q ~ q p ∨∨∨∨∨ ~ q p→→→→→(p ∨∨∨∨∨ ~q)V V F V VV F V V VF V F F VF F V V V

Luego, la proposición p → (p ∨ ~ q) es una tautología.

c. p p →→→→→ p p →→→→→ (p→→→→→ p)V V VF V V

Luego, la proposición p → (p → p) es una tautología.

d. p q ~ p p →→→→→ q ~p→→→→→ (p→→→→→q)V V F V VV F F F VF V V V VF F V V V

Luego, la proposición ~ p → (p → q) es una tautología.

e. p q r q ∨∨∨∨∨ r p∧∧∧∧∧(q∨∨∨∨∨r) p ∧∧∧∧∧ q (p∧∧∧∧∧q)∨∨∨∨∨r p∧∧∧∧∧(q∨∨∨∨∨r) →→→→→(p∧∧∧∧∧q)∨∨∨∨∨r

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V V V F V VV F F F F F F VF V V V F F V VF V F V F F F VF F V V F F V VF F F F F F F V

Luego, la proposición p ∧ (q ∨ r) → (p ∧ q) ∨ r es una tautología.

124


f.p q r ~q ~q∨∨∨∨∨r p→→→→→(~q∨∨∨∨∨r) p→→→→→r q∨∨∨∨∨(p→→→→→r) ~(q∨∨∨∨∨(p→→→→→r))(p→→→→→ (~q∨∨∨∨∨r))∧∧∧∧∧~(q∨∨∨∨∨(p→→→→→r))

V V V F V V V V F FV V F F F F F F V FV F V V V V V V F FV F F V V V F V F FF V V F V V V V F FF V F F F V V V F FF F V V V V V V F FF F F V V V V V F F

Luego, la proposición (p → (~ q ∨ r)) ∧ ~ (q ∨ (p → r)) es una contradicción.

g.p q ~ p p ∧∧∧∧∧ q p →→→→→ q (p∧∧∧∧∧q)→→→→→(p→→→→→q) q ∨∨∨∨∨ ~ p ((p∧∧∧∧∧q)→→→→→(p→→→→→q)) →→→→→ (q→→→→→~p)

V V F V V V V VV F F F F V F FF V V F V V V VF F V F V V V V

Luego, la proposición ((p ∧ q) → (p ∨ q)) → (q → ~ p) es una contingencia.

h. p q r q ∨∨∨∨∨ r p∧∧∧∧∧(q∨∨∨∨∨r) p ∧∧∧∧∧ q ~(p∧∧∧∧∧q) ~(p∧∧∧∧∧q) →→→→→ r (p∧∧∧∧∧(q∨∨∨∨∨r)) ↔↔↔↔↔ (~(p∧∧∧∧∧q)→→→→→ r)

V V V V V V F V VV V F V V V F V VV F V V V F V V VV F F F F F V F VF V V V F F V V FF V F V F F V F VF F V V F F V V FF F F F F F V F V

Luego, la proposición (p ∧ (q ∨ r)) ↔ (~ (p ∧ q) → r) es una contingencia.

125

U N I D A D I

3. a.p q p →→→→→ q p ∨∨∨∨∨ q

V V V VV F F VF V V VF F V F

Como las tablas de verdad para las proposiciones p → q y p ∨ q son distintas, se tiene queambas proposiciones no son iguales.

b. p q ~ p ~ q ~ p ∧∧∧∧∧ ~ q q ∨∨∨∨∨ ~ p

V V F F F VV F F V F FF V V F F VF F V V V V

La equivalencia no es válida porque las tablas de verdad son distintas.

c. p q r q ∧∧∧∧∧ r p →→→→→ (q ∧∧∧∧∧ r) p →→→→→ q p →→→→→ r (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (p →→→→→ r)

V V V V V V V VV V F F F V F FV F V F F F V FV F F F F F F FF V V V V V V VF V F F V V V VF F V F V V V VF F F F V V V V

De la igualdad de las tablas de verdad, se desprende la equivalencia entre las dos propo-siciones.

d. p q r p ∨∨∨∨∨ q (p ∨∨∨∨∨ q) →→→→→ r ~ q ~ r p →→→→→ r ~r →→→→→ ~q (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (~r →→→→→ ~q)V V V V V F F V V VV V F V F F V V F FV F V V V V F F V FV F F V F V V F V FF V V V V F F V V VF V F V F F V V F FF F V F V V F V V VF F F F V V V V V VLuego, como las tablas de verdad son distintas, se tiene que las proposiciones no son

equivalentes.

126


Glosa

e. p q r p →→→→→ q p ∨∨∨∨∨ r q ∨∨∨∨∨ r (p ∨∨∨∨∨ r) →→→→→ (q ∨∨∨∨∨ r)

V V V V V V VV V F V V V VV F V F V V VV F F F V F FF V V V V V VF V F V F V VF F V V V V VF F F V F F V

Luego, las proposiciones no son equivalentes.

f.p q ~q p →→→→→ q ~q ∧∧∧∧∧ p p→→→→→ (~q ∧∧∧∧∧ p) (p→→→→→q)→→→→→ (p→→→→→ (~q ∧∧∧∧∧ p)) p ∧∧∧∧∧ q ~ (p ∧∧∧∧∧ q)V V F V F F F V FV F V F V V V F VF V F V F V V F VF F V V F V V F V

Luego, de la igualdad de las tablas de verdad, se tiene que ambas proposiciones son iguales.

RESUMENEn esta sección se presentan las tablas de verdad como una sencilla herramienta para

evaluar los valores de verdad de proposiciones compuestas. Una adecuada estrategia parafacilitar su construcción es presentada. Por último, se introducen los conceptos de equiva-lencia lógica material y los de tautología, contradicción y contingencia.

Glosario

Bicondicional: conectivo lógico.Condicional: conectivo lógico.Conectores Lógicos: símbolos que permiten relacionar dos o más proposiciones para cons-

truir una proposición molecular.Conectivos Lógicos: conectores lógicos.Columnas: arreglo vertical en una tabla.Conjunción: conector lógico.Contingencia: proposición compuesta que puede asumir tanto valores verdaderos como

falsos.Contradicción: proposición compuesta que siempre es falsa.Disyunción: conectivo lógico.

127

U N I D A D I

Equivalentes: iguales, idénticos.Filas: arreglo horizontal en una tabla.Implicación Condicional: conectivo lógico.Lógicamente Equivalentes: proposiciones que son equivalentes sólo por propiedades

de la lógica.Ley de De Morgan: propiedad sobre la negación de una conjunción o una disyunción.Negación: conectivo lógico.Operaciones Lógicas: propiedades con conectivos lógicos.Proposición: afirmación sobre la que se puede determinar sin ambigüedad si es verdadera

o falsa.Proposición Compuesta: proposición construida a partir de varias proposiciones simples

por medio de conectores lógicos.Proposición Molecular: proposición compuesta.Proposición Simple: proposición que consta de una sola afirmación.Proposición Atómica: proposición simple.Principio de Tercio Excluido: principio que establece que una proposición sólo es verda-

dera o falsa, y no existe otra alternativa.Principio de No Contradicción: principio que establece que una proposición sólo puede

ser verdadera o falsa, pero no las dos alternativas a la vez.Tablas de Verdad: arreglos de proposiciones simples y sus valores de verdad, que permiten

determinar el valor de verdad de una proposición compuesta.Tablas de Valores de Verdad: tabla de verdad.Tautología: proposición compuesta que siempre es verdadera.Valor de Verdad: estado de una proposición que puede ser verdadera o falsa.

Símbolos

∨ : o

∧ : y

→ : Implicación, condicional

↔ : Bicondicional

~ : negación

⇔ : Equivalencia

V : VerdaderoF : FalsoV(p) : Valor de verdadP, Q, R,... : Proposiciones compuestasp, q, r,... : Proposiciones simplesP(p, q), P(p, q, r),... : Funciones proposicionales

128


PropI.2.4. Propiedades de los Conectivos

En la tabla siguiente se resumen las principales propiedades de los conectivos lógi-cos. Es decir, un conjunto de equivalencias lógicas de uso frecuente. Estas propiedadesforman lo que se conoce como álgebra proposicional, que permite simplificar y evitar losrazonamientos repetitivos e innecesarios.

Las demostraciones de estas propiedades se basan en verificaciones realizadas conlas tablas de verdad (verificando que las proposiciones que se postulan equivalentes tie-nen las mismas tablas de verdad). Es tarea del lector aprenderlas y retenerlas, pues su usoserá frecuente en el desarrollo del curso.

Álgebra de ProposicionesPropiedades de Idempotencia

A1 p ∨ p ⇔ p A2 p ∧ p ⇔ p

Propiedades AsociativasB1 (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) B2 (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Propiedades ConmutativasC1 p ∨ q ⇔ q ∨ p C2 p ∧ q ⇔ q ∧ p

Propiedades DistributivasD1 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) D2 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Propiedades de IdentidadE1 p ∨ F ⇔ p E2 p ∧ V ⇔ pF1 p ∨ V ⇔ V F2 p ∧ F ⇔ F

Propiedades de ComplementaciónG1 p ∨ ~ p ⇔ V G2 p ∧ ~ p ⇔ FH1 ~ ~ p ⇔ p H2 ~ V ⇔ F, ~ F ⇔ V

Leyes de De Morgan]1 ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q ]2 ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q

Ejemplo I.2.4.1.

Simplifique la proposición (p ∨ q) ∧ ~ p por medio de las propiedades del álgebra de propo-siciones.

(p ∨ q) ∧ ~ p ⇔ ~p ∧ (p ∨ q) (propiedad conmutativa, C2)

⇔ (~ p ∧ p ) ∨ ( ~ p ∧ q) (propiedad distributiva, D2)

⇔ F ∨ ( ~ p ∧ q) (principio de no contradicción, G2)

⇔ ~ p ∧ q (propiedad de identidad, E1)

129

U N I D A D I

Es decir, (p ∨ q) ∧ ~ p ⇔ ~ p ∧ q.

Ejemplo I.2.4.2.

Simplifique la proposición p ∨ (p ∧ q) por medio de las leyes del álgebra de propo-siciones.

p ∨ (p ∧ q) ⇔ (p ∧ V) ∧ (p ∧ q) (propiedad de identidad, E2)

⇔ p ∧ (V ∨ q) (propiedad distributiva, D2)

⇔ p ∧ V (propiedad de identidad, F1)

⇔ p (propiedad de identidad, E2)

De esta forma, se ha probado que p ∨ (p ∧ q) ⇔ p. Esta equivalencia, la podemosverificar construyendo las tablas de verdad respectivas:

p q p ∧∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧∧ q)

V V V VV F F VF V F FF F F F

De la igualdad de las tablas de verdad, se desprende que ambas proposiciones sonequivalentes.

Ejemplo I.2.4.3.

Simplifique la proposición ~ (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q).

~ (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q) ⇔ (~ p ∧ ~ q) ∨ (~ p ∧ q) (Ley de De Morgan, ]1)

⇔ ~ p ∧ (~q ∨ q) (propiedad distributiva, D2)

⇔ ~ p ∧ V (principio de tercio excluido, G1)

⇔ ~ p (propiedad de identidad, E2)

Luego, se tiene que ~ (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q) ⇔ ~ p.

En el siguiente ejemplo, ilustraremos el uso de estas propiedades de los conectivoslógicos para nuestro lenguaje.

Ejemplo I.2.4.4.Simplifique la proposición compuesta P = “No es cierto que este libro no sea de

matemáticas o que no fuese escrito en Puerto Montt”.Al aplicar lo que hemos aprendido de lógica simbólica, nos damos cuenta de que

debemos partir definiendo proposiciones simples, las que podrían ser: p = “Este libroes de matemáticas” y q = “Este libro fue escrito en Puerto Montt”. Con estas definicio-nes, podemos escribir la proposición P, en términos de los siguientes símbolos:

P(p, q) = ~ ( ~ p ∨ ~ q).

130


A continuación, nos dedicamos a simplificar la expresión (utilizando el álgebra deproposiciones, específicamente la Ley de De Morgan y la propiedad de complementación):

P(p, q) = ~ (~ p ∨ ~ q) ⇔ p ∧ q

De esta manera, la proposición podría enunciarse de su forma equivalente: “Este es unlibro de Matemáticas y fue escrito en Puerto Montt”.

Algo que hemos estado utilizando de forma implícita son las propiedades naturales dela equivalencia lógica. A continuación las enunciaremos explícitamente. Tiene las siguien-tes tres propiedades:

• P ⇔ P (propiedad reflexiva).

• Si P ⇔ Q, entonces Q ⇔ P (propiedad simétrica).

• Si P ⇔ Q ∧ Q ⇔ R, entonces P ⇔ R (propiedad transitiva).

En este punto, también conviene que enunciemos un importante teorema sobre laequivalencia lógica:Teorema

Sean P y Q dos proposiciones. P y Q son equivalentes (P ⇔ Q), si y sólo si P ↔ Q esuna tautología.

Ejemplo I.2.4.5.

Verifique que P = p ∨ F y Q = p son equivalentes. Es decir, verificar que p ∨ F ↔ p esuna tautología:

p p ∨∨∨∨∨ F p ∨∨∨∨∨ F ↔↔↔↔↔ p

V V VF F V

Observe las semejanzas y diferencias que presentan el bicondicional o equivalenciaformal (↔) y la equivalencia lógica (⇔) o equivalencia material. Más adelante profundi-zaremos en detalle sus respectivos significados. Por ahora debe quedar claro la manera deoperar con ellos.

Ejemplo I.2.4.6.

Verifique que la proposición compuesta (p → q) es equivalente con ~ p ∨ q. Paramostrar esta equivalencia, construimos la tabla de verdad apropiada para verificar que (p→ q) ↔ (~ p ∨ q) es una tautología.

p q p →→→→→ q ~ p ~ p ∨∨∨∨∨ q (p→→→→→q) ↔↔↔↔↔ (~p ∨∨∨∨∨ q)

V V V F V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

131

U N I D A D I

Ejemplo I.2.4.7.

Simplifique la expresión (p → q) → ((p ∧ r) → (q ∧ r)). Para esta simplificación, vamosa utilizar la equivalencia encontrada en el ejemplo anterior.

(p → q) → ((p ∧ r) → (q ∧ r)) ⇔ ~ (p → q) ∨ ((p ∧ r) → (q ∧ r))

⇔ ~ (~p ∨ q) ∨ (~(p ∧ q) ∨ (q ∧ r))

⇔ (p ∧ ~ q) ∨ (~ p ∨ ~ q) ∨ (q ∧ r)

⇔ (p ∨ (~ p ∨ ~ q)) ∧ (~ q ∨ (~ p ∨ ~ q)) ∨ (q ∧ r)

⇔ (V ∨ ~ q) ∧ (~ p ∨ ~ q) ∨ (q ∧ r)

⇔ V ∧ (~ p ∨ ~ q) ∨ (q ∧ r)

⇔ (~ p ∨ ~ q) ∨ (q ∧ r)

⇔ ((~p ∨ ~ q) ∨ q) ∧ ((~ p ∨ ~ q) ∨ r)

⇔ (~ p ∨ V) ∧ ((~p ∨ ~ q) ∨ r)

⇔ V ∧ ((~p ∨ ~ q) ∨ r)

⇔ ((~p ∨ ~ q) ∨ r)

De donde se tiene que (p → q) → ((p ∧ r) → (q ∧ r)) ⇔ ((~p ∨ ~ q) ∨ r). Se motiva allector a determinar qué propiedades han sido utilizadas en cada caso.

ACTIVIDAD I.2.4.8.1. Verifique todas las propiedades del álgebra de proposiciones:

a.- p ∨ p ⇔ p

b.- p ∧ p ⇔ p

c.- (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

d.- (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

e.- p ∨ q ⇔ q ∨ p

f.- p ∧ q ⇔ q ∧ p

g.- p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

h.- p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

i.- p ∨ F ⇔ p

j.- p ∧ V ⇔ p

k.- p ∨ V ⇔ V

l.- p ∧ F ⇔ F

m.- p ∨ ~ p ⇔ V

n.- p ∧ ~ p ⇔ F

o.- ~ ~ p ⇔ p

p.- ~ V ⇔ F

q.- ~ F ⇔ V

r.- ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q

s.- ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q

132


Solución:

a. p p ∨∨∨∨∨ p

V VF F

De la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas propo-siciones.

b. p p ∧∧∧∧∧ p

V VF F

De la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia buscada.

c. p q r p ∨∨∨∨∨ q (p ∨∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨∨ r q ∨∨∨∨∨ r p ∨∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨∨ r)

V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F V V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V F V V VF F F F F F F

De la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas propo-siciones.

d. p q r p ∧∧∧∧∧ q (p ∧∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧∧ r q ∧∧∧∧∧ r p ∧∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧∧ r)V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F

De la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas proposi-ciones.

133

U N I D A D I

e. p q p ∨∨∨∨∨ q q ∨∨∨∨∨ pV V V VV F V VF V V VF F F F

De la igualdad de las tablas verdad se concluye la equivalencia entre ambas propo-siciones.

f. p q p ∧∧∧∧∧ q q ∧∧∧∧∧ pV V V VV F F FF V F FF F F F

De la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambasproposiciones.

g. p q r q ∧∧∧∧∧ r p ∨∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧∧ r) p ∨∨∨∨∨ q p ∨∨∨∨∨ r (p ∨∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨∨ r)V V V V V V V VV V F F V V V VV F V F V V V VV F F F V V V VF V V V V V V VF V F F F V F FF F V F F F V FF F F F F F F FDe la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas

proposiciones.

h. p q r q ∨∨∨∨∨ r p ∧∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨∨ r) p ∧∧∧∧∧ q p ∧∧∧∧∧ r (p ∧∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧∧ r)

V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F F

F V V V F F F FF V F V F F F FF F V V F F F FF F F F F F F FDe la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas

proposiciones.

134


i. P F p ∨∨∨∨∨ F

V F VF F F


j. p V p ∧∧∧∧∧ VV V VF V F


k. P V p ∨∨∨∨∨ V

V V V

F V VDe la igualdad de las tablas de verdad se concluye la equivalencia entre ambas

proposiciones.

l. p F p ∧∧∧∧∧ F

V F FF F F


m. p ~ p p ∨∨∨∨∨ ~ p V

V F V VF V V V


n. p ~ p p ∧∧∧∧∧ ~ p F

V F F FF V F F


o. p ~ p ~ ~ pV F VF V F


135

U N I D A D I

p. Es evidenteq. Es evidente.

r. p q p ∨∨∨∨∨ q ~(p ∨∨∨∨∨ q) ~ p ~ q ~p ∧∧∧∧∧ ~q

V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V


s. p q p ∧∧∧∧∧ q ~(p ∧∧∧∧∧ q) ~ p ~ q ~p ∨∨∨∨∨ ~q

V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V


2. Simplifique cada una de las proposiciones siguientes:

a. (p ∨ ~ p) ∧ (p ∧ ~ (p ∨ q))

b. (p ∧ q) ∨ ((p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ r))

c. ~ (~ (p ∨ q) ∧ (p ∨ ~ q))

d. (((p ∧ q) ∧ ~ p) ∧ ~ q) ∨ r

e. (p ∨ (q ∧ r)) ∧ (p ∨ (~q ∧ ~ r))

f. (p → q) → (~ p → ~ q)

Solución:

a. (p ∨ ~ p) ∧ (p ∧ ~ (p ∨ q)) ⇔ V ∧ (p ∧ ~ (p ∨ q))

⇔ p ∧ ~ (p ∨ q)

⇔ p ∧ (~ p ∧ ~ q)

⇔ (p ∧ ~ p) ∧ ~ q

⇔ F ∧ ~ q

⇔ F

Luego, la proposición es una contradicción.

b. (p ∧ q) ∨ ((p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ r)) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ (~ q ∨ r))

⇔ p ∧ (q ∨ (~ q ∨ r))

⇔ p ∧ ((q ∨ ~ q) ∨ r)

⇔ p ∧ (V ∨ r)

136


⇔ p ∧ V

⇔ p

Luego, (p ∧ q) ∨ ((p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ r)) ⇔ p.

c. ~ (~ (p ∨ q) ∧ (p ∨ ~ q)) ⇔ (p ∨ q) ∨ ~ (p ∨ ~ q)

⇔ (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q)

⇔ ((p ∨ q) ∨ ~ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ q)

⇔ ((p ∨ ~ p) ∨ q) ∧ (p ∨ q)

⇔ (V ∨ q) ∧ (p ∨ q)

⇔ V ∧ (p ∧ q)

⇔ p ∧ q

d. (((p ∧ q) ∧ ~ p) ∧ ~ q) ∨ r ⇔ (((p ∧ ~ p) ∧ q) ∧ ~ q) ∨ r

⇔ ((F ∧ q) ∧ ~ q) ∨ r

⇔ (F ∧ ~ q) ∨ r

⇔ F ∨ r

⇔ r

e. (p ∨ (q ∧ r)) ∧ (p ∨ (~q ∧ ~ r)) ⇔ p ∨ ((q ∧ r) ∧ (~ q ∧ ~ r))

⇔ p ∨ ((q ∧ ~ q) ∧ (r ∧ ~ r))

⇔ p ∨ (F ∧ F)

⇔ p ∨ F

⇔ p

f. (p → q) → (~ p → ~ q) ⇔ ~ (p → q) ∨ (~ p → ~ q)

⇔ ~ (~ p ∨ q) ∨ (p ∨ ~ q)

⇔ (p ∧ ~ q) ∨ (p ∨ ~ q)

⇔ (p ∨ (p ∨ ~ q)) ∧ (~ q ∨ (p ∨ ~ q))

⇔ ((p ∨ p) ∨ ~ q) ∧ ((~ q ∨ ~ q) ∨ p)

⇔ (p ∨ ~ q) ∧ (~ q ∨ p)

⇔ (p ∨ ~ q) ∧ (p ∨ ~ q)

⇔ (p ∧ ~ q)

⇔ q → p

3. Simplifique cada una de las proposiciones siguientes:a. No es cierto que su madre sea inglesa o su padre no sea francés.b. No es cierto que no estudie Física pero si Matemáticas.

137

U N I D A D I

c. No es cierto que las ventas disminuyan y los precios suban, o bien que los preciosbajen y las ventas suban.

d. No es cierto que haga frío y no llueva.Solución:

a. Su madre no es inglesa y su padre es francés.b. Estudia Física y no Matemáticas.c. Las ventas suben o los precios bajan.d. No hace frío o llueve.

4. Sea p la proposición “Pepito el Malandrín habla en Mapudungo”, q = “Pepito el Malan-drín habla en Croata” y r = “Pepito el Malandrín habla en Cirílico”. Describa por medio defrases sencillas las proposiciones siguientes:

a. p ∧ q b. p ∨ r

c. ~ r d. p ∧ (~ r ∨ ~q)

e. ~ (~ p ∧ ~ ~ r) f. p ∧ ~ r

g. (p ∧ r) ∨ q h. (~ p ∨ ~ q) ∧ r

i. ~ ((p ∨ ~ q) ∧ ~ r) j. p ↔ ~ q

k. (p ∨ ~ p) → (q ∧ r) l. ~ ((p ∧ ~ p) → r)

m. p ∨ (p → q) n. r ← q

o. p ↔ (~ q ∧ ~ r)

Solución:a. Pepito el Malandrín habla Mapudungo y Croata.b. Pepito el Malandrín habla Mapudungo o escribe Cirílico.c. Pepito el Malandrín no escribe Cirílico.d. Pepito el Malandrín habla Mapudungo y no escribe Cirílico, o Mapudungo y no Croata.e. Pepito el Malandrín habla Mapudungo o no escribe Cirílico.f. Pepito el Malandrín habla Mapudungo y no escribe Cirílico.g. Pepito el Malandrín habla Mapudungo o Croata, y escribe Cirílico o Croata.h. Pepito el Malandrín no habla Mapudungo pero sí escribe Cirílico, o bien, no habla

Croata pero sí escribe Cirílico.i. Pepito el Malandrín no habla Mapudungo pero sí Croata, o bien escribe Cirílico.j. Pepito el Malandrín no habla Mapudungo pero sí Croata, o bien no escribe Croata pero

sí Mapudungo.k. Pepito el Malandrín habla Croata y escribe Cirílico.l. Es una contradicción.m. Es una tautología.n. Pepito el Malandrín no habla Croata o escribe Cirílico.o. Pepito el Malandrín habla Mapudungo, pero no Croata, ni escribe Cirílico; o bien, no

habla Mapudungo pero sí Croata o escribe Cirílico.

138


Ejercicios I.2.4.9.1. Escriba la negación de cada una de las siguientes proposiciones de la manera más simpleposible:

a. Tiene el cabello rubio o los ojos azules, o bien, el cabello castaño y los ojos negros.b. No es rico, ni feliz.c. Perdió su empleo o no fue a trabajar hoy.d. Ni Juanito el Travieso, ni Pepito el Malandrín son desdichados.e. Tiene el cabello rubio si y sólo si tiene los ojos azules.f. No es cierto que Juanito el Travieso y Pepito el Malandrín no vayan a clases.

2. Simplifique las siguientes proposiciones:

a. ~p → (~q ∨ p)

b. (p → q) → (~q → ~p)

c. (p ∨ q) ∨ (~p ∧ q)

d. (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r)

e. (~(p ∨ ~q) ∧ (~p ∨ ~q)) → (~p ∧ ~q)

f. ((p → q) ∧ (r → s)) → ((p ∧ r) → (q ∧ s))

g. (p → ((q → r) ∧ q)) → (p → q)

h. ((p → q) → r) → ((r → p) → (s → p))

i) ((p → q) → s) → ((s → p) → (r → p))

3. Simplifique cada una de las proposiciones siguientes:a. No es cierto que su madre sea inglesa o su padre francés.b. No es cierto que estudie Física, pero no Matemáticas.c. No es cierto que las ventas disminuyan y los precios suban.d. No es cierto que no haga frío o llueva.e. Los gatos con bigotes hablan inglés, o bien no tienen cola.f. Si el profesor está ausente, entonces no termino mi tarea.g. Si tiene ojos azules, entonces es rubia o bien si es morena, no tiene los ojos azules.h. En Puerto Montt llueve todos los días del año y es la capital de la Décima Región.i. La luna sólo se baña en el río Calle-Calle en el verano, siempre que el sol salga desde

el mar.

4. Escriba las siguientes proposiciones de forma simbólica y luego niéguelas:a. Juanito el Travieso escribe cartas o lee versos, pero no estudia Matemáticas.b. Juanito el Travieso escribe cartas y lee versos, o no escribe cartas y estudia Matemá-

ticas.c. No es cierto que Juanito el Travieso escribe cartas, pero no estudia Matemáticas.d. No es cierto que Juanito el Travieso estudia Matemáticas o lee versos, pero no escribe

cartas.e. Si Juanito el Travieso lee versos y no estudia Matemáticas, entonces escribe cartas.

139

U N I D A D I

f. Si Juanito el Travieso lee versos y no estudia Matemáticas, entonces escribe cartas yno estudia Matemáticas.

5. Si p es una proposición verdadera y q una falsa, determine el valor de verdad de lassiguientes proposiciones compuestas:

a. ~ (~p ∨ ~q) → ~(r ∨ q)

b. (p ∧ q) ∨ q

c. (p ∨ q) ∧ q

d. (p ∧ q) → (p ∨ q)

e. p → (p ∧ q)

f. p ∧ q → p ∨ ~q

Respuestas1. a. No tiene el cabello rubio ni los ojos azules, y no tiene el cabello castaño o sus ojos

no son negros.b. Es rico o feliz.c. No perdió su empleo y fue a trabajar hoy.d. Juanito el Travieso o Pepito el Malandrín es feliz.e. Tiene el cabello rubio y sus ojos no son azules, o bien, tiene los ojos azules y su cabello

no es rubio.f. Juanito el Travieso o Pepito y Pepito el Malandrín no van a clases.

2.a. ~ p → (~ q ∨ p) ⇔ p ∨ (~ q ∨ p)

⇔ ~ q ∨ p

⇔ q → pb. (p → q) → (~q → ~p) ⇔ ~ (p → q) ∨ (~ q → ~ p)

⇔ ~ (~ p ∨ q) ∨ (q ∨ ~ p)

⇔ (p ∨ ~ q) ∨ (q ∨ ~ p)

⇔ (p ∨ (q ∨ ~ p)) ∧ (~ q ∨ (q ∨ ~ p))

⇔ (q ∨ V) ∧ (V ∨ ~ p)

⇔ V ∧ V

⇔ V

c. (p ∨ q) ∨ (~p ∧ q) ⇔ ((p ∨ q) ∨ ~ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ q)

⇔ (V ∨ q) ∧ (p ∨ q)

⇔ V ∧ (p ∨ q)

⇔ (p ∨ q)

d. (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r) ⇔ ~ (p → (q → r)) ∨ ((p ∧ q) → r)

⇔ ~ (~ p ∨ (q → r)) ∨ (~ (p ∧ q) ∨ r)

140


⇔ ~ (~ p ∨ (~ q ∨ r)) ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r)

⇔ (p ∧ ~ (~ q ∨ r)) ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r)

⇔ (p ∧ q ∧ ~ r) ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r)

⇔ (p ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r)) ∧ (q ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r)) ∧ (~ r ∨ (~ p ∨ ~ q ∨ r))

⇔ (V ∨ ~ q ∨ r) ∧ (V ∨ ~ p ∨ r) ∧ (V ∨ ~ p ∨ ~ q)

⇔ V ∧ V ∧ V

⇔ V

e. (~ (p ∨ ~ q) ∧ (~ p ∨ ~ q)) → (~p ∧ ~q) ⇔ ~ (~ (p ∨ ~ q) ∧ (~ p ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∧ ~ q)

⇔ ((p ∨ ~ q) ∨ ~ (~ p ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∧ ~ q)

⇔ ((p ∨ ~ q) ∨ (p ∧ q)) ∨ (~ p ∧ ~ q)

⇔ ((p ∨ q ∨ p) ∧ (p ∨ ~ q ∨ q)) ∨ (~ p ∧ ~ q)

⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ V)) ∧ (~ p ∧ ~ q)

⇔ ((p ∨ q) ∧ V) ∧ (~ p ∧ ~ q)

⇔ (p ∨ q) ∧ (~ p ∧ ~ q)

⇔ (p ∧ ~ p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p ∧ ~ q)

⇔ (F ∧ ~ q) ∨ (F ∧ ~ p)

⇔ F ∨ F

⇔ F

f. ((p → q) ∧ (r → s)) → ((p ∧ r) → (q ∧ s)) ⇔ ~ ((p → q) ∧ (r → s)) ∨ ((p ∧ r) → (q ∧ s))⇔ ~ ((~ p ∨ q) ∧ (~ r ∨ s)) ∨ (~ (p ∧ r) ∨ (q ∧ s))⇔ (~ (~ p ∨ q) ∨ ~ (~ r ∨ s)) ∨ ((~ p ∧ ~ r) ∨ (q ∧ s))⇔ ((p ∧ ~ q) ∨ (r ∧ ~ s)) ∨ ((~ p ∧ ~ r) ∨ (q ∧ s))

⇔ ((p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r) ∧ (p ∨ ~ s) ∧ (~ q ∨ ~ s)) ∨ ((~ p ∨ q) ∧ (~ r ∨ q) ∧ (~ p ∨ s) ∧ (~ r ∨ s))⇔ V∧V∧V∧V∧V∧V∧(p ∨ ~s ∨ ~r ∨ q)∧V∧V∧(~q ∨ r ∨ ~ p ∨ r)∧V∧V∧V∧V∧V∧V⇔ (p ∨ ~ s ∨ ~ r ∨ q) ∧ (~ q ∨ r ∨ ~ p ∨ r)⇔ (p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ r) ∨ V .....⇔ V

g. (p → ((q → r) ∧ q)) → (p → q) ⇔ ~ (p → ((q → r) ∧ q)) ∨ (p → q)⇔ ~ (~ p ∨ ((~ q ∨ r) ∧ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ ~ ((~ q ∨ r) ∧ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ (~ (~ q ∨ r) ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ ( (q ∧ ~ r ) ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ ((q ∨ ~ q) ∧ (~ r ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ (V ∧ (~ r ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ (~ r ∨ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ ((p ∧ ~ r) ∨ (p ∧ ~ q)) ∨ (~ p ∨ q)⇔ (p ∧ ~ r) ∨ ( V ∧ (~ q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ q) ∧ V)⇔ (p ∧ ~ r) ∨ ((~ q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ q))

141

U N I D A D I

h. ((p → q) → r) → ((r → p) → (s → p)) ⇔ ~ ((p → q) → r) ∨ ((r → p) → (s → p))⇔ ~ (~ (p → q) ∨ r) ∨ (~ (r → p) ∨ (s → p))⇔ ~ (~ (~ p ∨ q) ∨ r) ∨ (~ (~ r ∨ p) ∨ (~ s ∨ p))⇔ ((~ p ∨ q) ∧ ~ r) ∨ ((r ∧ ~ p) ∨ (~ s ∨ p))⇔ ((~p ∧ ~ r) ∨ (q ∧ ~ r)) ∨ (r ∨ ~ s ∨ p)⇔ (~ p ∧ ~ r) ∨ ((q ∨ r ∨ ~ s ∨ p) ∧ V)⇔ (~ p ∧ ~ r) ∨ (q ∨ r ∨ ~ s ∨ p)⇔ V ∧ V⇔ V

i.- ((p → q) → s) → ((s → p) → (r → p)) ⇔ ~ ((p → q) → s) ∨ ((s → p) → (r → p))⇔ ~ ((~ p ∨ q) → s) ∨ ((~ s ∨ p) → (~ r ∨ p))⇔ ~ (~ (~ p ∨ q) ∨ s) ∨ (~ (~ s ∨ p) ∨ (~ r ∨ p))⇔ ~ ((p ∧ ~ q) ∨ s) ∨ ((s ∧ ~ p) ∨ (~ r ∨ p))⇔ ((~ p ∨ q) ∧ ~ s) ∨ ((s ∧ ~ p) ∨ (~ r ∨ p))

Se dejan los detalles finales al lector.3. a. Su madre no es inglesa y su padre no es francés.

b. No estudia Física o estudia Matemáticas.c. Las ventas aumentan o los precios bajan.d. Hace frío y no llueve.e. Los gatos con bigote hablan inglés o no tienen cola.f. El profesor está presente o no termino mi tarea.g. Es rubia o no es morena o no tiene los ojos azules.h. En Puerto Montt llueve todos los días del año y es la capital de la Décima Región.i. La luna sólo se baña en el río Calle-Calle en el verano, o bien el sol no sale desde el

mar.

4. a. (~ p ∧ ~ q) ∨ r

b. (~ p ∧ ~ q) ∨ (~ p ∧ r)

c. p ∧ ~ r

d. (r ∨ q) ∧ ~ p

e. (p ∧ ~ r) ∧ ~ q

f. (q ∧ ~ r) ∧ (~p ∨ r)

5. a. Fb. Fc. Fd. Ve. Ff. V

142


ResumenEn esta sección se estudian y aplican las propiedades del álgebra proposicional,

para simplificar proposiciones compuestas. Se formalizan algunos hechos importantesde la equivalencia lógica y se introducen las relaciones existentes entre la equivalencialógica y el bicondicional. Se verifica además la importante propiedad: p → q es equiva-lente con ~ p ∨ q.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La equivalencia lógica ⇔ y el bicondicional ↔ son dos formas de nombrar el mismo

concepto, el de que dos proposiciones son iguales.2. Una propiedad del conectivo condicional es que p → q ⇔ ~ p ∨ q.3. La negación del condicional ~ (p → q) es equivalente con p ∨ ~ q.4. La equivalencia lógica es transitiva.5. Existen dos mecanismos para probar la equivalencia de dos proposiciones: comparando

sus tablas de verdad o probando que la proposición compuesta bicondicional es unatautología.

6. (p ∨ q) ∧ (r ∨ s) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ (q ∧ s)7. (p ∨ V) ∧ r ⇔ r8. Para construir la tabla de verdad de (p ∧ q) ∨ (V ∧ q) se necesita considerar 8 tipos de

combinaciones posibles.9. El álgebra de proposiciones sirve para simplificar proposiciones compuestas.

Respuestas1. Falso. Dos proposiciones p y q, para que sean lógicamente equivalentes (p ⇔ q),

deben ser tales que el bicondicional p → q sea una tautología.2. Verdadero.3. Falso. Por la Ley de De Morgan, ~ (p → q) ⇔ ~ (~ p ∨ q ) ⇔ p ∧ ~ q.4. Verdadero.5. Verdadero.6. Verdadero.7. Verdadero.8. Falso. Se necesitan sólo 4, pues los valores de verdad de las proposiciones que deben

combinarse son los de p y q.9. Verdadero.

143

U N I D A D I

GlosGlosario

Álgebra Proposicional: conjunto de reglas y propiedades que permiten operar proposicio-nes con conectivos lógicos para simplificar expresiones.

Bicondicional: conectivo lógico.Conectivos Lógicos: operadores similares a los conectivos gramaticales, usados para unir

proposiciones simples y formar así proposiciones compuestas.Demostración: proceso de razonamiento lógico que permite verificar la verdad de una

proposición.Equivalente: iguales, idénticos.Equivalencia Formal: dos proposiciones son equivalentes, si tienen la misma tabla de

verdad.Equivalencia Material: dos proposiciones son equivalentes materialmente, si la equiva-

lencia es una tautología.Equivalencia Lógica: equivalencia material.Ley de De Morgan: reglas para negar proposiciones conectadas por y o por o.Lógica Simbólica: disciplina de la lógica que se preocupa de estudiar los razonamien-

tos y propiedades involucrados en la deducción de verdades, utilizando símbolos.Principio de Tercio Excluido: principio que establece que una proposición puede ser ver-

dadera o falsa, pero no puede tener otro estado.Principio de No Contradicción: principio que establece que una proposición es verdadera

o bien falsa, pero no puede tener los dos valores al mismo tiempo.Proposición: enunciado del que se puede determinar sin ambigüedad si es verdade-

ro o falso.Proposición Compuesta: proposición formada por varias proposiciones simples y conectivos

lógicos.Proposición Simple: proposición que hace referencia a un solo objeto.Propiedad Reflexiva: propiedad que establece que todo objeto se relaciona consigo mis-

mo.Propiedad Simétrica: propiedad que establece que si un objeto A se relaciona con un

objeto B, entonces el objeto B se relaciona con el objeto A.Propiedad Transitiva: propiedad que establece que si un objeto A se relaciona con un

objeto B y este objeto B se relaciona con el objeto C, entonces A se encuentra relacio-nado con C.

Propiedad Conmutativa: propiedad que establece que si un objeto A es operado con unobjeto B, entonces es igual operar el objeto B con el objeto A.

Propiedad Distributiva: propiedad que establece reglas para operar con paréntesis.Propiedad Asociativa: propiedad que establece que si los objetos A, B y C, se operan entre

sí, entonces es lo mismo operar A y B primero y después C, que B y C primero y luegoA.

144


Funcio

Propiedad de Identidad: toda proposición es idéntica a sí misma.Propiedad de Complementación: doble negación de una proposición.Tablas de Verdad: arreglo de las proposiciones simples que componen una proposición,

sus conectivos lógicos y las combinaciones posibles de los valores de verdad, quepermite determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.

Tautología: proposición compuesta que siempre tiene como valor de verdad el estadoverdadero.

Teorema: proposición de importancia matemática.

Símbolos

∨ : O

∧ : Y

~ : No

→ : Implica, condicional

↔ : Bicondicional

⇔ : Equivalencia

V : VerdaderoF : Falso

I.2.5. Funciones Proposicionales

Hasta ahora, hemos centrado nuestra atención en las proposiciones, es decir, frasesde las que podemos determinar su valor de verdad, sin ninguna duda, sólo considerando elconocimiento de alguna ciencia en particular, o su estructura lógica. En este punto, intro-duciremos la idea de una función proposicional, es decir estructuras de frases que depen-den de una o más variables que sólo al ser reemplazadas por un objeto concreto, se trans-forman en proposiciones.

Para fijar ideas, consideremos expresiones del tipo:• x < 7• 2 y + 3 = 1• y = x2

De las expresiones anteriores, nada podemos decir de su valor de verdad. Sólo cuan-do fijamos los x’s y las y’s, podemos hablar del valor de verdad de las proposiciones. Las xe y son variables, o parámetros, es decir lugares libres que pueden ser representados porobjetos particulares; por ejemplo, en la expresión “x < 7”, podríamos reemplazar x por 10 yobtener la proposición “10 < 7”, cuyo valor de verdad evidentemente es falso (F). Forma-licemos las ideas que estamos presentando.

145

U N I D A D I

Llamaremos función proposicional a una afirmación F(x) que depende de una variablex particular, y tal que para un x fijo, se transforma en una proposición.

Una función proposicional puede depender de una, dos o más variables, en cual-quier caso: F(x), F(x, y), F(x, y, z) no son proposiciones, sino más bien el esqueleto deformas de proposiciones. Por ejemplo, podemos considerar las siguientes proposiciones:

• p = “1 � 10”

• q = “2 � 10”

• r = “30 � 10”

• s � “10 � 10”

• t � “100/10 +1 – 1 � 10”

Todas estas proposiciones simples tienen en común que se preguntan si cierto númeroes distinto a 10, lo que podríamos expresar de la siguiente forma:

“_____ � 10”

Sólo al rellenar el espacio en blanco con un número obtendremos una proposición(algo de lo que podemos decir sin dudar si es verdadero o falso). Debido a lo engorrosoque pueden significar líneas en blanco, los matemáticos prefieren remplazar estas por unax, así el esqueleto de nuestras proposiciones queda expresado de la manera siguiente:

“x � 10”

Para no confundirse, y pensar que preguntamos si la letra x es distinta al número 10, esque se prefiere recalcar que la x no es más que un parámetro de una función:

F(x) = “x �10”

Ese es el origen y significado de la notación utilizada en las funciones proposicionales.Queda claro que todas las proposiciones consideradas anteriormente no son más que casosparticulares de esta expresión. Así:

• p = “1 � 10”, corresponde a F(1)

• q = “2 � 10”, corresponde a F(2)

• r = “30 � 10”, al caso F(30)

• s � “10 � 10”, cuando x = 10, F(10)

• t � “100/10 +1 – 1 � 10”, corresponde a F(100/10 + 1 – 1)”

Como se puede considerar un parámetro o variable (funciones proposicionalesuniparamétricas), es posible considerar dos, tres o más parámetros (funcionesproposicionales multiparamétricas). En los ejemplos que siguen vamos a ilustrar con másdetalle lo que se tiene que saber de este tipo de funciones.

Ejemplo I.2.5.1.Son ejemplos de funciones proposicionales:

F(x) = “x2 < 1”G(x, y) = “x2 + y2 = 1”

146


En este caso, F(3): 9 < 1 es una proposición falsa. En cambio, G(0, 1): 0 + 1 = 1 es unaproposición verdadera.

Se llama conjunto de validez de la función proposicional F, al conjunto formado portodas las evaluaciones del parámetro que logran que la proposición inducida sea verdadera.

VF = {x: v(F(x) = V}

Ejemplo I.2.5.2.

El conjunto validez para F(x) = “x2 + 1 = 0”, es vacío, �, si se considera que losparámetros x deben estar en los números reales. En efecto: x2 debe ser mayor o igual quecero para todos los números reales.

Ejemplo I.2.5.3.Encuentre el conjunto de validez para la función proposicional:

F(x) = “5x – x2 = 2x2 – 3x2 + 7x – 2x”. VF = {x ∈ �: v(F(x)) = V} = {x ∈ �: 5x – x2 = 2x2

– 3x2 + 7x – 2x} = {x ∈ �: 5x – x2 = 5x – x2} = {x ∈ �: x = x} = �.

Así el conjunto de validez corresponde a �.

Siempre cuando trabajamos con el conjunto de validez de una función proposicional,debemos aceptar de forma implícita o explícita, un conjunto universal U, donde nuestrodiscurso tenga sentido.

Ejemplo I.2.5.4.Sea F(x) = “(x - 2)(2 x – 3) = 0”, en este caso al considerar los x en el contexto de los

números naturales, se tiene que el conjunto de validez corresponde al conjunto compuestopor el número 2:

VF = {x ∈ �: v (F(x)) = V} = {x ∈ �: (x – 2)(2x –3) = 0} = {2}.

En cambio, si consideramos a F como una función proposicional, con parámetros enel conjunto de los números reales �, se tiene:

VF = {x ∈ �: v(F(x)) = V} = {x ∈ �: (x – 2)(2x – 3) = 0} = {2, 3/2}.

Con este ejemplo se recalca que el conjunto de validez depende mucho en el contextodonde se están escogiendo los parámetros de la función proposicional. El conjunto univer-sal considerado para los parámetros debe ser mencionado si no es clara su naturaleza.

Diremos que dos funciones proposicionales son equivalentes, si sus conjuntos de va-lidez son iguales:

F(x) es equivalente a G(x) ssi VF = VG.

Escribiremos F(x) ⇔ G(x).

Ejemplo I.2.5.5.Consideremos las proposiciones:

F(x) = “(x – 2)(x – 3) = 0”G(x) = ”(2x –6)(2x – 4)(x – 2) = 0”

147

U N I D A D I

Como sus conjuntos de validez son iguales (VF = {2, 3} = VG), ambas funcionesproposicionales son equivalentes. Así:

F(x) ⇔ G(x)

Todas las propiedades válidas para las proposiciones, son también aceptadas para lasfunciones proposicionales. Por ejemplo, entre otras se tiene:

• ~ (F(x) ∧ G(x)) ⇔ ~ F(x) ∨ ~ G(x)

• ~ (F(x) → G(x)) ⇔ F(x) ∧ ~ G(x)

• ~ (~ F(x)) ⇔ F(x)

Se sugiere al lector re-escribir las propiedades de las proposiciones en el caso defunciones proposicionales.

Ejemplo I.2.5.6.Sean F(x) = “x – 1 = 0” y G(x) = “(x –1)(x + 1) =0” funciones proposicionales de

números reales. Supongamos además que se considera la proposición H(x) = ~(F(x) ∧ ~ G(x)).Por la afirmación anterior, se tiene que H(x) = ~ F(x) ∨ G(x): H(x) = “x – 1 � 0 ∨ (x – 1)( x + 1)= 0}.

Una pregunta interesante sería determinar el conjunto de validez de la funciónproposicional H(x) y verificar si existe alguna relación con los conjuntos de validez de lasfunciones proposicionales F(x) y G(x).

ACTIVIDADES I.2.5.7.1. Niegue cada una de las siguientes funciones proposicionales de números reales:

a. F(x) = “x � 0 → (x – 1) � -1”

b. F(x, y) = “(x = 1 ∧ y = 2) → (x – 1)(y – 2) = 0”

c. F(x) = “x = 2 ∨ x = 3 → (x – 2)(x – 3) = 0”

d. F(x) = “2x –2 = 0 ∨ (x = 3 → 2x = 7)”

e. F(x) = “x = x ∨ x � x”

Solución:

a. ~ F(x) = “x � 0 ∧ x – 1 = - 1”

b. ~ F(x, y) = “x = 1 ∧ y = 2 ∧ (x – 1)(y – 2) � 0”

c. ~ F(x) = x“ = 2 ∨ x�= 3 ∧ (x – 1)(x – 3) ��0”

d. ~ F(x) = “2x – 2 � 0 ∧ (x = 3 ∧ 2x � 7)”

e. ~ F(x) = “x � x ∧ x = x”

2. Determine el conjunto de validez de las siguientes funciones proposicionales:

a. F(x) = “x = x ∨ x � x”

b. F(x) = “(x – 2) (x –3) (x – 4) = 0”c. F(x) = “2x –10 = - 6”

d. F(x) = “2x = 4 ∧ 3x = 9”

148


Solución:

a. VF = �

b. VF = {2, 3, 4}c. VF = {2}

d. VF = �

3. Determine cuál de las siguientes expresiones corresponden a funciones proposicionales.a. “Hoy llueve en Puerto Montt”.

b. “x = 2 → 2x = 4”

c. “(x – 1) (x + 1)”d. “x –1 = x – 1”e. “El hermano de x, es el padre de y”

Solución:a. No es una función proposicional, pues ya es una proposición.b. Es una función proposicional (al reemplazar x se puede determinar si es verdade-

ra o falsa).c. No es una función proposicional, pues aun cuando se reemplace el valor de x, sólo

quedara una expresión aritmética de la que no se puede decir si es verdadera o falsa(notar que esto ocurre porque no se realiza ninguna operación de comparación porejemplo).

d. Es una función proposicional. Note que al reemplazar x por cualquier valor realserá verdadera.

e. Es una función proposicional de dos parámetros.

Ejercicios I.2.5.8.1. Determine cuál de las siguientes expresiones corresponde efectivamente a funciones

proposicionales:a. “El día está lindo”b. “un día del año”c. “los números x y x +1 suman 10”d. “los números x e y son múltiplos de 2”

2. Evalúe las siguientes funciones proposicionales con el valor indicado y determinar suvalor de verdad:

a. F(x) = “x < 10 ∨ x > 5”, x = 20.

b. F(x) = “~ (x < 10 ∨ (x - 5)(2x + 3) � 0), x = 5.

c. F(x, y) = “ x < y ∧ (x – 2)(y + 3) = 0”, x = 1, y = 2.

3. Determine el conjunto de validez de las siguientes proposiciones:

a. F(x) = “x > 5 ∧ x < 10, x es un número natural”

b. F(x) =”x < 0 y x es un número natural”c. F(x) = “2x es un número par”d. F(x) = “(x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1) = 0”

149

U N I D A D I

4. Determine si las siguientes proposiciones son equivalentes o no:a. F(x) = “(x – 2)(x + 2) = 0”, G(x) = “x –2 = 0”b. F(x) = “x es un número impar”, G(x) =”x es un número primo”c. F(x) = “(2x – 3)(x + 1) = 0” y G(x) = “(4x + 4)(6x – 9) = 0”

5. Niegue cada una de las siguientes proposiciones:

a. F(x) = “(2x –3)(x – 5) = 0 → (x = 5 ∨ (x – 3)(x + 1) =0)”

b. F(x) = “(x –1) < 5 → ~ (x + 2 > 1 ∨ x – 1 � 3)”

c. F(x) = “(x < 5 ∧ x > 10”

Respuestas1. a. No es una función proposicional, es una proposición.

b. Ni siquiera es una proposición.c. Función proposicional uniparamétrica.d. Función proposicional biparamétrica.

2. a. v(F(20)) = V.b. v(F(5)) = F.c. v(F(1,2)) = F.

3. a. VF = {6, 7, 8, 9}

b. VF = �

c. VF = {2, 4, 6, 8, 10, ...}d. VF = {2, -2, 1, -1}

4. a. VF = {2, -2} � {2} = VG, luego las proposiciones no son equivalentes.

b. Evidentemente ambas proposiciones no son equivalentes, VG � VF, en efecto, 2 esnúmero primo, pero no es impar. También 9 es un número impar, pero no es primo.

c. VF = {3/2, -1} = VG. Luego, ambas proposiciones son equivalentes.

5. a. ~ F(x) = “(2x – 3)(x – 5) = 0 ∧ (x � 5 ∧ (x – 3)(x + 1) � 0”

b. ~ F(x) = “x – 1 < 5 ∧ (x + 2 > 1 ∨ x – 1 � 3)”

c. ~ F(x) = “x ≥ 5 ∨ x ≤ 10”

RESUMENEn esta sección se introduce el importante concepto de función proposicional, esto es,

expresión que no es proposición pues mantiene un parámetro libre, al que, al asignarle unvalor concreto, permite recién determinar el valor de verdad de la expresión propuesta. Sepostula que los conectivos lógicos entre funciones proposicionales se pueden manejar con lasmismas propiedades de las proposiciones y se establece el concepto de conjunto de validezpara una función proposicional, el conjunto formado por aquellos valores que transforman ala función en una proposición verdadera, y el de equivalencia entre funciones proposicionales,aquellas que tienen el mismo conjunto de validez.

150


Glos

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. De una función proposicional se puede afirmar sin ambigüedad si es verdadera o falsa.

2. Una función proposicional es una proposición compuesta de fórmulas matemáti-cas.

3. Si dos funciones proposicionales tienen como conjunto de validez el conjunto vacío, ellasson equivalentes.

4. Las mismas reglas del álgebra proposicional son válidas para las funciones proposicionales.

5. Si dos funciones proposicionales no son equivalentes, entonces no pueden tener el mismoconjunto de validez.

6. ~(F(x) ∧ G(x)) ⇔ ~ F(x) ∧ ~ G(x)

7. F(x) ∧ G(x) ⇔ G(x) ∧ F(x)

Respuestas1. Falso. Se deben evaluar primero sus parámetros.2. Falso.3. Verdadero.4. Verdadero.5. Verdadero.6. Falso. Aplicar Ley de De Morgan.7. Verdadero.

Glosario

Conjunto: colección de objetos perfectamente bien diferenciados entre sí, que confor-man una totalidad.

Conjunto Universal: conjunto de todos los objetos imaginables en un cierto ámbito.Conjunto Vacío: conjunto que no contiene ningún elemento.Conjunto de Validez: conjunto de todos los parámetros que tornan una función

proposicional en verdadera.Estructura Lógica: estructura de una proposición o función proposicional, considerando

las proposiciones simples y los conectivos lógicos.Función: mecanismo que permite estructurar la forma en que se relacionan uno o más

parámetros, sin preocuparse de los valores de éstos.Función Proposicional: función que al determinar sus parámetros, se transforma en una

proposición.

151

U N I D A D I

Funciones Proposicionales Uniparamétricas: función proposicional que depende de unsolo parámetro.

Funciones Proposicionales Multiparamétricas: función proposicional que depende de másde un parámetro.

Número Real: elemento del conjunto de los números reales.Parámetros: objeto genérico al que no se le fija un valor determinado, sólo un rango de

variación.Proposición: frase de la que se puede decir sin ambigüedad que es verdadera o falsa.Proposiciones Equivalentes: proposiciones cuyos valores de verdad son iguales.Valor de Verdad: estado de una proposición, puede ser verdadero o falso.Variables: parámetros.

Símbolos< : Menor que= : Igual que

� : Distinto que

F(x) : Función proposicionalv(F(x)) : Valor de verdad de la función proposicionalV : VerdaderoF : Falso

� : Conjunto vacío.

� : Conjunto de los números reales

� : Conjunto de los números naturales

∈ : Pertenece

→ : Implica

∧ : y

∨ : o

⇔ : Equivalencia lógica

~ : Negación

↔ : Bicondicional

152


CuantifI.2.6. Cuantificadores

Consideremos un conjunto universal U. Si queremos decir que todos los x en U hacende F(x) una proposición, entonces escribimos:

(� x ∈ U)(F(x))

y se lee: “para todo x, x en U, F(x) es una proposición”. El símbolo � (para todo, cualquierasea), se llama cuantificador universal.

Se debe observar que la expresión anterior corresponde en realidad a una proposición.En efecto, estamos afirmando que todos los elementos en U satisfacen la funciónproposicional F(x). Es claro que el valor de verdad de (� x ∈ U)(F(x)) depende del conjuntode validez de la función proposicional F(x).

• Si VF = U, entonces (� x ∈ U)(F(x)) es verdadera (V).

• Si VF � U, entonces (� x ∈ U)(F(x)) es falsa (F).

Es claro que VF � U, significa que existe x ∈ U, tal que x no satisface F(x) (v(F(x)) = F).

Ejemplo I.2.6.1.

Sea P = (� x ∈ �)(x2 + 1 = 0). Es claro que v(P) = F, pues el conjunto de validez de F(x)= x2 + 1= 0, es vacío, �, y � � �

Ejemplo I.2.6.2.

Sea Q = (� x ∈ �)(x2 es mayor o igual a 0). Es claro que v(Q) = V, pues todo númeroreal es positivo.

Ejemplo I.2.6.3.

Sea R = (� x ∈ �)(x2 > 10).

El conjunto validez de F(x) = “x2 > 10”, VF = {x ∈ �: x2 > 10} = {x ∈ �: x > 4} � �Luego v(R) = F.

Ejemplo I.2.6.4.

Sea S = (� x ∈ �)(x2 – 1 = 0)

VS = {x ∈ �: x2 – 1 = 0} = {1, -1} � �.

Luego S es una proposición falsa (F).Para expresar que al menos un elemento del conjunto U satisface la función

proposicional F, escribimos:

(∃ x ∈ U)(F(x))

153

U N I D A D I

Se lee: “existe un x en el conjunto U, tal que F(x)”. El símbolo ∃ se llama cuantificadorexistencial. Resulta evidente que la proposición (∃ x ∈ U)(F(x)) es verdadera (V) si VF � � yfalsa si = �.

Ejemplo I.2.6.5.

Sea P = (∃ x ∈ �)(x2 – 4 = 0)

VP = {x ∈ �: x2 – 4 = 0} = { 2, -2} � �

Luego, v(P) = V

Ejemplo I.2.6.6.

Sea Q = (∃ x ∈ �)(x + 1 = 2x + 1 – x)

VQ = {x ∈ �: x + 1 = 2x + 1 – x} = � � �

Luego, v(Q) = V

Ejemplo I.2.6.7.

Sea R = (∃ x ∈ �)(x < 0)

VR = {x ∈ �: x < 0} = �

Luego, v(R) = F.La negación del cuantificador universal, es el cuantificador existencial, en efecto:

~ (� x ∈ U)(F(x)) ⇔ (∃ x ∈ U)(~ F(x))

De la misma forma, la negación de un cuantificador existencial, es el cuantificadoruniversal; en efecto:

~(∃ x ∈ U)(F(x)) ⇔ (� x ∈ U)(~F(x))

Ejemplo I.2.6.8.

Encuentre la negación de la proposición: (∃ x ∈ �)((� y ∈ �)(x2 + y2 = 1)). En este caso,se tiene:

(� x ∈ �)((∃ y ∈ �)(x2 + y2 = 1)

Se debe observar que en algunos casos es más fácil encontrar el valor de verdad dela negación de una proposición que encontrar el valor de verdad de la proposición origi-nal.

Cuando se prueba que una proposición basada en el cuantificador universal (� x ∈U)(F(x)) es falsa, se debe localizar un xo ∈ U que cumpla que F(xo) es falsa. El elemento xo seconoce como contra ejemplo de la proposición.

ACTIVIDADES I.2.6.9.1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, considerando

que U son todos los números reales (U = �),a. (� x ∈ U)(máximo entre x y –x es mayor o igual que 0)b. (∃ x ∈ U)( x2 = x)

154


c. (∃ x ∈ U)((� y ∈ U)(x + y2 > 0))d. (∃ x ∈ U)( x2 + 1≤ 0)e. (∃ x ∈ U)((� y ∈ U)(x2 + 2y < 10))f. (� x ∈ U)(x – 1 > x +1)g. (� x ∈ U)(x2 + 1 3)h. (� x ∈ U)((� y ∈ U)(x2 - 2y < 10))i. (� x ∈ U)((∃ y ∈ U)(x2 + 2y <10))

Solución:a. Verdadero. b. Verdadero.c. Verdadero. d. Falso.e. Falso. f. Falso.g. Falso. h. Falso.i. Verdadero.

2. Repita el ejercicio anterior con U = {1, 2, 3}Solución:

a. Verdadero. b. Verdadero.c. Verdadero. d. Falso.e. Verdadero. f. Falso.g. Falso. h. Verdadero.i. Verdadero.

3. Niegue cada una de las proposiciones del ejercicio 1.Solución:

a. (∃ x ∈ U)(máximo entre x y –x menor que cero)b. (� x ∈ U)(x2 � x)c. (� x ∈ U)((∃ y ∈ U)(x + y2 ≤ 0))d. (� x ∈ U)(x2 + 1 > 0)e. (� x ∈ U)((∃ y ∈ U)(x2 + 2y < 10))f. (∃ x ∈ U)(x – 1 ≤ x + 1)g. (∃ x ∈ U)(x2 + 1 < 3)h. (∃ x ∈ U)((∃ y ∈ U)(x2 – 2y ≥ 10))i. (∃ x ∈ U)((� y ∈ U)(x2 – 2y ≥ 10))

4. Encuentre un contraejemplo para: (� x ∈ �)(x + 1 = 0).

Solución:

Basta con considerar x = 1, en efecto: x + 1 = 1 + 1 = 2 � 0.

Ejercicios I.2.6.101. Niegue cada una de las siguientes proposiciones

a. (� x)(P(x) ∧ Q(x)) → (∃ x)(P(x) ∨ Q(x))

b. (� x)(P(x) → Q(x)) ∧ (∃ x)(P(x) → (� x)(~P(x) → ~Q(x))

c. ((� x)(P(x) ∧ (∃ x)(Q(x))) → (∃ x)(P(x)) ∨ (� x)(Q(x))

d. ((� x)(P(x)) ∧ (∃ x)(Q(x))) → (� x)(� y)(P(x) ∧ Q(y))

e. ((∃ x)(P(x)) ∨ (� y)(Q(y))) → (∃ x)((∃ y)(P(x) ∨ Q(y)))

155

U N I D A D I

f. (� x)((∃ y)(P(x) → Q(y))) → ((� x)(P(x)) ∧ (� y)(Q(y)))

g. (� x)((∃ y)(P (x, y) → Q (x, y))) → (∃ x)((� y)(Q(x, y) → P(x, y)))

h. (� ε > 0)((∃ ��> 0) (a < � → b < ε ))

2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, considerandoque U = {1, 2, 3, 4, 5}

a. (∃ x ∈ U)(máximo entre x y –x sea mayor o igual a 0)

b. (∃ x ∈U)(x + 3 � 10)

c. (� x ∈ U)(x2 + 2 ≤ 5)

d. (� x ∈ U)(x2 – 1 0)

e. (∃ x ∈ U)(x – 3 4)

f. (∃ x ∈ U)(x2 -2x > 1)

3. Escriba la negación de cada una de las siguientes proposiciones de la manera más simpleposible:a. Todas las rubias tienen ojos azules.b. Si el profesor está ausente, algunos estudiantes no terminan su tarea.c. Todos los estudiantes terminaron su tarea y el profesor está presente.d. Algunos estudiantes no terminaron su tarea o el profesor está ausente.e. Todos los gatos sin bigote hablan inglés.f. Existe al menos un gato que no tiene cola o bien todos los gatos tienen bigotes, pero no

hablan inglés.g. Una morena tiene los ojos azules, pero todas las rubias no tienen los ojos casta-

ños.h. Si una morena tiene los ojos azules, entonces ninguna rubia los tiene castaños o al

menos una los tiene verdes.

Respuestas1. a. (� x)(P(x) ∧ Q(x)) ∧ (� x)(~ P(x) ∧ ~ Q(x))

b. (∃ x)(P(x) ∧ ~ Q(x)) ∨ (� x)(P(x) ∧ (∃ x)(~ P(x) ∧ Q(x))

c. ((� x)(P(x) ∧ (∃ x)(Q(x))) ∧ (� x)(~ P(x)) ∧ (∃ x)(~ Q(x))

d. ((� x)(P(x)) ∧ (∃ x)(Q(x))) ∧ (∃ x)(∃ y)(~ P(x) ∨ ~ Q(y))

e. ((∃ x)(P(x)) ∨ (� y)(Q(y))) ∧ (� x)((� y)(~ P(x) ∧ ~ Q(y)))

f. (� x)((∃ y)(P(x) → Q(y))) ∧ ((∃ x)(~ P(x)) ∨ (∃ y)(~ Q(y)))

g. (� x)((∃ y)(P(x, y) → Q(x, y))) ∧ (� x)((∃ y)(Q(x, y) ∧ ~ P(x, y))

h. (∃ ε > 0)((� � > 0) (a < � ∧ b ≥ ε ))

2. a. Verdadero. b. Verdadero.c. Falso. d. Verdadero.e. Falso. f. Verdadero.

156


3. a. Hay una rubia que no tiene los ojos azules.b. El profesor está ausente y todos los estudiantes terminan su tarea.c. Al menos un estudiante no terminó su tarea o el profesor está ausente.d. Todos los estudiantes terminaron su tarea y el profesor está presente.e. Hay al menos un gato sin bigote que no habla inglés.f. Todas las morenas tienen los ojos azules o algunas rubias tienen los ojos casta-

ños.g. Una morena tiene los ojos azules, y una rubia no tiene los ojos castaños y todas tienen

los ojos verdes.

RESUMENEn esta sección se introducen los cuantificadores universales y existenciales. Se postu-

la que el álgebra proposicional anteriormente estudiada es aun válida para trabajar conproposiciones que involucren cuantificadores. Por último, se enfatiza que la negación deuna proposición que contiene un cuantificador universal, es una proposición que contieneun cuantificador existencial. Recíprocamente, la negación de una proposición que contieneun cuantificador existencial, es una proposición que contiene un cuantificador universal.


1. La negación de para todo es al menos uno.

2. La negación de al menos uno puede ser ninguno.

3. La negación de “todos los días llueve en Puerto Montt” es “ningún día llueveen Puerto Montt”.

4. El álgebra proposicional es válida aun en presencia de los cuantificadores existenciales y universales.

5. La doble negación de una proposición universal, es una proposiciónexistencial.

6. Cualquier expresión que contenga un cuantificador universal es necesa-riamente una proposición.

7. Con los cuantificadores se pueden construir tipos especiales de funciones proposicionales.

Respuestas1. Verdadero.2. Verdadero.3. Falso. La negación sería: “al menos un día no llueve en Puerto Montt”.4. Verdadero.5. Falso. Es también una proposición universal.

157

U N I D A D I

Glos6. Falso. Considerar: “Todos los días”7. Verdadero.

Glosario

Conjunto: colección bien determinada de objetos distinguibles entre sí, que conformanuna totalidad.

Conjunto de Validez: conjunto de todos los parámetros que convierten en verdadera unafunción proposicional.

Conjunto Universal: conjunto de todos los elementos posibles en relación con un ciertoámbito.

Contra Ejemplo: ejemplo que muestra la falsedad de una proposición.Cuantificador Existencial: existe al menos un elemento que satisface un determinado cri-

terio.Cuantificador Universal: todos los elementos cumplen con un criterio.Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.Función Proposicional: función que al fijar sus parámetros se convierte en una pro-

posición.Negación: conectivo lógico.Número Real: elemento del conjunto de los números reales.Proposición: frase de la que se puede decir sin ambigüedad que es verdadera o falsa.Valor de Verdad: estado de una proposición, puede ser verdadera o falsa.

Símbolos

� : Para todo

∃ : Existe

U : Universo

∈ : Pertenece

= : Igual que

� : Distinto que

� : Conjunto vacío


> : Mayor queV : VerdaderoF : FalsoF(x) : Función proposicionalVF : Conjunto de validez

158


LógicaI.2.7. Lógica Deductiva

Una teoría matemática es un conjunto de proposiciones que se siguen o que se dedu-cen unas de otras según el esquema de la deducción lógica, llamado razonamiento.

En todo proceso de deducción lógica, las proposiciones de partida forman lo que sellama hipótesis, y la conclusión a que se llega, mediante el razonamiento, es la tesis.

