Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació

Grau en Multimèdia

Matemàtiques per a Multimèdia I

PAC 1

Enunciat

1) Calculeu la proporció dels següents rectangles. Quins són proporcionals?

A)

!

p =140100

=1,4 B)

!

p =3525

=1,4 C)

!

p =140100

=1,4 D)

!

p =100100

=1 E)

!

p =7050

=1,4

S'han calculat les proporcions de totes les figures a partir del quocient de les funcions max(a,b) i mínim(a,b).

!

p =max a,b( )min a,b( )

Són proporcionals els rectangles A, B, C i E.

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

2) Tenim una imatge d’una piscina rectangular de mides 150*200 píxels. Volem

incorporar-la en un espai de 70*70 píxels d’una pàgina web. Quines han de ser les mides de la imatge un cop reduïda, per tal de no perdre la proporció de mida màxima? Quant ha de ser el % de reducció de la imatge?

!

p =200150

=70x" x =

150# 70200

= 52,5" p =200150

=7052,5

S'ha establert una igualtat entre la proporció de la imatge inicial i la proporció de la imatge reduïda. Un cop aïllada

la variable x es comprova que els dos termes de la igualtat són equivalents i que a més guarden la mateixa

proporció, doncs

!

p 200150"

# $

%

& ' =1,333... i

!

p 7052,5"

# $

%

& ' =1,333....

Les mides de la nova imatge seran de 70*52,5

El % de reducció de la imatge serà del 35%. Això es dedueix perquè

!

70200

= 0,35"35% .

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

3) Donat un rectangle de mides 70*100, trobeu la seva proporció i digueu si és una

proporció racional. Trobeu tres quadriculacions del rectangle diferents ( = trobar quadrats d’igual mida que omplin exactament la imatge). Dibuixeu-les (= heu de presentar tres imatges del rectangle tot dividint-lo amb quadrats d’igual mida). Doneu les mides de cada quadrat. Demostreu que els quadrats quadriculen perfectament el

rectangle (= Demostreu que els quadrats encaixen en el rectangle i no sobra cap trosset).

Calculem la proporció existent entre la mida dels costats del rectangle

!

p 10070

"

# $

%

& ' =1,42857143... . Comprovem

que 1,42857143... és un nombre decimal periòdic, i per tant, està inclòs dins del grup dels nombres

racionals (commensurables).

La proporció d'un rectangle de mides 70*100 és racional.

Activitat complementària realitzada amb Flash. La podreu trobar a "rectangle_racional.fla" i "rectangle_racional.swf".

Podríem dividir-lo en:

QUADRATS de 2*2px.

Els costats dels quadrats divideixen de manera exacta la longitud

d'ambdòs costats:

!

1002

= 50 || 702

= 35. A més la proporció entre aquest

nombre de divisions és igual que la proporció que guarden els costats del

rectangle:

!

p 10070

"

# $

%

& ' =

5035"

# $

%

& ' =1,42857143

QUADRATS de 5*5px.

Els costats dels quadrats divideixen de manera exacta la longitud

d'ambdòs costats:

!

1005

= 20 || 705

=14 . A més la proporció entre aquest

nombre de divisions es igual que la proporció que guarden els costats del

rectangle:

!

p 10070

"

# $

%

& ' =

2014"

# $

%

& ' =1,42857143

QUADRATS de 10*10px.

Els costats dels quadrats divideixen de manera exacta la longitud

d'ambdòs costats:

!

10010

=10 || 7010

= 7. A més la proporció entre aquest

nombre de divisions és igual que la proporció que guarden els costats del

rectangle:

!

p 10070

"

# $

%

& ' =

107

"

# $

%

& ' =1,42857143

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

4) Volem crear una família de fulls UOCF de la sèrie S amb les següents regles:

• Tots els fulls d'aquesta sèrie han de tenir proporció arrel de 2 .

• El full S0 té una superfície de dos metres quadrats.

• En tallar un full de format S0 per la meitat s'obtenen dos fulls de format S1.

Així, l'altura de S1 coincideix amb l'amplada de S0, mentre que l'amplada

de S1 és la meitat de l'altura de S0.

• La resta de fulls de la sèrie S es forma de la mateixa manera en dividir el

precedent que tenen en dues parts iguals per una línia paral·lela al costat més

curt.

• Les mides estàndard d'aquesta sèrie s'arrodoneixen en mil·límetres.

!

xy

= 2 " x = 2y " x = 2y " x = 2 # 22" x = 2 # 2 " x =1.681mm

x# y = 2" 2y 2 = 2" y =22" y =

22#22" y =

2 22

" y = 2 " y =1.189mm

1,681*1,189 $ 2

A partir d'aquesta informació, creeu una taula amb les mides de la sèrie UOCF S, des de S0 fins a S10. Nombre

sèrie S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

Mides (mm)

1189*1681 840*1189 594*840 420*594 296*420 209*296 147*209 104*147 74*104 52*74 37*52

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

5) Construïu geomètricament un rectangle auri d’amplada 100 píxels. Mesureu els dos

costats i trobeu la proporció. Realitzeu un programa en Flash tipus zoòtrop que mostri la construcció i que expliqui alhora (amb text o amb veu) els passos de la construcció i per què el rectangle obtingut és auri.

