Prof. Rosa N. llanos Vargas

1.1 MATRICES

Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :

mxn

Las matrices se nombran con letras mayùsculas A , B , C , … . En forma abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m ; j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz .

La dimensiòn de una matriz es el nùmero mxn de elementos que tiene la matriz .

MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j

Las siguientes matrices no son iguales

Orden 2x3 Orden 3x2Dimensiòn 6 Dimensiòn 6

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES :

1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .

La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n y la traza de la matriz cuadrada es el nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir :

Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 +……+ a n n

2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m n

1

3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :

4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :

5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos

0 =

6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos

B=

Ejemplo 1 .

B =

7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante

B=

2

8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1

B= = I n

9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .

A =

10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .

A =

11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn

intercambiando las filas por columnas se denota A t = (aji )nxm

A = At =

Ejemplo 2 Si

12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At

A =

13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At

3

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que

cij = aij + bij .

Ejemplo 3 Si

PROPIEDADES

Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple :

1. A + B = B + A2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. A + 0 = 0 + A4. Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene

cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0

DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn, se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que

d ij = a ij - b ij

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de multiplicar cada elemento de A por k .

PROPIEDADES:

4

, se cumple :

1. ( ) A = 2.3.4.

PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices ellas son compatibles para la multiplicación de A por B, si el nùmero de columnas de A es igual al nùmero de filas de B .EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es

cij = para cada i , j

Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB

PROPIEDADES 1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C

3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B B.A

4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0

5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C 6.

7.

PRACTICA

5

1. Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dólares) ¿Qué asignación minimiza el costo total si a) Sin ninguna condición b) A cada contratista solo se le puede asignar una sola obra.

2. Si un obrero W puede realizar el trabajo en horas, según se indica en la matriz A y si cada obrero solo deberá realizar un solo trabajo ¿Qué asignación minimizará el tiempo total del trabajo?

3. Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas de superficie, no baldia, en 1993 fue:I. Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%.

Encontrar los estados en los años 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las probabilidades de transición para intervalos de 5 años están dadas por la siguiente matriz:

NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz estocástica

4. Sean las matrices

Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidasa) AB b) CA c) BtAt d) BC e) CtB

5. Dadas las matrices :

a)A= b)B= c)C=

6

d)D= f)F= g)G=

h)H= i)I=

Hallar a) A+B , b) B²- A² , c) 2C-3D , d) Ft – 2Gt , e) 3G – G² f) H- H t

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Definición:A toda matriz cuadrada le asociamos un número llamado determinante, , simbolizado de la forma:

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el determinante.

Propiedades:a) Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.b) Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.c) Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.d) Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.e) Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los

elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar el factor común, siempre que exista un número que multiplique a todos los elementos de una fila o columna)

f)

7

Calculo de un determinante:

I) Método de Sarrus

Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarros, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue:

Para un determinante de orden 2:

Para un determinante de orden 3:

Ejemplo 1.

Calcular los determinantes

II. Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos:Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es

fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el orden en una unidad cada vez que le utilizamos.

Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos:Menor complementario: Dada una matriz se llama menor complementario de un elemento al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j en la matriz : se llama .

8

Adjunto de un elemento (o Cofactor): Al producto de por el menor

complementario de se llama adjunto de un elemento y se escribe .

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante: el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.

Ejemplo 2.

Calcular el valor del determinante

Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el cálculo:

Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus:

III. Método del pivote o de Chio

Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras paralelas multiplicados por un número , el valor del determinante no varía. (Suma de una combinación lineal de otras filas o columnas)

Basándose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, se reduce su cálculo a un solo determinante de orden menor.

9

Ejemplo 3.Calcular por el método del pivote el determinante

Desarrollamos el último determinante por la 1a columna:

Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a fila:

IV. Método triangularizante

Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal principal.Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:

10

Ejemplo 4.Calcular el determinante

cambiamos las filas 2a y 3a ( cambia el signo)

cambiamos 4a y 5a fila para dejarle triangular (el determinante cambia de signo):

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA

Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada se llama matriz adjunta, a la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz por sus adjuntos respectivos.

11

Ejemplo 1.Hallar la matriz adjunta de

Matriz Inversa Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz inversa de A es la matriz de orden n denotada por A-1 tal que A. A-1 = I , donde I es la matriz identidad de orden n.

