Mc Langeles

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGA

TESIS Presentada para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS EN BIOPROCESOS Por:

Liliana ngeles Martnez Ingeniero Biotecnlogo

Dimensionamiento y simulacin de un secador por aspersin de nivel piloto Dirigida por:

Dr. Juan Silvestre Aranda Barradas M. en C. Carlos Orozco lvarez

Mxico, D.F., Marzo de 2009

Agradezco la asesora y observaciones de los profesores:

Dr. Juan S. Aranda Barradas

M. en C. Carlos Orozco lvarez

Dr. Edgar Salgado Manjarrez

Dr. Claudio Garibay Orijel

Dr. Guillermo I. Osorio Revilla

Agradecimientos

A Dios, por ponerme junto a las personas que quiero.

A mi mam, Esperanza Martnez, a quien le debo todo lo que soy y que nunca podr

pagarle todos sus sacrificios, consejos y la confianza que deposit en m.

A mis hermanos, Daniela y Daniel, por su apoyo incondicional, pero sobre todo por

compartir conmigo tanto momentos gratos como difciles.

A toda mi familia, en especial a Toita y Luz, por su gran apoyo.

A mi to Juan Carlos Martnez, quien en vida me alent a ser mejor persona.

A mis amigos y compaeros, en especial a Gerardo y Erika, por brindarme su amistad.

Al Dr. Juan S. Aranda Barradas y al M. en C. Carlos Orozco lvarez por darme la

oportunidad de colaborar con ellos.

DIMENSIONAMIENTO Y SIMULACIN DE UN SECADOR POR ASPERSIN DE NIVEL PILOTO

RESUMEN

El secado por aspersin tiene gran importancia en la industria farmacutica, biotecnolgica y de alimentos, puesto

que puede ser aplicado a materiales termolbiles, adems permite obtener productos con caractersticas especficas

de humedad, densidad, tamao, entre otras.

An no se han comprendido completamente los fenmenos involucrados en el proceso de secado, ni se ha

establecido una secuencia de clculo definitiva para el dimensionamiento de los equipos de dicha operacin ni para

la prediccin de las caractersticas del producto.

En el presente trabajo se propone una secuencia de clculo que enlaza el dimensionamiento de la cmara de

secado y la simulacin del proceso como fenmeno fsico (cambios de tamao de la gota, temperatura, trayectoria,

humedad, etc.); con dicha secuencia se desarroll un programa en Matlab que permite obtener grficos de la

evolucin del secado.

Para ello se retoma el trabajo realizado por Shabde y Hoo (2006), y se incorporan aspectos como el

sobrecalentamiento de la gota, la importancia de la velocidad relativa de la gota con respecto al aire, la cual es

diferente de cero, en la transferencia de masa y calor, y otras modificaciones que incrementan la precisin en las

estimaciones obtenidas de la simulacin del secado. Adems, se enlaza la secuencia de clculo reportada por Patio

(1995), Grajales (1996) y Mendoza et al. (2003), que permite el dimensionamiento de la cmara de secado, con la

simulacin, de tal forma que es posible determinar que tanto se alejan los resultados obtenidos de las dimensiones

ptimas.

Las dimensiones obtenidas de la cmara de secado, para un fluido hipottico (de propiedades similares a una

solucin de maltodrextrina al 40% w/v) asperjado con un atomizador rotatorio, fueron 55 cm de dimetro y 82 cm de

altura total, resultados obtenidos de la simulacin y que permiten el secado del 95% de la nube asperjada.

Por otra parte, debe mencionarse que con la simulacin del proceso de secado no se alcanz la coincidencia total

entre los valores propuestos para iniciar el clculo y los valores finales de las caractersticas del producto, esto fue

debido a la naturaleza emprica de las ecuaciones de velocidad el aire usadas en el presente trabajo, pero ya que las

dimensiones obtenidas estn a menos del 10% de las ptimas fue innecesario el redimensionamiento de la cmara.


ABSTRACT

The spray drying is a paramount process in the pharmaceutical, biotechnology and food industries, because it can be

used for the drying of thermolabile materials, allowing the production of dried solids with specified characteristics such

as moisture, density and particle size, among others.

Today, the implicated phenomena in the drying process have not been completely understood, and a definitive

numerical algorithm has not yet been established, neither to determine the spray dryer dimensions nor for the

prediction of the properties in the final product.

In this work, an algorithm to calculate the chamber dimensions of the dryer is presented. Besides, a simulation of a

particle drying process as a physical phenomenon (droplet size changes, droplet path in the chamber, temperature

and water content in the drying air and in the particle, etc.) is also accomplished. The simulation was performed in

Matlab R12 to obtain the drying evolution graphs.

This work considers the contributions by Shabde and Hoo (2006) to the simulation of drying processes, and

incorporates aspects such as droplet overheating, relative velocity between droplet and air in the mass and heat

transfer, and other modifications to the drying process equations that increase the precision of the estimates obtained

in the drying simulation. Furthermore, linking the sequence of calculations reported by Patio (1995), Grajales (1996)

and Mendoza et al. (2003), which allows the calculation of the drying chamber dimensions, with the droplet drying

simulation, it was possible to establish a chamber size near to the optimum dimensions.

The chamber dimensions of a wheel atomizer spray dryer for a hypothetical fluid (with similar properties to a

maltodextrin solution 40% w/v), were 55 cm of diameter and 82 cm of height, as calculated by the algorithm proposed

here. As our results show, these dimensions allow the drying of 95% of the sprayed material in the chamber.

On the other hand, it should be mentioned that the drying process simulation did not reach total coincidence of initial

and final values in the product properties, due to the empirical nature of the air velocity equations used in the

calculation of the droplet path, but still the estimated chamber dimensions seem to produce accurate enough drying

results.


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NDICE

Pgina

NDICE DE FIGURAS

NDICE DE CUADROS

I. INTRODUCCIN GENERAL

II. FUNDAMENTOS GENERALES DE SECADO

2.1. Secado

2.2. Secado por aspersin

2.2.1. Etapas del secado por aspersin

2.2.2. Atomizacin

2.2.2.1. Atomizadores rotatorios

2.2.3. Contacto aire-gota

2.2.4. Evaporacin

2.2.5. Recuperacin del producto

III. ESTADO DEL ARTE

3.1. Dimensionamiento de la cmara de secado

3.2. Simulacin del proceso de secado dentro de la cmara de un secador por aspersin

3.3. Mtodos numricos

3.3.1. Ecuaciones algebraicas

3.3.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

3.3.3. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

IV. JUSTIFICACIN

V. OBJETIVOS

5.1. Objetivo General

5.2. Objetivos Especficos

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VI. SIMULACIN DEL PROCESO DE SECADO


6.1.1. Humedad relativa del aire a la salida de la cmara de secado

6.1.2. Dimetro Sauter

6.1.3. Dimetro, humedad y temperatura de la gota en el punto crtico

6.1.4. Humedad y temperatura del aire en el punto crtico

6.1.5. Tiempo de secado

6.1.6. Tiempo de viaje de la gota a la pared de la cmara de secado

6.1.7. Calor transferido a la gota durante el tiempo de viaje

6.1.8. Dimensiones de la cmara

6.2. Simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y de masa dentro de la cmara

de secado

6.2.1. Temperatura dentro de la gota asperjada

6.2.2. Concentracin de agua dentro de la gota asperjada

6.2.3. Trayectoria de la gota asperjada

6.2.4. Velocidad de disminucin del dimetro de la gota asperjada

6.2.5. Calor transferido del aire a la gota

6.2.6. Humedad de la gota a un tiempo t dado

6.2.7. Masa de la gota a un tiempo t dado

6.2.8. Densidad de la gota a un tiempo t dado

6.2.9. Velocidad de evaporacin a un tiempo t dado

6.2.10. Humedad del aire a un tiempo t dado

6.2.11. Radio de la cmara de secado a un tiempo t dado

6.2.12. Velocidad del aire

6.2.13. Temperatura del aire a un tiempo t dado

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6.2.14. Eficiencia trmica del secador por aspersin

6.2.15. Dimensiones de las entradas del flujo de aire

VII. RESULTADOS Y DISCUSIN


7.2. Simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y de masa dentro de la cmara

de secado

7.2.1. Simulacin donde se considera que no existe etapa de sobrecalentamiento

7.2.1.1. Perfiles de temperatura y concentracin de agua dentro de gota asperjada en el

proceso de secado

7.2.1.2. Velocidad de la gota asperjada y su trayectoria dentro de la cmara de secado

7.2.1.3. Transferencia de calor del aire a la gota por conveccin

7.2.1.4. Temperatura superficial de la gota y la velocidad de evaporacin del contenido

de humedad

7.2.1.5. Humedad y dimetro de la gota durante su tiempo de residencia en la cmara

de secado

7.2.1.6. Error en el dimensionamiento de la cmara de secado

7.2.2. Simulacin donde se considera que existe la etapa de sobrecalentamiento

7.2.2.1. Anlisis de una gota de tamao D95

7.2.2.1.1. Perfiles de temperatura y concentracin de agua dentro de gota

asperjada en el proceso de secado

7.2.2.1.2. Trayectoria de la gota asperjada dentro de la cmara de secado

7.2.2.1.3. Temperatura superficial de la gota y la velocidad de evaporacin del

contenido de humedad

7.2.2.1.4. Humedad y dimetro de la gota durante su tiempo de residencia en la

cmara de secado

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7.2.2.2. Anlisis de tres gotas de tamao Dvs, D95 y Dmax

