MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS - · PDF fileInstituto Tecnológico de Roque Ciencias Básicas Matemáticas 3 Contenido 1. LEYES DE LOS SIGNOS

Instituto Tecnológico de Roque Ciencias Básicas

Matemáticas 1

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS


Matemáticas 2

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ROQUE

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO

CIENCIAS BÁSICAS

ELABORARON:

ERIKA RAMOS OJEDA

RAQUEL ALDACO SEGOVIANO

JORGE ANTONIO BONILLA LÓPEZ

NABOR DURAN HERNÁNDEZ

ALICIA FLORES LÓPEZ

JOSE GABRIEL MENDOZA MANCILLA

ROQUE, CELAYA, GTO. JULIO 2013


Matemáticas 3

Contenido 1. LEYES DE LOS SIGNOS ........................................................................................ 6

1.1 Introducción a los números ................................................................................. 6

1.2 Leyes de los signos ............................................................................................. 6

1.3 Propiedades de los números reales ...................................................................... 6

1.4 Operaciones con números reales (con signos) .................................................... 7

2. OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES .............................................. 9

2.1 Notación Algebraica............................................................................................ 9

2.2 Signos de Operación Algebraica ......................................................................... 9

2.3 Coeficiente ........................................................................................................ 10

2.4 Nomenclatura algebraica ................................................................................... 10

2.5 Términos Semejantes ........................................................................................ 11

2.6 Reducción de términos semejantes ................................................................... 13

3. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS ............. 15

3.1. Fracciones y su escritura .................................................................................. 15

3.2. Tipos de fracciones .......................................................................................... 16

3.3. Conversión de fracciones ............................................................................ 16

3.4. Suma y resta de fracciones ............................................................................... 17

3.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos 18

3.6 Multiplicación y División de fracciones ........................................................... 19

4. LEYES DE LOS EXPONENTES ........................................................................... 22

4.1 Leyes de los exponentes .............................................................................. 22

Explicaciones de las leyes ................................................................................... 23

5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS .............................................................................. 25

5.1 Resolución de división de polinomios: ............................................................. 25

5.2 División sintética (Regla de Ruffini). .............................................................. 27

6. PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................... 30

6.1 Binomio al cuadrado ......................................................................................... 30

6.2 Binomio al cubo ................................................................................................ 31

6.3 Binomio Conjugado .......................................................................................... 31

6.4 Binomio con término común ............................................................................. 32


Matemáticas 4

6.5 Binomios con términos semejantes ................................................................... 33

6.6 Aplicación de productos notables ..................................................................... 33

7.FACTORIZACIÓN ................................................................................................. 34

7.1 Factor Común .................................................................................................... 34

7.2 Factorización por agrupación ............................................................................ 35

7.3 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto ............................................... 36

7.4 Factorización por el cubo perfecto de un binomio ........................................... 38

7.5 Factorización por diferencia de cuadrados ........................................................ 39

7.6 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 .................................................................. 39

7.7 Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ................................................................ 41

7.8 Aplicación de la integral ................................................................................... 42

8. RADICALES .......................................................................................................... 42

8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales ............................................................... 43

9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES ............................... 43

9.1 Simplificación de Radicales .............................................................................. 43

9.2 Adición y Sustracción de Radicales .................................................................. 45

9.3 Multiplicación de Radicales .............................................................................. 46

9.4 División de Radicales ........................................................................................ 47

10. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR .................................................. 48

11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................... 50

11.1.- Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones .................................... 50

11.2 Método de sustitución ..................................................................................... 52

11.3 Método de igualación ...................................................................................... 53

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación .................. 53

11.4 Método de reducción ....................................................................................... 55

12. ECUACIONES CUADRÁTICAS ........................................................................ 57

12.1 Solución por factorización .............................................................................. 57

12.2 Solución mediante raíz cuadrada .................................................................... 58

12.3 Solución completando el cuadrado ................................................................. 59

12.4 Solución mediante la fórmula cuadrática (general) ........................................ 61

13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS .................................................................. 63

14. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS ........................................... 64

15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ........................................................... 65


Matemáticas 5

16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS .............................................................. 69


Matemáticas 6

1. LEYES DE LOS SIGNOS

1.1 Introducción a los números

Los números son símbolos creados para registrar montos o cantidades. Son

un conjunto de símbolos estándar que representan cantidades,los conocidos

de 0 a 9 -. Pero además de estos enteros, también hay fracciones y decimales.

Un número positivo es un número que es mayor que cero, mientras que un

número negativo es menor que cero. Un número positivo se muestra con una

signo más ( + ), o sin ningún delante de él. Si el número es negativo, va

precedido de un signo menos ( - ).

1.2 Leyes de los signos

Para realizar multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar las leyes de los

signos, las cuales establecen lo siguiente:

La multiplicación de signos iguales de un producto positivo (+) (+) = +

( - ) ( - ) = +

La multiplicación de signos distintos da un producto negativo (+) ( - ) = -

( - )( + ) = -

La división de signos iguales da un cociente positivo (+) ÷ (+) = +

( - )÷( - ) = +

La división de signos distintos da un cociente negativo (+) ÷ ( - ) = -

( - )÷( + ) = -

Consideraremos al conjunto de número reales como el conjunto universal.Los

cuales se pueden representar a lo largo de una línea recta.

1.3 Propiedades de los números reales

Supongamos que a, b y c expresan números reales


Matemáticas 7

La adición y la multiplicación son conmutativas

a + b = b + a

a• b = b• a

La adición y la multiplicación son asociativas

( a + b ) + c = a + ( b + c )

(a• b ) c = a ( b •c )

La identidad aditiva es 0

a + 0 = 0 + a = a

La identidad multiplicativa es 1

a • 1 = 1 • a = a

Cada elemento a tiene un inverso aditivo expresado por “ - a”

a + ( - a ) = - a + a = 0

Cada elemento diferente a cero a tiene un inverso multiplicativo,

expresado por “ a-1”

a • a-1 = a-1 • a = 1

Nótese que a-1 = 1/a.

La multiplicación es distributiva con respecto a la adición

a ( b + c ) = a• b + a• c

1.4 Operaciones con números reales (con signos)

1. Para sumar dos números reales con el mismo signo, sume sus valores y

agregue su signo común.

( + 5 ) + ( +6 ) = +11


Matemáticas 8

( - 𝟏

𝟔 ) + ( -

𝟐

𝟔 ) = -

𝟑

𝟔 = -

𝟏

𝟐

2. Para sumar dos números reales con signo diferente, encuentre la

diferencia de sus valores y añada el signo del número con el mayor valor.

( - 4 ) + ( + 3 ) = - 1

( + 5 ) + ( - 3 ) = + 2

(−𝟏𝟏

𝟕) + ( +𝟏 ) = −

𝟒

𝟕

3. Para sustraer un número real de otro, cambie el signo del número y

añada el signo del número que se resta y siga con la adición.

( - 9 ) – ( - 8 ) = ( - 9 ) + ( + 8 ) = - 1

16 – ( 8 ) = 16 + ( - 8 ) = + 8

4. El producto de dos números reales con signos iguales es positivo

( - 3 ) ( - 4 ) = 12

( 𝟑

𝟒 ) ( 4 ) = 3

5. El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo

(5 )( - 3 ) = - 15

( - 3 ) ( 4 ) = - 12

6. El cociente de dos números reales con signos iguales es positivo

( - 14 ) ÷ ( - 2 ) = 7

𝟑𝟔

𝟒= 9

7. El cociente de dos números reales con signos diferentes es negativo

−𝟐𝟖

𝟒= - 7

𝟒𝟓

−𝟓 = -9


Matemáticas 9

Resuelva las siguientes operaciones:

1. - 4 + 3

2. ( - 4 + 3 )2 + 3

3. 42 + 3

4. 6 ÷ 2 ( 2 + 1)

2. OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES

2.1 Notación Algebraica

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean

conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a,

b, c, d,…se denominan también literales.

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del

alfabeto: u, v, w, x, y, z.se denominan “incógnitas”.

Variable es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto

de números, es decir, puede cambiar el valor.

Constante es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo o establecido,

es decir, no puede cambiar su valor.

2.2 Signos de Operación Algebraica

Los signos de operación son los siguientes:


Matemáticas 10

+ (Suma o Adicción) ~ (Equivalente a)

- (Resta o Sustracción) ~ (Aproximadamente igual a)

x (Multiplicación o Producto) ≠ (Diferente de)

÷ (División o Cociente) > (Mayor que)

> (Mayor que) < (Menor que)

< (Menor que) √ (Raíz de)

= (Igual a) % (Por ciento)

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angula

o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo. Estos signos indican que la

operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

2.3 Coeficiente

Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado

coeficiente del otro factor.

Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el

factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a. Estos son

coeficientes numéricos.

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la

unidad.

2.4 Nomenclatura algebraica

Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una

o más operaciones algebraicas

Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o varios

símbolos no separados entre sí por el signo + ó -.

Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal

y el grado.


Matemáticas 11

El coeficiente es generalmente el primero de los factores que conforman un

término, el coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:

Coeficiente numérico. Es el factor numérico de un término. Ejemplo:

El coeficiente numérico del término “5ax” es “5”

Coeficiente literal. Es el factor literal de un término.

Ejemplo:El coeficiente literal del término “mby” es “m”

Es importante señalar que el coeficiente siempre va a acompañado del signo

del término.

Ejemplo:El coeficiente numérico de “-2by” es “-2”

Cuando un término no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende

que su coeficiente es la unidad.

Ejemplo: axy = 1 axy

Parte literal. Son los factores literales que contiene el término.

Ejemplo:En el término “5ax”, la parte literal es “ax”

2.5 Términos Semejantes

Términos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales,

cada uno con la misma base y el mismo exponente.

Términos semejantes Términos No semejantes

7x y 5x 7x y 5y


Matemáticas 12

8a2 y a2 8a2 y a3

5rs2 y 2rs2 5rs2 y 2r2s

Para asociar términos semejantes han de sumarse o restarse

Procedimiento:

1.- Sumar o restar los coeficientes numéricos:

2.- Conservar el coeficiente literal común

Grado de un término. El grado de un término puede ser de dos formas

absoluto y relativo a una literal

Grado absoluto. El grado absoluto de un término es el número que se obtiene

al sumar los exponentes de la parte literal. Ejemplo:

2x es de primer grado x3y es de cuarto grado

5ab es de segundo grado 3m2n2x es de quinto grado

8a2x es de tercer grado x3y2z es de sexto grado

Grado relativo. El grado de un término relativo a una literal es el mayor

exponente que tenga la literal considerada.