Cálculo de la matriz inversa por el método del adjunto:

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

MATRICES ELEMENTALES

Definición 1:Sobre una matriz decimos que efectuamos una operación elemental sobre la fila o columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones:

i) Cambiar entre sí dos filas o columnas:

12

Una matriz tiene inversa si solo si

ii) Multiplicar una fila o columna por un número real iii) Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un número

real

Definición 2:Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.

Ejemplo 3.

Cambiar dos filas

Multiplicar la 2a columna por

Sumar a la 3a fila el doble de la 2a

Sumar a la 2a columna la 1a por -5

Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.

Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz que obtenemos es , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental.

Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultantes de efectuar la misma operación elemental.

Ejemplo 4

Sea

Por filas:

=AF

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

13

Producto de F.A:

Por columnas:

= AC

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

Producto de A.C

= AC

Operaciones elementales inversas.Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de cada operación elemental.

Ejemplo 5.Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones elementales:

14

A partir de ahora, sólo consideraremos las matrices elementales resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas

Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a .

Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino.Resumiendo:

OPERACIÇON ELEMENTAL OPERACIÓN INVERSA

Cambiar la fila i por la j Cambiar la fila j por la i

Multiplicar una fila por Multiplicar una fila por

Sumar a la fila i, la j por Sumar a la fila i, la j por

Matrices elementales inversasCuando en la matriz efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz elemental E. Cuando en la matriz efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz elemental inversa de la matriz elemental .

Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.

En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida , luego se verifica:

Luego es la inversa de .

15

Ejemplo 6Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales:

i) Cambiar las filas 1 y 3ii) Multiplicar la 2a fila por 2iii) Sumar a la 2a fila la 3a por -3

Hallar sus matrices inversas.i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13

ii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental

iii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental

iv)

Matrices equivalentes por filasSi partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un número finito de operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son equivalentes por filas.

16

En efecto:Si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales

Multiplicando por las matrices inversas obtenemos

Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales:

Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos

Ejemplo 7Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.

Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementalesSi A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa

17

En efecto: si A es equivalente por filas a In:

Multiplicando por por la derecha los dos miembros obtenemos:

Luego viene como producto de matrices elementales.

El método para el cálculo de sale de observar y

Las operaciones elementales que nos sirven para convertir en la matriz unidad, efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de .

Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de

Solución

luego

1.9. FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ

Formas escalonadaSe llama forma escalonada por filas de una a aquella matriz que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales y que verifica:

i) Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.

18

ii) El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal.

iii) Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a fila está más a la derecha que el elemento pivote de la 1a fila.

Ejemplo 9.Formas escalonadas:

Formas no escalonadas:

Forma reducidaSe llama forma reducida por filas de una matriz a toda matriz escalonada con los pivotes unidad y los demás elementos de la columna del pivote, nulos.Ejemplo 10.

Obtención de una forma escalonada

El algoritmo para obtención de una forma escalonada se llama eliminación de Gauss o gaussiana y consta de los siguientes pasos:

1° Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a columna un elemento distinto de cero que llevaremos a la 1a fila, si no le hay en la 1a fila, (mediante operaciones elementales) y será el 1er pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote.

2° Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a columna un elemento distinto de cero en la 2a fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a pivote en la 2a fila, si está en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del 2a pivote.

3° Seguimos sucesivamente moviéndonos hacia la derecha hasta no encontrar más pivotes.

19

Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuación, obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma reducida solo hay una.

Ejemplo 11.

Hallar la forma escalonada de la matriz

Rango de una matrizLlamaremos rango de una matriz el número de filas con algún elemento distinto de cero que hay en cualquier forma escalonada por filas o también el número de columnas pivotales que tiene.

Número de vectores filas linealmente independientes = número de columnas

Ejemplo 12.

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

20

Donde

1) El sistema tiene solución si y solo si y se llama compatible.

2) Si , entonces el sistema tiene una única solución, el sistema es determinado.

3) Si , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no existe solución si y algún

4) Si existen soluciones todas se obtienen por el método de eliminación de Gauss.

Sistema Homogéneo: , tiene solución y su entonces existen soluciones no triviales linealmente dependientes.

