MATERIAL ACADÉMICO SOBRE REPARTO PROPORCIONAL Y OPTIMIZACIÓN LINEAL

MODALIDAD A DISTANCIA ASPECTOS BÁSICOS SOBRE PROGRAMACIÓN LINEAL

1.INECUACIONES. Un procedimiento clave en el desarrollo de Problemas de Programación Lineal es el planteamiento de las restricciones. Dichas restricciones se traducen en inecuaciones las cuales deben ser graficadas correctamente para obtener la región factible de la solución a un determinado problema. En tal sentido, compartamos algunos ejemplos de graficar dichas inecuaciones.

Ejemplo 1: Hallar la región solución de 2x – y – 3 ≥ 0 Solución: Ordenando y graficando obtenemos: y ≤ 2x – 3 Luego graficamos la recta: y = 2x – 3

Tabulamos:

Procedemos a graficar dicha recta: Luego, tomamos el par ordenado (2,0) que pertenece a una de las regiones y comprobamos su veracidad: 2x-y-3≥0 2(2)-(0) – 3 ≥ 0 1 ≥ 0 (V) Luego, dicha zona es la región solución.

Ejemplo 2: Traza la grafica y determina la región solución del siguiente sistema:

⎩⎨⎧

>+−<−−0820436

yxyx

Solución: En éste caso debemos graficar dos rectas, cada una posee su región solución, la intersección de ambas será la solución al sistema: Ordenando y graficando obtenemos: y > (6x – 4)/3 y < (x+8)/2 Luego graficamos las rectas: y = (6x – 4)/3 y = (x+8)/2 Y procedemos a graficarla: Como se verá, existen dos rectas cada una con su región solución, la solución al sistema es donde ambas se intersecan.

ACTIVIDAD 1: Trace convenientemente y halle la solución de los sistemas siguientes:

a) ⎩⎨⎧

≥−>+

0352

yxyx

b) ⎩⎨⎧

≤+−>−−

062032

yxyx

c) ⎩⎨⎧

−<−<+−

13234

yxyx

2.-DETERMINACION DE LA REGIÓN FACTIBLE Un problema de Programación Lineal se traduce en un conjunto de restricciones que a su vez son un conjunto de desigualdades, estas al ser trazadas determinan una zona solución a la cual se le conoce como Región Factible, la cual puede ser acotada o no acotada.

x 3 1 y 3 -1

Región factible acotada Región factible no acotada

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos. Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra. 2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones.

Ejemplo: Dibuja la región factible asociada a las restricciones: x +y ≥ 4; y ≤ 4; y ≥ x Solución: Las rectas asociadas son: r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x

Elegimos el punto O(0,0), que se encuentra en el semiplano situado por debajo de la recta. Introduciendo las coordenadas (0,0) en la inecuación x + y 4, vemos que no la satisface: 0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es el semiplano situado por encima de la recta r : x + y = 4 .

Procedemos como en el paso anterior. Las coordenadas (0,0) satisfacen la inecuación y 4 ( 0 4) . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es el semiplano que incluye al punto O.

La recta t asociada a la restricción pasa por el origen, lo cual significa que si probásemos con el punto O(0,0) no llegaríamos a ninguna conclusión. Elegimos el punto (1,0) y vemos que no satisface la inecuación y x ( y = 0 < 1 = x ). Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación es el semiplano determinado por la recta t que no incluye al punto (1,0).

La región factible está formada por los puntos que cumplen las tres restricciones, es decir, se encuentran en los tres semiplanos anteriores.

3.-PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL (PL) Cualquier problema de PL consta de una función objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayoría de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando se determina el objetivo deseado, observaremos en el entorno ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo).

¿Qué es una función? Una función es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una máquina de moler café es una función que transforma los granos de café en polvo. La función (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado región factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores máximo y mínimo. Cuando se formula un problema de toma de decisiones como en programación lineal, se deben verificar las siguientes condiciones: 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas); 2. El objetivo debe ser la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta que se plantea llegar. 3. Las restricciones también deben ser lineales.

4.-CLASIFICACIÓN DE LOS REPARTOS PROPORCIONALES (VARIACION PROPORCIONAL)

• En un reparto proporcional tenemos una cantidad a repartir en proporción a determinados elementos dados.