Ejemplo:xy2 = Primer grado con respecto a x y de segundo grado con

respecto a y

Clases de términos.

Los términos se clasifican en enteros, fraccionarios, racionales, irracionales,

homogéneos y heterogéneos, los cuales se definen de la siguiente manera:

Término entero: Es aquel que no tiene denominador literal.

Ejemplo: 3a, 2x, 2y


Matemáticas 13

Término fraccionario: Es aquel que contiene en el denominador una literal.

Ejemplo:𝟐𝐦

𝟑

2.6 Reducción de términos semejantes

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más

términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir

los tres casos siguientes:

a) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo

Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo

signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos:

3a + 2a = 5 a

-5b – 7b = -12b

- a2 – 9a2 = - 10 a2

Realiza los siguientes ejercicios:

1. 8a + 9a =

2. -b – 5 b =

3. ax + 3ax + 8ax =

4. −𝒙 −𝟐

𝟑𝒙 −

𝟏

𝟔𝒙

5. x2y – 8x2y – 9x2y – 20x2y =

b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Regla 2. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el

signo de mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo:

2a – 3a = -a


Matemáticas 14

18x – 11x = 7x

-8ax + 13ax = 5ax

𝟏

𝟐𝒂 −

𝟐

𝟑𝒂 = −

𝟏

𝟔𝒂


1. 8a – 6a =

2. 15ab – 9ab =

3. -14xy + 32xy =

4. 𝟏

𝟐𝐚 −

𝟐

𝟒𝐚 =

5. 𝟓

𝟔𝐚𝟐𝐛 −

𝟓

𝟏𝟐𝐚𝟐𝐛 =

6. 7x2y – 5x2y =

7. 4a2 - 𝟏

𝟑a2 =

c) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.

Regla 3. Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo

término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla

del caso anterior. Ejemplo:

5a – 8a + a – 6a + 21a = 13a

−𝟐

𝟓𝒃𝒙𝟐 +

𝟏

𝟓𝒃𝒙𝟐 +

𝟑

𝟒𝒃𝒙𝟐 − 𝟒𝒃𝒙𝟐 + 𝒃𝒙𝟐 = −

𝟒𝟗

𝟐𝟎𝒃𝒙𝟐


1. 9a -3a + 65a =


Matemáticas 15

2. 12mn – 23mn + 5 mn =

3. 11ab – 15ab + 26ab

4. 𝟐

𝟑𝒚 +

𝟏

𝟑𝒚 − 𝒚=

5. 𝟑

𝟖𝒂𝟐𝒃 +

𝟏

𝟒𝒂𝟐𝒃 − 𝒂𝟐𝒃 =

6. 7ab + 21ab – ab + 80ab =

7. 105a3 – 464a3 + 58a3 + 301a3 =

3. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

3.1. Fracciones y su escritura

Una fracción representa una parte de un número entero. Las fracciones sirven

para dividir un número en partes iguales.

Una fracción con literales, por ejemplo: 𝒂

𝒃 es una fracción algebraica, es decir,

es el cociente de dos expresiones algebraicas. Los términos de una fracción

algebraica, se denomina “numerador” al que ocupa la parte supeior y

“denominador” al que ocupa la parte inferior.

Al igual que las fracciones aritméticas, las algebraicas se fundamentan en

principios como:

Si una fracción algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad,

la fracción no se altera.

(𝒂

𝒃) (

𝒙

𝒙) = (

𝒂𝒙

𝒃𝒙)

Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una

cantidad, la fracción queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha

cantidad.


Matemáticas 16

(𝒂

𝒃) (

𝒙

𝟏) = (

𝒂𝒙

𝒃)

(𝒂

𝒃) ÷ (

𝒙

𝟏) =

𝒂

𝒙𝒃

𝟏

= 𝒂

𝒃𝒙

Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por

una cantidad, la fracción queda dividida y multiplicada respectivamente por

dicha cantidad.

(𝒂

𝒃) (

𝟏

𝒙) = (

𝒂

𝒃𝒙)

(𝒂

𝒃) ÷ (

𝟏

𝒙) =

𝒂

𝟏𝒃

𝒙

= 𝒂𝒙

𝒃

3.2. Tipos de fracciones

a) Fracción propia. El número de partes examinadas se muestra en la

parte superior y es menor que el entero.

𝟏

𝟑

𝟑

𝟒

𝟐

𝟕

b) Fracción impropia. El numerador más grande indica que las partes

provienen de más de un entero.

𝟒

𝟑

𝟏𝟏

𝟒

𝟕

𝟕

c) Fracción mixta. Un entero combinado con una fracción propia.

𝟐 𝟒

𝟑 𝟑

𝟏𝟏

𝟒 16

𝟐

𝟕

3.3. Conversión de fracciones

Conversión de fracciones impropias en mixtas


Matemáticas 17

Para convertir una fracción impropia en fracción mixta, se divide el numerador

por el denominador.

Conversión de fracciones mixtas en impropias

Una fracción mixta puede convertirse en fracción impropia multiplicando el

número entero por el denominador y agregando el resultado al numerador.

3.4. Suma y resta de fracciones

a) Suma y Resta de fracciones con el mismo denominador

Para sumar y restar fracciones que tienen el mismo denominador,

sencillamente suma o resta sus numeradores para obtener el resultado. Los

denominadores no cambian.

d) Suma de fracciones con distinto denominador.

Para sumar fracciones con distintos denominadores, debes cambiar una o

ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. Para ello hay que

hallar un común denominador.

e) Resta de fracciones con diferentes denominadores

Para restar fracciones con diferentes denominadores, debes hallar un

denominador común.

Nota: Para fracciones algebraicas con denominadores iguales, se procede del mismo

modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o

restan los numeradores.

Ejemplos

Consideremos los siguientes casos

3𝑥 + 14𝑥 + 19

5=

29 𝑥 + 19

5


Matemáticas 18

7𝑎 − 4𝑏

𝑥−

17𝑎 + 19𝑏

𝑥=

−10𝑎 − 23𝑏

𝑥

Realice los siguientes ejercicios:

Ejercicios:

1. 𝟗

𝐱+

𝟓

𝐱−

𝟕

𝐱=

2. 𝟒

𝐚𝟐 − 𝟓

𝐚𝟐 − 𝟗

𝐚𝟐 =

3. 𝟔𝐱

𝟑𝐱−𝟐−

𝟒

𝟑𝐱−𝟐=

4. 𝟒𝐦

𝟐𝐦+𝟓+

𝟓𝐦+𝟔

𝟐𝐦+𝟓−

𝟕𝐦+𝟖

𝟐𝐦+𝟓=

5. 𝟐𝒙−𝟑

𝟐𝒙+𝟏𝟓+

𝟕𝒙+𝟖

𝟐𝒙+𝟏𝟓 =

6. 𝟕

𝒂𝟐−𝟑𝒂−𝟒 +

𝟐𝒂−𝟓

𝒂𝟐−𝟑𝒂−𝟒=

3.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos

En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores

distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores

(mínimo común denominador).

Ejemplo: 3𝑥+4𝑦

15𝑥𝑦2 + 2𝑥−3𝑦

10𝑥2𝑦

Calculando el mínimo común denominador

15xy2 = 3 • 5 • x • y2

10x2y = 2 • 5 • x2 • y

Mínimo común denominador = 2 • 3 • 5 • x2 • y2

Como el denominador común es 30x2y2, las fracciones se deben igualar los

denominadores:


Matemáticas 19

3x+4y

15xy2+

2x−3y

10x2y =

2x(3x+4y)

30x2y2+

3(2x−3y)

30x2y2=

6x2+14xy−9y2

30x2y2

Ejemplo: 2𝑎−𝑏

3𝑎−3𝑏−

𝑏−6𝑎

4𝑎−4𝑏

Calculando el mínimo común denominador:

3a-3b = 3 (a-b)

4a – 4b = 4(a-b)

Mínimo común denominador = 3 • 4 (a-b) = 12 (a-b)

2𝑎 − 𝑏

3𝑎 − 3𝑏−

𝑏 − 6𝑎

4𝑎 − 4𝑏=

4(2𝑎 − 𝑏)

12(𝑎 − 𝑏)−

3(𝑏 − 6𝑎)

12(𝑎 − 𝑏)=

26𝑎 − 7𝑏

12 (𝑎 − 𝑏)

Resolver los siguientes ejercicios:

1. 𝟗

𝟓𝐱−

𝟓

𝟐𝐱+

𝟑

𝐱

2. 𝟔

𝐱𝟐 + 𝟕

𝟐𝐱−

𝟓

𝟑𝐱

3. 𝐦 − 𝟐 − 𝟓

𝐦+𝟏

4. 𝟕

𝟐𝐚−𝟑+ 𝐚 + 𝟏

5. 𝐦−𝟐

𝟐𝐦+

𝟑𝐦−𝟏

𝟓𝐦

6. 𝐱+𝟔

𝟖𝐱−

𝟐𝐱+𝟓

𝟏𝟐𝐱

3.6 Multiplicación y División de fracciones


Matemáticas 20

Las fracciones se pueden multiplicar por otras fracciones. Para multiplicar

fracciones por fracciones mixtas o por números enteros, primero debes

convertirlas a fracciones impropias.

a) Multiplicación de dos fracciones propias

Las fracciones propias se pueden multiplicar entre sí.

b) Multiplicación de fracciones mixtas

Para multiplicar una fracción propia por una mixta primero debes convertir la

fracción mixta a fracción impropia.

c) Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las

fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si,

simplificando si es posible. Ejemplo:

3𝑥

7𝑦 ∗

2𝑧

𝑤=

6𝑥𝑧

7𝑦𝑤

3𝑥2 + 2𝑥𝑦

9𝑥2 − 4𝑦2 ∗

15𝑥 − 10𝑦

2𝑥

Factorizando y simplificando

𝑥 (3𝑥 + 2𝑦)

