Mates Rocio Aitor2

7/24/2019 Mates Rocio Aitor2

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adrid

CICLOS FORMATIVOS

DE GRADO MEDIO

CICLOS FORMATIVOS

DE GRADO MEDIO

U.D.1

Losnmeros

MATEMTICAS


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OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. LOS NMEROS NATURALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 CONCEPTO DE NMERO NATURAL. EL SISTEMA DENUMERACIN DECIMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 OPERACIONES ELEMENTALES CON NMEROS NATURALES.PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 POTENCIAS DE EXPONENTE NATURALRACES CUADRADAS EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 RELACIN DE DIVISIBILIDAD. NMEROS PRIMOS . . . . . . . . . . . . . . 171.5 EL M.C.D. Y EL M.C.M. DE DOS NMEROS NATURALES . . . . . . . . . . 22

2. LOS NMEROS ENTEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1 CONCEPTO DE NMERO ENTERO. REPRESENTACIN

Y ORDENACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 OPERACIONES ELEMENTALES CON NMEROS ENTEROS

PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 JERARQUA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARNTESIS . . . . . 332.4 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. LOS NMEROS RACIONALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 CONCEPTO DE NMERO RACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.1 Nmeros fraccionarios y operaciones con fracciones3.1.2 Nmeros decimales y operaciones con decimales

3.2 RECONOCIMIENTO DE LOS NMEROS IRRACIONALES . . . . . . . . . . 53

4. LOS NMEROS REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1 INICIACIN AL NMERO REAL. LA RECTA REAL . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 NOTACIN CIENTFICA. OPERACIONES EN NOTACIN CIENTFICA 564.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO Y RADICALES . . . . . . . 58

RESUMEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

N D I C E


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Al finalizar el estudio de esta Unidad Didctica, el alumno ser capaz de:

Distinguir los diferentes tipos de nmeros: Naturales, enteros, decimales y fraccio-

narios.

Utilizar de forma adecuada los nmeros enteros, las fracciones y los decimales para

recibir y producir informacin en actividades relacionadas con la vida cotidiana.

Elegir, ante un determinado problema, el tipo de clculo adecuado (mental o

manual) y dar significado a las operaciones y resultados obtenidos, de acuerdo con

el enunciado.

Calcular expresiones numricas sencillas de nmeros enteros y fraccionarios (basa-

das en las cuatro operaciones elementales y las potencias de exponente natural que

involucren operaciones encadenadas y un parntesis), aplicando correctamente las

reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y parntesis.

Realizar operaciones elementales con los nmeros racionales y potencias de expo-

nente entero. Usar jerarqua de las operaciones y del parntesis.

Identificar y utilizar los distintos tipos de nmeros racionales para recibir y produ-

cir informacin en situaciones reales de la vida cotidiana y elegir, al resolver un

determinado problema, el tipo de clculo adecuado (mental, manual, con calcula-

dora), dando significado a las operaciones, procedimientos y resultados obtenidos,

de acuerdo con el enunciado.

Resolver expresiones numricas sencillas de nmeros racionales (basadas en las cua-

tro operaciones elementales y las potencias de exponente entero que involucren,

como mximo, dos operaciones encadenadas y un parntesis), aplicar correctamente

las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y parntesis.

Realizar operaciones en notacin cientfica y con expresiones de potencias deexponente fraccionario y con races.

O B J E T I V O S


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D esde la antigedad se han empleado diferentes medios para contar, es decir,para evaluar cantidades, a travs de instrumentos, smbolos u otros procedi-mientos.

Hoy en da utilizamos los nmeros para todos los campos de nuestra vida, as conellos, podemos contar, medir, ordenar, codificar, expresar cantidades, entre otrasmuchas cosas.

Para poder realizar todo esto, nos encontramos con los diferentes tipos de nmeros.En primer lugar, tenemos los nmeros naturales, que van desde el cero al infinito yson todos positivos. Al intentar operar con ellos surgen los nmeros enteros, quepueden ser positivos y negativos. Y, como no siempre operamos con nmeros ente-ros, es decir, con la unidad, nos hace falta otro tipo de nmeros denominados racio-nales, que es el resultado de dividir una unidad en un nmero de partes iguales, porlo que los conocemos comofraccionarios.

Asimismo, y como expresin de esas fracciones, tenemos los nmeros decimales,

que nos permiten escribir cmodamente aproximaciones de fracciones y, de estemodo, facilitan las operaciones aritmticas bsicas (suma, resta, multiplicacin ydivisin) al tratarlas como una extensin de las operaciones con nmeros enteros.

Finalmente surge la necesidad de utilizar los nmeros reales para resolver gravesproblemas matemticos que se solventan con la aportacin de los nmeros irracio-nales.

De esta forma queda conformado el mapa de los nmeros, siendo estos tipos denmeros los que se emplearon hasta el siglo XVIII.

I N T R O D U C C I N


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LOS NMEROS

M A PA C O N C E P T UA L

RACES

REALES

RACIONALES

FRACCIONES

DECIMALES

POTENCIA

DE

RAZ

ENTEROS

DIVISIBILIDAD

FACTORESPRIMOS

M.C.D.

M.C.M

EXPONENCIACIN

OPERACIONES SUMA

RESTAMULTIPLICACINDIVISIN

NATURALES

LOS NMEROS


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Sistema de numeracin decimal:

Como hemos visto, el conjunto de los nmeros es ilimitado, por lo que pronto surgi lanecesidad de idear un procedimiento que sirviera para nombrar y escribir todos los nme-ros. Este procedimiento se denomina sistema de numeracin.

Sistema de numeracin es el conjunto de reglas que permiten nombrar y escribir todoslos nmeros naturales mediante el empleo de un reducido nmero de palabras y signos.

Al principio, parece lgico que los dedos de la mano se usaran para contar. Con lasmanos se podan pues representar colecciones de hasta diez elementos. Cuando el uso de

las manos fue insuficiente, se usaron montoncitos de piedra para as representar una corres-pondencia biunvoca con los elementos de otro conjunto. As se agrupaban las piedras engrupos de cinco en cinco o de diez en diez.

Esta forma da origen al sistema numrico que nosotros utilizamos, que recibe el nom-bre de sistema de numeracin decimal. Se denomina as porque a partir de slo 10 signosse pueden formar cualquier numeral. Esas cifras se conocen como el conjunto de los dgi-tos. Los dgitos utilizados en el sistema decimal son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.Si toma-mos como ejemplo los dgitos 1, 2 y 3, con ellos se pueden formar varios numerales: 123,132, 213, 231, 312 y 321. Como se ve, utilizamos los mismos dgitos, pero los numerales

obtenidos son distintos.

La razn de que, combinando los nmeros, los numerales obtenidos sean distintos, esdebido a que cada dgito tiene su valor de acuerdo al lugar que ocupa en el numeral.

Desde la ltima cifra contamos las columnas de posicin de las unidades (U.), las dece-nas (D.) y las centenas (C.). El valor de las decenas es 10 veces su cifra y el de las cente-nas, es 100 veces el dgito.

Unidades (U.) = 1 (U.)

Decenas (D.) = 10 (U.)

Centenas (C.) = 100 (U.)

MATEMTICAS

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La cantidad expresada por el numeral 321, viene dada por las columnas de posicin de

cada dgito, como se ve en la figura:

El dgito 1 est en el valor de la unidad, es decir, vale 1; el 2 ocupa el lugar de las dece-nas, por lo tanto, vale 20; y el 3 corresponde a las centenas, o sea, su valor es de 300.

Entonces, 321 segn las columnas de posicin, es igual a: 3 C. + 2 D. + 1 U, y confor-me al valor de sus cifras ser: 300 + 20 + 1, que se leer: trescientos veintiuno.

Ejemplo: 321 = 3 C. + 2 D. + 1 U.

321 = 300 + 20 + 1

Tradicionalmente, para facilitar la lectura de los nmeros, cada grupo de tres cifras a

partir del extremo de la derecha, se separaban con un punto:

En la lectura de cantidades grandes, basta con que se sigan empleando solamente hastalas centenas, ya que desde cada grupo de tres cifras, se va pasando al grupo siguiente quecorresponde a un orden superior.

Fue a partir de 1948, segn lo acordado en la Conferencia de Pesas y Medidas,cuando dicha separacin debe realizarse mediante un pequeo espacio.

U.D. 1.- LOS NMEROS NATURALES

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Ejemplo:

En el nmero 120 364 712 538 901, el significado de cada una de las cifras es el queaparece en el siguiente esquema:

Este nmero, una vez separado en grupos de tres cifras (centena, decena y unidad), seleer: Ciento veinte billones trescientos sesenta y cuatro mil setecientos doce millones qui-nientos treinta y ocho mil novecientos uno.

1.2. OPERACIONES CON NMEROS NATURALES.PROPIEDADES

A) LA SUMA DE NMEROS NATURALES

La suma de dos nmeros a y b es el nmero natural s.

