-
Mòdul I
Mobilitat i anàlisi del desplaçament
-
Motivació • Per un mecanisme donat,
com el robotitzem ? • Quants actuadors hem de
posar per controlar el seu moviment ?
• Donats uns desplaçaments als actuadors: quin desplaçament es
produeix a l’efector? I a l’inrevés?
Condueix a l’estudi de la mobilitat del mecanisme
Condueix a l’anàlisi del desplaçament del mecanisme
-
Stickybot III (Stanford)
-
“Posa” d’un sòlid al pla
(x0,y0)
!0
És la posició i orientació que té un sòlid al pla, relativa a un
sistema de referència donat
Es diu que el sòlid té tres graus de llibertat (calen 3
paràmetres per fixar la posa)
X
Y
-
Configuració d’un mecanisme • Intuitivament: és tot ensamblat
possible d’un mecanisme • Configuracions d’exemple en el
4-barres:
• Tècnicament una configuració del mecanisme és una assignació
de “poses” a tots els cossos, que respecta les restriccions
cinemàtiques imposades per les articulacions.
Desensamblat Ensamblat
-
Mobilitat d’un mecanisme Intuitivament: Nombre d’articulacions
que cal fixar per bloquejar la configuració del mecanisme (suposant
que un dels cossos el fixem a terra).
Quina mobilitat té?
-
Quina mobilitat tenen?
Mobilitat = 3 Mobilitat = 3
-
Quina mobilitat tenen?
Mobilitat = 3
©" ©"
-
Quina mobilitat té?
-
I aquest? (double butterfly linkage)
Calen mètodes per comptar la mobilitat!
-
Variables configuracionals • Són un conjunt de variables que,
un cop fixades,
defineixen una (i només una) configuració. • Un exemple en són
les variables de posa dels
diversos cossos del mecanisme. • Un dels cossos es manté fixat
a terra sempre, i per tant
la seva posa és coneguda. Per tant, si hi ha “n” cossos, llavors
hi ha 3(n - 1) variables configuracionals.
• Exemple (n = 4):
3
3
3 3(n - 1) = 9 variables
configuracionals
-
Restriccions articulars
Imposen dues restriccions articulars
(permeten un g.d.l.)
Imposa una restricció articular (permeten dos g.d.l)
Restriccions que les articulacions imposen al moviment relatiu
entre els cossos que uneixen
-
m = # vars. configuracionals - # restric. articulars
Mobilitat (m)
3
3
3
Exemple:
2
2 2
2
9 variables configuracionals
2*4 restriccions articulars
Mobilitat = 9 – 8 = 1
-
Mobilitat (m)
Si: • n = nombre de cossos del mecanisme • j = nombre
d’articulacions • totes les articulacions són P o R Llavors:
m = 3(n - 1) – 2j
(Criteri de Grübler-Kutzbach)
-
Ja podem analitzar el “double butterfly”
n = 8 j = 10 m = 3(8-1)-2*10 = 1
Cal només un actuador per controlar-lo
-
Un sol grau de llibertat
-
El double butterfly té 4 “modes d’ensamblatge”
-
Stickybot III
Quants actuadors calen per controlar el seu moviment?
-
Mecanisme caminador de Theo Jansen
Quants actuadors calen per controlar el seu moviment?
-
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
Per què?
-
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la
mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
El criteri de GK es compleix per mecanismes les dimensions
geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient). El
mecanisme (b) té la particularitat de complir :
4
3
1
lli
i =!=
a b
1 2 3
4
1 2
3
4
! 0real =m142)14(344=!""=
==
mjn
-
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la
mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
Hi ha dues articulacions al mecanisme (d) que no són binàries,
són ternàries
c d 1
2
3 4
2
! 0real =m062)15(365
=!""=
==
mjn
5 1 3
4 5
442)15(345
=!""=
==
mjn
-
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la
mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
El mecanisme (f) està sobre-restringit, hi ha més links dels
necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme
e f 2
! 1real =m282)17(387
=!""=
==
mjn
1 5
4
3
0122)19(3129
=!""=
==
mjn
6
7 2
1 5
4
3
6
7
8 9
-
Recordeu també:
funciona quan les articulacions són tipus P o R
jn m 2)1(3 !!=
033
=
==
mjn
1)3()1(31
=!!!= "=
j
iifn m
-
Motivació
• Per un mecanisme donat, com el robotitzem?
• Quants actuadors hem de posar per controlar l’output?
• Donats uns desplaçaments als actuadors: quin desplaçament es
produeix a l’efector? I a l’inrevés?
Condueix a l’estudi de la mobilitat del mecanisme
Condueix a l’anàlisi del desplaçament del mecanisme
-
Anàlisi directa del manipulador 3R
!3
!1
!2 x,y,,"#
x y "#
= p !1 !2 !3
! =
Conegut Volem:
Donats els angles articulars volem calcular la posa de
l’efector
-
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!!
X
Y
12a
23a
34a
1!
21 !! +
112 cos!a )cos( 2123 !! +a
)cos( 32134 !!! ++a
-
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!!
X
Y
12a
23a
34a
1!
21 !! +
112 sin!a
)sin( 2123 !! +a
)sin( 32134 !!! ++a
-
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!
X
12a
23a
34a
1!
21 !! +
)sin()sin(sin)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
!!!!!!
!!!!!!
+++++=
+++++=
aaayaaax
321 !!!" ++=
Y
-
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!
!
X )sin()sin(sin)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
!!!!!!
!!!!!!
+++++=
+++++=
aaayaaax
321 !!!" ++=
Y
-
Anàlisi inversa del manipulador 3R
!3
!1
!2 x,y,,"# x
y "#
= p
!1 !2 !3
! =
Volem: Sabent:
Donada la posa de l’efector, volem calcular els angles
articulars
-
Anàlisi inversa del manipulador 3R
)cos()cos(cos 321342123112 !!!!!! +++++= aaax
)sin()sin(sin 321342123112 !!!!!! +++++= aaay
321 !!!" ++=
)cos(coscos 212311234 !!!" ++=# aaax
)sin(sinsin 212311234 !!!" ++=# aaay
(a)
(b)
(a)2+ (b)2
)sin)sin(cos)(cos(2)sin()cos(
1211212312
223
212
234
234
!!!!!!
""
++++
++=#+#
aaaaayax
(c)
-
Anàlisi inversa del manipulador 3R
fd =2cos!23122 aad =
(c)
2121121121 cos))cos((sin)sin(cos)cos( !!!!!!!!!! ="+=+++
223
212
234
234 )sin()cos( aaayaxf !!!+!= ""
22 !! +"a
22 !! "#b
(a), (b)
FABEBA
=+
=!
11
11
sincossincos
""
""
!"
!"
sinsincoscos
34223
3422312
ayFaBaxEaaA#==
#=+=
)sin(),cos( 2121 !!!! ++
-
Anàlisi inversa del manipulador 3R
a3!
a2!
a1!
X
12a
23a
34a
!
Y (x,y,")
-
Anàlisi inversa del manipulador 3R
b3!
b2!
b1!
X
12a23a
34a
!
Y (x,y,")
