MAXIMA CON WXMAXIMA: “UN ASISTENTE MATEMÁTICO

MAXIMA CON WXMAXIMA: “UN ASISTENTE MATEMÁTICO”

LUIS OYONARTE & PACO VILLEGAS

ESTALMAT - ANDALUCÍA

Maxima con wxMaxima Estalmat-Andalucía 07/08

ÍNDICE

Parte 1. Introducción 31. Introducción 42. Objetivos 5

Parte 2. Comenzando con Maxima 63. Introducción a Maxima (wxMaxima) 73.1. Normas y convenios de teclado. 73.2. Normas para ejecutar las órdenes de wxMaxima 84. Comencemos 10

Parte 3. Actividades 155. Cálculos aritméticos 166. Resolución de problemas 207. Introducción histórica a la criptología: criptosistemas clásicos 237.1. Criptosistemas clásicos 238. Resolución de ecuaciones 318.1. Ecuaciones de 1º grado. 318.2. Ecuaciones de 2º grado. 319. Sistema lineal de ecuaciones 3210. Sistema no lineal de ecuaciones 34Tabla de funciones 35Referencias 36

Página 2 Luis Oyonarte & Paco Villegas

Parte 1. Introducción


1. INTRODUCCIÓN

“Pero es posible, y yo diría que muy deseable, que las máquinas se encarguenen el futuro de tantos desarrollos rutinarios y tantas demostraciones clónicas quemantienen ocupados a demasiados matemáticos quienes, incansables, publicanobviedad tras obviedad. Llenando sin cesar, con mutuas referencias, el registrode esa grotesca casa de citas que tiene su sede en Filadelfia. Liberados por lasmáquinas, podrían estos artistas, siguiendo el buen ejemplo de Wiles y Hales,dedicar sus esfuerzos a resolver problemas realmente difíciles e interesantes quetengan luego cabida en Annals of Mathematics.” Diario El País, 04/01/2006

Para trabajar las matemáticas, el ser humano siempre ha necesitado de herramientas que le fa-ciliten la representación y comprensión de los conceptos o le permitan aumentar la rapidez decálculo. El recorrido ha sido largo, desde los calculus de los pastores de la antigüedad, el ábaco,las regletas o palos de Neper (siglo XVI), la máquina aritmética de Pascal (siglo XVII), la má-quina de Leibniz, la analítica de Babbage hasta llegar al ordenador actual basado en la lógica deTuring y Von Neumann.

Debemos utilizar el potencial de la tecnología de los ordenadores para aumentar la capacidadde resolver problemas. Ahora que la cuestión ya no es si hay que utilizar o no las calculadoraso el ordenador en la enseñanza, el reto es cómo utilizarlos. Los conceptos matemáticos siemprehan dependido de los métodos de cálculo y de escritura. La numeración decimal, la escriturade símbolos, la construcción de tablas numéricas ha precedido a las ideas modernas de núme-ro real y de función. Los científicos han calculado integrales mucho antes de que surgieran losconceptos de integral de Riemann o de Lebesgue. De manera análoga, se puede esperar que losnuevos métodos de cálculo y de escritura con los ordenadores permitan el surgimiento de nuevosconceptos matemáticos. El álgebra siempre ha ocupado un lugar importante en el currículo dematemáticas. Sin embargo, lo importante no es que los alumnos sean expertos en grandes mani-pulaciones algebraicas sino que aprendan a considerar el álgebra como una herramienta naturalpara resolver problemas en situaciones diversas.



El software referente a programas de matemática simbólica comenzó con grandes ordenadoreshacia 1970 (MACSYMA, REDUCE, MAPLE, MATHEMATICA). Maxima es un magnífico pa-quete matemático de cálculo simbólico. La versión actual es un descendiente de DOE Macsymaque fue desarrollado en los laboratorios del MIT. Está implementada usando COMMON LISP ymantenida por WILLIAM F. SCHELTER.

“Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp1.Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massa-

chusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte delproyecto MAC. El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Depart-ment of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma.Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter dela Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. En 1998 Schelterhabía obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForgecon el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima.“ Manual de Maxima

Maxima no necesita muchos requerimientos de ordenador, además, la facilidad de uso que in-corporan sus interfaces gráficas (xMaxima y wxMaxima), así como una gran potencia de cálculo,numérico y simbólico, ha hecho que se haya extendido enormemente.

Podemos utilizar Maxima para la manipulación de expresiones algebraicas que incluyan cons-tantes, variables y funciones. Permite calcular límites, integrales, derivadas, resolver ecuacionesalgebraicas y diferenciales, representar funciones de una y dos variables, etc. Es también un len-guaje de programación, lo que nos permite ampliar sus capacidades. Maxima ha sido sin duda unprograma que ha marcado el camino a otros de estas características como Maple o Mathematica.

La página principal del programa es http://maxima.sourceforge.net/. Desde ella pode-mos bajarnos una amplia documentación del programa en formato pdf (en inglés). En castellano,podemos consultar la bibliografía.

2. OBJETIVOS

1. Capacitar a los alumnos para el uso de sistemas de cálculo simbólico en el contexto deotras asignaturas.

2. Utilizar sistemas de cálculo simbólico para resolver e investigar problemas.3. Utilizar sistemas de cálculo simbólico como pizarra electrónica y/o para crear documen-

tos con los que se pueda interactuar.