(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦) ∗

5 (3𝑥 − 2𝑦)

2𝑥= 5/2

Ejercicios

Resolver el producto de las siguientes fracciones algebraicas

1. 𝟐𝐱𝐲𝟒

𝟑𝐚𝟑𝐛 ∗

𝟓𝐱𝟑𝐲

𝟕𝐚𝐛𝟒

2. 𝟑(𝐚−𝐛)

𝟐𝐱 ∗

−𝟏𝟕(𝐚−𝐛)

𝟏𝟗𝐱𝟐

3. 𝐱−𝟐

𝐱−𝟑 ∗

𝐱−𝟓

𝐱−𝟔 ∗

𝐳

𝐰

4. −𝐱𝟑𝐲𝟒

𝐱𝟒𝐲𝟓 ∗ 𝐱𝟕𝐲𝟖

−𝐱𝟏𝟓𝐲𝟑


Matemáticas 21

5. 𝟏𝟐𝐱−𝟑𝐲

𝟏𝟓𝐚+𝟏𝟎𝐛 ∗

𝟐𝟏𝐚+𝟏𝟒𝐛

𝟐𝟎𝐱−𝟓𝐲

6. 𝟐𝐱−𝟐𝐲

𝐱𝟐−𝐲𝟐 ∗ 𝟕𝐱+𝟕𝐲

𝟒𝟐𝐱−𝟒𝟐𝐲 ∗

𝐱−𝐲

𝐱

d) División de dos fracciones propias

Las fracciones propias se pueden dividir por otras haciendo una operación

inversa

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones

aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de

la fracción divisor. Ejemplo:

3𝑥

5𝑦 ÷

9𝑥

20𝑦3

2

= 4𝑦2

3𝑥

2𝑥 − 4𝑦

5𝑥 + 15𝑦 ÷

6𝑥 − 12𝑦

15𝑥 + 45𝑦= 1

𝑥2 − 𝑦2 ÷ 𝑥 + 𝑦

2𝑥 − 2𝑦= 2(𝑥 − 𝑦)2

Resolver los siguientes ejercicios:

1. 𝟑𝟓𝒂𝟑

𝟏𝟖𝒃𝟑 ÷ 𝟏𝟒𝒂𝒃𝟐

𝟗𝒃𝟑

2. 𝒂𝟓𝒃𝟖𝒄𝟕

𝒂𝟒𝒃𝟔𝒄𝟏𝟎 ÷ 𝒂𝟔𝒃𝟖𝒄𝟗

𝒂𝟑𝒃𝟐𝒄𝟓

3. 𝟐𝟒𝒂𝒃𝟑𝒙𝟐𝒚

𝟓𝟒𝒂𝟑𝒃𝒙𝒚𝟒 ÷ 𝟗𝒚𝟑

𝒙𝟑

4. 𝒂𝟐𝒃𝒙𝟐

𝒂𝒃𝟑𝒚𝟑 ÷ 𝟑𝒂𝒙𝟐

𝒃𝟐𝒚𝟑

5. 𝟔𝒙𝟐+𝟗𝒙𝒚

𝒂𝟑 ÷ 𝒂

𝟏𝟒𝒙𝟑+ 𝟐𝟏𝒙𝟐𝒚

6. 𝒂𝟑+𝒂

𝒂𝟐−𝒂 ÷

𝒂𝟑−𝒂𝟐

𝒂𝟐−𝟐𝒂+𝟏


Matemáticas 22

4. LEYES DE LOS EXPONENTES

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica

el número.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a

la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes")

vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo

tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo

significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere

decir hacer la raíz n-ésima: x1/n = √𝑥

𝑛

4.1 Leyes de los exponentes

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

x1/n = √𝒙𝒏

x2/3= √𝑥 3

2


Matemáticas 23

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión

natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Potencias de 5

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0,2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de

un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el

exponente crece (o disminuye).

a) Principio de multiplicación xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,

despuésotras"n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (x•x) * (x•x•x) = x•x•x•x•x = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

b) Principio de división xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"

veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n"

veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (x•x•x•x) / (x•x) = x•x = x2

Esta ley también te muestra por qué x0=1

x2/x2 = x2-2 = x0 =1


Matemáticas 24

c) Principio de potencia (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en

total m×n veces.

Ejemplo:(x3)4 = (x•x•x)4

= (x•x•x)(x•x•x)(x•x•x)(x•x•x) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3*4 = x12

d) Principio de potencia (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como se

muestra:

Ejemplo: (xy)3 = (x•y)(x•y)(x•y) = x•y•x•y•x•y =

= xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

(𝑥

𝑦)3 = (x/y)•(x/y)•(x/y) =

xxx

yyy=

𝑥3

𝑦3

e) Principio de raízxm/n = √𝒙𝒏 m

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:xm/n = x (m * 1

𝑛)= (xm)1/n = √𝑥

𝑛 m

¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0

El caso de 00

En el estudio del cálculo diferencial se considera como indeterminado el 00


Matemáticas 25

Ejercicios: Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos. 1. x 6 x -10 2. 6x4y7 12x5y-8 3. (6x10) (3x4)2 4. 4 * 10 -12 6 * 10 4 5. x5/2 + x1/2

5.DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios es la operación que consiste en hallar uno de los

factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor,

llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

5.1Resolución de división de polinomios:

Si P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 y Q(x) = x2 − 2x + 1

Para P(x) ÷ Q(x)

a) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completo

dejamoshuecos en los lugares que correspondan.

x5 + 2x3 − x – 8 x2 − 2x +1

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

b) Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor.

x5 x2 x3


Matemáticas 26

c) Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior

y lo restamos del polinomio dividendo:

x5 +2x3 -x - 8 x2 − 2x +1

-x5 +2x4 –x3 x3

2x4 – x3-x - 8

d) Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo

restamos al dividendo.

2x4÷ x2 = 2 x2

x5 +2x3 -x - 8 x2 − 2x +1

-x5 +2x4 –x3 x3 + 2x2

2x4 – x3-x - 8

-2x4+4x3 – 2x2

5x3 – 2x2 – x - 8

Procedemos igual que antes.

5x3÷ x2 = 5 x

x5 +2x3 -x - 8 x2 − 2x +1

-x5 +2x4 –x3 x3 + 2x2+5x

2x4 – x3-x - 8

-2x4+4x3 – 2x2

5x3 – 2x2 – x – 8

-5x3 + 10x2 – 5x

8x2 – 6x – 8


Matemáticas 27

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2÷ x2 = 8

x5 +2x3 -x - 8 x2 − 2x + 1

-x5 +2x4 –x3 x3 + 2x2+5x + 8

2x4 – x3-x - 8

-2x4+4x3 – 2x2

5x3 – 2x2 – x – 8

-5x3 + 10x2 – 5x

8x2 – 6x – 8

-8x2 + 16x – 8

10x - 16

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto

no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

5.2 División sintética (Regla de Ruffini).

Para explicar los pasos a aplicar en la división sintética vamos a tomar de

ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x − 3)

a) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos

que faltan con ceros.

b) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

c) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independen diente

del divisor.

d) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.


Matemáticas 28

1 0 -3 0 2

3 .

1

e) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del

siguiente término.

1 0 -3 0 2

3 3 .

1

f) Sumamos los dos coeficientes.

1 0 -3 0 2

3 3 .

1 3

g) Repetimos el proceso anterior.

1 0 -3 0 2

3 3 9 .

1 3 6

Volvemos a repetir el proceso.

1 0 -3 0 2

3 3 9 18 .

1 3 6 18


Matemáticas 29

Volvemos a repetir.

1 0 -3 0 2

3 3 9 18 54 .

1 3 6 18 56

h) El último número obtenido, 56, es el resto.

i) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo

y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo:

(x5 − 32)÷(x − 2)

1 0 0 0 0 -32

2 2 4 8 16 32 .

1 2 4 8 16 0

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0

Ejercicios división de polinomios

Dividir:

1. (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) ÷ (x2 + 3x − 2) 2. (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) ÷ (x2 − x + 3) 3. P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 4. (x3 + 2x + 70) ÷ (x + 4) 5. (x5 − 32) ÷ (x − 2) 6. (x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x −3)


Matemáticas 30

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1. (x3 − 5x −1) ÷ (x − 3) 2. (x6 − 1) ÷ (x + 1) 3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) ÷ (x − 1) 4. (x10 − 1024) ÷ (x + 2) 5. ( x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)

6. PRODUCTOS NOTABLES

Se conoce como producto notable a ciertos productos que cumplen reglas fijas

y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar

la multiplicación.

6.1 Binomio al cuadrado

El cuadrado del primero, mas-menos (±) el doble producto del primero por el

segundo, más el cuadrado del segundo.

(𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Ejemplo:

Desarrollar:

(𝟒𝒂𝟐 − 𝟑𝒃𝟑 )𝟐 = (𝟒𝒂𝟐)𝟐 − (𝟐)(𝟒𝒂𝟐)(𝟑𝒃𝟑) + (𝟑𝒃𝟑)𝟐 =

𝟏𝟔𝒂𝟒 − 𝟐𝟒𝒂𝟐𝒃𝟑 + 𝟗𝒃𝟔

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios al cuadrado.

1. (𝒂 − 𝟑)𝟐

2. (𝟓 + 𝒙)𝟐

3. (𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝒚𝟓)𝟐

4. (𝟑𝒂𝟑 + 𝟖𝒃𝟒)𝟐

5. (𝒙𝒎 − 𝒚𝒏)𝟐

𝟔. (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐

𝟕. (𝒙𝟓 − 𝟑𝒂𝒚𝟐)𝟐

𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙+𝟏)𝟐

𝟗. (𝒙𝒂+𝟏 − 𝟑𝒙𝒂−𝟐)𝟐

𝟏𝟎. (𝟖𝒙𝟐𝒚 + 𝟗𝒎𝟑)𝟐


Matemáticas 31

6.2 Binomio al cubo

El cubo del primer término más-menos el triple producto del cuadrado de la

primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado

de la segunda, más- menos el cubo del segundo término

(𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 ± 𝒃𝟑

Ejemplo:Desarrollar:

(𝒙𝟐 − 𝟑𝒚 )𝟑 = (𝒙𝟐)𝟑 + (𝟑)(𝒙𝟐)𝟐(−𝟑𝒚) + (𝟑)(𝒙𝟐)(−𝟑𝒚)𝟐+(−𝟑𝒚)𝟑 =

𝒙𝟔 − 𝟗𝒙𝟒𝒚 + 𝟐𝟕𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios al cubo.