Por lo tanto, en toda deducción lógica, se pueden distinguir tres elementos funda-mentales:

• La tesis, que es lo que se quiere probar.• El principio en que se funda la tesis, o sea las premisas que constituyen la hipótesis.• El razonamiento que es el proceso lógico por el cual la tesis deriva de las premisas o

hipótesis.Además, todo razonamiento se puede descomponer en varios otros, mucho más sim-

ples, llamados silogismos.En un razonamiento válido, esto es, correcto, la tesis se deduce o es una consecuencia

lógica de la hipótesis. Pero, la verdad de un razonamiento es algo distinto de la verdad de lasproposiciones que en él intervienen. Esto es, la verdad formal o corrección lógica es distintade la verdad material o real, es decir, del contenido de las proposiciones.

A menudo se dice que el método de las Matemáticas es deductivo, razonamiento queconsiste en pasar de lo general a lo particular. De esto resultaría que esta ciencia no nosaportaría ningún conocimiento nuevo (se limitaría a derivar de ciertas proposiciones genera-les, que le sirven de base, algunas proposiciones particulares contenidas en ellas). La Mate-mática se reduciría a una inmensa tautología, como lo expresa Poincaré en su libro “LaScience et l’Hypothese”, y ningún teorema sería nuevo.

Sin embargo, a medida que avanzamos en el estudio de las Matemáticas, vamos ad-quiriendo verdades y conocimientos nuevos que no estaban implícitos en las presuposicio-nes. Por consiguiente, es preciso concebir la deducción matemática como una forma dife-rente de la deducción formal, y en particular del silogismo.

Lo que caracteriza la deducción matemática, lo que constituye su naturaleza peculiar,es que no procede como el silogismo, sino que avanza por substituciones, es decir, que vareemplazando unas proposiciones por otras equivalentes.

En el razonamiento matemático no hacemos más que sustituir unos términos por otrosequivalentes, y éstos, a su vez, aumentados o disminuidos en cantidades equivalentes. Deeste modo, el razonamiento matemático adquiere el significado de una verdadera creación,porque llega a consecuencias nuevas.

En estas sustituciones, en que se aplica el Principio de Identidad, el curso de la deducciónes interrumpido por la introducción de nuevas proposiciones, que son definiciones u otras pro-posiciones ya probadas, y permiten el progreso constante del conocimiento.

En resumen, la demostración matemática participa de la naturaleza del silogismo, por-que puede presentar a veces la forma de una inferencia mediata, pero difiere de él por muchosaspectos. En el silogismo, hay que recordarlo, la conclusión o tesis deriva necesariamente delas premisas o hipótesis, sean ellas verdaderas o falsas, y la conclusión no es necesariamente

159

U N I D A D I

verdadera. En cambio, en la demostración Matemática las premisas son verdades de las que sederivan otras verdades absolutamente necesarias.

Por lo tanto, la deducción lógica o demostración consiste de creaciones nuevas, entrelas que, sin embargo, existen las mismas relaciones, puesto que se fundamentan en el prin-cipio de identidad de la lógica en su aspecto extensional.

Acabamos de decir que en la demostración matemática las consecuencias se deri-van con toda necesidad de ciertas cantidades y relaciones que se han previamente ofreci-do como verdades ya aceptadas. Por tanto, precisa saber ahora de dónde surge esa nece-sidad, esa derivación forzosa y rigurosa, que es el valor máximo de la Matemática. Sonmuy pocos los principios científicos que se aceptan como verdaderos sin ninguna demos-tración. Es preciso, pues, que el punto de partida de la demostración tenga una base in-conmovible, y este cimiento sólo puede darle cierto número de elementos irreductibles. Setrata, en suma, de averiguar cuáles son estos principios supremos que no pueden derivarsede otros principios más simples. Estas verdades irreductibles, estos principios fundamenta-les son las nociones matemáticas, que pueden resumirse en dos categorías:

• Las Definiciones, y• Los Axiomas.

En general, las definiciones son juicios que contienen las cualidades esenciales de unconcepto. Como éste hace referencia a un objeto mediante la definición determinamos lanaturaleza de ese objeto, diferenciándolo del resto. Pero debemos distinguir las definicionesque usamos en las ciencias de la naturaleza de aquellas que llamamos definiciones matemá-ticas. Las primeras se hacen por el género próximo y la diferencia específica, y las segundashacen referencia a una ley general por la que se produce o “engendra” la noción que sedefine. Por lo tanto, las definiciones matemáticas son genéricas, puesto que enuncian la leyde formación de un número o de una figura. Así, por ejemplo, se define el triángulo diciendoque “es una figura formada por tres rectas que se cortan de dos en dos en el plano”; peropreviamente habría que aclarar qué es una figura formada por tres rectas, es decir, unpolígono. Procediendo así, hacia atrás, llegaremos a nociones o conceptos que no podemosdefinir en términos más simples (por ejemplo, la noción de punto en el espacio). Estos pri-meros conceptos que aceptamos sin definición, los llamaremos primitivos; es decir los acep-tamos como suficientemente claros para nuestro objeto.

Las definiciones que emplean las ciencias empíricas, que se basan en la experiencia,son por su naturaleza imperfectas, porque sólo podrían abarcar un número limitado de suscaracteres. A medida que una ciencia empírica progresa, también evolucionan los concep-tos de sus objetos, por el descubrimiento de nuevas propiedades que se van agregando en ladefinición.

En cambio, las definiciones matemáticas son perfectas, definidas e inmutables, porqueno concebimos que las Matemáticas progresen de modo que consideremos falsa la defini-ción de triángulo o de la circunsferencia, o de un número primo, por ejemplo.

Si agregásemos un carácter nuevo a una noción matemática, perdería su esencia ydejaría de ser ella.

Además, las definiciones matemáticas son universales. Esto quiere decir, que en cual-quier circunstancia de tiempo y de lugar en que consideremos, por ejemplo, un triángulo, unacircunsferencia, o un número primo; siempre tendrán la misma ley de formación y podremosaplicarla sin excepción para la construcción de dicha figura, o número.

160


La demostración matemática no se efectúa solamente derivando consecuencias de lasdefiniciones, se basa también en otra clase de proposiciones que le sirven de principio. Estosprincipios son los axiomas.

En realidad, ni siquiera los axiomas son verdades evidentes de manera absoluta, sinoprincipios cuya aceptación en el sistema de la ciencia queda justificado por todos los resul-tados que de dicha aceptación se siguen y que son comprobados por la práctica.

Los axiomas deben su consideración de verdades indemostrables tan sólo al hecho deque las simplísimas relaciones de las cosas en que se fundan han sido comprobadas por eldesarrollo milenario de la actividad práctica del hombre.

La certeza de los axiomas proviene de que somos incapaces de concebir lo contrariode lo que enuncian. En cada ciencia, los axiomas constituyen una parte mínima de ellos. Losdemás principios, en su calidad de verdades, no se aplican de manera inmediata ni desco-nectados de otras verdades, sino por demostración, es decir, averiguando sus conexionesnecesarias con las demás verdades.

Por consiguiente, la demostración no constituye, pues, un elemento secundario delpensamiento científico, sino su nervio vital, la condición primera y necesaria para que unaafirmación posea carácter científico.

Uno de los rasgos esenciales del pensamiento científico es, precisamente, su afán dedemostración. La ciencia y el pensamiento científico no toleran las afirmaciones gratuitas.Una afirmación, cualquiera que ella sea, sólo alcanza rango científico cuando está funda-mentada.

La demostración, no sólo en Matemáticas sino en todas las ciencias, es pues, igual-mente necesaria para que se pueda admitir que una proposición está rigurosamente funda-mentada. En este sentido, conviene considerar que no es la certidumbre subjetiva lo queconfiere al pensamiento la fuerza irresistible de la convicción, sino el convencimiento de-mostrado.

Así, los conceptos primitivos, las definiciones y los axiomas son los principiosirreductibles que sirven de punto de partida para las demostraciones de los teoremas queson enunciados o proposiciones que exigen una prueba. Gracias a estos elementos, la de-ducción se hace rigurosa, o se verifica de forma de una necesidad lógica absoluta.

Por último, desde el punto de vista de la Matemática, las nociones matemáticas, estoes los conceptos primitivos, las definiciones y las proposiciones primitivas o axiomas no sonmás que meras hipótesis o convenciones (pero no evidentes por sí mismos, como todavíaerradamente se define); y lo que preocupa al matemático es deducir las consecuencias deestas nociones primitivas, que serán indiscutiblemente ciertas si lo son las nociones primiti-vas.

Revisemos ahora, lo que se entiende formalmente por algunas proposiciones muyespeciales que aparecen siempre en toda teoría Matemática. Estamos hablando de los teore-mas, lemas, corolarios.

Se ha dicho que los axiomas se aceptan sin demostración; en cambio, los teoremasson proposiciones verdaderas y que exigen una prueba que se obtiene mediante una suce-sión de silogismos que permite pasar de los axiomas o teoremas previamente establecidos,al teorema dado.

Un lema, es un teorema que se utiliza sólo para demostrar otros teoremas. Por asídecirlo, es una cadena de razonamientos lógicos que se guarda con el nombre de lema, parano estar repitiéndolos siempre.

161

U N I D A D I

Glos

Un corolario, en cambio, es un teorema que se deduce directamente de otro teorema,sin necesidad de efectuar complejos razonamientos. Generalmente corresponde a casosparticulares de un teorema, que tienen aplicaciones prácticas evidentes.

RESUMENEn esta sección se discute en qué consiste el razonamiento matemático, y cuáles

son sus principales características. Además se definen algunos importantes conceptosrelacionados con el proceso, tales como axiomas, definiciones, lemas, teoremas y coro-larios.


1. Un axioma debe ser demostrado.

2. Un corolario es una proposición aceptada como verdadera.

3. Un lema es un teorema que sólo se utiliza para demostrar otros teoremas.

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Verdadero.

Glosario

Axioma: proposición aceptada como verdadera sin ninguna clase de discusión.Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados entre sí que confor-

man una totalidad.Corolario: teorema deducido directamente como consecuencia de otro teorema.Deducción lógica: proceso que permite deducir verdades a partir de proposiciones pre-

viamente demostradas.Equivalente: iguales.Hipótesis: proposición que se acepta como verdadera. Es la condición de partida de un

teorema.Lema: teorema utilizado sólo para demostrar otros teoremas.Principio de Identidad: principio que establece que todo objeto es igual a sí mismo.Proceso Lógico: deducción lógica.Proposición: frase de la que se puede determinar sin ambigüedad si es verdadera o falsa.Silogismos: proposiciones muy simples. Generalmente corresponden a proposiciones de

162


Técni

pertenencia evidentes.Tautología: proposición compuesta que siempre es verdadera, independiente del valor de

verdad de las proposiciones simples que la componen.Teorema: proposición importante en el contexto de las Matemáticas.Teoría Matemática: Conjunto de axiomas, lemas, definiciones, teoremas y corolarios demos-

trados que permiten resolver alguna situación de interés en la Matemática.Tesis: proposición que debe ser demostrada en un teorema.

I.2.8. Técnicas de Demostración

En general, los teoremas en Matemáticas pueden presentarse en forma de implicación.Si H es la hipótesis y T la tesis, el teorema se expresa:

H ⇒ T

Se usan las siguientes denominaciones:

• H ⇒ T: implicación directa

• T ⇒ H: implicación recíproca

• ~H ⇒ ~T: implicación contraria

• ~T ⇒ ~H: implicación contrarrecíproca.

Un teorema es una implicación verdadera, es decir, demostrable.

Cuando se tienen ambos teoremas: H ⇒ T y T ⇒ H, se reúnen en uno sólo H ⇔ T. Lademostración en tal caso, debe realizarse en ambos sentidos (⇒ y ⇐).

Si la implicación H ⇒ T es verdadera, ello no implica que su contraria o su recíprocason verdaderas; aunque sí necesariamente lo es su contrarrecíproca.

Si en una demostración se sustituye una de las partes de una implicación por unaproposición equivalente, se obtiene una implicación del mismo sentido (por el principio deidentidad).

Un teorema H ⇒ T se presenta normalmente como una implicación verdadera conantecedente (H) verdadero. Lo que se trata de demostrar es que “si H es verdadera, entoncespor implicaciones verdaderas, T es verdadera”.

Para demostrar un teorema se puede usar el procedimiento directo o bien uno indi-recto.

En la demostración directa de H ⇒ T se parte de H verdadera e implicación H ⇒ Tverdadera, y se concluye (mediante razonamiento deductivo, haciendo referencia a axio-mas, definiciones y teoremas previamente demostrados) que T es verdadera.

[H ∧ (H ⇒ T)] → T

Ejemplo I.2.8.1.Demostrar que, en el conjunto de los números reales, se verifica que “si ab = bc y

b � 0, entonces a = c” (es decir [ (ab = bc) ∧ (b � 0)] ⇒ (a = c)).

163

U N I D A D I

Demostración:Sean a, b y c, números reales tales que (ab = bc).

(ab = bc) ⇒ (ab – bc) = 0

⇒ b (a – c ) = 0

⇒ (b = 0) ∨ (a – c = 0)

⇒ a – c = 0 (pues por hipótesis se tiene que b � 0)

⇒ a = c

Se ha demostrado así que si ab = bc y b � 0, entonces a = c.

Una demostración indirecta puede ser por el contrarrecíproco, o bien, por reducciónal absurdo.

Por el contrarrecíproco, se utiliza la equivalencia (H ⇒ T) ↔ (~T ⇒ ~H). De esta manera,en vez de probar H ⇒ T, se prueba ~T ⇒ ~H; resulta T verdadera siendo H verdadera. En formamás precisa, se dice: Como ~H es falsa (por ser H verdadera) y la implicación ~T ⇒ ~H verda-dera, se tiene que ~T es falsa; y, en consecuencia, T verdadera.

Ejemplo I.2.8.2.Demostrar que “si el cuadrado de un número natural es par, entonces el número es

par”.Demostración:

Sea x un número natural arbitrario.

Se quiere probar que si x2 es par ⇒ x es par.

Consideremos que x es impar ⇒ x2 es impar.

De aquí el resultado.Por reducción al absurdo (o contradicción). Si se trata de probar que una proposición

T es verdadera, se “supone temporalmente” que T es falsa; de aquí se obtiene una expresióncontradictoria (absurda); ello indica que el supuesto de que T es falsa es erróneo, por lo queT debe ser necesariamente verdadera.

En algunas ocasiones se tiene una proposición de forma de conjetura (es decir, unaproposición que se sospecha que puede ser verdadera). Si efectivamente lo es, pasa a ser unteorema.

Para probar que una conjetura es falsa, basta con mostrar un contraejemplo; es decir,un ejemplo para el que se vea que ella no se cumple. Esto equivale a demostrar su negación.De aquí que este procedimiento por el contraejemplo se puede considerar como un métodoindirecto de demostración (el contraejemplo prueba la verdad de la negación de la conjetu-ra).

ACTIVIDADES I.2.8.3.1. Escriba la proposición contrarrecíproca, recíproca y contraria de:

a. Si Juanito el Travieso es poeta, entonces es pobre.b. Solamente si Pepito el Malandrín estudia, pasará las pruebas.c. Si x es menor que cero, entonces x no es positivo.

d. x y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0

164


e. Si x = 3, entonces x2 = 9.f. Si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, ellas son paralelas.g. Si 3x + 2 = x + 4, entonces x = 1

2. Encuentre un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:a. Todo número par más uno es un número par.b. Todos los números naturales son impares.c. Todos los números primos son impares.d. Todos los números reales son pares o impares.

RESUMENEn esta sección se definen e ilustran las principales técnicas de demostración que se

utilizarán a partir del próximo capítulo para establecer la verdad de proposiciones y enparticular de teoremas.

AUTOEVALUACIÓNEstablezca la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. Un contraejemplo es una proposición falsa.

2. El contrarrecíproco es la negación de una proposición.

3. La proposición contraria siempre es falsa, cuando la proposición directa es verdadera.

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Falso.

165

U N I D A D I

Introd

TeorI.3. Teoría Axiomática de Conjuntos

En el presente capítulo volveremos a estudiar la teoría de conjuntos, la que fue presen-tada de una manera informal al comienzo de este curso. Ahora, armados con las herramien-tas de la lógica simbólica vamos a estudiar este importante tópico de una manera muchomás precisa. En particular, el alumno deberá finalizar el capítulo con los conocimientos ydestrezas suficientes para poder:

• Definir con precisión las operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia,complemento).

• Conocer y demostrar las propiedades fundamentales de la equivalencia entre con-juntos (propiedades asociativas, conmutativas, idempotencia, Leyes de De Morgan,etc.).

• Conocer y utilizar las principales propiedades de relación entre conjuntos, tanto deigualdad como de inclusión (transitividad, reflexividad, simetría y antisimetría cuandocorresponda).

• Demostrar teoremas sencillos sobre la igualdad o inclusión entre conjuntos.

• Construir contraejemplos para postulados de igualdad o inclusión que no sean verda-deros.

• Conocer los fundamentos del producto entre conjuntos, las relaciones binarias y lasfunciones.En este capítulo se presenta la primera oportunidad de aplicar concretamente los co-

nocimientos adquiridos en el capítulo anterior sobre lógica simbólica, por lo que resultaclaro que los detalles de razonamientos, demostraciones y deducciones se encuentran fun-damentados en el capítulo anterior. Se invita al lector a repasar constantemente los puntosque no encuentre claros, hasta lograr una cabal comprensión de ellos.

I.3.1. Introducción y Definiciones Previas

A toda función proposicional con una variable, le corresponde una colección de ele-mentos que satisface la proposición, es decir, a una función proposicional le correspondeun único conjunto. Recíprocamente a cada conjunto corresponde una propiedad que sirve alos elementos del conjunto. Por lo anterior es posible confundir los conceptos de conjunto ypropiedad (función proposicional).

De esta manera. Si consideramos un conjunto X, y una función proposicional P(x), setiene que todos los elementos x ∈ X tales que la proposición P(x) es verdadera, definen unconjunto, digamos A (A = {x ∈ X: v(P(x)) = V}). Recíprocamente, si P(x) es falsa, entonces

x ∉ A, (x ∈ Ac).

166


Ejemplo I.3.1.1.

Si P(x): x = x, entonces el conjunto definido por P(x) es U = {x ∈ U: x = x}, llamadoconjunto universal (sin embargo se debe recordar que no existe un conjunto universal en elsentido de que contiene a todo lo imaginable).Ejemplo I.3.1.2.

Si P(x): x ≠ x, entonces se define el conjunto = {x ∈ : x ≠ x}, llamado conjunto vacío.

En ambos ejemplos hemos considerado implícitamente que el conjunto X correspon-de al de los números reales (X = �).

Son relativamente conocidos los conjuntos numéricos:

• Números naturales. �

• Números enteros: �

• Números racionales: �

• Números reales: �

• Números complejos: �Como se ha visto en el primer capítulo, la definición o determinación de un conjunto

se hace de dos maneras:

• Por comprensión: describiendo los conjuntos a través de una propiedad: A = {x ∈ A:P(x)}

• Por extensión: anotando cada uno de los objetos del conjunto, A={x1, x2, x3,..., xn}

Ejemplo I.3.1.3.

El conjunto de los números naturales menores que 10 se encuentra definido:

• Por extensión: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• Por comprensión: A={x : x < 10}Diremos que un conjunto es finito si el número de elementos que lo conforman es un

número natural. En caso contrario, el conjunto es infinito.Llamaremos unión (o reunión) de dos conjuntos, A y B, al conjunto cuyos elementos

pertenecen al menos a uno de ellos.

Si A y B son dos conjuntos, su unión se designa por A ∪ B, y se tiene la siguientedefinición:

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

Se llama intersección de dos conjuntos, A y B, al conjunto cuyos elementos pertene-cen a ambos conjuntos.

Si A y B son los conjuntos, se designa su intersección por A ∩ B, y se tiene:

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ejemplo I.3.1.4.Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 3, 4}; entonces la unión de estos dos conjuntos finitos es el

conjunto, también finito: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Por otra parte la intersección de estos dos

167

U N I D A D I

conjuntos, es: A ∩ B = {1, 3}. Se debe recalcar en este ejemplo, que uniones e interseccionesentre conjuntos finitos son también conjuntos finitos.

Ejemplo I.3.1.5.

Los intervalos en � son también ejemplos de conjuntos. Así, todos lo númerosreales que son mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1, esto es el intervalo [0, 1],forman un conjunto, digamos A, que es infinito:

A = [0, 1] = {x ∈ �: 0 ≤ x ∧ x ≤ 1}

Supongamos que B = [1, + ∞], esto es, el conjunto de todos los números reales mayo-res o iguales a uno también es un conjunto infinito. La unión de los dos conjuntos correspon-de al conjunto infinito A ∪ B = [0, + ∞]. Mientras que la intersección, en el presente caso,corresponde al conjunto finito A ∩ B = {1}.

ACTIVIDADES I.3.1.6.1. Considere la función proposicional P(x) = “x es un número entero menor o igual a 5 y

mayor o igual a -7”. Defina por extensión y por comprensión el conjunto asociado.Solución:Por comprensión: A = {x ∈ �: -7 ≤ x ∧ x ≤ 5}Por extensión: A = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

2. Defina formalmente la unión entre tres conjuntos.Solución:

A ∪ B ∪ C = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}.

3. Encuentre la unión entre el conjunto A = {1, 2, 3} y el conjunto �.

Solución:A ∪ � = A

4. Encuentre la intersección entre los conjuntos A = {1, 2, 3} y el conjunto �.

Solución:A ∩ � = �

5. Determine la proposición asociada con el conjunto A = {3, 4, 5}.Solución:

P(x) = “x es un número natural mayor o igual a 3 y menor o igual a 5”.

6. Determine la intersección entre [1, 2] y [3, 4].Solución:[1, 2] ∩ [3, 4] = {x ∈ �: x ∈ [1, 2] ∧ x ∈ [3, 4]}

= {x ∈ �: (1 ≤ x ∧ x ≤ 2) ∧ (3 ≤ x ∧ x ≤ 4)}= {x ∈ �: 1 ≤ x ∧ (x ≤ 2 ∧ 3 ≤ x) ∧ x ≤ 4}= {x ∈ �: 1 ≤ x ∧ F ∧ x ≤ 4}= �

Así, la intersección es vacía.

168


Ejercicios I.3.1.7.1. Determine la proposición asociada con el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10}

2. Encuentre el conjunto asociado con la proposición p(x) = “x es un número entero imparmayor que 2 y menor que 12”.

3. Defina formalmente la intersección entre tres conjuntos.

4. Encuentre la intersección entre [2, 4] y [3, 6].

5. Encuentre la unión entre [0, 1] y [1, 2].

6. Determine si el conjunto de los números racionales es finito o infinito.

Respuestas1. P(x) = “x es un número natural par menor o igual que 10”.

2. A = {3, 5, 7, 9, 11}

3. A ∩ B ∩ C = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}

4. [2, 4] ∩ [3, 6] = [3, 4]

5. [0, 1] ∪ [1, 2] = {x ∈ �: 0 ≤ x ∧ x ≤ 2 ∧ x ≠ 1}

6. El conjunto de los números racionales es infinito.

RESUMENEn esta sección se introduce el concepto de conjunto asociando sus elementos con

aquellos que hacen que una función proposicional sea verdadera. Se introduce la no-ción de conjunto finito e infinito. La intersección y unión de conjuntos se recuerdan ydefinen formalmente, al igual que los conjuntos Universal y vacío.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. Si A y B son conjuntos, entonces A ∪ B no contiene a los elementos comunes a ambos

conjuntos.

2. El conjunto de los números enteros es infinito.

3. El conjunto de los números naturales es finito.

4. La intersección entre conjuntos finitos siempre es finita y la intersección entre conjuntosinfinitos es siempre infinita.

169

U N I D A D I

Glos

Respuestas

1. Falso. A ∪ B contiene tanto a los elementos que no son comunes, como aquellos quelo son.

2. Verdadero.

3. Falso.

4. Falso. La intersección entre conjuntos finitos es finita, pero entre conjuntos infinitospuede ser finita o infinita.

Glosario

Colección: conjunto.

Conjunto: colección de elementos bien determinados y distinguibles entre sí, que formanuna totalidad.

Conjunto Universal: conjunto de todos los elementos en un cierto ámbito.

Conjunto Vacío: conjunto sin elementos.

Conjuntos Numéricos: conjuntos cuyos elementos son números.

Conjunto Finito: conjunto con una cantidad de elementos finito.

Conjunto Infinito: conjunto con una cantidad infinita de elementos.

Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.

Función Proposicional: función que al fijar todos sus parámetros se convierte en unaproposición.

Intersección de Conjuntos: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen ados conjuntos a la vez.

Intervalos en �: conjunto de elementos que pertenecen a la recta real, determinados porrelaciones de menor que y/o mayor que.

Números Naturales: aquellos números que utilizamos para contar.

Números Enteros: los números naturales más el cero y los números negativos.

Números Racionales: aquellos números que pueden expresarse como fracción de núme-ros enteros.

Números Reales: los números racionales unidos a los irracionales; todos los números quese asocian a la recta real.

Números Complejos: aquellos números que tienen una componente imaginaria.

Proposición: frase de la que se puede decir, sin ambigüedad, que es verdadera o falsa.

Una Variable: parámetro de una función.

Unión de Conjuntos: conjunto formado por todos aquellos elementos que pertenecen almenos a uno de los conjuntos de referencia.

170


Inclus

SímbolosP(x) : Función proposicional

∈ : Pertenece

v : Valor de verdadV : Verdadero

∉ : No pertenece

U : Conjunto universo

: Conjunto vacío

= : Igual.

≠ : Distinto


� : Conjunto de los números complejos

� : Conjunto de los números enteros

� : Conjunto de los números racionales

∨ : o

∧ : y

≤ : Menor o igual que


< : Menor que

∪ : Unión

∩ : Intersección

+∞ : Infinito positivo, lo mayor a todos los números reales

I.3.2. Inclusión

Definición: Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B, si cadaelemento de A es un elemento de B. Escribimos:

A ⊂ B

Así,

A ⊂ B ⇔ (� x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Por el contrario, en el caso de que el conjunto A no está incluido en el conjunto B,escribimos A ⊄ B.

A ⊄ B ⇔ (∃ x)(x ∈ A ∧ x ∉ B).

Es decir, existe un elemento que está en A, pero que no está en B.

171

U N I D A D I

Ejemplo I.3.2.1.Consideremos los conjuntos de números reales siguientes:

A = {x ∈ � : x ≤ 2} = ]-∞, 2]

B = {x ∈ � : x < 2} = ]-∞, 2[

Notar que A ⊄ B, pues (∃ x ∈ �, x = 2)(2 ∈ A ∧ 2 ∉ B)

Sin embargo, B ⊂ A, pues

x ∈ B ⇒ x < 2

⇒ x < 2 ∨ x = 2

⇒ x ≤ 2

⇒ x ∈ A

Como x se escogió de forma arbitraria dentro de B, lo anterior es válido para todos loselementos de B. Así todo elemento de B es también un elemento de A, de donde: B ⊂ A.

La inclusión de conjuntos presenta las siguientes propiedades:

• Reflexiva: (� A)(A ⊆ A)

• Transitiva: (� A, B, C)(A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C)

• Antisimétrica (� A, B)(A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B)

A modo de ejemplo, ilustramos la demostración de la propiedad transitiva. Es decir:

Supongamos por hipótesis que A ⊆ B ∧ B ⊆ C y probemos que A ⊆ C.

Sea x ∈ A.

x ∈ A ⇒ x ∈ B (pues A ⊆ B)

⇒ x ∈ C (pues a su vez B ⊆ C)

Luego, (� x)(x ∈ A ⇒ x ∈ C), lo que significa por definición que A ⊆ C, como queríamosdemostrar.

Ejemplo I.3.2.2.Con los conjuntos numéricos se tienen las siguientes inclusiones:

� ⊆ �

� ⊆ �

� ⊆ �Luego, podemos concluir que � ⊆ � (el conjunto de los números naturales está in-

cluido en el conjunto de los números reales).Dado el conjunto universal U, se tienen las siguientes propiedades fundamentales

para la relación de inclusión:

• Cualquier parte de U es un subconjunto de U, esto es, si A = {x ∈ U, p(x)}, entoncesA ⊆ U.

• �⊆ U. Más aún, dado un conjunto no vacío A, se tiene � ⊆ A.

172


Esta última afirmación, se puede enunciar como un teorema y demostrarse utilizandolas reglas y propiedades de la lógica simbólica y técnicas de demostración estudiadas enel capítulo anterior.

Teorema

Si A es un conjunto no vacío, entonces � ⊆ A.

La demostración se puede realizar por reducción al absurdo, es decir, suponer que Aes un conjunto no vacío y que � ⊄ A. Pero � ⊄ A ⇒ A ⊄ B ⇔ (∃ x)(x ∈ A ∧ x ∉ B) pordefinición. Esta última afirmación es una contradicción, pues � no tiene elementos. Luego,por reducción al absurdo, se tiene necesariamente que � ⊆ A. El conjunto vacío essubconjunto de cualquier conjunto no vacío.

Ejemplo I.3.2.3.Sean:

A = {x ∈ �: x es múltiplo de 3}

B = {x ∈ �: x es múltiplo de 6}

Se verifica que A ⊄ B, pero que B ⊆ A. En efecto: A ⊄ B, pues 9 ∈ A ∧ 9 ∉ B, así:

(∃ x, x = 9)(x ∈ A ∧ x ∉ B).

Por otra parte, sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ x es múltiplo de 6.

⇒ x = 6 • k, para algún k ∈ �.

⇒ x = 3 • 2 • k, para algún k ∈ �.

⇒ x = 3 • K, para algún K ∈ �, K = 2k.

⇒ x es múltiplo de 3.

⇒ x ∈ A.

Así x ∈ B ⇒ x ∈ A, como x fue tomado de forma arbitraria, se tiene: (� x)(x ∈ B ⇒ x∈ A), es decir, B ⊆ A.

Ejemplo I.3.2.4.

Verifique que si A ∩ B = A, entonces A ⊆ B. En efecto, supongamos que la hipótesisA ∩ B = A es verdadera y probemos que en este caso A ⊆ B.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ B (pues por hipótesis A = A ∩ B)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ B

Así, para todo x ∈ A, se tiene que x ∈ B, esto es A ⊆ B, tal como queríamos demostrar.

173

U N I D A D I

ACTIVIDADES I.3.2.5.1. Demuestre que la relación de inclusión entre conjuntos es reflexiva.Solución:

Debemos demostrar que A ⊆ A. En efecto, sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A (es claro). Así,todo elemento de A es también elemento de A, esto es –por definición– que A ⊆ A.

2. En una encuesta realizada un domingo a 1700 personas, se obtuvo el siguiente resultado:600 personas leen El Llanquihue de Puerto Montt.750 personas leen El Sur de Concepción.800 personas leen El Mercurio de Santiago.400 personas leen El Mercurio y El Sur.250 personas leen El Sur y El Llanquihue.50 personas leen El Mercurio y El Llanquihue.

Todos los que leen El Mercurio y El Llanquihue, también leen El Sur.Determine el número de personas encuestadas que no leen ninguno de los tres periódicos.

Solución:Como todos los que leen El Mercurio y El Llanquihue, también leen EL Sur, se tiene quenadie lee El Mercurio y El Llanquihue, pero no El Sur. De esto las 50 personas que leen ElMercurio y El Llanquihue, también leen El Sur.Se sabe que un total de 250 personas leen El Sur y El Llanquihue, de las cuales por loanteriormente enunciado, 50 deben leer El Mercurio; así, sólo 200 personas leen El Sur yEl Llanquihue, pero no El Mercurio. Se puede seguir razonando de esta manera, hastalograr confeccionar el siguiente diagrama de VENN:

Sumando la cantidad de personas, no cuesta verificar que se contabilizan un total de 1500personas de las 1700 encuestadas, por lo tanto, 200 personas no leen ninguno de los tresperiódicos.

3. Sean A = {x ∈ �: 2 ≤ x ∧ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3} y B = {x ∈ �: 2 < x < 3 ∨ 3 < x < 4}, determine siA ⊆ B o si B ⊆ A o ninguna de las dos alternativas

Solución:A no está incluido en B, pues existe x, x = 2, tal que x ∈ A y x ∉ B (lo mismo ocurre con

el cuatro). Por otro lado, B ⊆ A, en efecto:Sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ (2 < x < 3) ∨ (3 < x < 4)

⇒ 2 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3

⇒ x ∈ AAsí, todo elemento de B, es también elemento de A, lo que significa que B ⊆ A.

El Mercurio

El SurEl Llanquihue150

35050

400

200 350

0

174


4. Encuentre un conjunto que no tenga como subconjunto propio al conjunto vacío.Solución:

El único conjunto que satisface esto es el conjunto vacío.

5. Determine por extensión los siguientes conjuntos:a.- A = {x ∈ �: x es divisible por 2}b.-B = {x ∈ �: x es un número primo}c.- C = {x ∈ �: 1/x ∈ �}d.-D = {x: 2x – x = 2}e.- E = {x: 3x + b = 2b –b}f.- F = {x ∈ �: x2 = x}g.- G = {x ∈ �: x2 = x}h.-H = {x ∈ �: x2 = x}i.- I = {x ∈ �: x2 + x + 1 = 0}j.- J = {x ∈ �: x2 + x + 1 = 0}

Solución:a.- A = {...-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,...}b.-B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....}c.- C = {x ∈ �: x ≠ 0} = [-∞, 0[∪]0, +∞]d.-D = {2}e.- E = {0}f.- F = {-1, 1}g.- G = {-1 ,1}h.-H = {1}i.- I =��j.- J = {-1/2 + √3 i/2, -1/2 - √3 i/2}

6. Determine por comprensión los siguientes conjuntos:a.- A = {2, 4, 6, 8, ....}b.-B = {1, 4, 9, 16, 25,...}c.- C = {1, ½, 1/3, ¼,...}d.-D = {1, 5, 9, 13, 17, 21,...}e.- E = {-1, 2, -3, 4, -5,...}

Solución:

a.- A = {x ∈ �: x es un número par}

b.- B = {x ∈ �: x es un cuadrado perfecto}

c.- C= {x ∈ �: 1/x ∈ �}

d.- D = {x ∈ �: x – 1 es múltiplo de 4}

e.- E = {x ∈ �: x = (-1)n n, n = 1, 2, 3, ...}

7. Si A = {�}, B = {0}, C = {0, 1}, E = {0, 1, 2, 3} y D = {�, 0, 1} ¿Cuáles de las siguientesproposiciones son verdaderas y por qué?a.- A ⊆ B

175

U N I D A D I

b.-B ⊆ Ac.- D ⊆ Ed.-A ⊆ De.- C ⊆ B

Solución:

a.- Falso. Vacío no es elemento de B.

b.- Falso. 0 no es elemento de A.

c.- Verdadero.

d.- Falso. Vacío es elemento de A y D.

e.- Verdadero.

8. Si A = {x ∈ �: 1 < x < 3}, B = {x ∈ �: 0 ≤ x < 4} y C = {x ∈ �: 4x2 – x – 3 > 0}, pruebe queA ⊆ B, A ⊆ C y C ⊆ A.

Solución:Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ 1 < x < 3

⇒ 0 ≤ x < 4⇒ x ∈ B

Así A ⊆ B.Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ 1 < x < 3

⇒ x > 1⇒ (x – 1)(4x + 3) > 0⇒ 4x2 – x – 3 > 0⇒ x ∈ C

Se verifica que C no es subconjunto de A. En efecto, -1 ∈ C y –1 ∉ A.

Ejercicios I.3.2.6.1. Una encuesta realizada a 48 (cuarenta y ocho) personas fumadoras revela que:

• 10 fuman sólo LUCKY y BELMONT

• 12 fuman sólo VICEROY

• 3 fuman sólo LUCKY, BELMONT y VICEROY

• 4 fuman sólo LUCKY

• 20 fuman LUCKY

• 17 fuman al menos 2 de las marcas anteriores

¿Cuántos fuman LUCKY y VICEROY? ¿Cuántos fuman sólo BELMONT y VICEROY? y ¿cuántosfuman sólo BELMONT?

2. Sean A = {x ∈ �: x ≤ -1}, B = {x ∈ �: -3 < x ≤ 8} y C = {x ∈ �: x > 4}, calcule:a.- A ∩ Bb.-B ∩ Cc.- A ∩ B ∩ C

176


d.-A ∪ Be.- B ∪ Cf.- A ∪ B ∪ C

3. Sea M = {a, b, c}. Diga cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas y cuáles inco-rrectas. Si alguna tiene errores, justifique por qué:a.- a ∈ Mb.-a ⊆ Mc.- {a} ∈ Md.- {a} ⊆ Me.- {a, b} ⊆ Mf.- M ⊆ {a, c}

4. Sea A =] 0, 3] y B = [0, 4]. Pruebe que A ⊆ B.

5. Pruebe que si A ⊆ B, B ⊆ C y C ⊆ D; entonces A ⊆ D.

6. Pruebe que si A ⊆ B ∪ C, B ⊆ D y C ⊆ D; entonces A ⊆ D.

7. Verifique que � ⊄ �

Respuestas1. Después de realizar el diagrama de VENN correspondiente, es fácil observar que:

• 6 personas fuman LUCKY y VICEROY

• 4 fuman BELMONT y VICEROY

• 15 personas fuman sólo BELMONT

2. a.- A ∩ B = [–3, -1]

b.-B ∩ C = [ 4, 8]

c.- A ∩ B ∩ C = �

d.-A ∪ B = [ - 4, 8]

e.- B ∪ C = [ –3, +∞]

f.- A ∪ B ∪ C = �

3. a.- Correcto.

b.-Falso, a no es subconjunto de M, es un elemento.

c.- Falso, el conjunto que contiene a a, es un subconjunto de M, no un elemento.

d.-Correcto.

e.- Correcto.

f.- Falso, b ∈ M ∧ b ∉ {a, c}

177

U N I D A D I

4. Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ 0 < x ∧ x ≤ 3⇒ 0 ≤ x ∧ x ≤ 4⇒ x ∈ B.

Así, como todo elemento de A es también elemento de B, se tiene que A ⊆ B.

5. Sea x ∈ A, Si x ∈ A ⇒ x ∈ B (pues por hipótesis A ⊆ B)⇒ x ∈ C (pues por hipótesis B ⊆ C)⇒ x ∈ D (pues por hipótesis C ⊆ D)

Así, como todo elemento de A es también elemento de D, se tiene que A ⊆ D.

6. Sea x ∈ A, si x ∈ A ⇒ x ∈ B ∪ C (pues por hipótesis A ⊆ B ∪ C)

⇒ x ∈ B ∨ x ∈ C⇒ x ∈ D ∨ x ∈ D (por hipótesis)⇒ x ∈ D

Así, como cada elemento de A es también elemento de D, se tiene que A ⊆ D.

7. π ∈ � ∧ π ∉ �

RESUMENEn esta sección se define la relación de inclusión entre conjuntos, presentando

sus tres propiedades fundamentales (reflexividad, transitividad y antisimetría). Se revi-san algunas técnicas elementales para probar la inclusión entre dos conjuntos y sedemuestra que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al menos al conjuntovacío.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. Para cualquier par de conjuntos A y B, siempre se tiene que A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B.

2. Si A ∩ B = A, entonces B ⊆ A.

3. Si A ∪ B = A, entonces B = .

4. Si A ≠ B, entonces A ⊆ B o bien B ⊆ A.

5. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto no vacío.

6. Si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B.

7. ��⊆ �

Respuestas

1. Verdadero.

2. Falso.

178


Glos3. Falso.

4. Falso.

5. Verdadero.

6. Verdadero.

7. Verdadero.

Glosario

Antisimetría: propiedad que establece que si una relación se satisface para dos objetos,sin importar el orden, entonces estos deben ser iguales.

Conjuntos: colección de objetos bien determinados y distintos entre sí, que conformanuna totalidad.

Conjuntos Numéricos: conjuntos donde los elementos son números.

Conjunto Universal: conjunto de todos los elementos que pertenecen a un determinadoámbito.

Conjunto No Vacío: conjunto que posee al menos un elemento.

Conjunto Vacío: conjunto que no tiene ningún elemento.

Contradicción: cuando una proposición se establece como verdadera, pero resulta sertambién falsa.


Hipótesis: proposición que se asume verdadera.

Inclusión: un conjunto se incluye en otro, si todos sus elementos pertenecen al otro con-junto.

Lógica Simbólica: Parte de la lógica que se preocupa de estudiar razonamientos asociadosa proposiciones representadas y conectadas por símbolos especiales.

Múltiplo: un número es múltiplo de otro, si su división es entera.

Números Reales: todos los números asociados a la recta real.

Números Naturales: los números que utilizamos para contar.

Teorema: proposición de importancia en matemáticas.

Reflexividad: propiedad que establece que todo objeto se relaciona consigo mismo.

Transitividad: propiedad que establece que al relacionar tres objetos de a dos, también serelacionan los más externos (sí a R b ∧ b R c a R c).

Técnicas de Demostración: conjunto de técnicas que permiten verificar la verdad de unaproposición, utilizando proposiciones verdaderas e implicaciones lógicas verdaderas.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos pertenecen a otro conjunto.

179

U N I D A D I

Teor

Símbolos

+∞ : Infinito positivo, el ente más grande que todos los números reales, el más positivo.

-∞ : Infinito negativo, lo más pequeño que todos los números reales, el más negativo.

⊂ : Inclusión

⊆ : No incluido

⊄ : No incluido

⇔ : Equivalencia

� : Para todo

∈ : Pertenece

⇒ : Implica

∉ : No pertenece

∧ : Y


< : Menor que> : Mayor que


∨ : O



≠ : Distinto que


� : Conjunto de los números racionales


U : Unión de familia de conjuntos

∃ : Existe

∩ : Intersección

∪ : Unión

= : Igual que

I.3.3..Igualdad de Conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denotapor A = B y se tiene:

A = B ⇔ (� x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

180


A continuación presentamos como teorema y demostramos la propiedad de antisimetríapara la inclusión:Teorema

A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

Demostración:

Supongamos que A = B y demostremos que A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ B (pues por hipótesis A = B). Así, como x ∈ A fue tomado de formaarbitraria, se tiene: (� x )(x ∈ A ⇒ x ∈ B), esto es A ⊆ B. Análogamente, si x ∈ B, se tiene quex ∈ A, de donde B ⊆ A.

La implicación: A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B, se tiene por la definición de igualdad deconjuntos.

El teorema anterior nos indica que para demostrar que dos conjuntos son iguales,debemos demostrar por separado que cada conjunto está incluido en el otro.

La igualdad de conjuntos cumple con las propiedades de simetría, transitividad yreflexividad:

• Reflexividad A = A

• Simetría A = B ⇒ B = A

• Transitividad A = B ∧ B = C ⇒ A = C

Ejemplo I.3.3.1.

Sean A = [1, 3], y B = [0, 3] ∩ [1, 4]; verifiquemos que A = B. Para probar la igualdaddemostraremos que A ⊆ B y que B ⊆ A.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ 1 ≤ x ∧ x ≤ 3

⇒ (1 ≤ x ∧ x ≤ 3) ∧ (1 ≤ x ∧ x ≤ 3)

⇒ (0 ≤ x ∧ x ≤ 3) ∧ (1 ≤ x ∧ x ≤ 4)

⇒ x ∈ [0, 3] ∧ x ∈ [1, 4]

⇒ x ∈ [0, 3] ∩ [1, 4]

⇒ x ∈ B

Así, hemos probado que A ⊆ B.

Sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ (0 ≤ x ∧ x ≤ 3) ∧ (1 ≤ x ∧ x ≤ 4)

⇒ 1 ≤ x ≤ 3

⇒ x ∈ A

Así, se tiene que B ⊆ A, de donde se puede concluir que A = B, tal como se deseabademostrar.

Ejemplo I.3.3.2.Se observa que el conjunto A = {1, 1, 3, 4} es igual al conjunto B = {1, 3, 4}. Pues en los

conjuntos no interesa que un elemento aparezca repetido, sólo si pertenece al conjunto ono.

181

U N I D A D I

Ejemplo I.3.3.3.El conjunto de los números reales es distinto al conjunto de los números enteros, pues

si bien es cierto que � ⊆ �, � no está contenido en �.

Ejemplo I.3.3.4.

A ∪ B = A ∩ B ⇒ A = B.

En efecto, sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∈ A ∩ B (pues por hipótesis A ∪ B = A ∩ B)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ B

Así, A ⊆ B.

Sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∈ A ∩ B

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ A

Luego, también B ⊆ A, de donde A = B, como se quería demostrar.

ACTIVIDADES I.3.3.5.1. Pruebe que las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

• A ⊆ B• A ∩ B = A• A ∪ B = B

Solución:Se debe probar que:A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A, A ∩ B = A ⇒ A ∪ B = B y que A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B.Supongamos que A ⊆ B y probemos que A ∩ B = A. Claramente A ∩ B ⊆ A. Resta probarque A está incluido en A ∩ B.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (pues por hipótesis A ⊆ B)⇒ x ∈ A ∩ B

Así A ⊆ A ∩ B.Supongamos ahora que A ∩ B = A y verifiquemos que A ∪ B = B. Claramente B ⊆ A ∪ B,de esta forma, sólo resta probar que A ∪ B ⊆ B.

Sea x ∈ A ∪ B. Si x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B⇒ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ B (pues por hipótesis A = A ∩ B)⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ B⇒ x ∈ B ∨ x ∈ B⇒ x ∈ B

Así, A ∪ B = B.Por último, mostremos que si A ∪ B = B, entonces A ⊆ B.

Sea x ∈ A. Sí x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B⇒ x ∈ B (por hipótesis)

Así, A ⊆ B, como se quería demostrar.

182


2. Pruebe que si A ∪ B ⊆ A ∩ B, entonces A = B.

Solución:

• Probemos que A ⊆ B.Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∈ A ∩ B (por la hipótesis)⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B⇒ x ∈ B

Así, se tiene que A ⊆ B

• Probemos que B ⊆ A.Sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∈ A ∩ B

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ ALuego, también se verifica que B ⊆ A, de donde A = B.3. Pruebe que la igualdad cumple con la propiedad de simetría.Solución.Debemos probar que A = B ⇒ B = A.

• Probemos que B ⊆ ASea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ x ∈ A (por hipótesis). Así B ⊆ A.

• Análogamente, se verifica que A ⊆ B, así B = A.

4. Pruebe que la igualdad es transitiva.Solución.Debemos probar que A = B ∧ B = C ⇒ A = C

• Probemos que A ⊆ CSea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ B (por hipótesis)

⇒ x ∈ C (por hipótesis)Así, A ⊆ C.

• Probemos que C ⊆ ASea x ∈ C. Si x ∈ C ⇒ x ∈ B (por hipótesis)

⇒ x ∈ A (por hipótesis)Así, C ⊆ A, de donde A = C.

5. Dar un ejemplo de dos conjuntos numéricos finitos idénticos.Solución:

A = {1, 1, 2, 3}

B = {1, 2, 2, 3}

6. Construya un ejemplo de dos conjuntos numéricos finitos distintos.

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2}

183

U N I D A D I

Ejercicio I.3.3.6.1. Pruebe que la igualdad de conjuntos es reflexiva.

2. Dar un ejemplo de tres conjuntos numéricos finitos iguales.

3. Dar un ejemplo de dos conjuntos numéricos infinitos distintos.

4. Dar un ejemplo de dos conjuntos numéricos infinitos iguales.

5. Pruebe que si A ≠ B, entonces B ≠ A.

Respuestas

1. Claramente A ⊆ A (reflexividad de la inclusión). Se tiene que A ⊆ A ∧ A ⊆ A, de dondeA = A.

2. • A = {1, 1, 1, 2, 3, 4}

• B = {1, 2, 3, 4}

• C = {4, 4, 2, 2, 1, 1, 3, 3}

3. � y �

4. A = [1, 2] y B = [1, 3] ∩ [1, 2]

5. Por reducción al absurdo, supongamos que B = A, entonces por la simetría de la igual-dad, se tiene que A = B, lo que es una contradicción, pues se supone que A ≠ B.

RESUMENEn esta sección se define formalmente el concepto de igualdad de conjuntos, en térmi-

nos de que dos conjuntos serán iguales cuando comparten todos y cada uno de sus elemen-tos. La definición es equivalente a decir que dos conjuntos son iguales cuando cada uno deellos es subconjunto del otro. Se postulan las propiedades de reflexividad, simetría ytransitividad para la igualdad y se demuestra la propiedad de antisimetría para la inclusiónde conjuntos.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.1. Para que A ∪ B = A, el conjunto B debe ser vacío.

2. Para que A ∩ B = A, el conjunto B debe ser igual a A.

3. Si A ∩ B = A, entonces B ⊆ A.

4. El conjunto de los números reales no es igual al conjunto de los números racionales.

5. Si A ∩ B ⊆ A ∪ B, entonces A = B.

6. El conjunto vacío es el único conjunto tal que A ≠ A.

184


Glos

7. Dados A, B y C conjuntos, A ≠ C ⇒ A ≠ B ∧ B ≠ C

8. A ≠ B ∨ B ≠ C ⇒ A ≠ C

9. A ≠ B ∧ B ≠ C ⇒ A ≠ C

Respuestas

1. Falso.

2. Falso.

3. Falso.

4. Falso.

5. Falso.

6. Falso.

7. Falso.

8. Falso.

9. Falso.

Glosario

Antisimetría: propiedad de una relación que establece que cuando dos objetos se relacio-nan sin importar el orden, entonces deben ser iguales.

Conjunto: colección de objetos bien diferenciados y determinados, que reunidos confor-man una totalidad.

Conjuntos Iguales: dos conjuntos que tienen los mismos elementos.


Hipótesis: proposición que se establece como verdadera.

Implicación: conectivo lógico condicional entre dos proposiciones que forma una tauto-logía.

Inclusión: un conjunto incluye a otro cuando todos sus elementos son elementos del otro.

Igualdad de Conjuntos: conjuntos iguales, relación entre dos conjuntos.

Números Reales: aquellos números que se pueden asociar a la recta real.

Números Enteros: todos los números naturales, el cero y los números negativos.

Pertenencia: relación entre un objeto y un conjunto.

Reflexividad: propiedad que establece que un objeto se relaciona siempre consigo mismo.

185

U N I D A D I

Conjun

Simetría: propiedad que establece que si un objeto A se relaciona con un objeto B, enton-ces el objeto B también se relaciona con el objeto A.

Teorema: proposición de importancia en matemáticas que debe ser demostrada.

Transitividad: propiedad que establece que al relacionar tres objetos de a dos, también serelacionan los más externos (si a R b ∧ b R c ⇒ a R c).

Símbolos



∧ : y

⇒ : Implica

= : Igual que

∩ : Intersección

∪ : Unión

⊆ : Subconjunto

� : Para todo

⇔ : Equivalencia

∈ : Pertenece


< : Menor que

I.3.4. Conjunto Potencia

Dado un conjunto A, llamaremos conjunto de las partes de A, o conjunto potenciade A, al conjunto formado por todos los subconjuntos o partes de A, esto es:

P(A) = {B : B ⊆ A}

Se verifica, que si A es un conjunto finito, digamos que está formado por n elemen-tos. Entonces, P(A) tendrá 2n elementos. En cambio, si A es un conjunto infinito, entoncesP(A) también será infinito.

Ejemplo I.3.4.1.

Sea A = {a, b}, entonces P(A) = {{a}, {b}, {a, b}, �}

Ejemplo I.3.4.2.

Sea A = {a, b, c}, entonces P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A, �}

Se debe observar que A no está contenido en P(A), lo que si es cierto es que A ∈ P(A).Por otro lado, � ⊆ P(A) y � ∈ P(A).

186


De acuerdo con la definición de conjunto potencia, se tiene la importante equivalen-cia siguiente:

X ∈ P(A) ⇔ X ⊆ A

Ejemplo I.3.4.3.

P(�) = {B : B ⊆ �} = {�} ≠ �

Teorema

A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B)

Demostración:

• Supongamos que A ⊆ B y probemos que P(A) ⊆ P(B).

Sea X ∈ P(A). Si X ∈ P(A) ⇒ X ⊆ A

⇒ X ⊆ B (por hipótesis)

⇒ X ∈ P(B)

Así P(A) ⊆ P(B).

• Supongamos que P(A) ⊆ P(B) y probemos que A ⊆ B.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ {x} ⊆ A

⇒ {x} ∈ P(A)

⇒ {x} ∈ P(B) (por hipótesis)

⇒ {x} ⊆ B

⇒ x ∈ B

Así, A ⊆ B, tal como se quería demostrar.

Ejemplo I.3.4.4.

B ⊆ � ⇒ B = �. En efecto:

B ⊆ � ⇒ P(B) ⊆ P(�) = {�}

⇒ si x ∈ P(B), entonces x = �

ResumenEn esta sección se revisa la definición de conjunto potencia, verificándose algunas de

sus propiedades con la inclusión y el conjunto vacío.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. A ⊆ P(A).

2. � = P(�).

3. Si A ∈ P(A), entonces A = �.

4. Si P(A) ≠ P(B), entonces A ≠ B.

5. P(�) = �.

187

U N I D A D I

Glos

6. P({�, �}) tiene cuatro elementos.

7. P({0}) = �.

Respuestas1. Falso. 2. Falso.3. Falso. 4. Verdadero.5. Falso. 6. Falso.7. Falso.

Glosario

Conjunto: colección de elementos bien determinados y diferenciados entre sí, cuya re-unión conforma una totalidad.

Conjunto de las partes: conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjuntodeterminado.

Conjunto potencia: conjunto de las partes.

Conjunto finito: conjunto con una cantidad de elementos finitos.

Conjunto infinito: conjunto con una cantidad infinita de elementos.


Equivalencia: iguales.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos pertenecen todos a un conjunto.

SímbolosP(A) : Conjunto de las partes de A

⊆ : Subconjunto

= : Igual que


∈ : Pertenece

⇔ : Equivalencia

≠ : Distinto que

⇒ : Implica

188


TeorI.3.5. Teoremas

Para cualquier conjunto A, B y C de un universo U, se siguen las siguientes identida-des:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ � = A A ∩ U = A

A ∪ Ac = U A ∩ Ac = �

La afirmación de que estas identidades se cumplen debe ser demostrada, al menos unavez en la vida, por cada estudiante de Matemáticas, para de esta forma autoconvencerse deque se le está mostrando una sólida construcción desde sus cimientos.

Además de estas propiedades básicas de la asociatividad, conmutatividad,distributividad de la unión e intersección, y las relacionadas con el vacío, el universoy los complementos, existen una serie de otras propiedades cuyo uso también es muycomún:

• Idempotencia:

A ∩ A = A

A ∪ A = A

• Consistencia:

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A

• Absorción:

A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

• Involución:

(Ac)c = A

• Leyes de De Morgan:

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

A continuación ejemplificaremos la demostración de las propiedades más representa-tivas, utilizando las técnicas aprendidas en el capítulo de lógica simbólica.

189

U N I D A D I

Ejemplo I.3.5.1.Demostración de la propiedad asociativa para la unión de conjuntos:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Sea x ∈ A ∪ (B ∪ C):

x ∈A ∪ (B ∪ U) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C

⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C

⇒ x ∈(A ∪ B) ∪ C

Así, (� x)(x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C)

Esto es A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ B) ∪ C (*)

Por otro lado

Sea x ∈ (A ∪ B) ∪ C:

x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C)

Así, (� x)(x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C)

Esto es (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C) (2*)

De (*) y (2*), se tiene que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, lo que muestra que la unión deconjuntos es asociativa. La asociatividad para la intersección de conjuntos, tiene una de-mostración completamente análoga.

Ejemplo I.3.5.2.Demostración de la propiedad conmutativa para la unión de conjuntos:

A ∪ B = B ∪ A

Sea x ∈ A ∪ B

x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ B ∪ A

Así, (� x)(x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ B ∪ A)

Luego, A ∪ B ⊆ B ∪ A (*)

Recíprocamente,

Sea x ∈ B ∪ A

x ∈ B ∪ A ⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

⇒ x ∈ A ∪ B

Así, (� x)(x ∈ B ∪ A ⇒ x ∈ A ∪ B)

190


Luego, B ∪ A ⊆ A ∪ B (2*)

De donde se tiene que A ∪ B = B ∪ A. Así se ha demostrado que la unión de conjuntoses conmutativa. La intersección de conjuntos también se puede demostrar siguiendo elesquema anterior.

Ejemplo I.3.5.3.Demostración de la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección:

A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)

Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C).

x ∈ (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∩ C)

⇒ x ∈ A ∩ (B ∩ C)

Es decir, (� x)(x ∈ (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C)), de donde se concluye que:

(A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) (*)

Consideremos ahora x ∈ A ∪ (B ∩ C).

x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)

⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)

⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Así, (� x )(x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)), lo que significa que:

A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (2*)

De (*) y (2*), se obtiene que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Como observa en los ejemplos anteriores, al querer demostrar la igualdad de conjun-tos, siempre es preferible partir intentando la demostración de que cada conjunto esta in-cluido en el otro (propiedad de antisimetría de la inclusión). Para facilitar más la tarea, esaconsejable partir con el conjunto que se vea más complicado, es decir, con más elementos,pues de esta forma, habrá mayores posibilidades de reducción de términos repetidos o laaplicación evidente de propiedades de la lógica simbólica, simplifiquen la tarea de demos-tración.

Al trabajar en las demostraciones de propiedades que involucran al conjunto vacío o aun pseudo conjunto universal, ya no es aconsejable intentar una demostración directa. Esmucho más eficiente aplicar técnicas basadas en el contrarrecíproco o reducción al absurdo,tal como se ilustra en los ejemplos siguientes.

Ejemplo I.3.5.4.

Probemos que A ∪ � es igual al conjunto A. Se tiene que A ⊆ A ∪ �, luego, sólo nosresta probar para demostrar la igualdad, que A ∪ � ⊆ A. (Estamos intentando una demostra-ción por reducción al absurdo). Pensemos por un momento que A ∪ � no esta incluido enel conjunto A. Se tiene en este caso que existe un elemento x tal que:

191

U N I D A D I

x ∈ A ∪ � y x ∉ A.

Si x ∈ A ∪ � ∧ x ∉ A ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ �) ∧ x ∉ A

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ A) ∨ (x ∈ � ∧ x ∉ A)

⇒ F ∨ (x ∈ � ∧ x ∉ A)

⇒ x ∈ � ∧ x ∉ A

⇒ x ∈ � ¡Contradicción!

La contradicción provino de suponer que A ∪ � no es un subconjunto de A, luego setiene que A ∪ � ⊆ A, de donde se concluye que A ∪ � = A.

Ejemplo I.3.5.5.Demostremos que:

A ∪ Ac = U

Por reducción al absurdo, supongamos que existe x ∈ U y que x ∉ A ∪ Ac.

Si x ∉ A ∪ Ac ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ Ac (por la Ley de De Morgan)

⇒ x ∉ A ∧ x ∈ A ¡Contradicción!

La contradicción provino de suponer que x ∉ A ∪ Ac, luego necesariamente se cumplela igualdad.

Una vez que se han aceptado y demostrado las propiedades de la unión, interseccióny complemento de conjuntos, se pueden aplicar para verificar nuevas igualdades. En losejemplos siguientes vamos a ilustrar la forma de realizar estas verificaciones.

Ejemplo I.3.5.6.Se quiere probar que:

A ∩ B ∩ X = (A ∩ B ∩ X) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ X ∩ Y) ∪ (A ∩ X ∩ Ac)

Se tiene:

(A ∩ B ∩ X) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ X ∩ Y) ∪ (A ∩ X ∩ Ac) =

= ((A ∩ B ∩ X) ∪ ((A ∩ B ∩ C) ∩ X ∩ Y)) ∪ (A ∩ X ∩ Ac) (asociativa)

= ((A ∩ B ∩ X) ∪ ((A ∩ B ∩ X) ∩ C ∩ Y)) ∪ (A ∩ Ac ∩ X) (conmutativa)

= ((A ∩ B ∩ X) ∪ ((A ∩ B ∩ X) ∩ C ∩ Y)) ∪ ( � ∩ X) (A y Ac disjuntos)

= ((A ∩ B ∩ X) ∪ ((A ∩ B ∩ X) ∩ C ∩ Y)) ∪ � ( � ∩ X = X)

= (A ∩ B ∩ X) ∪ ((A ∩ B ∩ X) ∩ C ∩ Y) (unión con �)

= ( A ∩ B ∩ X) (como A ∩ B ⊆ A, A ∪ (A ∩ B) = A).

Un detalle importante de observar en este tipo de demostraciones es que siempre separte reduciendo el lado más complejo de la igualdad. En el ejemplo anterior, se tomó ellado derecho para aplicarle todas las propiedades conocidas y de esta forma llegar a laigualdad con el lado izquierdo.

Se recuerda que otra forma de proceder para demostrar la igualdad entre ambos con-juntos, habría sido probar por separado que:

• A ∩ B ∩ X ⊆ (A ∩ B ∩ X) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ X ∩ Y) ∪ (A ∩ X ∩ Ac)

• (A ∩ B ∩ X) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ X ∩ Y) ∪ (A ∩ X ∩ Ac) ⊆ (A ∩ B ∩ X)

192


Se motiva al lector para que se adiestre con ambos mecanismos, pues sólo así lograráel amplio y profundo conocimiento que se necesita de los más recónditos detalles que apa-recen a la hora de intentar una demostración en particular.

Ejemplo I.3.5.7.

Pruebe que (A ∩ B ∩ C ∩ Xc) ∪ (Ac ∩ C) ∪ (Bc ∩ C) ∪ (C ∩ X) = C

(A ∩ B ∩ C ∩ Xc) ∪ (Ac ∩ C) ∪ (Bc ∩ C) ∪ (C ∩ X) =

= ((A ∩ B ∩ C ∩ Xc) ∪ (Ac ∩ C)) ∪ ((Bc ∩ C) ∪ (C ∩ X)) (asociativa)

= ((A ∩ B ∩ Xc ∩ C) ∪ (Ac ∩ C)) ∪ ((Bc ∩ C) ∪ (X ∩ C)) (conmutativa)

= ((A ∩ B ∩ Xc ) ∪ (Ac )) ∩ C) ∪ ((Bc ∪ X) ∩ C) (distributiva)

= ((A ∩ B ∩ Xc ) ∪ (Ac ∪ Bc ∪ X)) ∩ C (distributiva)

= ((A ∩ B ∩ Xc ) ∪ (A ∩ B ∩ Xc)c) ∩ C (De Morgan)

= U ∩ C (A ∪ Ac = U)

= C

Ejemplo I.3.5.8.

Demuestre que (A ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (Bc ∪ Cc) = U

Se tiene, partiendo con el lado izquierdo que:

(A ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (Bc ∪ Cc) =

= ((A ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C)) ∪ (Bc ∪ Cc) (asociativa)

= ((A ∩ (B ∩ C)) ∪ (Ac ∩ (B ∩ C))) ∪ (Bc ∪ Cc) (asociativa para la intersección)

= ((A ∪ Ac ) ∩ (B ∩ C)) ∪ (Bc ∪ Cc) (distributiva)

= (U ∩ (B ∩ C)) ∪ (Bc ∪ Cc) (A ∪ Ac = U)

= (B ∩ C) ∪ (Bc ∪ Cc) (U ∩ A = A)

= (B ∩ C) ∪ (B ∩ C)c (Ley de De Morgan)

= U (A ∪ Ac = U)

ACTIVIDADES I.3.5.9.1. Demuestre la asociatividad para la intersección de conjuntos:A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Solución:

Sea x ∈ A ∩ (B ∩ C):

x ∈ A ∩ (B ∩ U) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

⇒ (x ∈ A ∩ B) ∧ x ∈ C

⇒ x ∈(A ∩ B) ∩ C

Así, (� x)(x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C)

Esto es A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C (*)

Por otro lado,

193

U N I D A D I

Sea x ∈ (A ∩ B) ∩ C:

x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∧ x ∈ C

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∩ C)

⇒ x ∈ A ∩ (B ∩ C)

Así, (� x)(x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇒ x ∈ A ∩ (B ∩ C)

Esto es (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C) (2*)

De (*) y (2*), se tiene que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, lo que muestra que la intersecciónde conjuntos es asociativa.

2. Demuestre la conmutatividad para la intersección de conjuntos:

A ∩ B = B ∩ A

Solución:

Sea x ∈ A ∩ B

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ B ∧ x ∈ A

⇒ x ∈ B ∩ A

Así, (� x)(x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ B ∩ A)

Luego, A ∩ B ⊆ B ∩ A (*)

Recíprocamente,

Sea x ∈ B ∩ A

x ∈ B ∩ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ A ∩ B

Así, (� x)(x ∈ B ∩ A ⇒ x ∈ A ∩ B)

Luego, B ∩ A ⊆ A ∩ B (2*)

De donde, se tiene que A ∩ B = B ∩ A. Así se ha demostrado que la intersección de conjun-tos es conmutativa.

3. Demuestre la distributividad de la intersección sobre la unión:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Solución:

Sea x ∈ (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C).

x ∈ (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C)

194


Es decir, (� x)(x ∈ (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C)), de donde se concluye que:

(A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) (*)

Consideremos ahora x ∈ A ∩ (B ∪ C).

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C)

⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Así, (� x )(x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)), lo que significa que:

A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (2*)

De (*) y (2*), se obtiene que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Se ha demostrado quela intersección es distributiva con respecto a la unión.

4. Demuestre que A ∩ U = A

Solución:A ∩ U ⊆ A. Se debe demostrar que A ⊆ A ∩ U. Por reducción al absurdo, supongamos queno, esto es, que existe x ∈ A y x ∉ A ∩ U.

Si x ∉ A ∩ U ⇒ x ∉ A ∨ x ∉ U

⇒ x ∉ U (pues x ∈ A)¡Contradicción!, Pues ningún elemento puede no estar en el universo.

5. Demuestre que A ∩ Ac = �

Solución:Como � ⊆ A ∩ Ac, pues es subconjunto de cualquier conjunto, sólo resta probar que A ∩Ac ⊆ �. Supongamos que no. Esto es, que existe x ∈ A ∩ Ac y x ∉ �. Pero si x ∈ A ∩ Ac,se tiene x ∈ A ∧ x ∉ A ¡Contradicción!, luego, necesariamente A ∩ Ac = �.

6. Demuestre la idempotencia para la intersección: A ∩ A = A

Solución:Por una parte, A ∩ A ⊆ A. Además si x ∈ A, entonces x ∈ A ∧ x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ A, así A⊆ A ∩ A, de donde se concluye que A = A ∩ A.

7. Demuestre la consistencia para la intersección: A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A

Solución:Se debe demostrar que:

• A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A

• A ∩ B = A ⇒ A ⊆ B.

Para la primera parte de la demostración, basta con observar que si A ⊆ B, entonces A⊆ A ∩ B, en efecto:

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ A ∩ B

195

U N I D A D I

Para la segunda parte, consideremos x ∈ A y mostremos que también está en B.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ B (por hipótesis)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

⇒ x ∈ B

Así A ⊆ B, tal como se quería demostrar.8. Demuestre la absorción de la intersección sobre la unión: A ∩ (A ∪ B) = A

Solución:

Claramente A ∩ (A ∪ B) ⊆ A. Probemos que A ⊆ A ∩ (A ∪ B).

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ A ∪ B)

⇒ x ∈ A ∩ (A ∪ B)

Así A = A ∩ (A ∪ B).

