UNIVERSIDAD PERUANA UNION

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

EAP Ingeniería de Sistemas

TEMA:

Máximos y Mínimos de una función de varias variables

ALUMNOS:

Edwin Roi Casas Huamanta

Henry Percy Cabrera Cubas

James Padilla Guevara

PROFESORA:

Lic. Jessica Pérez Rivera

CURSO:

Cálculo III

Tarapoto, Noviembre de 2013

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INDICEINTRODUCION 3

MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: 6

MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES 7

SUB-MATRIZ ANGULAR: 7

CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS Y

MINIMOS RELATIVOS. 8

MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES……………….9

METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE………….9

CONDICIONES DE KUHN – TUCKER…………………10

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INTRODUCION

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de

hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo

diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo

parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los

valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas

ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el

tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin

embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de

considerarse dos o más variables.

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I. MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES.

1.1. Definición:

a. La función f: D ⊂ R2 R definida en un conjunto abierto D ⊂ R2, tiene un

valor máximo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P( x0 , y0) ε

D tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el

valor máximo absoluto de f en D.

b. La función f: D ⊂ R2 R definida en un conjunto abierto D ⊂ R2, tiene un

valor mínimo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P( x0 , y0) ε

D tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el

valor mínimo absoluto de f en D.

Si la función f: D ⊂ R2 R es continua en un conjunto cerrado D⊂R2 entonces existe

al menos un punto P que pertenece a D donde f tiene un valor mínimo absoluto.

c. La función f: D ⊂ R2 R, definida en un conjunto abierto D ⊂ Rn tiene un

valor mínimo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 , ε) ⊂ D tal que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 , ε) ⊂ D.

d. La función f: D ⊂ Rn R, definida en un conjunto abierto D ⊂ Rn, tiene un

valor máximo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 , ε) ⊂ D tal que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 , ε) ⊂ D.

A los valores máximos y mínimos relativos de la función f: D ⊂ Rn R le

llamaremos extremos de la función f.

1.2. Teorema

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Si la función f: D ⊂ Rn R, definida en un conjunto abierto de D ⊂ Rn tiene un valor

extremo en x0 ε D y Dk f(x0), existe entonces Dk f(x0) = 0 para todo k=1,2,3,4….n.

Si la función f tiene un valor máximo relativo en x0 ε D entonces existe un B(x0 , ε ) ⊂ D

Tal que f(x0) ≤ que f (x0), para todo x ε B(x0 , ε), luego limh→ 0

❑❑ f ( x 0+hµ k )−f (x 0)h

≤0

Donde µk = (0,0,…..,1, o,….) esto es debido a que , para cada x0+ hµ k ε B(x0 , ε )

Se tiene ( x 0+hµk )≤ f (x0) esto nos implica que si h > 0 se tiene:ƌ

f ( x0+hµk )−f (x0)h

≤0 ahora si h<0, entonces limh→0

❑❑ f ( x 0+hµ k )−f (x 0)h

≤0

Como Dk f(x0), existe se tiene que:

Dk f(x0), =limh→ 0

❑❑ f ( x 0+hµ k )−f (x 0)h

≤0 = limh→ 0

❑❑ f ( x 0+hµ k )−f (x 0)h

≤0= donde Dk

f(x0) = 0

Por lo tanto los valores extremos de una función f: D ⊂ Rn R definida en el

conjunto D puede ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de f son

ceros.

Definición:

Sea la función f: D ⊂ Rn R, definida en un conjunto de abierto D ⊂ Rn. Los puntos

x0 , ε D, donde todas las derivadas parciales del primer orden de f son ceros o no

existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f.

Para el caso de las funciones f: D ⊂ R2 R, diremos que los puntos P (a,b) para los

cuales ∂ f (a ,b)

∂ x=0,

∂ f (a ,b)∂ y

= 0 se dice que son puntos críticos de f. Los puntos

críticos juegan un papel muy importante para los máximos y mínimos relativos.

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II. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Sea f: D ⊂ R2 R una función definida en el conjunto abierto D de tal manera que

las derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la relación

abierta. Contienes un punto (a,b) tal que ∂ f (a ,b)

∂ x=0 y

∂ f (a ,b)∂ y

= 0, para determinar

si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad.

∆=∂2 f (a ,b)

∂ x2.∂2 f (a ,b)

∂ y 2 – (

∂2 f (a ,b)∂ y ∂x

)2

i) si ∆>0 y ∂2 f (a ,b)

∂ x2>0 ,entonces f(a,b)es un valor mínimo relativo.

ii) si ∆>0 y ∂2 f (a ,b)

∂ x2<0, entonces f(a,b)es un valor máximo relativo.

iii) si ∆<0, entonces (a,b, f(a,b)) es un punto de silla.

iv) si ∆=0, este criterio no da información.