VIII. CONCLUSIONES

IX. EXTENSIN O AMPLIACIN DE LA INVESTIGACIN

X. NOMENCLATURA

XI. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

ANEXOS

ANEXO A. ECUACIONES COMPLEMENTARIAS

ANEXO B. CARTA PSICROMTRICA

ANEXO C. CONSTANTES, PARMETROS Y VARIABLES DEL SISTEMA

ANEXO D. PERFILES DE TEMPERATURA Y CONCENTRACIN DE AGUA DENTRO DE LA

GOTA

ANEXO E. PROGRAMA PARA EL DIMENSIONAMIENTO Y SIMULACIN DE LA CMARA DE

SECADO

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NDICE DE FIGURAS

Fig. Descripcin Pgina

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Esquema del proceso de secado por aspersin

Etapas del secado por aspersin

Atomizador rotatorio

Tipos de contacto aire-gota

Curva de velocidad de secado

Principales cambios cualitativos en el secado de una gota asperjada

Recuperacin del producto en el secado por aspersin

Separador ciclnico

Representacin grfica de las pendientes empleadas en el mtodo RK de cuarto

orden

Discretizacin de un sistema para modelar por el mtodo de diferencias finitas y del

elemento finito

Diagrama de flujo bsico del secador por aspersin

Diagrama de flujo para el dimensionamiento de la cmara de secado

Diagrama esquemtico de las dimensiones de la cmara de secado

Diagrama de flujo para la simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de

calor y de masa

Discretizacin espacial de la gota

Esquema de las fuerzas que actan sobre la gota asperjada

Esquema de las zonas de influencia sobre el movimiento de la gota dentro de la

cmara de secado

Esquema de las entradas de flujo de aire

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Dimensiones de la cmara de secado

Evolucin de los perfiles de temperatura dentro de la gota asperjada en el proceso de

secado (Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

Evolucin de los perfiles de concentracin de agua dentro de la gota asperjada en el

proceso de secado (Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

Componentes de la velocidad de la gota asperjada (Consideracin: no existe etapa

de sobrecalentamiento)

Velocidad relativa de la gota con respecto al aire (Consideracin: no existe etapa de

sobrecalentamiento)

Componentes de la velocidad del aire (Consideracin: no existe etapa de

sobrecalentamiento)

Distancia axial y radial recorrida por la gota durante su tiempo de residencia dentro

de la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

Trayectoria de la gota durante su tiempo de residencia dentro de la cmara de


Nmero adimensional Nusselt (Nu) durante el tiempo de residencia de la gota

asperjada dentro de la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de

sobrecalentamiento)

Flujo de calor transferido del aire a la gota por conveccin durante su tiempo de

residencia en la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de

sobrecalentamiento)

Temperatura superficial de la gota y del aire durante el tiempo de residencia de la

gota en la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

Velocidad de evaporacin de la humedad de la gota durante su tiempo de residencia

en la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

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Contenido de humedad del aire y de la gota asperjada durante su tiempo de

residencia en la cmara de secado (Consideracin: no existe etapa de

sobrecalentamiento)

Dimetro de la gota asperjada durante su tiempo de residencia en la cmara de


Densidad de la gota durante su tiempo de residencia en la cmara de secado

(Consideracin: no existe etapa de sobrecalentamiento)

Evolucin de los perfiles de temperatura dentro de la gota asperjada en el proceso de

secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Evolucin de los perfiles de concentracin de agua dentro de la gota asperjada en el

proceso de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Distancia axial y radial recorrida por la gota durante su tiempo de residencia dentro

de la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Trayectoria de la gota durante su tiempo de residencia dentro de la cmara de

secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Temperatura superficial de la gota y del aire durante el tiempo de residencia de la

gota en la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Velocidad de evaporacin de la humedad de la gota durante su tiempo de residencia

en la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Contenido de humedad del aire y de la gota asperjada durante su tiempo de

residencia en la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de

sobrecalentamiento)

Densidad de la gota durante su tiempo de residencia en la cmara de secado

(Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Dimetro de las gotas asperjadas analizadas durante su tiempo de residencia en la

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cmara de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

Trayectoria de las gotas analizadas durante su tiempo de residencia dentro de la

cmara de secado

Distancia axial y radial recorrida por las gotas analizadas durante su tiempo de

residencia dentro de la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de

sobrecalentamiento)

Flujo de calor transferido del aire a las gotas analizadas por conveccin durante su

tiempo de residencia en la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de

sobrecalentamiento)

Velocidad de evaporacin de la humedad de las gotas analizadas (Consideracin:

existe etapa de sobrecalentamiento)

Contenido de humedad de las gotas analizadas (Consideracin: existe etapa de

sobrecalentamiento)

Temperatura superficial de las gotas analizadas durante el tiempo de residencia de la

gota en la cmara de secado (Consideracin: existe etapa de sobrecalentamiento)

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NDICE DE CUADROS

Cuadro Descripcin Pgina

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Intervalo de tamao de partculas obtenidas en secadores por aspersin

Seleccin del sistema de recoleccin de polvos

Mtodos de Runge - Kutta para la solucin de ecuaciones diferenciales

Frmula del mtodo RK de cuarto orden

Mtodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales parablicas y

con una sola dimensin espacial

Operadores de diferencia usados en el mtodo de Crank - Nicholson

Dimensiones recalculadas de la cmara de secado.

Resultados de la simulacin (con etapa de sobrecalentamiento), a diferentes

dimetros de cmara de secado.

Secado de tres gotas de diferente tamao

Eficiencia trmica de tres gotas de diferente tamao

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I. INTRODUCCIN GENERAL Las operaciones de separacin tienen gran importancia econmica en los procesos puesto que representan entre el 10% y el 90% del costo total de produccin (Ulloa, 1998). El secado es una operacin usada dentro de la etapa de tratamiento final del producto, ya que permite la conservacin del mismo y el mtodo escogido para llevar a cabo el proceso depende del tipo de producto en cuestin, el nivel de calidad que se desea, el costo, etc. Entre los mtodos de secado disponibles, el secado por aspersin tiene gran importancia en la industria farmacutica, biotecnolgica y de alimentos, ya que es particularmente aplicado a materiales termolbiles (usando temperaturas del gas de secado desde 90C), adems de que los productos presentan caractersticas especificadas como tamao, densidad de partcula, humedad y temperatura, entre otras. Las primeras referencias del secado por aspersin datan de los aos de 1860 (Alamilla, 2001), a continuacin se revisa el desarrollo general de los estudios que se realizaron al respecto. En los aos 40s y 60s se realizaron estudios orientados al anlisis y desarrollo de ecuaciones para describir el tamao y forma de la gota asperjada y secada, el tiempo de viaje y el tiempo de secado (Alamilla, 2001), las cuales se siguen aplicando en la actualidad; y es que si se comprende lo que ocurre en el proceso de secado, es posible disear equipos que permitan obtener productos con mejores caractersticas. En los aos 70s la tendencia fue establecer condiciones de operacin y de diseo de equipos sin que ste quede totalmente explcito (Alamilla, 2001). Hasta la fecha se siguen desarrollando modelos que permitan describir el proceso de secado (involucrando transferencia de masa y calor, cambios de tamao de la gota, temperatura, etc.) auxilindose para ello de las computadoras, de hecho existe en el mercado software para determinar los patrones de flujo y perfiles de temperatura como lo es el cdigo de Dinmica de Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en ingls). No se han comprendido completamente los fenmenos involucrados en el proceso de secado, ni se ha establecido una secuencia de clculo definitiva que permita predecir las caractersticas del producto. En el presente trabajo se propone una secuencia de clculo para el dimensionamiento de la cmara de secado y la simulacin del proceso dentro de la misma, y con dicha secuencia se desarroll un programa en Matlab que permite obtener grficos de la evolucin del secado.


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Las principales aportaciones del trabajo al anlisis del secado son la incorporacin de aspectos como el sobrecalentamiento de la gota, la importancia de la velocidad relativa de la gota con respecto al aire en la transferencia de masa y calor, y otras modificaciones que incrementan la precisin en las estimaciones obtenidas de la simulacin del secado, con respecto a lo reportado por Shabde y Hoo (2006). Adems, se enlaza la secuencia de clculo reportada por Patio (1995), Grajales (1996) y Mendoza et al. (2003), que permite el dimensionamiento de la cmara de secado, con la simulacin, de tal forma que es posible determinar que tanto se alejan los resultados obtenidos de las dimensiones ptimas.


3

II. FUNDAMENTOS GENERALES DEL SECADO 2.1. Secado El secado es la operacin unitaria en la cual el contenido de humedad del material es eliminado hasta alcanzar la humedad de equilibrio mediante evaporacin como resultado de la aplicacin de calor bajo condiciones controladas (Alamilla, 2001). La conservacin de productos de tipo biolgico se debe a que la actividad acuosa se reduce a un nivel donde no se presenta actividad microbiolgica y tanto el deterioro qumico como las reacciones bioqumicas se reducen al mnimo (Alamilla, 2001). La reduccin de la actividad acuosa se logra a travs de la aplicacin de calor al producto. En esta operacin se involucra transferencia de calor y masa produciendo transformaciones fsicas y qumicas. Estos cambios pueden ser de tipo fsico como: encogimiento, inflado, cristalizacin; o bien pueden ocurrir reacciones qumicas o bioqumicas deseables o indeseables con cambios de color, textura, olor y en otras propiedades del producto slido (Alamilla, 2001; Alamilla et al., 2005). Las ventajas que representa el secar un producto respecto al manejo del material original son (Barbosa y Vega, 2000): Se aumenta el tiempo de vida til del producto. Se facilita el manejo del producto. Se reduce el espacio de almacenamiento del producto. Se reducen los costos de almacenamiento y embarque.

