LISTA DE EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES

1. Escribir explıcitamente las siguientes matrices.

a) A = [aij ]3×2, donde aij = i+ 3j b) A = [aij ]3×3, donde aij = 2i + 3j

c) A = [aij ]3×4, donde aij = max{i, j} d) A = [aij ]4×3, donde aij = 2i − (−1)j

2. Mediante la igualdad de matrices. Hallar las incognitas.

a)

[2x+ y2x− 3y

]=

[4−4

]b)

[x− y 3u+ vx+ y u− 2v

]=

[3 04 1

]c)

[x2 3y2u (w + 1)2

]=

[4 161 9

]d)

[x− 2 01 y + 1

]=

[4 w + 2

1− z 0

]

3. Dadas las siguientes matrices:

i) A =

1 32 50 2

, B =

0 −13 41 1

ii) A =

3 2 4 25 1 0 1−3 0 1 3

, B =

−2 6 −1 80 2 3 −34 −1 8 4

a) Calcular A±B b) Calcular At , Bt , (A±B)t

4. Si

[x yz w

]=

[−x 6−1 2w

]+

[4 x− y

−z − w 3

]. Hallar x+ y + z + w

5. Cosideremos las matrices siguientes:

A =

2 −1 40 1 −11 3 2

B =

3 −1 01 −1 10 1 2

Calcular:

a) A+B , b) 3A− 2B , c) AB , d) BA

6. Si A =

1 2 22 1 22 2 1

. Demuestre que A2 − 4A− 5I = 0

7. Dada la matriz D =

5 8 43 2 57 6 0

, halle una matriz E tal que D + E de la matriz unitaria.

8. Hallar una matriz C tal que A+B − C = 0 donde:

A =

2 446 8810 12

y B =

−6 −42 −128 6

9. Consideremos las siguientes matrices:

A =

1 23 45 6

, B =

2 −13 −20 1

, C =

4 211 0−2 4

Calcular:

a) A+B , b) A−B , c) (A+B) + C , d) (A−B) + C

10. Sı A =

[2 −12 3

], B =

[1 12 4

]. Hallar A2 +B y B2 −A

1

11. Consideremos dos matrices: A =

3 2 −4 0 54 1 3 1 65 0 −1 4 42 3 0 2 1

, B =

2 1 −5 −1 44 1 3 1 64 −1 −2 3 31 2 −2 1 0

.Hallar

a) A+B , b) A−B , c) (A+B) + C

12. Dadas las matrices: A =

[1 −32 5

]y B =

[4 −12 6

]Hallar X en:

(A−B)t +X = 2(Bt +A)

13. Dadas las matrices: A =

1 5 −33 0 6−2 1 2

y B =

1 −4 2−3 1 −53 2 1

Hallar X de la ecuacion:

(A+B +X)t = 2(At −B)

14. Dadas las matrices A , B y C donde:

A =

1 1 22 −1 23 −1 2

, B =

1 1 12 1 13 −1 1

, C =

1 1 12 1 40 0 0

Verifique que AC = BC

15. Dadas las matrices: A , B y C donde:

A =

[−1 0 57 −2 0

], B =

1 7 0−3 −1 03 0 5

, C =

−1 −12 00 4

Verifique que (AB)C = A(BC)

16. Dadas las matrices:

A =

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

, B =

−1 3 51 −3 −5−1 3 5

y C =

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

Demostrar que AB = BA = 0 , AC = A , CA = C

17. Dadas las matrices:

A =

1 1 −12 0 33 −1 2

, B =

1 30 2−1 4

y C =

[1 2 3 −42 0 −2 1

]

Demostrar que (AB)C = A(BC)

18. Calcular AB −BA donde: A =

1 2 12 1 21 2 3

, B =

4 1 1−4 2 01 2 1

19. Hallar a , b , c y d para que satisfaga la ecuacion:

[a b c d1 4 9 2

]1 0 2 00 0 1 10 1 0 00 0 1 1

=

[1 0 6 41 9 8 6

]

2

20. Sı:

[2 b 1 da −2 c 1

]1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1

=

[11 5 a 0−5 7 1 −b

]

Hallar el valor de M = a+ b+ c+ d

21. Sı:

0 2 −12 0 1−3 −1 0

xyz

=

15−3

. Calcular E = x+ y + z

22. Hallar x, y, z sı:

1 2 00 1 51 0 1

xyz

=

152

23. Hallar (Xt +A)t , sı AX = At , donde: A =

[1 12 3

]24. Dadas las matrices:

A =

3 2 −12 5 −3−1 0 1

, B =

xyz

y C =[1 −2 −3

]Sı BtA = C. Hallar E = x+ y + z

25. Hallar el valor de x para que el cual el siguiente producto es la matriz identidad. 2 0 70 1 01 2 1

−x −14x 7x0 1 0x 4x −2x

26. Efectuar la multiplicacion de las siguientes matrices:

a)

1 2 32 4 63 6 9

−1 −2 −4−1 −2 −41 2 4

, b)

1 2 10 1 23 1 1

2 3 1−1 1 01 2 −1

11 22 110 1 23 1 1

c)

a b cc b a1 1 1

1 a ca b b1 c a

27. Encontrar el valor de A3 − 2A2 − 9A , siendo: A =

2 1 31 −1 21 2 1

28. Sı: A =

1 2 22 1 22 2 1

. Demuestre que: A2 − 4A2 − 5I = 0

29. Sı: A =

5 4 −24 5 −2−2 −2 2

. Demuestre que: A2 − 11A+ 10I = 0

30. Dadas las matrices A,B y C donde:

A =

1 −3 52 1 −34 −3 −1

, B =

1 4 1 02 1 1 11 −2 1 2

, C =

2 1 −1 −23 −2 −1 −12 −5 −1 0

.

Encontrar AB −AC

30. Si la matriz A =

1 a− b −12 3 bb− x a− x 4

es simetrica. Hallar A2

3

31. Demostrar que la matriz de segundo orden A =

[a bc d

]satisface a la ecuacion:

x2 − (a+ d)x+ ad− bc = 0

32. Sı

A =

2 3 −2−1 4 30 2 1

, B =

6 2 40 2 −23 0 −1

y C =

2 1,5 1,55 2 22 7,5 −3,5

.

Hallar la matriz M = (AB)t − 2C

33. Sı A y B son matrices involutas y AB = BA =

−5 −8 03 5 01 2 −1

Hallar la traza de la matriz M = (A+B)2

34. Demostrar que la matriz A es idempotente

a) A =

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

b) A =

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

c) A =

−1 3 51 −3 −5−1 3 5

.

35. Demostrar que la matriz A es nilpotente

a) A =

1 1 35 2 6−2 −1 −3

b) A =

1 −3 −4−1 3 41 −3 −4

36. Demostrar que la matriz A es involutiva

a) A =

0 1 −14 −3 43 −3 4

b) A =

4 3 3−1 0 −1−4 −4 −3

c) A =

−1 −2 −21 2 1−1 −1 0

d) A =

−3 −6 22 4 −12 3 0

e) A =

−5 8 03 5 01 2 −1

37. Sabiendo que: A =

1 1 10 1 10 0 1

. Demostrar que: An =

1 nn(n+ 1)

20 1 n0 0 1

38. Explıque por que no es valida, en general, la siguiente formula, en donde A y B son matrices cuadradas del

mismo orden: (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. De un contraejemplo.

39. Que condicion debe cumplir dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, para que:

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2

4