MATEMATICASBLOQUE IV

DIVISORES DE UN NUMERO Y MAXIMO COMUN DIVISOR

DIVISORES DE UN NÚMERO

Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a es exacta.

VAMOS A PRACTICAR

4 es divisor de 12 porque al dividir 12 : 4, la división es exacta

3 es divisor de 36 porque al dividir 36 : 3, la división es exacta

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Nos permiten descubrir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división.

El CERO no es divisor de ningún número, ya que no se puede realizar la división de un número natural entre cero.

RESPECTO A LOS DIVISORES DEBEMOS TENER EN CUENTA TRES ASPECTOS:

El UNO es divisor de cualquier número

Todo número es divisor de sí mismo

Número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

El 2, 3, 5, 7, 11, 13 son números primos, ya que sólo se puede dividir exactamente por sí mismos y por la unidad

El 120 es divisible por dos, porque termina en cero

El 426 es divisible por dos, porque termina en cifra par.

Un número es divisible por tres cuando LA SUMA DE SUS CIFRAS DA TRES O UN MÚLTIPLO DE TRES.

El 462 es divisible por tres porque, al sumar sus cifras.

4 + 6 + 2 = 12

Nos da 12, y 12 es múltiplo de 3

Un número es divisible por cinco CUANDO TERMINA EN CERO O EN CINCO

160 es divisible por cinco, porque termina en cero

425 es divisible por cinco, porque termina en cinco

Un número es divisible por seis CUANDO LO ES A LA VEZ POR DOS Y POR TRES.

630 es divisible por seis ya que lo es, la vez, por dos, porque termina en cero y por tres porque la suma de sus cifras da nueve y nueve es múltiplo de 3

156 es divisible por seis ya que lo es, la vez, por dos, porque termina en cifra par y por tres porque la suma de sus cifras da doce y doce es múltiplo de 3.

Un número es divisible por diez CUANDO TERMINA EN CERO

650, es divisible por diez

Máximo común divisor

Es el mayor de los divisores comunes a dos o más números

1º Escribimos todos los divisores de 24 y 18

24: 1,2,3,4,6,8,12,24 18: 1,2,3,6,9,18

Ejemplo: Cuál es el mcd de 24 y 18

2º Localizamos los comunes

3º Elegimos el mayor: 6

Por lo tanto el máximo común divisor de 24 y 18 es 6

Pero este método es es muy laborioso, lento y es fácil que se olvide algún divisor (imagínate que se te olvida precisamente el mcd).

Por eso vamos a aprender otro método para hallar el mcd de 2 ó más números.

Calcula el mcd de 36 y 48

2º - Expresamos cada número como un producto de potencias de factores primos

36 2

1º Descomponemos ambos números en factores primos.

18 2

9 3

3 3

1

36 = 2 · 32 2

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1

48 = 2 · 34

3º Buscamos los factores comunes.

4º Seleccionamos los factores comunes con el menor exponente. Por lo tanto el mcd (36 y 48) = 22 · 3 = 12

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS ES EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON EL MENOR

EXPONENTE

10 de abril de 202314

Problema: Una habitación rectangular de 7.8 m de largo por 3 m de ancho se quiere solar con mosaicos cuadrados lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá medir el lado de cada uno si al colocarlos no se quiere romper ninguno?

Se da:

Largo y ancho: 780 y 300 cm.

Se pide:La medida de los mosaicos, lo más grandes posibles, que cabe tanto a lo largo como a lo ancho(sin romperlos).

Para no romper ninguno, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300.

Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300).

La descomposición en factores primos es: 780 = 22 · 3 · 5 · 13600 = 23 · 3 · 52

m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60

El lado de cada mosaico debe ser de 60 cm.

Aplicación del máximo común divisor