MATRICES

UNIDAD 2. RELACIONES MATRICIALES FUERZA-DESPLAZAMIENTO EN UNA

BARRA

Mgtr. Vicente Albiana Torregrosa

Facultad de Ingeniera / Escuela de Ingeniera Civil / Ingeniera Estructural II

1. Respuesta como slido rgido. Matriz de equilibrio.

2. Vector estado y matriz de transferencia.

3. Relacin de transferencia de una barra cargada.

4. Matriz de flexibilidad.

5. Relacin de rigidez de una barra cargada.

RELACIONES MATRICIALES ESFUERZO-DESPLAZAMIENTO EN

UNA BARRA

Al finalizar el tema, el alumno:

Conocer la expresin matricial convencional de las ecuaciones deequilibrio de una barra.

Determinar la matriz de equilibrio de una barra en cualquier sistema dereferencia.

Identificar las componentes del vector estado al extremo de una barra. Conocer la relacin de transferencia de una barra cargada. Ser capaz de obtener la matriz de transferencia de la barra y el vector que

representa el efecto de las fuerzas exteriores aplicadas en puntos

intermedios.

Conocer las variables que relacionan la matriz de flexibilidad y lascondiciones utilizadas para establecer esta relacin.

Sabr determinar la matriz de flexibilidad de una barra. Ser capaz de calcular la matriz de rigidez de una barra a partir de la de

flexibilidad, a partir de la de transferencia y directamente (resolviendo en

flexibilidad el problema que proporciona cada columna).

OBJETIVOS

Al finalizar el tema, el alumno:

Comprender porqu las fuerzas de empotramiento perfecto se denominanas, y sabr calcularlas resolviendo en flexibilidad el problema y tambin a

partir de la relacin de transferencia.

Determinar los trminos asociados a las fuerzas exteriores en las relacionesde rigidez y transferencia a partir de las correspondientes a una fuerza

puntual, recurriendo al teorema de superposicin.

OBJETIVOS

Definiciones

Las ecuaciones de equilibrio de una barra cargada exclusivamente en

los nudos se puede escribir como:

Donde:

F y son los vectores columna que agrupan las fuerzas queactan en los nudos dorsal y frontal respectivamente.

H es, por definicin, la matriz de equilibrio de la barra.

1. RESPUESTA COMO SLIDO RGIDO. MATRIZ DE EQUILIBRIO

0Hff21

1f

2f

Definiciones

Si la barra responde como un slido rgido se cumple:

Donde:

y son los vectores columna que agrupan los desplazamientos de los

nudos dorsal y frontal, respectivamente el subndice R recuerda que estarelacin slo es vlida si la barra se comporta como un slido rgido.

H es la matriz de equilibrio de la barra.

La relacin existente entre las ecuaciones de equilibrio y las que definen el

movimiento como slido rgido se denomina contragradiencia.