1Lenguaje de programación


http://maxima.sourceforge.net/

Parte 2. Comenzando con Maxima


3. INTRODUCCIÓN A Maxima (wxMaxima)

Normalmente un programa como wxMaxima se aprende utilizando un mínimo de instruccio-nes iniciales. No se propone la enseñanza del programa por sí mismo, sino como una herramientaauxiliar para las matemáticas.

Antes de comenzar con las actividades, se darán un mínimo de instrucciones como las quevienen a continuación. No obstante, si alguien quiere profundizar en todas las posibilidades deMaxima, deberá consultar el manual que lo acompaña y/o bibliografía que sobre el programa seenumera al final del tema

3.1. Normas y convenios de teclado. Una letra, grupo de letras o un símbolo significa quehay que pulsar dicha tecla.

Ejemplos:↑ , ↓ , → , ← son los cursores.Shift ⇑ es la tecla de mayúsculas (hay dos).−−→−−→ es la tecla tabulador (encima de Shift ⇑ ).

la barra espaciadoraEsc , Insert , etc. vienen así en el teclado.

A veces hay que pulsar dos teclas simultáneamente (un pequeño truco consiste en mantenerpulsada la primera tecla y pulsar a continuación la segunda). Esto se indicará anidándolas con elsigno +:

Ctrl + a

Shift ⇑ + F1 la tecla de mayúsculas con F1

Hay diversos símbolos en el teclado que se obtienen pulsando dos teclas. Por ejemplo hayteclas que tienen tres símbolos:

∗+ ]

pulsando la tecla sola se obtiene el signo de sumar +, con Shift ⇑ y la tecla se obtiene el signode la multiplicación *, y con AltGr , situada a la derecha de la , se obtiene ]. En estoscasos se indicará el resultado final, es decir, * .

Hay otra tecla que vamos a utilizar con frecuencia: es el símbolo ^, que se pone para la poten-ciación. Si seguimos los pasos del ejemplo anterior este símbolo se obtiene pulsando Shift ⇑ yla tecla

∧8 [

pero aparentemente no sale nada. Esto se debe a que es un acento y como tal está esperandoque se pulse una tecla tras de él (si es una vocal saldrá encima de la misma, en cualquier otrocaso sale a la izquierda de la letra, número o símbolo tecleado. Para que salga sólo pulsamos la

y a continuación podemos escribir cualquier carácter).



3.2. Normas para ejecutar las órdenes de wxMaxima. La pantalla inicial del programa essimilar a la captura que sigue:

Hay varias partes en esta pantalla:1. En la parte inferior de la pantalla se encuentra el área de botones o atajos, pulsando en

los botones de la barras atajos agilizamos las funciones que realiza el programa.2. Encima del área de atajos nos encontramos con el área de entrada. Es la zona que usare-

mos para interactuar con el programa (introducir datos)3. Colocada encima del área de entrada está el área de salida o ventana de trabajo. En ella

aparecerán las expresiones, resultados y gráficos. Inicialmente aparece en blanco.4. Encima de la ventana de trabajo están las barras de iconos.5. Las órdenes se eligen de los menús de opciones. Para ejecutar una orden podemos selec-

cionarla con el ratón o bien con la combinación de teclas Alt +"Letra Subrayada delmenú”.

El gráfico de abajo es el menú inicial al cargar el programa

En el programa las órdenes se eligen a través de diversos menús de opciones. Hay tres formasde ejecutarlas.

Una consiste en pulsar con el ratón sobre la opción deseada del menú correspondiente.Con la combinación de teclas Alt +”Letra Subrayada del menú”. Por ejemplo, Alt

+ a abre el menú de archivo.Pulsando sobre los iconos que aparecen en el área de botones2 o atajos

2Ya veremos que se puede ampliar el número de botones disponible en este área



Antes de seguir, un “lugar de obligada visita”, la magnífica ayudadel programa a la que se accede desde Ayuda . Ayuda de Maxima.Pero ese menú merece la pena, las opciones a las que permite accederhay que analizarlas mejor, ya veremos algunas después. Por ahora,optaremos por acceder a la ayuda pulsando sobre la tecla de funciónF1



4. COMENCEMOS

Dependiendo del sistema operativo con el que trabajamos, podemos acceder a wxMaxima dediferentes formas, por ejemplo desde Guadalinex se accede desde la cadena de menús: Aplica-ciones . Otras . wxMaxima.

Desde entornos Linux, la forma más “genérica” es abrir un terminal y ejecutar el coman-do:

$ wxmaximaDesde Windows, en general usaríamos el icono que deberíamos tener en el escritorio yque permite arrancar el programa.

La primera pantalla que vemos al ejecutar wxMaxima es la siguiente3:

Vamos a introducirnos en este programa. Comencemos escribiendo en el área de entrada 264

3La captura indica con qué versión se ha trabajado en estos apuntes, se trata de:

Sistema: Guadalinex V4.1Versión de maxima: 5.14.0Versión de wxMaxima: 0.7.4



Para obtener el resultado, podemos pulsar sobre el gráfico o pulsar la tecla ←↩ , encualquier caso obtendremos:

En menos de una décima de segundo tenemos en la pantalla el astronómico número de veintecifras, calculado de forma exacta (esta es una de las virtudes de Maxima, si lo comparamos conlas calculadoras científicas).

!: En Maxima, para terminar la ejecución de un comando tenemos que finalizarlo con ;y después la tecla ←↩ . En wxMaxima no es necesario, el caracter “;” lo escribe él.