Ejemplo 1. Resolver el sistema

x + 2y + 3z + 4w = 52x + y + 2z + 3w = 13x + 2y + z + 2w = 14x + 3y + 2z + w = -5

Solución

,

21

= =

De dondew = 3z+2w = 3y + 2z + 3w = 5x + 2y + 3z + 4w = 5

En consecuencia el conjunto solución es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) }

Ejemplo 2. Resolver

3x + 2 y + z= 32x + y + z = 06x + 2y + 4z = 6

Solución

De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradicción)

el sistema es incompatible.

Ejemplo 3. Resolver

x - 2 y + 3z= 5

22

2x + y -4 z = 03x + 4y -11z = -5

Solución

Luego 5y – 10 z = - 10 x – 2y + 3z = 5

Despejando y de la primera ecuación se tiene y = 2z – 2 Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a z

Además

En general si entonces Luego CS

Descipción del método de eliminación Gaussiana

Considerando el sistema

El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la derecha omitiendo las variables.

23

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz (2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por donde .

El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al dado inicialmente.

La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:

Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:

1° Para conseguir un 1 en la primera posición, se multiplica la primera ecuación por

:

2° Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la segunda ecuación la primera ecuación multiplicada por 4; un proceso similar se realizará con la tercera fila o ecuación:

Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera ecuación.

3° Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por :

24

4° Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.

5° Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:

6° Si expresamos la matriz anterior en términos de las ecuaciones, obtendríamos:

Entonces , en la tercera fila se obtiene: y sustituyendo este valor en la segunda ecuación se obtiene: ; luego . Por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene sólo una solución: .

25

PRACTICA

1. Hallar la inversa de la matriz

a) b) c)

2. Dadas las matrices

Hallar las matrices elementales tales quea) b) c)

3. Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas

4. Hallar la forma escalonada de cada matriz y determinar el rango de dicha matriz:

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

26

e) f)

g) h)

6. ¿Para qué valores de el sistema

( a ) tiene solución única( b ) tiene infinitas soluciones( c ) es incompatible

7. Dado el sistema de ecuaciones

Señale el valor de que corresponde al caso en que el sistema es compatible indeterminado y tiene el mayor número posible de parámetros.

8. Resolver el sistema

a)

9. Resolver el sistema

27

( a ) Tiene solución única( b ) Tiene infinitas soluciones. Expresar dichas soluciones en términos de

parámetros.( c ) Es incompatible.

10. Dado el sistema de ecuaciones

¿Para qué valores de a( a ) El sistema tiene solución única( b ) El sistema tiene infinitas soluciones. Halle tales soluciones.( c ) El sistema es incompatible

11. Usando el método de Gauss, resolver según los valores de el siguiente sistema de ecuaciones

12. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla:

Modelo Planta Técnica Planta de ensamblaje

1 30 minutos 0,5 hora

2 12 minutos 2 horas

3 36 minutos 2 horasTiempo total empleado en un mes en cada planta

116 horas 370 horas

Cuantas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.

13. En la siguiente figura se ilustra una red de calles y los números indican la cantidad de autos por hora que salen o entran (según sea el sentido de las flechas) de las intersecciones. Así por ejemplo, en una de las intersecciones ingresan y autos por hora y salen 400 autos por una de las calles y 400 por otra.

28

Si se considera que todos los autos que ingresan a cada una de las intersecciones deben salir,a) Plantear un sistema de ecuaciones que relaciones las variables y .b) Resolver el sistema empleando el método de eliminación gaussiana.c) Modificar uno de los números del esquema inicial para que el sistema de

ecuaciones no tenga solución. Justificar su respuesta.

14. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamínicos semanales de exactamente 13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C.

Existen disponibles tres marcas de cápsulas vitamínicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C por cápsula; la marca II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C.Si las cápsulas de la marca I cuestan 50 céntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 céntimos cada una y las de la marca III, 2 soles cada una,a) ¿qué combinación de cápsulas de las marcas I, II y III producirá exactamente

las unidades de vitaminas deseadas?b) ¿Cuál de esas combinaciones le ocasionará menor gasto semanal a Micaela?