Ejemplo: Sean los conjuntos dados A y B, cuyos numerales respectivos son 4 y 2 res-pectivamente. Como se observa en la figura, el conjunto unin de estos dos es:

A B = A + B = 4 + 2 = 6Los nmeros 4 y 2, se denominan sumandos, y 6, es la suma de ellos.

a + b = s

1 2 0 3 6 4 7 1 2 5 3 8 9 0 1

centena

decena

unidad

centena

decena

unidad

centena

decena

unidad

centena

decena

unidad

centena

decena

unidad

de billnde millar

de millnde milln de millar

MATEMTICAS

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PROPIEDADES DE LA SUMA

La suma de nmeros naturales cumple las siguientes propiedades:

Asociativa: La forma en que se asocian dos o ms sumandos, no vara el resultadofinal:

a + (b + c ) = s (a + b) + c = s

Ejemplo: 3 + (4 + 6) = 13 (3 + 4) + 6 = 13

Conmutativa: Si alteramos el orden de los sumandos, el resultado no vara:

a + b + c = s es igual que b + a + c = s

Ejemplo: 4 + 8 + 6 = 18 es igual que 6 + 4 + 8 = 18

Elemento neutro: En la suma existe un nico nmero, el cero, que sumado con otronmero natural cualquiera, a, da como resultado a, es decir:

a + 0 = a

Ejemplo: 5 + 0 = 5

B) LA RESTA DE NMEROS NATURALES

Dados dos nmeros naturales a y b, siendo a mayor o igual a b, se denomina diferenciaentre ellos al nmero d tal que sumado a b da por resultado el nmero a. Es decir:

d + b = a

a = minuendo

b = sustraendo

d = diferencia o resta

PROPIEDADES DE LA RESTA

La resta sustraccin no tiene las propiedades asociativa ni conmutativa.

a b = d


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C) PRODUCTO DE NMEROS NATURALES

Multiplicacin de dos nmeros es la operacin que tiene por objeto hallar la suma detantos sumandos iguales a uno de ellos como unidades tiene el otro. Esta operacin seexpresa intercalando el signo por () bien el punto () o el asterisco () entre los dosnmeros que se multiplican.

Dados dos nmeros a (multiplicando) y b (multiplicador), el resultado de su multipli-cacin es un tercer nmero p llamado producto.

Ejemplo:

3 4 = 3 + 3 +3 + 3

3 4 = 12, expresado tambin como: 3 4 = 12 3 * 4 = 12

Mltiplos de un nmero natural: Los mltiplos de un nmero se obtienen multiplicandoese nmero por los nmeros naturales.

Ejemplo: Los mltiplos del nmero 5 sern:

5 1 = 5

5 2 = 10

5 3 = 15

5 4 = 20

5 5 = 25etc.

a b = p

MATEMTICAS

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO

Las propiedades del producto de nmeros naturales son:

Conmutativa

Si a y b son dos nmeros naturales cualesquiera, siempre se verifica:

a b = b a

Ejemplo: 6 9 = 9 6

Asociativa

Sean a, b y c tres nmeros naturales cualesquiera, se verifica:

(a b) c = a (b c)

Ejemplo: (3 5) 8 = 3 (5 8)

Elemento neutro

En el producto, existe un nico nmero, el uno, que multiplicado por un nmero natu-ral cualquiera, a, da como resultado a, es decir:

a 1 = a

Ejemplo: 5 1 = 5

Distributiva

Siendo a, b y c tres nmeros naturales:

a (b + c) = a b + a c

Ejemplo: 5 (6 + 7) = 5 6 + 5 7


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D) DIVISIN DE LOS NMEROS NATURALES

Divisin de dos nmeros naturales D y d, llamados dividendo y divisor, es la operacinque tiene por objeto hallar un tercer nmero natural c, denominado cociente, tal que el pro-ducto del cociente por el divisor sea igual al dividendo. La representacin de la divisin seexpresa por los signos (:), () (/).

Dados dos nmeros naturales D y d, el cociente c, se expresa como:

Ejemplo: 12 : 3 = 4, siendo su verificacin: 4 3 = 12

Esta operacin se denomina divisin exacta de nmeros naturales, pero no siempre esposible encontrar un tercer nmero natural que multiplicado por el segundo sea igual al pri-mero.

Divisin entera

La divisin de dos nmeros naturales, como se ha definido en el punto anterior, no esuna ley de composicin interna en el conjunto N.

Para evitar este inconveniente se define una nueva operacin, que s constituye una leyde composicin interna en el conjunto N, denominada divisin entera, para diferenciarla delconcepto anterior tambin llamado divisin exacta.

En la divisin entera, adems de los nmeros naturales dividendo, divisor y cociente,existe otro nmero natural r, llamado resto, que cumple la igualdad:

expresin conocida como relacin fundamental de la divisin entera.

En una divisin entera el cociente entero por defecto de dos nmeros naturales D y d,es el mayor nmero natural que, multiplicado por el divisor, da un resultado menor que eldividendo.

El resto por defecto es la diferencia existente entre el dividendo y el producto resultan-te de multiplicar el divisor por el cociente entero por defecto.

r = D d c

D = d c + r

D : d = c

MATEMTICAS

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Ejemplo: En la divisin entera:

El cociente entero por defecto es 3, ya que es el mayor nmero natural que multiplica-do por el divisor 6, da un producto menor que el dividendo, 20.

En cuanto al resto, tiene como valor 2, ya que: r = 20 (6 3) = 20 18 = 2

1.3 POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL.RACES CUADRADAS EXACTAS

Como hemos visto, la multiplicacin es una suma de sumandos iguales: 7 3 = 7 + 7 + 7,al sumando que se repite se denomina multiplicando y el nmero de veces que se repite ste,multiplicador. De forma general a ambos, multiplicando y multiplicador, se llaman facto-res de la multiplicacin.

De la misma forma que una repeticin de sumandos iguales, podemos considerar el pro-ducto de factores iguales: 7 7 7

Pues bien, la operacin que tiene por objeto hallar el producto de varios factores igua-les, la llamaremos potenciacin o potencia de un nmero.

POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

Potencia es la operacin de multiplicar la base por s misma tantas veces como indicael exponente.

Dados dos nmeros naturales a y n, para indicar que la potencia de la base a y exponenten es igual a P, se expresa de la siguiente forma:

P = an

Potencia es el resultado de multiplicar un nmero por s mismo varias veces. El nmeroque se repite se llama base y el nmero de veces que se repite la base se llama exponente.

20 6

02 3


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Expresin que se lee: Potencia de a elevado a n

Ejemplo: 53 = 5 5 5 = 125

Potencias especiales

Al tratar de la potenciacin de dos nmeros naturales, es necesario tener en cuenta lasconsideraciones siguientes:

a) Toda potencia de base igual a cero, es igual a cero ( excepto 00 ):

04 = 0 0 0 0 = 0

b) Toda potencia de exponente cero, es igual a la unidad ( excepto 00 ):

40 = 1

c) Toda potencia de base la unidad, es igual a la unidad:

14 = 1 1 1 1 = 1

d) Toda potencia de exponente 1, es igual a la base:

41 = 4

e) Las potencias de exponente 2, se denominan cuadrados:

5 al cuadrado = 52 = 5 5 = 25

f) Las potencias de exponente 3, se denominan cubos:

5 al cubo = 53 = 5 5 5 = 125

g) La potencia de base 10, es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidadestiene el exponente:

103 = 1000

La potencia 00 es una indeterminacin cuyo valor se desconoce.

MATEMTICAS

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Operaciones con potencias

Las potencias no se pueden sumar ni restar directamente, para realizar estas opera-ciones hay que hallar primero el resultado de cada una de ellas.

Ejemplo: 53 + 42

Calculamos primero cada una de ellas: 53 = 5 5 5 = 125 y 42 = 4 4 = 16

y ahora efectuamos la suma: 53 + 42 = 125 + 16 = 141

Multiplicacin de potencias

a) El producto de potencias de la misma base, es otra potencia con igual base y cuyoexponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas.

Ejemplo: 53 52 = ( 5 5 5 ) ( 5 5 ) = 5 5 5 5 5 = 55

b) El producto de potencias del mismo exponente, es otra potencia con igual exponen-te y cuya base es el producto de las bases de las potencias dadas.

Ejemplo: 52 42 = (5 5) (4 4) = 5 5 4 4 = (5 4) (5 4) = (5 4)2

Divisin de potencias

a) El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia con igual base y cuyoexponente es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas.

Ejemplo: 63 : 62 = 63-2 = 61 = 6

am : an = am-n

an bn = (a b)n

am an = am+n


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b) El cociente de potencias del mimo exponente, es otra potencia con igual exponente

y cuya base es el cociente de las bases de las potencias dadas.

Ejemplo: 62 : 32 = (6: 3 )2 = 22

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia, es otra potencia con igual base y cuyo exponente es el pro-ducto de los exponentes de las potencias dadas.

Ejemplo: (23)2 = (2 2 2)2 = (2 2 2) (2 2 2) = 2 3 2 = 26

RAZ CUADRADA EXACTA

Hallar la raz de un nmero natural consiste en realizar la operacin inversa de la poten-ciacin, es decir, dada la potencia y el exponente, calcular la base.

La raz es la operacin que hay que realizar para calcular la base de una potencia, cuan-do se conoce la potencia y el exponente.

Para indicar que la raz de ndice n de un radicando a es igual a r, se expresa como:

y se lee: raz ensima del nmero a es igual a r, verificndose que:

Cuando tratamos de una raz en la que el ndice r, es igual a 2, se denomina raz cua-drada del nmero, y el ndice no se escribe.

Raz cuadrada de a, se expresa as: a

a r a r nn= =

a rn

=

(am)n = am n

an : bn = (a : b)n

MATEMTICAS

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Ejemplo: Raz cuadrada de cuatro:

No todos los nmeros naturales tienen raz cuadrada exacta. Para que la raz cuadradade un nmero natural sea exacta, ste tiene que ser cuadrado perfecto, es decir, el resultadoo raz elevada al cuadrado es igual al radicando.

1.4 RELACIN DE DIVISIBILIDAD. NMEROS PRIMOS

Si observamos el casillero de la figura vemos que consta de 18 casillas, y que estas

casillas estn ordenadas en tres filas, con lo que se completarn exactamente 6 columnas, osea:

Nmero de casillas: 3 6 = 18

Nmero de columnas: 18 : 3 = 6

Nmero de filas: 18 : 6 = 3

La multiplicacin 3 6 = 18, tiene asociadas dos divisiones exactas:

18 : 3 = 6 y 18 : 6 = 3

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

4 2 2 42= =

4

Raz cuadrada de un nmero natural es otro nmero que elevado al cuadrado,nos d el nmero inicial.


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Mltiplos de un nmero

El nmero 18 es mltiplo de 3 porque es el resultado de multiplicar 3 x 6, de igual forma18 tambin es mltiplo de 6, ya que 6 3 = 18.