9. Demuestre la involución: (Ac)c = ASolución:

Sea x ∈ (Ac)c ⇔ x ∉ Ac ⇔ x ∈ A

10. Demuestre la Ley de De Morgan: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Solución:

Sea x ∈ (A ∩ B)c. Si x ∈ (A ∩ B)c ⇒ x ∉ A ∩ B

⇒ x ∉ A ∨ x ∉ B

⇒ x e Ac ∨ x ∈ Bc

⇒ x ∈ Ac ∪ Bc

Sea x ∈ Ac ∪ Bc. Si x ∈ Ac ∪ Bc ⇒ x ∈ Ac ∨ x ∈ Bc

⇒ x ∉ A ∨ x ∉ B

⇒ x ∉ A ∩ B

⇒ x ∈ (A ∩ B)c

Se ha demostrado así una de las Leyes de De Morgan.

Ejercicios I.3.5.10.1. Demuestre la idempotencia para la unión: A ∪ A = A

2. Demuestre la absorción de la unión sobre la intersección: A ∪ (A ∩ B) = A

3. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a.- A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B

b.-A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C

c.- A ⊆ A ∪ B

196


d.- (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

e.- A ∩ Bc = A ssi A ∩ B = �

f.- A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

g.- (A ∪ B) ∩ Bc = A ⇔ A ∩ B = �

h.-A ⊆ B ⇔ Bc ⊆ Ac

i.- (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)

j.- (A ∪ B ∪ C)c = Ac ∩ Bc ∩ Cc

k.- A ∪ B = A ∩ B ⇔ A = B

l.- A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B

m.- (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B ⇔ A ∩ B = �

4. Pruebe que P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)

5. Pruebe que A ⊆ C ⇒ A – B = C – (B ∪ (C – A))

6. Reduzca al máximo las identidades siguientes:

a.- (A ∩ B ∩ C ∩ Xc) ∪ (Ac ∩ C) ∪ (Bc ∩ C) ∪ (C ∩ X)

b.- (A ∩ B ∩ X) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ X ∩ Y) ∪ (A ∩ X ∩ Ac)

c.- (A ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ Bc ∪ Cc

d.- (A ∩ B ∩ C ∩ Xc) ∪ (Ac ∩ C) ∪ (Bc ∩ C) ∪ (C ∩ X)

e.- ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (Ac ∩ Xc ∩ Y)) ∩ ((A ∩ Bc ∩ C) ∪ (Ac ∩ Xc ∩ Yc) ∪ (Ac ∩ B ∩ Y))c

f.- ((A ∩ X) ∪ (B ∩ Xc))c

g.- ((A ∩ X) ∪ (B ∩ Xc)) ∪ ((C ∩ X) ∪ (D ∩ Xc))

h.- ((A ∩ X) ∪ (B ∩ Xc)) ∩ ((C ∩ X) ∪ (D ∩ Xc))

7. Emplear las propiedades de las operaciones entre conjuntos, para probar que:

a.- (A – C) ∪ (B – C) = (A ∪ B) – C

b.- (A – B) ∪ (B – C) = A – (B ∪ C)

c.- (A – C) – (B – C) = (A – B) – C

d.-A ⊆ B ⊆ C ⇒ C – (B – A) = A ∪ (C – B)

e.- B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) ⇔ A =�

f.- A ∩ B ∩ C = � ⇒ (A – B) ∪ (B – C) ∪ (C – A) = A ∪ B ∪ C

g.- A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B)

h.- (A ∩ B) – (A ∩ C) = (A ∩ B) – (Ac ∪ C)

i.- (A – (B – A)) ∪ ((B – A) – A) = A ∪ B

197

U N I D A D I

j.- A ∪ B = A ∩ C ⇒ B ⊆ A ∧ A ⊆ C

k.- A ∩ B = ((A ∪ B) ∩ (A ∩ Bc)) ∩ (Ac ∪ B)

l.- A ∩ C =� ⇒ (A – C) – C = A – (B – C)8. La diferencia simétrica entre A y B, es el conjunto A ∆ B, definido por:

A ∆ B = {x: x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B –A) = (A - B) ∪ (B – A)Que se lee: diferencia simétrica entre A y B. Pruebe que ésta es conmutativa y asociativa.

9. Pruebe que:

a.- A ∆ � = A

b.-A ∆ A = �

c.- (A ∆ B) ∩ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C)

d.-A ∆ B = C ⇒ A ∆ C = B

e.- (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B ∩ C) = (A ∆ B) ∪ (B ∆ C) ∪ (A ∆ C).

10. Pruebe que X = Y ⇔ (X ∪ A = Y ∪ A) ∧ (X ∩ A = Y ∩ A).

11. Pruebe que C ⊆ A ∪ B ⇔ (A – B) ∩ C = C – B.

12. Pruebe que A ⊆ C ⇒ A – B = C – (B ∪ (C – A))

13. Encuentre: P(P(P(�))).

14. Demuestre que:

a.- ((A ∪ X) – (A ∆ X)) ∪ ((A ∪ X) – A) = X

b.-Aprovechar resultado anterior para encontrar un conjunto X tal que: (A ∆ X) = B y (A ∪B = C).

c.- Pruebe que en el caso de que B = C, el conjunto X es disjunto con A:

15. Coloque el signo de inclusión, igualdad o ninguno de ellos según corresponda entre losconjuntos siguientes:

a.- P(A ∪ B) y P(A) ∪ P(B)

b.-P(A ∪ B) y P(A) ∩ P(B)

c.- P(A) y P(A ∪ B)

d.-P(B) y P(A ∩ B)

e.- P(A ∩ B) y P(A) ∩ P(B)

f.- P(A ∩ B) y P(A) ∪ P(B)

g.- P(A ∩ B) y P(A ∪ B)

h.-P(U – A) y P(U) – P(A)

198


Respuestas1. Sólo se necesita probar que A ∪ A ⊆ A.

Sea x ∈ A ∪ A. Si x ∈ A ∪ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ A

Así, A ∪ A ⊆ A, de donde se tiene la igualdad.

2. Debemos probar que A ⊆ A ∪ (A ∩ B) y que A ∪ (A ∩ B) ⊆ A. La primera inclusión esverdadera. En cuanto a la segunda, observe la siguiente demostración:Sea x ∈ A ∪ (A ∩ B). Si x ∈ A ∪ (A ∩ B) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A ∩ B

⇒ x ∈ A ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ B)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ A) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ A)

⇒ x ∈ A

Así, (� x )(x ∈ A ∪ (A ∩ B) ⇒ x ∈ A), de donde A ∪ (A ∩ B) ⊆ A, y así se verifica laigualdad deseada.

3. a.- Propiedad antisimétrica de la inclusión, se encuentra demostrada en el texto.

b.-Propiedad transitiva de la inclusión, también ha sido previamente demostrada.

c.-Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B (la inclusión sigue siendo verdadera) ⇒ x ∈A ∪ B, de donde A ⊆ A ∪ B.

d.-Sea x ∈ (A ∪ B)c. Si x ∈ (A ∪ B)c ⇒ x ∉ A ∪ B

⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B

⇒ x e Ac ∧ x ∈ Bc

⇒ x ∈ Ac ∩ Bc

Sea x ∈ Ac ∩ Bc. Si x ∈ Ac ∩ Bc ⇒ x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc

⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B

⇒ x ∉ A ∪ B

⇒ x ∈ (A ∪ B)c

e.- Se debe probar que:

• A ∩ Bc = A ⇒ A ∩ B =

• A ∩ B = ⇒ A ∩ Bc = A

La primera implicación la demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos que A∩ Bc = A y que A ∩ B ≠

Si A ∩ B ≠ , se tiene que: (∃ x)( x ∈ A ∩ B) ⇒ (∃ x)(x ∈ A ∧ x ∈ B)

⇒ (∃ x)(x ∈ A ∩ Bc ∧ x ∈ B)

⇒ (∃ x)((x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∧ x ∈ B)

199

U N I D A D I

⇒ (∃ x)(x ∈ A ∧ ( x ∈ Bc ∧ x ∈ B))

⇒ (∃ x)(x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∈ B))

¡Contradicción!

La contradicción provino de suponer que A ∩ B ≠ �. Luego, necesariamente, A ∩ B = �,cuando A ∩ Bc = A

La segunda implicación la demostraremos de forma directa. Para ello, basta con demos-trar que A ⊆ A ∩ Bc, pues se sabe que A ∩ Bc ⊆ A.

Sea x ∈ A. Si x ∈ A, entonces x ∉ B, pues por hipótesis A ∩ B = �, así x ∈ Bc, se tieneentonces:

Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ Bc ⇒ x ∈ A ∩ Bc, de donde se tiene la inclusión buscada.

f.- Sea x ∈ A – (B ∪ C). Si x ∈ A – (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈A ∧ x ∉ C)

⇒ x ∈ (A – B) ∧ x ∈ (A – C)

⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C)

Así (� x)( x ∈ A – (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C), de donde:

A – (B ∪ C) ⊆ (A – B) ∩ (A – C)

Sea, ahora, x ∈ (A – B) ∩ (A – C)

Si x ∈ (A – B) ∩ (A – C) ⇒ x ∈ (A – B) ∧ x ∈ (A – C)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C)

⇒ x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C)

⇒ x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)c

⇒ x ∈ A – (B ∪ C)

Se ha demostrado así, que A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C).

g.- (A ∪ B) ∩ Bc = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Bc) = (A ∩ Bc) ∪ = (A ∩ Bc) = A ⇔ A ∩ B =

h.-Probemos que A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac. En efecto:

Sea x ∈ Bc ⇒ x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇒ x ∈ Ac. El resto de la demostración se deja al lector.

i.- (A – B) ∪ (B – A) = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ B) ∩ (Bc ∪ Ac) = (A ∪B) ∩ U ∩ U ∩ (Bc ∪ Ac) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c = (A ∪ B) – (A ∩ B).

j.- (A ∪ B ∪ C) = (A ∪ (B ∪ C))c = Ac ∩ (B ∪ C)c = Ac ∩ (Bc ∩ Cc) = Ac ∩ Bc ∩ Cc.

k.- Debemos probar por separado que:

• A ∪ B = A ∩ B ⇒ A = B

200


• A = B ⇒ A ∪ B ⇒ A ∩ B

Para la primera implicación, se tiene:

Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ B. Así A ⊆ B.

Sea x ∈ B. Si x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A. Así A = B.

Para la segunda implicación:

A ∪ B = A ∪ A = A = A ∩ A = A ∩ B

l.- Debemos verificar que:

• A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B

• A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B

Para la primera implicación, se tiene: si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ B.

Para la segunda implicación, se debe demostrar que A ∪ B ⊆ B. Para ello, tomemosx ∈ A ∪ B.

Si x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

⇒ x ∈ B ∨ x ∈ B (por hipótesis)

⇒ x ∈ B.

Así, se ha demostrado la doble implicación.

m.- Se debe probar que:

• (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B ⇒ A ∩ B = �

• A ∩ B = � ⇒ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B

Para la primera implicación, supongamos que A ∩ B ≠ �, es decir, que existe x ∈ A∩ B.

Si x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∪ B

⇒ x ∈ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B)

⇒ x ∈ A ∩ Bc ∨ x ∈ Ac ∩ B

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∈ B)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∉ A) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∉ B ∨ x ∉ A) ∧ (x ∉ B ∨ x ∈ B)

⇒ V ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∉ B ∨ x ∉ A) ∧ V

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∉ B ∨ x ∉ A)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∉ A) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ F ∨ F ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A)

⇒ ¡Contradicción!, pues x ∈ A ∩ B.De esta manera, necesariamente se tiene que A ∩ B = �.Para la segunda implicación, se observa que:

(A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = (A ∪ Ac) ∩ (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ B) = U ∩ (A ∪ B) ∩ (Bc ∪

201

U N I D A D I

Ac) ∩ U = (A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c = (A ∪ B) ∩ U = A ∪ BTal como se quería demostrar.

4. Sea X ∈ P(A ∩ B). Si X ∈ P(A ∩ B) ⇒ X ⊆ A ∩ B

⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B

⇒ X ∈ P(A) ∧ X ∈ P(B)

⇒ X ∈ P(A) ∩ P(B)Así P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B). Análogamente, se puede demostrar que P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B).

5. Sea x ∈ C – (B ∪ (C – A)). Si x ∈ C – (B ∪ (C – A)) ⇒ x ∈ C∧ x ∉ (B ∪ (C – A))

⇒ x ∈ C ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C – A)

⇒ x ∈ C ∧ (x ∉ B ∧ (x ∉ C ∨ x ∈ A))

⇒ (x ∈C ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C) ∨ ( x ∈ C ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A)

⇒ F ∨ (x ∈ C ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A)

⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B

⇒ x ∈ A - BAsí, se ha verificado que C – (B ∪ (C – A)) está incluido en A – B.Sea x ∈ A – B. Si x ∈ A – B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B

⇒ x ∈ C ∧ x ∉ B

⇒ x ∈ C ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ (C – A))

⇒ x ∈ C ∧ x ∉ B ∪ (C – A)

⇒ x ∈ C – (B ∪ (C – A))Así, también se ha probado que A – B ⊆ C – (B ∪ (C – A)), de donde se tiene la igualdad.

6. a.- C

b.-A ∩ B ∩ X

c.- U

d.-C

e.- (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ Xc ∩ Y)

f.- (Ac ∩ X) ∪ (Bc ∩ Xc)

g.- ((A ∪ C) ∩ X) ∪ ((B ∪ D) ∩ Xc)

h.- ((A ∩ C) ∩ X) ∪ ((B ∩ D) ∩ Xc)7. a.- (A – C) ∪ (B – C) = (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc) = (A ∪ B) ∩ Cc = (A ∪ B) - C

b.- (A – B) ∪ (B – C) = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Cc) = (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B) ∩ (A ∪ Cc) ∩ (Bc ∩ Cc) =((A ∪ B) ∩ (A ∪ Cc)) ∩ (Bc ∩ Cc) = ((A ∩ A) ∪ (B ∩ A) ∪ (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc)) ∩ (Bc ∩Cc) = (A ∪ (B ∩ Cc)) ∩ (Bc ∩ Cc) = (A ∩ (Bc ∩ Cc)) ∪ ((B ∩ Cc) ∩ (Bc ∩ C)) = (A ∩ (B ∪C)c) ∪ � = A – (B ∪ C)

202


c.- (A – C) – (B – C) = (A ∩ Cc) – (B ∩ Cc) = (A ∩ Cc) ∩ (B ∩ Cc)c = (A ∩ Cc) ∩ (Bc ∪ C) =(A ∩ Bc ∩ Cc) ∪ (A ∩ Cc ∩ C) = ((A ∩ Bc) ∩ Cc) ∪ = ((A – B) ∩ Cc) = (A – B) – C

d.-C – (B – A) = C – (B ∩ Ac) = C ∩ (B ∩ Ac)c = C ∩ (Bc ∪ A) = (C ∩ Bc) ∪ (C ∩ A) = (C –B) ∪ A = A ∪ (C – B)

e.- (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = (A ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ Ac) ∩ (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B) = U ∩ (Bc ∪ Ac) ∩ (A ∪B) ∩ U = (Ac ∪ Bc) ∩ (A ∪ B) = (A ∩ B)c ∩ (A ∪ B) = B ⇔ A = �

f.- (A – B) ∪ (B – C) ∪ (C – A) = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Ac) = ((A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Cc)) ∪(C ∩ Ac) = ((A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B) ∩ (A ∪ Cc) ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ (C ∩ Ac) = ((A ∪ B) ∩ U ∩ (A∪ Cc) ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ (C ∩ Ac) = ((A ∪ B) ∩ (A ∪ Cc) ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ (C ∩ Ac) = (A ∪ B∪ C) ∩ (A ∪ Cc ∪ C) ∩ (Bc ∪ Cc ∪ C) ∩ (A ∪ B ∪ Ac) ∩ (A ∪ Cc ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ Cc ∪ Ac)= (A ∪ B ∪ C) ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ (A ∩ B ∩ C)c = (A ∪ B ∪ C) ∩ �c = (A ∪ B ∪ C)∩ U = A ∪ B ∪ C

g.- Probemos que si A ⊆ B ⇒ P(A) ⊆ P(B). Sea X ∈ P(A), si X ∈ P(A) ⇒ X ⊆ A ⇒ X ⊆ B ⇒X ∈ P(B). Recíprocamente, si x ∈ A ⇒ {x} ∈ P(A) ⇒ {x} ∈ P(B) ⇒ x ∈ B.

h.- (A ∩ B) – (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)c = (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ C) = (A ∩ B) ∩ ((Ac ∪ C)c)c

= (A ∩ B) – (Ac ∪ C)c

i.- (A – (B – A)) ∪ ((B – A) – A) = (A – (B ∩ Ac)) ∪ ((B ∩ Ac) – A) = (A ∩ (B ∩ Ac)c) ∪ ((B ∩Ac) ∩ Ac) = (A ∩ (Bc ∪ A)) ∪ (B ∩ Ac) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) = (A ∩ Bc) ∪ A∪ (B ∩ Ac) = ((A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B)) ∪ A = ((A ∪ Ac) ∩ (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ B))∪ A = (U ∩ (A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc) ∩ U) ∪ A = ((A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc)) ∪ A = (A ∪ B ∪ A)∩ (Ac ∪ Bc ∪ A) = (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B

j.- Sea x ∈ B, si x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ C ⇒ x ∈ A. Así seconcluye que B ⊆ A. Por otro lado, si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∩ C ⇒ x ∈ A ∧ x∈ C ⇒ x ∈ C. Luego, A ⊆ C.

k.- ((A ∪ B) ∩ (A ∩ Bc)) ∩ (Ac ∪ B) = ((A ∩ A ∩ Bc) ∪ (B ∩ A ∩ Bc)) ∩ (Ac ∪ B) = ((A ∩ Bc)∪ �) ∩ (Ac ∪ B) = (A ∩ Bc) ∩ (Ac ∪ B) = (A ∩ Bc ∩ Ac) ∪ (A ∩ Bc ∩ B) = �

l.- A – (B – C) = A – (B ∩ Cc) = A ∩ (Bc ∪ C) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ C) = A ∩ Bc = A – B

8. A ∆ B = (A – B) ∪ ( B – A) = (B – A) ∪ (A – B) = B ∆ A. Así, la diferencia simétrica esconmutativa. Para la asociatividad:

(A ∆ B) ∆ C = ((A – B) ∪ (B – A)) ∆ C = (((A – B) ∪ (B – A)) – C) ∪ (C – ((A – B) ∪ (B – A)))= ((A – B) – C) ∪ (B – A) – C) ∪ ... = A ∆ ( B ∆ C)

9. a.-A ∆ � = (A - �) ∪ (� - A) = (A ∩ U) ∪ (� ∩ Ac) = A ∪ � = A

b.-A ∆ A = (A – A) ∪ (A – A) = A – A = A ∩ Ac = �

c.- (A ∩ C) ∆ (B ∩ C) = ((A ∩ C) – (B ∩ C)) ∪ ((B ∩ C) – (A ∩ C)) = ((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)c) ∪((B ∩ C) ∩ (A ∩ C)c) = ((A ∩ C) ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ ((B ∩ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) = ((A ∩ C ∩ Bc)∪ (A ∩ C ∩ Cc)) ∪ ((B ∩ C ∩ Ac) ∪ (B ∩ C ∩ Cc)) = (A ∩ C ∩ Bc) ∪ � ∪ (B ∩ C ∩ Ac)∪ � = (A ∩ Bc ∩ C) ∪ (B ∩ Ac ∩ C) = ((A – B) ∩ C) ∪ ((B - A) ∩ C) = ((A – B) ∪ (B – A))∩ C = (A ∆ B) ∩ C

d.-A ∆ C = A ∆ (A ∆ B) = (A ∆ A) ∆ B = � ∆ B = B ∆ � = B

203

U N I D A D I

e.- (A ∆ B) ∪ (B ∆ C) ∪ (A ∆ C) = (A – B) ∪ (B – A) ∪ (B – C) ∪ (C – B) ∪ (A – C) ∪ (C – A) = (A∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) ∪ (B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc) ∪ (A ∩ Cc) ∪ (C ∩ Ac) = ((A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac)) ∪ ((B∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)) ∪ ((A ∩ Cc) ∪ (C ∩ Ac)) = ((A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B) ∩ (A ∪ Ac) ∩ (Bc ∪ Ac)) ∪ ((B∪ C) ∩ (Cc ∪ C) ∩ (B ∪ Bc) ∩ (Cc ∪ Bc)) ∪ ((A ∪ C) ∩ (Cc ∪ C) ∩ (A ∪ Ac) ∩ (Cc ∪ Ac)) = ((A∪ B) ∩ U ∩ U ∩ (Bc ∪ Ac)) ∪ ((B ∪ C) ∩ U ∩ U ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ ((A ∪ C) ∩ U ∩ U (Cc ∪ Ac))= ((A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc)) ∪ ((B ∪ C) ∩ (Bc ∪ Cc)) ∪ ((A ∪ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) = (((A ∪ B) ∩ (Ac ∪Bc)) ∪ ((B ∪ C) ∩ (Bc ∪ Cc))) ∪ ((A ∪ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) =(((A ∪ B) ∪ (B ∪ C)) ∩ ((A ∪ B) ∪ (Bc

∪ Cc)) ∩ ((Ac ∪ Bc) ∪ (B ∪ C)) ∩ ((Ac ∪ Bc) ∪ (Bc ∪ Cc))) ∪ ((A ∪ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) = ((A ∪ B ∪C) ∩ U ∩ U ∩ (Ac ∪ Bc ∪ Cc)) ∪ ((A ∪ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) = ((A ∪ B ∪ C) ∩ (Ac ∪ Bc ∪ Cc)) ∪((A ∪ C) ∩ (Ac ∪ Cc)) = ((A ∪ B ∪ C) ∪ (A ∪ C)) ∩ ((Ac ∪ Bc ∪ Cc) ∪ (A ∪ C)) ∩ ((A ∪ B ∪C) ∪ (Ac ∪ Cc)) ∩ ((Ac ∪ Bc ∪ Cc) ∪ (Ac ∪ Cc)) = (A ∪ B ∪ C) ∩ U ∩ U ∪ (Ac ∪ Bc ∪ Cc) = (A∪ B ∪ C) ∩ (Ac ∪ Bc ∪ Cc) = (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B ∩ C)c = (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B ∩ C)

10. Si X = Y ⇒ (X ∪ A = Y ∪ A) ∧ (X ∩ A = Y ∩ A), debemos probar entonces, que si (X ∪ A= Y ∪ A) ∧ (X ∩ A = Y ∩ A) ⇒ X = Y. En efecto:

Sea x ∈ X. Si x ∈ X ⇒ x ∈ X ∪ A

⇒ x ∈ Y ∪ A

⇒ x ∈ Y ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ Y ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ X)

⇒ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∩ A

⇒ x ∈ Y ∨ x ∈ Y ∩ A

⇒ x ∈ Y ∨ (x ∈ Y ∧ x ∈ A)

⇒ x ∈ YEntonces, X ⊆ Y. Análogamente:Sea x ∈ Y. Si x ∈ Y ⇒ x ∈ Y ∪ A

⇒ x ∈ X ∪ A

⇒ x ∈ X ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ X ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ Y)

⇒ x ∈ X ∨ x ∈ Y ∩ A

⇒ x ∈ X ∨ x ∈ X ∩ A

⇒ x ∈ X ∨ (x ∈ X ∧ x ∈ A)

⇒ x ∈ XAsí, Y ⊆ X. Luego, se concluye la igualdad de los conjuntos X e Y.

11. Debemos probar que:

• C ⊆ A ∪ B ⇒ (A – B) ∩ C = C – B

• (A – B) ∩ C = C – B ⇒ C ⊆ A ∪ B.

Supongamos que C ⊆ A ∪ B y sea x ∈ (A – B) ∩ C:

204


Si x ∈ (A – B) ∩ C ⇒ x ∈ A – B ∧ x ∈ C

⇒ x ∈ A ∩ Bc ∧ x ∈ A ∪ B (por hipótesis)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc ∧ x ∈ A) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc ∧ x ∈ B)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∨ F

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∧ x ∈ C

⇒ x ∈ C ∧ x ∈ Bc

⇒ x ∈ C ∩ Bc

⇒ x ∈ C – BAsí, se ha mostrado que (A – B) ∩ C ⊆ C – B. Demostremos ahora que C – B ⊆ (A – B) ∩ C:

Sea x ∈ C – B. Si x ∈ C – B ⇒ x ∈ C ∩ Bc

⇒ x ∈ C ∧ x ∈ Bc

⇒ x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ Bc (por hipótesis)

⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ Bc

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ Bc)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∨ F

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ Bc

⇒ x ∈ A ∩ Bc

⇒ x ∈ A – B

⇒ (x ∈ A – B) ∧ x ∈ C

⇒ x ∈ (A – B) ∩ CAsí, C- B ⊆ (A – B) ∩ C.Probemos ahora, que C – B = (A – B) ∩ C, implica que C ⊆ A ∪ B.Sea x ∈ C. Si x ∈ C ⇒ x ∈ C ∧ (x ∈ B ∨ x ∉ B)

⇒ (x ∈ C ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ C ∧ x ∉ B)

⇒ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ C – B

⇒ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ (A – B) ∩ C

⇒ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ A

⇒ x ∈ A ∪ BAsí, se ha demostrado que C ⊆ A ∪ B.

12. Supongamos que A ⊆ C y probemos que A – B = C – (B ∪ (C – A)).Sea x ∈ A – B. Si x ∈ A – B ⇒ x ∈ A ∩ Bc

⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B

⇒ x ∈ C ∧ x ∉ B

⇒ x ∈ C ∧ ( x ∉ B ∧ x ∉ C – A)

205

U N I D A D I

⇒ x ∈ C ∧ x ∈ (B ∪ (C – A))c

⇒ x ∈ C – (B ∪ (C – A))

Así, se ha probado que A – B ⊆ C – (B ∪ (C – A)). De manera análoga se puede mostrarque C – (B ∪ (C – A)) ⊆ A – B.

13. P(P(P(� ))) = P(P({{�}, �})) = P({{�}, {{�}}, � , {{�}, �}) = {{{�}}, {{{�}}}, {�}, {{{�}, �}},{{�}, {{�}}}, {{�}, �}, {{�}, {{�}, �}}, {{{�}}, �}, {{{�}}, {{�}, �}}, {�, {{�}, �}}, {{�},{{�}}, �}, {{�}, {{�}}, {{�}, �}}, {{�}, �, {{�}, �}}, {{{�}}, �, {{�}, �}}, �, {{{�}, {{�}},�, {{�}, �}}

14. ((A ∪ X) – (A ∆ X)) ∪ ((A ∪ X) – A) = ((A ∪ X) – ((A – X) ∪ (X – A))) ∪ ((A ∪ X) – A) = ((A∪ X) ∩ ((A – X) ∪ (X – A))c) ∪ ((A ∪ X) ∩ Ac) = ((A ∪ X) ∩ ((A ∩ Xc) ∪ (X ∩ Ac))c) ∪ ((A ∪X) ∩ Ac) = ((A ∪ X) ∩ ((A ∩ Xc)c ∩ (X ∩ Ac)c)) ∪ ((A ∪ X) ∩ Ac) = ((A ∪ X) ∩ ((Ac ∪ X) ∩ (Xc

∪ A))) ∪ ((A ∪ X) ∩ Ac) = (A ∪ X) ∩ (((Ac ∪ X) ∩ (Xc ∪ A)) ∪ Ac) = (A ∪ X) ∩ ((Ac ∪ X ∪Ac) ∩ (Xc ∪ A ∪ Ac)) = (A ∪ X) ∩ (Ac ∪ X) = (A ∪ Ac) ∩ X = U ∩ X = X

15.a.-P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B)

b.-P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∪ B)

c.- P(A) ⊆ P(A ∪ B)

d.-P(A ∩ B) ⊆ P(B)

e.- P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)

f.- P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∪ P(B)

g.- P(A ∩ B) ⊆ P(A ∪ B)

h.-P(U – A) = P(U) – P(A)

RESUMENEsta es una de las secciones más importantes del capítulo. Aquí, el lector deberá utilizar

todos los conocimientos adquiridos tanto de lógica simbólica como de teoría de conjuntos,para lograr su completo entendimiento y conseguir resolver los problemas. Se enuncian ydemuestran gran cantidad de propiedades de la intersección, unión y complemento de con-juntos, todas las cuales deben ser demostradas. Se define además el concepto de diferenciasimétrica entre conjuntos y se presentan algunas de sus propiedades. Se invita al lector aabordar esta sección con especial detención y cuidado.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = Ac ∆ Bc

2. A ∆ B = � ⇔ A = B

3. P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B)

206


Glos

4. A ∪ B = A ⇒ B = �

5. (A – B) ∩ B = �

6. La unión del conjunto A con el conjunto B no puede ser igual a A – B

7. Si A es un conjunto con al menos un elemento y B ⊆ A, nunca se tiene que B – A = B

8. P(�) = P({�})

9. A ∆ B ⊆ A

10. A – B ⊆ A y B – A ⊆ B

11. A ∪ B = (A – B) ∪ B y (A – B) ∩ B = �

Respuestas

1. Verdadero

2. Verdadero

3. Verdadero

4. Falso

5. Verdadero

6. Falso, sólo es verdadero si B es el conjunto vacío.

7. Falso

8. Falso

9. Falso

10. Verdadero

11. Falso

Glosario

Conjunto: colección de elementos bien determinados y diferenciados entre sí, que con-forman una totalidad.

Conjunto Universo: conjunto de todos los elementos relacionados con un cierto ámbito.

Conjunto Vacío: conjunto sin elementos.

Contrarrecíproco: cada teorema, de la forma p ⇒ q, puede ser formulado de maneraequivalente por su contrarrecíproco ~ q ⇒ ~ p.

207

U N I D A D I

Complemento de un Conjunto: conjunto formado por todos los elementos que no perte-necen al conjunto.

Demostración Directa: demostración de un teorema, que parte asumiendo como verda-dera la hipótesis y a partir de ella, resultados anteriores e implicaciones verdaderas, sellega a demostrar la tesis.

Identidades de Conjuntos: teoremas que establecen la igualdad entre conjuntos.

Intersección de Conjuntos: conjunto formado por todos aquellos elementos que pertene-cen a dos conjuntos a la vez.

Inclusión: un conjunto está incluido en otro, si todos sus elementos pertenecen al otro.

Leyes de De Morgan: identidades entre conjuntos que establecen el complemento de unaunión y una intersección de conjuntos.

Lógica Simbólica: rama de la lógica que estudia razonamientos con la ayuda de símbolos.

Propiedad Asociativa: propiedad que establece que al relacionar tres objetos, no interesaqué pareja se relaciona primero, o los dos primeros o los dos últimos.

Propiedad Conmutativa: el orden no influye en los resultados.

Propiedad Distributiva: reducción de paréntesis.

Propiedad de Idempotencia: al relacionar un objeto consigo mismo, se obtiene sólo elobjeto.

Propiedad de Consistencia: propiedad que establece que al reemplazar una proposiciónpor otra equivalente, se conserva el resultado original.

Propiedad de Absorción: objetos relacionados consigo mismos.

Propiedad de Involución: propiedad que establece el no crecimiento de ámbito de unaproposición.

Propiedad de Antisimetría de la Inclusión: la inclusión se dice antisimétrica porque alestablecer que A ⊆ B y B ⊆ A, se tiene necesariamente que A = B.

Reducción al Absurdo: técnica de demostración que consiste en negar lo que se quiereprobar que es verdadero y establecer alguna contradicción.

Unión de Conjuntos: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a uno delos conjuntos de referencia al menos.

Símbolos

∪ : Unión

⊆ : Subconjunto

∩ : Intersección

= : Igual que


U : UniversoAc : Conjunto complemento

∈ : Pertenece

∉ : No pertenece

208


Famili

⇒ : Implica

⇔ : Equivalencia

∨ : o

∧ : y

� : Para todo

∆ : Diferencia simétrica entre conjuntos

I.3.6. Familias de Conjuntos

Llamaremos familia de conjuntos a un conjunto cuyos elementos son también con-juntos. En general, se denotan por las letras: FFFFF, EEEEE, TTTTT, LLLLL, etc.

Ejemplo I.3.6.1.Si X = {a, b, c} es un conjunto, entonces, el conjunto de las partes de X, P(X), es una

familia de conjuntos: P(X) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, �}

Una familia � es finita si posee una cantidad finita de elementos, tal como en elejemplo anterior. En este caso, podemos escribir: � = {A1, A2, A3, ..., An} (si � ‘ posee nelementos). En caso contrario, la familia se dirá infinita. En los dos ejemplos siguientesveremos un par de familias infinitas.

Ejemplo I.3.6.2.

El conjunto � ‘ = {A: A ⊆ �, el número de elementos de A es 4} es una familia deconjuntos, en particular:

• {2, 4, 6, 8} ∈ � ‘

• {1, 2, 3, 4} ∈ � ‘

• {100, 2, 10001, 3} ∈ � ‘

• {25, 26, 27} ∉ � ‘

• {203, 25/3, 2, 5} ∉ � ‘

Ejemplo I.3.6.3.

� = {An: An = [0, 1/n], An ⊆ �, n ∉ �}, es también una familia de conjuntos:

• A1 = [0, 1] ∈ �

• A8 = [1, 1/8] ∈ �

• [0, 1] ∉ �

• [0, 2] ∉ �

209

U N I D A D I

Para las familias de conjuntos, también se define una unión de familia y una intersec-ción de familia, tal como sigue:

∪� = ∪i ∈ I Ai = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... = ∪ A ∈ � A

∩� = ∩i ∈ I Ai = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... = ∩ A ∈ � A

Diversas son las propiedades que verifican estas operaciones, pero escapan al desarro-llo de este curso.ACTIVIDADES I.3.6.4.1. Muestre que se satisfacen las Leyes de De Morgan.Solución:Probemos que (∪ A ∈ � A)c ⊆ ∩ A∈ � A

c.Sea x ∈ (∪ A ∈ � A)c. Si x ∈(∪ A ∈ � A)c ⇒ x ∉ (∪ A ∈ � A)

⇒ (� A ∈ � )(x ∉ A)⇒ (� A ∈ � )(x ∈ Ac)⇒ x ∈ ∩A ∈ � A

c

Así, se ha mostrado que: (∪ A ∈ � A)c ⊆ ∩ A ∈ � Ac. De forma análoga se puede mostrar la otra

inclusión.

2. Muestre que B ∩ (∪ A∈ � A) = ∪ A∈ � (B ∩ A).

Solución:Mostremos que B ∩ (∪ A∈ � A) ⊆ ∪ A∈ � (B ∩ A).Sea x ∈ B ∩ (∪ A∈ � A) ⇒ x ∈ B ∩ (∪ A∈ � A)

⇒ x ∈ B ∧ x ∈ ∪ A∈ � A

⇒ x ∈ B ∧ (∃ A ∈ � )(x ∈ A)

⇒ (∃ A ∈ � )(x ∈ B ∧ x ∈ A)

⇒ (∃ A ∈ � )(x ∈ B ∩ A)

⇒ x ∈ ∪ A∈ � (B ∩ A)Se ha probado así que B ∩ (∪ A ∈ � A) ⊆ ∪ A∈ � (B ∩ A). La inclusión restante se muestrade la misma forma.

3. Muestre que B ∪ (∩ A∈ � A) = ∩ A∈ � (B ∪ A).Solución:

Demostración completamente análoga a la anterior.

RESUMENEn esta sección se define el concepto de familia de conjuntos, mostrándose además

algunas de sus propiedades más importantes. Este tópico en realidad no es muy importantepara el desarrollo normal del curso, sólo se presenta para completar la teoría de conjunto,señalando su existencia. Al lector interesado se le invita a revisar la amplia e interesantebibliografía existente sobre el tema.

210


Glos

AUTOEVALUACIÓN1. Una familia de conjuntos es un conjunto de conjuntos.

2. P(X) no es una familia de conjuntos.

3. P(P(X)) es una familia de conjuntos.

4. P(�) no es una familia de conjuntos.

5. El universo U es una familia de conjuntos.

6. � es subconjunto de una familia de conjuntos.

Respuestas

1. Verdadero

2. Falso

3. Verdadero

4. Falso

5. Falso

6. Verdadero

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien diferenciados y determinados, que conforman unatotalidad.

Conjunto de las Partes: conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Elementos: objetos que pertenecen a un conjunto.

Familia de Conjuntos: conjunto de conjuntos.

Familia Finita: conjunto de conjuntos con una cantidad finita de elementos.

Familia Infinita: conjunto de conjuntos con una cantidad infinita de elementos.

Intersección de Familia: conjunto formado por todos los elementos que son comunes a la familia.

Unión de Familia: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al menos aun elemento de la familia.

211

U N I D A D I

Prod

Símbolos

∩ : Intersección

∪ : Unión

= : Igual queP(X) : Conjunto de las partes

F : Familia de conjuntos

∩ A∈ � A : Intersección de una familia de conjuntos

∪ A∈ � A : Unión de una familia de conjuntos

⊆ : Subconjunto.

∈ : Pertenece

∉ : No pertenece

I.3.7. Producto de Conjuntos

Para definir el concepto de producto cartesiano de conjuntos se necesita precisar elconcepto de par ordenado (y en general, el de n – upla ordenada).

Intuitivamente, un par ordenado consta de dos objetos, en que uno de ellos se consi-dera como el “primer elemento” (o la primera coordenada) del par, y el otro como elsegundo (o segunda coordenada).

Si a es el primer elemento, y b el segundo, se denota el par ordenado de a y b por:(a, b)

Definiéndose esta estructura (con orden) en términos de conjuntos (que no tienen unorden innato) de la siguiente forma:

(a, b) = {{a}, {a, b}}Con la definición anterior, no deben quedar dudas del orden de los elementos. Aun

cuando hemos insistido que los elementos de un conjunto no tienen asociada ninguna clasede orden, al definir un par ordenado de la forma expuesta, se tiene que el primer elementoserá aquel del conjunto que se encuentra solo, mientras el segundo, será el que se encuentraacompañado con el primero.

La definición presentada anteriormente se puede generalizar a ternas ordenadas, (a,b, c), definidas de la siguiente manera:

(a, b, c) = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}De la misma forma, se pueden definir n – uplas ordenadas, (a1, a2, ..., an), definidas

por:(a1, a2, ..., an) = {{a1}, {a1, a2}, ...{a1, a2,...,an}}

La igualdad de dos pares ordenados queda definida de la siguiente manera:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

Dejamos como ejercicio al lector definir la igualdad para ternas ordenadas. No deberíapresentarse ninguna dificultad en esa tarea.

212


Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B al conjunto cuyoselementos son todos los pares ordenados en que la primera componente es un elemento deA, y la segunda es un elemento de B. Se denota este producto cartesiano por A × B. Se tieneentonces:

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo I.3.7.1.Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}. Entonces el producto cartesiano de A y B, está dado

por:

A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Ejemplo I.3.7.2.La generalización a más de dos conjuntos es trivial. Sean A = {a, b}, C = {0, 1} y D =

{10, 20, 30}. Entonces, el producto cartesiano de A, B y C, esta dado por:

A × B × C = {(a, 0, 10), (a, 0, 20), (a, 0, 30), (a, 1, 10), (a, 1, 20), (a, 1, 30), (b, 0, 10), (b,0, 20), (b, 0, 30), (b, 1, 10), (b, 1, 20), (b, 1, 30)}

En general A × B ≠ B × A. El producto cartesiano no es conmutativo. El siguienteejemplo nos ilustra claramente tal hecho.

Ejemplo I.3.7.3.Sean A = {0, 3} y B = {-1, 3, 7}. Entonces

A × B = {(0, -1), (0, 3), (0, 7), (3, -1), (3, 3), (3, 7)}

B × A = {(-1, 0), (-1, 3), (3, 0), (3, 3), (7, 0), (7, 3)}

Del ejemplo anterior, la única forma posible de que el producto cartesiano seaconmutativo, es que ambos conjuntos (el correspondiente a la primera componente y el quecorresponde a la segunda) sean iguales. Así, se puede formalizar la siguiente propiedad: Si A= B, entonces A × B = B × A, pero (x, y) ≠ (y, x) salvo si x = y.

A continuación, enunciamos algunas propiedades del producto cartesiano, que serándemostradas como actividad práctica. Por ahora, interesa recalcar las aplicaciones de éstasen la reducción de expresiones complejas de conjuntos.

Propiedades

• A × B = � ⇒ A = � ∨ B = �

• A × B ≠ � ⇒ A ≠ � ∧ B ≠ �

• A ⊆ X ∧ B ⊆ Y ⇒ A × B ⊆ X × Y

• A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

• C ≠ � ∧ A × C = B × C ⇒ A =B

213

U N I D A D I

Ejemplo I.3.7.4.

(A × B)c – (Ac × Bc) = (A × B)c ∩ (Ac × Bc)c = ((A × B) ∪ (Ac × Bc))c = A × Bc ∪ Ac × B

El producto cartesiano de tres conjuntos se define como A × B × C = (A × B) × C. Estocorresponde a la aplicación sucesiva del producto cartesiano para dos conjuntos.

Ejemplo I.3.7.5.

Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b} y C = {-1, 1}. Entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2,b), (3, a), (3, b)}. Así A × B × C = (A × B) × C = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3,b)} × {-1, 1} = {((1, a), -1), ((1, b), -1), ((2, a), -1), ((2, b), -1), ((3, a), –1), ((3, b), –1),((1, a), 1), ((1, b), 1), ((2, a), 1), ((2, b), 1), ((3, a), 1), ((3, b), 1)} = {(1, a, -1), (1, b, -1), (2, a, -1), (2, b, -1), (3, a –1), (3, b, –1), (1, a, 1), (1, b, 1), (2, a, 1), (2, b, 1), (3,a, 1), (3, b, 1)}

Es importante observar que se puede probar que A × (B × C) = (A × B) × C. En lasactividades se plantea esta demostración, que corresponde a la asociatividad del produc-to cartesiano.

El producto de A × A se designa por A2. El producto de A × A × A = A2 × A sedesigna por A3, y en general, el producto de A × A × A ... × A (n veces A), se designa porAn.

Ejemplo I.3.7.6.

Un interesante ejemplo, lo ofrece el caso particular de que A = �. Tenemos entoncesque los conocidos conjuntos �2, �3, �n, no son más que productos cartesianos de � consi-go mismo:

�2 = � × � = {(x, y): x ∈ � ∧ y ∈ �}

�3 = � × � × � = {(x, y, z): x ∈ � ∧ y ∈ � ∧ z ∈ �}

Si P es una propiedad (función proposicional) definida sobre el producto cartesiano X× Y, los elementos (x, y) ∈ X × Y para los que la proposición P(x, y) es verdadera, definen unsubconjunto de X × Y, digamos:

A = {(x, y) ∈ X × Y: P(x, y)}

En otras palabras, todo elemento (x, y) de A, verifica P(x, y). Recíprocamente, todoelemento (x, y) ∈ X × Y que verifica P(x, y) pertenece a A.

Recordemos que lo anterior es equivalente a decir que P es una propiedad caracterís-tica de los elementos A ⊆ X × Y.

Por último, se insiste en la idea de que la determinación del conjunto A se reduce alproblema de encontrar los elementos (x, y) ∈ X × Y, que satisfacen (o verifican) a P(x, y), estoes, para los que P(x, y) es verdadera.

ACTIVIDADES I.3.7.7.1. Determine {1, 2, 3} × {4, 5}

Solución:

{1, 2, 3} × {4, 5} = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

2. Pruebe que (a, b, c) = (x, y, z) ⇒ a = x ∧ b = y ∧ c = z

214


Solución:

(a, b, c) = {a, {a, b}, {a, b, c}}

(x, y, z) = {x, {x, y}, {x, y, z}}

(a, b, c) = (x, y, z) ⇒ {{a}, {a, b}, {a, b, c}} = {{x}, {x, y}, {x, y, z}}

⇒ a = x ∧ {a, b} = {x, y} ∧ {a, b, c} = {x, y, z}

⇒ a = x ∧ b = y ∧ c = z

3. Pruebe que:

a.- A × B = � ⇒ A = � ∨ B = �

b.-A × B ≠ � ⇒ A ≠ � ∧ B ≠ �

c.- A ⊆ X ∧ B ⊆ Y ⇒ A × B ⊆ X × Y

d.-A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

e.- A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

f.- C ≠ � ∧ A × C = B × C ⇒ A = B

Solución:

a.- Supongamos que no. Que A ≠ � ∧ B ≠ �. Entonces, existe x ∈ A ∩ B, luego (x, x) ∈ A× B, lo que es una contradicción, pues A × B = �.

b.-El contrarrecíproco del anterior.

c.- Sea (a, b) ∈ A × B. Si (a, b) ∈ A × B ⇒ a ∈ A ∧ b ∈ B

⇒ a ∈ X ∧ b ∈ Y

⇒ (a, b) ∈ X × Y

Así, se prueba que A × B ⊆ X × Y

d.-Sea x ∈ A × (B ∩ C).

(x, y) ∈ A × (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B ∩ C

⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ y ∈ C

⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C)

⇔ (x, y) ∈ A × B ∧ (x, y) ∈ A × C

⇔ (x, y) ∈ (A × B) ∩ (A × C)

e.- Análogo al anterior.

f.- Sea x ∈ A. Si x ∈ A ⇒ (x, y) ∈ A × C

⇒ (x, y) ∈ B × C

⇒ x ∈ B

Así, A ⊆ B. De la misma forma se prueba que B ⊆ A.

215

U N I D A D I

4. Verifique que el producto cartesiano es asociativo.Solución:

A × (B × C) = {(a, (b, c)): a ∈ A ∧ {(b, c) ∈ B × C}}

= {(a, b, c): a ∈ A ∧ {b ∈ B ∧ c ∈ C}}

= {((a, b), c): {(a, b) ∈ A × B} ∧ c ∈ C}

= (A × B) × C

5. Pruebe que (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)

Solución:

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × (C ∩ D)) ∩ (B × (C ∩ D)) = (A × C) ∩ (A × D) ∩ (B × C) ∩ (B ×D) = (A × C) ∩ (B × D)

6. Ac × Bc ⊆ (A × B)c

Solución:

Sea (x, y) ∈ Ac × Bc ⇒ x ∉ A ∧ y ∉ B

⇒ (x, y) ∉ A × B

⇒ (x, y) ∈ (A × B)c

RESUMENEn esta sección se define el concepto de par ordenado y el producto cartesiano entre

dos conjuntos. La comprensión de ambos tópicos es básica para el estudio de relaciones yfunciones que comenzaremos a analizar pronto.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. El producto cartesiano es conmutativo.

2. (A × B)c = Ac × Bc

3. El producto cartesiano es asociativo.

4. Una terna ordenada es un conjunto ordenado con tres elementos.

5. El producto cartesiano tiene las mismas propiedades que la intersección de conjuntos.

6. Un conjunto de ternas ordenadas se define en torno a dos productos cartesianos.

7. �2 corresponde al producto cartesiano de � consigo mismo.

Respuestas

1. Falso. 2. Falso.

3. Verdadero. 4. Verdadero.

5. Falso. 6. Verdadero.

7. Verdadero.

216


GlosGlosario

Asociativo: al relacionar tres objetos, no importan los paréntesis.

Conjunto: colección de objetos bien determinado y diferenciados entre si, que conformanuna totalidad.

Conmutativo: el orden no importa.


Función proposicional: función que al fijar todos sus parámetros se transforma en una propo-sición.

N-upla Ordenada: conjunto formado por n elementos, donde interesa el orden de estos.

Par Ordenado: conjunto formado por dos elementos, donde se distingue un orden.

Primera Coordenada: primer elemento de un par ordenado.

Producto Cartesiano: producto entre dos conjuntos, que conforman un conjunto de paresordenados.

Propiedad Característica: propiedad importante.

Segunda Coordenada: segundo elemento de un par ordenado.

Subconjunto: conjunto de todos los elementos que pertenecen a otro conjunto.

Terna Ordenada: conjunto de tres elementos, donde importa el orden.

Símbolos

× : Producto cruz entre conjuntos

∩ : Intersección

∪ : Unión


= : Igualdad

≠ : Distinto

⊆ : Subconjunto

∧ : y

∨ : o

⇒ : Implica


⇔ : Equivalencia

∈ : Pertenece

Ac : Complemento

217

U N I D A D I

ParadI.3.8. Paradojas de la Teoría de Conjuntos

La más antigua de las paradojas data del siglo VI A.C. en que Epiménides, el célebrepoeta y profeta de Creta, hizo su famosa observación: “todos los cretenses son mentirosos”.A primera vista esto no parece ser particularmente peligroso. Se acerca más a una de esasociosas exageraciones en las que todos incurrimos. Es decir, expresiones como: “esta nochese ven todas las estrellas”, “este año no ha parado de llover”. Pero “todas las declaracionesque hacen los cretenses son falsas (todos los cretenses son mentirosos)” es mucho más queuna exageración.

Al igual que la fabulosa serpiente que de pronto se vuelve y empieza a morderse la cola,las dificultades empiezan cuando se considera que el mismo Epiménides era también creten-se. En este caso, todas las declaraciones que hizo Epiménides fueron falsas y, en particular, lade que “todas las declaraciones que hicieron los cretenses eran falsas”. Para aclarar más estacuestión, coloquemos el razonamiento de forma detallada:

a.- Todas las declaraciones que hacen los cretenses son falsas.

b.-La declaración a.- la hizo un cretense

c.- En consecuencia, la declaración a) es falsa.

d.-En consecuencia no todas las declaraciones que hicieron los cretenses son falsas.Es claro que las declaraciones a.- y d.- no pueden ser evidentemente ciertas al mismo

tiempo, y sin embargo, la d.- se deduce lógicamente de la a.-. Por consiguiente la declara-ción a.- se contradice a sí misma.

En todas las paradojas, su verdadero significado se pone de manifiesto sólo después dehaberlas leído y releído varias veces, hasta que quedan claras.

Seguramente no hay persona viviente en la Tierra que no haya utilizado en algunaocasión el conocido proverbio de que “no hay regla sin excepción”. Sin embargo, pocos sonlos que se dan cuenta de que se contradice a sí mismo y por lo tanto también es una parado-ja.

Otra paradoja que tiene su origen en la antigüedad se refiere al sofista Protágoras, quevivió y enseñó en el siglo V A.C. Se dice que Protágoras hizo un arreglo con uno de susalumnos según el que éste habría de pagarle su educación después de que hubiera ganadosu primer caso. El joven terminó sus estudios, puso su tradicional placa anunciando su pro-fesión y esperó la llegada de los clientes. Pero no apareció ninguno. Protágoras se impacien-tó y decidió demandar a su antiguo alumno por la cantidad que le debía.

Protágoras razonaba de la siguiente forma: “o gano yo el proceso o lo ganas tú. Si logano yo, me tendrás que pagar en cumplimiento de la sentencia. Si lo ganas tú, me tendrásque pagar para cumplir nuestro convenio. En ambos casos tendrás pues que pagarme”.

El joven, en cambio, replicó: “Si gano yo, los tribunales no me obligan a pagarte. Siganas tú, según nuestro convenio no tengo por qué pagarte. Por lo tanto en ningún casotendré que pagarte”.

¿Cuál de los dos razonamientos es el correcto?Un forastero preguntó en una ocasión a un barbero si tenía mucha competencia.

“Ninguna en absoluto” contestó el barbero. “De todos los hombres del pueblo, natural-

218


mente que no afeito a los que se afeitan solos, pero afeito a todos los que no se afeitansolos”.

Esta observación parece muy inocente hasta que nos paramos a pensar en el caso delbarbero mismo. ¿Se afeita él solo o no? Supongamos que sí; entonces hay que clasificarloentre los que se afeitan solos. Pero el barbero no afeita a los que se afeitan solos. Por lo tantono se afeita solo. Bien, pues supongamos que no se afeita solo; entonces hay que clasificarlocon los que no se afeitan solos, pero como el barbero afeita a todos los que no se afeitansolos, resulta que sí se afeita solo....

Si queremos, podemos expresar todos los números naturales, en español corriente sinemplear símbolos numéricos. Por ejemplo, podemos expresar el 7 como “siete” o como el“séptimo entero” o como el “tercer número primo impar”; el 63 se puede expresar como“sesenta y tres” o como “siete por nueve”; el 7396 se puede expresar como “siete mil tres-cientos noventa y seis”, o como “setenta y tres cientos más noventa y seis” o como “ochentay seis al cuadrado”.

Para expresar cada entero se necesita utilizar un cierto número de sílabas, tanto mayorcuanto más alto sea el entero. Sin embargo, esta generalización no siempre es cierta. Porejemplo, el número de treinta y nueve cifras: 2127 – 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687303 715 884 105 727, se puede expresar con ocho palabras diciendo “el número primo másgrande que se conoce” (Actualmente, esto no es cierto, este era el número más grande que seconocía en los años 1970, para conocer el número primo más grande que se conoce actual-mente, se invita al lector a visitar la página web:fttp:www.entropia.com, en donde se acos-tumbra compartir esta novedad).

Lo importante es darse cuenta de que para expresar cualquier número entero, se pre-cisa de un número mínimo de sílabas.

Dividamos todos los números enteros en dos grupos: aquellos que se expresan conveintiuna sílabas o menos y aquellos que necesitan a lo menos veintidós sílabas. Dentro delsegundo grupo, con toda seguridad existe uno que es más pequeño que todos los demás,aunque no sepamos a ciencia cierta cuál. Es suficiente con comprender que “el menor ente-ro no designable con menos de veintidós sílabas” es un número determinado.

Pero, un lector agudo, se habrá dado cuenta de que la frase entre comillas anterior,es una con no más de veintiuna sílabas. Luego, el número entero más pequeño que no sepuede expresar con menos de veintidós sílabas, se puede designar con veintiuna sílabas.

Así podríamos encontrarnos con una infinidad de otras paradojas. Es hora de quemeditemos de dónde provienen.

Notemos primero que todas tienen en común la característica de referirse a afirmacio-nes sobre “todos” los miembros de una cierta clase de cosas, y que o bien las afirmacioneso lo que esas afirmaciones se refieren, pertenecen a dichas clases.

Es difícil evitar el círculo vicioso que surge cuando se hace una afirmación acerca detodos los miembros de una clase, y más aún cuando la afirmación es también un miembrode la clase. Estas fueron el tipo de cuestiones que motivaron a Bertrand Rusell a comienzosdel siglo XX, a analizar y formalizar su teoría de los tipos, de manera de evitar este tipo deparadojas en la lógica y la teoría de conjuntos. Se invita al lector interesado a revisar lostextos sugeridos en la bibliografía.

RESUMENEsta sección concluye la teoría de conjuntos con una breve referencia de las paradojas

existentes en ella. Éstas surgen especialmente cuando se trabaja con un conjunto universo.

219

U N I D A D I

Impor

Relaci1.4. Relaciones y Funciones

En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales de relación y función. Alfinalizar el estudio de éste, el alumno deberá ser capaz de:

• Conocer la definición de una relación entre conjuntos y una función.• Reconocer una relación y una función.• Conocer las definiciones de conjunto dominio, conjunto recorrido, gráfica, etc.• Conocer las principales propiedades de una función con dominio discreto.• Conocer las hipótesis requeridas para definir una función inversa.• Definir la función inversa de una función con dominio finito.

I.4.1. Importancia de las Relaciones y Funciones

Se llama relación binaria, R, entre dos conjuntos X e Y (en ese orden), a toda propie-dad definida sobre el producto cartesiano X × Y, es decir, a una propiedad característicade los elementos (x, y) de un subconjunto G de X × Y. Una relación es entonces una terna,que se compone de un conjunto de partida X, un conjunto de llegada Y, y la relaciónpropiamente tal que es este subconjunto de pares ordenados de X × Y.

G se llama gráfica de la relación R. X es el conjunto de partida de R. Y es el conjuntode llegada de la relación R.Se tiene, por lo tanto, que:

G = {(x, y) ∈ X × Y: R (x, y)}

(R(x, y) ⇔ (x, y) ∈ G)

Es decir, (x, y) ∈ G es equivalente a la proposición “x e y verifican la relación R”.Ésta se designa por R(x, y), o bien por x R y, y se lee “x e y están en la relación R” o “x estárelacionado con y mediante R”.

220


Ejemplo I.4.1.1.

Considere la relación R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (c, 4)} ⊆ A × B = {a, b, c}× {1, 2, 3, 4}. En la figura se muestra el gráfico asociado a esta relación.

DefiniciónUn gráfico F se dice funcional si cada x (primera componente) tiene a lo sumo un y

(segunda componente) en correspondencia con él.

Es decir, para cada x, existe un único y tal que (x, y) ∈ F.

Ejemplo I.4.1.2.El gráfico G = {(x, y): y 2 + x = 5} no es funcional, pues para x = 1, se tiene que y = 2

o y = - 2 satisfacen la relación, así (1, 2) ∈ G y (1, - 2) ∈ G.

De la definición de gráfico funcional, se tiene que F es funcional ssi para todo par (x,y), (a, b) ∈ F, x = a ⇒ y = b.

Ejemplo I.4.1.3.Consideremos la relación F = {(x, y): y = 3x + 1}. F es funcional, pues, si (x, y),

(a, b) ∈ F, se tiene: y = 3x + 1 ∧ b = 3 a + 1, de donde; si x = a ⇒ 3x + 1 = 3 a + 1 ⇒y = b.

DefiniciónUna relación se llama función, si su gráfico es funcional y se encuentra definida para

todo el conjunto de partida.

a b c

4-

3-

2-

1-

221

U N I D A D I

1

2

3

4

a

b

c

Ejemplo I.4.1.4.

Considere la relación R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (c, 4)} ⊆ A × B = {a, b, c} ×{1, 2, 3, 4}. Esta relación no es función, pues su gráfico no es funcional.

Ejemplo I.4.1.5.

Considere la relación R = {(a, 1), (b, 2)} ⊆ A × B = {a, b, c} × {1, 2, 3, 4}. No es función,pues si bien su gráfico es funcional, se tiene que no todo el conjunto de partida se encuen-tra definido en la relación.

Ejemplo I.4.1.6.

Considere la relación R = {(a, 1), (b, 3), (c, 3)} ⊆ A × B = {a, b, c} × {1, 2, 3, 4}. Estarelación es una función.

Hemos visto que una función no es más que un caso especial de un conjunto, sinembargo, para el matemático y hombre de ciencia del siglo XIX, una función no era másque una fórmula definida de alguna manera, como por ejemplo:

f(x) = x2 + 3x – 5La que asocia a todo número real x, otro número real, f(x). Sin embargo, a medida

que la matemática se desarrollaba, fue cada vez más evidente que el requerimiento deque una función fuera una fórmula, era una restricción indebida y que se debería usar

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

222


Glos

una definición más general. También se hizo evidente que es importante hacer una claradistinción entre la función misma y los valores de la función La respuesta clave de todoesto es pensar en la gráfica de la función en la colección de pares ordenados que laconforman, tal como se ha planteado en la presente sección.

Existe una forma de visualizar una función como si fuese una máquina. En ellaintroducimos un valor de entrada, y se obtiene –después de algunas transformaciones–un valor de salida, llamado f(x), la imagen de x. Aquí se pueden observar perfectamentelas diferencias entre la función misma (la máquina, f) y el valor de salida (la imagen, f(x)).

Una discusión muy interesante de mantener, es para qué sirven todos estos conceptos.Veremos en el desarrollo académico posterior a este curso, que muchas situaciones se mo-delan por medio de funciones. De esta forma, es posible abstraer para relacionar valores ylas máquinas que los transforman, utilizando nociones como relación, función, etc. Así, esposible encapsular procesos de transformación en pequeñas cajas negras, no preocupándo-se de la manera en que se transforman los valores, sino más bien en cómo se transforman. Enla última unidad de este curso, veremos una aplicación práctica de todo ello. Por ahora, sóloes importante identificar cuándo una relación es función y las propiedades asociadas a ellas.

ResumenEn la presente sección se revisa el concepto de relación y función, definiéndose

algunos importantes conceptos, como gráfica, gráfica funcional, conjunto de partida, etc.Se insiste en que una función y el valor que asume esta son dos cosas totalmente distintas.Además se observa que una función es en realidad algo mucho más complejo que unasimple fórmula, tal como se acostumbra a observar.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.1. G = {(a, 1), (a, 2), (b, 4), (c, 5)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} es una función.

2. G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} no es una función.

3. G = {(a, 3), (b, 3)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} no es una función.

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Verdadero.

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados que conforman unatotalidad.

Conjunto de Partida: conjunto correspondiente a las primeras componentes de unarelación.

223

U N I D A D I

Relac

I.4.2.

Conjunto de Llegada: conjunto correspondiente a las segundas componentes de unarelación.

Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.Función: subconjunto especial de un producto cartesiano.Par Ordenado: elemento de un producto cartesiano. Se llama par porque consta de

dos elementos provenientes de conjuntos distintos, pero que se discriminan en suorden.

Producto Cartesiano: operación entre dos conjuntos que consiste en asociar todos loselementos del primer conjunto con los elementos del segundo, formando un conjuntode pares ordenados.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos forman parte de otro conjunto.Terna: conjunto con tres elementos.

Símbolos

× : producto cruz entre conjuntos.

⊆ : subconjunto.

= : igual que.

I.4.2. Relaciones de Equivalencia y de Orden

Recordemos que una relación R de A en B es una terna R = (A, B, G), donde A es elconjunto de partida, B el conjunto de llegada y G es el gráfico de R (subconjunto de A × B).En particular si A = B, entonces R es una relación de A en A. Se tiene así la siguientedefinición:

DefiniciónSea A un conjunto. Llamaremos relación en A, a toda relación tal que el conjunto de

partida y el de llegada, son subconjuntos de A.

Ejemplo I.4.2.1Consideremos A = {1, 2, 3}. Una relación en A, sería por ejemplo G = {(1, 1), (2, 3),

(3, 1)}.Sea R una relación en A, también se denota por R al gráfico de la relación. Si x está

relacionado con y, entonces diremos que “x e y están R – relacionados”, se escribe x R y,así:

x R y ⇔ (x, y) ∈ R

Si x no está relacionado con y, entonces escribiremos x no R y, así

X no R y ⇔ (x, y) ∉ R

224


Con las notaciones anteriores se puede definir la relación R, siguiendo una nota-ción más práctica para la teoría de conjuntos, de la siguiente manera:

R = {(x, y): x R y}

De la misma forma la relación inversa es:

R-1 = {(x, y): (y, x) ∈ R}.

Algunas propiedades importantes de una relación R, se definen a continuación:

DefiniciónSea R una relación en A. Diremos que:

• R es reflexiva si (� x ∈ A) (x R x)

• R es simétrica si (� x ∈ A)(� y ∈ A)(x R y ⇒ y R x)

• R es antisimétrica si (�x ∈ A)(� y ∈ A)(x R y ∧ y R x ⇒ x = y)

• R es transitiva si (� x ∈ A)(� y ∈ A)(� z ∈ A)( (x R Y ∧ y R z) ⇒ x R z)

Dado que x R y ⇔ (x, y) ∈ R, se tiene que:

• R es reflexiva si (� x ∈ A)((x, x) ∈ R)

• R es simétrica si (� x ∈ A)(∧ y ∈ A)((x, y) ∈ R) ⇒ (y, x) ∈ R)

• R es antisimétrica si (� x ∈ A)(� y ∈ A)( (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y)

• R es transitiva si (�x ∈ A)(� y ∈)(� z ∈ A)(( (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R)

Ejemplo I.4.2.2.Sea A = {1, 2, 3, 4}

R1 = {(1, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 2), (3, 1)}R2 = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

La relación R1 no es reflexiva pues existe x en A, tal que (x, x) ∉ R1 (x =4). Tampo-co es antisimétrica, pues existen x = 1 e y = 2 en A, tales que (1, 2) ∈ R1 ∧ (2, 1) ∈ R1,pero 1 ≠ 2. R1 no es transitiva, pues: existen x = 3, y = 1 y z = 3 tales que (3, 1) ∈ R1 ∧(1, 3) ∈ R1, pero (x, z) = (3, 3) ∉ R1. Finalmente, es sencillo verificar que R1 es simétri-ca.

La relación R2 en cambio, es reflexiva, antisimétrica y transitiva. R2 no es simétrica,pues (3, 4) ∈ R2 ∧ (4, 3) ∉ R2.

DefiniciónSea A un conjunto y R una relación en A. Diremos que R es una relación de equiva-

lencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Denotaremos toda relación de equivalencia R con el símbolo ≡. Entonces x R y seescribe x ≡ y, y se lee “x equivalente con y”. Si x no está relacionado con y, entonces seescribe x ≡ y, y se lee “x no equivalente con y”.

225

U N I D A D I

Ejemplo I.4.2.3.La igualdad entre conjuntos es una relación de equivalencia. En efecto:

Es reflexiva, pues si A es un conjunto, entonces A = A.Es simétrica, pues si A = B, entonces B = A.Es transitiva, pues si A = B y B = C, entonces A = C.

DefiniciónSea A un conjunto y R una relación en A. Diremos que R es una relación de orden en

A si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Denotaremos toda relación de orden R con el símbolo ≤. Así x R y, y se lee “x esanterior a y” o “x está antes que y” o “x es menor que y”. También podemos decir que “yes posterior a x” o “y sigue a x” o “y es superior a x”.

Ejemplo I.4.2.4.La relación de inclusión de conjuntos es una relación de orden.

Si A es un conjunto, entonces A ⊆ A, luego la relación es reflexiva.

Si A y B son conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces, A = B, así la relación esantisimétrica.

Por último, si A ⊆ B y B ⊆ C, se tiene que A ⊆ C, es decir, la relación en transitiva.

RESUMENEn esta sección se revisan las definiciones formales de relaciones de orden y de

equivalencia. Se asocian estas definiciones con relaciones conocidas como la igualdad deconjuntos y la inclusión de éstos.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La relación “menor o igual que” entre números es una relación de orden.

2. La relación “igual que” entre números es una relación de equivalencia.

3. La relación “inclusión propia” entre conjuntos es una relación de orden.

Respuestas1. Verdadero.2. Verdadero.3. Falso.

226


Funcio

GlosGlosario

Antisimetría: propiedad de las relaciones.Conjunto: colección de objetos distinguibles entre sí, que conforman una totalidad.Conjunto de Partida: primera componente de una relación.Conjunto de Llegada: segunda componente de una relaciónReflexividad: propiedad de las relaciones.Simetría: propiedad de las relaciones.Subconjunto: conjunto cuyos elementos forman parte de otro conjunto.Terna: conjunto de tres elementos.Transitividad: propiedad de las relaciones.

Símbolos

⇔ : si y sólo si

= : igual que

∈ : pertenece

∉ : no pertenece

� : para todo

⇒ : implica

∧ : y

I.4.3. Funciones como Relaciones entre Conjuntos

Ahora estamos preparados para estudiar una clase especial de relación llamada fun-ción. El concepto de función – uno de los más importantes de la matemática– resulta derestringir el concepto de relación; es decir, una función es un tipo particular de relación.

Dados dos conjuntos cualesquiera X e Y, hemos definido una relación en X × Y comoun subconjunto cualquiera de X × Y. Si, además, un subconjunto f de X × Y es tal que, paracada x ∈ X, hay a lo más un y ∈ Y tal que x f y, decimos que f es una función, y usamos lanotación usual, f(x) = y.