• Para repartir puede ser que se tome en cuenta solo un elemento, en este caso el reparto es simple.

• Si se toman más elementos se dice que el reparto es compuesto. • En ambos casos los elementos pueden estar en proporción directa o inversa

a la cantidad que se va a repartir. Esta relación es muy importante para hacer los cálculos relativos.

• Pueden existir repartos mixtos esto quiere decir que tienen elementos directos o inversos. .

REPARTOS DIRECTOS Se presenta este caso cuando los elementos están en forma directa en relación con la cantidad a repartir. Ejemplos.- Repartir un premio en proporción a calificaciones obtenidas, repartir según el lugar en quedaste en una prueba deportiva, la depreciación proporcional a valor de los activos, una gratificación en proporción a la venta de un producto. Ejemplo 1: Se desea repartir la cantidad de $12,000 de gratificación entre departamentos de una tienda, en proporción a la productividad. El primer departamento (M) produjo $20,000, el segundo (N) $40,000 y el tercero (O) $60,000.

Solución: Sea: M = gratificación al primer departamento N = gratificación al segundo departamento O = gratificación al tercer departamento 12,000M N O+ + = Como las gratificaciones son directamente proporcionales a la productividad

constante20,000 40,000 60,000

M N O x= = = = (20,000)(40,000)(60,000)

M xN xO x

===

20,000 40,000 60,000 12,000x x x+ + = 110120,000 12,000;x x= =

lo que nos da (20,000) $2,000(40,000) $4,000(60,000) $6,000

M xN xO x

= == == =

El valor de x es el factor de reparto que corresponde a cada elemento. Si salen decimales multiplica los posibles para asegurarse de tener resultados más completos. REPARTOS INVERSOS Los elementos pueden tener uno o mas elementos pero en proporción inversa a la cantidad a repartir. Ejemplo 2: Un despacho de contadores repartió $35,500 a sus 3 secretarias, con la finalidad de incentivarlas, otorgando un bono en proporción inversa a los días faltados en el año: Alicia faltó 5 días, Carmen faltó 3 días y Nidia 7 días. ¿Cuánto recibió cada una de ellas?

Solución: Sea: A = gratificación a Alicia C = gratificación a Carmen N = gratificación a Nidia 35,500A C N+ + = Como las gratificaciones son inversamente proporcionales a la productividad

(5) (3) (7) constanteA C N x= = = = 5

3

7

x

x

x

ACN

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

5 3 7 35,500x x x+ + = 71105 35,500x = 52,500x =

5

3

7

$10,500$17,500$7,500

x

x

x

ACN

= == == =

REPARTOS MIXTOS En algunos casos se presentan elementos inversos con elementos directos, en cuyos casos se nos indicarán las condiciones del reparto y lo haremos por separado para las partes directas y las partes inversas. Ejemplo 3: Se incendió una fábrica ocasionando pérdidas por $1’000,000 en proporción directa a los metros cuadrados ocupados por tres áreas departamentales y en proporción inversa a las mercancías salvadas. A la superficie se le aplica un 35% del total de las pérdidas y a las mercancías un 65%.

Solución: Pérdidas por superficie: $350,000 Pérdidas por mercancía: $ 650,000

Superficie: proporción directa

350,000740

350,000240 180 320 350,000740 350,000

472.972972

M N Ox x xx

x

+ + =+ + ==

= =

Mercancía recuperada: proporción inversa

40,000 60,000 50,000

37600000

10

650,000

650,000

650,000

1.0540540540x10

y y y

y

M N O

y

+ + =

+ + =

=

=

Departamento Superficie Mercancía Total

M 240x = $113,513.51 40,000

y = $263,513.51 $377,027.02

N 180x = $ 85,135.14 60,000y = $175,675.68 $260,810.82

O 320x = $151,351.35 50,000

y = $210,810.81 $362,162.16

Total de las pérdidas $ 350,000 $650,000 $1’000,000.00

Departamento Superficie en metros

Mercancía salvada

M 240 $ 40,000 N 180 $ 60,000 O 320 $ 50,000

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1. El Sr. Dueñas gerente de la empresa “Estaquitas SA” va a repartir un premio de

$40,000 entre sus empleados en proporción a su productividad sobre la siguiente base:

EMPLEADO Productividad

(lotes) Juan Pérez 310 Luís Sánchez 415 Carlos Flores 250 Paola Santos 125

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

2. Una empresa establece un premio de $16,600 entre cinco empleados sobre la

siguiente base: El empleado que más faltas tenga le debe corresponder la menor parte del premio.