Divisores de un nmeroLa divisin de 18 : 3 = 6 es exacta, entonces se dice que 3 es un divisor de 18. Esta divi-

sin exacta tiene asociado un producto 18 = 3 6, por lo que, de forma indistinta, el 3 sedenomina divisor o factor de 18.

Para calcular todos los divisores de 18 se divide por 1, 2, 3, 4, ..., cuando la divisin esexacta, tenemos un divisor del nmero.

Los divisores 6 y 3 ya se haban encontrado, y a partir de aqu se repiten los divisores,luego los divisores de 18 son los naturales 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Un nmero es divisor o factor de otro cuando la divisin del segundo por el pri-mero es exacta.

Un nmero es mltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundopor cualquier nmero natural. Los mltiplos de un nmero se hallan multiplicndolopor los nmeros naturales.

Divisin exacta Multiplicacin Divisores de 18

18 : 1 = 18 18 1 = 18 1 y 18 son divisores

18 : 2 = 9 9 2 = 18 2 y 9 son divisores

18 : 3 = 6 6 3 = 18 3 y 6 son divisores

18 : 4 = No divisible 4 no es divisor

18 : 5 = No divisible 5 no es divisor

18 : 6 = 3 3 6 = 18 6 y 3 son divisores

MATEMTICAS

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En consecuencia, segn lo estudiado sobre los mltiplos y divisores de un nmero natu-ral, vemos que:

Ejemplo:

El nmero 42 es divisible por 6, ya que: 42 : 6 = 7

El nmero 2 es divisor de 42 porque: 42 = 2 21

Criterios de Divisibilidad

Es importante, en ocasiones, averiguar si un nmero es mltiplo de otro sin tener queefectuar la divisin correspondiente. Para algunos nmeros esto se consigue usando los cri-terios de divisibilidad.

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que permiten conocer, sin efectuar la divi-sin, si un nmero es divisible por otro.

Un nmero naturalD es divisible por otro d, cuando la divisin del primero por

el segundo es exacta. Tambin se puede decir que d es divisor deD.

Para calcular todos los divisores de un nmero hay que obtener los productos dedos factores del nmero empezando por el 1. Se termina esta operacin cuando serepiten los factores.


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Las reglas bsicas se reflejan en la siguiente tabla:

DivisibilidadRegla Ejemplo

por:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Un nmero es divisible por 2

cuando termina en 0 cifra par

Un nmero es divisible por 3 si

la suma de sus cifras es divisible

por 3


lo es el nmero formado por sus

2 ltimas cifras


cuando termina en 0 en 5


cuando lo es por 2 y por 3

Un nmero es divisible por 7cuando al suprimir la ltima cifra

y restar del nmero que queda el

doble de la cifra suprimida, el

resultado es mltiplo de 7


lo son sus tres ltimas cifras


cuando lo es la suma de sus

cifras


cuando termina en 0


cuando lo es la diferencia de la

suma de las cifras que ocupan

lugar par y la suma de las que

ocupan lugar impar

114 es divisible por 2, ya que 4 es par

321 no es divisible por 2

7914 es divisible por 3 porque:

7 + 9 + 1 + 4 = 21, y 21 lo es

1324 es divisible por 4 por serlo 24


490 es divisible por 5, termina en 0


276 es divisible por 6, ltima cifra

par y la suma de sus cifras lo es por 3

476 es divisible por 7 ya que:472 6 = 35, que es mltiplo de 7

23720 es divisible por 8 ya que 720

es mltiplo de 8

7974 es divisible por 9, suma = 27

7914 no es divisible por 9, suma = 21

2140 es divisible por 10

48653 es divisible por 11 ya que:

5 + 8 menos 3 + 6 + 4, igual 0

(0 es divisible por cualquier nmero)

MATEMTICAS

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NMEROS PRIMOS

Existen nmeros que solamente tienen como divisores la unidad y el propio nmero,estos nmeros se denominan primos.

Ejemplo: 23 solamente es divisible por 23 y por 1

Para averiguar si un nmero es primo, se va dividiendo ordenadamente por todos losnmeros primos menores que l, si no se ha encontrado ninguna divisin exacta, y elcociente de la divisin es menor o igual al divisor, el nmero es primo.

Ejemplo: Comprobar si el nmero 179 es primo:

Si le aplicamos los criterios de divisibilidad por los nmeros primos 2, 3, 5, 7 y 11,vemos que no hay ninguna divisin exacta.

Continuamos dividindolo por los nmeros primos menores que l:

179 13 no es exacta, 179 17 tampoco es exacta, pero el cociente entero es 10,que ya es menor que 17, por lo que podemos afirmar que el nmero 179 es primo.

El nmero 179 es primo, es decir, solamente tiene como divisores 1 y 179.

Descomposicin de un nmero en factores primos

Como hemos visto, un nmero primo tiene dos divisores o factores solamente, pero un

nmero que no sea primo tiene ms de dos. Los nmeros de este tipo se denominan nme-ros compuestos, y se pueden descomponer en un producto de otros nmeros.

Descomponer un nmero en factores primos consiste en expresarlo en forma deproducto cuyos factores sean primos.

Nmero primo es aquel que es divisible solamente por si mismo y por la unidad,

es decir, tiene solo dos divisores.


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Para descomponer un nmero en factores primos, se divide entre el menor de sus divi-

sores primos, con el cociente obtenido se contina dividiendo de igual forma, y as sucesi-vamente hasta que el cociente sea igual a al unidad. Los divisores empleados son los facto-res primos del nmero.

Ejemplo: Descomponer en factores primos el nmero 3150

3150 : 2 = 1575

1575 : 3 = 525

525 : 3 = 175

175 : 5 = 35

35 : 5 = 7

7 : 7 = 1

Los sucesivos divisores hallados: 7, 5, 5, 3, 3 y 2, son los factores primos. Luego elnmero 3150 se puede expresar en forma del siguiente producto:

3150 = 2 3 3 5 5 7, que podemos expresar como: 3150 = 2 32 52 7

1.5. MXIMO COMN DIVISOR (m.c.d.) Y MNIMO COMNMLTIPLO (m.c.m.) DE DOS NMEROS NATURALES

Si tenemos dos nmeros descompuestos en sus factores primos, para que uno de ellossea divisible por el otro, tiene que cumplirse que todos los factores del segundo nmero for-men parte de la descomposicin factorial del otro.

Ejemplo: Consideremos los nmeros 3150 y 150, su descomposicin es:

3150 = 2 32 52 7 y 150 = 2 3 52

El nmero 3150 es divisible por el nmero 150, ya que todos los factores del segundoestn comprendidos en el primero. Luego la divisin es exacta: 3150 : 150 = 21.

MATEMTICAS

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Mximo comn divisor

Cuando no todos los divisores del segundo nmero estn comprendidos en el primero,habr una parte de esos factores que son comunes a ambos. El nmero formado por estosfactores comunes ser divisor de ambos nmeros.

De la misma forma se puede hallar el divisor comn de varios nmeros.

Ejemplo: Calcular el mximo comn divisor ( m. c. d.) de los nmeros 30 y 36.

Descomponemos los nmeros en sus factores primos:

30 = 2 3 5

36 = 2 2 3 3

A continuacin, escribimos cules son los divisores de los nmeros:

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Los nmeros 1, 2, 3 y 6, son divisores comunes de ambos, siendo el mayor de todosellos el nmero 6, luego el mximo comn divisor de los dos nmeros.

Podemos expresarlo as: m. c. d. (30, 36) = 6

Otra forma ms sencilla de calcular el mximo comn divisor de varios nmeros, sehace realizando los siguientes pasos:

Se descomponen los nmeros en factores primos

El mximo comn divisor es el nmero igual al producto de los factores primoscomunes a todos los nmeros, elevados al menor exponente.

El mximo comn divisor de dos o ms nmeros es el mayor de todos sus diviso-

res comunes. Se expresa como m.c.d de los nmeros.


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Ejemplo: Calcular el Mximo Comn Divisor de 360, 1350 y 1575.

Descomponemos cada nmero en sus factores primos:

360 = 23 32 5 1350 = 33 52 2 1575 = 33 52 7

Los factores comunes a los tres nmeros con el menor exponente son: 3 2 y 5, luego:

M. c. d. (360, 1350, 1575) = 32 5 = 45

Mnimo comn mltiplo

Un mltiplo comn a otros varios, es el nmero resultado de la multiplicacin de losnmeros dados. Pero este mltiplo comn no es el menor de todos los mltiplos posibles.

Para calcular el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros:

Se descomponen estos en sus factores primos

El m.c.m. es el producto de los factores comunes y no comunes, afectados del mayorexponente, con el que aparezcan en sus descomposiciones.

Ejemplo: Calcular el m. c. m. de los nmeros naturales 108, 40 y 90.

En primer lugar los descomponemos en sus factores primos:

108 = 22 33 40 = 23 5 90 = 2 32 5

Vemos que el factor comn a los tres nmeros es el 2 y los no comunes el 3 y el 5.

Si tomamos el factor comn a los tres nmeros con su mayor exponente, en este caso el23 y los factores no comunes a los tres con el mayor exponente, 33 y 5, y los multiplica-mos, obtendremos el m.c.m, que lo expresamos as:

M.c.m. (108, 90, 40 ) = 23 33 5 = 1080

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros, es el menor nmero, excluido

el cero, que es mltiplo de todos ellos. Se expresa como m.c.m. de los nmeros.

MATEMTICAS

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2. EL NMERO ENTERO2.1 CONCEPTO DE NMERO ENTERO.

REPRESENTACIN Y ORDENACIN

Hemos visto que en los nmeros naturales la operacin de restarlos no siempre era posi-ble, esto sucede cuando el sustraendo es menor que el minuendo.

Se puede efectuar la operacin 5 2 = 3, resultado existente en el conjunto N, de losnmeros naturales. Pero, por el contrario, la operacin 2 5 no puede efectuarse en el con-junto N, ya que no existe ningn nmero natural que sumado al 5 sea igual a 2.

