EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES.

1

1. a) Dada la matriz A =

(1 22 3

)Calcular A2 − 5A + 2I.

Solución.

A2 − 5A + 2I.=

(1 22 3

)2

− 5

(1 22 3

)+ 2

(1 00 1

)=

(5 88 13

)-

(5 1010 15

)+

(2 00 2

)=

(2 −2−2 0

)b) Dada la matriz

1 0 00 2 10 0 3

Calcular A2 − 5A + 2I.

Solución

A2 − 5A + 2I.=

−2 0 00 −4 00 0 −4

c) Dadas las matrices A =

(1 23 4

), B =

(2 −1−3 −2

)Calcular

i) (A + B)2

ii) A2 + 2AB + B2

¾Los resultados deberían coincidir.?.Solución:

i)(A + B)2=

(3 10 2

)2

=

(9 50 4

)ii) A2 + 2AB + B2

=

(1 23 4

)(1 23 4

)+ 2

(1 23 4

)(2 −1−3 −2

)+

(2 −1−3 −2

)(2 −1−3 −2

)=

(7 1015 22

)+2

(−4 −5−6 −11

)+

(7 00 7

)=

(6 03 7

)Los resultados no coinciden pues el cuadrado del binomio no se cumple en las matrices ,pues el producto dematrices no es conmutativo,es decir que AB 6= BA

d) Dadas las matrices A =

(1 23 4

), B =

(2 −1−3 −2

)Calcular A2 −B2 Compruebe que es dintinto del producto (A−B)(A + B)Solución.

A2 −B2 =

(0 1015 15

)es distinto de (A−B)(A + B)=

(−3 518 18

)

2. Despejar la matriz X y hallar la matriz X de la ecuación :

a) 2X + A = BX Si A =

(1 −2−1 0

), B =

(−5 3−1 0

)Solución : Despejando X, ⇒ A = BX − 2X⇒ A = (B − 2I) · X←Observe la factorización por X sehace por derecha.suponiendo que (B−2I) es una matriz que posee inversa, entonces multiplicando la igualdad A = (B−2I) ·X

1profesor Osvaldo Carvajal

1

por (B − 2I)−1 por izquierda se tiene

(B − 2I)−1 ·A = X

reemplazando las matrices A y B se tiene:

X = (B − 2I)−1 ·A=

((−5 3−1 0

)− 2

(1 00 1

))−1·(

1 −2−1 0

)= 1

17

(1 48 −2

)

b)(A−X)T + B = 3XT si A =

(1 −10 2

), B =

(2 −50 1

)SoluciónDe (A−X)T + B = 3XT ⇒ Transponiendo ambos lados

(A−X)TT

+ BT = 3XTT

, usando la propiedad ATT

= A

tenemos (A−X) + BT = 3X ⇒ A + BT = 4X .⇒ X = 14 (A + BT )

reemplazando las matrices A y B se tiene X = 14 (

(1 −10 2

)+

(2 −50 1

)T

)= 14

(3 −1−5 3

)

c) (AXB − I)T = B si A =

(1 −10 2

), B =

(−4 0−2 4

)Solución : Transponiendo ambos lados de (AXB − I)T = Bse tiene (AXB−I) = BT ⇒ AXB = BT +I, suponiendo existen las matrices inversas de A y de B ,entonces

multiplicamos a ambos lados de AXB = BT + I, por A−1 por izquierdaA−1AXB = A−1(BT + I) ⇒ XB = A−1(BT + I) Ahora multiplicamos por B−1por derechapara obtener ⇒ XB ·B−1 = A−1(BT + I) ·B−1⇒ X = A−1(BT + I) ·B−1

reemplazando las matrices A y B se tiene.

X = A−1(BT + I) ·B−1=

(1 −10 2

)−1(

(−4 0−2 4

)T

+

(1 00 1

))

(−4 0−2 4

)−1X = 1

2

(2 10 1

)(

(−4 −20 4

)+

(1 00 1

))−116

(4 02 −4

)X= 1

2

(2 10 1

)(

(3 −20 5

))−116

(4 02 −4

)= 1

32

(26 −410 −20

)

3. . (Costos de materias primas) Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1,M2,M3 en la elaboraciónde dos productos P1,P2 .El número de unidades M1,M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3 , 2 y 4respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente .Suponga que la empresa produce 20unidades de P1 a la semana y 30 unidades de P2 a la semana .Exprese las respuestas a las preguntas comoproducto de matricesa) Calcule el consumo semanal de las materias primasb) Si los costos por unidad en dólares para M1,M2 y M3 son 6 , 10 y 12 respectivamente. Calcular los costosde materias primas por unidad de P1,P2

2

Solución:Los datos se registran en la siguiente tabla o matriz.