1. (𝒂 + 𝟐)𝟑

2. (𝒙 − 𝟏)𝟑

3. (𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚𝟐)𝟑

4. (𝟖𝒂𝟓 + 𝟔𝒄𝒃𝟑)𝟑

5. (𝒙𝒎 − 𝒚𝒏)𝟑

6.3 Binomio Conjugado

El producto de la suma de dos números (𝒂 + 𝒃) por diferencia (𝒂 − 𝒃).

El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

Ejemplo:

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = (𝒂 ∗ 𝒂) + (𝒂 ∗ (−𝒃)) + (𝒂 ∗ 𝒃) + (𝒃 ∗ (−𝒃)) =

𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 =

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

𝟔. (𝟒𝒙 + 𝟗𝒚)𝟑

𝟕. (𝟏𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒂𝒚𝟓)𝟑

𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙+𝟐)𝟑

𝟗. (𝒙𝒂+𝟏 − 𝟒𝒙𝒂−𝟐)𝟑

𝟏𝟎. (𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒎𝟒)𝟑


Matemáticas 32

𝟕. (𝟐𝒎𝟐

𝟑+

𝟒𝒏𝟑

𝟓) (

𝟐𝒎𝟐

𝟑−

𝟒𝒏𝟑

𝟓)

𝟖. (𝟒

𝟓𝒂𝟐 +

𝟓

𝟗𝒃) (

𝟒

𝟓𝒂𝟐 −

𝟓

𝟗𝒃)

𝟗. (𝟗𝒚𝟑 +𝟑

𝟐) (𝟗𝒚𝟑 −

𝟑

𝟐)

𝟏𝟎. (𝟕

𝟖𝒙𝒚𝒏+𝟑 +

𝟒

𝟕𝒙𝒏−𝟐𝒚) (

𝟕

𝟖𝒙𝒚𝒏+𝟑 −

𝟒

𝟕𝒙𝒏−𝟐𝒚)

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios conjugado

𝟏. (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)

𝟐. (𝟒𝒂𝟐 + 𝟓𝒃)(𝟒𝒂𝟐 − 𝟓𝒃)

𝟑. (𝟖𝒎𝒛𝟑 + 𝟔𝒏𝟒)(𝟖𝒎𝒛𝟑 − 𝟔𝒏𝟒)

𝟒. (𝟑𝒙𝒏+𝟏 + 𝟕𝒚𝒏)(𝟑𝒙𝒏+𝟏 − 𝟕𝒚𝒏)

𝟓. (𝟏𝟐𝒚𝟑 + 𝟏𝟎𝒛𝟑)(𝟏𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟎𝒛𝟑)

𝟔. (𝟓𝒚𝒙 + 𝟑𝒙𝒚)(𝟓𝒚𝒙 − 𝟑𝒙𝒚)

6.4 Binomio con término común

El producto notable de dos binomios con un término común se caracteriza

por tener un mismo término en ambos binomios.

El cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes

multiplicado por el término común más el producto de los términos no

comunes.

Ejemplo:

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = (𝒙 ∗ 𝒙) + (𝒙 ∗ 𝒃) + (𝒂 ∗ 𝒙) + (𝒂 ∗ 𝒃) =

𝒙𝟐 + 𝒙𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒂𝒃 =

𝒙𝟐 + 𝒙(𝒃 + 𝒂) + 𝒂𝒃

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios con término común

𝟏. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)

𝟐. (𝒎 − 𝟓)(𝒎 − 𝟑)

𝟑. (𝟖𝒛𝟑 + 𝟑𝒏𝟓)(𝟖𝒛𝟑 − 𝟔𝒏𝟓)

𝟒. (𝒙𝒏 + 𝟒)(𝒙𝒏 − 𝟓)

𝟕. (𝒂

𝟒− 𝟐𝒃) (

𝒂

𝟒− 𝟔𝒃)

𝟖. (𝟑

𝟕𝒑𝟐 + 𝒒) (

𝟑

𝟕𝒑𝟐 − 𝟒𝒒)

𝟗. (𝟓𝒚𝟒

𝟕+

𝟏𝟎

𝟏𝟕) (

𝟓𝒚𝟒

𝟕+ 𝟓)

𝟏𝟎. (𝟓𝒙𝒚𝒏

𝟐 + 𝟔) (𝟓𝒙𝒚𝒏

𝟐 + 𝟐𝟑)

5. (6x2-2y)(6x2-7y)

𝟔. (𝒚𝒙 + 𝟏𝟐)(𝒚𝒙 − 𝟏𝟓)


Matemáticas 33

6.5 Binomios con términos semejantes

El producto de términos semejantes más, el producto de los términos de los

medios más, el producto de los extremos más, el producto de los términos no

común.

Ejemplo:

(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟒) = (𝟑𝒙 ∗ 𝟐𝒙) + (𝟑𝒙 ∗ 𝟒) + (𝟐 ∗ 𝟐𝒙) + (𝟐 ∗ 𝟒) =

𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟖 =

𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟖

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios con término semejante

𝟏. (𝟓𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟐)

𝟐. (𝟖𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟐)

𝟑. (𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒛)(𝟖𝒙𝟐𝒚 − 𝟔𝒘)

𝟒. (𝒙𝒏+𝟓 + 𝟗)(𝟐𝒙𝒏 − 𝟒)

𝟓. (𝒙𝟐 − 𝒚)(𝟔𝒙𝟐 −𝟑

𝟒𝒚)

𝟔. (𝟓𝒚𝒙+𝟕

𝟐 + 𝟏)(𝒚𝒙+𝟕

𝟐 − 𝟏𝟎)

6.6 Aplicación de productos notables

Resuelve los siguientes problemas de productos notables.

1. Un fabricante de pelotas de plástico inflables, las construye de

diferentes tamaños y con un espesor en su pared de 2mm. Si x es el

radio inferior en la pelota, encuentra una expresión algebraica en

términos de x que proporcione el volumen del plástico utilizado para

construir cada pelota.

𝟕. (𝟏

𝟑− 𝟖𝒃) (

𝟏𝟑

𝟒− 𝒃)

𝟖. (𝟓

𝟕𝒌𝟔 + 𝒎) (

𝟏

𝟏𝟐𝒌𝟔 − 𝟔𝒎)

𝟗. (𝟑𝒛𝟐𝒔 +𝟏

𝟏𝟓) (𝟔𝒛𝟐𝒔 + 𝟑)

𝟏𝟎. (𝟏𝟓𝒙𝒚𝟒 + 𝟏𝟑𝒛)(𝟐𝟗𝒙𝒚𝟒 + 𝟐𝟑)


Matemáticas 34

2. Un depósito para agua de un inodoro tiene forma de un prisma

rectangular y está construido con cerámica de 1 cm de espesor. Si las

dimensiones exteriores son de x cm de ancho, su largo es el doble de

su ancho y su altura es el triple de su ancho, encontrar una ecuación en

términos de x que represente el volumen de cerámica utilizado en la

construcción del depósito.

3. Un tubo de concreto para drenaje de 2m de largo tiene 3 cm de espesor

de pared. Si x es el radio exterior, encuentra una expresión algebraica

en términos de x que proporcione el volumen de concreto utilizado para

construir dicho tubo.

4. Un vaso cilíndrico de vidrio tiene 4mm de espesor, tanto en el fondo

como en sus paredes. Si x representa su radio interior, y tiene 150 mm

de profundidad(sin contar la base), encuentre una expresión algebraica

en términos de x que represente el volumen de vidrio utilizando la

construcción del vaso.

7. FACTORIZACIÓN

La factorización es un proceso matemático que se realiza con el objetivo de

modificar expresiones algebraicas convirtiéndolas en otras que sean

equivalentes. Factorizar significa encontrar factores que puedan originar una

cantidad.

7.1 Factor Común

La trasformación de una suma algebraica en términos de factores aplicando la

propiedad distributiva.


Matemáticas 35

Se reconoce por que tiene una literal en común en ambos términos

a) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer

factor.

b) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto

viene a ser el segundo factor.

Ejemplo:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙 = 𝒙(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)

𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒚(𝒂 + 𝒃) + 𝒛(𝒂 + 𝒃) =

(𝒂 + 𝒃)(𝒙 − 𝒚 + 𝒛)

Ejercicios

Factoriza las siguientes funciones

𝟏. (𝟏𝟓𝒂𝟐𝒃𝒄𝟑 + 𝟏𝟖𝒂𝟐𝒃 − 𝟗𝒂𝟐𝒄)

𝟐. (𝟖𝒎𝟑

𝟑+

𝟒𝒎𝟐

𝟗−

𝟏𝟔𝒎

𝟐𝟏)

𝟑. (𝟐𝟒𝒚𝟑 − 𝟑𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒚)

𝟒. (−𝟖𝒕𝟐

𝟖+

𝟏𝟐𝒕

𝟐𝟓−

𝟏𝟔

𝟏𝟓)

𝟓. (𝟑

𝟕𝒙𝒛+𝟐𝒚−𝟐 +

𝟏𝟑

𝟐𝟒𝒙𝒛+𝟓𝒚−𝟒)

𝟔. [(𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒚)(𝒂 − 𝒃) − (−𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒚)(𝒂 − 𝒃) − (𝒙𝟐 − 𝒚)(𝒂 − 𝒃)]

7.2 Factorización por agrupación Cuando se tienen polinomios cuyos términos no contienen el mismo factor

común pero algunas literales se repiten en el.