1R

t

2RdHd

1Rd

Rd

2

1R

t

2RdHd 0Hff

21

Ecuaciones de equilibrio del slido rgido 1-2


00

00

00

00

00

00

22211,

22211,

22211,

21

21

21

XYYXZZZ

XZZXYYY

YZZYXXX

ZZZ

YYY

XXX

ffmmM

ffmmM

ffmmM

ffF

ffF

ffF

Barra cualquiera

Ejes cualquiera

Ecuaciones de equilibrio del slido rgido 1-2


00

00

00

00

00

00

22211,

22211,

22211,

21

21

21

XYYXZZZ

XZZXYYY

YZZYXXX

ZZZ

YYY

XXX

ffmmM

ffmmM

ffmmM

ffF

ffF

ffF

0Hff21

0

0

0

0

0

0

1000

0100

0010

000100

000010

000001

2

2

2

2

2

2

1|

1

1

1

1

1

Z

Y

X

Z

Y

X

XY

XZ

YZ

Z

Y

X

Z

Y

X

m

m

m

f

f

f

m

m

m

f

f

f

12

12

12

ZZ

YY

XX

Z

Y

X

Matriz de equilibrio H

Matrices de equilibrio de barra de diferentes tipos de estructuras


1000

0100

0010

000100

000010

000001

XY

XZ

YZ

H

1

010

001

XY

H

10

01

001

X

YH

Barra de estructura

espacial

Barra de prtico plano

Barra de

emparrillado

plano

Relaciones entre los movimientos de los puntos 1 y 2 del mismo slido rgido


Relacin entre los giros infinitesimales-

12

Relacin entre los desplazamientos -infinitesimales-

Relaciones entre los movimientos de los puntos 1 y 2 del mismo slido rgido


kjiuu12 111111 YXXYXZZXZYYZ

1

t

2dHd

Z

Y

X

XY

XZ

YZ

Z

Y

X

w

v

u

w

v

u

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

100000

010000

001000

0100

0010

0001

12

12

12

ZZ

YY

XX

Z

Y

X

Matriz de equilibrio traspuesta t

H

Otra demostracin

Se basa en plantear el equilibrio del slido por trabajos virtuales y tener

en cuenta que, en un slido rgido, la relacin entre los desplazamientos

virtuales de dos puntos es la misma que hay entre los desplazamientos

reales.


1

t

2

21

tt

2

2

t

21

tt

2

dHd

0ddHf

0dfdHf

2121

2

t

21

t

1

Hff0Hff

0dfdf

Definiciones

Definiremos vector estado en el extremo i de la barra el que agrupa los

desplazamientos de este extremo y las fuerzas que actan en l.

Lo representaremos como:

Denominaremos matriz de transferencia de la barra i, y la

representaremos por G, la que relaciona los vectores estado en los

extremos, cuando la barra slo est cargada en los extremos, segn la

expresin:

2. VECTOR ESTADO Y MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1

1

1

f

de

2

2

2

f

de

id

if

12Gee

Composicin del vector estado para diferentes tipos de estructuras

Barra de prtico plano Barra de estructura espacial

Barra de emparrillado plano


i

i

i

f

de

z

v

u

id

zi

Yi

Xi

M

f

f

if

Y

X

w

i

d

Yi

Xi

Zi

M

M

f

if

Z

Y

X

w

v

u

i

d

Zi

Yi

Xi

Zi

Yi

Xi

M

M

M

f

f

f

if

Matriz de transferencia

La relacin de transferencia de una barra solicitada exclusivamente en

los extremos se puede desarrollar como

Comparando la segunda ecuacin matricial con la ecuacin de equilibrio

Resulta evidente que.

Donde es una matriz de ceros de la dimensin adecuada.


1

1

fffd

dfdd

2

2

f

d

GG

GG

f

d

1

1

221fHf0Hff

Gfd

1

f fHG


El cualquier viga ocurre que:

(Notad que es consecuencia de la

contragradiencia justificada anteriormente). Si

las fuerzas fueran nulas no habra ningn

esfuerzo ni ninguna deformacin y, por tanto, la

relacin de movimientos de los extremos tendra

que ser la de un slido rgido.

Es una matriz propia de cada tipo de viga, que

se puede determinar a partir de los teoremas de

Morh, las fuerzas de Navier-Bresse o las

frmulas de clculo de giros de torsin.


t

ddHG

dfG



ZZ

YY

YY

ZZ

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

GJ

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

00002

0

002

00

00000

02

06

00

2000

60

00000

2

2

23

23

dfG

Barra de estructura

espacial

Eje X = Directriz

Ejes Y y Z =

principales de

inercia de la

seccin transversal



ZZ

ZZ

df

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

G

20

260

00

2

23

YY

YY

df

EI

L

EI

L

GJ

L

EI

L

EI

L

G

02

00

20

6

2

23


Barra de emparrillado plano

En el punto anterior se ha establecido la relacin entre los vectores

estado en los extremos de la barra solicitada slo en estos puntos

mediante la expresin:

Donde G es la matriz de transferencia de la barra.

En el presente se mostrar que esta relacin, cuando acta un sistema

de fuerzas en puntos interiores de la barra, se puede escribir como:

Donde G sigue siendo la matriz de transferencia de la barra y

Q es un vector que depende de las caractersticas de la barra y de las

fuerzas exteriores, que no recibe ningn nombre especfico.

Tambin se mostrar como se calcula Q.

3. RELACIN DE TRANFERENCIA DE UNA BARRA CARGADA

12Gee

QGee12

Determinacin del vector Q

Para poder justificar la posibilidad de escribir la relacin de transferencia de la

forma indicada y mostrar la forma de determinar el vector Q se presentar el

clculo de ste en un caso particular: el de la barra de prtico plano sometida a

una fuerza puntual en un punto interior.