P1 P2

M1 3 4

M2 2 1

M3 4 3

llamamos a esta matriz , matriz insumo A =

3 42 14 3

se producen 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana , llamamos a esta matriz matriz producción

P =

(2030

)a) entonces el consumo semanal de M1,M2 es simplemente el producto AP =

3 42 14 3

·( 2030

)=

18070170

entonces a la semana se consume 180 unidades de M1, 70 unidades de M2 y 170 unidades de M3.

b) Si los costos por unidad en dólares para M1,M2 y M3 son 6 , 10 y 12 respectivament, entonces de�ni-

mos la matriz costo C =

61012

se pide costos por unidad de P1,P2 , hay que multiplicar AT · C

AT · C=

(3 2 44 1 3

)·

61012

=

(8670

)Asi 86 unidades monetarias cuesta la unidad de P1 y 70 la unidad de P2.

4. Siendo A,B matrices de tamaño n× n invertibles , entonces simpli�car la expresión matricial:

a) C = (A + B)2 −B(A−1 + B−1)AB −A(A + A−1)

Solución:MultiplicandoC = A2 + AB + BA + B2 −B(A−1AB + B−1AB)− (A2 + AA−1)

recuerde que las matrices no conmutan es decir AB 6= BA , tambien A−1A = AA−1 = I

C = A2 + AB + BA + B2 −B(B + B−1AB)− (A2 + I) cancelando A2

C = AB + BA + B2 −B(B + B−1AB)− IC = AB + BA + B2 −B2 −BB−1AB − I cancelando B2 , con BB−1 = I

C = AB + BA−AB − I cancelando AB

C = BA− I

b) Usando la parte a) anterior Calcular C, sabiendo que A−1B−1 =

(1 01 1

)Solución :por la parte anterior C = BA − I debemos hallar BA , pero BA = (A−1B−1)−1= (B−1)−1(A−1)−1,estoestá basado en la propiedad (AB)−1 = B−1A−1 y la propiedad (A−1)−1 = A.

3

Asi que BA =(A−1B−1)−1=

(1 01 1

)−1=

(1 0−1 1

)C = BA− I =

(1 0−1 1

)−(

1 00 1

)=

(0 0−1 0

)5. ( Costos de suministros) Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera , ladrillo,concreto

, vidrio y pintura de cualquiera de 3 proveedores .Los precios que cada proveedor �ja a cada unidad de estosmateriales estan contemplados en la siguiente matriz

A =

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

Cada �la se re�ere a un proveedor y las columnas a los materiales .El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular almismo proveedor a �n de minimizar los costos de transportes .Hay tres obras en construcción O1,O2 y O3.O1 requiere 20 unidades de madera , 4 de ladrillos ,5 de concreto , 3 de vidrio y 3 de pintura.O2 requiere 15 unidades de madera , 0 de ladrillos ,8 de concreto , 8 de vidrio y 2 de pintura.O3 requiere 30 unidades de madera , 10 de ladrillos ,20 de concreto , 10 de vidrio y 12 de pintura.Usando matrices decida cuál proveedor deberá usar en cada obra.

Solución :los datos se pueden registrar en la siguiente tabla. o matriz

M L C V P

O1 20 4 5 3 3

O2 15 0 8 8 2

O3 30 10 20 10 12

tenemos la matriz

B =

20 4 5 3 315 0 8 8 230 10 20 10 12

Si multiplicamos

A ·BT =

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

, A ·BT =

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

· 20 4 5 3 3

15 0 8 8 230 10 20 10 12

T

=

=

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

·

20 15 304 0 105 8 203 8 103 2 12

=

233 200 498242 201 490248 201 510

Las �las de esta última matriz corresponden a los proveedores , las columnas corresponden a las obrasO1.O2,O3asi en obra 1, los costos asociados a los proveedores es la primera columna , el más barato es el menor valorde la primera columna correspondiente a 233, en obra 2 los costos asociados a los proveedores es la segundacolumna ,donde el menor valor es 200 y en la comuna 3 el menor valor es 490.e resumiendoobra 1 con proveedor 1,obra 2 con proveedor 1 y obra 3 con proveedor 2