𝟕. [𝟗𝒙𝟐(𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 − 𝟒𝒄) − 𝟗𝒙𝟐(−𝟓𝒂 + 𝟑𝒃 − 𝟔𝒄)]

𝟖. (𝟐𝟖𝟎𝒎𝟔𝒏𝟑𝒔𝟓 − 𝟏𝟐𝟎𝒎𝟕𝒏𝟒𝒔𝟑 + 𝟓𝟒𝟎𝒎𝟓𝒏𝟐𝒔𝟗)

𝟗. [𝒂𝟐(𝒙 − 𝒚)𝟑 − 𝒃𝟐(𝒙 − 𝒚)𝟐 + 𝒄(𝒙 − 𝒚)]

𝟏𝟎. (𝟏

𝟑𝒂𝟐 +

𝟐

𝟓𝒃) (

𝟒

𝟓𝒙𝟐) + (

𝟏

𝟑𝒂𝟐 +

𝟐

𝟓𝒃) (

𝟐

𝟓𝒚)


Matemáticas 36

Ejemplo:

𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚

𝒂𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚) + (𝟒𝒙 − 𝟖𝒚)

𝟐𝒙(𝒙 − 𝟐𝒚) + 𝟒(𝒙 − 𝟐𝒚)

= (𝒙 − 𝟐𝒚)(𝟐𝒙 + 𝟒)

Ejercicios


𝟏. (−𝟓𝒂𝟐 + 𝟑𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒂 + 𝟔𝒙)

𝟐. (𝟖𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝒂𝒚 − 𝟏𝟓𝒚)

𝟑. (𝟏𝟐𝒂𝒙 − 𝟔𝒂 + 𝟐𝟎𝒃𝒙 − 𝟏𝟎𝒃)

𝟒. (𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝒚𝟐 − 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒚)

𝟓. (𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟒𝒂 − 𝟑𝒃 + 𝟏)

6.3 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Identificación de un trinomio cuadrado perfecto

a) El primer término y el tercero deben tener raíces cuadradas exactas.

b) El segundo término debe ser el doble del producto de la raíz cuadrada

del primer y tercer término.

La factorización del trinomio cuadrado perfecto una vez identificado consiste

en los siguientes pasos:

𝟕. (−𝟐𝒂𝒎 + 𝟔𝒃𝒏 − 𝟗𝒄𝒏 + 𝟓𝒅𝒎 − 𝟑𝒏)

𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 − 𝒄𝒙 + 𝒅𝒙 − 𝒆𝒚)

𝟗. (𝒎𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒎 − 𝒃𝟐𝒎)

𝟏𝟎. (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚)

. ( + − − )


Matemáticas 37

a) Se extrae la raíz cuadrada del primer término del trinomio y la del

tercero.

b) Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo

término del trinomio.

c) Este binomio será la raíz cuadrada del trinomio, por lo que deberá

expresarse multiplicando por si mismo o elevado al cuadrado para que

sea igual al trinomio cuadrado perfecto dado.

Ejemplo:

𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟗𝒚𝟐

√𝟒𝒙𝟒 =2𝒙𝟐√𝟗𝒚𝟐 = 𝟑𝒚

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟐(𝟐𝒙𝟐)(𝟑𝒚) = 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚

= (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)𝟐

Ejercicios


𝟏. (𝟏𝟔𝒎𝟔 − 𝟐𝟒𝒎𝟑𝒚𝟐 + 𝟗𝒚𝟒)

𝟐. (𝟓𝟎𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒂𝒙𝒚 + 𝟐𝒂𝒚𝟐)

𝟑. (𝟒

𝟐𝟓𝒂𝟒 +

𝟒

𝟏𝟓𝒂𝟐𝒃 +

𝟏

𝟗𝒃𝟐)

𝟒. (𝟏𝟔𝒂𝟐𝒙 − 𝟔𝒂𝒃𝟐 +𝟑𝟔

𝟔𝟒𝒃𝟒𝒙)

𝟓. (𝟒𝒂𝟒𝒃𝟔 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟑𝒙𝟑𝒚 + 𝟗𝒙𝟔𝒚𝟐)

𝟔. (𝟗

𝟐𝟓𝒚𝟔 −

𝟖

𝟓𝒚𝟑 +

𝟏𝟔

𝟗)

𝟕. (𝒙𝟔 −𝟏𝟎

𝟕𝒙𝟑𝒚𝟐 +

𝟐𝟓

𝟒𝟗𝒚𝟒)

𝟖. (𝟓𝟎𝒙𝟔 + 𝟔𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟖)

𝟗. (𝒂𝟒 + 𝟒𝒂𝟐𝒃 + 𝟒𝒃𝟐)

𝟏𝟎. (𝟑𝒂𝟔𝒃𝟒𝒄𝟐 + 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟑𝒄𝒙𝟐𝒚 + 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟐)


Matemáticas 38

7.4 Factorización por el cubo perfecto de un binomio

Se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos

un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son

positivos y con ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y

negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

Ejemplo:

𝟐𝟕𝒂𝟑 − 𝟓𝟒𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝟔𝒂𝒃𝟐 − 𝟖𝒃𝟑

√𝟐𝟕𝒂𝟑𝟑= 𝟑𝒂 − √𝟖𝒃𝟑𝟑

= −𝟐𝒃

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟑(𝟑𝒂)𝟐(−𝟐𝒃) = −𝟓𝟒𝒂𝟐𝒃 𝟑(𝟑𝒂)(−𝟐𝒃)𝟐 = 𝟑𝟔𝒂𝒃𝟐

(𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)𝟑

Ejercicios


𝟏. (𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏)

𝟐. (𝟖 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙𝟑)

𝟑. (𝒂𝟔 − 𝟗𝒂𝟒 + 𝟐𝟕𝒂𝟐 + 𝟐𝟕)

𝟒. (𝟖𝒂𝟑 − 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃 + 𝟔𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑)

𝟓. (𝟔𝟒𝒙𝟔𝒚𝟑 − 𝟗𝟔𝒙𝟒𝒚𝟐𝒛 + 𝟒𝟖𝒙𝟐𝒚𝒛𝟐 − 𝟖𝒛𝟑)

𝟔. (𝟐𝟕𝒂𝟔𝒃𝟗 + 𝟐𝟕𝒂𝟒𝒃𝟔 + 𝟗𝒂𝟐𝒃𝟑 + 𝟏)

𝟕. (𝟔𝟒𝒙𝟔 −𝟏𝟒𝟒

𝟓𝒙𝟒 +

𝟏𝟎𝟖

𝟐𝟓𝒙𝟐 −

𝟐𝟕

𝟏𝟐𝟓)

𝟖. (𝟏

𝟖𝒂𝟑 +

𝟏

𝟐𝒂𝟐 +

𝟐

𝟑𝒂 +

𝟖

𝟐𝟕)

𝟗. (𝟏𝟐𝟓

𝟖𝒂𝟔 − 𝟐𝟓𝒂𝟒𝒃𝟑 +

𝟒𝟎

𝟑𝒂𝟐𝒃𝟔 −

𝟔𝟒

𝟐𝟕𝒃𝟗)

𝟏𝟎. (𝒙𝒚𝟏𝟓 − 𝟑𝒙𝒚𝟏𝟎𝒛𝟔 + 𝟑𝒙𝒚𝟓𝒛𝟏𝟐 − 𝒙𝒛𝟏𝟖)


Matemáticas 39

6.4 Factorización por diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados, es

decir, es el resultado de multiplicar un la suma de dos monomios por la

diferencia de los mismos.

Ejemplo:

𝟏𝟔𝒎𝟐 − 𝟐𝟓𝒏𝟐

√𝟏𝟔𝒎𝟐 = 𝟒𝒎 √𝟐𝟓𝒏𝟐 = 𝟓𝒏

= (𝟒𝒎 + 𝟓𝒏)(𝟒𝒎 − 𝟓𝒏)

Ejercicios


𝟏. (𝟒𝟗𝒙𝟖 − 𝟖𝟏𝒚𝟔)

𝟐. (𝟖𝒎𝟐 − 𝟐𝒏𝟐)

𝟑. (𝟏

𝟒𝒂𝒙𝟒 −

𝟏𝟔

𝟒𝟗𝒂𝒚𝟐)

𝟒. (𝟑𝟔𝒂𝟒𝒃𝟔 − 𝟔𝟒)

𝟓. (𝟏𝟖𝒎𝟐 − 𝟓𝟎𝒏𝟐)

6.5 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

a) El primer término de ambos factores es la raíz cuadrada del primer

término del trinomio dado.

𝟔. (𝟔𝟒𝒙𝟖𝒚𝟒 − 𝟏)𝟕. (𝟏

𝟒𝒂𝟒 −

𝟒

𝟐𝟓𝒃𝟔)

𝟖. (𝟒

𝟒𝟗𝒙𝟔 −

𝟏

𝟗𝒚𝟒)

𝟗. (𝟐𝟓𝒎𝟔(𝒙 − 𝒚) − 𝟑𝟔𝒏𝟒(𝒙 − 𝒚))

𝟏𝟎. (𝟗𝒂 − 𝟒𝒂𝒎𝟏𝟎)


Matemáticas 40

b) Los dos términos que faltan, uno en cada binomio, deben cumplir las

condiciones siguientes:

a. El producto de ambos debe ser igual al tercer término del

trinomio dado, c, y la suma algebraica de ambos debe ser igual

al coeficiente del segundo término del trinomio, b.

Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔

√𝒙𝟐 = 𝒙

(𝒙 ⋯ ⋯ )(𝒙 ⋯ ⋯ )

( )( ) = 𝟔 , ( ) + ( ) = 𝟓

= (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)

Ejercicios


𝟏. (𝒂𝟐 + 𝟗𝒂 + 𝟐𝟎)

𝟐. (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓)

𝟑. (𝒎𝟐 − 𝟖𝒎 + 𝟏𝟓)

𝟒. (𝒃𝟐 + 𝒃 − 𝟐𝟎)

𝟓. (𝒏𝟐 − 𝟏𝟒𝒏 + 𝟒𝟓)

Dos números cuyo

producto sea +6 y su

suma +5

𝟔. (𝒚𝟔 + 𝟏𝟓𝒚𝟐 − 𝟒)

𝟕. (𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐)

𝟖. (𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒚 + 𝟐𝟒)

𝟗. (𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 − 𝟒𝟓)

𝟏𝟎. (𝒂𝟐 − 𝟏𝟒𝒂 + 𝟒𝟓)


Matemáticas 41

6.6 Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Son productos de un par de binomios con terminos semejantes , es decir que

tiene la misma lateral, pero su coeficiente puede ser diferente.