Para solucionar este problema, es necesario ampliar el conjunto de nmeros, de formaque, dados dos nmeros a y b, exista siempre un tercer nmero que sumado al segundo seaigual al primero.

EL NMERO ENTERO

La ampliacin del conjunto de los nmeros naturales para que exista siempre la opera-cin de sustraccin, es el conjunto de los nmeros enteros.

El conjunto de los nmeros enteros, representado por Z, est formado por los siguientesconjuntos numricos:

Nmero entero positivo: Es un nmero natural no nulo precedido por el signo ms, serepresenta con la notacin Z+:

Z+ = {+1, +2, +3, +4, 5, +6, +7, +8, ...}


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Nmero entero negativo: Es un nmero natural no nulo precedido por el signo ms, se

representa con la notacin Z- :

Z- = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Nmero entero cero: Es un nmero natural 0.

Luego el conjunto de los nmeros enteros Z es la unin de los conjuntos Z+, Z- y el 0,y su expresin es:

Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}

Normalmente, siempre que no pueda existir error de interpretacin, se prescinde delsigno en los nmeros enteros positivos.

Valor absoluto de un nmero entero

Si en el nmero entero se prescinde de su signo, resulta un nmero natural. Este nme-ro es el valor absoluto del nmero entero dado.

Ejemplo: Dados los nmeros enteros +3 y 7

Valor absoluto de + 3 = 3, se representa por: |+3| = 3

Valor absoluto de +7 = 7, se representa por: |+7| = 7

REPRESENTACIN Y ORDENACIN DE LOS NMEROS ENTEROS

La representacin grfica de los nmeros enteros se puede realizar por medio de lospuntos de una recta.

Para, ello basta con tomar una recta horizontal y sobre ella sealamos un punto cual-quiera como origen, al que asignamos el nmero cero (0), y dividirla en segmentos igualeshacia la derecha y hacia la izquierda del cero.

Valor absoluto de un nmero entero es el nmero natural que resulta al prescin-dir de su signo.

MATEMTICAS

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A partir del 0 y hacia la derecha sealamos los sucesivos nmeros enteros positivos. A

partir del cero y hacia la izquierda sealamos los sucesivos nmeros enteros negativos.

Como puede observarse en la figura, en el ordenamiento de los nmeros enteros, sesiguen los siguientes criterios:

Todo nmero positivo es siempre mayor que cero.

Todo nmero positivo es mayor que cualquier nmero negativo.

Todo nmero negativo es siempre menor que cero.

De dos nmeros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

De dos nmeros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Nmeros enteros opuestos

Si nos fijamos en la recta de representacin de los nmeros enteros, vemos, por ejem-plo que el +4 y 4 estn situados en una posicin simtrica respecto del cero, es decir, estna igual distancia. Adems, su valor absoluto es igual, pero su signo es distinto, estos nme-ros se llaman opuestos.

Por consiguiente, para hallar el opuesto a un nmero entero cualquiera, basta con cam-biarlo de signo.

Ejemplo: Dados los nmeros enteros +2, 27 y +1456, sus respectivos opuestos son:2, +27 y 1456

Nmeros enteros opuestos son aquellos que tienen el mismo valor absoluto y dis-

tinto signo.

5 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5


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2.2 OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS. PROPIEDADES

A) SUMA DE NMEROS ENTEROS

La suma de dos nmeros enteros, denominados sumandos, es hallar un tercer nmeroentero, mediante la aplicacin de las siguientes reglas:

Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos. El resultadoes otro nmero entero de igual signo que los sumandos.

Ejemplos: (+14) + (+4) = +18

(3) + (5) = 8 Si los sumandos tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se

le pone el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos: (4) + (+14) = +10

(+3) + (5) = 2

Si uno de los sumandos es cero, el resultado es igual al otro sumando.

Ejemplos: (+4) + 0 = +4

0 + (5) = 5

PROPIEDADES DE LA SUMA

La suma de nmeros enteros tiene las siguientes propiedades:

Asociativa: Cuando realizamos la suma de tres nmeros podemos efectuarla de dosmaneras distintas segn el orden en que empleemos los sumandos, (lo cual indicaremosmediante corchetes), pues bien, la forma en que se asocian dos o ms sumandos, no varael resultado final:

a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplo: (+3) + [(+4) + (6)] = +1

[(+3) + (+4)] + (6) = +1

MATEMTICAS

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Conmutativa: Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no vara:

a + b + c = b + a + c

Ejemplo: 4 + (8) + 6 = +2, igual que 6 + 4 + (8) = +2

Elemento neutro: Al sumar 0 a cualquier nmero entero obtendremos como resultado elmismo nmero. El cero es, pues, el elemento neutro.

Ejemplo: 25 + 0 = 25

Elemento simtrico: El elemento simtrico de un entero es su opuesto. Este elemento es

un nmero entero que sumado al nmero dado, da como resultado el elemento neutro (elcero)

a + (a) = (a) + a = 0

Ejemplo: Simtrico del 25 es el +25, si los sumamos:

25 + (+25) = 0

B) LA RESTA DE NMEROS ENTEROS

La operacin de restar dos nmeros enteros dados, denominados minuendo y sustraen-do, consiste en hallar un tercer nmero entero, denominado diferencia, que sumada al sus-traendo nos d el minuendo.

PROPIEDADES DE LA RESTA

La resta sustraccin no tiene las propiedades asociativa ni conmutativa.

Existe como en la suma el elemento neutro y el elemento simtrico.

a b = a + (b) = d

Para restar dos nmeros enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo


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C) SUMAS Y RESTAS ENCADENADAS

Las expresiones con varios nmeros enteros ligados por los signos de suma y resta, sedenominan polinomios aritmticos. Cada uno de los nmeros que lo componen acompaa-dos de su signo correspondiente, se denomina trmino del polinomio.

Aplicando las reglas vistas en la suma y en la resta de nmeros enteros, un polinomioaritmtico puede escribirse prescindiendo de los parntesis, como sigue:

Si un parntesis va precedido del signo ms, se escribe el nmero que est en el inte-rior del mismo con el mismo signo.

Si un parntesis va precedido del signo menos, se escribe el nmero opuesto al que esten el interior del mismo, o sea, un nmero de igual valor absoluto y signo contrario.

Ejemplo: (+5) + (6) (+2) + (+15) + (22) (7)

Se trata de un polinomio con 6 trminos, que puede expresarse como:

+5 6 2 +15 22 + 7

Ejemplo: (+5) + (6) (+2) + (+15) + (22) (7) = 5 6 2 + 15 22 + 7 =

= (5 + 15 + 7) (6 + 2 + 22) = 27 30 = 3

D) PRODUCTO DE NMEROS ENTEROS

La multiplicacin de dos nmeros enteros, llamados factores, es la operacin mediantela cual se hace corresponder un tercer nmero, denominado producto, que resulta de apli-car las siguientes reglas:

Si los dos factores tienen el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y alresultado se le pone el signo positivo.

Ejemplos: (+ 5) (+ 6) = + 30

( 5) ( 6) = + 30

Para el clculo de un polinomio aritmtico, se suman los valores absolutos detodos los trminos positivos, luego el de los negativos, se restan los resultados obte-nidos y se le pone el signo de la suma que tenga mayor valor absoluto.

MATEMTICAS

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Si los dos factores tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y al

resultado se le pone el signo negativo.

Ejemplos: (+ 5) ( 6) = 30

( 3) (+ 2) = 6

Si uno de los factores es cero, el resultado es igual a cero.

Ejemplos: (+5) 0 = 0

0 ( 6) = 0

De acuerdo con las reglas expuestas, se extrae la siguiente regla operativa denominadaregla de los signos.

Por consiguiente:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

El producto de los nmeros enteros tiene las siguientes propiedades:

Asociativa: La operacin del producto de tres factores cumple que el producto de los dosprimeros multiplicado por el tercero, es igual al primero multiplicado por el producto de losotros dos.

a ( b c) = (a b) c

Ejemplo: (3) ((5) 8)) = ((3) (5)) 8 = 120

El producto de dos nmeros enteros es otro nmero entero, cuyo valor absoluto es

el producto de los valores absolutos, y cuyo signo es el que resulta de la aplicacin de

la regla de los signos.

+ + = + + =

+ = = +


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Conmutativa: El orden de los factores no vara el producto:

a b c = b c a

Ejemplo: 6 (9) = (9) 6 = 54

Elemento neutro: El producto dispone del elemento neutro que es el uno, que multipli-cado por un nmero entero da como resultado el mismo nmero.

a 1 = a

Ejemplo: (5) 1 = 5

Distributiva: En el producto de nmeros enteros se cumple:

a (b + c) = a b + a c

Ejemplo: 5 (6 + 7) = (5 6) + (5 7)

E) DIVISIN DE LOS NMEROS NATURALES

Divisin exacta de dos nmeros enteros, llamados dividendo y divisor, es la operacin

que tiene por objeto hallar un tercer nmero entero, denominado cociente, tal que el pro-ducto del cociente por el divisor sea igual al dividendo.

La regla de los signos en la divisin de nmeros enteros cumple:

Ejemplos: (+12) : (+3) = +4

(+10) : (2) = 5

(15) : (+5) = 3

(15) : (3) = +5

+ : + = + : + = + : = : = +

Para dividir dos nmeros enteros, se dividen sus valores absolutos y al cociente

obtenido se le pone el signo que resulte de la aplicacin de la regla de los signos.

MATEMTICAS

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Hay que tener en cuenta que la divisin, entre los nmeros enteros, algunas veces no es

posible, porque no siempre se puede obtener un tercer nmero entero cuyo producto por elsegundo sea igual al primero.

2.3 JERARQUA DE LAS OPERACIONES. USO DEL PARNTESIS

A veces es necesario realizar un conjunto de operaciones en las que aparecen sumas, res-tas, productos, divisiones e incluso potencias, separadas en algunos casos por parntesis,

corchetes y llaves. Esto es lo que denominamos operaciones combinadas.