Perquè un rectangle sigui auri els seus costats han de guardar una propocio de

!

" =1+ 52

.

D'aquesta manera, si l'amplada del rectangle és de 100px, la seva alçada serà de 61'8px,

suposant que aquest és el costat curt. En el cas contrari, el costat seria de 161'8px. Tant en un

cas com en un altre es pot demostrar que

!

p 10061'8"

# $

%

& ' = p 161,8

100"

# $

%

& ' =1'618 =(.

Activitat realitzada amb Flash. La podreu trobar a "rectangle_auri.fla" i "rectangle_auri.swf".

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

6) Realitzeu un programa en Flash tal que en introduir una matriu d’ordre 3x3 (A), el

programa retorni el quadrat de la matriu (A2 ) Nota: recordeu que A2=AxA

Activitat realitzada amb Flash. La podreu trobar a "matriu.fla" i "matriu.swf".

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

7) Realitzeu un programa en Flash tal que en introduir les coordenades d’un punt, el

programa presenti en uns eixos de coordenades, un punt blau que faci pampallugues sobre les coordenades introduïdes.

Activitat realitzada amb Flash. La podreu trobar a "coordenades.fla" i "coordenades.swf".

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

8) Parametritzeu la recta que passa pels punt A = (-2,5) i B = (5,9). Trobeu el punt mig del

segment AB. Presenteu un dibuixeu on s’apreciï uns eixos de coordenades amb la recta, els punts A i B, i el seu punt mig.

parametritzacio de la recta parametrització del segment

!

! P (t) =

! A + t B " A( )

! P (t) = "2,5( ) + t 5,9( ) " "2,5( )[ ]! P (t) = "2,5( ) + t 7,4( )

!

OP = OA + AP! P (t) =

! A + AP

! P (t) =

! A + t " B # A( )$

! P (t) = t " (A + B)

! P (t) = 0'5 " #2,5( ) + 5,9( )[ ]! P (t) = 0'5 " 3,14( )! P (t) = 1'5,7( )

La parametrització de la recta que passa pels punts A=(-2,5) i B=(5,9) és

!

! P (t) = "2,5( ) + t 7,4( )

El punt mig de la recta que passa pels punts A = (-2,5) i B = (5,9) és P=(1'5,7).

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

9) Parametritzeu la circumferència de centre (6,7) i radi 3. Dibuixeu-la. Trobeu les

coordenades dels punts situats sobre la circumferència amb valor x igual a 7. Marqueu sobre el dibuix els punts obtinguts. Podem obtenir el valor de y de dues maneres diferents. teorema de Pitàgores

1. Com que coneixem el valor de R i de x,

aïllem el valor de y.

!

x 2 + y 2 = R2 " y 2 = R2 # x 2 " y 2 = 32 #12 " y = 8

2. Substituïm els valors, tenint 1en compte

que el centre de la circumferència és el

punt (6,7).

!

P = (a + x,b + y)" P = (6 +1,7 + 8) ||P = (7,7 # 8)

parametrització

1. Partim de l'esquema de parametrització

de la circumferència.

!

P t( ) = x,y( ) = a + Rcos t,b + Rsin t( )

2. Ja coneixem el valor de R i de cost.

Caldrà doncs trobar el valor de sint, i

això ho farem a partir d'una propietat

trigonomètrica.

!

x = a + R " cos t# 7 = 6 + 3 " cos t# cos t =7 $ 63

=13

sin t = 1$ cos t 2 = 1$ 13%

& ' (

) * 2

= 1$ 19

=89

=83

3. Substituïm els valors, tenint en compte

que el centre de la circumferència és el

punt (6,7).

!

P t( ) = a + Rcos t,b + Rsin t( )

P t( ) = 6 + 313,7 + 3 8

3

"

# $

%

& '

P t( ) = 7,7 + 8( ) || 7,7 ( 8( )

En els dos casos, els punts obtinguts són

!

P t( ) = 7,7 + 8( ) i

!

P t( ) = 7,7 " 8( ).

Matemàtiques per a Multimèdia - PAC1

10) Una pilota es mou sobre la recta y = 4x + 10. Trobeu el punt de contacte amb el

sostre, si aquest té per equació y = 34 i amb el terra si aquest té per equació y = 0. Feu un dibuix d’una gràfica amb les funcions recta, terra, sostre i marqueu els punts on la pilota xoca amb el sostre i el terra. Per a y=34

!

y = 4x +10" 34 = 4x +10" x =34 #104

" 6,34( )

Per a y=0

!

y = 4x +10" 0 = 4x +10" x =0 #104

" #52,0

$

% &

'

( ) . La pilota botarà fora de l'habitació. La línia

discontínua del gràfic aixi ho indica. Funcions funció recta:

!

y = 4x +10 || funció sostre:

!

y = 34 || funció terra:

!

y = 0

Activitat complementària realitzada amb Flash. La podreu trobar a "funcio_recta.fla" i "funcio_recta.swf".