En forma práctica se puede recordar la formula ∆ en el criterio de la segunda

derivada y que viene lado por el determinante.

∆=|

∂2 f (a ,b)∂ x2

∂2 f (a ,b)∂ y ∂x

∂2 f (a ,b)∂ x∂ y

∂2 f (a ,b)∂ y 2

| siendo ∂2 f (a ,b)∂ y ∂x

=∂2 f (a ,b)∂ x∂ y

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III. MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS

VARIABLES

3.1. Forma cuadrática: Si A es una matriz simétrica de orden n, una función

cuadrática en Rn, es una función p: Rn R, definida por: p(x)=xA.x , donde

x=(x1.x2………..xn) ε Rn

Observación: se observa que le desarrollo de una forma cuadrática en términos de

las variables x, y, z corresponde a un polinomio homogéneo de grado 2, en donde

los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos de la diagonal

principal de la matriz simétrica.

IV. SUB-MATRIZ ANGULAR:

Sea A= [aij]nxn una matriz cuadrada de orden n.a11 kjn

A=¿]

A la sub – matriz A1 =[a11], A2 =[a11 a12a21 a22]………An = A, se denomina sub –

matrices angulares de A.

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V. CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS

Y MINIMOS RELATIVOS.

Si f: D ⊂ Rn R es una función donde sus derivadas parciales de segundo orden son

continuas en un conjunto abierto D ⊂ Rn y sea x0 ε Rn un punto crítico, es decir D1

f(x0) = 0, D2 f(x0) = 0,………, Dn f(x0) = 0, denotaremos por ∆n el determinante dela

matriz hessiana H (f(x0)), es decir.

∆= |H (f(x0))| = |D 11 f (x0) D 12 f ( x 0 ) ….. D 1nf (x0)D 11 f (x0) D11 f ( x0 )… .. D 2n f (x 0)Dn1 f (x0) Dn2 f ( x0 )…. Dnn f (x 0)

Entonces:

i) a x0 corresponde a un mínimo relativo si: ∆1 > 0, ∆2 > 0,….., ∆n > 0 y cuyo

valor mínimo es f(x0).

ii) a x0 corresponde a un mínimo relativo si: ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, ∆4 > 0,

…..y cuyo valor máximo es f(x0).

VI. MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES

(Extremos Condicionados):

En los problemas prácticos de máximos y de minimizar una función f donde f(x,y)

está sujeta a condiciones específicas o restricciones en las variables, tales

restricciones pueden expresarse como igualdades o como desigualdades.

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Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de igualdad

se emplea el método de multiplicadores de Lagrange.

Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de

desigualdades se emplean las condiciones de KUHN – TUCKER, para esto

daremos las definiciones siguientes:

a) Consideremos una función f: D ⊂ Rn R definida en el conjunto D y sea

P(x1,x2,…..xn) ε D, se dice que las variables x1,x2,…..xn satisfacen

condiciones de enlace, si existen funciones ⱷ1, ⱷ2,…… ⱷm: Rn R tal que:

{ ⱷ1(x1 , x2 ,……xn)=0ⱷ2 ( x1 , x2 ,……xn )=0

ⱷm (x 1 , x 2 ,……x n )=0 ,m<n

b) Consideremos una función f: D ⊂ Rn R definida en el conjunto abierto D.

Diremos que el punto P0 ε D corresponde a un máximo condiciones de f

(mínimo condicionado de f) si: f(P) ≤ f(PO) , f(PO) ≤ f(P) para todo P y P0 que

cumplen las condiciones de enlace (*).

VII. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:

Suponiendo que se desee maximizar o minimizar la función f(x,y) sujeto a la

restricción g(x,y)=0, para esto formamos la función objetivo.

F(x,y,λ)=f(x,y) -,λ g(x,y)

Donde la calidad λ llamado multiplicador de Lagrange es independiente de x e y.

Luego se calcula las derivadas parciales para hallar los puntos críticos:

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{∂F∂ x

=∂ f (a ,b)

∂x−λ

∂ g (a ,b )∂ x

=0

∂F∂ y

=∂ f (a ,b)

∂ y−λ

∂ g (a ,b )∂ y

=0

∂ F∂ λ

=−g (x , y )0

La resolución de las 3 ecuaciones nos dan loa puntos críticos restringidos los cuales

satisfacen a la restricción, los máximos y mínimos se obtienen en forma similar que

los máximos y mínimos no restringidos.

Si x=a, y=b es un punto crítico y si ∆*=∂2F (a ,b)

∂ x2.∂2F (a ,b)

∂Y 2−¿)2

Si ∆*>0 entonces {se tinemaximos en (a ,b ) si ∂2F∂x 2

<0 y∂2 F∂Y 2

<0

se tinemaximos en (a ,b ) si ∂2F∂Y 2

>0 y∂2 F∂Y 2

>0

Si ∆*≤ 0, no se tiene información en (a,b).