Operaciones combinadas

Si no aparecen parntesis, corchetes o llaves en la operacin, las operaciones se rea-lizan por el siguiente orden:

1 Se realizan las potencias

2 Luego las multiplicaciones y divisiones

3 Por ltimo, se realizan las sumas y restas

Ejemplo:

32 3 + 23 : 2 52 14 = 9 3 + 8 : 2 25 1 = 9 3 + 4 25 = 13 28 = 15

Si aparecen parntesis, corchetes o llaves en la operacin, se realizan inicialmente lasoperaciones contenidas en ellos, respectando el siguiente orden:

1 Se realizan las operaciones dentro de los parntesis2 Luego los corchetes

3 Por ltimo, se realizan las llaves

4 Se suprimen estos signos y se procede como en el apartado anterior


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Ejemplo:

32 [(4 + 23) : 2 62 : 9] + (22 5 + 3)2 {3 [4 5 : (5 4)] 2}=

32 [(12 ): 2 62: 9] + (2)2 {3 [45: (1)] 2} =

32 [ 2 ] + (2)2 {3 [1] 2} = 32 [ 2] + (2)2 {5} = 32 2 + 22 5 =

9 2 + 4 5 = 13 7 = 6

Necesidad del uso de los parntesis

El uso de los parntesis, corchetes y llaves, nos permiten, por tanto, establecer un orden

en la realizacin de las operaciones bsicas contenidas en una operacin combinada, que sinsu uso no ser posible expresar.

Veamos con un ejemplo el resultado totalmente distinto que se obtiene aplicando lasmismas reglas bsicas para las operaciones, utilizando o no los parntesis:

Ejemplo:

Dada la operacin: 32 {3 [4 5 : (5 4)] 2}, vamos a ver como vara en funcinde la existencia o situacin de los parntesis y corchetes:

a) La operacin sin la existencia de los separadores (parntesis, corchetes y llaves):

32 3 4 5 : 5 4 2, siguiendo el orden de las operaciones bsicas, (potencias,productos y divisiones, y finalmente sumas y resta), tenemos:

32 3 4 5 : 5 4 2 = 9 3 4 1 8 = 9 16 = 7

b) La operacin utilizando los separadores (parntesis, corchetes y llaves):

32 {3 [4 5 : (5 4)] 2}, siguiendo el orden establecido, tenemos:

32 {3 [4 5 : (5 4)] 2} = 32 {3 [4 5 : 1] 2} =

32 {3 [ 1] 2}= 32 5 = 9 5 = 4

2.4 POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

Ya hemos visto en la operacin de la potencia en el campo de los nmeros naturales, que,tanto la base como el exponente, eran nmeros naturales. Y decamos que la potencia era elproducto de tantos factores iguales como indicaba el exponente, teniendo como expresin:

P = an

MATEMTICAS

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Pues bien, en esta definicin de potencia, no es absolutamente necesario que la base y

el exponente, sean nmeros naturales, pueden ser enteros o de cualquier clase.

En este apartado, vamos a estudiar las potencias en que la base es un nmero entero yel exponente un nmero natural.

POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

Cuando la base de la potencia es un nmero entero, sta puede ser positiva o negativa.

En uno u otro caso la potencia se obtiene de la misma forma: multiplicando la base tantasveces como indique el exponente.

Ejemplos:

(+ 3)4 = (+ 3) (+ 3) (+ 3) (+ 3) = + 81

( 2)5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32

( 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = + 16

Como puede observarse, se dan tres casos distintos:

1) La base es positiva:

Ejemplos: (+ 5)4 = + 625; (+ 5)5 = + 3 125

2) La base es negativa y el exponente par:

Ejemplo: ( 5)4 = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = + 625

3) La base es negativa y el exponente es impar:

Ejemplo: ( 5)5 = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = 3 125

Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa

Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva

Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva


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Potencias especiales

Las potencias especiales que se dan en los nmeros enteros, son las mismas que se hanvisto en los nmeros naturales, recordemos que:

a) Las potencias con exponente unidad, son iguales a la base:

( 5)1 = 5; (+ 7)1 = + 7;

b) Las potencias con exponente 0, valen siempre 1 (excepto 00):

( 5)0 = + 1; (+ 7)0 = + 1;

c) Las potencias cuya base es la unidad, son iguales a 1 sea cual sea el exponente:

(+ 1)5 = + 1; (+ 1)44 = + 1;

d) Las potencias cuya base es 1, valen 1 si el exponente es par; y son iguales a 1, siel exponente es impar:

( 1)6 = + 1; ( 1)11 = 1;

OPERACIONES CON POTENCIAS

A) SUMA Y RESTA DE POTENCIAS

Para sumar o restar potencias, tengan o no la misma base, hay que calcular las poten-cias respectivas, y luego realizar la suma o resta de los nmeros enteros obtenidos:

Ejemplos:

(+ 3)4 + ( 2)3 = (+ 81) + ( 8) = + 73

( 3)4 (+ 5)3 = (+ 81) (+ 125) = 44

B) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

El producto de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y de expo-nente la suma de los exponentes de las potencias dadas:

Ejemplos:

( 5)3 ( 5)2 = [( 5) ( 5) ( 5)] [( 5) ( 5)] = ( 5)5 = 3 125

(+ 3)3 (+ 3)4 = (+ 3)7 = + 2 187

MATEMTICAS

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C) DIVISIN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

El cociente de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y de expo-nente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor:

Ejemplos: ( 5)5 : ( 5)2 = ( 5)5-2= ( 5)3 = 125

(+ 3)4 : (+ 3)3 = (+ 3)4-3 = (+ 3)1 = + 3

D) POTENCIA DE OTRA POTENCIA

La potencia de otra potencia, es una nueva potencia con la misma base y con exponen-te igual al producto de los exponentes de las potencias dadas:

Ejemplos: [(+3)3 ]2 = (+3)32 = (+3)6 = +729

[(3)3]3 = (3)3 3 = (3)9 = 19 683

3. EL NMERO RACIONALEn el captulo anterior hemos visto que la operacin de la divisin no siempre era posi-

ble entre los nmeros enteros. Es decir, la divisin no es una ley de composicin interna enel conjunto Z, de los nmeros enteros.

As, en el conjunto Z de los enteros, la divisin 15 : 3, da como resultado 5, que es unnmero entero. Sin embargo, la divisin 15 : 4 no tiene resultado en el conjunto Z, ya queno existe ningn nmero entero que multiplicado por 4 d como resultado 15.

Para que se pueda realizar la operacin de divisin de potencias, el exponente del

dividendo tiene que ser igual o mayor que el del divisor.


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La representacin de un nmero fraccionario se realiza mediante la notacin:

y recibe el nombre de fraccin. En esta fraccin, m y n son los dos nmeros enteros deno-minados trminos de la fraccin. El trmino n, llamado denominador, indica el nmero departes en que se ha dividido la unidad; y el m, que se denomina numerador indica el nme-ro de unidades fraccionarias que se han agrupado.

La figura siguiente representa al Planeta Tierra, del cual las tres cuartas partes estn

cubiertas de agua, representadas en azul.

La fraccin que representa esta situacin es: , donde el denominador indica las par-

tes en que hemos dividido el planeta y el numerador, las partes cubiertas de agua.

TIPOS DE FRACCIONES

Atendiendo a diversos criterios de clasificacin, como son la comparacin entre los tr-minos de fraccin, entre ellas, etc., las fracciones se pueden clasificar en:

Fraccin propia

Ejemplos:

Son fracciones propias:1

5 ;

7

20 ;

25

27

Fraccin propia es aquella que tiene el numerador menor que el denominador.

3

4

m

n


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Fraccin impropia

Ejemplos:

Son fracciones impropias:

Un caso particular de estas fracciones, son las que el numerador es mltiplo del deno-minador, lo que supone que la fraccin equivale a un nmero entero, en este caso la frac-

cin se denomina fraccin aparente.Ejemplos:

Son fracciones impropias aparentes:

Fraccin irreducible

Ejemplos:

Son fracciones irreducibles:

Fraccin decimal

Ejemplos:

Son fracciones decimales:

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad.

2510

;47

1000 ;

2100

Fraccin decimal es aquella cuyo denominador es 10 una potencia de 10.

23

;;1320

75

Fraccin irreducible es aquella en la que el numerador y el denominador son pri-

mos entre s, es decir, el m.c.d. del numerador y del denominador es la unidad.

15

5 ;

8

2 ;

42

7

75

;4720

;2727

Fraccin impropia es la que tiene el numerador mayor o igual que el denominador.

MATEMTICAS

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Si dos fracciones son equivalentes, el producto del numerador de la primera por el deno-

minador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numera-dor de la segunda.

Para hallar una fraccin equivalente a una dada, basta con multiplicar o dividir sus dostrminos por un mismo nmero.

Esta caracterstica constituye la propiedad fundamental de las fracciones que dice:

Ejemplos:

Las fracciones: son fracciones equivalentes.

Fraccin mixta

Ejemplos:

Las sumas: , son nmeros mixtos.

Su notacin habitual es:

TRANSFORMACIN DE FRACCIONES

A) COMPARACIN DE FRACCIONES

Las fracciones, por la forma en que estn expresadas, a veces, resulta difcil saber si sonequivalentes o cual es mayor que otra, por lo que existen los siguientes procedimientos paraaveriguarlo:

23

4 ; 5

4

7 ; 3

1

3

234

; 547

; 313

+ + +

Fraccin mixta o nmero mixto es la formada por un nmero entero y una fraccin.

3

5

6

10

15

25

90

150= = =

Si se multiplican o dividen los dos trminos de una fraccin por un mismo nmero,la fraccin no vara.


TAMadrid41


43/352


44/352

si dividimos ambos miembros de esta igualdad por n, resulta:

Ejemplo: Hallar el nmero mixto de la fraccin impropia 21/8

21/8 = 2 + 5/8, luego el nmero mixto es:

Utilizando el procedimiento contrario, podemos transformar un nmero mixto en unafraccin impropia.