Ejemplo:

𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑

(−𝟑 )(−𝟓 ) = 𝟏𝟓, (−𝟑 ) + (−𝟓 ) = −𝟖

𝟓𝒙𝟐 + (−𝟑 − 𝟓)𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐

𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟑

𝒔𝒆 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐

(𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝒙) + (−𝟑𝒙 + 𝟑) 𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏

𝟓𝒙(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(−𝒙 + 𝟏)

𝟓𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟑(𝒙 − 𝟏) 𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏

= (𝟓𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟏)

Ejercicios


𝟏. (𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟕)

𝟐. (𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑)

𝟑. (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟓)

𝟒. (𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟒)

𝟓. (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟔)

𝟔. (𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 − 𝟔)

𝟕. (𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟖𝒙 − 𝟏𝟎)

𝟖. (𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟒)

𝟗. (𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚 + 𝟏𝟒)

𝟏𝟎. (𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 + 𝟏𝟎)


Matemáticas 42

7.8 Aplicación de la integral

1. Las expresiones 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝐲𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 representan el area de un

rectangulo . a)¿Tiene la misma forma? , b)¿Qué dimensiones tiene

cada uno de los cuadrilateros?, c)¿Cuál seria el área de cada uno de

ellos si en ambos casos x=3 metros?

2. Presentar la expresión 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐el área de un rombo o un romboide?

8. RADICALES

Un radical es una expresión de la forma √𝑎𝑛

que representa la raíz enésima de

“a” llamada radicando o subradical, “n” es el índice del radical y no suele

escribirse en caso de ser 2 y el símbolo √ es el signo radical.

Definición de √𝑎𝑛

. Sean n un entero positivo mayor de 1 y a un número real.

(1) Si a = 0, entonces √𝑎𝑛

= 0.

(2) Si a > 0, entonces √𝑎𝑛

es el número positivo b tal que 𝑏𝑛 = 𝑎.

(3) (a) Si a < 0 y n es impar, entonces √𝑎𝑛

es el número real negativo

b tal que 𝑏𝑛 = a.

(b) Si a < 0 y n es par, entonces no es un número real.

Ejemplos:

1) √9 = 3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 9

2) √1

32

5=

1

2, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (

1

2)

5

= 1

32

3) √−273

= −3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−3)3 = −27

4) √−92

𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙


Matemáticas 43

8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales

LEY EJEMPLO

(1) 𝑎𝑚

𝑛 = √𝑎𝑚𝑛= ( √𝑎

𝑛)𝑚 5

1

2 = √52

= (√52

)3; 𝑥2

3 = √𝑥23= (√𝑥

3)2

(2) √𝑎𝑛𝑛= ( √𝑎

𝑛)𝑛 = 𝑎 √733

= (√73

)3 = 7

(3) √𝑎𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

√𝑏𝑛

√(2)(16) = √2√16 = √2(4) = 4√2

(4) √𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

√7

27

3

= √73

√273 =

√73

3

(5) √ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑚𝑛

√√6432

= √646

= √266= 2

9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES

9.1 Simplificación de Radicales

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer

algunos cambios en los radicales, como son:Simplificación del radicando,

Introducir un factor al radical, Racionalización del denominador o numerador,

Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.

Simplificación del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores

cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se

escriben fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.

Ejemplos. Simplificación del radical

3 8 4 2 3 53 3(a) 320 (b) 16 (c) 3 6x y z a b a b

PRECAUCION Si a≠0 y b≠0 Ejemplo

(1)√𝑎2 + 𝑏2 ≠ 𝑎 + 𝑏 √32 + 42 = √25 = 𝟓 ≠ (3 + 4 = 7)

(2)√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏 √4 + 9 = √13 ≠ (√4 + √9 =5)


Matemáticas 44

Solución

3 33 3 3 3(a) 320 64 5 = 4 5 = 4 5

3 8 4 3 3 6 3 2 2 3 2 2 3 2 2 23 3 3 3 3 3(b) 16 (2 )(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 2 2x y z x y z y z xy z y z xy z y z xy z y z

2 3 5 2 3 5

2 6 4 3 2 2 3 2 2 3 2

(c) 3 6 3 (2)(3)

(3 )(2 ) (3 ) (2 ) (3 ) 2 3 2

a b a b a b a b

a b a a b a a b a a b a

Ejemplo. Simplificación de potencias racionales

52

3 615233 2

1 12 3

2 6 2 3(a) 27 4 (b) (c)

x xr s

y y

Solución:

52

3 2

22 5 2 53

5

3 9(a) 27 4 27 4 3 2

2 32

1 1 1

23 3 332 6 2 6 2(b) r s r s r s

545 5 8 52 4 13 63 6 3 6 6 6 2

1 1 1 412 3 3 331 4

3

4 32 3 4 3 12 12 (c)

xx x x x x x

y yy y y yy

Ejemplo. Combinación de radicales

Cambia una expresión que contenga un radical de la forma :n ma

43

3 2(a) (b)

aa a

a

Solución

51 1 113 3 2 62 ( ) ( ) 6 53(a) a a a a a a a


Matemáticas 45

14

1 2 54 3 12

2 53 12

4( ) ( )

3 2 512

1 1(b)

a aa a

a aa a

Simplifica los siguientes radicales:

1. 121

2. 64 33. 64

64. 64

5. 18 36. 3 108

7. 75

8. 200 39. (800)(270)

Reduce el orden de los siguientes radicales y simplifícalos:

41. 45

62. 125 43. 64

124. 64

6 245. 9x y 3 666. 27x y

4 287. 64x y

5 15198. 32x y

9.2 Adición y Sustracción de Radicales

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice de

la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente.

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales,

previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de

radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta

de suma algebraica de los coeficientes numéricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:


Matemáticas 46

a) 3√2 + 5√2 = 8√2

b) 1

2√34

+ 1

3√34

= 5

6√34

c) √5 − 6√5 + 2√5 = −3√5

d) √50𝑥5 + 2𝑥√32𝑥3 = 5𝑥2√2𝑥 + 8𝑥2√2𝑥 = 13𝑥2√2𝑥

Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:

1. 3 12 27

2. 20 45 80

3 3 33. 2 16 54

3 3 34. 5 40 320

5. 2 3 5 3 27

3 36. 2 5 250 432

347. 9 12 24

468. 8 3 4 8

2 39. 8 18 50x y y y y

3 210. 20 45 2 45x xy x x

9.3 Multiplicación de Radicales

Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:

√𝑎𝑛 √𝑏

𝑛= √𝑎𝑏

𝑛

Cuando se tienen radicales de distinto índice:

En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican

como en el caso descrito anteriormente.

La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el

mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común;


Matemáticas 47

posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta

de dividir el índice común entre el índice del subradical.

Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término

o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la

metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios.

Ejemplo:

a) √2√6 = √2(6) = 2√3

b) √2 (√𝑥 − √6 = √2𝑥 − 2√3

c) (√6 + √3) (√6 − √3) = 6 − 3 = 3


1. 2 3 2 3

2. 2 2 3 3 2 3

3. 5 2 5 2

4. 7 3 5 2 7 5

5. 6 5 6 5

6. 5 2 3 5 3 3

7. 2 3 5 2 3 5

8. 7 5 3 7 5 3

9.4 División de Radicales

Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales.

Cuando se tienen radicales de diferente índice: Se expresan los radicales en

forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los

exponentes. Y se lleva a cabo la racionalización.


Matemáticas 48

Ejemplo:

4

3 2 (a)

a

aSolución:

14

1 2 54 3 12

2 53 12

4( ) ( )

3 2 512

1 1(a)

a aa a

a aa a


271.

12

3

3

402.

135

3

3

243.

576

3

3

1924.

108

3 5

2

125.

75

a b

ab

5 4

3

276.

48

a b

a b

3 96

6 24

87.

4

a y

a y

10. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR

Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que contiene un

radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún

radical en el denominador.

Casos:

Caso 1. Cuando es una fracción cuyo denominador es un radical monomio En

este caso, se multiplica el numerador y el denominador por el radical que se

encuentra en el denominador (y que de una raíz exacta) y se simplifica la

expresión que resulta.

Ejemplo.


Matemáticas 49

523

1 1 2(a) (b) (c) (d)

35

x

yx

Solución

2

1 1 5 5 5(a)

55 5 5 5

3 3 32 2 2

3 3 3 32 3

1 1(b)

x x x

xx x x x

2

2 2 2 3 2 3 6(c)

3 33 3 3 3

3 3 35 5 5 5 5

52 2 2 3 55 5 5 5

(d) y xy xyx x x

y yy y y y

Caso 2. Cuando la fracción tiene como denominador un binomio que contiene

radicales de índice 2.En este caso, para racionalizarlo se multiplica el

numerador y el denominador por el conjugado de la expresión de dicho

denominador.

Ejemplo:

a) 1

5−√5= (

1

5−√5) (

5 + √5

5 + √5) =

5 + √5

25−5=

5 + √5

20


3 21.

3 2

4 32.

4 3


Matemáticas 50

2 3 53.

3 2 5

6 3 24.

6 2

3 55.

15 3

14 2 36.

7 2

11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que

pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

a1x + b1y= c1

a2x + b2y= c2

La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando

x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

3x – 4y = -6

2x + 4y =16

3 * 2 – 4*3 = - 6 6 – 12 = -6 -6 = - 6

2 * 2 + 4 * 3 =16 4 + 12 = 16 16 = 16

11.1. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma ose

les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.


Matemáticas 51

3x – 4y = -6 3x – 4y + 3 = - 6 + 3

2x + 4y =16 2x + 4y – 5y = 16 - 5y

x = 2, y = 3

2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un

sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es

equivalente.

3x – 4y = -6 3*(2x + 4y) = 16 * 3

2x + 4y =16 2÷(2x + 4y) =16 ÷ 2

x = 2, y = 3

3. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación

del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

3x – 4y = -6 3x – 4y = -6

2x + 4y =16 2x + 4y + 3x – 4y = -6 +16

x = 2, y = 3

4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de

sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o

divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al

primero.


Matemáticas 52

3x – 4y = -6 3x – 4y = -6 3x – 4y = -6

2x + 4y =16 2x – 4y

2 =

16

2 x + 2y = 8

3x – 4y + x + 2y = -6 + 8 4x – 2y = 2

x + 2y = 8 x + 2y = 8

x= 2, y = 3.