Podemos observar cómo ha ido variando el área de trabajo y por ejemplo, ahora nos dice quelo último ejecutado es simplificar la expresión %i1 (la primera entrada, de input en inglés) yque el resultado obtenido es %o1 (de salida en inglés, es decir de output). Con esos “nombre”podremos después hacer referencia a los valores que representan. Pero ya veremos esto mejordespués. Con %i2 maxima nos indica que espera nuestra segunda instrucción.

Pero el “número de granos” a calcular es 264−1. Vamos a corregir nuestros cálculos.Para ello, con la expresión remarcada utilizamos la secuencia de menús Editar . Editar En-

trada, la combinación de teclas Ctrl + e , pulsamos sobre el botón derecho del ratón y despuéssobre



o mejor, pulsando en la tecla ←↩ procedemos a editar la expresión, la modificamos a nuestroantojo, y una vez realizados los cambios pulsamos sobre Ctrl + ←↩ , el resultado:

Vamos a seguir explorando un poco más las capacidades aritméticas del programa.¿Cuál sería la descomposición en factores primos del número anterior?. Un problema difícil

de abordar incluso con calculadora. Seleccionamos la expresión ( %i2) hasta que quede en vídeo

inverso. Pulsamos sobre el botón del área de botones, en pocas décimas de segundose obtiene esta sorprendente descomposición en la que un factor tiene 5 dígitos y otro ¡7 dígitos!.

Calculemos el valor del número π . En el área de entrada escribimos %pi y veremos que elprograma no muestra lo que esperábamos:



Esto se debe que Maxima, por defecto opera de forma exacta, y claro ya sabemos que π nopuede ser “calculado”. Pero supongamos que lo que queremos es obtener algunas cifras decima-les del número π , en ese caso podíamos haber escrito

%pi,numer;el resultado sería:

aparece el número π con 16 cifras. Pero ¿cómo obtener más cifras?. El número de cifrassignificativas puede ser elegido pulsando Numérico . Establecer precisión y se abre la ventana:

Vamos a optar porque sean 100, obtendríamos:

Para obtener el resultado, y tras optar por una precisión de 100, pulsamos sobre la salida delprimer comando y, una vez en vídeo inverso, usamos desde el área de menú: Numérico . A realgrande (bigfloat) ...



Pero no sale como esperamos, y es que los 43 dígitos de en medio salen truncados, para eso,pulsamos sobre Maxima . Cambiar pantalla 2D y optamos por ascii

Ya sí:

Hay otros valores interesantes de conocer:

Símbolo Maxima Descripciónπ %pi área del círculo de radio 1 (aprox. 3.14159...)e %e base de los logaritmos neperianos (2.71828...)i %i unidad imaginaria (raíz cuadrada de -1)

Si queremos salir de wxMaxima pulsamos

y en el menú desplegable que aparece terminamos la sesión conSalir (o Ctrl + Q , nos preguntará si queremos guardar la sesiónactual y pulsaremos en Aceptar para salir sin guardar nada.


Parte 3. Actividades


5. CÁLCULOS ARITMÉTICOS

Veamos cómo realizar las operaciones básicas con wxMaxima. Los operadores aritméticosusuales son:

Suma Resta Multiplicación División Potencia+ - * / ^ o **

Por ejemplo:Como se puede observar, Maxima por defecto no opera de forma apro-

ximada, y si deseamos un valor aproximado, tenemos que indicárselo. Unaspecto a tener en cuenta es el de la prioridad en las operaciones y el buenuso de los paréntesis. Otra cosa a tener en cuenta, el carácter % (ya hasalido) tiene un sentido especial, referencia siempre la última expresiónobtenida, así por ejemplo si:

( %i1) 2+3*5;( %o1) 17( %i2) %-7;( %o2) 10

Recordar que podemos operar las etiquetas que aparecen a la derechadel área de trabajo, así por ejemplo, si escribimos:

( %i3) %o1* %o2;( %o3) 170

Pero manos a la obra, es la hora de trabajar con el programa:

Problema 5.1.1. Halla el valor exacto y aproximado de

a)(2

7 +3)2 +3∗ 4

7

b)√(2

7 +3)2 +3∗ 4

7

2. Comprueba que

[(34

2+ 34

)−2

+ 23

]4

= 24154384459256550625121439531096594251776 . ¿Qué valor aproximado tie-

ne?

Problema 5.2.1. Para hallar la factorización de un número (o polinomio) solo tenemos que usar el botón

. Factoriza el número 123456789012345678902. El factorial de un número natural (se representa con el signo ! después de ese número) es

el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él, por ejemplo:3! = 3 ·2 ·1 = 6.



a) wxMaxima usa ! para calcular factoriales, halla 4! y 100!.b) Factoriza los resultados obtenidos.