C) REDUCCIN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR

Cuando es necesario averiguar, entre varias fracciones, cuales son mayores o menores,nos resultar de utilidad que estas fracciones tengan el mismo denominador, con el fin decomparar exclusivamente sus numeradores.

Reducir varias fracciones a denominador comn consiste en convertirla en otras

equivalentes que tengan el mismo denominador.

8 8 5 21

8 8 8 8+ + =

218

258

=

Para transformar una fraccin impropia en un nmero mixto, se divide el numerador yel denominador. El cociente, ser la parte entera del nmero mixto, y el resto es el nume-rador de la parte fraccionaria, cuyo denominador ser el mismo de la fraccin dada.

luego:,m

nc

r

n,que se puede expresar como :

m

nc

r

n= + =


TAMadrid43


45/352

Para ello, deben seguirse los siguientes pasos:

Se busca el m.c.m. de todos los denominadores, que ser el denominador comn.

Este denominador comn, se divide por cada uno de los denominadores y este cocien-te se multiplica por los numeradores correspondientes.

Ejemplo: Reducir a denominador comn las fracciones:

Hallamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores:

m.c.m. (5, 4, 12, 20) = 60

Este valor se toma como denominador comn.

Ahora hallamos los numeradores de cada fraccin:

Numerador de la primera fraccin = (60 : 5) 3 = 12 3 = 36

Numerador de la segunda fraccin = (60 : 4) 1 = 15 1 = 15

Numerador de la tercera fraccin = (60 : 12) 3 = 5 7 = 35

Numerador de la cuarta fraccin = (60 : 20) 11 = 3 11 = 33

Luego las fracciones dadas reducidas a denominador comn, quedan de la siguiente forma:

D) SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES

Para simplificar una fraccin, basta con dividir su numerador y su denominador por unmismo nmero.

12

18

6

9

2

3

Simplificar una fraccin es obtener otra fraccin equivalente cuyos trminos sean

menores a la dada.

36

60;

15

60;

35

60;

33

60

35

;14

;7

12;

1120

MATEMTICAS

TAMadrid44


46/352

Ejemplos: Simplificar las fracciones:

Normalmente, estas operaciones se efectan directamente sin necesidad de detallar cadauno de los pasos:

E) COMPARACIN DE FRACCIONES

En la comparacin de fracciones es vlido todo lo expuesto en la ordenacin de unnmero entero.

Dadas las fracciones 3/6 y 2/6, grficamente vemos que 3/6 es mayor que 2/6:

Dadas las fracciones 3/8 y 3/5, grficamente vemos que 3/5 es mayor que 3/8:

De dos fracciones que tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor deno-

minador.

De dos fracciones que tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayornumerador.

84210

42105

1435

25

= = =

60

72

6 0 :2

7 2 :2

30

36

3 0 :2

3 6 :2

15

18

15:3

18:3

5

6= = = = = =

60

72 ;

84

210


TAMadrid45


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Ejemplos:

> > > > >

Cuando las fracciones no tienen el mismo denominador, se reducen a denominadorcomn y luego se comparan como en el caso anterior.

Ordenar las fracciones: , de menor a mayor

Estas fracciones reducidas al mismo denominador quedan:

Ordenadas quedarn:

REPRESENTACIN GRAFICA DE LOS NMEROS RACIONALES

La representacin grfica de los nmeros racionales se puede realizar por medio de lospuntos de una recta, de igual forma que con los nmeros enteros.

Como puede observarse en la figura, el ordenamiento de dos nmeros racionales, siguelos mismos criterios que los expuestos para los enteros.

OPERACIONES CON FRACCIONES

A) SUMAY RESTA DE FRACCIONES

1) Si los denominadores son iguales:

La suma o resta de varias fracciones con el mismo denominador, es otra fraccin

con el mismo denominador, cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores

24/5 3/2 1/5 11/3

5 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4

< < < < < < 3560

1560

3360

3660

712

14

1120

35

, o sea :

36

60

15

60

35

60

33

60; ; ;

35

;14

;7

12;

1120

54

14

0 34

74

154

MATEMTICAS

TAMadrid46


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49/352

Para multiplicar un nmero entero por una fraccin, se escribe el nmero entero enforma de fraccin con denominador unidad y se multiplican como dos fracciones.

C) DIVISIN DE FRACCIONES

Ejemplos: Dividir las fracciones:

En la divisin, se puede emplear el concepto de fraccin inversa:

Ejemplo: Dada la fraccin: 3/7

Su inversa ser 7/3, ya que:

Aplicando este concento:

Ejemplo: Calcular la siguiente operacin: 6/ 9: 5/6

Fraccin inversa de 5/6 es 6/5

Multiplicndolas:69

65

3645

45

= =

Para hallar el cociente de dos fracciones, basta con multiplicar la primera por lainversa de la segunda.

3

7

7

31 =

Dos fracciones son inversas cuando su producto es la unidad

56

:34

5 46 3

2018

109

=

= =

5

6;

3

4

3/4

5/6 3/4 = 5/8

MATEMTICAS

TAMadrid48


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D) POTENCIAS DE FRACCIONES

Elevar un nmero racional a una potencia es multiplicarlo por s mismo tantas vecescomo indique el exponente.

Ejemplo:

Producto y divisin de potencias de la misma base

Ejemplos:

Potencias de exponente entero negativo

Ejemplos:4

1

4

2

5

5

2

33

3 3

( ) =( )

=

La potencia con exponente negativo es igual a la unidad dividida por la mismapotencia con exponente positivo. Si se trata de la potencia de un nmero fraccionario,es igual a la potencia del mismo exponente positivo del nmero racional inverso.

3

4

3

4

3

4

34 34 34

2 4 6

2 4 2

=

=

:

Para multiplicar o dividir potencias de la misma base se suman o restan los expo-nentes, respectivamente.

2

3

2

3

32

243

5 5

5

= =

Para elevar una fraccin a una potencia se eleva cada uno de los trminos de la

fraccin a la potencia.


TAMadrid49


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Potencia de un producto de fracciones

Ejemplo:

3.1.2 LOS NMEROS DECIMALES Y OPERACIONES CON LOS DECIMALESLos nmeros decimales son aquellos que nos permiten escribir aproximaciones de frac-

ciones, facilitndonos efectuar las operaciones bsicas (suma, resta, multiplicacin, divi-sin).

Ejemplos:

EXPRESIN DE LOS NMEROS DECIMALES

La fraccin 1/10 indica que la unidad entera se ha dividido en 10 partes iguales. Una deesas partes se llama dcima de la unidad.

La fraccin 1/100 indica que la unidad se ha dividido en 100 partes iguales y una deellas es la centsima de la unidad.

De igual forma se obtendran milsimas, diezmilsimas, etc.

Nmero decimal exacto es toda fraccin decimal escrita en el sistema de numera-cin decimal.

7

10

69

1000

125

100; ;

Se llama nmero decimal o fraccin decimal, a la fraccin que tiene por denomi-

nador la unidad seguida de ceros.

12

35

74

12

35

74

2 2 2 2

=

Potencia de un producto de varios factores es igual al producto de las potencias delos factores.

MATEMTICAS

TAMadrid50


52/352

Notacin de los nmeros decimales

Las cifras decimales se escriben a la derecha de las enteras, separadas por una coma. Enprimer lugar se escriben la dcimas, luego las centsima, etc., teniendo en cuenta que si fal-tase alguna de estas unidades, se pone un cero en su lugar.

Ejemplos: 5/10 = 0,5

324/100 = 3,24

17/1000 = 0,017

625/10 = 62,5Luego, el nmero decimal consta de dos partes: la situada a la izquierda de la coma,

denominada parte entera, y la situada a la derecha de la coma, llamada parte decimal.

Regla prctica:

Lectura de un nmero decimal

La lectura de un nmero decimal se hace teniendo en cuenta no slo el valor de la cifra,sino tambin el lugar que ocupa

Ejemplos: 6/10 = 0,6 se lee: seis dcimas

53/10 = 5,3 se lee: cinco unidades y tres dcimas

967/10000 = 0,0967 se lee: novecientas sesenta y siete diezmilsimas3056/100 = 30,56 se lee: treinta unidades y cincuenta y seis centsimas

OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES

A) SUMA DE NMEROS DECIMALES

Los nmeros decimales se suman como si fuesen nmeros enteros siguiendo este pro-cedimiento:

Para escribir una fraccin decimal en forma de nmero decimal exacto, escribimosel numerador; y separamos con una coma, empezando por la derecha, tantas cifras deci-males como tenga el denominador.


TAMadrid51


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Ejemplo: 725,0353671

+ 0,00143,10613

4439,14213

B) RESTA DE NMEROS DECIMALES

Igual que en la suma, hay que situar las comas debajo de las comas, con lo que cada uni-dad queda debajo de la unidad de su mismo orden.

Ejemplo: 725,035 43,10613

681,92887

C) PRODUCTO DE NMEROS DECIMALES

Ejemplo: 725,03542,13

21,7510572,5035

1450,07029001,40

30545,72455

Los nmeros decimales se multiplican como los naturales, y en el producto se sepa-ran con una coma tantas cifras decimales como tengan el multiplicando y el multiplica-

dor juntos.

Los nmeros decimales se restan como los naturales, situando cada unidad debajode las de su mismo orden, y calculando la diferencia.

Para sumar nmeros decimales, se colocan unos debajo de otros, cuidando de quetodas las comas queden una encima de otra, a continuacin, se suman como si de nme-ros naturales se tratase. En el resultado se sita la coma en la columna de las comas.

MATEMTICAS

TAMadrid52


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D) DIVISIN DE NMEROS DECIMALES

Cuando el divisor es un nmero entero

Cuando el divisor es un nmero decimal

Ejemplo: Dividir 725,035 entre 43,12

Se multiplican por 100 dividendo y divisor

3.2 RECONOCIMIENTO DE LOS NMEROS IRRACIONALES

Los nmeros racionales se representan por fracciones. Adems, una fraccin se puedeescribir en forma de nmero decimal dividiendo el numerador por el denominador. Por lotanto, otra forma de expresar un nmero racional es mediante decimales.