5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de

las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

3x – 4y = -6 2x + 4y =16

2x + 4y =16 3x – 4y = -6

3x – 4y = -6 -4y + 3y = -6

2x + 4y =16 4y + 2x = -6

11.2 Método de sustitución

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,

obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la

incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


Matemáticas 53

3x – 4y = -6

2x + 4y =16

6. Despejamosuna de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x + 4y =16 x= 8 – 2y

7. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3(8 – 2y) – 4y = -6

8. Resolvemos la ecuación obtenida:

24- 6y – 4y = -6 -10y= 30 y=3

9. .Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

x= 8 – 2 * 3 = 8 – 6 x=2

10. Solución

x=2 y=3

11.3 Método de igualación

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con

una incógnita.


Matemáticas 54

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en

las que aparecía despejada la otra incógnita.


3x – 4y = -6

2x + 4y =16

6. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda

ecuación:

3x = -6 + 4y x = −6+4𝑦

3

2x = 16- 4y x= 16−4𝑦

2

7. Igualamos ambas expresiones:

−6+4𝑦

3 =

−6+4𝑦

3

8. Resolvemosla ecuación:

2(-6 + 4y) = 3 (16-4y) -12 + 8y= 48 – 12y

8y + 12y = 48 +12

20y=60 y=3

9. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresionesen las que

tenemos despejada la x:

x= −6+4∗3

3 =

−6+12

3 = 2


Matemáticas 55

10. Solución:x= 2 y=3

11.4 Método de reducción

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se

resuelve.


3x – 4y = -6

2x + 4y =16

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las

ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el

proceso.

3x – 4y = -6 2 (3x – 4y = -6) 6x – 8y = -12

2x + 4y =16 -3 (2x + 4y =16) -6x – 12y = -48

6. Sumamos y resolvemos la ecuación:

6x – 8y = -12

-6x – 12y = -48

- 20y = - 60 y=3

7. Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.


Matemáticas 56

2x + 4(3) =16 2x + 12 = 16 2x = 4 x= 2

8. Solución:

x = 2, y = 3

Ejercicios de sistemas de ecuaciones Resolver por cualquier método los siguientes sistemas:

1. 𝟓𝐱

𝟐 + 3y = 1

𝟑𝒙

𝟐 – 3y = 15

2. 3x – 2y = 8

x + y =6

3. X + 2y = 9

3x – y = 20

4. 2x+ y = 7

x+3y=11

5. 3x – 4y = -6

2x + 4y =16

2.- ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm

y que su base es el triple de su altura?

3.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas.

¿Cuántos cerdos y pavos hay?

4.- Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y

Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad".

¿Cuánto dinero tenía cada uno?


Matemáticas 57

12. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática de una variable es cualquier expresión que pueda

ser escrita en la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0

siendo x una variable y a, b, y c son constantes. Esta forma se conoce como

forma general de la ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática siempre debe ordenarse en forma descendente (de

mayor a menor exponente) con respecto a la incógnita.

12.1 Solución por factorización

Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales que ax2 + bx + c se puede escribir

como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros. El

método de solución por factorización se basa en la propiedad del cero entre

los números reales. Se obtienen factores lineales que se igualan a cero para

obtener así los dos valores de la incógnita.

Propiedad del cero

Si m y n son números reales, entonces mn = 0 si y sólo si m = 0 ó n = 0 (o

ambos).

Ejemplo:

Encuentre las raíces resolviendo por factorización la siguiente expresión:

a)

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎

(𝒙 + 𝟑) = 𝟎 (𝒙 + 𝟒) = 𝟎

𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = −𝟒

Para comprobar se sustituyen los valores de la variable en la ecuación inicial:

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎


Matemáticas 58

Sustituyendo el valor de las raíces:

(−𝟑)𝟐 + 𝟕(−𝟑) + 𝟏𝟐 = 𝟎(−𝟒)𝟐 + 𝟕(−𝟒) + 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟗 − 𝟐𝟏 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟏𝟔 − 𝟐𝟖 + 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟐𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟎 𝟐𝟖 − 𝟐𝟖 = 𝟎

𝟎 = 𝟎 𝟎 = 𝟎

b)

𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎

𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎

𝟑𝒙 (𝒙 + 𝟒) − 𝟓(𝒙 + 𝟒) = 𝟎

(𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟎

(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 (𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟎

𝒙𝟏 = −𝟒 𝒙𝟐 = 𝟓

𝟑

Ejercicios

Resolver los siguientes ejercicios por factorización:

6. 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟔. 𝟔𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎

7. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟕. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 = 𝟖

8. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟓 = 𝟎 𝟖. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟕 = 𝟎

9. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟔 = 𝟎 𝟗. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎

10. 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎. 𝟔𝒙𝟐 = 𝟒𝟕𝒙 + 𝟖

12.2 Solución mediante raíz cuadrada

Es para ecuaciones cuadráticas a las que les falta el término de primer grado,

es decir de la forma: ax2 + c = 0 donde a ≠ 0. El método de solución hace uso

directo de la definición de raíz cuadrada de un número.


Matemáticas 59

Ejemplo:

Resolver por el método de la raíz cuadrada:

𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟕 = 𝟎

𝒙𝟐 = 𝟐𝟕

𝟑

𝒙 = ± √𝟗

𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = −𝟑

Ejercicios

Resuelve las siguientes expresiones usando el método de la raíz cuadrada:

1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖 = 𝟎

2. 𝟑𝟔 − 𝒙𝟐 = 𝟎

3. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎

4. (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓

5. (𝒙 +𝟏

𝟑 −)𝟐 =

𝟐

𝟗

12.3 Solución completando el cuadrado

Se basa en el proceso de transformar la ecuación general ax2 + bx + c = 0 en

la forma (x + A)2 = B donde a y b son constantes.

El procedimiento para completar el cuadrado en la forma cuadrática x2 + bx

consiste en sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se

suma (b/2)2. Entonces:

𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + (𝒃

𝟐)

𝟐

= (𝒙 + 𝒃

𝟐)

𝟐

Ejemplo:

Completar el cuadrado y encontrar la solución de las siguientes expresiones:

a) 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟐

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟐 + 𝟗


Matemáticas 60

(𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟏

𝒙 + 𝟑 = ± √𝟏𝟏

𝒙 = −𝟑 ± √𝟏𝟏

𝒙𝟏 = −𝟑 + √𝟏𝟏 𝒙𝟏 = −𝟑 − √𝟏𝟏

b) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎

se divide entre 2, para que el coeficiente de x2 sea 1

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏

𝟐= 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = −𝟏

𝟐

Se completa el cuadrado

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = −𝟏

𝟐+ 𝟏

(𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝟏

𝟐

𝒙 = 𝟏 ± √𝟏

𝟐

𝒙𝟏 = 𝟏 + √𝟏

𝟐 𝒙𝟐 = 𝟏 − √

𝟏

𝟐

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios completando el cuadrado.

1. 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 = 𝟎

2. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 = 𝟎

3. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎

4. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟒𝒙

5. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒 = 𝟎


Matemáticas 61

12.4 Solución mediante la fórmula cuadrática (general)

Si no es posible buscar la solución con los otros métodos, se utiliza la ecuación

que se llama fórmula cuadrática. Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales

que ax2 + bx + c = 0 y a ≠ 0, entonces:

𝒙 = −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 a ≠ 𝟎

Al término b2 – 4ac de la ecuación se le llama discriminante y da información

útil sobre las raíces obtenidas:

Discriminante Raíces de ax2 + bx + c = 0

Positivo Dos raíces reales distintas

Cero Una raíz real

Negativo Dos raíces complejas no reales,

conjugadas entre sí

Ejemplo:

Encontrar la solución de la siguiente ecuación:

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎

Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general tenemos:

a = 12, b = 7 y c = - 10

𝒙 = −𝟕 ± √(𝟕)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(−𝟏𝟎)

𝟐(𝟏𝟐)

𝒙 = −𝟕 ± √𝟒𝟗 + 𝟒𝟖𝟎

𝟐(𝟏𝟐)

𝒙 = −𝟕 ± 𝟐𝟑

𝟐𝟒

𝒙𝟏=−𝟕+𝟐𝟑

𝟐𝟒=

𝟏𝟔

𝟐𝟒 =

𝟐

𝟑

𝐱𝟐= −𝟕− 𝟐𝟑

𝟐𝟒=

−𝟑𝟎

𝟐𝟒 =

𝟓

𝟒


Matemáticas 62

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios mediante la fórmula cuadrática:

1. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝟔. 𝒙𝟐 = 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓

2. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟖 = 𝟎 𝟕. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎

3. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝟖. 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 = 𝟎

4. 𝟕𝒙𝟐 = − 𝟒𝒙 𝟗. 𝒙𝟐 = 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎

5. (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟓 𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 = 𝟎

Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas:

1. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encontrar los

dos números. [Sugerencia: si un número es x, el otro es 23 – x].

2. En la parte central de un terreno rectangular de 8 metros de ancho y 16

metros de largo, se construirá una alberca que cubrirá un área de 48

metros cuadrados de modo que alrededor de ésta haya una banqueta

de ancho constante. ¿cuánto medirá el ancho de la banqueta?

3. Encontrar dos enteros positivos consecutivos tales que su producto sea

168.

4. Se puede llenar un tanque en 4 horas, si se usan dos tuberías.

¿Cuántas horas necesita cada tubo para llenar el tanque si el tubo

menor necesita 3 horas más que el mayor? Calcular las respuestas con

una exactitud de dos cifras decimales.

5. Si la base y la altura de un rectángulo que mide 4 x 2 pulgadas

aumentan la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo será el doble

del antiguo. ¿Cuáles son las dimensiones, con dos cifras decimales, del

nuevo rectángulo?


Matemáticas 63

13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS Los logaritmos comunes (también llamados de Briggs) son los de base 10.

Los logaritmos naturales (llamados también neperianos) son los de base e.

Se denotan de la siguiente manera: log x = log10x y ln x = logex.

Las propiedades de los logaritmos permiten convertir problemas de

multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta

y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones.

Además permiten resolver ecuaciones exponenciales.