Para hacerlo, se proceder como en el apartado anterior, es decir:

Estableciendo las condiciones de equilibrio se determinar la segunda filamatricial.

Calculando los desplazamientos en el extremo frontal a partir de losmovimientos del dorsal se obtendr la primera fila matricial.



Condiciones de equilibrio


Inversa de la matriz de equilibrio de una barra

recta de prtico plano.


Clculo de los desplazamientos



Hasta ahora hemos obtenido

Que se puede escribir como:

Con lo que queda demostrado que la estructura de la relacin de transferencia

de la barra cargada es la indicada al inicio y que el vector Q se determina

fcilmente a partir de los teoremas de Mohr, frmulas de Navier-Bresse, frmulas

de la torsin, etc.

Esta conclusin sigue siendo vlida para otros tipos de barras y de cargas.



Procedimiento con otros tipos de carga

Fuerza puntual horizontal o momento puntual Como en el caso anterior.

Sistema de fuerzas (horizontales o verticales) y de momentos puntuales Por superposicin.

Fuerza repartida horizontal o vertical, o momento repartido Por superposicin a partir del resultado correspondiente a la fuerza

puntual correspondiente.

En este caso, para sumar los efectos de infinitas fuerzas (o

momentos) puntuales infinitesimales se recurre a una integral.


Definicin

Se llama matriz de flexibilidad de una

barra la que proporciona los

desplazamientos del nudo frontal de sta,

considerada empotrada por el nudo dorsal,

a partir de las fuerzas que actan en el

nudo frontal.

La matriz de flexibilidad se representa por

S.

Los desplazamientos del nudo frontal se

han representado como para recordar

que se han obtenido considerando la viga

empotrada por en nudo dorsal.

4. MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

2Sf

Determinacin de la matriz de flexibilidad

La obtencin es inmediata. Slo hace falta recurrir a los teoremas deMohr, frmulas de Navier-Bresse o las frmulas de la torsin.

Se mostrar con un ejemplo de una barra de prtico plano (recta y deseccin constante).


Matrices de flexibilidad



EI

L

EI

LEI

L

EI

LEA

L

S

20

230

00

2

23

Barra de estructura espacial

ZZ

YY

YY

ZZ

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

GJ

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

S

0002

0

002

00

00000

02

03

00

2000

30

00000

2

2

23

23

Definiciones

Se denomina relacin de rigidez de una barra cargada la que

proporciona las fuerzas que actan en los extremos de la barra en

funcin de los desplazamientos de estos puntos y las fuerzas aplicadas

en puntos interiores de la viga. Se escribe como

En esta relacin:

K es la matriz de rigidez de la viga, y slo depende de lascaractersticas geomtricas y mecnicas de la misma.

son las fuerzas de empotramiento perfecto, que dependen de laviga y de las cargas exteriores.

5. RELACIN DE RIGIDEZ DE UNA BARRA CARGADA

0

0

2

0

1

2

1

2221

1211

2

1fKdf

f

f

d

d

kk

kk

f

f

0f

Relacin entre la matriz de flexibilidad y la de rigidez

Estado I

Estado II

Superposicin de los estados I y II

Donde:


1R

t

2R dHd

0Hff

Sf

21

2

dd

dd

2R2

1R1

21

t

21R

t

2R2 SfdHSfdHdd

Movimiento

de slido

rgido

Deformacin

pura


Aislando

Y sustituyendo el resultado en las

ecuaciones de equilibrio

Se llega finalmente a:


21

t

21R

t

2R2 SfdHSfdHdd

Movimiento

de slido

rgido

Deformacin

pura

2f

1

t1

2

1

1

t

2

1

2 dHSdSdHdSf

1

t1

2

1

21 dHHSdHSHff

2

1

1t1

1t1

2

1

d

d

SHS

HSHHS

f

f


Asimilando trminos, la relacin entre la

matriz de rigidez y la de flexibilidad

queda de la forma:


Movimiento

de slido

rgido

Deformacin

pura

1t1

1t1

SHS

HSHHS

2221

1211

KK

KK

Inclusin del efecto de las fuerzas exteriores (SUPERPOSICIN)


Relacin anterior

(Barra descargada)

Fuerzas de empotramiento

perfecto

Inclusin del efecto de las fuerzas exteriores

Basndonos en el teorema de superposicin, hemos comprobadocomo afectan las fuerzas que actan sobre puntos interiores de la

viga de las que lo hacen en los extremos.

