Material Nº 01

1Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

1. RAZONES Y PROPORCIONES

2.1 Conceptos Bsicos

MagnitudEs todo aquello que siendo inmaterial, es susceptible de medicin, de comparacin, deaumento o disminucin; como el peso, la longitud, el rea, el volumen, la velocidad lacapacidad, el tiempo, la fuerza y otros.

CantidadEs cada uno de los estados particulares de una magnitud.

Cantidad homognea

Ejemplo 2.1. Pertenecen a la misma magnitud.a. 20 kg, 100 gs, 18 onzas, pertenecen a la magnitud peso.b. 10 aos, 15 meses, 2 horas, 20 minutos, etc. pertenecen a la magnitud tiempo.c. 10 km, 50m. 30 millas, etc., son tambin cantidades homogneas que pertenecen ala magnitud longitud.

Cantidades uniformesSon las cantidades homogneas que estn expresadas en la misma medida.

Ejemplo 2.2.- La siguientes son cantidades uniformes200 kg 20 kg, 30 kg.10 km, 80 km, 120 km.

Magnitud ProporcionalEs la proporcin directa o inversa, formado por las cantidades uniformes de unadeterminada magnitud.

Magnitudes directa e inversamente proporcionales




Estos temas son tratados con definiciones y ejemplos sencillos, que lo hacen entendibley claro de manera que no redundaremos desarrollando ms al respecto.

2.2. RazonesUna razn es la comparacin de dos cantidades uniformes por medio de la resta o ladivisin.

El resultado de la comparacin de dos cantidades uniformes, por medio de lasustraccin, se llama razn aritmtica.En este caso, si comparamos las cantidades 28 y 7, por medio de la sustraccinobtenemos:20 - 10 = 10 Razn aritmtica

Las razones aritmticas se pueden escribir de dos maneras:a) Separando ambas cantidades con el signo () 20 - 10b) Separando ambas cantidades por un punto (.) 20 . 10

En ambos casos se lee 20 es a 10

El resultado de la comparacin de dos cantidades uniformes, por medio de la divisin, sellama razn geomtrica.De manera que, comparando las cantidades 18 y 6, por medio de la divisin se tiene:

618 = 3 Razn geomtrica

Las razones geomtricas se pueden escribir de dos maneras:c) Separando ambas cantidades con 2 puntos. 18 : 6d) En forma de fraccin 6

18 en ambos casos se lee 18 e a 6.

Ejemplo 2.3.- Dos hermanos cuyas edades son de 40 aos el mayor y de 20 aos elmenor respectivamente.

Estas dos cantidades uniformes lo podemos comparar de dos maneras




1. El mayor tiene 20 aos ms que el menor, o sea 40 20 = 20

2. El mayor tiene el doble de edad que el menor, o sea 2040 = 2

En consecuencia la razn aritmtica de 40 y 20 es 20 y la razn geomtrica de dichascantidades es 2.

Elementos de una razn:Los trminos de una razn aritmtica o geomtrica reciben el nombre de

Antecedente el primer trmino y de Consecuente el segundo trmino.

Al antecedente lo representamos por A y al consecuente por CEl resultado de la comparacin del antecedente y consecuente se llama razn y lo

representamos por R-

En consecuencia las razones se expresan:a. Aritmtica A C = R o tambin A C = R , razn aritmtica

b, Geomtrica CA = R o tambin A : C = R, razn geomtrica

2.3 Propiedades de la Razn Aritmtica

Primera Propiedad. El antecedente es igual a la suma del consecuente y la razn.A = C + R

Segunda Propiedad.- La suma del antecedente, el consecuente y la razn es igual aldoble del antecedente.

A + C + R = 2AEjemplo 2.4.- La suma de los sueldos de dos trabajadores de una universidad de

diferente categora es S/.8,800 y la diferencia entre estos es de S/.1,200. Cunto ganacada trabador?.

8,800 + 1,200 = 2A




2A = 10,000A = 5,000C = 8,800 - 5,000C = 3,800

Tercera Propiedad.- Si a la suma del antecedente y consecuente le restamos larazn obtenemos el doble del consecuente. Si A + C = S entonces:

S - R = 2C

Ejemplo 2.5.- Si en la compra de dos artefactos elctricos se invirti S/. 3,200 y ladiferencia entre los precios es S/.800. Cul es el precio de cada artefacto?.

3,200 - 800 = 2C2C = 2,400C = 1,200A = 3,200 - 1,200A = 2,000

2.4 Propiedades de la Razn Geomtrica

Primera propiedad: El antecedente es igual al consecuente multiplicado por larazn propiamente dicha.

A = C x RDe esto se deduce que:

C = RA

Ejemplo 2.6: Ejemplo: Hallar el antecedente de las siguientes razones geomtricasa) X : 8 = 3b) X : 5 = 6c) X : 0.25 = 80d) X : 0.5 = 4




e) X : 0.4 = 10

Segunda propiedad: En toda razn geomtrica, el consecuente es igual a la suma delantecedente y consecuente dividido por la razn aumentado en uno.

C = IRCA

o C = 1R

S

Ejemplo 2.6: La suma de los precios de dos productos es S/.10,000 y la razn geomtrica entrestos es 4. Cul es el precio de cada producto?.