Si b, M y N son números reales positivos, b ±1 y p es un número real,

entonces:

1.- logbbu = u

2.- logb MN = logbM + logbN

3.- logb = 𝑴

𝑵 = logbM - logbN

4.- logbMp = p logb M

5.- logb 1 = 0

Todas estas propiedades aplican de la misma manera al logaritmo natural.

Ejemplos:

Aplicar las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones:

1. 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝟑 + 𝒍𝒐𝒈 𝒙

𝟐. 𝒍𝒐𝒈 𝒙

𝟓= 𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝒍𝒐𝒈 𝟓

𝟑. 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟕 = 𝟕 𝒍𝒐𝒈 𝒙

𝟒. 𝒍𝒐𝒈 𝒎𝒏

𝒑𝒒= 𝒍𝒐𝒈 𝒎𝒏 − 𝒍𝒐𝒈 𝒑𝒒 = 𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏 − (𝒍𝒐𝒈 𝒑 − 𝒍𝒐𝒈 𝒒)

= 𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏 − 𝒍𝒐𝒈 𝒑 − 𝒍𝒐𝒈 𝒒

5. 𝒍𝒐𝒈 (𝒎𝒏)𝟐

𝟑 = 𝟐

𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒎𝒏 =

𝟐

𝟑 (𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏)


Matemáticas 64

6. 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟖

𝒚𝟏

𝟓⁄= 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟖 − 𝒍𝒐𝒈 𝒚

𝟏𝟓⁄ = 𝟖𝒍𝒐𝒈 𝒙 −

𝟏

𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝒚

Ejercicios :

Aplica las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones.

1. 𝒍𝒐𝒈 𝟕𝒙 𝟓. 𝒍𝒏 (𝒙

𝒚)

𝟏𝟑⁄

2. 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟐

𝒚𝟑 𝟔. 𝒍𝒐𝒈 (𝟐𝒙 ∗ 𝟑𝒚)

𝟏𝟓⁄

3. 𝒍𝒏 𝒘𝒙𝒚 𝟕. 𝒍𝒏 (𝒙𝟑𝒚𝟐

𝒛𝟒)

4. 𝒍𝒐𝒈 𝒖𝟐

𝟑⁄ 𝟖. 𝒍𝒐𝒈 (√𝑵

𝟑

𝒒𝟐𝒓𝟑)

14. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Son las ecuaciones en las que intervienen funciones logarítmicas, tales como

log (x + 3) + log x = 1. Las propiedades de los logaritmos tienen un papel muy

importante en la solución.

Ejemplo:

Resuelva:

a)

(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐

(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 = 𝟐 𝒍𝒏 𝒙

(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 − 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 = 𝟎

Factorizando:

(𝒍𝒏 𝒙)(𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐) = 𝟎

Igualando a cero los factores:

𝒍𝒏 𝒙 = 𝟎 𝒚 (𝒍𝒏 𝒙) − 𝟐 = 𝟎


Matemáticas 65

𝒙 = 𝒆𝟎 𝒍𝒏 𝒙 = 𝟐

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝒆𝟐

𝒙𝟐 = 𝟕. 𝟑𝟖𝟗

b)

(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟒

(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝟒 𝒍𝒏 𝒙

(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 − 𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟎

Factorizando:

𝒍𝒐𝒈 𝒙 [(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟐 − 𝟒] = 𝟎

𝒍𝒐𝒈 𝒙 [(𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝟐)(𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝟐)] = 𝟎

Igualando a cero los factores:

𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟎 𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

𝒍𝒐𝒈 𝒙 = −𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐

𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 𝟎 𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 (– 𝟐) 𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 (𝟐)

𝒙𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 = 𝟏𝟎−𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎𝟐

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝒙𝟑 = 𝟏𝟎𝟎

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas:

1. (𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟐

2. (𝒍𝒏 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒏 𝒙𝟒

3. (𝒍𝒏 (𝒍𝒏 𝒙)) = 𝟏

4. 𝒙𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙

5. (𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟗

15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS


Matemáticas 66

Las identidades trigonométricas son igualdades que se satisfacen para todos

los valores de las variables, excepto aquellos para los cuales carezcan de

sentido.

Para que una igualdad quede demostrada se debe llegar a:

1) Una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien

2) a una cualquiera de las formulas trigonométricas.

Setienen las siguientes identidades básicas:

1. 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =𝟏

𝒄𝒔𝒄 𝜶 2. 𝒄𝒐𝒔 𝜶 =

𝟏

𝒔𝒆𝒄 𝜶

3. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 =𝟏

𝒄𝒐𝒕 𝜶 4. 𝒄𝒐𝒕 𝜶 =

𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝜶

5. 𝒔𝒆𝒄 𝜶 =𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝜶 6. 𝒄𝒔𝒄 𝜶 =

𝟏

𝒔𝒆𝒏 𝜶

7. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 =𝒔𝒆𝒏 𝜶

𝒄𝒐𝒔 𝜶

8. 𝒄𝒐𝒕 𝜶 =𝒄𝒐𝒔 𝜶

𝒔𝒆𝒏 𝜶

9. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝟏 10. 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜶

11. 𝒔𝒆𝒏(𝜶 ± 𝜷) = 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷 ± 𝒔𝒆𝒏𝜷𝒄𝒐𝒔𝜶 12. 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐𝜶 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝜶

13. 𝒄𝒐𝒔(𝜶 ± 𝜷) = 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷 ∓ 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷 14. 𝒕𝒈(𝜶 ± 𝜷) =

𝒕𝒈𝜶±𝒕𝒈𝜷

𝟏∓𝒕𝒈𝜶∗𝒕𝒈𝜷

15. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶

16. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶

= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝟏

= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶

17. 𝒕𝒈𝟐𝜶 =𝟐𝒕𝒈𝜶

𝟏−𝒕𝒈𝟐𝜶

18. 𝒔𝒆𝒏𝜶

𝟐= ±√

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶

𝟐

19. 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝟐= ±√

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶

𝟐

20. 𝒕𝒈𝟐 𝜶

𝟐=

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶

21. 𝒔𝒆𝒏𝜶 + 𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶+𝜷

𝟐𝒄𝒐𝒔

𝜶−𝜷

𝟐

22. 𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷

𝟐𝒔𝒆𝒏

𝜶−𝜷

𝟐


Matemáticas 67

23. 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜶+𝜷

𝟐𝒄𝒐𝒔

𝜶−𝜷

𝟐 24. 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒔𝒆𝒏

𝜶+𝜷

𝟐𝒔𝒆𝒏

𝜶−𝜷

𝟐

25. 𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 =𝟏

𝟐[𝒔𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷) + 𝒔𝒆𝒏(𝜶 − 𝜷)]

26. 𝒄𝒐𝒔𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 =𝟏

𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷)]

27. 𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜷 =𝟏

𝟐[𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷) − 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)]

28. 𝒄𝒐𝒔 (𝝅

𝟐− 𝜶) = 𝒔𝒆𝒏 𝜶

29. 𝒔𝒆𝒏 (𝝅

𝟐− 𝜶) = 𝒄𝒐𝒔 𝜶

30. 𝒕𝒈 (𝝅

𝟐− 𝜶) = 𝒄𝒕𝒈 𝜶

Ejemplo:

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙+

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)

(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏 − (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙


𝟏 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙


𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

𝟐

𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙

Resuelve los siguientes ejercicios


Matemáticas 68

Demostrar que las siguientes igualdades son identidades

1. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 2. 𝟏

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙+ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏

3. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 4. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙+ 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙

5. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝒙 6. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

7. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+ 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 8. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 +

𝟏

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙= 𝟏

9. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 10. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 +𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙= 𝟏

11. 𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒙∗𝒄𝒔𝒄𝒙= 𝒕𝒂𝒏𝒙

12. 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙

13. 𝟏

𝒔𝒆𝒏 𝒙∗𝒔𝒆𝒄𝒙= 𝒄𝒐𝒕 𝒙

14. 𝟏

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙+ 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙

15. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 +𝟏

𝒕𝒂𝒏𝒙∗𝒄𝒐𝒕𝒙= 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙

16. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 +𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒙∗𝒔𝒆𝒄𝒙= 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙

17. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 +𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙∗𝒄𝒔𝒄𝒙= 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

18. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙

19. 𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒄𝒔𝒄 𝒙+

𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒔𝒆𝒄 𝒙= 𝟏

20. 𝒔𝒆𝒄 𝒙

𝒕𝒂𝒏 𝒙+𝒄𝒐𝒕 𝒙= 𝒔𝒆𝒏 𝒙

21. 𝟏−𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙=

𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟏+𝒔𝒆𝒏 𝒙

22. 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙=

𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒙

23. 𝟏

𝒔𝒆𝒄 𝒙−𝒕𝒂𝒏 𝒙= 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙

24. 𝟏

𝒄𝒔𝒄 𝒙−𝒄𝒐𝒕 𝒙= 𝒄𝒔𝒄 𝒙 +

𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝒙


Matemáticas 69

25. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙

𝒄𝒔𝒄 𝒙−𝟏= 𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 26.

𝒕𝒂𝒏 𝒙−𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙=

𝒔𝒆𝒄 𝒙

𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒙

16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

16.1 Ecuación trigonométrica. Se aplica a toda ecuación en que las

variables figuran solo como argumento de funciones trigonométricas. Una

ecuación trigonométrica puede no tener soluciones.

Ejemplo:

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝟎

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 = −𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙 = −𝟏

𝟐

𝒙 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏(− 𝟏𝟐⁄ )

𝒙 = −𝟑𝟎°

(𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟎 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟎 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏(𝟎)

𝒙 = 𝟗𝟎°

Resuelve los siguientes ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas


Matemáticas 70

1. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟏

2. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎

7. 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟏 = 𝟎

3. 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟖 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟎

8. √𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) + 𝟏 = 𝟎

4. 𝒔𝒆𝒏 (𝟕𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙) = 𝟎

9. 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝟑 𝒄𝒐𝒕 𝒙

5. 𝒄𝒔𝒄 (𝟐𝒙) − 𝒄𝒐𝒕(𝟐𝒙) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 10. 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙

6. √𝟑𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 − 𝟐𝒕𝒂𝒏 𝒙 = √𝟑

Documents

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS - · PDF fileInstituto Tecnológico de Roque Ciencias Básicas Matemáticas 3 Contenido 1. LEYES DE LOS SIGNOS