Materia CondensadaMateria Condensada Porque, para que ...matcon/apuntes/cap01.pdfcomportamiento de la materia en estado sólido, en particular cristalino, frente a diversos tipos de

CondensadaCondensada??????

Materia CondensadaMateria Condensada

Porque, para que, quienes, d ?como,cuando?

Marcelo Stachiotti [email protected] Dobry dobry@ifir conicet gov arAriel Dobry [email protected]

Horario de clases:Lunes de 14.00 a 18.00 hs.Jueves de 9.00 a 13.00 hs.

Materia Condensada 18 de marzo de 2009

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Bienvenidos aFísica del Estado Sólido

Licenciatura en Física - ECEN

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Licenciatura en Física - ECENFacultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - UNR

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Materia Condensada5to año de la carrera de Lic. en Fisica

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MateriaMateria CondensadaCondensada

Mecánica Electromagnetismo Mecánica CuánticaMecánica Electromagnetismo Mecánica Cuántica

Mecánica EstadísticaMecánica Estadística

Materia Condensada


MateriaMateria CondensadaCondensada

• Propiedades mecánicas de sólidosComportamientos emergentes ‘exóticos’:Propiedades mecánicas de sólidos• Propiedades termodinámicas• Propiedades de transporte eléctrico

Comportamientos emergentes exóticos :• Agujeros en semiconductores• Párticulas con carga y sin espin

Nueva Física fundamental• Propiedades de transporte eléctrico

(metales,semiconductores).• Propiedades magnéticas

• Párticulas con carga y sin espin• Particulas con 1/3 de la carga del electron

Ciencia de materiales

Propiedades magnéticas.• Superconductividad


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada

• PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA (pdf)• OBJETIVOS:Conceptos básicos de estructura cristalina, tipos de uniones en elementos y

compuestos, dinámica de la red cristalina, el modelo del gas de electrones para metales, bandas de energía electrónica y semiconductoresUBICACION EN LA CARRERRA Y CARACTERISTICAS GENERALES:Corresponde al 5o año deUBICACION EN LA CARRERRA Y CARACTERISTICAS GENERALES:Corresponde al 5o año de la carrera. Se imparten los conocimientos teóricos básicos que permiten comprender el comportamiento de la materia en estado sólido, en particular cristalino, frente a diversos tipos de experiencias también descriptas en el curso. Abarca un área muy amplia de la Física que involucra la mayor parte de sus aplicaciones tecnológicas. Requiere conocimientos obtenidos enla mayor parte de sus aplicaciones tecnológicas. Requiere conocimientos obtenidos en prácticamente toda la carrera, pero en mayor grado de las materias a continuación mencionadas

• MATERIAS RELACIONADAS:Previas: Electromagnetismo, Mecánica del Continuo, Mecánica Cuántica, MecánicaEstadísticaEstadísticaSimultáneas recomendadas:Posteriores: Tópicos de Materia Condensada. Teoría de campos en Materia Condensada.


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensadaCONTENIDO TEMATICOCONTENIDO TEMATICO

1--Estructura cristalina

1.1-Nociones sobre la estructura microscópica de la materia en estado sólido. 1.2-Red primitiva o de Bravais. 1.3-Vectores base. 1 4-Celda unitaria primitiva y convencional1.4-Celda unitaria primitiva y convencional. 1.5-Celda de Wigner-Seitz. 1.6-Ejemplos de las redes cúbicas. 1.7-Estructura cristalina. 1 8 Base o motivo1.8-Base o motivo. 1.9-Ejemplos de estructuras con mas de un sitio en la base. 1.10-Red recíproca : definición, construcción, propiedades y ejemplos. 1.11-Zona de Brillouin. 1 12 A li i l t ió d F i d i d d i t li f i d i bl1.12-Aplicaciones a la representación de Fourier de propiedades cristalinas: funciones de variable posición continua y discreta periódica (red). 1.13-Condiciones de contorno periódicas.

2-- Difracción en cristales2.1-Distintos campos excitatrices con que se puede producir difracción en un cristal: rayos X, neutrones y electrones. y2.2-Tratamiento general de la dispersión elástica de una onda plana monocromática en un cristal. 2.3-Factor de estructura geométrica. 2.4-Condiciones de difracción de Laue y de Bragg.