72503,5 4312

29383 16, 8

035115

00619

Si el divisor es un nmero decimal, se multiplica el dividendo y el divisor por la uni-dad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, convirtindose asen un nmero entero, luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: 725,035 43

295 16, 861

0370

0263

0055

12

La divisin entre un nmero decimal y un entero, se realiza como si de nmerosnaturales se tratara, teniendo en cuenta que en el cociente hay que poner la coma al bajarla primera cifra decimal.


TAMadrid53


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Pero los nmeros decimales que se han considerado en el caso de fracciones, son nme-

ros decimales exactos o peridicos. Sin embargo existen nmeros decimales ilimitados, esdecir, con infinitas cifras decimales, como es el caso de raz cuadrada de 2:

Estos nmeros, equivalentes a nmeros decimales ilimitados no peridicos, se denomi-nan nmeros irracionales.

Esta nueva ampliacin de los nmeros racionales con los irracionales, forma el conjun-to de los nmeros reales.

4. LOS NMEROS REALESA medida que el hombre fue desarrollando su estructura social ms compleja, surgi la

necesidad de aprender a contar (rebaos, das, etc.), posteriormente fue la necesidad de medir(terrenos, cosechas, etc.) lo que hizo que surgiesen los nmeros fraccionarios y fue en la pocadel Renacimiento donde aparecieron los nmeros negativos. Finalmente los nmeros irracio-nales surgieron para solventar problemas matemticos que no se podan resolver.

Luego, un nmero es irracional si tiene infinitos decimales significativos (que nosean cero) y que no se repitan peridicamente por grupos de una o ms cifras.

2 1 414213562= ,

MATEMTICAS

TAMadrid54


56/352

El grfico ilustra los tipos de nmeros que se han visto hasta el momento: N, Z, Q y por

ltimo los reales R. Estos conjuntos de nmeros, van surgiendo por ampliacin de losnmeros naturales a medida que se necesita resolver nuevos problemas.

4.1 INICIACIN AL NMERO REAL. LA RECTA REAL

Cuando se procede a calcular la raz ensima de un nmero, si ste no es una potenciade exponente n de un nmero racional, su raz tiene infinitas cifras decimales que no se repi-ten peridicamente, este resultado es el nmero irracional.

Ejemplos: Son nmeros irracionales:

LA RECTA REAL

La representacin grfica de los nmeros reales se puede realizar por medio de los pun-tos de una recta. Si se ha fijado un origen y una unidad y elegimos un punto arbitrario P

comprendido entre 3 y 4, podemos obtener su expresin decimal ms exacta dividiendosucesivamente la unidad en 10, 100, 1000, etc., partes.

2 1 41421356 5 1 70997594 15 1 472356703 7= = =, ... , ... , ...; ;

Numero irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten

peridicamente.

Como se ha mencionado en el punto anterior, el conjunto formado por todos los nme-ros racionales e irracionales recibe el nombre de nmeros reales, que se representa por R.


TAMadrid55


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El punto P, se va acotando a: 3,3 < P < 3,4, el siguiente paso: 3,35 < P < 3,36, y as inde-

finidamente.

Los casos posibles para el valor del punto P son:

Que P coincida con una de las subdivisiones realizadas: Sera un decimal exacto.

Que no coincida y que los decimales se vayan repitiendo: Sera un decimal peridico.

Que no coincida y que no formen perodo los decimales: Se tratara de un irracional.

Como puede observarse, todos los nmeros reales, racionales e irracionales, estn repre-

sentados en la recta, y ordenados con los mismos criterios expuestos para los enteros.

4.2 NOTACIN CIENTFICA. OPERACIONES EN NOTACIN CIENTFICA

Manejar nmeros muy grandes como puede ser: 256 000 000 000 muy pequeos,como el 0,00000086, resulta muy engorroso y poco prctico, es ms conveniente la utiliza-cin de la notacin cientfica.

De esta forma, el nmero queda expresado como el producto de dos partes, la primeraentera o decimal, y la segunda que es una potencia de 10.

Ejemplos: Expresar en notacin cientfica

256 000 000 000 = 2,56 100 000 000 000 = 2,56 1011

0 000000868 6

10000008 6 10 7,

,,= =

N = a, bcd 10n

Nmero Parte Parte Potencia

entera decimal de 10

La notacin cientfica consiste en escribir un nmero mediante el empleo de poten-cias de 10, se emplea para nmeros muy grandes y muy pequeos.

MATEMTICAS

TAMadrid56


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OPERACIONES EN NOTACIN CIENTFICA

En las operaciones con nmeros, expresados en notacin cientfica, hay que tener presen-te que cada nmero est formado por dos factores: uno decimal y otro la potencia de base 10.

Suma y resta de nmeros expresados en notacin cientfica

Ejemplos:

De suma: 3,2 106 + 2,5 104 = 320 104 +2,5 104 = (320 + 2,5) 104 = 322,5 104 = 3,225 106

5,8 105 + 8 107 = (5,8 + 800) 105 = 805,8 105 = 8,058 107

De resta: 3,2 106

- 2,5 104

= 320 104

-2,5 104

= (320 - 2,5) 104

= 317,5 104

= 3,175 106

5,8 105 - 8 107 = (5,8 - 800) 105 = -794,2 105 = 7,942 107

Producto y divisin de nmeros expresados en notacin cientfica

Ejemplos:

De productos: 3,2 106 2,5 104 = (3,2 2,5) 10 (6+4) = 8 1010

3,2 10-6 5,8 1014 = (3,2 5,8) 10(-6+14) = 18,56 108 = 1,856 109

De cocientes: 3,2 106/ 2,5 104 = (3,2 / 2,5) 10 (6-4) = 1,28 102

3,2 10-6/ 5,8 1014 = (3,2 / 5,8) 10(-6-14) = 0,55 10-20 = 5,5 10-21

Para multiplicar o dividir nmeros expresados en notacin cientfica, se operan losfactores enteros o decimales, por una parte, y las potencias de diez , por otra.

Para sumar o restar nmeros expresados en notacin cientfica, primeramente hayque expresarlos con la misma potencia, y luego se suman o restan los enteros o deci-

males y se multiplican por la potencia de diez.


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4.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO Y RADICALES

Ejemplo:

E inversamente, la raz ensima de un nmero elevado a un entero, se puede escribircomo la potencia con exponente fraccionario.

OPERACIONES CON RACES

Raz de una fraccin

Ejemplo:

Racionalizacin de denominadores

Cuando en el denominador de una fraccin existe una raz, muchas veces resulta con-veniente transformar esta fraccin en otra cuyo denominador sea un nmero entero, este

proceso se denomina racionalizacin.

Ejemplo:2

2 32 3

2 3 36

2 3=

=

Para racionalizar una fraccin cuyo denominador es una raz, se multiplican los dostrminos de la fraccin por una raz igual al denominador.

827

827

23

33

3= =

La raz ensima de una fraccin es igual al cociente de las races ensimas del

numerador y del denominador

16 16 16 16 16 4 64

23

23

23

23

3

232 2

5

35

3

2

3

( ) = = = =

=

=

La potencia de un nmero elevado a una fraccin, es igual a la raz de ndice igual

al denominador del nmero elevado al numerador de la fraccin.

MATEMTICAS

TAMadrid58


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Extraccin de la raz cuadrada

En las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin, existe un algoritmo arit-mtico para resolver estas operaciones. Para extraer races nicamente existe algoritmopara las races cuadradas y cbicas.

A continuacin, se explica el algoritmo para hallar la raz cuadrada de un nmero decimal,para ello:

Se separa la parte externa del radicando en grupos de dos cifras a partir de la comahacia la izquierda. La parte decimal tambin se separa en grupos de dos cifras desde

la coma hacia la derecha, aadiendo un cero al final si el nmero de cifras decima-les es impar.

Se calcula mentalmente la raz entera del primer grupo. El cuadrado de la raz se restadel mencionado grupo.

Detrs del resto obtenido, se baja el segundo grupo, separando, del nmero formado,la primera cifra de la derecha, y dividiendo el nmero que resulta entre el doble de laraz anterior. El cociente entero obtenido es la segunda cifra de la raz.

El paso anterior se repite hasta bajar el ltimo grupo de dos cifras que exista hasta la

coma decimal. Antes de empezar las operaciones con la parte decimal, se coloca una coma en la raz

y otra en el resto. A continuacin, se bajan los grupos de cifras decimales, situados ala derecha de la coma, empezando por el primero a partir de la coma. La operacincontina, como si las comas no existieran, hasta finalizar los grupos de cifras deci-males existentes.

Ejemplo: Hallar la raz cuadrada de 72 675,687


TAMadrid59


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RESUMEN

Un nmero natural es un ente abstracto empleado para representar los elementos de unconjunto. Al conjunto de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, ..., se llama conjunto de los nmerosnaturales. Que se representa por N. Cada elemento de este conjunto es un nmero natural.

La resta, divisin y radicacin entre nmeros naturales no siempre es posible.

Un nmero natural es mltiplo de otro cuando resulta de multiplicar este ltimo por otrocualquiera. Un nmero es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

Nmeros primos son los que solamente pueden dividirse por s mismo y por la unidad.

Los criterios de divisibilidad nos permiten saber, si un nmero es mltiplo o no deotro.

Mximo comn divisor (m.c.d.) de dos nmeros es el mayor de sus divisores comunes.

Mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos nmeros es el menor de sus mltiplos comunes.

Nmero entero es el conjunto formado por los nmeros naturales precedidos del signo +,los naturales precedidos del signo y el 0. Este conjunto se representa por Z.

La representacin grfica de los nmeros enteros se realiza sobre una recta dividida enpartes iguales y tomando el 0 como origen. Los enteros positivos estn ordenados hacia laderecha del 0 en forma creciente, y los negativos van decreciendo desde el 0 hacia laizquierda.