VIII. CONDICIONES DE KUHN – TUCKER.

Las condiciones de KUHN – TUCKER, establece que: un punto (x;y) es un máximo

local de f(a,b) cuando g(x,y) ≤ 0, solamente si existe un valor no negativo de λ tal

que λ y (x,y) satisface las condiciones de KUHN – TUCKER.

{∂ f (x , y )

∂ x−λ

∂g ( x , y )∂ x

=0

∂ g ( x , y )∂ x

−λ∂ g (x , y )

∂ x=0

λ g ( x , y )=0o' g (x , y )≤0

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Estos últimos es suficiente si f(x,y) es cóncava hacia arriba y g(x,y) es cóncava

arriba , debido a que un punto máximo de f(x,y)es un punto mínimo de resultados

también se puede aplicar para minimizar una función cóncava según una restricción

también cóncava hacia arriba, para el caso en la que la restricción de la forma g(x,y)

≥0 entonces g(x,y) debe ser cóncava hacia abajo.

EJERCICIOS:

01. Obtener los máximos y mínimos de la función f(x,y)= 3x2+4y2-xy, sujeta a la

restricción 2x+ y=21

Solución:

Sea F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g ( x , y ) , dedonde resulta

F(x,y,λ) = 3x2+4y2- xy - λ (2x+ y−21), calculando las derivadas

{∂ F∂ x

=6 x− y−2 λ=0

∂ F∂ y

=8 y−x−λ=0

∂F∂ λ

=−(2 x+ y−2 1)=0

Entonces {λ=6 x− y2

λ=8 y−xentonces y=

8 x7

Como 2x + y – 21 = 0 entonces 2x +8 x7

= 21 de donde {x=8.5y=4

entonces

P(8.5, 4)

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∂2F∂ x2

=6 ,∂2 F∂Y 2

=8 ,∂2F∂ x∂Y

=−1

∆*=∂2F∂ x2

.∂2 F∂Y 2

−( ∂2F∂ x∂Y )2= (6) (8) – (-1)2 = 47 > 0 y como

∂2F∂ x2

= 6>0 y

∂2F∂Y 2

=8>0

Entonces (8.5, 4) es un mínimo restringido de f(x,y).

02. El costo de producción C, es una función de las cantidades producidas x e y

de dos tipos de artículos, esta dado por C=6x2 + 3y2 para minimizar tal costo

¿Qué cantidad de cada uno de los dos artículos debe producirse si: x + y

≥18?

Solución:

Aplicando KUHN – TUCKER, con g(x,y) = x + y – 18≥0

{∂∂x

(6x 2+3 y 2 )−λ∂∂ x

( x+ y –18 )=0

∂∂ y

(6 x2+3 y 2 )−λ∂∂ y

( x+ y – 18 )=0 ,condicion de KUHN – TUCKER

λ ( x+ y – 18 )=0x+ y –18≤0

{ 12x− λ=06 y− λ=0

λ(x+ y –18)=0Entonces { λ=12 x

λ=6 yλ=0⌄ x+ y –18=0

I λ=0 entonces x=y=0 donde el punto P(0,0) no satisface la condición de

KUHN – TUCKER, 0 + 0 – 18 ≠0 por lo tanto el punto P (0,0) no es óptimo.

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x+ y – 18=0 Entonces x+2x –18=0

Entonces x= 6 , y= 12

Como el punto P(6,12) satisface la condición KUHN – TUCKER 6 +12

– 18 = 0≥0entonces el punto P(6,12) es optimo .

Como f(x,y)=6x2 + 3y2 es cóncava hacia arriba, luego el punto P(6,12) se

tiene un mínimo en la producción que se encuentra bajo la retención X

+Y – 18 ≥0.

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CONCLUSIONES

Con este material hemos pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen

para funciones reales de dos variables reales y que tienen que ver con la

determinación de puntos de extremo local se pueden extender a mayor número de

variables.

Por otro lado mediante los valores máximos y mínimos logramos saber la altura,

medida, valores al momento de trazar la curva de una función; se ha aprendido a

aplicar matriz hessiana, lo cual es de gran provecho porque así se determina una

parte muy importante del comportamiento de una función, tal como lo es el punto de

los máximos y mínimos.

Se ha visto que estos procesos son sencillos y solamente se necesita plantear

correctamente la matriz hessiana y luego simplemente se resuelve la matriz que se

tiene por el método que ya se conoce de la determinante de una matriz cuadrada.

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BIBLIOGRAFIA

Espinoza Ramos, Eduardo, Análisis Matemático IV.

http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/apuntes/antigu/varias.pdf

http://www.damasorojas.com.ve/OPTIMD.pdf

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