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada2 5-Equivalencia de ambas2.5 Equivalencia de ambas. 2.6-Planos de Bragg. 2.7-Índices de Miller. 2.8-Análisis de las posiciones atómicas: factor de forma atómico.

3 – Cohesión2.9-Métodos experimentales de difracción de rayos X: de Laue, de cristal rotatorio y de polvos.

3.1-Revisión de la estructura electrónica de los elementos. 3.2-Concepto de energía de cohesión. 3.3-Nociones de los mecanismos de cohesión en los elementos. 3.4-Uniones metálicas, covalentes, de Van der Waals y moleculares. 3.5-Unión iónica en compuestos. 3.6-Ejemplos de covalencia e ionicidad en compuestos binarios simples. 3.7-Valores comparativos de energías de cohesión en elementos y compuestos iónicos.3.7 Valores comparativos de energías de cohesión en elementos y compuestos iónicos. 3.8-Gases nobles: atracción de Van der Waals y repulsión por solapamiento de orbitales vecinos. 3.9-El potencial de Lennard-Jones. 3.10-Modelo para los cristales correspondientes a gases nobles : evaluación de las energías de cohesión, distancias de equilibrio y módulos de compresibilidaddistancias de equilibrio y módulos de compresibilidad3.11-Cristales iónicos. 3.12-Potencial repulsivo de Born-Mayer.3.13-La energía coulombiana : coeficientes de Madelung. 3 14 E l ió d í d h ió di t i d ilib i ód l d ibilid d3.14-Evaluación de energías de cohesión, distancias de equilibrio y módulos de compresibilidad.


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada4 - Dinámica de la red cristalina

4.1-Separación de los grados de libertad electrónicos de los nucleares: la aproximación adiabática. 4.2-El potencial de la red: desarrollo en desplazamientos nucleares dinámicos y aproximación armónica. 4 3-Constantes de fuerza4.3-Constantes de fuerza. 4.4-Ecuaciones clásicas de movimiento del cristal armónico. 4.5-Desarrollo de los desplazamientos en ondas planas y desacoplamiento formal de las celdas. 4.6-La matriz dinámica: propiedades, autovalores y autovectores. 4 7 Coordenadas normales4.7-Coordenadas normales. 4.8-Interpretación del desarrollo de los desplazamientos en modos normales. 4.9-Relaciones de dispersión.4.10-Modos acústicos y ópticos. 4 11 R l ió l t t lá ti d l i t l4.11-Relación con las constantes elásticas del cristal.4.12-El hamiltoniano en coordenadas normales. 4.13-Cuantificación. 4 14-Formalismo de operadores de creación y destrucción para bosones4.14 Formalismo de operadores de creación y destrucción para bosones. 4.15-Fonones. 4.16-Termodinámica estadística del cristal armónico. 4.17-La función de partición y funciones de estado: energía libre, entropía y energía interna. 4 18 C l ífi lí it d lt b j t t4.18-Calor específico: límites de alta y baja temperatura. 4.19-Modelos de Debye y de Einstein.4.20-Impulso cristalino. 4.21-Reglas de conservación en interacciones de fonones entre sí o con otras partículas o cuasipartículas.g p p


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada4.22-Propiedades ópticas de aisladores. 4 23 L f ió di lé t i d l d4.23-La función dieléctrica de la red. 4.24-Efectos sobres modos ópticos transversales y longitudinales. 4.25-Relación de Lyddane-Sachs-Teller. 4.26-Reflectividad infrarroja.