3. Con el comando primep podemos saber si el número entero n es o no primo, devolviendotrue o false según el caso. Por ejemplo:

( %i1) primep(3);( %o1) true( %i2) primep(4);( %o2) false

¿Es primo? 2305843009213693951 ¿y? 12305843009213693957

Los primos de Mersenne (números primos de la forma 2p− 1 donde p es un númeroprimo) se encuentran entre los más grandes primos hallados. Actualmente el primo deMersenne más alto encontrado es el cuadragésimo cuarto y es el número 232582657−1 que tiene 9.808.358 dígitos y fue descubierto el 4 de septiembre de 2006 gracias alproyecto de computación distribuida GIMPS en la dirección http: // www. mersenne.

org . http: // es. wikipedia. org/ wiki/ Número_ primo4. Como no puede ser de otra forma, con wxMaxima podemos obtener el MCD y MCM de

dos números. Por ahora nos conformamos con el MCD, para eso hay que usar Análisis .Máximo Común Divisor

1. Halla MCD(138844468224,184624895000)a) Sabiendo que si a y b son dos números, entonces a · b = MCM(a,b) ·MCD(a,b).

Halla el MCD del par de números anteriores.4

4Cargando el paquete adecuado es posible hacerlo de forma automática, se trata de cargar el paquete functs.macdesde Ayuda . Cargar Paquete.


http://www.mersenne.org

http://www.mersenne.org

http://es.wikipedia.org/wiki/N�mero_primo


Problema 5.3.Le preguntan a varios especialistas: ¿A qué es igual el número π?

El ingeniero responde: es aproximadamente 317

El físico: es 3,14159El matemático (después de una corta meditación): es igual a π

En 1873 y tras un trabajo de casi toda la vida el inglés WillianSanks publicó las primeras 707 cifras del número π . En 1945,usando ordenadores se comprobó que ese inmenso trabajo eraerróneo desde la cifra 528. En en 2004 fueron capaces de sacar1,3511 billones de lugares decimales de π usando algoritmosultrarrápidos.

Ahora te toca, halla una aproximación de π con 1000 cifrasdecimales.

Problema 5.4. Una hermosa leyenda cuenta que cuando un matemático oriental inventó el juegode ajedrez, el monarca de Persia quedó tan entusiasmado con el juego que quiso conocer ypremiar al inventor. Y cuenta el árabe Al-Sefadi que el rey ofreció a dicho inventor concederle elpremio que solicitara. El matemático le pidió como premio lo que sigue:

1 grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez,2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente, siempredoblando, hasta la última de las 64 casillas. El soberano persacasi se indignó de una petición que, a su parecer, no había dehacer honor a su liberalidad.

¿No quieres nada más? preguntó.Con eso me bastará, le respondió el matemático.El rey dio la orden a su gran visir de que, inmediatamente,

quedaran satisfechos los deseos del sabio. ¡Pero cuál no sería elasombro del visir, después de hacer el cálculo, viendo que eraimposible dar cumplimiento a la orden!

1. ¿Cuantos granos de trigo contendría la última casilla?2. ¿Qué expresión tendría la suma de granos escrita en forma de una suma de potencias de

2?3. Podemos usar Maxima para que nos calcule el resultado. Usa el menú Análisis . Calcular

la suma...Necesitas ajustar los campos:



4. Realiza el mismo cálculo si en la ventana anterior optas por Nosum5. Si 1000 granos de trigo pesan aproximadamente 35gramos. ¿Cuántas toneladas de trigo

representa la cantidad anterior?6. La producción promedio anual de trigo en el mundo asciende a unas 592 millones de

toneladas. Compara esa cifra con la obtenida anteriormente.

Problema 5.5. Con Maxima podemos crear funciones. Por ejemplo podemos prepararnos unafórmula para obtener el área de un rectángulo:

Crea una “fórmula” que te dé el área de un triángulo y halla el área de los triángulos de base yaltura:

base 6 23 350altura 3 45 300



6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Dada una cartulina de tamaño 15 cm por 20 cm,quitamos cuatro cuadraditos en las esquinas y do-blando hacemos una caja sin tapa. ¿Cuánto debe me-dir el lado del cuadradito para que la caja tenga lamáxima capacidad posible?

Podemos materializar construyendo diversas ca-jas, quitando cuadraditos de 1, 2, 3, ... cm. de lado.Y el volumen para cada uno de ellos sería:

x volumen1 18·13·1 = 234 cm3

2 16·11·2 = 352 cm3

3 14·9·2 = 378 cm3

Esta tabla podemos hacerla con Maxima de esta forma: Primero introducimos la función vo-lumen (20−2x)(15−2x)x

f (x) := (20−2∗ x)∗ (15−2∗ x)∗ xy después hallamos:f (1)f (2)....

Problema 6.1. Compruébalo y halla hasta f (5)

Problema 6.2. Ahora vamos a hacer una tabla de valores en la que x tomará los valores de 0 a 8de uno en uno mediante la orden Álgebra . Construir Lista

( %i1) makelist((20-2*x)*(15-2*x)*x, x, 0, 8);( %o1) [0,234,352,378,336,250,144,42,-32]

Así vemos que el valor de x debe estar entre 2 y 4 cm (para valores enteros sería 3 cm). Tambiénobservamos que para x = 8 cm el “volumen” es negativo (no se puede construir dicha caja).

