mates

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA

Límits i continuïtat

1



2



3

Unitat 11: Límits i continuïtat. Autoavaluació. Repàs Regles de càlcul de límits Solucionari llibre Solució autoavaluació Calcular els següents límits:

1) 1

2lim

2

2

0 −

−+

→ x

xx

x

2

2) 1

2lim

2

2

2 −

−+

−→ x

xx

x

0

3) 1

2lim

2

2

1 −

−+

−→ x

xx

x

∞

4) 1

2lim

2

2

1 −

−+

→ x

xx

x

3/2

5) 1

2lim

2

2

−

−+

∞→ x

xx

x

1

6) xxx

xx

x 44

43lim

23

23

2 +−

+−

→

3/2

7) 2

33

)1(

)1(lim

x

xx

n +

−+

∞→

3

8) x

x

x 2

1)1(lim

3

0

−+

→

3/2

9)

−−

−→ 11

1lim

220 x

x

xx

-1

10)

−−

−→ 11

1lim

221 x

x

xx

-1/2

11) xx

xx

x 9

3lim

3

2

3 −

−

→

1/6

12) 3

272lim

2

3 −

+−

→ x

xx

x

3/2

13) 1

12lim

1 −

−−

→ x

xx

x

3/2

14) x

xx 2

3

1

3

1

lim0

−−

→

-1/18

15) 1

2

1lim

+

∞→

+

n

n

n n

n

1

16) n2

n 1n1n

lim

−

+

∞→

e4

17) n

n na

1lim

+

∞→

ea



4

18) 35n

3

3

n 5n

7nlim

+

∞→

−

+

∞

19) 52n3

2

2

n 3n2

4n2lim

+

∞→

+

+

3e

20) 5

4n2

n n52n3

lim

−

∞→

+

0

21) Estudia la continuïtat de la següent funció:

( )

<−

=

>

=

01

00

01

xsi

xsi

xsi

xf

Discontínua en x=0


( )

=

≠+=

10

11

xsi

xsixxf

Discontínua en x=1


( )1

1

−=x

xf

Discontínua en x=1

24) Representa funcions que compleixin les condicions següents: a) ( ) { } ( ) ( ) 0lim0lim;0 ==−=

−∞→+∞→xfixfRxfDom

xx

b) ( ) ( ) ( ) ( ) −∞=∞=−=+−

→→

xgixgxgDomxx 11limlim;1,1

c) ( )xh té dues asímptotes verticals, una en 1=x i una altra en 1−=x i una

d’horitzontal en 0=y .

d) ( )xi es contínua en { }0−R i no existeix el límit d’aquesta funció en 0=x .

e) ( ) +∞=+

→

xjx 0lim ; ( ) +∞=

−→

xjx 0lim i ( ) 00 =j .

f)

25) Si una funció pren sempre valors positius i una altra els pren només negatius, poden tenir el mateix límit? Si és així, quin seria aquest límit?

Si, el 0

26) Posa un exemple gràfic d’una funció que talli una asímptota horitzontal. 27) Posa un exemple de dues funcions que no siguin contínues en 1=x i la suma de les quals sigui contínua en aquest punt.



5

AUTOAVALUACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATX. Unitat 11: Límits i continuïtat.

Nota NOM : GRUP :

1) Donada la funció :

( )

>+

≤≤

<+

=

23

205

01

xsix

xsi

xsix

xf

a) Domini f ( )p25,0 b) Estudiar la continuïtat per x=0. ( )p1 c) Estudiar la continuïtat per x = 2. ( )p1 d) Comprovar gràficament el resultat ( )p25,1



6

2) Troba les asímptotes de les funcions següents i la posició de la gràfica respecte d’aquestes :

a) ( )1

3

+

−=x

xxf ( )p5,1

b) ( ) =xf2

32

+

−

x

x( )p5,1

c) ( )45

42

+−

−=

xx

xxf ( )p5,1



7

3) Calcula els límits següents :

a) xxlimx −+∞→

3 ( )p5,1

b) 23

652

2

2+−

+−→

xx

xxlimx ( )p5,1

c) x

xx

xlim

2

3

5

−

+∞→

( )p5,1

d)