Entre los equipos de secado ms comunmente utilizados se encuentran los secadores de tambor, secadores rotatorios, secador de charolas, de tnel, de banda, de lecho fluidizado y de aspersin (Treyball, 2000), su seleccin depende de las caractersticas del producto a secar y el costo del proceso (Barbosa y Vega, 2000; Alamilla, 2001). 2.2. Secado por aspersin La operacin de secado por aspersin consiste en la transformacin de una alimentacin en estado lquido a un producto slido y seco, al poner en contacto dicha alimentacin en forma de gotas finas con una corriente de aire


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caliente (Fig. 1). El tiempo de contacto es muy corto y en consecuencia el dao debido al calor tambin es mnimo (Masters, 1985). Los secadores por aspersin son usados para el secado de productos agro-qumicos, biotecnolgicos (enzimas, hormonas, obtencin de microencapsuldos, etc.), qumicos (cermicas, detergentes, pinturas, etc.), frmacos (antibiticos y vitaminas) y alimentos (leche, suero, maltodextrinas, etc.) (Alamilla, 2001).

Fig. 1. Esquema del proceso de secado por aspersin. La flecha obscura simboliza la transferencia de materia (agua) de la gota a la

corriente de aire caliente, mientras que la flecha clara la transferencia de calor a la gota; al transcurrir un determinado tiempo (del t1 al t2) se observa una reduccin del tamao de la gota debido a la prdida de agua.

2.2.1. Etapas del secado por aspersin El secado por aspersin consiste en cuatro etapas (Fig. 2) (Masters, 1985):

A) Atomizacin. B) Contacto aire-gota. C) Evaporacin. D) Recuperacin del producto seco.


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Fig. 2. Etapas del secado por aspersin (Mendoza et al., 2003): A) Atomizacin, B) Contacto aire-gota, C) Evaporacin,

D) Recuperacin del producto seco.

2.2.2. Atomizacin La atomizacin se logra al aplicar energa a la masa de lquido que va a ser procesado. Esta operacin debe producir una nube de lquido con alta relacin superficie-masa y la dispersin del tamao de partcula debe mantenerse al mnimo (Masters, 1985). La atomizacin es la operacin ms importante en el proceso de secado por aspersin. El tipo de atomizador determina la energa requerida para formar la nube, el tamao y la distribucin de tamao de las partculas atomizadas, su trayectoria y velocidad, siendo estos los factores de los que depende el tamao final de la partcula seca (Filkov et al., 2006). La trayectoria de viaje de la gota asperjada, principalmente la de gotas grandes merece una atencin especial, ya que el tamao de la cmara deber disearse de tal forma que las gotas ms grandes de la nube asperjada deben secarse antes de alcanzar la pared de la cmara de secado (Alamilla, 2001). Los aspersores/atomizadores utilizados son (Masters, 1985): Atomizadores rotatorios: originan una descarga de lquido a alta velocidad desde el eje de un disco rotatorio. Boquillas a presin: descargan lquido bajo presin a travs de un orificio pequeo. Boquillas neumticas: logran la aspersin por medio del uso de aire u otro gas a alta velocidad en contacto

con la alimentacin.


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Los intervalos tpicos de tamao de partculas obtenidos en secadores por aspersin se muestran en el Cuadro 1.

Cuadro 1. Intervalo de tamao de partculas obtenidas en secadores por aspersin (Filkov et al., 2006).

Atomizador Tamao de partcula (m) Discos rotatorios 1-600 Boquillas de presin 10-800 Boquillas neumticas 5-300

2.2.2.1. Atomizadores rotatorios En un atomizador rotatorio el lquido es alimentado en el centro del disco rotatorio, se mueve al borde del disco por accin de la fuerza centrfuga y all es desintegrado en gotas (Fig. 3). El ngulo de atomizacin es aproximadamente 180 y forma una nube. Debido a su trayectoria horizontal estos atomizadores requieren cmaras con dimetros grandes (Filkov et al., 2006). Generalmente este tipo de atomizadores producen una nube de alta homogeneidad dentro de un corto intervalo de tamao de partculas. La distribucin de gotas puede ser controlada cambiando la velocidad de rotacin, o bien, el flujo de la alimentacin.

Fig. 3. Atomizador rotatorio (Bylund, 1995; Filkov et al., 2006; GEA Process Engineering, 2008).

A continuacin se mencionan las ventajas y desventajas del atomizador rotatorio (Filkov et al., 2006).


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Ventajas: Puede manejar altas velocidades de alimentacin. Recomendado para materiales abrasivos. Despreciable tendencia a la obstruccin. El control del tamao de la gota se realiza al cambiar la velocidad angular del atomizador.

Desventajas: Alto consumo de energa en comparacin con las boquillas de presin. Alto costo de capital en comparacin con las boquillas de presin. Requiere cmaras de secado con dimetros grandes.

2.2.3. Contacto aire-gota Existen tres formas bsicas de contacto aire-gota (Masters, 1985; Filkov et al., 2006): Flujo paralelo. El asperjado y el aire caliente se introducen en la zona superior de la cmara y viajan en la

misma direccin a travs del secador (Fig. 4). El aire caliente contacta inicialmente a las gotas atomizadas. Esto favorece a los materiales termolbiles, ya que stos son protegidos de las altas temperaturas por enfriamiento evaporativo. El gas de secado se va enfriando al pasar a travs de la cmara y las partculas secas se encuentran con aire ms fro a la salida del equipo. Cuando se utiliza un atomizador rotatorio se presenta un perfil homogneo de temperaturas dentro de la cmara de secado.

Flujo a contracorriente. El aire de secado y el asperjado se mueven en direcciones opuestas en la cmara de secado (Fig. 4). Debido a que las partculas secas se ponen en contacto con el gas ms caliente y el tiempo de exposicin es mayor, el diseo se propone para productos no termolbiles. En estos casos, el producto seco sale a una temperatura tan alta como la del gas de secado. Este arreglo se utiliza cuando se quiere impartir ciertas cualidades al producto, como por ejemplo, una alta densidad a granel para el caso de detergentes.

Flujo mixto. Una boquilla se coloca en el fondo de la cmara, dirigida hacia arriba, dentro de la corriente descendente del gas, cuya entrada se encuentra en el techo de la cmara (Fig. 4). Este arreglo no se recomienda para productos termolbiles ya que las partculas secas estn en contacto con el aire ms caliente, sin embargo se recomienda para partculas gruesas en cmaras pequeas, ya que la longitud del patrn de viaje de las partculas es grande. Se ha observado que estas partculas pueden presentar movimiento dentro de la cmara tanto del tipo paralelo como en contracorriente.


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Fig. 4. Tipos de contacto aire-gota (Adaptado de Barbosa y Vega, 2000).

2.2.4. Evaporacin La velocidad de evaporacin se lleva a cabo en dos periodos (Masters, 1985; Treybal, 1996): Perodo de velocidad constante. La difusin de humedad desde dentro de las gotas permite tener la

superficie saturada de lquido, el tamao de la gota va disminuyendo y en la superficie la temperatura permanece constante. El aire de secado disminuye su temperatura a medida que gana humedad.

Perodo de velocidad decreciente. La velocidad de migracin de la humedad a la superficie no es suficiente para mantenerla saturada, en este momento aparecen reas secas sobre la superficie, alcanzndose el punto crtico de humedad en donde la gota ya no puede contraerse ms en volumen y su temperatura empieza a ascender. En este punto el aire de secado llega a la temperatura crtica y a una humedad crtica, su temperatura sigue disminuyendo hasta la fijada por el final del proceso aumentando su humedad.

La velocidad de secado y el tiempo requerido para el secado son dependientes de la temperatura del aire de secado, el coeficiente de transferencia de calor y el dimetro de la gota a secar (Alamilla, 2001). En la Fig. 5 se muestra la curva de velocidad de secado y en la Fig. 6 los principales cambios cualitativos en el secado de una gota asperjada.


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Fig. 5. Curva de velocidad de secado (Treybal, 1996).

Fig. 6. Principales cambios cualitativos en el secado de una gota asperjada (Grajales, 1996).

2.2.5. Recuperacin del producto La separacin del producto se puede realizar primero en la base de la cmara de secado (denominada separacin primaria), seguida de la recuperacin de finos (denominada separacin secundaria) (Fig. 7), que puede estar


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constituido por ciclones, filtros bolsa, precipitadores electrostticos o filtros hmedos, en el Cuadro 2 se presentan algunos criterios para la seleccin de estos separadores (Masters, 1985).

Fig. 7. Recuperacin del producto en el secador por aspersin (GEA Process Engineering, 2008): A) Separacin primaria,

B) Separacin secundaria.

Cuadro 2. Seleccin del sistema de recoleccin de polvos (Masters, 1985).

Requerimientos Sistema recomendado Bajo costo, eficiente, fcil limpieza Ciclones Costo medio, muy eficiente Filtro bolsa Grandes volmenes de aire Precipitador electrosttico Recuperacin de productos finos Cicln + filtro hmedo

Los separadores ciclnicos son los ms empleados para la separacin y recoleccin de polvos (Fig. 8). En estos el aire cargado de polvo entra en forma tangencial a una cmara cilndrico-cnica girando rpidamente y sale por la parte central superior. El producto seco, debido a su inercia, tiende a moverse hacia la pared exterior del separador donde contina hasta caer en un receptor (Masters, 1985).

Fig. 8. Separador ciclnico (Filkov et al., 2006).


