Semana 2 [1/29]

Matrices

31 de julio de 2007

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [2/29]

Matriz de permutación

Matriz de permutaciónUna matriz elemental de permutación tiene la siguiente estructura:

Ipq =

1 0. . . 0

10 · · · · · · · · · 1... 1 ...

1... 1 ...1 · · · · · · · · · 0

10 . . .

0 1

fila p

fila q

La matriz Ipq se construye a partir de la identidad, permutando el orden de

las filas p y q.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [3/29]

Matrices de permutación

ProposiciónDadas Ipq ∈ Mnn(K), A ∈ Mns(K) y B ∈ Mqn(K):

1 IpqA corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas.

2 BIpq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [4/29]

Matrices de permutación

ProposiciónDadas Ipq ∈ Mnn(K), A ∈ Mns(K) y B ∈ Mqn(K):

1 IpqA corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas.

2 BIpq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [5/29]

Matriz de suma

Matriz elementalDefinimos la matriz elemental Epq(λ, β) ∈ Mnn(K) como:

Epq(λ, β) =

col. p↓

col. q↓

1. . . 0

1. . .

... 10 · · · λ · · · β... ... 1... ... . . .0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 1

λ, β ∈ Kβ 6= 0p < q

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [6/29]

Matriz de suma

ProposiciónDada una matriz A ∈ Mns(K); se tiene:

C = Epq(λ, β) · A =

a11 · · · a1s... ...

aq−11 · · · aq−1s... ...

λap1 + βaq1 · · · λaps + βaqs... ...

an1 · · · ans

← q

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [7/29]

Matriz de suma

ProposiciónEpq(λ, β) es invertible . Su inversa es la siguiente:

(Epq(λ, β))−1 =

1. . . 0

1. . .

... 10 · · · −λ

β· · · 1

β... ... 1... ... . . .0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 1

↑ ↑

p q

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [8/29]

Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuacionesUn sistema de m ecuaciones y n incógnitas consiste en el siguiente conjuntode ecuaciones en las variables x1, ..., xn ∈ K:

a11x1 + · · · + a1nxn = b1... ... ...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm

en donde los coeficientes, aij, y el lado derecho, bj, son elementos delcuerpo K.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [9/29]

Forma matricial

Tomando,

A =

a11 · · · a1n... ...

am1 · · · amn

∈ Mmn(K)

la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas

b =

b1...

bm

∈ Km, x =

x1...

xn

∈ Kn

Podemos escribir el sistema matricialmente:

Ax = b,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [10/29]

Forma matricial

Tomando,

A =

a11 · · · a1n... ...

am1 · · · amn

∈ Mmn(K)

la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas

b =

b1...

bm

∈ Km, x =

x1...

xn

∈ Kn

Podemos escribir el sistema matricialmente:

Ax = b,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [11/29]

Forma matricial

Tomando,

A =

a11 · · · a1n... ...

am1 · · · amn

∈ Mmn(K)

la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas

b =

b1...

bm

∈ Km, x =

x1...

xn

∈ Kn

Podemos escribir el sistema matricialmente:

Ax = b,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [12/29]

Ejemplo

Consideremos:

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)

−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)

x1 + x3 + x4 = 1 (3)

.

Definimos la matrix aumentada del sistema como:

(A|b) =

1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1

1 0 1 1 1

Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera

(A|b)→

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [13/29]

Ejemplo

Consideremos:

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)

−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)

x1 + x3 + x4 = 1 (3)

.

Definimos la matrix aumentada del sistema como:

(A|b) =

1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1

1 0 1 1 1

Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera

(A|b)→

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [14/29]

Ejemplo

Consideremos:

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)

−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)

x1 + x3 + x4 = 1 (3)

.

Definimos la matrix aumentada del sistema como:

(A|b) =

1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1

1 0 1 1 1

Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera

(A|b)→

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [15/29]

Ejemplo

Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2

7 y sumarla a la tercera:

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2

747 −

17

= (A|b)

Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.

En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:

Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices

Matrices elementales Semana 2 [16/29]

Ejemplo

Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2

7 y sumarla a la tercera:

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2

747 −

17

= (A|b)

Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.

En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:

Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices

Matrices elementales Semana 2 [17/29]

Ejemplo

Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2

7 y sumarla a la tercera:

→

1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2

747 −

17

= (A|b)

Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.

En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:

Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices

Matrices elementales Semana 2 [18/29]

Ejemplo

Ahora, en términos de matrices elementales:

Producir un cero en la posición (2,1) de (A|b):

E12(2, 1)(A|b) =

1 0 02 1 00 0 1

1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1

1 0 1 1 1

=

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

.

Producir un cero en la posición (3,1):

E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =

1 0 00 1 0−1 0 1

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

=

1 2 1 1 10 7 1 2 30 −2 0 0 −1

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [19/29]

Ejemplo

Ahora, en términos de matrices elementales:

Producir un cero en la posición (2,1) de (A|b):

E12(2, 1)(A|b) =

1 0 02 1 00 0 1

1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1

1 0 1 1 1

=

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

.

Producir un cero en la posición (3,1):

E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =

1 0 00 1 0−1 0 1

1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1

=

1 2 1 1 10 7 1 2 30 −2 0 0 −1

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [20/29]

Ejemplo

Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2):

E23(27, 1)E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =

1 0 00 1 00 2

7 1

1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1

=

1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2

747 −

17

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [21/29]

Ejemplo

Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2):

E23(27, 1)E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =

1 0 00 1 00 2

7 1

1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1

=

1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2

747 −

17

.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [22/29]

Observación

Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:

(A|b) =

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).

I24(A|b) =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

=

1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1

,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [23/29]

Observación

Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:

(A|b) =

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).

I24(A|b) =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

=

1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1

,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [24/29]

Observación

Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:

(A|b) =

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).

I24(A|b) =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

=

1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1

,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [25/29]

Observación

Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:

(A|b) =

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).

I24(A|b) =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1

=

1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1

,

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [26/29]

Matriz escalonada

Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:

A =

a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n

a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...

asis · · · asn

0 0

.

donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [27/29]

Matriz escalonada

Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:

A =

a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n

a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...

asis · · · asn

0 0

.

donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [28/29]

Matriz escalonada

Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:

A =

a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n

a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...

asis · · · asn

0 0

.

donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [29/29]

Equivalencia de sistemas

Como (A|b) se obtiene al multiplicar (A|b) por matrices invertibles, se tiene:

ProposiciónDada una matriz C, invertible entonces:

a ∈ K nes solución de Ax = b ⇔ a es solución de (CA)x = Cb.

Matrices

Matrices elementales Semana 2 [30/29]

Equivalencia de sistemas

Como (A|b) se obtiene al multiplicar (A|b) por matrices invertibles, se tiene:

ProposiciónDada una matriz C, invertible entonces:

a ∈ K nes solución de Ax = b ⇔ a es solución de (CA)x = Cb.

Matrices