Problema 6.3. Gráfica de la función volumen. Pulsa sobre de la barra de atajos yobtén como resultado la gráfica



Problema 6.4. Podemos usar las posibilidades que como lenguaje de programación nos brindaMaxima

( %i2) f(x):=(20-2*x)*(15-2*x)*x;( %o2) f(x):=(20-2*x)*(15-2*x)*x( %i3) for i:0 thru 8 step .1 do display(f(i));

¿Qué se obtiene?El último comando significa:Halla los valores de f (x) desde que la variable i toma el valor 0 hasta que llegue a valer 8,

incrementando ese valor de décima en décima.Podemos optar por otros valores límites o modificar el valor del incremento. A partir del

resultado anterior podemos obtener que para x entre 2.8090 y 2.8484 el volumen es 379.0337.( %i1) f(2.8);( %o1) 379.008( %i2) f(2.9);( %o2) 378.8559999999999

Pero una vez obtenidos estos valores cercanos a la solución podemos alcanzar la precisión desea-da haciendo tablas de valores adecuadas. Por ejemplo, para obtener una aproximación hasta lascentésimas, podemos tomar valor inicial de x 2.80, valor final 2.85 y valor del incremento 0.01(así x tomará los valores 2.80, 2.81, 2.82, 2.83, 2.84 y 2.85) y podemos ver en la figura siguienteque el valor más alto que toma el volumen es 379.0377 para x = 2,83. De forma análoga se podríaaproximar hasta las milésimas... Pero para el problema “real” de la cartulina una aproximaciónde mm (es decir décimas de cm) es más que suficiente, y en este caso sería 2.8 cm.

Problema 6.5. Halla tú las tablas anteriores y comprueba todo lo que se afirma en el párrafoanterior.



Problema 6.6. Tenemos la cartulina el doble de larga (15cm x 40cm) y queremos hacer la cajacon tapadera. Halla las dimensiones para que el volumen sea máximo.

Problema 6.7. Determina las dimensiones de un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad (1000cm3) para que utilice la menor cantidad de material posible. (Recuerda que la superficie total deun cilindro es 2πr2 +2πrh).



7. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA CRIPTOLOGÍA: CRIPTOSISTEMAS CLÁSICOS

La criptología es la ciencia encargada del estudio de los criptosistemas, esdecir, de los sistemas de comunicación que, mediante alguna técnica de cifrado,permiten la comunicación entre interlocutores de forma que nadie excepto ellospueda conocer el contenido de la información que intercambian. Las áreas demayor interés en criptología son la criptografía, el criptoanálisis y esteganogra-fía.

La criptografía, arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático,es el área que estudia métodos de cifrado y descifrado de mensajes que resulten seguros, es decir,que no sean fácilmente descifrables por personas ajenas a los grupos que se comunican.

El criptoanálisis en cambio es el área encargada de intentar descifrar los mensajes cifrados quehayan sido interceptados mientras viajaban en el canal de comunicación de dos interlocutores.

La esteganografía estudia las maneras de ocultar el envío de mensajes entre interlocutores deforma que nadie ajeno a ellos pueda conocer la existencia de tales envíos.7.1. Criptosistemas clásicos. El primer sistema de cifrado que se conoce, la escítala,fue utilizado por los lacedemonios en el siglo V A.C. y consiste en enrollar una cinta alrededorde un bastón y escribir sobre ella, de manera longitudinal, el mensaje que se quiere enviar. Aldesenrollar la cinta, lo que puede leerse es simplemente un conjunto de letras sin ningún sentidoaparente. La llave que abre este sistema es pues el grosor del bastón que se emplea, pero no existeningún tipo de modificación en el mensaje, o dicho de otro modo, el texto enviado es el texto enclaro, lo que se traduce en una debilidad muy importante, con el riesgo que eso conlleva.

Posteriormente, a mediados del siglo II A.C., un historiador griego llamadoPolybios inventó el método de cifrado por sustitución (permutación de letras)más antiguo que se conoce. Este método consiste en sustituir cada letra delmensaje en claro (mensaje sin cifrar) que se quiere enviar, por el par de letrasque indican la fila y la columna (en ese orden) en que la letra original seencuentra en una tabla de 5×5 caracteres.

Problema 7.1. Según el siguiente ejemplo de tabla de Polybios (adaptada al español)

A B C D EA A B C D EB F G H IJ KC L M NÑ O PD Q R S T UE V W X Y Z



cifra el mensaje “ATACAMOS MAÑANA".

Unos cincuenta años después, en el siglo I A.C., aparece un cifrador llamado método de César,que no depende de ninguna tabla, sino que aplica un desplazamiento constante de tres lugaresa cada letra del texto sin cifrar. Por supuesto este método puede fácilmente ser alterado y hacercualquier tipo de desplazamiento, no sólo de tres lugares.

Problema 7.2. Utilizando el método de César, cifra el mensaje “TITO LIVIO TE RECIBIRAMAÑANA".

Problema 7.3. Descifra el siguiente mensaje sabiendo que se ha empleado el criptosistema deCésar con un desplazamiento de cinco lugares:

“PFKPTYFXZGQFWNRFJXYFJRQFWIJPHTWFP".

En cualquier caso, el criptoanálisis de este tipo de cifrado resulta elemental. La primera técnicade criptoanálisis en la que uno piensa resulta ser efectiva, y esta técnica no es otra que aplicarde la siguiente forma las estadísticas del lenguaje en el que se escribe: estudios estadísticosdemuestran que la letra más empleada en el lenguaje castellano es la E, seguida de la A, la O, laS, ... Así, si la letra que más se repite en un texto cifrado es la D, parece razonable pensar que seha utilizado la correspondencia E→ D a la hora de cifrar el mensaje, y proceder de esta manerahaciendo coincidir las estadísticas.

