Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana - uom.uib.cat · Hem d’anar alerta... La Comissi o Europea estima que el programa pan europeu eCall t e el potencial de estalviar ns

Matematiques aplicades a la vida quotidiana

Francesc Rossello

UOM, 2012

Matematiques en la vida quotidiana

2 de 64

Hem d’anar alerta. . .

3 de 64


6,09/12 = 0,5075!!

4 de 64


11,14/24 = 0,4641! 11,14/22 = 0,5064!!

5 de 64


“La capilla ardiente [de Lola Flores],instalada a las cuatro de la tarde deayer, ya ha sido visitada por mas de500.000 personas”

(Cadena Ser, 18/5/1995, 8h)

500.000 persones/16 hores = 31.250persones per hora

31.250 persones/3600 segons = 8,7persones per segon

6 de 64


(El Paıs, 20/5/2009)7 de 64


8 de 64


La Comissio Europea estima que el programa pan europeu eCallte el potencial de estalviar fins a 2500 morts anuals a l’Europadels 25 quan estigui completament operatiu.

(Text original de l’informe)

9 de 64


(Diario de Mallorca, 9/11/2009)10 de 64


“Balears cuenta con 51.772 piscinas. [. . . ] la extension media deestos estanques de bano ronda los 32 metros cuadrados. Si secolocaran juntos ocuparıan cerca de 165 metros cuadrados, casiuna cuarta parte del municipio de Buger estarıan inundadas. Conuna capacidad media de 40 metros cubicos, todas las piscinasprivadas de las islas casi doblan la capacidad de los embalses delGorg Blau y Cuber.

(Diario de Mallorca, 9/11/2009)

51.772 · 32 = 1.656.704 m2 = 165,6704 Hm2

51.772 · 40 = 2.070.880 m3 = 2,070.88 Hm3

Volum total del Gorg Blau i Cuber: 12 Hm3

11 de 64


El 25 d’abril de 2006, en Mariano Rajoy presenta en el registredel Congres de Diputats 4 milions de firmes demanant lacelebracio d’un referendum contra l’Estatut d’Autonomia deCatalunya. Estaven recollides en 450.000 fulls de firmes, que estransportaren en 10 furgonetes.

12 de 64


450.000 fulls DIN A4, en paquets de 500 fulls: 900 paquets.

Cada paquet fa297mm× 210mm× 55mm = 3.430.350mm3 = 0,00343035m3

Per tant, 900 paquets fan 900× 0,00343035 = 3,06315m3

13 de 64


14 de 64


????

????

15 de 64

Percentatges

16 de 64

Hem d’anar alerta. . . (Pregunta 1)

En els anys setanta, les puntuacions dels nostres estudiants en elstests de nivellament baixaren prop d’un 60%, pero de llavors encaja han tornat a pujar un 90%.

(Comissio d’Educacio de California, 1998)

Ha millorat, respecte dels anys setanta, no?

17 de 64

Pregunta 2

Si vos fan un descompte d’un 10% en un producte, quan vosconve mes que el vos facin, abans d’aplicar l’IVA (un 18%) odespres d’aplicar l’IVA?

18 de 64

Pregunta 3

Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 10%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 10% de descompte sobre el nou preu.

Pagareu el mateix que valia abans?

19 de 64

Pregunta 4

Els primers dies de rebaixes, en una botiga fan el 30% dedescompte, i com que sou bons clients, a vosaltres vos fan un10% de descompte mes sobre el preu ja rebaixat.

Us fan un 40% de descompte, en total? O vos conve esperar ales segones rebaixes, que fan un 40% a tothom?

20 de 64

Pregunta 5

A Media Markt de vegades fan els “dies sense IVA”, on cobren elpreu del producte sense sumar-hi l’IVA (un 18%).

Quin descompte sobre el preu final fan?

21 de 64

Percentatges

Un percentatge es una fraccio amb el denominador igual a 100

Per exemple, 7% =7

100

Per passar una fraccio a %, multiplicam per 100%

12

25=

12

25· 100% =

1200

25% = 48%

22 de 64

Percentatges

Per calcular el percentatge p% d’una quantitat X , fem

p

100· X

Exemples:Quant es el 10% de 25?