5 - Modelo de electrones libres para metales

5 1 T t i t á ti

j

5.1-Tratamiento cuántico. 5.2-La densidad de estados.5.3-La energía de Fermi. 5.4-El nivel fundamental. 5.5-Paragnetismo de Pauli.5.9-El potencial químico. 5.6-Estadística de Fermi-Dirac. 5 7 La energía interna5.7-La energía interna. 5.8-El calor específico. 5.10-Desarrollo de Sommerfeld.5.11-Comparación con el calor específico clásico y con la contribución de fonones.p p y


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada6 - Modelo de electrones independientes en un potencial periódico : teoría de p p pbandas

6.1-Teorema de Bloch. Funciones de Bloch. 6.2-Periodicidad de éstas y de sus autoenergías en el espacio recíproco.6.3-Bandas de energía. 6.4-El estado fundamental. 6.5-Posibilidad de un “gap” de energías prohibidas. g p g p6.6-Concepto de aislador. semiconductor y metal. 6.7-Nivel y superficie de Fermi.6.8-Aproximación de electrones casi libres. 6.9-Esquema de “red vacía”.6.9 Esquema de red vacía . 6.10-Perturbaciones de niveles aislados y de niveles casi-degenerados por un potencial periódico débil. 6.11-Efectos cerca de planos de Bragg. 6.12-Superficies de Fermi.6 13-Zonas de Brillouin 2da 3ra etc6.13-Zonas de Brillouin 2da, 3ra, etc. 6.14-Esquemas de zonas reducida y extendida.6.15-Aproximación de electrones fuertemente ligados (tight-binding). 6.16-Desarrollo de una función de Bloch como combinación lineal de orbitales localizados. 6 17 Integrales de solapamiento (overlap) “hopping” y energías de sitio6.17-Integrales de solapamiento (overlap), hopping , y energías de sitio. 6.18-Obtención de las bandas a partir de una matriz hamiltoniana.


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada7 - Dinámica semiclásica y propiedades de transporte.

7.1-Valor de expectación de la velocidad de un electrón en un estado de Bloch. 7.2-Modelo semiclásico para la evolución de un estado de Bloch en un campo externo. 7 3 Ecuaciones de movimiento7.3-Ecuaciones de movimiento. 7.4-Condiciones de validez. 7.5-Imposibilidad de que una banda completamente llena pueda contribuir a conducción: existencia de aisladores, semiconductores y conductores. , y7.6-Concepto de agujero en una banda llena. 7.7-Tensor de masa efectiva. 7.8-Orbitas en campos magnéticos. 7 9 El d l d D d difi d ú S f ld7.9-El modelo de Drude modificado según Sommerfeld. 7.10-Conceptos de colisiones y tiempo de relajación. 7.11-Condiciones de validez. 7.12-Movimiento en un campo externo casi uniforme. 7.13-Conductividad eléctrica estática y dinámica. 7.14-Excitación con una onda electromagnética. 7.14-Plasmones. 7.15-La función dieléctrica. 7.16-Relación con la conductividad. 7.17-Condiciones de propagación y de reflexión de una onda. 7.18-Efecto Hall. 7 18-Conductividad térmica7.18 Conductividad térmica. 7.19-Relación con la conductividad eléctrica: regla de Wiedemann-Franz. 7.20-Efecto Seebeck y poder termoeléctrico.


Programa de Programa de MateriaMateria CondensadaCondensada7.21-La ecuación de transporte de Boltzmanp7.22-Soluciones de la ecuación linealizada en aproximación de tiempo de relajación. 7.23 Tensor de conductividad electrica.7.24Contribución de las impurezas y los fonones a la conductividad eléctrica de un metal.

8 – Semiconductores

8.1-Conducción en un aislador de gap pequeño. 8.2-Valores típicos de gaps en semiconductores. 8.3-Caracterización macroscópica de un semiconductor. 8 4 C d ti id d i t í t í8.4-Conductividad intrínseca y extrínseca. 8.5-Gaps directos e indirectos. 8.6-Determinación. 8.7-Resonancia ciclotrónica. 8.8-Números de electrones de conducción y de agujeros en equilibrio térmico. 8.9-Ley de acción de masas. 8.10-Casos intrínseco y extrínseco. 8.11-Comportamientos del potencial químico p p q8.12-Niveles de impurezas donoras y aceptoras: modelo hidrogenoide. 8.13-Poblaciones de niveles de impurezas. 8.14-Densidad de portadores en equilibrio térmico para semiconductores dopados.

9. Propiedades ópticas de sólidos


BibliografíaBibliografía

- Solid State Physics N W Ashcroft and N D Mermin (Saunders College Philadelphia

BIBLIOGRAFIAa) Adecuada al programa.