Por supuesto este método no es, ni mucho menos, infalible, yademás hay que tener en cuenta que las diferencias estadísticasentre algunas letras son mínimas, lo que hace más difícil que lascorrespondencias estadísticas se cumplan. Si esto ocurriera, esdecir, si la correspondencia E→ D no diera lugar a nada razona-ble, se podría intentar la correspondencia de la E con la segundaletra más usada en el texto cifrado, o cualquier otra variante quese nos ocurra.

En realidad, este tipo de proceso de cifrado corresponde a unaecuación matemática: podemos sustituir cada letra del mensajeen claro por un número (A=0, B=1,...), aplicar la ecuación y =x +3 (si usamos el método de César) a cada número, y sustituirel número resultante por la letra que le corresponde. Pero existeun pequeño problema en este proceso, ¿sabes cuál es?. ¿Cómolo solucionarías?. Si después de pensar un rato no encuentras la

solución, puedes utilizar las pistas 2-4 (empezando por la 2), abriendo sólo las que precises parallegar a la solución.

Una vez formalizado el proceso de cifrado, descifrar debe consistir en aplicar la ecuacióninversa, que en el caso del método de César es x = y−3.

Como hemos dicho antes, este modelo de criptosistema resulta demasiado vulnerable, pues dehecho, utilizando las estadísticas del lenguaje, sólo necesitamos acertar con una correspondenciade letras ya que tenemos una ecuación (y = x+b) con una incógnita (b).



Podemos intentar complicar el criptosistema un poco más añadiendo una nueva variable, y enlugar de aplicar un cifrado del tipo y = x +b, aplicar una ecuación de la forma y = ax +b. Peroclaro, hay que tener en cuenta que al igual que codificamos, debemos ser capaces de descodificar,para lo cual debemos exigir que a no sea múltiplo de 3, siempre bajo la suposición de que lostextos están escritos usando el alfabeto castellano (33 = 27 caracteres). La razón de esta exigenciaes que la ecuación que hay que aplicar para descifrar es x = α · (y− b), en donde α es el úniconúmero entero que verifica:

a) 1≤ α ≤ 26,b) el resto de la división de α ·a entre 27 es 1,

y existen razones matemáticas para afirmar que si 3 divide a a entonces no es posible calcularα .

Por supuesto a nadie le gustaría verse en la situación de utilizar uncriptosistema que ni siquiera él mismo puede romper.

Pese a lo que pueda parecer, el cálculo de este número α es biensencillo. De hecho es incluso mecánico, pues existen algoritmos (al-goritmo de Euclides) que permiten su cálculo. No obstante no vamosa entrar en fórmulas toda vez que el programa “Máxima" permite sucálculo de forma directa sin más que ejecutar el comando inv_mod,y α será inv_mod(a,27).

Problema 7.4. Tienes que ayudar a un amigo tuyo corredor de bolsa avisándole de que, contratodo pronóstico, el precio del valor IBERTEX, del que él tiene numerosas acciones, va a venir-se abajo tras la apertura de la sesión de mañana, pero nadie más debe enterarse de esto puestu advertencia no serviría para nada. Así, debes hacerle llegar el mensaje: “FUERTE CAIDAINMINENTE IBERTEX" (tienes que tener en cuenta que en todos los mercados bursátiles, losteléfonos, correos electrónicos y todos los medios de comunicación están supervisados por ad-ministradores de sistemas de más alto rango que tu amigo, por lo que no es posible ponerse encontacto con él sin que alguien se entere, es decir, aquí no puedes emplear ninguna técnica deesteganografía).

Como respuesta, tu amigo te hace llegar el siguiente mensaje que ha cifrado utilizando lafórmula y = 5x+3:

“QXEANPXÑDRXGMDÑRWQIWÑWBPNPXQ".Como pudiste comprobar cuando cifraste el texto para tu amigo, lo interesan-

te de todo esto es inventar, elegir la mejor forma de hacer las cosas, pero unavez hechas, los cálculos, que siempre son los mismos, no enseñan demasiadocuando ya se han efectuado un par de veces. Por eso, para descifrar el mensajeque te manda tu amigo puedes usar el programa Máxima de la siguiente forma:sabes que la fórmula para descifrar cada carácter es x = α · (y− 3), y tambiénsabes qué es α y cómo se calcula con Máxima. Por eso puedes definir la ecuación de descifradocomo una función f (x) y ejecutar la sentencia

for i:0 thru 26 step 1 do display(f(i))



Obtendrás inmediatamente la correspondencia numérica que te permitirá descifrar todas lasletras del alfabeto.

El siguiente paso a la hora de complicar el criptoanálisis de cualquier criptosistema consiste enincluir una clave de la siguiente forma: en primer lugar se realiza la transformación del alfabetosegún el método de cifrado que se haya elegido. Por ejemplo, si ciframos usando la fórmulay = 4x+1, el alfabeto de cifrado será el siguiente:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y ZB F J N Q U Y C G K Ñ R V Z D H L O S W A E I M P T X

A continuación se escribe la clave, que será una frase, empezando en una posición de letra quese debe conocer, y sin repetir caracteres. Por ejemplo, si la clave es “LAURA”y debe introducirseen la posición p = 2, tendríamos la siguiente correspondencia alfabética:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y ZL A U R

Finalmente se escribe, a partir de la última letra de la clave, el resto de los caracteres siguiendoel orden dado por la transformación alfabética que construimos en el primer paso, y por supuestosin repetir los caracteres ya escritos, es decir:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y ZT X L A U R B F J N Q Y C G K Ñ V Z D H O S W E I M P

¡Ya tenemos nuestro alfabeto de cifrado!.