Esta justificacin explica el nombre de fuerzas de empotramientoperfecto.

Las fuerzas de empotramiento perfecto se pueden determinarfcilmente planteando el problema en flexibilidad. Tambin se puede

recurrir a soluciones tabuladas.

Ms adelante veremos otra forma de determinarlas.


Obtencin de la relacin de rigidez a partir de la transferencia

En un apartado anterior hemos obtenido:

Para determinar la relacin de rigidez buscada slo hace falta aislarf1 de la primera ecuacin, sustituirla en la segunda, reordenar los

resultados:


f

d

1

1

fffd

dfdd

2

2

Q

Q

f

d

GG

GG

f

d

f1ff1fd2

d1df1dd2

QfGdGf

QfGdGd

fd

1

dff f2

1

dff f1dd

1

dff ffd2

fd1dd2

1

dff f1fd2

d

1

df1dd

1

df2

1

dfd1dd2

1

df1

QQGGdGGdGGGGf

QQdGdGGdGf

QGdGGdGQdGdGf


Finalmente, si lo escribimos en forma matricial

Es decir:


fd

1

dfff

d

1

df

2

1

1

dfffdd

1

dffffd

1

dfdd

1

df

2

1

QQGG

QG

d

d

GGGGGG

GGG

f

f

0

2

0

1

2

1

2221

1211

2

1

f

f

d

d

kk

kk

f

f


Identificando trminos tenemos:

Siendo:


0

2

0

1

2

1

2221

1211

2

1

f

f

d

d

kk

kk

f

f

fd

1

df

1

fd

1

dff f

0

2

d

1

df

0

1

1

df

11

dff f22

t1

df

1

dd

1

dff ffd21

1

df12

t1

dfdd

1

df11

QQGHQQGGf

QGf

GHGGK

HGHGGGGK

GK

HGGGK

No slo hemos establecido

otra forma de determinar la

matriz de rigidez, sino

tambin otra forma de

obtener las fuerzas de

empotramiento perfecto.

Obtencin directa de la matriz de rigidez

Si las fuerzas que actan en puntos interiores de la viga son nulas, la relacinde rigidez se reduce a:

Suponemos la viga empotrada en los dos extremos e imponemos undesplazamiento unitario en uno de los grados de libertad. Entonces:

El vector de desplazamientos se reducir a un vector de ceros con unnico elemento igual a 1.

El producto de la matriz de rigidez por este vector ser una columnade esta matriz.

Esta columna tendr que ser igual al vector que agrupa las reaccionesdel problema planteado

Esto proporciona otro medio para determinar la matriz de rigidez.


2

1

2221

1211

2

1

d

d

kk

kk

f

f

Recapitulacin y sntesis

Hemos visto tres formas de determinar la matriz de rigidez: a partir de la deflexibilidad, a partir de la transferencia y directamente resolviendo una series

de problemas en flexibilidad.

Hemos justificado el nombre de fuerzas de empotramiento perfecto yhemos visto la forma de obtenerlas a partir de la relacin de transferencia o

resolviendo un problema en flexibilidad. Tambin es posible recurrir a

soluciones tabuladas.

Se pueden determinar las fuerzas de empotramiento perfectocorrespondientes a un sistema de fuerzas o a una fuerza repartida por

superposicin, a partir de las correspondientes a una fuerza puntual. En el

caso de la carga repartida se tiene que recurrir a una integral para sumar los

efectos de infinitas fuerzas infinitesimales.


APNDICE

Matriz de rigidez de una barra recta de seccin constante (teora Navier-Bernoulli)

Estructura espacial

APNDICE


Prtico plano

APNDICE


Emparrillado plano

APNDICE

Matriz de rigidez de una barra recta de seccin constante (teora Timoshenko)

Estructura espacial

APNDICE


Prtico plano

APNDICE


Emparrillado plano

APNDICE

Fuerzas de empotramiento perfecto de una barra recta de seccin constante

sometida a una carga puntual vertical (teora de Navier-Bernoulli)

APNDICE


sometida a una carga puntual horizontal (teora de Navier-Bernoulli o Timoshenko)

APNDICE


sometida a una carga puntual vertical (teora de Timoshenko)

APNDICE


sometida a un momento puntual (teora de Timoshenko)

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