EMPLEADO Faltas de

asistencia Juan Pérez 6 Luis Sánchez 3 Carlos Flores 5 Josefina Ríos 2 Paola Santos 1

¿Cuánto le corresponde a

cada uno?

3. Una constructora va a repartir un premio de $6000 en proporción inversa al trabajo

defectuoso que tenga cada uno de ellos durante un mes, con los datos que se presentan a continuación:

OBRERO Trabajo

defectuoso (piezas)

Juan Pérez 700 Luis Sánchez 350 Carlos Flores 140

¿Cuánto le corresponde a

cada uno?

4. La industria “Maquilas de Oriente” S. A. de C. y. va a repartir un bono $21 600.00

entre los empleados para incentivar la puntualidad, por la distribución será en proporción a los retardos que tengan durante los últimos 5 meses, bajo las siguientes bases: a) Si algún empleado tiene más de cinco retardos no le toca bono. b) En caso de que algún empleado tenga cero retardos, a éste le corresponde la

mitad del bono y la otra mitad se reparte en proporción inversa con los demás empleados.

c) Si hay más de un empleado con cero retardos, el bono se reparte en partes iguales entre ellos y el resto de los empleados no recibe bono.

EMPLEADO Retardos

Juan Pérez 4 Luis Sánchez 6 Mary López 3 AlbertinaDíaz 8 Carlos Flores 7 Paola Santos 1

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

5. Tomando como base el problema anterior, considera ahora que los retardos son los siguientes:

EMPLEADO Retardos

Juan Pérez 7 Luis Sánchez 4 Mary López 3 Albertina Díaz 0 Carlos Flores 6 Paola Santos 1

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

6. Tomando como base el problema 4, considera ahora que los retardos son los

siguientes:

EMPLEADO Retardos Juan Pérez 2 Luis Sánchez 4 Mary López 3 AlbertinaDíaz 0 Carlos Flores 1 Paola Santos 0

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

7. La empresa ‘Papas Buenas del Norte” va efectuar la participación de utilidades de

los trabajadores. La Ley establece que el reparto consiste en el 10% de las utilidades gravable de la empresa (antes de pagar impuesto) y que éste se integra como sigue: • 50% tomando como base los días trabajados por cada trabajador (sólo

aquellos que hayan trabajado 60 o más días) • 50% tomando como base los salarios devengados (salario nominal, sin

considerar tiempo extra, gratificaciones, etc.)

Empleado Días trabajados Salario Juan Pérez 365 $ 12,000 Luis Sánchez 320 $ 75,000 Karla Núñez 300 $ 14,000 Gabriela

Sánchez 365 $ 16,000

Jorge Cantú 365 $ 20,000 Felipe Tovar 42 $ 2,300 María López 190 $ 6,000 Albertina

Díaz 120 $ 16,000

Carlos Flores 30 $ 3,000 Cesar Costa 180 $ 7,000 Paola Santos 230 $ 14,000

¿Cuánto le corresponde a cada

empleado, si las utilidades de la

empresa fueron $3, 500’000.00?

8. El señor Mauricio Garcés dejó una herencia de $3’ 000,000 a sus 5 hijos con las

siguientes condiciones: a) El 25% de su fortuna se repartiría en proporción inversa a las edades de sus

hijos. b) El 50% se entregaría en proporción directa a las inversiones que tengan ellos al

momento del deceso. c) Del 25% restante se repartirá el 60% a las mujeres y el 40% a los hombres por

partes iguales. En el momento de la muerte del Sr. Garcés la situación fue la siguiente:

Hijos Edades Inversiones Carlos 35 $ 200,000 Ernesto 28 $ 350,000 Braulio 26 $ 140,000 Laura 24 $ 400,000 Mariana 20 $ 100,000

¿Cuánto le corresponde a cada

uno?