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III. ESTADO DEL ARTE 3.1. Dimensionamiento de la cmara de secado Patio (1995), Grajales (1996) y Mendoza et al. (2003), reportan una secuencia de clculo para el dimensionamiento de la cmara de un secador por aspersin que proviene de balances macroscpicos de materia y energa sobre el sistema analizado (cmara de secado) y bajo las condiciones de trabajo dadas. El tipo de aspersor usado por los autores es: atomizador rotatorio, boquilla neumtica y boquilla de presin respectivamente. Los criterios usados por dichos autores para el dimensionamiento, ya que estos determinan o no el secado exitoso de un fluido, son: La humedad relativa del aire a la salida de la cmara debe ser menor o igual que la humedad relativa del

aire en equilibrio con la humedad deseada del producto, de tal forma que no humedezca al producto. El tiempo de secado de la gota asperjada, desde una humedad inicial hasta otra final, debe ser menor o

igual al tiempo de viaje de la gota a la pared del secador y as evitar que se adhiera a sta. El calor suministrado a la gota asperjada durante el tiempo de viaje de la misma a la pared del equipo debe

ser mayor o igual al calor necesario para el secado. A pesar de que dicha secuencia de clculo ha sido usada y validada experimentalmente, no se ha determinado cuanto se alejan las dimensiones de la cmara resultantes de las dimensiones ptimas, las cuales pueden obtenerse a partir de la simulacin del proceso de secado de las gotas asperjadas. 3.2. Simulacin del proceso de secado dentro de la cmara de un secador por aspersin En la simulacin del proceso de secado intervienen varios factores a considerar: 1. Entrada del aire de secado (la cual determina el patrn de flujo del mismo). El aire puede entrar de forma

tangencial a travs de ranuras localizadas en la periferia de la cmara de secado (Gauvin y Katta, 1976; Shabde y Hoo, 2006), o bien, de forma concntrica a la entrada de la alimentacin, localizada en la parte superior de la cmara (Gluckert, 1962; Masters, 1985; Truong et al., 2005).

2. Patrn de flujo del aire dentro de la cmara. La falta de informacin sobre los patrones de flujo de aire ha sido uno de los principales problemas en el diseo de secadores por aspersin; ste puede ser descrito con ecuaciones empricas que dependen de la geometra de la cmara (Gauvin y Katta, 1976; Shabde y Hoo,


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2006), o bien, de la solucin de las ecuaciones Navier - Stokes, para lo cual se requieren tcnicas computacionales sofisticadas de dinmica de fluidos (CDF) (Kieviet, 1997; Huang et al., 2006).

3. Tipo de aspersor usado. El tipo de atomizador, as como los parmetros de operacin establecidos (por ejemplo el flujo de alimentacin), determinan el tamao de las gotas asperjadas. Las ecuaciones usadas para el clculo del dimetro de las gotas son de naturaleza emprica (Masters, 1985).

4. Trayectoria de la partcula. sta se obtiene a partir de una sumatoria de fuerzas sobre la misma, y depende de si la partcula se encuentra o no en un flujo de aire en espiral (campo centrfugo). Gauvin y Katta (1976) proponen tres ecuaciones para calcular las componentes radial, axial y tangencial de la velocidad de la gota analizada cuando se encuentra en un campo centrfugo, con dichas ecuaciones es posible determinar su posicin a cada instante, y por lo tanto su trayectoria; Patio (1995) y Truong et al. (2005) presentan el caso en que la gota no se encuentra en un campo centrfugo.

5. Temperatura dentro de la gota. Truong et al. (2005) consideran que la temperatura dentro de la gota es uniforme, mientras que Farid (2003) y Shabde y Hoo (2006) consideran que existe un gradiente de temperatura descrito por una ecuacin diferencial parcial parablica.

6. Disminucin del dimetro de la gota. Gluckert (1962) considera que el dimetro de la gota no cambia a lo largo de todo el proceso de secado. Gauvin y Katta (1976) y Truong et al. (2005) calculan el dimetro en cada instante en funcin del dimetro y densidad inicial de la partcula, as como de su densidad en ese momento. Farid (2003) y Shabde y Hoo (2006) obtienen una ecuacin diferencial ordinaria para la disminucin del dimetro.

Para iniciar el clculo de la simulacin del proceso de secado se requiere conocer las propiedades de la alimentacin y del producto seco, las caractersticas del atomizador, los parmetros de operacin, etc., adems es necesario proponer las dimensiones de la cmara, para ello se hace uso de la secuencia de clculo para el dimensionamiento de la cmara de secado reportada por Patio (1995), Grajales (1996) y Mendoza et al. (2003). Las caractersticas del sistema (cmara del secador por aspersin) en el presente trabajo son las siguientes: El atomizador es de tipo rotatorio. Tanto la alimentacin con el aire de secado entran por la parte superior de la cmara y viajan en la misma

direccin (flujo paralelo), esto es para favorecer el secado de materiales termolbiles como es el caso de muchos fluido biolgicos.

El aire entra en forma tangencial, de tal forma que describe una trayectoria en espiral, ya que es comnmente usada en la industria, adems, existen ecuaciones empricas que predicen las componentes radial, axial y tangencial de la velocidad del aire (Gauvin y Katta, 1976).


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Tomando en cuenta lo anterior, en el presente trabajo se considera que los modelos matemticos reportados por Gauvin y Katta (1976) (lo que refiere a la trayectoria de la partcula y la velocidad del aire) son los que mejor describen al sistema a analizar. Existen dos zonas de influencia sobre el movimiento de la gota (Gavin y Katta, 1976): Zona de influencia del atomizador, donde la gota, que sale a altas velocidades del atomizador, desacelera

hasta que la velocidad relativa entre la gota y el aire es cero. Zona de influencia del aire de secado, es aquella donde el movimiento de la gota no se ve afectado por el

atomizador y es gobernado por el aire que gira en espiral (la velocidad relativa es cero). Shabde y Hoo (2006) retoman lo reportado por Gauvin y Katta (1976), empleando como atomizador la boquilla a presin, e incorporan el balance de poblaciones, la disminucin del dimetro de la gota como una ecuacin diferencial ordinaria y las variaciones espaciales (gradientes) de temperatura y concentracin dentro de la gota, pero consideran que una vez que la superficie de la gota alcanza la temperatura de blbo hmedo sta se mantiene constante durante todo el proceso de secado, en otras palabras, la gota no sufre sobrecalentamiento. Por otro lado Shabde y Hoo (2006) consideran que la zona de influencia del atomizador es despreciable, es decir, la velocidad relativa de la gota con respecto al aire es cero; sin embargo, ya que la gota sale a altas velocidades del atomizador rotatorio, en el presente trabajo no se desprecia esta zona, pues se considera que la transferencia de masa y calor se ver favorecida de manera importante por la disminucin de la capa de aire que rodea la gota por efecto de la alta velocidad relativa que se espera. El presente trabajo tiene como finalidad complementar lo reportado por Shabde y Hoo (2006) (excluyendo el balance de poblaciones), haciendo las modificaciones pertinentes, as como proponiendo ecuaciones, que desde el punto de vista del autor de esta tesis, mejoran la descripcin del proceso de secado a nivel microscpico y permiten un mayor entendimiento del mismo, sin que sea necesario el uso de tcnicas y programas sofisticados de dinmica de fluidos para su simulacin. Si bien es cierto que la secuencia de clculo para el dimensionamiento de la cmara permite obtener resultados de una forma rpida y sencilla, ya que las ecuaciones empleadas son algebraicas, la simulacin de proceso de secado (que involucra mayor complejidad en el clculo, as como costo computacional para la solucin de la ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales) permite obtener mayor informacin acerca de las caractersticas del producto seco (por ejemplo su temperatura de salida, densidad, etc.), adems es posible determinar las dimensiones ptimas de la cmara de secado, o bien, los parmetros de operacin necesarios para la obtencin de dicho producto.


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3.3. Mtodos numricos 3.3.1. Ecuaciones algebraicas Una secuencia de clculo adecuada permite la solucin de las ecuaciones algebraicas planteadas en el presente trabajo, ya que stas son de una incgnita. 3.3.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) En el Cuadro 3 se muestran los mtodos de Runge - Kutta (RK) para la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

Cuadro 3. Mtodos de Runge - Kutta para la solucin de ecuaciones diferenciales (Chapra y Canale, 2003).

Mtodo Caractersticas De Euler (RK de primer orden)

Se predice un valor de la variable dependiente usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de la variable independiente) para extrapolar linealmente sobre el tamao de paso. El motivo fundamental de error es suponer que la derivada al inicio del intervalo es la misma durante todo el intervalo. Se puede reducir el error disminuyendo el tamao de paso, pero aumenta el nmero de clculos a realizar. Es ineficiente pero simple. Escasa dificultad de programacin.

De Heun (RK de segundo orden)

Mejora la estimacin de la pendiente al determinar dos derivadas en el intervalo (en el punto inicial y en el final), las cuales se promedian. Moderada dificultad de programacin.

Del punto medio (RK de segundo orden)

Usa el mtodo de Euler para predecir un valor de la variable dependiente en el punto medio del intervalo, con ste valor predicho se calcula una pendiente en el punto medio que se supone representa una aproximacin vlida de la pendiente promedio en todo el intervalo. Es mejor que el mtodo de Euler debido a que utiliza una estimacin de la pendiente en el punto medio del intervalo. Moderada dificultad de programacin.


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Cuadro 3. (Continuacin).

Mtodo Caractersticas RK de cuarto orden Se usan mltiples estimaciones de la pendiente y se hace un promedio

ponderado de stas para obtener una mejor pendiente promedio en el intervalo. Es popular y confiable para muchos problemas de ingeniera. Usado si el intervalo de integracin del problema es lo suficientemente grande como para necesitar un gran nmero de pasos. Moderada dificultad de programacin.

RK de quinto orden de Butcher

Usada cuando se requieren resultados exactos. En general la ganancia en exactitud con mtodos mayores al cuarto orden se ve afectada por mayor trabajo computacional y mayor complejidad.