Para multiplicar o dividir nmeros enteros, hay que tener en cuenta la regla de los sig-nos, es decir, al multiplicar o dividir dos nmeros de distinto signo, resulta otro nmeronegativo, si los dos son positivos o negativos, obtendremos otro nmero positivo.

El nmero racional es el resultado de ampliar el conjunto de los nmeros enteros conlos nmeros fraccionarios. Una fraccin es el cociente indicado de dos nmeros, el nume-rador y el denominador. El conjunto de los nmeros racionales se representa por R.

Para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador se haya el m.c.m., ya quesi tienen el mismo denominador no hay problema.

El resultado de ampliar los nmeros racionales con los irracionales, forman el conjuntodel nmero real, se representa por R. Los irracionales tienen infinitas cifras decimales.

MATEMTICAS

TAMadrid60


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EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIN

1. En una divisin entera el dividendo es 7379, el cociente 141 y el resto, un tercio del cociente,Cul ser el divisor?

A. 56B. 47C. 151D. 52

2. Indica cuales de las siguientes parejas de nmeros son mltiplos de 6

A. 2331 y 30B. 30 y 2574

C. 24 y 226D. 416 y 212

3. Qu tipo de nmero es = 3, 14159265... ?A. enteroB. decimalC. racionalD. real

4. Cul es de los siguientes nmeros es primo?

A. 721B. 335

C. 197D. 327

5. El valor del m.c.d. y el m.c.m. de los nmeros 252, 378 y 210 es:A. 210 y 378B. 126 y 756C. 42 y 3780D. 210 y 756

6. El resultado de: es igual a:

A. 144/169

B. 197/294C. 216/125D. 73/625

7. Un tren transporta 96 pasajeros en cada vagn y est formado por 6 vagones, al llegar a la pri-mera estacin bajan del primer vagn 18 pasajeros y 12 de cada uno de los otros. En la siguien-te estacin separa los 3 ltimos vagones que toman otra direccin, cuntos pasajeros llegan acada uno de sus destinos?A. 246 y 252B. 246 y 249C. 312 y 210D. 178 y 286

15

47

43

25

659

25

514

+

:


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8. La operacin encadenada [32 (2-1 8 : 2 + 7)]5 {[(3/2 + 13/3) 6/5 (+2) + (8 6)2] :

[4 (5 6)2]2} tiene el siguiente valor:A. 4/3B. 2C. 1/2D. 3/4

9. Tres personas se reparten 6 litros de vino: la primera, se lleva la mitad de todo, ms medio litro;la segunda, la mitad de lo que queda y medio litro ms, Qu cantidad se lleva el tercero?

A. 5/4 litroB. 1 litroC. 3/4 litroD. 1+1/2 litro

10. El resultado en notacin cientfica de: (2,8 10-6 : 7 10-5) 4,1 109 es:

A. 1,64 10-2

B. 1,64 108

C. 1,64 108

D. 17,22 109

MATEMTICAS

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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS


TAMadrid63

1. D

2. B

3. D

4. C

5. C

6. B

7. A

8. B

9. C

10. B


65/352

adrid

CICLOS FORMATIVOS

DE GRADO MEDIO

CICLOS FORMATIVOS

DE GRADO MEDIO

U.D.2Magnitudes

yproporciones

MATEMTICAS


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OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2INTRODUCCIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 EL SISTEMA MTRICO DECIMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Medidas de Longitud. Unidades astronmicas . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Medidas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Medidas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4 Medidas de capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5 Medidas de peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.6 La medida del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.7 La medida de los ngulos. Unidades centesimales y sexagesimales 17

1.2 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 SISTEMA INGLS DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 EL EURO. LA UNIDAD MONETARIA EUROPEA . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. PRECISIN Y APROXIMACIN DE LAS MEDIDAS . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 PRECISIN Y ESTIMACIN EN LAS MEDIDAS . . . . . . . . . . . . . . 292.2 APROXIMACIONES. REDONDEOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 CLCULO DE ERRORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 RACES CUADRADAS APROXIMADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. PROPORCIONALIDAD DE LAS MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1 RAZONES Y PROPORCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 MAGNITUDES PROPORCIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Constante de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 APLICACIN DE LA PROPORCIONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2 Repartos proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.3 Clculo del inters simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.4 Clculo del inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.5 Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

RESUMEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

N D I C E


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Al finalizar el estudio de esta Unidad Didctica el alumno ser capaz de:

Distinguir las unidades de medida del sistema mtrico decimal, as como los

mltiplos y submltiplos para longitudes, reas, volumen y masa.

Operar con las medidas angulares centesimales y sexagesimales, manejar las

unidades de medida del tiempo y las unidades monetarias.

Estimar y efectuar medidas, directas e indirectas, en actividades relaciona-das con la vida cotidiana o en la resolucin de problemas y valorar conve-

nientemente el grado de precisin.

Calcular el error absoluto y relativo cometido en la medicin indirecta de las

magnitudes.

Utilizar las aproximaciones numricas, por defecto y por exceso, eligindo-

las y valorndolas de forma conveniente en la resolucin de problemas,

desde la toma de datos hasta la solucin.

Manejar convenientemente las unidades de medida usuales para resolver

problemas relacionados con la vida cotidiana, eligiendo, a lo largo de todo

el proceso de resolucin del problema las unidades adecuadas.

Usar los procedimientos bsicos de la proporcionalidad numrica para obte-

ner cantidades proporcionales a otras, en un contexto de resolucin de pro-

blemas relacionados con la vida cotidiana.

Resolver los problemas relacionados con la vida cotidiana utilizando las

aplicaciones de la proporcionalidad, como son, repartos proporcionales y

regla de tres directa e inversa.

Calcular el precio que hay que abonar por una compra cuando se practica un

descuento.

Realizar el clculo de los intereses devengados por un capital depositado un

cierto perodo de tiempo a inters compuesto.

Calcular el importe de las letras que debemos pagar para amortizar un prs-

tamo hipotecario concedido por una entidad bancaria para la adquisicin de

una vivienda.

O B J E T I V O S


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Las unidades de medida que conocemos hoy en da, no han existido siempre sinoque antiguamente, cada pas, o incluso cada zona de un mismo pas, empleabandiferentes unidades de medida. Esto ocasionaba con frecuencia que las relacionescomerciales y cientficas se vieran dificultadas por la diversidad existente de unida-des de medida.

Si adems, a esto le sumamos, que los mltiplos y submltiplos de esas unidades demedida no se construan tomando como base el nmero 10, la dificultad de inter-

cambio se complicaba an ms.Todos stos inconvenientes se solucionaran unificando las unidades y sus mltiplosy submltiplos para todos los pases. Esto ocurri en Francia a finales del sigloXVIII, dnde se implant un sistema de medidas que tena como base el nmero 10,a este sistema se le denomin Sistema Mtrico Decimal y poco a poco se fueimplantando en todos los pases civilizados.

El Sistema Mtrico Decimal ha ido evolucionando a lo largo de los aos con los nue-vos descubrimientos cientficos y tcnicos, actualmente se utiliza una versin de stedenominada Sistema Internacional, que se designa mediante las letras SI.

Este sistema cuenta en la actualidad con siete unidades fundamentales de medida demagnitudes, y gran nmero de unidades derivadas. Cada una de estas unidades tienesu smbolo de representacin.

En la definicin de los mltiplos y submltiplos se utiliza como base el nmero 10,exceptuando las unidades de ngulos y de tiempo donde se usa el sistema sexagesimal.

Razn entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas. La igualdad de dosrazones se denomina proporcin. En una proporcin el producto de los extremos esigual al producto de los medios.

Para que dos magnitudes sean proporcionales, tienen que ser magnitudes depen-dientes, es decir, el valor de una magnitud depende del valor de la otra. La propor-cionalidad de las magnitudes puede ser: magnitudes directamente proporcionales einversamente proporcionales.

Las magnitudes directamente proporcionales son aquellas que si se multiplica una deellas por un nmero, la otra tambin tiene que ser multiplicada por el mismo nme-ro; o si se divide a una de ellas por un nmero, la otra tambin debe ser dividida porel mismo nmero.

En las magnitudes proporcionales existen procedimientos de clculo como la reglade tres simple y compuesta, porcentajes, intereses producidos por un capital e inte-reses devengados por prstamos.

I N T R O D U C C I N


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M A PA C O N C E P T UA L

SISTEMAMTRICODECIMAL

UNIDADMONETARIA

Repartos proporcionalesRegla de tres simpleRegla de tres compuestaInters simple y compuestoCapitalizacinAmortizacin

M

AG

N

IT

U

D

E

S

MEDIDAS

APROXIMACIONESY

PRECISIN

PROPORCIONES

SISTEMAINTERNACIONAL

Redondeo

Trucamiento

Error absoluto

Error relativo

LongitudSuperficieVolumenCapacidadPeso

Tiempongulos

ELEURO


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1. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA1.1. EL SISTEMA MTRICO DECIMAL

La observacin de un fenmeno es en general incompleta a menos que d lugar a unainformacin cuantitativa. Para obtener dicha informacin se requiere la medicin de unapropiedad fsica, como es su longitud, su peso, etc.

La medicin es la tcnica por medio de la cual asig-namos un nmero a una propiedad fsica, como resulta-do de una comparacin de dicha propiedad con otrasimilar tomada como patrn, la cual se ha adoptadocomo unidad.

El empleo de distintas unidades se ve claramente enel siguiente ejemplo. Supongamos una habitacin cuyosuelo est cubierto de baldosas, tal como muestra lafigura superior, tomando una baldosa como unidad de

medida, y contando el nmero de baldosas, medimos lasuperficie de la habitacin, mide 40 baldosas. En lafigura inferior, la medida de la misma superficie da unacantidad diferente, 20 baldosas.

La medida de una misma magnitud fsica (una superficie) da lugar a dos cantidades dis-tintas debido a que se han empleado distintas unidades

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