10

100· 25 =

1

10· 25 =

25

10= 2,5

El 10% s’obte dividint per 10, es a dir, desplacant un lloc al’esquerra la coma dels decimals

23 de 64

Percentatges


p

100· X


50

100· 25 =

1

2· 25 =

25

2= 12,5

El 50% d’una quantitat es la meitat

24 de 64

Percentatges


p

100· X


100

100· 25 = 1 · 25 = 25

El 100% d’una quantitat es el total de la quantitat

25 de 64

Percentatges

Per calcular quin percentatge d’una quantitat X representa unaaltra quantitat Y , fem

Y

X· 100%

Exemple:De 80 estudiants d’una assignatura, 65 l’han aprovada. Quinpercentatge representen?

65

80· 100% = 81, 25%

26 de 64

Percentatges

(El Periodico de Aragon, novembre 2008)27 de 64

Exemple

Hay varios motivos por los que el sector taurino espanol sereivindica como vital para la economıa. Los principales:

• Economico: La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol.Ademas, las corridas y los festejos populares generan 2.500millones de euros al ano.

• Laboral: El toro ‘emplea’ a mas de 7.000 profesionales, lo quese traduce en una productividad de 3,7 millones de jornadas detrabajo al ano.

(Expansion, 28/09/2010)

28 de 64

Exemple

La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol. Ademas, lascorridas y los festejos populares generan 2.500 millones de eurosal ano.

1,5% · 1.050.000 milions AC= 15.750 milions AC

2.500/1.050.000 ≈ 0,0024, un 0,24%

29 de 64

Exemple

La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol. Ademas, lascorridas y los festejos populares generan 2.500 millones de eurosal ano.

El toro ‘emplea’ a mas de 7.000 profesionales, lo que se traduceen una productividad de 3,7 millones de jornadas de trabajo alano.

3.700.000 jornades de treball/7.000 profesionals = 528,57jornades de treball anuals per treballador!

528,57/365 = 1,45 jornades de treball diaries

2.500 milions AC/7.000 profesionals ≈ 357.000 AC anuals perprofessional30 de 64

Sumar i restar percentatges

Per sumar un percentatge p% a una quantitat X , fem

X +p

100· X

Exemples:Una cosa que valia 25 AC puja un 5%. Que val ara?

25 +5

100· 25 = 25 + 1,25 = 26,25 AC

31 de 64


Per sumar un percentatge p% a una quantitat X , fem

X +p

100· X

Exemples:A la carta de La Rigoletta els preus hi apareixen sense IVA, i aixovol dir que cal sumar als preus marcats un 8%. Que pagarem peruna pizza que val 12 AC?

12 +8

100· 12 = 12 + 0,96 = 12,96 AC

32 de 64


Per restar un p% a una quantitat X , fem

X − p

100· X

Exemples:D’una cosa que valia 25 AC em fan un 5% de descompte. Quepagare?

25− 5

100· 25 = 25− 1,25 = 23,75 AC

33 de 64

Calcul de percentatges

Per calcular el percentatge que ha variat una quantitat, fem

Percentatge =Valor nou− Valor antic

Valor antic· 100%

Si surt positiu, es el percentatge que ha pujat. Si surt negatiu, esel percentatge que ha baixat.

34 de 64


Percentatge = Valor nou−Valor anticValor antic · 100%

Exemples:Aquestes festes de Pasqua, a ca’l meu carnisser, la cuixa de xotha passat de valer 10,50 AC/kg a valer 12,35 AC/kg. Quinpercentatge ha pujat?

12,35− 10,50

10,50· 100% =

1,85

10,50· 100% = 0,1762 · 100% = 17,62%

35 de 64



Exemples:El Paıs (4/12/2009): Unes certes despeses havien passat “de 1,8millones a casi 7,3 millones en el plazo de una decada”, i altitular deia “crece un 400% en 10 anos”? Tant?