Cuando f es una función, se acostumbra llamar al conjunto de partida X, comodominio de la función f, y se denota por X = Dom (f). En cambio, el conjunto de llegada,se conoce como codominio de f, y se denota por Y = Cod (f). Debe resultar claro, quetodo el conjunto de partida participa en la definición de la función. Sin embargo, no esnecesario que todo el conjunto de llegada se involucre en la definición de función. Por

227

U N I D A D I

este motivo, se acostumbra restringir el codominio de la función, al recorrido de f, esdecir el conjunto de todos aquellos valores del conjunto de llegada, que efectivamenteparticipan en la definición de la función. Se denota usualmente Rec (f). Los elementosdel conjunto de partida o dominio, se llaman preimágenes de la función, mientras que losvalores del conjunto de llegada o recorrido, se denominan imágenes de la función f.

Ejemplo I.4.3.1.

Sea F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}.

El dominio de F es {a, b, c}, el codominio de F es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, mientrasque el recorrido de F es {1, 3, 4}.

DefiniciónDiremos que una función es sobreyectiva, si su recorrido es igual a su codominio, Si

Cod (f) = Rec (f)

Ejemplo I.4.3.2.

Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}.Como el recorrido de estafunción es distinto al codominio, se tiene que esta función no es sobreyectiva.Definición

Diremos que una función es inyectiva, si cada imagen tiene sólo un elementoen el dominio relacionado con ella. Esto es, f(x) = f(a) ⇒ x = a.

Ejemplo I.4.3.3.

Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}. Como cada imagentiene sólo una preimagen asociada (la imagen 1 tiene sólo a la preimagen a asociada, laimagen 3, tiene asociado sólo b, y la imagen 4 sólo se asocia a c), se tiene que estafunción es inyectiva.

Ejemplo I.4.3.4.

Sea la función F = {(a, 1), (b, 1), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}.Como laimagen 1 tiene asociadas las preimágenes a y b, se tiene que esta función no esinyectiva.

DefiniciónDiremos que una función es biyectiva, cuando es sobreyectiva e inyectiva a la vez.La importancia de las funciones biyectivas, es que a partir de ellas, es posible

definir funciones inversas. Dado una función f: A → B, queremos definir la función g: B→ A, tal que g(y) = x, cada vez que f(x) = y. Se denota usualmente a la función inversapor f-1.

Ejemplo I.4.3.5.

Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}. Esta función es inyectivay sobreyectiva. Luego, la función es biyectiva. La función inversa, F-1 se puede definir dela siguiente manera F-1 = {(1, a), (3, b), (2, c)}

228


Glos

La única forma en que esta función inversa sea realmente una función, que exista, esque la función f sea biyectiva.

ResumenEn esta sección se revisan las principales propiedades y clases de funciones,

entregándose un criterio para determinar la posibilidad de definir una función inver-sa.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La función F = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} es invertible.

2. La función F = {(1, 1), (2, 2), (3, 2)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2} es invertible.

3. La función F = {(1,4), (2, 3), (3, 1)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3, 4} es invertible.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Falso.

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados que forman unatotalidad.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos son parte de otro conjunto.

Símbolos= : igual que

× : producto cartesiano

⊆ : subconjunto

229

U N I D A D I

ImporI.5. Definición de Matemática Pura

Recién en este momento, después de haber explorado algunos de los aspectos másimportantes de la teoría de conjuntos y de la aplicabilidad de la lógica simbólica, es queestamos en condiciones de intentar comprender un poco más de nuestra materia. En parti-cular, cuando se emprende el estudio de una disciplina científica, lo usual es comprendery definir qué es lo que estamos estudiando. A este respecto, Bertrand Russell, en su obra:“Los Principios de la Matemática”, comenzaba exponiendo la siguiente definición:

“Matemática pura es la clase de todas las proposiciones de la forma ‘p implica q’,donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en ambasproposiciones, y ni p ni q contienen constante alguna, excepto las constantes lógicas. Y lasconstantes lógicas son todas nociones definibles en función de lo siguiente: Implicación, larelación de un término a una clase de la que es miembro, la noción de tal que, la noción derelación, y otras nociones tales que puedan hallarse involucradas en la noción general deproposiciones de la forma anterior. Además de ellas, la Matemática usa una noción que noforma parte de las proposiciones que considera, la noción de verdad”.

Detengámonos un momento a explorar tan extraña definición de Matemática, paraaprovechar así de recapitular lo aprendido hasta ahora.

Parece evidente que la Matemática está formada por deducciones, y sin embargo,los cálculos clásicos de deducción parecen insuficientes e inadecuados para esta ciencia.Pensemos, por ejemplo en los silogismos aristotélicos, aquellos del tipo:

• Juan es un pensador.• Todos los pensadores son humanos.• Luego, Juan es un humano.

Evidentemente, este tipo de razonamientos –que normalmente van de lo general a loparticular– no aportan nada nuevo ni significativo a nuestros conocimientos del mundo, yaunque en ciertas ramas de la Matemática como la Geometría, han tenido algún desarro-llo y aplicación, en general son tan artificiales en su formulación que apenas podían apli-carse prácticamente. Sin embargo, aparece la Lógica Simbólica, desarrollada por Peanoen su obra “Formulario Mathematico” (1891), en el que una introducción de la expresiónsimbólica de las ideas fundamentales permite escribir con símbolos una proposición cual-quiera (tal como lo hemos hecho hasta ahora), y someter además esas proposiciones a uncálculo formal sujeto a leyes determinadas.

Con la ayuda de diez principios de deducción y de otras diez premisas de natura-leza lógica general (por ejemplo “la implicación es una relación”) puede deducirse todala matemática estricta y formalmente, y todas las entidades que figuran en matemáticapueden definirse en función de las que figuran en las veinte premisas anteriores. Bajoesta formulación la Matemática no sólo incluye la Aritmética y el Análisis, sino tambiénla Geometría, la Dinámica y un número indefinido de otros estudios aún en desarrollo.

El hecho de que toda la Matemática sea Lógica Simbólica es uno de los descubri-mientos más importantes de los últimos tiempos, quedando de esta manera establecidoque lo que realmente importa para estudiar esta disciplina es el análisis de la LógicaSimbólica.

UnidadConjuntos Numéricos

Unidad II

233

U N I D A D II

IndiceÍndice

II. Conjuntos Numéricos ........................................................................... 249II.1 El Conjunto de los Números Naturales ...........................................250

II.1.1. Introducción a los Números Naturales .................................. 250II.1.2. Representación de los Números Naturales ............................254II.1.3. Propiedades de los Números Naturales .................................257II.1.4. El Principio del Buen Orden ..................................................260II.1.5. Inducción Matemática ...........................................................263II.1.6. Aplicaciones a Técnicas Avanzadas para Contar .................... 270

II.2 El Conjunto de los Números Enteros .............................................. 273II.2.1. Introducción a los Números Enteros ......................................273II.2.2. Propiedades de los Números Enteros ..................................... 275II.2.3. La Ecuación Líneal x + a = b ................................................. 289

II.3 El Conjunto de los Números Racionales ......................................... 291II.3.1. Introducción a los Números Racionales ................................ 292II.3.2. Propiedades de los Números Racionales ...............................294II.3.3. La Ecuación ax + b = c .......................................................... 297II.3.4. Expresiones Fraccionarias ...................................................... 304

II.4 El Conjunto de los Números Reales ................................................311II.4.1. Introducción a los Números Reales ....................................... 311II.4.2. Construcción Axiomática de los Números Reales .................. 314II.4.3. Potencias; Raíces y Logaritmos .............................................. 325II.4.4. Algebra de Números Reales ................................................... 332II.4.5. Productos Notables y Factorización ....................................... 337II.4.6. Productos y Factorizaciones Notables Especiales .................. 349II.4.7. Ecuaciones............................................................................. 361

II.5. El Conjunto de los Números Complejos ........................................366II.5.1. Introducción a los Números Complejos .................................366II.5.2. Propiedades de los Números Complejos ...............................370II.5.3. La Ecuación Cuadrática .........................................................376

234

CONJUNTOS NUMERICOS

ConjunII. Conjuntos Numéricos

Los números pueden ser considerados como los primeros elementos de la Matemáti-ca. Sus primeros símbolos probablemente fueron marcas hechas en la tierra para indicar unacierta cantidad de objetos. Muchas personas están familiarizadas con los enteros, las frac-ciones, los decimales, y los utilizan en sus cálculos diarios. Pero los mundos numéricostambién incluyen los números racionales e irracionales, los números complejos, los núme-ros decimales infinitos cuyas cifras no se repiten, los números trascendentes, los númerostransfinitos y muchos subconjuntos de números relacionados por propiedades específicas,tales como los números primos, los números perfectos (aquellos donde la suma de sus facto-res totaliza el número), o los números poligonales (cuyos factores se encuentran relaciona-dos con la forma de los polígonos regulares), y así sucesivamente. Resulta interesante ahon-dar en la interrelación de los números, inferir cómo se desarrollaron y explorar sus diversaspropiedades y aplicaciones.

Los números naturales (los que se usan para contar) datan de tiempos prehistóricos:simples marcas que representan diseños de números fueron encontradas, por ejemplo, en lacueva de la Edad de Piedra de La Pileta, en el sur de España. El lugar estuvo habitado por másde 25.000 años, hasta la Edad de Bronce (1500 A.C.). El número pi era conocido hace másde tres mil años, cuando se usaba para calcular la superficie y la longitud de circunferenciade un círculo; más tarde se demostró que era un número irracional y trascendente. Lascivilizaciones antiguas tenían conciencia incluso de la existencia de cifras fraccionarias. Losegipcios usaban el glifo de boca para escribir sus fracciones en los jeroglíficos.

Los matemáticos antiguos conocían los números irracionales e idearon métodos fasci-nantes para aproximarse a sus valores. De hecho, los griegos idearon el método de la esca-lera para aproximarse a la raíz de 2.

A lo largo de los siglos, las diferentes civilizaciones desarrollaron sistemas de contar ysímbolos para los números, y en el siglo XX los números binarios y la base dos fueronempleados con la revolución informática. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) fue quienprimero escribió sobre el sistema binario en su ensayo De Progressione Dyadica (1679).Leibniz mantenía contacto con el padre Joachim Bouvet, un misionero jesuita en China. Fuepor medio de Bouvet como Leibniz se enteró de que los hexagramas del I Ching estabanrelacionados con el sistema de numeración binario. Advirtió que si sustituía cada línea que-brada por el cero, y cada línea entera por el uno, los hexagramas servían de ilustración de losnúmeros binarios. Por otro lado, los babilonios, muchos siglos antes, desarrollaron y mejora-ron el sistema sexagesimal sumerio para obtener un sistema numérico de base 60.

235

U N I D A D II

Conjun

Echemos un vistazo al primer tipo de números, los números naturales. En este mundoencontramos que los términos indefinidos son los números 1, 2, 3,..., con axiomas tales como:el orden en que se suman dos números naturales no afecta a la suma (a + b = b + a, la llamadapropiedad conmutativa de la suma); el orden en que dos números naturales se multiplicanentre sí no afecta al producto (a · b = b · a, la propiedad conmutativa de la multiplicación), ycon teoremas tales como: la suma de un número par más otro número par es también unnúmero par; y la suma de dos números naturales impares cualesquiera es siempre unnúmero par. Pero el mundo de los números naturales no bastaba para resolver todoslos problemas que se presentarían con el correr de los años. ¿Cómo haríamos pararesolver un problema cuya solución fuera el valor de x en la ecuación x + 5 = 3, sin saber nadade los números negativos? Una posible reacción sería, sin duda, el afirmar que el problemacarece de respuesta; pero los textos árabes introdujeron los números negativos en Europa porlos siglos XV y XVI.

La historia nos revela varios casos donde la solución de ciertos problemas exigió lainvención de nuevos números. Por ejemplo, el intento de explicar el significado de la raíz de–1, o de resolver la ecuación x2 = –1, llevó a la creación de los números imaginarios, los quea su vez, alrededor del siglo XVI, llevaron a la construcción de los números complejos.

En esta unidad, revisaremos en un total de 5 capítulos (EL CONJUNTO DE LOS NÚ-MEROS ENTEROS; EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES; EL CONJUNTO DELOS NÚMEROS RACIONALES; EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES y EL CONJUN-TO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS), los principales conjuntos de números. En particularse insistirá en sus propiedades algebraicas con especial relación resolviendo ecuaciones ysistemas de estas últimas.

En el desarrollo del primer capítulo (EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURA-LES), aprovecharemos de introducir una idea muy poderosa en Matemática, el principio deinducción. Para el desarrollo del capítulo correspondiente al conjunto de los números rea-les, se ha asignado una sección para la construcción axiomática de este conjunto, para teneruna oportunidad más de utilizar los técnicas de demostración y razonamientos deductivosbasados en la lógica simbólica, adquiridos en la unidad anterior.

II.1. El Conjunto de los Números Naturales

En este capítulo se presentan los números naturales. Aun cuando el lector ya se en-cuentra familiarizado con el, revisaremos algunas de sus propiedades importantes de ellos.Se pretende que al finalizar el estudio de este capítulo, el estudiante sea capaz de:

· Conocer los fundamentos de la notación y asignación de nombres para los númerosutilizados en el proceso de contar o enumerar en base 10.

· Identificar claramente cuándo un número corresponde a un número natural.· Conocer las propiedades de los números naturales y la necesidad de extender el con-

junto para resolver problemas matemáticos más avanzados.· Conocer el principio de inducción matemática.· Comprender el significado de infinito para los números naturales.· Utilizar algunas técnicas avanzadas para contar.

236

CONJUNTOS NUMERICOS

IntrodLa idea más fuerte presentada en este capítulo es la correspondiente al principio de

inducción matemática. Se sugiere que el lector preste especial atención a ello.

II.1.1. Introducción a los Números Naturales

Vamos a dirigir nuestra atención a las configuraciones más naturales entre los núme-ros, los conocidos números naturales. Su teoría se denomina aritmética elemental (arithmóses la palabra griega para número).

En esta teoría, se parte recordando que solemos representar cada número natural demanera única, mediante un numeral formado por los dígitos 1 (uno), 2 (dos), 3 (tres), 4 (cuatro),5 (cinco), 6 (seis), 7 (siete), 8 (ocho), y 9 (nueve). El número que sigue al nueve se llama diez(que se encuentra formado por un uno y el cero, 0, que no se considera un número natural);después, sigue el once, que consideramos como diez más uno; después el doce, que conside-ramos como diez más dos, etc. Detengámonos un poco a analizar la notación y nombre deestas sucesiones de dígitos que conforman los números naturales.

El sistema que utilizamos para nombrar los números, se conoce como sistema deci-mal, y tiene su origen muy probablemente en el hecho de que contamos con diez dedos ennuestras manos (primer instrumento utilizado para llevar cuentas). Que el sistema de nume-ración sea decimal, significa que cada vez que completamos un conjunto de diez números,debemos avanzar a un nivel más alto, para comenzar a utilizar los diez dígitos nombrados.De esta forma, después del 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; tenemos el 11, que corresponde a: 11= 1 · 10 + 1, pasando así a primer nivel de complejidad, una decena más una unidad; eldoce: 12 = 1 · 10 + 2, una decena más dos unidades; el trece: 13 = 1 · 10 + 3, una decenamás tres unidades; ...; el dieciocho: 18 = 1 · 10 + 8, una decena más ocho unidades; eldiecinueve: 19 = 1 · 10 + 9, una decena más nueve unidades. Después del diecinueve, secompleta una segunda decena: el veinte 20 = 2 · 10, dos decenas. Siguen, el veintiuno: 21 =2 · 10 +1, dos decenas más una unidad; el veintidós: 22 = 2 · 10 + 2, dos decenas más dosunidades;...; el veintiocho: 28 = 2 · 10 + 8, dos decenas más ocho unidades; el veintinueve:29 = 2 · 10 + 9, dos decenas más nueve unidades; para completar así tres decenas, el treinta:30 = 3 · 10, tres decenas. Podríamos seguir con el treintiuno, treintidós, etc. De construcciónsimilar, pero qué pasa cuando buscamos el número que prosigue al noventa y nueve: 99 = 9· 10 + 9, nueve decenas más nueve unidades; tenemos entonces, que el número siguientecompleta las diez decenas, es decir una centena (segundo nivel de complejidad), este núme-ro es el cien: 100 = 1 · 10 · 10 (una vez diez decenas). Veamos otros números:

123 = 1 · 100 + 2 · 10 + 3 (ciento veintitrés: una centena, 2 decenas y tres unidades)224 = 2 · 100 + 2 · 10 + 4 (doscientos veinticuatro: dos centenas, 2 decenas y 4 unidades)999 = 9 · 100 + 9 · 10 + 9 (novecientos noventa y nueve: 9 centenas, 9 decenas y 9 unidades)

El número que sigue es el 1’000 = 10 · 100 (diez centenas, notar el uso de la comilla:’ para facilitar la interpretación), y con él podemos formar, en un tercer nivel:

1’342 = 1 · 1’000 + 3 · 100 + 4 · 10 +2 (mil trescientos cuarenta y dos).7’456 = 7 · 1’000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 (siete mil cuatrocientos cincuenta y seis).

237

U N I D A D II

De esta forma, se siguen construyendo números aun mayores:67’845 = 6 · 10’000 + 7 · 1’000 + 8 · 100 + 4 · 10 + 5 (sesenta y siete mil, ochocientos

cuarenta y cinco; correspondiente a un cuarto nivel).212’111 = 2 · 100’000 + 1 · 10’000 + 2 · 1’000 + 1 · 100 + 1 · 10 + 1 (doscientos doce mil,

ciento once, en un quinto nivel).En este punto, debemos destacar lo tedioso que resulta nuestra descomposición, debi-

do principalmente a la repetición de ceros a medida que vamos subiendo el nivel de com-plejidad. Para evitar esto, podemos utilizar la siguiente notación simplificadora:

10 1 = 1010 2 = 10 · 10 = 10010 3 = 10 · 10 · 10 = 1’00010 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10’00010 5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100’00010 6 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1’000’000

De esta forma, la descomposición del número 212’111 resulta mucho más sencillay práctica:

212’111 = 2 · 105 + 1 · 104 + 2 · 103 + 1 · 102 + 1 · 101 + 1.Podemos continuar de esta forma, estudiando la descomposición y nombres de núme-

ros mucho más monstruosos, como los siguientes:12’341’987 = 1 · 107 + 2 · 106 + 3 · 105 + 4 · 104 + 1 · 103 + 9 · 102 + 8 · 101 + 7 (doce

millones, trescientos cuarenta y un mil, novecientos ochenta y siete).5’000’000’001 = 5 · 109 + 0 · 108 + 0 · 107 + 0 · 106 + 0 · 105 + 0 · 104 + 0 · 103 + 0 · 102

+ 0 · 101 +1 (cinco mil millones, uno).223’123’112’112 = 2 · 1011 + 2 · 1010 + 3 · 109 + 1 · 108 + 2 · 107 + 3 · 106 + 1 · 105 + 1 ·

104 + 2 · 103 + 1 · 102 + 1 · 101 + 2 (doscientos veintitrés mil, ciento veintitrés millones,ciento doce mil, ciento doce).

1’234’567’890’123 = 1 · 1012 + 2 · 1011 + 3 · 1010 + 4 · 109 + 5 · 108 + 6 · 107 + 7 · 106 + 8 · 105

+ 9 · 104 + 0 · 103 + 1 · 102 + 2 · 101 + 3 (un billón, doscientos treinta y cuatro mil, quinientossesenta y siete millones, ochocientos noventa mil, ciento veintitrés)

23’456’567’456’345’234’578 = 2 · 1019 + 3 · 1018 + 4 · 1017 + 5 · 1016 + 6 · 1015 + 5 · 1014

+ 6 · 1013 + 7 · 1012 + 4 · 1011 + 5 · 1010 + 6 · 109 + 3 · 108 + 4 · 107 + 5 · 106 + 2 · 105

+ 3 · 104 + 4 · 103 + 5 · 102 + 7 · 101 + 8 (veintitrés trillones, cuatrocientos cincuenta yseis mil quinientos sesenta y siete billones, cuatrocientos cincuenta y seis mil trescien-tos cuarenta y cinco millones, doscientos treinta y cuatro mil quinientos setenta y ocho).Podríamos seguir contando eternamente, tal como el hombre que contabilizaba estre-

llas en El Principito, de Saint Exupéry; después de los trillones, siguen los cuatrillones, losquintillones, etc. Es muy probable que el lector jamás en su vida se vea en la necesidad deutilizar números tan grandes. Sin embargo, hemos mostrado esta sorprendente facilidad queposeemos para construir números naturales que nos permitan contar o enumerar cosas. Unavez más, queremos destacar la idea –que anteriormente ya hemos introducido– de que losnúmeros naturales son infinitos, no se acaban nunca, o mejor, podemos construir tantos deellos como queramos.

El matemático italiano Giuseppe Peano (1858 – 1932) propuso en 1889 una perfectacaracterización de los números naturales, formulando para ello un conjunto de cinco axio-mas. Los axiomas de Peano son los siguientes:

238

CONJUNTOS NUMERICOS

Axioma 1: El uno es un número natural.Axioma 2: Todo número natural posee otro número natural subsiguiente.Axioma 3: El uno no es subsiguiente de ningún número natural.Axioma 4: Dos números naturales distintos no poseen nunca el mismo subsiguiente.Axioma 5: Toda propiedad del uno que la posea también el subsiguiente de todo número

natural, alcanza a todos los números naturales.Los contenidos de estos axiomas deben ser asumidos como verdad, de evidencia in-

mediata para todo hombre pensante. La propiedad de poseer un subsiguiente caracteriza alnúmero natural. Todos los números naturales, con excepción del uno, poseen además unantecesor.

La serie de los números naturales tiene un primer elemento, el uno; por el contrario,no tiene un último elemento. Esto significa que a todo número natural N, por grande quesea, siempre podemos encontrarle un número mayor.

ResumenEn esta sección se parte revisando algo de la notación de los números naturales y la

forma de nombrarlos. Se insiste en la idea de que son infinitos. Por otra parte, el único númeronatural que no tiene antecesor es el 1 (uno). Se termina la sección revisando los axiomas dePeano.


1. Los números naturales forman un conjunto.2. El conjunto de los números naturales es finito.3. El sistema de numeración de los números naturales no puede representar a todos los

números naturales.4. Todos los números naturales tienen un antecesor y un sucesor.5. El cero no es un número natural.6. 10/3 es un número natural.7. p es un número natural.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Verdadero.4. Falso.5. Verdadero.

6. Falso.7. Falso.

239

U N I D A D II

Repre

GlosGlosario

Aritmética Elemental: rama de la Matemática que se preocupa de estudiar cómo operarcon números.

Axioma: proposición establecida como verdadera sin ningún cuestionamiento.Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados entre sí, que confor-

man una totalidad.Números: elementos de conjuntos numéricos, asociados con la noción de cantidad.Números Naturales: números que utilizamos para contar.Sistema Decimal: sistema en base diez, utilizado por nuestra civilización para enumerar

números.Sistema de Numeración: sistema o base en la que se construyen los números.

Símbolos= : igual que+ : suma· : producto

II.1.2. Representación de los Números Naturales

El conjunto de los números naturales, denotados por �, puede ser asociado a conjun-tos de objetos, tal como lo hacían nuestros antepasados. En la siguiente figura se apreciangráficamente las asociaciones que se realizan con los números naturales.

1 ––––––––––––––––––––––––––––––

2 ––––––––––––––––––––––––––––––

3 ––––––––––––––––––––––––––––––

4 ––––––––––––––––––––––––––––––

De esta manera, que el conjunto de los números naturales, es un conjunto discreto.En la tabla siguiente se muestran los nombres en varias lenguas indoeuropeas de los núme-ros. Se puede apreciar la extraordinaria estabilidad de estas palabras.

240

CONJUNTOS NUMERICOS

Nombres de los números en diversas lenguasLengua

Número Sánscrito Griego Latín Alemán Inglés Francés Ruso

1 Eka En Unus Eins One Un Odyn

2 Dva Duo Duo Zwei Two Deux Dva

3 Tri Tri Tres Drei Three Trois Tri

4 Catur Tetra Quatruor Vier Four Quatre Chetyre

5 Panca Pente Quinque Fünf Five Cinq Piat

6 Sas Hexa Sex Sechs Six Six Shest

7 Sapta Hepta Septem Sieben Seven Sept Sem

8 Asta Octo Octo Acht Eight Huit Vosem

9 Nava Ennea Novem Neun Nine Neuf Deviat10 Daca Deca Decem Zehn Ten Dix Desiat

100 Cata Hécaton Cemtum Hundert Hundred Cent Sto

1000 Sehastre Kilia Mille Tausend Thousand Mille Tysiaca

La numeración escrita es probablemente tan antigua como la propiedad privada y entodo caso, más antigua que el lenguaje escrito. La necesidad de enumerar y registrar lascuentas surgió del deseo del hombre de llevar cuenta de sus rebaños y pertenencias. Incisio-nes sobre un palo o árbol, rayas en piedras o rocas, marcas de arcilla, etc, fueron utilizadospara registrar el número exacto de animales de un rebaño, el número de flechas en un arcaj,etc. Los arqueólogos han verificado la existencia de estos registros desde tiemposinmemoriales, como es el caso de las cavernas del hombre prehistórico tanto en Asia, comoen Europa y Africa. Es una historia interesante la de cómo evolucionaron los símbolos escri-tos para denotar números hasta los que conocemos actualmente como números naturales.

��Los documentos más antiguos que indican el uso sistemático de la escritura numérica

son los de los pueblos primitivos sumerios y egipcios (3500 A.C.). En estos sistemas denumeración reina el principio cardinal, donde cada número hasta nueve es simplementeuna reunión de signos; el mismo principio es usado más allá del nueve, estando las unidadesde clase superior tales como decenas, centenas, etc, representadas por signos especiales.

En oposición a este carácter puramente cardinal de las primeras anotaciones, se en-cuentra la numeración ordinal, en la que los números son representados por letras de unalfabeto en el orden en que éstas se suceden.

La evolución de los sistemas de numeración en la antigüedad encuentra su expresiónfinal en el sistema ordinal de los griegos y en el sistema cardinal de los romanos. Hoy día, enque la numeración de posición se ha transformado en una parte de nuestra vida, parece quela superioridad de este método, el poco lugar que exige su notación, la facilidad y eleganciaque introduce en los cálculos, resulta casi una tarea obscura el intentar comprender cómo

241

U N I D A D II

Glos

trabajaban los antiguos sistemas de enumeración, especialmente en situaciones más com-plejas que el simple contar, como al realizar las operaciones aritméticas básicas de suma ymultiplicación.

RESUMENEn la presente sección se revisa de forma concisa la representación de los números

naturales por medio de los símbolos escritos. Se insiste en la idea de que este tipo de núme-ros encuentran su origen en la necesidad de contar.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. El cero es un número natural.

2. Los números naturales se utilizaron desde muy antiguo para contar.

3. La representación moderna de los números naturales es una abstracción de conjuntos deobjetos concretos.

4. Son números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Respuestas1. Falso.2. Verdadero.3. Verdadero.4. Verdadero.

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien diferenciados y determinados entre sí.Conjunto discreto: conjunto finito de elementos.Números: objetos utilizados para contar y representar cantidades.Números naturales: aquellos números que utilizamos para contar.

Símbolos� : conjunto de los números naturales.

242

CONJUNTOS NUMERICOS

PropII.1.3. Propiedades de los Números Naturales

Aparte de las propiedades innatas de los números naturales para efectuar procesosque involucran contar (el número 1 es el primer número natural, todo número naturaltiene un sucesor, un antecesor excepto el uno, etc.), existen otras propiedades que involucranlas operaciones aritméticas elementales, la suma y el producto, que escuchamos desdeque somos niños. Por ejemplo, el orden de los factores no altera el producto. Estas propie-dades se formalizan a continuación.

PropiedadSobre el conjunto de los números naturales se define una operación binaria interna,

denominada suma y representada por +, tal que:

+: � × � → �

(n, m) → n + m

Esta operación cumple con las siguientes propiedades:· Es binaria, actúa sobre dos números naturales.· Es interna, significa que la suma de dos números naturales es también un número

natural. Se dice que el conjunto � es cerrado para la suma.

· Es asociativa: (n + m) + p = n + (m + p)· Es conmutativa: n + m = m + n

PropiedadSobre el conjunto de los números naturales se define una operación binaria interna,

denominada producto y se representa por ·, tal que:

· : � × �→ �

(n, m) → n · m

Esta operación cumple con la siguientes propiedades:• Es binaria, o actúa sobre dos números naturales.• Es interna. El producto de dos números naturales es también un número natural.• Es asociativa: (n · m) · p = n · (m · p)• Es conmutativa: n · m = m · n

Ejemplo II.1.3.1.• 2 + 5 = 5 + 2 = 7• 2 · 5 = 5 · 2 = 10

• (2 + 5) + 3 = 7 + 3 = 10 ∧ 2 + ( 5 + 3) = 2 + 8 = 10

• (2 · 5) · 3 = 10 · 3 = 30 ∧ 2 · (5 · 3) = 2 · 15 = 30

Por último, enunciamos una propiedad que en el futuro será muy importante y de usomuy frecuente.

243

U N I D A D II

PropiedadLa suma entre números naturales se distribuye con el producto:

(n + m) · p = n · p + m · pLas propiedades y operaciones de los números a veces parecen casi mágicas. Por

ejemplo, elija un número cualquiera formado por tres dígitos distintos: 285. Invierta elorden de los dígitos: 582. Reste al número más grande el más pequeño: 582 – 285 = 297.El resultado siempre dará 9 en el dígito de las decenas (el segundo), y la suma de losdígitos de las unidades y las centenas siempre dará 9. Ahora invierta los dígitos delresultado (792). Sume estos dos números: 297 + 792 = 1089. El resultado siempre será1089. Revisamos a continuación otros ejemplos que podrían ser interesantes para ellector.

Ejemplo II.1.3.2.La suma de los primeros n números naturales impares es un cuadrado perfecto n2:

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 +5 = 9 = 32

1 + 3 +5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 +5 +7 + 9 = 25 = 52

Ejemplo II.1.3.3.Suma y al cuadrado: 1 + 2 + 1 = 22

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 52

Ejemplo II.1.3.4.La pirámide de los 1: 12 = 1

112 = 1 2 11112 = 1 2 3 2 1

11112 = 1 2 3 4 3 2 1111112 = 1 2 3 4 5 4 3 2 1

Se invita al lector a probar si esta pirámide termina en algún momento.

RESUMENEn esta sección se revisan y ejemplifican las propiedades más importantes de la arit-

mética elemental con números naturales (sumar y multiplicar). Se dan ejemplos de algunaspropiedades mágicas de estas operaciones, motivando el análisis más profundo de los nú-meros naturales, más allá de su función original de contar.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La suma de números naturales es conmutativa, no importa el orden.

244

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

2. El producto de dos números naturales puede ser un número no natural.

3. p · (m + n) = p · n + p · m

4. No se pueden sumar tres números naturales a la vez. Para sumar tres números naturalesse deben sumar los dos primeros y el resultado se debe sumar al tercero.

5. El uno es el único número natural que no cumple las propiedades de conmutatividad yasociatividad para la suma y multiplicación.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Verdadero.4. Verdadero.5. Falso.

Glosario

Asociatividad: propiedad que permite asociar tres objetos sin paréntesis.Conjunto: colección bien determinada de objetos diferenciados entre sí, que conforman

una totalidad.Conmutatividad: el orden de relación entre dos objetos no importa.Números Naturales: números que utilizamos para contar.Operaciones Aritméticas: operaciones que permiten operar números para obtener

otros.Operación Binaria: operación entre dos objetos.Operación Interna: operación entre objetos cuyo resultado es un objeto de la misma

especie.Producto: operación aritmética.Suma: operación aritmética.

Símbolos

� : conjunto de los números naturales

· : producto+ : suma

→ : implicación, condicional

× : producto

= : igual que

245

U N I D A D II

El PrincII.1.4. El Principio del Buen Orden

Todo subconjunto no vacío de números naturales tiene un elemento menor. Másespecíficamente, si S ⊆ � y si S ≠ �, entonces existe m ∈ S tal que m es menor o igual quetodos los elementos de S. Esto significa que el conjunto de los números naturales se encuen-tra bien y completamente ordenado.

El siguiente teorema nos presenta uno de los principios de tricotomía más importan-tes. Sin embargo, es raro que pensemos en ello cuando lo utilizamos.Teorema

Para todo par de números naturales a y b, siempre se presenta uno y sólo uno de lostres casos siguientes:

· a = b

· (∃ x ∈ �)(b = a + x)

· (∃ x ∈ �)(a = b + x)

La demostración de este teorema se puede encontrar en Robledo 1973 (tomo III, pági-nas 45 – 46), y aunque intuitivamente parece la afirmación de algo con mucho sentidocomún, la demostración no es sencilla (requiere una notación y formalismos axiomáticosque escapan a los contenidos y objetivos de este curso). Pero supongamos para nuestrosefectos que es cierto este teorema, entonces podemos darle sentido a las siguientes defini-ciones:

DefiniciónPara dos números naturales a y b definimos la relación a b (se lee “a es mayor que

b”) si y sólo si (∃ x ∈ �)(a = b + x).

Ejemplo II.1.4.1.

• 5 es menor que 7, pues existe 2 ∈ � tal que 7 = 5 + 2.

• 10 es mayor que 9, pues existe 1 ∈ � tal que 10 = 9 + 1.

Diremos que un conjunto de números naturales tiene un elemento menor, si existe unelemento en el conjunto que es menor o igual a todos los elementos de dicho conjunto.

Ejemplo II.1.4.2.El conjunto A = {3, 6, 7, 8}, tiene como elemento menor o primer elemento al 3, pues

efectivamente se cumple:• 3 = 3

246

CONJUNTOS NUMERICOS

• 3 < 6• 3 < 7• 3 < 8

Ejemplo II.1.4.3.

El conjunto B = {n ∈ �, n es par}, tiene como primer elemento al número 2, como ellector puede comprobar sin mayores complicaciones.

El mismo conjunto de todos los números naturales, �, tiene un primer elemento, el1 (uno). Esta propiedad de poseer un primer elemento dentro del conjunto no la tienecualquier conjunto de números, como pronto vamos a apreciar.

ACTIVIDADES II.1.4.4.1. Muestre que la relación menor que, entre números naturales, es transitiva.Solución:

Supongamos que a es menor que b y que b es menor que c. Entonces, debemos mos-trar que a es menor que c.

• Como a es menor que b, se tiene que existe x1 ∈ � tal que b = a + x1.

• Como b es menor que c, existe x2 ∈ � tal que c = b + x2.

Así, existe x = x1 + x2 ∈ �, tal que c = b + x2 = a + x1 + x2 = a + x, de donde a esmenor que c, QED (Quod erat demonstrandum).

2. Encuentre el primer elemento del conjunto A = {n ∈ �: n es múltiplo de 7}.

Solución:El primer elemento es 7.

3. Encuentre el primer elemento del conjunto A = {n ∈ �: n < 5}c.

Solución:

A = {n ∈ �: n < 5}c = {n ∈ �: n es mayor o igual a 5}, por lo tanto, el primer elementoes 5.

RESUMENEn esta sección se definen las relaciones de orden menor que y mayor que sobre los

números naturales. A partir de estas definiciones se establece el principio de buen ordensobre los números naturales, que establece que todo subconjunto de los números naturalestiene siempre un primer elemento.

AUTOEVALUACIÓNDeterminar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La relación menor que, de números naturales, es simétrica.2. 5 es menor que 5.3. 5 no es menor que 5.4. El 0 es el primer elemento de los números naturales.5. Así como todo número natural tiene un primer elemento, también tiene un último ele-

mento.

247

U N I D A D II

GlosRespuestas1. Falso.2. Falso.3. Verdadero.4. Falso.5. Verdadero.

Glosario

Axiomática: proceso mediante el cual se establecen proposiciones como verdaderas(axiamas) para demostrar la verdad de otras proposiciones

Conjunto: colección de objetos bien determinados, diferenciados entre sí, que conformauna totalidad.

Conjunto de Números: conjunto cuyos elementos son números.Conjunto Vacío: conjunto sin elementos.Elemento Menor: número que es menor que otro.Menor Que: relación de orden entre números.Menor o Igual: relación de orden.Mayor Que: relación de orden.Números Naturales: aquellos que utilizamos para contar.Primer Elemento: el más pequeño de todos los números de un conjunto numérico.Principio de Tricotomía: principio que establece que dos números ordenados, o bien son

iguales, o bien el primero es menor que el segundo, o bien el segundo es menor que elprimero.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos son todos elementos de otro conjunto.Teorema: proposición de importancia en Matemáticas.


∃ : existe

∈ : pertenece


+ : suma< : menor que> : mayor que

⊆ : subconjunto

≠ : distinto que

� : conjunto vacío

248

CONJUNTOS NUMERICOS

InduccII.1.5. Inducción Matemática

El principio de inducción matemática es una propiedad fundamental de los númerosnaturales, que nos permite demostrar muchas fórmulas y propiedades de los números. Enparticular, se deducen diversos mecanismos que pueden ser aplicados directamente paracontar de forma avanzada. Se puede explicar basándonos en una imagen poco rigurosa peromuy útil; la analogía con las luces de un letrero luminoso con alguna secuencia. Suponga-mos que observamos un juego de luces donde al encenderse una ampolleta, ocurrirá uninstante después que la ampolleta de la derecha se encenderá, para inmediatamente des-pués encenderse la próxima y así sucesivamente. Ahora, conocido el mecanismo de funcio-namiento de este juego de luces, postulamos que la primera ampolleta se ha encendido. Nodebemos pensar mucho para percatarnos de que este evento, provocará que todas las lucesse enciendan sin excepción. Mientras la primera ampolleta no se encienda, no podemosasegurar que el resto lo hará. También, si el funcionamiento del juego de luces no fuese elmencionado, tampoco podríamos asegurar que la totalidad de ampolletas se encienda.

El principio de inducción matemática funciona de la misma manera. En él se postulaque si el 1 pertenece a un subconjunto de los números naturales, y si se sabe además que siun elemento, digamos a, pertenece al subconjunto, entonces necesariamente el siguiente dea, digamos a + 1 también pertenece a este subconjunto; se tiene que el subconjunto enrealidad es igual a todo el conjunto de los números naturales (en este punto se aclara que enrealidad este principio es mucho más general de lo que se presenta acá, pero la versiónpresentada será suficiente para nuestros propósitos).

Principio de Inducción Matemática (PIM)

Sea S ⊆ ��un conjunto no vacío con las siguientes propiedades:

• 1 ∈ S

• si n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S

Entonces, si ambas propiedades se cumplen, se tiene que S = �.

Demostración:Supongamos que el principio es falso. Esto significa que se cumplen ambas propieda-

des, pero que sin embargo, S ≠ �. Entonces � – S es un conjunto no vacío, y se le puedeaplicar el principio de buen orden visto en la sección anterior. De esta manera se postulaque existe un primer elemento, digamos m, de � – S. Ahora:

Por hipótesis, sabemos que 1 ∈ S, luego m ≠ 1. Luego m > 1 y se tiene que m – 1 ∈�. Como m – 1 < m y m es el menor número natural que pertenece a � – S, se tiene quem – 1 ∈ S. Pero m ∈ S ⇒ (m – 1) + 1 ∈ S ⇒ m ∈ S. ¡Contradicción!. Ella proviene de suponerque S ≠ �, así por reducción al absurdo se ha probado que S = �.

El principio de inducción matemática se establece y utiliza a menudo en el marco detrabajo de propiedades o enunciados acerca de los números naturales.

249

U N I D A D II

Ejemplo II.1.5.1.Demostrar por inducción, que la suma de los n primeros números naturales impares

es igual a n2.· La propiedad es evidentemente cierta cuando n = 1.· Supongamos que se cumple para los h primeros números naturales impares, es decir,

que se cumple:1 + 3 + 5 + ... + (2h –1) = h2

Debemos probar que también se cumple para h + 1:1 + 3 + 5 + ... + (2h –1) + (2(h + 1) – 1)= (h + 1)2.

En efecto:1 + 3 + 5 + ... + (2h –1) + (2(h + 1) – 1) = h2 + (2(h + 1) – 1) = h2 + 2h + 1 = (h + 1)2,

tal como se quería demostrar. Esto significa que si queremos sumar los primeros 7 númerosimpares, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13, no debemos sumarlos, basta con considerar el cuadradode 7, 49. Este valor corresponde a la suma tal como el lector fácilmente puede verificar.

Ejemplo II.1.5.2.

Demostrar que para cada n ∈ �, se tiene que la suma de los n primeros númerosnaturales está dada por:

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1)/2En efecto:

· La propiedad es cierta para n = 1, pues 1 = 1(1 + 1)/2.

· Supongamos que es cierta para h ∈ � y probemos que es cierta para h + 1, esto essupongamos que:

1 + 2 + 3 + ... + h = h(h + 1)/2.

Debemos probar que 1 + 2 + 3 + ... + h + (h + 1) = (h + 1)(h +1 + 1)/2, lo que se deducedirectamente pues:1 + 2 + 3 + ... + h + (h + 1) = h(h + 1)/2 + (h + 1) (por hipótesis)

= (h + 1)(h/2 + 1)= (h + 1)(h + 2)/2= (h + 1)(h + 1 +1)/2

Tal como se quería mostrar. De esta forma, por ejemplo la suma de los primeros 1000números naturales, esto es 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1000 = 1000 × 1001/2 = 500500.

Cuenta una leyenda que cuando Pascal tenía pocos años de edad, un profesor lo cas-tigó obligándolo a sumar los primeros mil números tal como se enuncia en este problema. Elprofesor se preparaba para tener varias horas de tranquilidad, cuando se sorprendió viendoa Pascal jugando nuevamente y por supuesto pensó que había abandonado la tarea enco-mendada. La sorpresa fue mayor cuando descubrió que Pascal había encontrado la formulaque acabamos de demostrar y la había utilizado para obtener el resultado esperado. Enaquel tiempo esta teoría aún no había sido desarrollada.

250

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo II.1.5.3.Demostrar que la suma de los primeros n números naturales al cuadrado está dada por:

12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

· Es trivial mostrar que 1 ∈ S = {n ∈ �: 12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6}

· Supongamos que h ∈ S y probemos que h + 1 ∈ S. En efecto:

h ∈ S ⇒ 12 + 22 + ... + h2 = h(h + 1)(2h + 1)/6

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = h(h + 1)(2h + 1)/6 + (h + 1)2

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (h(h + 1)(2h + 1) + 6(h + 1)2)/6

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (h(2h 2 + 3h + 1) + 6(h2 +2h + 1))/6

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (2h 3 + 3h2 + h + 6h2 +12h + 6)/6

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (2h 3 + 9h2 + 13h + 6)/6

pero, en este punto se puede observar que (h +1)(h + 2)(2h +3) = (2h 3 + 9h2 + 13h + 6), asíse tiene:

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (h + 1)(h + 2)(2h + 3)/6

⇒ 12 + 22 + ... + h2 (h + 1)2 = (h + 1)((h + 1) +1)(2(h + 1) + 1)/6

⇒ h + 1 ∈ S

Lo que permite aplicar el principio de inducción matemática y así asegurar que efec-tivamente 12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6, para todo n ∈ �.

Ejemplo II.1.5.4.

Considere la sentencia “n + 5 = n” para n ∈ �. Si S es el conjunto de todos losnúmeros naturales para los que la sentencia es verdadera, S = {n ∈ �: n + 5 = n}, se puedeprobar fácilmente que si k ∈ S, entonces k + 1 ∈ S. Cuidado, no se puede aplicar el principiode inducción, pues 1 ∉ S (en realidad S = �).

ACTIVIDADES II.1.5.5.1. Demuestre que 13 + 23 + ... + n3 = (n(n + 1)/2)2 para todo n ∈ �

Solución:

Sea S = {n ∈ �: 13 + 23 + ... + n3 = (n(n + 1)/2)2}

• 1 ∈ S (es claro).

• Supongamos que h ∈ S y probemos que h + 1 ∈ S. Se tiene que:

13 + 23 + ... + n3 + (n + 1)3 = (n(n + 1)/2)2 + (n + 1)3 = (n2(n + 1)2 + 4(n +1)3)/4 = (n + 1)2(n2

+ 4n + 4)/4 = ((n + 1)((n + 1) + 1)/2)2

2. Demuestre que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos cualesquieran, n + 1 y n + 2 es divisible por 9.

Solución:

Sea S = {n ∈ �: n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 9 · k, para algún k ∈ �}

• 1 ∈ S.

• Si h ∈ S, entonces h + 1 ∈ S. En efecto, si h3 + (h + 1)3 + (h + 2)3 = 9 · k, entonces, (h +1)3 + (h + 2)3 + (h + 3)3 = h3 + (h + 1)3 + (h + 2)3 + (h + 3)3 – h3 = 9 · k + h3 + 9h2 + 27h+ 27 – h3 = 9 · k + 9(h2 + 3h +3) = 9 (k + h2 + 3h + 3) = 9 · K, donde K ∈ �

251

U N I D A D II

3. Demuestre que n < 2n para todo n número natural.Solución:

Sea S = {n ∈ �: n < 2n}

· 1 ∈ S

· supongamos que h ∈ S, se tiene entonces que h < 2h ⇒ h + 1 < 2h + 1 < 2h + 2 = 2(h+ 1) ⇒ h + 1 ∈ S

4. Encuentre el error de la “demostración” de la siguiente afirmación:Si n es cualquier número natural, y si el máximo de dos números p y q es n, entonces p = q

(luego si p y q son dos números naturales cualesquiera, entonces p = q).“Demostración:”

Sea S el conjunto de los números naturales para los que la afirmación es cierta. Enton-ces 1 ∈ S porque si p y q están en � y si su máximo es 1, entonces p = q = 1. Si suponemosque k ∈ S y que el máximo de los números naturales p y q es k + 1, entonces el máximo dep – 1 y q –1 es k. Por lo tanto p – 1 = q – 1 debido a que k ∈ S. Entonces concluimos que p= q. Así k + 1 ∈ S.

Solución:El problema se encuentra en que no necesariamente p – 1 y q – 1 se encuentren en los

naturales (considerar p = 1 y q = 1).

5. Al igual que demostraciones por inducción, existen definiciones por inducción. Por ejem-plo la de el factorial de un número natural. Se define el factorial de n, lo que se denota porn!, de la siguiente manera n! = n · (n – 1)!. Además se define 0! = 1. Encuentre el valor delas siguientes expresiones:a.- 1!b.-4!c.- 5!d.-7!/4!e.- 5!/3!f.- 3! – 2!

Solución:a.- 1! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1b.-4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2! = 4 · 3 · 2 · 1! = 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 24c.- 5! = 5 · 4! = 5 · 24 = 120d.-7! / 4! = 7 · 6 · 5 · 4!/ 4! = 7 · 6 · 5 = 210e.- 5! /3! = 5 · 4 · 3!/3! = 20f.- 3! – 2! = 3 · 2! – 2! = (3 – 1) 2! = 2 · 2 · 1 · 1 = 4

252

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejercicios II.1.5.6.1. Demuestre que 1 + r + r2 + ... + rn = (1 – rn+1)/(r – 1)

2. Demuestre que 2n ≤ (n + 1)!

3. Encuentre 9!/5!

4. Muestre que el producto de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 3.

Respuestas1. Sea S = {n ∈ �: 1 + r + r2 + ... + rn = (1 – rn+1)/(r – 1)}

· 1 ∈ S

· Si n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S, en efecto:

1 + r + r2 + ... + rn + (r + 1)n+1 = (1 – rn+1)/(r – 1) + (r + 1)n+1 = (1 – rn+2)/(r – 1)

2. Indicación:2k+1 = 2 · 2k ≤ 2(k + 1)! ≤ (k + 2)(k + 1)! = (k + 2)!Complete todos los detalles.

3. 9! / 5! = 9 · 8 · 7 · 6 = 3024.

4. Indicación:n · (n + 1) · (n + 2) = 3 · k ⇒ (n + 1) · (n + 2) · (n + 3) = n (n + 1) (n + 2) + 3 (n + 1)(n + 2) =3 (k + (n + 1)(n + 2))Complete todos los detalles.

RESUMENEn esta sección se trata el tópico más importante de los números naturales, esto es el

principio de inducción. Se busca que el alumno comprenda de qué trata este principio,cómo se utiliza y cómo se interpreta. Además se proponen algunos ejemplos y ejerciciospara desarrollar la habilidad de demostrar relaciones importantes de números naturales, pormedio del proceso de inducción.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.1. El principio de inducción matemática es consecuencia del principio de buen orden de los

números naturales.

2. La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9.

3. Es posible que un subconjunto de los números naturales no posea al 1 como uno de suselementos, pero sin embargo, el principio de inducción aún es cierto.

4. La definición de factorial de n se realiza por medio de un proceso inductivo.

5. Si S es un subconjunto vacío de los números naturales, el principio de inducción no esaplicable en él.

253

U N I D A D II

Glos

6. Es posible mostrar una propiedad por el principio de inducción a un conjunto finito denúmeros naturales.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Verdadero.4. Verdadero.5. Verdadero.6. Falso.

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados entre sí, que confor-man una totalidad.

Conjunto Vacío: conjunto que no tiene elementos.Conjunto No Vacío: conjunto que tiene al menos un elemento.Elemento: objeto de un conjunto.Hipótesis: proposición que se establece como verdadera.Inducción: proceso de razonamiento que permite determinar la verdad de una proposi-

ción, sobre la base del principio de inducción matemática.Números Impares: números naturales que no son múltiplos de dos.Números Naturales: aquellos que utilizamos para contar.Pertenencia: relación entre un elemento y un conjunto.Primer Elemento: elemento de un conjunto numérico que es menor que el resto.Principio de Buen Orden: principio que establece que todo conjunto de números natura-

les siempre tiene un primer elemento.Principio de Inducción Matemática: principio que establece que toda relación que tiene

un primer elemento que la satisface, y si se verifica además que todo elemento que lasatisface implica que la satisface el siguiente, entonces, la relación es válida para todoslos números naturales.

Subconjunto: conjunto cuyos elementos son parte de otro conjunto.

Símbolos

⊆ : subconjunto.

� : conjunto de los números naturales.

∈ : pertenece.

⇒ : implica.

+ : suma.

254

CONJUNTOS NUMERICOS

Aplic< : menor que.– : resta.

≠ : distinto que.

/ : divide.

∅ : conjunto vacío.

II.1.6. Aplicaciones a Técnicas Avanzadas para Contar

Con la herramienta de la inducción en la mano, hemos tenido la oportunidad deprobar importantes relaciones de los números naturales, como:

· La suma de los n primeros números naturales está dada por:1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1)/2

· La suma de los n primeros números naturales al cuadrado está dada por:12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

· La suma de los n primeros números naturales al cubo está dada por:13 + 23 + ... + n3 = (n(n + 1)/2)2

Estas fórmulas, junto con los principios de ayuda para contar que veremos a continua-ción, permiten utilizar las Matemáticas como una elevada forma de contar (usarla para loque fue construida desde un principio).

Principio de la SumaSi algún proceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes o bien de n2 maneras diferen-

tes, entonces en total el proceso puede ocurrir de n1 + n2 maneras distintas.

Principio de la MultiplicaciónSi algún proceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes, y siguiendo este suceso, un

segundo suceso puede ocurrir de n2 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras enque los sucesos pueden ocurrir está dado por n1 · n2.

En los siguientes tres ejemplos, ilustramos cómo se pueden utilizar estos principios ylas fórmulas deducidas a partir de la inducción para contar.

Ejemplo II.1.6.1.Supongamos que una placa de automóvil contiene dos letras seguidas de tres dígitos,

con el primer dígito diferente de cero. ¿Cuántas placas distintas pueden fabricarse?Cada letra puede imprimirse de 26 maneras distintas. El primer dígito de 9 maneras y

el resto de los dígitos de 10 formas. Por lo tanto:N° total de placas distintas = 26·26 · 9 · 10 ·10 = 608’400.

Ejemplo II.1.6.2.

255

U N I D A D II

¿De cuántas maneras una organización que cuenta con 30 miembros puede elegirpresidente, tesorero y secretario? Se supone que ninguna persona puede ocupar más de uncargo.

Para presidente existen 30 posibles candidatos, para secretario –por lo tanto– sóloquedarán 29 opciones distintas y para tesorero 28. Así se tiene un total de:

N° total de diferentes directivas = 30 · 29 · 28 = 24’360.

Ejemplo II.1.6.3.Suponga que una empresa de turismo ofrece 7 alternativas de viaje (por avión, por

auto, por tren, por vapor, por bicicleta, por patines y caminando) a 7 lugares distintos. Unapersona pide que se le entregue información sobre todas las combinaciones de destino,suponiendo que en cada viaje probará una forma distinta de transporte. ¿De cuántas mane-ras se pueden realizar los viajes, por las siete ciudades?:

N° de combinaciones posibles: 7· 6 · 5·4 · 3 · 2 · 1 = 7! = 5040 maneras distintas.Ahora, suponga que las ciudades se llaman 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7. El viaje sólo es posible

realizarlo en el orden establecido de ciudades. La persona quiere saber cuántas alternativasde transporte tiene sin necesidad de completar los 7 destinos.Alternativas de transporte = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · 8 /2 = 28 alternativas.

ACTIVIDADES II.1.6.4.1. Encuentre cuánto suman los 100 primeros números naturales.Solución:

Suman 100 · 101 /2 = 50 · 101 = 5’050.

2. Determine cuánto suman los números naturales comprendidos entre 5 y 100.Solución:

Los 100 primeros suman 5’050, como acabamos de mostrar en la actividad anterior,ahora por otro lado se sabe que los cuatro primeros suman: 4 · 5 / 2 = 10, luego los compren-dido entre 5 y 100 suman: 5’050 – 10 = 5’040.

3. Determine cuánto suman los primeros 50 números naturales al cuadrado.Solución:

De acuerdo con el resultado obtenido de la inducción se tiene:Suma = 50 · 51 · 101 / 6 = 2525 · 17 = 37’925.

4. Encuentre cuánto suman los primeros 50 números naturales al cubo.Solución:

Suma = (50 · 51)2 / 4 = (25 · 51)2 = 12752 = 1’625’625.

Ejercicios II.1.6.5.1. Encuentre cuánto suman los 1000 primeros números naturales.

2. Determine cuánto suman los números naturales comprendidos entre 100 y 1000.

3. Determine cuánto suman los números naturales al cuadrado comprendidos entre 100 y 200.

256

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

4. Encuentre cuánto suman los primeros 10 números naturales al cubo.

RESUMENEn esta sección se revisan algunos principios y técnicas de ayuda para la actividad

más elemental y fundamental de la Matemática, el contar. Se ilustran algunos trucos yejemplifican sus aplicaciones a diversas situaciones.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones1. Existen 9 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 maneras distintas de fijar el número a un teléfono de 6

cifras, considerando que el primer número no puede ser cero.

2. Los primeros 1000 números naturales suman en total 1001.

3. El cuadrado de la suma de los primeros 3 números suma 36.

4. La suma de los 3 primeros números naturales al cuadrado, suma 14.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Verdadero.4. Verdadero.

Glosario

Inducción: proceso que permite demostrar la verdad de proposiciones utilizando el prin-cipio de inducción matemático.

Números naturales: números que utilizamos para contar.

Símbolos= : igual que.+ : suma.· : producto.

× : producto.

257

U N I D A D II

Intro

El ConII.2. El Conjunto de los Números Enteros

En este capítulo se revisan y formalizan algunas propiedades del conjunto de númerosenteros, entendiéndolos como una extensión del conjunto de los números naturales pararesolver ecuaciones algebraicas del tipo x + a = b. Al finalizar el estudio de este capítulo, ellector deberá ser capaz de:

· Conocer lo que es el conjunto de los números enteros.· Comprender las operaciones y propiedades aritméticas fundamentales de los núme-

ros enteros.· Realizar operaciones de agrupación algebraica.· Formular y resolver ecuaciones del tipo x + a = b.

Introducción a los Números Enteros

Los números naturales surgieron de la necesidad de contar. Con ellos puede usted decircuántos pesos hay en su cuenta bancaria actualmente, o de cuántas páginas se compone estelibro. Pero supongamos que los cheques girados por usted exceden en $23’000.- a los fondosdisponibles. ¿Cuánto tiene en su cuenta entonces? No existe ningún número natural que pue-da describir esta situación, y en la práctica, se hace necesario inventar alguna clase de núme-ros que lo permitan. Surgen así los números enteros.

El conjunto de los números enteros, se denota por �, y corresponde al conjunto for-mado por { ... –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. El conjunto formado portodos los números naturales, el cero y todos los números negativos. Así � ⊆ �

No es fácil referirse a cómo el ser humano llegó a formular este conjunto. Pero estámuy ligado a la formulación de problemas como el de sobregirarse en la cuenta corriente.Habitualmente se realiza una analogía con un espejo. Se dice que los números negativosson exactamente el reflejo de sus símiles positivos, pero al revés, tal como si en el cero seencontrara un espejo que los refleje en un mundo irreal –en donde nos sobregiramos, porsupuesto.

Ahora bien, esto es cierto en gran medida. Por ejemplo, en el conjunto de los númerosnaturales, o números enteros positivos, se tiene que 3 < 4. Constatemos que en el subconjuntode los números enteros negativos se tiene que – 4 < – 3. Es decir, en los positivos el sucesor de 3es 4, mientras que en los números negativos, el sucesor de – 4 es – 3.

Si sumamos dos números positivos, se obtiene por supuesto un número positivo. Sisumamos dos números negativos, se obtiene un número negativo. Pero ¿qué pasa cuandosumamos uno positivo y uno negativo? En ese caso, nos encontramos con la situación quenormalmente llamamos resta o diferencia de números.

258

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

II.2

Ejemplo II.2.1.1.• 3 + 4 = 7• – 3 – 4 = – 7• 4 – 3 = 1• – 4 + 3 = – 1

RESUMENEn esta sección se recuerda lo que son los números enteros y sus propiedades más simples.

Se establece su relación con los números naturales (los números enteros contienen a los númerosnaturales) y por último se introduce una analogía para justificar su existencia.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La suma de dos números enteros siempre es positiva.

2. La suma de un número entero positivo con un número entero negativo siempre será nega-tiva.

3. –5 < –7.

4. El conjunto de los números naturales contiene al conjunto de los números enteros.

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Falso.4. Falso.

Glosario

Cero: neutro aditivo.Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados entre sí, que forman

una totalidad.Número Natural: número que utilizamos para contar.Número Entero: número natural, el cero, o cualquier número negativo.Número Positivo: número entero mayor que cero.Número Negativo: número entero menor que cero.Subconjunto: conjunto cuyos elementos son parte de otro conjunto.

Símbolos

259

U N I D A D II

Prop

� : conjunto de los números enteros.


< : menor que.+ : suma.– : resta.= : igual que.

II.2.2. Propiedades de los Números Enteros

A continuación revisaremos las principales propiedades de los números enteros.Ejemplificaremos su uso y en particular, recordaremos algo de álgebra elemental y susnotaciones. Partamos viendo lo que ocurre con la suma y producto de dos números ente-ros.

PropiedadSobre el conjunto de los números enteros se define una operación binaria interna,


+: � × � → �

(n, m) → n + m

Esta operación cumple con las siguientes propiedades:• Es binaria, es decir, que actúa sobre dos números enteros.• Es interna, significa que la suma de dos números enteros es también un número entero.

Se dice que el conjunto � es cerrado para la suma.

ˆ Es asociativa: (n + m) + p = n + (m + p)• Es conmutativa: n + m = m + n

• Existe un neutro aditivo, esto es: (∃ 0 ∈ �)((� n ∈ �)(n + 0 = n))

• Existe un inverso aditivo, esto es: (� n ∈ �)((∃ –n ∈ �)(n + –n = 0))

Con esta propiedad se puede fundamentar la no existencia de la resta entre númerosenteros. Aquello que llamamos resta o diferencia, es en realidad la suma entre un número yel inverso aditivo de otro.

PropiedadSobre el conjunto de los números enteros se define una operación binaria interna


· : � × � → �

(n, m) → n · m

La operación cumple con las siguientes propiedades:• Es binaria, o actúa sobre dos números enteros.

260

CONJUNTOS NUMERICOS

II.2.2.

• Es interna. El producto de dos números enteros es también un número entero.• Es asociativa: (n · m) · p = n · (m · p)• Es conmutativa: n · m = m · n

• Existe un neutro multiplicativo: (�n ∈ �)(1 · n = n)

En los números enteros no existe un inverso multiplicativo, aún cuando existe unneutro – como en el caso de la adición. Esto motivará a la pronta extensión de este conjunto.

Ejemplo II.2.2.1.• 7 – 11 = 7 + –11 = – 4. La diferencia entre 7 y 11 corresponde a la suma de 7 con el

inverso aditivo de 11, lo que nos da como resultado el inverso aditivo de 4.• 11 – 7 = 11 + –7 = 4. La suma de 11 con el inverso aditivo de 7, da 4.

• 2 · (–3) = – 6. Recordar la ley de los signos: + · + = +, – · – = +, + · – = –, – · + = –.

PropiedadLa multiplicación se distribuye con respecto a la suma de números enteros. Esto es, se

tiene la siguiente propiedad llamada distributiva: a (b + c) = ab + ac.En el siguiente ejemplo vamos a ilustrar el uso de las propiedades para operar con

expresiones algebraicas que representan a números enteros. Una expresión algebraica laentendemos como la abstracción de un número utilizando letras. Así conseguimos propie-dades generales que escapan a los valores particulares que se podrían asumir para valoresespecíficos. Lo principal que hay que recordar aquí es que letras iguales se suman, mientrasque las que son distintas no se pueden agrupar.

Ejemplo II.2.2.2.• 3(5 – 7) = 15 – 21 = 6• x –x (1 – y) = x – x + x y (recordar las leyes de los signos)

= 0 + x y (inversos aditivos)= x y (neutro aditivo)

• a + b – (– 2 a + 3) = a + b + 2 a – 3 (propiedad distributiva)= 3 a + b – 3 (agrupación de términos semejantes)

• 3x + 5y – 2(x – 2y) = 3x + 5y – 2x + 4y (distributiva)= x + 9y (agrupación de términos semejantes)

• 3x – 5y + 3(2x + 4y) = 3x – 5y + 6x + 12y (distributiva)= 9x + 7y (términos semejantes)

• (a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d)= ac + ad + bc + bd (todos los términos son distintos)

• (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) (distributiva)= aa + ab + ba + bb (distributiva)= aa + ab + ab + bb (conmutativa)= aa + 2 ab + bb (agrupación de términos semejantes)

261

U N I D A D II

En el último ejemplo aparece la expresión aa, lo que significa que la cantidad querepresenta la letra a se multiplica por sí misma, es decir a · a. Aparecen tanto este tipo deexpresiones que se han definido con un nombre especial y una notación especial.

Definición

La expresión a · a · .... · a (n veces) se conoce como la potencia de a de orden n, y sedenota por an.