−

+−

−→

1

3

1

421x

x

xlimx ( )p5,1



8

4) Donada la gràfica d e la funció y= ( )xf

a) Dom f = (0,5 p)

b) Recorregut (0,5 p) f =

c) Observant el gràfic omplir la taula següent (2 p): Punt Límit per l’esquerra Límit per la dreta Límit en el punt Tipus de discontinuïtat -1

0

1

3

5

d) Estudiar el comportament en el infinit ( 0,5):



9

PROBLEMES DE REPÀS:

1) Calcular dos nombres tal que la seva suma sigui 90 i el seu quocient es igual al més petit dels dos.

81 i 9 ; 100 i – 10

2) Calcular dos nombres sencers positius tal que la seva diferencia sigui 3 i la diferencia dels seus quadrats 33 .

7 i 4

3) Racionalitza:

a) 32

6

+ b)

5 4

6 c)

3 222

6

⋅

a) 3626 +−

b) 5 83 c) 2

236 5

4) Redueix a índex comú els radicals: 4 233 32,2,3 ⋅ 12 6912 412 6 32,2,3 ⋅

5) Resol el sistema:

−>

+≤+

12

32

1483

xx

xx

( ]3,2−

6) Resol la inequació: 016122 2≤+− xx [ ]4,2

7) Resol l’equació : 1sin2cos 2=+ αα º180,º0

8) Resoldre:

a) 0122=++ xx b) 112 =+x c) 1123 =+

x d) ( ) 112log2 =+x

a) 1−=x b) 81=x c) 2=x

d) 2046=x 9) Resol les equacions següents:

a) 3

log45loglog2x

x =−⋅ b) ( )xx 28loglog2 −=⋅ c) 3log5log =+ x

a) 15=x b) 2=x c) 200=x

10) Resol el sistema:

=−

=+

2643

166

yx

yx

1,10 == yx

11) Troba l’equació de la recta que passa pels punts ( )2,1A i ( )3,1−B .

2

5

2

1+−= xy

12) Veure si els punts ( )0,1A , ( )1,2B i ( )3,3C estan o no estan alineats. no

13) Determina la posició relativa dels parells de rectes següents:

a)0563:'

842:

=+−

=−

yxr

yxr b)

12

1:'

242:

−=

−

−

=−

yxr

yxr

a) paral·leles b) coincidents

14) Troba l’angle que formen les rectes 32 −= xy i 02 =+ yx

''6,11'52º126

15) Quina és la distancia entre les rectes: 022: =+− yxr i 052:' =+− yxr

5

3

16) Calcula el domini de:

a) ( ) 3 3 4xxxf += b) ( ) 92−= xxf

a) ( )∞∞− ,

b) ( ] [ )∞∪−∞− ,33,

17) Calcula el valor de k per que sigui continua la funció:

( )

>−

≤+=

31

322 xsix

xsikxxf

2=k



10

REGLES DE CÀLCUL DE LÍMITS

Límits d’operacions.

“El límit d’una operació es el resultat de fer l’operació amb els límits de les dades”

A.- El límit d’una suma o resta és la suma o resta de límits dels sumands.

Successions ( ) nnnnnnn blimalimbalim∞→∞→∞→

±=±

Funcions ( ) ( ) limxgxflim ax =±

→)( ( ) ( )xglimxf axax →→

+

B.- El límit d’un producte es el producte de límits . Successions ( ) nnnnnnn blimalimbalim

∞→∞→∞→= ..

Funcions ( ) ( ) limxgxflim ax =

→).( ( ) ( )xglimxf axax →→

.

C.- El límit d’un quocient és el quocient de límits.

Successions nn

nn

n

nn

blim

alim

b

alim

∞→

∞→

∞→=

Funcions )(

)(

)(

)(

xglim

xflim

xg

xflim

ax

axax

→

→

→=

D.- El límit d’una potencia és el límit de la base elevat al límit del exponent.