Problema 7.5. Un compañero de tu equipo de fútbol del colegio te ha hecho llegar el mensaje“MKVZYVKOYXTKEQWKQÑBTYEMKEYCKX” que ha cifrado utilizando la llave 2x+2 yla clave “PARTIDO”. No conoces en qué posición hay que introducir la clave pero sabes que laI se ha cifrado como T.

Para calcular el alfabeto de cifrado previo a la introducción de la clave, puedes ayudarte conel programa Máxima (ya lo has hecho antes), pero ten en cuenta que la función que debes definirahora es la de cifrado, no la de descifrado.

Como dijimos antes, el criptoanálisis de un criptosistema de este tipo es más complicado, puesrequiere utilizar las estadísticas del lenguaje de una forma mucho más exhaustiva y eficiente (yano basta conocer la correspondencia de dos pares de letras del alfabeto).



Por supuesto todos los métodos explicados responden sólo a una introducción muy superficialde la criptografía, toda vez que la potencia de cálculo que hoy en día poseen los ordenadoresrompería cualquiera de estos criptosistemas en cuestión de segundos. En cualquier caso, el ob-jetivo de este tema no era otro que hacer entender las bases de la criptografía. Más profundidadse alcanzará en la sesión dedicada específicamente a la criptografía. No obstante, y sólo comoadelanto que sirva para aumentar la curiosidad del que esté interesado, cabe resaltar que los crip-tosistemas que destacan hoy en día (sobretodo cuando se trata de enviar información confidencialentre personas y administraciones) son los de llave pública, es decir, sistemas que cifran a partirde llaves que puede conocer cualquier persona, pero que sólo permiten descifrar al que cifra elmensaje. De entre estos criptosistemas el más extendido es el RSA.

Trabajo en grupo

Cinco grupos. Cada uno debe descifrar el mensajeAUZHINHZHRVHIEQTH,

que ha sido cifrado con la llave y = 5x+7. Gana el equipo que termine antes.A continuación deben cifrar otra vez el mensaje que han obtenido pero utili-

zando la llave y = 7x+5. Gana el equipo que termine antes.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z


















Pista 1

Ninguna de las estadísticas que razonablemente se puede ocurrir funciona, pero si pensamosun poco podemos decir que una letra por la que es muy fácil que empiece una frase es la L.

Esto ayuda además a aprender que a la hora de cifrar no sólo hay que buscar buenos métodos,sino que hay que ser lo menos previsible posible.

Pista 2

El problema es que no podemos hacer las operaciones aritméticas tal y como estamos acos-tumbrados, o al menos, tras hacerlas, hay que trabajar un poco más, y la razón es que, dado queel alfabeto castellano tiene 27 letras y empezamos a contar por el 0, tras el número 26 no existenada... aparentemente; efectivamente, si queremos codificar por el método de César, la X (núme-ro 24) debería escribirse como una A (número 0). Sin embargo, según la ecuación y = x+3, la Xdebería ser codificada por la letra cuyo número sea el 24+3 = 27, que no existe.

Pista 3

Efectivamente la idea es construir un bucle de la Z a la A de forma que la sustitución de letrasse convierta en un ciclo. Pero matemáticamente, >qué significa esto? O mejor dicho, hacer unciclo de 27 números significa que dos números a y b representan a la misma letra siempre queel número de letras que sobren cuando pasamos la Z por última vez (pensemos que si a o b songrandes puede que haya que pasar la Z varias veces) sea el mismo para a y para b. >cómo selleva esto a la práctica con números?

Pista 4

Cuando el resto de la división de a entre 27 sea el mismo que el resto de la división de b entre27. Cuando esto ocurre decimos que a y b son congruentes módulo 27 y lo escribimos comoa≡ b (mod 27) ó a≡27 b.

En definitiva, para conocer qué letra corresponde a la M (número 12) mediante el criptosistemade llave 13x + 6, tenemos que calcular el resto de la división de 13 ·12 + 6 = 162 entre 27, quees 0, así que le corresponde la A.

Pista 5

La letra A se repite bastante en el texto.



8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

8.1. Ecuaciones de 1º grado. Resolvamos la siguiente ecuación:45x−65+346−21x = 497+8xPara ello

Maxima45*x-65+356-21*x=497+8*x

y tras marcarla pulsar sobre .

Problema 8.1. Resolver la ecuación

1. 17x−21(4− x)+5x−33 = 220−32x

8.2. Ecuaciones de 2º grado. Resolvamos la ecuación x2−5x+6 = 0 pulsando sobre el botón

( %i1) solve([x^2-5*x+6], [x]);( %o1) [x=3,x=2]

Veamos ahora las soluciones gráficamente. Seleccionamos la expresión (x2− 5x + 6 = 0) y tras

pulsar sobre representemos gráficamente la función.

Problema 8.2. Veamos como Maxima obtiene la fórmula que nos da las soluciones de la ecua-

ción de 2º grado: a*x^2+b*x+c=0 y .Este ejemplo nos muestra que Maxima puede resolver ecuaciones con parámetros y esto puede

ser muy útil para introducir fórmulas.

Problema 8.3. Maxima resuelve de forma exacta ecuaciones de 3º y 4º grado. (Para las de gradomayor sabemos que no hay fórmula posible).