Ejemplo II.2.2.3.• 2 · 2 · 2 = 23 = 8• 3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81• 4 · 4 · 5 · 5 · 5 = 4253 = 16 · 125• x2 + (–3x – x2 + 5) = x2 – 3x – x2 + 5 (distributiva)

= –3x + 5 (términos semejantes)• a2 + [–b2 + 2 a2] – [a2 – b2]= a2 – b2 + 2 a2 – a 2 + b2 (distributiva)

= 2 a2 (términos semejantes)• (a + b)(a + b) = (a + b)2• (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)• (a)(– 3 a)(a2) = –3 a4 (recordar que las potencias se suman)• (3x2)(–x2y)(–a2x) = 3 a2x5y (las potencias se suman, ley de los signos)• (8x2y – 3y2)(2ax3) = 16ax5y – 6ax3y2(las letras se escriben en orden alfabético)• 4m3 – 5mn2 + 3m2(m2 + n2) –3m(m2 – n2)= 4m3 – 5mn2 + 3m4 + 3m2n2 – 3m3 + 3mn2

= m3 + 3m4 + 2mn2 + 3m2n2 (agrupación términos semejantes)v m – (m + n) –3{–2m + [–2m + n + 2(–1 + n) – (m + n – 1)]}= m– m–n–3{–2m + [–2m + n–2 +n–m–n+1]} (se parte con paréntesis interiores)= m – m – n –3{–2m –2m + n – 2 + n – m – n + 1}= m – m – n –3{–5m + n – 1} (a veces conviene ir agrupando paso a paso)= 0 – n + 15m – 3n + 3= 15m – 4n + 5

ACTIVIDADES II.2.2.4.1. Utilizando las propiedades de los números enteros, simplifique las siguientes expresiones

algebraicas al máximo posible.a.- 4m – (–2m – n)b.-2x + 3y – (4x + 3y)c.- a + (a – b) + (–a +b)d.-2 a – {– x +a – 1} – {a + x –3}e.- x2 + y2 – (x2 + 2xy + y2) + [– x2 + y2]f.- 2 a + {a – (a +b)}

262

CONJUNTOS NUMERICOS

Solución:a.- 4m – (–2m – n) = 4m + 2m + n (propiedad distributiva)

= 6m + n (suma términos semejantes)

b.-2x + 3y – (4x + 3y) = 2x + 3y – 4x – 3y (distributiva)= 2x – 4x + 3y – 3y (conmutatividad)= – 2x + 0 (asociatividad)= – 2x (neutro aditivo)

c.- a + (a – b) + (–a +b) = a + a – b – a + b (distributividad)= a + 0 (asociatividad, conmutatividad, inverso)= a (neutro aditivo)

d.-2 a – {– x +a – 1} – {a + x –3}= 2 a + x – a + 1 – a – x + 3 (distributividad)= 2 a – a – a + x – x + 1 + 3 (conmutatividad)= 0 + 0 + 4 (asociatividad, inverso aditivo)= 4 (neutro aditivo)

e.- x2 + y2 – (x2 + 2xy + y2) + [– x2 + y2]= x2 + y2 – x2 – 2xy – y2 – x2 + y2 (distributividad)= x2 – x2 – x2 – 2xy + y2 – y2 +y2 (conmutatividad)= –x2 – 2xy + y2 (asociatividad, inverso)

f.- a + {a – (a +b)} = a + {a – a – b} (distributividad)= a + a – a – b (distributividad)= – a – b (asociatividad, inverso aditivo)

2. Elimine de manera adecuada los paréntesis de las siguientes expresiones para simplificar-las:a.- 3x – {x + y – [2x + y]}b.- 2m – [(m – n) – (m + n)]c.- 4x2 + [– (x2 – xy) + (– 3y2 + 2xy) – (– 3x2 + y2)]d.- a + {(–2a + b) – (– a + b – c) + a}e.- 4m – [2m + (n – 3)] + [– 4n – (2m + 1)]f.- 2x + [– 5x – (– 2y + {– x + y})]g.- x2 – {– 7xy + [– y2 + (– x2 + 3xy – 2y2)]}h.- – (a + b) + [– 3a + b – {– 2a + b – (a – b)} +2a]i.- (– x +y) – {4x + 2y + [– x – y – (x + y)]}j.- – (– a +b) + [– (a + b) – (– 2a + 3b) + (– b + a – b)]k.- 7m2 – {– [m2 + 3n – (5 – n) – (– 3 + m2)]} – (2n + 3)Solución:a.- 3x – {x + y – [2x + y]} = 3x – {x + y – 2x – y}

= 3x – x – y + 2x + y

263

U N I D A D II

= 4x + 0= 4x

b.- 2m – [(m – n) – (m + n)]= 2m – [m – n – m – n]= 2m – m + n + m + n= 2m + 2n

c.- 4x2 + [– (x2 – xy) + (– 3y2 + 2xy) – (– 3x2 + y2)]= 4x2 +[–x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2]= 4x2 – x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2

= 6x2 + 3xy – 4y2

d.- a + {(–2a + b) – (– a + b – c) + a}= a + {– 2a + b + a – b + c + a}= a – 2a + b + a – b + c + a= a + c

e.- 4m – [2m + (n – 3)] + [– 4n – (2m + 1)] = 4m –[2m + n – 3] + [–4n – 2m – 1]= 4m – 2m – n + 3 – 4n – 2m – 1= 2 – 5n

f.- 2x + [– 5x – (– 2y + {– x + y})] = 2x + [–5x – (–2y – x + y)]= 2x + [–5x + 2y + x – y]= 2x – 5x + 2y + x – y= y – 2x

g.- x2 – {– 7xy + [– y2 + (– x2 + 3xy – 2y2)]} = x2 – {– 7xy + [– y2 – x2 + 3xy – 2y2]}= x2 – {– 7xy – y2 – x2 + 3xy – 2y2}= x2 + 7xy + y2 + x2 – 3xy + 2y2

= 2x2 + 4xy + 3y2

h.- – (a + b) + [– 3a + b – {– 2a + b – (a – b)} +2a]= –a–b+[–3 a + b–{–2 a + b –a+ b}+2a]= – a–b+[–3 a+b+2 a–b+a – b+2 a]= – a – b –3a+b+2 a–b+a– b + 2 a= a – 2b

i.- (– x + y) – {4x + 2y + [– x – y – (x + y)]}= – x+y–{4x + 2y + [– x–y–x– y]}= – x +y– {4x + 2y – x – y – x – y}= – x + y – 4x – 2y + x + y + x + y= – 3x + y

j.- – (– a +b) + [– (a + b) – (– 2a + 3b) + (– b + a – b)]= a–b+[–a –b+2a – 3b – b + a – b]= a – b – a – b + 2 a – 3b – b+a–b= 3 a – 7b

k.- 7m2 – {– [m2 + 3n – (5 – n) – (– 3 + m2)]} – (2n + 3)

264

CONJUNTOS NUMERICOS

= 7m2 – {–[m2 + 3n –5 + n + 3 – m2]} – 2n – 3= 7m2 – {–m2 – 3n + 5 – n – 3 + m2} – 2n – 3= 7m2 + m2 + 3n – 5 + n + 3 – m2 – 2n – 3= 7m2 + 2n – 5

3. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:a.- – [–3x + (– x – {2y – 3})] + {– (2x + y) + (– x – 3) + 2 – [x + y]}b.-– [– (– a)] – [+ (– a)] + {– [– b + c] – [+c + (– c)]}c.- – {– [– (a + b)]} – {+ [– (b – a)]} – (a + b)d.-– {– [– (a + b – c)]} – {+ [– (c – a + b)]} + [– {– a + (– b)}]e.- – [3m + {– m – (n – (m + 4))} + {– (m + n) + (– 2n + 3)}]f.- – [x + {– (x + y) – [– x + (y – z) – (– x + y) ] – y}]g.- – [–a +{–a + (a – b) – (a – b + c) – [– (–a) + b]}]

Solución:a.- – [–3x + (– x – {2y – 3})] + {– (2x + y) + (– x – 3) + 2 – [x + y]}

= – [–3x + (– x – 2y + 3)] + {– 2x – y – x – 3 + 2 – x – y}= – [ –3x – x – 2y + 3] + {– 4x – 2y – 1}= – [ –4x – 2y + 3] – 4x – 2y – 1= 4x + 2y – 3 – 4x – 2y – 1= – 4

b.-– [– (– a)] – [+ (– a)] + {– [– b + c] – [+c + (– c)]}= – [a] – [– a] + {b – c – [c – c]}= – a + a + {b – c – 0}= 0 + b – c= b – c

c.- – {– [– (a + b)]} – {+ [– (b – a)]} – (a + b)= – {– [– a – b]} – {+ [– b + a]} – a – b= – {a + b} – {– b + a} – a – b= – a – b + b – a – a – b= – 3 a – b

d.-– {– [– (a + b – c)]} – {+ [– (c – a + b)]} + [– {– a + (– b)}]= – {– [– a – b + c]} – {+ [– c + a – b]} + [– {– a – b}]= – {a + b – c} – {– c + a – b} + [a + b]= – a – b + c + c – a + b + a + b= –a + b + c

e.- – [3m + {– m – (n – (m + 4))} + {– (m + n) + (– 2n + 3)}]= – [3m + {– m – (n – m – 4)} + {– m – n – 2n + 3}]= – [3m + {– m – n + m + 4} + {– m – 3n + 3}]= – [3m – m – n + m + 4 – m – 3n + 3]= – [2m – 4n + 7]

265

U N I D A D II

= – 2m + 4n – 7f.- – [x + {– (x + y) – [– x + (y – z) – (– x + y)] – y}]

= – [x + {– x – y – [– x + y – z + x – y] – y}]= – [x + {– x – y + x – y + z – x + y – y}]= – [x + {– x – 2y + z}]= – [x – x – 2y + z]= – [z – 2y]= 2y – z

g.- – [–a +{–a + (a – b) – (a – b + c) – [– (–a) + b]}]= – [–a +{–a + a – b – a + b – c – [a + b]}]= – [–a +{– a – c – a – b}]= – [–a – a – c – a – b]= –[–3 a – b – c]= 3 a + b + c

4. Multiplique las siguientes expresiones algebraicas y simplifique:a.- (3x3 – x2)(–2x)b.- (–m2n)(–3m2)(–5mn3)c.- (–am)(–2ab)(–3a2bx)d.- (2a)(– a2)(–3a3)(4a)e.- (xm+1 + 3xm –xm–1)(3x2m)f.- (ambn +am–1bn+1 –am–2bn+2) · 3a2bg.- (x3 –3x2 +5x –6)(–4x2)h.- (a4 –6a3x + 9 a2x2 –8)(3bx3)i.- (an+3 – 3an+2 – 4 an+1 – an)(– anx2)

Solución:a.- (3x3 – x2)(–2x) = –6x4 + 2x3

b.- (–m2n)(–3m2)(–5mn3) = –15m5n4

c.- (–am)(–2ab)(–3a2bx) = –6am+3b1+x

d.- (2a)(–a2)(–3a3)(4a) = 24a7

e.- (xm+1 + 3xm –xm–1)(3x2m) = 3x3m+1 + 9x3m – 3x3m–1

f.- (ambn +am–1bn+1 –am–2bn+2) · 3a2b = 3a2+mb2n+2 + 3am+1bn+2 – 3ambn+3

g.- (x3 –3x2 +5x –6)(–4x2) = – 4x5 + 12x4 – 20x3 + 24x2

h.- (a4 –6a3x + 9 a2x2 –8)(3bx3) = 3a4bx3 – 18a3bx4 + 27a2bx5 – 24bx3

i.- (an+3 – 3an+2 – 4 an+1 – an)(– anx2) = – a2n+3x2 + 3a2n+2x2 + 4a2n+1x2 + a2nx2

5. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:a.- 4(x + 3) + 5(x + 2)b.-6(x2 + 4) –3(x2 + 1) + 5(x2 + 2)c.- a(a – x) +3a(x + 2a) – a(x –3a)d.-x2(y2 + 1) +y2(x2 + 1) – 3x2y2

266

CONJUNTOS NUMERICOS

e.- x – [3a + 2(– x + 1)]f.- – (a + b) – 3(2a + b(– a + 2))g.- – [3x –2y + (x – 2y) – 2(x + y) – 3(2x +1)]h.-4x2 – {–3x + 5 – [– x + x (2 –x)]}i.- 2 a – {–3x + 2[–a + 3x –2(–a + b – (2 +a))]}j.- a – (x + y) – 3(x – y) + 2[– (x – 2y) – 2(– x – y)]k.- – 2(a – b) – 3(a + 2b) – 4{a – 2b +2[–a + b – 1 + 2(a – c)]}

Solución:a.- 4(x + 3) + 5(x + 2) = 4x + 12 + 5x + 10

= 9x + 22

b.- 6(x2 + 4) –3(x2 + 1) + 5(x2 + 2) = 6x2 + 24 – 3x2 – 3 + 5x2 + 10= 8x2 + 31

c.- a(a – x) +3 a(x + 2a) – a(x –3a) = a2 – ax + 3ax + 6a2 – ax + 3a2

= 10a2 + ax

d.- x2(y2 + 1) +y2(x2 + 1) – 3x2y2 = x2y2 + x2 + x2y2 + y2 – 3x2y2

= – x2y2 + x2 + y2

e.- x – [3a + 2(– x + 1)] = x – [3a – 2x + 2]= x – 3a + 6x – 3= 7x – 3a – 3

f.- – (a + b) – 3(2a + b(– a + 2)) = – a – b – 3(2a – ab + 2b)= –a – b – 6a + 3ab – 6b= –7a – 7b + 3ab

g.- – [3x – 2y + (x – 2y) – 2(x + y) – 3(2x +1)]= – [3x – 2y + x – 2y – 2x – 2y – 6x – 3]= – [–6x – 6y – 3]= 6x + 6y + 3

h.- 4x2 – {–3x + 5 – [– x + x (2 –x)]} = 4x2 – {–3x + 5 – [– x +2x – x2]}= 4x2 – {–3x + 5 + x – 2x + x2}= 4x2 + 3x – 5 – x + 2x – x2= 3x2 + 4x – 5

i.- 2 a – {–3x + 2[–a + 3x –2(–a + b – (2 +a))]}= 2a–{–3x + 2[–a + 3x –2(–a +b– 2 – a)]}= 2a–{–3x + 2[–a+3x+2a – 2b + 4 + 2a]}

267

U N I D A D II

= 2a–{–3x – 2a + 6x + 4 a – 4b +8 + 4a}= 2 a – {6x + 6 a – 4b}= 2 a – 6x – 6 a + 4b= – 4 a + 4b – 6x

j.- a – (x + y) – 3(x – y) + 2[– (x – 2y) – 2(– x – y)]= a–x–y–3x + 3y + 2[– x + 2y + 2x + 2y]= a – 4x + 2y + 2[x + 4y]= a – 4x + 2y + 2x + 8y= a – 2x + 10y

k.- – 2(a – b) – 3(a + 2b) – 4{a – 2b +2[–a + b – 1 + 2(a – c)]}= – 2a + 2b – 3a – 6b – 4{a – 2b +2[–a + b – 1 + 2a – 2c]}= – 2a + 2b – 3a – 6b – 4{a – 2b – 2 a + 2b – 2 + 4 a – 4c}= – 5 a – 4b – 4{3 a – 4c – 2}= – 5 a – 5b – 12 a + 16c + 8= – 17 a – 5b + 16c +8

Ejercicios II.2.2.5.1. Simplifique al máximo las siguientes expresiones algebraicas, utilizando la propiedad

distributiva y la agrupación de términos semejantes:a.- (–5m + 6) + (–m + 5) – 6b.- x + y +(x – y + z) – (x + y – z)c.- a – (b + a) + (–a + b) – (–a+2b)d.- –(x2 + y2) + xy + (–2x2 + 3xy) – (–y2 + xy)e.- 8x2 + (– 2xy + y2) – {–x2 + xy – 3y2} – (x2 – 3xy)f.- – (a + b) + (–a – b) –(–b + a) + (3a + b)

2. Simplifique las siguientes expresiones. Recuerde que debe eliminar los paréntesis desdeadentro hacia afuera.a.- 2 a – (– 4 a + b) – {– [–4 a + (b – a) – (–b + a)]}b.- 3x – (5y + [–2x + {y – (6 + x)} – (– x + y)])c.- 6c – [–(2 a + c) + {– (a + c) – 2 a – (a + c)} + 2c]d.- – (3m + n) – [+2m + {–m + (2m – (2n – 5))} – (n + 6)]e.- 2 a + {– [5b + (3 a – c) + 2 – (–a + b – (c + 4)] – (–a + b)}

3. Multiplique las siguientes expresiones algebraicas:a.- (4 a2)(–5 a 3x2)(– ay2)b.- (–3b2)(–4 a3b)(ab)(–5 a2x)c.- (ambx)(–a2)(–2ab)(–3 a2x)d.- (x2 – 4x + 3)(– 2x)e.- (a3 – 4 a2 + 6 a)(3 ab)f.- (a2 – 2 ab + b2)(– ab)

268

CONJUNTOS NUMERICOS

g.- (x5 – 6x3 – 8x)(3 a2x2)h.-x5 – 6x3 –8x(3 a2x2)i.- x5 – (6x3 – 8x)3 a2x2

j.- (m4 – 3m2n2 + 7n4)(– 4m3x)k.- (x3 – 4x2y + 6xy2)(ax3y)l.- (a3 –5 a2b –8 ab2)(–4 a4m2)m.- (am –am–1 +am–2)(–2 a)n.- (–3x3 + 5x2y – 7xy2 – 4y3)(5 a2xy2)o.- (xa+5 – 3xa+4 + xa+3 –5xa+1)(– 2x2)

4. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:a.- y2 +2y3 – y3(x2 + 1) + y2(x2 + 1) – y2(x2 – 1)b.- 5(x + 2) – (x + 1)(x + 4) – 6xc.- (a + 5)(a – 5) – 3(a + 2)(a – 2) + 5(a + 4)d.- (a + b)(4 a – 3b) –(5 a – 2b)(3 a + b) – (a + b)(3 a – 6b)e.- (a + c)2 – (a – c)2

f.- 3(x + y)2 – 4(x – y)2 +3x2 – 3y2

g.- (m + 2)2 – (2m + n)2 + (m + 4n)2

h.- x(a + x) + 3x(a + 1) – (x + 1)(a + 2x) – (a – x)2

i.- (a + b – c)2 – (a – b + c)2 – (a + b + c)2

j.- (x2 + x – 3)2 – (x2 – 2 + x)2 + (x2 – x – 3)2

k.- (x + y + z)2 – (x + y)(x – y) + 3(x2 + xy + y2)l.- – {a + b – 2(a – b) + 3{– [a + b – 3(a + b –1)]} – 3[–a + 2(–1 + a)]}m.- – 3{– [+ (–a + b)]} – 4 {–[–(–a – b)]}

Respuestas1. a.- – 6m + 5

b.- x – y + 2zc.- 2bd.- – 3x2 + 3xye.- 8x2 + 4y2

f.- 0

2. a.- bb.- 5x – 5y + 6c.- 2 a + 7cd.- – 6m + 2n + 1e.- – a – 5b – 6

3. a.- 20 a6x2y2

b.- – 60 a6b4xc.- – 6 a5+mbx+1xd.- – 2x3 + 8x2 – 6xe.- 3 a4b – 12 a3b + 18 a2b

269

U N I D A D II

f.- – a3b + 2 a2b2 – ab3

g.- 3 a2x7 – 18 a2x5 – 24 a2x3

h.- x5 – 6x3 – 24 a2x3

i.- x5 – 18 a2x5 – 24 a2x3

j.- – 4m7x + 12m5n2x – 28m3n4xk.- a x6y – 4 ax5y + 6 ax4y3

l.- – 4 a7 + 20 a6bm2 + 32 a5b2m2

m.- – 2 am+1 + 2 am – 2am–1

n.- –15 a2x4y2 + 25 a2x3y3 – 35 a2x2y4 – 20 a2xy5

o.- – 2xa+7 + 6xa+6 – 2xa+5 + 10xa+3

4. a.- y3 – x2y3 + 3y2

b.- –x2 – 6x + 6c.- –2 a2 + 5 a + 7d.- – 14 a2 + 5 ab + 5b2

e.- 4 acf.- 2x2 + 14xy – 4y2

g.- –2m2 + 4mn + 4m + 15n + 15n2 + 4h.- –2x2 +4 ax + x – a2 – ai.- – a2 – b2 – c2 + 2 ab – 3 ac – bcj.- x4 – 2x3 – 7x2 + 2x + 14k.- 3x2 + 5y2 + 3xy + z2

l.- – 2 a – 9b + 3m.- a + 7b

RESUMENEn esta sección se ejercitan las principales propiedades de los números enteros. En

particular se recuerda y adiestra en el uso de las propiedades algebraicas para reducirexpresiones complejas, eliminando paréntesis, agrupando términos semejantes y distribu-yendo.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. (–3 + 5)2 = 4

2. (3 – 5)2 = – 4

3. (a – b) – 3 = – 3 a + 3b

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Falso.

270

CONJUNTOS NUMERICOS

GlosGlosario

Álgebra Elemental: rama de la Matemática que se preocupa de estudiar la representacióngeneral de cantidades, sus relaciones y la metodología de resolver ecuaciones.

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados que forman una totali-dad.

Diferencia: operación numérica que relaciona un número con el inverso aditivo deotro.

Expresiones Algebraicas: expresiones de cantidades representadas por símbolos.Inverso Aditivo: número que adicionado al original, genera el neutro aditivo o cero.Inverso Multiplicativo: número que multiplicado al original, genera el neutro multiplicativo

o unidad.Ley de los Signos: propiedad general que surge al multiplicar números positivos con

negativos. Esta ley estipula básicamente que al multiplicar dos números de igualsigno, se produce como resultado un número positivo, mientras que al multiplicardos números de diferente signo, se produce un número negativo.

Neutro Aditivo: el cero.Neutro Multiplicativo: el uno.Números Enteros: los números naturales, junto con el cero y todos los números negativos.Operación Binaria: operación que involucra a dos objetos.Operación Interna: operación cuyo resultado es un objeto del mismo tipo que los origina-

les.Potencia de a de Orden n: multiplicar n veces a por sí mismo.Producto: operación aritmética.Propiedad Asociativa: propiedad que establece la independencia de la forma de asociar

tres objetos.Propiedad Conmutativa: el orden no altera el resultado.Propiedad Distributiva: simplificación de paréntesis.Resta: operación aritmética.Suma: operación aritmética.

Símbolos+ : suma.


= : igual que.

∃ : existe.

� : para todo.

∈ : pertenece.

271

U N I D A D II

La Ecua· : producto.– : restaan : potencia n de a.

II.2.3. La Ecuación Lineal x + a = b

Ecuaciones algebraicas de la forma x + a = b, donde x es la incógnita y a y b soncoeficientes conocidos, tienen solución única en el conjunto de los números enteros. Estosignifica que existe un único entero que al reemplazar x, satisface la ecuación.

Las propiedades enunciadas de los números enteros nos permiten verificar esto deforma muy sencilla:

x + a = b ⇒ (x + a) + –a = b + –a (agregamos a ambos lados la misma cantidad)

⇒ x + (a + –a) = b – a (asociatividad)

⇒ x + 0 = b – a (inverso aditivo)

⇒ x = b – a (neutro aditivo)

Ejemplo II.2.3.1.Resuelva la ecuación: x – 5 = 10

Solución: x – 5 = 10 ⇒ x – 5 + 5 = 10 + 5

⇒ x + 0 = 15

⇒ x = 15 satisface la ecuación.

Estas expresiones pueden aparecer en formatos mucho más complejos, requiriéndosealgún trabajo algebraico previo para encontrar la solución.

Ejemplo II.2.3.2.Resuelva la ecuación: x –7(15 – 25) = 3 · –5 + 10

Solución: x –7(15 – 25) = 3 · –5 + 10 ⇒ x – 7 · –10 = –15 + 10

⇒ x + 70 = – 5

⇒ x = – 5 – 70

⇒ x = –75

La solución de este tipo de ecuaciones puede ser de forma indistinta un número enteropositivo o negativo.

En realidad, la conceptualización de propiedades de los números enteros llevada acabo no es al azar, sino más bien responde a la necesidad de buscar las propiedades míni-mas que se requieren para resolver ecuaciones, lo que en realidad no es el problema defondo en Matemáticas.

272

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

RESUMENEn esta sección se muestra cómo se articulan las propiedades vistas de los números

enteros para resolver ecuaciones.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.1. Una ecuación del tipo x + a = b puede tener más de una solución.

2. Podemos resolver ecuaciones del tipo 3x = 2 en el conjunto de los números enteros.

3. La solución de x – 3 = – 1 es x = 2

4. La solución de 3 – x = – 1 es –4

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Verdadero.4. Falso.

Glosario

Asociatividad: propiedad que establece la independencia de asociatividad de tres obje-tos.

Coeficientes: números que deben ser fijados en la formulación de una expresión matemá-tica.

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados entre si, que confor-man una totalidad.

Ecuaciones Algebraicas: ecuaciones cuyos términos son elementos algebraicos.Entero Positivo: número entero mayor que cero.Entero Negativo: número entero menor que cero.Incógnita: elemento desconocido dentro de una ecuación.Inverso Aditivo: número que sumado al original, entrega como resultado cero.Neutro Aditivo: el cero.Números Enteros: los números naturales, el cero y los números negativos.Solución Única: único número que satisface una ecuación.

Símbolos

⇒ : implica.

= : igual que.

273

U N I D A D II

Conjun+ : suma.– : resta.· : multiplicación.

II.3. El Conjunto de los Números Racionales

En este capítulo seguimos extendiendo el conjunto numérico de trabajo. Esta vez, nospreocupamos de la ecuación ax + b = c, conocida como ecuación lineal con coeficientesracionales. Ella no tiene necesariamente solución en los números enteros, por lo que sedebió extender este conjunto al de los números racionales.

Son objetivos de este capítulo:· Poder definir adecuadamente el conjunto de los números racionales.· Conocer las principales propiedades de los números racionales.· Resolver ecuaciones lineales de coeficientes enteros.· Operar con expresiones algebraicas que involucren fracciones.

Introducción a los Números Racionales

Hemos definido el conjunto de los números enteros, �, para encontrar una solución ala ecuación:

m + a = b,para todos los números enteros a y b. Se recuerda que lo que se hizo fue extender el

conjunto de los números naturales. Encontramos una necesidad similar de enriquecer oextender el conjunto de los números enteros, al conjunto de los números racionales, �, paraencontrar la solución de la ecuación:

a · x = b

o, en forma más general, de la ecuación lineal de coeficientes enteros:a · x + b = c

La ecuación 3 x = 6 tiene un entero como solución (el 2), pero la ecuación 6x = 3 notiene solución en �. De esta forma, si a y b son enteros, entonces no existe necesariamente unentero x que verifique la ecuación a x = b. Para resolver este problema se amplía el sistemanumérico de los números enteros, introduciendo una nueva clase llamados números raciona-les que definiremos y estudiaremos con algún detalle a continuación.

El conjunto de los números racionales, consiste en el conjunto de todos aquellos ele-mentos que se pueden escribir de la forma:

n / m

donde n y m pertenecen al conjunto de los enteros. Se tiene así, que podemos definirel conjunto de los racionales, denotado por��, de la siguiente manera:

274

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

��= {z : z = n / m; n, m ∈ �}

Por ejemplo, son elementos de este conjunto: 1, ½, –1/4, 1/ –3 = – 1/3, 7/5, 3, etc.Se dice también, que son elementos de este conjunto, todos aquellos números que

expresados de forma decimal, tienen un número finito de decimales, o bien, si es infinito,son periódicos. Números de la forma 1.01, 1.233453465, –3.3333333333..., 7.111, 14.345,etc. En este contexto un número como �, que tiene una cantidad infinita de decimales y esno periódico, no es racional.

Este conjunto contiene al conjunto de los números enteros y al conjunto de los núme-ros naturales, de la siguiente forma:

��⊆ �� ⊆ ��

RESUMENEn esta sección se presenta el conjunto de los números racionales como una extensión

natural para resolver la ecuación lineal a x + b = c.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. La ecuación 3x – 2 = 7 no tiene solución en los números enteros.

2. La ecuación 3x + 2 = 7 tiene solución en el conjunto de los números naturales.

3. La ecuación x + 6 = 8 no puede tener solución en los números enteros.

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Falso.

Glosario

Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados, que conforman unatotalidad.

Elementos: objetos que pertenecen a un conjunto.Números Enteros: los números naturales, el cero y todos los números negativos.Números Racionales: todos los números que se pueden representar como fracción de

números enteros.Números Naturales: los números que utilizamos para contar.Sistema Numérico: mecanismo que utilizamos para designar y enumerar los números.

275

U N I D A D II

Conjun

Símbolos+ : suma.= : igual.· : producto./ : división.

� : conjunto de los números racionales.



⊆ : subconjunto.

II.3.2. Propiedades de los Números Racionales

A continuación revisaremos las principales propiedades de los números racionales.Ejemplificaremos su uso y recordaremos más propiedades del álgebra elemental y sus nota-ciones. Partamos viendo que la suma y producto de dos números racionales se comporta deforma análoga a la suma y producto de números enteros, salvo que al producto se le agregala propiedad de existencia de inverso multiplicativo.

PropiedadSobre el conjunto de los números racionales se define una operación binaria interna,


+: � × �→ �

(n, m) → n + m

Esta operación cumple con las siguientes propiedades:· Es binaria. Actúa sobre dos números racionales.· Es interna. La suma de dos números racionales es también un número racional. Se dice

que el conjunto ��es cerrado para la suma.

· Es asociativa: (n + m) + p = n + (m + p)· Es conmutativa: n + m = m + n

· Existe un neutro aditivo: (∃ 0 ∈ �)((� n ∈ �)(n + 0 = n))

· Existe un inverso aditivo: (�n ∈ �)((∃ –n ∈ �)(n + –n = 0))

PropiedadSobre el conjunto de los números racionales se define una operación binaria interna,


· : � × �→ �

(n, m) → n · m

Esta operación cumple con las siguientes propiedades:

276

CONJUNTOS NUMERICOS

• Es binaria, o actúa sobre dos números racionales.• Es interna. El producto de dos números racionales es también un número racional.• Es asociativa: (n · m) · p = n · (m · p)• Es conmutativa: n · m = m · n

• Existe un neutro multiplicativo, esto es: (� n ∈ �)(1 · n = n)

• Existe un inverso multiplicativo, esto es: (� n ∈ �)(∃ n–1 ∈ �)(n · n–1 = 1)

En los números racionales existe un inverso multiplicativo. Por ejemplo 3 ∈ �, yexiste 3–1 = 1 / 3 por notación, tal que 3 · 3–1 = 1 (3 · 1 / 3 = 1). Este inverso multiplicativoreemplaza a lo que conocemos normalmente como división entre números racionales. Éstano es más que multiplicar un número por el inverso multiplicativo de otro.

Ejemplo II.3.2.1.• 1 / 3 + 2 / 5 = (1 · 5 + 2 · 3) / 15 = 11 / 15. Para sumar números racionales o fracciones,

se debe recordar que hay que amplificar ambas fracciones a un mínimo común múltiplo,para posteriormente sumar los términos que se encuentran arriba.

• 6 / 4 = 3 / 2. Simplificando.

• 2 · (1/ –3) = – 2 / 3. Recuerde la ley de los signos: + · + = +; – · – = +, + ·–= –, – · + = –.

PropiedadLa multiplicación se distribuye con respecto a la suma de números racionales.Se tiene la siguiente propiedad llamada distributiva: a (b + c) = ab + ac.

Ejemplo II.3.2.2.• 3 / (5 – 7) = 3 / –2 = – 3 / 2• 1 / 3 · 6 / 2 = 6 / 6 = 1• ab–3 = a / b3

ResumenEn esta sección se revisan las propiedades del álgebra de los números racionales. Se

constatan que son análogas a las de los números enteros, salvo que en la multiplicación seha logrado agregar la propiedad de existencia de inverso multiplicativo.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. Todo número racional tiene inverso multiplicativo.

2. El inverso multiplicativo del cero no existe.

3. El inverso multiplicativo de 1 (el neutro multiplicativo) es el mismo 1.

4. El inverso mulitplicativo de 1 / 2 es 2.

277

U N I D A D II

Glos

II.3.1.

Respuestas1. Falso.2. Verdadero.3. Verdadero.4. Verdadero.

Glosario

Álgebra Elemental: rama de la Matemática que se preocupa del estudio de la operatoriade cantidades, representadas por símbolos.


División: operación aritmética.Existencia Neutro Aditivo: axioma que establece la existencia del cero.Existencia Inverso Aditivo: axioma que establece la existencia de un número negativo por cada

número positivo (y viceversa), tal que al sumarlos se obtiene como resultado el cero.Existencia Neutro Multiplicativo: axioma que establece la existencia del uno.Existencia Inverso Multiplicativo: axioma que establece que por cada número real, distinto del

cero, existe otro número tal que multiplicado se obtiene como resultado el uno.Inverso Multiplicativo: número real que multiplicado por el original da como resultado

el uno.Números Enteros: todos los números naturales, el cero y todos los números negativos.Números Racionales: todos aquellos números que se pueden escribir como división de

dos números enteros.Operación Binaria: operación que afecta a dos objetos.Operación Interna: operación cuyo resultado es un objeto de la misma naturaleza que los

originales.Producto: operación aritmética.Propiedad Asociativa: propiedad que establece que la asociación de objetos es indistinta

del orden de los paréntesis.Propiedad Conmutativa: propiedad que establece que la operación de objetos es inde-

pendiente del orden.Propiedad Distributiva: propiedad que establece la operación bajo paréntesis.Suma: operación aritmética.

Símbolos

� : conjunto de los números racionales

+ : suma

→ : operación

· : multiplicación

278

CONJUNTOS NUMERICOS

La Ecua= : igual que

� : para todo

∃ : existe

– : resta/ : división

II.3.3. La Ecuación a x + b = c

Supongamos que deseamos resolver el problema: cuatro veces un número más 5 es10, ¿cuál es el número? Para abordar este tipo de problema, debemos formularlo con lanotación matemática aprendida:

Sea x el número incógnita, entonces, se cumple que 4 · x + 5 = 10. Sabemos que pararesolver esta ecuación debemos despejar x. Por las propiedades de los números racionales,sabemos que 5 tiene un inverso aditivo, el que podemos llamar –5. Así, sumando este inver-so aditivo a ambos lados de la ecuación, se tiene:

4 · x + 5 = 10 ⇔ (4 · x + 5) + –5 = 10 + –5

⇔ 4 · x + (5 + –5) = 5

⇔ 4 · x + 0 = 5

⇔ 4 · x = 5

Ahora, sabemos que 4 tiene un inverso multiplicativo en el conjunto de los númerosracionales, el ¼. Así, multiplicando por un cuarto a ambos lados de la ecuación, se tiene

4 · x + 5 = 10 ⇔ (4 · x) · ¼ = 5 · ¼

⇔ (x · 4) · ¼ = 5/4

⇔ x · (4 · ¼) = 5/4

⇔ x · 1 = 5/4

⇔ x = 5/4.

Así, la ecuación 4 · x + 5 = 10, tiene como única solución a x = 5/4 ∈ �. Ecuaciones deeste tipo aparecen tanto, que reciben un nombre especial. Se denominan: Ecuaciones Enterasde Primer Grado o Ecuaciones Lineales de Coeficientes Enteros.

En los siguientes ejemplos se ilustra un poco más la operatoria algebraica para resol-ver este tipo de ecuaciones. No es muy distinta a la aprendida anteriormente, sólo seagrega el uso del inverso multiplicativo del coeficiente que acompaña a la incógnita paradespejarla.

Ejemplo II.3.3.1.Resuelva la ecuación:8x – 15x – 30x – 51x = 53x + 31x – 172Primero agrupamos los términos semejantes, obteniendo:

8x – 15x – 30x – 51x = 53x + 31x – 172 ⇔ – 88x = 84x – 172s

⇔ 172x = 172

279

U N I D A D II

II.3.2.

(multiplicando por el inverso de 172) ⇔ 172–1 · 172 x = 172–1 · 172

⇔ 1 · x = 1 (inverso multiplicativo)

⇔ x = 1 (neutro multiplicativo)

Ejemplo II.3.3.2.Resuelva la ecuación:3x + [– 5x – (x + 3)] = 8x + (–5x – 9)

3x + [– 5x – (x + 3)] = 8x + (–5x – 9) ⇔ 3x + [– 5x – x – 3] = 8x – 5x – 9

⇔ 3x – 5x – x – 3 = 8x – 5x – 9

⇔ –3x – 3 = 3x – 9

⇔ 9 – 3 = 6x

⇔ 6 = 6x

⇔ 1 = x

Ejemplo II.3.3.3.Resuelva la ecuación:5 (1 – x)2 – 6 (x2 – 3x – 7) = x (x – 3) – 2x (x + 5) – 25 (1 – x)2 – 6 (x2 – 3x – 7) = x (x – 3) – 2x (x + 5) – 2

⇔ 5(1 –2x + x2) – 6(x2 – 3x –7) = x2 – 3x – 2x2 – 10x – 2

⇔ 5 – 10x + 5x2 – 6x2 + 18x + 42 = –x2 – 13x – 2

⇔ 47 + 8x –x2 = –x2 – 13x – 2

⇔ 21x = – 49

⇔ x = –7 / 3

ACTIVIDADES II.3.3.4.1. Resuelva las siguientes ecuaciones enteras de primer grado:

a.- 5x = 8x – 15b.- 4x + 1 = 2c.- y – 5 = 3y – 25d.- 5x + 6 = 10x + 5e.- 9y – 11 = –10 + 12yf.- 21 – 6x = 27 – 8xg.- 11x + 5x – 1 = 65x – 36h.- 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14i.- 8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5xj.- 5y + 6y – 81 = 7y +102 +65yk.- 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – xl.- 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100m.- 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x

280

CONJUNTOS NUMERICOS

Solución:

a.- 5x = 8x –15 ⇔ 5x – 8x = 15

⇔ – 3x = 15

⇔ x = – 5

b.- 4x + 1 = 2 ⇔ 4x = 1

⇔ x = ¼

c.- y – 5 = 3y – 25 ⇔ 20 = 2y

⇔ 10 = y

d.- 5x + 6 = 10x + 5 ⇔ 1 = 5x

⇔ 1/5 = x

e.- 9y – 11 = –10 + 12y ⇔ –1 = 3y

⇔ – 1/3 = y

f.- 21 – 6x = 27 – 8x ⇔ 2x = 6

⇔ x = 3

g.- 11x + 5x – 1 = 65x – 36 ⇔ 35 = 49x

⇔ 5/7 = x

h.- 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14 ⇔ 3x = 18

⇔ x = 6

i.- 8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5x ⇔ 22 = 3x

⇔ 22/3 0 x

j.- 5y + 6y – 81 = 7y + 102 +65y ⇔ –183 = 61 y

⇔ y = – 183/61

⇔ y = – 3

k.- 16 + 7x – 5 + x = 11x –3 – x ⇔ 8x – 17 = 10x – 3

⇔ –14 = 2x

⇔ x = – 7

l.- 3x +101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100 ⇔ 68 – x = 8 – 16x

⇔ 15 x = – 60

⇔ x = –4

m.- 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x ⇔ 14 + 9x = 256 – 717x

⇔ 726x = 242

⇔ x = 1/32. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a.- x – (2x + 1) = 8– (3x + 3)b.- 15x – 10 = 6x – (x + 2) + (– x + 3)c.- (5 – 3x) – (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)d.- 30x – ( – x + 6) + (– 5x + 4) = – (5x + 6) + (–8 + 3x)e.- 15x + (–6x + 5) – 2 – (–x + 3) = – (7x + 23) –x + (3 – 2x)

281

U N I D A D II

f.- 16x – [3x – (6 – 2x)] = 30x + [ – (3x + 2) – (x + 3)]

g.- x – [5 + 3x – 5x – (6 + x)] = –3

h.- 9x – (5x + 1) – 2 + 8x – (7x – 5) + 9x = 0

i.- 71 + [–5x +(–2x +3)] = 25 – [ – (3x + 4) – (4x + 3)]

j.- – 3x + 8 – [ – 15 + 6x – (– 3x + 2) – (5x + 4)] – 29= – 5

Solución:a.- x – (2x + 1) = 8– (3x + 3) ⇔ x – 2x –1 = 8 – 3x – 3

⇔ – x –1 = 5 – 3x⇔ 2x = 4⇔ x = 2

b.- 15x – 10 = 6x – (x + 2) + (– x + 3) ⇔ 15 x – 10 = 6x –x –2 – x + 3⇔ 15x – 10 = 4x + 1⇔ 11x = 11⇔ x = 1

c.- (5 – 3x) – (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)⇔ 5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 –3x + 6⇔ x – 1 = 5x + 17⇔ –18 = 6x⇔ x = –3

d.- 30x – ( – x + 6) + (– 5x + 4) = – (5x + 6) + (–8 + 3x)⇔ 30x + x –6– 5x + 4 = – 5x –6–8+3x⇔ 26x – 2 = –2x – 14⇔ 28x = – 12⇔ x = –3/7

e.- 15x + (–6x + 5) – 2 – (– x + 3) = – (7x + 23) – x + (3 – 2x)⇔ 15x – 6x + 5 – 2 + x – 3 = – 7x – 23 – x + 3 – 2x⇔ 10x = –10x – 20⇔ 20x = 20⇔ x = 1

f.- 16x – [3x – (6 – 2x)] = 30x + [ – (3x + 2) – (x + 3)]

⇔ 16x – [3x –6 + 2x] = 30x + [–3x –2 –x – 3]

⇔ 16x – [5x – 6] = 30x + [–4x –5]

⇔ 16x –5x + 6 = 30x – 4x –5

⇔ 11x + 6 = 26x – 5

⇔ 11 = 15x

⇔ x = 11/15

g.- x – [5 + 3x – 5x – (6 + x)] = –3 ⇔ x – [5 + 3x –{5x – 6 – x}] = –3

⇔ x – [5 + 3x – 5x + 6 + x] = – 3

⇔ x – [11 – x] = – 3

⇔ x – 11 + x = – 3

⇔ 2 x – 11 = – 3

282

CONJUNTOS NUMERICOS

II.3.3.

⇔ 2 x = 8

⇔ x = 4

h.- 9x–(5x+1)–2+8x–(7x–5)+9x=0 ⇔ 9x–5x–1–{2+8x–7x+5}+9x = 0

⇔ 4x –1–2–8x +7x –5 + 9x = 0

⇔ 12x – 8 = 0

⇔ 12x = 8

⇔ x = 2/3

i.- 71 + [–5x +(–2x +3)] = 25 – [ – (3x + 4) – (4x + 3)]

⇔ 71 + [–5x – 2x + 3] = 25 – [–3x – 4 – 4x – 3]

⇔ 71 + [–7x + 3] = 25 – [–7x –7]

⇔ 71 – 7x + 3 = 25 + 7x + 7

⇔ 74 – 7x = 32 + 7x

⇔ 42 = 14x

⇔ x = 3

j.- – 3x + 8 – [ – 15 + 6x – (– 3x + 2) – (5x + 4)] – 29= – 5

⇔ – 3x + 8 – [ v 15 + 6x + 3x + 2 – 5x – 4] – 29= – 5⇔ – {3x + 8 + 15 – 6x – 3x – 2 + 5x + 4 – 29} = –5⇔ – {– x –4} = –5⇔ x + 4 = – 5⇔ x = – 9

Ejercicios II.3.3.5.1. Resuelva las siguientes ecuaciones enteras:

a.- x + 3 (x – 1) = 6 – 4 (2x + 3)b.- 5 (x – 1) + 16 (2x + 3) = 3 (2x – 7) –xc.- 2 (3x + 3) –4 (5x – 3) = x (x – 3) –x (x + 5)d.- 184 – 7 (2x + 5) = 301 + 6 (x – 1) – 6e.- 7 (18–x) – 6 (3 – 5x) = – (7x + 9) – 3 (2x + 5) v 12f.- 3x (x – 3) + 5 (x + 7) –x (x + 1) –2 (x2 + 7) + 4 = 0g.- –3 (2x + 7) + ( – 5x + 6) – 8 (7 – 2x) – (x – 3) = 0h.- (3x – 4) (4x – 3) = (6x – 4) (2x – 5)i.- (4 – 5x) (4x – 5) = (10x – 3) (7 – 2x)j.- (x + 1) (2x + 5) = (2x + 3) (x – 4) + 5k.- (x – 2)2 – (3 – x)2 = 1l.- 14 – (5x – 1) (2x + 3) = 17 – (10x + 1) (x – 6)m.- (x – 2)2 + x (x – 3) = 3 (x + 4) (x – 3) – (x + 2) (x – 1) + 2n.- (3x – 1)2 – 5 (x – 2) – (2x + 3)2 –(5x + 2) (x – 1) = 0o.- 2 (x – 3)2 –3 (x + 1)2 + (x – 5) (x – 3) + 4 (x2 – 5x + 1) = 4x2 12p.- 5 (x – 2)2 – 5 (x + 3)2 + (2x – 1) (5x + 2) – 10 x2 = 0q.- x2 – 5x + 15 = x (x – 3) – 14 + 5 (x – 2) + 3 (13 – 2x)

283

U N I D A D II

r.- 3 (5x – 6) (3x + 2) – 6 (3x + 4) (x – 1) – 3 (9x + 1) (x – 2) = 0s.- 7 (x – 4)2 – 3 (x + 5)2 = 4 (x + 1) (x – 1) – 2

2. Resuelva las siguientes ecuaciones:a.- 14x – (3x – 2) – [5x + 2 – (x – 1)] = 0b.- (3x – 7)2 – 5 (2x + 1) (x – 2) = – x2 – [ – (3x + 1)]

c.- 6x – (2x + 1) = – – 5x + [ – ( – 2x – 1)]d.- 2x + 3 (–x2 – 1) = – 3x2 + 2 (x – 1) –3 (x + 2)e.- x2 – 3x + [x (x + 1) + 4 (x2 + 1) – 4x2] = 0

f.- 3 (2x + 1) (– x + 3) – (2x + 5)2 = –[ – – 3 (x + 5) + 10x2]

g.- (x + 1) (x + 2) (x – 3) = (x – 2) (x + 1) (x + 1)h.- (x + 2) (x + 3) (x – 1) = (x + 4) (x + 4) (x – 4) + 7i.- (x + 1)3 – (x – 1)3 = 6x (x – 3)j.- 3 (x – 2)2 (x + 5) = 3 (x + 1)2 (x – 1) + 3

Respuestas1. a.- x = ¾ b.- x = – 2

c.- x = 3 d.- x = – 7e.- x = – 4 f.- x = 5g.- x = 17 h.- x = 8/13i.- x = 1/35 j.- x = –1k.- x = 3/2 l.- x = – 5/9m.- x = 36/7 n.- x = – 1/5o.- x = 1 p.- x = – 7/17q.- x = 0 r.- x = 2/7s.- x = ½

2. a.- x = 1/7 b.- x = 29/15c.- x = 0 d.- x = 11e.- x = – 1 f.- x = 9/2g.- x = – 1 h.- x = – 3/5i.- x = – 1/9 j.- x = 4 / 3

RESUMENEn esta sección se revisa la aplicación de las propiedades de los números racionales,

para resolver ecuaciones algebraicas lineales de la forma a x + b = c. Este tópico constituyeuna de las ideas centrales del curso.


284

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

1. Una ecuación lineal tiene una única solución en los números racionales.2. Una ecuación lineal puede no tener solución en el conjunto de los números racionales.3. La ecuación 0 · x + 1 = 10 no es lineal.4. Para resolver ecuaciones lineales se necesita de las propiedades de los números racio-

nales.5. La única propiedad que no se utiliza es la de existencia de inverso multiplicativo.

Respuestas1. Verdadero.2. Verdadero.3. Verdadero.4. Verdadero.5. Falso.

Glosario


Ecuación: igualdad matemática que mantiene uno o más términos como incógnita y quedeben ser encontrados para satisfacer la ecuación.

Ecuaciones Enteras de Primer Grado: ecuaciones cuyos términos son todos númerosenteros y la incógnita aparece una sola vez.

Ecuaciones Lineales de Coeficientes Enteros: ecuación entera de primer grado.Incógnita: término desconocido en una ecuación.Inverso Aditivo: término asociado a un número, que al sumarse con éste da como resulta-

do el cero.Inverso Multiplicativo: término asociado a un número, que al multiplicarse con este da

como resultado el uno.Números Racionales: aquellos números que se pueden expresar como división de núme-

ros enteros.Única Solución: único término que satisface plenamente una ecuación.

Símbolos= : igual que+ : suma– : resta· : producto

⇔ : equivalencia

/ : división

� : conjunto de los números racionales

285

U N I D A D II

ConjunII.3.4. Expresiones Fraccionarias

Al encontrarnos con que tenemos que operar con fracciones, lo primero que hay quehacer es agrupar todos los términos semejantes en la parte superior de la fracción, y todoslos de la parte inferior, para posteriormente simplificar.

La simplificación de fracciones, se basa principalmente en el conocido hecho de quelas potencias de dos términos semejantes que se encuentran en distintas posiciones de lafracción, se deben restar (a diferencia de la multiplicación de fracciones, donde se suma-ban). De esta manera, nos encontramos con las siguientes propiedades:

an/am = an–m (si n > m)an/am = 1/am–n (si n < m)an/am = 1 (si n = m)1/am = a–m

1/a–m = am

Con estas propiedades en mente, a continuación vamos a ilustrar cómo se simplificanfracciones de términos algebraicos.

Lo primero que se debe tener en cuenta para simplificar una expresión fraccionariasimple, es que se deben agrupar todos los términos semejantes. El proceso de simplificaciónconsiste básicamente en agruparlos en la posición donde la potencia de un término seamayor, evitando de esta forma obtener como resultados potencias negativas debido al proce-so de resta entre potencias de términos iguales que se encuentran en distintos lados de lafracción. En cuanto a los números, conviene factorizar estos en números primos, para poderrealizar la simplificación con más facilidad.

Ejemplo II.3.4.1.Simplifique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias:

• 45x2 / 18xy3 = 32 · 5x2 / 2 · 32xy3 = 5x2–1 / 2y3 = 5x / 2y3

• 4x2y / 18xy3 = 22x2y / 2 · 32xy3 = 2x2–1 / 32y3–1 = 2x / 9y2

• 17x3y4z6 / 34x7y8z10 = 17x3y4z6 / 2 · 17x7y8z10 = 1 / 2x7–3y8–4z10–6 = 1 / 2x4y4z4

• 30x6y2 / 45 a3x4z3 = 2 · 3 · 5x6y2 / 32 · 5 a3x4z3 = 2x6–4y2 / 3 a3z3 = 2x2y2 / 3 a3z3

• 14 a3b3c3 / –7 a2b4c2 = – 2 · 7 a3b3c3 / 7 a2b4c2 = – 2 a3–2c3–2 / b4–3 = – 2 ac / bAl multiplicar dos expresiones fraccionarias, conviene agrupar todos los términos

de los lados superiores de cada fracción, y todos los términos de los lados inferiores,para a continuación proseguir con el procedimiento descrito para una fracción simple.

Ejemplo II.3.4.2.Multiplique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias:

· 2x / 3y2 · 6y / x2 = 2 · 3 · 2 xy / 3 x2y2 = 4 / xy· 9 / (3x + 3) · (x2 – 1) / 6 = 3 · 3(x – 1)(x + 1) / 3 · 2 · 3(x + 1) = (x – 1) / 2

286

CONJUNTOS NUMERICOS

Para dividir dos fracciones, basta con invertir la última de ellas y así transformar elproblema en la multiplicación de dos fracciones.

Ejemplo II.3.4.3.Divida las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias:

• 5 / 4 : 3 / 11 = 5 / 4 · 11 / 3 = 55 / 12• 3x / 2 : 6x2 / 4 = 3x / 2 · 4 / 6x2 = 12 x / 12 x2 = 1 / x• 10xy2 / 3z : 5xy / 6z3 = 50x2y3 / 18z4 = 25x2y3 / 9z4

• (2x2 – 5x + 2) : (2x – 1) / 3 = (2x2 – 5x + 2) · 3 / (2x – 1) = 3(x – 2) = 3x – 6La suma y diferencia de fracciones es un proceso más delicado. Primero hay que estar

concientes de que para sumar dos fracciones, se necesita que sean compatibles en el sentidode que sus denominadores (la parte inferior) sean iguales. Para lograrlo, se aplica un procesode amplificación (multiplicar arriba y abajo por lo mismo, es decir, por uno) que permitaigualar los denominadores.

Ejemplo II.3.4.4.Sume las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias:

• 1 / 3 + 1 / 6 = 1 · 2 / 3 · 2 + 1 / 6 = 2 / 6 + 1 / 6 = (2 + 1) / 6 = 3 / 6 = 1 / 2• x / 6 + 5x / 21 = x · 7 / 6 · 7 + 5x · 2 / 21 · 2 = 7x / 42 + 10x / 42 = (7x +10x) / 42 = 17x

/ 42• 1 / x + 1 / y = 1 · y / x · y + 1 · x / y · x = y / xy + x / xy = (y + x) / xy• 5 – 5 / (x + 3) + 10 / (x2 – 9) = 5 · (x2 – 9) / (x2 – 9) – 5 · (x – 3) /(x + 3)(x – 3) + 10 / (x2 –

9) = (5x2 – 45) / (x2 – 9) – (5x – 15) / (x2 – 9) + 10 / (x2 – 9) = (5x2 – 45 – 5x + 15 + 10) /(x2 – 9) = (5x2 – 5x + 25) / (x2 – 9) = 5(x2 – x + 5) / (x2 – 9)

• 3 a / bc + 2b / ac = 3 a2 / abc + 2b2 / abc = (3 a2 + 2b2) / abc

ACTIVIDADES II.3.4.5.1. Simplifique las expresiones fraccionarias siguientes:

a.- a2 / ab = a2–1 / b = a / bb.- 2 a / 8 a2b = 1 / 4 a2–1 = 1 / 4 abc.- x2y2 / x3y3 = 1 / x3–2y3–2 = 1/ xyd.- ax3 / 4x5y = a / x5–3y = a / x2ye.- a5b7 / 3 a8b9c = 1/ a8–5b9–7c = 1 / a3b2cf.- 21 a8b10c12 / 63 a4bc2 = a 8–4b10–2c12–2 = a4b8c10 / 3g.- 54x9y11z13 / 63x10y12z15 = 6 · 9 / 7 · 9 x10–9y12–11z15–13 = 6 / 7xyz2

h.- 15 a12b15c20 / 75 a11b16c22 = 15 a 12–1/ 15 · 5 b16–15c22–20 = a11 / 5bc2

i.- 75 a7m5 /100 a3m12n3 = 25 · 3 a7–3 / 25 · 4 m12–5n3 = 3 a4 / 4 m7n3

2. Multiplique las siguientes fracciones:a.- 2 a2 / 3b · 6b2 / 4 a = 2 · 2 · 3 a2b2 / 3b · 2 · 2 a = a2–1b2 /3b–1 = ab2 /3b–1

b.- x2y / 5 · 10 a3 / 3m2 · 9m / x3 = 2 · 5 · 3 · 3 a3mx2y / 5 · 3 m2x3 = 6 a3y / m2–1x3–2= 6 a3y/ mx

c.- 5x2 / 7y3 · 4y2 / 7m3 · 14m / 5x4 = 5 · 2 · 2 · 7 · 2mx2y2 / 7 · 7 · 5m3x4y3 = 8 / 7m3–1x4–

287

U N I D A D II

2y3–2 = 8 / 7 m2x2yd.- 5 / a · 2 a / b2 · 3b / 10 = 5 · 2 · 3 ab / 5 · 2 ab2 = 3 / b2–1 = 3 /b

3. Divida las siguientes fracciones:a.- x2 / 3y2 : 2x / y3 = x2 / 3y2 · y3 / 2x = x2y3 / 2 · 3xy2 = x2–1y3–2 / 6 = xy / 6b.- 3 a2b / 5x2 : a2b3 = 3 a2b / 5x2 · 1 / a2b3 = 3 a2b / 5 a2b3x = 3 a2–2 / 5b3–1x = 3 / 5b2xc.- 5m2 / 7n3 : 10m4 / 14 an4 = 5m2 / 7n3 · 14 an4 / 10m4 = 5 · 2 · 7 am2n4 / 7 · 10 m4n3

= an4–3 / m4–2 = an / m2

d.- (x – 1) / 3 : (2x – 2) / 6 = (x – 1) / 3 · 6 / 2 (x – 1) = 6 (x – 1) / 6 (x – 1) = 1

4. Sume las siguientes fracciones:a.- (x – 2) / 4 + (3x + 2) / 6 = 3 (x – 2) / 12 + 2 (3x + 2) / 12 = (3x – 6 + 6x + 4) / 12 = (9x

– 2) / 12b.- 2 / 5 a2 + 1 / 3 ab = 2 / 5 a2 · 3b / 3b + 1 / 3 ab · 5 a / 5 a = (6b + 5 a) / 15 a2bc.- (a – 2b) / 15 a + (b – a) / 20b = (a – 2b) 3b / 60 ab + (b – a) 3 a / 60 ab = (3 ab – 6b2

+ 3 ab – 3 a2) / 60 ab = (2 ab – 2 b2 – a2) / 20 abd.- (a + 3b) / 3 ab + (a2b – 4 ab2) / 5 a2b2 = (a + 3b) 5 ab / 15 a2b2 + (a2b – 4 ab2) 3 / 15

a2b2 = (5 a2b + 15 ab2 +3 a2b – 12 ab2) / 15 a2b2 = (8 a2b + 3 ab2) / 15 a2b2 = (8 a + 3b)/ 15 ab

e.- (a – 1) / 3 + 2 a / 6 + (3 a + 4) / 12 = (a – 1) 4 / 12 + 4 a / 12 + (3 a + 4) / 12 = (4 a –4 + 4 a + 3 a + 4) / 12 = 11 a / 12

f.- (x – 3) / 4 – (x + 2) / 8 = 2 ( x – 3) / 8 – (x + 2) / 8 = (2x – x – 6 – 2) / 8 = (x – 8) / 8g.- (a + 5b) / a2 – (b – 3) / ab = (a + 5b) b / a2b – (b – 3) a / a2b = (ab + 5b2 – ab + 3 a) /

a2b = (3 a + 5b2) / a2bh.- 2 / 3mn2 – 1 / m2n = 2m / 3m2n2 – 3n / 3m2n2 = (2m – 3n) / 3m2n2

i.- a + 4 a / (a + 2) = a (a + 2) / (a + 2) + 4 a / (a + 2) = (a2 + 2 a + 4 a) / (a + 2) = (a2 + 6a) / (a + 2)

j.- m – n – n2 / m = m2 / m – nm / m – n2 / m = (m2 – nm – n2) / m

Ejercicios II.3.4.6.1. Simplifique las siguientes expresiones fraccionarias:

a.- 6m2n3 / 3mb.- 9x2y3 / 24 a2x3y4

c.- 8m4n3x2 / 24mn2x2

d.- 12x3y4z5 / 32xy2ze.- 12 a2b3 / 60 a3b5x6

f.- 21mn3x6 / 28m4n2x2

g.- 42 a2c3n / 26 a4c5m2. Multiplique las siguientes expresiones:

a.- 2x3 / 15 a3 · 3 a2 / y · 5x2 / 7xy2

b.- 7 a / 6m2 · 3m / 10n2 · 5n4 / 14 axc.- (2x2 + x) / 6 · 8 / (4x + 2)d.- (a + a / b)(a – a / (b + 1))e.- (x – 2 / (x + 1))(x + 1 / (x + 2))

288

CONJUNTOS NUMERICOS

3. Divida las siguientes fracciones:a.- 15m2 / 19 ax3 : 20y2 / 38 a3x4

b.- 11x2y3 / 7m2 : 22y4

c.- 5 / 7 : ¾d.- 2 / 3 : 7e.- 7 : 2 / 3

4. Sume las siguientes fracciones:a.- n / m2 + 3 / mn + 2 / mb.- (1 – x) / 2x + (x + 2) / x2 + 1 / 30x2

c.- (2 a – 3) / 2x + (3x + 2) / 10x + (x – a) / 5 axd.- 3 / 5 + (x + 2) / 10x + (x2 + 2) / x2

e.- (a – 3) / 5 ab – (4 – 3 ab2) / 3 a2b3

f.- (2 a + 3) / 4 a – (a – 2) / 8 ag.- (x – 1) / 3 – (x – 2) / 4 –(x + 3) / 6h.- (y – 2x) / 20x – (x – 3y) / 24yi.- x + 5 – 3 / (x – 2)j.- a + ab / (a + b)k.- (1 – a2) / 2 + a – 3

Respuestas1. a.- 2mn3

b.- 3 / 8 a2xyc.- m3n / 3d.- 3x2y3z4 / 8e.- 1 / 5 ab2x6

f.- 3nx4 / 4m3

g.- 21n / 13 a2c2m2. a.- 2x4 / 7 ay2

b.- n2 / 8mxc.- 2x / 3d.- a2

e.- x2 – 1

3. a.- 3m2 a2x / 2y2

b.- x2 / 14m2yc.- 20 / 21d.- 2 / 21e.- 21 / 2

4. a.- (n2 + 3m + 2mn) / m2nb.- (45x – 15x2 + 61) / 30x2

289

U N I D A D II

Glos

c.- (10 a2 – 15 a + 3 ax + 2x) / 10 axd.- (17x2 + 2x + 20) / 10x2

e.- (3 a2b2 + 6 ab2 – 20) / 15 a2b3

f.- (3 a + 8) / 8 ag.- – (x + 4) / 12h.- (6y2 – 12xy – 5x2 + 15xy) / 120xyi.- (x2 + 3x –13) / (x – 2)j.- (a2 + 2 ab) / (a + b)k.- – (a2 – 2 a + 5) / 2

RESUMENEn esta sección se presentan los principales procedimientos para abordar la operación

entre fracciones con términos algebraicos. La materia constituye un tópico normal de laenseñanza secundaria. Se expone aquí sólo porque su correcta utilización y comprensión dela operatoria involucrada es esencial para secciones posteriores.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. am : an = am/n

2. a / b · c / d = (a + c) / (b + d)

3. a / b + c / d = (a + c) / (b + d)

4. a / b : c / d = a : c / b : d

Respuestas1. Falso2. Falso3. Falso4. Falso

Glosario

Fracciones: expresiones algebraicas que representan el producto de un término por elinverso aditivo de otro.

Potencias: número de veces que un término se multiplica por sí mismo.Denominador: parte inferior de una fracción.Amplificación: proceso por el que una fracción modifica su denominador.

290

CONJUNTOS NUMERICOS

Símbolos+ : Suma– : Diferencia/ : División· : Producto> : Mayor que< : Menor queam : Potencia m de a= : Igual que

291

U N I D A D II

Intro

El ConII.4. El Conjunto de los Números Reales

En este capítulo se analizan con detención las principales propiedades del conjuntode los números reales. Este conjunto numérico es uno de los que posee más riqueza encuanto a la diversidad e importancia de alcance en relación a las propiedades que posee.Los números naturales son utilizados para representar una gran variedad de situaciones de lavida cotidiana. Sin embargo, su característica de ser un conjunto infinito innumerable, haceque no podamos imaginarnos su vastedad. Al finalizar el capítulo, el lector deberá estar encondiciones de:

· Conocer la axiomática de los números reales.· Realizar demostraciones de algunas propiedades sencillas de los números reales.· Aplicar el álgebra de los números reales para resolver ecuaciones.· Factorizar y multiplicar expresiones algebraicas, utilizando los productos y

factorizaciones notables.Algunas secciones de este capítulo, especialmente las que tienen que ver con el pro-

ducto y factorización de términos, seguramente ya son un tema conocido para algunos lec-tores. Si no existen grandes dificultades con la comprensión de estos tópicos, es posiblesaltarlos y dedicar tiempo a las secciones siguientes. Por el contrario, si ellos son desconoci-dos para el lector, se ha incluido una gran cantidad de ejercicios que permiten soltar lamecánica casi repetitiva que se requiere para trabajar con soltura problemas relacionadoscon términos algebraicos.

II.4.1. Introducción a los Números Reales

El conjunto de los números reales posee un conjunto de propiedades que en conjuntopermiten básicamente resolver ecuaciones. En las secciones que siguen estudiaremos mu-chas de las que ya son conocidas. Más que pretender desarrollar habilidades para resolverecuaciones, lo que buscamos es comprender cómo se aplican estas propiedades y cuál es elsignificado profundo de su existencia.

El conjunto de los números reales es no vacío. En realidad tiene tantos elementos quees infinito innumerable. La cantidad total de números reales ni siquiera se puede enumerar.

A este conjunto se le asocian dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación,que permiten definir las operaciones de resta y división. Dichas operaciones tienen propie-dades suficientes como para resolver ecuaciones lineales que involucran números reales.

Aparte de definir operaciones simples sobre el conjunto de los números reales, esposible trabajar una clase de operaciones más complejas llamadas funciones de númerosreales, donde destacan la función exponencial o potencia, la raíz y la función logarítmica.

292

CONJUNTOS NUMERICOS

En estas secciones introduciremos estos conceptos, que serán estudiados en la última unidadcon pleno detalle.

Un aspecto bastante interesante de los números naturales, es que es posible reemplazarlos números por una abstracción llamada términos algebraicos. Estos términos tienen propie-dades que se heredan y van más allá del significado particular de cada término. Así nacenpropiedades algebraicas diversas. La primera de ellas se relaciona con la factorización y pro-ducto de términos, o sea, los productos y factorizaciones notables. Incluimos secciones dondese repasa la operatoria involucrada, pues la importancia de la mecánica utilizada es bastante.Estas propiedades permitirán establecer procedimientos de cálculos relacionados con mate-rias posteriores, como la Matemática Financiera, cuya importancia y aplicabilidad es tal, queactualmente ningún profesional puede carecer de ellas.

Para el lector ya son conocidas las propiedades básicas de los números, todas las queinvolucran manejar operaciones como suma, multiplicación, resta y división, resolución deecuaciones y factorización. Sin embargo, las próximas secciones son más que un repaso. Apesar de lo conocido de la materia, la exploración que se emprenderá es probable que parezcauna novedad; no se trata de presentar una revisión prolija de materias tradicionales, sino desintetizar este viejo saber en un reducido número de propiedades sencillas e inmediatas de losnúmeros. Algunas pueden parecer incluso demasiado simples para ser mencionadas, peroresultará que un sorprendente número de diversos hechos importantes se obtendrá como con-secuencia de las que vamos a destacar.

Las nueve primeras operaciones que estudiaremos se refieren a las acciones funda-mentales de suma y multiplicación. De momento se considerará sólo la suma. Se efectúacon un par de números (la suma a + b existe cualesquiera sean los números a y b, los queincluso pueden coincidir). Podría parecer razonable considerar la suma como una opera-ción que pudiera ser realizada con varios números a la vez y tomar la suma a1 + a2 + ... + an

de n números como concepto fundamental. Resulta, sin embargo, más conveniente conside-rar sólo sumas de pares de números y en términos de éstas definir las demás sumas (para tres,cuatro o más términos). Para la suma de tres números a, b, c, esto puede hacerse de dosmaneras diferentes. Se pueden sumar primero b y c, obteniendo b + c y después añadir a aeste número para obtener a + (b + c); o bien, se pueden sumar primero a y b y después sumarc para obtener (a + b) + c. Las dos sumas compuestas son iguales y este hecho constituye laprimera de las propiedades a destacar: Si a, b, y c son números cualesquiera, entonces a + (b+ c) = (a + b) + c.

El enunciado de esta propiedad hace innecesaria una definición por separado de sumade tres números; convenimos sencillamente que a + b + c representa el número a + (b + c) =(a + b) + c. La suma de cuatro números requiere consideraciones parecidas aunque con másespecificaciones. El símbolo a + b + c +d se define como:

((a + b) + c) + dó (a +(b + c)) + dó a + ((b + c) + d)ó a + (b + (c + d))ó (a + b) + (c + d)

Esta definición es única, pues los números son iguales. Afortunadamente no hace faltadestacar este hecho con un enunciado aparte puesto que es consecuencia de la propiedadanteriormente mencionada. Se observa que ésta implica que el uso de los paréntesis resultainnecesario.

293

U N I D A D II

El número cero (0), tiene una propiedad tan importante que la enunciaremos a conti-nuación: Si a es un número cualquiera, entonces a + 0 = 0 + a = a.

Además, se tiene la importante propiedad: Para todo número a existe un número –a talque

a + (–a) = (–a) + a = 0.La segunda propiedad representa un carácter distintivo del número 0 y resulta alenta-

dor ver que ya estamos en condiciones de demostrar que esto es así. En efecto, si un númerox satisface

a + x = apara cierto número a, entonces es x = 0 (y en consecuencia esta ecuación se satisface tam-bién para cualquier a). Para demostrar el aserto basta restar a de ambos miembros de laecuación o, lo que es lo mismo, sumar a ambos miembros –a; como se ve en la demostra-ción detallada que sigue, para justificar esta operación se requieren las tres propiedadesenunciadas:

Si a + x = a,entonces (–a) + (a + x) = (–a) + a = 0;de donde ((–a) + a) + x = 0;de donde 0 + x = 0;de donde x = 0.

Conviene considerar la resta como una operación derivada de la suma: tomemos a – bcomo una abreviación de a + (–b). Es posible encontrar la solución de ciertas ecuacionessencillas mediante una serie de pasos parecidos a los que acabamos de presentar para laecuación a + x = a.

Si x + 3 = 5,entonces (x + 3) + (–3) = 5 + (–3);de donde x + (3 + (–3)) = 5 – 3 = 2;de donde x + 0 = 2;de donde x = 2.

Naturalmente, estos procesos tan minuciosos son de interés solamente hasta que sellega al convencimiento de que siempre se pueden aplicar. En la práctica es, por lo general,perder el tiempo resolver una ecuación indicando tan explícitamente la aplicación de laspropiedades. En la sección siguiente las estudiaremos junto con las de la multiplicación,resta y división, para conformar lo que se conoce como la teoría axiomática de los númerosreales.

RESUMENEn esta sección se presentan las bases para comenzar a estudiar las propiedades del

conjunto de los números naturales. La orientación del capítulo se centrará en las propie-dades de operatoria y axiomática que permitan justificar la resolución de ecuaciones yoperaciones numéricas con términos algebraicos que sean de interés. A modo de ejemplo,se presentan algunas propiedades y cómo se utilizan para resolver algunas situacionessencillas.

294

CONJUNTOS NUMERICOS

ConsII.4.2. Construcción Axiomática de los Números Reales

El conjunto de los números reales lo precisaremos mediante una colección de axio-mas; aceptaremos la existencia de un conjunto �, cuyos elementos serán llamados núme-ros reales. Los axiomas exigidos permitirán demostrar todas las propiedades de �. De estaforma, a continuación aceptaremos la validez de las siguientes proposiciones (axiomas):

Axioma de Existencia:

E) Existe un conjunto denotado por �, los elementos de � los llamaremos númerosreales.Axiomas de Igualdad:

Sobre � está definida una relación de igualdad que verifica:

I.1.- (� a ∈ �)(a = a), es decir la igualdad es reflexiva.

I.2.- (� a, b ∈ �)(a = b ⇒ b = a), es decir, la relación de igualdad entre números reales essimétrica.

I.3.- (� a, b, c ∈ �)((a = b ∧ b = c) ⇒ a = c), es decir, la igualdad es transitiva.

Axiomas de Adición:

Sobre � está definida una operación binaria interna:

+ : � x � → �

(x, y): → x + y

esta operación, +, se llama adición de números reales, x + y se llama suma de x e y, x e y sonlos términos de la suma o sumandos.

A.1.- (� a, b, ∈ �)(a + b ∈ �), es decir, la adición cumple con la propiedad de clausura.

A.2.- (�a, b, c ∈ �)(a + (b + c) = (a + b) + c), es decir, la adición es asociativa.