7,3− 1,8

1,8· 100% =

5,5

1,8· 100% = 3,05 · 100% = 305%

36 de 64


Creixer un 100% es doblar-se:

X +100

100· X = X + X = 2X

Creixer un 200% es multiplicar-se per 3:

X +200

100· X = X + 2X = 3X

Baixar un 100% es desapareixer completament!:

X − 100

100· X = X − X = 0

37 de 64



Exemples: ¡Compre 2 y le regalamos el tercero! ¡Un 50% dedescuento en una amplia gama de nuestros productos!

Suposem que cada objecte val 100. 3 objectes valen 300 i pagamnomes 200:

200− 300

300· 100% =

−100

300· 100% = −0,33 · 100% = −33%

38 de 64



Exemples: ¡Compre 2 y le regalamos el tercero! ¡Un 50% dedescuento en una amplia gama de nuestros productos!

Suposem que cada objecte val X . 3 objectes valen 3X i pagamnomes 2X :

2X − 3X

3X·100% =

−X

3X·100% =

−1

3·100% = −0,33·100% = −33%

39 de 64

Pregunta 5

A Media Markt de vegades fan els “dies sense IVA”, on cobren elpreu del producte sense sumar-hi l’IVA (un 18%). Quindescompte sobre el preu final fan?

Suposem que volem comprar un producte que val 100 AC senseIVA.

Amb IVA val

100 +18

100· 100 = 100 + 18 = 118

Si nomes pagam 100, el descompte es

100− 118

118· 100% =

−18

118· 100% = 0,152 · 100% = 15,2%

40 de 64

Pregunta 5

La primera vegada que Media Markt va fer aquesta campanya(2/03/2009), el que feia era fer el descompte del 16% (l’IVAd’aquells temps) al preu final. . . per gran alegria dels clients!

41 de 64

Pregunta 5

Suposem que volıem comprar un producte que valia 100 AC senseIVA.

Amb IVA (16%) valia

100 +16

100· 100 = 100 + 16 = 116

Si ara li llevam el 16%:

116− 16

100· 116 = 116− 18,56 = 97,44

42 de 64

No es poden sumar els percentatges!

El ministerio de Educacion aumenta un 20% el lımite dealumnos por clase

“Aumentar un 20% el lımite legal de alumnos por aula (es decir,incrementar el maximo de estudiantes por unidad de 27 a 30 enprimaria y de 33 a 36 en secundaria)[. . . ]”

(El Paıs, 16-04-2012)

Increment a primaria:30− 27

27· 100% =

3

27· 100% = 11, 11%

Increment a secundaria:36− 33

33· 100% =

3

33· 100% = 9, 09%

Han sumat pomes i peres?

43 de 64


Las universidades pierden mas de un 11% del alumnado

“Las universidades de Salamanca —la publica y la Pontıfica—han perdido entre las dos un 11,34% del alumnado en el cursoacademico 2005–06 con respecto al ano anterior. La Universidadde Salamanca reune a 26.582 alumnos frente a los 27.886 delperiodo anterior, un 4,68% menos, mientras que la Pontıfica deSalamanca concentra 6.516 alumnos, un 6,66% menos que en2004–05 cuando matriculo a 7.158 alumnos.”

(Un diari de Salamanca, 2004)

44 de 64


Las universidades pierden mas de un 11% del alumnado

2004–05: 27.886+7.158=35.044

2005–06: 26.582+6.516=33.098

Disminucio:33.098− 35.044

35.044· 100% =

−1.946

35.044· 100% = 5,55%

45 de 64

Pregunta 2


Cas 1: Descompte sobre el preu original

Suposem que el preu abans d’aplicar l’IVA es 100 AC

Fan el descompte: 100− 10

100· 100 = 100− 10 = 90

Pugen l’IVA: 90 +18

100· 90 = 90 + 16,2 = 106,2

46 de 64

Pregunta 2


Cas 2: Descompte sobre el preu final

Suposem que el preu abans d’aplicar l’IVA es 100 AC

Pugen l’IVA: 100 +18

100· 100 = 100 + 18 = 118

Fan el descompte: 118− 10

100· 118 = 118− 11,8 = 106,2

Te el mateix efecte!