4

6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

x1 + 5x2 − 4x3 + x4 = 22

x2 + 2x3 + x4 = 16

3x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 30

2x1 + 2x2 − x3 = 22

Solución : El sistema escrito en matriz es

1 5 −4 10 1 2 13 2 3 −12 2 −1 0

·

x1

x2

x3

x4

=

22163022

el pivoteo lo hacemos en la matriz ampliada

(A | b) =

1 5 −4 10 1 2 13 2 3 −12 2 −1 0

|22|16|30|22

El símbolo de pivoteo aquí es Fj → k · Fi + FJ lo que debe entenderse como :la �la j es reemplazada por la �la j mas k veces la �la pivote ila �la j es la �la receptora, la �la i es la �la pivotela operación por k debe realizarse sólo en la �la pivote.

Pivoteando en el lugar a14 = 1, realizando las operacionesF2 → −1 · F1 + F2,F3 → 1 · F1 + F3,

−−

− 220122 301323 161210 221451 1∼

−−

−−−− 220122 520174 60641 221451

Ahora pivoteamos en el lugar a43 = −1 y realizamos las operaciones

F3 → −1 · F4 + F3,F2 → 6 · F4 + F2,F1 → −4 · F4 + F1,

−−−−

− 22022 520174 60641 221451 1−∼

−

−−− 220122 300052 12600811 1541037Si observamos la segunda y tercera �la ,tenemos un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas que ya pode-mos resolvero bien podríamos seguir pivoteando ,pero la ausencia de valores 1 o −1 en las �las 2 y 3 no pivoteadas obligaa las operaciones con fracciones

El sistema de 2 ecuaciones es

5

(11 82 5

)·(

x1

x2

)=

(12630

)al resolver obtenemos x1 = 10,x2 = 2las otras soluciones se obtienen por simple sustitución , para obtener x3 = 2, x4 = 10.

b)

{3x + 5y − 3z + w = 1

2x + y + 4z − w = 0

Solución : Este sistema presenta in�nitas soluciones debido a que hay más incógnitas que ecuaciones .Elsistema escrito en matriz es :

(3 5 −3 12 1 4 −1

)·

xyzw

=

(10

)El pivoteo lo realizamos en la matriz ampliada −

− 01412 11353(A|b) =

El elemento pivote se busca en el lugar donde hay un valor 1 o un valor −1 de la matriz A. El más in-dicado es el elemento a14 = 1,lo que indica pivotear en la primera �la. −

− 01412 1353 1Realizando la operación , F2 → 1 · F1 + F2 se tiene: − 10165 11353Ahora el lugar mas adecuado de la segunda �la es el elemento a23 = 1 − 1065 11353 1

Realizando la operación F1 → 3 · F2 + F1 , se logra : 10165 4102318observe que las variables z, w constituyen columnas de la matriz identidad

(1 00 1

)siendo esta la matriz identidad máxima lograda con el pivoteo, entonces hemos llegado a la solución.las variables z, w son llamadas variables basicas, las otras variables cuyas columnas no constituyen matrizidentidad son llamadas no basicas.La solución se obtiene despejando las variables basicas en función de lasno basicas

solución del sistema :

{z = 4− 18x− 23y

w = 1− 5x− 6y← (∗)

se obtienen particulares del sistema si se otorgan valores cualesquiera a las variables no basicasobteniéndose asi muchas pero muchas soluciones.Por ejemplo si x = 0, y = 0 se obtiene z = 4, w = 1.una de las muchas soluciones del sistema.

6

hay que advertir que la expresión (∗) no es única ,depende del lugar que se escoja para el pivoteo.

c) Resolver el sistema

x + 2y = 4

2x− y = 5

5x + 3y = 0

Este es un sistema con más ecuaciones que incógnitas , es posible que no tenga solución. Esto no siem-pre es asi.Solo con el proceso del pivoteo lo sabremos.