En el presente trabajo la solucin de las EDOs se realizar por el mtodo RK de cuarto orden ya que es ms exacto que los de menor orden, mientras que el trabajo computacional y la complejidad es menor que el RK de quinto orden de Butcher. En el Cuadro 4 se muestra la frmula del mtodo RK de cuarto orden, y en la Fig. 9 la representacin grfica de las pendientes estimadas en el mtodo.

Cuadro 4. Frmula del mtodo RK de cuarto orden (Chapara y Canale, 2003).

Ecuacin diferencial ordinaria

(EDO)

Frmula de RK de cuarto orden Pendientes (k) de la frmula de RK de cuarto orden

),( uyfdydu = hkkkkuu ii ++++=+ )22(6

143211

),(1 ii uyfk = )

21,

21( 12 hkuhyfk ii ++=

)21,

21( 23 hkuhyfk ii ++=

),( 34 hkuhyfk ii ++= h es el tamao de paso.


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Fig. 9. Representacin grfica de las pendientes empleadas en el mtodo RK de cuarto orden (Chapra y Canale, 2003).

3.3.3. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) Las ecuaciones que rigen la difusin de partculas en movimiento o la conduccin de calor, son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de tipo parablico, que representan procesos de difusin dependientes del tiempo (Nakamura, 1992). Dos de los mtodos aplicabes para la solucin de dichas EDPs son diferencias finitas y elemento finito. Los mtodos de diferencias finitas y elemento finito generan soluciones de las EDPs mediante los siguientes tres pasos principales (Potter y Wiggert, 2002):

1. Discretizar el dominio. El dominio espacial y temporal continuo del problema debe ser sustituido por uno discreto compuesto de puntos o nodos en una malla o retcula y niveles de tiempo. La discretizacin ideal utiliza el menor nmero de nodos en la malla y niveles de tiempo para obtener soluciones con la precisin deseada.

2. Discretizar las ecuaciones diferenciales parciales. Las EDPs que rigen el problema deben ser reemplazadas por un conjunto de ecuaciones algebraicas con los nodos y los niveles de tiempo como su dominio. En situaciones ideales, las ecuaciones algebraicas conocidas como ecuaciones de diferencia finita o ecuaciones de elemento finito (dependiendo del mtodo usado para construirlas) debern describir el mismo mbito fsico que el descrito por las EDPs regentes.

3. Especificar el algoritmo. El procedimiento mediante el cual se obtienen soluciones en cada nodo se deriva de las ecuaciones de diferencia finita o elemento finito cuando se pasa de un nivel de tiempo al siguiente debe ser descrito en detalle. Idealmente, el algoritmo deber garantizar no solo soluciones precisas, sino tambin el uso eficiente de la computadora.


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En los mtodos por diferencias finitas para resolver EDPs, el dominio de la solucin se divide en una malla con puntos discretos o nodos (Fig. 10 B). Entonces se aplica la EDP en cada nodo, donde las derivadas parciales se reemplazan por diferencias finitas. Aunque tal aproximacin es fcil de entender, tiene varias desventajas, en particular, es difcil de aplicar a sistemas con una geometra irregular, con condiciones de frontera no usuales o de composicin heterognea (Chapra y Canale, 2003). A diferencia de las tcnicas por diferencias finitas, la tcnica del elemento finito divide el dominio de la solucin en regiones con formas sencillas o elementos (Fig. 10 C). Se puede desarrollar una solucin aproximada de la EDP para cada uno de estos elementos. La solucin total se genera uniendo, o ensamblando, las soluciones individuales, teniendo cuidado de asegurar la continuidad de las fronteras entre los elementos (Chapra y Canale, 2003).

Fig. 10. Discretizacin de un sistema para modelar por el mtodo de diferencias finitas y del elemento finito. A) Empaque con geometra

irregular y composicin no homognea. B) Discretizacin del sistema en una malla para modelar por el mtodo de diferencias finitas. C) Discretizacin del sistema por elementos finitos para modelar por el mtodo del elemento finito (Chapra y Canale, 2003).

Como se ver en la seccin 6.2 del presente trabajo, las EDPs a resolver son del tipo parablico y con una sola dimensin espacial, adems la geometra del sistema (esfera) es regular y homognea por lo que el mtodo del elemeto finito no presenta grandes ventajas frente a las diferencias finitas, el cual es ms sencillo, por tal motivo se eligi este ltimo para la solucin de las ecuaciones diferenciales parciales planteadas. Con el mtodo de diferencias finitas, las EDPs se discretizan al reemplazar las derivadas con operadores de diferencia, en el Cuadro 5 se resumen las ventajas y desventajas de los mtodos para una dimensin espacial.


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Cuadro 5. Mtodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales parablicas y con una sola dimensin espacial (Nakamura, 1992).

Mtodo Ventajas Desventajas Euler hacia adelante (explcito) Sencillez. t debe ser menor que cierto lmite de

estabilidad. Euler hacia atrs (implcito) Incondicionalmente estable. Necesita el esquema de solucin

tridiagonal. Crank - Nicholson Incondicionalmente estable; ms

preciso que el de Euler hacia atrs. Necesita el esquema de solucin tridiagonal.

Como lo indica el Cuadro 5, el mtodo de Crank - Nicholson es estable y ms preciso que los dems, por tal motivo se utilizar para la solucin de la EDPs. Los operadores de diferencia usados para Crank - Nicholson se muestran en el Cuadro 6.

Cuadro 6. Operadores de diferencia usados en el mtodo de Crank - Nicholson (Chapra y Canale, 2003).

Descripcin Operador de diferencia Primera derivada

yu Adelantada: y

uu jj+1

Segunda derivada

2

2

yu

++

++

++

++2

11

111

211 22

21

yuuu

yuuu jjjjjj


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IV. JUSTIFICACIN Al realizar estudios sobre los mecanismos microscpicos del secado y los fenmenos de transporte a nivel de gota, se estar en la posibilidad tanto de comprender mejor el proceso de secado como de proponer modelos matemticos que mejor lo describan, de tal forma que sea posible predecir las caractersticas del producto seco. Adicionalmente, la simulacin del proceso de secado permite reducir la experimentacin, y el gasto de recursos materiales que esto conlleva, para encontrar los parmetros de operacin que permiten hacer un mejor uso del equipo existente, o bien, obtener las dimensiones ptimas de un secador por aspersin para secar un fluido especfico bajo condiciones dadas. El presente trabajo se enfoca en la cmara de secado, tanto en su dimensionamiento como en la simulacin del proceso de secado dentro de la misma, para ello se retoma el trabajo realizado por Shabde y Hoo (2006), incorporando aspectos como el sobrecalentamiento de la gota, la importancia de la velocidad relativa de la gota con respecto al aire, la cual es diferente de cero, en la transferencia de masa y calor, y otras modificaciones que incrementan la precisin en las estimaciones obtenidas de la simulacin del secado.


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V. OBJETIVOS 5.1. Objetivo General Dimensionar un secador por aspersin de nivel piloto y simular los fenmenos de transporte y trayectoria de

las gotas durante el proceso de secado, para facilitar el diseo de nuevos equipos o la operacin de equipos existentes.

5.2. Objetivos Especficos Establecer una secuencia de clculo que permita el pre-dimensionamiento de la cmara de secado y

determinar que tanto se alejan los resultados obtenidos de las dimensiones ptimas. Establecer una secuencia de clculo que enlace las dimensiones de la cmara de secado con la simulacin

de los fenmenos de transporte y trayectoria de las gotas asperjadas dentro de la misma, as como establecer las dimensiones ptimas de la cmara para el secado de un producto con determinadas especificaciones.


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VI. SIMULACIN DEL PROCESO DE SECADO En la Fig. 11 se muestra el diagrama de flujo bsico del secador por aspersin, donde, para este trabajo, el atomizador es de tipo rotatorio, el aire de secado entra en la parte superior de la cmara de secado (en flujo paralelo con la alimentacin, por lo tanto se presenta un perfil homogneo de temperatura dentro de la cmara) y en forma tangencial, de tal forma que describe una trayectoria en espiral.

Fig. 11. Diagrama de flujo bsico del secador por aspersin (Bylund, 1995).

Para las secuencias de clculo presentadas en los apartados 6.1 y 6.2 de esta tesis, es necesario introducir como datos las siguientes constantes, parmetros y variables referentes al fluido en particular que se desee secar y las condiciones en que se trabajar, a fin de iniciar el clculo y obtener las dimensiones de la cmara y la simulacin dentro de la misma para el sistema planteado. Constantes del sistema AA - Constante de Antoine. BA - Constante de Antoine. CA - Constante de Antoine.


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Cpa - Capacidad calrica del aire seco (J kgas-1 K-1). Cpw - Capacidad calrica del agua (J kgagua-1 K-1). Cv - Capacidad calrica del vapor de agua (J kgagua-1 K-1). g - Constante de gravedad (m s-2). MA - Peso molecular del agua (kgagua mol-1). MB - Peso molecular del aire (kgas mol-1). Pt - Presin de trabajo en la Cd. de Mxico (Pa). T0 - Temperatura de referencia (K). 0 - Calor latente de vaporizacin a la temperatura de referencia (J kgagua-1). w - Densidad del agua (kgagua m-3).

- Coeficiente de difusin del agua en el slido (m2 s-1). Caractersticas del atomizador Dr - Dimetro del atomizador (m). hp - Altura de la paleta del atomizador (m). . np - Nmero de paletas del atomizador. N - Velocidad angular del atomizador (rev s-1).