A.3.- (� a, b ∈ �)(a + b = b + a), es decir, la adición es conmutativa.

A.4.- (∃ 0 ∈ �)(�a ∈ �)(a + 0 = 0 + a = a), es decir, existe un elemento neutro para laadición. Este elemento neutro, 0, se llama cero.

A.5.- (� a ∈ �)(∃ –a ∈ �)(a + (–a) = (–a) + a = 0), es decir, para cada número real, existeotro número real que es su inverso aditivo, –a se llama opuesto de a.

Axiomas de multiplicación:

Sobre �� está definida una operación binaria interna:

· : � x � → �

(x, y) → x · y

esta operación, (·), se llama multiplicación de números reales, x · y se llama producto de xe y, x e y son los factores del producto.

295

U N I D A D II

M.1.- (� a, b ∈ �)( a · b ∈ �), es decir, la multiplicación tiene la propiedad de clausura.

M.2.- (� a, b, c ∈ �)(a · (b · c) = (a · b) · c), es decir, la multiplicación es asociativa.

M.3.- (� a, b, ∈ �)(a · b = b · a), es decir, la multiplicación es conmutativa.

M.4.- (∃ 1 ∈ �, 1 ≠ 0)(�a ∈ �)(a · 1 = a = 1·a), es decir, existe un neutro multiplicativo,este neutro, 1, se llama uno.

M.5.- (� a ∈ �, a ≠ 0)(∃ a–1 ∈ �)(a · a–1 = a–1 · a = 1), para cada número real distinto delneutro aditivo, 0, existe otro número real que es su inverso multiplicativo, a–1 se conocecomo recíproco de a.

Axioma de compatibilidad entre la adición y la multiplicación:

D.1.- (� a, b, c ∈ �)(a · (b + c) = a · b + a · c), es decir, que la multiplicación se distribuyesobre la adición.

D.2.- (� a, b, c ∈ �)((a + b) c = a · c + b · c), es decir, que la suma se distribuye sobre lamultiplicación.

Con los axiomas de existencia, igualdad, adición, multiplicación, compatibilidad odistributividad se tiene que el conjunto de los números reales forma un cuerpo conmutativo,es decir, que son válidas todas las reglas algebraicas que legitimizan la operatoria con igual-dades. En particular resulta que se pueden resolver ecuaciones.

Por el axioma de existencia (E), se sabe que existe el conjunto �, pero no se puedeafirmar si este conjunto es distinto de vacío (� ≠�), sin embargo, debido a que se tienen losaxiomas de existencia de neutro aditivo (A.4) y de existencia de neutro multiplicativo (M.4),se sabe efectivamente que � tiene al menos dos elementos: el cero (0) y el uno (1). Así � ≠ ∅.Sin embargo, con estos axiomas no se puede afirmar que � tenga más de dos elementos,pero sí podemos afirmar lo siguiente:

· Como 1 ∈ � (por A.4), entonces (por A.1) 1 + 1 ∈�; escribiremos 1 + 1 = 2 (dos).

· Como 2 ∈ �, entonces (por A.1) 2 + 1∈ �; escribiremos 2 + 1 = 3 (tres).

· Como 3 ∈ �, entonces (por A.1) 3 + 1∈ �; escribiremos 3 + 1 = 4 (cuatro).

· Como 4 ∈ �, entonces 4 +1 ∈ �; (por A.1); escribiremos 4 + 1 = 5 (cinco), .

Sucesivamente podemos continuar con el proceso de definición anterior. Aceptandolas reglas usuales de la notación decimal, tenemos que los números 1, 2, 3, ..., 10, 11, 12, ...,25, ... ,138, ..., 1025, ...1978, ... son algunos números reales, pero no necesariamente dife-rentes.

De los axiomas anteriores sí se puede afirmar que la adición y la multiplicación tienenun único elemento neutro; 0 y 1, respectivamente. Son los elementos neutros de + y ·,respectivamente (A.4 y M.4). Supongamos que e ∈ � es también elemento neutro de +, esdecir, a + e = e + a = a para cada a ∈ �. En particular se tiene:

0 = 0 + e, pues e es neutro0 + e = e, pues 0 es neutro

Luego (por I.3) se tiene que necesariamente e = 0Esto prueba la unicidad del elemento neutro para la adición. Un razonamiento seme-

jante (que se deja como ejercicio al lector) es utilizado para probar la unicidad del neutro dela multiplicación. Muchas propiedades que al lector parecerán bastante familiares se pue-

296

CONJUNTOS NUMERICOS

den demostrar en términos de los axiomas planteados. A modo de ejemplo, revisaremosalgunas de ellas.

Ejemplo II.4.2.1.

Pruebe que (� a, b ∈ �)((a + b = a) ⇒ (b = 0)). Esto reafirma que el neutro aditivo esúnico.

Supongamos que a , b ∈ � y que a + b = b.

Como a + b = b, se tiene:(a + b) + (–b) = b + (–b) (sumando –b a ambos lados de la igualdad)

⇒ a + (b + (–b)) = 0 (por A.2 y A.5)

⇒ a + 0 = 0 (por A.5)

⇒ a = 0 (por A.4)

Luego (a + b = b) ⇒ (a = 0)

Ejemplo II.4.2.2.

Cada elemento a ∈ � admite sólo un único inverso aditivo. Análogamente cada a ∈ �,a ≠ 0, admite un único inverso multiplicativo. En efecto, probaremos la primera afirmación(la segunda se deja como ejercicio al lector). Para ello consideremos que existe a’ ∈ � talque:

a + a’ = a´+ a = 0sabemos además (por axioma A.5, existencia de inverso aditivo) que existe –a tal que:

a + (–a) = (–a) + a = 0Por el axioma de transitividad para la identidad (I.3) se tiene que:

a + a’ = a + (–a)Sumando –a, a ambos miembros de la igualdad anterior resulta:

a + a’ = a + (–a) ⇒ (–a) +(a + a’) = (–a) + (a + (–a))

⇒ ((–a) + a) + a’ = ((–a) + a) + (–a), (por axioma de asociatividad, A.2)

⇒ 0 + a’ = 0 + (–a) (por axioma A.5, existencia inverso aditivo)

⇒ a’ = – a (Por axioma A.4, existencia de neutro aditivo)

De esta forma se concluye que el inverso aditivo es único.En este punto conviene que revisemos algunas notaciones y simplificaciones de éstas

que pueden ser de cierta utilidad:

· Si a, b ∈ �, entonces llamaremos diferencia entre a y b, al número real a + (–b). Parasimplificar la notación usaremos a – b y leeremos “a menos b”. Es decir

a – b = a + (–b)

· Si a, b ∈ � y b ≠ 0, entonces llamaremos cuociente entre a y b, al número real a · b–1,número que se denotará en la forma:

a

b (ó a / b )

leeremos “a partido por b”, o “a dividido por b”, es decir

297

U N I D A D II

a

b = a · b–1

1/0 (y en general a/0) no está definido, por lo tanto no es un número real.Con lo anterior, constatamos que las únicas operaciones especiales que se deben de-

finir y estudiar en el conjunto de los números reales, �, son sólo la adición y la multiplica-ción, pues la diferencia y la división no son más que cambios de notación de casos especia-les de operación de adición o multiplicación entre números reales. La diferencia entre dosnúmeros reales no es más que la adición entre un número real y el inverso aditivo de otro,mientras que la división entre dos números reales corresponde a la multiplicación de unnúmero real y el inverso multiplicativo de otro.

En los ejemplos vistos anteriormente, hemos utilizado implícitamente la siguienteoperación:

a = b ⇒ a + c = b + c

Esta relación muy importante (por la cantidad de veces en que nos valdremos de ella)parece lógica, sin embargo, como estamos construyendo axiomáticamente la teoría de nú-meros reales, debemos demostrar todo (incluso lo que parece trivial). Esta es la única formade convencernos de que no hay puntos débiles en la teoría que estamos desarrollando. Eneste punto conviene recordar –como el lector ya se habrá dado cuenta– que para demostrarestas relaciones que nos parecen tan naturales (seguramente ya las hemos utilizado en másde alguna oportunidad, pero ¿cuántas veces nos hemos detenido a pensar si son realmenteválidas?, ¿qué pasaría si no fuese así?) debemos utilizar razonamientos de lógica simbólica ydeductiva. A partir de proposiciones e implicaciones verdaderas y resultados ya conocidos,obtener la confirmación de la relación que queremos establecer (o confirmar).

Volvamos a analizar la implicación: a = b ⇒ a + c = b + c. Para demostrar estaafirmación nos basta con utilizar el axioma de reflexividad para la igualdad de númerosreales (I.1):

a + c = a +c ⇒ a + c = b +c (pues a = b, por hipótesis)

Recién ahora podemos dormir tranquilos y estar seguros de que las cosas son comoson, esto es que si a dos cantidades iguales le adicionamos la misma cantidad, la igualdad semantiene. Dejamos al lector verificar lo mismo para la multiplicación. Estudiemos ahora elcaso contrario, es decir las leyes de cancelación:

¿Será cierto que si a + c = b + c ⇒ a = b?

Para verificar esto, observemos que si la hipótesis es cierta y como existe – c (existen-cia inverso aditivo, axioma A.5), se tiene:

a + c = b + c ⇒ (a + c) + (– c) = (a + b) + (– c) (por la implicación recién mostrada)

⇒ a + (c + (– c)) = b + (c + (– c)) (asociatividad de la adición, axioma A.2)

⇒ a + 0 = b + 0 (axioma inverso aditivo, A.5)

⇒ a = b (axioma neutro aditivo, A.4)

Así, se concluye que la cancelación es válida para la adición. Como ejercicio para el lectorqueda la demostración de la misma propiedad en su versión de la multiplicación. Sigamosrevisando como ejemplos algunos resultados que también deben ser familiares para el lector,pero que ahora formalizamos y demostramos que efectivamente son ciertos.

298

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo II.4.2.3.Demuestre que: a · 0 = 0. Veamos cómo a partir de los axiomas propuestos es posible

explicar este obscuro resultado, que normalmente damos por cierto.Para comenzar, obser-vamos que por la reflexividad (I.1), se tiene que a · 0 = a · 0, de donde:

a · 0=a · 0 ⇒ a · 0 = a · 0 + 0 (existencia de neutro aditivo, A.4)

⇒ a · (0 + 0) = a · 0 + 0 (existencia neutro aditivo, A.4)

⇒ a · 0+a · 0= a · 0+0 (distributividad de la multiplicación sobre la suma, D.1)

⇒ a · 0 + a · 0 = 0 + a · 0 (conmutatividad de adición, A.3)

⇒ a · 0 = 0 (ley de cancelación probada anteriormente)

Así, hemos logrado deducir, a partir de proposiciones verdaderas, implicaciones ver-daderas y resultados ya conocidos, que a · 0 = 0 y nadie nos podrá negar, o siquiera poner enduda, que esta afirmación es realmente válida.

Ejemplo II.4.2.4.Pruebe que (–a) (–b) = a · b. Debemos probar que la multiplicación de dos números

reales es exactamente lo mismo que multiplicar sus respectivos inversos aditivos. Basta conobservar que (–a)(–b) – ab = (–a)(–b) + (–a)b = (–a)(–b + b) = –a · 0 = 0. Hemos demostradocon esto que el producto de dos números negativos es positivo.

Si a · b = a · c, no se sigue necesariamente que b = c; pues si a es cero (a = 0), entoncestanto a · b como a · c son cero cualesquiera que sean b y c. Sin embargo, s i a ≠ 0,entonces b = c, es to puede deducirse de lo s iguiente:

Si a · b = a · c y a ≠ 0,

entonces a–1 · (a · b) = a–1 · (a · b);de donde (a–1 · a) · b = (a–1 · a) · c;de donde 1 · b = 1 · c;de donde b = c

Una observación importante se encuentra con la afirmación de que si a · b = 0,entonces a = 0 ó b = 0. Una consecuencia de esta propiedad se usa constantemente en laresolución de ecuaciones. Supongamos, por ejemplo, que se sabe que un número x satis-face

(x – 1)(x – 2) = 0.Se sigue entonces que o bien x – 1 = 0 ó x – 2 = 0; de donde x = 1 ó x = 2

Un detalle importante se encuentra en la aplicación de la propiedad distributiva. En efecto,aunque hemos hecho ver cómo se resuelve la ecuación

(x – 1)(x – 2) = 0,es difícil que se nos presente una de ellas en esta forma. Es más probable que nos

encontremos con la ecuaciónx2 – 3x + 2 = 0

La factorización x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) es en realidad un triple uso de la propiedaddistributiva:

299

U N I D A D II

(x – 1)(x – 2) = x (x – 2) + (–1)(x – 2)= x · x + x · (– 2) + (– 1) · x + (– 1) · (– 2)= x2 +x((– 2) + (– 1)) + 2= x2 – 3x + 2.

Una ilustración final de la importancia de la propiedad distributiva es el hecho de quese aplica efectivamente cada vez que se multiplica con cifras arábigas. Por ejemplo, el cál-culo

13x 24 5226312

es una disposición concisa de las siguientes ecuaciones:13 ·24 = 13 · (2 · 10 + 4) = 13· 2 · 10 + 13 · 4 = 26 · 52.

Notar que el trasladar 26 hacia la izquierda en el cálculo anterior equivale a escribir26 · 10. La multiplicación 13 · 4 = 52 aplica también la propiedad distributiva:13 · 4 = (1 · 10 + 3) · 4

= 1 · 10 · 4 + 3 · 4= 4 · 10 + 12= 4 · 10 + 1 · 10 + 2= (4 + 1) · 10 + 2= 5 · 10 + 2= 52.

ACTIVIDADES II.4.2.5.1. Pruebe que (� a, b ∈ �)(a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0)

Solución:Debemos probar las siguientes implicaciones lógicas:

i.- (� a, b ∈ �)(a = 0 ∨ b = 0 ⇒ a · b = 0).

ii.- (� a, b ∈ �)(a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0).

Para probari.-, supongamos que a y b ∈ � y que a y b son tales que: a = 0 ∨ b = 0.

a = 0 ⇒ a · b = 0 + a · b

⇒ = (0 + 0) b (axioma A.4 y a = 0)

= 0 b + 0 b (axioma D.2)0 + a b = 0 b + 0 b = a b + a b (pues a = 0)De 0 + a/b = a b +a/b se tiene que a b = 0Luego si a = 0, entonces a b = 0Ahora si b = 0, entonces a · b = b · a = 0 a (axioma A.3 y b = 0)

300

CONJUNTOS NUMERICOS

por lo tanto ya probamos 0 · a = 0(Habíamos demostrado que un producto es cero cuando el primer factor es cero).

Luego si b = 0, entonces a · b = 0 (= 0 · a); así, a = 0 ∧ b = 0 ⇒ a · b = 0

ii.-Supongamos que a · b = 0; probemos que a = 0 ó b = 0

Supongamos que uno de estos factores no es cero; digamos que a ≠ 0. Luego poraxioma M.5, existe a–1 ∈ �y se tiene.

a–1 (a b) = a–1 .0 (al multiplicar por a–1 ambos miembros de la igualdad ab = 0)Por axioma A.2; axioma M.5; axioma A.4 y por parte i.- ya probada se tiene b = 0.

Esto prueba que a b = 0 ⇒ a = 0 ∧ b = 0

De las implicaciones i.- ii.- se sigue la equivalencia 1) del teorema

2. Pruebe que (� a ∈ �)( –(–a) = a)

Solución:

En efecto � a ∈ � se tiene que:

(–a) + a = a + (–a) = 0 (Ax. C.5)Luego el elemento inverso de –a es a, es decir, –(–a) = a, dada la unicidad del elemento –(–a)

3. (b–1)–1 = b cuando b ≠ 0

Solución:

4. Pruebe que (–a) · b = a · (–b) = – (a · b)Solución:

En efecto, para cada a, b ∈ � se tiene que:

ab + (–a) b = (a + (–a)) b(Axioma D.2)= 0 · b (Axioma M.5)

= 0 (por parte 1 ya demostrada)Por conmutatividad de la adición se tiene que:ab + (–a) b = (–a) b + ab = 0; luego (–a)b es el elemento inverso aditivo de ab, pues éste esúnico, es decir, (–a)b = –(ab) De manera análoga se demuestra que: a (–b) = –(ab)

5. Pruebe que: a · (b – c) = a · b – a· c ∧ (b – c) · a = b · a – c · a

Solución:Basta probar una de estas igualdades, debido a la conmutatividad de la multiplicación.

6. Pruebe que si a – b = b – a, entonces a = b.Solución:

Si a – b = b – a,entonces (a – b) + b = (b – a) + b = b + (b – a);de donde a = b + b – a;de donde a + a = (b + b – a) + a = b + b.

301

U N I D A D II

Así a · (1 + 1) = b · (1 + 1),Luego a = b.

3. Indique en dónde falla la siguiente demostración: Sea x = y, entonces:x2 = xy

x2 – y2 = xy – y2

(x + y)(x – y) = y(x – y)x + y = y

2y = y2 = 1

Solución:No se puede multiplicar por (x – y)–1, pues (x – y) = 0, o sea, no tiene inverso multiplicativo.

RESUMENEn esta sección se presentan los axiomas fundamentales del conjunto de los números

reales con la adición y multiplicación usuales. Estos axiomas permiten demostrar un conjun-to de propiedades que sirven en última instancia para resolver ecuaciones. Muchas de laspropiedades presentadas ya deberían ser conocidas por el lector. Lo que se pretende esjustificar la existencia de éstas y lograr tomar conciencia de su importancia.AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. El cero tiene como inverso aditivo al mismo cero.2. El cero tiene como inverso multiplicativo al uno.3. Todo número real tiene inverso aditivo.4. No todo número real tiene inverso multiplicativo.5. El inverso multiplicativo de 4 es 0.25.6. El inverso aditivo de 3 es 1 / 3.7. (x – 4)(x + 7) = 0 tiene como solución a x = – 4 y x = 7.

Respuestas1. Verdadero2. Falso.3. Verdadero4. Verdadero.5. Verdadero.6. Falso.7. Falso.

302

CONJUNTOS NUMERICOS

GlosGlosario

Conjunto: colección de elementos bien determinados y diferenciados entre sí que confor-man una totalidad.

Números Reales: conjunto de números que engloban a todos los números conocidos,tanto los naturales, enteros, racionales e irracionales.

Axiomas: conjunto de afirmaciones que se asumen como verdaderas.Elementos: objetos que pertenecen a un conjunto.Proposiciones: afirmaciones cuya verdad o falsedad puede determinarse sin ambigüedad.Axioma de Existencia: axioma que establece la existencia de los números reales.Axioma de Igualdad: axioma que establece las propiedades de la igualdad.Reflexividad: propiedad que establece que todo objeto es igual a sí mismo.Simetría: propiedad que establece que si a = b, entonces b = a.Transitividad: propiedad que establece que si a = b y b = c, entonces necesariamente

a = c.Operación Binaria: operación entre dos objetos.Operación Interna: operación que da como resultado un elemento del mismo tipo.Axiomas de Adición: axiomas de los números reales que establecen las propiedades

operativas de la adición.Adición: operación binaria entre dos números reales.Suma: adición.Sumandos: números reales que participan en una operación de adición.Clausura: propiedad que establece que el resultado de una operación es un elemento del

mismo tipo que sus argumentos.Asociatividad: propiedad que establece la posibilidad de no ocupar los paréntesis.Conmutatividad: propiedad que establece la no necesidad de llevar un orden en las ope-

raciones.Neutro Aditivo: elemento del conjunto de los números reales que tiene la propiedad

de que al ser sumado a cualquier número real, el resultado no varía. Correspondeal cero.

Inverso Aditivo: tiene la propiedad de que al ser sumado al número real, el resultado escero. Corresponde a multiplicar por menos uno el número real. Todo número real tieneinverso aditivo. El inverso aditivo del cero es el mismo cero.

Axiomas de Multiplicación: axiomas relativos a la operación binaria interna de la multi-plicación.

Multiplicación: operación binaria interna de los números reales.Producto: multiplicación.Factores: términos de los números reales que participan como argumentos de una multi-

plicación.

303

U N I D A D II

Neutro Multiplicativo: el uno.Inverso Multiplicativo: el inverso multiplicativo de un número real tiene la propiedad

de que al multiplicarlo con el número real considerado, el resultado es el uno. Co-rresponde a dividir 1 por el número real. El cero es el único número real que no tieneinverso multiplicativo.

Recíproco: inverso multiplicativo de un número real.Axioma de Compatibilidad: distributividad entre la suma y el producto.Distributividad: propiedad que permite eliminar paréntesis en una expresión.Cuerpo Conmutativo: todo conjunto que cumple con las propiedades que permiten resol-

ver ecuaciones lineales.Reglas Algebraicas: conjunto de reglas que permiten operar y simplificar expresiones con

ciertas operaciones definidas.Ecuación: toda expresión que contiene alguna incógnita.Conjunto Vacío: conjunto sin elementos.Diferencia: operación binaria entre dos números reales que consiste en sumar un número

con el inverso aditivo del otro.Cuociente: división.División: operación binaria entre números reales que consiste en multiplicar un número

con el inverso multiplicativo del otro.

Símbolos

� : Conjunto de los Números Reales.

∈ : Pertenencia.

� : Para todo.

∃ : Existe.

⇒ : Implica.

+ : Suma.x : Incógnita.

→ : Implicación.

· : Producto.

∧ : y.

= : Igualdad.

≠ : Distinto.

∅ : Conjunto vacío.

/ : División.– : Diferencia.

304

CONJUNTOS NUMERICOS

PotenII.4.3. Potencias, Raíces y Logaritmos

Dado un número real a, y un número natural n, se define la potencia n – ésima de a,como el producto de a por sí mismo n veces. Esto es an = a · a · a .... · a (n veces). Se conoceal número real a como la base y al número natural n como el exponente.

Ejemplo II.4.3.1.Determine las potencias presentadas a continuación.

· 23= 2 · 2 · 2 = 8 base 2, exponente 3· 32= 3 · 3 = 9 base 3, exponente 2· 43 = 4 · 4 · 4 = 64 base 4, exponente 3· 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 base 5, exponente 4· (– 5)3 = (–5) · (– 5) · (–5) = – 125 base –5, exponente 3· (–4)2 = (–4) · (–4) = 16 base –4, exponente 2

Las propiedades básicas de las potencias se resumen a continuación. Básicamente, susdemostraciones derivan de las propiedades ya demostradas de la multiplicación.

Propiedades de las Potencias· (a · b)n = an · bn (la potencia de un producto es el producto de las potencias).· an · am = an + m (el producto de potencias con igual base, corresponde a conservar la base

y sumar los exponentes.· (–a)n = (–1)n · an

· 1n = 1· 0n = 0

Se debe observar que se define a0 = 1, esto es la potencia 0 de cualquier base essiempre uno, el neutro multiplicativo de los números reales.

La definición de potencia de números reales puede generalizarse a exponentes ente-ros, es decir, considerar exponentes negativos, con la siguiente definición:

a–n = 1/ an

Básicamente, esto consiste en determinar el inverso multiplicativo de una potencia.Lógicamente ello es posible, siempre y cuando a ≠ 0.

Ejemplo II.4.3.2.Determine el resultado de las siguientes expresiones:

· (3 · 5)3 = 33 · 53 = 27 · 125 = 3375· (5/3)2 = 52 / 32 = 25 / 9· 53 · 2–2 · 32 = 125 · 9 / 4 = 1125· 53 · 2–2 · 22 = 53 = 125

305

U N I D A D II

Teorema

· Sea a ∈ �, a positivo. Para cada número natural n, existe un único número real b, bpositivo tal que bn = a.

· Sea a ∈ � y a < 0. Para cada número natural impar n, existe un único número real b, b< 0, tal que bn = a.La demostración de este teorema se puede efectuar por inducción, pero escapa a los

contenidos y objetivos planteados para este curso.La potencia de números reales puede generalizarse aún más, considerando exponen-

tes racionales. Esto, gracias a que la raíz n–ésima de un número real a, se puede definir de lasiguiente manera:

a1/n = bUna notación universalmente utilizada para la raíz, proviene de una deformación de

la letra r, esto es el conocido símbolo:

√a = b

Cuando n es 2, se habla de una raíz cuadrada y el símbolo se simplifica a la expresiónsiguiente:

√a = b

Cuando n es 3, se habla de una raíz cúbica, lo que se expresa simbólicamente por:

√a = b

A continuación, repasaremos algunas de las propiedades más importantes de las raí-ces. Resulta interesante observar que: al multiplicar expresiones con igual base, esto signifi-ca sumar las potencias; dividir expresiones algebraicas con igual base, implica restar laspotencias; elevar una expresión, significa multiplicar las potencias; mientras que sacar laraíz de una expresión, implica dividir las potencias.

Propiedades de las Raíces· (a · b)1/n = a1/n · b1/n (la raíz de un producto es el producto de las raíces).· (an)1/m = (a1/m)n (la raíz de potencias, corresponde a la potencia de la raíz).· (an)1/n = (a1/n)n = a, si a > 0.· 11/n = 1· 01/n = 0

En el siguiente ejemplo aplicaremos estas propiedades para encontrar las raíces dealgunas expresiones sencillas. Es conveniente aclarar, en función del teorema presentado,que las raíces pares de números negativos no existen en los números reales (por ejemplo,la raíz cuadrada de –16, no corresponde a ningún número real, o en otras palabras, noexiste ningún número real que multiplicado por sí mismo dé como resultado –16). Encambio, raíces impares de números negativos no tienen ningún inconveniente en su exis-tencia.

306

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo II.4.3.3.Encuentre las siguientes raíces:

· (4 a2b4)1/2 = 2 ab2

· (25 x6y8)1/2 = 5x2y4

· (27 a3b9)1/3 = 3 ab3

· (– 8 a3b6x12)1/3 = – 2 ab2x4

· (64x8y10)1/2 = 8x4y5

· √1000x9 y18 = 10x3 y6

· a8 a2

81b4 c12 3bc3

· (– 16)1/4 No existe.

Una pregunta interesante surge con la raíz cuadrada de 2. ¿Qué número real multipli-cado por sí mismo da como resultado 2? La respuesta es que no corresponde a ningúnnúmero racional. De hecho, la raíz cuadrada de 2, de 3, de 5, 6, etc. (todos los números queno son cuadrados perfectos), corresponden a números irracionales. La demostración escapaal contenido de este curso, pero el lector interesado puede encontrarla en cualquier libroespecializado de análisis matemático.

La última de las operaciones que revisaremos corresponde al logaritmo sobre la baseb de un número a, es decir, encontrar la potencia n de b, que da como resultado a.

La notación usual para esto es:

log b (a) = n ⇔ bn = a

En el caso de que la base corresponda a la base 10, esto es b = 10, la notación sesimplifica de la siguiente manera:

log (a) = n ⇔ 10n = a

Por último, se utiliza con mucha frecuencia la base e, donde e corresponde al númeroirracional de Euler, que se encuentra dado por e = 2.718281284...; el logaritmo en base e,llamado comúnmente logaritmo natural, se representa por:

ln (a) = n ⇔ en = a

A continuación presentamos las propiedades más importantes de los logaritmos, lasque el lector seguramente ya habrá visto alguna vez:

Propiedades de los Logaritmos· logb(A · B) = logb(A) + logb(B)· logb(A / B) = logb(A) – logb(B)· logb(An) = n · logb(A)· logb(1 / A) = –logb(A)· logb(A

1/n) = logb(A) / n· logb(A) = logc(A) / logc(b)

√3

4

307

U N I D A D II

· log(A) = ln(A)/ ln(10)· ln(A) = log(A) / log(e)· logb(1) = 0· logb(b) = 1

Antes del advenimiento de las máquinas de calcular electrónicas, los logaritmos parti-ciparon activamente como método de cálculo eficiente, construyéndose y editándose com-pletas tablas de ellos para tal fin. En la actualidad, los logaritmos han visto reducido sucampo de aplicación, permaneciendo como una herramienta pertinente en problemas rela-cionados con el cálculo de intereses de la Matemática Financiera y aplicaciones relaciona-das.

Ejemplo II.4.3.4.Simplifique las siguientes expresiones:

logb((x2 – 1)2) – 2logb(x – 1) = 2logb(x

2 – 1)– 2logb(x – 1) = 2log ((x – 1)(x + 1)) – 2logb(x – 1) =2logb(x – 1) + 2logb(x + 1) – 2logb(x – 1) = 2logb(x + 1)

· log3(9 · 27) = log3(9) + log3(27) = log3(32) + log3(3

3) = 2log3(3) + 3log3(3) = 2 + 3 =5Problemas típicos de aplicación de potencias, raíces y logaritmos los encontramos en

problemas de Matemáticas Financieras.

Ejemplo II.4.3.5.Si un banco da un a por ciento de interés anual, entonces una inversión inicial de I

pesos produce I(1 + a/100) pesos en un año. Si el banco compone el interés (cuenta el interésproducido como parte del capital para el cálculo del interés del año siguiente), entonces lainversión inicial se convierte en I(a + a/100)n al cabo de n años. Supongamos ahora que elinterés se da dos veces al año. La cantidad final después de n años no es I(1 + a/100)2n, sinosólo I(1 + a/200)2n; aunque el interés se da doble número de veces, debe ser dividido por 2 encada cálculo, ya que el interés es a/2 por medio año.

ACTIVIDADES II.4.3.6.1. Encuentre las siguientes potencias:

a.- (anb3m)5

b.-a4 · a7

c.- (a · b2)2

Solución:a.- (anb3m)5 = a5nb15m

b.- a4 · a7 = a11

c.- (a · b2)2 = a2 · b4

2. Halle las siguientes raíces:

a.- √81x6 y8 z20

b.- √64x8 y10

c.- √ x5n y10x

308

CONJUNTOS NUMERICOS

d.- (81 a12 b24)1/4

e.- 128

x14

f.- a5 b10

32x15

Solución

a.- √81x6 y8 z20 = 9 x3 y4 z10

b.- √64x8 y10 = 8 x4 y5

c.- √x5n y10x = –xn y2x

d.- (81 a12 b24)1/4 = 3 a3 b6

e.- 128 2

x14 x2

f.- a5 b10 =

ab2

32x15

2x3

3. Simplifique las siguientes expresiones con logaritmos:

a.- log2 (82 · 43 · 2–5)b.- ln (5 /25)

Solución

a.- log2 (82 · 43 · 2–5) = 2log2 (8) + 3log2 (4) – 5log2 (2) = 2log2 (23) + 3log2 (22)

– 5 = 6log2 (2) + 6log2 (2) – 5 = 12 – 5 = 7

b.- ln (5 /25) = log5 – 2log (5) = – log (5)

4. Suponga que inicialmente cuenta con un capital de $200.000.- ¿Cuánto tendrá despuésde 5 años, si los deposita a una tasa de interés anual del 2%?

SoluciónTotal = 200000 · 1.025 = 200000 · 1.10408 = 220816

5. ¿Cuántos años necesita tener depositados $200.000.- inicialmente para que produzcan untotal de $224.973.-? Suponga que la tasa anual de interés es del 4%.

Solución:224973 = 200000 · 1.04n

(224973 / 200000) = 1.04n

log(1.124865) = n log(1.04)n = log(1.124865) / log(1.04)n = 3

√7

√5

√4

√5

309

U N I D A D II

Glos

6. ¿Cuál es la tasa de interés que permite que al cabo de 5 años, $200.000.- produzcan untotal de $220.000.-?

Solución:220000 = 200000(1+a/100)5

(1.1)1/5 = 1 + a/100100( (1.1)1/5 – 1) = aa = 1.92

RESUMENEn esta sección se presentan las potencias, raíces y logaritmos de números reales, sus

principales propiedades y algunos ejemplos de utilización. Las propiedades presentadasaquí serán utilizadas recurrentemente en lo que queda del presente curso, por lo tanto, seaconseja al lector repasar estos conceptos aún cuando ya los conozca.


1. log(A + B) = log(A) + log(B)2. (A + B)n = An + Bn

3. (log(A + B))n = n · log(A + B)4. log(A / B) = log(A) / log(B)5. log(A) / ln(B) = loge(A)

Respuestas1. Falso.2. Falso.3. Falso.4. Falso.5. Falso.

Glosario

Base: número real que es multiplicado por sí mismo una cierta cantidad de veces.Cuadrado Perfecto: números naturales cuya raíz cuadrada también es un número natural,

por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, etc.Exponente: número de veces que un cierto número se multiplica por sí mismo.Exponente Entero: cuando el exponente corresponde a un número entero.Inverso Multiplicativo: único número real asociado a un determinado número real tal que

al multiplicarlos el resultado es 1.Logaritmo: forma de encontrar el exponente que elevado a una cierta base produce un

número real determinado.

310

CONJUNTOS NUMERICOS

Algeb

Logaritmo Natural: cuando la base considera en el número de Euler.Neutro Multiplicativo: el uno.Número Impar: números naturales que no son múltiplos de dos.Número Irracional: números reales que no se pueden expresar como división de números

enteros.Número Natural: los números que utilizamos para contar.Número Negativo: número menor que cero.Número Racional: número real que puede expresarse como división de números enteros.Número Real: todos los números racionales en conjunto con los números irracionales.Potencia: exponente.Producto: operación binaria interna entre números reales.Raíz: forma de encontrar la base que elevada a un cierto exponente produce un cierto

número real.Raíz Cuadrada: cuando la potencia considerada es 2.Raíz Cúbica: cuando la potencia considerada es 3.Raíz Par: cuando la potencia considerada corresponde a un número múltiplo de dos.Raíz Impar: cuando la potencia considerada corresponde a un número que no es múltiplo

de dos.Teorema: proposición cuya verdad debe ser demostrada.

SímbolosAn : Potencia n–ésima de A.logb(A) : Logaritmo en base b de A.log(A) : Logaritmo en base 10 de A:ln(A) : Logaritmo en base e de A, logaritmo natural.e : Número de Euler, corresponde a 2.718281828459045235360287....+ : Suma.– : Resta.· : Producto./ : División.

II.4.4. Álgebra de Números Reales

Se han definido hasta el momento dos operaciones básicas sobre el conjunto de losnúmeros reales, la suma y el producto. A partir de ellas es posible definir otras operacionesmuy simples, como la diferencia y la división; y por último, unas más completas como lapotencia, raíz y el logaritmo. Junto con los axiomas presentados conforman el álgebra delos números reales. A continuación presentaremos específicamente en qué consiste ésta.

311

U N I D A D II

El punto de partida se encuentra en la forma en que debemos proceder cuando nosencontramos con que tenemos que sumar expresiones algebraicas; cuando se nos pide sumarexpresiones abstractas de números reales, generalmente representados por letras.

Las expresiones algebraicas más simples con que podemos encontrarnos son los lla-mados monomios, es decir expresiones solitarias como 5a, 6x, b, etc.

Cuando hallamos una expresión algebraica compuesta que consiste en la suma dedos monomios, debemos verificar si éstos son del mismo tipo o no. Si lo son, entoncesprocedemos a agrupar los términos. En caso contrario, la expresión permanece igual.

Ejemplo II.4.4.1Sume los monomios siguientes:

• a + 6b = a + 6b• 3 a – 7 a = – 4 a• 11yz – 4yz = 7yz• 2y2 + 3y2 = 5y2

• 34x – 20x = 14x• – y – 2y = – 3y• abx – abx = 0

En el ejemplo anterior, se debe resaltar la importancia de verificar lo que entendemospor elementos de un mismo tipo.

Por ejemplo, si lo que nos encontramos sumando son sillas y mesas (digamos quetenemos 4 sillas y 2 mesas), el resultado no es más que 4 sillas y dos mesas. Si representamoslas sillas por s y las mesas por m, lo que estamos sumando es 4s + 2m.

Si sumamos en cambio, 4 sillas con 7 sillas, esto es 4s + 7s, el resultado es ahora 11s.Es decir tenemos en total 11 sillas.

Supongamos ahora que nos encontramos sumando medidas de diferente tipo. Por ejem-plo, tenemos 4 metros lineales y 16 metros cuadrados de superficie. Esto es 4 m y 16m2, silos metros los representamos por m. Entonces, la suma será sencillamente 4 m + 16 m2. Nopodemos sumar objetos cuyas potencias sean distintas. Una potencia distinta hace que losobjetos sean distintos.

Ejemplo II.4.4.2.Sume los siguientes monomios:

• 3 a2b + 5ab2 = 3 a2b + 5b2

• 4 a3b2 + b2 a3 = 5 a3b2 (el orden de los productos no importa).• x2y3z2 – x2y3z4 = x2y3z2 – x2y3z4

• x2y3z2 + x2y3z2 = 2x2y3z2

• x2y3z2 – x2y3z2 = 0Si se van a sumar expresiones más complejas, hablamos de polinomios (expresiones

con varios términos). Entonces se sigue una regla muy parecida. Primero se agrupan todoslos términos del mismo tipo y posteriormente se suman. Los distintos no se pueden sumarentre sí.

312

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo II.4.4.3.Encuentre la suma de los siguientes polinomios:

• (3a + 2b – c) + (2a + 3b + c) = (3a+2a) + (2b+3b) + (–c + c) = 5a + 5b + 0 = 5a + 5b• ( – am + 6mn – 4s) + (6s – am – 5mn) + (–2s – 5mn + 3am) = (– am – am + 3am) + (6mn

– 5mn – 5mn) + (–4s + 6s – 2s) = am + 6mn + 0 = am + 6mn• (a – b) + (b – c) + (c + d) + (a – c) + (c – d) + (d – a) + (a – d) = (a + a – a + a) + (– b + b)

+ (– c + c –c + c) + (d – d + d –d) = 2 a + 0 + 0 + 0 = 2 a• (x3 + xy2 + y3) + (– 5x2y + x3 – y3) + (2x3 – 4xy2 – 5y3) = (x3 + x3 + 2x3) – 5x2y + (xy2 – 4xy2)

+ (y3 – y3 – 5y3) = 4x3 – 5x2y – 3xy2 – 5y3

Una vez dominado el concepto de sumar términos algebraicos, agrupando términossemejantes, es aconsejable un adiestramiento en el uso de los signos de agrupación. Estossignos, paréntesis (), llaves {}, corchetes [], son utilizados para clarificar las expresiones yagrupar términos que tienen relación con algún objeto específico.

Para simplificar o reducir las expresiones que tienen este tipo de signos de agrupación,la regla básica es eliminarlos siempre desde lo más interior de la expresión, tal como seilustra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo II.4.4.4.Simplifique la expresión:

3 a + {–5x – [ –a + (8x – a)]} = 3 a + {–5x – [–a + 8x – a]} = 3 a + {–5x – [8x – 2 a]} = 3 a+ {–5x – 8x + 2 a} = 3 a + {–13x + 2 a} = 3 a – 13x + 2 a = 5 a – 13xCuando aparece un signo negativo frente a un signo de agrupación, todos los términos

dentro del signo son afectados por éste.

Ejemplo II.4.4.5.a + (b – c) + 2 a – (a + b) = a + b – c + 2 a – a – b = (a + 2 a – a) + (b – b) – c = 2 a – c

Los signos de agrupación pueden utilizarse además para expresar multiplicaciones demonomios por polinomios, o polinomios por polinomios. Para efectuar dichas operacionesse realiza en proceso de distribución, multiplicando término a término.

Ejemplo II.4.4.6.Multiplique el siguiente monomio por el polinomio mostrado:

10xy (5xy 2 – 15xy 3 + 5y ) = 10xy · 5xy 2 – 10xy · 15xy 3 + 10xy · 5y =50x2y3 – 150x2y4 + 50xy2

Ejemplo II.4.4.7.Multiplique los siguientes polinomios:(x3 + xy + y3)(x – y) = x3 · x + xy · x + y3 · x – x3 · y – xy · y – y3 · y = x4 + x2y +xy3 – x3y – xy2

– y4

ACTIVIDADES II.4.4.8.1. Sume las siguientes expresiones algebraicas:

a.- (–7x – 4y + 6z) + (10x – 20y – 8z) + (–5x + 24y + 2z)b.- (3x2 – 4xy + y2) + (–5xy + 6x2 – 3y2) + (–6y2 – 8xy – 9x2)c.- 5xy – 5xy + 10xy – 10xy

313

U N I D A D II

Solución:a.- (–7x – 4y + 6z) + (10x – 20y – 8z) + (–5x + 24y + 2z) = – 2xb.- (3x2 – 4xy + y2) + (–5xy + 6x2 – 3y2) + (–6y2 – 8xy – 9x2) = –17xy – 8y2

c.- 5xy – 5xy + 10xy – 10xy = 0

2. Reduzca las siguientes expresiones:a.- a + (a – b) + (– a + b)b.- a2 + (–b2 + 2 a2) – (a2 – b2)c.- –(x + y) – {4x + 2y + [–x –y –(x + y)]}

Solución:a.- a + (a – b) + (– a + b) = ab.- a2 + (– b2 + 2 a2) – (a2 – b2) = 2 a2

c.- –(x + y) – {4x + 2y + [– x –y –(x + y)]} = – 3x – y

3. Multiplique los siguientes polinomios:a.- – 2x(3xy – 5xy)b.- (x – y)(x2 + xy + y2)c.- (x2 – 1)(x + y + 3)

Solución:a.- –2x(3xy – 5xy) =– 6x2y + 10x2y = 4x2yb.- (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3

c.- (x2 – 1)(x + y + 3) = x3 – x + x2y – y + 3x2 – 3

RESUMENEn la presente sección se revisan las principales operaciones con expresiones

algebraicas: suma, agrupación de términos semejantes, uso de signo de agrupación y multi-plicación de polinomios.


1. (x – y) · (x + y) = 2x – 2y2. 0 · (x + y) = x + y3. 1 · (x + y) = x + y4. x2 + y3 = x2y3

5. x2 + x2 = x4

Respuestas1. Falso2. Falso3. Verdadero4. Falso5. Falso

314

CONJUNTOS NUMERICOS

Prod

GlosGlosario

Números Reales: números enteros, negativos, fraccionarios e irracionales.Expresiones Algebraicas: símbolos, normalmente letras, que representan números.Monomios: expresiones algebraicas simples, no aparece ningún signo de agrupación, suma

o resta.Polinomios: expresiones algebraicas compuestas por la suma de varios monomios.Signos de Agrupación: paréntesis, llaves o corchetes que señalan la unión de términos

algebraicos.

Símbolos+ : Suma– : Resta· : Multiplicación

II.4.5. Productos Notables y Factorización

Recordemos dos de los conceptos fundamentales del álgebra clásica. Se llamaproducto al resultado de la multiplicación de dos cantidades. Se llama factor a cada unade las cantidades que multiplicadas producen algún producto. Por ejemplo, en la multi-plicación:

3 · 7 = 21

21 es el producto de 3 y 7. En cambio 3 y 7 son los factores que producen 21.El objeto de los productos notables y la factorización es automatizar procesos que se

acostumbran realizar frecuentemente. Conocer las fórmulas de productos notables y defactorización es un ejercicio fundamental para desenvolverse con propiedad en cualquiercurso de Matemáticas a nivel universitario.

El primer producto notable que se destaca es la multiplicación de suma por diferencia;expresiones de la forma:

(a + b) (a – b)Es un ejercicio trivial verificar que (a + b)(a – b) = a2 +ab – ab – b2 = a2 – b2. De esta

manera, cada vez que vemos la expresión (a + b)(a – b), podemos escribir a2 – b2 como unaexpresión equivalente. Este reemplazo se puede realizar de forma mecánica sin verificar lamultiplicación. Como las expresiones algebraicas son mudas (no importa la letra a que serefieren pues son sólo símbolos), para cualquier expresión que conste de la suma de dosmonomios multiplicado por la diferencia de los mismos monomios, es válida la misma

315

U N I D A D II

regla. El resultado es el primer monomio al cuadrado menos el segundo monomio al cuadra-do.

Ejemplo II.4.5.1.Multiplique los siguientes polinomios:

• (x + y)(x – y) = x2 – y2

• (x2y + yz)(x2y – yz) = x4y2 – y2z2

• (a – b)(a + b) = a2 – b2

• (3 – x)(3 + x) = 9 – x2

Recíprocamente, si vemos una expresión que corresponde a la diferencia de dos cua-drados de términos algebraicos, podemos factorizar la expresión escribiendo la suma por ladiferencia de los términos.

Ejemplo II.4.5.2.Factorice los siguientes polinomios:

• 9 – x2 = (3 + x)(3 – x)• x2 – y2 = (x + y)(x – y)• x4y2 – x2y4 = (x2y + xy2)(x2y – xy2)

El segundo producto notable de importancia es el llamado cuadrado de binomio, co-nocido así pues se trata de multiplicar un binomio por sí mismo. En este caso, se tiene:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Así, el resultado de un cuadrado de binomio, siempre es el cuadrado del primer térmi-no, sumado al doble producto del primer término con el segundo, y sumando con el cuadra-do del segundo término.

Ejemplo II.4.5.3.Multiplique los siguientes polinomios:

• (3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y2

• (x – 4y)2= x2 – 8y + 16y2

• (x2y + 5z)2 = x4y2 + 10x2yz + 25z2

Ejemplo II.4.5.4.Factorice los siguientes polinomios:

• x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2

• x2y2 + 2xy + 1 = (xy + 1)2

• 25x2 + 30xy + 9y2 = (5x + 3y2)2

Existen una infinidad de reglas del mismo estilo. A continuación se presentanalgunas de ellas. El lector, sí no las maneja con propiedad, deberá ejercitar suficiente-mente su uso hasta lograr adquirir una destreza que le permita aplicarlas sin inconve-nientes.

1.- a (c + d) = ac + ad 2.- (a + b) (a – b) = a2 – b2

3.- (a + b) (a+ b) = a2 + 2ab + b2

316

CONJUNTOS NUMERICOS

4.- (a – b) (a – b) = a2 – 2ab + b2

5.- (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6.- (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd 7.- (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd 8.- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

9.- (a + b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3

10.- (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

11.- (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

12.- (a + b + c)2 =a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc13.- (a – b)(an–1 + an–2 b + an–3 b2 + ...+ a bn–2 + bn–1 ) = an – bn

14.- (a + b)(an–1 – an–2 b + an–3 b2 – ...- a bn–2 + bn–1 ) = an + bn

ACTIVIDADES II.4.5.5.1. Multiplique los siguientes binomios:

a.- (y + 6)(y + 4)

b.- (b + 10)(b + 8)

c.- (s – 11)(s – 9)

d.- (n – 7)(n – 3)

e.- (y + 3)(2y + 2)

f.- (9 – 7 a)(4 –5 a)

g.- (12b + 5)(2b – 3)

h.- (9 a + 2)(a – 6)

i.- (4 – 2x)(1 + 2x)

j.- (a + k)(a – 2k)

k.- (2x + c)(4x + c)

l.- (5y – 4)(5y + 4)

m.- (0.3 a + 2)(0.2 a – 5)

n.- (m2 – 2n2)(2m2 – n2)

o.- (i – 3)(i – 4)

p.- (2i + 1)(i + 2)

q.- (1/4 n + ½)(1/2 n + ¼)

r.- (an + b)(an – b)

s.- (2ex + 1)(ex + 5)

t.- (a2x – 2)(a2x – 2)

u.- (ex + 1)(e–x + 1)

v.- (yn – ym)(a – b)

w.- (0.05 + x)(y + 0.02)

x.- (5y – 4)2

y.- (ab + 2c)2

z.- (ab – c)2

317

U N I D A D II

II.4.5.

Solución:

a.- (y + 6)(y + 4) = y2 + (6 + 4)y + 6 · 4 = y2 + 10y + 24

b.- (b + 10)(b + 8) = b2 + (10 + 8) + 10 · 8= b2 + 18b + 80

c.- (s – 11)(s – 9) = s2 – (11 + 9)s + 11 · 9 = s2 – 20s + 99

d.- (n – 7)(n – 3) = n2 – (7 + 3)n + 21 = n2 – 10n + 21

e.- (y + 3)(2y + 2) = 2y · y + (3 · 2 + 2)y + 3 · 2 = 2y2 + 8y + 6

f.- (9 – 7 a)(4 –5 a) = 9 · 4 – (7 · 4 + 5 · 9)a + 7 · 5 a2 = 36 – 73 a + 35 a2

g.- (12b + 5)(2b – 3) = 12 · 2b2 + (5 · 2 – 3 · 12)b – 15 = 24b2 – 26b – 15

h.- (9 a + 2)(a – 6) = 9 a2 + (2 – 6 · 9)a – 12 = 9 a2 – 52 a – 12

i.- (4 – 2x)(1 + 2x) = 4 + (8 – 2)x – 4x2 = 4 + 6x – 4x2

j.- (a + k)(a – 2k) = a2 +(k – 2k)a –2k2 = a2 –ka – 2k2

k.- (2x + c)(4x + c) = 8x2 + (4 + 2)cx + c2 = 8x2 + 6cx + c2

l.- (5y – 4)(5y + 4) = 25y2 – 16

m.- (0.3a + 2)(0.2a – 5) = 0.2 · 0.2a2 + (2 · 0.2 – 5 · 0.3)a – 2 · 5 = 0.06a2 – 1.1a – 10

n.- (m2 – 2n2)(2m2–n2) =2m2 · m2 –(1+ 2 · 2)m2n2+2n2 · n2 = 2m4 – 5m2n2 + 4n4

o.- (i – 3)(i – 4) = i2 – (3 + 4)i + 12 = i2 – 7i + 12

p.- (2i + 1)(i + 2) = 2i2 + (4 + 1)i + 2 = 2i2 + 5i + 2

q.- (1/4 n + ½)(1/2 n + ¼) = ¼ · ½ n2 + (½ · ½ + ¼ · ¼) n ½ · ¼ = 1/8n2 + 5 /16n + 1/8

r.- (an + b)(an – b) = a2n – b2

s.- (2ex + 1)(ex + 5) = 2e2x + 11ex + 5

t.- (a2x – 2)(a2x – 2) = a4x2 – 4 a2x + 4

u.- (ex + 1)(e–x + 1) = e0 + e–x + ex + 1 = 2 + e–x + ex

v.- (yn – ym)(a – b) = ayn – aym – byn + bym

w.- (0.05+x)(y+0.02)=0.05y+xy +0.02x + 0.05 · 0.02 = 0.05y + xy + 0.02x + 0.0010

x.- (5y – 4)2 = 25y2 – 40y + 16

y.- (ab + 2c)2 = a2b2 + 4 abc + c2

z.- (ab – c)2 = a2b2 – 2 a2b2c2 + c2

2. Factorice los siguientes trinomios:

a.- m2 + m – 2

b.- r2 – 2r – 8

c.- 2x2 – x – 15

d.- 3x2 – 12x – 15

e.- 12b2 – 4b – 21

f.- d2 – 2d – 35

g.- y2 – 25y + 150

h.- m2 + 14m + 24

i.- 16b2 + 24b – 7

j.- 12 – 23p + 10p2

318

CONJUNTOS NUMERICOS

k.- 0.05b2 – 0.02b – 0.16

l.- 36 + 107y – 3y2

m.- x2 – 2xy + y2

n.- 36 + 12n + n2

o.- 100y2 + 20xy + x2

p.- p2q2 – 24pq + 144

q.- 16x2 + 40xy + 25y2

r.- t2 + 16t + 64

s.- 10x4 – 10x3 + 10x2

t.- a2b2 + 19abc2 – 20c3

u.- 6x4 – 61x2y2 + 10y4

v.- 6 a2 – 24 a + 24

w.- 800c2 + 6100c + 3500

x.- 12mx2 – 4mx – 21m

y.- 200 a2n2 + 270 a2n + 81 a2

z.- 0.14e2 – 0.45e – 0.14

Solución:

a.- m2 + m – 2 = (m + 2)(m – 1)

b.- r2 – 2r – 8 = (r – 4)(r + 2)

c.- 2x2 – x – 15 = ((2x)2 – (2x) – 30)/2 = (2x – 6)(2x + 5)/2 = (x – 3)(2x + 5)/6

d.- 3x2 – 12x – 15 = ((3x)2 – 12(3x) – 45)/3 = (3x – 15)(3x + 3)/3 = (3x – 15)(x + 1)

e.- 12b2–4b–21= ((12b)2–4(12b)–252)=(12b–18)(12b+14)/12=(2b–3)(6b + 7)

f.- d2 – 2d – 35 = (d – 7)(d + 5)

g.- y2 – 25y + 150 = (y – 15)(y – 10)

h.- m2 + 14m + 24 = (m + 12)(m + 2)

i.- 16b2 + 24b – 7 = (4b)2+ 6(4b) – 7 = (4b + 7)(4b – 1)

j.- 12–23p+10p2=(120–23(10p)+(10p)2)/10=(15–10p)(8–10p)/10=(3–2p)(4–5p)

k.- 0.05b2 – 0.02b – 0.16 =

l.- 36+107y–3y2=(108+107(3y)–(3y)2)/3=–(3y–108)(3y+1)/3 = – (y–36)(3y+1)

m.- x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

n.- 36 + 12n + n2 = (6 + n)2

o.- 100y2 + 20xy + x2 = (10y + x)2

p.- p2q2 – 24pq + 144 = (pq – 12)2

q.- 16x2 + 40xy + 25y2 = (4x + 5y)2

r.- t2 + 16t + 64 = (t + 8)2

s.- 10x4 – 10x3 + 10x2 = 10x2(x2 – x + 1)

t.- a2b2 + 19abc2 – 20c3 = ab (ab+20c2) – c(ab + 20c2) = (ab–c) (ab + 20c2)

u.- 6x4–61x2y2+10y4=((6x2)–61(6x2)y2+60y4)/6=(6x2– 60y2)(6x2 – y2)/6=(x2–10y2)(6x2–y2)

319

U N I D A D II

v.- 6 a2 – 24 a + 24 = 6(a2 – 4 a + 4) = 6(a – 2)2

w.- 800c2 + 6100c + 3500 = 100(8c2 + 61c + 35) = 100((8c)2 + 61(8c) + 280)/8 = 25(8c+ 56)(8c + 5)/2 = 25(4c + 28)(8c + 5)

x.- 12mx2 – 4mx – 21m = m(12x2 – 4x – 21) = m((12x)2 – 4 (12x) – 252)/12 = m(12x –18)(12x + 14)/12 = m(2x – 3)(6x + 7)

y.- 200 a2n2 + 270 a2n + 81 a2 = a2(200n2 + 270n + 81) = a2((200n)2 + 270(200n) +16200)/200 = a2

z.- 0.14e2 – 0.45e – 0.14 =

3. Factorice las siguientes expresiones:

a.- y2 – 1

b.- 625 – n2

c.- 49s2 – 4 / 25

d.- 6x2 – 294

e.- p2q – 64q

f.- 2x4 – 32

g.- 81 – z4

h.- (a – b)2 – 4

i.- n2 – (r – t)2

j.- (x + 2y)2 – 4y2

Solución:

a.- y2 – 1 = (y – 1)(y + 1)

b.- 625 – n2 = (25 – n)(25 + n)

c.- 49s2 – 4 / 25 = (7s – 2/5)(7s + 2/5)

d.- 6x2 – 294 = 6(x2 – 49) = 6(x – 7)(x + 7)

e.- p2q – 64q = (p2 – 64)q = (p – 8)(p + 8)q

f.- 2x4 – 32 = 2(x4 – 16) = 2(x2 – 4)(x2 + 4) = 2(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

g.- 81 – z4 = (9 – z2)(9 + z2) = (3 – z)(3 + z)(9 + z2)

h.- (a – b)2 – 4 = (a – b – 2)(a – b + 2)

i.- n2 – (r – t)2 = (n – r + t)(n + r – t)

j.- (x + 2y)2 – 4y2 = (x + 2y – 2y)(x + 2y + 2y) = x(x + 4y)

Ejercicios II.4.5.6.1. Factorice las siguientes expresiones:

a.- 20 + 5c

b.- 2m + 2n

c.- ib + ic

d.- 0.7r – 0.21r

e.- 6a – 12b + 30

f.- 15x2 – 30y

320

CONJUNTOS NUMERICOS

g.- xy – axy

h.- ½ at + at2

i.- pr + pr2

j.- a2 – a4

k.- x4 + x2 – 2x3 + x

l.- x2yz – 2xy2z + xyz2

m.- a3b + 2a2b + a2b2

n.- nr – mr2 –16r

o.- 0.5x – y + 0.01z

p.- a3b2c – a2b3c2 + ab4c3

q.- x(a + b) + y(a + b)

r.- m(t – 1) – n(t – 1)

s.- 2a(x2 + y2) – 4(x2 + y2)

t.- 15(3 – y) + y(3 – y)

2. Multiplique los siguientes binomios:

a.- (x + 2)(x + 5)

b.- (a + 3)(a + 1)

c.- (r – 4)(r – 3)

d.- (m – 1)(m – 10)

e.- (2x – 1)(x – 4)

f.- (10r + 4)(3r + 6)

g.- (5t – 1)(7t –1)

h.- (n – 4)(2n +1)

i.- (y – 0.1)(y – 0.2)

j.- (ab + 1)(ab + 2)

k.- (x – y)(x + 2y)

l.- (3 – 2x)(2 – 3x)

m.- (c2 – 11)(2c2 + 1)

n.- (rx + s)(rx +s)

o.- (0.02 – 0.02a)(0.01 + 0.01a)

p.- (x2 + y2)(x2 – y2)

q.- (2/3 d +1/4)(1/3 d – 1)

r.- (ex + 1)(ex – 1)

s.- (2a2 – i)(a2 – i)

t.- (a + bi)(a – bi)

3. Multiplique los siguientes binomios:

a.- (a + b)(c + d)

321

U N I D A D II

b.- (a + bi)(i – 1)

c.- (x2 + 5)(x + 10)

d.- (3i – 4)(c + d)

e.- (ab + c)(c – a2b2)

f.- (2 a – b)2

g.- (3x + 1)2

h.- (7s + 9t)2

i.- (3 – 8n)2

j.- (cx2 – 5)2

k.- (e + 0.1)2

l.- (0.2 – xy3)2

m.- (10d +11c)2

4. Factorice los siguientes trinomios:

a.- x2 + 8x +15

b.- x2 + 11x + 10

c.- a2 + 8 a + 12

d.- y2 + 15y + 56

e.- x2 + 6x + 5

f.- c2 + 16c + 48

g.- b2 + 3b – 18

h.- n2 – 4n – 12

i.- 14y2 + y – 30

j.- 10t2 – 239t – 24k.- x2 – 11x +18l.- a2 + 2 a + 1m.- 2b2 – 29b + 39n.- 400x2 – 40x – 63o.- 2 a2 + 1.8 a + 0.04p.- 4 + 12c + 9c2

q.- a4 + 2 a2b+ b2

r.- m2 – 2m + 1s.- 4c2 – 4cd + d2

t.- n2 – 0.2n + 0.01u.- a4 – 2 a2b2 + b4

v.- z2 – 18z + 81w.- x3 – 4x2 – 5xx.- 12y2 –96y + 45y.- 2at2 – at – 15z.- 2.5m2 – 6.0m – 3.6

322

CONJUNTOS NUMERICOS

5. Encuentre el producto de los siguientes binomios:a.- (x – 6)(x + 6)b.- (m – 2n)(m + 2n)c.- (xy + 10)(xy – 10)d.- (a2 – b2)(a2 + b2)e.- (0.6 – 2mn)(0.6 + 2mn)

6. Factorice los siguientes binomios:a.- x2 – 25b.- 144 a2 –16b2

c.- 1/4 – 1/16b2

d.- n2 – 0.36e.- 10z2 – 10f.- 0.0121 – 0.81t2

g.- a4b4 – c4

h.- (x + y)2 – 1i.- m2 – (p + q)2

j.- 16t2 – (yt – 2)2

Respuestas1. a.- 20 + 5c = 5(4 + c)

b.- 2m + 2n = 2 (m + n)c.- ib + ic = i (b + c)d.- 0.7r – 0.21r = 0.7r(1 – 0.3)e.- 6a – 12b + 30 = 6(a – 2b + 5)f.- 15x2 – 30y = 15(x2 – 2y)g.- xy – axy = (1 – a)xyh.- ½ at + at2 = at(1/2 + t)i.- pr + pr2 = p r (1 + r)j.- a2 – a4 = a2 (1 – a)(1 + a)k.- x4 + x2 – 2x3 + x = x(x3 –2x2 – x + 1)l.- x2yz – 2xy2z + xyz2 = xyz(x – 2y + z)m.- a3b + 2a2b + a2b2 = a2b(a + 2 + b)n.- nr – mr2 –16r = (n – mr – 16)ro.- 0.5x – y + 0.01z =p.- a3b2c – a2b3c2 + ab4c3 = ab2c(a2 – abc + b2c2)q.- x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b)r.- m(t – 1) – n(t – 1) = (m – n)(t – 1)s.- 2a(x2 + y2) – 4(x2 + y2) = 2(a – 2)(x2 + y2)t.- 15(3 – y) + y(3 – y) = (15 + y)(3 – y)

323

U N I D A D II

2. a.- (x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10b.- (a + 3)(a + 1) = a2 + 4 a + 3c.- (r – 4)(r – 3) = r2 – 7r + 12d.- (m – 1)(m – 10) = m2 – 11m + 10e.- (2x – 1)(x – 4) = 2x2 – 9x + 4f.- (10r + 4)(3r + 6) = 30r2 + 72r + 24g.- (5t – 1)(7t –1) = 35t2 – 12t + 1h.- (n – 4)(2n +1) = 2n2 – 7n – 4i.- (y – 0.1)(y – 0.2) = y2 – 0.3y + 0.01j.- (ab + 1)(ab + 2) = a2b2 + 3 ab + 2k.- (x – y)(x + 2y) = x2 + xy – 2y2

l.- (3 – 2x)(2 – 3x) = 6 – 13y + 6x2

m.- (c2 – 11)(2c2 + 1) = 2c4 – 21c2 – 11n.- (rx + s)(rx +s) = r2x2 + 2rsx + s2

o.- (0.02 – 0.02a)(0.01 + 0.01a) = 0.0001 – 0.0001 a2

p.- (x2 + y2)(x2 – y2) = x4 – y4

q.- (2/3 d +1/4)(1/3 d – 1) = 2d2/9 –7d/12 – 1/4r.- (ex + 1)(ex – 1) = e2x – 1s.- (2a2 – i)(a2 – i) = 2 a4 – 3 a2i + i2

t.- (a + bi)(a – bi) = a2 – b2i2

3. a.- (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bdb.- (a + bi)(i – 1) = ai + bi2 – a – bic.- (x2 + 5)(x + 10) = x3 + 5x + 10x2 + 50d.- (3i – 4)(c + d) = 3ci – 4c + 3di – 4de.- (ab + c)(c – a2b2) = abc + c2 – a3b3 – a2b2cf.- (2 a – b)2 = 4 a2 – 4 ab + b2

g.- (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1h.- (7s + 9t)2 = 49s2 + 126st + 81t2

i.- (3 – 8n)2 = 9 – 48n + 64n2

j.- (cx2 – 5)2 = c2x4 – 10cx + 25k.- (e + 0.1)2 = e2 + 0.2e + 0.01l.- (0.2 – xy3)2 = 0.04 – 0.4xy3 + x2y6

m.- (10d +11c)2 = 100d + 220cd + 121c2

4. a.- x2 + 8x +15 = (x + 5)(x + 3)b.- x2 + 11x + 10 = (x + 10)(x + 1)c.- a2 + 8 a + 12 = (a + 6)(a + 2)d.- y2 + 15y + 56 = (y + 9)(y + 6)e.- x2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)f.- c2 + 16c + 48 = (c + 12)(c + 4)

324

CONJUNTOS NUMERICOS

g.- b2 + 3b – 18 = (b + 6)(b – 3)h.- n2 – 4n – 12 =(n – 6)(n + 2)i.- 14y2 + y – 30 = (2y + 3)(7y – 10)j.- 10t2 – 239t – 24 = (t – 24)(10t + 1)k.- x2 – 11x +18 = (x – 9)(x – 2)l.- a2 + 2 a + 1 = (a + 1)2

m.- 2b2 – 29b + 39 = (b – 13)(2b – 3)n.- 400x2 – 40x – 63 = (20x – 9)(20x + 7)o.- 2 a2 + 1.8 a + 0.04 =p.- 4 + 12c + 9c2 = (2 + 3c)2

q.- a4 + 2 a2b+ b2 = (a2 + b)2

r.- m2 – 2m + 1 = (m – 1)2

s.- 4c2 – 4cd + d2 = (2c – d)2

t.- n2 – 0.2n + 0.01 = (n – 0.1)2

u.- a4 – 2 a2b2 + b4 = (a2 – b2)2

v.- z2 – 18z + 81 = (z – 9)2

w.- x3 – 4x2 – 5x = x(x – 5)(x + 1)x.- 12y2 –96y + 45 = 3(2y – 15)(2y – 1)y.- 2at2 – at – 15 =z.- 2.5m2 – 6.0m – 3.6 =

5. a.- (x – 6)(x + 6) = x2 – 36b.- (m – 2n)(m + 2n) = m2 – 4n2

c.- (xy + 10)(xy – 10) = x2y2 – 100d.- (a2 – b2)(a2 + b2) = a4 – b4

e.- (0.6 – 2mn)(0.6 + 2mn) = 0.36 – 4m2n2

6. a.- x2 – 25 = (x – 5)(x + 5)b.- 144 a2 –16b2 = (12 a – 4b)(12 a + 4b)c.- 1/4 – 1/16b2 = (1/2 – b/4)(1/2 + b/4) = (1 – b/2)(1 + b/2)/4d.- n2 – 0.36 = (n – 0.6)(n + 0.6)e.- 10z2 – 10 = 10(z – 1)(z + 1)f.- 0.0121 – 0.81t2 = (0.11 – 0.9t)(0.11 + 0.9t)g.- a4b4 – c4 = (a2b2 – c2)(a2b2 + c2)h.- (x + y)2 – 1 = (x + y – 1)(x + y + 1)i.- m2 – (p + q)2 = (m – p – q)(m + p +q)j.- 16t2 – (yt – 2)2 = (4t – yt + 2)(4t + yt + 2)

RESUMENEn esta sección se revisan los productos y factorizaciones notables básicas que nor-

malmente son introducidas en los cursos de Matemática a nivel secundario. Se motiva al

325

U N I D A D II

Prodlector para que revise la operatoria de estos productos y factorizaciones, pues serán de usocomún en los desarrollos posteriores de los cursos de Matemática.

