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MÁXIMO COMÚN DIVISOR: MCD

MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes.

Se forma tomando los factores comunes a todos los números con el menor exponente que presenten.

Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24

Factorizamos los números:18 = 2•32

24 = 23•3Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor

exponente que presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente )Luego: MCD (18,24) = 2•3 = 6

El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

MC

DVerificamos la solución:

Factorizamos los números:18 = 2•32

24 = 23•3Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 }

El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

Se cumple:18 = 3•624 = 4•6Los factores 3 y 4 deben ser primos entre sí.

MCD

Ejemplo práctico:

Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible.

Hallamos el mcd de los números 18 y 24Como ya hemos visto es 6Es el mayor de los divisores comunes.Dividimos 18:6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda

de 18 cmDividimos 24:6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda

de 24 cmEn total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno.

Otro ejemplo práctico:

Tres libros tienen 120, 150 y 180 párrafos cada uno. Deseamos cortarlos y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada uno, de forma que esa cantidad sea la mayor posible.

Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180Factorizamos 120 = 23•3•5Factorizamos 150 = 2•3•52

Factorizamos 180 = 2•32•5

Tomamos factores comunes con el menor exponente:Mcd = 2•3•5 = 6•5 = 30

Dividimos 120:30 = 4 fascículos de 30 párrafos cada uno.Dividimos 150:30 = 5 fascículos de 30 párrafos cada uno. Dividimos 180:30 = 6 fascículos de 30 párrafos cada uno.

En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 párrafos cada uno.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: MCM

MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más números, es el menor de los múltiplos comunes.Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los números con el mayor exponente que presenten.

Ejemplo: Hallar el MCM de los números 18 y 24

Factorizamos los números:18 = 2•32

24 = 23•3Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el mayor

exponente que presente cada uno ( 3 y 2 respectivamente ) y todos los factores no comunes ( en este caso no hay )

Luego: MCM (18,24) = 23•32 = 8•9 = 72

El 72 es el menor de los múltimplos comunes.

Verificamos la solución:

Factorizamos los números:

18 = 2•32

24 = 23•3

Los múltiplos de 18 son { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 144, … }Los múltiplos de 24 son { 24, 48, 72, 96, 120, 144, … }

Los múltiplos comunes son { 72, 144, … }

El 72 es el menor de los múltiplos que tienen en común.

Se cumple:72 = 18•a72 = 18•bLos factores a y b deben ser primos entre sí.

MCM

MCM

Ejemplo práctico: Dos coches de carrera parten a la vez y tardan 18 y 24 mn en

dar una vuelta a la pista. ¿Cuándo se vuelven a encontrar en la línea de salida?.

Hallamos el mcm de los números 18 y 24Como ya hemos visto es 72Es el menor de los múltiplos comunes.

Dividimos 72:18 = 4 vueltas completas da el primer vehículo.Dividimos 72:24 = 3 vueltas completas da el segundo

vehículo.

Vuelven a encontrar al cabo de 72 mn en la línea de salida, tras dar 3 y 4 vueltas a la pista cada uno de ellos.

Otro ejemplo práctico:

Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero tarda 54 s en leer una página similar. En un supuesto maratón, si los tres comienzan a leer a las 9,00 horas, ¿ cuándo volverán a coincidir los tres en volver a comenzar a leer una página?.

Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54Factorizamos 25 = 52

Factorizamos 40 = 5•23

Factorizamos 54 = 2•33

Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

Mcm = 23 •33 • 52 = 8•27•25 = 216• 25 = 5400 sCoincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn

Dividimos 5400:25 = 216 párrafos habrá leído el primero.Dividimos 5400:40 = 135 párrafos habrá leído el segundo. Dividimos 5400:54 = 100 párrafos habrá leído el tercero.

RELACCIÓN MCM Y MCD

PROPIEDAD: Sean A y B dos números naturales cualesquiera.Siempre se cumple: A•B = MCM•MCD

Veamos con un ejemplo:

MCM (18 y 24) = 72MCD (18 y 24) = 6

18•24 = 72•6432 = 432

Hemos comprobado que se cumple la propiedad mencionada.