15. La siguiente tabla muestra los porcentajes de albúmina, carbohidrato y lípido en cada uno de los alimentos A, B y C.

A B C

Albúmina 30% 50% 20%

Carbohidrato 30% 30% 70%

Lípido 40% 20% 10%

a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en un porcentaje de 47% de albúmina, 35% de carbohidrato y 18% de lípido? Si la respuesta es afirmativa, explicar qué cantidades en gramos se requeriría de cada uno de ellos y si es negativa, justificar por qué no se podría.

29

200 400

300 400

500 600 300 500

b) Y si pidiera combinar los tres alimentos para obtener una comida con 40% de albúmina, 40% de carbohidrato y 20% de lípido, ¿cambiaría la respuesta anterior? Justificar.

16. Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y C, en los cuales se corta madera a razón de 60m3, 45m3 y 30m3, por día, respectivamente. La madera se distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m3 y 70m3 por día, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla:

Desde el aserradero Hasta la fábrica M Hasta la fábrica N

A 1,5 3,0

B 3,5 2,0

C 2,9 1,9

Considere que: Toda la madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para

satisfacer la demanda diaria de las fábricas. Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el

aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica N desde el aserradero B, por día.

Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las fábricas ascienden a 242 dólares por día.

Hallar las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a las fábricas M y N.

17. La compañía Realistic Picture Frame puede fabricar cuatro tipos diferentes de marcos para pinturas: rústico, modernistas, francés y romano. Cada marco requiere de las siguientes cantidades de recursos en madera, mano de obra y tiempo de maquina, como se indica en el siguiente cuadro de tecnología de producción:

RecursosRecursos utilizados por unidad producida

Rústico Modernista Francés RomanoMadera (en pies) 1,0 1,5 2,0 2,0

Mano de obra (en horas) 1,0 0,9 0,6 0,6

Maquinas (en horas) 0,3 0,3 0,1 0,1

Por el momento se dispone de 1000 pies de madera, 460 horas de mano de obra y 120 horas de tiempo de máquina y se emplearán todos los recursos disponibles.

a) Con la información dada ¿se puede determinar el número de marcos rústicos, modernistas, franceses y romanos que se deben producir? Emplear el método de Gauss.

b) Si además se sabe que las ganancias obtenidas por unidad de cada tipo de marco son:

30

Rústico $ 1,50Modernista $ 1,25Francés $ 0,95Romano $ 0,60

Determinar el número de marcos de cada tipo que se deben producir para obtener la mayor ganancia posible.

18. Un ciclista se desplaza por tres tipos de terreno: cuesta arriba, llano cuesta abajo. En cada uno de ellos emplea una velocidad constante. Como desea determinar dichas velocidades, elabora la siguiente tabla de datos acerca de sus tres últimos recorridos:

RecorridoTiempo empleado (en horas) Distancia total

(en km)Cuesta arriba Terreno llano Cuesta abajo

I 0,25 1 0,25 22

II 0,75 0,6 0,05 16

III 1 0,2 0,4 19

a) Especificar las variables que se deben determinar, indicando qué representan y en qué unidades se miden.

b) Hallar las velocidades del ciclista en cada tipo de terreno. Emplear el método de eliminación gaussiana.

c) Empleando la solución encontrada en b), determinar qué tiempo emplearía el ciclista en una ruta de 4km. Cuesta arriba, 15 km. En terreno llano y 10 km. Cuesta abajo.

19. Suponga que una industria de hidrocarburos puede mezclar cuatro tipos de petróleo para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las características de cada tipo de petróleo:

Tipo de petróleo

Total de galones por barril

Promedio de galones de compuestos ligeros (que se evaporan con el

calentamiento) por barril

Ligero 75 3

Mediano 60 2,5

Pesado 60 3

Extrapesado 45 2

Dicha industria debe abastecer un pedido de 20 barriles de petróleo que contenga en total 1 350 galones de petróleo y un promedio de 56 galones de compuestos ligeros. Usando el método de eliminación gaussiana, contestar las siguientes preguntas:

31

a) Con la información dada ¿se puede determinar un único número de barriles de petróleo de cada tipo que deben mezclarse para abastecer tal pedido?

b) Suponga que la compañía no tiene ningún galón de petróleo del tipo Extrapesado. ¿Cuántos barriles de petróleo de cada tipo se requerirá?

c) Modificar uno de los coeficientes del sistema planteado en la parte b) para que el problema no tenga solución. Muestre el nuevo sistema, justificando su respuesta.

32