- Solid State Physics, N.W. Ashcroft and N.D. Mermin (Saunders College, Philadelphia, 1976) (libro - 13.4 Mb)

- Introduction to Solid State Physics, C. Kittel (J. Wiley, 7a Edición, 1996) (libro - 13 Mb)DjVu Viewer (bajar)DjVu Viewer (bajar)

b) Complementaria para profundización o extensión de temas.

- Principles of the Theory of Solids, J.M. Ziman (Cambridge Univ. Press, 1972)- Introduction to Solid State Theory O Madelung (Springer 1981)

) p p p

- Introduction to Solid State Theory, O. Madelung (Springer, 1981)- Solids: Elementary Theory for Advanced Students, Weinreich (J. Wiley, 1965)- Solid State Physics, E.E. Hall (J. Wiley, 1974)

Texto de problemas :- Problemas de Física del Estado Sólido H J Goldsmid (1975)Texto de problemas : Problemas de Física del Estado Sólido, H.J. Goldsmid (1975)Nota : Todos los textos enunciados se encuentran en la Biblioteca de la FCEIA.

Material adicional:

Software con el que trabajamos en claseSolid State Simulation Proyect:


Estructuras CristalinasEstructuras Cristalinas

C á b d l á l ól d ?Como están ubicados los átomos en los sólidos?

En algunos minerales la estructura macroscópica lo denota

Cuarzo

En algunos minerales la estructura macroscópica lo denota

Rubi´

Cuarzo Rubi

azufrea u


Estructuras CristalinasEstructuras Cristalinas

En metales la estructura cristalina no esEn metales la estructura cristalina no es evidente porque forman policristales

La regularidad microscópica fue una hipotesis ad hoc hasta que recibió fi ió i t l di t dif ió d R B 1913confirmación experimental mediante difracción de Rx por Bragg en 1913


Redes CristalinasRedes Cristalinas

Estudiamos la geometría de arreglos regulares de puntos para aplicarlo a la estructura atómica en sólidos

Una red de Bravais es:

f á1.Un arreglo infinito de puntos discretos cuyas posiciones R están dadas por:

R = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3

donde a1, a2 y a 3 son tres vectores no coplanares, llamados vectoresprimitivos, y l1 , l2 y l3 , números enteros.

2. Arreglo de puntos que se ve igual desde cualquiera de ellos.

1≡2



Los vectores primitivos no son únicos:

Pero una vez elegidos los vectores primitivos todos los puntos tienen que poder alcanzarse por combinaciones enteras (l a + l a + l a )poder alcanzarse por combinaciones enteras (l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 ).



No todo arreglo periódico de puntos es una red de Bravais


Redes Cristalinas: ejemplosRedes Cristalinas: ejemplos

CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO (BCC)CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO (BCC)



CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS (FCC)





RED HEXAGONAL SIMPLE


Celda primitivaCelda primitiva

Una celda primitiva es un volumen del espacio que cuando se lo trasladaUna celda primitiva es un volumen del espacio que cuando se lo traslada aplicandole todos los vectores de la RB, llena completamente el espacio sin superposición.sin superposición.


Celda primitivaCelda primitiva

U ld i iti ibl l l l i d d l d aUna celda primitiva posible es el paralelepipedo de lados ai

r = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 0 ≤ xi ≤11 1 2 2 3 3 0 i

Otra elección que respeta las simetrias de la red es la de la celda de q pWigner-Seitz -> Es el conjunto de puntos que está más cercano a uno dado de la red que a todos los otros.


Celda de Celda de WignerWigner--SeitzSeitz: Ejemplos: Ejemplos


Estructuras cristalinasEstructuras cristalinas

Red de Bravais+ motivo o base= Estructura Cristalina


Estructuras cristalinas: ejemplosEstructuras cristalinas: ejemplos

DIAMANTE



HEXAGONAL COMPACTA (HCP)

Permite el apilamiento mas compacto deesferas (igualmente que la fcc)



Dos formas de apilar esferas (fcc vs hcp): el problema delDos formas de apilar esferas (fcc vs hcp): el problema del verdulero.