C = 14000,10

C = 2,000C = 8,000

Ejemplo 2.7: La suma de los precios de dos productos es 240 y su razn geomtrica es3. Cul es el precio de cada uno?.

C = 1RS

C = 13240

C = 60A = 180

Tercera propiedad: En toda razn geomtrica, la diferencia del antecedente yconsecuente dividido por la razn disminuida en uno, es igual al consecuente. (Davila,1994)

IRCA

= C o 1R

D = C

Ejemplo 2.8: La diferencia entre los precios de dos artefactos es S/.1,500 y la razngeomtrica entre estos e 4. Cul es el precio de cada artefacto?.




C = 14500,1

C = 500A = 2,000

Ejemplo 2.9: La diferencia de los precios de dos artefactos elctricos es 800 y la razngeomtrica entre estos es 3. Cul es el precio de cada uno?

C = 13800

C = 400A = 1,200

2.5 ProporcionesEs la expresin matemtica constituida por dos razones con el mismo resultado, si las

razones son aritmticas la proporcin es aritmtica y si las razones son geomtricas laproporcin es geomtrica.

Dadas las razones aritmticas con el mismo resultado15 . 9 = 610 . 4 = 6

Formamos la proporcin aritmtica y lo expresamos de dos maneras:15 - 9 = 10 - 415 . 9 = 10 . 4

La lectura de la proporcin es 15 es a 9 como 10 es 4

En la formacin de la proporcin geomtrica procedemos de la misma manera,ordenadas la razones geomtricas con el mismo resultado.

12 : 3 = 420 : 5 = 4

Estructuramos la proporcin de dos maneras




. 312 = 5

20 o bien12 : 3 : : 20 : 5

Y se lee 12 es 3 como 20 es a 5.

2.6 Elementos de una proporcinEn toda proporcin, al primer y ltimo trmino se les llama extremos y a los trminoscentrales se les llama medios, en consecuencia los elementos de una proporcin son losmedios y los extremos.

15 . 9 : 10 . 4 Proporcin aritmticaEn este caso 9 y 10 son los trminos medios y 15 y 4 son los trminos extremos.En la proporcin geomtrica siguiente, los trminos medios son 3 y 20 y 12 y 5 son lostrminos extremos.

12 : 3 : : 20 : 5 Proporcin geomtrica

2.7 Clases de proporcionesHay dos clases de proporciones:Proporcin discreta y proporcin continua.

Discreta: Cuando todos sus trminos son diferentes15 . 9 : 10 . 4 Proporcin aritmtica discreta40 : 5 :: 80 : 10 Proporcin geomtrica discretaContinuas: Cuando los medios son iguales

16 . 10 : 10 . 4 Proporcin aritmtica continua18 : 6 : : 6 : 2 Proporcin geomtrica continua

2.8 Formacin de proporciones geomtricas




Sea la razn geomtrica 108 , si multiplicamos ambos trminos por 3, obtenemos una

nueva razn 3024 , de manera que igualando las razones obtenemos la proporcin:

108 = 30

24

y si a dicha razn lo dividimos a cada uno de sus trminos por 2 obtenemos 54

permitindonos formar una segunda proporcin.

108 = 5

4

Continua: Para formar una proporcin continua se escribe una razn geomtrica, en elcual el consecuente sea mltiplo del antecedente, se multiplica sus dos trminos por elnmero de veces que el antecedente est contenido en el consecuente y luego se igualanlas dos razones.

Sea la razn geomtrica 105 , el antecedente est contenido dos veces en el consecuente,

por tanto, multiplicamos ambos trminos por 2, obtenindose una nueva razn 2010 ,

igualamos las dos razones y obtenemos la proporcin:

105 = 20

10 ,

2.9 Propiedades de las proporciones geomtricas

Primera Propiedad. En toda proporcin geomtrica, el producto de los extremos esigual al producto de los medios.

45 : 3 : : 75 : 545 x 5 = 3 x 75225 = 225




Segunda Propiedad En toda proporcin geomtrica continua, el trmino medio es iguala la raz cuadrada del producto de los extremos.

32 : X : : X : 2X = 232X ,X = 8

En este caso el resultado recibe el nombre de media proporcional.

Tercera Propiedad. En toda proporcin geomtrica discreta, un trmino cualquiera esigual al producto de los trminos contrarios, dividido entre el trmino del mismonombre.

32 : 8 : : 40 : X

X = 32408x

X = 10Se llama cuarta proporcional a cualquiera de los cuatro trminos de una proporcingeomtrica discreta.

Cuarta Propiedad. En toda proporcin geomtrica, la suma del antecedente yconsecuente es a su antecedente, como tambin a su consecuente en ambas razones.

Ejemplo:

1. ba = d

c ; aba = c

dc ; y bba = d

dc

2. 312 = 4

16 ; 12612 = 16

416 ; y 3312 = 4

416

Quinta Propiedad. En toda proporcin geomtrica, la diferencia del antecedente yconsecuente es a su antecedente, como tambin a su consecuente en ambas razones(Galdos, 2003)




1. ba = d

c ; aba = c

dc ; y bba = d

dc

2. 312 = 4

16 ; 12312 = 16

416 ; y 3312 = 4

416

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