Variables de entrada (Aire) Ta1 - Temperatura de bulbo seco del aire a la entrada de la cmara de secado (K). Tbh - Temperatura de bulbo hmedo (K). Y1 - Humedad del aire, en base seca, a la entrada de la cmara de secado (kgagua kgas-1). bh - Calor latente de vaporizacin a la temperatura de bulbo hmedo (J kgagua-1). a - Viscosidad del aire (N s m-2). Variables de entrada (Alimentacin) Calim - Concentracin de la alimentacin (kgss msh-3). Cpss - Capacidad calrica del slido seco (J kgss-1 K-1). F - Flujo de alimentacin (kgsh s-1). ks - Conductividad trmica de la alimentacin (W m-1 K-1). Ts1 - Temperatura del slido a la entrada de la cmara de secado (K).


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s - Viscosidad de la alimentacin (N s m-2). s - Densidad de la alimentacin (kgsh m-3). ss - Densidad de los slidos secos (kgss m-3).

Variables de salida (Aire) kd1 - Conductividad trmica de la pelcula de aire que rodea la gota evaluada a una temperatura

promedio entre la Ta2 y la superficie de la gota (W m-1 K-1). Ta2 - Temperatura del aire a la salida de la cmara de secado (K).

Variables de salida (Producto) Ts2 - Temperatura del slido a la salida de la cmara de secado (K). X2 - Humedad del producto, en base seca, a la salida de la cmara de secado (kgagua kgss-1).

Condiciones al tiempo cero (Aire). nicamente para la simulacin del proceso de secado Yx (0) = Y1 - Humedad del aire al tiempo cero (kgagua kgas-1). Ta (0) =Ta1 - Temperatura del aire al tiempo cero (K). Ex (0) = 0 - Velocidad de evaporacin (kgagua s-1). dqconveccion/dt (0) = 0 - Flujo de calor transferido a la gota por conveccin al tiempo cero (W).

Condiciones al tiempo cero (Partcula). nicamente para la simulacin del proceso de secado x (0) = hp - Distancia axial recorrida por la gota analizada al tiempo cero, medida desde la parte

superior de la cmara de secado (m). r (0) = Dr / 2 - Distancia radial recorrida por la gota analizada al tiempo cero, medida desde el centro de

la cmara de secado (m). Xx (0) = X1 - Humedad de la gota al tiempo cero (kgagua kgss-1). Dd (0) = D95 - Dimetro de la gota al tiempo cero (m). d (0) = s - Densidad de la gota al tiempo cero (kgsh m-3). Vt (0) = Vt0 - Velocidad tangencial de la gota al tiempo cero (m s-1). Vr (0) = Vr0 - Velocidad radial de la gota al tiempo cero (m s-1). Vv (0) = Vv0 - Velocidad axial de la gota al tiempo cero (m s-1).


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Nota: El subfijo as se refiere a aire seco, sh a slido hmedo y ss a slido seco. 6.1. Dimensionamiento de la cmara de secado La secuencia de clculo que se presenta a continuacin para el dimensionamiento de la cmara de secado se basa en los siguientes criterios (Patio, 1995; Grajales, 1996; Mendoza et al., 2003): La humedad relativa del aire a la salida de la cmara debe ser menor o igual que la humedad relativa del

aire en equilibrio con la humedad deseada del producto, de tal forma que no humedezca al producto. El tiempo de secado de la gota asperjada, desde una humedad inicial hasta otra final, debe ser menor o

igual al tiempo de viaje de la gota a la pared del secador y as evitar que se adhiera a sta. El calor suministrado a la gota asperjada durante el tiempo de viaje de la misma a la pared del equipo debe

ser mayor o igual al calor necesario para el secado. En la Fig. 12 se muestra el diagrama de flujo general para llevar a cabo el dimensionamiento de la cmara de secado.


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Fig. 12. Diagrama de flujo para el dimensionamiento de la cmara de secado (Patio, 1995; Grajales, 1996; Mendoza et al., 2003).

SI

NO

NO

NO

SI

SI

Propuesta de variables de operacin

Variables y parmetros de

operacin del sistema aire-agua

Balances del sistema 1. Balance de materia Balance de Humedad 2. Balance de calor

Variables y parmetros de operacin de la

alimentacin

Las condiciones propuestas no cumplen con la

condicin necesaria para un secado.

Se proponen nuevas

condiciones

Determinacin del dimetro Sauter de las gotas

asperjadas

Determinacin del tiempo de secado de las gotas

asperjadas (tT)

Clculo del tiempo de viaje (tv expresado en funcin del

volumen de la cmara)

Dimensionamiento total de la cmara

Clculo de %HR del aire a la salida de la cmara de

secado

Considerando tT tv

Considerando %HR % humedad de equilibrio del producto

Considerando Qtransf Qnec


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6.1.1. Humedad relativa del aire a la salida de la cmara de secado Para clculo del porcentaje de humedad relativa del aire (%HR) a la salida de la cmara de secado, es necesario primero determinar el valor numrico de la humedad absoluta del aire a la salida (Y2), y para ello se realizan los balances de materia y de calor. El balance de materia sobre la cmara de secado queda como:

)()( 1221 YYGXXF mm = ... Ec. 1 El balance de calor sobre la cmara de secado es:

)()( 1221 aamssm HHGhhF = ... Ec. 2 La entalpa de los slidos a la entrada de la cmara de secado (hs1) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( )011011 TTCXTTCh spwspsss += ... Ec. 3 La entalpa de los slidos a la salida de la cmara de secado (hs2) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( )022022 TTCXTTCh spwspsss += ... Ec. 4 La entalpa del aire a la entrada de la cmara de secado (Ha1) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( ) 100111 YTTYCCH avpaa ++= ... Ec. 5 La entalpa del aire a la salida de la cmara de secado (Ha2) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( ) 200222 YTTYCCH avpaa ++= ... Ec. 6 Al sustituir la Ec. 6 en la Ec. 2 e igualarla con la Ec. 1 y despejar Y2 se obtiene:


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( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( )2100212

121210212 XXTTChh

hhYXXTTCHY

avss

ssapaa

+++= ... Ec. 7

La presin parcial del agua (PA) se calcula como sigue (Treybal, 2000):

BA

BtA MYM

MPYP +=2

2 ... Ec. 8

El porciento de humedad relativa (%HR) se define como (Treybal, 2000):

100%0

=PPHR A ... Ec. 9

Vase en el ANEXO A.5 la ecuacin para determinar la presin de vapor del agua a la temperatura del aire a la salida de la cmara de secado (P0).

6.1.2. Dimetro Sauter El dimetro Sauter se define como el dimetro de una gota que tiene la misma relacin superficie-volumen que la de todas las gotas formadas por la aspersin o muestra de partculas (Masters, 1985). Existen diversas correlaciones que permiten predecir las caractersticas de la nube asperjada por atomizadores rotatorios que dependen de la velocidad perifrica del disco, flujo de la alimentacin, densidad, dimetro del atomizador, etc. La siguiente ecuacin se utiliza para determinar el dimetro Sauter de las gotas asperjadas (Dvs) con atomizadores rotatorios de dimetro pequeo (de 5 a 15 cm) y velocidades perifricas altas, para secadores de laboratorio de dimetro pequeo (Masters, 1985):

017.0537.0171.0 )(5240 = srpvs NDMD Ec. 10


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Los valores determinados con la ecuacin anterior muestran concordancia con los valores medidos cuando el tamao de la gota no excede los 60 m (Masters, 1985). El flux msico de la alimentacin por cada paleta del atomizador (Mp) (Fig. 3) de la Ec. 10 se calcula como sigue:

ppp nh

FM = Ec. 11

El dimensionamiento de la cmara se realiz en funcin del dimetro de la gota D95, es decir, el dimetro dentro del

cual se encuentra el 95% de la nube asperjada, de tal forma que si se garantiza que una gota de este tamao se seca antes de llegar a la pared de la cmara entonces el 95% de la nube tambin lo har. D95 se define como sigue

(Masters, 1985):

vsDD = 4.195 Ec. 12 6.1.3. Dimetro, humedad y temperatura de la gota en el punto crtico La ecuacin propuesta por Masters (1985) para determinar el dimetro de la gota en el punto crtico, puede deducirse a partir de un balance de materia de los slidos secos en la gota. Suponiendo que no hay colisiones entre las gotas, por lo tanto no hay ruptura ni coalescencia de las mismas, la masa de los slidos secos de la gota se mantiene constante desde la entrada a la salida de la cmara de secado, de tal forma que:

2

2

1

1

11 XV

XV ssdsd

+=+

Ec. 13

Como se mencion en el apartado 2.2.4, el punto que divide el perodo de velocidad constante y el de velocidad decreciente es el punto crtico, y una vez que se alcanza ste, el dimetro de la gota se supone que permanece constante, y se denomina dimetro crtico (Dc), hasta la salida de la cmara de secado, de tal forma que la Ec. 13 se

puede escribir como:


29

2

3

1

395

183

4

183

4

X

D

X

Dss

cs

+

=+

Ec. 14

Despejando Dc se obtiene:

31

1

295 1

1

++=

XXDD

ss

sc

Ec. 15

La disminucin del dimetro de la gota se debe a la prdida de la humedad, de tal forma que la humedad removida de la gota cuando se alcanza el punto crtico (ar) puede escribirse como (Masters, 1985):