II.4.6. Productos y Factorizaciones Notables Especiales

La complejidad y variedad de problemas que se pueden alcanzar con los productos yfactorizaciones notables, sólo pueden ser superados con la realización sistemática de cien-tos de ejercicios. Presentamos aquí una tabla adicional de productos notables y una serie deejercicios para que el lector los realice.

x2 – y2 = (x – y)(x + y)x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)x3 + y3 =(x + y)(x2 – xy + y2)x4 – y4 =(x – y)(x + y)(x2 + y2)

x5 – y5 = (x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)

x6 – y6 = (x – y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 – 2xy + 2y2)

Ejemplo II.4.6.1.Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.- 2xy (3x2 y – 4y3) = 6x3y2 – 8xy4

b.- 3x2 y3 (2xy – x – 2y) = 6x3y4 –3x3y2 – 6x2y4

c.- (2st3 – 4rs2 + 3s3 t) (5rst2) = 10rs2t5 – 20r2s3t2 + 15rs4t3

d.- (x – 2y + z) (x – 2y – z) =(x – 2y)2 – z2 = x2 – 4y + 4y2 – z2

e.- (x2 + 2x + 4) (x2 – 2x + 4) = (x2 + 4)2 – 4x2 = x4 + 8x2 + 16 – 4x2 = x4 + 4x2 + 16

Ejemplo II.4.6.2.Utilizar las propiedades y productos notables para desarrollar:a.- (x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

b.- (3x + 2)3 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8c.- (2y – 5)3 = 8y3 – 60y2 + 150y – 125

ACTIVIDADES II.4.6.3.1. Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a.- (3a + 5b) (3a – 5b)b.- (5xy + 4) (5xy – 4)c.- (2 – 5y2) (2 + 5y2)d.- (3a + 5a2 b) (3a – 5a2 b)

326

CONJUNTOS NUMERICOS

e.- (x + 6)2

f.- (y + 3x)2

g.- (z – 4)2

h.- (3 – 2x2)2

i.- (x2 y + 2z)2

j.- (x+2) (x+4)k.- (x – 4) (x + 7)l.- (y + 3) (y – 5)m.- (xy + 6) (xy – 4)n.- (2x – 3) (4x + 1)o.- (4 +3r) (2 – r)p.- (5x +3y) (2x –3y)q.- (2t2 + s) (3t2 + 4s)r.- (x2 + 4y) (2x2 y – y2)s.- x (2x –3) (3x + 4)t.- (r + s – 1) (r + s + 1)

Solución:a.- (3a + 5b) (3a – 5b) = 9 a2 – 25b2

b.- (5xy + 4) (5xy – 4) = 25x2y2 – 16c.- (2 – 5y2) (2 + 5y2) = 4 – 25y4

d.- (3a + 5a2 b) (3a – 5a2 b) = 9 a2 – 25 a4b2

e.- (x + 6)2 = x2 + 12x + 36f.- (y + 3x)2 = y2 + 6xy + 9x2

g.- (z – 4)2 = z2 – 8z + 16h.- (3 – 2x2)2 = 9 – 12x2 + 4x4

i.- (x2 y + 2z)2 = x4y2 + 4x2yz + 4z2

j.- (x+2) (x+4) = x2 + 6x + 8k.- (x – 4) (x + 7) = x2 + 3x – 28l.- (y + 3) (y – 5) = y2 – 2y – 15m.- (xy + 6) (xy – 4) = x2y2 + 2xy – 24n.- (2x – 3) (4x + 1) = 8x2 – 10x – 3o.- (4 +3r) (2 – r) = 8 + 2r – 3r2

p.- (5x +3y) (2x –3y) = 10x2 – 9xy – 9y2

q.- (2t2 + s) (3t2 + 4s) = 6t2 + 11t2s + 4s2

r.- (x2 + 4y) (2x2 y – y2) = 2x4y + 8x2y3 – x2y2 – 4y3

s.- x (2x –3) (3x + 4) = 6x3 – x2 – 12xt.- (r + s – 1) (r + s + 1) = (r + s)2 – 1 = r2 + 2rs + s2 – 1

2. Utilizar las propiedades y productos notables para simplificar:a.- (xy – 2)3

b.- (x2y – y2)3

c.- (x – 1) (x2 + x + 1)d.- (x – 2y) ( x2 + 2xy + 4y2)e.- (xy + 2) ( x2y2 – 2xy + 4)

327

U N I D A D II

f.- (2x + 1) (4x2 – 2x +1)g.- (2x + 3y + z)2

h.- (u3 – v2 + 2w)2

i.- (x – 1) (x5 + x4 + x3 + x2 + x +1)j.- (x – 2y) (x4 + 2x3 y + 4x2 y2 + 8x y3 + 16y4)k.- (3y – x) (81y4 – 27y3 x + 9y2 x2 – 3y x3 + x4)l.- (x+ y + z) (x + y –z) (x – y + z) (x – y – z)m.- (x + y + z + 1)2

n.- (u – v)3 (u + v)3

Solución:a.- (xy – 2)3 = x3y3 – 6x2y2 + 12xy – 8b.- (x2y – y2)3 = x6y3 – 3x4y4 + 3x2y5 – y6

c.- (x – 1) (x2 + x + 1) = x3 – 1d.- (x – 2y) ( x2 + 2xy + 4y2)e.- (xy + 2) ( x2y2 – 2xy + 4)f.- (2x + 1) (4x2 – 2x +1)g.- (2x + 3y + z)2 = 4x2 + 9y2 + z2 + 12xy + 4xz + 6yzh.- (u3 – v2 + 2w)2 = u6 + v4 + 4w4 – 2u3v2 + 4u3w – 4v2wi.- (x – 1) (x5 + x4 + x3 + x2 + x +1) = x6 – 1j.- (x – 2y) (x4 + 2x3 y + 4x2 y2 + 8x y3 + 16y4) = x5 – 32y5

k.- (3y – x) (81y4 – 27y3 x + 9y2 x2 – 3y x3 + x4) = 243y5 – x5

l.- (x+ y + z) (x + y –z) (x – y + z) (x – y – z) = ((x + y)2 – z2)((x – y)2 – z2) =m.- (x + y + z + 1)2

n.- (u – v)3 (u + v)3 = (u2 – v2)3 = u6 – 3u4v2 + 3u2v4 – v6

Ejercicios II.4.6.4.1. Desarrolle utilizando productos notables:

a.- (m + 3)2

b.- (5 + x)2

c.- (6a + b)2

d.- (9 + 4m)2

e.- (7x + 11)2

f.- (x + y)2

g.- (1 + 3x2)2

h.- (2x + 3y)2

i.- (a2 x + by2)2

j.- (3a3 + 8b4)2

k.- (4m5 + 5n6)2

l.- (7a2 b3 + 5xy4)2

m.- (4ab2 + 5xy3)2

n.- (8x2 y + 9m3)2

o.- (x10 + 10y12)2

328

CONJUNTOS NUMERICOS

p.- (am + an)2

q.- (ax + bx+1)2

r.- (xa+1 + yx–2)2

s.- (a – 3)2

t.- (x – 7)2

u.- (9 – a)2

v.- (2 a – 3b)2

w.- (4ax – 1)2

x.- (a3 – b3)2

y.- (3a4 – 5b2)2

z.- (x2 – 1)2

2. Utilice productos notables para simplificar:a.- (x5 – 3ay2)2

b.- (a7 – b7)2

c.- (2m – 3n)2

d.- (10x3 – 9xy5)2

e.- (xm – yn)2

f.- (ax–2 – 5)2

g.- (xa+1 – 3xa–2)2

h.- (x + y)(x – y)i.- (m + n)(m – n)j.- (a – x)(a + x)k.- (x2 + a2) (x2 – a2)l.- (2 a + 1)(2 a – 1)m.- (n – 1)(n + 1)n.- (1 – 3ax)(3ax + 1)o.- (2m + 9)(2m – 9)p.- (a3 – b3) (a3 + b3)q.- (y2 – 3y) (y2 – 3y)r.- (1 – 8xy)(8xy + 1)s.- (6x2 – m2 x) (6x2 + m2 x)t.- (am + bn) (am – bn)u.- (3xa – 5ym)(5ym +3xa)v.- (ax+1 – 2bx–1)(2bx–1 + ax+1)w.- (x + y + z)(x + y – z)x.- (x – y + z) (x + y – z)y.- (x + y + z) (x – y – z)z.- (m + n + 1) (m + n – 1)

329

U N I D A D II

3. Multiplique:a.- (m – n – 1)(m – n + 1)b.- (x + y – 2)(x – y + 2)c.- (an2 + 2m +1) (an2 – 2m – 1)d.- (a2 – 2 a + 3) (a2 + 2 a +3)e.- (m2 – m – 1) (m2 + m – 1)f.- (2 a – b – c) (2 a – b + c)g.- (2x + y – z) (2x – y + z)h.- (x2 – 5x + 6) (x2 +5x – 6)i.- (a2 – ab + b2) (a2 + ab + b2)j.- (x3 – x2 – x) (x3 + x2 + x)k.- (a + 2)3

l.- (x – 1)3

m.- (m + 3)3

n.- (n – 4)3

o.- (2x +1)3

p.- (1 – 3y)3

q.- (2 + y2)3

r.- (1 – 2n)3

s.- (4n + 3)3

t.- (a2 – 2b)3

u.- (2x + 3y)3

v.- (1 – a2)3

w.- (a +1)(a + 2)x.- (x + 2)(x + 4)y.- (x + 5)(x – 2)z.- (m – 6)(m – 5)

4. Multiplique:a.- (x +7)(x – 3)b.- (x + 2)(x – 1)c.- (x – 3)(x – 1)d.- (x – 5)(x + 4)e.- (a – 11)(a + 10)f.- (n –19)(n +10)g.- (a2 + 5) (a2 – 9)h.- (x2 – 1) (x2 – 7)i.- (n2 – 1) (n2 + 20)j.- (n3 + 3) (n3 – 6)k.- (x3 + 7)(x3 – 6)l.- (a4 + 8)(a4 – 1)

330

CONJUNTOS NUMERICOS

m.- (a5 – 2)(a5 + 7)n.- (a6 + 7)(a6 – 9)o.- (ab + 5)(ab – 6)p.- (xy2 – 9)(xy2 +12)q.- (a2 b2 – 1)(a2 b2 + 7)r.- (x3 y3 – 6)(x3 y3 +8)s.- (ax – 3)(ax +8)t.- (ax+1 – 6)(ax+1 – 5)u.- (2x + 1)3

v.- (3x + 2y)3

w.- (r – 2s)3

x.- (x2 – 1)3

y.- (ab2 – 2b)3

z.- (t – 2) (t2 + 2t + 4)

5. Multiplique utilizando productos notables:a.- (z – x) (x2 + zx + z2)b.- (x + 3y) (x2 – 3xy + 9y2)c.- (x – 2y + z)2

d.- (s – 1) (s3 + s2 + s +1)e.- (1 + t2) (1– t2 + t4 + t6)f.- (3x + 2y)2 (3x – 2y)2

g.- (x2 + 2x + 1)2 (x2 – 2x + 1)2

h.- (y – 1)3 (y + 1)3

i.- (u + 2) (u – 2) (u2 + 4) (u4 + 16)j.- (x + 2)2

k.- (x + 2)(x + 3)l.- (x + 1)(x – 1)m.- (x – 1)2

n.- (n + 3)(n + 5)o.- (m – 3)(m + 3)p.- (a + b – 1)(a + b + 1)q.- (1 + b)3

r.- (a2 + 4) (a2 – 4)s.- (3ab – 5x2)2

t.- (ab + 3)(3 – ab)u.- (1 – 4ax)2

v.- (a2 +8) (a2 –7)w.- (x + y + 1)(x – y – 1)x.- (1 – a)(a + 1)

331

U N I D A D II

y.- (m – 8)(m + 12)z.- (x2 – 1) (x2 + 3)

6.- Multiplicar y simplificar utilizando las propiedades de los productos notables:a.- (x3 + 6) (x3 – 8)b.- (5x3 + 6m4)2

c.- (x4 – 2) (x4 + 5)d.- (1– a + b)(b – a – 1)e.- (ax + bn )(ax – bn)f.- (xa+1 – 8)(xa+1 + 9)g.- (a2 b2 + c2)(a2 b2 – c2)h.- (2ª + x)3

i.- (x2 – 11)(x2 – 2)j.- (2a3 – 5b4 )2

k.- (m2 – m + n)(n + m + m2)l.- (x4 + 7)(x4 – 11)m.- (11 – ab)2

n.- (x2 y3 – 8)(x2 y3 + 6)o.- (a + b)(a – b)(a2 – b2)p.- (x +1)(x – 1)(x2 – 2)q.- (a + 3)(a2 + 9)(a – 3)r.- (x + 5)(x – 5)(x2 +1)s.- (a +1)(a – 1)(a + 2)(a – 2)t.- (a + 2)(a – 3)(a – 2)(a + 3)

Resultados1. a.- (m + 3)2 = m2 + 6m + 9

b.- (5 + x)2 = 25 + 10x + x2

c.- (6a + b)2 = 36 a2 + 12 ab + b2

d.- (9 + 4m)2 = 81 + 72m + 16m2

e.- (7x + 11)2 = 49x2 + 154x +121f.- (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

g.- (1 + 3x2)2 = 1 + 6x2 + x4

h.- (2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

i.- (a2 x + by2)2 = a4x2 + 2 a2bxy2 + b2y4

j.- (3a3 + 8b4)2 = 9 a6 + 48 a3b4 + 64b8

k.- (4m5 + 5n6)2 = 16m10 + 40 m5n6 + 25 n12

l.- (7a2 b3 + 5xy4)2 = 49 a4b6 + 70 a2b3xy4 + 25x2y8

m.- (4ab2 + 5xy3)2 = 16 a2b4 + 40 ab2xy3 + 25xy6

n.- (8x2 y + 9m3)2 = 64x4y2 + 144m3x2y + 81m6

o.- (x10 + 10y12)2 = x20 + 20x10y12 + 100y24

p.- (am + an)2 = a2m + 2 am+n + a2n

332

CONJUNTOS NUMERICOS

q.- (ax + bx+1)2 = a2x + 2 axbx+1 + b2x+2

r.- (xa+1 + ya–2)2 = x2a+2 + 2xa+1ya–2 +y2a–4

s.- (a – 3)2 = a2 – 6 a + 9t.- (x – 7)2 = x2 – 14x + 49u.- (9 – a)2 = 81 – 18 a + a2

v.- (2 a – 3b)2 = 4 a2 – 12 ab + 9b2

w.- (4ax – 1)2 = 16 a2x2 – 8 ax + 1x.- (a3 – b3)2 = a6 – 2 a3b3 + b6

y.- (3a4 – 5b2)2 = 9 a8 – 30 a4b2 + 25 b4

z.- (x2 – 1)2 = x4 – 2x2 + 1

2. a.- (x5 – 3ay2)2 = x25 – 6 ax5y2 + 9 a2y4

b.- (a7 – b7)2 = a14 – 2 a7b7 + b14

c.- (2m – 3n)2 = 4m2 – 12mn + 9n2

d.- (10x3 – 9xy5)2 = 100x6 – 180x4y5 + 81x2y10

e.- (xm – yn)2 = x2m – 2xmyn + y2n

f.- (ax–2 – 5)2 = a2x–4 – 10 ax–2 + 25g.- (xa+1 – 3xa–2)2 = x2a +2 – 6x2a – 1 + 9x2a –4

h.- (x + y)(x – y) = x2 – y2

i.- (m + n)(m – n) = m2 – n2

j.- (a – x)(a + x) = a2 – x2

k.- (x2 + a2) (x2 – a2) = x4 – a4

l.- (2 a + 1)(2 a – 1) = 4 a2 – 1m.- (n – 1)(n + 1) = n2 – 1n.- (1 – 3ax)(3ax + 1) = 1 – 9 a2x2

o.- (2m + 9)(2m – 9) = 4m2 – 81p.- (a3 – b3) (a3 + b3) = a6 – b6

q.- (y2 – 3y) (y2 – 3y) = y4 – 6y3 + 9y2

r.- (1 – 8xy)(8xy + 1) = 1 – 64x2y2

s.- (6x2 – m2 x) (6x2 + m2 x) = 36x4 – m4x2

t.- (am + bn) (am – bn) = a2m – b2nu.- (3xa – 5ym)(5ym +3xa) = 9x2a – 25y2m

v.- (ax+1 – 2bx–1)(2bx–1 + ax+1) = a2x+2 – 4b2x–2

w.- (x + y + z)(x + y – z) = x2 + 2xy + y2 – z2

x.- (x – y + z) (x + y – z) = x2 – y2 + 2yz – z2

y.- (x + y + z) (x – y – z) = x2 – y2 – 2yz – z2

z.- (m + n + 1) (m + n – 1) = m2 + 2mn + n2 – 1

3. a.- (m – n – 1)(m – n + 1) = m2 – 2mn + n2 – 1b.- (x + y – 2)(x – y + 2) = x2 – 2xy + y2 – 4c.- (an2 + 2m +1) (an2 – 2m – 1) = a2n4 – 4m2 – 4m – 1

333

U N I D A D II

d.- (a2 – 2 a + 3) (a2 + 2 a +3) = a4 + 2 a2 + 9e.- (m2 – m – 1) (m2 + m – 1) = m4 – 3m2 + 1f.- (2 a – b – c) (2 a – b + c) = 4 a2 – 4 ab + b2 – c2

g.- (2x + y – z) (2x – y + z) = 4x2 – y2 + 2yz – z2

h.- (x2 – 5x + 6) (x2 +5x – 6) = x4 – 25x2 + 60x – 36i.- (a2 – ab + b2) (a2 + ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

j.- (x3 – x2 – x) (x3 + x2 + x) = x6 – x4 – 2x3 – x2

k.- (a + 2)3 = a3 + 6 a2 + 12 a + 8l.- (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1m.- (m + 3)3 = m3 + 9m2 + 27m + 27n.- (n – 4)3 = n4 – 12n2 + 48n – 64o.- (2x +1)3 = x3 + 12x2 + 6x + 1p.- (1 – 3y)3 = 1 – 9y + 27y2 – 27y3

q.- (2 + y2)3 = 8 + 12y2 + 3y4 + y6

r.- (1 – 2n)3 = 1 – 6n + 12n2 – 8n3

s.- (4n + 3)3 = 64n3 + 144n2 + 108n + 27t.- (a2 – 2b)3 = a6 – 6 a4b + 12 a2b2 – 8b3

u.- (2x + 3y)3 = 8x3 +36x2y + 54xy2 + 27y3

v.- (1 – a2)3 = 1 – 3 a2 + 3 a4 – a6

w.- (a +1)(a + 2) = a2 + 3 a + 2x.- (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8y.- (x + 5)(x – 2) = x2 + 3x – 10z.- (m – 6)(m – 5) = m2 – 11m + 30

4. a.- (x +7)(x – 3) = x2 – 4x – 21b.- (x + 2)(x – 1) = x2 + x – 2c.- (x – 3)(x – 1) = x2 – 4x + 3d.- (x – 5)(x + 4) = x2 – x – 20e.- (a – 11)(a + 10) = a2 – a – 110f.- (n –19)(n +10) = n2 – 9n – 190g.- (a2 + 5) (a2 – 9) = a4 – 4 a2 – 45h.- (x2 – 1) (x2 – 7) = x4 – 8x2 + 7i.- (n2 – 1) (n2 + 20) = n4 + 19n2 – 20j.- (n3 + 3) (n3 – 6) = n6 – 3n3 – 18k.- (x3 + 7)(x3 – 6) = x6 + x3 – 42l.- (a4 + 8)(a4 – 1) = a8 – 7 a4 – 8m.- (a5 – 2)(a5 + 7) = a10 + 5 a5 – 14n.- (a6 + 7)(a6 – 9) = a12 – 2 a6 – 63o.- (ab + 5)(ab – 6) = a2b2 – ab – 30p.- (xy2 – 9)(xy2 +12) = x2y4 + 3xy2 – 108

334

CONJUNTOS NUMERICOS

q.- (a2 b2 – 1)(a2 b2 + 7) = a2b4 + 6 a2b2 – 7r.- (x3 y3 – 6)(x3 y3 +8) = x6y6 + 2x3y3 – 48s.- (ax – 3)(ax +8) = a2x + 5 ax – 24t.- (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) = a 2x+2 – 11 ax+1 + 30u.- (2x + 1)3 = 8x3 + 12x2 +6x + 1v.- (3x + 2y)3 = 27x3 + 54x2y + 144x2y2 + 8y3

w.- (r – 2s)3 = r3 – 6r2s + 12rs2 – 8s3

x.- (x2 – 1)3 = x6 – 3x4 + 3x2 – 1y.- (ab2 – 2b)3 = a3b6 – 6 a2b5 + 12 ab4 – 8b3

z.- (t – 2) (t2 + 2t + 4) = t3 – 8

5. a.- (z – x) (x2 + zx + z2) = z3 – x3

b.- (x + 3y) (x2 – 3xy + 9y2) = 27y3 – x3

c.- (x – 2y + z)2 =d.- (s – 1) (s3 + s2 + s +1) = s4 – 1e.- (1 + t2) (1– t2 + t4 + t6) =f.- (3x + 2y)2 (3x – 2y)2 =g.- (x2 + 2x + 1)2 (x2 – 2x + 1)2 =h.- (y – 1)3 (y + 1)3 =i.- (u + 2) (u – 2) (u2 + 4) (u4 + 16) =j.- (x + 2)2 = x2 + 4x + 4k.- (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6l.- (x + 1)(x – 1) = x2 – 1m.- (x – 1)2 = x2 – 2x + 1n.- (n + 3)(n + 5) = n2 + 8n + 15o.- (m – 3)(m + 3) = m2 – 9p.- (a + b – 1)(a + b + 1) = a2 + 2 ab + b2 – 1q.- (1 + b)3 = 1 + 3b + 3b2 + b3

r.- (a2 + 4) (a2 – 4) = a4 – 16s.- 3ab – 5x2)2 = 9 a2b2 – 30 abx2 + 25x4

t.- (ab + 3)(3 – ab) = 9 – a2b2

u.- (1 – 4ax)2 = 1 + 16 a2x2 – 8 axv.- (a2 +8) (a2 –7) = a4 + a2 – 56w.- (x + y + 1)(x – y – 1) = x2 – y2 – 2y – 1x.- (1 – a)(a + 1) = 1 – a2

y.- (m – 8)(m + 12) = m2 + 4m – 96z.- (x2 – 1) (x2 + 3) = x4 + 2x2 – 3

6.- a.- (x3 + 6) (x3 – 8) = x6 – 2x3 – 48b.- (5x3 + 6m4)2 = 25x6 + 60m4x3 + 36m8

c.- (x4 – 2) (x4 + 5) = x8 + 3x4 – 10

335

U N I D A D II

Ecua

d.- (1– a + b)(b – a – 1) = b2 – 2 ab + a2 – 1e.- (ax + bn )(ax – bn) = a2x – b2n

f.- (xa+1 – 8)(xa+1 + 9) = x2a+2 + xa+1 – 72g.- (a2 b2 + c2)(a2 b2 – c2) = a4b4 – c4

h.- (2ª + x)3 = 23ª + 322ax + 32ax2 + x3

i.- (x2 – 11)(x2 – 2) = x4 – 13x2 – 22j.- (2a3 – 5b4 )2 = 4 a6 – 20 a3b4 – 25b8

k.- (m2 – m + n)(n + m + m2) = m4 + 2m2n + n2 – m2

l.- (x4 + 7)(x4 – 11) = x8 – 4x4 – 77m.- (11 – ab)2 = 121 – 22 ab + a2b2

n.- (x2 y3 – 8)(x2 y3 + 6) = x4y6 – 48 – 2x2y3

o.- (a + b)(a – b)(a2 – b2) = a4 – 2 a2b2 + b4

p.- (x +1)(x – 1)(x2 – 2) = x4 – 3x2 + 2q.- (a + 3)(a2 + 9)(a – 3) = a4 – 81r.- (x + 5)(x – 5)(x2 +1) = x4 – 24 x2 – 25s.- (a +1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) = a4 – 5 a2 + 4t.- (a + 2)(a – 3)(a – 2)(a + 3) = a4 – 13 a2 + 36

RESUMENEn esta sección se presenta un conjunto adicional de ejercicios relacionados con los

productos y factorizaciones notables. El lector que tenga problemas con la operatoria deberáesmerarse en realizar todos estos ejercicios. La idea es que no intente efectuarlos de una solavez, sino más bien cada cierto tiempo, en el transcurso del curso.

II.4.7. Ecuaciones

Nos encontramos en condiciones de intentar resolver ecuaciones más complejas, nonecesariamente lineales. Se debe recordar que el objetivo primordial es despejar la incógni-ta. De esta manera no importa qué método utilizar para lograr despejarla, lo único impor-tante es mantener las igualdades.

Para lograr esto, es posible aplicar las técnicas de potencia, productos notables yfactorización aprendidas.

Ejemplo II.4.7.1.Resuelva la siguiente ecuación:

(x – 5)(x + 5) = 0

(x – 5)(x + 5) = 0 ⇔ x2 – 25 = 0

⇔ x2 = 25

⇔ x = √25

336

CONJUNTOS NUMERICOS

⇔ x = 5 ∨ x = – 5

Se debe observar que el ejemplo anterior podría haberse resuelto recordando la im-portante propiedad ya demostrada de los números reales que a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0. Estaidea es explotada en los siguientes ejemplos.Ejemplo II.4.7.2.Resuelva la siguiente ecuación:9x2 + 6x + 1 = 0

9x2 + 6x + 1 = 0 ⇔ (3x + 1)2 = 0

⇔ 3x + 1 = 0

⇔ x = – 1/3

Ejemplo II.4.7.3.Resuelva la ecuación:6 + 5x + x2 = 0

6 + 5x + x2 = 0 ⇔ (3 + x)(2 + x) = 0

⇔ 3 + x = 0 ∨ 2 + x = 0

⇔ x = – 3 ∨ x = – 2

De esta manera, se verifica que la importancia de la factorización es su aplicabilidaddirecta en la resolución de ecuaciones.

Un aspecto que resulta importante, es el uso de los productos notables cuando se tratade resolver ecuaciones que involucran raíces.

Ejemplo II.4.7.4.Resuelva la ecuación:

√(x – 8) = 2

√(x – 8) = 2 ⇔ x – 8 = 4 (elevando a potencia 2)

⇔ x = 12

Ejemplo II.4.7.5.Resuelva la siguiente ecuación:

√(3x – 5) + √(3x – 14) = 9

√(3x – 5) + √(3x – 14) = 9 ⇔ (3x – 5) + 2√(3x – 5) √(3x – 14) + (3x – 14) = 81

⇔ 6x – 19 + 2√(3x – 5) √(3x – 14) = 81

⇔ 2√(3x – 5) √(3x – 14) = 100 – 6x

⇔ √(3x – 5) √(3x – 14) = 50 – 3x

⇔ (3x – 5)(3x – 14) = 2500 – 300x + 9x2

⇔ 9x2 – 19 · 3x + 70 = 2500 – 300x + 9x2

⇔ 300x – 57x = 2430

⇔ 243x = 2430

⇔ x = 10

337

U N I D A D II

ACTIVIDADES II.4.7.6.1. Resuelva las ecuaciones:

a.- x4 – 13x2 – 22 = 0b.- x3 – 4x2 – 5x = 0c.- x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0d.- x2 – 32x + 256 = 0

Solución:

a.- x4 – 13x2 – 22 = 0 ⇔ (x2 – 11)(x2 – 2) = 0

⇔ (x – √11)(x + √11)(x – √2)(x + √2) = 0

⇔ x = √11 ∨ x – √11 ∨ x = √2 ∨ x –√2

b.- x3 – 4x2 – 5x = 0 ⇔ x(x2 – 4x – 5) = 0

⇔ x(x – 5)(x + 1) = 0

⇔ x = 0 ∨ x = 5 ∨ x = –1

c.- x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 ⇔ (x – 1)3 = 0

⇔ x – 1 = 0

⇔ x = 1

d.- x2 – 32x + 256 = 0 ⇔ (x – 16)2 = 0

⇔ x – 16 = 0

⇔ x = 16

2. Resuelva las ecuaciones:

a.- 5 – √(3x + 1) = 0

b.- √(9x2 – 5) – 3x = –1

c.- √(x + 10) – √(x + 19) = –1

d.- √(x – 2) + 5 = √(x + 53)

e.- 13 – √(13 + 4x) = 2√x

Solución:a.- 5 – √(3x + 1) = 0 ⇔ 5 = √(3x + 1)

⇔ 25 = 3x + 1

⇔ 24 = 3x

⇔ 8 = x

a.- √(9x2 – 5) – 3x = –1 ⇔ √(9x2 – 5) = 3x – 1

⇔ 9x2 – 5 = 9x2 – 6x + 1

⇔ – 5 = – 6x + 1

⇔ 6x = 6

⇔ x = 1

338

CONJUNTOS NUMERICOS

b.- √(x + 10) – √(x + 19) = –1 ⇔ x + 10 – 2√(x + 10)√(x + 19) + x + 19 = 1

⇔ 2x + 29 – 2√(x +10)√(x + 19) = 1

⇔ 2x + 28 = 2√(x + 10)√(x +19)

⇔ x + 14 = √(x + 10)√(x + 19)

⇔ x2 + 28x + 196 = (x + 10)(x + 19)

⇔ x2 + 28x + 196 = x2 + 29x + 190

⇔ 6 = x

c.- √(x – 2) + 5 = √(x + 53) ⇔ 5 = √(x + 53) – √(x – 2)

⇔ 25 = x + 53 – 2√(x + 53)/(x – 2) + x – 2

⇔ 25 = 2x + 51 – 2√(x + 53)√(x – 2)

⇔ 2√(x + 53)√(x – 2) = 2x + 26

⇔ √(x + 53)√(x – 2) = x + 13

⇔ (x + 53)(x – 2) = x2 + 26x + 169

⇔ x2 + 51x – 106 = x2 + 26x + 169

⇔ 25x = 63

⇔ x = 63/25

d.- 13 – √(13 + 4x) = 2√x ⇔ 13 = 2√x + √(13 + 4x)

⇔ 169 = 4x + 4√x√(13 + 4x) + 13 + 4x

⇔ 169 = 8x + 13 = 4√x √(13 + 4x)

⇔ 156 – 8x = 4√x√(13 + 4x)

⇔ 39 – 2x = √x√(13 + 4x)

⇔ 1521 – 156x + 4x2 = x(13 + 4x)

⇔ 1521 – 156x + 4x2 = 13x + 4x2

⇔ 1521 – 156x = 13x

⇔ 1521 = 169x

⇔ x = 9

3. Resuelva la ecuación:

√x + √(x + 5) = 10 / √x

Solución:

√x + √(x + 5) = 10 / √x ⇔ x + √x √(x + 5) = 10

⇔ √x √(x + 5) = 10 – x

⇔ x (x + 5) = 100 – 20x + x2

⇔ x2 + 5x = 100 – 20x + x2

⇔ 25x = 100

⇔ x = 4

339

U N I D A D II

El Con

GlosRESUMEN

En esta sección se repasan algunas técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, apli-cando las herramientas vistas en el capítulo. De esta forma, se visualiza cómo se puedenusar las propiedades de los números reales, la factorización, los productos notables, lasraíces y potencias, para resolver ecuaciones.

Glosario

Ecuación: relación algebraica donde al menos un término es desconocido.Incógnita: término desconocido en una ecuación.Producto notable: multiplicación de expresiones algebraicas, ya sea monomios o

polinomios, cuya resultado es conocido.Factorización: transformación de un polinomio en el producto de términos.

Símbolos

√ : Raíz cuadrada

+ : Suma– : Resta

∨ : o

⇔ : Equivalencia

II.5. El Conjunto de los Números Complejos

En este capítulo se introducen los números complejos como una extensión necesariade los números reales, para permitir encontrar soluciones de cualquier ecuación algebraicade segundo grado.

Al finalizar el capítulo, el alumno deberá estar en condiciones de:· Comprender lo que es un número imaginario y uno complejo.· Conocer las principales propiedades de los números complejos.· Resolver ecuaciones algebraicas de segundo grado.· Determinar si una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales o complejas.

Este capítulo final de la unidad, es uno de los más importantes del curso. Se motiva allector a que analice con detención cada uno de los tópicos que son tocados en las tressecciones que siguen.

340

CONJUNTOS NUMERICOS

IntroII.5. Introducción a los Números Complejos

Recordemos que la extracción de raíces nos proporcionó la primera gran sorpresa enla teoría de los números: nos llevó a los números irracionales. Pues bien, el mismo cálculocon raíces nos conduce ahora a los números imaginarios. El concepto de imaginacióncontiene una sugerencia indirecta de irrealidad, fantasía o ilusión; razón por la que losnúmeros imaginarios llevan aparejada de antemano una significación de imposible.

Como ya se ha verificado, el conjunto de los números reales, �, es cerrado para lascuatro operaciones aritméticas básicas: adición, sustracción, multiplicación y división (ex-cepto por el cero). Además, cualquier raíz de un número real positivo es un número real ylas raíces de índice impar de números negativos también son números reales. Pero la raízde índice par de un real negativo no es un número real. Así por ejemplo, la ecuación:

x2 = –1,no tiene solución en el conjunto de los números reales. Esto motivó a una extensión delconjunto � hasta llegar a considerar el conjunto de los números complejos. Para ello, separte definiendo la llamada unidad imaginaria i por la relación:

i2 = –1,y se llama número complejo, z, a todo par de números reales (a, b) que se combinan de lasiguiente forma:

(a, b) = a + bi = zal número real a, se le llama la parte real del número complejo z, denotado por a=Re(z), mientras que al número natural b, se le conoce como la parte imaginaria delnúmero complejo z, se denota por b = Im(z).

De esta manera, mientras los números reales se representaban utilizando una recta,los números complejos se pueden representar en un plano.

Ejemplo II.5.1.1.Represente el número complejo 4 + 2i en el plano.

4 + 2i

341

U N I D A D II

Ejemplo II.5.1.2.Represente el número complejo 2 – 2i en el plano.

2 – 2i

ACTIVIDADES II.5.1.3.1. Represente los siguientes números complejos en el plano:

a.- 4 + 2ib.- 3 – ic.- –5 – 3id.- –1 + 6ie.- 4if.- 8g.- 7 –2ih.- 6 + 6ii.- –3 + 5ij.- –6k.- –3 –il.- –9im.- 8 + 2in.- 2io.- 4 – 8i

2. Determine la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:a.- 3 + 3ib.- 2 – 2ic.- –4 –3id.- –1 + 5ie.- 3 – 4if.- 1 + ig.- –5 + 2ih.- 6 – 4ii.- 4 + ij.- 6k.- 5il.- –4

342

CONJUNTOS NUMERICOS

Glos

m.- –3in.- 10o.- i

RESUMENEn esta sección se introducen los números complejos e imaginarios. La idea central es

la aparición del primer número, la unidad imaginaria, que no pertenece al conjunto de losnúmeros reales.


1. La unidad imaginaria es un número real.2. Un número complejo es un polinomio.3. La parte real de un número complejo es un número real.

Respuestas1. Falso.2. Falso. Aunque un número complejo puede verse como polimonio (por ser la suma de

dos terminos), es mas correcto pensar que es un par ordenado.3. Verdadero.

Glosario

Números Complejos: números formados por la suma de un número real y un númeroimaginario.

Números Imaginarios: aquellos números múltiplos de la unidad imaginaria, i.Números Irracionales: números reales que no pueden expresarse como la división de dos

números enteros.Números Reales: los números reales, negativos, fraccionarios e irracionales.Parte Imaginaria: en un número complejo, corresponde a la parte que es múltiplo de la

unidad imaginaria.Parte Real: en un número complejo corresponde a la parte que no es múltiplo de la

unidad imaginaria.Unidad Imaginaria: la raíz cuadrada de – 1, o bien, aquel número que multiplicado por sí

mismo da como resultado –1. Este número no pertenece al conjunto de los númerosreales.

Símbolos+ : Suma– : RestaIm(Z) : Parte ImaginariaRe(Z) : Parte Real

343

U N I D A D II

Propi : Unidad imaginaria.= : Igualdad

II.5.2. Propiedades de los Números Complejos

Los números complejos z = a + bi, se han definido con operaciones que permiten lasubsistencia de las propiedades algebraicas del sistema de los números reales.

Por ejemplo, dos complejos z1 = a + bi y z2 = c + di, son iguales, si y sólo si, susrespectivas partes real e imaginaria, son iguales:

z1 = z2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) ∧ Im(z1) = Im(z2)

a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d

La adición de dos números complejos se encuentra definida de la siguiente forma:

+ : � x �→ �

(a + bi, c + di) → (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i

Es decir, la suma de dos números complejos consiste en sumar sus respectivas partesreales e imaginarias.

Ejemplo II.5.2.1.Sume los siguientes números complejos:

· (7 – 5i) + (2 + 4i) = 9 – i· (5 – 4i) + (5 + 4i) = 10· (1 + i) – (1 + i) = 0

La multiplicación de dos números complejos tiene una expresión un poco más com-plicada:

· : � x � → �

(a + bi, c + di) → (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (bc + ad)i

Se pueden utilizar las propiedades de los productos notables; para simplificar laoperatoria involucrada en la multiplicación de números complejos.

Ejemplo II.5.2.2.· (1 + i)(1 – i) = 1 – i2 = 1 + 1 = 2· (5 + 3i)(2 – 3i) = 10 +6i – 15i – 9i2 = 10 – 9i + 9 = 19 – 9i· (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i

Se conoce como conjugado de un número complejo z = a + bi, al número complejo a– bi, esto es, al número que conserva la parte real, pero cuya parte imaginaria correspondeal inverso aditivo.

344

CONJUNTOS NUMERICOS

Ejemplo II.5.2.3.Determine el conjugado de los siguientes números complejos:

· z = 3 – 4i zc = 3 + 4i· z = 0 zc = 0· z = 4 + i zc = 4 – i

Al multiplicar un número complejo por su conjugado, resulta siempre un número real:(a + bi)(a – bi) = a2 – b2i2 = a2 + b2

Además, se tienen las siguientes propiedades:(a + bi) + (a – bi) = 2Re(a + bi)

Al sumar un número complejo con su conjugado se obtiene dos veces la parte real delnúmero complejo.

(a + bi) – (a – bi) = 2Im(a + bi)Al restar un número complejo con su conjugado, se obtiene dos veces la parte imagi-

naria del número complejo.

Ejemplo II.5.2.4.Efectúe las operaciones que se le indican:

· (3 + 2i) + (3 – 2i) = 6· (4 – i) – (4 + i) = – 2i· (7 – i)(7 + i) = 49 + 1 = 50

Para dividir dos números complejos, basta con amplificar por el conjugado del deno-minador:

(a + bi)/(c + di) = (a + bi)/(c + di) · (c – di)/(c – di) = ((ac – bd) + (bc + ad)i) / (c2 + d2)

Ejemplo II.5.2.5.Divida los siguientes números complejos:

· (3 – 5i) /( 1 + i) = (3 – 5i) / (1+i) · (1 – i)/(1 – i) = (3 – 5i)(1 – i) / 2 = (8 – 8i)/2 = 4 – 4i· 3/(1 – 2i) = 3/(1 – 2i) · (1 + 2i)/(1 + 2i) = (3 + 6i) / 5 = 3/5 + 6/5 i· i / (4 + i) = i / (4 + i) · (4 – i) / (4 – i) = (1 – 4i) / 17 = 1/17 – 4 /17 i· (4 + 2i) /2 = 2 + i

ACTIVIDADES II.5.2.6.1. Realizar las operaciones que se indican:

a.- (2 – 3i) + (6 + 4i)b.- (12 + 9i) + ( –5 – 6i)c.- (–7 + 6i) + ( 7 – 3i)d.- (3 + 2i) – ( 4 – 2i)e.- (–8 + 4i) – (10 + 3i)f.- (17 – 4i) – (–21 – 5i)g.- 2 a + (a + 2i)h.- (–9b + i) – (3b – 21i)i.- (4 + 2i)(4 – 2i)

345

U N I D A D II

j.- (7 + 6i)(8 – 3i)k.- (6 – 5i)(–4 + 3i)l.- (3 + 4i)(5 – 8i)m.- (–10 + i)(8 – 2i)n.- (a + bi)(a – bi)o.- (a + bi)(a + bi)p.- (c – 2di)(3c + di)q.- (2 + 3i)/(5 + 2i)r.- (–3 + i)/ (–5 + 3i)s.- (2 + 2i) / (–3 + 3i)t.- 30 / ( 1 + i)u.- (a + bi)/ (a – bi)v.- a / (a + bi)

Solución:a.- (2 – 3i) + (6 + 4i) = 10 + ib.- (12 + 9i) + ( –5 – 6i) = 7 + 3ic.- (–7 + 6i) + ( 7 – 3i) = 3id.- (3 + 2i) – ( 4 – 2i) = – 1 + 4ie.- (–8 + 4i) – (10 + 3i) = – 18 + if.- (17 – 4i) – (–21 – 5i) = 38 + ig.- 2 a + (a + 2i) = 3 a + 2ih.- (–9b + i) – (3b – 21i) = –12b + 22ii.- (4 + 2i)(4 – 2i) = 20j.- (7 + 6i)(8 – 3i) = 74 + 27ik.- (6 – 5i)(–4 + 3i) = –5 + 38il.- (3 + 4i)(5 – 8i) = 47 – 4im.- (–10 + i)(8 – 2i) = –78 + 28in.- (a + bi)(a – bi) = a2 + b2

o.- (a + bi)(a + bi) = a2 – b2 + 2abip.- (c – 2di)(3c + di) = 3c2 + 2d2 – 5cdiq.- (2 + 3i)/(5 + 2i) = (16 + 11i) / 29r.- (–3 + i) / (–5 + 3i) = (18 + 4i) / 34s.- (2 + 2i) / (–3 + 3i) = – 12i / 18 = – 2/3it.- 30 / ( 1 + i) = (30 – 30i) / 2 = 15 – 15iu.- (a + bi)/ (a – bi) = (a2 – b2 + 2abi) / (a2 + b2)v.- a / (a + bi) = (a2 – abi) / (a2 + b2)

2. Encuentre el conjugado de los siguientes números complejos:a.- 4 + 2ib.- 3 – i

c.- –5 – 3i

346

CONJUNTOS NUMERICOS

II.5.

d.- –1 + 6ie.- 4i

f.- 8g.- 7 –2ih.- 6 + 6i

Solución:

a.- 4 – 2ib.- 3 + ic.- –5 + 3id.- –1 – 6i

e.- – 4if.- 8g.- 7 + 2ih.- 6 – 6i

Ejercicios II.5.2.7.1. Realizar las operaciones que se indican:

a.- (–5 + i) + (–1 – 5i)b.- (1 + 15i) + (2 – 13i)c.- (10 + 2i) + (–7i)d.- (7 – 9i) – (–1 + 3i)e.- (20 – 5i) – (6 + 10i)f.- (13 – i) – (10 + 2i)g.- 5x – (10x + 7i)h.- (14 + ai) + (–6 –2 a i)i.- (–5 + i)(–5 –i)j.- (i + 3)(i + 4)k.- (1 + i)(1 – i)l.- (r – 6i)(2 – 3i)m.- (12 – 2i)(–8 + i)n.- (3x – yi)(2x – 3yi)o.- (5x + 2yi)(–x – yi)p.- (m – 2ni)(m – 2ni)q.- (3 + 2i)/(–5 + i)r.- (5 – i)/(5 + i)s.- (4 + 3i)/ (–1 + 2i)t.- 15x / (– x – 5i)u.- (4x – 2yi) / (2x – yi)v.- (4 – ai) / (y + bi)

347

U N I D A D II

2. Encuentre el conjugado de los siguientes números complejos:a.- –3 + 5ib.- –6c.- –3 –id.- –9ie.- 8 + 2if.- 2ig.- 4 – 8i

Respuestas1. a.- (–5 + i) + (–1 – 5i) = – 6 – 4i

b.- (1 + 15i) + (2 – 13i) = 3 + 2ic.- (10 + 2i) + (–7i) = 10 – 5id.- (7 – 9i) – (–1 + 3i) = 8 – 12ie.- (20 – 5i) – (6 + 10i) = 14 – 15if.- (13 – i) – (10 + 2i) = 3 – 3ig.- 5x – (10x + 7i) = –5x – 7ih.- (14 + ai) + (–6 –2 a i) = 8 – aii.- (–5 + i)(–5 –i) = 26j.- (i + 3)(i + 4) = 11 – 7ik.- (1 + i)(1 – i) = 2l.- (r – 6i)(2 – 3i) = 2r – 18 – (12 + 3r)im.- (12 – 2i)(–8 + i) = –94 +28in.- (3x – yi)(2x – 3yi) = 6x2 – 3y2 – 11xyio.- (5x + 2yi)(–x – yi) = –5x2 + 2y2 – 7xyip.- (m – 2ni)(m – 2ni) = m2 – 4n2 –4mniq.- (3 + 2i)/(–5 + i) = (–13 –13i) / 26r.- (5 – i)/(5 + i) = (24 – 10i) / 26s.- (4 + 3i)/ (–1 + 2i) = (2 – 11i) / 5t.- 15x / (– x – 5i) = (–15x2 + 75xi) / (x2 + 25)u.- (4x – 2yi) / (2x – yi) = 2v.- (4 – ai) / (y + bi) = ((4y – ab) – (ay + 4b)i) / (y2 + b2)

2. a.- –3 – 5ia.- –6b.- –3 + ic.- 9id.- 8 – 2ie.- – 2if.- 4 + 8i

348

CONJUNTOS NUMERICOS

La Ecua

GlosRESUMEN

En la presente sección se presentan las principales propiedades de las operacioneselementales entre números complejos. Se define el concepto de conjugado de un númerocomplejo y se revisan algunas de sus propiedades.

Glosario

Número Complejo: número formado por la combinación de un número real y la suma deun número imaginario.

Número Real: los números naturales, enteros, racionales e irracionales.Propiedades Algebraicas: axiomas sobre el conjunto de los números reales.Parte Real: componente de un número complejo que no posee un número imaginario.Parte Imaginaria: la componente imaginaria de un número complejo.Conjugado: dos números complejos se encuentran conjugados si sus partes imaginarias

corresponden a los inversos aditivos.Inverso Aditivo: número que al sumarse a un número real produce como resultado el

cero.Amplificar: proceso de multiplicar una fracción por el mismo número el numerador y

denominador (la parte superior e inferior de la fracción), esto es, se multiplica por uno.Denominador: parte inferior de una fracción.

Símbolosi: Unidad imaginaria+ : Suma– : RestaRe(z) : Parte real del número complejo zIm(z) : Parte imaginaria del número real z


II.5.3. La Ecuación Cuadrática

Tenemos ahora todas las herramientas necesarias para comprender cómo se resuelveuna ecuación algebraica de segundo grado. Es decir, resolver una ecuación del tipo:

Ax2 + Bx + C = 0

349

U N I D A D II

Para el lector debe resultar conocida la fórmula:

x = – B ± √(B2 – 4AC) / 2A

En esta sección vamos a estudiar aspectos importantes de esta fórmula y sus implicanciasen la resolución de ecuaciones.

El primer aspecto importante de tener en cuenta es que no toda ecuación cuadráticatiene solución en los números reales. Al considerar la fórmula de solución, debe resultarclaro que basta que B2 – 4AC sea un número menor que cero, para que las raíces seanimaginarias, y por lo tanto las soluciones serían complejas. En el caso de que las solucionessean complejas, entonces ellas son conjugadas.

Debe notarse además la posibilidad cierta de que la expresión B2 – 4AC sea exacta-mente igual a cero. En este caso, la única solución posible es – B / 2 A.

Así existen tres posibles tipos de soluciones de una ecuación cuadrática:· Raíces reales y distintas.· Raíces complejas y conjugadas.· Una única raíz real (se dice de multiplicidad dos o bien soluciones reales y repeti-

das).En consecuencia, una ecuación cuadrática no siempre tiene solución en los números

reales, pero éstos siempre se encuentran en el plano complejo.

Ejemplo II.5.3.1.Resuelva la siguiente ecuación cuadrática:

x2 – 4x + 3 = 0Se tiene: A = 1

B = –4C = 3

De donde: x = (4 ± √(16 – 12))/2

x = (4 ± 2)/2Soluciones reales y distintas: x1 = 3 y x2 = 1

Ejemplo II.5.3.2.Resuelva la siguiente ecuación cuadrática:

x2 + x + 1 = 0Se tiene: A = 1

B = 1C = 1

De donde: x = (–1 ± √(1 – 4))/2

x = (–1 ± √3i)/2

Soluciones complejas y conjugadas: x1 = (–1 + √3i)/2 y x2 = (–1 – √3i)/2

Ejemplo 2.5.3.3.Resuelva la siguiente ecuación cuadrática:

x2 – 2x + 1 = 0Se tiene: A = 1

350

CONJUNTOS NUMERICOS

II.5.2.

B = –2C = 1

De donde: x = (2 ± √(4 – 4))/2

x = 1Solución real de multiplicidad 2 (repetida): x = 1

Debido a que la expresión B2 – 4AC, es la que determina la naturaleza de las solucio-nes de la ecuación, recibe el nombre especial de discriminante. Se tiene:

· Si el discriminante es positivo (B2 – 4AC > 0), entonces las soluciones son reales ydistintas.

· Si el discriminante es negativo (B2 – 4AC < 0), entonces las soluciones son complejas yconjugadas.

· Si el discriminante es cero (B2 – 4AC = 0), entonces se tiene una única solución real.De esta manera, antes de resolver una ecuación cuadrática, es posible determinar la

naturaleza de sus soluciones.

Ejemplo II.5.3.4.Determine la naturaleza de las siguientes ecuaciones cuadráticas, sin resolverlas.a) x2 – 4x + 3 = 0Se tiene: A = 1

B = –4C = 3

B2 – 4AC = 4 > 0Soluciones reales y distintasb) x2 + x + 1 = 0Se tiene: A = 1

B = 1C = 1B2 – 4AC = –3 < 0

Soluciones complejas y conjugadasc) x2 – 2x + 1 = 0Se tiene: A = 1

B = –2C = 1

B2 – 4AC = 0Solución real de multiplicidad 2 (repetida)

ACTIVIDADES II.5.3.5.1. Determine la naturaleza de las siguientes ecuaciones cuadráticas, sin resolverlas.

a.- x2 + 7x – 44 = 0b.- x2 – 2x + 10 = 0c.- 2y2 – y + 8 = 0d.- 2 – 13x + 21x2 = 0

351

U N I D A D II

e.- 5 – 10s – 20s2 = 0f.- 3x2 – x –2 = 0g.- a – 3 + 4 a2 = 0h.- 9y2 – 12y + 4 = 0i.- 1 + 2n + n2 = 0j.- 2 a – 4 a2 – 15 = 0

Solución:a.- A = 1

B = 7C = –44B2 – 4AC = 225 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

b.- A = 1B = –2C = 10B2 – 4AC = – 36 > 0, luego las raíces son complejas y conjugadas.

c.- A = 2B = –1C = 8B2 – 4AC = –63 < 0, luego las raíces son complejas y conjugadas.

d.- A = 21B = –13C = 2B2 – 4AC = 1 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

e.- A = –20B = –10C = 5B2 – 4AC = 500 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

f.- A = 3B = –1C = –2B2 – 4AC = 25 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

g.- A = 4B = 1C = –3B2 – 4AC = 49 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

352

CONJUNTOS NUMERICOS

h.- A = 9B = –12C = 4B2 – 4AC = 108 > 0, luego las raíces son reales y distintas.

i.- A = 1B = 2C = 1B2 – 4AC = 0, luego las raíces son reales e iguales, repetidas.

j.- A = –4B = 2C = –15B2 – 4AC = – 371 < 0, luego las raíces son complejas y conjugadas.

2. Encuentre la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:a.- x2 + 2x + 1 = 0b.- y2 – y – 8 = 0c.- x2 + 4x = 0d.- 2 a2 = 4 – 3 ae.- 16 t2 + 4t + 26 = 0

Solucióna.- Raíces reales y repetidas x = – 1. Suma es –2, producto 1.

b.-Raíces reales y distintas y = (1 ± √33) / 2. Suma es 1, producto –8.

c.- Raíces reales y distintas x = 0 ∨ x = – 4. Suma es – 4, producto 0.

d.-Raíces reales y distintas x = – 2 ∨ x = ½. Suma es – 3/2, producto –1.

e.- Raíces complejas y conjugadas x = (–1 ± 5i)/ 8. Suma es – ¼, producto 13/32.

3. Resuelva los siguientes problemas:a.- Encontrar dos enteros consecutivos cuyo producto es 1332.b.-Encontrar dos enteros pares consecutivos, cuyo producto es 528.c.- Encontrar dos enteros consecutivos impares, que multiplicados dan 899.d.-La suma de los cuadrados de dos números positivos es 808. Uno de los números es

cuatro veces más grande que el otro. Encuentre los números.e.- La diferencia de los cuadrados de dos números positivos es 40. Uno de los números es

dos veces más grande que el otro. Encuentre los números.Solución:a.- x(x + 1) = 1332 ⇔ x2 + x – 1332 = 0

⇔ x1 = –36 ∨ x2 = 37

⇔ x = 37

Los números son 37 y 38.

353

U N I D A D II

Glos

b.- 2x(2x +2) = 528 ⇔ 4x2 + 4x – 528 = 0

⇔ x2 + x – 132 = 0

⇔ x1 = –11 ∨ x2 = 12

⇔ x = 12

Los números son 24 y 26.

c.- (2x + 1)(2x +3) = 899 ⇔ 4x2 + 8x + 3 = 899

⇔ 4x2 + 8x – 896 = 0

⇔ x2 + 2x – 224 = 0

⇔ x1 = –14 ∨ x2 = 16

⇔ x = 16

Los números son 33 y 35.d.- (4x)2 + x2 = 808 ⇔ 16x2 + x2 = 808

⇔ 17x2 = 808

⇔ x2 = 808/17

⇔ x = ± √(808/17)

⇔ x = √(808/17)

Los números son √(808/17) y -√(808/17).

e.- (2x)2 – x2 = 40 ⇔ 3x2 = 40

⇔ x2 = 40/3

⇔ ±√(40/3)

⇔ √(40/3)

Los números son √(40/3) y 2√(40/3).

RESUMENEn la presente sección se revisa el procedimiento para resolver una ecuación algebraica

de segundo grado. En particular se define el discriminante de una ecuación y la forma enque es usado para determinar la naturaleza de las raíces o soluciones de la ecuación antes deencontrarlas.

Glosario

Ecuación Cuadrática: ecuación donde la incógnita aparece elevada a la potencia de dos.Ecuación de Segundo Grado: ecuación cuadrática.Solución de una Ecuación: números reales o complejos que satisfacen la relación.Raíz de una Ecuación: solución de una ecuación.

354

CONJUNTOS NUMERICOS

Números Reales: los números naturales, enteros, racionales e irracionales.Número Imaginario: aquel número que es múltiplo de la unidad imaginaría (la raíz de –

1).Número Complejo: aquellos números que se forman como combinación de un número

real y un número imaginario.Números Complejos Conjugados: aquellos números cuya parte imaginaria son inversos

aditivos entre si.Discriminante: expresión algebraica formada por los coeficientes de una ecuación

cuadrática que permite determinar la naturaleza de las soluciones de la ecuación.

Símbolos± : Positivo y negativo.

√ : Raíz cuadrada

+ : Suma– : Resta/ : División= : Igualdad

⇔ : Equivalencia

355

U N I D A D III

UnidadDesigualdades e Inecuaciones

Unidad III

357

U N I D A D III

IndiÍndice

III. Desigualdades e Inecuaciones ............................................................. 386III.1 Desigualdades ...............................................................................386

III.1.1. Introducción a las Desigualdades ......................................... 387III.1.2. Propiedades Conocidas de los Números Reales ...................391III.1.3. La Recta Real e Intervalos ..................................................... 395III.1.4. Desigualdades como Relaciones de Orden ..........................397II.1.5. Propiedades de Desigualdades .............................................. 404

III.2 Valor Absoluto ...............................................................................406III.2.1. Introducción ......................................................................... 407III.2.2. Propiedades del Valor Absoluto ............................................ 409III.2.3. Intervalos y Valor Absoluto ................................................... 413

III.3 Inecuaciones .................................................................................417III.3.1. Introducción ......................................................................... 417III.3.2. Métodos de Solución de Inecuaciones .................................421III.3.3. Sistemas de Inecuaciones y Programación Lineal ................. 426

Referencias ................................................................................................434

359

U N I D A D III

Desi

DesiIII. Desigualdades e Inecuaciones

Una desigualdad está involucrada cuando nos interesa más el tamaño aproximado deuna cantidad que su valor exacto. Como se irá apreciando en lo que resta del curso, y en losposteriores desarrollos de Matemáticas, las desigualdades son tanto o más importantes queel concepto de igualdad.

Mientras el concepto de igualdad se encuentra anexado con las relaciones de equiva-lencia y las ecuaciones, con las desigualdades aparecen las relaciones de orden y lasinecuaciones. De esta manera existe una completa construcción axiomática que permitededucir propiedades y resolver inecuaciones.Los objetivos principales de esta unidad, se centran en:

a.-Presentar las propiedades de las relaciones de orden en el conjunto de los númerosreales. En particular, se estudiará con detalle la representación de los númerosreales en la recta real.

b.-Definir el concepto de valor absoluto, presentando su utilidad para representar inter-valos.

c.- Conocer métodos para resolver inecuaciones.d.-Conocer algunas aplicaciones de las inecuaciones, valor absoluto y desigualdades.

El primer capítulo, DESIGUALDADES, presenta e introduce los principales concep-tos involucrados en las relaciones de orden. Un poco de su axiomática y la representaciónde los números reales pro medio de una recta. Se discuten con detalle los conceptos deintervalos, logrando presentar una clasificación de ellos.

Un segundo capítulo, llamado VALOR ABSOLUTO, presenta este importante concepto.En especial son vistas propiedades como la desigualdad triangular, y la noción de que un valorabsoluto no es más que una medida de distancia. La representación de intervalos por medio devalores absolutos es presentada como la aplicación final de estos.

El último capítulo de esta unidad se encuentra dedicado a las inecuaciones. Se revisanlas principales técnicas de solución, algunas aplicaciones y especialmente los sistemas deinecuaciones y su aplicabilidad a la programación lineal.

III.1. Desigualdades

En este capítulo nos ocuparemos de las desigualdades entre números reales y comen-zaremos recordando algunas relaciones conocidas.Al finalizar, el estudiante deberá estar en condiciones de:

• Definir el concepto de desigualdad.• Conocer la teoría axiomática relacionada con las desigualdades de números reales.

360

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Intro

• Comprender el significado de la representación de los números reales por medio de unarecta.

• Conocer las principales propiedades de las desigualdades entre números reales y lasrelaciones de orden.Las reglas para el manejo de las desigualdades pueden ser demostradas sobre la base

de los axiomas del álgebra, y sólo son ligeramente más complicadas que las aprendidassobre esta materia en el álgebra para igualdades. Sin embargo, las diferencias son tan impor-tantes, que el lector debe prestar especial atención para no confundirlas.

III.1.1. Introducción a las Desigualdades

Expresiones como a < b, b ≥ a se llaman desigualdades. Cuando trabajábamos conigualdades y ecuaciones, estábamos pensando en problemas cuya solución debía satisfacerexactamente alguna condición. Sin embargo, existen diversos problemas donde no interesasatisfacer alguna igualdad, sino más bien, se busca mantener una cota superior o inferior deuna determinada condición. De aquí nacen las desigualdades e inecuaciones. La igualdadconformaba un tipo especial de relación, conocida como relación de equivalencia. De mane-ra análoga, las desigualdades conforman un tipo especial de relación, denominada relación deorden. También debemos recordar que existe una metodología invariable e infalible para resol-ver ecuaciones. Veremos en lo sucesivo un conjunto de procedimientos de comportamientoanálogo para resolver inecuaciones.

Las expresiones a a (que se lee “b es mayorque a”) ambas dicen que el número b – a es positivo.

La expresión a ≤ b (o b ≥ a) significa que a es menor o igual que b, es decir, que b – aes positivo o cero. De donde, una proposición de la forma a ≤ b, es verdadera, sólo si b – aes positivo o cero.

Ejemplo III.1.1.1.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

• “1 < 3”, como 3 –1 = 2 es positivo, se tiene que la proposición es verdadera.• “5 > 21”, como 5 – 21 = – 16 no es positivo o cero, la proposición es falsa.

• “3 ≤ 3”, como 3 – 3 = 0, se tiene que la proposición es verdadera.

• “–3 < –2”, como – 2 – (–3) = –2 + 3 = 1 es positivo, la proposición es verdadera.Se debe tener en cuenta que a > 0 significa que a – 0 = a es positivo; entonces a >

0 es una manera más corta de decir que a es positivo.Una inecuación es cualquier función proposicional que involucre los símbolos <, >,

≤, ≥, para relacionar elementos de algún conjunto numérico, donde al menos uno de estoscomponentes debe ser el parámetro de la función.

361

U N I D A D III

Ejemplo III.1.1.2.

El conjunto solución de la inecuación x >10, x ∈ �, es el conjunto S = {11, 12, 13, 14, ...}

Ejemplo III.1.1.3.

El conjunto solución de la inecuación x >10 ∧ x<15, x ∈�, es el conjunto S = {11, 12, 13, 14}.

Ejemplo III.1.1.4.

El conjunto solución de la inecuación x > 10 ∧ x < 8, x ∈ �, es el conjunto vacío.

ACTIVIDADES III.1.1.5.1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a.- “1 ≤ 1 ∨ 0 > 1”

b.-“–5 < 1 ∧ 1 < 5”

c.- “–5 < 1 ∨ 1 < 5”

d.-“no es cierto que 0 < – 5”Solución:

a.- Verdaderob.- Verdaderoc.- Verdaderod.- Verdadero

2. Establezca cuál de las siguientes funciones proposicionales corresponde a una inecuación:a.- x2 – 5 < 100b.- x2 –5x + 10 = 0

c.- x2 –5x ≠ 3

d.- 3 > 1

e.- 3x > 4 ∨ 3x < 4

Solucióna.- Inecuaciónb.- Ecuaciónc.- Inecuaciónd.- Desigualdade.- Inecuación

RESUMENEn esta sección se definen los conceptos de desigualdad e inecuación. Se revisa un

poco la notación involucrada, para sentar las bases del desarrollo que sigue.


1. 6 > 3 2. 3 > 3 3. 3 < 3

362


Glos

4. 3 ≤ 3

5. 3 ≥ 3

6. 12 10< −

7.1

8

1

2>

8.19

20

20

21<

9. –10 < –8

10. x2 ≤ 0, para todo x ∈ �

Respuestas 1. Verdadero 2. Falso 3. Falso 4. Verdadero 5. Verdadero 6. Falso 7. Falso 8. Verdadero 9. Verdadero10. Falso

Glosario

Desigualdades: relación entre dos expresiones numéricas que expresa si una de ellas esmenor o mayor que la otra.

Igualdades: relación entre dos expresiones numéricas que expresa la igualdad entre lasdos expresiones.

Ecuaciones: relación algebraica que expresa la igualdad entre términos, uno de los cualeses desconocido.

Cota Superior: elemento que es mayor que todos los elementos de un conjunto dado, loacota superiormente.

Cota Inferior: elemento que es menor que todos los elementos de un conjunto dado, loacota inferiormente.

Inecuaciones: relación algebraica que expresa la desigualdad entre términos, uno de loscuales es desconocido.

363

U N I D A D III

Prop

Relación de Equivalencia: relaciones que implican los axiomas de equivalencia(transitividad, reflexividad, simetría).

Relación de Orden: relaciones que implican los axiomas de orden (transitividad,reflexividad, antisimetría).

Valor de Verdad: estado de una proposición (verdadero o falso).Proposiciones: expresión de la cual se puede determinar sin ambigüedad si es verdade-

ra o falsa.Función Proposicional: expresión que contiene un parámetro variable, que cuando se fija,

se transforma en una proposición.Conjunto Numérico: conjuntos cuyos elementos son números, generalmente del mismo

tipo.

Símbolos< : Menor que.

≤ : Menor o igual que.

> : Mayor que.

≥ : Mayor o igual que.

= : Igual que.

III.1.2. Propiedades Conocidas de los Números Reales

En la presente sección repasaremos las propiedades ya conocidas y estudiadas en launidad anterior de los números reales. Se insiste en ellas porque son de vital importanciapara la cabal comprensión de esta unidad.

Las propiedades fundamentales que se deben conocer son las siguientes:• El conjunto de los números reales es cerrado para las operaciones binarias de adición

y multiplicación. Es decir, para cualquier par de números naturales a y b, se tiene quela suma a + b, también es un número real. De la misma forma, la multiplicación a· b,también es real.

• La adición y la multiplicación son conmutativas y asociativas, y la multiplicación es,además, distributiva respecto de la adición. Es decir, para a, b y c números reales, setiene:

a + b = b + aa · b = b · a

Propiedad Conmutativa}a + (b + c) = (a + b) + ca · (b · c) = (a · b) · c

Propiedad Asociativa}a · (b + c) = a · b + a · c Propiedad Distribuitiva}

364


• Existen los números reales 0 (neutro aditivo) y 1 (neutro multiplicativo) tales que paracualquier número real a, se tiene:

a + 0 = a y a · 1 = a• Para cualquier par de números reales a y b, la ecuación:

a + x = btiene una solución real única que se escribe x = b – a. (Si b = 0, entonces x = – a). Paracualquier a y b, números reales, tales que a es diferente que 0. La ecuación

a · x = b

tiene una solución real única, que se escribe b/a o a. (Con la palabra única, se expresa que

hay solamente un número real con dicha propiedad.)

Ejemplo III.1.2.1.El elemento 0 (neutro aditivo) es único.

DemostraciónSea c cualquier número real, tal que a + c = a para todo número real a. Por la propie-

dad de existencia de un neutro aditivo, sabemos que hay por lo menos un número real conesta propiedad. La ecuación

a + c = aes de la misma forma de la ecuación

a + x = bque sabemos tiene como única solución a x = b – a, remplazando x por c y b por a el

número c que satisface esta ecuación es único, por consiguientec = 0

Dicho de otra manera: el número a – a es 0, para cualquier número real a.

Ejemplo III.1.2.2.El producto b · 0 es 0, para cualquier número real b

DemostraciónSea a cualquier número real. Por la propiedad de existencia de neutro aditivo se

tiene que:a + 0 = a

Considerando cualquier número real b se puede escribir:b· (a + 0) = b · a

y de la propiedad distributiva, tenemos que:b · a + b · 0 = b · a

Esto se puede considerar como una ecuación para b · 0, que tiene la soluciónúnica

b · 0 = b · a – b · a = 0,por la existencia de inverso y neutro aditivo.

III.1.2.

b

365

U N I D A D III

Ejemplo III.1.2.3.El elemento 1 con la propiedad de ser neutro multiplicativo es único.

DemostraciónSea c un número real cualquiera tal que a · c = a para todo número real a

(Por Re (3), hay por lo menos un número real con esta propiedad). La ecuacióna · c = a

es de la misma forma que la ecuacióna · x = b

Remplazando x por c y a por b, para a diferente de 0, el número c que satisface estaecuación es único; es decir,

c = 1Dicho de otra manera: el número a/a es 1, para cualquier a real distinto de 0.

Ejemplo III.1.2.4.El producto (–a)·(–b) es a · b, para cualquier a y b reales.

DemostraciónSe puede ver ello considerando la expresión siguiente:

a · b + a · (–b) + (–a) · (b).(Observe que no se necesitan más paréntesis por la asociatividad de la adición.)La suma de los primeros términos es:

a · (b + (–b))Pero b + (–b) es 0 por la definición de “–b”, y a · 0 es 0. Entonces, como la suma de los

dos primeros términos es 0, la suma total de la expresión es (–a) · (–b). Similarmente, la sumade los dos últimos términos es 0, y la expresión completa tiene como resultado a · b. Perocomo ya hemos dicho la suma es asociativa, por consiguiente las dos maneras de simplificar laexpresión tienen que dar el mismo resultado. Entonces:

a · b = (–a) · (–b)Ejemplo III.1.2.5.

El producto a · (–b) es –(a · b), para todos los números reales a y b.