47 de 64

L’ordre dels percentatges

L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia elresultat final

Acabam de veure que es el mateix primer pujar un 18% i despresllevar un 10%, que primer llevar un 10% i despres pujar un 18%

48 de 64


L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinal

Exemple:Es el mateix primer pujar un 10% i despres pujar un 20% queprimer pujar un 20% i despres un 10%

Cas 1: Primer un 10%, despres un 20%

Suposem que la quantitat en comencar es 100.

Pujam un 10%: 100 +10

100· 100 = 100 + 10 = 110

Pujam un 20%: 110 +20

100· 110 = 110 + 22 = 132

49 de 64


L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinalExemple:Es el mateix primer pujar un 10% i despres pujar un 20% queprimer pujar un 20% i despres un 10%

Cas 2: Primer un 20%, despres un 10%

Suposem que la quantitat en comencar es 100.

Pujam un 20%: 100 +20

100· 100 = 100 + 20 = 120

Pujam un 10%: 120 +10

100· 120 = 120 + 12 = 132

50 de 64

Els percentatges no se sumen!

Si pujam primer un 20% i despres un 10%

100 7→ 120 7→ 132

no pujam un 30%

100 +30

100· 100 = 100 + 30 = 130

51 de 64

Els percentatges no se sumen!

Un home de Lepe que sabia calcular percentatges duia un bitlletde 10 Euros a la cartera, i va trobar un bitllet de 5 a l’acera.Quina sort, va pensar, els doblers que duc han augmentat un50%! Just mentre pensava aixo, un cop de vent s’endugue elbitllet de 5. Be, es digue a si mateix, si de 15 Euros baix a 10, heperdut un 33%, encara surt guanyant un 17%!

Eeeeeh?

52 de 64

Pregunta 3

Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 10%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 10% de descompte sobre el nou preu. Pagareu el quevalia abans?

Suposem que volıeu comprar un producte que val 100 AC.

Vos pugen un 10%: 100 +10

100· 100 = 100 + 10 = 110

Vos baixen un 10%: 110− 10

100· 110 = 110− 11 = 99

Pagareu manco del que valia!

53 de 64

Pregunta 3-bis

Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 100%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 100% de descompte sobre el nou preu. Que pagareu?

Res! Llevar un 100% es llevar-ho tot!

Suposem que volıeu comprar un producte que val 100 AC.

Vos pugen un 100%: 100 +100

100· 100 = 200

Vos baixen un 100%: 200− 100

100· 200 = 200− 200 = 0

Gratis!

54 de 64

Pregunta 4

Els primers dies de rebaixes, en una botiga fan el 30% dedescompte, i com que sou bons clients, a vosaltres vos fan un10% de descompte mes sobre el preu ja rebaixat. Us fan un 40%de descompte, en total?

Suposem que volem comprar un producte que val 100 AC.

1a rebaixa: 100− 30

100· 100 = 100− 30 = 70

2a rebaixa: 70− 10

100· 70 = 70− 7 = 63

Descompte total:63− 100

100· 100% =

−37

100· 100% = −37%

55 de 64

L’acumulacio de percentatges

Si aplicam un percentatge rere l’altre, no els podem sumar

Acabam de veure que:

• Si primer sumam un 10% i despres restam un 10%, no secompensen

• Si primer restam un 10% i despres un altre 10%, en total norestam un 20%, sino manco

• Si primer sumam un 10% i despres un 20%, en total nosumam un 30%, sino mes

56 de 64

Pregunta 1

En els anys setanta, les puntuacions dels nostres estudiants en elstests de nivellament baixaren prop d’un 60%, pero de llavors encaja han tornat a pujar un 90%.

Suposem que la puntuacion inicial es 100:

Primer baixa un 60%: 100− 60

100· 100 = 100− 60 = 40

Despres puja un 70%: 40 +90

100· 40 = 40 + 36 = 76

Estan lluny de recuperar-se!

57 de 64


A la seva primera legislatura, el president J. L. RodrıguezZapatero va prometre que duplicaria en 4 anys el pressupostdedicat a investigacio.