( ) wcr DDa = 33956 ... Ec. 16 La humedad remanente (ap) se calcula como sigue (Masters, 1985):

rshp aXDa = 1

395

6 ... Ec. 17

Vase en el ANEXO A.1 la ecuacin para determinar la humedad de la gota en base hmeda (Xxh) a un tiempo t

dado. La humedad absoluta de la gota cuando se alcanza el punto crtico (Xc) est dado por (Masters, 1985):

lim

395

6 a

pc

CD

aX

=

Ec. 18

La temperatura superficial de una gota que contiene slidos insolubles o soluciones no electrolticas en el perodo de velocidad constante puede ser considerada como la temperatura de bulbo hmedo del aire de secado (Tbh), de forma tal que en el punto crtico la temperatura de la gota (Tsc) est dada por:

bhsc TT = Ec. 19


30

6.1.4. Humedad y temperatura del aire en el punto crtico La humedad absoluta del aire cuando se alcanza el punto crtico (Yc) se obtiene del balance de materia (humedad)

sobre la cmara de secado desde la entrada hasta el punto crtico, escribindose:

m

cmc G

XXFYY )( 11+=

Ec. 20

La entalpa de los slidos cuando se alcanza el punto crtico (hsc) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( )00 TTCXTTCh scpwcscpsssc += Ec. 21 La entalpa del aire cuando se alcanza el punto crtico (Hac) se calcula como sigue (Masters, 1985):

( ) ( ) caccvpaac YTTYCCH ++= 00 Ec. 22 Al despejar la temperatura del aire en el punto crtico (Tac) de la Ec. 22, se obtiene:

( ) 00 TYCC YHT cvpa cacac ++=

Ec. 23

Donde Hac se obtiene del balance de energa sobre la cmara de secado desde la entrada hasta el punto crtico,

escribindose:

( )1

1a

m

scsmac HG

hhFH += Ec. 24

6.1.5. Tiempo de secado Como se mencion anteriormente existen dos periodos de secado: el de velocidad constante y el de velocidad decreciente, por tanto, el tiempo total de secado se define como:

dcT ttt += Ec. 25


31

A continuacin se presenta el caso en que las gotas a secar contienen slidos insolubles, lo que ocurre normalmente en los fluidos biolgicos. El tiempo de secado en el perodo de velocidad constante puede deducirse a partir de un balance de calor sobre la gota asperjada suponiendo un equilibrio dinmico, donde la velocidad de transferencia de calor es igual a la velocidad de transferencia de masa multiplicada por el calor latente de vaporizacin, de tal forma que:

dtdmTAh dbhmlc = 1

Ec. 26

Suponiendo que la gota asperjada es esfrica y que no cambia de forma a medida que es secada, entonces el rea de transferencia de calor (A), se define como:

2

dDA = Ec. 27 La masa de la gota se obtiene de multiplicar su volumen por su densidad, quedando:

wd

dDm =6

3

Ec. 28

Al sustituir las Ec. 27 y 28 en la Ec. 26 y reordenando se obtiene:

( ) dtTDhDd mldcdwbh = 1236 Ec. 29 Derivando y reordenando queda:

dmlc

wbh dDTh

dt =

12

Ec. 30

Al integrar la Ec. 30 de t = 0 a t = tc y de Dd = D95 a Dd = Dc, se obtiene:


32

=cD

D c

d

ml

wbhc h

dDT

t951

2

Ec. 31

El coeficiente de transferencia de calor (hc) puede despejarse del nmero de Nusselt, quedando:

d

dc D

kNuh = Ec. 32

Vase en el ANEXO A.10 la ecuacin para determinar la conductividad trmica de la pelcula de aire que rodea la gota (kd), evaluada a una temperatura promedio entre la temperatura del aire (Ta) y la temperatura superficial de la gota (TdR) a un tiempo t dado.

Para la transferencia de calor entre un fluido en movimiento y la superficie de una esfera se recomienda la siguiente ecuacin (McCabe y Smith, 2002):

31

21

PrRe6.02 +=Nu Ec. 33 Al sustituir las Ec. 32 y 33 en la Ec. 31, se obtiene:

+

=

cD

D

d

as

a

areldd

dd

ml

wbhc

kCVDk

dDDT

t95 3

121

1

6.022

Ec. 34

Vase en los ANEXOS A.3 y A.4 las ecuaciones para determinar la densidad del aire (a) y el calor hmedo del aire (Cs) a un tiempo t dado.

Debido al alto grado de complejidad que representa resolver la integral anterior, conviene suponer que la velocidad relativa entre la gota y el aire (Vrel) es despreciable, por tanto, la Ec. 34 queda (Masters, 1985):

)(8

2295

11c

dml

wbhc DDkT

t =

Ec. 35


33

Ntese que el coeficiente de transferencia de calor (hc) cambia, y por lo tanto el tiempo de secado en el perodo de velocidad constante (tc), si la velocidad relativa (Vrel) es diferente de cero. La media logartmica de temperaturas en el perodo de velocidad constante (Tml1) se define como:

( )

=

scac

sa

scacsaml

TTTT

TTTTT11

111

ln

)(

Ec. 36

El tiempo de secado en el perodo de velocidad decreciente (td), considerando que la velocidad relativa (Vrel) es

despreciable, se define como (Masters, 1985):

)(12 221

2

XXTk

Dt cmld

sscbhd

= Ec. 37

Donde la media logartmica de temperaturas para el perodo de velocidad decreciente (Tml2) est dado por:

( )

=

22

222

ln

)(

sa

scac

sascacml

TTTT

TTTTT

Ec. 38

6.1.6. Tiempo de viaje de la gota a la pared de la cmara de secado Gluckert (1962) propone la siguiente ecuacin para la trayectoria de la nube asperjada de un atomizador rotatorio:

21

2

2

2.1

=

r

D

Dr

bVV

r

rres

ai

Ec. 39


34

Donde b es la anchura de un chorro anular imaginario de aire que sale del disco rotatorio, con la misma composicin de aire a la salida de la cmara de secado (Y2h) y teniendo la misma velocidad y momentum que el chorro lquido de alimentacin. De tal forma que (Gluckert, 1962):

resr

a VD

Fb

=2

22 Ec. 40

Vase en el ANEXO A.3 la ecuacin para determinar la densidad del aire (a) a un tiempo t dado.

La velocidad radial de las gotas que salen del atomizador rotatorio se calcula como sigue (Masters, 1985):

31

2

22

0 32

=ps

rvs

r h

DQV

Ec. 41

Vase en el ANEXO A.9 la ecuacin para determinar la velocidad angular del atomizador (). La velocidad tangencial de las gotas que sale del atomizador rotatorio se define como (Masters, 1985):

NDV rt = 0 Ec. 42 Mientras la velocidad axial de las gotas que salen del atomizador es considerada despreciable, de tal forma que (Masters, 1985):

00 =vV Ec. 43

El ngulo de atomizacin se define como:

=

0

0arctan2180r

v

VV

Ec. 42


35

La velocidad resultante de la gota que sale del atomizador rotatorio se define como la suma de sus componentes, de tal forma que:

20

20

20 vrtres VVVV ++= Ec. 43

A partir de la Ec. 39, Gluckert (1962) deduce la ecuacin para el clculo del tiempo de viaje de la gota a la pared de la cmara de secado (tv), haciendo la consideracin que Rcamara > 5*Dr / 2, quedando:

21

2

24.2

4

=

rres

rcamara

v

DbV

DRt

Ec. 44

En el presente trabajo se considera que tv = tT, sustituyendo este criterio en la Ec. 44 y despejando el radio de la cmara (Rcamara) se obtiene:

424.2

21

21

rrresTcamara

DDbVtR +

= Ec. 45

camaracamara RD = 2 Ec. 46 6.1.7. Calor transferido a la gota durante el tiempo de viaje Gluckert (1962) deduce la ecuacin para determinar el flujo de calor transferido por conveccin a la alimentacin durante el tiempo de viaje a la pared de la cmara, para ello supone que el dimetro de la gota permanece constante a lo largo del proceso de secado, de tal forma que:

vs

mdtransf tFD

TkQ = 295

13112 Ec. 47

Vase en el ANEXO A.10 la ecuacin para determinar la conductividad trmica de la pelcula de aire que rodea la gota (kd), evaluada a una temperatura promedio entre la temperatura del aire (Ta) y la temperatura superficial de la gota (TdR) a un tiempo t dado.


36

Donde la media logartmica de temperaturas a la entrada y a la salida de la cmara (Tml3) est dado por:

( )

=

22

11

22113

ln

)(

sa

sa

sasaml

TTTT

TTTTT

Ec. 48

El flujo de calor necesario para secar la alimentacin se define como:

)( 211 aasmnec TTCGQ = Ec. 49 Vase en el ANEXOS A.4 la ecuacin para determinar el calor hmedo del aire (Cs) a un tiempo t dado.

Recurdese que las condiciones propuestas deben cumplir la condicin Qtransf Qnec para secar la alimentacin.

6.1.8. Dimensiones de la cmara La relacin Hcamara / Dcamara de la cmara de secado, con una seccin cilndrica (Hcilindro) y una cnica (Hcono), con

atomizador rotatorio es de 1.2 a 1.5 (Alamilla, 2001). A travs de la revisin de la literatura de equipos comerciales, se encontr que las dimensiones de la cmara de secado pueden proponerse como sigue (Fig. 13):

camaracamara D= 5.1 Ec. 50

( )conoconocamaracono DR tan2

= Ec. 51

conocamaracilindro HH = Ec. 52

10camara

conoDD = Ec. 53


37

= 60cono Ec. 54

Fig. 13. Diagrama esquemtico de las dimensiones de la cmara de secado.

6.2. Simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y de masa dentro de la cmara de secado Los modelos matemticos propuestos para la simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y de masa dentro de la cmara de secado, se basan en las siguientes suposiciones: Simulacin de una sola gota asperjada de tamao D95. La gota asperjada se mueve de la parte superior al fondo de la cmara de secado describiendo una

trayectoria regular bajo un rgimen de no turbulencia, en otras palabras, la gota no es atrapada en remolinos de aire que puedan provocar que sta vuelva subir, por lo anterior, se considera que el tiempo de trayectoria es igual al tiempo de residencia. No debe confundirse el tiempo de residencia dentro de la cmara de secado con el tiempo de viaje de la gota a la pared de la cmara.