1. Por ejemplo, si en Maxima introducimosa*x^3+b*x^2+c*x+d=0

Al cabo de unos momentos veremos tres soluciones enormes en la pantalla.2. Como ejemplo de una de cuarto podemos escribir:

3*x^4+7*x^3-3*x^2+25*x-7=0Veremos las cuatro soluciones, dos reales y dos complejas, que podemos aproximar.

3. Resolver las siguientes ecuaciones:a) 2x3− x2−4x+2 = 0b) 3x4 +2x3−16x2−10x+5 = 0



9. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

Resolvamos el sistema de ecuaciones:{

3x+ y = 72x+7y = 12

Para resolver sistemas utilizamos Ecuaciones . Resolver Sistema Lineal... e introducimos elnúmero de ecuaciones. Inicialmente será un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Despuésescribimos:

el resultado:( %i1) linsolve([3*x+y=7, 2*x+7*y=12], [x,y]);( %o1) [x=37/19,y=22/19]

Problema 9.1. Hallar las soluciones de los sistemas:

{3x+2y = 25x− y = 2 2x+ y+ z = 7x+ z = 4

3x−2y+ z = 2

Problema 9.2. Resuelve el sistema

{3x+5y = 7

2x+7y = 12La interpretación gráfica puede ser útil, por ello se propone la siguiente actividad.Hacer la gráfica de las dos rectas y comprobar que el punto de corte es (-1 , 2).

Problema 9.3. En Economía la función que relaciona el precio de un producto con la cantidadde este producto que los consumidores están dispuestos a comprar se llama curva de demanda.La función que relaciona el precio a que se pagaría un producto con la cantidad del mismo queestán dispuestos a ofertar fabricantes y vendedores se llama curva de oferta. El punto de corte deambas curvas es un punto de equilibrio al que se aproxima el mercado.

Por ejemplo: Las curvas de oferta y de demanda de un cierto tipo de ordenadores son, respec-tivamente:



y = 2x−950y =−0,5x+2000

en donde x es el precio en euros de los ordenadores e y es el número de ordenadores ofertados(en el primer caso) o demandados (en el segundo).

¿cuál será el punto de equilibrio de esta mercancía?Hacer una gráfica de las dos funciones y hallar el punto de intersección.



10. SISTEMA NO LINEAL DE ECUACIONES

Por el mismo método anterior Maxima nos va a resolver cualquier sistema. Pero si no sonlineales tendremos que optar por Ecuaciones . Resolver sistema algebraico... Por ejemplo, siintroducimos:

se obtiene:( %i1) algsys([x^2+y^2=25, x*y=12], [x,y]);( %o1) [[x=-3,y=-4],[x=-4,y=-3],[x=4,y=3],[x=3,y=4]]

Que corresponden a 4 soluciones.

Problema 10.1. Resuelve el sistema no lineal:

{x2 + y2 = 252x− y = 2

Problema 10.2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:{x2− y2 = 93x−2y = 7

Haz la gráfica de ambas ecuaciones y comprueba gráficamente las soluciones.

Problema 10.3. Las funciones de oferta y de demanda de un televisor de alta resolución son:

y =−0,2x2 +42000y = 0,08x2

siendo x el precio de una televisión de alta resolución e y la cantidad de las mismas que sedemandan o se ofrecen en un año.

Hallar el punto de equilibrio y hacer una gráfica.



TABLA DE FUNCIONES

FUNCIÓN DESCRIPCIÓN

abs(x) Valor absoluto de xacos(x) Arco coseno de xacosh(x) Arco coseno hiperbólico de xasin(x) Arco seno de x

asinh(x) Arco seno hiperbólico de xatan(x) Arco tangente de x

atanh(x) Arco tangente hierbólica de xbinomial(m,n) Número combinatorio

(mn

)= m!

n!(m−n)!csc(x) Cosecante de xcos(x) Coseno de x

cosh(x) Coseno hiperbólico de xcot(x) Cotangente de xexp(x) Función exponencial, ex

floor(x) Parte entera de xlog(x) Logaritmo Neperiano de x

max(x1,x2,x3,...) Máximo de x1,x2,x3...min(x1,x2,x3,...) Mínimo de x1,x2,x3...

signum(x) Signo de x (1 si x > 0, −1 si x < 0, 0 si x = 0)sin(x) Seno de x

sinh(x) Seno hiperbólico de xsqrt(x) Raíz cuadrada de xtan(x) Tangente de x

tanh(x) Tangente hiperbólica de xx! Factorial de x



REFERENCIAS

[1] Manual de Introducción a la aplicación matemática Máxima. Miguel Arsuaga Franco y Rosa Ramos Pa-lanco. http://www.guadalinex.org/mas-programas/descargas/contribuciones-de-usuario/

introduccion_a_maxima.pdf/view

[2] Página de Mario Rodríguez Riotorto http://www.telefonica.net/web2/biomates/

[3] Libro sobre Maxima con wxMaxima, Rafa Rodríguez Galván http://softwarelibre.uca.es/node/788


http://www.guadalinex.org/mas-programas/descargas/contribuciones-de-usuario/introduccion_a_maxima.pdf/view

http://www.guadalinex.org/mas-programas/descargas/contribuciones-de-usuario/introduccion_a_maxima.pdf/view

http://www.telefonica.net/web2/biomates/

http://softwarelibre.uca.es/node/788

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MAXIMA CON WXMAXIMA: “UN ASISTENTE MATEMÁTICO