LA ESTRUCTURA DEL CLORURO DE SODIO (FCC CON MOTIVO)




Representación de Fourier de las propiedades cristalinasRepresentación de Fourier de las propiedades cristalinas

Consideremos una función con la periodicidad de la red (como la densidad electrónica): )()( rRr ff =+ )()( rRr l ff =+

Comenzemos con un ejemplo en una dimensión )()( xfaxf =+dimensión

Se puede desarrollar en una Serie de Fourier:

que ya )( )/2( efxf xnain=∑ π

)()( 2 )/2( xfeefaxf nixnain

==+ ∑

∑ππ )()( )( xfeefaxf

nn ==+ ∑



axani

n dxexff = ∫ − π )/2()(1 que ya

aa

a

∫∫

∫1 1

0

nxnmai

mm

xani fdxea

fexfa

== ∫∑∫ −− ππ

0

))(/2()/2()(1 1

0

m

mn

44 344 21δ

00

Conviene introducir una red (de Bravais) unidimensional, con dimensiones 1/L, mediante el vector primitivo . )/2( ib aπ=

ycon)( . xnefxf i n irbGrG === ∑ y con )( xnefxf nn

n irbG∑



Para el caso tridimensional tenemos:

G.rr ieff ∑=)(G

Gr eff ∑)(

Bravais.deRedcomo ∈∀=+ )()( RrRr ff

︶︵cumple

Bravais.deRed como

∗=⇒=

∈∀++ 1

)()(..).( ll RGrGRrG

ll

G

RrRriii eee

ff

︶︵ cumple ⇒ 1G eee


Red Reciproca: DefiniciónRed Reciproca: Definición

︵RR ︶R iR dld fiE t G

lt2

︵RR ︶ReciprocaRedladefinen Estos3

∑ GRG

G

iil.entero2

1iπ

2

... == ∑=

G

GaR Gl

iin π2. =∴ Ga

La RR es una red de Bravais con cv

vectores primitivos dados por:

Para verificarlo vemos que


Red Reciproca: DefiniciónRed Reciproca: Definición

Entonces entero i

gggg332211

bbbG ++=

( ) 2lllRG ( ) 2 π332211

. lglglg ++=l

RG

O sea G cumple (*) que define la RR


Red Reciproca: ejemplosRed Reciproca: ejemplos

CS[2π/a]CS[a] CS[2π/a]CS[a]

fcc[4π/a]bcc[a] fcc[4π/a]bcc[a]

fcc[a] bcc[4π/a]

Hexagonal[a c]Hexagonal[a,c]Hexagonal[ ] rotada 30 en torno a c ca /2,3/2 ππ


Zona de Zona de BrillouinBrillouin


ConecciónConección planos de la RB con RRplanos de la RB con RR


ConecciónConección planos de la RB con RRplanos de la RB con RR

Teorema(equivalencia planos RR, direcciones RB)

Para cualquier familia de planos separados una distancia d, i t t l RR di l l l Elexisten vectores en la RR perpendiculares a los planos. El

más corto de ellos tiene modulo 2 π /d.Inversamente, para cualquier vector G de la RR, existe una familia de planos normales a G y separados una distancia d, donde 2 π /d es la longitud del vector de la RR más corto paralelo G .p


Índices de MillerÍndices de Miller

Es posible entonces etiquetar una familia de planos en la RB con tres enteros ‘índices de Miller’ (hkl) de forma que G=hb1+kb2+lb3sea el vector de la RR más corto perpendicular a la familia.

Las redes cúbicas (sc, fcc o bcc) es conveniente describirlas como cúbicas(eventualmente) con motivo. Como todo plano de la ( ) pfcc o bcc lo es de la sc subyacente podemos definir los índices de Miller para esta últimaMiller para esta última


Índices de MillerÍndices de Miller

En estos casos pueden interpretarse los índices de Miller sobre la red directa como los 3 enteros sin factor común que están en la misma relacion que la inversa de las coordenadas donde el plano corta a los ejes .

planodel ecuación

A

lkh

.321

=

++=

rG

bbbG

p

AAA

lkhAxii

πππ 2.2.2..321==== aGaGaGaG

l

Axk

Axh

Axπππ 222 321

===


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