DemostraciónEsto se deduce directamente de que:

a · b + a · (–b) = 0Como hemos mencionado antes, las propiedades registradas se discutieron en la Uni-

dad 2 y nos referiremos frecuentemente a ellas en este curso. Todas estas propiedades sonmuy importantes.

Hay otros dos conjuntos de propiedades de una naturaleza un poco distinta, que tam-bién damos por supuestas. En efecto, cuando desarrollamos una demostración suponemoscomo conocidos lo que denominamos los tres principios lógicos, o las tres propiedades delsigno “=”; reflexividad, simetría y transitividad.

Reflexividad: para cualquier número real a, ocurre que a = a.

366


Simetría: si a = b, entonces b = a.Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.

Estas tres propiedades nos permiten llevar a cabo las manipulaciones requeridas parademostrar teoremas. Otra vez, pueden parecerle tan evidentes que no les damos mayorimportancia, pero ellas conforman lo que se denomina de forma más general las propieda-des de las relaciones de equivalencia. En particular, en vista del hecho de que dos cosasdistintas no pueden ser precisamente lo mismo, ¿qué es lo que verdaderamente queremosdecir con la expresión “a = b”?

El tercer conjunto de propiedades de los números reales sobre el que queremos llamarsu atención expresa el hecho de que es un conjunto desordenado. Por ejemplo, los números

–1, 2, 0, 5, 7, 4, 3se pueden ordenar,

–1, 0, 5, 2, 4, 3, 7de tal manera que si el número b está a la derecha del número a ocurre que (b – a) es

positivo. Tenga en cuenta que las ultimas palabras expresan esta propiedad en términos denúmeros positivo. ¿Podemos expresar completamente la idea de orden en términos de nú-meros positivos? Es un hecho extraordinario que pueda expresarse la idea de orden con basesobre las siguientes propiedades que constituyen el fundamento de la teoría de las desigual-dades (las designaremos como axiomas de orden):

Ord (1) El conjunto de los números reales contiene un subconjunto de números realespositivos, el que posee las siguientes propiedades:

Ord (2) La suma de los números reales positivos es positiva.Ord (3) El producto de dos números reales positivos es positivo.

Ord (4) Dado cualquier real a, tal que a ≠ 0, o a es positivo, o –a es positivo (pero noambas).

El conjunto de los números reales positivos, se denota usualmente por �+, y no consi-dera al cero (neutro aditivo). En cambio � 0 , corresponde a �+ ∪ {0}. Existe también elconjunto de los números reales negativos, esto es �–.

DefiniciónSi el número real a es positivo, entonces el número –a se llama negativo.Estas propiedades de orden nos permiten definir los símbolos que son el tema de la

unidad.

ACTIVIDAD III.1.2.6.

1.- Demuestre que el producto de dos números negativos es un número positivo.

2.- Demuestre que el producto de un número positivo y un número negativo es un númeronegativo.

3.- Deduzca que el número 1 (neutro multiplicativo) es positivo.

367

U N I D A D III

La RecRESUMEN

En esta sección se repasan las propiedades ya conocidas y estudiadas en la unidadanterior de los números reales. Se insiste en estas propiedades porque son de vital importan-cia para la cabal comprensión de esta unidad.

La Recta Real e Intervalos

Las propiedades de orden se pueden ilustrar de la siguiente manera. Considere unalínea recta y marque en ella dos puntos A y B. Marque el punto de la izquierda con 0 y elde la derecha con 1, y considere la distancia entre estos dos puntos como la unidad delongitud.

A B

–2 –1 0 1 2 3

Los puntos de la recta que corresponden a los otros números enteros se localizanmarcando, sucesivamente, unidades de longitud en ambos sentidos de la línea. Los núme-ros positivos quedan colocados en orden a la derecha del 0 y los números negativos a laizquierda. Los puntos que representan números como m/n donde m y n son enteros dife-rentes que 0 y m < n se pueden localizar dividiendo el segmento unidad entre 0 y 1 en nsegmentos congruentes. De esta manera, se pueden localizar puntos para todos los núme-ros racionales. El cómo es que a 2 , también le corresponde un único punto en la rectanumérica es algo fuera del alcance de este curso, pero también es cierto. En resumen acada número real le corresponde un único punto en la recta, denominada recta real. Posi-blemente esté pensando por qué damos tanta importancia a esta idea siendo que todoshemos visto una regla, pero la demostración de que hay una correspondencia biunívocadel conjunto de los números reales y del conjunto de puntos de una recta envuelve gran-des dificultades filosóficas que empantanaron a la humanidad por siglos.

La proposición “a < b” se interpreta como que el punto que representa a en la recta,está a la izquierda del punto que representa b.

368


ACTIVIDADES III.1.3.1.Represente en una recta numérica los siguientes conjuntos. Por ejemplo, la represen-

tación de (i) esI * * *

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5i.- {1, 1,5, 3,75}

ii.- {x : x ∈ �, 3 + x = 2}

iii.- {x : x ∈ �, x2 + 3x + 2 = 0}

iv.- {x : x ∈ �, x > 0}

v.- {x : x ∈ �, x ≤2}

Solución:i.-

* * * *–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

ii.- *

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

iii.-{x : x ∈ �, x2 + 3x + 2 = 0} a {–2, –1}

* *–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

iv.-–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

v.-–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

En los casos iv.- y v.- no está claro en las gráficas si los puntos finales respectivos, 0 y2 están incluidos en los conjuntos solución. Para indicar esto es que se ilustra en gráfica. Asípor ejemplo, para indicar que 0 está excluido en el caso iv.- dibujamos el siguiente diagra-ma:

–3 –2 –1 0 1 2 3Para indicar que 2 está incluido en el caso v.- dibujamos

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

Similarmente, el diagrama:

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

III.1.3.

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

123456789012345678901123456789012345678901123456789012345678901

123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012

123456789012345678901234567890121123456789012345678901234567890121123456789012345678901234567890121

123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567

369

U N I D A D III

Desig

Representa el conjunto {x : x ∈ �, 1≤ x < 6} en el que 1 está incluido y 6 no.

No usaremos gráficas como éstas, a menos para hacer énfasis en la inclusión o exclu-sión de un punto final.RESUMEN

En esta sección se presenta la forma de representar números reales, usando para ello larecta real. En particular se muestra como se representan números menores o mayores queotro.

III.1.4. Desigualdades Como Relaciones de Orden

DefiniciónSea A un conjunto y R una relación en A. Diremos que R es una relación de orden en

A si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Denotaremos a toda relación de orden R con el símbolo ≤. Así x R y se escribe x ≤ y yse lee “x es anterior a y” o “x está antes que y” o “x es menor que y”. También podemos decirque “y es posterior a x” o “y sigue a y” o “y es mayor que x”.

Con esta notación, se tiene que ≤ es una relación de orden en A, si y sólo si cumplecon las siguientes propiedades:

(� x ∈ A) (x ≤ x)

(� x ∈ A)((� y ∈ A)((x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y))

(� x ∈ A)((� y ∈ A)((� z ∈ A)((x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z)))

Si ≤ es una relación de orden en A, entonces diremos que el conjunto A es un conjuntoparcialmente ordenado.

Ejemplo III.1.4.1.La relación de inclusión definida en el conjunto de las partes de A = {1, 2, 3, 4, 5}, es una

relación de orden. Así P(A) es parcialmente ordenado.En efecto,

(� X ∈ P(A)) (X ⊆ X)

(� X ∈ P(A))((� Y ∈ P(A))((X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X) ⇒ X = Y))

(� X ∈ P(A))((� Y ∈ P(A))((� Z ∈ P(A))((X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z) ⇒ X ⊆ Z)))

Ejemplo III.1.4.2.

En �, la relación menor o igual, es una relación de orden. Así R es un conjunto parcial-mente ordenado.En efecto, para x, y, z números reales se tiene:

(� x ∈ �) (x ≤ x)

(� x ∈ �)((� y ∈ �)((x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y))

370


(� x ∈ �)((� y ∈ �)((� z ∈ �)((x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z)))

DefiniciónUn conjunto A parcialmente ordenado, se dice totalmente ordenado si dados a y b en

A, se tiene que a ≤ b o b ≤ a. Es decir si todos los elementos de A son comparables.

La definición muestra que A es totalmente ordenado si satisface las siguientescondiciones:

(� x ∈ A) (x ≤ x)

(� x ∈ A)((� y ∈ A)((x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y))

(� x ∈ A)((� y ∈ A)((� z ∈ A)((x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z)))

(� x ∈ A)((� y ∈ A)(x ≤ y ∨ y ≤ x))

Ejemplo III.1.4.3.

El conjunto � es totalmente ordenado, en efecto dado cualquier x, y, z ∈ �, se tieneque:

(� x ∈ �) (x ≤ x)

(� x ∈ �)((� y ∈ �)((x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y))

(� x ∈ �)((� y ∈ �)((� z ∈ �)((x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z)))

(� x ∈ �)((� y ∈ �)(x ≤ y ∨ y ≤ x))

Ejemplo III.1.4.4.El conjunto P(A), con A = {1, 2, 3, 4, 5} no es totalmente ordenado, en efecto, dados los

conjuntos X = {2, 3} e Y = {3, 4}, no se tiene que X ⊆ Y, ni que Y ⊆ X. En otras palabras,

(∃ X ∈ P(A), X = {2, 3})((∃ Y ∈ P(A), Y = {3, 4})(X ⊄ Y ∧ Y ⊄ X))

Definición

Sea A un conjunto ordenado. Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si (�x ∈ A)(a ≤ x ⇒ x = a). Un elemento a de A se llama elemento minimal de A si (� x ∈ A)(x ≤a ⇒ x = a)

Ejemplo III.1.4.5.

Para E = {a, b, c}, el conjunto de las partes no vacías de E, P(E) – �= {{a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, E} es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Se puede probar que{a}, {b} y {c} son elementos minimales de P(E) – �, en cambio P(E) – � es un elementomaximal. En efecto, por ejemplo para{a} se tiene:{a} {a}

{b} ⊄ {a}

{c} ⊄ {a}

{a, b} ⊄ {a}

{a, c} ⊄ {a}

371

U N I D A D III

{b, c} ⊄ {a}

{a, b, c} ⊄ {a}

Por lo tanto, (� X ∈ P(E))(X ⊆ {a} ⇒ X = {a}). Es fácil ver que {a, b} no es minimal nimaximal.

Se debe observar que un conjunto parcialmente ordenado puede no tener elementosminimales ni maximales. Si los tiene entonces no necesariamente son únicos.

Si A es totalmente ordenado y tiene un elemento maximal, entonces es único. De lamisma manera, si tiene un elemento minimal, este es único.

DefiniciónSea A un conjunto ordenado.

Un elemento p ∈ A es primer elemento de A si (� x ∈ A)(p ≤ x)

Un elemento u ∈ A es último elemento de A si (� x ∈ A)(x ≤ u)

Un conjunto ordenado puede no tener primer elemento ni último elemento. Porejemplo ��con el orden “menor o igual que” tiene primer elemento (el uno) y no tieneúltimo elemento. De la misma forma, �, con el mismo orden no tiene primer elemento niúltimo.

TeoremaSea A un conjunto ordenado.Si A tiene primer elemento, entonces es único.Si A tiene último elemento, entonces es único.

Demostración:Sea p y p’ dos primeros elementos diferentes de A. Como p es primer elemento, se

tiene que p ≤ p’, así p = p’. La contradicción prueba que el primer elemento es único.

Si A es totalmente ordenado, entonces coinciden los conceptos de primer elemento yelemento minimal, también los de último elemento y elemento maximal.

Si un conjunto ordenado tiene primer elemento p, entonces p es el único elementominimal. De la misma manera, si el conjunto tiene último elemento u, entonces u es elúnico elemento maximal del conjunto.

DefiniciónSea A un conjunto parcialmente ordenado y X un subconjunto de A.

Un elemento k ∈ A es cota superior de X, si para cualquier x ∈ X, se tiene que x ≤ k, y kes cota inferior de X, si para cualquier x ∈ X, se tiene que k ≤ x.

Un subconjunto X de A puede no tener cotas inferiores ni superiores. Si tiene cotasinferiores se dice que X es acotado inferiormente, si tiene cotas superiores se dice acotadasuperiormente. Si X es acotado superior e inferiormente, entonces diremos que X es unconjunto acotado.

Si k es cota inferior de X, entonces k’, k’ ≤ k, es cota inferior de X. Si k es cota superiorde X, entonces todo k’, k ≤ k’, es cota superior de X.

372


Ejemplo III.1.4.6.

En ��con el orden usual, todo intervalo abierto ]a, b[, cerrado [a, b] o semi abierto [a,b[, con a < b, es acotado. En cambio el intervalo [a, +∞[ es acotado inferiormente, pero nosuperiormente.

DefiniciónSea A un conjunto ordenado y X un subconjunto de A no vacío y acotado superiormente.

Si el conjunto de cotas superiores de X tiene primer elemento, s, entonces diremos que s esel supremo de X, se escribe s = Sup(X).

La definición muestra que s es la menor de las cotas superiores de X, además podemosdecir que: s = Sup(X), para X ⊆ A ssi

(� x ∈ X)(x ≤ s)

Si (� x ∈ X)(x ≤ s’), entonces s ≤ s’.

DefiniciónSea A un conjunto ordenado. Sea X un subconjunto de A no vacío y acotado

inferiormente. Si el conjunto de cotas inferiores de X tiene último elemento i, entoncesdiremos que i es el ínfimo de X, escribimos: i = Inf(X).

La definición muestra que i es la mayor de las cotas inferiores de X.En general el supremo o ínfimo puede existir o no y puede estar en X o no.

Ejemplo III.1.4.7.Por ejemplo, para el conjunto formado por todos los números reales que son menores

que 2, el supremo es 2, pero el 2 no pertenece al conjunto. En cambio, para el conjunto quese encuentra formado por todos los números reales menores o iguales a 2, el supremo tam-bién es 2 y esta vez se encuentra dentro del conjunto.

ACTIVIDAD III.1.4.8.1. Determine el conjunto de cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos:

a.- A = {x ∈ �: –1 < x ≤ 10}

b.-B = {x ∈ �: 0 < x < 10}

c.- C = {x ∈ � x < 10}

Solución

a.- Conjunto de cotas inferiores {x ∈ �: x ≤ –1}

Conjunto de cotas superiores {x ∈ �: 10 ≤ 10}

b.- Conjunto de cotas inferiores {1}

Conjunto de cotas superiores {x ∈ �: 10 ≤ x}

c.- Conjunto de cotas inferiores �

Conjunto de cotas superiores {x ∈ �: 10 ≤ x}

2. Determine el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos:

a.- A = {x ∈ �: –1 < x ≤ 10}

373

U N I D A D III

b.- B = {x ∈ �: 0 < x < 10}

c.- C = {x ∈ � x < 10}

Solucióna.- Ínfimo: –1 Supremo: 10b.- Ínfimo: 1 Supremo: 10c.- Ínfimo no existe Supremo: 10

3. Determine los elementos minimales y maximales de los siguientes conjuntos con la rela-ción de orden asociada.a.- El conjunto de las partes de A con la relación de inclusión de conjuntos, A = {a, b}b.- El conjunto de los números naturales menores o iguales a 10, con la relación de

orden usual entre números.Solución

a.- Elementos minimales: {a}, {b}Elemento maximal {a, b}b.- Elemento minimal: 1Elemento maximal: 10

RESUMENEn la presente sección, se definen una serie de conceptos relacionados con las des-

igualdades, como son los de conjuntos parcialmente ordenados y completamente ordena-dos, elemento minimal, elemento maximal, supremo, ínfimo, cotas superiores, cotas inferio-res, etc.

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1.- 5 es una cota superior del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}2.- 1 es una cota superior del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}3.- 1 es un elemento minimal del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}4.- 1 es un ínfimo del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}5.- 2 no es una cota inferior del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}6.- 2 es el ínfimo del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}7.- 6 es una cota superior del conjunto {2, 3, 4, 5, 6}

8.- ��no tiene ni supremo ni ínfimo.

9.- � no tiene supremo, pero sí ínfimo, el 1.

Respuestas1. Falso2. Falso3. Falso4. Falso5. Falso6. Verdadero

374


Glos7. Verdadero8. Verdadero9. Verdadero

Glosario

Relación de Orden: relación que satisface ciertas propiedades y que permiten relacionarobjetos matemáticos con la posición de los puntos en una recta, estableciendo unmecanismo de precedencia entre los objetos, el orden.

Conjunto Parcialmente Ordenado: conjunto donde se establece un orden, pero no nece-sariamente es posible distinguir, entre todos los pares de elementos, cuál es mayor omenor.

Conjunto Totalmente Ordenado: conjunto donde dado cualquier par de elementos, siem-pre es posible discernir cuál es mayor y cuál es menor.

Elemento Maximal: elemento de un conjunto, que en función de la relación de ordendada, es mayor que todos los otros elementos que son comparables con él.

Elemento Minimal: elemento de un conjunto que es menor que todos los elementos queson comparables con él.

Cota Superior: elemento que es mayor que todos los elementos de un conjunto dado, loacota superiormente.

Cota Inferior: elemento que es menor que todos los elementos de un conjunto dado, loacota inferiormente.

Supremo: la cota superior más pequeña posible, es la mejor cota.Ínfimo: la cota inferior más grande posible, es la mejor cota inferior.


⊆ : subconjunto

∧ : y

∨ : o

� : para todo

∃ : existe

� : conjunto de los números reales


≤ : relación de orden, menor que

⊆ : subconjunto

⇒ : implica

∅ : conjunto vacío

∈ : pertenencia

375

U N I D A D III

PropIII.1.5. Propiedades de las Desigualdades

Ahora la pregunta que podemos hacernos es: “¿Qué procedimiento algebraico de losque usamos para resolver ecuaciones podemos utilizar para trabajar inecuaciones?”. “¿Po-demos sumar el mismo número a cada lado de una desigualdad?”. “¿Podemos multiplicar acada lado de una desigualdad por el mismo número?”, etc.

La respuesta a esta interrogante la encontramos en las siguientes propiedades, conoci-das como propiedades algebraicas de las desigualdades:

(1) Si a < b, entonces a + c 0, entonces ka < kb.

(3) Si a 0, entonces 1 1

a b< .

(4) Si a kb.Estas propiedades se pueden deducir fácilmente de los axiomas de orden, y de las defini-

ciones de “menor que” y “mayor que”. Veremos a continuación la demostración de ellas.

Demostración (1)Si a < b, entonces b – a es un número real positivo. Pero

(b + c) – (a + c ) = b – ay entonces (b + c) – (a + c) es un número real positivo. Por consiguiente

a + c < b + cDemostración (2)

Si a < b, entonces b – a es positivo, y por consiguientekb – ka = k(b – a)

es positivo si k es positivo. Por consiguiente,ka < kb.

Demostración (3)

Escogemos el k de la demostración (2) tal que 1

a b•. Podemos hacer esto porque a · b es

positivo por Ord (3), y además diferente de 0, por lo que1

a b• está definido. Todo lo que tenemos

que hacer es pues, demostrar que k es positivo y aplicar palabra por palabra la demostración (2).

Por definición, k satisface la ecuación

(a · b) · k = 1Además a · (–b) = – (a · b) para todos los números reales a y b. Si suponemos que a y

b son positivos, entonces el producto de un número positivo por un número negativo es

376


negativo. De esta manera, si k es negativo, 1 tiene que ser negativo. Pero ya hemos demos-trado que 1 es positivo, por consiguiente k no es negativo y como es diferente de cero, ktiene que ser positivo.Demostración (4)

Como k es negativo y a – b es negativo, entonceska – kb = k (a–b)

Es positiva, así queka > kb

Ejemplo III.1.5.1.

Considere la siguiente inecuación: 3(x – 5) < 6. Encuentre todos los números realesque la satisfacen.

3(x – 5) < 6 ⇔ x – 5 < 2 (se ha multiplicado por 1/3 en ambos lados de la relación).

⇔ x < 7 (se ha sumado +5 en ambos lados de la relación).

Así el conjunto A = {x ∈ �: x < 7}, el conjunto de todos los reales que son menores oiguales a 7, satisfacen la inecuación.

Ejemplo III.1.5.2.Considere la inecuación –2(x + 10) > 30. Encuentre todos los números reales que la

satisfacen.

–2(x + 10) > 30 ⇔ x + 10 < –15 (se ha multiplicado por –1/2,)

⇔ x < –25 (se ha sumado –10 en ambos lados).

De esta manera, satisfacen la inecuación todos aquellos números reales que son me-nores que –25, esto es, {x ∈ �: x < –25}.

ACTIVIDADES III.1.5.3.Resuelva las siguientes inecuaciones:

1. 3x ≥ 16 – 5x

2. (5x – 10) ≤ 25

3. –3(–x + 1) > –18Solución

1. x ≥ 2

2. x ≤ 7

3. x > –5RESUMEN

En esta sección se revisan las propiedades algebraicas fundamentales para resolverinecuaciones, se verifica que el comportamiento es muy similar al utilizado para resolverecuaciones, salvo cuando se multiplica por un número negativo, lo que provoca un cambioen la desigualdad.

AUTOEVALUACIÓN¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? (Si tiene

dificultad al decidir, reemplace por números.) Todas las letras representan números reales.

377

U N I D A D III

Intro

Valor

1. Si a a.4. Si a < b entonces ka < kb siendo cualquier número real positivo.5. Si a < b entonces ka < kb siendo k cualquier número real.

6. Si a < b entonces 1 1

a b< .

Respuestas1. Verdadero2. Falso.3. Verdadero4. Verdadero5. Falso6. Falso

III.2. Valor Absoluto

En este capítulo se introduce el concepto de valor absoluto. Corresponde a la maneraen que se determina el “tamaño” de un número, o en palabras simples, la distancia quesepara a un número de un origen de referencia.

Al finalizar el capítulo, el lector podrá:• Definir claramente el concepto de valor absoluto.• Conocer las principales propiedades del valor absoluto, en especial la desigualdad trian-

gular.• Definir intervalos de la recta real utilizando la notación de los valores absolutos.

Este capítulo es uno de los más delicados de la presente unidad, por lo que se leadvierte al lector que debe tener especial cuidado con las sutilezas y detalles de las propie-dades y definiciones que se presentan.

Introducción

Si a es cualquier número positivo, el valor absoluto de a se define como a mismo. Si aes negativo, el valor absoluto de a se define como – a. El valor absoluto de cero es cero. Elsímbolo para indicar el valor absoluto de a es | a |. En otras palabras:

378


• | a | = a, si a > 0• | a | = – a, si a < 0• | 0 | = 0

Ejemplo III.2.1.1.Determine los siguientes valores absolutos:

• | 7 | = 7• | – 13 | = 13• | 2 – 5 | = | – 3 | = 3

Esta idea bastante simple tiene consecuencias importantes, pero antes de considerar-las, debemos discutir algunos métodos de resolución de ecuaciones en las que intervienenvalores absolutos.

Ejemplo III.2.1.2.Resuelva la ecuación | x – 7 | = 3De acuerdo con la definición de valor absoluto, esta ecuación expresa que x – 7 debe

ser igual a 3 o a –3, puesto que en ambos casos el valor absoluto es 3. Si x – 7 = 3, se tieneque x = 10; y si x – 7 = – 3, entonces x = 4. De esta forma la ecuación tiene dos solucionesposibles: x = 10 ∨ x = – 3.

Ejemplo III.2.1.3.Resuelva | 2x – 6 | = | 4 – 5x |Se tiene que las dos posibilidades son que los términos involucrados tengan el mismo

signo o signos distintos. Esto es:2x – 6 = 4 – 5x y 2x – 6 = – (4 – 5x)

resolviendo cada una de ellas, se tienen las dos soluciones posibles x = 10 / 7 ∨ x = – 2/3

Una interpretación válida del valor absoluto de números reales es la de distancia alorigen. Puesto |x| representa la distancia de x al origen (el cero), es sencillo comprobar quela condición |x| < 4 es equivalente a la condición de que x es cualquier número en elintervalo comprendido entre – 4 y 4. De esta manera

– 4 < x < 4 ⇔ |x| < 4

En forma similar, |x – 3| < 5 es equivalente a escribir –5 < x – 3 < 5.

ACTIVIDADES III.2.1.4.Encontrar todos los números x para los que se cumple lo siguiente:1. |x – 3| = 82. |x + 4| = 23. |x – 3| + |x + 4| = 104. 2|x – 3| = 85. |2x – 6| = 86. |2x – 3| = 5

Solución

379

U N I D A D III

Glos

1. x = 11 ∨ x = –5

2. x = –2 ∨ x = –6

3. x = 9/2 ∨ x = –9/2

4. x = 7 ∨ x = –1

5. x = 7 ∨ x = –1

6. x = 4 ∨ x = –1RESUMEN

En esta sección se introduce el concepto de valor absoluto, el cual se define simple-mente como la distancia de un número al origen, lo que en términos prácticos equivale aconsiderar el número sin signo.


1. |–1| = 12. |0| = 03. |x| < 0 sólo si –x > 0

4. |x – 1| < 1⇔ –1 < x – 1 < 1

5. |x| ≤ 10 ⇔ –10 < x < 10

Respuestas1. Verdadero2. Verdadero3. Falso4. Verdadero5. Falso

Glosario

Valor Absoluto: distancia absoluta (sin signo) de un número al origen.Número Positivo: número mayor o igual que cero.

Símbolos|x| : Valor absoluto= : igual que< : menor que> : mayor que

∨ : o

380


PropIII.2.2. Propiedades del Valor Absoluto

Siendo a y b números reales cualesquiera, el lector podrá verificar fácilmente que:| a · b | = | a | · | b || a / b | = | a | / | b |

En palabras, el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolu-tos, y el valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos.

Sin embargo, algo tan evidente no ocurre con el valor absoluto de una suma de núme-ros. En efecto, se tiene el siguiente teorema, que por su importancia, se llama teorema de ladesigualdad triangular:Teorema

Si a y b son dos números reales, entonces:

| a + b | ≤ | a | + | b |

Veremos a continuación la demostración de este teorema. Para ello, vamos a conside-rar cuatro casos:

1.- a ≥ 0, b ≥ 0

2.- a ≥ 0, b ≤ 0

3.- a ≤ 0, b ≥ 0

4.- a ≤ 0, b ≤ 0

En el caso 1.- tenemos también que a + b ≥ 0 y el teorema es evidente, en efecto,

|a + b | = a + b = |a| + |b|, de modo que en este caso se cumple incluso la igualdad.

En el caso 4.- se tiene que a + b ≤ 0 y de nuevo se cumple la igualdad, como se apreciaa continuación:

|a + b| = –(a + b) = –a + (–b) = |a| + |b|

En el caso 2.-, cuando a ≥ 0 y b ≤ 0, debemos demostrar que |a + b| ≤ a – b. Este casopuede dividirse, por lo tanto, en dos subcasos. Si a + b 0, entonces tenemos que a + b ≤ a –b, esto es, b ≤ – b, lo que se cumple pues b es negativo y –b positivo. Por otra parte, si a + b≤ 0, debemos demostrar que – a – b ≤ a – b, o lo que es lo mismo que – a ≤ a, lo queciertamente es verdad pues a es positivo y – a es negativo.

La demostración de 3.- es completamente análoga a la anterior.Aunque esta manera de tratar valores absolutos considerando por separado cada uno

de los distintos casos es a veces el único método disponible, se pueden emplear métodosmás sencillos. En realidad se puede dar una demostración mucho más corta del teoremaanterior, observando que

|a | = √a2

En efecto,(|a + b|)2 = (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

≤ a2 +2|a| · |b| + b2

381

U N I D A D III

= |a|2 + 2|a| · |b| +|b|2

= (|a| + |b|)2

De esto, podemos concluir que |a + b| ≤ |a| + |b| porque x2 < y2 implica que x < y,siempre que x e y sean positivos.

Se puede realizar una observación final acerca del teorema que acabamos de demos-trar. Un examen atento de cada una de las dos demostraciones hace ver que:

|a + b| = |a| + |b|si a y b tienen el mismo signo, es decir ambos son positivos o bien, ambos son negati-

vos, o si uno de los dos es cero.Mientras que |a + b| < |a| + |b|, si a y b tienen signos opuestos.

Ejemplo III.2.2.1.Demostrar que si |x| < 4 e |y| < 3, entonces |x – y| < 7. En efecto,

|x – y| = |x + (–y)| < |x| + |–y| = |x| + |y| < 4 + 3 = 7

Ejemplo III.2.2.2.Demostrar que si |x| < 4 e |y| < 3, entonces |x| · |y| < 12. En efecto,

|xy| = |x| · |y| < 4 · 3 = 12

Ejemplo III.2.2.3.Calcular la magnitud que alcanzará la expresión x3 – 2, si se restringe x al intervalo de

los números reales que son mayores o iguales a – 4 y menores o iguales a 4.

Se sabe que |x3 – 2| ≤ |x3| + |2| = |x| · |x| · |x| + 2 = |x|3 + 2 ≤ 43 + 2 = 66

Ejemplo III.2.2.4.

Encontrar un número positivo M tal que |x3 – 2x2 + 3x – 4| ≤ M, para todos los valoresde x que son mayores o iguales a –3 y menores o iguales a 2. Se sabe que:

|x3 – 2x2 + 3x – 4| ≤ |x3| + |2x2| + |3x| + |4|

= |x|3 + 2|x|2 +3|x| + 4

≤ 33 + 2 · 32 + 3 · 3 + 4

= 27 + 18 + 9 + 4= 58

ACTIVIDADES III.2.2.5.1. Encontrar un número positivo M tal que |x2 – 3x + 4| ≤ M, para todos los valores de x que

son mayores o iguales a –2 y menores o iguales a 2.Solución

|x2 – 3x + 4| ≤ |x2| + |3x| + |4|

= |x|2 + 3|x| + 4

≤ 22 + 3 · 2 + 4

= 4 + 6 + 4= 14

382


2. Encontrar un número positivo M tal que |x2 + 4x – 3| ≤ M, para todos los valores de x queson mayores o iguales a – 2 y menores o iguales a 4.

Solución

|x2 + 4x – 3| ≤ |x2| + |4x| + |3|

= |x|2 + 4|x| + 3

≤ 42 + 4 · 4 + 3

= 16 + 16 + 3= 35

3. Encontrar un número positivo M tal que |x3 + 2x2 – 3x – 6| ≤ M, para todos los valores dex que son mayores o iguales a – 2 y menores o iguales a 5.

Solución

|x3 + 2x2 – 3x – 6| ≤ |x3| + |2x2| + |3x| + |6|

= |x|3 + 2|x|2 +3|x| + 6

≤ 53 + 2 · 52 + 3 · 5 + 6

= 125 + 50 + 15 + 4= 194

4. Encontrar un número positivo M tal que |x4 – 2x3 + x2 – 3x – 5| ≤ M, para todos los valoresde x que son mayores o iguales a – 3 y menores o iguales a – 1.

Solución

|x4 – 2x3 + x2 – 3x – 5|≤ |x4| + 2|x3| + |x2| + |3x| + |5|

= |x|4 + 2|x|3 + |x|2 +3|x| + 5

≤ 34 + 2 · 33 + 32 + 3 · 3 + 5

= 81 + 54 + 9 + 9 + 5= 158

5. Demostrar, que |a| – |b| ≤ |a – b|

Solución

En efecto |a| = |a + (b – b)| = |(a – b) + b| ≤ |a – b| + |b|, de donde |a| – |b| ≤ |a – b|

6. Demuestre que ||a| – |b|| ≤ |a – b|

Solución

En efecto, sabemos que |a| – |b| ≤ |a – b|. Mostremos ahora que –(|a| – |b|) ≤ |a – b|.

–(|a| – |b|) = |b| – |a| ≤ |b – a| = |–(b – a)| = |a – b|. Así se tiene que ||a| – |b|| ≤ |a – b|

RESUMENEn esta sección se presentan algunas propiedades elementales del valor absoluto, don-

de destaca principalmente la desigualdad triangular. Esta propiedad es extremadamente im-portante, tanto por sus aplicaciones en razonamientos geométricos, como su uso en razona-mientos de acotamiento de conjuntos.

383

U N I D A D III

Inter


1. |3 – 7| < – 4

2. |7 – 3| ≤ 4

3. ||–1|| = –14. ||–1|| = 0

5. |0| ≠ 0

6. |1| = |–1|7. |x| < 0

Respuestas1. Falso2. Verdadero3. Falso4. Falso5. Falso6. Verdadero7. Falso

Símbolos


= : Igual que|x| : Valor absoluto< : Menor que

≠ : Distinto que

III.2.3. Intervalos y Valor Absoluto

Un intervalo de números reales es un conjunto de números reales que se encuentranconexos sobre la recta real. Por ejemplo, es un intervalo el conjunto de todos los puntos queson mayores que dos y menores que 1000. En cambio no es un intervalo, el conjunto detodos los números pares entre los números reales entre 2 y 1000. Esto es, porque la represen-tación gráfica del primer conjunto no tiene hoyos como la segunda. En esta perspectiva, sepuede observar que el conjunto de todos los números reales es un intervalo (de longitudinfinita), en cambio el conjunto de todos los números reales distintos de cero, no es unintervalo.

Un intervalo de números reales puede ser de longitud finita o infinita, y considerandosi los extremos pertenecen también al conjunto, si son abiertos, cerrados o semiabiertos (osemicerrados). Cuando los extremos del intervalo son números reales, diremos que la longi-tud del intervalo es finita, en caso contrario, esto es cuando al menos uno de los extremos es

384


el infinito, entonces diremos que la longitud del intervalo es infinita. Si ambos extremospertenecen al intervalo, entonces el conjunto será cerrado. Si ambos extremos no pertene-cen al intervalo, entonces este será abierto. Si uno pertenece y el otro no, diremos que elintervalo es semiabierto o semicerrado.

La notación usual para intervalos es la siguiente:

[a, b] = {x ∈ �: a ≤ x ∧ x ≤ b}, intervalo cerrado

]a, b[ = {x ∈ �: a < x ∧ x < b}, intervalo abierto

[a, b[ = {x ∈ �: a ≤ x ∧ x < b}, intervalo semiabierto o semicerrado.

]a, b] = {x ∈ �: a < x ∧ x ≤ b}, intervalo semiabierto o semicerrado.

Se debe observar que � = ]–∞, +∞ [, mientras que �+ =]0, +∞[ y �– =]–∞ ,0[.

Ejemplo III.2.3.1.Determinar el conjunto de números reales a que corresponde cada uno de los si-

guientes intervalos:· [2, 3] Corresponde al intervalo cerrado de todos los números reales que son mayores o

iguales a 2 y menores o iguales que 3, 2 ≤ x ∧ x ≤ 3, o bien 2 ≤ x ≤ 3.

· ]2, 5[ Corresponde al intervalo abierto de todos los números reales que son mayoresque 2 y menores que 5, esto es 2 < x < 5.

· ]2, 5] Corresponde al intervalo semiabierto de todos los números reales que son mayo-res que 2 y menores o iguales que 5, es decir 2 < x ≤ 5.

Como los intervalos son conjuntos o subconjuntos de los números reales, son válidastodas las operatorias conocidas entre conjuntos.

Ejemplo III.2.3.2.Determinar el intervalo a que corresponden los siguientes conjuntos compuestos:

· ]2, 3[ ∩ ]4, 6[ = �

· ]2, 4] ∪ ]3, 6[ = ]2, 6[

· ]2, 4] ∩ ]3, 6[ = ]3, 4]

Una desigualdad (inecuación en realidad) que involucra un valor absoluto, define unintervalo de números reales. En efecto, consideremos para fijar ideas la expresión:

|x – 3| < 5claramente se tiene que – 5 < x – 3 < 5, lo que nos lleva a concluir que – 2 < x < 8. Esto es,

|x – 3| < 5 ⇔ x ∈ ]–2, 8[

Es importante destacar la diferencia que existe entre |a| b. En el primer caso,|a| < b, nos indica como ya hemos observado que a – b, loque se escribe sintéticamente en la forma – b < a < b, o bien a ∈ ]– b, b[

385

U N I D A D III

En el segundo caso, en cambio, se tiene: que a > b y –a > b, esto es que a > b, por unlado, o bien a < –b, por otro. Así, |a| > b ⇔ a < – b ∨ b > a, o bien a ∈ ] –∞ , –b[ ∪ ]b, +∞ [.

Ejemplo III.2.3.3.Determine el intervalo de números reales a que corresponde cada una de las siguien-

tes inecuaciones

• |x – 5| > 1. En este caso se tiene que x – 5 < –1 ∨ x – 5 > 1, de donde x < 4 ∨ x > 6, asíx ∈ ]– ∞ , 4[ ∪ ]6, ∞ [

• –|x – 3| ≤ 0, esto es equivalente a que |x – 3| sea mayor o igual que cero, lo que secumple siempre por definición de valor absoluto, así es que x ∈ �.

• |2x – 6| ≤ 10, en este caso se tiene que |2x – 6| ≤ 10 ⇔ |x – 3| ≤ 5, de donde – 5 ≤ x– 3 ≤ 5, así es que – 2 ≤ x ≤ 8, de donde x ∈ [– 2, 8].

ACTIVIDADES III.2.3.4.Encontrar todos los números reales x, que satisfacen:

1. |x – 3| = 82. |x – 3| < 8

3. |x – 3| ≤ 8

4. |x + 4| < 25. |–2| < x6. |x – 1| + |x – 2| > 17. |x – 1| + |x + 1| < 28. |x – 1| + |x + 1| < 19. |x – 1| · |x + 1| = 010. |x – 1| · |x + 2| = 411. |x – 1| · |x + 1| < 0Solución:

1. x = 11 ∨ x = – 5

2. x ∈ ]– 5, 8[

3. x ∈ [– 5, 8]

4. x ∈ ]– 6, – 2[

5. x > 2

6. x > 0 ∨ x < –1

7. x ∈ �

8. x ∈ �

9. x = 1 ∨ x = –1

10. x = – 3 ∨ x = 2

11. Vacío.

386


Glos

RESUMENEn esta sección se revisa el concepto de intervalo de números reales, para pasar a

revisar su relación con el valor absoluto. Se verifica que cualquier inecuación que involucreun valor absoluto, definirá un intervalo de números reales. En esta sección de analizan losprocedimientos asociados a esta idea.AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. |x| > 0 para todo número real mayor que cero.

2. |x| · |y| = 0 sólo si x e y son iguales a cero.

3. |x| es siempre distinto que cero.

4. |x| + |y| > 0 es cierto para todo par de números reales.

5. |x| < 0 define un conjunto vacío.

6. –|x| ≤ 0 define al conjunto de los números reales.

Respuestas1. Verdadero.2. Falso.3. Falso.4. Falso.5. Verdadero.6. Verdadero.

Glosario

Intervalo de Números Reales: subconjunto de los números reales que corresponde a untrazo sin hoyos de la recta real.

Números Reales: conjunto de números que comprende a los números naturales, enteros,racionales e irracionales.

Recta Real: representación gráfica de los números reales que asocia a cada punto de larecta un único número real.

Números Pares: todos los números enteros que son múltiplos de 2.Valor Absoluto: valor de un número sin signo, corresponde a la distancia del número en la

recta real desde su localización al cero.

387

U N I D A D III

Intro

Inecu

Símbolos= : Igualdad


∧ : y

∨ : o


< : Menor que> : Mayor que

–∞ : Menos infinito, el número real más negativo

+∞ : Más infinito, el número real más positivo

|x| : Valor absoluto de x

∩ : Intersección

∪ : Unión


∈ : Pertenencia

III.3. Inecuaciones

En el presente capítulo aplicaremos todos los conceptos sobre desigualdades, relaciónde orden en los números reales y valor absoluto, para formular y resolver un tipo especial deproblemas, conocido como inecuación. Una inecuación consiste básicamente en encontrarel conjunto de números reales que convierte una desigualdad en una proposición verdadera.

Las inecuaciones poseen grandes aplicaciones en problemas de ingeniería, donde nosiempre interesa conocer una respuesta que involucre igualdad de algo, sino sólo se esta-blezca algún tipo de cota (superior o inferior). Por ejemplo, los problemas de optimizaciónen donde interesa minimizar el costo de producción de algún producto, sabiendo que no sepueden producir más de una cierta cantidad, y se debe satisfacer un mínimo de pedidos porhora.

Introducción

Hasta ahora hemos estado hablando de ejecutar operaciones en ambos miembros deuna desigualdad. Pero, ¿podemos combinar desigualdades de cualquier manera? Por ejem-plo, si a < b y c < d, ¿podemos “sumarlas” miembro a miembro (como si fueran igualda-

388


des) y decir que a + c < b + d, o “multiplicarlas” miembro a miembro y decir ac < bd? Lasrespuestas las encontraremos a continuación, con las siguientes propiedades.

Podemos demostrar que, si a < b, y c < d, entonces a + c < b + d.Así: b – a es positivo y d – c es positivo, y por consiguiente (b + d) – (a + c), que es igual a (b– a) + (d – c), es positivo, y entonces a + c < b + d.

Según esto, se puede “sumar” miembro a miembro dos desigualdades con tal queambas sean “del mismo sentido”.

Ejemplo III.3.1.1.¿Cuál es la relación entre a + c y b + d, si:

i.- a < b y c ≤ d,

ii.- a ≥ b y c ≤ d,

Solución:i.- a + c < b + dii.-Entre a + c y b + d no hay una relación. En efecto, si consideramos a = 1, b = 1, c = 2

y d = 3, se tiene que a + c = 3 < 4 = b + d. En cambio si a = 1, b = 0, c = 1 y d = 1, setiene que a + c = 2 > 1 = b + d.La mayor parte de lo que sigue de esta unidad se dedica al estudio de las técnicas

para “resolver inecuaciones”. Una inecuación, corresponde a cualquier funciónproposicional, con parámetros correspondientes a elementos de algún conjunto numéri-co, unidos por una relación de orden. El problema de resolver una inecuación consiste enencontrar el conjunto de validez de la función proposicional, esto es, todos aquellos ele-mentos del conjunto numérico que vuelven la función proposicional en una proposiciónverdadera. Para lograr esto, debemos utilizar propiedades que nos permitan simplificar ytransformar la función proposicional en otra más simple, pero equivalente.

Ejemplo III.3.1.2.2x – 7 < 7 x + 3 y 2x < x + 10 son equivalentes.

Las operaciones que mantienen la equivalencia de las inecuaciones son:1.- Se puede sumar la misma constante a ambos lados de una desigualdad.2.- Se puede restar la misma cantidad de los dos lados de una desigualdad.3.- Se pueden multiplicar los dos miembros de una desigualdad por la misma constante

positiva.4.- Si se multiplican los dos términos de una desigualdad por el mismo número negativo,

la desigualdad cambia de sentido.

ACTIVIDADES III.3.1.3.¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?Las “operaciones permitidas” 1.- a 4.- están definidas en el conjunto de

i.- Todas las ecuaciones que relacionan números reales;ii.- Todas las inecuaciones de la forma a b donde a y b son números reales positivos;

iv.- Todas las desigualdades de la forma a b ó a ≤ b ó a ≥ b donde a y b sonnúmeros reales.

389

U N I D A D III

SoluciónTodas estas proposiciones son verdaderas. (En el caso de aplicar 4.- al conjunto de todas las

ecuaciones que contienen números reales no hay que tener en cuenta la instrucción de “invertir”).

Ejercicio III.3.1.4.Decir si cada uno de los siguientes pares de inecuaciones son equivalentes.

i.- 3x + 2 < 1, 3x < –1

ii.- 3x < –1, x < – 13

iii.- –x < 4, x < –4iv.- x2 (x – 3) < x2 (x + 4), x – 3 < x + 4

Solucióni.- SÍ, por 2.-

ii.- SÍ, por 3.-, con k = 13

iii.- NO, Aplicando 4.- con k = –1, tenemos –x < 4 y x > –4 como dos inecuacionesequivalentes.

iv.- NO. Posiblemente piense aplicar 3.- con k 12x

. Pero esto no se puede hacer cuando x =

0, y especialmente cuando cualquier número real x satisface x – 3 < x + 4, el númerocero no satisface x2 (x – 3) < x2 (x + 4). La multiplicación por k mantiene la equivalencia

solamente si k es un número positivo. Como12x

no es un número positivo para x = 0 y

tenemos que considerar este caso separadamente. De esto se deduce que las inecuacionesx – 3 < x + 4 y x (x – 3) < x (x + 4)

son equivalentes para x ≠ 0, como hemos visto, x = 0 no satisface ambas inecuacionespor lo cual queda excluido. En todo caso, las inecuaciones

x – 3 ≤ x + 4

x2 (x – 3) ≤ x2 (x + 4)

son equivalentes para x ≠ 0. Considerando x = 0 separadamente, vemos que satisfa-ce ambas inecuaciones por lo que éstas son equivalentes para todo valor de x.

Le recordamos que dos ecuaciones o dos inecuaciones pueden ser equivalentes auncuando no se puedan derivar la una de la otra con las operaciones que mantienen laequivalencia.

RESUMEN

En esta sección se discuten las operaciones que podemos hacer en cada lado de unainecuación para que el conjunto solución de ésta no cambie. El objetivo de esto es adquirirlas técnicas que podamos aplicar para reducir una inecuación como x2 + 6x –4 < 0, a unaforma más simple a la cual podamos encontrar fácilmente el conjunto solución. Este proce-dimiento es parecido al que aplicamos para las ecuaciones: por ejemplo, podemos reducirel conjunto {x : x ∈ �, x2 + 3x + 2 = 0} a {–2, –1} al resolver la ecuación cuadrática.Probablemente está familiarizado con la manera de resolver un problema tal como “resolverla ecuación ax + b = c”. Podemos resolver la ecuación porque sabemos que se puede sumar

390


Glos

o restar el mismo número de cada lado de ésta y también multiplicar y dividir cada lado porel mismo número diferente de 0, y la igualdad se mantiene. Esencialmente el método consis-te en que en cada paso de la solución reemplazamos la ecuación por otra más sencilla quetiene el mismo conjunto solución. Esto nos lleva a definir la expresión «ecuaciones equiva-lentes».

AUTOEVALUACIÓNDetermine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:1. Si a c, entonces a = c.

2. Si a d, entonces a + b ≤ c + d.

3. Si a d, entonces a + c ≤ d + d.

4. Si a < b y c < d, entonces a + c ≤ b + d.

5. Si a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≤ b + d.

Respuestas1.- Falso.2.- Falso.3.- Falso.4.- Falso.5.- Verdadero.

Glosario

Desigualdad: relación que establece la precedencia entre dos números reales.Inecuación: función proposicional que involucra una desigualdad.Función proposicional: expresión que contiene uno o más parámetros que cuando se

fijan, determinan una proposición.Proposición Verdadera: proposición cuyo valor de verdad es verdadero.

Símbolos< : Menor que.

≤ : Menor o igual que.

= : Igual que.+ : Suma.– : Resta.

391

U N I D A D III

MétoIII.3.2. Métodos de Solución de Inecuaciones

Para resolver gráficamente una inecuación (es decir para poder representar su conjun-to solución en una recta), seguimos un procedimiento muy parecido al que se sigue pararesolver una ecuación (pero debemos llevar a cabo los pasos con más cuidado porque lasoperaciones permitidas son más restringidas).

Por ejemplo, podemos adelantar un poco la solución de la inecuación2x – 7 < x + 32x < x + 10

Si existe un número real x que satisface esta desigualdad podemos sumar – x a amboslados y obtenemos.

x < 10Que es una forma muy sencilla de ilustrar gráficamente en la recta numérica ya que

{x : x < 10}={x : 2x – 7 < x + 3}

0 10Como se ve, los pasos requeridos para resolver una inecuación son los mismos que

para resolver la ecuación correspondiente:2x – 7 < x + 3 2x – 7 = x + 32x < x + 10 (sumando 7) 2x = x + 102x + (–x) < x + 10 + (–x) (sumando –x) 2x + (–x) = x + 10 + (–x)x < 10 x = 10

Si tiene dudas sobre cómo resolver una inecuación, resuelva la ecuación correspon-diente y aplique pasos semejantes a la inecuación.

El objetivo de resolver una ecuación es determinar un conjunto de números, cadauno de los que satisface la ecuación. De la misma manera, el objetivo de resolver unainecuación es encontrar un conjunto de intervalos tales que cada uno de sus puntos (oelementos) satisfagan la inecuación. Por ejemplo, en el caso que acabamos de considerar,la solución de la ecuación es el número 10; y la solución de la inecuación es el intervaloque contiene todos los números menores que 10. Así como una ecuación puede tener másde un número en su conjunto solución, una inecuación puede tener más de un intervaloen su conjunto solución. Estos intervalos pueden ser de alguno de los tipos siguientes:

{x : x < a},{x : x ≤ a}, {x : x > a},{x : x ≥ a}

{x : x < a � x > b}, {x : x ≤ a � x ≥ b}

{x : x < a � x ≥ b}, {x : x ≤ a � x > b}

donde a y b son números reales.

123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567

392


Estos cuatro conjuntos normalmente se escriben:

{x : b < x < a},{x:b ≤ x ≤ a}

{x . b ≤ x < a},{x:b < x ≤ a}

o, más brevemente]b,a[, [b,a][b,a[, ]b,a]Fíjese en el sentido del paréntesis cuando se trata de indicar que el extremo del inter-

valo está excluido del conjunto solución.Como hemos visto, se pueden representar en la recta numérica.Las inecuaciones discutidas en la última sección se llaman lineales porque la repre-

sentación de su conjunto solución está limitada por una línea recta. Cualquier inecuaciónde la forma ax + by + c < 0 es de este tipo. Pero no estamos restringidos a las linealessolamente.

Hay un tipo de inecuaciones simultáneas menos frecuente que nos permite aplicarnuestra capacidad técnica para resolver inecuaciones. Este caso se presenta cuando tenemosque resolver una inecuación como:

x2 + x –2 < 0Cuando tengamos que resolver un problema nuevo es bueno hacer la pregunta: “¿co-

nocemos un problema parecido? En el caso que comentamos la respuesta es “sí”. Conoce-mos la manera de encontrar el conjunto solución de la ecuación

x2 + x –2 = 0que resolvemos de la siguiente manera. Usando las propiedades de los números reales quehemos mencionado antes, reducimos esta ecuación a la equivalente

(x – 1) (x + 2) = 0En el siguiente paso de la solución de la ecuación, usaremos una propiedad de los

números reales muy conocida, que se puede deducir de las propiedades que ya hemos visto:Si a y b son números reales tales que a · b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 ó a = b = 0 .Aplicando esta propiedad a la solución de la ecuación (2) tenemos tres posibilidades:

(x – 1) = 0o

(x + 2) = 0o ambas

x – 1 = 0 y x + 2 = 0 (no es posible).Encontrar el conjunto solución de la ecuación se reduce a encontrar los conjunto

solución de las ecuaciones alternativas (x – 1 = 0) y (x + 2 = 0), cada una de las que es de unaforma más sencilla.

En general, se tiene el siguiente mecanismo para resolver una ecuación cuadráticacomo

ax2 + bx + c =0reduciéndola a dos ecuaciones lineales como

a1x + b1 = 0o

393

U N I D A D III

a2x + b2 = 0que ya sabemos resolver.

Pero también sabemos aclarar inecuaciones lineales comoax + b < 0

¿Podemos reducir una inecuación comocx2 + dx + e <0

a una o más inecuaciones lineales?

Otra pregunta que tenemos que hacernos es: ¿Qué propiedades de � de las que hemosusado para reducir una ecuación cuadrática a dos ecuaciones lineales, podemos usar cuan-do trabajamos con inecuaciones?Según esto podemos reducir la inecuación

x2 + x – 2 < 0a la inecuación equivalente

(x +2) (x – 1) < 0pero para ver lo que es el próximo paso tenemos que recordar los principios básicos. El tipode desigualdad en que estamos pensando es:

ab < 0es decir ab es negativo.Si ab es negativo o positivo depende de si a y b son positivos o negativos de la siguientemanera:

a b ab+ + ++ – –– + –– – +

(Usamos + para indicar positivo y – para indicar negativo.) Por consiguiente ab es negativo siuno de los dos a y b es positivo y el otro es negativo, es decir, si

a < 0 y b > 0, oa > 0 y b < 0

(o ambos, lo que no es posible), que en nuestro ejemplo toman la formax – 1 < 0 y x + 2 > 0, o

x – 1 > 0 y x + 2 < 0(o ambas, lo que no es posible).

ACTIVIDADES III.3.2.1

i.- Encontrar un entero positivo � tal que

1

1

1

102N N+ +<

394


ii.- Encontrar un entero positivo � tal que

201

10 01

nn

+< , ∀ n entero mayor que N

Encontrar, al determinar un valor N, un conjunto A={n : n > N} tal que todos loselementos de A pertenecen al conjunto solución de la desigualdad (o, más brevemente, talque A sea un subconjunto del conjunto solución).

iii.- Encontrar un número real positivo δ tal que

δ sen δ < 0,1 (δ es la letra griega que se llama “delta”).

Solución

i.- N = 3 sirve como solución. Se puede encontrar este número y muchos otros que sonsolución, por prueba y error (por tanteo).

ii.- Como al hacer n más y más grande,1

1n + se hace más y más pequeño, podemos

encontrar un valor cualquiera para � tal que1

1n + < 0,01, y entonces1

1n + < 0,01

para todo valor de n mayor que �. El valor de � es � = 100

iii.- δ = 0,3 es la posibilidad

Ejercicios III.3.2.2.Representar en la recta numérica los conjuntos solución de las siguientes inecuaciones:

i.- 4x + 1 < 3ii.- x3 + 4x2 > x2

4 – 6x < 1Solución i.- 4x + 1 < 3

es equivalente a 4x < 2,

la que es equivalente a x < 12

–3 –2 –1 0 1 2 3

ii.- x3 + 4x2 > x2

es equivalente ax3 > –3x2,la que es equivalente a

12345678901234567890123123456789012345678901231234567890123456789012312345678901234567890123

395

U N I D A D III

Sistem

x > –3 con tal que x no sea cero (porque x2 = 0 si x = 0, 12x

> 0 en los demás casos)

Si hacemos la prueba de x = 0 independientemente, encontramos que no satisface lainecuación dada.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Le ponemos un círculo al 0 para indicar que no pertenece al conjunto solución

iii.- 4 – 6x < 1es equivalente a – 6x < –3,

la que es equivalente a x > 12 , usando Op(4).

–3 –2 –1 0 1 2 3

RESUMENEn esta sección se han revisado los conceptos más importantes que permiten trabajar

con inecuaciones no lineales, específicamente las inecuaciones que involucran una expre-sión cuadratica. El procedimiento se basa en reducir el problema a inecuaciones linealessimultáneas.

III.3.3. Sistemas de Inecuaciones y Programación Lineal

Una pequeña fábrica de pinturas para casas, utiliza dos materiales básicos, digamos Ay B. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas pordía. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exterioresse resumen en la tabla siguiente

Toneladas de materia primaPor tonelada de pintura

Exterior Interior Disponibilidad Materia prima A 1 2 6 Materia prima B 2 1 8

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores nopuede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudioseñala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias.

123456789012345678901234567890121234567890123123456789012345678901234567890121234567890123123456789012345678901234567890121234567890123123456789012345678901234567890121234567890123

1234567890123123456789012312345678901231234567890123

396


El precio al mayoreo por tonelada es de $3.000 para la pintura de exteriores y $2.000para la de interiores.

¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los díaspara maximizar el ingreso bruto?

La compañía busca determinar las cantidades en toneladas de pintura que se produci-rán para máximizar, esto es incrementar hasta donde sea factible, el ingreso bruto total. A lavez que se satisfacen las restricciones de la demanda y el uso de materias primas.

Consideremos que Xe = toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente,mientras que Xi corresponde a las toneladas de pinturas para interiores.

Como cada tonelada de pintura para exteriores se vende a $3.000, el ingreso brutoobtenido de la venta de Xe toneladas de pintura será 3.000 ·e, de la misma forma elingreso bruto producto de la venta será de 2.000 · Xi. De esta manera lo que se quieremáximizar es la expresión: 3.000 · Xe + 2.000 · Xi.

Sin embargo, existen restricciones producto de las materias primas:

Xe + 2Xi ≤ 6 (materia prima A)

2Xe + Xi ≤ 8 (materia prima B)

Además, por el estudio de mercado se sabe que Xi – Xe ≤ 1 y Xi ≤ 2. Por último, sesobre entiende que 0 ≤ Xi y 0 ≤ Xe.

De esta forma, el problema consiste en: Maximizar 3.000Xe + 2.000XiSujeto a las condiciones:

Xe + 2Xi ≤ 62Xe + Xi ≤ 8Xi – Xe ≤ 1Xi ≤ 20 ≤ Xi0 ≤ Xe.Los pares de puntos que satisfacen este problema se pueden graficar, lo que formará

un poliedro. Se puede demostrar que el par de puntos Xe, Xi que soluciona el problema esuno de los vértices del poliedro.

ACTIVIDAD III.3.3.1.1.- Un agricultor produce dos clases de abono, X e Y, usando productos químicos A y B. Elabono X está compuesto de 75% del producto A y 25% del producto B. El abono Y estácompuesto de 50% del producto A y 50% del producto B. Necesita por lo menos 40 bultosde X y por lo menos 60 bultos de Y, y tiene disponibles 100 bultos de A y 60 bultos de B. Siproduce x bultos de X, e bultos de Y, encontrar cuatro inecuaciones, que se satisfagan por xe y.

(SUGERENCIA: Una de las inecuaciones puede obtenerse escribiendo la cantidad delproducto A que se necesita para producir x bultos de X e y bultos de Y; otra se puede obtenerconsiderando la cantidad del producto B que utilice.)

2.- Dibujar la gráfica que representa el conjunto de pares (x, y) de todos los arreglos deproducción posibles del ejercicio anterior.

397

U N I D A D III

3.- Si el agricultor quiere producir la máxima cantidad de abono posible, tiene que en-contrar el par (x ,y) perteneciente al conjunto que usted dibujó en el ejercicio 2 para el quex + y es máximo. Encontrar este par.

4.- Un fabricante de comida en latas produce “frijoles con carne picada” que contiene 90%de frijoles y 10% de carne, y “carne picada con frijoles” que contiene 50% de frijoles y 50% decarne. Su investigador de mercado le dice que debiera producir cada semana por lo menos150 bultos de “frijoles con carne picada” y por lo menos 100 bultos de “carne picada confrijoles”. Su proveedor puede suministrarle cada semana solamente 270 bultos de frijoles y100 bultos de carne. Si él produce x bultos de “frijoles con carne picada” e bultos de “carnepicada con frijoles”, escribir cuatro inecuaciones que se satisfagan por x e y, y dibujar lagráfica del conjunto de pares posibles (x, y) de los que el fabricante pueda escoger. (Olvidar lasalteraciones posibles como guardar provisión de frijoles para la semana siguiente.)

5.- Si el fabricante del ejercicio 4 hace 2p ganancia en cada lata de “frijoles con carnepicada” y una ganancia de 3p en cada lata de “carne picada con frijoles”, ¿cómo deberáorganizar su producción para obtener la ganancia máxima?

Los ejemplos que hemos estado discutiendo son, obviamente, muy simples. pero nohay razón para hacerlos más ajustados a la realidad porque al aumentar los detalles sepierden de vista los principios o axiomas usados en su resolución. En la vida real se estable-cen problemas con ciento y más variables y por consiguiente hay que plantear, para resolver-los, cientos de inecuaciones. Sin embargo, los principios o axiomas son los mismos usadospara problemas sencillos, es decir, hay que maximizar o minimizar una expresión de variasvariables que se restringen a satisfacer un conjunto de condiciones. Naturalmente, se hanideado métodos sofisticados tanto para plantear el problema como para resolverlo, peronosotros no nos ocuparemos de esto por ahora.

Los problemas desarrollados son ejemplos de problemas de programación lineal peroel nombre no es importante. (Como dijo Sherlock Holmes: “Usted mencionó su nombre,pero fuera de los datos obvios de que es soltero, abogado, masón y un asmático, yo no senada más de usted”.)

En cada uno de los ejemplos se maximizó una expresión lineal dada por inecuacioneslineales y surge que la expresión llega a un valor máximo en uno de los vértices del conjuntosolución del sistema de inecuaciones.

Esta es una de las tres posibilidades que pueden presentarse. Las otras dos son:i.- El valor máximo puede estar en un límite. Esto ocurrirá cuando la “línea de ganancia”

sea paralela a uno de los bordes de la región.ii.- Puede ocurrir que el “conjunto permisible” no tenga límite. Puede representarse así:

123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345

y

x

398


En el primer caso, se puede aplicar nuestra observación: el máximo ocurre en un vértice,pero no solamente en un vértice. En el segundo caso, el problema no está bien definido: nohay un valor máximo para ciertas expresiones lineales como –2x –y, por ejemplo (aunque eneste caso una expresión lineal como –2x –3y, por ejemplo, tiene un valor máximo en elpunto (0, 0) del “conjunto permisible”).

6.- Demostrar nuestra afirmación de que una expresión lineal tiene su valor máximo enuno de los vértices del conjunto solución o a lo largo de uno de sus bordes (siempre que elmáximo exista en el conjunto solución).

SoluciónSi un punto del conjunto solución no es un vértice y no pertenece a los bordes de la

región que representa a este conjunto, es un punto del “interior” de la región y está rodeadode puntos del conjunto. En algunos puntos de los que lo rodean darán a ésta un valor mayorque el que le dan otros. Siendo esto así, el punto que estamos considerando, no puede dar ala expresión un valor máximo. Por esta razón, cualquier punto que dé a la expresión un valormáximo tiene que ser un vértice o pertenecer a un borde de la región que representa elconjunto solución.

Entonces, si el problema está bien definido, encontraremos la solución en un vértice oen uno de los bordes de la región que representa el conjunto solución. Pero cada vértice dela región es la intersección de dos de sus bordes rectilíneos. Así que para encontrar estasolución, habrá que ver la posibilidad de mover una recta hasta el punto donde justamentedeje de cortar la región. Otro procedimiento que se usa mucho consiste en calcular lascoordenadas de los vértices y de los puntos de intersección que están en el conjunto solu-ción (cada punto de estos cumple a la vez, con dos condiciones límites); calcular el valor dela ganancia para cada uno de estos puntos y escoger el máximo. Si dos vértices dan el mismovalor de ganancia y éste máximo, están unidos por el mismo borde rectilíneo. En este casotodos los puntos del segmento rectilíneo dan la ganancia máxima.

Las regiones que hemos tratado en las dos últimas secciones han sido convexas, esdecir, tienen la siguiente forma:

en vez de esta forma

1234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

399

U N I D A D III

1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012

1234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789

Se puede demostrar que el conjunto solución de un sistema de inecuaciones linealessiempre puede ser representado por una región convexa. Antes de hacer esto, posible-mente le gustaría convencerse de que esta proposición es verdadera, tratando de obtenerla intersección de un conjunto de semiplanos que no sea convexa.Definición de “Conjunto Convexo”

Si queremos demostrar una proposición, es necesario antes, definir claramente to-dos sus términos. En este caso, el término del que tenemos una idea vaga es el de “conjun-to convexo”. La situación ante la que estamos, se presenta con mucha frecuencia en Ma-temáticas: Si se tiene un concepto que podemos describir en términos vagos, posiblemen-te con una gráfica y queremos usarlo en un desarrollo matemático, debemos definirlo porsus propiedades características. La propiedad que caracteriza una región convexa es: siunimos cualquier pareja de puntos de la región por un segmento rectilíneo, dicho segmen-to está contenido todo en la región.

Una región es convexa, si y sólo si, siendo P y Q puntos de la región,todos y cada uno de los puntos del segmento P Q pertenecen a la región.

(Tenga en cuenta que esta definición es aplicable también a las regiones de tres dimen-siones). Íntegramente en dicho polígono.

Sabemos que una región de un plano es la representación de un conjunto de paresordenados. Por consiguiente una región convexa es la representación de un conjunto con-vexo. Si la región está limitada por segmentos rectilíneos, el conjunto se llama conjuntoconvexo poliédrico. (El adjetivo “poliédrico” proviene de que en el espacio de tres dimen-siones los conjuntos de puntos están limitados por poliedros. La expresión se usa, sin embar-go, para referirnos a conjuntos abstractos de más de tres dimensiones, lo mismo que a con-juntos de dos dimensiones, limitados por un polígono o a conjuntos de una dimensión re-presentados por segmentos de una recta numérica).

Ahora sí podemos demostrar nuestra afirmación de que el conjunto de puntos de unplano, que es la representación del conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales,es un conjunto convexo. Una manera de hacerlo es negar la tesis y demostrar que por esto sellega a una contradicción. (ver I. 2.8) El conjunto solución de un sistema de inecuacioneslineales es siempre un polígono. Si suponemos que este polígono no es convexo podemosencontrar dos puntos A y B, pertenecientes a él, tales que el segmento rectilíneo A B no estácontenido íntegramente en dicho polígono.

400


R

P

Q

P

R

En A, todas las inecuaciones se satisfacen. Siguiendo a lo largo del segmento AB, enalgún punto entre A y B, salimos del polígono L y una de las desigualdades no se cumplirá.Como dos rectas se cortan en un solo punto, entonces en B la desigualdad tampoco secumplirá, pero B es un punto del conjunto solución. Por consiguiente, hemos llegado a unacontradicción por la que tenemos que la suposición es falsa y nuestra proposición es verda-dera.

Ejercicio 7A y B son conjuntos convexos planos.

i.- ¿Es A ∩ B necesariamente convexo?

ii.- ¿Es A ∪ B necesariamente convexo?

Solución

i.- SI. Considere dos puntos P, Q de A ∩ B y un punto R del segmento rectilíneo que los une.Como P y Q están dentro de A y A es convexo, entonces R pertenece a A. Por la mismarazón R pertenece también a B. Por consiguiente, R pertenece a A ∩ B y entonces A ∩ B esconvexo.

ii.- NO. Considere el diagrama de abajo que es la ilustración de un contraejemplo.

B

A

L

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RESUMENEn esta sección indicamos cómo algunas de las ideas que hemos discutido pueden ser

aplicadas a la solución de un nuevo problema que se presenta frecuentemente en Adminis-tración. Un ejemplo típico es el del dueño de una mina que tiene varias opciones paraexplotarla. Puede hacerlo a una capacidad constante de producción, empezando con unacapacidad pequeña y aumentarla poco a poco; puede empezar con una producción grandey reducirla gradualmente; en fin, tiene muchas posibilidades. Teniendo unas prediccioneseconómicas de precios, costos, etc., presumiblemente deseará organizar su producción paraobtener la ganancia máxima.

Un fabricante de abrigos para mujer encuentra que puede hacer una ganancia másgrande vendiendo abrigos de invierno, que vendiendo abrigos de verano, y que es más fácilvender ropa del primer tipo. Presumiblemente, tendrá que trabajar sujeto a ciertas limitacio-nes como la obligación de proveer cierto número de cada tipo de abrigos y obtener unamáxima producción de un cierto número de máquinas y trabajadores que tiene a su disposi-ción. Otra vez estamos enfrentados a un problema con varias posibilidades para organizar laproducción. El fabricante debe escoger entre éstas aquélla que le convenga más; puede serla que le produzca mayor ganancia o la que haga menor los costos, la que le reduzca eltrabajo difícil o cualquiera otra que quiera usar.

Los problemas de este tipo tienen dos partes: primera, determinar el conjunto de lasposibilidades de producción, y segunda, escoger de este conjunto la posibilidad óptima.

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