Pero el que va fer va ser augmentar aquest pressupost un 25%anual. Que significa aixo?

Suposem que el pressupost era de 100 milions d’Euros.

1er any: 100 +25

100· 100 = 100 + 25 = 125

2on any: 125 +25

100· 125 = 125 + 31,25 = 156,25

58 de 64


A la seva primera legislatura, el president J. L. RodrıguezZapatero va prometre que duplicaria en 4 anys el pressupostdedicat a investigacio.

Pero el que va fer va ser augmentar aquest pressupost un 25%anual. Que significa aixo?

3er any: 156,25 +25

100· 156,25 = 156,25 + 39,06 = 195,31

4rt any: 195,31 +25

100· 195,31 = 195,31 + 48,83 = 244,14

Increment total:244,14− 100

100· 100% =

144,14

100· 100% = 144,14%

59 de 64

Mes exemples

(dBalears, 20/4/2012)60 de 64

Mes exemples

(El Mundo,20/4/2012)

61 de 64

Mes exemples

Els estudiants pagaven un 18% del cost dels seus estudis, arapagaran un 25%.

Suposem el cost es 1000.

Pagaven: 180 Pagaran: 250

Increment:250− 180

180· 100% =

70

180· 100% = 38,89%

Ni un ni l’altre. . .

62 de 64

Mes exemples

“El 65% de los menores de 10 a 17 anos admiten que acceden aprogramas para mayores de edad [. . . ] El 50% de los ninos y el15% de las ninas entre 10 y 17 anos reconocen que . . . ”

(El Periodico, 5/1/2006)

50% nins+ 15% nines= 65% del total?

Suposem que tenim 100 menors entre 10 i 17 anys, dels quals 50son nins i 50 son nines.

50% de nins:50

100· 50 = 25 15% de nines:

15

100· 50 = 7,5

Total: 25 + 7,5 = 32,5 de 100: un 32,5%

63 de 64

Mes exemples

“El precio de la vivienda no encuentra techo. El ano que ahoratermina, el precio medio de la vivienda nueva en las capitales deprovincia subio una media del 12,5%. Se trata de la mayor subidade toda la decada, desde el anterior boom inmobiliario de losanos ochenta. En 1997 subio un 3,4%, un ano despues lo hizo enun 5,1% y en 1999 la cifra se acelero al 9%. Es decir, un 30% encuatro anos.”

(El Paıs, 30/12/2000)

3,4% + 5,1% + 9% + 12,5% = 30%?????

100 7→ 103,4 7→ 108,7 7→ 118,5 7→ 133,3⇒ 33,3%

64 de 64

Mes exemples

“Primero creamos el 3 x 2. Despues, la segunda unidad a mitad deprecio. Y ahora, Carrefour anuncia en exclusiva el descuento 20-30,una promocion mas flexible para ti que, como siempre en Carrefour,convierte tu compra en ahorro. ¿Que compras dos paquetes dedetergente?, te hacemos un descuento del 20% en los dos. ¿Quecompras tres o mas?, te hacemos un descuento del 30%.”

3x2: 33,33% (comprant-ne 3)

La segunda unidad a mitad de precio: Si cada unitat val 100,

200− 150

200· 100% =

50

200· 100 = 25%

Un descuento del 20% en los dos: 20% (comprant-ne 2)

Un descuento del 30% en los tres: 30% (comprant-ne 3)65 de 64

En resum

• L’ordre en que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinal

• Si aplicam un percentatge rere l’altre, no els podem sumar

• I en general, alerta amb els percentatges!

66 de 64

Exercici per a l’examen final

1) D’aquı a final de curs, cercau notıcies als diaris on es doninpercentatges, i mirau si els percentatges que s’hi donen soncorrectes o no.

Podeu presentar 5 notıcies amb els percentatges correctes, o 1amb qualque percentatge incorrecte.

67 de 64

Documents

Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana - uom.uib.cat · Hem d’anar alerta... La Comissi o Europea estima que el programa pan europeu eCall t e el potencial de estalviar ns