El sistema escrito en matriz es

1 22 −15 3

· ( xy

)=

450

Pivoteamos en la matriz ampliada en el lugar a11 = 1

− 035 512 421⇒

− 035 512 421Realizando las operaciones F2 → −2 · F1 + F2 , F3 → −5 · F1 + F3

se tiene:

−−−− 2070 350 421

Multiplicando por (−1) las �las segunda y tercera ,tenemos

2070 350 421Dividiendo la �la segunda por 5, se tiene un lugar para pivotear

2070 5/30 421 1Realizando las operaciones F1 → −2 · F2 + F1 , F3 → −7 · F2 + F3 se tiene:

−

− 5/212000 5/310 5/6401Observe la ´�la tercera ,se tiene una contradicción 0 · x+ 0 · y = 20− 21/5⇒ 0 = 79

5 , Por eso no hay solución.

Tambien usando otro lenguaje ,se dice que el rango de la matriz

1 22 −15 3

es 2 pues se lograron 2 �las no

nulas en el pivoteo que es la matriz

1 00 10 0

7

mientras que el rango de la matriz ampliada es 3, pues 3 �las no nulas hay en la matriz pivoteada

−

− 5/212000 5/310 5/6401dado que estos rangos no coinciden ,el sistema no tiene solución.

d) Un sistema aplicado.(Asignación de maquinarias )

Una empresa produce tres tipos de productos P1, P2,y P3 , los que procesa en tres máquinas M1,M2 yM3. El tiempo en horas requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas estadada por la matriz :

P1 P2 P3

M1 3 1 2

M2 1 2 4

M3 2 1 1Se dispone 850 horas de máquina 1 , de 1200 horas de máquina 2 y de 550 horas de máquina 3

a) Cuantas unidades de cada producto deberían producirse con el objeto de emplear todo el tiempo disponiblede las máquinas .?b) Determine la capacidad ociosa de maquinas si se producen 80 unidades de P1, 140 de P2y 160 de P3.c) Sin resolver nuevamente el sistema , Calcular las unidades de P1,P2 y P3 a producir si los recursos ( horasde máquina) se reducen en un 10%.d) Si cuesta $10 la hora de Máquina 1, $12 la hora de Máquina 2 y $ 15 la hora de Máquina 3.Calcular elcosto por unidad de P1,P2 y P3.

Solución:a)

El sistema a resolver es A ·X = b ⇒

3 1 21 2 42 1 1

· x

yz

=

8501200550

, donde x, y, z son las unidades a

producir de P1,P2 y P3 respectivamente.

Pivoteamos en el lugar a12 = 1 de la matriz ampliada.

550112 1200421 85023 1∼

−−−−− 300101 500005 850213

se ha realizado las operacionesF2 → −2 · F1 + F2 , F3 → −1 · F1 + F3

la �la segunda ya permite hallar la solución .⇒−5x = −500⇒ x = 100, sustituyendo esta solución en latercera �la se obtiene la incóginta z = 200, reemplazando x = 100, z = 200 en la primera �la se obtieney = 150

entonces se deben producir 100 unidades de P1, 150 unidades de P2 y 200 unidades de P3. Obteniendose el

8

nivel de produción óptimo

X =

100150200

,

Solución b) En este caso se dá el nivel de producciónX =

80140160

, calculamosAX =

3 1 21 2 42 1 1

· 80

140160

=

7001000460

, este último vector arroja las horas ocupadas en la elaboracion del nivel de producciónX dado.Las

horas ociosas la calculamos por diferencia

horas ociosas =

8501200550

− 700

1000460

=

15020090

, Entonces se disponen de 150 horas no ocupadas en

M1,200 horas no ocupadas en M2 y de 90 horas no ocupadas en M3.

Solución c)Los recursos son las horas máquina dada por el vector

b =

8501200550

este se reduce en un 10% ,es decir se dispone del 0, 9b, entonces hay que hallar el nuevo nivel

de producción que le llamamos X ′, solución del sistema A ·X ′ = 0.9b

siendo A una matriz invertible ⇒ X ′ = A−1 · 0, 9b = 0, 9(A−1 · b)pero por otro lado, el sistema original es A ·X = b de donde X = A−1 · b

entonces X ′ = 0, 9X= 0, 9 ·

100150200

= ·

90135180

estableciendose una realción entre el vector prodcción nuevo X ′ y el antiguo X.

Solución d) De�namos un vector costo hora de máquina igual a C =

101215

lo que se pide es el producto ATC =

3 1 21 2 12 4 1

· 10

1215

=

724983

Entonces cuesta $ 72 la unidad de

P1, $ 49 la unidad de P2 y $ 83 la unidad de P3.

Observe la necesidad de transponer la matriz A2

2Profesor Osvaldo Carvajal

9