La gota asperjada conserva su forma esfrica durante el proceso de secado. No se presenta ni aglomeracin de la gota de tamao D95 con otras gotas asperjadas ni existe ruptura de la

gota analizada. La gota asperjada es estable en el flujo de aire y por lo tanto no rota, ya que esto supondra evaporacin

adicional provocada por la reduccin de la capa frontera de aire alrededor de la gota, cuyo caso no es considerado en los modelos.


38

La evaporacin de la humedad en la gota solo se presenta en la superficie de la misma, es decir, que el agua contenida dentro de la gota debe migrar hasta la superficie para poder ser evaporada.

La temperatura y humedad del aire en la seccin transversal de la cmara de secado es uniforme. Se considera que la cmara de secado est aislada y por lo tanto las prdidas de calor son despreciables.

En la Fig. 14 se muestra el diagrama de flujo general para llevar a cabo la simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y masa dentro de la cmara de secado; las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son resueltas por el mtodo de diferencias finitas (Chapra y Canale, 2003), mientras que las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) por el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden (Chapra y Canale, 2003).


39

SI

Fig. 14. Diagrama de flujo para la simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de calor y de masa.

NO

Propuesta de las condiciones iniciales:

x0, r0, X1, Y1, Ta1, Ts1, Vt0, Vr0, Vv0,Vat0, Var0, Vav0,

D95, Nu, hc, t

Clculo del tamao de paso espacial (rd)

Clculo de Tdxpromedio+1

Clculo de las condiciones al tiempo +1:

Xx+1, Yx+1,d+1, Ta+1, Vat+1, Var+1, Vav+1, Nu+1,

Ex+1, hc+1

=+1

Simulacin de la trayectoria de la gota, transferencia de

calor y masa

Clculo de la temperatura (Td) y la concentracin de

agua (Cw) dentro de la gota al tiempo +1

Clculo de las condiciones al tiempo +1:

t+1, x+1, r+1, Vt+1, Vr+1, Vv+1,qconveccion+1,

Dd+1

Al tiempo se tiene: x, r, Xx, Yx, Ta, Tdxpromedio, Vt, Vr,

Vv,Vat, Var, Vav, Dd

EDP Mtodo de diferencias

finitas

EDO Mtodo de

Runge Kutta de cuarto orden


40

6.2.1. Temperatura dentro de la gota asperjada La alta temperatura del aire que est en contacto con la gota eleva la temperatura de esta ltima. El calor es conducido hacia el centro de la gota lo que provoca un gradiente de temperatura dentro de la misma, una vez que la temperatura superficial de la gota (TdR) alcanza la temperatura de bulbo hmedo (Tbh), se inicia la evaporacin de la

humedad que se ve reflejado en la disminucin del tamao de la gota. El gradiente de temperatura dentro de la gota (Td) est determinado por la siguiente ecuacin parablica (Shabde y

Hoo, 2006):

=

d

dd

dd

d

rT

rrrt

T 22

1 Ec. 55

Vase en el ANEXO A.8 la ecuacin para determinar la difusividad trmica de la alimentacin ().

La Ec. 55 puede reescribirse como:

2

22

d

d

d

d

d

d

rT

rT

rtT

+

= Ec. 56

La condicin inicial es la siguiente (Shabde y Hoo, 2006):

ddsdd RrTrT = 0)0,( 1 Ec. 57 La condicin a la frontera en el centro de la gota est dada por la simetra de la gota, y se supone que no cambia durante las etapas de calentamiento y evaporacin (Shabde y Hoo, 2006):

00),0( = tt

rT

d

d Ec. 58

La condicin a la frontera en la superficie de la gota para la etapa de calentamiento, suponiendo que todo el calor que se transfiere del aire a la gota por conveccin es utilizado para el calentamiento de la gota, est dada por (Shabde y Hoo, 2006):


41

bhdRdRacdd

ds TTTThtRr

Tk


42

transfiere del aire a la gota por conveccin es utilizado tanto para el sobrecalentamiento de la gota como para la evaporacin de humedad remanente, est dada por:

cdd

bhxdRacd

d

ds DDD

ETThtRrTk =

+= 2)(),(

Ec. 61

El coeficiente de transferencia de calor (hc) debe actualizarse a cada tiempo t, vase Ec. 32. La Ec. 56 se resolvi con el mtodo de diferencias finitas, de tal forma que la discretizacin de la Ec. 56, usando el mtodo de Crank - Nicholson y diferencia dividida finita hacia adelante, queda:

( ) ( )

++++

=

+

++++

++

2

11

111

211

11

222

2

d

dididi

d

dididi

d

didi

d

didi

rTTT

rTTT

rTT

rtTT

... Ec. 62

Suponiendo que:

drt

=

2 Ec. 63

Ntese que en la Ec. 63 el trmino rd (Fig. 15) se define como:

( )12 += nodosd

d nDr

Ec. 64

Sustituyendo la Ec. 63 en la Ec. 62 y reordenendo queda:

11

11

111

4241

21

+

++

++

++

+

=

++

didd

didd

did

did

did

did

Trr

Trr

Tr

Tr

Tr

Tr

Ec. 65

Aplicando la condicin a la frontera dada por la Ec. 58 se llega a:


43

111

1 sdidi TTT == + Ec. 66 Al sustituir la Ec. 66 en la Ec.65, se obtiene la siguiente ecuacin para el primer nodo interior:

111

11

1

4241

21

sd

didd

didd

sd

did

did

Tr

Trr

Trr

Tr

Tr

Tr

+

++

+

=

+

+

++

+

Ec. 67


( ) 1111 ++++ += didiadi TTTT Ec. 68 Donde:

ds

c rkh =

Ec. 69

Al sustituir la Ec. 68 en la Ec. 65, se obtiene la siguiente ecuacin para el ltimo nodo interior, en la etapa de calentamiento:

ad

diddd

didd

did

did

did

Tr

Trrr

Trr

Tr

Tr

Tr

+

+

+

+=

++

+

++

1

111

1

4

2411 Ec. 70


bhdidi TTT == +++ 111 Ec. 71 Al sustituir la Ec. 60 en la Ec. 65, se obtiene la siguiente ecuacin para el ltimo nodo interior, en la etapa de evaporacin:


44

bhd

bhdd

didd

did

did

did

Tr

Trr

Trr

Tr

Tr

Tr

+

++

+=

++

++

4

24121 111

1

Ec. 72


( ) 12111 ++++ + =

di

cc

bhxdiadi ThD

ETTT Ec. 73

Al sustituir la Ec. 73 en la Ec. 65, se obtiene la siguiente ecuacin para el ltimo nodo interior, en la etapa de sobrecalentamiento:

cc

bhx

da

ddi

ddd

didd

did

did

did

hDE

rT

rT

rrr

Trr

Tr

Tr

Tr

+

+

+

+=

++

+

++

21

111

1

4

2411

Ec. 74

Las Ec. 65, 67, 70, 72 y 74 se resolvieron con el algoritmo de Thomas (Chapra y Canale, 2003), que es usado para matrices triangulares como las obtenidas en la discretizacin del dominio por diferencias finitas para hallar la temperatura de la gota. 6.2.2. Concentracin de agua dentro de la gota asperjada El gradiente de concentracin agua dentro de la gota (Cw) est determinado por la siguiente ecuacin parablica

(Shabde y Hoo, 2006):

=

d

wd

dd

w

rC

rrrt

C 22

1 Ec. 75

La Ec. 75 puede reescribirse como:


45

2

22

d

w

d

w

d

w

rC

rC

rtC

+

= Ec. 76

La condicin inicial es la siguiente (Shabde y Hoo, 2006):

ddwdw RrCrC = 0)0,( 0 Ec. 77 La condicin a la frontera en el centro de la gota est dada por la simetra de la gota, y se supone que no cambia durante las etapas de calentamiento y evaporacin (Shabde y Hoo, 2006):

00),0( = tt

rC

d

w Ec. 78

Durante la etapa de calentamiento el gradiente de concentracin se mantiene constante, y la condicin a la frontera en la superficie de la gota est dada por (Shabde y Hoo, 2006):

0=

d

w

rC

Ec. 79

La condicin a la frontera en la superficie de la gota para la etapa de evaporacin est dada por:

bhd

dRdRsdRacd

d

w

rTTkTThtR

rC

1)(),( 1

=

Ec. 80

El coeficiente de transferencia de calor (hc) debe actualizarse a cada tiempo t, vase Ec. 32.

La condicin a la frontera en la superficie de la gota en la etapa de sobrecalentamiento es igual a la Ec. 80. La Ec. 76 se resolvi con el mtodo de diferencias finitas, de tal forma que la discretizacin de la Ec. 76, usando el mtodo de Crank - Nicholson y diferencia dividida finita hacia adelante, queda:


46

( ) ( )

++++

=

+

++++

++

2

11

111

211

11

222

2

d

wiwiwi

d

wiwiwi

d

wiwi

d

wiwi

rCCC

rCCC

rCC

rtCC

... Ec. 81

Suponiendo que:

drt

=

2 Ec. 82

Sustituyendo la Ec. 82 en la Ec. 81 y reordenendo queda:

11

11

111

4241

21

+

++

++

++

+

=

++

widd

widd

wid

wid

wid

wid

Crr

Crr

Cr

Cr

Cr

Cr

Ec. 83


011

1 wwiwi CCC == + Ec. 84

Al sustituir la Ec. 84 en la Ec.83, se obtiene la siguiente ecuacin para el primer nodo interior:

010

11

1

4241

21

wd

widd

wi

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