Successions ( ) nnn blim

nn

b

nn alimalim ∞→

∞→∞→=

Funcions ( ) limxflim xg

ax =→

)()( ( ) ( )xglim

axaxxf →

→

E.- El límit d’una arrel és l’arrel del límit del radicand

Successions [ ]nnpp

nn alimalim∞→∞→

= log

Funcions =→

pax xflim )( [ ])(log xflim axp →

E.- El límit d’una arrel és l’arrel del límit del radicand

Successions pnn

pnn alimalim

∞→∞→=



11

Funcions =→

pax xflim )( p

ax xflim )(→

F.- El límit d’un logaritme és el logaritme del límit. Successions [ ]nnpnpn alimalim

∞→∞→= loglog

Funcions =

→)(log xflim pax [ ])(log xflimnp ∞→

Casos Simbòlics.

En el càlcul de límits es presentes els següents casos possibles: Casos simbòlics determinats A.- ±∞=∞±k B.- ±∞=±∞)·(k si 0>k

∞=±∞ m)·(k si 0·<k

C.- +=

∞+0

k, si 0>k −

=∞+

0k

, si 0<k

−=

∞−0

k , si 0>k +

=∞−

0k

, si 0<k

D.- 00

=k

, si 0≠k

E.- ∞=∞

k , si 0≠k ( ∞+ si k i ∞ tenen el mateix signe, i -∞ si tenen diferent signe)

F.- ( )

<

>∞+∞+

00

0

Ksi

KsiK

G.-

<<

>∞+∞+

100

1

Ksi

KsiK

<<∞+

>∞−

10

10

Ksi

KsiK

Casos simbòlics indeterminats



12

A.-∞

∞ D.- 0.∞

B.-0

0 E.- 1 ∞

C.- ∞−∞ F.- 0 0 G.- 0∞

LÍMITS DE FUNCIONS RACIONALS:

En les funcions racionals f(x) =( )

( )xQ

xP apareixen tres casos d’indeterminació

Primer cas: indeterminació ∞

∞

La indeterminació ∞

∞de funcions racionals desapareix aplicant infinit

equivalents al polinomi del numerador i al polinomi del denominador o dividint

numerador i denominador per la màxima potencia .

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

<

=

>∞

∞→

xgrQxgrPsi

xgrQxgrPsib

a

xgrQxgrPsi

xQ

xPlimx

0

( a i b son els l coeficients dels monomis

principals)

Segon cas: indeterminació 0

0

La indeterminació 0

0de funcions racionals desapareix factoritzan numerador i

denominador i simplificant

Observació: Si el polinomi numerador i denominador s’anul·len per x = a un

dels factors tant de numerador com de denominador serà x-a.



13

Tercer cas: indeterminació ∞−∞

La indeterminació ∞−∞ de funcions racionals desapareix reduint a una fracció

racional amb el mínim comú denominador

LÍMITS DE FUNCIONS IRRACIONALS

En les funcions irracionals apareixen tres tipus de indeterminacions :

Primer cas: indeterminació ∞

∞

La indeterminació ∞

∞ en radicals desapareix dividint numerador i denominador per la

màxima potencia .

Segon cas: indeterminació 0

0

La indeterminació 0

0 en radicals desapareix multiplicant i dividint per l’expressió

radical conjugada.

Tercer cas : indeterminació ∞−∞

La indeterminació ∞−∞ en radicals desapareix multiplicant i dividint per l’expressió

radical conjugada.



14

DEFINICIÓ DE NOMBRE “ e”:

Es el límit d’una successió de terme general n

nn

a

+=1

1 .

Es a dir e = n

nn

lim

+

∞→

11

LÍMITS DE FUNCIONS POTENCIALS-EXPONENCIALS:

En les funcions potencials-exponencials es pot presentar la indeterminació ∞1 .

La indeterminació 1 ∞ desapareix aplicant el nombre “e”.

Documents

mates